បន្ទាប់ពីទទួលបានព័ត៌មានទូទៅអំពីសមភាពក្នុងគណិតវិទ្យា យើងបន្តទៅប្រធានបទតូចចង្អៀត។ សម្ភារៈនៃអត្ថបទនេះនឹងផ្តល់នូវគំនិតនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខ។

តើអ្វីទៅជាសមភាពលេខ

ជាលើកដំបូងដែលយើងជួបប្រទះភាពស្មើគ្នានៃលេខនៅក្នុងសាលាបឋមសិក្សា នៅពេលដែលយើងស្គាល់លេខ និងគំនិតនៃ "ដូចគ្នា" ។ ទាំងនោះ។ សមភាពលេខបឋមបំផុតគឺ៖ 2 = 2, 5 = 5 ។ល។ ហើយនៅកម្រិតនៃការសិក្សានោះ យើងបានហៅពួកគេថាជាសមភាព ដោយមិនបានបញ្ជាក់ពី "លេខ" ហើយដាក់ក្នុងន័យបរិមាណ ឬធម្មតា (ដែលលេខធម្មជាតិមាន)។ ឧទាហរណ៍ សមីការ 2 = 2 នឹង​ត្រូវ​គ្នា​ទៅ​នឹង​រូបភាព​មួយ​ដែល​មាន​ផ្កា​ពីរ​និង bumblebees ពីរ​នៅ​លើ​គ្នា​។ ឬឧទាហរណ៍ពីរជួរដែល Vasya និង Vanya ស្ថិតនៅលំដាប់ទីពីរ។

នៅពេលដែលចំណេះដឹងនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលេចឡើង ភាពស្មើគ្នានៃលេខកាន់តែស្មុគស្មាញ៖ 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21:7 = 3 ។ល។ បន្ទាប់មកសមភាពចាប់ផ្តើមកើតឡើង នៅក្នុងការកត់ត្រាដែលកន្សោមលេខនៃប្រភេទផ្សេងៗចូលរួម។ ឧទាហរណ៍ (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2); 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1 ។ល។ បន្ទាប់មក​យើង​ស្គាល់​ប្រភេទ​លេខ​ផ្សេងទៀត ហើយ​សមភាព​លេខ​កាន់តែ​ចាប់អារម្មណ៍ និង​ចម្រុះ។

និយមន័យ ១

សមភាពលេខគឺជាសមភាព ដែលផ្នែកទាំងពីរមានលេខ និង/ឬកន្សោមលេខ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខ

វាពិបាកក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណសារៈសំខាន់នៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខនៅក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ពួកគេជាមូលដ្ឋានសម្រាប់រឿងជាច្រើន កំណត់គោលការណ៍នៃការធ្វើការជាមួយសមភាពលេខ វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ ច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយរូបមន្ត និងច្រើនទៀត។ ជាក់ស្តែងមាន តម្រូវការសម្រាប់ការសិក្សាលម្អិតអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខគឺពិតជាស៊ីគ្នាជាមួយនឹងរបៀបដែលសកម្មភាពជាមួយលេខត្រូវបានកំណត់ ក៏ដូចជាជាមួយនឹងនិយមន័យនៃចំនួនស្មើគ្នាតាមរយៈភាពខុសគ្នា៖ ចំនួន កគឺស្មើនឹងលេខ ខលុះត្រាតែមានភាពខុសគ្នា ក-ខមានសូន្យ។ បន្ថែមពីលើការពិពណ៌នាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗ យើងនឹងតាមដានការតភ្ជាប់នេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមភាពលេខ

ចូរចាប់ផ្តើមសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានចំនួនបីដែលមាននៅក្នុងសមភាពទាំងអស់។ យើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃសមភាពលេខ៖

• លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការឆ្លុះបញ្ចាំង៖ a = ក;
• ទ្រព្យសម្បត្តិស៊ីមេទ្រី៖ ប្រសិនបើ a = ខបន្ទាប់មក b = ក;
• ទ្រព្យសម្បត្តិឆ្លងកាត់៖ ប្រសិនបើ a = ខនិង b=cបន្ទាប់មក a = គដែលជាកន្លែងដែល a , b និង គគឺជាលេខដែលបំពាន។

និយមន័យ ២

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការឆ្លុះបញ្ជាំងបង្ហាញពីការពិតដែលថាលេខមួយស្មើនឹងខ្លួនវា៖ ឧទាហរណ៍ 6 = 6, − 3 = − 3, 4 3 7 = 4 3 7 ។ល។

ភស្តុតាង ១

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញពីសុពលភាពនៃសមភាព a − a = 0សម្រាប់លេខណាមួយ។ ក៖ភាពខុសគ្នា ក - កអាចត្រូវបានសរសេរជាផលបូក a + (− a)ហើយទ្រព្យសម្បត្តិបន្ថែមនៃលេខផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីអះអាងថាលេខណាមួយ។ កត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខផ្ទុយតែមួយគត់ - កហើយផលបូករបស់ពួកគេគឺសូន្យ។

និយមន័យ ៣

យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិស៊ីមេទ្រីនៃសមភាពលេខ: ប្រសិនបើលេខ កគឺស្មើនឹងលេខ ខ,
លេខនោះ។ ខគឺស្មើនឹងលេខ ក. ឧទាហរណ៍, 4 3 = 64 បន្ទាប់មក 64 = 4 3 .

ភស្តុតាង ២

អ្នកអាចបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះតាមរយៈភាពខុសគ្នានៃលេខ។ លក្ខខណ្ឌ a = ខទាក់ទងទៅនឹងសមភាព a − b = 0. ចូរយើងបញ្ជាក់ b − a = 0.

ចូរយើងសរសេរភាពខុសគ្នា b - កជា - (ក - ខ)ដោយពឹងផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់ការបើកតង្កៀបដែលនាំមុខដោយសញ្ញាដក។ ធាតុថ្មីសម្រាប់កន្សោមគឺ - 0 ហើយទល់មុខសូន្យគឺសូន្យ។ ដូច្នេះ b − a = 0ដូច្នេះ៖ b = ក.

និយមន័យ ៤

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាលនៃសមភាពជាលេខ ចែងថា លេខពីរស្មើគ្នាទៅវិញទៅមក ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នានឹងលេខទីបី។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ 81 = 9 និង 9 = 3 2 បន្ទាប់មក 81 = 3 2 .

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាលក៏ត្រូវគ្នាទៅនឹងនិយមន័យនៃចំនួនស្មើគ្នាតាមរយៈភាពខុសគ្នានិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខ។ សមភាព a = ខនិង b=cត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព a − b = 0និង b − c = 0.

ភស្តុតាង ៣

ចូរយើងបញ្ជាក់អំពីសមភាព a − c = 0ដែលសមភាពនៃលេខនឹងធ្វើតាម កនិង គ. ដោយ​សារ​ការ​បន្ថែម​លេខ​ទៅ​សូន្យ​មិន​ផ្លាស់​ប្តូរ​លេខ​ខ្លួន​ឯង​នោះ​ទេ។ ក - គសរសេរក្នុងទម្រង់ a + 0 − គ. ជំនួសឱ្យសូន្យ យើងជំនួសផលបូកនៃលេខផ្ទុយ − ខនិង ខបន្ទាប់មកកន្សោមចុងក្រោយក្លាយជា៖ a + (− b + b) − គ. តោះដាក់លក្ខខណ្ឌជាក្រុម៖ (a − b) + (b − គ). ភាពខុសគ្នានៃតង្កៀបគឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកផលបូក (a − b) + (b − គ)មានសូន្យ។ នេះបញ្ជាក់ថាពេលណា a − b = 0និង b − c = 0, សមភាព a − c = 0កន្លែងណា a = គ.

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗផ្សេងទៀតនៃសមភាពលេខ

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃសមភាពលេខដែលបានពិភាក្សាខាងលើគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមមួយចំនួនដែលមានតម្លៃណាស់នៅក្នុងបរិបទនៃការអនុវត្ត។ ចូរយើងរាយបញ្ជីពួកគេ៖

និយមន័យ ៥

ដោយការបន្ថែមទៅ (ឬដកពី) ផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលេខ ដែលជាការពិត ចំនួនដូចគ្នា យើងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ ចូរយើងសរសេរវាតាមព្យញ្ជនៈៈ ប្រសិនបើ a = ខកន្លែងណា កនិង ខបន្ទាប់មកគឺជាលេខមួយចំនួន a + c = b + cសម្រាប់ណាមួយ។ គ.

ភស្តុតាង ៤

ជាយុត្តិកម្ម យើងសរសេរភាពខុសគ្នា (a + c) − (b + c).
កន្សោមនេះអាចបំប្លែងទៅជាទម្រង់យ៉ាងងាយស្រួល (a − b) + (c − គ).
ពី a = ខតាមលក្ខខណ្ឌវាធ្វើតាមនោះ។ a − b = 0និង c − c = 0បន្ទាប់មក (a − b) + (c − c) = 0 + 0 = 0. នេះ​បញ្ជាក់​ថា​ (a + c) − (b + c) = 0ដូចនេះ a + c = b + c;

និយមន័យ ៦

ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលេខពិតត្រូវបានគុណនឹងលេខណាមួយ ឬចែកដោយលេខដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះយើងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។
ចូរយើងសរសេរវាតាមព្យញ្ជនៈៈ ពេលណា a = ខបន្ទាប់មក a c = b គសម្រាប់លេខណាមួយ។ គ.ប្រសិនបើ c ≠ 0 បន្ទាប់មក និង a:c = b:c.

ភស្តុតាង ៥

សមភាពគឺជាការពិត៖ a c − b c = (a − b) c = 0 c = 0ហើយវាបង្កប់ន័យសមភាពនៃផលិតផល មួយ គនិង b គ. ហើយ​ការ​ចែក​ដោយ​លេខ​មិន​សូន្យ c អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា​ការ​គុណ​ដោយ​ការ​ចំរុះ​នៃ 1 c ;

និយមន័យ ៧

នៅ កនិង ខ,ខុស​ពី​សូន្យ​និង​ស្មើ​គ្នា​ទៅវិញទៅមក​ទៅវិញទៅមក​ក៏​ស្មើគ្នា។
ចូរសរសេរ៖ នៅពេល a ≠ 0 , b ≠ 0 និង a = ខបន្ទាប់មក 1 a = 1 ខ. សមភាពខ្លាំងមិនពិបាកបញ្ជាក់ទេ៖ សម្រាប់គោលបំណងនេះ យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃភាពស្មើគ្នា a = ខដោយលេខស្មើនឹងផលិតផល ក ខនិងមិនស្មើនឹងសូន្យ។

យើងក៏ចង្អុលបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យបូក និងគុណនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ៖

និយមន័យ ៨

ជាមួយនឹងការបន្ថែមតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើ a = ខនិង គ = ឃបន្ទាប់មក a + c = b + dសម្រាប់លេខណាមួយ a, b, c និង ឃ.

ភស្តុតាង ៦

វាអាចទៅរួចក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិដែលមានប្រយោជន៍នេះដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរៀបរាប់ពីមុន។ យើងដឹងថាលេខណាមួយអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរនៃសមភាពពិត។
ឆ្ពោះទៅរកសមភាព a = ខបន្ថែមលេខ គនិងសមភាព គ = ឃ- ចំនួន ខលទ្ធផលនឹងជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ៖ a + c = b + cនិង c + b = d + b. យើងសរសេរចុងក្រោយក្នុងទម្រង់៖ b + c = b + ឃ. ពីសមភាព a + c = b + cនិង b + c = b + ឃយោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាល សមភាពដូចខាងក្រោម a + c = b + d ។ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់ពាក្យនោះតាមពាក្យ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបន្ថែមមិនត្រឹមតែសមភាពលេខពិតពីរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានបីឬច្រើនផងដែរ។

និយមន័យ ៧

ជាចុងក្រោយ យើងពិពណ៌នាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិបែបនេះ៖ ការគុណតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវពីរផ្តល់នូវសមភាពត្រឹមត្រូវ។ ចូរសរសេរជាអក្សរ៖ ប្រសិនបើ a = ខនិង គ = ឃបន្ទាប់មក a c = b ឃ.

ភស្តុតាង ៧

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងភស្តុតាងនៃឯកសារមុន។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនណាមួយ គុណ a = ខនៅ​លើ គ, ក គ = ឃនៅ​លើ ខយើងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ a c = b គនិង c b = d ខ. យើងសរសេរចុងក្រោយជា b c = b ឃ. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានពីសមភាព a c = b គនិង b c = b ឃទទួលបានសមភាព a c = b ឃដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់។

ហើយម្តងទៀត យើងបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់ថាទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចអនុវត្តបានសម្រាប់សមភាពលេខពីរ បី ឬច្រើន។
ដូច្នេះ​គេ​អាច​សរសេរ​បាន៖ បើ a = ខបន្ទាប់មក a n = b nសម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខនិងលេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

សូមបញ្ចប់អត្ថបទនេះដោយប្រមូលទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណាទាំងអស់ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់៖

ប្រសិនបើ a = b នោះ b = a ។

ប្រសិនបើ a = b និង b = c នោះ a = c ។

ប្រសិនបើ a = b នោះ a + c = b + c ។

ប្រសិនបើ a = b នោះ a c = b c ។

ប្រសិនបើ a = b និង c ≠ 0 បន្ទាប់មក a: c = b: c ។

ប្រសិនបើ a = b , a = b , a ≠ 0 និង b ≠ 0 នោះ 1 a = 1 b ។

ប្រសិនបើ a = b និង c = d នោះ a c = b d ។

ប្រសិនបើ a = b នោះ a n = b n ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

មានគំនិតទូទៅអំពី សមភាពក្នុងគណិតវិទ្យាយើងអាចបន្តទៅការសិក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីបញ្ហានេះ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ទីមួយ យើងនឹងពន្យល់ពីអ្វីដែលសមភាពលេខជាអ្វី ហើយទីពីរយើងនឹងសិក្សា។

ការរុករកទំព័រ។

តើសមភាពលេខគឺជាអ្វី?

ការស្គាល់សមភាពលេខចាប់ផ្តើមនៅដំណាក់កាលដំបូងនៃការសិក្សាគណិតវិទ្យានៅសាលា។ ជាធម្មតាវាកើតឡើងនៅថ្នាក់ទី 1 បន្ទាប់ពីលេខដំបូងពីលេខ 1 ដល់លេខ 9 ត្រូវបានស្គាល់ ហើយបន្ទាប់ពីឃ្លា "ដូចគ្នា" មានអត្ថន័យ។ បន្ទាប់មកសមភាពលេខដំបូងលេចឡើងឧទាហរណ៍ 1=1, 3=3, ល។ ដែលនៅដំណាក់កាលនេះជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាសមភាពដោយគ្មាននិយមន័យច្បាស់លាស់នៃ "លេខ" ។

សមភាពនៃប្រភេទដែលបានបញ្ជាក់នៅដំណាក់កាលនេះត្រូវបានផ្តល់ជាបរិមាណ ឬអត្ថន័យធម្មតា ដែលត្រូវបានបង្កប់នៅក្នុង . ជាឧទាហរណ៍ សមីការលេខ 3=3 ត្រូវគ្នានឹងរូបភាព ដែលបង្ហាញពីមែកធាងពីររបស់ដើមឈើ ដែលនីមួយៗមានសត្វស្លាប 3 ក្បាលអង្គុយលើវា។ ឬនៅពេលដែលសមមិត្តរបស់យើង Petya និង Kolya ស្ថិតនៅលំដាប់ទី 3 ក្នុងជួរពីរ។

បន្ទាប់ពីសិក្សាពីប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ កំណត់ត្រាចម្រុះកាន់តែច្រើននៃសមភាពលេខលេចឡើង ឧទាហរណ៍ 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2 ។ល។ លើសពីនេះ សមភាពលេខនៃទម្រង់ដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍កាន់តែច្រើនចាប់ផ្តើមកើតឡើង ដែលមានផ្នែកផ្សេងៗនៅក្នុងផ្នែករបស់ពួកគេ ឧទាហរណ៍ (2+1)+3=2+(1+3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1និងដូច។ បន្ទាប់មកមានអ្នកស្គាល់គ្នាជាមួយនឹងប្រភេទលេខផ្សេងទៀត ហើយសមភាពលេខកាន់តែមានភាពចម្រុះ។

ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការវាយនៅជុំវិញព្រៃ វាដល់ពេលដែលត្រូវផ្តល់និយមន័យនៃសមភាពលេខ៖

និយមន័យ។

សមភាពលេខគឺជាសមភាព ដែលនៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរដែលមានលេខ និង/ឬ កន្សោមលេខ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខ

គោលការណ៍នៃការធ្វើការជាមួយសមភាពលេខត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ ហើយច្រើនត្រូវបានចងភ្ជាប់ទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខនៅក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមីការ និងវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការទៅនឹងច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយរូបមន្តដែលភ្ជាប់បរិមាណផ្សេងៗ។ នេះពន្យល់ពីតម្រូវការសម្រាប់ការសិក្សាលម្អិតអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខគឺស្ថិតនៅក្នុងការព្រមព្រៀងពេញលេញជាមួយនឹងរបៀបដែលប្រតិបត្តិការជាមួយលេខត្រូវបានកំណត់ ហើយក៏ស្ថិតក្នុងការព្រមព្រៀងជាមួយ និយមន័យនៃចំនួនស្មើគ្នាតាមរយៈភាពខុសគ្នា៖ លេខ a គឺស្មើនឹងលេខ b ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែភាពខុសគ្នា a−b ស្មើនឹងសូន្យ។ ខាងក្រោមនេះ នៅពេលពិពណ៌នាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗ យើងនឹងតាមដានការតភ្ជាប់នេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមភាពលេខ

ការពិនិត្យឡើងវិញលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពជាលេខគួរតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានចំនួនបីដែលជាលក្ខណៈនៃសមភាពទាំងអស់ដោយគ្មានករណីលើកលែង។ ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមភាពលេខនេះ៖

• លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការឆ្លុះបញ្ចាំង៖ a = a ;
• ទ្រព្យសម្បត្តិស៊ីមេទ្រី៖ ប្រសិនបើ a = b បន្ទាប់មក b = a ;
• និងលក្ខណសម្បត្តិឆ្លងកាត់៖ ប្រសិនបើ a=b និង b=c នោះ a=c ,

ដែល a, b និង c ជាលេខបំពាន។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការឆ្លុះបញ្ចាំងនៃសមភាពលេខសំដៅទៅលើការពិតដែលថាចំនួនមួយស្មើនឹងខ្លួនវាផ្ទាល់។ ឧទាហរណ៍ 5=5, −2=−2 ។ល។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាសម្រាប់លេខណាមួយ សមភាព a−a=0 គឺពិត។ ជាការពិត ភាពខុសគ្នា a−a អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក a+(−a) ហើយពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបន្ថែមលេខ យើងដឹងថាសម្រាប់លេខណាមួយ a មាន −a តែមួយគត់ ហើយផលបូកនៃលេខផ្ទុយគឺស្មើនឹងសូន្យ។ .

ទ្រព្យសម្បត្តិស៊ីមេទ្រីនៃសមភាពលេខចែងថាប្រសិនបើលេខ a ស្មើនឹងលេខ b នោះលេខ b គឺស្មើនឹងចំនួន a ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ 2 3 = 8 (សូមមើល ) បន្ទាប់មក 8 = 2 3 ។

យើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះតាមរយៈភាពខុសគ្នានៃលេខ។ លក្ខខណ្ឌ a=b ត្រូវ​នឹង​សមភាព a−b=0 ។ ចូរយើងបង្ហាញថា b−a=0 ។ ច្បាប់សម្រាប់ការបើកតង្កៀបដែលនាំមុខដោយសញ្ញាដកអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវភាពខុសគ្នា b−a ជា −(a−b) ដែលនៅក្នុងវេនស្មើនឹង −0 ហើយលេខទល់មុខនឹងសូន្យគឺសូន្យ។ ដូច្នេះ b−a=0 ដែលមានន័យថា b=a .

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាលនៃសមភាពលេខបញ្ជាក់ថាលេខពីរគឺស្មើគ្នានៅពេលដែលពួកគេទាំងពីរស្មើនឹងលេខទីបី។ ឧទាហរណ៍ វាធ្វើតាមសមភាព (សូមមើល) និង 4=2 2 នោះ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏ស្របជាមួយនឹងនិយមន័យនៃចំនួនស្មើគ្នាតាមរយៈភាពខុសគ្នា និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខ។ ជាការពិត ភាពស្មើគ្នា a=b និង b=c ត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព a−b=0 និង b−c=0 ។ ចូរបង្ហាញថា a−c=0 នោះវានឹងធ្វើតាមថាលេខ a និង c ស្មើគ្នា។ ដោយ​សារ​ការ​បន្ថែម​លេខ​សូន្យ​មិន​ផ្លាស់​ប្តូរ​លេខ​នោះ a−c អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ឡើង​វិញ​ជា a+0−c ។ សូន្យត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកនៃលេខផ្ទុយ −b និង b ខណៈដែលកន្សោមចុងក្រោយយកទម្រង់ a+(−b+b)−c ។ ឥឡូវ​នេះ យើង​អាច​ដាក់​ពាក្យ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ (a−b)+(b−c)។ ហើយភាពខុសគ្នានៃតង្កៀបគឺសូន្យ ដូច្នេះផលបូក (a−b)+(b−c) គឺស្មើនឹងសូន្យ។ នេះសបញ្ជាក់ឱ្យឃើញថា នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ a−b=0 និង b−c=0 សមភាព a−c=0 ទទួលបាន ពេលណា a=c ។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗផ្សេងទៀត។

ពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមភាពលេខដែលបានវិភាគក្នុងកថាខណ្ឌមុន លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនដែលមានតម្លៃជាក់ស្តែងជាក់ស្តែងធ្វើតាម។ ចូរបំបែកពួកវាចុះ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ៖ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែម (ឬដក) ចំនួនដូចគ្នាទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលេខពិត នោះអ្នកនឹងទទួលបានសមភាពលេខពិត។ ដោយប្រើអក្សរ វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ a=b ដែល a និង b ជាលេខមួយចំនួន បន្ទាប់មក a+c=b+c សម្រាប់លេខណាមួយ c ។

ដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវ យើងតែងភាពខុសគ្នា (a+c)−(b+c)។ វាអាចត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់ (a−b) + (c−c) ។ ចាប់តាំងពី a=b តាមអនុសញ្ញា បន្ទាប់មក a−b=0 និង c−c=0 ដូច្នេះ (a−b)+(c−c)=0+0=0 ។ នេះបញ្ជាក់ថា (a+c)−(b+c)=0 ដូច្នេះ a+c=b+c .

យើងបន្តទៅទៀត៖ ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលេខពិតត្រូវគុណនឹងលេខណាមួយ ឬចែកដោយលេខមិនសូន្យ នោះយើងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ នោះគឺប្រសិនបើ a = b បន្ទាប់មក a c = b c សម្រាប់លេខណាមួយ c ហើយប្រសិនបើ c ជាលេខមិនមែនសូន្យ នោះ a:c=b:c ។

ពិតប្រាកដណាស់ a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 ដែលមានន័យថាផលិតផលនៃ a·c និង b·c គឺស្មើគ្នា។ ហើយការបែងចែកដោយលេខមិនសូន្យ c អាចត្រូវបានគេគិតថាជាគុណនឹង 1/c ។

ពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានវិភាគនៃសមភាពលេខ លទ្ធផលដ៏មានប្រយោជន៍មួយមានដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ a និង b ខុសពីលេខសូន្យ និងស្មើគ្នា នោះផលតបស្នងរបស់ពួកគេក៏ស្មើគ្នាដែរ។ នោះគឺប្រសិនបើ a≠0 b≠0 និង a=b នោះ 1/a=1/b ។ សមភាពចុងក្រោយគឺងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់៖ សម្រាប់នេះ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដើម a=b ដោយលេខមិនសូន្យស្មើនឹងផលិតផល a b ។

ហើយ ចូរយើងរស់នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិពីរបន្ថែមទៀតដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្ថែម និងគុណផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។

ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមពាក្យសមភាពលេខត្រឹមត្រូវតាមពាក្យ នោះអ្នកនឹងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ។ នោះគឺប្រសិនបើ a=b និង c=d នោះ a+c=b+d សម្រាប់លេខណាមួយ a, b, c និង d ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមភាពលេខនេះ ដោយចាប់ផ្តើមពីលក្ខណៈសម្បត្តិដែលយើងស្គាល់រួចមកហើយ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាយើងអាចបន្ថែមលេខណាមួយទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពពិត។ ក្នុងសមភាព a=b យើងបន្ថែមលេខ c ហើយក្នុងសមភាព c+d យើងបន្ថែមលេខ b ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ a+c=b+c និង c+b=d+b, ចុងក្រោយដែលយើងសរសេរឡើងវិញជា b+c=b+d។ ពីសមភាព a+c=b+c និង b+c=b+d ដោយលក្ខណសម្បត្តិនៃការឆ្លងកាត់ ភាពស្មើគ្នា a+c=b+d ខាងក្រោមដែលត្រូវបង្ហាញ។

ចំណាំថាវាអាចទៅរួចក្នុងការបន្ថែមពាក្យដោយពាក្យមិនត្រឹមតែសមភាពលេខត្រឹមត្រូវពីរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងលេខបី និងបួន និងចំនួនកំណត់ណាមួយនៃពួកវាផងដែរ។

យើងបញ្ចប់ការពិនិត្យឡើងវិញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើយើងគុណលេខសមភាពលេខត្រឹមត្រូវពីរតាមពាក្យ នោះយើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ។ ចូរយើងបង្កើតវាជាផ្លូវការ៖ ប្រសិនបើ a=b និង c=d នោះ a c=b d ។

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងភស្តុតាងនៃឯកសារមុន។ យើងអាចគុណទាំងសងខាងនៃសមភាពដោយចំនួនណាមួយ គុណ a=b ដោយ c និង c=d ដោយ b យើងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ a c=b c និង c b=d b ដែលជាចុងក្រោយដែលយើងសរសេរឡើងវិញជា b c=b d . បន្ទាប់មក ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃអន្តរកាល ភាពស្មើគ្នា a·c=b·c និង b·c=b·d បង្ហាញពីសមភាពដែលត្រូវការ a·c=b·d ។

ចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ចេញគឺពិតសម្រាប់ការគុណតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវចំនួនបីឬច្រើន។ វាធ្វើតាមពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះថាប្រសិនបើ a = b បន្ទាប់មក a n = b n សម្រាប់លេខណាមួយ a និង b និងចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n ។

នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទនេះ យើងសរសេរលក្ខណៈសម្បត្តិវិភាគទាំងអស់នៃសមភាពលេខក្នុងតារាង៖

គន្ថនិទ្ទេស។

• ម៉ូរ៉ូ M.I.. គណិតវិទ្យា។ ប្រូក សម្រាប់ 1 cl ។ ដើម សាលា នៅ 2 ទំ. ផ្នែកទី 1. (ពាក់កណ្តាលឆ្នាំដំបូង) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova ។ - ទី 6 ed ។ - M.: Enlightenment, 2006. - 112 p.: ill. + App. (២ ដាច់ដោយឡែកពីគ្នា ឈឺ) ។ - ISBN 5-09-014951-8 ។
• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 7 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 17 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 240 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019315-3 ។

ហើយឥឡូវនេះសូមវិភាគភារកិច្ចនេះឱ្យបានលំអិត។

ពិចារណាក្រឡាបន្ទាប់នៅក្នុងសាជីជ្រុង។

យើងដឹងថា 11 គឺជាផលបូកនៃ 7 និងលេខមិនស្គាល់មួយទៀត។ ជាក់ស្តែងលេខទីពីរគឺ 4 ដូច្នេះយើងអាចបំពេញក្រឡានៅខាងស្តាំក្នុងជួរទីមួយ។

មានក្រឡាទទេមួយទុកនៅក្នុងសាជីជ្រុង។ វាគួរតែមានលេខមួយ ដោយបន្ថែមទៅ 7 គួរតែទទួលបាន 12។ នៅក្នុងក្រឡាទទេនៅខាងឆ្វេងក្នុងជួរទីមួយគួរតែជាលេខ 5 ។

ពិចារណាក្រឡានៅជួរទីពីរ។ វាគួរតែមានចំនួនពីរនៅក្នុងផលបូកដែលគួរតែស្មើនឹង 24។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ សូមចំណាំថាដើម្បីទទួលបានលេខពីរដែលចង់បាននៅក្នុងជួរទីពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមលេខ 3 និង 5 ទៅលេខដែលមិនស្គាល់មួយចំនួនដែលជាលេខ។ ដែលមានទីតាំងនៅក្រឡាកណ្តាលនៃជួរទីមួយ នោះគឺភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងពីរនេះគួរតែស្មើនឹង 2។ លេខ 11 និង 13 គឺសមរម្យសម្រាប់លក្ខខណ្ឌទាំងនេះ ពីព្រោះ 11 + 13 \u003d 24 ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត 13 - 11 \ u003d 2. ដូច្នេះយើងអាចបំពេញក្រឡានៃជួរទី 2 ។

ហើយវានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកលេខចុងក្រោយនៅជួរទីមួយ។ លេខនេះអាចទទួលបានប្រសិនបើវាត្រូវបានបន្ថែមទៅ 3 ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 11 ។ លេខនេះគឺ 8 ។