សមីការត្រីកោណមាត្រមិនមែនជាប្រធានបទងាយស្រួលបំផុតនោះទេ។ ពួកវាមានភាពចម្រុះ។) ឧទាហរណ៍ ទាំងនេះ៖

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π/4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ល...

ប៉ុន្តែសត្វចម្លែកត្រីកោណមាត្រទាំងនេះ (និងទាំងអស់ផ្សេងទៀត) មានលក្ខណៈធម្មតា និងជាកាតព្វកិច្ចពីរ។ ទីមួយ - អ្នកនឹងមិនជឿទេ - មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងសមីការ។ ទីពីរ៖ កន្សោមទាំងអស់ដែលមាន x គឺ នៅក្នុងមុខងារដូចគ្នាទាំងនេះ។ហើយមានតែនៅទីនោះ! ប្រសិនបើ x លេចឡើងនៅកន្លែងណាមួយ។ នៅខាងក្រៅ,ឧទាហរណ៍, sin2x + 3x = 3,នេះនឹងជាសមីការប្រភេទចម្រុះ។ សមីការបែបនេះទាមទារវិធីសាស្រ្តបុគ្គល។ នៅទីនេះយើងនឹងមិនពិចារណាពួកគេទេ។

យើងនឹងមិនដោះស្រាយសមីការអាក្រក់នៅក្នុងមេរៀននេះទេ។) នៅទីនេះយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយ សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។ហេតុអ្វី? បាទព្រោះការសម្រេចចិត្ត ណាមួយ។សមីការត្រីកោណមាត្រមានពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូង សមីការអាក្រក់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសាមញ្ញមួយដោយការបំប្លែងផ្សេងៗ។ នៅលើទីពីរ - សមីការសាមញ្ញបំផុតនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។ គ្មានវិធីផ្សេងទេ។

ដូច្នេះ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​មាន​បញ្ហា​ក្នុង​ដំណាក់​កាល​ទី​ពីរ នោះ​ដំណាក់​កាល​ទី​មួយ​មិន​មាន​ន័យ​ច្រើន​ទេ)។

តើសមីការត្រីកោណមាត្របឋមមើលទៅដូចអ្វី?

sinx = ក

cosx = ក

tgx = ក

ctgx = ក

នៅទីនេះ ក តំណាងឱ្យលេខណាមួយ។ ណាមួយ។

និយាយអញ្ចឹង នៅខាងក្នុងអនុគមន៍ប្រហែលជាមិនមាន x សុទ្ធទេ ប៉ុន្តែប្រភេទនៃការបញ្ចេញមតិមួយចំនួនដូចជា៖

cos(3x+π /3) = 1/2

ល។ នេះធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់ជីវិត ប៉ុន្តែមិនប៉ះពាល់ដល់វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រទេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ?

សមីការត្រីកោណមាត្រអាចដោះស្រាយបានតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយ៖ ប្រើតក្កវិជ្ជា និងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ យើងនឹងរុករកផ្លូវនេះនៅទីនេះ។ វិធីទីពីរ - ដោយប្រើអង្គចងចាំ និងរូបមន្ត - នឹងត្រូវបានពិចារណាក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។

វិធីទីមួយគឺច្បាស់លាស់ អាចទុកចិត្តបាន និងពិបាកបំភ្លេច។) វាល្អសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ វិសមភាព និងប្រភេទនៃឧទាហរណ៍មិនស្តង់ដារដ៏លំបាកទាំងអស់។ តក្កវិជ្ជាខ្លាំងជាងការចងចាំ!

យើងដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។

យើងរួមបញ្ចូលតក្កវិជ្ជាបឋម និងលទ្ធភាពប្រើប្រាស់រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ មិនអាចទេ!? ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ... វានឹងពិបាកសម្រាប់អ្នកក្នុងត្រីកោណមាត្រ...) ប៉ុន្តែវាមិនមានបញ្ហាទេ។ សូមទស្សនាមេរៀន "រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ......តើវាជាអ្វី?" និង "រាប់មុំនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។" អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនោះ។ ខុសពីសៀវភៅសិក្សា...)

ដឹងទេ!? ហើយថែមទាំងស្ទាត់ជំនាញ "ការងារជាក់ស្តែងជាមួយរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ"!? ទទួលយកការអបអរសាទរ។ ប្រធានបទនេះនឹងមានភាពស្និទ្ធស្នាល និងអាចយល់បានសម្រាប់អ្នក។) អ្វីដែលជាការពេញចិត្តជាពិសេសនោះគឺថា រង្វង់ត្រីកោណមាត្រមិនខ្វល់ពីសមីការណាមួយដែលអ្នកដោះស្រាយនោះទេ។ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាសម្រាប់គាត់។ គោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយគឺដូចគ្នា។

ដូច្នេះយើងយកសមីការត្រីកោណមាត្របឋមណាមួយ។ យ៉ាងហោចណាស់នេះ៖

cosx = 0.5

ខ្ញុំត្រូវស្វែងរក X ។ និយាយជាភាសាមនុស្ស អ្នកត្រូវការ រកមុំ (x) ដែលកូស៊ីនុសគឺ 0.5 ។

តើយើងប្រើរង្វង់ពីមុនដោយរបៀបណា? យើងគូរជ្រុងមួយនៅលើវា។ ជាដឺក្រេ ឬរ៉ាដ្យង់។ ហើយភ្លាមៗ បានឃើញ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំនេះ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងធ្វើផ្ទុយពីនេះ។ គូរកូស៊ីនុសស្មើនឹង 0.5 នៅលើរង្វង់ ហើយភ្លាមៗ យើងនឹងឃើញ ការចាក់ថ្នាំ។ វានៅសល់តែសរសេរចម្លើយ។) បាទ បាទ!

យើងគូសរង្វង់មួយហើយសម្គាល់កូស៊ីនុសស្មើនឹង 0.5 ។ ជាការពិតណាស់នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស។ ដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគូរមុំដែលកូស៊ីនុសនេះផ្តល់ឱ្យយើង។ ដាក់កណ្ដុររបស់អ្នកលើរូបភាព (ឬប៉ះរូបភាពនៅលើថេប្លេត) និង ឃើញជ្រុងដូចគ្នានេះ។ X.

តើមុំមួយណាមានកូស៊ីនុស ០.៥?

x \u003d π / ៣

cos 60°= cos( π / ៣) = 0,5

មនុស្សមួយចំនួននឹងស្រែកថ្ងូរដោយសង្ស័យថា បាទ... ពួកគេនិយាយថា តើវាមានតម្លៃទេក្នុងការធ្វើរបងរង្វង់ នៅពេលដែលអ្វីៗទាំងអស់ច្បាស់លាស់... អ្នកពិតជាអាចរអ៊ូរទាំ...) ប៉ុន្តែការពិតគឺថានេះគឺជាការខុសឆ្គង។ ចម្លើយ។ ឬផ្ទុយទៅវិញ មិនគ្រប់គ្រាន់។ Connoisseurs នៃរង្វង់យល់ថានៅតែមានមុំទាំងមូលដែលផ្តល់កូស៊ីនុសស្មើនឹង 0.5 ផងដែរ។

ប្រសិនបើអ្នកបង្វែរចំហៀងចល័ត OA សម្រាប់វេនពេញលេញចំណុច A នឹងត្រឡប់ទៅទីតាំងដើមវិញ។ ជាមួយនឹងកូស៊ីនុសដូចគ្នាស្មើនឹង 0.5 ។ ទាំងនោះ។ មុំនឹងផ្លាស់ប្តូរ 360° ឬ 2π រ៉ាដ្យង់ និង កូស៊ីនុសមិនមែនទេ។មុំថ្មី 60° + 360° = 420° ក៏នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការរបស់យើងដែរ ពីព្រោះ

មានចំនួនមិនកំណត់នៃការបង្វិលពេញលេញបែបនេះ... ហើយមុំថ្មីទាំងអស់នេះនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្ររបស់យើង។ ហើយពួកគេទាំងអស់ត្រូវសរសេរចុះដូចម្ដេច។ ទាំងអស់។បើ​មិន​ដូច្នេះ​ទេ សេចក្តី​សម្រេច​មិន​ត្រូវ​បាន​ពិចារណា​ទេ បាទ…)

គណិតវិទ្យាអាចធ្វើបានយ៉ាងសាមញ្ញ និងឆើតឆាយ។ នៅក្នុងចម្លើយខ្លីមួយ សូមសរសេរចុះ សំណុំគ្មានកំណត់ដំណោះស្រាយ។ នេះជាអ្វីដែលវាមើលទៅសម្រាប់សមីការរបស់យើង៖

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ខ្ញុំនឹងបកស្រាយ។ នៅតែសរសេរ ប្រកបដោយអត្ថន័យល្អ​ជាង​ការ​គូរ​អក្សរ​អាថ៌កំបាំង​មួយ​ចំនួន​ដោយ​ឆោតល្ងង់​មែនទេ?)

π / ៣ គឺជាមុំដូចគ្នាដែលយើង ឃើញនៅលើរង្វង់និង កំណត់នេះបើយោងតាមតារាងនៃកូស៊ីនុស។

2 ភី គឺជាវេនពេញមួយគិតជារ៉ាដ្យង់។

ន - នេះគឺជាចំនួនពេញលេញ, i.e. ទាំងមូលបដិវត្តន៍។ វាច្បាស់ណាស់។ ន អាចជា 0, ±1, ±2, ±3.... ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់ដោយអត្ថបទខ្លី៖

n ∈ Z

ន ជាកម្មសិទ្ធិ ( ∈ ) ទៅ​សំណុំ​ចំនួន​គត់ ( Z ) ដោយវិធីនេះជំនួសឱ្យអក្សរ ន អក្សរអាចត្រូវបានប្រើ k, m, t ល។

សញ្ញាណនេះមានន័យថាអ្នកអាចយកចំនួនគត់ណាមួយ។ ន . យ៉ាងហោចណាស់ -3 យ៉ាងហោចណាស់ 0 យ៉ាងហោចណាស់ +55 ។ តើ​អ្នក​ចង់បាន​អ្វី។ ប្រសិនបើអ្នកដោតលេខនោះទៅក្នុងចំលើយរបស់អ្នក អ្នកនឹងទទួលបានមុំជាក់លាក់មួយ ដែលប្រាកដថាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដ៏អាក្រក់របស់យើង។)

ឬម្យ៉ាងទៀត x \u003d π / ៣ គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសំណុំគ្មានកំណត់។ ដើម្បីទទួលបានឫសផ្សេងទៀតទាំងអស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមចំនួនវេនពេញទៅ π / 3 ( ន ) ជារ៉ាដ្យង់។ ទាំងនោះ។ 2 ភី ន រ៉ាដ្យង់។

អ្វីគ្រប់យ៉ាង? ទេ ខ្ញុំ​បាន​ពង្រីក​ការ​រីករាយ​ជា​ពិសេស​។ ដើម្បីចងចាំកាន់តែប្រសើរ។) យើងបានទទួលតែផ្នែកមួយនៃចម្លើយចំពោះសមីការរបស់យើង។ ខ្ញុំនឹងសរសេរផ្នែកដំបូងនៃដំណោះស្រាយនេះដូចតទៅ៖

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x ១ - មិនមែនឫសតែមួយទេ វាគឺជាស៊េរីឫសទាំងមូល ដែលសរសេរជាទម្រង់ខ្លី។

ប៉ុន្តែមានមុំផ្សេងទៀតដែលផ្តល់កូស៊ីនុសស្មើនឹង 0.5 ផងដែរ!

ចូរយើងត្រលប់ទៅរូបភាពរបស់យើងវិញ យោងទៅតាមអ្វីដែលយើងសរសេរចម្លើយ។ នៅទីនេះនាង៖

ផ្លាស់ទីកណ្តុរលើរូបភាព និង ឃើញជ្រុងមួយទៀតនោះ។ ក៏ផ្តល់ឱ្យកូស៊ីនុសនៃ 0.5 ។តើអ្នកគិតថាវាស្មើនឹងអ្វី? ត្រីកោណ​ក៏​ដូច​គ្នា… បាទ! វាស្មើនឹងមុំ X គ្រោងតែក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន។ នេះគឺជាជ្រុង -X. ប៉ុន្តែយើងបានគណនា x រួចហើយ។ π / 3 ឬ 60°។ ដូច្នេះយើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាព៖

x 2 \u003d - π / 3

ហើយជាការពិតណាស់ យើងបន្ថែមមុំទាំងអស់ដែលទទួលបានតាមរយៈវេនពេញ៖

x 2 = − π /3 + 2π n, n ∈ Z

នោះហើយជាទាំងអស់ឥឡូវនេះ។) នៅក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រយើង ឃើញ(ពិតណាស់អ្នកណាយល់)) ទាំងអស់។មុំដែលផ្តល់ឱ្យកូស៊ីនុសស្មើនឹង 0.5 ។ ហើយ​ពួកគេ​បាន​សរសេរ​មុំ​ទាំងនេះ​ក្នុង​ទម្រង់​គណិតវិទ្យា​ខ្លី។ ចម្លើយ​គឺ​ជា​ស៊េរី​ឫសគល់​គ្មាន​កំណត់​ពីរ៖

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = − π /3 + 2π n, n ∈ Z

នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

ក្តីសង្ឃឹម គោលការណ៍ទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដោយមានជំនួយពីរង្វង់គឺអាចយល់បាន។ យើងសម្គាល់កូស៊ីនុស (ស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់) ពីសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើរង្វង់ គូរមុំដែលត្រូវគ្នា ហើយសរសេរចម្លើយ។ជាការពិតណាស់ អ្នកត្រូវស្វែងយល់ថាតើយើងជាជ្រុងបែបណា ឃើញនៅលើរង្វង់។ ពេលខ្លះវាមិនសូវច្បាស់ទេ។ ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយ តក្កវិជ្ជាត្រូវបានទាមទារនៅទីនេះ។ )

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងវិភាគសមីការត្រីកោណមាត្រមួយទៀត៖

សូមចំណាំថាលេខ 0.5 មិនមែនជាចំនួនតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបានក្នុងសមីការ!) វាងាយស្រួលជាងសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការសរសេរវាជាងឫស និងប្រភាគ។

យើងធ្វើការតាមគោលការណ៍ទូទៅ។ យើងគូសរង្វង់មួយសម្គាល់ (នៅលើអ័ក្សស៊ីនុស!) 0.5 ។ យើងគូរភ្លាមៗគ្រប់មុំទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងស៊ីនុសនេះ។ យើងទទួលបានរូបភាពនេះ៖

ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយមុំជាមុនសិន។ X នៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ យើងរំលឹកតារាងនៃស៊ីនុស និងកំណត់តម្លៃនៃមុំនេះ។ រឿងគឺសាមញ្ញ៖

x \u003d π / ៦

យើងរំលឹកឡើងវិញនូវរាល់វេន ហើយដោយសតិសម្បជញ្ញៈច្បាស់លាស់ សូមសរសេរចម្លើយស៊េរីទីមួយ៖

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

ការងារពាក់កណ្តាលត្រូវបានធ្វើ។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវកំណត់ ជ្រុងទីពីរ...នេះ​ជា​ល្បិច​ជាង​ក្នុង​កូស៊ីនុស បាទ... ប៉ុន្តែ​តក្កវិជ្ជា​នឹង​សង្គ្រោះ​យើង! របៀបកំណត់មុំទីពីរ តាមរយៈ x? បាទស្រួល! ត្រីកោណក្នុងរូបភាពគឺដូចគ្នា ហើយជ្រុងក្រហម X ស្មើនឹងមុំ X . មានតែវាត្រូវបានរាប់ពីមុំπក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលវាមានពណ៌ក្រហម។) ហើយសម្រាប់ចម្លើយ យើងត្រូវការមុំវាស់យ៉ាងត្រឹមត្រូវពី semiaxis វិជ្ជមាន OX, i.e. ពីមុំ 0 ដឺក្រេ។

ដាក់ទស្សន៍ទ្រនិចលើរូបភាព ហើយមើលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង។ ខ្ញុំបានដកជ្រុងទីមួយចេញ ដើម្បីកុំឱ្យរូបភាពមានភាពស្មុគស្មាញ។ មុំនៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង (គូរជាពណ៌បៃតង) នឹងស្មើនឹង៖

π − x

x យើង​ដឹង​ហើយ។ π / ៦ . ដូច្នេះមុំទីពីរនឹងមានៈ

π − π / 6 = 5π / 6

ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត យើង​នឹក​ចាំ​ពី​ការ​បន្ថែម​បដិវត្តន៍​ពេញ​លេញ ហើយ​សរសេរ​ចម្លើយ​ស៊េរី​ទីពីរ៖

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

អស់ហើយ។ ចម្លើយពេញលេញមានពីរស៊េរីនៃឫស៖

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

សមីការដែលមានតង់សង់ និងកូតង់សង់អាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើគោលការណ៍ទូទៅដូចគ្នាសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។ លើកលែងតែអ្នកចេះពីរបៀបគូរតង់សង់ និងកូតង់សង់នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ខ្ញុំបានប្រើតារាងតម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖ ០.៥។ ទាំងនោះ។ អត្ថន័យមួយក្នុងចំណោមអត្ថន័យទាំងនោះដែលសិស្សដឹង ត្រូវតែ។ឥឡូវនេះសូមពង្រីកសមត្ថភាពរបស់យើងទៅ តម្លៃផ្សេងទៀតទាំងអស់។សម្រេចចិត្ត ដូច្នេះសម្រេចចិត្ត!)

ដូច្នេះ ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម៖

មិន​មាន​តម្លៃ​នៃ​កូស៊ីនុស​ក្នុង​តារាង​ខ្លីៗ​នោះ​ទេ។ យើងព្រងើយកន្តើយចំពោះការពិតដ៏អាក្រក់នេះ។ យើងគូររង្វង់មួយសម្គាល់ 2/3 នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុសហើយគូរមុំដែលត្រូវគ្នា។ យើងទទួលបានរូបភាពនេះ។

យើងយល់ សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូង ជាមួយនឹងមុំមួយនៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ ដើម្បីដឹងថា x ស្មើនឹងអ្វី ពួកគេនឹងសរសេរចម្លើយភ្លាមៗ! យើងមិនដឹងទេ... បរាជ័យ!? ស្ងប់ស្ងាត់! គណិតវិទ្យា​មិន​ទុក​ឲ្យ​ខ្លួន​ជួប​បញ្ហា! នាងបានបង្កើត arc cosines សម្រាប់ករណីនេះ។ មិនដឹង? ដោយឥតប្រយោជន៍។ ស្វែងយល់ វាងាយស្រួលជាងអ្នកគិតច្រើន។ យោងតាមតំណភ្ជាប់នេះ ពុំមានអក្ខរាវិរុទ្ធតែមួយអំពី "អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស" ទេ... វាលើសលុបនៅក្នុងប្រធានបទនេះ។

ប្រសិនបើអ្នកដឹងគ្រាន់តែនិយាយទៅកាន់ខ្លួនអ្នកថា "X គឺជាមុំដែលកូស៊ីនុសគឺ 2/3" ។ ហើយភ្លាមៗតាមនិយមន័យនៃ arccosine សុទ្ធសាធ យើងអាចសរសេរបាន៖

យើងចងចាំអំពីបដិវត្តន៍បន្ថែម ហើយសរសេរដោយស្ងប់ស្ងាត់នូវស៊េរីដំបូងនៃសមីការត្រីកោណមាត្ររបស់យើង៖

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ស៊េរីទីពីរនៃឫសក៏ត្រូវបានសរសេរស្ទើរតែដោយស្វ័យប្រវត្តិផងដែរ សម្រាប់មុំទីពីរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា មានតែ x (arccos 2/3) នឹងមានដក៖

x 2 = − arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ហើយអ្វីៗទាំងអស់! នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សូម្បីតែងាយស្រួលជាងតម្លៃតារាង។ អ្នកមិនចាំបាច់ចាំអ្វីទាំងអស់។) ដោយវិធីនេះ អ្នកយកចិត្តទុកដាក់បំផុតនឹងសម្គាល់ឃើញថារូបភាពនេះជាមួយនឹងដំណោះស្រាយតាមរយៈ arc cosine សំខាន់មិនខុសពីរូបភាពសម្រាប់សមីការ cosx = 0.5 ទេ។

យ៉ាង​ពិតប្រាកដ! គោល​ការណ៍​ទូទៅ​លើ​រឿង​នោះ និង​ទូទៅ! ជាពិសេស ខ្ញុំ​បាន​គូរ​រូបភាព​ស្ទើរតែ​ដូចគ្នា​ទាំងពីរ។ រង្វង់បង្ហាញយើងពីមុំ X ដោយកូស៊ីនុសរបស់វា។ វា​ជា​តារាង​កូស៊ីនុស​ឬ​អត់ - រង្វង់​មិន​ដឹង។ តើមុំប្រភេទនេះ π / 3 ឬប្រភេទធ្នូប្រភេទណា អាស្រ័យលើយើងជាអ្នកសម្រេច។

ជាមួយនឹងស៊ីនុសបទចម្រៀងដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍:

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងគូសរង្វង់មួយសម្គាល់ស៊ីនុសស្មើនឹង 1/3 គូរជ្រុង។ វាប្រែចេញរូបភាពនេះ៖

ហើយម្តងទៀតរូបភាពគឺស្ទើរតែដូចគ្នាទៅនឹងសមីការ sinx = 0.5 ។ជាថ្មីម្តងទៀតយើងចាប់ផ្តើមពីជ្រុងនៅត្រីមាសទីមួយ។ តើ x ស្មើនឹងអ្វី ប្រសិនបើស៊ីនុសរបស់វាគឺ 1/3? គ្មាន​បញ្ហា!

ដូច្នេះកញ្ចប់ដំបូងនៃឫសគឺរួចរាល់:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

សូមក្រឡេកមើលមុំទីពីរ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលមានតម្លៃតារាង ០.៥ វាស្មើនឹង៖

π − x

ដូច្នេះនៅទីនេះវានឹងដូចគ្នា! មានតែ x ប៉ុណ្ណោះដែលខុសគ្នា, arcsin 1/3 ។ អីចឹង!? អ្នកអាចសរសេរកញ្ចប់ទីពីរនៃឫសដោយសុវត្ថិភាព៖

x 2 = π − arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ ទោះបីជាវាមើលទៅមិនសូវស្គាល់ក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែវាអាចយល់បាន ខ្ញុំសង្ឃឹមថា)

នេះជារបៀបដែលសមីការត្រីកោណមាត្រត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរង្វង់។ ផ្លូវនេះគឺច្បាស់ហើយអាចយល់បាន។ វាគឺជាគាត់ដែលរក្សាទុកនៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយនឹងការជ្រើសរើសឫសនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងវិសមភាពត្រីកោណមាត្រ - ជាទូទៅពួកគេត្រូវបានដោះស្រាយស្ទើរតែជារង្វង់។ សរុបមក ក្នុងកិច្ចការណាដែលស្មុគស្មាញជាងការងារស្តង់ដារបន្តិច។

យកចំណេះដឹងទៅអនុវត្ត?

ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ៖

ដំបូងវាសាមញ្ញជាង ដោយផ្ទាល់លើមេរៀននេះ។

ឥឡូវនេះវាកាន់តែពិបាក។

ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះអ្នកត្រូវគិតអំពីរង្វង់។ ផ្ទាល់ខ្លួន។ )

ហើយឥឡូវនេះ unpretentious ខាងក្រៅ ... ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាករណីពិសេសផងដែរ។

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះអ្នកត្រូវស្វែងយល់ក្នុងរង្វង់មួយដែលមានចម្លើយពីរស៊េរី ហើយកន្លែងណាមានមួយ... និងរបៀបសរសេរលេខមួយជំនួសឱ្យចម្លើយពីរស៊េរី។ បាទ/ចាស ដើម្បីកុំឱ្យឫសតែមួយពីចំនួនគ្មានកំណត់ត្រូវបាត់បង់!)

ជាការប្រសើរណាស់, សាមញ្ញណាស់):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះអ្នកត្រូវដឹងថាអ្វីជាអាកស៊ីន អាកកូស៊ីន? តើតង់ហ្សង់ធ្នូ តង់ហ្សង់ធ្នូគឺជាអ្វី? និយមន័យសាមញ្ញបំផុត។ ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់ចងចាំតម្លៃតារាងណាមួយទេ!)

ជាការពិតណាស់ ចម្លើយគឺមានភាពច្របូកច្របល់)៖

x ១= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x ២= π - arcsin0.3 + 2

អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? វា​កើតឡើង។ អានមេរៀនម្តងទៀត។ តែប៉ុណ្ណោះ ដោយគិត(មាន​ពាក្យ​លែង​ប្រើ​បែប​នេះ...) ហើយ​តាម​តំណ​ភ្ជាប់។ តំណភ្ជាប់សំខាន់គឺអំពីរង្វង់។ ដោយគ្មានវានៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ - របៀបឆ្លងកាត់ផ្លូវបិទភ្នែក។ ពេលខ្លះវាដំណើរការ។ )

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

គំនិតនៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

• ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ បម្លែងវាទៅជាសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានមួយ ឬច្រើន។ ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ត្រីកោណមាត្រ​ទី​បំផុត​មក​ដល់​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ត្រីកោណមាត្រ​មូលដ្ឋាន​ទាំង​បួន។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។

• មានសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានចំនួន ៤ ប្រភេទ៖
• sin x = a; cos x = ក
• tan x = a; ctg x = ក
• ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានពាក់ព័ន្ធនឹងការមើលទីតាំង x ផ្សេងគ្នានៅលើរង្វង់ឯកតា ក៏ដូចជាការប្រើតារាងបំប្លែង (ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ)។
• ឧទាហរណ៍ 1. sin x = 0.866 ។ ដោយប្រើតារាងបំប្លែង (ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ) អ្នកទទួលបានចម្លើយ៖ x = π/3 ។ រង្វង់ឯកតាផ្តល់ចម្លើយមួយទៀត៖ 2π/3 ។ ចងចាំ៖ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់គឺតាមកាលកំណត់ ពោលគឺតម្លៃរបស់វាត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ភាពទៀងទាត់នៃ sin x និង cos x គឺ 2πn ហើយរយៈពេលនៃ tg x និង ctg x គឺ πn ។ ដូច្នេះចម្លើយត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn ។
• ឧទាហរណ៍ 2 cos x = −1/2 ។ ដោយប្រើតារាងបំប្លែង (ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ) អ្នកទទួលបានចម្លើយ៖ x = 2π/3 ។ រង្វង់ឯកតាផ្តល់ចម្លើយមួយទៀត៖ -2π/3 ។
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = −2π/3 + 2π ។
• ឧទាហរណ៍ 3. tg (x − π/4) = 0 ។
• ចម្លើយ៖ x \u003d π / 4 + πn ។
• ឧទាហរណ៍ 4. ctg 2x = 1.732 ។
• ចម្លើយ៖ x \u003d π / 12 + πn ។

ការបំប្លែងដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

• ដើម្បីបំប្លែងសមីការត្រីកោណមាត្រ ការបំប្លែងពិជគណិត (កត្តា ការកាត់បន្ថយពាក្យដូចគ្នា ។ល។) និងអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។
• ឧទាហរណ៍ 5. ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ សមីការ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការ 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0។ ដូច្នេះ សមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានខាងក្រោម ចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយ៖ cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0 ។

• ការស្វែងរកមុំពីតម្លៃដែលស្គាល់នៃមុខងារ។

  • មុននឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ អ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបស្វែងរកមុំពីតម្លៃដែលស្គាល់នៃអនុគមន៍។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើតារាងបំប្លែងឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ។
  • ឧទាហរណ៍៖ cos x = 0.732 ។ ម៉ាស៊ីនគិតលេខនឹងផ្តល់ចម្លើយ x = 42.95 ដឺក្រេ។ រង្វង់ឯកតានឹងផ្តល់មុំបន្ថែម កូស៊ីនុសដែលស្មើនឹង 0.732 ផងដែរ។

• ដាក់ដំណោះស្រាយមួយឡែកនៅលើរង្វង់ឯកតា។

  • អ្នកអាចដាក់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្រនៅលើរង្វង់ឯកតា។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រនៅលើរង្វង់ឯកតាគឺជាចំនុចកំពូលនៃពហុកោណធម្មតា។
  • ឧទាហរណ៍៖ ដំណោះស្រាយ x = π/3 + πn/2 នៅលើរង្វង់ឯកតាគឺជាចំនុចកំពូលនៃការ៉េ។
  • ឧទាហរណ៍៖ ដំណោះស្រាយ x = π/4 + πn/3 នៅលើរង្វង់ឯកតាគឺជាចំនុចកំពូលនៃឆកោនធម្មតា។

• វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

  • ប្រសិនបើសមីការត្រីកោណមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតែមួយ ដោះស្រាយសមីការនេះជាសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើសមីការនេះរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រពីរ ឬច្រើន នោះមានវិធី 2 សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ (អាស្រ័យលើលទ្ធភាពនៃការបំប្លែងរបស់វា)។
    • វិធីសាស្រ្ត 1
  • បំប្លែងសមីការនេះទៅជាសមីការនៃទម្រង់៖ f(x)*g(x)*h(x) = 0, ដែល f(x), g(x), h(x) គឺជាសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។
  • ឧទាហរណ៍ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយប្រើរូបមន្តមុំទ្វេ sin 2x = 2 * sin x * cos x ជំនួស sin 2x ។
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. ឥឡូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានពីរ៖ cos x = 0 និង (sin x + 1) = 0 ។
  • ឧទាហរណ៍ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ បំប្លែងសមីការនេះទៅជាសមីការនៃទម្រង់៖ cos 2x(2cos x + 1) = 0 ។ ឥឡូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានពីរ៖ cos 2x = 0 និង (2cos x + 1) = 0 ។
  • ឧទាហរណ៍ 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x ។ (០< x < 2π)
  • ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ បំប្លែងសមីការនេះទៅជាសមីការនៃទម្រង់៖ -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 ។ ឥឡូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានពីរ៖ cos 2x = 0 និង (2sin x + 1) = 0 ។
    • វិធីសាស្រ្ត 2
  • បំប្លែងសមីការត្រីកោណមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាសមីការដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតែមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនេះដោយមិនស្គាល់មួយចំនួន ឧទាហរណ៍ t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t ។ល។)។
  • ឧទាហរណ៍ 9. 3sin^2 x − 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • ការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងសមីការនេះ ជំនួស (cos^2 x) ជាមួយ (1 - sin^2 x) (យោងទៅតាមអត្តសញ្ញាណ)។ សមីការបំប្លែងមើលទៅដូចនេះ៖
  • 3sin^2 x − 2 + 2sin^2 x − 4sin x − 7 = 0. ជំនួស sin x ដោយ t ។ ឥឡូវនេះសមីការមើលទៅដូច៖ 5t^2 - 4t - 9 = 0 ។ នេះគឺជាសមីការការ៉េដែលមានឫសពីរ៖ t1 = -1 និង t2 = 9/5 ។ ឫសទីពីរ t2 មិនពេញចិត្តជួរនៃអនុគមន៍ (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • ឧទាហរណ៍ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • ការសម្រេចចិត្ត។ ជំនួស tg x ជាមួយ t ។ សរសេរសមីការដើមឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ (2t + 1)(t^2 − 1) = 0. ឥឡូវរក t ហើយបន្ទាប់មករក x សម្រាប់ t = tg x ។

មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ មតិកែលម្អ ការផ្តល់យោបល់! សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីកំចាត់មេរោគ។

សៀវភៅណែនាំ និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអនឡាញ "អាំងតេក្រាល" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 10 ចាប់ពី 1C
យើងដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងធរណីមាត្រ។ កិច្ចការអន្តរកម្មសម្រាប់ការសាងសង់ក្នុងលំហ
បរិស្ថានកម្មវិធី "1C: Mathematical constructor 6.1"

តើយើងនឹងសិក្សាអ្វីខ្លះ៖
1. តើសមីការត្រីកោណមាត្រជាអ្វី?

3. វិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
4. សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។
5. ឧទាហរណ៍។

តើសមីការត្រីកោណមាត្រជាអ្វី?

បុរសទាំងឡាយ យើងបានសិក្សាអំពីអាកស៊ីន អាកកូស៊ីន អាកតង់ហ្សង់ និង អាកកូតង់ហ្សង់។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលសមីការត្រីកោណមាត្រជាទូទៅ។

សមីការត្រីកោណមាត្រ - សមីការដែលអថេរត្រូវបានផ្ទុកនៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

យើងនិយាយឡើងវិញនូវទម្រង់នៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត៖

1) ប្រសិនបើ |а|≤ 1 នោះសមីការ cos(x) = a មានដំណោះស្រាយ៖

X = ± arccos(a) + 2πk

2) ប្រសិនបើ |а|≤ 1 នោះសមីការ sin(x) = a មានដំណោះស្រាយ៖

៣) បើ |a| > 1 បន្ទាប់មកសមីការ sin(x) = a និង cos(x) = a គ្មានដំណោះស្រាយ 4) សមីការ tg(x)=a មានដំណោះស្រាយ៖ x=arctg(a)+ πk

5) សមីការ ctg(x)=a មានដំណោះស្រាយ៖ x=arcctg(a)+ πk

សម្រាប់រូបមន្តទាំងអស់ k គឺជាចំនួនគត់

សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតមានទម្រង់៖ Т(kx+m)=a, T- អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រណាមួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ៖ ក) sin(3x) = √3/2

ការសម្រេចចិត្ត៖

ក) ចូរសម្គាល់ 3x=t បន្ទាប់មកយើងនឹងសរសេរសមីការរបស់យើងឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺ៖ t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn។

ពីតារាងតម្លៃយើងទទួលបាន៖ t = ((-1)^n) ×π/3+ πn ។

ចូរត្រឡប់ទៅអថេររបស់យើងវិញ៖ 3x =((-1)^n) ×π/3+ πn,

បន្ទាប់មក x = ((-1)^n) × π/9+ πn/3

ចម្លើយ៖ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 ដែល n ជាចំនួនគត់។ (-1)^n - ដកមួយទៅអំណាចនៃ n ។

ឧទាហរណ៍ច្រើនទៀតនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ។

ដោះស្រាយសមីការ៖ a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

ការសម្រេចចិត្ត៖

ក) លើកនេះយើងនឹងទៅមើលការគណនាឫសនៃសមីការភ្លាមៗ៖

X/5= ± arccos(1) + 2πk។ បន្ទាប់មក x/5= πk => x=5πk

ចម្លើយ៖ x=5πk ដែល k ជាចំនួនគត់។

ខ) យើងសរសេរក្នុងទម្រង់៖ 3x- π/3=arctg(√3)+ πk ។ យើងដឹងថា៖ arctg(√3) = π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

ចម្លើយ៖ x=2π/9 + πk/3 ដែល k ជាចំនួនគត់។

ដោះស្រាយសមីការ៖ cos(4x) = √2/2 ។ ហើយស្វែងរកឫសទាំងអស់នៅលើផ្នែក។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរដោះស្រាយសមីការរបស់យើងក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖ 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

ឥឡូវនេះសូមមើលថាតើឫសអ្វីធ្លាក់លើផ្នែករបស់យើង។ សម្រាប់ k សម្រាប់ k=0, x= π/16 យើងស្ថិតនៅក្នុងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ជាមួយនឹង k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ពួកគេវាយម្តងទៀត។
សម្រាប់ k=2, x= π/16+ π=17π/16 ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងមិនបានវាយទេ ដែលមានន័យថាយើងនឹងមិនវាយសម្រាប់ k ធំនោះទេ។

ចម្លើយ៖ x= π/16, x= 9π/16

ដំណោះស្រាយសំខាន់ពីរ។

យើងបានពិចារណាសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត ប៉ុន្តែមានសមីការស្មុគស្មាញជាង។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកវា វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី និងវិធីសាស្ត្រកត្តាត្រូវបានប្រើប្រាស់។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

តោះដោះស្រាយសមីការ៖

ការសម្រេចចិត្ត៖
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការរបស់យើង យើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី តំណាង៖ t=tg(x)។

ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសយើងទទួលបាន: t 2 + 2t -1 = 0

រកឫសនៃសមីការការ៉េ៖ t=-1 និង t=1/3

បន្ទាប់មក tg(x)=-1 និង tg(x)=1/3 យើងទទួលបានសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់របស់វា។

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk ។

ចម្លើយ៖ x = −π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ

ដោះស្រាយសមីការ៖ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរប្រើអត្តសញ្ញាណ: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

សមីការរបស់យើងក្លាយជា៖ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

សូមណែនាំការជំនួស t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េរបស់យើងគឺឫស៖ t=2 និង t=-1/2

បន្ទាប់មក cos(x)=2 និង cos(x)=-1/2។

ដោយសារតែ កូស៊ីនុសមិនអាចយកតម្លៃធំជាងមួយបានទេ បន្ទាប់មក cos(x)=2 មិនមានឫសគល់ទេ។

សម្រាប់ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x = ± 2π/3 + 2πk

ចម្លើយ៖ x=±2π/3+2πk

សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។

និយមន័យ៖ សមីការនៃទម្រង់ sin(x)+b cos(x) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ។

សមីការនៃទម្រង់

សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ យើងបែងចែកវាដោយ cos(x)៖ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបែងចែកដោយកូស៊ីនុសប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ ចូរប្រាកដថានេះមិនមែនដូច្នោះទេ៖
អនុញ្ញាតឱ្យ cos(x)=0 បន្ទាប់មក asin(x)+0=0 => sin(x)=0 ប៉ុន្តែស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយទេ យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកដោយសុវត្ថិភាព។ ដោយសូន្យ។

ដោះស្រាយសមីការ៖
ឧទាហរណ៍៖ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

ការសម្រេចចិត្ត៖

យកកត្តាទូទៅចេញ៖ cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

បន្ទាប់មកយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការពីរ៖

cos(x)=0 និង cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 សម្រាប់ x= π/2 + πk;

ពិចារណាសមីការ cos(x)+sin(x)=0 ចែកសមីការរបស់យើងដោយ cos(x)៖

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

ចម្លើយ៖ x = π/2 + πk និង x = -π/4+πk

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ?
បុរសទាំងឡាយ ចូរប្រកាន់ខ្ជាប់នូវច្បាប់ទាំងនេះជានិច្ច!

1. មើលថាតើមេគុណ a ស្មើនឹងអ្វី ប្រសិនបើ a \u003d 0 នោះសមីការរបស់យើងនឹងយកទម្រង់ cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) ដែលជាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលមាននៅលើមុន ស្លាយ

2. ប្រសិនបើ a≠0 នោះអ្នកត្រូវបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកូស៊ីនុសការ៉េ យើងទទួលបាន៖

យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t=tg(x) យើងទទួលបានសមីការ៖

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍ #: 3

ដោះស្រាយសមីការ៖
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយការ៉េកូស៊ីនុស៖

យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

រកឫសនៃសមីការការ៉េ៖ t=-3 និង t=1

បន្ទាប់មក៖ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

ចម្លើយ៖ x=-arctg(3) + πk និង x= π/4+ πk

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍ #: 4

ដោះស្រាយសមីការ៖

ការសម្រេចចិត្ត៖
ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរការបញ្ចេញមតិរបស់យើង៖

យើងអាចដោះស្រាយសមីការបែបនេះ៖ x= − π/4 + 2πk និង x = 5π/4 + 2πk

ចម្លើយ៖ x= − π/4 + 2πk និង x = 5π/4 + 2πk

ដោះស្រាយឧទាហរណ៍ #: 5

ដោះស្រាយសមីការ៖

ការសម្រេចចិត្ត៖
ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរការបញ្ចេញមតិរបស់យើង៖

យើងណែនាំការជំនួស tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េរបស់យើងនឹងជាឫស៖ t=-2 និង t=1/2

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ tg(2x)=-2 និង tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ចម្លើយ៖ x=-arctg(2)/2 + πk/2 និង x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

1) ដោះស្រាយសមីការ

ក) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) ដោះស្រាយសមីការ: sin(3x) = √3/2 ។ ហើយស្វែងរកឫសទាំងអស់នៅលើផ្នែក [π/2; π] ។

៣) ដោះស្រាយសមីការ៖ ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 = 0

៤) ដោះស្រាយសមីការ៖ 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ដោះស្រាយសមីការ៖ 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

៦) ដោះស្រាយសមីការ៖ cos 2 (2x) -1 - cos(x) = √3/2 -sin 2 (2x)

នៅពេលដោះស្រាយច្រើន។ បញ្ហាគណិតវិទ្យាជាពិសេសអ្វីដែលកើតឡើងមុនថ្នាក់ទី 10 លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលបានអនុវត្តដែលនឹងនាំទៅដល់គោលដៅត្រូវបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់។ បញ្ហាបែបនេះរួមមាន ជាឧទាហរណ៍ សមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ វិសមភាពលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ សមីការប្រភាគ និងសមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជាចតុកោណ។ គោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយជោគជ័យនៃកិច្ចការនីមួយៗដែលបានរៀបរាប់មានដូចខាងក្រោម៖ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតប្រភេទនៃភារកិច្ចដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយចងចាំលំដាប់ចាំបាច់នៃសកម្មភាពដែលនឹងនាំទៅរកលទ្ធផលដែលចង់បាន i.e. ឆ្លើយ ហើយធ្វើតាមជំហានទាំងនេះ។

ជាក់ស្តែង ជោគជ័យ ឬបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់មួយ អាស្រ័យជាចម្បងទៅលើរបៀបដែលប្រភេទនៃសមីការដែលត្រូវបានដោះស្រាយត្រូវបានកំណត់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ របៀបដែលលំដាប់នៃគ្រប់ដំណាក់កាលនៃដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងវិញ។ ជាការពិតណាស់ ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវមានជំនាញដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ និងការគណនាដូចគ្នាបេះបិទ។

ស្ថានភាពផ្សេងគ្នាកើតឡើងជាមួយ សមីការត្រីកោណមាត្រ។វាមិនពិបាកក្នុងការកំណត់ការពិតដែលថាសមីការជាត្រីកោណមាត្រនោះទេ។ ការលំបាកកើតឡើងនៅពេលកំណត់លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលនឹងនាំទៅរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

ជួនកាលវាពិបាកក្នុងការកំណត់ប្រភេទរបស់វាដោយរូបរាងនៃសមីការ។ ហើយដោយមិនដឹងពីប្រភេទនៃសមីការ វាស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវពីរូបមន្តត្រីកោណមាត្ររាប់សិប។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ យើងត្រូវព្យាយាម៖

1. នាំយកមុខងារទាំងអស់ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការទៅជា "មុំដូចគ្នា";
2. នាំយកសមីការទៅជា "មុខងារដូចគ្នា";
3. ធ្វើកត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ល។

ពិចារណា វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

I. ការកាត់បន្ថយដល់សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។បង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមាសធាតុដែលគេស្គាល់។

ជំហានទី 2ស្វែងរកអាគុយម៉ង់មុខងារដោយប្រើរូបមន្ត៖

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ ។

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z ។

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z ។

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z ។

ជំហានទី 3ស្វែងរកអថេរមិនស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

2 cos(3x − π/4) = -√2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) cos(3x − π/4) = -√2/2 ។

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z ។

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។

II. ការជំនួសអថេរ

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។នាំសមីការទៅជាទម្រង់ពិជគណិតដោយគោរពតាមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយ។

ជំហានទី 2សម្គាល់មុខងារលទ្ធផលដោយអថេរ t (បើចាំបាច់ ណែនាំការរឹតបន្តឹងលើ t) ។

ជំហានទី 3សរសេរ និងដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលទ្ធផល។

ជំហានទី 4ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។

ជំហានទី 5ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

ឧទាហរណ៍។

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0 ។

2) ឲ្យ sin (x/2) = t, where |t| ≤ ១.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ឬ e = -3/2 មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ |t| ≤ ១.

4) sin (x/2) = ១.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = π + 4πn, n Є Z ។

III. វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយលំដាប់សមីការ

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។ជំនួសសមីការនេះជាមួយលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយថាមពល៖

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 − cos 2x) / (1 + cos 2x) ។

ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត I និង II ។

ឧទាហរណ៍។

cos2x + cos2x = 5/4 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4 ។

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = ±π/6 + πn, n Є Z ។

IV. សមីការដូចគ្នា

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។នាំយកសមីការនេះទៅជាទម្រង់

a) sin x + b cos x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ)

ឬទិដ្ឋភាព

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ) ។

ជំហានទី 2ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

ក) cos x ≠ 0;

ខ) cos 2 x ≠ 0;

ហើយទទួលបានសមីការសម្រាប់ tg x៖

ក) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0 ។

ជំហានទី 3ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

5sin 2 x + 3sin x cos x − 4 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x − 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x − 4sin² x − 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x − 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0 ។

2) tg 2 x + 3tg x − 4 = 0 ។

3) អនុញ្ញាតឱ្យ tg x = t បន្ទាប់មក

t 2 + 3t − 4 = 0;

t = 1 ឬ t = -4 ដូច្នេះ

tg x = 1 ឬ tg x = −4 ។

ពីសមីការទីមួយ x = π/4 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = -arctg 4 + πk, k Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z ។

V. វិធីសាស្រ្តបំប្លែងសមីការដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រគ្រប់ប្រភេទ នាំយកសមីការនេះទៅជាសមីការដែលអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រ I, II, III, IV ។

ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

sinx + sin2x + sin3x = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0 ។

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ឬ 2cos x + 1 = 0;

ពីសមីការទីមួយ 2x = π/2 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ cos x = -1/2 ។

យើងមាន x = π/4 + πn/2, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z ។

ជាលទ្ធផល x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។

ចម្លើយ៖ x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។

សមត្ថភាព និងជំនាញក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រគឺខ្លាំងណាស់ សំខាន់ ការអភិវឌ្ឍន៍របស់ពួកគេទាមទារការខិតខំប្រឹងប្រែងយ៉ាងច្រើន ទាំងផ្នែកសិស្ស និងគ្រូ។

បញ្ហាជាច្រើននៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី រូបវិទ្យា ជាដើម ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ។ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះ ដូចជាវាមានចំណេះដឹង និងជំនាញជាច្រើនដែលទទួលបាននៅពេលសិក្សាធាតុនៃត្រីកោណមាត្រ។

សមីការត្រីកោណមាត្រកាន់កាប់កន្លែងសំខាន់មួយនៅក្នុងដំណើរការនៃការបង្រៀនគណិតវិទ្យា និងការអភិវឌ្ឍន៍បុគ្គលិកលក្ខណៈជាទូទៅ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមែនទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

នៅពេលដោះស្រាយច្រើន។ បញ្ហាគណិតវិទ្យាជាពិសេសអ្វីដែលកើតឡើងមុនថ្នាក់ទី 10 លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលបានអនុវត្តដែលនឹងនាំទៅដល់គោលដៅត្រូវបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់។ បញ្ហាបែបនេះរួមមាន ជាឧទាហរណ៍ សមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ វិសមភាពលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ សមីការប្រភាគ និងសមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជាចតុកោណ។ គោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយជោគជ័យនៃកិច្ចការនីមួយៗដែលបានរៀបរាប់មានដូចខាងក្រោម៖ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតប្រភេទនៃភារកិច្ចដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយចងចាំលំដាប់ចាំបាច់នៃសកម្មភាពដែលនឹងនាំទៅរកលទ្ធផលដែលចង់បាន i.e. ឆ្លើយ ហើយធ្វើតាមជំហានទាំងនេះ។

ជាក់ស្តែង ជោគជ័យ ឬបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់មួយ អាស្រ័យជាចម្បងទៅលើរបៀបដែលប្រភេទនៃសមីការដែលត្រូវបានដោះស្រាយត្រូវបានកំណត់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ របៀបដែលលំដាប់នៃគ្រប់ដំណាក់កាលនៃដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងវិញ។ ជាការពិតណាស់ ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវមានជំនាញដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ និងការគណនាដូចគ្នាបេះបិទ។

ស្ថានភាពផ្សេងគ្នាកើតឡើងជាមួយ សមីការត្រីកោណមាត្រ។វាមិនពិបាកក្នុងការកំណត់ការពិតដែលថាសមីការជាត្រីកោណមាត្រនោះទេ។ ការលំបាកកើតឡើងនៅពេលកំណត់លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលនឹងនាំទៅរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

ជួនកាលវាពិបាកក្នុងការកំណត់ប្រភេទរបស់វាដោយរូបរាងនៃសមីការ។ ហើយដោយមិនដឹងពីប្រភេទនៃសមីការ វាស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវពីរូបមន្តត្រីកោណមាត្ររាប់សិប។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ យើងត្រូវព្យាយាម៖

1. នាំយកមុខងារទាំងអស់ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការទៅជា "មុំដូចគ្នា";
2. នាំយកសមីការទៅជា "មុខងារដូចគ្នា";
3. ធ្វើកត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ល។

ពិចារណា វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

I. ការកាត់បន្ថយដល់សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។បង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមាសធាតុដែលគេស្គាល់។

ជំហានទី 2ស្វែងរកអាគុយម៉ង់មុខងារដោយប្រើរូបមន្ត៖

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ ។

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z ។

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z ។

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z ។

ជំហានទី 3ស្វែងរកអថេរមិនស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

2 cos(3x − π/4) = -√2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) cos(3x − π/4) = -√2/2 ។

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z ។

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។

II. ការជំនួសអថេរ

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។នាំសមីការទៅជាទម្រង់ពិជគណិតដោយគោរពតាមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយ។

ជំហានទី 2សម្គាល់មុខងារលទ្ធផលដោយអថេរ t (បើចាំបាច់ ណែនាំការរឹតបន្តឹងលើ t) ។

ជំហានទី 3សរសេរ និងដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលទ្ធផល។

ជំហានទី 4ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។

ជំហានទី 5ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

ឧទាហរណ៍។

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0 ។

2) ឲ្យ sin (x/2) = t, where |t| ≤ ១.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ឬ e = -3/2 មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ |t| ≤ ១.

4) sin (x/2) = ១.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = π + 4πn, n Є Z ។

III. វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយលំដាប់សមីការ

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។ជំនួសសមីការនេះជាមួយលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយថាមពល៖

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 − cos 2x) / (1 + cos 2x) ។

ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត I និង II ។

ឧទាហរណ៍។

cos2x + cos2x = 5/4 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4 ។

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = ±π/6 + πn, n Є Z ។

IV. សមីការដូចគ្នា

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។នាំយកសមីការនេះទៅជាទម្រង់

a) sin x + b cos x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ)

ឬទិដ្ឋភាព

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ) ។

ជំហានទី 2ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

ក) cos x ≠ 0;

ខ) cos 2 x ≠ 0;

ហើយទទួលបានសមីការសម្រាប់ tg x៖

ក) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0 ។

ជំហានទី 3ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

5sin 2 x + 3sin x cos x − 4 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x − 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x − 4sin² x − 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x − 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0 ។

2) tg 2 x + 3tg x − 4 = 0 ។

3) អនុញ្ញាតឱ្យ tg x = t បន្ទាប់មក

t 2 + 3t − 4 = 0;

t = 1 ឬ t = -4 ដូច្នេះ

tg x = 1 ឬ tg x = −4 ។

ពីសមីការទីមួយ x = π/4 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = -arctg 4 + πk, k Є Z ។

ចម្លើយ៖ x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z ។

V. វិធីសាស្រ្តបំប្លែងសមីការដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយ

ជំហានទី 1 ។ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រគ្រប់ប្រភេទ នាំយកសមីការនេះទៅជាសមីការដែលអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រ I, II, III, IV ។

ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។

sinx + sin2x + sin3x = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0 ។

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ឬ 2cos x + 1 = 0;

ពីសមីការទីមួយ 2x = π/2 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ cos x = -1/2 ។

យើងមាន x = π/4 + πn/2, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z ។

ជាលទ្ធផល x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។

ចម្លើយ៖ x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។

សមត្ថភាព និងជំនាញក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រគឺខ្លាំងណាស់ សំខាន់ ការអភិវឌ្ឍន៍របស់ពួកគេទាមទារការខិតខំប្រឹងប្រែងយ៉ាងច្រើន ទាំងផ្នែកសិស្ស និងគ្រូ។

បញ្ហាជាច្រើននៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី រូបវិទ្យា ជាដើម ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ។ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះ ដូចជាវាមានចំណេះដឹង និងជំនាញជាច្រើនដែលទទួលបាននៅពេលសិក្សាធាតុនៃត្រីកោណមាត្រ។

សមីការត្រីកោណមាត្រកាន់កាប់កន្លែងសំខាន់មួយនៅក្នុងដំណើរការនៃការបង្រៀនគណិតវិទ្យា និងការអភិវឌ្ឍន៍បុគ្គលិកលក្ខណៈជាទូទៅ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមែនទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។