ប្រភាគត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែងគឺតិចជាងអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែង។ អាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសមហេតុផលមានទម្រង់៖

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសនិទានអាស្រ័យទៅលើឫសនៃពហុនាមនៅក្នុងភាគបែង។ ប្រសិនបើពហុនាម $ax^2+bx+c$ មាន៖

1. មានតែឫសស្មុគ្រស្មាញប៉ុណ្ណោះ បន្ទាប់មកចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសការ៉េពេញពីវា៖ $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. ឫសពិតផ្សេងគ្នា $x_1$ និង $x_2$ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវពង្រីកអាំងតេក្រាល ហើយស្វែងរកមេគុណមិនកំណត់ $A$ និង $B$: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. ឫសច្រើន $x_1$ បន្ទាប់មកយើងពង្រីកអាំងតេក្រាល ហើយស្វែងរកមេគុណមិនកំណត់ $A$ និង $B$ សម្រាប់រូបមន្តនេះ៖ $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx= \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

ប្រសិនបើប្រភាគ ខុសនោះគឺ ដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាគបែងគឺធំជាង ឬស្មើនឹងដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែង បន្ទាប់មកដំបូងវាត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជា ត្រឹមត្រូវ។ចិត្តដោយបែងចែកពហុនាមពីភាគយកដោយពហុនាមពីភាគបែង។ ក្នុងករណីនេះ រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសនិទានគឺ៖

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx=\int Q(x)dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសនិទាន៖ $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

ការសម្រេចចិត្ត

ប្រភាគគឺទៀងទាត់ ហើយពហុនាមមានឫសស្មុគស្មាញប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញ៖ $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ យើងបង្រួមការេពេញ និងផលបូកនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល $x-5$៖ $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ ដោយប្រើតារាងអាំងតេក្រាល យើងទទួលបាន៖ $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នកបានទេ សូមផ្ញើវាមកពួកយើង។ យើងនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិត។ អ្នកនឹងអាចស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពនៃការគណនា និងប្រមូលព័ត៌មាន។ នេះនឹងជួយឱ្យអ្នកទទួលបានក្រេឌីតពីគ្រូក្នុងលក្ខណៈទាន់ពេលវេលា!

ចម្លើយ

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

ឧទាហរណ៍ ២

រួមបញ្ចូលប្រភាគសមហេតុផល៖ $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

ការសម្រេចចិត្ត

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖ $$ x^2+5x-6 = 0$$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1\cdot (-6))))(2) = \frac(-5\pm 7)(2)$$ ចូរយើងសរសេរឫស៖ $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1$$ ដោយគិតពីឫសដែលទទួលបាន យើងបំលែងអាំងតេក្រាល៖ $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx=\int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx=$$ យើងអនុវត្តការពង្រីកប្រភាគសមហេតុផល៖ $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ ធ្វើ​ឱ្យ​ស្មើ​នឹង​ភាគ​យក​ហើយ​រក​មេគុណ $A$ និង $B$ ៖ $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2$$ $$ Ax + 6A + Bx − B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \ end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ យើងជំនួសមេគុណដែលរកឃើញទៅក្នុងអាំងតេក្រាល ហើយដោះស្រាយវា៖ $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx+\int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

ចម្លើយ

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx=\frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

ដូចដែលខ្ញុំបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលមិនមានរូបមន្តងាយស្រួលសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគទេ។ ដូច្នេះហើយ មាននិន្នាការដ៏ក្រៀមក្រំមួយ៖ ប្រភាគ "ប្រភាគ" កាន់តែច្រើន វាកាន់តែពិបាកស្វែងរកអាំងតេក្រាលពីវា។ ក្នុងន័យនេះ មនុស្សម្នាក់ត្រូវងាកទៅរកល្បិចផ្សេងៗ ដែលខ្ញុំនឹងពិភាក្សាឥឡូវនេះ។ អ្នកអានដែលបានរៀបចំអាចប្រើភ្លាមៗ តារាង​មាតិកា:

• វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ប្រភាគសាមញ្ញ

វិធីសាស្ត្របំប្លែងសិប្បនិមិត្ត លេខរៀង

ឧទាហរណ៍ ១

ដោយវិធីនេះ អាំងតេក្រាលដែលត្រូវបានពិចារណាក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរអថេរ ដោយបញ្ជាក់ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនឹងមានរយៈពេលយូរជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ ដំណើរការការត្រួតពិនិត្យ។

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅទីនេះវិធីសាស្ត្រជំនួសអថេរនឹងមិនដំណើរការទៀតទេ។

ការយកចិត្តទុកដាក់សំខាន់! ឧទាហរណ៍លេខ 1, 2 គឺធម្មតា និងជារឿងធម្មតា. ជាពិសេស អាំងតេក្រាលបែបនេះច្រើនតែកើតឡើងនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលផ្សេងទៀត ជាពិសេសនៅពេលរួមបញ្ចូលមុខងារមិនសមហេតុផល (ឫស)។

វិធីសាស្រ្តខាងលើក៏ដំណើរការនៅក្នុងករណីផងដែរ។ ប្រសិនបើអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែងគឺធំជាងអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែង.

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ ដំណើរការការត្រួតពិនិត្យ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយលេខភាគ។

ក្បួនដោះស្រាយការជ្រើសរើសលេខភាគមានអ្វីមួយដូចនេះ៖

1) នៅក្នុងភាគយក ខ្ញុំត្រូវរៀបចំ ប៉ុន្តែនៅទីនោះ។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? ខ្ញុំដាក់តង្កៀប ហើយគុណនឹង៖ .

2) ឥឡូវនេះខ្ញុំព្យាយាមបើកតង្កៀបទាំងនេះតើមានអ្វីកើតឡើង? . ហឹម ... ​​ប្រសើរជាងមុន ប៉ុន្តែមិនមាន deuce ជាមួយដំបូងនៅក្នុងភាគយកទេ។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? អ្នកត្រូវគុណនឹង៖

៣) បើកតង្កៀបម្តងទៀត៖ . ហើយនេះគឺជាជោគជ័យដំបូង! ត្រូវការបានប្រែក្លាយ! ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាពាក្យបន្ថែមមួយបានលេចឡើង។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? ដើម្បីឱ្យកន្សោមមិនផ្លាស់ប្តូរ ខ្ញុំត្រូវតែបន្ថែមដូចគ្នាទៅនឹងសំណង់របស់ខ្ញុំ៖
. ជីវិតបានកាន់តែងាយស្រួល។ តើ​វា​អាច​រៀបចំ​ម្តងទៀត​ក្នុង​លេខ​ភាគ​បានទេ?

4) អ្នកអាចធ្វើបាន។ យើង​ព្យាយាម: . ពង្រីកតង្កៀបនៃពាក្យទីពីរ៖
. សូមអភ័យទោស ប៉ុន្តែខ្ញុំពិតជាមាននៅក្នុងជំហានមុន ហើយមិនមែនទេ។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? យើងត្រូវគុណពាក្យទីពីរដោយ៖

5) ជាថ្មីម្តងទៀត សម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់ ខ្ញុំបើកតង្កៀបនៅពាក្យទីពីរ៖
. ឥឡូវនេះវាជារឿងធម្មតា៖ ទទួលបានពីការស្ថាបនាចុងក្រោយនៃកថាខណ្ឌទី 3! ប៉ុន្តែជាថ្មីម្តងទៀតមានពាក្យតូចមួយ "ប៉ុន្តែ" ពាក្យបន្ថែមមួយបានលេចឡើងដែលមានន័យថាខ្ញុំត្រូវតែបន្ថែមទៅការបញ្ចេញមតិរបស់ខ្ញុំ:

ប្រសិនបើអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានធ្វើបានត្រឹមត្រូវ នោះនៅពេលបើកតង្កៀបទាំងអស់ យើងគួរតែទទួលបានភាគយកដើមនៃអាំងតេក្រាល។ យើងពិនិត្យ៖
ល្អ

ដូចនេះ៖

រួចរាល់។ នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ចុង​ក្រោយ​នេះ​ខ្ញុំ​បាន​អនុវត្ត​វិធី​សា​ស្រ្ត​នៃ​ការ​នាំ​យក​អនុគមន៍​ក្រោម​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​។

ប្រសិនបើយើងរកឃើញដេរីវេនៃចម្លើយ ហើយនាំយកកន្សោមទៅជាភាគបែងរួម នោះយើងទទួលបានអាំងតេក្រាលដើមពិតប្រាកដ។ វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណានៃការពង្រីកទៅជាផលបូកគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីសកម្មភាពបញ្ច្រាសដើម្បីនាំយកកន្សោមទៅជាភាគបែងរួមនោះទេ។

ក្បួនដោះស្រាយការជ្រើសរើសលេខភាគក្នុងឧទាហរណ៍បែបនេះត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងល្អបំផុតលើសេចក្តីព្រាង។ ជាមួយនឹងជំនាញមួយចំនួន វាក៏នឹងដំណើរការផ្លូវចិត្តផងដែរ។ ខ្ញុំចាំបាននូវពេលវេលាកំណត់ត្រាមួយ នៅពេលដែលខ្ញុំបានធ្វើការជ្រើសរើសសម្រាប់អំណាចទី 11 ហើយការពង្រីកនៃលេខភាគយកស្ទើរតែពីរបន្ទាត់នៃ Werd ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ ដំណើរការការត្រួតពិនិត្យ។

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ប្រភាគសាមញ្ញ

ចូរបន្តទៅប្រភេទនៃប្រភាគបន្ទាប់។
, , , (មេគុណនិងមិនស្មើនឹងសូន្យ)។

តាមពិតករណីមួយចំនួនដែលមាន arcsine និង arctangent បានរអិលរួចហើយនៅក្នុងមេរៀន វិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរអថេរក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់. ឧទាហរណ៍បែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយនាំយកមុខងារនៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលហើយបន្ទាប់មកបញ្ចូលដោយប្រើតារាង។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយចំនួនទៀតដែលមានលោការីតវែង និងខ្ពស់៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ឧទាហរណ៍ ៦

នៅទីនេះ វាគឺជាទីប្រឹក្សាដើម្បីយកតារាងនៃអាំងតេក្រាលមួយ ហើយធ្វើតាមរូបមន្តអ្វី និង ជាការផ្លាស់ប្តូរកើតឡើង។ ចំណាំ របៀប និងមូលហេតុការ៉េត្រូវបានបន្លិចនៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងនេះ។ ជាពិសេសនៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 6 ដំបូងយើងត្រូវតំណាងឱ្យភាគបែង បន្ទាប់មកនាំយកមកក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ហើយអ្នកត្រូវធ្វើអ្វីៗទាំងអស់នេះ ដើម្បីប្រើរូបមន្តតារាងស្តង់ដារ .

ប៉ុន្តែអ្វីដែលត្រូវមើលសូមព្យាយាមដោះស្រាយឧទាហរណ៍លេខ 7,8 ដោយខ្លួនឯងជាពិសេសចាប់តាំងពីពួកគេខ្លីណាស់:

ឧទាហរណ៍ ៧

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

ប្រសិនបើអ្នកក៏អាចពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍ទាំងនេះបាន នោះការគោរពដ៏អស្ចារ្យគឺជាជំនាញនៃភាពខុសគ្នារបស់អ្នកយ៉ាងល្អបំផុត។

វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ

អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់, (មេគុណនិងមិនស្មើនឹងសូន្យ) ត្រូវបានដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញដែលបានបង្ហាញខ្លួនរួចហើយនៅក្នុងមេរៀន ការផ្លាស់ប្តូរប្លង់ធរណីមាត្រ.

តាមពិត អាំងតេក្រាលបែបនេះកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលតារាងមួយក្នុងចំណោមអាំងតេក្រាលទាំងបួនដែលយើងទើបតែបានពិចារណា។ ហើយនេះត្រូវបានសម្រេចដោយប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់ដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

រូបមន្ត​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ក្នុង​ទិសដៅ​នេះ ពោល​គឺ​គំនិត​នៃ​វិធីសាស្ត្រ​គឺ​ដើម្បី​រៀបចំ​កន្សោម​ដោយ​សិប្បនិមិត្ត​ក្នុង​ភាគបែង ឬ​ហើយ​បន្ទាប់​មក​បំប្លែង​ពួកវា​រៀង​ៗ​ខ្លួន​ទៅ ឬ .

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

នេះគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុតដែលជាកន្លែងដែល ជាមួយនឹងពាក្យ - មេគុណឯកតា(មិនមែនលេខ ឬដក)។

យើងក្រឡេកមើលភាគបែង នៅទីនេះរឿងទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងច្បាស់ទៅករណី។ តោះចាប់ផ្តើមបំប្លែងភាគបែង៖

ជាក់ស្តែងអ្នកត្រូវបន្ថែម 4. ហើយដូច្នេះថាកន្សោមមិនផ្លាស់ប្តូរ - បួនដូចគ្នានិងដក:

ឥឡូវអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្ត៖

បន្ទាប់​ពី​ការ​បម្លែង​ត្រូវ​បាន​បញ្ចប់​ ជានិច្ចវាជាការចង់ធ្វើចលនាបញ្ច្រាស៖ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ មិនមានកំហុសទេ។

ការរចនាស្អាតនៃឧទាហរណ៍នៅក្នុងសំណួរគួរតែមើលទៅដូចនេះ:

រួចរាល់។ ការនាំយកមុខងារស្មុគ្រស្មាញ "ឥតគិតថ្លៃ" នៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល: ជាគោលការណ៍អាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង ចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ឧទាហរណ៍ 11

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

អ្វីដែលត្រូវធ្វើនៅពេលមានដកនៅខាងមុខ? ក្នុងករណីនេះ អ្នកត្រូវដកដកចេញពីតង្កៀប ហើយរៀបចំលក្ខខណ្ឌតាមលំដាប់ដែលយើងត្រូវការ៖. ថេរ("ទ្វេដង" ក្នុងករណីនេះ) កុំ​ប៉ះ!

ឥឡូវនេះយើងបន្ថែមមួយនៅក្នុងវង់ក្រចក។ ការវិភាគការបញ្ចេញមតិយើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាយើងត្រូវការមួយនៅពីក្រោយតង្កៀប - បន្ថែម:

នេះជារូបមន្តអនុវត្ត៖

ជានិច្ចយើងធ្វើការត្រួតពិនិត្យលើសេចក្តីព្រាង៖
ដែលត្រូវផ្ទៀងផ្ទាត់។

ការរចនាស្អាតនៃឧទាហរណ៍មើលទៅដូចនេះ៖

យើងធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់កិច្ចការ

ឧទាហរណ៍ 12

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

នៅទីនេះជាមួយនឹងពាក្យ វាមិនមែនជាមេគុណតែមួយទៀតទេ ប៉ុន្តែជា "ប្រាំ" ។

(1) ប្រសិន​បើ​រក​ឃើញ​ថេរ​វេលា​នោះ យើង​យក​វា​ចេញ​ពី​តង្កៀប​ភ្លាម។

(2) ជាទូទៅ វាតែងតែប្រសើរជាងក្នុងការដកថេរនេះចេញពីអាំងតេក្រាល ដើម្បីកុំឱ្យវាចូលទៅក្នុងផ្លូវ។

(3) វាច្បាស់ណាស់ថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជារូបមន្ត។ ចាំបាច់ត្រូវយល់ពីពាក្យថា ដើម្បីទទួលបាន "ពីរ"

(៤) បាទ។ ដូច្នេះ យើងបន្ថែមទៅកន្សោម ហើយដកប្រភាគដូចគ្នា។

(5) ឥឡូវជ្រើសរើសការ៉េពេញ។ ក្នុងករណីទូទៅ វាក៏ចាំបាច់ក្នុងការគណនាផងដែរ ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងមានរូបមន្តលោការីតវែង ហើយសកម្មភាពមិនសមហេតុផលក្នុងការសម្តែង ហេតុអ្វី - វានឹងកាន់តែច្បាស់ទាបជាងបន្តិច។

(6) តាមពិតយើងអាចអនុវត្តរូបមន្តបាន។ ជំនួសឱ្យ "x" ដែលយើងមាន ដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃអាំងតេក្រាលតារាង។ និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ជំហានមួយត្រូវបានបាត់ - មុនពេលរួមបញ្ចូល មុខងារគួរតែត្រូវបាននាំយកមកក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ ប៉ុន្តែ ដូចដែលខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ម្តងហើយម្តងទៀត នេះត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។

(7) នៅក្នុងចំលើយនៅក្រោមឫស វាជាការចង់បើកតង្កៀបទាំងអស់ត្រឡប់មកវិញ៖

ភាព​ស្មុគស្មាញ? នេះមិនមែនជាការពិបាកបំផុតក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលនោះទេ។ ទោះបីជា, ឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណាមិនមានភាពស្មុគស្មាញច្រើនទេព្រោះវាត្រូវការបច្ចេកទេសគណនាល្អ។

ឧទាហរណ៍ 13

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ឆ្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

មានអាំងតេក្រាលដែលមានឫសនៅក្នុងភាគបែងដែលដោយមានជំនួយពីការជំនួសត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទដែលបានពិចារណា អ្នកអាចអានអំពីពួកវានៅក្នុងអត្ថបទ អាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញប៉ុន្តែវាត្រូវបានរចនាឡើងសម្រាប់សិស្សដែលមានការត្រៀមខ្លួនខ្ពស់។

នាំលេខយកមកក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល

នេះគឺជាផ្នែកចុងក្រោយនៃមេរៀន ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អាំងតេក្រាលនៃប្រភេទនេះគឺជារឿងធម្មតាណាស់! បើ​ហត់​នឿយ​បាន​បង្គរ ប្រហែល​ជា​អាន​ថ្ងៃ​ស្អែក​ល្អ​ជាង? ;)

អាំងតេក្រាលដែលយើងនឹងពិចារណាគឺស្រដៀងនឹងអាំងតេក្រាលនៃកថាខណ្ឌមុន ពួកគេមានទម្រង់៖ ឬ (មេគុណ និងមិនស្មើនឹងសូន្យ)។

នោះគឺយើងមានអនុគមន៍លីនេអ៊ែរនៅក្នុងភាគយក។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាលបែបនេះ?

បញ្ហានៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញ។ ដូច្នេះ យើង​សូម​ណែនាំ​ឱ្យ​អ្នក​ស្គាល់​ខ្លួន​អ្នក​ជា​មុន​សិន​អំពី​ផ្នែក​នៃ​ទ្រឹស្ដី​នៃ​ការ​បំបែក​ប្រភាគ​ទៅ​ជា​ភាគ​សាមញ្ញ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដោយសារកម្រិតនៃភាគយកនៃអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងដឺក្រេនៃភាគបែង ជាដំបូងយើងជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់ដោយបែងចែកពហុនាមដោយពហុធាដោយជួរឈរ៖

ដូច្នេះ .

ការរលាយនៃប្រភាគសមហេតុសមផលដែលទទួលបានទៅជាប្រភាគសាមញ្ញមានទម្រង់ . អាស្រ័យហេតុនេះ

អាំងតេក្រាលលទ្ធផលគឺជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីបី។ ក្រឡេកមើលទៅមុខបន្តិច យើងកត់សំគាល់ថាវាអាចត្រូវបានយកដោយនាំយកវាមកនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ជា បន្ទាប់មក . ដូច្នេះ

អាស្រ័យហេតុនេះ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទនីមួយៗនៃ 4 ប្រភេទ។

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីមួយ

វិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់គឺល្អសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានេះ៖

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដោយប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃ antiderivative តារាងនៃ antiderivatives និងច្បាប់រួមបញ្ចូលគ្នា។

កំពូលនៃទំព័រ

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីពីរ

វិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ក៏សមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានេះ៖

ឧទាហរណ៍។

ការសម្រេចចិត្ត។

កំពូលនៃទំព័រ

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីបី

ទីមួយ យើងបង្ហាញពីអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ជាផលបូក៖

យើងយកអាំងតេក្រាលទីមួយដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

ដូច្នេះ

យើងបំប្លែងភាគបែងនៃអាំងតេក្រាលលទ្ធផល៖

អាស្រ័យហេតុនេះ

រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីបីមានទម្រង់៖

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ .

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងប្រើរូបមន្តលទ្ធផល៖

ប្រសិនបើយើងមិនមានរូបមន្តនេះទេ តើយើងនឹងធ្វើអ្វី៖

កំពូលនៃទំព័រ

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីបួន

ជំហានដំបូងគឺត្រូវបូកសរុបវានៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

ជំហានទីពីរគឺត្រូវស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ . អាំងតេក្រាលនៃប្រភេទនេះត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តដដែលៗ។ (សូម​មើល​ផ្នែក​បញ្ចូល​គ្នា​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ដដែលៗ)។ សម្រាប់ករណីរបស់យើង រូបមន្តដដែលៗខាងក្រោមគឺសមរម្យ៖

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការសម្រេចចិត្ត។

សម្រាប់ប្រភេទនៃអាំងតេក្រាលនេះ យើងប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួស។ សូមណែនាំអថេរថ្មីមួយ (សូមមើលផ្នែកស្តីពីការរួមបញ្ចូលមុខងារមិនសមហេតុផល)៖

បន្ទាប់ពីការជំនួសយើងមាន:

យើងមករកអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគនៃប្រភេទទីបួន។ ក្នុងករណីរបស់យើង យើងមានមេគុណ M=0, p=0, q=1, N=1និង n=3. យើងអនុវត្តរូបមន្តដដែលៗ៖

បន្ទាប់ពីការជំនួសបញ្ច្រាស យើងទទួលបានលទ្ធផល៖

ការរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

1. អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ត្រូវបានគណនាដោយការបំប្លែងផលគុណនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទៅជាផលបូកតាមរូបមន្ត៖ ឧទាហរណ៍ 2. អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ កន្លែងណា មឬ ន- លេខវិជ្ជមានសេស ត្រូវបានគណនាដោយការបញ្ចូលក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍, 3. អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ កន្លែងណា មនិង ន- សូម្បីតែលេខវិជ្ជមានត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយ៖ ឧទាហរណ៍ 4. អាំងតេក្រាល។ កន្លែងដែលត្រូវគណនាដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ឬឧទាហរណ៍ 5. អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសនិទាន ដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រសកលបន្ទាប់មក (ព្រោះ =[បន្ទាប់ពីចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ]= ; ឧទាហរណ៍, វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការប្រើការជំនួសជាសកលជាញឹកញាប់នាំឱ្យមានការគណនាស្មុគស្មាញ។

§ ៥. ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃភាពមិនសមហេតុផលដ៏សាមញ្ញបំផុត។

ពិចារណាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភេទសាមញ្ញបំផុតនៃភាពមិនសមហេតុផល។ មួយ។ អនុគមន៍នៃប្រភេទនេះត្រូវបានរួមបញ្ចូលតាមរបៀបដូចគ្នានឹងប្រភាគសនិទានដ៏សាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទី 3៖ នៅក្នុងភាគបែង ការេពេញលេញមួយត្រូវបានស្រង់ចេញពីត្រីកោណការ៉េ ហើយអថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ។ ឧទាហរណ៍។ 2. (នៅក្រោមសញ្ញានៃអាំងតេក្រាល - មុខងារសមហេតុផលនៃអាគុយម៉ង់) ។ អាំងតេក្រាលនៃប្រភេទនេះត្រូវបានគណនាដោយប្រើការជំនួស។ ជាពិសេស នៅក្នុងអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ដែលយើងសម្គាល់។ ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមានឫសនៃដឺក្រេខុសៗគ្នា៖ បន្ទាប់មកសម្គាល់ កន្លែងណា នគឺជាផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ m,k. ឧទាហរណ៍ ១ ឧទាហរណ៍ ២ គឺ​ជា​ប្រភាគ​សនិទានភាព​មិន​ត្រឹមត្រូវ សូម​ជ្រើសរើស​ផ្នែក​ចំនួនគត់៖ – – – 3. អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ត្រូវបានគណនាដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រ៖

44

45 អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាមុខងារបន្ថែម monotone ធម្មតាដែលកំណត់លើសំណុំនៃគូ ដែលធាតុផ្សំទីមួយគឺជាមុខងារដែលអាចបញ្ចូលបាន ឬមុខងារ ហើយទីពីរគឺជាផ្ទៃនៅក្នុងសំណុំនៃមុខងារនេះ (មុខងារ)។

និយមន័យ

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានកំណត់នៅលើ។ ចូរបំបែកវាទៅជាផ្នែកដែលមានចំណុចបំពានជាច្រើន។ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាផ្នែកត្រូវបានបែងចែក បន្ទាប់យើងជ្រើសរើសចំណុចបំពាន , ,

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកគឺជាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល ដោយសារចំណាត់ថ្នាក់ភាគថាសមានទំនោរទៅសូន្យ ប្រសិនបើវាមានដោយមិនគិតពីភាគថាស និងជម្រើសនៃពិន្ទុ នោះគឺជា

ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន នោះមុខងារត្រូវបាននិយាយថាជា Riemann រួមបញ្ចូលនៅលើ។

កំណត់ចំណាំ

· - ដែនកំណត់ទាប។

· - ដែនកំណត់ខាងលើ។

· - មុខងាររួមបញ្ចូលគ្នា។

· - ប្រវែងនៃផ្នែកមួយផ្នែក។

· គឺជាផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍នៅលើភាគថាសដែលត្រូវគ្នា។

· - ប្រវែងអតិបរមានៃផ្នែកមួយផ្នែក។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ប្រសិនបើមុខងារមួយគឺ Riemann-Integraable នៅលើ នោះវាត្រូវបានចងនៅលើវា។

អារម្មណ៍ធរណីមាត្រ

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាផ្ទៃនៃតួរលេខ

អាំងតេក្រាល។

ទ្រឹស្តីបទ Newton-Leibniz

[កែប្រែ]

(បាន​បញ្ជូន​បន្ត​ពី "រូបមន្ត Newton-Leibniz")

ញូតុន - រូបមន្ត Leibnizឬ ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងប្រតិបត្តិការពីរ៖ យកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងការគណនាអង់ទីឌីរីវេ។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នាមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែក។ ចូរចាប់ផ្តើមដោយកត់សម្គាល់វា។

នោះ​គឺ​វា​មិន​មាន​បញ្ហា​ថា​អក្សរ​មួយ​ណា (ឬ ) ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​សញ្ញា​ក្នុង​អាំងតេក្រាល​ច្បាស់លាស់​លើ​ចន្លោះ​ពេល​នោះ​ទេ។

កំណត់តម្លៃបំពាន និងកំណត់មុខងារថ្មី។ . វាត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ ពីព្រោះយើងដឹងថាប្រសិនបើមានអាំងតេក្រាលនៃនៅលើ នោះក៏មានអាំងតេក្រាលនៃនៅលើ ដែលជាកន្លែងដែល . សូមចាំថាយើងពិចារណាតាមនិយមន័យ

(1)

សម្គាល់​ឃើញ​ថា

ចូរយើងបង្ហាញថាវាបន្តនៅលើផ្នែក។ ជាការពិតណាស់អនុញ្ញាតឱ្យ; បន្ទាប់មក

ហើយប្រសិនបើ

ដូច្នេះ បន្ត​ដោយ​មិន​គិត​ថា​តើ​វា​មាន​ការ​ឈប់​ដំណើរការ​ឬ​អត់។ វាសំខាន់ណាស់ដែលវារួមបញ្ចូលនៅលើ .

តួលេខបង្ហាញពីក្រាហ្វ។ ផ្ទៃនៃតួលេខអថេរគឺ . ការកើនឡើងរបស់វាគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃតួលេខ ដែលដោយសារតែព្រំដែននៃ ជាក់ស្តែងមានទំនោរទៅសូន្យដោយមិនគិតពីថាតើវាជាចំណុចនៃការបន្ត ឬមិនបន្ត ឧទាហរណ៍ ចំណុច .

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនត្រឹមតែអាចបញ្ចូលបាននៅលើប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវបន្តនៅចំណុច។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកមានដេរីវេនៅចំណុចនេះស្មើនឹង

(2)

ជាការពិតសម្រាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ

(1) , (3)

យើងដាក់ ហើយចាប់តាំងពីថេរគឺទាក់ទងទៅនឹង TO . លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត ដោយសារ​ការ​បន្ត​នៅ​ចំណុច​នេះ សម្រាប់​អ្នក​ណា​ម្នាក់​អាច​បញ្ជាក់​បែប​នោះ​សម្រាប់ .

ដែលបង្ហាញថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពនេះគឺ o(1) សម្រាប់ .

ការឆ្លងទៅដែនកំណត់ក្នុង (3) នៅបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃចំណុច និងសុពលភាពនៃសមភាព (2) ។ នៅទីនេះយើងកំពុងនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរៀងៗខ្លួន។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយកំពុងបន្ត នោះផ្អែកលើអ្វីដែលបានបង្ហាញខាងលើ អនុគមន៍ដែលត្រូវគ្នា។

(4)

មានដេរីវេស្មើនឹង។ ដូច្នេះមុខងារគឺប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់នៅលើ .

ការសន្និដ្ឋាននេះជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា ទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលដែនកំណត់អថេរខាងលើ ឬទ្រឹស្តីបទរបស់បារ៉ូ។

យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​អនុគមន៍​បន្ត​តាម​អំពើ​ចិត្ត​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​មួយ​មាន antiderivative នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​នេះ ដែល​កំណត់​ដោយ​សមភាព (4)។ នេះបង្ហាញឱ្យឃើញពីអត្ថិភាពនៃអង្គបដិប្រាណសម្រាប់មុខងារណាមួយដែលបន្តនៅចន្លោះពេលមួយ។

ឥឡូវ​នេះ​ជា​ការ​ប្រឆាំង​ដោយ​បំពាន​នៃ​អនុគមន៍​នៅ​លើ . យើង​ដឹង​ថា​តើ​នៅ​កន្លែង​ណា​ខ្លះ​ដែល​ថេរ។ ដោយសន្មតថានៅក្នុងសមភាពនេះនិងយកទៅក្នុងគណនីនោះយើងទទួលបាន .

ដូច្នេះ, ។ ប៉ុន្តែ

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ

[កែប្រែ]

មក​ពី​វិ​គី​ភី​ឌា​ជា​សព្វវចនាធិប្បាយ​ដោយ​ឥត​គិត​ថ្លៃ

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់បានហៅ មិនត្រឹមត្រូវប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមគឺពិត៖

· ដែនកំណត់ a ឬ b (ឬដែនកំណត់ទាំងពីរ) គឺគ្មានកំណត់។

· អនុគមន៍ f(x) មានចំណុចបំបែកមួយ ឬច្រើននៅខាងក្នុងផ្នែក។

[កែប្រែ] អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ

. បន្ទាប់មក៖

1. ប្រសិនបើ ហើយអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថា . ក្នុងករណី​នេះ ត្រូវបានគេហៅថា convergent ។

ឬគ្រាន់តែខុសគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យត្រូវបានកំណត់និងបន្តនៅលើសំណុំពីនិង . បន្ទាប់មក៖

1. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកកំណត់ចំណាំ ហើយអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាល Riemann មិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ. ក្នុងករណី​នេះ ត្រូវបានគេហៅថា convergent ។

2. ប្រសិនបើមិនមានវគ្គផ្តាច់ព្រ័ត្រ (ឬ ) បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេនិយាយថាខុសគ្នា ឬគ្រាន់តែខុសគ្នា។

ប្រសិនបើមុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើបន្ទាត់ពិតទាំងមូល នោះប្រហែលជាមានអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃអនុគមន៍នេះជាមួយនឹងដែនកំណត់គ្មានកំណត់ពីរនៃការរួមបញ្ចូល ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ដែល c ជាលេខបំពាន។

[កែប្រែ] អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ

អាំងតេក្រាល។

[កែប្រែ] ឧទាហរណ៍

[កែប្រែ] អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរ

អនុញ្ញាតឱ្យ​វា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លើ ទទួលរង​ការ​មិន​បន្ត​និរន្តរភាព​នៅ​ចំណុច x=a និង . បន្ទាប់មក៖

1. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកកំណត់ចំណាំ ហើយអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថា

ត្រូវបានគេហៅថា divergent ទៅ ឬគ្រាន់តែខុសគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានកំណត់នៅលើ ទទួលរងការឈប់ដំណើរការគ្មានកំណត់នៅ x=b និង . បន្ទាប់មក៖

1. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកកំណត់ចំណាំ ហើយអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាល Riemann មិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរ. ក្នុងករណីនេះអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថា convergent ។

2. ប្រសិនបើ ឬ នោះការចាត់តាំងត្រូវបានរក្សាទុក និង ត្រូវបានគេហៅថា divergent ទៅ ឬគ្រាន់តែខុសគ្នា។

ប្រសិនបើមុខងារទទួលរងភាពមិនដំណើរការនៅចំណុចខាងក្នុងនៃផ្នែក នោះអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

[កែប្រែ] អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរ

អាំងតេក្រាល។

[កែប្រែ] ឧទាហរណ៍

[កែប្រែ] ករណីពិសេស

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល ហើយមានការឈប់ដំណើរការនៅចំណុច។

បន្ទាប់មកយើងអាចរកឃើញអាំងតេក្រាលមិនសមរម្យ

[កែប្រែ] លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ

1. ចូរកំណត់លើសំណុំពី និង .

បន្ទាប់មក បញ្ចូលគ្នា

2. អនុញ្ញាតឱ្យត្រូវបានកំណត់នៅលើនិង .

បន្ទាប់មក បញ្ចូលគ្នា

[កែប្រែ] ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត

អាំងតេក្រាល។ បានហៅ រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ, ប្រសិនបើ បញ្ចូលគ្នា។
ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមួយបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ នោះវាក៏បញ្ចូលគ្នា។

[កែប្រែ] ការរួបរួមតាមលក្ខខណ្ឌ

អាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើបង្រួបបង្រួមនិងខុសគ្នា។

48 12. អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ។

នៅពេលពិចារណាលើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ យើងបានសន្មត់ថាតំបន់នៃការធ្វើសមាហរណកម្មមានព្រំដែន (ជាពិសេសជាងនេះទៅទៀត វាគឺជាផ្នែក [ ក ,ខ ]); សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ព្រំដែននៃអាំងតេក្រាលនៅលើ [ ក ,ខ ] យើងនឹងហៅអាំងតេក្រាលជាក់លាក់ដែលលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះពេញចិត្ត (ព្រំដែននៃដែនរួមបញ្ចូលគ្នា និងអាំងតេក្រាល) ផ្ទាល់ខ្លួន; អាំងតេក្រាលដែលតម្រូវការទាំងនេះត្រូវបានរំលោភបំពាន (ឧ. ទាំងអាំងតេក្រាល ឬដែននៃការរួមបញ្ចូល ឬទាំងពីរគឺគ្មានដែនកំណត់) មិនមែនផ្ទាល់ខ្លួន. នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងសិក្សាអំពីអាំងតេក្រាលដែលមិនត្រឹមត្រូវ។

• ១២.១. អាំងតេក្រាល។
• ១២.១.១. និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវលើចន្លោះពេលគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍។
• ១២.១.២. រូបមន្ត Newton-Leibniz សម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ។
• ១២.១.៣. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបសម្រាប់មុខងារមិនអវិជ្ជមាន។
• ១២.១.៣.១. សញ្ញានៃការប្រៀបធៀប។
• ១២.១.៣.២. សញ្ញានៃការប្រៀបធៀបក្នុងទម្រង់កំណត់។
• ១២.១.៤. ការរួបរួមដាច់ខាតនៃអាំងតេក្រាលដែលមិនត្រឹមត្រូវលើចន្លោះពេលគ្មានកំណត់។
• ១២.១.៥. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ Abel និង Dirichlet ។
• ១២.២. អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃអនុគមន៍គ្មានដែនកំណត់ (អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរ) ។
• ១២.២.១. និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃអនុគមន៍គ្មានដែនកំណត់។
• ១២.២.១.១. ឯកវចនៈនៅចុងខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល។
• ១២.២.១.២. ការអនុវត្តរូបមន្ត Newton-Leibniz ។
• ១២.២.១.៣. ឯកវចនៈនៅចុងខាងស្តាំនៃចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល។
• ១២.២.១.៤. ឯកវចនៈនៅចំណុចខាងក្នុងនៃចន្លោះពេលសមាហរណកម្ម។
• ១២.២.១.៥. ឯកវចនៈជាច្រើននៅលើចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល។
• ១២.២.២. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបសម្រាប់មុខងារមិនអវិជ្ជមាន។
• ១២.២.២.១. សញ្ញានៃការប្រៀបធៀប។
• ១២.២.២.២. សញ្ញានៃការប្រៀបធៀបក្នុងទម្រង់កំណត់។
• ១២.២.៣. ការបង្រួបបង្រួមដាច់ខាត និងតាមលក្ខខណ្ឌនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃមុខងារមិនបន្ត។
• ១២.២.៤. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ Abel និង Dirichlet ។

១២.១. អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវលើចន្លោះពេលគ្មានដែនកំណត់

(អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ) ។

១២.១.១. និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវលើចន្លោះពេលគ្មានកំណត់. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x ) ត្រូវ​បាន​កំណត់​នៅ​លើ​បន្ទាត់​ពាក់​ក​ណ្តា​ល​និង​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​ណា​មួយ [ ពី ដោយបង្កប់ន័យនៅក្នុងករណីនីមួយៗនៃអត្ថិភាព និងភាពកំណត់នៃដែនកំណត់ដែលត្រូវគ្នា។ ឥឡូវនេះដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍មើលទៅសាមញ្ញជាងនេះ: .

១២.១.៣. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបសម្រាប់មុខងារមិនអវិជ្ជមាន. នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងសន្មត់ថា អាំងតេក្រាលទាំងអស់គឺមិនអវិជ្ជមានលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ។ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានកំណត់ការបង្រួបបង្រួមនៃអាំងតេក្រាលដោយការគណនាវា៖ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់នៃអង្គបដិប្រាណជាមួយនឹងសេចក្តីប្រាថ្នាដែលត្រូវគ្នា (ឬ ) នោះអាំងតេក្រាលនឹងបញ្ចូលគ្នា បើមិនដូច្នេះទេវាខុសគ្នា។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង វាជារឿងសំខាន់ជាដំបូងក្នុងការបង្កើតការពិតនៃការបង្រួបបង្រួម ហើយមានតែបន្ទាប់មកគណនាអាំងតេក្រាល (ក្រៅពីនេះ អង្គបដិប្រាណជារឿយៗមិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃមុខងារបឋម)។ យើងបង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតការបញ្ចូលគ្នា និងភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃអនុគមន៍ដែលមិនអវិជ្ជមានដោយមិនចាំបាច់គណនាពួកគេ។
១២.១.៣.១. សញ្ញាប្រៀបធៀប. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x ) និង g (x ) អាំងតេក្រាល។

សម្ភារៈដែលបង្ហាញក្នុងប្រធានបទនេះគឺផ្អែកលើព័ត៌មានដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងប្រធានបទ "ប្រភាគសនិទាន។ ការបំបែកប្រភាគសនិទានទៅជាប្រភាគបឋម (សាមញ្ញ)" ។ ខ្ញុំសូមណែនាំយ៉ាងមុតមាំឱ្យអ្នកយ៉ាងហោចណាស់ស្វែងយល់អំពីប្រធានបទនេះ មុនពេលបន្តអានសម្ភារៈនេះ។ លើសពីនេះទៀតយើងនឹងត្រូវការតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីពាក្យពីរបី។ ពួកគេត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងប្រធានបទដែលពាក់ព័ន្ធ ដូច្នេះនៅទីនេះ ខ្ញុំនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនខ្ញុំចំពោះទម្រង់សង្ខេប។

សមាមាត្រនៃពហុនាមពីរ $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍សមហេតុផល ឬប្រភាគសនិទាន។ ប្រភាគសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើ $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется ខុស.

ប្រភាគសមហេតុសមផលបឋម (សាមញ្ញបំផុត) គឺជាប្រភាគសនិទាននៃបួនប្រភេទ៖

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ចំណាំ (ចង់បានសម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែប្រសើរឡើងនៃអត្ថបទ): បង្ហាញ\លាក់

ហេតុអ្វីបានជាលក្ខខណ្ឌ $p^2-4q ចាំបាច់?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់កន្សោម $x^2+5x+10$ យើងទទួលបាន៖ $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$។ ចាប់តាំងពី $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

ដោយវិធីនេះ សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យនេះ វាមិនចាំបាច់ទេ ដែលមេគុណនៅពីមុខ $x^2$ ស្មើនឹង 1។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ $5x^2+7x-3=0$ យើងទទួលបាន៖ $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$ ។ ចាប់តាំងពី $D > 0$ កន្សោម $5x^2+7x-3$ គឺអាចបំបែកបាន។

ឧទាហរណ៍នៃប្រភាគសមហេតុផល (ទៀងទាត់ និងមិនត្រឹមត្រូវ) ក៏ដូចជាឧទាហរណ៍នៃការពង្រីកប្រភាគសនិទានទៅជាបឋមអាចត្រូវបានរកឃើញ។ នៅទីនេះយើងចាប់អារម្មណ៍តែសំណួរនៃការរួមបញ្ចូលរបស់ពួកគេ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការរួមបញ្ចូលនៃប្រភាគបឋម។ ដូច្នេះ ប្រភាគ​បឋមសិក្សា​ទាំង​បួន​ប្រភេទ​នីមួយៗ​គឺ​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​បញ្ចូល​គ្នា​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ខាងក្រោម។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា នៅពេលរួមបញ្ចូលប្រភាគនៃប្រភេទ (2) និង (4) $n=2,3,4,\ldots$ ត្រូវបានសន្មត់។ រូបមន្ត (3) និង (4) ទាមទារលក្ខខណ្ឌ $p^2-4q< 0$.

\begin(សមីការ) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(សមីការ)

សម្រាប់ $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ ការជំនួស $t=x+\frac(p)(2)$ ត្រូវបានធ្វើឡើង បន្ទាប់ពីនោះអាំងតេក្រាលលទ្ធផលគឺ បំបែកជាពីរ។ ទីមួយនឹងត្រូវបានគណនាដោយបញ្ចូលវានៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយសញ្ញាទីពីរនឹងមើលទៅដូចជា $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$។ អាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានយកដោយប្រើទំនាក់ទំនងកើតឡើងវិញ។

\begin(សមីការ) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^ 2) I_n, \\; n\in N \end(សមីការ)

ការគណនានៃអាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានវិភាគក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 7 (សូមមើលផ្នែកទីបី) ។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលពីអនុគមន៍សនិទាន (ប្រភាគសនិទាន):

1. ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលជាបឋម បន្ទាប់មកអនុវត្តរូបមន្ត (1)-(4)។
2. ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនមែនជាបឋម នោះតំណាងឱ្យវាជាផលបូកនៃប្រភាគបឋម ហើយបន្ទាប់មកបញ្ចូលដោយប្រើរូបមន្ត (1)-(4)។

ក្បួនដោះស្រាយខាងលើសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសនិទានមានអត្ថប្រយោជន៍ដែលមិនអាចប្រកែកបាន - វាជាសកល។ ទាំងនោះ។ ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះ មនុស្សម្នាក់អាចរួមបញ្ចូលបាន។ ណាមួយ។ប្រភាគសមហេតុផល។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលការជំនួសស្ទើរតែទាំងអស់នៃអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (អយល័រ ការជំនួស Chebyshev ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល) ត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរបៀបដែលបន្ទាប់ពីការជំនួសនេះយើងទទួលបានប្រភាគសមហេតុផលនៅក្រោមចន្លោះពេល។ ហើយអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយទៅវា។ យើងនឹងវិភាគការអនុវត្តន៍ផ្ទាល់នៃក្បួនដោះស្រាយនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍ បន្ទាប់ពីធ្វើកំណត់ចំណាំតូចមួយ។

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C ។ $$

ជាគោលការណ៍អាំងតេក្រាលនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានដោយមិនចាំបាច់ប្រើមេកានិកនៃរូបមន្ត។ ប្រសិនបើយើងយកតម្លៃថេរ $7$ ចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល ហើយយកទៅក្នុងគណនីនោះ $dx=d(x+9)$ នោះយើងទទួលបាន៖

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C ។ $$

សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិតខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យមើលប្រធានបទ។ វាពន្យល់យ៉ាងលម្អិតអំពីរបៀបដែលអាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដោយវិធីនេះរូបមន្តត្រូវបានបង្ហាញដោយការបំលែងដូចគ្នាដែលត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះនៅពេលដោះស្រាយ "ដោយដៃ" ។

2) ជាថ្មីម្តងទៀត មានវិធីពីរយ៉ាង៖ ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ឬធ្វើដោយគ្មានវា។ ប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តរូបមន្ត នោះអ្នកគួរតែពិចារណាថាមេគុណនៅពីមុខ $x$ (លេខ 4) នឹងត្រូវដកចេញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគ្រាន់តែយកពួកវាទាំងបួនចេញជាតង្កៀប៖

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ ៨)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)។ $$

ឥឡូវនេះដល់ពេលត្រូវអនុវត្តរូបមន្ត៖

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4)\right)^(8-1))+C=-\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4)\right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot4^8\left(x+\frac(19)(4))\right )^7)+C។ $$

អ្នកអាចធ្វើបានដោយមិនប្រើរូបមន្ត។ ហើយសូម្បីតែដោយមិនដាក់ $ 4 $ ថេរចេញពីតង្កៀប។ ប្រសិនបើយើងយកទៅក្នុងគណនីនោះ $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ នោះយើងទទួលបាន៖

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\=\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C។ $$

ការពន្យល់លម្អិតលើការស្វែងរកអាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រធានបទ "ការរួមបញ្ចូលដោយការជំនួស (សេចក្តីផ្តើមនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល)" ។

3) យើងត្រូវបញ្ចូលប្រភាគ $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ ។ ប្រភាគនេះមានរចនាសម្ព័ន្ធ $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ដែល $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីប្រាកដថានេះពិតជាប្រភាគបឋមនៃប្រភេទទីបី អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=\frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C ។ $$

ចូរដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដូចគ្នា ប៉ុន្តែដោយមិនប្រើរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ ចូរយើងព្យាយាមញែកដេរីវេនៃភាគបែងនៅក្នុងភាគយក។ តើ​នេះ​មានន័យថា​ម៉េច​? យើងដឹងថា $(x^2+10x+34)"=2x+10$ ។ វាជាកន្សោម $2x+10$ ដែលយើងត្រូវញែកដាច់ពីគេក្នុងភាគយក។ មកទល់ពេលនេះ ភាគយកមានតែ $4x+7$ ប៉ុន្តែ​នេះ​មិន​យូរ​ប៉ុន្មាន​ទេ។ អនុវត្ត​ការ​បំប្លែង​ខាង​ក្រោម​ចំពោះ​លេខ​ភាគ៖

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) - ដប់បី។ $$

ឥឡូវនេះ កន្សោមដែលត្រូវការ $2x+10$ បានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងលេខភាគ។ ហើយអាំងតេក្រាលរបស់យើងអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោមៈ

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx=\int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx ។ $$

ចូរបំបែកអាំងតេក្រាលជាពីរ។ មែនហើយ អាស្រ័យហេតុនេះ អាំងតេក្រាលខ្លួនវាក៏ "បំបែក"៖

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ = \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10)) (x^2 + 10x + 34) dx - \\ int \\ frac (13dx) (x ^ 2 + 10x + 34) = 2 \\ cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34)។ $$

ចូរនិយាយអំពីអាំងតេក្រាលទីមួយជាមុនសិន i.e. អំពី $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$ ។ ចាប់តាំងពី $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ នោះ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលភាគបែងមានទីតាំងនៅក្នុងភាគយកនៃអាំងតេក្រាល។ និយាយឱ្យខ្លី ជំនួសវិញ នៃកន្សោម $(2x+10)dx$ យើងសរសេរ $d(x^2+10x+34)$ ។

ឥឡូវនេះសូមនិយាយពាក្យពីរបីអំពីអាំងតេក្រាលទីពីរ។ ចូរញែកការេពេញក្នុងភាគបែង៖ $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ។ លើសពីនេះទៀត យើងយកទៅក្នុងគណនី $dx=d(x+5)$។ ឥឡូវនេះ ផលបូកនៃអាំងតេក្រាលដែលទទួលបានដោយយើងពីមុនអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខុសគ្នាបន្តិច៖

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ ប្រាំបួន). $$

ប្រសិនបើយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ $u=x^2+10x+34$ ក្នុងអាំងតេក្រាលទីមួយ នោះវានឹងយកទម្រង់ $\int\frac(du)(u)$ ហើយត្រូវបានយកដោយគ្រាន់តែអនុវត្តរូបមន្តទីពីរពី . ចំពោះអាំងតេក្រាលទីពីរ ការជំនួស $u=x+5$ គឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់វា បន្ទាប់មកវាយកទម្រង់ $\int\frac(du)(u^2+9)$ ។ នេះគឺជាទឹកបរិសុទ្ធបំផុត រូបមន្តទីដប់មួយពីតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ ដូច្នេះ ត្រឡប់ទៅផលបូកនៃអាំងតេក្រាល យើងនឹងមាន៖

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C ។ $$

យើងទទួលបានចម្លើយដូចគ្នានឹងពេលអនុវត្តរូបមន្ត ដែលតាមពិតទៅវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ។ ជាទូទៅរូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយវិធីសាស្រ្តដូចគ្នាដែលយើងធ្លាប់ប្រើដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលនេះ។ ខ្ញុំជឿថាអ្នកអានដែលយកចិត្តទុកដាក់អាចមានសំណួរមួយនៅទីនេះ ដូច្នេះខ្ញុំនឹងបង្កើតវា៖

សំណួរ​ទី 1

ប្រសិនបើយើងអនុវត្តរូបមន្តទីពីរពីតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ទៅអាំងតេក្រាល $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ នោះយើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C ។ $$

ហេតុអ្វីបានជាម៉ូឌុលបាត់ពីដំណោះស្រាយ?

ចម្លើយចំពោះសំណួរទី ១

សំណួរគឺស្របច្បាប់ទាំងស្រុង។ ម៉ូឌុលគឺអវត្តមានតែដោយសារតែកន្សោម $x^2+10x+34$ សម្រាប់ $x\in R$ ណាមួយគឺធំជាងសូន្យ។ វាងាយស្រួលបង្ហាញតាមវិធីជាច្រើន។ ឧទាហរណ៍ ចាប់តាំងពី $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ និង $(x+5)^2 ≥ 0$ បន្ទាប់មក $(x+5)^2+9 > 0$ . វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវិនិច្ឆ័យនៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា, ដោយមិនពាក់ព័ន្ធនឹងការជ្រើសរើសនៃការ៉េពេញលេញមួយ។ ចាប់ពី $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ សម្រាប់ $x\in R$ ណាមួយ (ប្រសិនបើខ្សែសង្វាក់ឡូជីខលនេះគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល ខ្ញុំណែនាំអ្នកឱ្យមើលវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពការ៉េ)។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ចាប់តាំងពី $x^2+10x+34> 0$ បន្ទាប់មក $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. អ្នកអាចប្រើតង្កៀបធម្មតាជំនួសឱ្យម៉ូឌុល។

ចំណុចទាំងអស់នៃឧទាហរណ៍លេខ 1 ត្រូវបានដោះស្រាយ វានៅសល់តែសរសេរចម្លើយប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយ:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$។

ឧទាហរណ៍ #2

ស្វែងរកអាំងតេក្រាល $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ។

នៅ glance ដំបូង អាំងតេក្រាល $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ គឺស្រដៀងទៅនឹងប្រភាគបឋមនៃប្រភេទទីបី ពោលគឺឧ។ ទៅ $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ។ វាហាក់ដូចជាភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺមេគុណ $3$ នៅពីមុខ $x^2$ ប៉ុន្តែវានឹងមិនចំណាយពេលយូរដើម្បីដកមេគុណចេញទេ (ចេញពីតង្កៀប)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយភាពស្រដៀងគ្នានេះគឺជាក់ស្តែង។ សម្រាប់ប្រភាគ $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ លក្ខខណ្ឌ $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

មេគុណរបស់យើងនៅពីមុខ $x^2$ មិនស្មើនឹងមួយទេ ដូច្នេះសូមពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$ ដូច្នេះ​កន្សោម $3x^2-5x-2$ អាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ជា​កត្តា។ ហើយនេះមានន័យថាប្រភាគ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ មិនមែនជាប្រភាគបឋមនៃប្រភេទទីបីទេ ហើយអនុវត្តចំពោះអាំងតេក្រាល $\int\frac(7x+12)( រូបមន្ត 3x^2- 5x-2)dx$ មិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទេ។

ជាការប្រសើរណាស់ ប្រសិនបើប្រភាគសមហេតុសមផលដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមែនជាបឋម នោះវាត្រូវតែត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃប្រភាគបឋម ហើយបន្ទាប់មកបញ្ចូលគ្នា។ និយាយឱ្យខ្លី ផ្លូវឆ្លៀតឱកាស។ របៀបបំបែកប្រភាគសមហេតុផលទៅជាបឋមត្រូវបានសរសេរយ៉ាងលម្អិត។ ចូរចាប់ផ្តើមដោយកត្តាភាគបែង៖

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)។ $$

យើងតំណាងឱ្យប្រភាគខាងក្នុងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))។ $$

ឥឡូវ​យើង​ពង្រីក​ប្រភាគ $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ទៅជា​បឋមសិក្សា៖

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3) \ ស្តាំ) ។ $$

ដើម្បីស្វែងរកមេគុណ $A$ និង $B$ មានវិធីស្ដង់ដារពីរ៖ វិធីសាស្ត្រនៃមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន និងវិធីសាស្ត្រនៃការជំនួសតម្លៃដោយផ្នែក។ តោះអនុវត្តវិធីជំនួសតម្លៃដោយផ្នែកដោយជំនួស $x=2$ ហើយបន្ទាប់មក $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right)\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3)\right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21)។\\ $$

ដោយសារមេគុណត្រូវបានរកឃើញ វានៅសល់តែសរសេរការពង្រីកដែលបានបញ្ចប់៖

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( ២១))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2)។ $$

ជាគោលការណ៍ អ្នកអាចចាកចេញពីធាតុនេះ ប៉ុន្តែខ្ញុំចូលចិត្តកំណែដែលត្រឹមត្រូវជាងនេះ៖

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)។ $$

ត្រលប់ទៅអាំងតេក្រាលដើមវិញ យើងជំនួសការពង្រីកលទ្ធផលទៅក្នុងវា។ បន្ទាប់មកយើងបែងចែកអាំងតេក្រាលជាពីរ ហើយអនុវត្តរូបមន្តនីមួយៗ។ ខ្ញុំចូលចិត្តដកចំនួនថេរចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាលភ្លាមៗ៖

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1)) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C ។ $$

ចម្លើយ៖ $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$ ។

ឧទាហរណ៍ #3

ស្វែងរកអាំងតេក្រាល $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ ។

យើងត្រូវបញ្ចូលប្រភាគ $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ ។ ភាគយកគឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេទីពីរ ហើយភាគបែងគឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេទីបី។ ដោយសារកម្រិតនៃពហុនាមនៅក្នុងភាគយកគឺតិចជាងកម្រិតនៃពហុនាមនៅក្នុងភាគបែង ពោលគឺឧ។ ២ ដុល្លារ< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9)។ $$

យើងគ្រាន់តែត្រូវបំបែកអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យជាបី ហើយអនុវត្តរូបមន្តនីមួយៗ។ ខ្ញុំចូលចិត្តដកចំនួនថេរចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាលភ្លាមៗ៖

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \\right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C ។ $$

ចម្លើយ៖ $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$ ។

ការបន្តនៃការវិភាគឧទាហរណ៍នៃប្រធានបទនេះមានទីតាំងនៅផ្នែកទីពីរ។

មុននឹងបន្តការរួមបញ្ចូលនៃប្រភាគសាមញ្ញបំផុត ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ប្រភាគ វាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍ឱ្យធ្វើឱ្យការចងចាំឡើងវិញនៃផ្នែក "ការបំបែកប្រភាគទៅជាសាមញ្ញបំផុត" ។

ឧទាហរណ៍ ១

រកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់ដោយបែងចែកជួរឈរនៃពហុធាដោយពហុធាដោយគិតគូរពីការពិតដែលថាកម្រិតនៃភាគយកនៃអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងកម្រិតនៃភាគបែង:

ដូច្នេះ 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + − 2 x + 3 x 3 + x ។ យើងទទួលបានប្រភាគសមហេតុផល - 2 x + 3 x 3 + x ដែលឥឡូវនេះយើងបំបែកទៅជាប្រភាគសាមញ្ញ - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x − 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x − ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 log x − ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

យើងបានទទួលអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីបី។ អ្នកអាចយកវាដោយនាំយកវានៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ចាប់តាំងពី d x 2 + 1 = 2 x d x បន្ទាប់មក 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 ។ ដូច្នេះ
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C ១

អាស្រ័យហេតុនេះ
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x − ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x − 3 2 ln x 2 + 1 − 2 a r c tan x + C ដែលជាកន្លែងដែល C \u003d - C 1

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទនីមួយៗនៃ 4 ប្រភេទ។

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីមួយ A x - a

យើងប្រើវិធីសាស្ត្ររួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ៖

∫ A x − a d x = A ∫ d x x − a = A ln x − a + C

ឧទាហរណ៍ ២

រកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ y = 3 2 x − 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ដោយប្រើក្បួនសមាហរណកម្ម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអង្គបដិប្រាណ និងតារាងនៃអង្គបដិប្រាណ យើងរកឃើញអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ∫ 3 d x 2 x − 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C

∫ 3 d x 2 x − 1 = 3 ∫ d x 2 x − 1 2 = 3 2 ∫ d x x − 1 2 = 3 2 ln x − 1 2 + C

ចំលើយ៖ ∫ 3 d x 2 x − 1 = 3 2 ln x − 1 2 + C

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញនៃប្រភេទទីពីរ A x - a n

នៅទីនេះយើងក៏អនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ផងដែរ៖ ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

ឧទាហរណ៍ ៣

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ∫ d x 2 x − 3 7 .

ការសម្រេចចិត្ត

∫ d x 2 x − 3 7 = ∫ d x 2 x − 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x − 3 2 − 7 d x = = 1 2 7 1 − 7 + 1 x − 3 2 − 7 + 1 + C = 1 2 7 − 6 x − 3 2 6 + C = = 1 2 − 6 2 6 x − 3 2 6 + C = − 1 12 1 2 x − 3 6 + C

ចម្លើយ៖∫ ឃ x 2 x − 3 7 = − 1 12 1 2 x − 3 6 + C

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញនៃប្រភេទទីបី M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0

ជាជំហានដំបូង យើងតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ∫ M x + N x 2 + p x + q ជាផលបូក៖

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

ដើម្បី​យក​អាំងតេក្រាល​ទីមួយ យើង​ប្រើ​វិធី​បូក​ក្រោម​សញ្ញា​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q − p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q − p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q − p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q − p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

ដូច្នេះ
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q − p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N − p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

យើងបានទទួលអាំងតេក្រាល ∫ d x x 2 + p x + q ។ ចូរបំប្លែងភាគបែងរបស់វា៖

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 − p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 − p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 − p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q − p 2 4 = 2 4 q − p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q − p 2 + C 1

អាស្រ័យហេតុនេះ

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N − p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N − p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីបីមានទម្រង់៖
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N − p M 4 q − p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q − p 2 + C

ឧទាហរណ៍ 4

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x ។

ការសម្រេចចិត្ត

តោះអនុវត្តរូបមន្ត៖

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2 , N = 1 , p = 2 , q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 − 2 2 4 10 − 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 − 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 − 1 9 a r c t g x + 1 3 + គ

ដំណោះស្រាយទីពីរមើលទៅដូចនេះ៖

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 − 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t a n d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 − 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c + 3 t g

ចម្លើយ៖ ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 − 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

ការរួមបញ្ចូលប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទីបួន M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0

ដំបូងយើងអនុវត្តការបូកសរុបក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N − p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 ( − n + 1 ) 1 ( x 2 + p x + q ) n − 1 + N − p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) ន

បន្ទាប់មកយើងរកឃើញអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n ដោយប្រើរូបមន្តដដែលៗ។ ព័ត៌មានអំពីរូបមន្តកើតឡើងដដែលៗអាចរកបាននៅក្នុងប្រធានបទ "ការរួមបញ្ចូលដោយប្រើរូបមន្តដដែលៗ"។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហារបស់យើង រូបមន្តដដែលៗនៃទម្រង់ J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .

ឧទាហរណ៍ ៥

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ∫ d x x 5 x 2 − 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត

∫ d x x 5 x 2 − 1 = ∫ x − 5 (x 2 − 1) − 1 2 ឃ x

យើងនឹងប្រើវិធីជំនួសសម្រាប់អាំងតេក្រាលប្រភេទនេះ។ សូមណែនាំអថេរថ្មី x 2 − 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) − 1 2 d x

យើង​ទទួល​បាន:

∫ d x x 5 x 2 − 1 = ∫ x − 5 (x 2 − 1) − 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) − 5 2 z − 1 z (z 2 + 1) − 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) ៣

យើងមករកអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគនៃប្រភេទទីបួន។ ក្នុងករណីរបស់យើង យើងមានមេគុណ M=0, p=0, q=1, N=1និង n=3 ។ យើងអនុវត្តរូបមន្តដដែលៗ៖

J 3 \u003d ∫ d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 − 1) (4 1 − 0) (z 2 + 1) 2 − 1 + 2 2 − 3 2 − 11 2 4 1 − 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) + C

បន្ទាប់ពីការជំនួសបញ្ច្រាស z = x 2 - 1 យើងទទួលបានលទ្ធផល៖
∫ ឃ x x 5 x 2 − 1 = x 2 − 1 4 x 4 + 3 8 x 2 − 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 − 1 + C

ចម្លើយ៖∫ ឃ x x 5 x 2 − 1 = x 2 − 1 4 x 4 + 3 8 x 2 − 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 − 1 + C

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter