វិធីដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីសដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer៖ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (ស្លូ)

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer គឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់កត្តាកំណត់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ នេះបង្កើនល្បឿនដំណើរការដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាច្រើនដូចដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើក្នុងដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ នោះវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ លើសពីនេះទៀតវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

និយមន័យ. កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ និងត្រូវបានតំណាងដោយ (ដីសណ្ត)។

កត្តាកំណត់

ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសមេគុណនៅមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នាដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖

;

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយ ហើយអ្វីដែលមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃកត្តាកំណត់។ ភាគបែងគឺជាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយភាគបែងគឺជាកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយជំនួសមេគុណដោយមិនស្គាល់ដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ទ្រឹស្តីបទនេះរក្សាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerយើងមាន:

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (២)៖

ការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយរបស់ Cramer ។

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដូចដែលលេចឡើងពី ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ករណីបីអាចកើតឡើង៖

ករណីទីមួយ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងច្បាស់លាស់)

ករណីទីពីរ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងមិនកំណត់)

** ,

ទាំងនោះ។ មេគុណនៃមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសមាមាត្រ។

ករណីទីបី៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

(ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)

ដូច្នេះប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នអថេរត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ និង រួមប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់និងច្រើនជាងមួយ។ មិនប្រាកដប្រជា.

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ

ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer

………….
,

កន្លែងណា
-

ឧបករណ៍កំណត់អត្តសញ្ញាណប្រព័ន្ធ។ កត្តាកំណត់ដែលនៅសេសសល់ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរឈរជាមួយនឹងមេគុណនៃអថេរដែលត្រូវគ្នា (មិនស្គាល់) ជាមួយនឹងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះ (1; 0; -1) គឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។

ប្រសិនបើមិនមានអថេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងសមីការមួយ ឬច្រើននោះ នោះនៅក្នុងកត្តាកំណត់ ធាតុដែលត្រូវនឹងពួកវាគឺស្មើនឹងសូន្យ! នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធនៃសមីការ និងកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ហើយឆ្លើយសំណួរម្តងទៀត ក្នុងករណីដែលធាតុមួយ ឬច្រើននៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធកំណត់ច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់អ្វីដែលមិនស្គាល់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (2; -1; 1) ។

កំពូលនៃទំព័រ

យើងបន្តដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាមួយគ្នា

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ ហើយកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់មិនស្មើនឹងសូន្យ ប្រព័ន្ធគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ សូមបង្ហាញជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៦ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា និងច្បាស់លាស់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាមិនមានដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

កត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងបញ្ហាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ក៏មានផងដែរ ដែលបន្ថែមពីលើអក្សរដែលបង្ហាញពីអថេរ ក៏មានអក្សរផ្សេងទៀតផងដែរ។ អក្សរទាំងនេះតំណាងឱ្យលេខមួយចំនួន ដែលភាគច្រើនជាលេខពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះនាំឱ្យមានបញ្ហាដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈទូទៅនៃបាតុភូត និងវត្ថុណាមួយ។ នោះគឺអ្នកបានបង្កើតសម្ភារៈ ឬឧបករណ៍ថ្មីមួយចំនួន ហើយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលជារឿងធម្មតាដោយមិនគិតពីទំហំ ឬចំនួនច្បាប់ចម្លង អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលជំនួសឱ្យមេគុណមួយចំនួនសម្រាប់អថេរមានអក្សរ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលឧទាហរណ៍ឆ្ងាយទេ។

ឧទាហរណ៍បន្ទាប់គឺសម្រាប់បញ្ហាស្រដៀងគ្នា មានតែចំនួនសមីការ អថេរ និងអក្សរដែលបង្ហាញពីចំនួនពិតមួយចំនួនកើនឡើង។

ឧទាហរណ៍ ៨ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានសមីការជាច្រើនដូចជាចំនួននៃអថេរឯករាជ្យ i.e. មើលទៅដូចជា

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា quadratic ។ កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃអថេរឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធ (1.5) ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ។ យើងនឹងសម្គាល់វាដោយអក្សរក្រិក D. ដូច្នេះ,

. (1.6)

ប្រសិនបើនៅក្នុងកត្តាកំណត់សំខាន់ បំពាន ( j th) ជួរឈរ ជំនួសវាដោយជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធ (1.5) បន្ទាប់មកយើងអាចទទួលបានបន្ថែមទៀត នកត្តាកំណត់ជំនួយ៖

(j = 1, 2, …, ន). (1.7)

ច្បាប់របស់ Cramerការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ quadratic នៃសមីការលីនេអ៊ែរ មានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ចម្បង D នៃប្រព័ន្ធ (1.5) គឺមិនមែនសូន្យទេនោះ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

(1.8)

ឧទាហរណ៍ 1.5 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

ចាប់តាំងពី D¹0 ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត (1.8):

ដោយវិធីនេះ

សកម្មភាពម៉ាទ្រីស

1. ការគុណនៃម៉ាទ្រីសដោយចំនួនមួយ។ប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម។

2. ដើម្បីគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ អ្នកត្រូវគុណធាតុទាំងអស់របស់វាដោយលេខនេះ។ នោះគឺ

. (1.9)

ឧទាហរណ៍ 1.6 ។ .

ការបន្ថែមម៉ាទ្រីស។

ប្រតិបត្តិការនេះត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ដូចគ្នាប៉ុណ្ណោះ។

ដើម្បីបន្ថែមម៉ាទ្រីសពីរ ចាំបាច់ត្រូវបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសផ្សេងទៀតទៅធាតុនៃម៉ាទ្រីសមួយ៖

(1.10)
ប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមម៉ាទ្រីសមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃទំនាក់ទំនង និងការផ្លាស់ប្តូរ។

ឧទាហរណ៍ 1.7 ។ .

គុណម៉ាទ្រីស។

ប្រសិនបើចំនួនជួរឈរម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរម៉ាទ្រីស អេបន្ទាប់មកសម្រាប់ម៉ាទ្រីសបែបនេះ ប្រតិបត្តិការនៃគុណត្រូវបានណែនាំ៖

ដូច្នេះនៅពេលគុណម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែវិមាត្រ ម´ នទៅម៉ាទ្រីស អេវិមាត្រ ន´ kយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស ពីវិមាត្រ ម´ k. ក្នុងករណីនេះធាតុនៃម៉ាទ្រីស ពីត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

បញ្ហា 1.8 ។ស្វែងរកផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន ABនិង ប:

ដំណោះស្រាយ។ 1) ស្វែងរកការងារ ABអ្នកត្រូវការជួរម៉ាទ្រីស កគុណនឹងជួរម៉ាទ្រីស ខ:

2) ស្នាដៃសិល្បៈ បមិនមានទេ ព្រោះចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស ខមិនត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរម៉ាទ្រីសទេ។ ក.

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមវិធីម៉ាទ្រីស

ម៉ាទ្រីស ក- 1 ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសការ៉េ ប៉ុន្តែប្រសិនបើសមភាពទទួលបាន៖

កន្លែងដែលឆ្លងកាត់ ខ្ញុំកំណត់អត្តសញ្ញាណម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ដូចគ្នានឹងម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ:

ដើម្បីឱ្យម៉ាទ្រីសការ៉េមានបញ្ច្រាស វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកត្តាកំណត់របស់វាមិនមែនជាសូន្យ។ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

, (1.13)

កន្លែងណា អាយ- ការបន្ថែមពិជគណិតទៅធាតុ អាយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ(ចំណាំថាការបន្ថែមពិជគណិតទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែត្រូវបានរៀបចំនៅក្នុងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក្នុងទម្រង់នៃជួរឈរដែលត្រូវគ្នា) ។

ឧទាហរណ៍ 1.9 ។ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ក- 1 ទៅម៉ាទ្រីស

យើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត (1.13) ដែលសម្រាប់ករណី ន= 3 មើលទៅដូចជា:

ចូរយើងស្វែងរក det ក = | ក| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 − 3 x 3 x 3 − 1 x 5 x 4 − 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 − 27 − 20 − 32 = - 1. ដោយសារកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺខុសពីសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន។

1) ស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិត អាយ:

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស យើងបានដាក់ការបន្ថែមពិជគណិតទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដើមនៅក្នុងជួរឈរដែលត្រូវគ្នា។

ពីការបន្ថែមពិជគណិតដែលទទួលបាន យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសថ្មី ហើយបែងចែកវាដោយកត្តាកំណត់ ក. ដូច្នេះ យើងនឹងទទួលបានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

ប្រព័ន្ធបួនជ្រុងនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងកត្តាកំណត់សំខាន់ដែលមិនមែនជាសូន្យអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចំពោះបញ្ហានេះ ប្រព័ន្ធ (1.5) ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖

កន្លែងណា

គុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាព (1.14) នៅខាងឆ្វេងដោយ ក- 1, យើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ:

កន្លែងណា

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធការ៉េ អ្នកត្រូវស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ ហើយគុណវានៅខាងស្តាំដោយម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរ។

បញ្ហា 1.10 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ដំណោះស្រាយ។យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖ ,

កន្លែងណា គឺជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ គឺជាជួរឈរនៃមិនស្គាល់ និងជាជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ចាប់តាំងពីកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ ប៉ុន្តែមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ប៉ុន្តែ- មួយ។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ប៉ុន្តែ-1 គណនាពិជគណិតបំពេញបន្ថែមធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ:

ពីលេខដែលទទួលបាន យើងតែងម៉ាទ្រីសមួយ (លើសពីនេះ ការបន្ថែមពិជគណិតទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែសរសេរក្នុងជួរឈរសមស្រប) ហើយបែងចែកវាដោយកត្តាកំណត់ D. ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

យើងរកឃើញដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយរូបមន្ត (1.15)៖

ដោយវិធីនេះ

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយ ធម្មតា Jordan Exceptions

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធតាមអំពើចិត្ត (មិនចាំបាច់ការ៉េ) នៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

(1.16)

វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ i.e. សំណុំនៃអថេរដែលបំពេញសមភាពទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (1.16) ។ ក្នុងករណីទូទៅ ប្រព័ន្ធ (1.16) អាចមិនត្រឹមតែមានដំណោះស្រាយមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានដំណោះស្រាយជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់ផងដែរ។ វាក៏ប្រហែលជាមិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់មិនស្គាល់ដែលត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ពីវគ្គសិក្សារបស់សាលាត្រូវបានគេប្រើដែលត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ហ្ស៊កដានីធម្មតា។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ (1.16) មួយនៃអថេរត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកអថេរនេះត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។ លទ្ធផលគឺជាប្រព័ន្ធដែលមានសមីការមួយ និងអថេរមួយតិចជាងប្រព័ន្ធដើម។ សមីការដែលអថេរត្រូវបានបង្ហាញត្រូវបានចងចាំ។

ដំណើរការនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់សមីការចុងក្រោយមួយនៅតែមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ សមីការមួយចំនួនអាចប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណពិត។ សមីការបែបនេះត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ ដោយសារវាមានសុពលភាពសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ ហើយដូច្នេះវាមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនោះទេ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ យ៉ាងហោចណាស់សមីការមួយក្លាយជាសមភាពដែលមិនអាចពេញចិត្តសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ (ឧទាហរណ៍) នោះយើងសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាមិនបានកើតឡើងនោះ អថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរដែលនៅសល់នៅក្នុងវាត្រូវបានរកឃើញពីសមីការចុងក្រោយ។ ប្រសិនបើអថេរតែមួយនៅសល់ក្នុងសមីការចុងក្រោយ នោះវាត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលេខ។ ប្រសិនបើអថេរផ្សេងទៀតនៅតែមាននៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ នោះពួកវាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ហើយអថេរដែលបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវានឹងជាមុខងារនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះ។ បន្ទាប់មកអ្វីដែលគេហៅថា "ចលនាបញ្ច្រាស" ត្រូវបានធ្វើឡើង។ អថេរដែលរកឃើញត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដែលបានចងចាំចុងក្រោយ ហើយអថេរទីពីរត្រូវបានរកឃើញ។ បន្ទាប់មកអថេរដែលបានរកឃើញទាំងពីរត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការទន្ទេញចាំចុងក្រោយ ហើយអថេរទីបីត្រូវបានរកឃើញ ហើយបន្តរហូតដល់សមីការទន្ទេញចាំដំបូង។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ ដំណោះស្រាយនេះនឹងមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើអថេរដែលបានរកឃើញគឺជាលេខ។ ប្រសិនបើអថេរដែលបានរកឃើញដំបូង ហើយបន្ទាប់មកទាំងអស់ផ្សេងទៀតអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នោះប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់ (សំណុំនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនីមួយៗត្រូវនឹងដំណោះស្រាយថ្មី)។ រូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធអាស្រ័យលើសំណុំជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ 1.11 ។

បន្ទាប់ពីទន្ទេញសមីការទីមួយ ហើយនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី យើងមកដល់ប្រព័ន្ធ៖

ប្រេស yពីសមីការទីពីរ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីមួយ៖

ចងចាំសមីការទីពីរ ហើយពីដំបូងដែលយើងរកឃើញ z:

ធ្វើចលនាបញ្ច្រាស យើងរកឃើញជាបន្តបន្ទាប់ yនិង z. ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងជំនួសសមីការដែលចងចាំចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ y:

បន្ទាប់មកយើងជំនួស និងចូលទៅក្នុងសមីការដែលទន្ទេញចាំដំបូង ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញ x:

បញ្ហា 1.12 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយលុបបំបាត់មិនស្គាល់៖

. (1.17)

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងបង្ហាញអថេរពីសមីការទីមួយ xហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី៖

ចងចាំសមីការដំបូង

នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ សមីការទីមួយ និងទីពីរផ្ទុយគ្នា។ ជាការពិតការបង្ហាញ y យើងទទួលបានថា 14 = 17 ។ សមភាពនេះមិនពេញចិត្តទេ សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x, y, និង z. ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធ (1.17) មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

អ្នកអានត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយឯករាជ្យថាកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធដើម (1.17) គឺស្មើនឹងសូន្យ។

ពិចារណាប្រព័ន្ធដែលខុសពីប្រព័ន្ធ (1.17) ដោយពាក្យឥតគិតថ្លៃតែមួយ។

បញ្ហា 1.13 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយលុបបំបាត់មិនស្គាល់៖

. (1.18)

ដំណោះស្រាយ។ដូចពីមុន យើងបង្ហាញអថេរពីសមីការទីមួយ xហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី៖

ចងចាំសមីការដំបូង ហើយយើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបី។ យើងមកដល់ប្រព័ន្ធ៖

ការបង្ហាញ yពីសមីការទីមួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ 14 = 14 ដែលមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ ហើយដូច្នេះវាអាចត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ។

នៅក្នុងសមភាពទន្ទេញចាំចុងក្រោយ អថេរ zនឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ យើងជឿ។ បន្ទាប់មក

ជំនួស yនិង zចូលទៅក្នុងសមភាពទន្ទេញចាំដំបូងនិងស្វែងរក x:

ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធ (1.18) មានសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ហើយដំណោះស្រាយណាមួយអាចត្រូវបានរកឃើញពីរូបមន្ត (1.19) ដោយជ្រើសរើសតម្លៃបំពាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t:

(1.19)
ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ ជាឧទាហរណ៍ សំណុំនៃអថេរ (1; 2; 0), (2; 26; 14) ។ល។ រូបមន្ត (1.19) បង្ហាញពីដំណោះស្រាយទូទៅ (ណាមួយ) នៃប្រព័ន្ធ (1.18 )

ក្នុងករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធដើម (1.16) មានសមីការមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ និងមិនស្គាល់ វិធីសាស្ត្រដែលបានចង្អុលបង្ហាញអំពីការលុបបំបាត់ហ្ស៊កដានីធម្មតាហាក់ដូចជាពិបាក។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាមិនមែនទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការទទួលបានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាឡើងវិញនូវមេគុណនៃប្រព័ន្ធក្នុងជំហានមួយក្នុងទម្រង់ទូទៅ និងបង្កើតដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាផ្លូវការក្នុងទម្រង់ជាតារាងហ្ស៊កដានីពិសេស។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃទម្រង់លីនេអ៊ែរ (សមីការ) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

, (1.20)
កន្លែងណា xj- អថេរឯករាជ្យ (ចង់បាន) អាយ- មេគុណថេរ
(ខ្ញុំ = 1, 2,…, ម; j = 1, 2,…, ន) ផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធ y ខ្ញុំ (ខ្ញុំ = 1, 2,…, ម) អាចជាអថេរទាំងពីរ (អាស្រ័យ) និងថេរ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះដោយលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់។

ចូរយើងពិចារណាប្រតិបត្តិការខាងក្រោម ដែលក្រោយមកហៅថា "ជំហានមួយនៃករណីលើកលែងហ្ស៊កដានីធម្មតា"។ ពីការបំពាន ( r th) សមភាព យើងបង្ហាញពីអថេរ arbitrary ( x s) និងជំនួសដោយសមភាពផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ជាការពិតណាស់នេះគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ មួយ rs¹ 0. មេគុណ មួយ rsត្រូវបានគេហៅថាការដោះស្រាយ (ជួនកាលការណែនាំឬសំខាន់) ។

យើងនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ

. (1.21)

ពី ស th សមភាពនៃប្រព័ន្ធ (1.21) យើងនឹងរកឃើញអថេរជាបន្តបន្ទាប់ x s(បន្ទាប់ពីអថេរផ្សេងទៀតត្រូវបានរកឃើញ) ។ សបន្ទាត់ទី 2 ត្រូវបានចងចាំ ហើយត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធជាបន្តបន្ទាប់។ ប្រព័ន្ធដែលនៅសល់នឹងមានសមីការមួយ និងអថេរឯករាជ្យតិចជាងប្រព័ន្ធដើម។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាមេគុណនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល (1.21) ទាក់ទងនឹងមេគុណនៃប្រព័ន្ធដើម (1.20) ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ r th សមីការ ដែលបន្ទាប់ពីបង្ហាញអថេរ x sតាមរយៈអថេរដែលនៅសល់នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដូច្នេះមេគុណថ្មី។ rសមីការ th ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖

(1.23)
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាមេគុណថ្មី។ b ij(ខ្ញុំ¹ r) នៃសមីការបំពាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសអថេរដែលបានបង្ហាញក្នុង (1.22) x sក្នុង ខ្ញុំសមីការនៃប្រព័ន្ធ (១.២០)៖

បន្ទាប់ពីនាំយកលក្ខខណ្ឌដូច យើងទទួលបាន៖

(1.24)
ពីសមភាព (1.24) យើងទទួលបានរូបមន្តដែលមេគុណដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ (1.21) ត្រូវបានគណនា (លើកលែងតែ rសមីការ៖

(1.25)
ការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ហ្សកដានីធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់តារាង (ម៉ាទ្រីស) ។ តារាងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា "តារាងហ្ស៊កដានី" ។

ដូច្នេះបញ្ហា (1.20) ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតារាង Jordan ខាងក្រោម៖

តារាង 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x ន
y 1 =	ក 11	ក 12		ក 1j		ក 1ស		ក 1ន
…………………………………………………………………..
y ខ្ញុំ=	មួយ ខ្ញុំ 1	មួយ ខ្ញុំ 2		អាយ		a គឺ		មួយក្នុង
…………………………………………………………………..
y r=	មួយ r 1	មួយ r 2		មួយ rj		មួយ rs		មួយ rn
………………………………………………………………….
y n=	ម 1	ម 2		មួយ mj		មួយ ms		អាម៉ែន

តារាង Jordan 1.1 មានជួរឈរខាងឆ្វេង ដែលផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធ (1.20) ត្រូវបានសរសេរ និងបន្ទាត់ក្បាលកំពូល ដែលអថេរឯករាជ្យត្រូវបានសរសេរ។

ធាតុដែលនៅសល់នៃតារាងបង្កើតជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃមេគុណនៃប្រព័ន្ធ (1.20) ។ ប្រសិនបើយើងគុណម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែទៅម៉ាទ្រីសដែលមានធាតុនៃជួរដេកបឋមកថាខាងលើបន្ទាប់មកយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសដែលមានធាតុនៃជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេង។ នោះគឺជាខ្លឹមសារ តារាង Jordan គឺជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃការសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖ . ក្នុងករណីនេះតារាង Jordan ខាងក្រោមត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធ (1.21):

តារាង 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x ន
y 1 =	ខ 11	ខ 12		ខ 1 j		ខ 1 ស		ខ 1 ន
…………………………………………………………………..
y ខ្ញុំ =	b i 1	b i 2		b ij		b គឺ		b ក្នុង
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		BRs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

ធាតុអនុញ្ញាត មួយ rs យើងនឹងគូសបញ្ជាក់ជាដិត។ សូមចាំថា ដើម្បីអនុវត្តជំហានមួយនៃការលើកលែងហ្ស៊កដានី ធាតុដោះស្រាយត្រូវតែមិនសូន្យ។ ជួរតារាងដែលមានធាតុអនុញ្ញាត ត្រូវបានគេហៅថាជួរអនុញ្ញាត។ ជួរឈរដែលមានធាតុអនុញ្ញាតត្រូវបានគេហៅថា ជួរឈរអនុញ្ញាត។ នៅពេលផ្លាស់ទីពីតារាងដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅតារាងបន្ទាប់ អថេរមួយ ( x s) ពីជួរដេកបឋមកថាកំពូលនៃតារាងត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេង ហើយផ្ទុយមកវិញ សមាជិកម្នាក់ក្នុងចំណោមសមាជិកឥតគិតថ្លៃរបស់ប្រព័ន្ធ ( y r) ត្រូវបានផ្លាស់ទីពីជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេងនៃតារាងទៅជួរដេកបឋមកថាកំពូល។

ចូរយើងពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាឡើងវិញនូវមេគុណក្នុងការឆ្លងកាត់ពីតារាង Jordan (1.1) ទៅតារាង (1.2) ដែលបន្តពីរូបមន្ត (1.23) និង (1.25)។

1. ធាតុអនុញ្ញាតត្រូវបានជំនួសដោយលេខបញ្ច្រាស៖

2. ធាតុដែលនៅសេសសល់នៃបន្ទាត់អនុញ្ញាតត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុអនុញ្ញាត និងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ៖

3. ធាតុដែលនៅសល់នៃជួរឈរដែលអនុញ្ញាតត្រូវបានបែងចែកទៅជាធាតុដែលអាចអនុញ្ញាតបាន៖

4. ធាតុដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងជួរដេកដោះស្រាយ និងជួរឈរដោះស្រាយត្រូវបានគណនាឡើងវិញតាមរូបមន្ត៖

រូបមន្តចុងក្រោយគឺងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញថាធាតុដែលបង្កើតជាប្រភាគ , ស្ថិតនៅចំណុចប្រសព្វ ខ្ញុំ- អូនិង r- បន្ទាត់ និង jទី និង ស-th columns (ដោះស្រាយជួរដេក ដោះស្រាយជួរឈរ និងជួរដេក និងជួរឈរនៅចំនុចប្រសព្វដែលធាតុដែលត្រូវគណនាឡើងវិញមានទីតាំងនៅ)។ កាន់តែច្បាស់នៅពេលទន្ទេញរូបមន្ត អ្នកអាចប្រើតារាងខាងក្រោម៖

-21 -26 -13 -37

អនុវត្តជំហានដំបូងនៃករណីលើកលែងហ្ស៊កដានី ធាតុណាមួយនៃតារាង 1.3 ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងជួរឈរ x 1 ,…, x 5 (ធាតុដែលបានបញ្ជាក់ទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យ)។ អ្នកមិនគួរតែជ្រើសធាតុអនុញ្ញាតក្នុងជួរឈរចុងក្រោយនេះទេ, ដោយសារតែ ត្រូវការស្វែងរកអថេរឯករាជ្យ x 1 ,…, x៥. យើងជ្រើសរើសឧទាហរណ៍មេគុណ 1 ជាមួយអថេរ x 3 នៅក្នុងជួរទីបីនៃតារាង 1.3 (ធាតុអនុញ្ញាតត្រូវបានបង្ហាញជាដិត) ។ នៅពេលផ្លាស់ទីទៅតារាង 1.4 អថេរ x 3 ពីជួរដេកបឋមកថាកំពូលត្រូវបានប្ដូរដោយថេរ 0 នៃជួរឈរបឋមកថាខាងឆ្វេង (ជួរទីបី)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះអថេរ x 3 ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរដែលនៅសល់។

ខ្សែអក្សរ x 3 (តារាង 1.4) អាចត្រូវបានដកចេញពីតារាង 1.4 ដោយបានចងចាំពីមុន។ តារាង 1.4 ក៏មិនរាប់បញ្ចូលជួរឈរទីបីដែលមានសូន្យនៅក្នុងបន្ទាត់បឋមកថាខាងលើ។ ចំណុចគឺថាដោយមិនគិតពីមេគុណនៃជួរឈរនេះ។ b i 3 ពាក្យទាំងអស់ដែលត្រូវគ្នានឹងវានៃសមីការនីមួយៗ 0 b iប្រព័ន្ធ 3 នឹងស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះមេគុណទាំងនេះមិនអាចគណនាបានទេ។ ការលុបបំបាត់អថេរមួយ។ x 3 ហើយចងចាំសមីការមួយ យើងទៅដល់ប្រព័ន្ធដែលត្រូវនឹងតារាង 1.4 (ជាមួយនឹងបន្ទាត់កាត់ចេញ x៣). ការជ្រើសរើសនៅក្នុងតារាង 1.4 ជាធាតុដោះស្រាយ ខ 14 = -5 សូមចូលទៅកាន់តារាង 1.5 ។ នៅក្នុងតារាង 1.5 យើងចងចាំជួរទីមួយ ហើយដកវាចេញពីតារាង រួមជាមួយនឹងជួរទីបួន (ដោយលេខសូន្យនៅខាងលើ)។

តារាង 1.5 តារាង 1.6

ពីតារាងចុងក្រោយ ១.៧ យើងរកឃើញ៖ x 1 = - 3 + 2x 5 .

ការជំនួសអថេរដែលបានរកឃើញរួចហើយជាលំដាប់ទៅក្នុងបន្ទាត់ដែលទន្ទេញចាំ យើងរកឃើញអថេរដែលនៅសល់៖

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ អថេរ x 5, អ្នកអាចកំណត់តម្លៃបំពាន។ អថេរនេះដើរតួជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x 5 = t ។ យើងបានបង្ហាញពីភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ និងបានរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា៖

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

ផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tតម្លៃខុសគ្នា យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ចំពោះប្រព័ន្ធដើម។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺសំណុំនៃអថេរខាងក្រោម (- 3; - 1; - 2; 4; 0) ។

នៅក្នុងផ្នែកទីមួយ យើងបានពិចារណាលើសម្ភារៈទ្រឹស្តីមួយចំនួន វិធីសាស្រ្តជំនួស ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តនៃការបន្ថែមតាមកាលកំណត់នៃសមីការប្រព័ន្ធ។ សម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នាដែលបានចូលមកគេហទំព័រតាមរយៈទំព័រនេះ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានផ្នែកទីមួយ។ ប្រហែលជាអ្នកទស្សនាមួយចំនួននឹងរកឃើញសម្ភារៈសាមញ្ញពេក ប៉ុន្តែនៅក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ខ្ញុំបានធ្វើការកត់សម្គាល់ និងការសន្និដ្ឋានសំខាន់ៗមួយចំនួនទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាជាទូទៅ។

ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគក្បួនរបស់ Cramer ក៏ដូចជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស) ។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញ លម្អិត និងច្បាស់ អ្នកអានស្ទើរតែទាំងអស់នឹងអាចរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រខាងលើ។

ដំបូងយើងពិចារណាអំពីច្បាប់របស់ Cramer យ៉ាងលម្អិតសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងចំនួនពីរដែលមិនស្គាល់។ ដើម្បីអ្វី? “បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ប្រព័ន្ធសាមញ្ញបំផុតអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់សាលា ដោយការបន្ថែមពីមួយខែទៅមួយខែ!

ការពិតគឺថាទោះបីជាពេលខ្លះក៏ដោយ ប៉ុន្តែមានកិច្ចការបែបនេះ - ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។ ទីពីរ ឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីរបៀបប្រើច្បាប់របស់ Cramer សម្រាប់ករណីដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ - ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបី។

លើសពីនេះទៀតមានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរដែលវាត្រូវបានណែនាំឱ្យដោះស្រាយយ៉ាងពិតប្រាកដយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Cramer!

ពិចារណាប្រព័ន្ធសមីការ

នៅជំហានដំបូងយើងគណនាកត្តាកំណត់វាត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ.

វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

ប្រសិនបើ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយដើម្បីស្វែងរកឫស យើងត្រូវគណនាកត្តាកំណត់ពីរបន្ថែមទៀត៖
និង

នៅក្នុងការអនុវត្ត វគ្គជម្រុះខាងលើក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរឡាតាំងផងដែរ។

ឫសគល់នៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
,

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ដំណោះស្រាយ៖ យើងឃើញថាមេគុណនៃសមីការមានទំហំធំណាស់ នៅផ្នែកខាងស្តាំមានប្រភាគទសភាគដែលមានសញ្ញាក្បៀស។ សញ្ញាក្បៀសគឺជាភ្ញៀវដ៏កម្រនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានយកប្រព័ន្ធនេះចេញពីបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ច។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ? អ្នកអាចព្យាយាមបង្ហាញអថេរមួយក្នុងន័យមួយទៀត ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ អ្នកប្រាកដជានឹងទទួលបានប្រភាគពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច ដែលពិបាកនឹងធ្វើការជាមួយខ្លាំងណាស់ ហើយការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងមើលទៅអាក្រក់ណាស់។ អ្នកអាចគុណសមីការទីពីរដោយ 6 ហើយដកពាក្យដោយពាក្យ ប៉ុន្តែប្រភាគដូចគ្នានឹងបង្ហាញនៅទីនេះ។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ក្នុងករណីបែបនេះរូបមន្តរបស់ Cramer មកជួយសង្គ្រោះ។

;

ចម្លើយ: ,

ឫសទាំងពីរមានកន្ទុយគ្មានកំណត់ ហើយត្រូវបានគេរកឃើញប្រហែល ដែលពិតជាអាចទទួលយកបាន (និងសូម្បីតែជារឿងធម្មតា) សម្រាប់បញ្ហាសេដ្ឋកិច្ច។

មតិយោបល់មិនចាំបាច់នៅទីនេះទេ ដោយសារកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មានការព្រមានមួយ។ នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រនេះ បង្ខំបំណែកនៃកិច្ចការគឺជាបំណែកដូចខាងក្រោមៈ "ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់". បើមិនដូច្នោះទេ អ្នកត្រួតពិនិត្យអាចដាក់ទោសអ្នកចំពោះការមិនគោរពទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer។

វានឹងមិនមានការហួសហេតុក្នុងការត្រួតពិនិត្យទេ ដែលងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖ យើងជំនួសតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។ ជាលទ្ធផលដោយមានកំហុសតូចមួយលេខដែលនៅខាងស្តាំគួរតែត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍ ៨

បង្ហាញចម្លើយរបស់អ្នកជាប្រភាគមិនសមរម្យធម្មតា។ ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ឧទាហរណ៍នៃការរចនាដ៏ល្អ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

យើងងាកទៅរកការពិចារណានៃច្បាប់របស់ Cramer សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

យើងរកឃើញកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

ប្រសិនបើ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ)។ ក្នុងករណីនេះក្បួនរបស់ Cramer នឹងមិនជួយទេអ្នកត្រូវប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ប្រសិនបើ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយដើម្បីស្វែងរកឫសគល់ យើងត្រូវគណនាកត្តាកំណត់បីបន្ថែមទៀត៖
, ,

ហើយចុងក្រោយ ចម្លើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញករណី "បីដោយបី" ជាមូលដ្ឋានមិនខុសពីករណី "ពីរដោយពីរ" ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរជាបន្តបន្ទាប់ "ដើរ" ពីឆ្វេងទៅស្តាំតាមជួរឈរនៃកត្តាកំណត់សំខាន់។

ឧទាហរណ៍ ៩

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ចម្លើយ: .

តាមពិតទៅ មិនមានអ្វីពិសេសក្នុងការធ្វើអត្ថាធិប្បាយនៅទីនេះម្តងទៀតទេ ដោយមើលឃើញថាការសម្រេចចិត្តត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ ប៉ុន្តែមានកំណត់ចំណាំពីរបី។

វាកើតឡើងថាជាលទ្ធផលនៃការគណនា ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន "អាក្រក់" ត្រូវបានទទួល ឧទាហរណ៍៖ .
ខ្ញុំសូមណែនាំក្បួនដោះស្រាយ "ការព្យាបាល" ខាងក្រោម។ បើគ្មានកុំព្យូទ័រនៅនឹងដៃទេ យើងធ្វើដូចនេះ៖

1) ប្រហែលជាមានកំហុសក្នុងការគណនា។ ដរាបណាអ្នកជួបប្រទះនឹងការបាញ់ "អាក្រក់" អ្នកត្រូវតែពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើ លក្ខខណ្ឌត្រូវបានសរសេរឡើងវិញ។. ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដោយគ្មានកំហុស នោះអ្នកត្រូវគណនាឡើងវិញនូវកត្តាកំណត់ដោយប្រើការពង្រីកក្នុងជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ)។

2) ប្រសិនបើគ្មានកំហុសត្រូវបានរកឃើញជាលទ្ធផលនៃការត្រួតពិនិត្យទេ នោះទំនងជាការវាយខុសត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកិច្ចការ។ ក្នុងករណីនេះដោយស្ងប់ស្ងាត់និងដោយប្រុងប្រយ័ត្នដោះស្រាយភារកិច្ចដល់ទីបញ្ចប់ហើយបន្ទាប់មក ត្រូវប្រាកដថាពិនិត្យមើលហើយគូរវានៅលើច្បាប់ចម្លងស្អាត បន្ទាប់ពីការសម្រេចចិត្ត។ ជាការពិតណាស់ ការពិនិត្យមើលចំលើយប្រភាគគឺជាកិច្ចការដែលមិនសប្បាយចិត្ត ប៉ុន្តែវានឹងក្លាយជាទឡ្ហីករណ៍មិនសមរម្យសម្រាប់គ្រូ ដែលពិតជាចូលចិត្តដាក់ដកសម្រាប់រឿងអាក្រក់ណាមួយ។ របៀបដោះស្រាយប្រភាគត្រូវបានរៀបរាប់លម្អិតនៅក្នុងចម្លើយសម្រាប់ឧទាហរណ៍ទី 8 ។

ប្រសិនបើអ្នកមានកុំព្យូទ័រនៅនឹងដៃ បន្ទាប់មកប្រើកម្មវិធីស្វ័យប្រវត្តិដើម្បីពិនិត្យវា ដែលអាចទាញយកដោយឥតគិតថ្លៃនៅដើមមេរៀន។ ដោយវិធីនេះ វាមានអត្ថប្រយោជន៍បំផុតក្នុងការប្រើប្រាស់កម្មវិធីភ្លាមៗ (សូម្បីតែមុនពេលចាប់ផ្តើមដំណោះស្រាយ) អ្នកនឹងឃើញភ្លាមៗនូវជំហានមធ្យមដែលអ្នកបានធ្វើខុស! ម៉ាស៊ីនគិតលេខដូចគ្នានឹងគណនាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយស្វ័យប្រវត្តិដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។

សុន្ទរកថាទីពីរ។ ពីពេលមួយទៅពេលមួយមានប្រព័ន្ធនៅក្នុងសមីការដែលអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់ ឧទាហរណ៍៖

នៅទីនេះក្នុងសមីការទីមួយមិនមានអថេរទេ នៅក្នុងសមីការទីពីរមិនមានអថេរទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការសរសេរឱ្យបានត្រឹមត្រូវ និងដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវកត្តាកំណត់ចម្បង៖
- សូន្យត្រូវបានដាក់ជំនួសអថេរដែលបាត់។
ដោយវិធីនេះ វាជាការសមហេតុផលក្នុងការបើកកត្តាកំណត់ដែលមានលេខសូន្យក្នុងជួរ (ជួរឈរ) ដែលលេខសូន្យស្ថិតនៅ ព្រោះមានការគណនាតិចជាងគួរឱ្យកត់សម្គាល់។

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (គំរូបញ្ចប់ និងចម្លើយនៅចុងមេរៀន)។

ចំពោះករណីនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 4 ដែលមាន 4 មិនស្គាល់ រូបមន្តរបស់ Cramer ត្រូវបានសរសេរតាមគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា។ អ្នកអាចឃើញឧទាហរណ៍ផ្ទាល់នៅក្នុងមេរៀន លក្ខណៈសម្បត្តិកំណត់។ ការកាត់បន្ថយលំដាប់នៃកត្តាកំណត់ - កត្តាកំណត់លំដាប់ទី 5 គឺអាចដោះស្រាយបាន។ ថ្វីត្បិតតែកិច្ចការនេះត្រូវបានរំឮកយ៉ាងខ្លាំងរួចទៅហើយអំពីស្បែកជើងរបស់សាស្រ្តាចារ្យនៅលើទ្រូងរបស់សិស្សសំណាងម្នាក់។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាករណីពិសេស សមីការម៉ាទ្រីស(សូមមើលឧទាហរណ៍លេខ 3 នៃមេរៀនដែលបានបញ្ជាក់)។

ដើម្បីសិក្សាផ្នែកនេះ អ្នកត្រូវចេះពង្រីកកត្តាកំណត់ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស និងអនុវត្តការគុណម៉ាទ្រីស។ តំណភ្ជាប់ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដែលការពន្យល់រីកចម្រើន។

ឧទាហរណ៍ 11

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖
កន្លែងណា

សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធសមីការ និងម៉ាទ្រីស។ តាមគោលការណ៍អ្វីដែលយើងសរសេរធាតុចូលទៅក្នុងម៉ាទ្រីស ខ្ញុំគិតថាអ្នករាល់គ្នាយល់។ មតិយោបល់តែមួយគត់៖ ប្រសិនបើអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការ នោះលេខសូន្យនឹងត្រូវដាក់នៅកន្លែងដែលត្រូវគ្នាក្នុងម៉ាទ្រីស។

យើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត៖
តើម៉ាទ្រីសបំប្លែងនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនោះនៅឯណា។

ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយកត្តាកំណត់៖

នៅទីនេះកត្តាកំណត់ត្រូវបានពង្រីកដោយបន្ទាត់ទីមួយ។

យកចិត្តទុកដាក់! ប្រសិនបើ នោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ ហើយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។ ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយដោយការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ (វិធីសាស្ត្រ Gauss) ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវគណនាអនីតិជនចំនួន 9 ហើយសរសេរវាទៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជន

ឯកសារយោង៖វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីអត្ថន័យនៃអក្សររងពីរដងក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ខ្ទង់ទីមួយគឺជាលេខបន្ទាត់ដែលធាតុស្ថិតនៅ។ ខ្ទង់ទីពីរគឺជាចំនួនជួរឈរដែលធាតុស្ថិតនៅ៖

នោះគឺអក្សរតូចពីរបង្ហាញថាធាតុគឺនៅក្នុងជួរដេកទីមួយជួរឈរទីបីខណៈពេលដែលឧទាហរណ៍ធាតុគឺនៅក្នុងជួរដេកទី 3 ជួរឈរទី 2

វិធីសាស្រ្ត ក្រមានិង ហ្គោសៀនដំណោះស្រាយដ៏ពេញនិយមបំផុតមួយ។ SLAU. លើសពីនេះទៀតក្នុងករណីខ្លះវាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើវិធីសាស្រ្តជាក់លាក់។ វគ្គនេះគឺជិតដល់ហើយ ហើយឥឡូវនេះគឺជាពេលវេលាដើម្បីធ្វើឡើងវិញ ឬធ្វើជាម្ចាស់វាពីដំបូង។ សព្វថ្ងៃនេះយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្ត Cramer ។ យ៉ាងណាមិញ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer គឺជាជំនាញដ៏មានប្រយោជន៍មួយ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃទម្រង់៖

តម្លៃកំណត់ x ដែលសមីការនៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ ក និង ខ គឺជាមេគុណពិត។ ប្រព័ន្ធសាមញ្ញមួយមានសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្លូវចិត្ត ឬដោយការបង្ហាញអថេរមួយនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។ ប៉ុន្តែអាចមានអថេរច្រើនជាងពីរ (x) នៅក្នុង SLAE ហើយការរៀបចំសាលារៀនសាមញ្ញគឺមិនអាចខ្វះបាននៅទីនេះ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ឧទាហរណ៍ ដោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer!

ដូច្នេះអនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ ន សមីការជាមួយ ន មិនស្គាល់។

ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស

នៅទីនេះ ក គឺជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ, X និង ខ រៀងគ្នា ម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃអថេរមិនស្គាល់ និងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ដំណោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងមិនស្មើនឹងសូន្យ (ម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ) ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ។

យោងតាមវិធីសាស្ត្រ Cramer ដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

នៅទីនេះ ដីសណ្តរ គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បង និង ដីសណ្ត x n-th - កត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងដោយជំនួសជួរឈរ n-th ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរ។

នេះគឺជាចំណុចទាំងមូលនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។ ការជំនួសតម្លៃដែលរកឃើញដោយរូបមន្តខាងលើ x នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលចង់បាន យើងជឿជាក់លើភាពត្រឹមត្រូវ (ឬផ្ទុយមកវិញ) នៃដំណោះស្រាយរបស់យើង។ ដើម្បីជួយអ្នកឱ្យយល់ខ្លឹមសារបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមនៃដំណោះស្រាយលម្អិតនៃ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ទោះមិនជោគជ័យលើកដំបូងក៏មិនត្រូវបាក់ទឹកចិត្តដែរ! ជាមួយនឹងការអនុវត្តតិចតួច អ្នកនឹងចាប់ផ្តើមយឺតៗដូចជាគ្រាប់។ ជាងនេះទៅទៀត ឥឡូវនេះ វាមិនចាំបាច់ទាល់ច្រកលើសៀវភៅកត់ត្រានោះទេ ដោយដោះស្រាយការគណនាដ៏លំបាក និងការសរសេរនៅលើដំបង។ វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer តាមអ៊ីនធឺណិត ដោយគ្រាន់តែជំនួសមេគុណទៅជាទម្រង់ដែលបានបញ្ចប់។ អ្នកអាចសាកល្បងម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតសម្រាប់ដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាឧទាហរណ៍នៅលើគេហទំព័រនេះ។

ហើយប្រសិនបើប្រព័ន្ធប្រែទៅជារឹងរូស ហើយមិនបោះបង់ អ្នកតែងតែអាចងាកទៅរកអ្នកនិពន្ធរបស់យើងសម្រាប់ជំនួយ ឧទាហរណ៍។ ប្រសិនបើមានយ៉ាងហោចណាស់ 100 មិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ យើងនឹងដោះស្រាយវាបានត្រឹមត្រូវ និងទាន់ពេលវេលា!

ដើម្បីគ្រប់គ្រងកថាខណ្ឌនេះ អ្នកត្រូវតែអាចបើកវគ្គជម្រុះ "ពីរដោយពីរ" និង "បីដោយបី" ។ ប្រសិនបើវគ្គជម្រុះមិនល្អ សូមសិក្សាមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?

ពិចារណាប្រព័ន្ធសមីការ

វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

ឫសគល់នៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
,

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

អ្វីដែលត្រូវធ្វើ? ក្នុងករណីបែបនេះរូបមន្តរបស់ Cramer មកជួយសង្គ្រោះ។

;

ចម្លើយ: ,

ឧទាហរណ៍ ៨

បង្ហាញចម្លើយរបស់អ្នកជាប្រភាគមិនសមរម្យធម្មតា។ ធ្វើការត្រួតពិនិត្យ។

យើងរកឃើញកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

ហើយចុងក្រោយ ចម្លើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ ៩

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ចម្លើយ: .

ឧទាហរណ៍ 10

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ឧទាហរណ៍ 11

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖
កន្លែងណា

ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយកត្តាកំណត់៖

នៅទីនេះកត្តាកំណត់ត្រូវបានពង្រីកដោយបន្ទាត់ទីមួយ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវគណនាអនីតិជនចំនួន 9 ហើយសរសេរវាទៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជន

នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការពណ៌នាអំពីការគណនាអនីតិជនឱ្យបានលម្អិត ទោះបីជាមានបទពិសោធន៍ជាក់លាក់ក៏ដោយ ពួកគេអាចត្រូវបានគេកែសម្រួលដើម្បីរាប់ជាមួយនឹងកំហុសដោយផ្ទាល់មាត់។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

កំពូលនៃទំព័រ

យើងបន្តដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាមួយគ្នា

សកម្មភាពម៉ាទ្រីស

ការបន្ថែមម៉ាទ្រីស។

គុណម៉ាទ្រីស។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមវិធីម៉ាទ្រីស

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយ ធម្មតា Jordan Exceptions

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

ដំណោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង