ដូចខាងក្រោម៖

1) គូរក្រាហ្វ f(x)នៅលើចន្លោះពេលយ៉ាងហោចណាស់ពីររយៈពេល ដើម្បីបង្ហាញថាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺតាមកាលកំណត់។

2) គូរក្រាហ្វ S(x)ដូច​គ្នា​នេះ​ដែរ ដើម្បី​ឱ្យ​គេ​ឃើញ​នៅ​ចំណុច​ណា​ខ្លះ f(x)¹S(x);

3) គណនាមេគុណ Fourier ហើយសរសេរស៊េរី Fourier ។

ភារកិច្ច

№1. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier

ដំណោះស្រាយ។បាន​កត់​សម្គាល់​ឃើញ​ថា f(x)ផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះពេល T=4. ដោយសារតែ f(x)សន្មត់ថាតាមកាលកំណត់ បន្ទាប់មកវាគឺជាលេខនេះ ដែលជារយៈពេលរបស់វា បន្ទាប់មក - លីត្រ = 2 ។

1) ក្រាហ្វ f(x):

2) ក្រាហ្វ S(x):

ព្រួញនៅចុងបន្ទាត់បង្ហាញថាមុខងារមិនយកនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលតម្លៃដែលបានកំណត់ពីកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះពេលនោះទេ។ នៅពេលប្រៀបធៀបក្រាហ្វ f(x)និង S(x)វាត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថានៅចំណុចដាច់ f(x)¹S(x).

3) គណនាមេគុណ Fourier ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើរូបមន្ត (3*): ; ; . យ៉ាង​ពិតប្រាកដ: ; ដូច្នេះ

ការរលួយ f(x)នៅក្នុងស៊េរី Fourier មានទម្រង់៖

សុន្ទរកថា។ 1) នៅពេលរួមបញ្ចូលនៅលើ [-1;3] ផ្នែកនេះត្រូវបានបែងចែកទៅជា និង , ដោយសារតែ នៅលើផ្នែកទាំងនេះ f(x)កំណត់ទៅតម្លៃផ្សេងគ្នា។

2) នៅពេលគណនាមេគុណ អាំងតេក្រាលត្រូវបានប្រើ៖ និង , កន្លែងណា a = const.

№2 . ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier

ដំណោះស្រាយ។នៅទីនេះ T=2, លីត្រ = 1.

ស៊េរី Fourier មានទម្រង់៖ , កន្លែងណា ; ; , ដោយសារតែ លីត្រ = 1.

1) ក្រាហ្វ f(x):

2) ក្រាហ្វ S(x):

№3. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស

ដំណោះស្រាយ។ចំណាំថាមានតែមុខងារសេសប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស។ ដោយសារតែ f(x)កំណត់សម្រាប់តែ x > 0, xн(0;2)И(2;3)បន្ទាប់មកនេះមានន័យថានៅលើចន្លោះពេលស៊ីមេទ្រី (-3;-2)È(-2;0) f(x)ត្រូវតែបន្តតាមរបៀបដែលសមភាព f(-x) = -f(x). ដូច្នេះប្រវែងនៃចន្លោះពេលនៅលើ f(x)ផ្តល់ជាអនុគមន៍សេស ស្មើនឹង 6. ដូច្នេះ T = 6, l = 3 ។ស៊េរី Fourier សម្រាប់ f(x)មានទម្រង់៖ , ដែល , n = 1, 2, 3, (យោងតាមរូបមន្ត (5")) ។

1) ក្រាហ្វ f(x).

ដើម្បីគូរក្រាហ្វ f(x)ជាមុខងារសេស ដំបូងយើងគូរក្រាហ្វ (0;2)È(2;3)ហើយបន្ទាប់មកទាញយកអត្ថប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថាក្រាហ្វនៃមុខងារសេសគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។ ពីការពិចារណាទាំងនេះយើងទទួលបានក្រាហ្វ f(x)នៅ​លើ (-3;-2)È(-2;0). បន្ទាប់មកយើងបន្ត f(x) T=6.

2) ក្រាហ្វ S(x).

កាលវិភាគ S(x)ខុសពីគំនូសតាង f(x)នៅចំណុចបំបែកនៃមុខងារ f(x). ឧទាហរណ៍នៅក្នុង t ។ x = 2f(x)មិនត្រូវបានកំណត់, ប៉ុន្តែ S(x)មាននៅ x=2តម្លៃស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលបូកនៃដែនកំណត់ម្ខាងនៃអនុគមន៍ f(x), យ៉ាង​ពិតប្រាកដ: , កន្លែងណា , ។

ដូច្នេះ, បន្ទាប់មក decomposition f(x)នៅក្នុងស៊េរី Fourier មានទម្រង់: .

№4 . ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅក្នុងកូស៊ីនុស។

ដំណោះស្រាយ. ចំណាំថាមានតែមុខងារសូម្បីតែអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅក្នុងកូស៊ីនុស។ ដោយសារតែ f(x)កំណត់សម្រាប់តែ x>0, xн(0;2)И(2;3],បន្ទាប់មកនេះមានន័យថានៅលើចន្លោះពេលស៊ីមេទ្រី [-3;-2)È(-2;0) f(x)យើងត្រូវបន្តតាមរបៀបដែលសមភាពទទួលបាន៖ f(-x) = f(x) ។ដូច្នេះប្រវែងនៃចន្លោះពេលនៅលើ f(x)ផ្តល់ជាអនុគមន៍គូគឺស្មើនឹង 6 បន្ទាប់មក T = 6, l = 3 ។ស៊េរី Fourier ក្នុងករណីនេះមានទម្រង់:

កន្លែងណា; ; n=1,2,...(យោងទៅតាមរូបមន្ត (4")) ។

1) ក្រាហ្វ f(x).

ដើម្បីគូរក្រាហ្វ f(x)ជា​មុខងារ​គូ​ដំបូង យើង​គូរ​ក្រាហ្វ f(x)នៅ​លើ (0;2)È(2;3]ហើយបន្ទាប់មកទាញយកអត្ថប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។ ពីការពិចារណាទាំងនេះយើងទទួលបានក្រាហ្វ f(x)នៅ​លើ [-3;-2)È(-2;0). បន្ទាប់មកយើងបន្ត f(x)នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូលជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងលេខ T=6.

នេះគឺជាតារាង f(x)គូរលើរយៈពេលពេញពីរនៃមុខងារ។

2) ក្រាហ្វ ស(x)។

កាលវិភាគ S(x)ខុសពីគំនូសតាង f(x)នៅចំណុចបំបែកនៃមុខងារ f(x). ឧទាហរណ៍នៅក្នុង t ។ x = 0 f(x)មិនត្រូវបានកំណត់, ប៉ុន្តែ S(x)មានអត្ថន័យ៖ ដូច្នេះក្រាហ្វ S(x)មិនត្រូវបានរំខាននៅក្នុង x=0ផ្ទុយទៅនឹងក្រាហ្វ f(x).

ការរលួយ f(x)នៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅក្នុង cosines មានទម្រង់៖ .

№5. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier f(x) = |x|, xн(-2;2) ។.

ដំណោះស្រាយ។តាមលក្ខខណ្ឌ f(x)គឺជាមុខងារតែមួយនៅលើ (-2;2) ; ទាំងនោះ។ ស៊េរី Fourier របស់វាមានតែកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ ខណៈពេលដែល T = 4, លីត្រ = 2, ,

កន្លែងណា; ; n = 1, 2,

1) ក្រាហ្វ f(x):

2) ក្រាហ្វ S(x):

3) ដោយសារតែ |x| = xសម្រាប់ x > 0 ។; .

បន្ទាប់មកការរលួយ f(x)នៅក្នុងស៊េរី Fourier មានទម្រង់: . ចំណាំថានៅពេលរួមបញ្ចូលកន្សោម ឬ រូបមន្តរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកត្រូវបានប្រើ៖ , កន្លែង u=x; dv = cos(ax)dxឬ dv = sin(ax)dx ។

№6. ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier: ក) ក្នុងចន្លោះពេល (-?,?); ខ) នៅចន្លោះពេល (0, 2?); គ) នៅក្នុងចន្លោះពេល (0, ?) នៅក្នុងស៊េរីនៃស៊ីនុស។

ដំណោះស្រាយ។ក) ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមាន 2? - ការបន្តតាមកាលកំណត់មានទម្រង់

មុខងារបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Dirichlet ហើយដូច្នេះវាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ។

ចូរយើងគណនាមេគុណ Fourier ។ ដោយសារអនុគមន៍គឺស្មើ បន្ទាប់មក bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) និង (n = 0, 1, 2,…) ។

ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនេះ រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយត្រូវបានប្រើប្រាស់។ យើង​ទទួល​បាន

ស៊េរី Fourier នៃមុខងារនេះមានទម្រង់ . ដោយគុណធម៌នៃការធ្វើតេស្ត Dirichlet ស៊េរីនេះតំណាងឱ្យមុខងារ x2 ក្នុងចន្លោះពេល (-?,?) ។

ខ) ចន្លោះពេល (0, 2?) មិនស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើមទេ ហើយប្រវែងរបស់វាគឺ 2 លីត្រ= ២ ? យើងគណនាមេគុណ Fourier ដោយប្រើរូបមន្ត៖

ដូច្នេះស៊េរី Fourier មានទម្រង់ . ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទ Dirichlet ស៊េរីបង្រួបបង្រួមទៅនឹងមុខងារបង្កើតនៅចំនុច x?(0,2?) ហើយនៅចំនុច 0 និង 2? ទៅ​នឹង​តម្លៃ។ ក្រាហ្វបូកស៊េរីមើលទៅដូច

គ) មុខងារដែលបានពង្រីកជាស៊េរីក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុសត្រូវតែសេស។ ដូច្នេះ យើងពង្រីកអនុគមន៍ x2 ក្នុង (-π,π) តាមរបៀបចម្លែក ពោលគឺឧ។ ពិចារណាមុខងារ។ សម្រាប់មុខងារនេះ f(x) យើងមាន = 0 (n = 0, 1, 2,…) និង

ការពង្រីកដែលចង់បានមានទម្រង់។

ក្រាហ្វបូកស៊េរីមើលទៅដូច

ចំណាំថានៅចំណុច x = (-π, π) ស៊េរី Fourier ប្រែទៅជាសូន្យ។

№7 ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier មុខងារមួយដែលត្រូវបានផ្តល់ជាក្រាហ្វិក៖

ដំណោះស្រាយ . យើងទទួលបានកន្សោមច្បាស់លាស់សម្រាប់ f(x)។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ យើងប្រើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់។ ដូចដែលអាចមើលឃើញពីគំនូរ, i.e. f (x) = x − 1 (−1< x < 1) и период Т = 2.

មុខងារនេះបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្ត Dirichlet ដូច្នេះវាពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ។ ចូរយើងគណនាមេគុណ Fourier ( លីត្រ = 1):

; (n = 1, 2,…);

ស៊េរី Fourier សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) មានទម្រង់

វាតំណាងឱ្យអនុគមន៍ f(x) នៅ -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier នៅលើផ្នែកមួយ ហើយបង្ហាញមុខងារដែលស៊េរីលទ្ធផលបញ្ចូលគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។គូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ដោយបន្តវាតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេល ឬនៅលើអ័ក្សទាំងមូល។ មុខងារបន្តមានរយៈពេល។

ពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌសម្រាប់លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier (Dini-Lipschitz, Jordan, Dirichlet) ។

អនុគមន៍​គឺ​ជា​ឯកតា​ឯកតា​នៅ​លើ​ផ្នែក៖ វា​កើន​ឡើង​ជា​បន្តបន្ទាប់។ នៅចំណុច មុខងារមានការឈប់ដំណើរការនៃប្រភេទទីមួយ។

ស្វែងយល់ថាតើអនុគមន៍មួយគឺគូ ឬសេស៖ មុខងារមិនទាំងឬសេស។

ក) ប្រសិនបើមុខងារត្រូវបានកំណត់

ខ) ប្រសិនបើមុខងារត្រូវបានកំណត់ទៅ

តែងស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍៖ .

បញ្ជាក់​អនុគមន៍​ដែល​ស៊េរី​នេះ​នឹង​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​ ដោយ​ប្រើ​លក្ខណៈ​វិនិច្ឆ័យ​ការ​បង្រួប​បង្រួម​ចង្អុល​៖ យោង​តាម​លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Dirichlet ស៊េរី Fourier នៃ​អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​បង្រួប​បង្រួម​ជា​ផលបូក៖

№9. ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុសនៅលើ ហើយប្រើការពង្រីកនេះដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីលេខ។

ដំណោះស្រាយ។បន្តមុខងារក្នុងវិធីគូ (សេស) នៅលើ (- ទំ,0) ឬ (- លីត្រ,0) ហើយបន្ទាប់មកតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល 2 ទំឬ ២ លីត្របន្តមុខងារទៅអ័ក្សទាំងមូល។

យើងបន្តមុខងារនៅក្នុងវិធីសេសមួយ ហើយបន្ទាប់មកតាមកាលកំណត់ ជាមួយនឹងរយៈពេលមួយ យើងបន្តវានៅលើអ័ក្សទាំងមូល។

គូរក្រាហ្វបន្តតាមកាលកំណត់។ យើងនឹងទទួលបានមុខងារនៃទម្រង់៖

ពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌសម្រាប់លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier (Dini-Lipitz, Jordan, Dirichlet) ។

អនុគមន៍គឺថេរជាដុំក្នុងចន្លោះពេល៖ វាស្មើនឹង -1 លើ និង 1 នៅលើ . នៅចំណុច មុខងារមានការឈប់ដំណើរការនៃប្រភេទទីមួយ។

គណនាមេគុណ Fourier៖

មេគុណ Fourier របស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

តែងស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍។ .

បញ្ជាក់​អនុគមន៍​ដែល​ស៊េរី​នេះ​នឹង​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​ដោយ​ប្រើ​លក្ខណៈ​វិនិច្ឆ័យ​ការ​បង្រួប​បង្រួម​តាម​ចំណុច។

យោងទៅតាមការធ្វើតេស្ត Dirichlet ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍បញ្ចូលគ្នាទៅជាផលបូក:

ដូច្នេះនៅ

ការជំនួសតម្លៃ បង្ហាញផលបូកនៃស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សន្មតថានៅក្នុងលទ្ធផល decomposition យើងរកឃើញ ,

មកពីណា, តាំងពីណាមក។

№10. សរសេរសមភាពរបស់ Parseval សម្រាប់អនុគមន៍ ហើយផ្អែកលើសមភាពនេះ ស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីលេខ។

ដំណោះស្រាយ។កំណត់ថាតើអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នាការ៉េនៅលើ .

មុខងារគឺបន្ត ហើយដូច្នេះ រួមបញ្ចូលនៅលើ . សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា ការ៉េរបស់វាត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅលើ .

គណនាមេគុណ Fourier ដោយប្រើរូបមន្ត៖

ដោយសារវាជាមុខងារសេស មេគុណ Fourier របស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

គណនាអាំងតេក្រាល។

សរសេររូបមន្ត Parseval៖

ដូច្នេះរូបមន្ត Parseval មានទម្រង់

ដោយបានអនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង ប្រសិនបើចាំបាច់ ទទួលបានផលបូកនៃស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ 144 យើងរកឃើញ: .

№11. ស្វែងរកអាំងតេក្រាល Fourier នៃអនុគមន៍មួយ។

និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

ដំណោះស្រាយ។គ្រោងមុខងារ។

ពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃអាំងតេក្រាល Fourier (Dini, Dirichlet-Jordan ឬផលវិបាកពីពួកគេ) ។

អនុគមន៍​គឺ​អាច​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​បាន​យ៉ាង​ពិត​ប្រាកដ​នៅ​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល បន្ត​សម្រាប់ និង និង​មាន​ការ​មិន​បន្ត​នៃ​ប្រភេទ​ទី​មួយ​នៅ​ចំណុច​មួយ។ លើសពីនេះ សម្រាប់ និងអនុគមន៍មានដេរីវេទីកំណត់ ហើយនៅសូន្យ មាននិស្សន្ទវត្ថុខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងកំណត់។ រកមើលថាតើមុខងារគឺគូឬសេស។ មុខងារគឺមិនសូម្បីតែឬសេស។ ; .

ដូច្នេះ ឬ ,

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល 2π ។

ស៊េរី Fourier អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសិក្សាមុខងារតាមកាលកំណត់ដោយបំបែកពួកវាទៅជាសមាសធាតុ។ ចរន្តឆ្លាស់ និងវ៉ុល ការផ្លាស់ទីលំនៅ ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៃយន្តការ crank និងរលកសូរស័ព្ទ គឺជាការអនុវត្តជាក់ស្តែងធម្មតានៃមុខងារតាមកាលកំណត់ក្នុងការគណនាវិស្វកម្ម។

ការពង្រីកស៊េរី Fourier គឺផ្អែកលើការសន្មត់ថាមុខងារទាំងអស់នៃសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងនៅក្នុងចន្លោះពេល -π ≤ x ≤ π អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាស៊េរីត្រីកោណមាត្ររួម (ស៊េរីមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាបញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកដែលបង្កើតឡើងដោយលក្ខខណ្ឌរបស់វាបញ្ចូលគ្នា) :

ការសម្គាល់ស្តង់ដារ (=usual) តាមរយៈផលបូកនៃ sinx និង cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

ដែល a o , a 1 ,a 2 ,... ,b 1 ,b 2 ,.. គឺជាចំនួនថេរពិតប្រាកដ ពោលគឺឧ។

ដែលជាកន្លែងដែលសម្រាប់ជួរពី -π ទៅ π មេគុណនៃស៊េរី Fourier ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

មេគុណ a o ,a n និង b n ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ Fourierហើយប្រសិនបើពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញ នោះស៊េរី (1) ត្រូវបានគេហៅថា នៅជិត Fourier,អនុគមន៍ f(x)។ សម្រាប់ស៊េរី (1) ពាក្យ (a 1 cosx+b 1 sinx) ត្រូវបានគេហៅថា ទីមួយ ឬ អាម៉ូនិកចម្បង,

វិធីមួយទៀតដើម្បីសរសេរស៊េរីគឺប្រើទំនាក់ទំនង acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

ដែល o ជាថេរ c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 គឺជាទំហំនៃសមាសធាតុផ្សេងៗ ហើយស្មើនឹង n \ u003d arctg a n / b n ។

សម្រាប់ស៊េរី (1) ពាក្យ (a 1 cosx + b 1 sinx) ឬ c 1 sin (x + α 1) ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ឬ អាម៉ូនិកចម្បង,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ឬ c 2 sin(2x+α 2) ត្រូវបានគេហៅថា អាម៉ូនិកទីពីរល​ល។

ដើម្បីតំណាងឱ្យសញ្ញាស្មុគ្រស្មាញយ៉ាងត្រឹមត្រូវ ជាធម្មតាចំនួនពាក្យមិនកំណត់ត្រូវបានទាមទារ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើន វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែលក្ខខណ្ឌដំបូងប៉ុណ្ណោះ។

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល 2π ។

ការពង្រីកមុខងារមិនមែនតាមកាលកំណត់នៅក្នុងស៊េរី Fourier ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) មិនមានលក្ខណៈតាមកាលកំណត់ នោះវាមិនអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ គេអាចកំណត់ស៊េរី Fourier ដែលតំណាងឱ្យមុខងារលើជួរទទឹង 2π ណាមួយ។

ដោយ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​អនុគមន៍​មិន​តាម​កាលកំណត់ អ្នក​អាច​តែង​អនុគមន៍​ថ្មី​ដោយ​ជ្រើសរើស​តម្លៃ f(x) ក្នុង​ជួរ​ជាក់លាក់​មួយ ហើយ​ធ្វើ​វា​ឡើង​វិញ​នៅ​ក្រៅ​ជួរ​នេះ​នៅ​ចន្លោះ​ពេល 2π ។ ដោយសារអនុគមន៍ថ្មីមានលក្ខណៈតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 2π វាអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ f(x)=x មិនមែនតាមកាលកំណត់ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើចាំបាច់ត្រូវពង្រីកវាទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេលពី 0 ទៅ 2π នោះមុខងារតាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 2π ត្រូវបានសាងសង់នៅខាងក្រៅចន្លោះពេលនេះ (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម)។

សម្រាប់អនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ដូចជា f(x)=x ផលបូកនៃស៊េរី Fourier គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃ f(x) នៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ក្នុងជួរដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប៉ុន្តែវាមិនស្មើនឹង f(x) សម្រាប់ពិន្ទុ នៅខាងក្រៅជួរ។ ដើម្បីស្វែងរកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ក្នុងជួរ 2π រូបមន្តដូចគ្នានៃមេគុណ Fourier ត្រូវបានប្រើ។

មុខងារគូនិងសេស។

ពួកគេនិយាយថាមុខងារ y = f (x) សូម្បីតែប្រសិនបើ f(-x)=f(x) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺតែងតែស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y (នោះគឺពួកគេត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំង) ។ ឧទាហរណ៍ពីរនៃអនុគមន៍គូ៖ y = x 2 និង y = cosx ។

គេថាមុខងារ y=f(x) សេសប្រសិនបើ f(-x)=-f(x) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ក្រាហ្វនៃមុខងារសេសគឺតែងតែស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម។

មុខងារជាច្រើនមិនសូម្បីតែឬសេស។

ការពង្រីកស៊េរី Fourier នៅក្នុងកូស៊ីនុស។

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ f(x) ជាមួយរយៈពេល 2π មានតែពាក្យកូស៊ីនុស (ពោលគឺមិនមានពាក្យស៊ីនុស) ហើយអាចរួមបញ្ចូលពាក្យថេរ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

តើមេគុណនៃស៊េរី Fourier នៅឯណា?

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដ៏សេស f(x) ជាមួយនឹងរយៈពេល 2π មានតែពាក្យដែលមានស៊ីនុស (ពោលគឺមិនមានពាក្យជាមួយកូស៊ីនុសទេ)។

អាស្រ័យហេតុនេះ

តើមេគុណនៃស៊េរី Fourier នៅឯណា?

ស៊េរី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្ត។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់លើជួរមួយ និយាយថា 0 ដល់ π ហើយមិនមែនត្រឹមតែ 0 ទៅ 2π ទេ វាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស ឬតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ។ ស៊េរី Fourier លទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា នៅជិត Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្ត។

ប្រសិនបើអ្នកចង់ទទួលបានកំទេចកំទី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្តនៅក្នុងកូស៊ីនុសអនុគមន៍ f(x) ក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ π នោះ ចាំបាច់ត្រូវសរសេរអនុគមន៍តាមកាលកំណត់។ នៅលើរូបភព។ ខាងក្រោមគឺជាអនុគមន៍ f(x)=x បង្កើតនៅលើចន្លោះពេលពី x=0 ដល់ x=π ។ ដោយសារអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស f(x) យើងគូរបន្ទាត់ AB ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ខាងក្រោម។ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថានៅក្រៅចន្លោះពេលដែលបានពិចារណា រូបរាងត្រីកោណលទ្ធផលគឺតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 2π បន្ទាប់មកក្រាហ្វចុងក្រោយមានទម្រង់បង្ហាញ។ នៅក្នុងរូបភព។ ខាងក្រោម។ ដោយសារវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីទទួលបានការពង្រីក Fourier នៅក្នុងកូស៊ីនុស ដូចពីមុន យើងគណនាមេគុណ Fourier a o និង a n

ប្រសិនបើអ្នកចង់ទទួលបានអនុគមន៍ f (x) ក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ π នោះអ្នកត្រូវសរសេរអនុគមន៍តាមកាលកំណត់សេស។ នៅលើរូបភព។ ខាងក្រោមគឺជាអនុគមន៍ f(x)=x បង្កើតនៅលើចន្លោះពេលពី x=0 ដល់ x=π ។ ដោយសារមុខងារសេសមានភាពស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម យើងបង្កើតបន្ទាត់ស៊ីឌី ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថានៅខាងក្រៅចន្លោះពេលដែលបានពិចារណា សញ្ញា sawtooth ដែលទទួលបានគឺតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេល 2π នោះក្រាហ្វចុងក្រោយមានទម្រង់បង្ហាញក្នុងរូបភព។ ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីទទួលបានការពង្រីក Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្តនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុសដូចពីមុនយើងគណនាមេគុណ Fourier ។ ខ

ស៊េរី Fourier សម្រាប់ចន្លោះពេលបំពាន។

ការពង្រីកមុខងារតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល L.

អនុគមន៍តាមកាលកំណត់ f(x) ធ្វើម្តងទៀតនៅពេលដែល x កើនឡើងដោយ L, i.e. f(x+L)=f(x)។ ការផ្លាស់ប្តូរពីអនុគមន៍ដែលបានពិចារណាពីមុនដែលមានរយៈពេល 2π ទៅអនុគមន៍ដែលមានរយៈពេល L គឺសាមញ្ញណាស់ ព្រោះវាអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

ដើម្បីស្វែងរកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) ក្នុងជួរ -L/2≤x≤L/2 យើងណែនាំអថេរថ្មី u ដូច្នេះអនុគមន៍ f(x) មានរយៈពេល 2π ទាក់ទងនឹង u ។ ប្រសិនបើ u=2πx/L បន្ទាប់មក x=-L/2 សម្រាប់ u=-π និង x=L/2 សម្រាប់ u=π ។ ក៏អនុញ្ញាតឱ្យ f(x)=f(Lu/2π)=F(u)។ ស៊េរី Fourier F(u) មានទម្រង់

តើមេគុណនៃស៊េរី Fourier នៅឯណា?

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយជាញឹកញាប់ រូបមន្តខាងលើនាំទៅរកការពឹងផ្អែកលើ x ។ ចាប់តាំងពី u=2πх/L បន្ទាប់មក du=(2π/L)dx ហើយដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលគឺពី -L/2 ទៅ L/2 ជំនួសឱ្យ -π ទៅ π ។ ដូច្នេះ ស៊េរី Fourier សម្រាប់ការពឹងផ្អែកលើ x មានទម្រង់

ដែលនៅក្នុងជួរពី -L/2 ដល់ L/2 គឺជាមេគុណនៃស៊េរី Fourier,

(ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានជំនួសដោយចន្លោះពេលណាមួយនៃប្រវែង L ឧទាហរណ៍ ពី 0 ដល់ L)

ស៊េរី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្តសម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេល L≠2π។

សម្រាប់ការជំនួស u=πx/L ចន្លោះពេលពី x=0 ទៅ x=L ត្រូវគ្នាទៅនឹងចន្លោះពេលពី u=0 ទៅ u=π។ ដូច្នេះមុខងារអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូស៊ីនុស ឬតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស ពោលគឺឧ។ ក្នុង ស៊េរី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្ត.

ការពង្រីកនៅក្នុងកូស៊ីនុសក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ L មានទម្រង់

នៅជិត Fourierអនុគមន៍ f (x) នៅលើចន្លោះពេល (-π; π) ត្រូវបានគេហៅថាជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រនៃទម្រង់៖
កន្លែងណា

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f (x) នៅចន្លោះពេល (-l; l) ត្រូវបានគេហៅថាជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រនៃទម្រង់៖
កន្លែងណា

ការណាត់ជួប។ ម៉ាស៊ីនគិតលេខអនឡាញត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីពង្រីកមុខងារ f(x) នៅក្នុងស៊េរី Fourier ។

សម្រាប់មុខងារម៉ូឌុល (ឧ. |x|) សូមប្រើ ការពង្រីកកូស៊ីនុស.

ច្បាប់ចូលមុខងារ:

សម្រាប់មុខងារម៉ូឌុល សូមប្រើការពង្រីកកូស៊ីនុស។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ |x| វាចាំបាច់ក្នុងការណែនាំមុខងារដោយគ្មានម៉ូឌុល i.e. x

Fourier series piecewise-continuous, piecewise-monotone and bounded on the interval (- លីត្រ;លីត្រ) នៃអនុគមន៍បង្រួបបង្រួមលើអ័ក្សពិតទាំងមូល។

ផលបូកនៃស៊េរី Fourier S(x)៖

• គឺជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 2 លីត្រ. អនុគមន៍ u(x) ត្រូវបានគេហៅថាតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល T (ឬ T-periodic) ប្រសិនបើសម្រាប់ x ទាំងអស់នៃដែន R, u(x+T)=u(x)។
• នៅចន្លោះពេល (- លីត្រ;លីត្រ) ស្របគ្នានឹងមុខងារ f(x) លើកលែងតែចំណុចបំបែក
• នៅចំណុចដាច់ (នៃប្រភេទទីមួយចាប់តាំងពីមុខងារមានកំណត់) នៃអនុគមន៍ f(x) ហើយយកតម្លៃមធ្យមនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេល៖

.
ពួកគេនិយាយថាមុខងារពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល (- លីត្រ;លីត្រ): .

ប្រសិនបើ ក f(x) គឺជាអនុគមន៍តែមួយ បន្ទាប់មកមានតែមុខងារសូម្បីតែចូលរួមក្នុងការពង្រីករបស់វា ពោលគឺ b n=0.
ប្រសិនបើ ក f(x) គឺជាមុខងារសេស បន្ទាប់មកមានតែមុខងារសេសប៉ុណ្ណោះ ដែលចូលរួមក្នុងការពង្រីករបស់វា ពោលគឺ មួយ n=0

នៅជិត Fourier មុខងារ f(x) នៅចន្លោះពេល (0; លីត្រ) ដោយកូស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន។ ជួរដេកត្រូវបានគេហៅថា:
កន្លែងណា
.
នៅជិត Fourier មុខងារ f(x) នៅចន្លោះពេល (0; លីត្រ) ដោយស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន។ ជួរដេកត្រូវបានគេហៅថា:
កន្លែងណា .
ផលបូកនៃស៊េរី Fourier លើកូស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន គឺជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេល 2 លីត្រ, ស្របពេលជាមួយ f(x) នៅចន្លោះពេល (0; លីត្រ) នៅចំណុចនៃការបន្ត។
ផលបូកនៃស៊េរី Fourier លើស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន គឺជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដ៏សេស ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 2 លីត្រ, ស្របពេលជាមួយ f(x) នៅចន្លោះពេល (0; លីត្រ) នៅចំណុចនៃការបន្ត។
ស៊េរី Fourier សម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យមានលក្ខណៈសម្បត្តិតែមួយគត់ ពោលគឺប្រសិនបើការពង្រីកត្រូវបានទទួលតាមវិធីផ្សេងក្រៅពីការប្រើរូបមន្ត ឧទាហរណ៍ ដោយជ្រើសរើសមេគុណ នោះមេគុណទាំងនេះត្រូវគ្នាជាមួយនឹងរូបមន្តដែលគណនាដោយរូបមន្ត។ .

ឧទាហរណ៍ #1 ។ ពង្រីកអនុគមន៍ f(x)=1៖
ក) នៅក្នុងស៊េរី Fourier ពេញលេញនៅលើចន្លោះពេល(-π ;π);
ខ) នៅក្នុងស៊េរីមួយនៅតាមបណ្តោយស៊ីនុសនៃធ្នូជាច្រើននៅលើចន្លោះពេល(0;π); គ្រោងស៊េរី Fourier លទ្ធផល
ដំណោះស្រាយ:
ក) ការពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅលើចន្លោះពេល (-π; π) មានទម្រង់៖
,
និងមេគុណទាំងអស់។ b n=0, ដោយសារតែ មុខងារនេះគឺសូម្បីតែ; ដូច្នេះ,

ជាក់ស្តែងសមភាពនឹងពេញចិត្តប្រសិនបើយើងយក
ក 0 =2, ក 1 =ក 2 =ក 3 =…=0
ដោយគុណធម៌នៃលក្ខណៈឯកតា ទាំងនេះគឺជាមេគុណដែលចង់បាន។ ដូច្នេះការពង្រីកដែលត្រូវការគឺ៖ ឬគ្រាន់តែ 1=1 ។
ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដែលស៊េរីដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងមុខងាររបស់វា ក្រាហ្វនៃស៊េរី Fourier ស្របគ្នាជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារនៅលើបន្ទាត់ពិតទាំងមូល។
ខ) ការពង្រីកនៅលើចន្លោះពេល (0;π) ក្នុងន័យនៃស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើនមានទម្រង់៖
វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសមេគុណ ដូច្នេះសមភាពទទួលបានដូចគ្នាបេះបិទ។ ចូរយើងប្រើរូបមន្តដើម្បីគណនាមេគុណ៖


ដូច្នេះសម្រាប់សូម្បីតែ ន (ន=2k) យើង​មាន b n=0 សម្រាប់សេស ( ន=2k-1) -
ទីបំផុត .
ចូរយើងរៀបចំផែនការលទ្ធផលនៃស៊េរី Fourier ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា (សូមមើលខាងលើ) ។
ដំបូងយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារនេះនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ លើសពីនេះទៀត ដោយទាញយកអត្ថប្រយោជន៍ពីភាពចម្លែកនៃផលបូកនៃស៊េរី យើងបន្តក្រាហ្វស៊ីមេទ្រីទៅប្រភពដើម៖

យើងបន្តតាមកាលកំណត់នៅលើអ័ក្សលេខទាំងមូល៖


ហើយចុងក្រោយ នៅចំណុចបំបែក យើងបំពេញតម្លៃមធ្យម (រវាងដែនកំណត់ខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង)៖

ឧទាហរណ៍ #2 ។ ពង្រីកមុខងារ នៅលើចន្លោះពេល (0; 6) តាមស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន។
ដំណោះស្រាយ៖ ការពង្រីកដែលចង់បានមានទម្រង់៖

ដោយសារទាំងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពមានតែមុខងារ sin នៃអាគុយម៉ង់ផ្សេងគ្នា អ្នកគួរតែពិនិត្យមើលថាតើអាគុយម៉ង់នៃ sines នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពស្របគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃណាមួយនៃ n (ធម្មជាតិ!)
ឬ ពេលណា n = 18 ។ នេះមានន័យថាពាក្យបែបនេះមាននៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយមេគុណសម្រាប់វាត្រូវតែស្របគ្នាជាមួយនឹងមេគុណនៅខាងឆ្វេង៖ ខ 18 =1;
ឬ ពេលណា n = 4 ។ មានន័យថា ខ 4 =-5.
ដូច្នេះដោយប្រើជម្រើសនៃមេគុណវាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានការពង្រីកដែលចង់បាន។

ដែលត្រូវបានធុញទ្រាន់រួចទៅហើយ។ ហើយខ្ញុំមានអារម្មណ៍ថាពេលនេះបានមកដល់នៅពេលដែលវាដល់ពេលដើម្បីទាញយកអាហារកំប៉ុងថ្មីពីទុនបម្រុងយុទ្ធសាស្ត្រនៃទ្រឹស្តី។ តើអាចពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីតាមវិធីផ្សេងបានទេ? ឧទាហរណ៍ ដើម្បីបង្ហាញផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងន័យស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស? វាហាក់បីដូចជាមិនគួរឱ្យជឿ ប៉ុន្តែមុខងារដែលមើលទៅហាក់បីដូចជានៅឆ្ងាយ ផ្តល់ប្រាក់កម្ចីដល់ពួកគេ។
"ការជួបជុំ" ។ បន្ថែមពីលើសញ្ញាបត្រដែលធ្លាប់ស្គាល់នៅក្នុងទ្រឹស្តី និងការអនុវត្ត មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតក្នុងការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងស្គាល់ជាមួយនឹងស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier ប៉ះលើបញ្ហានៃការបញ្ចូលគ្នា និងផលបូករបស់វា ហើយជាការពិត យើងនឹងវិភាគឧទាហរណ៍ជាច្រើនសម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។ ខ្ញុំចង់ហៅអត្ថបទដោយស្មោះថា "Fourier Series for Dummies" ប៉ុន្តែនេះជាល្បិចកល ព្រោះការដោះស្រាយបញ្ហានឹងត្រូវការចំណេះដឹងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និងបទពិសោធន៍ជាក់ស្តែងមួយចំនួន។ ដូច្នេះបុព្វកថានឹងស្រដៀងនឹងការបណ្តុះបណ្តាលអវកាសយានិក =)

ជាដំបូង ការសិក្សាអំពីសម្ភារៈទំព័រគួរតែត្រូវបានខិតជិតក្នុងទម្រង់ដ៏ល្អឥតខ្ចោះ។ ងងុយគេង សម្រាក និងស្ងប់ស្ងាត់។ ដោយគ្មានអារម្មណ៍ខ្លាំងអំពីក្រញាំដែលខូចរបស់ hamster និងគំនិតឈ្លក់វង្វេងអំពីការលំបាកនៃជីវិតរបស់ត្រីអាងចិញ្ចឹមត្រី។ ស៊េរី Fourier គឺមិនពិបាកពីទស្សនៈនៃការយល់ដឹងនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ កិច្ចការជាក់ស្តែងគ្រាន់តែទាមទារឱ្យមានការកើនឡើងនៃការយកចិត្តទុកដាក់ - តាមឧត្ដមគតិ គួរតែបោះបង់ចោលទាំងស្រុងនូវការរំញោចខាងក្រៅ។ ស្ថានការណ៍កាន់តែធ្ងន់ធ្ងរឡើងដោយការពិតដែលថាមិនមានវិធីងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនិងចម្លើយនោះទេ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើសុខភាពរបស់អ្នកទាបជាងមធ្យម នោះជាការប្រសើរក្នុងការធ្វើអ្វីដែលសាមញ្ញជាងនេះ។ ការពិត។

ទីពីរ មុន​នឹង​ហោះ​ឡើង​ទៅ​ក្នុង​លំហ ​ត្រូវ​សិក្សា​ពី​បន្ទះ​ឧបករណ៍​របស់​យាន​អវកាស។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងតម្លៃនៃមុខងារដែលគួរចុចលើម៉ាស៊ីន៖

សម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយ៖

មួយ) ។ ហើយជាការពិត sinusoid "បញ្ចេញ" អ័ក្ស x តាមរយៈ "pi" នីមួយៗ:
. ក្នុងករណីតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ លទ្ធផលពិតណាស់នឹងដូចគ្នា៖ .

២). ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់គ្នាបានដឹងរឿងនេះទេ។ កូស៊ីនុស "pi en" គឺស្មើនឹង "ពន្លឺភ្លឺ"៖

អាគុយម៉ង់អវិជ្ជមានមិនផ្លាស់ប្តូរករណីនេះទេ៖ .

ប្រហែលជាគ្រប់គ្រាន់ហើយ។

ហើយទីបី សាកសពអវកាសយានិកជាទីគោរព អ្នកត្រូវតែអាច... រួមបញ្ចូល.
ជាពិសេសប្រាកដ នាំយកមុខងារនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល, រួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនិងស្ថិតក្នុងលក្ខខណ្ឌដ៏ល្អជាមួយ រូបមន្ត Newton-Leibniz. តោះចាប់ផ្តើមលំហាត់សំខាន់ៗមុនពេលហោះហើរ។ ខ្ញុំ​មិន​ណែនាំ​ឱ្យ​រំលង​វា​ទេ ដូច្នេះ​ពេល​ក្រោយ​អ្នក​មិន​រាបស្មើ​ក្នុង​សូន្យ​ទំនាញ៖

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់

កន្លែងដែលយកតម្លៃធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ៖ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តលើអថេរ "x" ហើយនៅដំណាក់កាលនេះ អថេរផ្តាច់មុខ "en" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ។ នៅក្នុងអាំងតេក្រាលទាំងអស់។ នាំយកមុខងារនៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល:

កំណែខ្លីនៃដំណោះស្រាយដែលល្អក្នុងការថតមើលទៅដូចនេះ៖

ស៊ាំនឹង៖

ចំណុចទាំងបួនដែលនៅសេសសល់គឺដោយខ្លួនឯង។ ព្យាយាមចាត់ចែងកិច្ចការដោយមនសិការ និងរៀបចំអាំងតេក្រាលក្នុងវិធីខ្លីៗ។ ដំណោះស្រាយគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

បន្ទាប់ពីការធ្វើលំហាត់ប្រាណ QUALITY យើងពាក់អាវអវកាស
និងត្រៀមខ្លួនដើម្បីចាប់ផ្តើម!

ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅលើចន្លោះពេល

ចូរយើងពិចារណាមុខងារមួយ។ បានកំណត់យ៉ាងហោចណាស់នៅចន្លោះពេល (ហើយប្រហែលជានៅចន្លោះពេលធំជាងនេះ)។ ប្រសិនបើអនុគមន៍នេះអាចរួមបញ្ចូលនៅលើផ្នែក នោះវាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាត្រីកោណមាត្រ ស៊េរី Fourier:
ឯណាគេហៅថា មេគុណ Fourier.

ក្នុងករណីនេះលេខត្រូវបានហៅ រយៈពេល decompositionហើយលេខគឺ ការរំលាយពាក់កណ្តាលជីវិត.

ជាក់ស្តែង នៅក្នុងករណីទូទៅ ស៊េរី Fourier មានស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖

ជាការពិត ចូរយើងសរសេរវាឱ្យលម្អិត៖

ពាក្យសូន្យនៃស៊េរីជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជា .

មេគុណ Fourier ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

ខ្ញុំយល់យ៉ាងច្បាស់ថាពាក្យថ្មីនៅតែមិនច្បាស់លាស់សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងដើម្បីសិក្សាប្រធានបទ៖ រយៈពេល decomposition, ពាក់កណ្តាលវដ្ត, មេគុណ Fourierនិងអ្នកផ្សេងទៀត កុំភ័យស្លន់ស្លោ វាមិនអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការរំភើបមុនពេលដើរលំហអាកាសបានទេ។ ចូរយើងគិតអ្វីៗទាំងអស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលនៅជិតបំផុត មុនពេលប្រតិបត្តិ ដែលវាសមហេតុផលក្នុងការសួរសំណួរជាក់ស្តែង៖

តើអ្នកត្រូវការធ្វើអ្វីក្នុងកិច្ចការខាងក្រោម?

ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។ លើសពីនេះទៀត ជារឿយៗវាត្រូវបានតម្រូវឱ្យគូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ក្រាហ្វនៃផលបូកនៃស៊េរី ផលបូកមួយផ្នែក និងក្នុងករណីដែលស្រមើស្រមៃរបស់សាស្រ្តាចារ្យដ៏ទំនើប ធ្វើអ្វីមួយផ្សេងទៀត។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier?

សំខាន់អ្នកត្រូវស្វែងរក មេគុណ Fourierនោះគឺ តែង និងគណនាបី អាំងតេក្រាលជាក់លាក់.

សូមចម្លងទម្រង់ទូទៅនៃស៊េរី Fourier និងរូបមន្តធ្វើការទាំងបីនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក។ ខ្ញុំរីករាយណាស់ដែលអ្នកចូលមើលគេហទំព័រមួយចំនួនមានក្តីស្រមៃកាលពីកុមារភាពចង់ក្លាយជាអវកាសយានិកដែលកំពុងក្លាយជាការពិតនៅចំពោះមុខភ្នែករបស់ខ្ញុំ =)

ឧទាហរណ៍ ២

ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល។ បង្កើតក្រាហ្វ ក្រាហ្វនៃផលបូកនៃស៊េរី និងផលបូកមួយផ្នែក។

ដំណោះស្រាយ៖ ផ្នែកដំបូងនៃភារកិច្ចគឺពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។

ការចាប់ផ្តើមគឺជាស្តង់ដារ ត្រូវប្រាកដថាសរសេរថា:

ក្នុង​បញ្ហា​នេះ រយៈ​ពេល​ពង្រីក ពាក់កណ្តាល​រយៈ​ពេល។

យើងពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល៖

ដោយប្រើរូបមន្តសមស្របយើងរកឃើញ មេគុណ Fourier. ឥឡូវនេះយើងត្រូវចងក្រងនិងគណនាចំនួនបី អាំងតេក្រាលជាក់លាក់. ដើម្បីភាពងាយស្រួល ខ្ញុំនឹងរាប់ពិន្ទុ៖

1) អាំងតេក្រាលទីមួយគឺសាមញ្ញបំផុត ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាទាមទារភ្នែក និងភ្នែករួចហើយ៖

2) យើងប្រើរូបមន្តទីពីរ:

អាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ គាត់យកវាមកជាដុំៗ:

នៅពេលរកឃើញថាប្រើ វិធីសាស្រ្តនៃការនាំយកអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

នៅក្នុងភារកិច្ចដែលកំពុងពិចារណាវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើភ្លាមៗ រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ :

កំណត់ចំណាំបច្ចេកទេសពីរបី។ ដំបូងបន្ទាប់ពីអនុវត្តរូបមន្ត កន្សោមទាំងមូលត្រូវតែរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបធំចាប់តាំងពីមានថេរនៅពីមុខអាំងតេក្រាលដើម។ កុំអោយចាញ់! វង់ក្រចកអាចត្រូវបានបើកនៅជំហានណាមួយបន្ថែមទៀត ខ្ញុំបានធ្វើវានៅវេនចុងក្រោយបំផុត។ នៅក្នុង "បំណែក" ដំបូង យើងបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវខ្លាំងក្នុងការជំនួស ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ថេរគឺចេញពីអាជីវកម្ម ហើយដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងផលិតផល។ សកម្មភាពនេះត្រូវបានសម្គាល់ដោយតង្កៀបការ៉េ។ ជាការប្រសើរណាស់, អាំងតេក្រាលនៃ "ដុំ" ទីពីរនៃរូបមន្តត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ចំពោះអ្នកពីភារកិច្ចបណ្តុះបណ្តាល ;-)

ហើយសំខាន់បំផុត - ការផ្តោតអារម្មណ៍ចុងក្រោយ!

3) យើងកំពុងស្វែងរកមេគុណ Fourier ទីបី៖

ទំនាក់ទំនងនៃអាំងតេក្រាលមុនគឺត្រូវបានទទួល រួមបញ្ចូលដោយផ្នែក:

ករណីនេះមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ខ្ញុំនឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើជំហានបន្ថែមមួយជំហានម្តងៗ៖

(1) កន្សោមទាំងមូលត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបធំ។. ខ្ញុំ​មិន​ចង់​ហាក់​ដូច​ជា​ធុញ​ទេ គេ​ចាញ់​ថេរ​ញឹកញាប់​ពេក។

(២) ក្នុងករណីនេះ ខ្ញុំបានពង្រីកតង្កៀបធំៗទាំងនោះភ្លាមៗ។ ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសយើងលះបង់ចំពោះ "ដុំ" ដំបូង: ផ្សែងថេរនៅខាងចំហៀងនិងមិនចូលរួមក្នុងការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (និង) ទៅក្នុងផលិតផល។ នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃការពង្រាយកំណត់ត្រា វាជាការគួរម្តងទៀតដើម្បីរំលេចសកម្មភាពនេះក្នុងតង្កៀបការ៉េ។ ជាមួយនឹង "បំណែក" ទីពីរ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញជាង: នៅទីនេះប្រភាគបានបង្ហាញខ្លួនបន្ទាប់ពីបើកតង្កៀបធំហើយថេរ - ជាលទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូលអាំងតេក្រាលដែលធ្លាប់ស្គាល់ ;-)

(3) នៅក្នុងតង្កៀបការ៉េ យើងអនុវត្តការបំប្លែង ហើយនៅក្នុងអាំងតេក្រាលត្រឹមត្រូវ យើងជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

(4) យើងយក "flasher" ចេញពីតង្កៀបការ៉េ: បន្ទាប់ពីនោះយើងបើកតង្កៀបខាងក្នុង: .

(5) យើងលុបចោល 1 និង -1 នៅក្នុងតង្កៀប ហើយធ្វើឱ្យសាមញ្ញចុងក្រោយ។

ទីបំផុតបានរកឃើញមេគុណ Fourier ទាំងបី៖

ជំនួសពួកវាទៅក្នុងរូបមន្ត :

កុំភ្លេចបំបែកជាពាក់កណ្តាល។ នៅជំហានចុងក្រោយ ថេរ ("ដកពីរ") ដែលមិនអាស្រ័យលើ "en" ត្រូវបានយកចេញពីផលបូក។

ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល៖

ចូរយើងសិក្សាសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier ។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់ទ្រឹស្តីជាពិសេស ទ្រឹស្តីបទ Dirichletព្យញ្ជនៈ "នៅលើម្រាមដៃ" ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកត្រូវការទម្រង់ដ៏តឹងរឹង សូមយោងទៅសៀវភៅសិក្សាស្តីពីការគណនា (ឧទាហរណ៍ភាគទី 2 នៃបូហាន; ឬភាគទី 3 នៃ Fichtenholtz ប៉ុន្តែវាពិបាកជាងនៅក្នុងវា).

នៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃកិច្ចការ វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យគូរក្រាហ្វ ក្រាហ្វផលបូកជាស៊េរី និងក្រាហ្វផលបូកមួយផ្នែក។

ក្រាហ្វនៃមុខងារគឺធម្មតា។ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះដែលត្រូវបានគូរដោយបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅ៖

យើងដោះស្រាយជាមួយនឹងផលបូកនៃស៊េរី។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាស៊េរីមុខងារប្រែទៅជាមុខងារ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ស៊េរី Fourier ត្រូវបានសាងសង់ សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "x"បំប្លែងទៅជាមុខងារដែលបង្ហាញជាពណ៌ក្រហម។ មុខងារនេះគឺជាកម្មវត្ថុ ការបំបែកនៃប្រភេទទី 1នៅក្នុងចំនុច ប៉ុន្តែក៏បានកំណត់នៅក្នុងពួកវា (ចំណុចក្រហមនៅក្នុងគំនូរ)

តាមវិធីនេះ៖ . វាងាយមើលឃើញថាវាខុសគ្នាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ពីមុខងារដើម ដែលជាមូលហេតុនៅក្នុងសញ្ញាណ tilde ត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យសញ្ញាស្មើ។

ចូរយើងសិក្សាក្បួនដោះស្រាយមួយដែលវាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតផលបូកនៃស៊េរីមួយ។

នៅចន្លោះពេលកណ្តាល ស៊េរី Fourier បង្រួបបង្រួមមុខងារខ្លួនវា (ផ្នែកក្រហមកណ្តាលស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ)។

ឥឡូវនេះសូមនិយាយបន្តិចអំពីលក្ខណៈនៃការពង្រីកត្រីកោណមាត្រដែលបានពិចារណា។ ស៊េរី Fourier រួមបញ្ចូលតែមុខងារតាមកាលកំណត់ (ថេរ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស) ដូច្នេះផលបូកនៃស៊េរី ក៏ជាមុខងារតាមកាលកំណត់ផងដែរ។.

តើនេះមានន័យយ៉ាងណានៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង? ហើយនេះមានន័យថាផលបូកនៃស៊េរី –ចាំបាច់តាមកាលកំណត់ហើយផ្នែកពណ៌ក្រហមនៃចន្លោះពេលត្រូវតែធ្វើម្តងទៀតដោយគ្មានកំណត់នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។

ខ្ញុំ​គិត​ថា​ឥឡូវ​នេះ​អត្ថន័យ​នៃ​ឃ្លា​ថា​«​រយៈពេល​នៃ​ការ​រលួយ​»​បាន​ក្លាយ​​​ជា​ទី​បំផុត​បាន​ក្លាយ​​​ជា​ច្បាស់​។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ រាល់ពេលដែលស្ថានការណ៍កើតឡើងម្តងហើយម្តងទៀត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ជាធម្មតាវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពណ៌នារយៈពេល decomposition ចំនួនបី ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងគំនូរ។ ជាការប្រសើរណាស់, និង "ដើម" បន្ថែមទៀតនៃរយៈពេលជិតខាង - ដើម្បីធ្វើឱ្យវាច្បាស់ថាតារាងបន្ត។

ចំណាប់អារម្មណ៍ពិសេសគឺ ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 1. នៅចំណុចបែបនេះ ស៊េរី Fourier ប្រែទៅជាតម្លៃដាច់ពីគេ ដែលមានទីតាំងនៅចំកណ្តាលនៃភាពមិនដំណើរការ "លោត" (ចំណុចក្រហមនៅក្នុងគំនូរ) ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកការចាត់តាំងនៃចំណុចទាំងនេះ? ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកការចាត់តាំងនៃ "ជាន់ខាងលើ"៖ សម្រាប់នេះ យើងគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចខាងស្តាំបំផុតនៃកំឡុងពេលពង្រីកកណ្តាល៖ . ដើម្បីគណនាលំដាប់នៃ "ជាន់ក្រោម" វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺយកតម្លៃខាងឆ្វេងបំផុតនៃរយៈពេលដូចគ្នា៖ . លំដាប់នៃតម្លៃមធ្យមគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃផលបូកនៃ "ខាងលើ និងខាងក្រោម"៖ . ល្អគឺជាការពិតដែលថានៅពេលសាងសង់គំនូរអ្នកនឹងឃើញភ្លាមៗថាតើពាក់កណ្តាលត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវឬមិនត្រឹមត្រូវ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតផលបូកមួយផ្នែកនៃស៊េរីហើយក្នុងពេលតែមួយនិយាយឡើងវិញនូវអត្ថន័យនៃពាក្យ "ការបញ្ចូលគ្នា" ។ ការជម្រុញត្រូវបានគេស្គាល់ពីមេរៀនអំពី ផលបូកនៃស៊េរីលេខ. ចូរ​ពិពណ៌នា​អំពី​ទ្រព្យសម្បត្តិ​របស់​យើង​យ៉ាង​លម្អិត៖

ដើម្បីបង្កើតផលបូកមួយផ្នែក អ្នកត្រូវសរសេរលេខសូន្យ + លក្ខខណ្ឌពីរបន្ថែមទៀតនៃស៊េរី។ នោះគឺ

នៅក្នុងគំនូរ ក្រាហ្វនៃមុខងារត្រូវបានបង្ហាញជាពណ៌បៃតង ហើយដូចដែលអ្នកបានឃើញ វារុំជុំវិញចំនួនសរុបយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាលើផលបូកមួយផ្នែកនៃប្រាំលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី នោះក្រាហ្វនៃមុខងារនេះនឹងប្រហាក់ប្រហែលនឹងបន្ទាត់ក្រហមកាន់តែត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើមានមួយរយពាក្យនោះ "ពស់ពណ៌បៃតង" នឹងពិតជាបញ្ចូលគ្នាទាំងស្រុងជាមួយនឹងផ្នែកក្រហម។ ល។ ដូច្នេះ ស៊េរី Fourier ចូលគ្នាជាផលបូករបស់វា។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាផលបូកផ្នែកណាមួយគឺ មុខងារបន្តប៉ុន្តែចំនួនសរុបនៃស៊េរីនៅតែមិនបន្ត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេក្នុងការបង្កើតក្រាហ្វផលបូកមួយផ្នែក។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ក្នុងករណីរបស់យើង វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាលើមុខងារនៅលើផ្នែក គណនាតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចមធ្យម (ពិន្ទុកាន់តែច្រើនដែលអ្នកពិចារណា ក្រាហ្វនឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវ)។ បន្ទាប់មក អ្នកគួរសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះនៅលើគំនូរ ហើយគូរក្រាហ្វដោយប្រុងប្រយ័ត្នលើរយៈពេល ហើយបន្ទាប់មក "ចម្លង" វាទៅក្នុងចន្លោះពេលជាប់គ្នា។ ម៉េចទៀត? យ៉ាងណាមិញ ការប៉ាន់ប្រមាណក៏ជាមុខងារតាមកាលកំណត់ផងដែរ ... ... ក្រាហ្វរបស់វារំឭកខ្ញុំអំពីចង្វាក់បេះដូងដូចគ្នានៅលើការបង្ហាញឧបករណ៍វេជ្ជសាស្ត្រ។

ជាការពិតណាស់វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការអនុវត្តការសាងសង់ដោយហេតុថាអ្នកត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នបំផុតដោយរក្សាភាពត្រឹមត្រូវមិនតិចជាងកន្លះមិល្លីម៉ែត្រ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងផ្គាប់ចិត្តអ្នកអានដែលមានជម្លោះជាមួយការគូរ - ក្នុងកិច្ចការ "ពិតប្រាកដ" វានៅឆ្ងាយពីភាពចាំបាច់ជានិច្ចក្នុងការអនុវត្តគំនូរ ដោយកន្លែងណាមួយក្នុង 50% នៃករណី វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ហើយនោះជា វា។

បន្ទាប់ពីបញ្ចប់គំនូរយើងបំពេញភារកិច្ច:

ចម្លើយ:

នៅក្នុងការងារជាច្រើនមុខងារទទួលរង ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅ​លើ​រយៈពេល​នៃ​ការ​រលួយ​:

ឧទាហរណ៍ ៣

ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះពេល។ គូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ និងផលបូកសរុបនៃស៊េរី។

មុខងារដែលបានស្នើឡើងគឺត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយផ្នែក (ហើយចងចាំអ្នកតែនៅលើផ្នែក)និងស៊ូទ្រាំ ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅចំណុច។ តើអាចគណនាមេគុណ Fourier បានទេ? គ្មាន​បញ្ហា។ ទាំងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃអនុគមន៍គឺអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅចន្លោះពេលរបស់ពួកគេ ដូច្នេះអាំងតេក្រាលក្នុងរូបមន្តទាំងបីគួរតែត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ។ សូមមើលឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើសម្រាប់មេគុណសូន្យ៖

អាំងតេក្រាលទីពីរបានប្រែទៅជាស្មើសូន្យ ដែលកាត់បន្ថយការងារ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ។

មេគុណ Fourier ពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានសរសេរស្រដៀងគ្នា។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្ហាញផលបូកនៃស៊េរីមួយ? នៅចន្លោះពេលខាងឆ្វេង យើងគូរផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ ហើយនៅចន្លោះពេល - ចម្រៀកបន្ទាត់ត្រង់ (បន្លិចផ្នែកនៃអ័ក្សជាដិត-ដិត)។ នោះគឺនៅលើចន្លោះពេលពង្រីក ផលបូកនៃស៊េរីស្របគ្នាជាមួយនឹងមុខងារនៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែចំណុច "អាក្រក់" ចំនួនបី។ នៅចំណុចដាច់នៃមុខងារ ស៊េរី Fourier ប្រែទៅជាតម្លៃដាច់ពីគេ ដែលមានទីតាំងនៅចំកណ្តាល "លោត" នៃភាពមិនដំណើរការ។ វាមិនពិបាកមើលវាផ្ទាល់មាត់ទេ៖ left-hand limit:, right-hand limit: ហើយជាក់ស្តែង ការចាត់តាំងនៃចំណុចកណ្តាលគឺ 0.5 ។

ដោយសារភាពទៀងទាត់នៃផលបូក រូបភាពត្រូវតែ "គុណ" ទៅក្នុងរយៈពេលជិតខាង ជាពិសេសពណ៌នារឿងដូចគ្នានៅលើចន្លោះពេល និង . ក្នុងករណីនេះនៅចំណុច ស៊េរី Fourier បម្លែងទៅជាតម្លៃមធ្យម។

តាមពិតទៅ មិនមានអ្វីថ្មីនៅទីនេះទេ។

ព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយខ្លួនឯង។ គំរូប្រហាក់ប្រហែលនៃការរចនា និងគំនូរដ៏ល្អនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier លើរយៈពេលបំពាន

សម្រាប់រយៈពេលពង្រីកដោយបំពាន ដែល "el" គឺជាចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ រូបមន្តសម្រាប់ស៊េរី Fourier និងមេគុណ Fourier ខុសគ្នានៅក្នុងអាគុយម៉ង់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសដែលមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច៖

ប្រសិនបើ នោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ចន្លោះពេលដែលយើងបានចាប់ផ្តើម។

ក្បួនដោះស្រាយ និងគោលការណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានរក្សាទុកទាំងស្រុង ប៉ុន្តែភាពស្មុគស្មាញបច្ចេកទេសនៃការគណនាកើនឡើង៖

ឧទាហរណ៍ 4

ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ហើយធ្វើផែនការបូក។

ដំណោះស្រាយ: តាមពិត analogue នៃឧទាហរណ៍លេខ 3 ជាមួយ ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅចំណុច។ ក្នុង​បញ្ហា​នេះ រយៈ​ពេល​ពង្រីក ពាក់កណ្តាល​រយៈ​ពេល។ អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​កំណត់​តែ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​ពាក់​កណ្តាល​ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែ​វា​មិន​ផ្លាស់​ប្តូរ​អ្វី​ឡើយ - វា​សំខាន់​ដែល​ផ្នែក​ទាំង​ពីរ​នៃ​អនុគមន៍​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន។

ចូរយើងពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier៖

ដោយសារមុខងារមិនបន្តនៅដើម មេគុណ Fourier នីមួយៗគួរត្រូវបានសរសេរជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ៖

1) ខ្ញុំនឹងសរសេរអាំងតេក្រាលទីមួយឱ្យបានលម្អិតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន៖

២) សម្លឹងមើលផ្ទៃព្រះច័ន្ទដោយប្រុងប្រយ័ត្ន៖

អាំងតេក្រាលទីពីរ យកផ្នែក:

តើ​អ្នក​គួរ​យក​ចិត្ត​ទុក​ដាក់​ចំពោះ​អ្វី​បន្ទាប់​ពី​យើង​បើក​ការ​បន្ត​ដំណោះ​ស្រាយ​ដោយ​សញ្ញា​ផ្កាយ?

ដំបូងយើងមិនបាត់បង់អាំងតេក្រាលទីមួយទេ។ ដែលជាកន្លែងដែលយើងប្រតិបត្តិភ្លាមៗ នៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល. ទី​២ កុំភ្លេច​អនិច្ចា​អភ័ព្វ​មុន​តង្កៀប​ធំ​ហើយ កុំច្រឡំដោយសញ្ញានៅពេលប្រើរូបមន្ត . តង្កៀបធំបន្ទាប់ពីទាំងអស់វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបើកភ្លាមៗនៅជំហានបន្ទាប់។

នៅសល់គឺជាបញ្ហានៃបច្ចេកទេស មានតែបទពិសោធន៍មិនគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលអាចបង្កឱ្យមានការលំបាក។

បាទ វាមិនមែនជាការឥតប្រយោជន៍ទេដែលសហសេវិកដ៏ឆ្នើមរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Fourier មានការខឹងសម្បារ - តើគាត់ហ៊ានបំបែកមុខងារទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រដោយរបៀបណា?! =) ដោយវិធីនេះ ប្រហែលជាអ្នកគ្រប់គ្នាចាប់អារម្មណ៍លើអត្ថន័យជាក់ស្តែងនៃកិច្ចការនៅក្នុងសំណួរ។ Fourier ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានធ្វើការលើគំរូគណិតវិទ្យានៃចរន្តកំដៅ ហើយជាបន្តបន្ទាប់ ស៊េរីដែលដាក់ឈ្មោះតាមគាត់បានចាប់ផ្តើមត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាដំណើរការតាមកាលកំណត់ជាច្រើន ដែលជាក់ស្តែងមើលមិនឃើញនៅក្នុងពិភពខាងក្រៅ។ ឥឡូវនេះ ដោយវិធីនេះ ខ្ញុំបានគិតខ្លួនឯងថាវាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលខ្ញុំបានប្រៀបធៀបក្រាហ្វនៃឧទាហរណ៍ទីពីរជាមួយនឹងចង្វាក់បេះដូងតាមកាលកំណត់។ អ្នកដែលចាប់អារម្មណ៍អាចស្គាល់ពីការអនុវត្តជាក់ស្តែង ការផ្លាស់ប្តូរ Fourierពីប្រភពភាគីទីបី។ ... ទោះបីជាវាមិនប្រសើរជាង - វានឹងត្រូវបានគេចងចាំជាស្នេហាដំបូង =)

3) ដោយសារតំណខ្សោយដែលបានលើកឡើងម្តងហើយម្តងទៀត យើងដោះស្រាយជាមួយមេគុណទីបី៖

ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖

យើងជំនួសមេគុណ Fourier ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត កុំភ្លេចចែកមេគុណសូន្យជាពាក់កណ្តាល៖

ចូរយើងរៀបចំផែនការបូកនៃស៊េរី។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើបែបបទម្តងទៀតដោយសង្ខេប: នៅចន្លោះពេលយើងបង្កើតបន្ទាត់មួយហើយនៅលើចន្លោះពេល - បន្ទាត់មួយ។ ជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យនៃ "x" យើងដាក់ចំណុចមួយនៅកណ្តាល "លោត" នៃគម្លាតហើយ "ចម្លង" តារាងសម្រាប់រយៈពេលជិតខាង:


នៅ "ប្រសព្វ" នៃរយៈពេល ផលបូកនឹងស្មើនឹងចំណុចកណ្តាលនៃ "លោត" នៃគម្លាត។

រួចរាល់។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា មុខងារខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់តាមលក្ខខណ្ឌតែលើចន្លោះពាក់កណ្តាលប៉ុណ្ណោះ ហើយជាក់ស្តែង គឺស្របគ្នាជាមួយនឹងផលបូកនៃស៊េរីនៅលើចន្លោះពេល។

ចម្លើយ:

ពេលខ្លះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗក៏បន្តនៅលើកំឡុងពេលពង្រីកផងដែរ។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត៖ . ដំណោះស្រាយ (មើល បូហាន ភាគ ២)គឺដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ពីរមុនដែរ៖ ទោះបីជា មុខងារបន្តនៅចំណុច មេគុណ Fourier នីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ។

នៅចន្លោះពេលនៃការបែកបាក់ ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 1និង/ឬ "ប្រសព្វ" នៃក្រាហ្វអាចមានច្រើនជាងនេះ (ពីរ បី និងជាទូទៅណាមួយ។ ចុងក្រោយចំនួន)។ ប្រសិនបើមុខងារមួយអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅគ្រប់ផ្នែក នោះវាក៏អាចពង្រីកបាននៅក្នុងស៊េរី Fourier ផងដែរ។ ប៉ុន្តែ​តាម​បទពិសោធន៍​ជាក់ស្តែង ខ្ញុំ​មិន​ចាំ​សំណប៉ាហាំង​បែបនេះ​ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការពិបាកជាងការគិត ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទសម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នា មានតំណភ្ជាប់ទៅកាន់ស៊េរី Fourier នៃភាពស្មុគស្មាញកើនឡើង។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ចូរយើងសម្រាក ផ្អៀងលើកៅអីរបស់យើង ហើយសញ្ជឹងគិតអំពីផ្កាយដែលលាតសន្ធឹងគ្មានទីបញ្ចប់៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល ហើយគ្រោងផលបូកនៃស៊េរី។

នៅក្នុងភារកិច្ចនេះមុខងារ បន្តនៅលើការបំបែកពាក់កណ្តាលចន្លោះពេល ដែលសម្រួលដំណោះស្រាយ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍លេខ 2. មិនមានការគេចចេញពីយានអវកាសទេ - អ្នកត្រូវតែសម្រេចចិត្ត =) គំរូរចនាប្រហាក់ប្រហែលនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន កាលវិភាគត្រូវបានភ្ជាប់។

ការពង្រីកស៊េរី Fourier នៃមុខងារគូ និងសេស

ជាមួយនឹងមុខងារគូ និងសេស ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាគឺមានភាពសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់។ ហើយនោះហើយជាមូលហេតុ។ ចូរយើងត្រលប់ទៅការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier លើរយៈពេលនៃ "two pi" និងរយៈពេលបំពាន "ពីរអាល" .

ចូរសន្មតថាមុខងាររបស់យើងគឺស្មើគ្នា។ ពាក្យទូទៅនៃស៊េរី ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ មានសូម្បីតែកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសសេស។ ហើយ​ប្រសិនបើ​យើង​បំបែក​មុខងារ EVEN នោះ​ហេតុអ្វី​បានជា​យើង​ត្រូវការ​ស៊ីនុស​ចម្លែក​?! ចូរកំណត់មេគុណដែលមិនចាំបាច់ឡើងវិញ៖ .

ដោយវិធីនេះ មុខងារគូពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier តែនៅក្នុងកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ។:

ដោយសារតែ អាំងតេក្រាលនៃមុខងារគូលើផ្នែកមួយនៃស៊ីមេទ្រីនៃការរួមបញ្ចូលដោយគោរពទៅសូន្យអាចត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង បន្ទាប់មកមេគុណ Fourier ដែលនៅសល់ក៏ត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញផងដែរ។

សម្រាប់វិសាលភាព៖

សម្រាប់ចន្លោះពេលបំពាន៖

ឧទាហរណ៍នៃសៀវភៅសិក្សាដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាស្ទើរតែទាំងអស់រួមមានការពង្រីកមុខងារសូម្បីតែ . លើសពីនេះទៀត ពួកគេបានជួបគ្នាម្តងហើយម្តងទៀត នៅក្នុងការអនុវត្តផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ៖

ឧទាហរណ៍ ៦

បានផ្តល់មុខងារមួយ។ ទាមទារ៖

1) ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាស៊េរី Fourier ជាមួយនឹងរយៈពេល ដែលជាលេខវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត។

2) សរសេរការពង្រីកនៅលើចន្លោះពេល បង្កើតមុខងារ និងក្រាហ្វនៃផលបូកសរុបនៃស៊េរី។

ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ វាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាតាមរបៀបទូទៅ ហើយនេះគឺងាយស្រួលណាស់! វានឹងមានតម្រូវការ - គ្រាន់តែជំនួសតម្លៃរបស់អ្នក។

1) នៅក្នុងបញ្ហានេះ, រយៈពេលពង្រីក, ពាក់កណ្តាលរយៈពេល។ នៅក្នុងដំណើរការនៃសកម្មភាពបន្ថែមទៀតជាពិសេសក្នុងអំឡុងពេលសមាហរណកម្ម "el" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ

មុខងារគឺសូម្បីតែ ដែលមានន័យថាវាពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier តែនៅក្នុងកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ៖ .

មេគុណ Fourier ត្រូវបានស្វែងរកដោយរូបមន្ត . យកចិត្តទុកដាក់លើគុណសម្បត្តិដាច់ខាតរបស់ពួកគេ។ ទីមួយ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តលើផ្នែកវិជ្ជមាននៃការពង្រីក ដែលមានន័យថាយើងកម្ចាត់ម៉ូឌុលដោយសុវត្ថិភាព។ ដោយពិចារណាតែ "x" ពីពីរបំណែក។ ហើយទីពីរ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់។

ពីរ៖

ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖

តាមវិធីនេះ៖
ខណៈពេលដែលថេរ ដែលមិនអាស្រ័យលើ "en" ត្រូវបានយកចេញពីផលបូក។

ចម្លើយ:

2) យើងសរសេរការពង្រីកនៅលើចន្លោះពេល សម្រាប់ការនេះ យើងជំនួសតម្លៃដែលចង់បាននៃពាក់កណ្តាលរយៈពេលទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ៖

ការពង្រីកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍គូ និងសេស ការពង្រីកអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែកមួយទៅជាស៊េរីមួយនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុស ស៊េរី Fourier សម្រាប់អនុគមន៍ដែលមានរយៈពេលបំពាន តំណាងដ៏ស្មុគស្មាញនៃស៊េរី Fourier ស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthogonal ទូទៅនៃមុខងារស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthogonal ទ្រព្យសម្បត្តិអប្បបរមានៃមេគុណ Fourier វិសមភាពរបស់ Bessel ប្រព័ន្ធបិទជិត Parseval ភាពពេញលេញ និងការបិទនៃប្រព័ន្ធ

ការពង្រីកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍គូ និងសេស អនុគមន៍ f(x) ដែលកំណត់នៅលើផ្នែក \-1 ដែល I > 0 ត្រូវបានគេហៅថា ទោះបីជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។ អនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែក J ដែល I > 0 ត្រូវបានគេហៅថាសេស ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេសមានភាពស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។ ឧទាហរណ៍។ ក) មុខងារគឺសូម្បីតែនៅលើផ្នែក |-jt, jt) ចាប់តាំងពីសម្រាប់ x e ទាំងអស់ ខ) មុខងារគឺសេស ចាប់តាំងពីការពង្រីកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍គូ និងសេស គឺជាការពង្រីកមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែកក្នុងស៊េរីនៃ sines ឬ cosines Fourier series for a function with a arbitrary notation of the Complex notation of the Fourier series Fourier series in general orthogonal systems of functions Fourier in an orthogonal system ទ្រព្យសម្បត្តិអប្បរមានៃមេគុណ Fourier វិសមភាព Bessel វិសមភាព Parseval ប្រព័ន្ធបិទ ភាពពេញលេញ និងការបិទនៃប្រព័ន្ធមិនទាំង សូម្បីតែ ឬមុខងារសេស ចាប់តាំងពីអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ 1 សូម្បីតែនៅលើផ្នែក x| ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ទាំងអស់ i.e. /(g) cos nx គឺជាអនុគមន៍គូ ហើយ f(x) sinnx គឺជាសេសមួយ។ ដូច្នេះ មេគុណ Fourier នៃអនុគមន៍គូ /(x) នឹងស្មើគ្នា។ ដូច្នេះហើយ ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍គូមានទម្រង់ f(x) sin nx គឺជាអនុគមន៍គូ។ ដូច្នេះ យើងនឹងមាន ដូច្នេះ ស៊េរី Fourier នៃមុខងារសេស មានទម្រង់ យើងបានអនុវត្តការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកពីរដង យើងទទួលបានដូច្នេះ ស៊េរី Fourier នៃមុខងារនេះមើលទៅដូចនេះ៖ ឬក្នុងទម្រង់ពង្រីក សមភាពនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ x € ណាមួយចាប់តាំងពីនៅចំណុច x = ± ir ផលបូកនៃ ស៊េរីស្របគ្នានឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) = x2 ចាប់តាំងពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) = x និងផលបូកនៃស៊េរីលទ្ធផលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងរូបភព។ មតិយោបល់។ ស៊េរី Fourier នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីលេខរួមមួយ ពោលគឺសម្រាប់ x \u003d 0 យើងទទួលបាននោះ អនុគមន៍ /(x) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទទី 1 ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ដែលដោយសារតែភាពចម្លែកនៃអនុគមន៍នេះ នឹងមានទម្រង់រួមបញ្ចូលដោយផ្នែក យើងរកឃើញមេគុណ Fourier ដូច្នេះ Fourier ស៊េរីនៃអនុគមន៍នេះមានទម្រង់សមភាពនេះទទួលបានសម្រាប់ x В ពិន្ទុ x - ±tg ផលបូកនៃស៊េរី Fourier មិនស្របគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ / (x) = x ព្រោះវាស្មើនឹងនៅខាងក្រៅ ផ្នែក [-*, n-] ផលបូកនៃស៊េរីគឺជាការបន្តតាមកាលកំណត់នៃមុខងារ / (x) \u003d x; ក្រាហ្វរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 6. § 6. ការពង្រីកអនុគមន៍ដែលបានផ្ដល់ឱ្យនៅចន្លោះពេលទៅជាស៊េរីមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុស។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ monotonic ជាប់ព្រំដែន / ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះពេលមួយ។ តម្លៃនៃអនុគមន៍នេះនៅលើចន្លោះពេល 0| អាចត្រូវបានកំណត់តាមវិធីផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ វាអាចកំណត់មុខងារ / នៅលើ segment mc] តាមរបៀបដែល / . ក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានគេនិយាយថា) "ត្រូវបានពង្រីកទៅផ្នែក 0] នៅក្នុងវិធីមួយ"; ស៊េរី Fourier របស់វានឹងមានតែកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអនុគមន៍ /(x) ត្រូវបានកំណត់នៅលើផ្នែក [-x, mc] ដូច្នេះ /( បន្ទាប់មកមុខងារសេសមួយត្រូវបានទទួល ហើយបន្ទាប់មកយើងនិយាយថា / " ត្រូវបានពង្រីកទៅផ្នែក [-*, 0 ] តាមរបៀបចម្លែក"; ក្នុងករណីនេះ ស៊េរី Fourier នឹងមានតែ sines ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ មុខងារ monotone នីមួយៗដែលមានព្រំដែនជាប់គ្នា /(x) ដែលបានកំណត់នៅលើ segment អាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ទាំងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ sines និង cosines.ឧទាហរណ៍ 1. មុខងារអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier: a) ដោយ cosines; ខ) តាមបណ្តោយស៊ីនុស។ M មុខងារនេះ ជាមួយនឹងការបន្ថែមគូ និងសេសរបស់វាទៅកាន់ផ្នែក |-x, 0) នឹងត្រូវបានចងភ្ជាប់ និងឯកតាឯកតា។ a) យើងបន្ត / (z) ចូលទៅក្នុងផ្នែក 0) ក) យើងបន្ត j \ x) ចូលទៅក្នុងផ្នែក (-m, 0 | នៅក្នុងវិធីស្មើគ្នា (រូបភាព 7) បន្ទាប់មកស៊េរី Fourier របស់វា i នឹងមានទម្រង់ P \u003d 1 ដែលមេគុណ Fourier ស្មើគ្នា រៀងគ្នា សម្រាប់ហេតុនេះ ខ) ចូរបន្ត /(z) ក្នុងផ្នែក [-x,0] តាមវិធីសេស (រូបភាពទី 8)។ បន្ទាប់មកស៊េរី Fourier របស់វា §7 ។ ស៊េរី Fourier សម្រាប់អនុគមន៍ដែលមានកំឡុងពេលបំពាន អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារជួសជុល) តាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 21.1^0 ។ ដើម្បីពង្រីកវាទៅជាស៊េរី Fourier នៅលើចន្លោះពេលដែល I > 0 យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរដោយកំណត់ x = jt . បន្ទាប់មកអនុគមន៍ F(t) = / ^ tj នឹងក្លាយជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់នៃអាគុយម៉ង់ t ជាមួយនឹងរយៈពេលមួយ ហើយវាអាចត្រូវបានពង្រីកនៅលើផ្នែកមួយនៅក្នុងស៊េរី Fourier ត្រឡប់ទៅអថេរ x ពោលគឺការកំណត់ យើងទទួលបាន នៅតែស្ថិតក្នុង force ផងដែរសម្រាប់អនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងកំឡុងពេលបំពាន 21. ជាពិសេស លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការពង្រីកអនុគមន៍ទៅក្នុងស៊េរី Fourier ក៏នៅតែមានសុពលភាពផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ 1. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier អនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 21 ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែក [-/,/] ដោយរូបមន្ត (រូបភាព 9) ។ ចាប់តាំងពីមុខងារនេះគឺសូម្បីតែ ស៊េរី Fourier របស់វាមានទម្រង់ ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃមេគុណ Fourier ទៅក្នុងស៊េរី Fourier យើងទទួលបានយើងកត់សំគាល់នូវលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់។ ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយមានលេខ T និងអាចរួមបញ្ចូលបាន នោះសម្រាប់លេខណាមួយដែលសមភាព m មាន។ ឧ. អាំងតេក្រាលនៅលើផ្នែកដែលមានប្រវែងស្មើនឹងរយៈពេល T មានតម្លៃដូចគ្នាដោយមិនគិតពីទីតាំងនៃផ្នែកនេះនៅលើអ័ក្សពិត។ ជាការពិតណាស់ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលទីពីរ ដោយសន្មត់ នេះផ្តល់ឱ្យហើយដូច្នេះ, ធរណីមាត្រ, ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានន័យថានៅក្នុងករណីនៃតំបន់ស្រមោលនៅក្នុងរូបភព។ 10 តំបន់គឺស្មើគ្នា។ ជាពិសេស សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) ជាមួយនឹងរយៈពេលមួយ យើងទទួលបាននៅការពង្រីកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍គូ និងសេស ការពង្រីកមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែកមួយទៅជាស៊េរីមួយទាក់ទងនឹងស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុស ស៊េរី Fourier សម្រាប់អនុគមន៍ជាមួយ រយៈពេលបំពាន តំណាងស្មុគស្មាញនៃស៊េរី Fourier ស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthogonal ទូទៅមានមុខងារស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthogonal ទ្រព្យសម្បត្តិអប្បបរមានៃមេគុណ Fourier វិសមភាព Bessel វិសមភាព Parseval ប្រព័ន្ធបិទ ភាពពេញលេញ និងបិទនៃប្រព័ន្ធដែលមេគុណ Fourier នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ f(x) ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 21 អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តដែល a គឺជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត (ចំណាំថាអនុគមន៍ cos - និង sin មានកំឡុងពេល 2/) ។ ឧទាហរណ៍ 3. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier អនុគមន៍មួយដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចន្លោះពេលជាមួយរយៈពេល 2x (រូបភាព 11) ។ 4 ស្វែងរកមេគុណ Fourier នៃអនុគមន៍នេះ។ ការដាក់ក្នុងរូបមន្ត យើងឃើញថាសម្រាប់ហេតុនេះ ស៊េរី Fourier នឹងមើលទៅដូចនេះ៖ នៅចំណុច x = jt (ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ) យើងមាន§8។ ការសម្គាល់ស្មុគស្មាញនៃស៊េរី Fourier នៅក្នុងផ្នែកនេះ ធាតុមួយចំនួននៃការវិភាគស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានប្រើប្រាស់ (សូមមើលជំពូក XXX ដែលប្រតិបត្តិការទាំងអស់ដែលបានអនុវត្តនៅទីនេះជាមួយនឹងកន្សោមស្មុគស្មាញត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតយ៉ាងតឹងរ៉ឹង)។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) បំពេញលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ។ បន្ទាប់មកនៅលើចន្លោះ x] វាអាចត្រូវបានតំណាងដោយស៊េរីនៃទម្រង់ ដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅក្នុងស៊េរី (1) ជំនួសឱ្យ cos nx និង sin xy យើងនឹងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម បន្ទាប់មកស៊េរី (2) យកទម្រង់ដូចនេះ ស៊េរី Fourier (1) ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ (3) ។ ចូរយើងស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់មេគុណក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអាំងតេក្រាល។ យើង​មាន​ដូច​គ្នា​នេះ​ដែរ យើង​រក​ឃើញ​ទី​បំផុត រូបមន្ត​សម្រាប់ с ", с_п និង с អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ . . មេគុណ cn ត្រូវបានគេហៅថា complex Fourier coefficients of the function សម្រាប់អនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេលមួយ) ទម្រង់ស្មុគស្មាញនៃស៊េរី Fourier យកតម្លៃទម្រង់ w ប្រសិនបើដែនកំណត់មានឧទាហរណ៍។ ពង្រីកមុខងាររយៈពេលទៅជាស៊េរី Fourier ស្មុគស្មាញ មុខងារនេះបំពេញលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ។ អនុញ្ញាតឱ្យស្វែងរកមេគុណ Fourier ស្មុគស្មាញនៃមុខងារនេះ។ យើងមានសម្រាប់សេសសម្រាប់សូម្បីតែ n ឬនិយាយឱ្យខ្លី។ ការជំនួសតម្លៃ) ទីបំផុតយើងទទួលបានចំណាំថាស៊េរីនេះក៏អាចសរសេរដូចខាងក្រោមៈ ស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធទូទៅនៃមុខងារ 9.1 ។ ប្រព័ន្ធអ័រតូហ្គោននៃអនុគមន៍កំណត់ដោយសំណុំនៃអនុគមន៍ (ពិត) ទាំងអស់ដែលត្រូវបានកំណត់ជាការ៉េ និងអាចរួមបញ្ចូលបាននៅលើចន្លោះពេល [a, 6], ឧ. ដែលវាមានអាំងតេក្រាលមួយ។ ជាពិសេស មុខងារទាំងអស់ f(x) ដែល គឺបន្តនៅលើចន្លោះពេល [a , 6] ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ 6] ហើយតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល Lebesgue របស់ពួកគេស្របគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល Riemann ។ និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធនៃមុខងារ ដែលត្រូវបានគេហៅថា orthogonal នៅលើចន្លោះពេល [a, b\, ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ (1)) សន្មត់ថា ជាពិសេសនោះ គ្មានមុខងារណាមួយដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យនោះទេ។ អាំងតេក្រាលត្រូវបានយល់នៅក្នុងន័យនៃ Lebesgue ។ ហើយ​យើង​ហៅ​បរិមាណ​ថា​ជា​បទដ្ឋាន​នៃ​អនុគមន៍​។​ ប្រសិនបើ​នៅក្នុង​ប្រព័ន្ធ​អ័រតូហ្គោន​សម្រាប់​ណា​មួយ​ដែល​យើង​មាន​នោះ​ប្រព័ន្ធ​នៃ​មុខងារ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា​ orthonormal។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ (y>n(x)) ជារាងពងក្រពើ នោះប្រព័ន្ធឧទាហរណ៍ 1. ប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រគឺរាងពងក្រពើនៅលើផ្នែកមួយ។ ប្រព័ន្ធនៃអនុគមន៍គឺជាប្រព័ន្ធអ័រថូនិកនៃមុខងារនៅលើឧទាហរណ៍ 2. ប្រព័ន្ធកូស៊ីនុស និងប្រព័ន្ធស៊ីនុសគឺមានលក្ខណៈអ័រតូន័រ។ ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណដែលថាពួកវាមានរាងមូលនៅលើផ្នែក (0, f| ប៉ុន្តែមិនមែន orthonormal (សម្រាប់ I √ 2)) ចាប់តាំងពីបទដ្ឋានរបស់ពួកគេគឺ COS ដែលមុខងារបង្កើតជាប្រព័ន្ធ orthonormal នៃមុខងារនៅចន្លោះពេល។ ចូរយើងបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍ ថាពហុនាម Legendre គឺជាអ័រតូហ្គោន។ អនុញ្ញាតឱ្យ m > n ។ ក្នុងករណីនេះ ការរួមបញ្ចូល n ដងដោយផ្នែក យើងរកឃើញ ចាប់តាំងពីសម្រាប់អនុគមន៍ t/m = (z2 - I)m និស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់រហូតដល់លំដាប់ m - ខ្ញុំរួមបញ្ចូលការបាត់ខ្លួននៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេល [-1,1)។ និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធនៃមុខងារ (pn(x)) ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal នៅលើចន្លោះពេល (a, b) ដោយ overhang p(x) ប្រសិនបើ: 1) មានអាំងតេក្រាលសម្រាប់ n = 1,2,... នៅទីនេះវាត្រូវបានសន្មត់ថា អនុគមន៍ទម្ងន់ p(x) ត្រូវបានកំណត់ និងវិជ្ជមាននៅគ្រប់ទីកន្លែងនៅលើចន្លោះពេល (a, b) ដោយមានករណីលើកលែងដែលអាចមាននៃចំនួនកំណត់នៃចំនុចដែល p(x) អាចបាត់។ បន្ទាប់ពីអនុវត្តភាពខុសគ្នានៅក្នុងរូបមន្ត (3) យើងរកឃើញ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាពហុធា Chebyshev-Hermite គឺរាងពងក្រពើនៅលើចន្លោះពេលឧទាហរណ៍ 4. ប្រព័ន្ធនៃអនុគមន៍ Bessel (jL(pix)^ គឺ orthogonal នៅលើចន្លោះសូន្យនៃប្រព័ន្ធអនុគមន៍ Bessel អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ orthogonal នៃមុខងារនៅក្នុងចន្លោះពេល (a, 6) ហើយអនុញ្ញាតឱ្យស៊េរី (cj = const) បង្រួបបង្រួមចន្លោះពេលនេះទៅមុខងារ f(x)៖ ដោយគុណធម៌នៃ orthogonality នៃប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបានដែលប្រតិបត្តិការនេះមាន ជាទូទៅជាតួអក្សរផ្លូវការសុទ្ធសាធ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីខ្លះ ឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលស៊េរី (4) បញ្ចូលគ្នាស្មើៗគ្នា មុខងារទាំងអស់គឺបន្ត ហើយចន្លោះពេល (a, 6) គឺកំណត់ ប្រតិបត្តិការនេះគឺស្របច្បាប់។ ប៉ុន្តែ​វា​ជា​ការ​បកស្រាយ​ផ្លូវ​ការ​ដែល​សំខាន់​សម្រាប់​យើង​ឥឡូវ​នេះ។ ដូច្នេះឧបមាថាមុខងារមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងបង្កើតលេខ c * តាមរូបមន្ត (5) ហើយសរសេរស៊េរីនៅខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថាស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f (x) ទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធ (^n (n)) - លេខ Cn គឺ ហៅថាមេគុណ Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។ សញ្ញា ~ ក្នុងរូបមន្ត (6) មានន័យថាលេខ Cn ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ f(x) ដោយរូបមន្ត (5) (ក្នុងករណីនេះវាមិនត្រូវបានគេសន្មត់ថាស៊េរីនៅខាងស្តាំ converges ទាល់តែសោះគឺ converges តិច។ ទៅមុខងារ f (x)) ។ ដូច្នេះសំណួរកើតឡើងដោយធម្មជាតិ: តើអ្វីជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊េរីនេះ? តើវាតំណាងឱ្យមុខងារ f(x) ក្នុងន័យអ្វី? ៩.៣. និយមន័យមធ្យមនៃការបង្រួបបង្រួម។ លំដាប់​មួយ​ទៅ​ជា​ធាតុ​មួយ​] ជា​មធ្យម​ប្រសិន​បើ​បទដ្ឋាន​គឺ​នៅ​ក្នុង​លំហ​ទ្រឹស្ដី​ទី​៦។ ប្រសិនបើ​លំដាប់​មួយ​បាន​បង្រួប​បង្រួម​ស្មើ​គ្នា នោះ​វា​ក៏​រួម​ជា​មធ្យម​ដែរ។ M អនុញ្ញាតឱ្យលំដាប់ ()) បង្រួបបង្រួមស្មើគ្នាលើផ្នែក [a, b] ទៅអនុគមន៍ f(x) ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ណាមួយ សម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ទាំងអស់ យើងមាន ហេតុនេះ ដែលការអះអាងរបស់យើងធ្វើតាម។ Converse មិនពិតទេ៖ លំដាប់ () អាចបង្រួបបង្រួមជាមធ្យមទៅជា /(x) ប៉ុន្តែមិនត្រូវគ្នាស្មើគ្នាទេ។ ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងពិចារណាពីលំដាប់ nx វាជាការងាយស្រួលក្នុងការឃើញថា ប៉ុន្តែការបញ្ចូលគ្នានេះមិនមានលក្ខណៈដូចគ្នាទេ៖ មាន e ជាឧទាហរណ៍ ដូចជាមិនថា n ធំប៉ុនណាក៏ដោយ ចន្លោះពេលស៊េរី Fourier សម្រាប់អនុគមន៍ដែលមានកំឡុងពេលបំពាន សញ្ញាស្មុគ្រស្មាញនៃ ស៊េរី Fourier ស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthogonal ទូទៅនៃមុខងារ ស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthogonal ទ្រព្យសម្បត្តិអប្បបរមានៃមេគុណ Fourier វិសមភាព Bessel ភាពស្មើគ្នា Parseval ប្រព័ន្ធបិទ ភាពពេញលេញនិងភាពបិទនៃប្រព័ន្ធ និងអនុញ្ញាតឱ្យ ) នៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthonormal b ពិចារណាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរដែល n ^ 1 គឺ ចំនួនគត់ថេរ ហើយស្វែងរកតម្លៃនៃចំនួនថេរ ដែលអាំងតេក្រាលយកតម្លៃអប្បបរមារបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរវាឱ្យកាន់តែលម្អិត ការរួមបញ្ចូលពាក្យដោយពាក្យ ដោយសារតែការ orthonormality នៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបានពាក្យពីរដំបូងនៅខាងស្តាំនៃសមភាព (7) គឺឯករាជ្យហើយពាក្យទីបីគឺមិនអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ អាំងតេក្រាល (*) យកតម្លៃអប្បបរមានៅ ak = sk ។ អាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថាជា root-mean-square approximation នៃអនុគមន៍ f(x) ជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃ Tn(x) ។ ដូច្នេះ ការ​ប្រហាក់​ប្រហែល root-mean-square នៃ​អនុគមន៍ /\ ត្រូវ​ចំណាយ​លើ​តម្លៃ​អប្បបរមា​នៅ​ពេល។ នៅពេលដែល Tn(x) គឺជាផលបូកផ្នែកទី 71 នៃស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ /(x) នៅក្នុងប្រព័ន្ធ (។ ការកំណត់ ak = ck, ពី (7) យើងទទួលបានសមភាព (9) ត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណ Bessel ។ ចាប់តាំងពីវានៅខាងឆ្វេង។ ផ្នែកខាងគឺមិនអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកពីវាវិសមភាពរបស់ Bessel ធ្វើតាម ដោយសារខ្ញុំបំពាននៅទីនេះ វិសមភាពរបស់ Bessel អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ពង្រឹង ពោលគឺសម្រាប់មុខងារណាមួយ / ស៊េរីនៃមេគុណ Fourier ការ៉េនៃមុខងារនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធ orthonormal ) បញ្ចូលគ្នា។ . ចាប់តាំងពីប្រព័ន្ធមានលក្ខណៈធម្មតានៅលើចន្លោះ [-x, r] បន្ទាប់មកវិសមភាព (10) ត្រូវបានបកប្រែទៅជាសញ្ញាណធម្មតានៃស៊េរី Fourier ត្រីកោណមាត្រ ផ្តល់ឱ្យទំនាក់ទំនងមានសុពលភាពសម្រាប់មុខងារណាមួយ f(x) ជាមួយនឹងការ៉េដែលអាចរួមបញ្ចូលបាន។ ប្រសិនបើ f2(x) មិនអាចបញ្ចូលគ្នាបាន នោះដោយសារលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (11) យើងទទួលបាននោះ។ សមភាពរបស់ Parseval សម្រាប់ប្រព័ន្ធមួយចំនួន (^n(x)) សញ្ញាវិសមភាពក្នុងរូបមន្ត (10) អាចត្រូវបានជំនួស (សម្រាប់មុខងារទាំងអស់ f(x) 6 x) ដោយសញ្ញាស្មើ។ សមភាពលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាសមភាព Parseval-Steklov (លក្ខខណ្ឌពេញលេញ) ។ អត្តសញ្ញាណ Bessel (9) អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌ (12) ក្នុងទម្រង់សមមូល តាមបទដ្ឋានអវកាស 6] ។ និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធ orthonormal (ត្រូវបានគេហៅថាពេញលេញនៅក្នុង b2[ay b] ប្រសិនបើមុខងារណាមួយអាចត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវណាមួយជាមធ្យមដោយការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ជាមួយនឹងចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃពាក្យ ពោលគឺប្រសិនបើសម្រាប់មុខងារណាមួយ f(x) ∈ b2[a, b\ និងសម្រាប់ e> 0 ណាមួយមាន n លេខធម្មជាតិ និង លេខ a\, a2y... ដូចជាទ្រឹស្តីបទលេខ 7 ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ ) ត្រូវបានបញ្ចប់នៅក្នុងលំហដោយ orthonormalization ស៊េរី Fourier នៃ មុខងារណាមួយ / នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះបង្រួបបង្រួមទៅជា f( x) ជាមធ្យម ពោលគឺយោងទៅតាមបទដ្ឋាន វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រពេញលេញនៅក្នុងលំហ។ នេះបង្កប់ន័យការអះអាង។ ទ្រឹស្តីបទ 8. ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយ/0 ស៊េរីត្រីកោណមាត្ររបស់វា រួមនឹងវាជាមធ្យម។ ៩.៥. ប្រព័ន្ធបិទ។ ភាពពេញលេញនិងភាពបិទនៃប្រព័ន្ធ និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធ orthonormal នៃអនុគមន៍ \ ត្រូវបានគេហៅថាបិទ ប្រសិនបើនៅក្នុងលំហ Li\a, ខ) មិនមានមុខងារមិនសូន្យសម្រាប់មុខងារទាំងអស់ទេ។ នៅក្នុងលំហ L2\a, b\ គំនិតនៃភាពពេញលេញ និងបិទនៃប្រព័ន្ធ orthonormal ស្របគ្នា។ លំហាត់ 1. ពង្រីកអនុគមន៍ក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះ (-i-, x) 2. ពង្រីកអនុគមន៍ក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-r, r) 3. ពង្រីកអនុគមន៍ក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-r, r) ៤.ពង្រីក​ក្នុង​ស៊េរី Fourier ក្នុង​ចន្លោះ​អនុគមន៍ (-jt, r) ៥. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-r, r) មុខងារ f(x) = x + x ។ 6. ពង្រីកក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-jt, r) អនុគមន៍ n 7. ពង្រីកក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-r, x) អនុគមន៍ / (x) \u003d sin2 x ។ 8. ពង្រីកក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-m, jt) មុខងារ f (x) \u003d y 9. ពង្រីកក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-m, -k) មុខងារ / (x) \u003d | sinx| 10. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-x-, r) អនុគមន៍ f(x) = g ។ 11. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier ក្នុងចន្លោះពេល (-r, r) មុខងារ f (x) \u003d sin § ។ 12. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier អនុគមន៍ f (x) = n −2x, ផ្តល់អោយក្នុងចន្លោះពេល (0, x) បន្តវាក្នុងចន្លោះពេល (-x, 0): ក) ក្នុងវិធីស្មើគ្នា; ខ) តាមរបៀបចម្លែក។ 13. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុសមុខងារ / (x) \u003d x2 ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេល (0, x) ។ 14. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier អនុគមន៍ / (x) \u003d 3-x ដែលផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេល (-2,2) ។ 15. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier អនុគមន៍ f (x) \u003d |x | ដែលបានផ្តល់ក្នុងចន្លោះពេល (-1,1) ។ 16. ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុសមុខងារ f (x) \u003d 2x ដែលបានបញ្ជាក់ក្នុងចន្លោះពេល (0,1) ។