យើង​បាន​រៀន​រួច​ហើយ​អំពី​របៀប​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពង្រីកវិធីសាស្រ្តដែលបានសិក្សាទៅសមីការសនិទាន។

តើអ្វីជាការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល? យើងបានជួបប្រទះគំនិតនេះរួចហើយ។ កន្សោមសមហេតុផលហៅថាកន្សោមដែលបង្កើតឡើងដោយលេខ អថេរ ដឺក្រេ និងសញ្ញានៃប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យា។

ដូច្នោះហើយសមីការសមហេតុផលគឺជាសមីការនៃទម្រង់៖ , កន្លែងណា - ការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។

ពីមុន យើងបានពិចារណាតែសមីការសនិទានទាំងនោះដែលកាត់បន្ថយទៅជាលីនេអ៊ែរ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាសមីការសមហេតុសមផលទាំងនោះ ដែលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាចតុកោណ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ៖ .

ការសម្រេចចិត្ត៖

ប្រភាគគឺ 0 ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាគបែងរបស់វាគឺ 0 ហើយភាគបែងរបស់វាមិនមែនជា 0 ។

យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ

សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការការ៉េ។ មុននឹងដោះស្រាយវា យើងបែងចែកមេគុណរបស់វាទាំងអស់ដោយ 3។ យើងទទួលបាន៖

យើងទទួលបានឫសពីរ៖ .

ដោយសារ 2 មិនស្មើនឹង 0 លក្ខខណ្ឌពីរត្រូវតែបំពេញ៖ . ដោយសារគ្មានឫសគល់នៃសមីការដែលទទួលបានខាងលើត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមិនត្រឹមត្រូវនៃអថេរដែលទទួលបាននៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពទីពីរ ពួកគេទាំងពីរគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

ចម្លើយ៖.

ដូច្នេះ ចូរយើងបង្កើត algorithm សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសនិទាន៖

1. ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ដូច្នេះ 0 ទទួលបាននៅផ្នែកខាងស្តាំ។

2. បំប្លែង និងសម្រួលផ្នែកខាងឆ្វេង នាំប្រភាគទាំងអស់ទៅជាភាគបែងរួម។

3. ស្មើប្រភាគលទ្ធផលទៅ 0 យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖ .

4. សរសេរឫសទាំងនោះដែលទទួលបានក្នុងសមីការទីមួយ ហើយបំពេញវិសមភាពទីពីរជាការឆ្លើយតប។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ៖ .

ការសម្រេចចិត្ត

នៅដើមដំបូង យើងផ្ទេរលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង ដូច្នេះ 0 នៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបាន៖

ឥឡូវនេះយើងនាំយកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាភាគបែងរួម៖

សមីការនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ៖

សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការការ៉េ។

មេគុណនៃសមីការនេះ៖ . យើងគណនាការរើសអើង៖

យើងទទួលបានឫសពីរ៖ .

ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាពទីពីរ៖ ផលិតផលនៃកត្តាមិនស្មើនឹង 0 ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែគ្មានកត្តាណាមួយស្មើនឹង 0 ។

លក្ខខណ្ឌពីរត្រូវតែបំពេញ៖ . យើងទទួលបានឫសពីរនៃសមីការទីមួយ មានតែមួយគត់គឺសមរម្យ - ៣.

ចម្លើយ៖.

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានចងចាំពីអ្វីដែលជាកន្សោមសនិទាន ហើយក៏បានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការសនិទាន ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការបួនជ្រុង។

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងពិចារណាសមីការសនិទានភាពជាគំរូនៃស្ថានភាពជាក់ស្តែង ហើយក៏ពិចារណាអំពីបញ្ហាចលនាផងដែរ។

គន្ថនិទ្ទេស

1. Bashmakov M.I. ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ២០០៤។
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.ពិជគណិត, 8. 5th ed. - M. : ការអប់រំ, ឆ្នាំ 2010 ។
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។ - M. : ការអប់រំ, 2006 ។

1. ពិធីបុណ្យនៃគំនិតគរុកោសល្យ "បើកមេរៀន" () ។
2. School.xvatit.com () ។
3. Rudocs.exdat.com () ។

កិច្ចការ​ផ្ទះ

"សមីការសនិទានភាពជាមួយពហុនាម" គឺជាប្រធានបទមួយដែលជួបប្រទះញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងការធ្វើតេស្ត USE ក្នុងគណិតវិទ្យា។ សម្រាប់ហេតុផលនេះពាក្យដដែលៗរបស់ពួកគេគួរតែត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស។ សិស្សជាច្រើនប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការស្វែងរកអ្នករើសអើង ផ្ទេរសូចនាករពីផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេង និងនាំយកសមីការទៅជាភាគបែងរួម ដែលធ្វើឱ្យវាពិបាកក្នុងការបំពេញកិច្ចការបែបនេះ។ ការដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងនៅលើគេហទំព័ររបស់យើងនឹងជួយអ្នកឱ្យដោះស្រាយបានយ៉ាងឆាប់រហ័សជាមួយនឹងភារកិច្ចនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយនិងឆ្លងកាត់ការប្រឡងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។

ជ្រើសរើសវិបផតថលអប់រំ "Shkolkovo" សម្រាប់ការរៀបចំជោគជ័យសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា!

ដើម្បីដឹងពីច្បាប់សម្រាប់ការគណនាមិនស្គាល់ និងងាយស្រួលទទួលបានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវ សូមប្រើប្រាស់សេវាកម្មអនឡាញរបស់យើង។ វិបផតថល Shkolkovo គឺជាវេទិកាមួយក្នុងចំណោមវេទិកាដែលសម្ភារៈចាំបាច់សម្រាប់ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងត្រូវបានប្រមូល។ គ្រូរបស់យើងបានរៀបចំជាប្រព័ន្ធ និងបង្ហាញជាទម្រង់ដែលអាចយល់បាននូវច្បាប់គណិតវិទ្យាទាំងអស់។ លើសពីនេះ យើងសូមអញ្ជើញសិស្សសាលាឱ្យសាកល្បងដៃរបស់ពួកគេក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទានភាពធម្មតា ដែលជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានធ្វើបច្ចុប្បន្នភាព និងបន្ថែមជាបន្តបន្ទាប់។

សម្រាប់ការរៀបចំកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកធ្វើតាមវិធីសាស្រ្តពិសេសរបស់យើង ហើយចាប់ផ្តើមដោយធ្វើឡើងវិញនូវច្បាប់ និងដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញៗ ដោយបន្តទៅវិធីស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ដូចនេះ និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សានឹងអាចរំលេចប្រធានបទពិបាកបំផុតសម្រាប់ខ្លួនគាត់ ហើយផ្តោតលើការសិក្សារបស់ពួកគេ។

ចាប់ផ្តើមរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្តចុងក្រោយជាមួយ Shkolkovo ថ្ងៃនេះហើយលទ្ធផលនឹងមិនធ្វើឱ្យអ្នករង់ចាំទេ! ជ្រើសរើសឧទាហរណ៍ដែលងាយស្រួលបំផុតពីអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើអ្នកស្ទាត់ជំនាញកន្សោមយ៉ាងឆាប់រហ័ស សូមបន្តទៅកិច្ចការដែលពិបាកជាងនេះ។ ដូច្នេះអ្នកអាចបង្កើនចំណេះដឹងរបស់អ្នករហូតដល់ការដោះស្រាយកិច្ចការ USE ក្នុងគណិតវិទ្យានៅកម្រិតទម្រង់។

ការអប់រំមានមិនត្រឹមតែសម្រាប់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាពីទីក្រុងមូស្គូប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសម្រាប់សិស្សសាលាមកពីទីក្រុងផ្សេងទៀតផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍ ចំណាយពេលពីរបីម៉ោងក្នុងមួយថ្ងៃដើម្បីសិក្សាលើវិបផតថលរបស់យើង ហើយឆាប់ៗនេះអ្នកនឹងអាចដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយបាន!

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានដោះស្រាយសមីការចំនួនគត់ទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់ ពោលគឺសមីការដែលភាគបែង (ប្រសិនបើមាន) មិនមានមិនស្គាល់។

ជារឿយៗអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការដែលមានភាពមិនស្គាល់នៅក្នុងភាគបែង៖ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រភាគ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ យើងគុណផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយនោះ គឺដោយពហុនាមដែលមានមិនស្គាល់។ តើសមីការថ្មីនឹងស្មើនឹងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះ។

គុណផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ យើងទទួលបាន៖

ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយនេះ យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះ សមីការ (២) មានឫសតែមួយ

ជំនួសវាទៅជាសមីការ (១) យើងទទួលបាន៖

ដូច្នេះហើយ ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការ (១)។

សមីការ (១) មិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញឧទាហរណ៍ពីការពិតដែលថានៅក្នុងសមីការ (1)

របៀបដែលផ្នែកដែលមិនស្គាល់ត្រូវតែស្មើនឹងភាគលាភ 1 ចែកដោយ quotient 2, i.e.

ដូច្នេះ សមីការ (1) និង (2) មានឫសតែមួយ ដូច្នេះហើយ ពួកវាគឺសមមូល។

2. ឥឡូវនេះ យើងដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖

ភាគបែងសាមញ្ញបំផុត៖ ; គុណពាក្យទាំងអស់នៃសមីការដោយវា៖

បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយយើងទទួលបាន៖

តោះពង្រីកតង្កៀប៖

ដោយនាំយកលក្ខខណ្ឌដូចជា យើងមាន៖

ការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញ៖

ជំនួសដោយសមីការ (១) យើងទទួលបាន៖

នៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងបានទទួលកន្សោមដែលមិនសមហេតុផល។

ដូច្នេះឫសនៃសមីការ (1) គឺមិនមែនទេ។ នេះបញ្ជាក់ថាសមីការ (១) និងមិនសមមូល។

ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​និយាយ​ថា សមីការ (1) បាន​ទទួល​ឫស​បន្ថែម។

ចូរយើងប្រៀបធៀបដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលយើងបានពិចារណាពីមុន (សូមមើល§ 51) ។ ក្នុងការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងត្រូវអនុវត្តប្រតិបត្តិការពីរដែលមិនធ្លាប់ឃើញពីមុនមក៖ ទីមួយ យើងបានគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកន្សោមដែលមិនស្គាល់ (ភាគបែងទូទៅ) ហើយទីពីរ យើងកាត់បន្ថយប្រភាគពិជគណិតដោយកត្តាដែលមាន មិនស្គាល់។

ការប្រៀបធៀបសមីការ (1) ជាមួយសមីការ (2) យើងឃើញថាមិនមែនតម្លៃ x ទាំងអស់ដែលត្រឹមត្រូវសម្រាប់សមីការ (2) មានសុពលភាពសម្រាប់សមីការ (1) នោះទេ។

វាគឺជាលេខ 1 និង 3 ដែលមិនមែនជាតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការមិនស្គាល់ (1) ហើយជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងពួកគេបានក្លាយជាតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់សមីការ (2) ។ លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះបានក្លាយទៅជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2) ប៉ុន្តែជាការពិតណាស់ វាមិនអាចជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (1) បានទេ។ សមីការ (១) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញថា នៅពេលគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកត្តាដែលមិនស្គាល់ ហើយនៅពេលកាត់បន្ថយប្រភាគពិជគណិត សមីការអាចទទួលបានដែលមិនស្មើនឹងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺ៖ ឫស extraneous អាចលេចឡើង។

ដូច្នេះ​យើង​ទាញ​ការ​សន្និដ្ឋាន​ដូច​ខាង​ក្រោម។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងភាគបែង ឫសលទ្ធផលត្រូវតែពិនិត្យដោយការជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម។ ឫសខាងក្រៅត្រូវតែបោះចោល។

សមីការជាមួយប្រភាគខ្លួនឯងមិនពិបាកនិងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់។ ពិចារណាអំពីប្រភេទនៃសមីការប្រភាគ និងវិធីដើម្បីដោះស្រាយវា។

របៀបដោះស្រាយសមីការជាមួយប្រភាគ - x ក្នុងភាគយក

ប្រសិនបើសមីការប្រភាគត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កន្លែងដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងភាគយកនោះ ដំណោះស្រាយមិនតម្រូវឱ្យមានលក្ខខណ្ឌបន្ថែមទេ ហើយត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនមានការរំខានដែលមិនចាំបាច់។ ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការនេះគឺ x/a + b = c ដែល x ជាលេខមិនស្គាល់ a, b និង c គឺជាលេខធម្មតា។

រក x: x/5 + 10 = 70 ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ អ្នកត្រូវកម្ចាត់ប្រភាគ។ គុណពាក្យនីមួយៗនៃសមីការដោយ 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5 ។ 5x និង 5 ត្រូវបានកាត់បន្ថយ 10 និង 70 ត្រូវបានគុណនឹង 5 ហើយយើងទទួលបាន: x + 50 = 350 => x = 350 − 50 = 300 ។

រក x: x/5 + x/10 = 90 ។

ឧទាហរណ៍នេះគឺជាកំណែដែលស្មុគស្មាញបន្តិចនៃកំណែទីមួយ។ មានដំណោះស្រាយពីរនៅទីនេះ។

• ជម្រើសទី 1៖ កម្ចាត់ប្រភាគដោយគុណគ្រប់លក្ខខណ្ឌនៃសមីការដោយភាគបែងធំ នោះគឺដោយ 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= ៣០០.
• ជម្រើសទី 2៖ បន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ x/5 + x/10 = 90. ភាគបែងទូទៅគឺ 10. ចែក 10 គុណនឹង 5 គុណនឹង x យើងទទួលបាន 2x ។ 10 ចែកនឹង 10 គុណនឹង x យើងទទួលបាន x: 2x + x/10 = 90 ។ហេតុនេះ 2x + x = 90 × 10 = 900 => 3x = 900 => x = 300 ។

ជាញឹកញាប់មានសមីការប្រភាគដែល x គឺនៅសងខាងនៃសញ្ញាស្មើគ្នា។ ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទេរប្រភាគទាំងអស់ជាមួយ x ក្នុងទិសដៅមួយ និងលេខក្នុងមួយទៀត។

• រក x : 3x/5 = 130 − 2x/5 ។
• ផ្លាស់ទី 2x/5 ទៅខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ៖ 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130 ។
• យើងកាត់បន្ថយ 5x/5 ហើយទទួលបាន: x = 130 ។

របៀបដោះស្រាយសមីការជាមួយប្រភាគ - x ក្នុងភាគបែង

ប្រភេទនៃសមីការប្រភាគនេះតម្រូវឱ្យមានការសរសេរលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ ការចង្អុលបង្ហាញអំពីលក្ខខណ្ឌទាំងនេះគឺជាផ្នែកចាំបាច់ និងសំខាន់នៃការសម្រេចចិត្តត្រឹមត្រូវ។ ដោយ​មិន​កំណត់​អត្តសញ្ញាណ​ពួកគេ នោះ​អ្នក​នឹង​ប្រឈម​នឹង​ហានិភ័យ ដោយសារ​តែ​ចម្លើយ (ទោះបីជា​វា​ត្រឹមត្រូវ​ក៏ដោយ) អាច​នឹង​មិន​ត្រូវ​បាន​រាប់​បញ្ចូល។

ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការប្រភាគ ដែល x ស្ថិតនៅក្នុងភាគបែងគឺ៖ a/x + b = c ដែល x ជាលេខមិនស្គាល់ a, b, c គឺជាលេខធម្មតា។ ចំណាំថា x ប្រហែលជាមិនមែនជាលេខណាមួយទេ។ ឧទាហរណ៍ x មិនអាចជាសូន្យបានទេ ព្រោះអ្នកមិនអាចចែកនឹង 0។ នេះពិតជាលក្ខខណ្ឌបន្ថែមដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់។ នេះត្រូវបានគេហៅថាជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន អក្សរកាត់ - ODZ ។

រក x: 15/x + 18 = 21 ។

យើងសរសេរ ODZ ភ្លាមៗសម្រាប់ x: x ≠ 0 ។ ឥឡូវនេះ ODZ ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ យើងដោះស្រាយសមីការតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារ ដោយកម្ចាត់ប្រភាគ។ យើងគុណពាក្យទាំងអស់នៃសមីការដោយ x ។ 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5 ។

ជារឿយៗមានសមីការដែលភាគបែងមានមិនត្រឹមតែ x ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានប្រតិបត្តិការមួយចំនួនផ្សេងទៀតជាមួយវាផងដែរ ដូចជាការបូក ឬដក។

រក x: 15/(x−3) + 18 = 21 ។

យើងដឹងរួចហើយថាភាគបែងមិនអាចស្មើនឹងសូន្យ ដែលមានន័យថា x-3 ≠ 0។ យើងផ្ទេរ -3 ទៅខាងស្តាំ ខណៈពេលដែលប្តូរសញ្ញា "-" ទៅ "+" ហើយយើងទទួលបាន x ≠ 3 ។ ODZ គឺ ចង្អុលបង្ហាញ។

ដោះស្រាយសមីការ គុណគ្រប់យ៉ាងដោយ x-3: 15 + 18x(x − 3) = 21x(x − 3) => 15 + 18x − 54 = 21x − 63 ។

ផ្លាស់ទី x ទៅខាងស្តាំ លេខទៅខាងឆ្វេង: 24 = 3x => x = 8 ។

ចូរយើងស្គាល់សមីការសមហេតុសមផល និងប្រភាគ ផ្តល់និយមន័យរបស់វា ផ្តល់ឧទាហរណ៍ និងវិភាគប្រភេទបញ្ហាទូទៅបំផុតផងដែរ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

សមីការសនិទានភាព៖ និយមន័យ និងឧទាហរណ៍

ការស្គាល់គ្នាជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិសមហេតុផលចាប់ផ្តើមនៅថ្នាក់ទី 8 នៃសាលា។ នៅពេលនេះ នៅក្នុងមេរៀនពិជគណិត សិស្សកំពុងចាប់ផ្តើមបំពេញភារកិច្ចជាមួយនឹងសមីការដែលមានកន្សោមសមហេតុផលនៅក្នុងកំណត់ចំណាំរបស់ពួកគេ។ ចូរធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់យើងឡើងវិញអំពីអ្វីដែលវាគឺជា។

និយមន័យ ១

សមីការសមហេតុផលគឺជាសមីការដែលភាគីទាំងពីរមានកន្សោមសមហេតុផល។

នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំផ្សេងៗ អ្នកអាចស្វែងរកពាក្យផ្សេងទៀត។

និយមន័យ ២

សមីការសមហេតុផល- នេះគឺជាសមីការកំណត់ត្រានៃផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានកន្សោមសមហេតុសមផលហើយខាងស្តាំមានសូន្យ។

និយមន័យដែលយើងបានផ្តល់សម្រាប់សមីការសនិទានភាពគឺសមមូល ព្រោះវាមានន័យដូចគ្នា។ ភាពត្រឹមត្រូវនៃពាក្យរបស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការពិតដែលថាសម្រាប់ការបញ្ចេញមតិសមហេតុផលណាមួយ។ ទំនិង សំណួរសមីការ P=Qនិង P − Q = 0នឹងជាកន្សោមប្រហាក់ប្រហែល។

ឥឡូវនេះសូមងាកទៅរកឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១

សមីការ​សនិទានភាព៖

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x − 1 = 2 + 2 7 x − a ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 − 12 x − 1 = 3 ។

សមីការសនិទានភាព ដូចជាសមីការនៃប្រភេទផ្សេងទៀត អាចមានចំនួនអថេរណាមួយពីលេខ 1 ដល់ច្រើន។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញ ដែលសមីការនឹងមានអថេរតែមួយ។ ហើយបន្ទាប់មកយើងចាប់ផ្តើមធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញបន្តិចម្តង ៗ ។

សមីការ​សនិទាន​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ពីរ​ក្រុម​ធំ​គឺ​ចំនួន​គត់​និង​ប្រភាគ។ តោះមើលសមីការមួយណានឹងអនុវត្តចំពោះក្រុមនីមួយៗ។

និយមន័យ ៣

សមីការសនិទានភាពនឹងជាចំនួនគត់ ប្រសិនបើកំណត់ត្រានៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាមានកន្សោមសនិទានទាំងមូល។

និយមន័យ ៤

សមីការសនិទានភាពនឹងជាប្រភាគ ប្រសិនបើផ្នែកមួយ ឬទាំងពីររបស់វាមានប្រភាគ។

សមីការប្រភាគប្រភាគ ចាំបាច់មានការបែងចែកដោយអថេរ ឬអថេរមានវត្តមាននៅក្នុងភាគបែង។ មិនមានការបែងចែកបែបនេះក្នុងការសរសេរសមីការចំនួនគត់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

3 x + 2 = 0និង (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5គឺជាសមីការសមហេតុផលទាំងមូល។ នៅទីនេះផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានតំណាងដោយកន្សោមចំនួនគត់។

1 x − 1 = x 3 និង x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5គឺជាសមីការប្រភាគប្រភាគ។

សមីការសនិទានភាពទាំងមូលរួមមានសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។

ការដោះស្រាយសមីការចំនួនគត់

ដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះជាធម្មតាកាត់បន្ថយការបំប្លែងរបស់ពួកគេទៅជាសមីការពិជគណិតសមមូល។ នេះអាចសម្រេចបានដោយអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលនៃសមីការដោយអនុលោមតាមក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖

• ដំបូងយើងទទួលបានសូន្យនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ សម្រាប់ការនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទេរកន្សោមដែលនៅខាងស្តាំនៃសមីការទៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា ហើយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។
• បន្ទាប់មកយើងបំប្លែងកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាពហុនាមទម្រង់ស្តង់ដារ។

យើងត្រូវតែទទួលបានសមីការពិជគណិត។ សមីការនេះនឹងស្មើនឹងសមីការដើម។ ករណីងាយស្រួលអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាដោយកាត់បន្ថយសមីការទាំងមូលទៅជាលីនេអ៊ែរឬចតុកោណ។ ក្នុងករណីទូទៅ យើងដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រ ន.

ឧទាហរណ៍ ៣

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូល 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងបំប្លែងកន្សោមដើម ដើម្បីទទួលបានសមីការពិជគណិតដែលស្មើនឹងវា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងផ្ទេរកន្សោមដែលមាននៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅខាងឆ្វេងហើយប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

ឥឡូវនេះយើងនឹងបំប្លែងកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ ហើយអនុវត្តសកម្មភាពចាំបាច់ជាមួយពហុនាមនេះ៖

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

យើងបានគ្រប់គ្រងដើម្បីកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុងនៃទម្រង់ x 2 − 5 x − 6 = 0. ការរើសអើងនៃសមីការនេះគឺវិជ្ជមាន៖ ឃ = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 ។នេះមានន័យថានឹងមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសនៃសមីការការ៉េ៖

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ឬ x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ឬ x 2 = − 1

ចូរយើងពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃឫសនៃសមីការដែលយើងបានរកឃើញនៅក្នុងដំណើរនៃដំណោះស្រាយ។ ចំពោះលេខនេះដែលយើងបានទទួល យើងជំនួសសមីការដើម៖ 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3និង 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. ក្នុងករណីដំបូង 63 = 63 , នៅក្នុងទីពីរ 0 = 0 . ឫស x=6និង x = − ១គឺពិតជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌឧទាហរណ៍។

ចម្លើយ៖ 6 , − 1 .

សូមក្រឡេកមើលថាតើ "អំណាចនៃសមីការទាំងមូល" មានន័យដូចម្តេច។ ជាញឹកញាប់យើងនឹងជួបប្រទះពាក្យនេះនៅក្នុងករណីទាំងនោះ នៅពេលដែលយើងត្រូវការតំណាងឱ្យសមីការទាំងមូលក្នុងទម្រង់ជាពិជគណិតមួយ។ ចូរយើងកំណត់គំនិត។

និយមន័យ ៥

កម្រិតនៃសមីការចំនួនគត់គឺជាកម្រិតនៃសមីការពិជគណិតដែលស្មើនឹងសមីការទាំងមូលដើម។

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលសមីការពីឧទាហរណ៍ខាងលើ អ្នកអាចបង្កើតបាន៖ កម្រិតនៃសមីការទាំងមូលនេះគឺជាទីពីរ។

ប្រសិនបើវគ្គសិក្សារបស់យើងត្រូវបានកំណត់ចំពោះការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរនោះ ការពិចារណាលើប្រធានបទអាចត្រូវបានបញ្ចប់នៅទីនេះ។ ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញទេ។ ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3 គឺពោរពេញដោយការលំបាក។ ហើយ​សម្រាប់​សមីការ​ខាងលើ​ដឺក្រេ​ទី​បួន​គឺ​មិនមាន​រូបមន្ត​ទូទៅ​សម្រាប់​ឫស​ទាល់តែសោះ​។ ក្នុងន័យនេះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងមូលនៃដឺក្រេទី 3 ទី 4 និងដឺក្រេផ្សេងទៀតតម្រូវឱ្យយើងប្រើបច្ចេកទេសនិងវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនទៀត។

វិធីសាស្រ្តដែលប្រើជាទូទៅបំផុតក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទានកម្មទាំងមូលគឺផ្អែកលើវិធីសាស្ត្រកត្តាកត្តា។ ក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពក្នុងករណីនេះមានដូចខាងក្រោម:

• យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងដូច្នេះសូន្យនៅតែនៅខាងស្តាំនៃកំណត់ត្រា។
• យើងតំណាងឱ្យកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងជាផលិតផលនៃកត្តា ហើយបន្ទាប់មកយើងបន្តទៅសំណុំនៃសមីការសាមញ្ញមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ 4

រកដំណោះស្រាយនៃសមីការ (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃកំណត់ត្រាទៅខាងឆ្វេងដោយមានសញ្ញាផ្ទុយ៖ (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. ការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារគឺមិនអាចអនុវត្តបានទេ ដោយសារតែវានឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីបួន៖ x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. ភាពងាយស្រួលនៃការផ្លាស់ប្តូរមិនបង្ហាញពីភាពលំបាកទាំងអស់ជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការបែបនេះទេ។

វាកាន់តែងាយស្រួលទៅទៀត៖ យើងដកកត្តារួមចេញ x 2 − 10 x + 13 ។ដូច្នេះយើងមកដល់សមីការនៃទម្រង់ (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. ឥឡូវនេះយើងជំនួសសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងសំណុំនៃសមីការការ៉េពីរ x 2 − 10 x + 13 = 0និង x 2 − 2 x − 1 = 0ហើយស្វែងរកឫសគល់របស់ពួកគេតាមរយៈអ្នករើសអើង៖ 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ។

ចម្លើយ៖ 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លងទៅសមីការសមមូលដែលមានអំណាចទាបជាងសមីការទាំងមូលដើម។

ឧទាហរណ៍ ៥

តើសមីការមានឫសគល់ទេ? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x − 4)?

ការសម្រេចចិត្ត

ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងព្យាយាមកាត់បន្ថយសមីការសនិទានទាំងមូលទៅជាពិជគណិតមួយ យើងនឹងទទួលបានសមីការដឺក្រេ 4 ដែលមិនមានឫសសនិទាន។ ដូច្នេះ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់យើងក្នុងការទៅវិធីផ្សេងទៀត៖ ណែនាំអថេរ y ថ្មីដែលនឹងជំនួសកន្សោមនៅក្នុងសមីការ។ x 2 + 3 x.

ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើការជាមួយសមីការទាំងមូល (y + 1) 2 + 10 = −2 (y − 4). យើងផ្ទេរផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយអនុវត្តការបំប្លែងចាំបាច់។ យើង​ទទួល​បាន: y 2 + 4 y + 3 = 0. ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖ y = − ១និង y = − ៣.

ឥឡូវនេះសូមធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។ យើងទទួលបានសមីការពីរ x 2 + 3 x = −1និង x 2 + 3 x = − 3 ។ចូរយើងសរសេរឡើងវិញជា x 2 + 3 x + 1 = 0 និង x 2 + 3 x + 3 = 0. យើងប្រើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការទីមួយដែលទទួលបាន៖ - 3 ± 5 2 ។ ការរើសអើងនៃសមីការទីពីរគឺអវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាសមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ចម្លើយ៖- ៣ ± ៥ ២

សមីការចំនួនគត់នៃដឺក្រេខ្ពស់កើតមានក្នុងបញ្ហាជាញឹកញាប់។ មិនចាំបាច់ខ្លាចពួកគេទេ។ អ្នកត្រូវត្រៀមខ្លួនដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តមិនស្តង់ដារក្នុងការដោះស្រាយពួកវា រួមទាំងការបំប្លែងសិប្បនិម្មិតមួយចំនួនផងដែរ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគ

យើងចាប់ផ្តើមការពិចារណារបស់យើងអំពីប្រធានបទរងនេះជាមួយនឹងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ដែលជាកន្លែងដែល p(x)និង q(x)គឺ​ជា​កន្សោម​សនិទានភាព​ចំនួន​គត់។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគប្រភាគផ្សេងទៀតតែងតែអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃទម្រង់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

វិធីសាស្រ្តដែលប្រើជាទូទៅបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ p (x) q (x) = 0 គឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម៖ ប្រភាគលេខ អ្នក vកន្លែងណា vគឺ​ជា​លេខ​ដែល​ខុស​ពី​សូន្យ ស្មើ​សូន្យ​តែ​ក្នុង​ករណី​ដែល​ភាគ​នៃ​ប្រភាគ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។ តាមតក្កវិជ្ជានៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ យើងអាចអះអាងបានថា ដំណោះស្រាយនៃសមីការ p(x) q(x)=0 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរ៖ p(x)=0និង q(x) ≠ 0. នៅលើនេះ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ត្រូវបានបង្កើតឡើង៖

• យើងរកឃើញដំណោះស្រាយនៃសមីការសមហេតុផលទាំងមូល p(x)=0;
• យើងពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្តចំពោះឫសដែលបានរកឃើញក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយ q(x) ≠ 0.

ប្រសិន​បើ​លក្ខខណ្ឌ​នេះ​ត្រូវ​បាន​ជួប នោះ​ឫស​ដែល​បាន​រក​ឃើញ។ បើ​មិន​ដូច្នោះ​ទេ នោះ​ឫស​មិន​មែន​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​នោះ​ទេ។

ឧទាហរណ៍ ៦

រកឫសនៃសមីការ 3 · x − 2 5 · x 2 − 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងកំពុងដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ដែលក្នុងនោះ p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 ។ ចូរចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ 3 x − 2 = 0. ឫសគល់នៃសមីការនេះនឹងជា x = 2 ៣.

សូមពិនិត្យមើលឫសគល់ដែលបានរកឃើញថាតើវាបំពេញលក្ខខណ្ឌដែរឬទេ 5 x 2 − 2 ≠ 0. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសតម្លៃលេខទៅក្នុងកន្សោម។ យើងទទួលបាន៖ 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0 ។

លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។ វាមានន័យថា x = 2 ៣គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖ 2 3 .

មានជម្រើសមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ p (x) q (x) = 0 ។ សូមចាំថាសមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការទាំងមូល p(x)=0នៅលើជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x នៃសមីការដើម។ វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមក្នុងការដោះស្រាយសមីការ p(x) q(x) = 0:

• ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0;
• ស្វែងរកជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់អថេរ x ;
• យើងយកឫសដែលស្ថិតនៅក្នុងតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x ជាឫសដែលចង់បាននៃសមីការប្រភាគប្រភាគដើម។

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយសមីការ x 2 − 2 x − 11 x 2 + 3 x = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ជាដំបូង ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 − 2 x − 11 = 0. ដើម្បីគណនាឫសរបស់វា យើងប្រើរូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ។ យើង​ទទួល​បាន ឃ 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, និង x = 1 ± 2 3 ។

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញ ODV នៃ x សម្រាប់សមីការដើម។ ទាំងនេះគឺជាលេខទាំងអស់សម្រាប់ x 2 + 3 x ≠ 0. វាដូចគ្នានឹង x (x + 3) ≠ 0, ពេលណា x ≠ 0 , x ≠ − 3 ។

ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលថាតើឫស x = 1 ± 2 3 ដែលទទួលបាននៅដំណាក់កាលដំបូងនៃដំណោះស្រាយគឺស្ថិតនៅក្នុងជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x ។ យើងឃើញអ្វីដែលចូលមក។ នេះមានន័យថាសមីការប្រភាគប្រភាគដើមមានឫសពីរ x = 1 ± 2 3 ។

ចម្លើយ៖ x = 1 ± 2 ៣

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយទីពីរដែលបានពិពណ៌នាគឺសាមញ្ញជាងវិធីទីមួយក្នុងករណីដែលតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x ត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល ហើយឫសនៃសមីការ។ p(x)=0មិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ ៧ ± ៤ ២៦ ៩។ ឫសអាចមានលក្ខណៈសមហេតុផល ប៉ុន្តែមានភាគភាគធំ ឬភាគបែង។ ឧទាហរណ៍, 127 1101 និង − 31 59 . នេះជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាសម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យស្ថានភាព។ q(x) ≠ 0៖ វាងាយស្រួលជាងក្នុងការដកឫសដែលមិនសមស្រប យោងទៅតាម ODZ ។

នៅពេលដែលឫសនៃសមីការ p(x)=0ជាចំនួនគត់ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិពណ៌នាសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ។ ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការទាំងមូលកាន់តែលឿន p(x)=0ហើយបន្ទាប់មកពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញសម្រាប់ពួកគេ។ q(x) ≠ 0និងមិនស្វែងរក ODZ ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការ p(x)=0នៅលើ ODZ នេះ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅក្នុងករណីបែបនេះជាធម្មតាវាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការត្រួតពិនិត្យជាងការស្វែងរក ODZ ។

ឧទាហរណ៍ ៨

រកឫសសមីការ (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងចាប់ផ្តើមដោយពិចារណាសមីការទាំងមូល (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0និងការស្វែងរកឫសរបស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការតាមរយៈការធ្វើកត្តា។ វាប្រែថាសមីការដើមគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការចំនួនបួន 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 ដែលបីជាលីនេអ៊ែរ និង មួយគឺការ៉េ។ យើងរកឃើញឫស៖ ពីសមីការទីមួយ x = 1 ២ពីទីពីរ x=6ពីទីបី - x \u003d 7, x \u003d - 2, ពីទីបួន - x = − ១.

ចូរយើងពិនិត្យមើលឫសដែលទទួលបាន។ វាពិបាកសម្រាប់យើងក្នុងការកំណត់ ODZ ក្នុងករណីនេះ ព្រោះសម្រាប់បញ្ហានេះ យើងនឹងត្រូវដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីប្រាំ។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យលក្ខខណ្ឌយោងទៅតាមភាគបែងនៃប្រភាគ ដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ មិនគួរបាត់ឡើយ។

នៅក្នុងវេន ជំនួសឫសជំនួសអថេរ x ក្នុងកន្សោម x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112ហើយគណនាតម្លៃរបស់វា៖

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 ។

ការ​ផ្ទៀងផ្ទាត់​ដែល​បាន​អនុវត្ត​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​យើង​បង្កើត​ថា​ឫស​នៃ​សមីការ​ប្រភាគ​ដើម​គឺ 1 2 , 6 និង − 2 .

ចម្លើយ៖ 1 2 , 6 , - 2

ឧទាហរណ៍ ៩

រកឫសនៃសមីការប្រភាគ 5 x 2 − 7 x − 1 x − 2 x 2 + 5 x − 14 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសមីការ (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. ចូរយើងស្វែងរកឫសរបស់វា។ វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់យើងក្នុងការតំណាងឱ្យសមីការនេះជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការការ៉េ និងលីនេអ៊ែរ 5 x 2 − 7 x − 1 = 0និង x − 2 = 0.

យើងប្រើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដើម្បីស្វែងរកឫស។ យើងទទួលបានឫសពីរ x = 7 ± 69 10 ពីសមីការទីមួយ និងពីសមីការទីពីរ x=2.

ការជំនួសតម្លៃនៃឫសចូលទៅក្នុងសមីការដើមដើម្បីពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌនឹងពិបាកណាស់សម្រាប់យើង។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ LPV នៃអថេរ x ។ ក្នុងករណីនេះ DPV នៃអថេរ x គឺជាលេខទាំងអស់ លើកលែងតែលក្ខខណ្ឌដែលពេញចិត្ត x 2 + 5 x − 14 = 0. យើងទទួលបាន៖ x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ ។

ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលថាតើឫសដែលយើងបានរកឃើញជារបស់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់អថេរ x ។

ឫស x = 7 ± 69 10 - ជាកម្មសិទ្ធិ ដូច្នេះពួកវាជាឫសគល់នៃសមីការដើម និង x=2- មិន​មែន​ជា​របស់​ទេ ដូច្នេះ​វា​គឺ​ជា​ឫស​ក្រៅ​។

ចម្លើយ៖ x = 7 ± 69 10 .

ចូរយើងពិនិត្យមើលករណីដោយឡែកពីគ្នា នៅពេលដែលភាគយកនៃសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 មានលេខ។ ក្នុងករណីបែបនេះ ប្រសិនបើភាគយកមានលេខក្រៅពីសូន្យ នោះសមីការនឹងមិនមានឫសទេ។ ប្រសិនបើលេខនេះស្មើនឹងសូន្យ នោះឫសនៃសមីការនឹងជាលេខណាមួយពី ODZ ។

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគ - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

សមីការ​នេះ​នឹង​មិន​មាន​ឫស​ទេ ព្រោះ​លេខ​ភាគ​នៃ​ប្រភាគ​ពី​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​នៃ​សមីការ​មាន​លេខ​មិន​សូន្យ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x តម្លៃនៃប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានឹងមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។

ចម្លើយ៖គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍ 11

ដោះស្រាយសមីការ 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ដោយសារភាគយកនៃប្រភាគគឺសូន្យ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនឹងជាតម្លៃណាមួយនៃ x ពីអថេរ ODZ x ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ ODZ ។ វានឹងរួមបញ្ចូលតម្លៃ x ទាំងអស់សម្រាប់ការដែល x 4 + 5 x 3 ≠ 0. ដំណោះស្រាយសមីការ x 4 + 5 x 3 = 0គឺ 0 និង − 5 ដោយហេតុថាសមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x 3 (x + 5) = 0ហើយវាស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ x 3 = 0 និង x + 5 = 0កន្លែងដែលឫសទាំងនេះអាចមើលឃើញ។ យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាជួរដែលចង់បាននៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានគឺ x ណាមួយ លើកលែងតែ x=0និង x = −5.

វាប្រែថាសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ 0 x 4 + 5 x 3 = 0 មានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ដែលជាលេខណាមួយ លើកលែងតែលេខសូន្យ និង - 5 ។

ចម្លើយ៖ - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពីសមីការប្រភាគប្រភាគនៃទម្រង់បំពាន និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា។ ពួកគេអាចត្រូវបានសរសេរជា r(x) = s(x)កន្លែងណា r(x)និង s(x)គឺជាកន្សោមសមហេតុផល ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺប្រភាគ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ។

យើងដឹងរួចហើយថាយើងអាចទទួលបានសមីការសមមូលដោយផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅផ្នែកខាងឆ្វេងដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។ នេះមានន័យថាសមីការ r(x) = s(x)គឺស្មើនឹងសមីការ r (x) − s (x) = 0. យើងក៏បានពិភាក្សារួចហើយអំពីរបៀបបំប្លែងកន្សោមសនិទានទៅជាប្រភាគសនិទាន។ អរគុណចំពោះបញ្ហានេះ យើងអាចបំប្លែងសមីការបានយ៉ាងងាយស្រួល r (x) − s (x) = 0ចូលទៅក្នុងប្រភាគសមហេតុផលដូចគ្នាបេះបិទនៃទម្រង់ p (x) q (x) ។

ដូច្នេះ យើងផ្លាស់ទីពីសមីការប្រភាគប្រភាគដើម r(x) = s(x)ទៅសមីការនៃទម្រង់ p (x) q (x) = 0 ដែលយើងបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយរួចហើយ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរពី r (x) − s (x) = 0ទៅ p (x) q (x) = 0 ហើយបន្ទាប់មកទៅ p(x)=0យើងប្រហែលជាមិនគិតពីការពង្រីកជួរនៃតម្លៃត្រឹមត្រូវនៃអថេរ x ទេ។

វា​ពិត​ជា​ប្រាកដ​ណាស់​ដែល​សមីការ​ដើម r(x) = s(x)និងសមីការ p(x)=0ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ ពួកគេនឹងឈប់ស្មើ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយនៃសមីការ p(x)=0អាចផ្តល់ឱ្យយើងនូវឫសគល់ដែលនឹងក្លាយជាបរទេស r(x) = s(x). ក្នុងន័យនេះ ក្នុងករណីនីមួយៗវាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។

ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការសិក្សាប្រធានបទ យើងបានបង្រួបបង្រួមព័ត៌មានទាំងអស់ទៅជាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលប្រភាគនៃទម្រង់ r(x) = s(x):

• យើងផ្ទេរកន្សោមពីផ្នែកខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយហើយទទួលបានសូន្យនៅខាងស្តាំ។
• យើងបំប្លែងកន្សោមដើមទៅជាប្រភាគសនិទាន p (x) q (x) ដោយអនុវត្តសកម្មភាពជាបន្តបន្ទាប់ជាមួយប្រភាគ និងពហុនាម។
• ដោះស្រាយសមីការ p(x)=0;
• យើងបង្ហាញឫសខាងក្រៅដោយពិនិត្យមើលកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេទៅនឹង ODZ ឬដោយការជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម។

តាមទស្សនៈ ខ្សែសង្វាក់នៃសកម្មភាពនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → បោះបង់ចោល r o n d e r o o n s

ឧទាហរណ៍ 12

ដោះស្រាយសមីការសមីការប្រភាគ x x + 1 = 1 x + 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរបន្តទៅសមីការ x x + 1 − 1 x + 1 = 0 ។ ចូរ​បំប្លែង​កន្សោម​ប្រភាគ​នៅ​ផ្នែក​ខាងឆ្វេង​នៃ​សមីការ​ទៅជា​ទម្រង់ p (x) q (x) ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងរួម ហើយសម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

x x + 1 − 1 x − 1 = x x − 1 (x + 1) − 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 − x − 1 − x 2 − x x (x + 1) = - 2 x − 1 x (x + 1)

ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការ - 2 x − 1 x (x + 1) = 0 យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការ − 2 x − 1 = 0. យើងទទួលបានឫសមួយ។ x = − 1 ២.

វានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពួកគេទាំងពីរ។

ជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការដើម។ យើងទទួលបាន - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 ។ យើងបានមកដល់សមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ − 1 = − 1 . វាមានន័យថា x = −1 ២គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលតាមរយៈ ODZ ។ ចូរកំណត់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់អថេរ x ។ នេះនឹងជាសំណុំនៃលេខទាំងមូល លើកលែងតែ − 1 និង 0 (នៅពេល x = − 1 និង x = 0 ភាគបែងនៃប្រភាគបាត់) ។ ឫសដែលយើងទទួលបាន x = −1 ២ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ ។ នេះមានន័យថាវាគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖ − 1 2 .

ឧទាហរណ៍ 13

រកឫសនៃសមីការ x 1 x + 3 − 1 x = − 2 3 x ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការសមហេតុផលប្រភាគ។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​នឹង​ធ្វើ​តាម​ក្បួន​ដោះស្រាយ។

ចូរផ្លាស់ទីកន្សោមពីជ្រុងខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងដោយសញ្ញាផ្ទុយ៖ x 1 x + 3 − 1 x + 2 3 x = 0

ចូរអនុវត្តការបំប្លែងចាំបាច់៖ x 1 x + 3 − 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x ។

យើងមកសមីការ x=0. ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺសូន្យ។

សូមពិនិត្យមើលថាតើ root នេះគឺបរទេសសម្រាប់សមីការដើម។ ជំនួសតម្លៃក្នុងសមីការដើម៖ 0 1 0 + 3 − 1 0 = − 2 3 0 ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសមីការលទ្ធផលមិនសមហេតុផលទេ។ នេះមានន័យថា 0 គឺជាឫសខាងក្រៅ ហើយសមីការប្រភាគប្រភាគដើមមិនមានឫសគល់ទេ។

ចម្លើយ៖គ្មានឫស។

ប្រសិនបើយើងមិនបានរួមបញ្ចូលការបំប្លែងសមមូលផ្សេងទៀតនៅក្នុង algorithm នេះមិនមានន័យថាពួកវាមិនអាចប្រើប្រាស់បានទាល់តែសោះ។ ក្បួនដោះស្រាយមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែវាត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីជួយ មិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 14

ដោះស្រាយសមីការ 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 − x 2 = 7 7 24

ការសម្រេចចិត្ត

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវដោះស្រាយសមីការប្រភាគប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ។ ប៉ុន្តែមានវិធីមួយផ្សេងទៀត។ ចូរយើងពិចារណា។

ដកផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង ៧ យើងទទួលបាន៖ ១ ៣ + ១ ២ + ១ ៥ - x ២ \u003d ៧ ២៤.

ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាកន្សោមនៅក្នុងភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងគួរតែស្មើនឹងចំនួនច្រាសនៃចំនួនពីផ្នែកខាងស្តាំពោលគឺ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 ។

ដកពីផ្នែកទាំងពីរ 3:1 2 + 1 5 − x 2 = 3 7 ។ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3 ពីកន្លែងណា 1 5 - x 2 \u003d 1 3 និងបន្ថែម 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

សូមពិនិត្យមើលដើម្បីកំណត់ថាតើឫសដែលបានរកឃើញគឺជាឫសនៃសមីការដើម។

ចម្លើយ៖ x = ± 2

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter