ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ របៀបដោះស្រាយ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ

− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 y +27

+(y +6)

x = 1, x

(x − 1)

= −6.

y = −6

ចំណាំថាដំណោះស្រាយនៃសមីការទីពីរគឺមិនទាន់ជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ លេខលទ្ធផលត្រូវតែត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការទីមួយដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះបន្ទាប់ពីការជំនួសយើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ។

ចំលើយ៖ (១, - ៦) ♦

§ ៥. សមីការ និងប្រព័ន្ធដូចគ្នា
អនុគមន៍ f (x,y)	បានហៅ	ដូចគ្នា		k ប្រសិនបើ
f (tx, ty) = tk f(x, y) ។	ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
គឺដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទី 4 ចាប់តាំងពី		f(tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) ។ សមីការ f (x, y) = 0, ដែល				f (x, y) -

មុខងារដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ។ វាកាត់បន្ថយទៅនឹងសមីការ

ជាមួយនឹងមិនស្គាល់មួយ ប្រសិនបើយើងណែនាំអថេរថ្មី t = x y ។

f (x, y) = a,

ប្រព័ន្ធដែលមានអថេរពីរ g (x, y) \u003d b, ដែល f (x, y), g (x, y) -

មុខងារដូចគ្នានៃកម្រិតដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ។ ប្រសិនបើ ab ≠ 0 គុណសមីការទីមួយដោយ b ទីពីរដោយ a ហើយអ្នក -

យើងប្រៀបធៀបមួយពីមួយទៀត - យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូល

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = ខ។

សមីការទីមួយដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t =

(ឬ t =

) កាត់បន្ថយ

សមីការជាមួយមិនស្គាល់មួយ។

ប្រសិនបើ a = 0

(b = 0) បន្ទាប់មកសមីការ f (x,y) = 0(g (x,y) = 0) ដោយជំនួស

អថេរ t =

(ឬ t =

) កាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមិនស្គាល់មួយ។

−xy+y

21 ,

ឧទាហរណ៍ 20. (សាកលវិទ្យាល័យ Moscow State, 2001, នាយកដ្ឋានគីមីវិទ្យា) ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ

− 2xy + 15 = 0 ។

ឆ្នាំសិក្សា ២០១២-២០១៣ ឆ្នាំ, លេខ 1, 11 កោសិកា។ គណិតវិទ្យា។ សមីការពិជគណិត វិសមភាព ប្រព័ន្ធ

− xy + y 2 = 21,

− xy + y ២

y2 − 2xy

−2xy = −15

2xy = − 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

១៩ ± ១១

5x2 − 19xy + 12y2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2xy = −15

x=3y,

y = ± 5 ។

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

§៦. ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រី

f(x, y)

បានហៅ

ស៊ីមេទ្រី,

f (x, y) = f (y, x) ។

f (x, y) = ក

ប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃទម្រង់

ដែល f (x , y ) , g ( x , y ) – ស៊ីមេទ្រី

g (x, y) = ខ,

ric ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រី។ ប្រព័ន្ធបែបនេះ

ជាញឹកញាប់	មានតែតាមរយៈការណែនាំថ្មី។	អថេរ
x + y = u, xy

x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,

ឧទាហរណ៍ 21 ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

x + xy + y = 5 ។

♦ នេះគឺជាប្រព័ន្ធពិជគណិត (ស៊ីមេទ្រី) ដែលជាធម្មតាត្រូវបានដោះស្រាយដោយការផ្លាស់ប្តូរ x + y = u ,xy = v ។ ការកត់សំគាល់នោះ។

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

សរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញក្នុងទម្រង់

− ៣ វ + វ

u = 5 − v,

6 =0

V=5

−៥ វ

v=3, u=2

(នៅក្នុងអថេរចាស់)

x+y=2,

x=2-y ,

xy = 3,

y 2 − 2y + 3 = 0

x+y=3,

x = 3 − y,

x=2,y=1,

y −3 y +2 = 0

x=1,y=2។

xy = 2,

ចម្លើយ៖ (២; ១),

(1; 2) .♦

អក្សរសិល្ប៍

1. S. I. Kolesnikova "វគ្គសិក្សាដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងនៃការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម" ។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ, អាយរីស - សារព័ត៌មាន;

2. "ការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម" ទីក្រុងម៉ូស្គូ, អាយរីស - សារព័ត៌មានឬ "វ៉ាកូ" ឆ្នាំ ២០១១;

3. ទស្សនាវដ្តី "សក្តានុពល" №1-2 សម្រាប់ឆ្នាំ 2005 - អត្ថបទដោយ S. I. Kolesnikova "សមីការមិនសមហេតុផល" និង "វិសមភាពមិនសមហេតុផល";

4. S. I. Kolesnikov "សមីការមិនសមហេតុផល", ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 2010,

OOO "Azbuka";

5. S. I. Kolesnikova "វិសមភាពមិនសមហេតុផល", ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 2010, Azbuka LLC;

6. S. I. Kolesnikova "សមីការ និងវិសមភាពដែលមានម៉ូឌុល", Moscow, 2010, Azbuka LLC ។

សំណួរសាកល្បង

១(២)។ ស្វែងរកប្រវែងតូចបំផុតនៃចន្លោះពេលដែលមានដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃវិសមភាព 5x + 1≥ 2(x − 1) ។

២(២). ដោះស្រាយវិសមភាព x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (មិនចាំបាច់ដោះស្រាយសមីការគូបទេ ព្រោះមានកត្តា x − 2 នៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង)។

៣(២)។ ដោះស្រាយវិសមភាព 2− x ≥ x − 3 ។

៤(២). ស្វែងរកប្រវែងតូចបំផុតនៃគម្លាតដែលជាកម្មសិទ្ធិ

ប្រមូលផលរាល់ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(x+13)(x+14)

៥(៣)។ ស្វែងរកផលបូកនៃការ៉េនៃដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៃវិសមភាព

4 −x −8 +x ≤x +6 ។

៦(៣)។ ដោះស្រាយវិសមភាព 5+ x − 8− x ≤ 3− x ។

៧(៣)។ ដោះស្រាយវិសមភាព	-x3 -x -1		≤x។
				9 − 4x − (x + 3))

៨(៣)។ ដោះស្រាយវិសមភាព	4 −x −(x +2))(				≤ 0.
		(x+1)(x − 2)(x − 3)

៩(៤)។ ស្វែងរកប្រវែងតូចបំផុតនៃគម្លាតដែលជាកម្មសិទ្ធិ

ប្រមូលផលរាល់ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព
	x+5	x+2		១៤៤-x< 0.


	X-2	4 x −5	៦x−៦
	X-2	4 x −5	៦x−៦

១០(២)។ ស្វែងរកប្រវែងតូចបំផុតនៃចន្លោះពេលដែលមានដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃវិសមភាព 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 ។

១១(៤)។ ស្វែងរកផលបូកនៃការ៉េនៃដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទាំងអស់នៃ non-

២(២). ស្វែងរកចន្លោះពេលខ្លីបំផុតដែលមាន
	(x − 1 )3 (x + 3)
ដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃវិសមភាព				≤ 0 .
	2x − 1	x − 2	) (x − 1)

៣(២)។ ដោះស្រាយវិសមភាព

4 (x− 3) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5) 4 .

៤(៤)។ ដោះស្រាយវិសមភាព

x2 + 3 x − 4

x ២−១៦

2x 2 + 3x − 20

៥(៣)។ ដោះស្រាយវិសមភាព(x ២

X +1) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2

≥ 0 .

4 − 2x − 1≤ 3 ។

ភារកិច្ច

− 5x + 6+ 9 − 2x − 5

៧(៤)។ ស្វែងរកតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងអស់។

a សម្រាប់ការដែលនីមួយៗ

មុខងារ f (x) \u003d x 2 + 4x +

x2−

x − ១

- ទទួលបានតែ

មិនអវិជ្ជមាន

តម្លៃរឹង។

៨(៤)។ ដោះស្រាយសមីការ 4 x − 3

x − ១

៥x+១៤−៣

៥x + ១៤ − ១

៩(៤)។ ដោះស្រាយសមីការ

x 2− 5 +

x 2 −3 \u003d x +1 +

x + 3 ។

២៤ - x២

9 2 x

១០(៣)។ ដោះស្រាយវិសមភាព

≥ 0 .

x2 − 4 7 x − 10

១១(៣)។ អ្នកជិះបីនាក់ចាប់ផ្តើមក្នុងពេលតែមួយពីចំណុចដូចគ្នានៅលើសៀគ្វីហើយបើកបរក្នុងល្បឿនថេរក្នុងទិសដៅដូចគ្នា។ អ្នកប្រណាំងទី 1 ចាប់បានលើកទី 2 ជាលើកដំបូងដោយធ្វើឱ្យភ្លៅទី 5 របស់គាត់នៅចំណុចមួយទល់មុខនឹងការចាប់ផ្តើមហើយកន្លះម៉ោងក្រោយមកគាត់បានចាប់បានជាមួយអ្នកប្រណាំងទីបីជាលើកទីពីរដោយមិនរាប់បញ្ចូលពេលចាប់ផ្តើម។ . អ្នកជិះទីពីរចាប់បានអ្នកទីបីជាលើកដំបូង 3 ម៉ោងបន្ទាប់ពីការចាប់ផ្តើម។ តើអ្នកជិះទីមួយធ្វើបានប៉ុន្មានជុំក្នុងមួយម៉ោង បើអ្នកទីពីរបញ្ចប់ភ្លៅក្នុងរយៈពេលយ៉ាងតិចម្ភៃនាទី?

សេចក្តីផ្តើម បញ្ហានៃគម្រោងរបស់ខ្ញុំគឺថា សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធផ្សេងៗនៃសមីការគឺទាមទារសម្រាប់ការប្រឡងជាប់ដោយជោគជ័យ ហើយក្នុងវគ្គសិក្សាវិទ្យាល័យ ពួកគេមិនត្រូវបានផ្តល់ពេលវេលាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងយល់អំពីបញ្ហានេះឱ្យបានស៊ីជម្រៅនោះទេ។ គោលបំណងនៃការងារ៖ ដើម្បីរៀបចំការប្រឡងឱ្យទទួលបានជោគជ័យ។ ភារកិច្ចនៃការងារ៖ ពង្រីកចំណេះដឹងរបស់អ្នកក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងគំនិតនៃ "ស៊ីមេទ្រី" ។ កែលម្អវប្បធម៌គណិតវិទ្យារបស់អ្នក ដោយប្រើគំនិតនៃ "ស៊ីមេទ្រី" នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ ដែលហៅថា ស៊ីមេទ្រី ក៏ដូចជាបញ្ហាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។

គំនិតនៃស៊ីមេទ្រី។ ស៊ីមេទ្រី - ( συμμετρία ក្រិកបុរាណ) ក្នុងន័យទូលំទូលាយ - ភាពមិនអាចផ្លាស់ប្តូរបាននៅក្រោមការផ្លាស់ប្តូរណាមួយ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ស៊ីមេទ្រីរាងស្វ៊ែរនៃរាងកាយមួយមានន័យថារូបរាងរបស់រាងកាយនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេប្រសិនបើវាត្រូវបានបង្វិលក្នុងលំហនៅមុំបំពាន។ ស៊ីមេទ្រីទ្វេភាគីមានន័យថា ខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងមើលទៅដូចគ្នា ដោយគោរពតាមយន្តហោះខ្លះ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើស៊ីមេទ្រី។ បញ្ហាទី 1 មនុស្សពីរនាក់ប្តូរវេនគ្នាដាក់កាក់ដូចគ្នានៅលើតុមូលមួយ ហើយកាក់មិនគួរគ្របដណ្ដប់គ្នាទៅវិញទៅមកទេ។ អ្នកដែលមិនអាចធ្វើចលនាបានចាញ់។ តើអ្នកណាឈ្នះនៅពេលលេងត្រឹមត្រូវ? (និយាយម្យ៉ាងទៀត អ្នកលេងមួយណាមានយុទ្ធសាស្ត្រឈ្នះ?)

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រី។ ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរដែលជាពហុនាមស៊ីមេទ្រីចម្បង។ ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការពីរដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ x និង y ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការជំនួស u = x + y, v = xy ។

ឧទាហរណ៍លេខ 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 ដោយប្រើពហុនាមស៊ីមេទ្រីមូលដ្ឋាន ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3v \u003d -8 ។ បង្ហាញ u = ពីសមីការទីពីរ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន 9v2– 28v – 156 = 0 ។ ឫសនៃសមីការនេះ v 1 = 6 និង v 2 = - អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នា u1 = 5, u2= - ពីកន្សោម u = ។

ឥឡូវយើងដោះស្រាយសំណុំប្រព័ន្ធខាងក្រោមនេះ ឥឡូវយើងដោះស្រាយសំណុំប្រព័ន្ធខាងក្រោម x + y = 5, និង x + y = - , xy = 6 xy = - ។ x \u003d 5 - y, និង y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d - ។ x \u003d 5 - y, និង y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d - ។ x \u003d 5 - y, និង y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, និង x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= ចម្លើយ៖ (2; 3), (3; 2), (; -), (-;) ។

ទ្រឹស្តីបទដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រី។ ទ្រឹស្តីបទ 1. (នៅលើពហុនាមស៊ីមេទ្រី) ពហុនាមស៊ីមេទ្រីណាមួយនៅក្នុងអថេរពីរអាចត្រូវបានតំណាងថាជាមុខងារនៃពហុធាស៊ីមេទ្រីមូលដ្ឋានពីរ ម្យ៉ាងវិញទៀតសម្រាប់ពហុនាមស៊ីមេទ្រី f (x, y) មានមុខងារនៃអថេរពីរ φ (u, v) បែបនោះ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. (នៅលើពហុនាមស៊ីមេទ្រី) ទ្រឹស្តីបទ 2. (នៅលើពហុនាមស៊ីមេទ្រី) ពហុនាមស៊ីមេទ្រីណាមួយនៅក្នុងអថេរទាំងបីអាចត្រូវបានតំណាងជាមុខងារនៃពហុធាស៊ីមេទ្រីមូលដ្ឋានចំនួនបី៖ ម្យ៉ាងវិញទៀត សម្រាប់ពហុនាមស៊ីមេទ្រីណាមួយ f (x, y) មាន មុខងារនៃអថេរបីθ (u, v, w) បែបនេះ

ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីស្មុគស្មាញ - ប្រព័ន្ធដែលមានម៉ូឌុល៖ | x – y | + y2 = 3, | x–1 | + | y-1 | = 2. ពិចារណាប្រព័ន្ធនេះដាច់ដោយឡែកសម្រាប់ x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) សម្រាប់ x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) ប្រព័ន្ធយកទម្រង់ - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, ឬ - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញ x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. លេខគូទីពីរជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ដែលកំពុងពិចារណា នោះគឺជាដំណោះស្រាយ ទៅប្រព័ន្ធនេះ។

ប្រសិនបើ x ≥ 1 បន្ទាប់មក៖ ប្រសិនបើ x ≥ 1 នោះ៖ ក) x > y និង y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y និង y ≥ 1 ប្រព័ន្ធយកទម្រង់ x − y + y 2 = 3, x − 1 + y − 1 = 2 ឬ x − y + y 2 = 3, x + y = 4 ដែលយើងរកឃើញ x = 1, y = 3. លេខគូនេះមិនមែនជារបស់តំបន់ដែលកំពុងពិចារណាទេ។

c) សម្រាប់ x ≤ y (បន្ទាប់មក y ≥ 1) ប្រព័ន្ធយកទម្រង់ c) សម្រាប់ x ≤ y (បន្ទាប់មក y ≥ 1) ប្រព័ន្ធយកទម្រង់ - x + y + y 2 = 3, x − 1 + y - 1 = 2, ឬ − x + y + y 2 = 3, x + y = 4, ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញ x 1 = 5 + √8, y 1 = − 1 − √8; x 2 = 5 − √8, y 2 = − 1 + √8 ។ គូនៃលេខទាំងនេះមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ដែលកំពុងពិចារណានោះទេ។ ដូច្នេះ x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. ចម្លើយ៖ (- 1; 1); (ដប់មួយ) ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន គណិតវិទ្យាអភិវឌ្ឍការគិតរបស់មនុស្ស បង្រៀនតាមរយៈតក្កវិជ្ជា ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយផ្សេងៗ។ ដូច្នេះដោយបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រី ខ្ញុំបានដឹងថាពួកវាអាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែដើម្បីបំពេញឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងអាចដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗបានទៀតផង។ ខ្ញុំគិតថាគម្រោងនេះអាចផ្តល់អត្ថប្រយោជន៍មិនត្រឹមតែខ្ញុំទេ។ សម្រាប់អ្នកដែលចង់ស្គាល់ប្រធានបទនេះផងដែរ ការងាររបស់ខ្ញុំនឹងក្លាយជាជំនួយការដ៏ល្អ។

ឯកសារយោង: Bashmakov M. I., "ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ", ការបោះពុម្ពលើកទី 2, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, "Prosveshchenie", ឆ្នាំ 1992, 350 ទំព័រ Rudchenko P. A., Yaremchuk F. P. , "ពិជគណិត និងអនុគមន៍បឋម", ថត; ការបោះពុម្ពលើកទីបី កែប្រែ និងពង្រីក; Kyiv, Naukova, Dumka, 1987, 648 pages. Sharygin I. F., “Mathematics for high school students”, Moscow, Drofa publishing house, 1995, 490 pages. ធនធានអ៊ីនធឺណិត៖ http://www.college.en/

ការងារអាចប្រើសម្រាប់មេរៀន និងរបាយការណ៍លើប្រធានបទ "គណិតវិទ្យា"

បទបង្ហាញគណិតវិទ្យាដែលត្រៀមរួចជាស្រេចត្រូវបានប្រើជាជំនួយការមើលឃើញ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យគ្រូ ឬមាតាបិតាបង្ហាញប្រធានបទដែលកំពុងសិក្សាពីសៀវភៅសិក្សាដោយប្រើស្លាយ និងតារាង បង្ហាញឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា និងសមីការ និងសាកល្បងចំណេះដឹង។ នៅក្នុងផ្នែកនៃគេហទំព័រនេះ អ្នកអាចស្វែងរក និងទាញយកបទបង្ហាញដែលត្រៀមរួចជាស្រេចជាច្រើនក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 1,2,3,4,5,6 ក៏ដូចជាបទបង្ហាញក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់សម្រាប់និស្សិតសាកលវិទ្យាល័យ។

សិក្សាអក្សរសិល្ប៍បន្ថែមលើប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការ ខ្ញុំបានជួបជាមួយប្រព័ន្ធប្រភេទថ្មី - ស៊ីមេទ្រី។ ហើយខ្ញុំកំណត់គោលដៅខ្លួនឯង៖

សង្ខេបព័ត៌មានវិទ្យាសាស្ត្រលើប្រធានបទ "ប្រព័ន្ធសមីការ" ។

យល់និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយវិធីនៃការណែនាំអថេរថ្មី;

3) ពិចារណាទ្រឹស្តីសំខាន់ៗដែលទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ

4) រៀនដោះស្រាយប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ។

ប្រវត្តិនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

ការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ពីសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាយូរមកហើយ។ នៅសតវត្សទី ១៧-១៨ ។ ក្នុង បច្ចេកទេសដកចេញត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange ។

នៅក្នុងសញ្ញាណទំនើប ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមិនស្គាល់ពីរមានទម្រង់៖ a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត។

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

សូមអរគុណដល់វិធីសាស្ត្រសម្របសម្រួលដែលបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទី 17 ។ Fermat និង Descartes វាបានក្លាយជាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការក្រាហ្វិក។

នៅក្នុងអត្ថបទបាប៊ីឡូនបុរាណដែលបានសរសេរនៅឆ្នាំ៣-២ពាន់មុនគ.ស. អ៊ី មានបញ្ហាជាច្រើនដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយការចងក្រងប្រព័ន្ធនៃសមីការ ដែលក្នុងនោះសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរក៏ត្រូវបានណែនាំផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ #1៖

ខ្ញុំបានបន្ថែមតំបន់នៃការ៉េពីររបស់ខ្ញុំ៖ 25. ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េទីពីរគឺស្មើនឹងផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េទីមួយ និង 5 ទៀត។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងសញ្ញាដែលត្រូវគ្នាមើលទៅដូចជា: x2 + y2 = 25, y = x = ៥

Diophantus ដែលមិនមានសញ្ញាណសម្រាប់អ្វីដែលមិនស្គាល់ជាច្រើនបានយកការឈឺចាប់យ៉ាងខ្លាំងដើម្បីជ្រើសរើសអ្វីដែលមិនស្គាល់ក្នុងវិធីមួយដើម្បីកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ #2៖

"ស្វែងរកលេខធម្មជាតិពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលបូកនៃការ៉េរបស់ពួកគេគឺ 208 ។"

បញ្ហាក៏ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការចងក្រងប្រព័ន្ធសមីការ x + y = 20 ប៉ុន្តែត្រូវបានដោះស្រាយ x2 + y2 = 208

Diophantus, ជ្រើសរើសជាពាក់កណ្តាលមិនស្គាល់ភាពខុសគ្នានៃលេខដែលចង់បាន, i.e.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = −2- មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ដូច្នេះប្រសិនបើ z = 2x = 12, និង y = 8

គំនិតនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិត។

នៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើន វាអាចចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកបរិមាណដែលមិនស្គាល់មួយចំនួន ដោយដឹងថាបរិមាណផ្សេងទៀតដែលបង្កើតឡើងដោយជំនួយរបស់ពួកគេ (មុខងារមិនស្គាល់) គឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក ឬបរិមាណដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួន។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយ។

ដីរាងចតុកោណទំហំ២៤០០ម២ មានរបងជាប់ប្រវែង២០០ម។ ស្វែងរកប្រវែងនិងទទឹងនៃផ្នែក។ តាមពិត "គំរូពិជគណិត" នៃបញ្ហានេះគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ និងវិសមភាពមួយ។

ដែនកំណត់ដែលអាចកើតមាន - វិសមភាពគួរតែត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងចិត្តជានិច្ច។ នៅពេលអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការចងក្រងប្រព័ន្ធនៃសមីការ។ ប៉ុន្តែនៅតែជារឿងសំខាន់គឺត្រូវដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង។ ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកអំពីវិធីសាស្រ្តដែលត្រូវបានប្រើ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនិយមន័យ។

ប្រព័ន្ធសមីការគឺជាសំណុំនៃសមីការជាច្រើន (ច្រើនជាងមួយ) ដែលតភ្ជាប់ដោយដង្កៀបអង្កាញ់។

តង្កៀបអង្កាញ់មានន័យថាសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធត្រូវតែដំណើរការក្នុងពេលដំណាលគ្នា ហើយបង្ហាញថាអ្នកត្រូវស្វែងរកគូនៃលេខ (x; y) ដែលប្រែសមីការនីមួយៗទៅជាសមភាពពិត។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺដូចជាគូនៃលេខ x និង y ដែលនៅពេលជំនួសប្រព័ន្ធនេះ បង្វែរសមីការនីមួយៗរបស់វាទៅជាសមភាពលេខពិត។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ មានន័យថា ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វា ឬកំណត់ថាមិនមាន។

វិធីសាស្រ្តជំនួស។

វិធីសាស្រ្តជំនួសគឺថានៅក្នុងសមីការមួយ អថេរមួយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀត។ កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀត ដែលបន្ទាប់មកប្រែទៅជាសមីការដែលមានអថេរមួយ ហើយបន្ទាប់មកវាត្រូវបានដោះស្រាយ។ តម្លៃលទ្ធផលនៃអថេរនេះត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធដើម ហើយអថេរទីពីរត្រូវបានរកឃើញ។

ក្បួនដោះស្រាយ។

1. បញ្ចេញ y ក្នុងន័យ x ពីសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។

2. ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។

3. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ x ។

4. ជំនួសនៅក្នុងវេននៃឫសនីមួយៗនៃសមីការដែលបានរកឃើញនៅជំហានទីបីជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងកន្សោម y ដល់ x ដែលទទួលបាននៅជំហានដំបូង។

5) សរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាគូនៃតម្លៃ (x; y) ។

ឧទាហរណ៍លេខ 1 y \u003d x - 1,

ជំនួសក្នុងសមីការទីពីរ y \u003d x - 1 យើងទទួលបាន 5x + 2 (x - 1) \u003d 16 ដែល x \u003d 2. យើងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលនៅក្នុងសមីការទីមួយ៖ y \u003d 2 - 1 \ u003d ១.

ចម្លើយ៖ (២; ១)។

ឧទាហរណ៍ #2៖

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2

5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2

2x - 21y \u003d ២

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

ចម្លើយ៖ (-២០; -២) ។

ឧទាហរណ៍ #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y − 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 − 2x − 8 = 0 - សមីការការ៉េ y = 2x x1 = −2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (−2) y = 2x y1 = −4 y2 = 2 * 4 x1 = −2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = −2, x2 = 4 y1 = −4, y2 = 8

ដូច្នេះ (-2; -4); (4; 8) គឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ។

វិធីសាស្រ្តបន្ថែម។

វិធីសាស្រ្តបន្ថែមមាននៅក្នុងការពិតដែលថាប្រសិនបើប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសមីការដែលនៅពេលបូកបញ្ចូលគ្នាបង្កើតសមីការជាមួយអថេរមួយបន្ទាប់មកដោយការដោះស្រាយសមីការនេះយើងនឹងទទួលបានតម្លៃនៃអថេរមួយ។ តម្លៃនៃអថេរទីពីរត្រូវបានរកឃើញ ដូចនៅក្នុងវិធីជំនួស។

ក្បួនដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម។

1. ស្មើម៉ូឌុលនៃមេគុណសម្រាប់មួយនៃមិនស្គាល់។

2. បូកឬដកសមីការលទ្ធផល រកមួយមិនស្គាល់។

3. ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធដើម ស្វែងរកទីពីរដែលមិនស្គាល់។

ឧទាហរណ៍ #1 ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយបន្ថែម៖ x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

ដកសមីការទីពីរចេញពីសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន

យើងបញ្ចេញមតិពីកន្សោមទីពីរ x \u003d 20 - y

ជំនួស y \u003d 5 ទៅក្នុងកន្សោមនេះ៖ x \u003d 20 - 5 x \u003d ១៥.

ចម្លើយ៖ (១៥; ៥)។

ឧទាហរណ៍ #2៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យសមីការនៃប្រព័ន្ធដែលបានស្នើឡើងជាភាពខុសគ្នាមួយយើងទទួលបាន

7y = 21, ពេលណា y = 3

ជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងតម្លៃដែលបង្ហាញពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ x = យើងទទួលបាន x = 4 ។

ចម្លើយ៖ (៤; ៣) ។

ឧទាហរណ៍ #3៖

2x + 11y = 15,

10x − 11y = 9

ការបន្ថែមសមីការទាំងនេះ យើងមាន៖

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2 ដោយជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន៖

10 * 2 - 11y \u003d 9, ពីកន្លែងដែល y \u003d 1 ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះគឺគូ: (2; 1) ។

វិធីក្រាហ្វិកដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

ក្បួនដោះស្រាយ។

1. សង់ក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។

2. ការស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានសាងសង់។

ករណីនៃការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

1. ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ពោលគឺមានចំណុចរួមមួយ នោះប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយមួយ។

2. ប្រសិនបើបន្ទាត់ស្របគ្នា ពោលគឺវាមិនមានចំណុចរួមទេ នោះប្រព័ន្ធសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

3. ប្រសិនបើបន្ទាត់ស្របគ្នា ពោលគឺមានចំណុចជាច្រើន នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់។

ឧទាហរណ៍ #1៖

ដោះស្រាយក្រាហ្វិកប្រព័ន្ធនៃសមីការ x - y \u003d -1,

យើងបង្ហាញពីសមីការទីមួយ និងទីពីរ y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ៖

1) y \u003d 1 + x - ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ x 0 1 y 4 2

ចម្លើយ៖ (១; ២) ។

ឧទាហរណ៍ #2: y x + 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ x 0 2 y 3 2 y \u003d - ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ x 0 2 y 2 ១

ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍លេខ ៣៖ y x − 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ x 0 2 y -1 0

ចម្លើយ៖ ប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺថា អថេរថ្មីមួយត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងសមីការតែមួយ ឬអថេរថ្មីពីរសម្រាប់សមីការទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយ បន្ទាប់មកសមីការ ឬសមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅនឹងអថេរថ្មី បន្ទាប់មកវានៅតែត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសាមញ្ញជាង។ នៃសមីការ ដែលយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយដែលចង់បាន។

ឧទាហរណ៍ #1៖

x + y = ៥

សម្គាល់ = z បន្ទាប់មក = ។

សមីការទីមួយនឹងយកទម្រង់ z + = ស្មើនឹង 6z - 13 + 6 = 0 ។ ដោយបានដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល យើងមាន z = ; z=។ បន្ទាប់មក = ឬ = ម្យ៉ាងវិញទៀត សមីការទីមួយបានបំបែកជាសមីការពីរ ដូច្នេះយើងមានប្រព័ន្ធពីរ៖

x + y = 5 x + y = 5

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទាំងនេះគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីមួយគឺគូ: (2; 3) និងទីពីរគឺគូ (3; 2) ។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ + = , x + y = 5

គូគឺ (2; 3); (៣; ២)

ឧទាហរណ៍ #2៖

អនុញ្ញាតឱ្យ = X, a = Y ។

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d ១

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7.5U - 2U \u003d ១

X \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * − 2Y = 1 Y = 2

ចូរធ្វើការជំនួស។

2 x = 1, y = 0.5

ចម្លើយ៖ (១; ០.៥) ។

ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ។

ប្រព័ន្ធដែលមាន n មិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថាស៊ីមេទ្រីប្រសិនបើវាមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ។

ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការពីរដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ x និង y ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការជំនួស u = x + y, v = xy ។ ចំណាំថាកន្សោមដែលបានជួបប្រទះនៅក្នុងប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ u និង v ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីជាច្រើន: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 − 2v − v ) = u3 − 3uv , x4 + y4 = (x2 + y2)2 − 2x2y2 = (u2 − 2v)2 − 2v2 = u4 − 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v ។ល។

ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការបីសម្រាប់មិនស្គាល់ x y, z ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការជំនួស x + y + z = u, xy + yz + xz = w ។ ប្រសិនបើ u, v, w ត្រូវបានរកឃើញ នោះសមីការគូប t2 – ut2 + vt – w = 0 ត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលឫសគល់ t1, t2, t3 ក្នុងការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងៗគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដើម។ កន្សោមទូទៅបំផុតនៅក្នុងប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ u, v, w ដូចខាងក្រោម: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

ឧទាហរណ៍ #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

ចូរ x + y = u, xy = v ។

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

ចូរធ្វើការជំនួស។

ចម្លើយ៖ (១; ៣); (៣; ១)។

ឧទាហរណ៍ #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

ចូរ x + y = u, xy = v ។

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 − 12 v = 28, u = 4

12v = −36 u = 4 v = 3, u = 4

ចូរធ្វើការជំនួស។

x + y = 4, xy = 3 x = 4 − y xy = 3 x = 4 − y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

ចម្លើយ៖ (១; ៣); (៣; ១)។

ឧទាហរណ៍ #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

ចូរ x = y = u, xy = v ។

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u = 13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) = 20 u2 – v = 13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

ចូរធ្វើការជំនួស។

x + y = 4, xy = 3 x = 4 − y xy = 3 x = 4 − y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

ចម្លើយ៖ (១; ៣); (៣; ១)។

ឧទាហរណ៍ #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

ចូរ x + y = u, xy = v ។

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = −60 u = 5, v = 4 v = 4

ចូរធ្វើការជំនួស។

x + y = 5, xy = 4 x = 5 − y, xy = 4 x = 5 − y, y (5 − y) = 4 x = 5 − y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

ចម្លើយ៖ (៤; ១); (ដប់បួន) ។

ឧទាហរណ៍ #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

តោះធ្វើការផ្លាស់ប្តូរមិនស្គាល់ ប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់ u2+v=49,u+v=23

ការបន្ថែមសមីការទាំងនេះយើងទទួលបាន u2 + u − 72 = 0 ជាមួយនឹងឫស u1 = 8, u2 = -9 ។ ដូច្នោះហើយ v1 = 15, v2 = 32. វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយសំណុំប្រព័ន្ធ x + y = 8, x + y = −9, xy = 15 xy = 32

ប្រព័ន្ធ x + y = 8 មានដំណោះស្រាយ x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3 ។

ប្រព័ន្ធ x + y = −9 មិនមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដទេ។

ចម្លើយ៖ (៣; ៥), (៥; ៣) ។

ឧទាហរណ៍លេខ ៦ ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

2x2 − 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

ដោយប្រើពហុនាមស៊ីមេទ្រីមូលដ្ឋាន u = y + x និង v = xy យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការដូចខាងក្រោម

2u2 − 7v = 16, u + v = −3

ការជំនួសកន្សោម v = -3 – u ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបានសមីការខាងក្រោម 2u2 + 7u + 5 = 0 ដែលឫសរបស់វាគឺ u1 = -1 និង u2 = -2.5; ហើយតាមនោះតម្លៃ v1 = -2 និង v2 = -0.5 ត្រូវបានទទួលពី v = -3 - u ។

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយសំណុំប្រព័ន្ធខាងក្រោម x + y \u003d -1, និង x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ និងប្រព័ន្ធដើម (ដោយសារភាពស្មើគ្នា) មានដូចខាងក្រោម៖ (1; -2), (-2; 1), (;) ។

ឧទាហរណ៍ #7៖

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x − 3xy + 2y + 8 = 0

ដោយប្រើពហុនាមស៊ីមេទ្រីមូលដ្ឋាន ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម

3uv - 2v = 78,

បង្ហាញ u = ពីសមីការទីពីរ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន 9v2 - 28v - 156 = 0. ឫសនៃសមីការនេះ v1 = 6 និង v2 = - អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នា u1 = 5, u2 = - ពីកន្សោម u = ។

ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយសំណុំប្រព័ន្ធខាងក្រោម x + y \u003d 5 និង x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d - ។

x \u003d 5 - y, និង y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d - ។

x \u003d 5 - y, និង y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d - ។

x = 5 – y, និង y = -x - , y1= 3, y2 = 2 x1 = , x2 = − x1 = 2, x2 = 3, និង x1 = , x2 = - y1= 3, y2 = 2 y1 = -, y2 =

ចម្លើយ៖ (២; ៣), (៣; ២), (; -), (-;) ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

នៅក្នុងដំណើរការនៃការសរសេរអត្ថបទនេះ ខ្ញុំបានស្គាល់ប្រព័ន្ធផ្សេងៗនៃសមីការពិជគណិត។ សង្ខេបព័ត៌មានវិទ្យាសាស្ត្រលើប្រធានបទ "ប្រព័ន្ធសមីការ" ។

យល់និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយដោយការណែនាំអថេរថ្មី;

បានពិនិត្យទ្រឹស្តីសំខាន់ៗទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ

បានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ។

ទំព័រដើម > ដំណោះស្រាយ

សមីការសមហេតុផល និងវិសមភាព

I. សមីការសនិទាន។

សមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

សមីការត្រឡប់។

រូបមន្តរបស់ Vieta សម្រាប់ពហុនាមនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ។

វិធីសាស្រ្តណែនាំការមិនស្គាល់ថ្មីក្នុងការដោះស្រាយសមីការ និងប្រព័ន្ធសមីការ។

សមីការដូចគ្នា ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ។

សមីការនិងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនលីនេអ៊ែរ។

សមីការដែលមានសញ្ញាម៉ូឌុល។

វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសនិទាន

II. វិសមភាពសមហេតុផល។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាពសមមូល។

វិសមភាពពិជគណិត។

វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល។

វិសមភាពប្រភាគ-សមហេតុផល។

វិសមភាពដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាត។

វិសមភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពសមហេតុផល។

ដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកនៃវិសមភាព។

III. ការធ្វើតេស្តផ្ទៀងផ្ទាត់។

សមីការសនិទាន

មុខងារមើល

P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,

ដែល n ជាលេខធម្មជាតិ a 0 , a 1 ,… , a n គឺជាចំនួនពិត ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍សនិទានទាំងមូល។

សមីការនៃទម្រង់ P(x) = 0 ដែល P(x) គឺជាអនុគមន៍សនិទានទាំងមូល ត្រូវបានគេហៅថាសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូល។

ប្រភេទសមីការ

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

ដែល P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) គឺជាអនុគមន៍សនិទានទាំងមូល ត្រូវបានគេហៅថាសមីការសនិទាន។ .

ការដោះស្រាយសមីការសនិទាន P(x)/Q(x)=0 ដែល P(x) និង Q(x) ជាពហុធា (Q(x)  0) កាត់បន្ថយការដោះស្រាយសមីការ P(x) = 0 និងពិនិត្យ ថាតើឫសនោះបំពេញលក្ខខណ្ឌ Q(x)  0 ។

សមីការលីនេអ៊ែរ។

សមីការនៃទម្រង់ ax+b=0 ដែល a និង b ជាថេរខ្លះត្រូវបានគេហៅថា សមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើ a0 នោះសមីការលីនេអ៊ែរមានឫសតែមួយ៖ x = -b /a ។

ប្រសិនបើ a=0; b0 បន្ទាប់មកសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើ a=0; b=0 បន្ទាប់មក សរសេរសមីការដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ax=-b វាងាយស្រួលមើលថា x ណាមួយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ។

សមីការបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ y = ax + b ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ X 0 និង Y 0 នោះកូអរដោនេទាំងនេះបំពេញសមីការនៃបន្ទាត់ពោលគឺ Y 0 = aX 0 + b ។

ឧទាហរណ៍ 1.1. ដោះស្រាយសមីការ

2x − 3 + 4 (x − 1) = 5 ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរពង្រីកតង្កៀបម្តងមួយៗ ផ្តល់ដូចពាក្យ ហើយរក x: 2x − 3 + 4x − 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

ឧទាហរណ៍ 1.2 ។ដោះស្រាយសមីការ

2x − 3 + 2(x − 1) = 4(x − 1) − 7 ។

ដំណោះស្រាយ។ 2x + 2x − 4x = 3 +2 − 4 − 7 , 0x = − 6 ។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ 1.3. ដោះស្រាយសមីការ។

2x + 3 − 6(x − 1) = 4(x − 1) + 5 ។

ដំណោះស្រាយ។ 2x − 6x + 3 + 6 = 4 − 4x + 5 ,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 − 9,

ចម្លើយ៖ លេខណាមួយ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រភេទសមីការ

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

ដែល a 1 , b 1 , … ,a n , b ជាចំនួនថេរខ្លះ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ n មិនស្គាល់ x 1 , x 2 , …, x n ។

ប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើសមីការទាំងអស់នៅក្នុងប្រព័ន្ធគឺលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមាន n មិនស្គាល់ នោះករណីបីខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ;

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយ។

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។

ឧទាហរណ៍ 2.4 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្រ្តជំនួសដែលមាននៅក្នុងការបង្ហាញពីមិនស្គាល់មួយនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការមិនស្គាល់ផ្សេងទៀតនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធណាមួយហើយបន្ទាប់មកជំនួសតម្លៃនៃមិនស្គាល់នេះទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់។

ពីសមីការទីមួយ យើងបង្ហាញ៖ x = (8 − 3y) / 2. យើងជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ ហើយទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. ពីសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន y \u003d 2. ដោយគិតពីសមីការទីមួយ x \u003d 1 ។ ចម្លើយ៖ (១; ២) ឧទាហរណ៍ ២.៥។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ប្រព័ន្ធនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ ដោយសារសមីការពីរនៃប្រព័ន្ធមិនអាចពេញចិត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា (ពីសមីការទីមួយ x + y = 3 និងពីសមីការទីពីរ x + y = 3.5) ។

ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍ 2.6 ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់ ចាប់តាំងពីសមីការទីពីរត្រូវបានទទួលពីទីមួយដោយគុណនឹង 2 (ពោលគឺតាមពិតវាមានសមីការតែមួយដែលមិនស្គាល់ពីរ)។

ចម្លើយ៖ ដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់។

ឧទាហរណ៍ 2.7 ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

x + y − z = 2,

2x – y + 4z = 1,

ដំណោះស្រាយ។ នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ វាងាយស្រួលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលមាននៅក្នុងការបំប្លែងប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។

យើងគុណសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ - 2 ហើយបន្ថែមលទ្ធផលដែលទទួលបានជាមួយសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន - 3y + 6z \u003d - 3 ។ សមីការនេះអាចសរសេរឡើងវិញជា y - 2z \u003d 1. ការបន្ថែមសមីការទីមួយ ជាមួយនឹងលេខទីបី យើងទទួលបាន 7y \u003d 7 ឬ y = 1 ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធទទួលបានទម្រង់ត្រីកោណ

x + y − z = 2,

ការជំនួស y = 1 ទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងរកឃើញ z = 0 ។ ការជំនួស y = 1 និង z = 0 ទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងរកឃើញ x = 1 ចម្លើយ៖ (1; 1; 0) ឧទាហរណ៍ 2.8 ។ សម្រាប់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រព័ន្ធនៃសមីការ

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

មានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់? ដំណោះស្រាយ។ ពីសមីការទីមួយយើងបង្ហាញ x:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1 ។

ការជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4 ។

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a+1)y=4(a+2)–(a+1)(a+2),

យ៉ា(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

យ៉ា(3–a) = (a + 2)(3–a) ។

ការវិភាគសមីការចុងក្រោយយើងកត់សំគាល់ថាសម្រាប់ a = 3 វាមានទម្រង់ 0y = 0, i.e. វាពេញចិត្តចំពោះតម្លៃណាមួយនៃ y ។ ចម្លើយ៖ ៣.

សមីការ quadratic និង សមីការកាត់បន្ថយដល់ពួកគេ។

សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 ដែល a, b និង c ជាលេខមួយចំនួន (a0);

x គឺជាអថេរ ហៅថា សមីការការ៉េ។

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

ដំបូងយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ ax 2 + bx + c = 0 ដោយ a - វានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរឫសរបស់វាទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល

x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0

ជ្រើសរើសការ៉េពេញនៅខាងឆ្វេង

x 2 + (b/a) + (c/a) = (x 2 + 2(b/2a)x + (b/2a) 2) - (b/2a) 2 + (c/a) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 − 4ac) / (4a 2 )).

សម្រាប់ភាពសង្ខេប យើងសម្គាល់កន្សោម (b 2 - 4ac) ដោយ D. បន្ទាប់មកអត្តសញ្ញាណលទ្ធផលត្រូវប្រើទម្រង់

ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន៖

ប្រសិនបើលេខ D វិជ្ជមាន (D > 0) ក្នុងករណីនេះ គេអាចយកឫសការ៉េនៃ D ហើយសរសេរ D ជា D = (D) 2 ។ បន្ទាប់មក

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 ដូច្នេះអត្តសញ្ញាណយកទម្រង់

x 2 + (b/a)x + (c/a) = (x + (b/2a)) 2 - ( D / 2a) 2 .

យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េយើងទទួលបានពីទីនេះ៖

x 2 + (b/a)x+(c/a)=(x+(b/2a)–(D/2a))(x+(b/2a)+(D/2a))=

= (x − ((-b + D) / 2a)) (x − ((- b − D) / 2a)).

ទ្រឹស្តីបទ៖ប្រសិនបើអត្តសញ្ញាណកាន់កាប់

ax 2 + bx + c \u003d a (x − x 1) (x − x 2),

បន្ទាប់មកសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c \u003d 0 សម្រាប់ X 1  X 2 មានឫសពីរ X 1 និង X 2 ហើយសម្រាប់ X 1 \u003d X 2 - មានតែឫសមួយ X 1 ប៉ុណ្ណោះ។

ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទនេះ វាធ្វើតាមពីអត្តសញ្ញាណដែលបានមកពីខាងលើសមីការ

x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0,

ដូច្នេះសមីការ ax 2 + bx + c = 0 មានឫសពីរ៖

X 1 \u003d (-b +  D) / 2a; X 2 \u003d (-b -  D) / 2a ។

ដូចេនះ x 2 + (b/a)x + (c/a) = (x − x1)(x − x2)។

ជាធម្មតាឫសទាំងនេះត្រូវបានសរសេរក្នុងរូបមន្តមួយ៖

ដែលជាកន្លែងដែល b 2 - 4ac \u003d ឃ។

ប្រសិនបើលេខ D ស្មើនឹងសូន្យ (D = 0) បន្ទាប់មកអត្តសញ្ញាណ

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

យកទម្រង់ x 2 + (b/a) x + (c/a) = (x + (b/2a)) 2 ។

វាធ្វើតាមថាសម្រាប់ D = 0 សមីការ ax 2 + bx + c = 0 មានឫសមួយនៃគុណ 2: X 1 = - b / 2a

៣) ប្រសិនបើលេខ D គឺអវិជ្ជមាន (D< 0), то – D >0 ហើយដូច្នេះការបញ្ចេញមតិ

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

គឺជាផលបូកនៃពាក្យពីរ ដែលមួយមិនអវិជ្ជមាន និងមួយទៀតវិជ្ជមាន។ ផលបូកបែបនេះមិនអាចស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះសមីការ

x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។ ទាំងសមីការ ax 2 + bx + c = 0 ។

ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង គួរគណនាអ្នករើសអើង

ឃ \u003d b 2 - 4ac ។

ប្រសិនបើ D = 0 នោះសមីការការ៉េមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់៖

ប្រសិនបើ D > 0 នោះសមីការ quadratic មានឫសពីរ៖

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a) ។

ប្រសិនបើ D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

ប្រសិនបើមេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណ b ឬ c ស្មើសូន្យ នោះសមីការការ៉េអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនគណនាការរើសអើង៖

b = 0; c  0; គ/ក<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b / a ។

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េទូទៅ ax 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

សមីការការ៉េដែលមេគុណ x 2 ស្មើនឹង 1 ត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ។ ជាធម្មតាសមីការ quadratic ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:

x 2 + px + q = 0 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។

យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x − x1) (x − x2),

ដែល X 1 និង X 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ quadratic ax 2 + bx + c = 0 ។ ចូរយើងពង្រីកតង្កៀបនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃអត្តសញ្ញាណនេះ។

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

វាធ្វើតាម X 1 + X 2 = − b/a និង X 1 X 2 = c/a ។ យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្ដីដូចខាងក្រោម ដែលបង្កើតឡើងដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង F. Viet (1540 - 1603)៖

ទ្រឹស្តីបទ ១ (វៀតណា) ។ ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic គឺស្មើនឹងមេគុណនៅ X យកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ និងបែងចែកដោយមេគុណនៅ X 2; ផលិតផលនៃឫសនៃសមីការនេះគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃដែលបែងចែកដោយមេគុណនៅ X 2 ។

ទ្រឹស្តីបទ ២ (បញ្ច្រាស) ។ ប្រសិនបើសមភាព

X 1 + X 2 \u003d - b / a និង X 1 X 2 \u003d c / a,

បន្ទាប់មកលេខ X 1 និង X 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c = 0 ។

មតិយោបល់។ រូបមន្ត X 1 + X 2 \u003d - b / a និង X 1 X 2 \u003d c / a នៅតែជាការពិត ទោះបីជាក្នុងករណីដែលសមីការ ax 2 + bx + c \u003d 0 មានឫសមួយ X 1 នៃគុណ 2 ប្រសិនបើ យើងដាក់ក្នុងរូបមន្តដែលបានចង្អុលបង្ហាញ X 2 = X 1 ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានគេទទួលយកជាទូទៅថាសម្រាប់ D = 0 សមីការអ័ក្ស 2 + bx + c = 0 មានឫសពីរដែលស្របគ្នា។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីបទ Vieta វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការប្រើប្រាស់ទំនាក់ទំនង

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2) ។

ឧទាហរណ៍ 3.9 ។ដោះស្រាយសមីការ 2x 2 + 5x − 1 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។ D = 25–42(– 1) = 33>0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4 ។

ចម្លើយ៖ X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4 ។

ឧទាហរណ៍ 3.10 ។ដោះស្រាយសមីការ x 3 − 5x 2 + 6x = 0

ដំណោះស្រាយ។ ចូរធ្វើកត្តាខាងឆ្វេងនៃសមីការ x(x 2 - 5x + 6) = 0,

ដូច្នេះ x \u003d 0 ឬ x 2 - 5x + 6 \u003d 0 ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ យើងទទួលបាន X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3 ។

ចម្លើយ៖ ០; ២; ៣.

ឧទាហរណ៍ 3.11 ។

x 3 − 3x + 2 = 0. ដំណោះស្រាយ។ ចូរសរសេរសមីការឡើងវិញ ដោយសរសេរ -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0 ហើយឥឡូវនេះ យើងដាក់ក្រុម x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x − 1) (x( x + 1) − 2) = 0, x − 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x − 2 = 0, x 2 = − 2, x 3 = 1. ចម្លើយ៖ x 1 = x 3 = 1 , x 2 = − 2. ឧទាហរណ៍ 3.12 ។ ដោះស្រាយសមីការ ៧

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

អប់រំ៖រៀនដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានសមីការដូចគ្នា ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ;
កំពុងអភិវឌ្ឍ: ការអភិវឌ្ឍនៃការគិត, ការយកចិត្តទុកដាក់, ការចងចាំ, សមត្ថភាពក្នុងការបន្លិចរឿងសំខាន់;
អប់រំ៖ការអភិវឌ្ឍជំនាញទំនាក់ទំនង។

ប្រភេទមេរៀន៖មេរៀនមេរៀន សម្ភារៈថ្មី។

បច្ចេកវិជ្ជាសិក្សាដែលបានប្រើ៖

ធ្វើការជាក្រុម;
វិធីសាស្រ្តរចនា។

ឧបករណ៍៖កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំងពហុព័ត៌មាន។

មួយសប្តាហ៍មុនមេរៀន សិស្សទទួលបានប្រធានបទសម្រាប់កិច្ចការច្នៃប្រឌិត (តាមជម្រើស)។
ខ្ញុំជម្រើស។ ប្រព័ន្ធស៊ីមេទ្រីនៃសមីការ។ ដំណោះស្រាយ.
ជម្រើសទី II ។ ប្រព័ន្ធដែលមានសមីការដូចគ្នា។ ដំណោះស្រាយ.

សិស្សម្នាក់ៗដោយប្រើអក្សរសិល្ប៍អប់រំបន្ថែម ត្រូវតែស្វែងរកសម្ភារៈអប់រំដែលសមស្រប ជ្រើសរើសប្រព័ន្ធសមីការ និងដោះស្រាយវា។
សិស្សម្នាក់មកពីជម្រើសនីមួយៗបង្កើតបទបង្ហាញពហុព័ត៌មានលើប្រធានបទនៃកិច្ចការច្នៃប្រឌិត។ គ្រូផ្តល់ការណែនាំដល់សិស្សតាមតម្រូវការ។

I. ការលើកទឹកចិត្តសម្រាប់សកម្មភាពសិក្សារបស់សិស្ស

សុន្ទរកថាណែនាំរបស់គ្រូ
នៅក្នុងមេរៀនមុន យើងបានពិចារណាអំពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្រ្តជំនួសមិនស្គាល់។ មិនមានច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ជ្រើសរើសអថេរថ្មីទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រព័ន្ធពីរប្រភេទនៃសមីការអាចត្រូវបានសម្គាល់នៅពេលដែលមានជម្រើសសមហេតុផលនៃអថេរ៖