វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរបំពាន

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តសម្រាប់បង្កើតដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ

ក ន (t)z (ន) (t) + ក ន − 1 (t)z (ន − 1) (t) + ... + ក 1 (t)z"(t) + ក 0 (t)z(t) = f(t)

មាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរបំពាន គ kនៅក្នុងការសម្រេចចិត្តទូទៅ

z(t) = គ 1 z 1 (t) + គ 2 z 2 (t) + ... + គ ន z ន (t)

សមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។

ក ន (t)z (ន) (t) + ក ន − 1 (t)z (ន − 1) (t) + ... + ក 1 (t)z"(t) + ក 0 (t)z(t) = 0

មុខងារជំនួយ គ k (t) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុពេញចិត្តនឹងប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ (1) គឺជា Wronskian នៃមុខងារ z 1 ,z 2 ,...,z ន ដែលធានានូវភាពអាចដោះស្រាយបានតែមួយគត់របស់វាទាក់ទងនឹង .

ប្រសិនបើ antiderivatives សម្រាប់យកតាមតម្លៃថេរនៃថេរនៃការរួមបញ្ចូល នោះមុខងារ

គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរដើម។ ការរួមបញ្ចូលនៃសមីការមិនដូចគ្នានៅក្នុងវត្តមាននៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា quadratures ។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តសម្រាប់បង្កើតដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងទម្រង់ធម្មតាវ៉ិចទ័រ

មាននៅក្នុងការសាងសង់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ (1) ក្នុងទម្រង់

កន្លែងណា Z(t) គឺជាមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា សរសេរជាម៉ាទ្រីស ហើយអនុគមន៍វ៉ិចទ័រ ដែលជំនួសវ៉ិចទ័រនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង។ ដំណោះស្រាយពិសេសដែលចង់បាន (ជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យដំបូងនៅ t = t 0 មានទម្រង់

សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណថេរ កន្សោមចុងក្រោយត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ម៉ាទ្រីស Z(t)Z− 1 (τ)បានហៅ ម៉ាទ្រីស Cauchyប្រតិបត្តិករ អិល = ក(t) .

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ឬវិធីសាស្ត្រ Lagrange គឺជាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ និងសមីការ Bernoulli ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយគឺជាសមីការនៃទម្រង់ y'+p(x)y=q(x)។ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំគឺសូន្យ៖ y'+p(x)y=0 នោះនេះគឺជាលីនេអ៊ែរ ដូចគ្នាសមីការលំដាប់ទី១។ ដូច្នោះហើយ សមីការដែលមានផ្នែកខាងស្តាំមិនសូន្យ y'+p(x)y=q(x), — ខុសគ្នាសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1 ។

វិធីសាស្ត្របំរែបំរួលថេរដោយបំពាន (វិធីសាស្ត្រ Lagrange) រួមមានដូចខាងក្រោមៈ

1) យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដូចគ្នា y'+p(x)y=0: y=y*។

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ C ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមិនមែនជាថេរ ប៉ុន្តែមុខងារនៃ x: C = C(x) ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃដំណោះស្រាយទូទៅ (y*)' ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ y* និង (y*)' ទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ពីសមីការលទ្ធផល យើងរកឃើញអនុគមន៍ С(x)។

3) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous ជំនួសឱ្យ C យើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ C (x) ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍អំពីវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។ ចូរយើងយកភារកិច្ចដូចគ្នាដូចនៅក្នុង ប្រៀបធៀបដំណើរនៃដំណោះស្រាយ ហើយត្រូវប្រាកដថាចម្លើយដែលទទួលបានគឺដូចគ្នា។

1) y'=3x-y/x

ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ (ផ្ទុយពីវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ដែលយើងត្រូវការសញ្ញាណដើម្បីមើលថាសមីការគឺលីនេអ៊ែរ)។

y'+y/x=3x (I)។ ឥឡូវ​យើង​ទៅ​តាម​គម្រោង។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'+y/x=0 ។ នេះគឺជាសមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ តំណាង y'=dy/dx, ជំនួស៖ dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x ។ យើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ហើយចែកនឹង xy≠0៖ dy/y=-dx/x ។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅដែលទទួលបាននៃសមីការដូចគ្នា យើងនឹងពិចារណា С មិនមែនជាថេរ ប៉ុន្តែមុខងារនៃ x: С = С (x) ។ ពី​ទីនេះ

កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានជំនួសដោយលក្ខខណ្ឌ (I)៖

យើងរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការ៖

នៅទីនេះ C គឺជាចំនួនថេរថ្មីរួចទៅហើយ។

3) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា y \u003d C / x ដែលយើងចាត់ទុក C \u003d C (x) នោះគឺ y \u003d C (x) / x ជំនួសឱ្យ C (x) យើងជំនួស បានរកឃើញកន្សោម x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x ឬ y=x²+C/x ។ យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

ចម្លើយ៖ y=x²+C/x។

2) y' + y = cosx ។

នៅទីនេះសមីការត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ មិនចាំបាច់បំប្លែងទេ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx ។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

ដើម្បីទទួលបានសញ្ញាណដែលងាយស្រួលជាង យើងនឹងយកនិទស្សន្តទៅជាថាមពល C ជា C ថ្មី៖

ការបំប្លែងនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ។

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយលទ្ធផលទូទៅនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា យើងចាត់ទុក С មិនមែនជាថេរទេ ប៉ុន្តែជាអនុគមន៍ x: С=С(x)។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ។

កន្សោមលទ្ធផល y និង y ត្រូវបានជំនួសក្នុងលក្ខខណ្ឌ៖

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

យើងធ្វើសមាហរណកម្មផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ ដោយប្រើរូបមន្តធ្វើសមាហរណកម្មដោយផ្នែក យើងទទួលបាន៖

នៅទីនេះ C លែងជាមុខងារទៀតហើយ ប៉ុន្តែជាថេរធម្មតា។

3) ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous

យើងជំនួសមុខងារដែលបានរកឃើញ С(x)៖

យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពានក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះការដោះស្រាយ។

y'x+y=-xy²។

យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖ y'+y/x=-y² (II) ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'+y/x=0 ។ dy/dx=-y/x ។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ហើយចែកដោយ y: dy/y=-dx/x ។ ឥឡូវ​យើង​រួម​បញ្ចូល៖

យើងជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ (II)៖

ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបានសម្រាប់ C និង x៖

នៅទីនេះ C គឺជាថេរធម្មតារួចទៅហើយ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើសមាហរណកម្ម ជំនួសឱ្យ C(x) យើងគ្រាន់តែសរសេរ C ដើម្បីកុំឱ្យលើសទម្ងន់កំណត់។ ហើយនៅទីបញ្ចប់ យើងបានត្រលប់ទៅ C(x) ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំ C(x) ជាមួយ C ថ្មី។

3) យើងជំនួសមុខងារដែលបានរកឃើញ С(x) ទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា y=C(x)/x:

យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង៖

1. ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ៖ y'-2y=x ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'-2y=0 ។ y'=dy/dx ដូច្នេះ dy/dx=2y គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ចែកដោយ y និងរួមបញ្ចូល៖

ពីទីនេះយើងរកឃើញ y:

យើងជំនួសកន្សោមសម្រាប់ y ​​និង y ទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ (សម្រាប់ភាពសង្ខេប យើងនឹងបញ្ចូល C ជំនួសឱ្យ C (x) និង C' ជំនួសឱ្យ C "(x)):

ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៅជ្រុងខាងស្តាំ យើងប្រើរូបមន្ត integration-by-parts៖

ឥឡូវនេះយើងជំនួស u, du និង v ទៅក្នុងរូបមន្ត៖

នៅទីនេះ C = const ។

3) ឥឡូវនេះយើងជំនួសចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយនៃភាពដូចគ្នា។

ធម្មទេសនា 44. សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ នៃលំដាប់ទីពីរ។ វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃអថេរបំពាន។ សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ (ផ្នែកខាងស្តាំពិសេស) ។

ការផ្លាស់ប្តូរសង្គម។ រដ្ឋ និងសាសនាចក្រ។

គោលនយោបាយសង្គមរបស់ Bolsheviks ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងទូលំទូលាយដោយវិធីសាស្រ្តថ្នាក់របស់ពួកគេ។ដោយក្រឹត្យថ្ងៃទី 10 ខែវិច្ឆិកា ឆ្នាំ 1917 ប្រព័ន្ធអចលនទ្រព្យត្រូវបានលុបចោល ឋានៈមុនបដិវត្តន៍ ឋានៈ និងរង្វាន់ត្រូវបានលុបចោល។ ការបោះឆ្នោតជ្រើសរើសចៅក្រមត្រូវបានបង្កើតឡើង; ការបែងចែករដ្ឋស៊ីវិលត្រូវបានអនុវត្ត។ បានបង្កើតការអប់រំ និងការថែទាំសុខភាពដោយឥតគិតថ្លៃ (ក្រឹត្យចុះថ្ងៃទី៣១ ខែតុលា ឆ្នាំ១៩១៨)។ ស្ត្រីត្រូវបានសមភាពក្នុងសិទ្ធិជាមួយបុរស (ក្រឹត្យថ្ងៃទី 16 និង 18 ខែធ្នូឆ្នាំ 1917) ។ ក្រឹត្យស្តីពីអាពាហ៍ពិពាហ៍បានណែនាំស្ថាប័ននៃអាពាហ៍ពិពាហ៍ស៊ីវិល។

ដោយក្រឹត្យរបស់ក្រុមប្រឹក្សាប្រជាជននៅថ្ងៃទី 20 ខែមករាឆ្នាំ 1918 ព្រះវិហារត្រូវបានបំបែកចេញពីរដ្ឋនិងពីប្រព័ន្ធអប់រំ។ ទ្រព្យសម្បត្តិព្រះវិហារភាគច្រើនត្រូវបានរឹបអូស។ អយ្យកោ Tikhon នៃទីក្រុងមូស្គូ និងប្រទេសរុស្ស៊ីទាំងអស់ (ជាប់ឆ្នោតនៅថ្ងៃទី 5 ខែវិច្ឆិកា ឆ្នាំ 1917) នៅថ្ងៃទី 19 ខែមករា ឆ្នាំ 1918 បានធ្វើឱ្យមានអំណាចសូវៀតយ៉ាងខ្លាំង ហើយបានអំពាវនាវឱ្យមានការប្រយុទ្ធប្រឆាំងនឹងក្រុម Bolsheviks ។

ពិចារណាសមីការលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ

រចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការបែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោមៈ

ទ្រឹស្តីបទ ១.ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការមិនដូចគ្នា (1) ត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួននៃសមីការនេះ និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា

ភស្តុតាង. យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា ផលបូក

គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (1) ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថាមុខងារ (3) គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ។

ការជំនួសផលបូកទៅជាសមីការ (1) ជំនួសវិញ។ នៅ, នឹង​មាន

ដោយសារមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2) កន្សោមក្នុងតង្កៀបទីមួយគឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ។ ដោយសារមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (1) កន្សោមក្នុងតង្កៀបទីពីរគឺស្មើនឹង f(x). ដូច្នេះ សមភាព (៤) ជាអត្តសញ្ញាណ។ ដូច្នេះផ្នែកដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ការអះអាងទីពីរ៖ ការបញ្ចេញមតិ (៣) គឺ ទូទៅដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ។ យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ថា ថេរបំពានដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមនេះអាចត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានពេញចិត្ត៖

លេខអ្វីក៏ដោយ។ x 0 , y 0និង (ប្រសិនបើ x 0ត្រូវបានយកចេញពីតំបន់ដែលមានមុខងារ a 1 , a 2និង f(x)បន្ត) ។

ដោយកត់សំគាល់ថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីតំណាងនៅក្នុងទម្រង់។ បន្ទាប់មកផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌ (៥) យើងមាន

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះហើយស្វែងរក ពី 1និង ពី ២. ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញដូចតទៅ៖

ចំណាំថាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាកត្តាកំណត់ Wronsky សម្រាប់មុខងារ ១និង នៅ 2នៅចំណុច x=x 0. ដោយសារមុខងារទាំងនេះមានភាពឯករាជ្យតាមលីនេអ៊ែរដោយការសន្មត់ កត្តាកំណត់ Wronsky មិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធ (6) មានដំណោះស្រាយច្បាស់លាស់ ពី 1និង ពី ២, i.e. មានតម្លៃបែបនេះ ពី 1និង ពី ២ដែលរូបមន្ត (3) កំណត់ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ Q.E.D.

ចូរយើងងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការ inhomogeneous ។

ចូរយើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា (2)

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការ inhomogeneous (1) ក្នុងទម្រង់ (7) ដោយពិចារណា។ ពី 1និង ពី ២ដូចជាលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលមិនទាន់ស្គាល់ពី X.

ចូរយើងបែងចែកសមភាព (៧)៖

យើងជ្រើសរើសមុខងារដែលចង់បាន ពី 1និង ពី ២ដូច្នេះសមភាព

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌបន្ថែមនេះត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីនោះ ដេរីវេទី 1 យកទម្រង់

ឥឡូវ​នេះ​ការ​បែងចែក​កន្សោម​នេះ យើង​រក​ឃើញ៖

ជំនួសដោយសមីការ (1) យើងទទួលបាន

កន្សោម​ក្នុង​តង្កៀប​ពីរ​ដំបូង​បាត់​ដោយ​សារ​តែ​ y ១និង y2គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា។ ដូច្នេះ សមភាពចុងក្រោយយកទម្រង់

ដូច្នេះ អនុគមន៍ (7) នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នា (1) ប្រសិនបើអនុគមន៍ ពី 1និង ពី ២បំពេញសមីការ (8) និង (9) ។ ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការពីសមីការ (8) និង (9) ។

ដោយសារកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាកត្តាកំណត់ Vronsky សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ y ១និង y2សមីការ (2) បន្ទាប់មកវាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ដូច្នេះការដោះស្រាយប្រព័ន្ធយើងនឹងរកឃើញមុខងារជាក់លាក់ទាំងពីរនៃ X:

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងរកឃើញថាមកពីណា ជាលទ្ធផលនៃសមាហរណកម្ម យើងទទួលបាន។ បន្ទាប់មក យើងជំនួសអនុគមន៍ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous ដែលជាចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ខ្ពស់ជាមួយនឹងមេគុណថេរដោយវិធីសាស្ត្រនៃបំរែបំរួលនៃថេរ Lagrange ត្រូវបានពិចារណា។ វិធីសាស្ត្រ Lagrange ក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នា ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

វិធីសាស្រ្ត Lagrange (បំរែបំរួលនៃថេរ)

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃលំដាប់ទី 0 បំពាន៖
(1) .
វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលថេរ ដែលយើងពិចារណាសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយ ក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះសមីការនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងនេះផងដែរ។

ដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តជាពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូង យើងបោះបង់ផ្នែកខាងស្តាំ ហើយដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមាន n arbitrary constants ។ នៅជំហានទីពីរយើងផ្លាស់ប្តូរចំនួនថេរ។ នោះគឺយើងពិចារណាថាថេរទាំងនេះគឺជាមុខងារនៃអថេរ x និងស្វែងរកទម្រង់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ទោះបីជាយើងកំពុងពិចារណាសមីការជាមួយមេគុណថេរនៅទីនេះ ប៉ុន្តែ វិធីសាស្ត្រ Lagrange ក៏អាចអនុវត្តបានផងដែរក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ. ចំពោះបញ្ហានេះ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវតែដឹង។

ជំហានទី 1. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ homogeneous

ដូចនៅក្នុងករណីនៃសមីការលំដាប់ទីមួយ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous ជាដំបូងដែលសមីការផ្នែក inhomogeneous ត្រឹមត្រូវទៅសូន្យ៖
(2) .
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការបែបនេះមានទម្រង់៖
(3) .
នេះគឺជាអថេរដែលបំពាន - n ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការ homogeneous (2) ដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។

ជំហាន 2. បំរែបំរួលនៃថេរ - ការជំនួសថេរដោយអនុគមន៍

នៅក្នុងជំហានទីពីរ យើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងការប្រែប្រួលនៃថេរ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត យើងនឹងជំនួសថេរដោយមុខងារនៃអថេរ x :
.
នោះគឺយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើម (1) ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
(4) .

ប្រសិនបើយើងជំនួស (4) ទៅជា (1) យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយសម្រាប់អនុគមន៍ n ។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចភ្ជាប់មុខងារទាំងនេះជាមួយនឹងសមីការបន្ថែម។ បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានសមីការ n ដែលអ្នកអាចកំណត់មុខងារ n ។ សមីការបន្ថែមអាចត្រូវបានសរសេរតាមវិធីផ្សេងៗ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងធ្វើវាតាមរបៀបដែលដំណោះស្រាយមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ ពេល​ធ្វើ​ការ​ខុស​គ្នា អ្នក​ត្រូវ​ប្រើ​ពាក្យ​សូន្យ​ដែល​មាន​ដេរីវេនៃ​មុខងារ។ សូម​បង្ហាញ​ពី​ការ​នេះ។

ដើម្បីជំនួសដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង (4) ទៅក្នុងសមីការដើម (1) យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ n ដំបូងនៃអនុគមន៍ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ (4)។ ភាពខុសគ្នា (4) ដោយអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃផលបូក និងផលិតផល៖
.
តោះសមាជិកក្រុម។ ជាដំបូង យើងសរសេរពាក្យជាមួយនឹងដេរីវេនៃ ហើយបន្ទាប់មកពាក្យដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុនៃ៖

.
យើងដាក់លក្ខខណ្ឌដំបូងលើមុខងារ៖
(5.1) .
បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ដេរីវេទី 1 ទាក់ទងនឹង នឹងមានទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖
(6.1) .

ដូចគ្នាដែរ យើងរកឃើញដេរីវេទី ២៖

.
យើងដាក់លក្ខខណ្ឌទីពីរលើមុខងារ៖
(5.2) .
បន្ទាប់មក
(6.2) .
ល​ល។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម យើងយកលក្ខខណ្ឌដែលមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ទៅជាសូន្យ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសសមីការបន្ថែមខាងក្រោមសម្រាប់អនុគមន៍៖
(5.k) ,
បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុដំបូងដែលទាក់ទងនឹង នឹងមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត៖
(6.k) .
នៅទីនេះ

យើងរកឃើញដេរីវេទី 9៖
(6.n)
.

យើងជំនួសសមីការដើម (1)៖
(1) ;






.
យើងពិចារណាថាមុខងារទាំងអស់បំពេញសមីការ (2)៖
.
បន្ទាប់មកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដែលមានផ្តល់ឱ្យសូន្យ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
(7) .

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ៖
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងរកឃើញកន្សោមសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុជាមុខងារនៃ x ។ ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន៖
.
នេះគឺជាចំនួនថេរដែលលែងពឹងផ្អែកលើ x ។ ជំនួស (4) យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដើម។

ចំណាំថាយើងមិនដែលប្រើការពិតដែលថាមេគុណ a i គឺថេរដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃដេរីវេ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល វិធីសាស្ត្រ Lagrange អាចអនុវត្តបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរប្រសិនបើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា (2) ត្រូវបានគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលនៃថេរ (Lagrange) ។


ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ >>

សូម​មើល​ផង​ដែរ: ដំណោះស្រាយនៃសមីការលំដាប់ទីមួយដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលថេរ (Lagrange)
ការដោះស្រាយសមីការលំដាប់ខ្ពស់ជាងដោយវិធីសាស្ត្រ Bernoulli
ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ដែលមិនស្មើគ្នាជាមួយមេគុណថេរដោយការជំនួសលីនេអ៊ែរ