វិធីសាមញ្ញបំផុតមួយដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាវិធីសាស្ត្រដែលផ្អែកលើការគណនាកត្តាកំណត់ ( ច្បាប់របស់ Cramer) អត្ថប្រយោជន៍របស់វាគឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកត់ត្រាដំណោះស្រាយភ្លាមៗវាងាយស្រួលជាពិសេសក្នុងករណីដែលមេគុណប្រព័ន្ធមិនមែនជាលេខប៉ុន្តែប៉ារ៉ាម៉ែត្រខ្លះ។ គុណវិបត្តិរបស់វាគឺភាពលំបាកនៃការគណនានៅក្នុងករណីនៃសមីការមួយចំនួនធំ លើសពីនេះច្បាប់របស់ Cramer មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់ចំពោះប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ ក្នុងករណីបែបនេះវាត្រូវបានគេប្រើជាធម្មតា វិធីសាស្រ្ត Gauss.
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានសំណុំដូចគ្នានៃដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថា សមមូល. ជាក់ស្តែង សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ឬប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានគុណដោយចំនួនមិនមែនសូន្យមួយចំនួន ឬប្រសិនបើសមីការមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅមួយទៀត។
វិធីសាស្រ្ត Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់) ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថា ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធមួយជំហានដែលសមមូល។ ទីមួយដោយមានជំនួយពីសមីការទី 1 ។ x 1 នៃសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើសមីការទី 2 យើងលុបបំបាត់ x 2 នៃសមីការទី 3 និងសមីការបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ ដំណើរការនេះហៅថា វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់បន្តរហូតដល់នៅសល់តែមិនស្គាល់មួយនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការចុងក្រោយ x ន. បន្ទាប់ពីនោះវាត្រូវបានបង្កើតឡើង Gaussian បញ្ច្រាស- ការដោះស្រាយសមីការចុងក្រោយ យើងរកឃើញ x ន; បន្ទាប់ពីនោះដោយប្រើតម្លៃនេះពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងគណនា x ន-១ ល។ ចុងក្រោយយើងរកឃើញ x 1 ពីសមីការទីមួយ។
វាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែង Gaussian ដោយអនុវត្តការបំប្លែងមិនមែនជាមួយនឹងសមីការខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសនៃមេគុណរបស់ពួកគេ។ ពិចារណាម៉ាទ្រីស៖
បានហៅ ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសពង្រីក,ដោយសារតែបន្ថែមលើម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ វារួមបញ្ចូលជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺផ្អែកលើការនាំយកម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ឬទម្រង់ trapezoidal ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមិនការ៉េ) ដោយប្រើការបំប្លែងជួរដេកបឋម (!) នៃម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។
ឧទាហរណ៍ 5.1 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖
ការសម្រេចចិត្ត. ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើជួរទីមួយ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលនៅសល់ទៅជាសូន្យ៖
យើងទទួលបានសូន្យនៅជួរទី 2 ទី 3 និងទី 4 នៃជួរទីមួយ៖
ឥឡូវនេះយើងត្រូវការធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីពីរខាងក្រោមជួរទី 2 ដើម្បីស្មើនឹងសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចគុណជួរទីពីរដោយ -4/7 ហើយបន្ថែមទៅជួរទី 3 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីកុំឱ្យដោះស្រាយប្រភាគ យើងនឹងបង្កើតឯកតាមួយនៅជួរទី 2 នៃជួរទីពីរ ហើយមានតែ
ឥឡូវនេះ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ អ្នកត្រូវដកធាតុនៃជួរទីបួននៃជួរទី 3 ចេញ សម្រាប់ការនេះ អ្នកអាចគុណជួរទីបីដោយ 8/54 ហើយបន្ថែមវាទៅទីបួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីមិនដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ យើងនឹងប្តូរជួរទី 3 និងទី 4 និងជួរទី 3 និងទី 4 ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលបានបញ្ជាក់ឡើងវិញ។ ចំណាំថានៅពេលដែលជួរឈរត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ អថេរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានប្តូរ ហើយនេះត្រូវតែចងចាំ។ ការបំប្លែងបឋមផ្សេងទៀតជាមួយជួរឈរ (ការបន្ថែម និងគុណដោយលេខ) មិនអាចអនុវត្តបានទេ!
ម៉ាទ្រីសសាមញ្ញចុងក្រោយត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលស្មើនឹងដើមមួយ៖
ពីទីនេះដោយប្រើវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងរកឃើញពីសមីការទីបួន x 3 = -1; ពីទីបី x 4 = -2, ពីទីពីរ x 2 = 2 និងពីសមីការទីមួយ x 1 = 1. ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ចម្លើយត្រូវបានសរសេរជា
យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់, i.e. នៅពេលដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយ។ តោះមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នាឬមិនកំណត់។
ឧទាហរណ៍ 5.2 ។រុករកប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖
ការសម្រេចចិត្ត. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ
យើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសាមញ្ញ៖
នៅទីនេះក្នុងសមីការចុងក្រោយ វាបានប្រែក្លាយថា 0=4, i.e. ភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ i.e. នាងគឺ មិនឆបគ្នា។. à
ឧទាហរណ៍ 5.3 ។ស្វែងយល់ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖
ការសម្រេចចិត្ត. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖
ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ មានតែសូន្យប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទទួលនៅក្នុងជួរចុងក្រោយ។ នេះមានន័យថាចំនួនសមីការបានថយចុះមួយ៖
ដូច្នេះ បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ សមីការពីរនៅតែមាន និងមិនស្គាល់ចំនួនបួន ពោលគឺឧ។ "បន្ថែម" មិនស្គាល់ពីរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ "ហួសហេតុ" ឬដូចដែលពួកគេនិយាយ។ អថេរឥតគិតថ្លៃ, នឹង x 3 និង x៤. បន្ទាប់មក
សន្មត់ x 3 = 2កនិង x 4 = ខ, យើងទទួលបាន x 2 = 1–កនិង x 1 = 2ខ–ក; ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស
ដំណោះស្រាយដែលសរសេរតាមរបៀបនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅចាប់តាំងពីដោយផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនិង ខតម្លៃខុសគ្នា វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិពណ៌នាដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ ក
វិធីសាស្រ្ត Gaussល្អសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE)។ វាមានអត្ថប្រយោជន៍ជាច្រើនលើវិធីសាស្ត្រផ្សេងៗ៖
- ជាដំបូង មិនចាំបាច់ធ្វើការស៊ើបអង្កេតជាមុនអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការសម្រាប់ភាពឆបគ្នានោះទេ។
- ទីពីរ វិធីសាស្ត្រ Gauss អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយមិនត្រឹមតែ SLAEs ដែលចំនួនសមីការត្រូវគ្នានឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយទេ ប៉ុន្តែក៏មានប្រព័ន្ធនៃសមីការផងដែរ ដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នា។ ជាមួយនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ឬកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺស្មើនឹងសូន្យ។
- ទីបី វិធីសាស្ត្រ Gauss នាំទៅរកលទ្ធផលជាមួយនឹងចំនួនប្រតិបត្តិការគណនាតិចតួច។
ការពិនិត្យឡើងវិញសង្ខេបនៃអត្ថបទ។
ដំបូង យើងផ្តល់និយមន័យចាំបាច់ និងណែនាំសញ្ញាណមួយចំនួន។
បន្ទាប់មក យើងពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ករណីសាមញ្ញបំផុត នោះគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ចំនួនសមីការដែលស្របគ្នានឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយការកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនមែនទេ។ ស្មើនឹងសូន្យ។ នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss អាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់បំផុត ដែលមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់។ ដូច្នេះវិធីសាស្រ្ត Gaussian ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់។ ចូរយើងបង្ហាញដំណោះស្រាយលម្អិតនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើន។
សរុបសេចក្តីមក យើងពិចារណាលើដំណោះស្រាយ Gaussian នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលម៉ាទ្រីសចម្បងគឺចតុកោណកែង ឬ degenerate ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះមានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលយើងនឹងវិភាគលម្អិតដោយប្រើឧទាហរណ៍។
ការរុករកទំព័រ។
និយមន័យមូលដ្ឋាននិងសញ្ញាណ។
ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ p ជាមួយ n មិនស្គាល់ (p អាចស្មើនឹង n):
តើអថេរមិនស្គាល់លេខណា (ពិត ឬស្មុគស្មាញ) គឺជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
ប្រសិនបើ ក 
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.
សំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរមិនស្គាល់ ដែលនៅក្នុងសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថា ការសម្រេចចិត្តរបស់ SLAU.
ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ នោះគេហៅថា រួមបើមិនដូច្នេះទេ - មិនឆបគ្នា។.
ប្រសិនបើ SLAE មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ នោះគេហៅថា ជាក់លាក់. ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ នោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា មិនប្រាកដប្រជា.
ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានសរសេរនៅក្នុង ទម្រង់សំរបសំរួលប្រសិនបើវាមានទម្រង់
.
ប្រព័ន្ធនេះនៅក្នុង ទម្រង់ម៉ាទ្រីសកំណត់ត្រាមានទម្រង់ កន្លែងណា 
- ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃ SLAE, - ម៉ាទ្រីសនៃជួរឈរនៃអថេរមិនស្គាល់, - ម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីស A ជាជួរឈរ (n + 1)-th ជួរម៉ាទ្រីសនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ នោះយើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា ម៉ាទ្រីសពង្រីកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាធម្មតា ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ T ហើយជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរត្រូវបានបំបែកដោយបន្ទាត់បញ្ឈរពីជួរដែលនៅសល់ ពោលគឺ។ 
ម៉ាទ្រីសការ៉េ A ត្រូវបានគេហៅថា degenerateប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។ ប្រសិនបើ នោះម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគេហៅថា មិន degenerate.
ចំណុចខាងក្រោមគួរកត់សំគាល់។
ប្រសិនបើសកម្មភាពខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្តជាមួយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ
- ផ្លាស់ប្តូរសមីការពីរ,
- គុណទាំងសងខាងនៃសមីការណាមួយដោយចំនួនពិតប្រាកដ (ឬស្មុគស្មាញ) ដែលបំពាននិងមិនសូន្យ
- ទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការណាមួយ បន្ថែមផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនបំពាន k,
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូលដែលមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា (ឬដូចជាប្រព័ន្ធដើម មិនមានដំណោះស្រាយ)។
សម្រាប់ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ សកម្មភាពទាំងនេះនឹងមានន័យថាការបំប្លែងបឋមជាមួយជួរដេក៖
- ផ្លាស់ប្តូរខ្សែពីរ
- គុណនៃធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយនៃម៉ាទ្រីស T ដោយលេខមិនសូន្យ k ,
- ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរណាមួយនៃម៉ាទ្រីស ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនបំពាន k ។
ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តទៅការពិពណ៌នានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
តើយើងនឹងធ្វើអ្វីនៅសាលា ប្រសិនបើយើងត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ 
.
អ្នកខ្លះនឹងធ្វើដូច្នេះ។
ចំណាំថាដោយការបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ និងផ្នែកខាងស្តាំទៅផ្នែកខាងស្តាំ អ្នកអាចកម្ចាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 និង x 3 ហើយស្វែងរក x 1 ភ្លាមៗ៖ 
យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ x 1 \u003d 1 ទៅក្នុងសមីការទីមួយ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖ 
ប្រសិនបើយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធដោយ -1 ហើយបន្ថែមវាទៅផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការទីមួយ នោះយើងកម្ចាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ហើយអាចរកឃើញ x 2៖ 
យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាន x 2 \u003d 2 ទៅក្នុងសមីការទីបី ហើយស្វែងរកអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលនៅសល់ x 3៖ 
អ្នកផ្សេងទៀតនឹងបានធ្វើបើមិនដូច្នេះទេ។
ចូរដោះស្រាយសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹងអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ ដើម្បីដកអថេរនេះចេញពីពួកវា៖ 
ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹង x 2 ហើយជំនួសលទ្ធផលនៅក្នុងសមីការទីបី ដើម្បីដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 ចេញពីវា៖ 
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធថា x 3 = 3 ។ ពីសមីការទីពីរយើងរកឃើញ 
ហើយពីសមីការទីមួយយើងទទួលបាន .
ដំណោះស្រាយដែលធ្លាប់ស្គាល់មែនទេ?
អ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៅទីនេះគឺថាវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយទីពីរគឺសំខាន់វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់, នោះគឺវិធីសាស្រ្ត Gauss ។ នៅពេលដែលយើងបង្ហាញអថេរដែលមិនស្គាល់ (ទីមួយ x 1, បន្ទាប់ x 2) ហើយជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ នោះយើងដកពួកវាចេញ។ យើងអនុវត្តការលើកលែងរហូតដល់ពេលដែលសមីការចុងក្រោយបន្សល់ទុកតែអថេរមិនស្គាល់មួយ។ ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់. បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទៅមុខត្រូវបានបញ្ចប់ យើងមានឱកាសគណនាអថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា ពីសមីការ penultimate យើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់បន្ទាប់ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកអថេរមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ ខណៈពេលដែលផ្លាស់ទីពីសមីការចុងក្រោយទៅទីមួយត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss បញ្ច្រាស.
គួរកត់សំគាល់ថា នៅពេលយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យ x 2 និង x 3 ក្នុងសមីការទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការទីពីរ និងទីបី សកម្មភាពខាងក្រោមនាំទៅរកលទ្ធផលដូចគ្នា៖
ជាការពិតណាស់ នីតិវិធីបែបនេះក៏អនុញ្ញាតឱ្យយើងដកចេញអថេរ x 1 ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖ 
Nuances ជាមួយនឹងការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss កើតឡើងនៅពេលដែលសមីការនៃប្រព័ន្ធមិនមានអថេរមួយចំនួន។
ឧទាហរណ៍នៅក្នុង SLAU 
នៅក្នុងសមីការទីមួយ មិនមានអថេរ x 1 មិនស្គាល់ទេ (និយាយម្យ៉ាងទៀត មេគុណនៅពីមុខវាគឺសូន្យ)។ ដូច្នេះហើយ យើងមិនអាចដោះស្រាយសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹង x 1 ដើម្បីដកចេញអថេរមិនស្គាល់នេះពីសមីការដែលនៅសល់នោះទេ។ ផ្លូវចេញពីស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីប្តូរសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ ដោយសារយើងកំពុងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗខុសពីសូន្យ វាតែងតែមានសមីការដែលអថេរដែលយើងត្រូវការមានវត្តមាន ហើយយើងអាចរៀបចំសមីការនេះឡើងវិញទៅទីតាំងដែលយើងត្រូវការ។ ឧទាហរណ៍របស់យើង វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការប្តូរសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ 
បន្ទាប់មកអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការទីមួយសម្រាប់ x 1 ហើយដកវាចេញពីសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ (ទោះបីជា x 1 គឺអវត្តមានរួចហើយនៅក្នុងសមីការទីពីរ)។
យើងសង្ឃឹមថាអ្នកទទួលបានចំណុចសំខាន់។
ចូរពណ៌នា ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្ត Gauss ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរមិនស្គាល់នៃទម្រង់ 
ហើយទុកឱ្យកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាមិនមែនជាសូន្យ។
យើងនឹងសន្មត់ថា ដោយសារយើងតែងតែអាចសម្រេចបានវាដោយការរៀបចំសមីការនៃប្រព័ន្ធឡើងវិញ។ យើងដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទីមួយគុណនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 3 ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 1 ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់ 
កន្លែងណា ក 
.
យើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ផ្សេងទៀតនៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ដូច្នេះ អថេរ x 1 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីពីរ។
បន្ទាប់យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងរូប 
ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទីពីរគុណនឹងសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការទីបួន ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការ n ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់ 
កន្លែងណា ក 
. ដូច្នេះ អថេរ x 2 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីបី។
បន្ទាប់មក យើងបន្តទៅការលុបបំបាត់ x 3 ដែលមិនស្គាល់ ខណៈពេលដែលធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្នែកនៃប្រព័ន្ធដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។ 
ដូច្នេះយើងបន្តវគ្គសិក្សាដោយផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss រហូតដល់ប្រព័ន្ធទទួលបានទម្រង់ 
ចាប់ពីពេលនេះតទៅ យើងចាប់ផ្តើមដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss៖ យើងគណនា x n ពីសមីការចុងក្រោយ ដោយប្រើតម្លៃដែលទទួលបាននៃ x n យើងរកឃើញ x n-1 ពីសមីការ penultimate ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត យើងរកឃើញ x 1 ពី សមីការទីមួយ។
ចូរយើងវិភាគក្បួនដោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍។
វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។
ការសម្រេចចិត្ត។
មេគុណ a 11 គឺខុសពីសូន្យ ដូច្នេះសូមបន្តទៅវគ្គផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ពោលគឺដើម្បីលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ លើកលែងតែទីមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ ទីបី និងទីបួន បន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយ គុណនឹង រៀងគ្នា។ 
និង៖ 
អថេរ x 1 ដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានលុបចោល សូមបន្តទៅការដកចេញ x 2 ។ ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី និងទីបួននៃប្រព័ន្ធ យើងបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង 
និង 
:
ដើម្បីបញ្ចប់វគ្គបន្តនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងត្រូវដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ចេញពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ថែមទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបួន រៀងគ្នា ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី គុណនឹង 
:
អ្នកអាចចាប់ផ្តើមវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងមាន 
,
ពីសមីការទីបីយើងទទួលបាន
ពីទីពីរ
ពីដំបូង។
ដើម្បីពិនិត្យ អ្នកអាចជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាននៃអថេរមិនស្គាល់ទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។ សមីការទាំងអស់ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។
ចម្លើយ៖
ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។
ការសម្រេចចិត្ត។
ម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធមានទម្រង់ 
. នៅពីលើជួរឈរនីមួយៗ អថេរដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានសរសេរ ដែលត្រូវនឹងធាតុនៃម៉ាទ្រីស។
វគ្គសិក្សាផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss នៅទីនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការនាំយកម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ trapezoidal ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ដំណើរការនេះគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការដកចេញនូវអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលយើងបានធ្វើជាមួយប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ។ ឥឡូវនេះអ្នកនឹងជឿជាក់លើវា។
ចូរបំប្លែងម៉ាទ្រីស ដើម្បីឱ្យធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរក្លាយជាសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចំពោះធាតុនៃជួរទីពីរ ទីបី និងទីបួន បន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយគុណនឹង , និងរៀងៗខ្លួន៖ 
បន្ទាប់មក យើងបំប្លែងម៉ាទ្រីសលទ្ធផល ដូច្នេះនៅក្នុងជួរទីពីរ ធាតុទាំងអស់ ចាប់ពីលេខទីបី ក្លាយជាសូន្យ។ វានឹងឆ្លើយតបទៅនឹងការមិនរាប់បញ្ចូលអថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទី 3 និងទី 4 នៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស គុណនឹង និង :
វានៅសល់ដើម្បីដកចេញអថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅកាន់ធាតុនៃជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកចុងក្រោយ គុណនឹង :
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាម៉ាទ្រីសនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ 
ដែលទទួលបានមុននេះ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរដោយផ្ទាល់។
ដល់ពេលត្រូវត្រលប់មកវិញហើយ។ នៅក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញាណ ដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ពាក់ព័ន្ធនឹងការបំប្លែងនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល ដូច្នេះម៉ាទ្រីសដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។ 
បានក្លាយជាអង្កត់ទ្រូង ពោលគឺបានយកទម្រង់ 
តើលេខខ្លះនៅឯណា។
ការបំប្លែងទាំងនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងវិធីសាស្ត្រ Gauss ប៉ុន្តែត្រូវបានអនុវត្តមិនមែនពីបន្ទាត់ទីមួយទៅចុងក្រោយនោះទេ ប៉ុន្តែពីចុងក្រោយទៅទីមួយ។
បន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទីបី ទីពីរ និងទីមួយ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរចុងក្រោយ គុណនឹង 
លើ និងនៅលើ 
រៀងគ្នា៖ 
ឥឡូវយើងបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកទីពីរ និងទីមួយនូវធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីបីគុណនឹងដោយរៀងខ្លួន៖ 
នៅជំហានចុងក្រោយនៃចលនាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ទៅធាតុនៃជួរទីមួយ យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរ គុណនឹង៖ 
ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធសមីការ 
ដែលយើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់។
ចម្លើយ៖
ចំណាំ។
នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលគួរតែត្រូវបានជៀសវាង ព្រោះនេះអាចនាំទៅរកលទ្ធផលមិនត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ យើងណែនាំអ្នកកុំបង្គត់ខ្ទង់ទសភាគ។ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីផ្លាស់ទីពីប្រភាគទសភាគទៅប្រភាគធម្មតា។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបីដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian 
.
ការសម្រេចចិត្ត។
ចំណាំថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អថេរដែលមិនស្គាល់មានការរចនាខុសគ្នា (មិនមែន x 1, x 2, x 3 ទេ ប៉ុន្តែ x, y, z )។ ចូរបន្តទៅប្រភាគធម្មតា៖ 
លុបបំបាត់ x ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖ 
នៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផល មិនមានអថេរ y មិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទីពីរទេ ហើយ y មានវត្តមាននៅក្នុងសមីការទីបី ដូច្នេះយើងប្តូរសមីការទីពីរ និងទីបី៖ 
នៅពេលនេះ វគ្គផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបញ្ចប់ (អ្នកមិនចាំបាច់ដក y ចេញពីសមីការទីបីទេ ព្រោះអថេរមិនស្គាល់នេះលែងមានទៀតហើយ)។
តោះត្រឡប់ទៅវិញ។
ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ 
,
ពីចុងក្រោយ 
ពីសមីការទីមួយដែលយើងមាន 
ចម្លើយ៖
X=10, y=5, z=-20 ។
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ឬម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ degenerate ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាមានរាងចតុកោណកែង ឬការ៉េ degenerate អាចមិនមានដំណោះស្រាយ អាចមានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬអាចមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។
ឥឡូវនេះយើងនឹងយល់ពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រ Gauss អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតភាពឆបគ្នាឬភាពមិនស៊ីសង្វាក់នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរហើយក្នុងករណីនៃភាពឆបគ្នារបស់វាកំណត់ដំណោះស្រាយទាំងអស់ (ឬដំណោះស្រាយតែមួយ) ។
ជាគោលការណ៍ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងករណីនៃ SLAEs បែបនេះនៅតែដដែល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមានតម្លៃរស់នៅយ៉ាងលម្អិតលើស្ថានភាពមួយចំនួនដែលអាចកើតឡើង។
ចូរយើងបន្តទៅជំហានសំខាន់បំផុត។
ដូច្នេះ ចូរយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរបន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការរត់ទៅមុខនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យកទម្រង់ 
ហើយគ្មានសមីការណាមួយត្រូវបានកាត់បន្ថយ (ក្នុងករណីនេះ យើងនឹងសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។ សំណួរឡូជីខលកើតឡើង: "អ្វីដែលត្រូវធ្វើបន្ទាប់"?
យើងសរសេរអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលមាននៅក្នុងកន្លែងដំបូងនៃសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល៖ 
ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ទាំងនេះគឺ x 1 , x 4 និង x 5 ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ យើងទុកតែពាក្យទាំងនោះដែលមានសរសេរចេញអថេរមិនស្គាល់ x 1, x 4 និង x 5 យើងផ្ទេរពាក្យដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ៖ 
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់តម្លៃបំពានទៅអថេរមិនស្គាល់ដែលមាននៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ ដែល 
- លេខតាមចិត្ត: 
បន្ទាប់ពីនោះ លេខត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងអស់នៃ SLAE របស់យើង ហើយយើងអាចបន្តទៅវគ្គបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធដែលយើងមាន ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ ពីសមីការដំបូងដែលយើងទទួលបាន 
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាសំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ 
ការផ្តល់លេខ តម្លៃផ្សេងគ្នា យើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។ នោះគឺប្រព័ន្ធសមីការរបស់យើងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។
ចម្លើយ៖
កន្លែងណា - លេខបំពាន។
ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើនទៀត។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ 
វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។
ការសម្រេចចិត្ត។
ចូរយើងដកអថេរ x ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយ រៀងគ្នា ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង និងទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ។ សមីការទីមួយ គុណនឹង៖ 
ឥឡូវនេះយើងដក y ចេញពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ៖ 
លទ្ធផល SLAE គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ 
.
យើងទុកតែពាក្យដែលមានអថេរមិនស្គាល់ x និង y នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ ហើយផ្ទេរលក្ខខណ្ឌជាមួយនឹងអថេរមិនស្គាល់ z ទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖ 
ថ្ងៃនេះយើងដោះស្រាយជាមួយវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ អ្នកអាចអានអំពីអ្វីដែលប្រព័ន្ធទាំងនេះមាននៅក្នុងអត្ថបទមុនដែលបានឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយ SLAE ដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss មិនទាមទារចំណេះដឹងជាក់លាក់ណាមួយទេ ត្រូវការតែការថែទាំ និងភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាប៉ុណ្ណោះ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យាការរៀបចំសាលារៀនគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការអនុវត្តរបស់វា ការស្ទាត់ជំនាញវិធីសាស្រ្តនេះជារឿយៗបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកសម្រាប់សិស្ស។ ក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងព្យាយាមកាត់បន្ថយពួកវាឲ្យអស់ទៅ!
វិធីសាស្រ្ត Gauss
ម វិធីសាស្រ្ត Gaussគឺជាវិធីសាស្រ្តសកលបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយ SLAE (លើកលែងតែប្រព័ន្ធធំៗ)។ មិនដូចអ្វីដែលបានពិភាក្សាពីមុននោះទេ វាសមរម្យមិនត្រឹមតែសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ផងដែរ។ មានជម្រើសបីនៅទីនេះ។
- ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ);
- ប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់;
- មិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។
ដូច្នេះ យើងមានប្រព័ន្ធមួយ (ទុកអោយវាមានដំណោះស្រាយមួយ) ហើយយើងនឹងដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ តើវាដំណើរការយ៉ាងដូចម្តេច?
វិធីសាស្រ្ត Gaussian មានពីរដំណាក់កាល - ដោយផ្ទាល់និងបញ្ច្រាស។
វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់
ដំបូងយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបន្ថែមជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃទៅម៉ាទ្រីសចម្បង។
ខ្លឹមសារទាំងមូលនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺដើម្បីនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ជាជំហាន (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថា ត្រីកោណ) ដោយមធ្យោបាយនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ ក្នុងទម្រង់នេះ គួរតែមានតែសូន្យនៅក្រោម (ឬខាងលើ) អង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស។
អ្វីដែលអាចធ្វើបាន៖
- អ្នកអាចរៀបចំជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសឡើងវិញ។
- ប្រសិនបើមានជួរដូចគ្នា (ឬសមាមាត្រ) នៅក្នុងម៉ាទ្រីស អ្នកអាចលុបទាំងអស់ លើកលែងតែមួយក្នុងចំណោមពួកវា។
- អ្នកអាចគុណឬបែងចែកខ្សែអក្សរដោយលេខណាមួយ (លើកលែងតែសូន្យ);
- បន្ទាត់សូន្យត្រូវបានដកចេញ;
- អ្នកអាចបន្ថែមខ្សែអក្សរដែលគុណនឹងលេខមិនមែនសូន្យទៅខ្សែអក្សរមួយ។
វិធីសាស្រ្តបញ្ច្រាស Gauss
បន្ទាប់ពីយើងបំប្លែងប្រព័ន្ធតាមវិធីនេះគេមិនស្គាល់ xn ត្រូវបានគេស្គាល់ ហើយវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកមិនស្គាល់ដែលនៅសេសសល់ទាំងអស់ក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស ដោយជំនួស x ដែលស្គាល់រួចហើយទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ រហូតដល់លេខទីមួយ។
នៅពេលដែលអ៊ីនធឺណិតតែងតែនៅនឹងដៃ អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss លើបណ្តាញ។អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺបញ្ចូលហាងឆេងទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត។ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់ វាជាការរីករាយជាងក្នុងការដឹងថាឧទាហរណ៍មិនត្រូវបានដោះស្រាយដោយកម្មវិធីកុំព្យូទ័រនោះទេ ប៉ុន្តែដោយខួរក្បាលរបស់អ្នកផ្ទាល់។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss
ហើយឥឡូវនេះ - ឧទាហរណ៍មួយដូច្នេះថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងក្លាយជាច្បាស់លាស់និងអាចយល់បាន។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយវាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss:
ដំបូងយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖
ឥឡូវនេះសូមមើលការផ្លាស់ប្តូរ។ ចងចាំថាយើងត្រូវសម្រេចបានទម្រង់ត្រីកោណនៃម៉ាទ្រីស។ គុណជួរទី 1 ដោយ (3) ។ គុណជួរទី 2 ដោយ (-1) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 2 ទៅជួរទី 1 ហើយទទួលបាន:
បន្ទាប់មកគុណជួរទី ៣ ដោយ (-១) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 3 ទៅទី 2៖
គុណជួរទី 1 ដោយ (6) ។ គុណជួរទី 2 ដោយ (13) ។ ចូរយើងបន្ថែមជួរទី 2 ទៅទី 1៖
Voila - ប្រព័ន្ធត្រូវបាននាំយកទៅទម្រង់សមរម្យ។ វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកអ្នកដែលមិនស្គាល់៖
ប្រព័ន្ធក្នុងឧទាហរណ៍នេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ យើងនឹងពិចារណាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៅក្នុងអត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។ ប្រហែលជាដំបូងឡើយ អ្នកនឹងមិនដឹងថាត្រូវចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាជាមួយការបំប្លែងម៉ាទ្រីសនោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការអនុវត្តសមស្រប អ្នកនឹងចាប់ដៃអ្នកនៅលើវា ហើយនឹងចុច Gaussian SLAE ដូចជាគ្រាប់។ ហើយប្រសិនបើអ្នកស្រាប់តែជួប SLAU ដែលប្រែទៅជារឹងពេកក្នុងការបំបែក សូមទាក់ទងអ្នកនិពន្ធរបស់យើង! អ្នកអាចដោយទុកពាក្យសុំក្នុងសារឆ្លើយឆ្លង។ យើងរួមគ្នាដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយ!
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវតែដោះស្រាយ (ស្វែងរកតម្លៃបែបនេះនៃ хi ដែលមិនស្គាល់ដែលបង្វែរសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាព)។
យើងដឹងថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរអាច៖
1) គ្មានដំណោះស្រាយ (ត្រូវ មិនឆបគ្នា។).
2) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។
3) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
ដូចដែលយើងចងចាំ ក្បួនរបស់ Cramer និងវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសមិនសមស្របទេ ក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ វិធីសាស្រ្ត Gauss – ឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាព និងអាចប្រើប្រាស់បានច្រើនបំផុតសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ, ដែល ក្នុងគ្រប់ករណីនាំយើងទៅរកចម្លើយ! ក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តនៅក្នុងករណីទាំងបីដំណើរការដូចគ្នា។ ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រ Cramer និង matrix ទាមទារចំណេះដឹងអំពីកត្តាកំណត់ នោះការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Gauss ទាមទារចំណេះដឹងអំពីប្រតិបត្តិការលេខនព្វន្ធតែប៉ុណ្ណោះ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចចូលប្រើបានសូម្បីតែសិស្សសាលាបឋមសិក្សា។
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ( នេះគឺជាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ - ម៉ាទ្រីសដែលមានតែមេគុណនៃការមិនស្គាល់ បូកនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss៖
1) ជាមួយ trokyម៉ាទ្រីស អាច រៀបចំឡើងវិញកន្លែង។
2) ប្រសិនបើមាន (ឬ) សមាមាត្រ (ជាករណីពិសេស - ដូចគ្នា) ជួរនៅក្នុងម៉ាទ្រីស នោះវាដូចខាងក្រោម លុបពីម៉ាទ្រីស ជួរទាំងអស់នេះលើកលែងតែមួយ។
3) ប្រសិនបើជួរសូន្យបានលេចឡើងក្នុងម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបំប្លែង នោះវាក៏ធ្វើតាមដែរ។ លុប.
4) ជួរនៃម៉ាទ្រីសអាច គុណ (ចែក)ទៅលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ។
5) ទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអ្នកអាចធ្វើបាន បន្ថែមខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខខុសពីសូន្យ។
នៅក្នុងវិធីសាស្រ្ត Gauss ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការទេ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss មានពីរដំណាក់កាល៖
- "ការផ្លាស់ទីដោយផ្ទាល់" - ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនាំម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរទៅជាទម្រង់ជំហាន "ត្រីកោណ"៖ ធាតុនៃម៉ាទ្រីសពង្រីកដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងធំគឺស្មើនឹងសូន្យ (ការផ្លាស់ទីពីលើចុះក្រោម ) ឧទាហរណ៍ចំពោះប្រភេទនេះ៖
ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ
1) ចូរយើងពិចារណាសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ហើយមេគុណនៅ x 1 គឺស្មើនឹង K. ទីពីរ ទីបី។ល។ យើងបំប្លែងសមីការដូចខាងក្រោម៖ យើងបែងចែកសមីការនីមួយៗ (មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ រួមទាំងពាក្យឥតគិតថ្លៃ) ដោយមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ x 1 ដែលស្ថិតនៅក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយគុណនឹង K. បន្ទាប់ពីនោះ ដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ ( មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)។ យើងទទួលបាន x 1 ក្នុងសមីការទីពីរ មេគុណ 0។ ពីសមីការបំប្លែងទីបី យើងដកសមីការទីមួយ ដូច្នេះរហូតដល់សមីការទាំងអស់ លើកលែងតែទីមួយ ដែលមិនស្គាល់ x 1 នឹងមិនមានមេគុណ 0 ទេ។
2) បន្តទៅសមីការបន្ទាប់។ សូមឱ្យនេះជាសមីការទីពីរ ហើយមេគុណនៅ x 2 គឺស្មើនឹង M. ជាមួយនឹងសមីការ "រង" ទាំងអស់ យើងបន្តដូចដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ ដូច្នេះ "ក្រោម" x 2 ដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទាំងអស់នឹងជាសូន្យ។
3) យើងឆ្លងទៅសមីការបន្ទាប់ ហើយបន្តរហូតដល់មួយចុងក្រោយមិនស្គាល់ និងបានបំប្លែងពាក្យសេរីដែលនៅសល់។
- "ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស" នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (ចលនា "បាតឡើងលើ") ។ ពីសមីការ "ទាប" ចុងក្រោយយើងទទួលបានដំណោះស្រាយដំបូងមួយ - មិនស្គាល់ x n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការបឋម A * x n \u003d B. ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ x 3 \u003d 4. យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការបន្ទាប់ "ខាងលើ" ហើយដោះស្រាយវាទាក់ទងនឹងមិនស្គាល់បន្ទាប់។ ឧទាហរណ៍ x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. ហើយបន្តរហូតដល់យើងរកឃើញអ្វីដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់។
ឧទាហរណ៍។
យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដូចដែលអ្នកនិពន្ធខ្លះណែនាំ៖
យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់ជំហានមួយ៖
យើងក្រឡេកមើល "ជំហាន" ខាងឆ្វេងខាងលើ។ នៅទីនោះយើងគួរតែមានឯកតា។ បញ្ហាគឺថាគ្មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងជួរទីមួយទាល់តែសោះ ដូច្នេះគ្មានអ្វីអាចដោះស្រាយបានដោយការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនោះទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ អង្គភាពត្រូវតែរៀបចំដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ជាធម្មតា នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ តោះធ្វើវាដូចនេះ៖
1 ជំហាន
. ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -1 ។ នោះគឺយើងគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -1 ហើយអនុវត្តការបន្ថែមនៃបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរខណៈពេលដែលបន្ទាត់ទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ។
ឥឡូវនេះនៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ "ដកមួយ" ដែលសាកសមនឹងយើងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។ អ្នកណាដែលចង់ទទួលបាន +1 អាចធ្វើសកម្មភាពបន្ថែម៖ គុណជួរទីមួយដោយ -1 (ប្តូរសញ្ញារបស់វា)។
2 ជំហាន . ជួរទីមួយគុណនឹង 5 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។
3 ជំហាន . ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង -1 ជាគោលការណ៍នេះគឺសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត។ សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីបីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរហើយផ្លាស់ទីទៅកន្លែងទីពីរដូច្នេះនៅលើ "ជំហានទីពីរ យើងមានឯកតាដែលចង់បាន។
4 ជំហាន . ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង 2 ។
5 ជំហាន . ជួរទីបីចែកនឹង 3 ។
សញ្ញាដែលបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា (មិនសូវមានកំហុសទេ) គឺជាបន្ទាត់ខាងក្រោម "អាក្រក់" ។ នោះគឺប្រសិនបើយើងទទួលបានអ្វីមួយដូចជា (0 0 11 | 23) ខាងក្រោម ហើយយោងទៅតាម 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 បន្ទាប់មកជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងអាចនិយាយបានថា កំហុសមួយបានកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលបឋមសិក្សា។ ការផ្លាស់ប្តូរ។
យើងអនុវត្តចលនាបញ្ច្រាស នៅក្នុងការរចនានៃឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធខ្លួនឯងជារឿយៗមិនត្រូវបានសរសេរឡើងវិញទេ ហើយសមីការត្រូវបាន "យកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ" ។ ចលនាបញ្ច្រាស ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថា ដំណើរការ "ពីបាតឡើងលើ"។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អំណោយបានប្រែក្លាយ៖
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1 ដូច្នេះ x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
ចម្លើយ:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d ១.
ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង។ យើងទទួលបាន
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
ចែកសមីការទីពីរដោយ 5 និងទីបីដោយ 3 ។
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
គុណសមីការទីពីរ និងទីបីដោយ 4 យើងទទួលបាន៖
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
ដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ និងទីបី យើងមាន៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
ចែកសមីការទីបីដោយ 0.64៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
គុណសមីការទីបីដោយ 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
ដកសមីការទីពីរចេញពីសមីការទីបី យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបន្ថែម "ជំហាន"៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
ដូច្នេះ ចាប់តាំងពីមានកំហុសកើតឡើងក្នុងដំណើរការនៃការគណនា យើងទទួលបាន x 3 \u003d 0.96 ឬប្រហែល 1 ។
x 2 \u003d 3 និង x 1 \u003d -1 ។
ដោះស្រាយតាមវិធីនេះ អ្នកនឹងមិនដែលច្រឡំក្នុងការគណនាទេ ហើយទោះបីជាមានកំហុសក្នុងការគណនាក៏ដោយ អ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផល។
វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺអាចសរសេរកម្មវិធីបានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយមិនគិតពីលក្ខណៈជាក់លាក់នៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នោះទេ ព្រោះក្នុងការអនុវត្ត (ក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច និងបច្ចេកទេស) ត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយមេគុណដែលមិនមែនជាចំនួនគត់។
សូមជូនពរអ្នកសំណាង! ជួបគ្នាក្នុងថ្នាក់! គ្រូបង្រៀន។
blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ, ∆≠0។ (មួយ)វិធីសាស្រ្ត Gaussគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់។
ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីបំប្លែង (1) ទៅជាប្រព័ន្ធដែលមានម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ ដែលតម្លៃនៃមិនស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបានទទួលតាមលំដាប់លំដោយ (បញ្ច្រាស)។ ចូរយើងពិចារណាមួយនៃគ្រោងការណ៍គណនា។ សៀគ្វីនេះត្រូវបានគេហៅថាសៀគ្វីបែងចែកតែមួយ។ ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលដ្យាក្រាមនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យ 11 ≠0 (ធាតុនាំមុខ) បែងចែកដោយ 11 សមីការទីមួយ។ ទទួលបាន
(2)
ដោយប្រើសមីការ (2) វាងាយស្រួលក្នុងការដកចេញនូវមិនស្គាល់ x 1 ពីសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ (សម្រាប់នេះវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដកសមីការ (2) ពីសមីការនីមួយៗមុនគុណនឹងមេគុណដែលត្រូវគ្នានៅ x 1) ដែល គឺនៅជំហានដំបូងដែលយើងទទួលបាន
.
និយាយម្យ៉ាងទៀតនៅជំហានទី 1 ធាតុនីមួយៗនៃជួរដេកបន្តបន្ទាប់គ្នាដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងធាតុដើមនិងផលិតផលនៃ "ការព្យាករណ៍" របស់វានៅលើជួរទីមួយនិងជួរទីមួយ (ផ្លាស់ប្តូរ) ។
បន្ទាប់ពីនោះ ដោយទុកសមីការទីមួយតែម្នាក់ឯង លើសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធដែលទទួលបាននៅជំហានដំបូង យើងនឹងអនុវត្តការបំប្លែងស្រដៀងគ្នា៖ យើងជ្រើសរើសពីក្នុងចំណោមសមីការដែលមានធាតុនាំមុខ ហើយប្រើវាដើម្បីដក x 2 ពី សមីការដែលនៅសល់ (ជំហានទី 2) ។
បន្ទាប់ពីជំហាន n ជំនួសឱ្យ (1) យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូល 
(3)
ដូច្នេះនៅដំណាក់កាលទី 1 យើងនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធត្រីកោណ (3) ។ ជំហាននេះត្រូវបានគេហៅថាទៅមុខ។
នៅដំណាក់កាលទីពីរ (ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស) យើងរកឃើញជាបន្តបន្ទាប់ពី (3) តម្លៃ x n , x n -1 , …, x 1 ។
ចូរសម្គាល់ដំណោះស្រាយដែលទទួលបានជា x 0 ។ បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នា ε = b-A x 0 ត្រូវបានគេហៅថាសំណល់.
ប្រសិនបើ ε=0 នោះដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ x 0 គឺត្រឹមត្រូវ។
ការគណនាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានអនុវត្តជាពីរដំណាក់កាល៖
- ដំណាក់កាលទីមួយត្រូវបានគេហៅថា វគ្គផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ។ នៅដំណាក់កាលដំបូងប្រព័ន្ធដើមត្រូវបានបម្លែងទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។
- ដំណាក់កាលទីពីរត្រូវបានគេហៅថាបញ្ច្រាស។ នៅដំណាក់កាលទីពីរ ប្រព័ន្ធត្រីកោណស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើមត្រូវបានដោះស្រាយ។
នៅជំហាននីមួយៗវាត្រូវបានគេសន្មត់ថាធាតុនាំមុខគឺខុសគ្នាពីសូន្យ។ ប្រសិនបើនេះមិនមែនជាករណីទេនោះ ធាតុផ្សេងទៀតអាចប្រើជាអ្នកដឹកនាំ ដូចជាការរៀបចំសមីការនៃប្រព័ន្ធឡើងវិញ។
គោលបំណងនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss
វិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ សំដៅលើវិធីសាស្រ្តផ្ទាល់នៃដំណោះស្រាយ។ប្រភេទនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss
- វិធីសាស្រ្ត Gauss បុរាណ;
- ការកែប្រែវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ការកែប្រែមួយនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺជាសៀគ្វីដែលមានជម្រើសនៃធាតុសំខាន់។ លក្ខណៈពិសេសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ជាមួយនឹងជម្រើសនៃធាតុសំខាន់គឺដូចជាការផ្លាស់ប្តូរសមីការ ដូច្នេះនៅជំហាន k-th ធាតុនាំមុខគឺជាធាតុធំបំផុតនៅក្នុងជួរឈរ k-th ។
- វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss;
បង្ហាញពីភាពខុសគ្នា វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gaussពីវិធីសាស្ត្រ Gauss លើឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ Gauss
តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖ 
ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការគណនា យើងប្តូរបន្ទាត់៖ 
គុណជួរទី 2 ដោយ (2) ។ បន្ថែមជួរទី 3 ទៅទី 2 
គុណជួរទី 2 ដោយ (-1) ។ បន្ថែមជួរទី 2 ទៅជួរទី 1 
ពីជួរទី 1 យើងបង្ហាញ x 3:
ពីជួរទី 2 យើងបង្ហាញ x 2:
ពីជួរទី 3 យើងបង្ហាញ x 1: 
ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss
យើងនឹងដោះស្រាយ SLAE ដូចគ្នាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Jordano-Gauss ។ 
យើងនឹងជ្រើសរើសធាតុដោះស្រាយនៃ RE ជាបន្តបន្ទាប់ ដែលស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស។
ធាតុអនុញ្ញាតគឺស្មើនឹង (1) ។
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - ធាតុអនុញ្ញាត (1), A និង B - ធាតុម៉ាទ្រីសបង្កើតជាចតុកោណកែងជាមួយធាតុនៃ STE និង RE ។
ចូរបង្ហាញពីការគណនានៃធាតុនីមួយៗក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖
| x ១ | x2 | x ៣ | ខ |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
ធាតុអនុញ្ញាតគឺស្មើនឹង (3) ។
ជំនួសឱ្យធាតុដោះស្រាយយើងទទួលបាន 1 ហើយនៅក្នុងជួរឈរខ្លួនយើងសរសេរលេខសូន្យ។
ធាតុផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស រួមទាំងធាតុនៃជួរឈរ B ត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់ចតុកោណ។
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមជ្រើសរើសលេខចំនួនបួនដែលមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃចតុកោណកែង ហើយតែងតែរួមបញ្ចូលធាតុដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃ RE ។
| x ១ | x2 | x ៣ | ខ |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
ធាតុដែលអាចអនុញ្ញាតបានគឺ (-4) ។
ជំនួសឱ្យធាតុដោះស្រាយយើងទទួលបាន 1 ហើយនៅក្នុងជួរឈរខ្លួនយើងសរសេរលេខសូន្យ។
ធាតុផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស រួមទាំងធាតុនៃជួរឈរ B ត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់ចតុកោណ។
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមជ្រើសរើសលេខចំនួនបួនដែលមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃចតុកោណកែង ហើយតែងតែរួមបញ្ចូលធាតុដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃ RE ។
ចូរបង្ហាញពីការគណនានៃធាតុនីមួយៗក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖
| x ១ | x2 | x ៣ | ខ |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
ចម្លើយ: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
