ក្រសួងអប់រំនិងវិទ្យាសាស្ត្រនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

ស្ថាប័នអប់រំស្វយ័តរដ្ឋសហព័ន្ធ

ការអប់រំវិជ្ជាជីវៈខ្ពស់។

សាកលវិទ្យាល័យសហព័ន្ធខាងជើង (អាកទិក) ដាក់ឈ្មោះតាម M.V. Lomonosov"

នាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យា

វគ្គសិក្សា

ដោយវិន័យគណិតវិទ្យា

Pyatysheva Anastasia Andreevna

អ្នកគ្រប់គ្រង

សិល្បៈ។ គ្រូ

Borodkina T.A.

Arkhangelsk ឆ្នាំ ២០១៤

ភារកិច្ចសម្រាប់ការងារវគ្គសិក្សា

ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

ទិន្នន័យដំបូង៖

21. y=x 3, y= ; ២២.

ការណែនាំ

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានេះ ខ្ញុំមានភារកិច្ចដូចខាងក្រោមៈ ដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយក្រាហ្វនៃមុខងារ កំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ ថែមទាំងកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការក្នុងកូអរដោណេប៉ូល គណនាប្រវែងនៃខ្សែកោងដែលផ្តល់ឱ្យដោយ សមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេរាងចតុកោណ ផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត ដែលផ្តល់ដោយសមីការក្នុងកូអរដោណេប៉ូល ក៏ដូចជាគណនាបរិមាណនៃសាកសពដែលចងដោយផ្ទៃ ចងដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ និងបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ជុំវិញ។ អ័ក្សប៉ូល។ ខ្ញុំបានជ្រើសរើសក្រដាសពាក្យមួយ លើប្រធានបទ "និយមន័យ អាំងតេក្រាល ។ ក្នុងន័យនេះ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តរកឱ្យឃើញពីរបៀបដែលអ្នកអាចប្រើការគណនាអាំងតេក្រាលបានយ៉ាងងាយស្រួល និងរហ័ស និងថាតើអ្នកអាចគណនាកិច្ចការដែលបានប្រគល់ឱ្យខ្ញុំបានត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណា។

អាំងតេក្រាល គឺជាគោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលកើតឡើងទាក់ទងនឹងតម្រូវការ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីស្វែងរកមុខងារដោយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ (ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរកអនុគមន៍ដែលបង្ហាញពីផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយចំណុចផ្លាស់ទី យោងទៅតាម ល្បឿននៃចំណុចនេះ) និងម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីវាស់តំបន់ បរិមាណ ប្រវែងធ្នូ ការងារនៃកម្លាំងសម្រាប់រយៈពេលជាក់លាក់ណាមួយ។ល។

ការបង្ហាញប្រធានបទនៃការងារវគ្គសិក្សា ខ្ញុំបានចំណាយលើផែនការដូចខាងក្រោមៈ និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា; ប្រវែងអ័ក្សកោង; តំបន់នៃ trapezoid curvilinear មួយ; ផ្ទៃនៃការបង្វិល។

សម្រាប់មុខងារណាមួយ f(x) បន្តនៅលើផ្នែក វាមាន antiderivative នៅលើផ្នែកនេះ ដែលមានន័យថាមានអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ F(x) គឺជាសារធាតុប្រឆាំងនៃអនុគមន៍បន្ត f(x) នោះកន្សោមនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជារូបមន្ត Newton-Leibniz៖

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖

ប្រសិនបើដែនកំណត់ខាងក្រោម និងខាងលើនៃការរួមបញ្ចូលគឺស្មើគ្នា (a=b) នោះអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងសូន្យ៖

ប្រសិនបើ f(x)=1 នោះ៖

នៅពេលរៀបចំឡើងវិញនូវដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម ការផ្លាស់ប្តូរអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មានសញ្ញាផ្ទុយពីនេះ៖

កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖

ប្រសិនបើអនុគមន៍អាចរួមបញ្ចូលបាន នោះផលបូករបស់ពួកគេគឺអាចបញ្ចូលបាន ហើយអាំងតេក្រាលនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាល៖

វាក៏មានវិធីសាស្ត្ររួមបញ្ចូលជាមូលដ្ឋានផងដែរ ដូចជាការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖

ការជួសជុលឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

រូបមន្តរួមបញ្ចូលគ្នាដោយផ្នែកធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកាត់បន្ថយការគណនានៃអាំងតេក្រាលទៅនឹងការគណនានៃអាំងតេក្រាលដែលអាចប្រែទៅជាសាមញ្ញជាងនេះ:

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺថាសម្រាប់មុខងារបន្តនិងមិនអវិជ្ជមានវាគឺនៅក្នុងន័យធរណីមាត្រនៃតំបន់នៃ trapezoid curvilinear ដែលត្រូវគ្នា។

លើសពីនេះ ដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ អ្នកអាចរកឃើញតំបន់នៃតំបន់ដែលចងភ្ជាប់ដោយខ្សែកោង បន្ទាត់ត្រង់ និងកន្លែងដែល

ប្រសិនបើ trapezoid curvilinear ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ខ្សែកោង​ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​បន្ទាត់ parametric x = a និង x = b និង​អ័ក្ស​ Ox នោះ​ផ្ទៃ​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ដោយ​រូបមន្ត ដែល​ពួកគេ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ពី​សមភាព៖

. (12)

តំបន់សំខាន់ តំបន់ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ គឺជាវិស័យ curvilinear ។ នេះគឺជាតំបន់ដែលជាប់នឹងកាំរស្មីពីរ និងខ្សែកោង ដែល r និងជាប៉ូលកូអរដោនេ៖

ប្រសិនបើខ្សែកោងគឺជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែល ហើយមុខងារនៃដេរីវេរបស់វាបន្តនៅលើផ្នែកនេះ នោះផ្ទៃនៃរូបដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃខ្សែកោងជុំវិញអ័ក្សអុកអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

. (14)

ប្រសិនបើអនុគមន៍ និងដេរីវេរបស់វាបន្តនៅលើផ្នែកមួយ នោះខ្សែកោងមានប្រវែងស្មើនឹង៖

ប្រសិនបើសមីការខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ដែល x(t) និង y(t) គឺជាអនុគមន៍បន្តជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុបន្ត ហើយបន្ទាប់មកប្រវែងនៃខ្សែកោងត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៅក្នុងប៉ូលកូអរដោណេ ដែលនិងបន្តនៅលើផ្នែកនោះ ប្រវែងធ្នូអាចត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

ប្រសិនបើរាងចតុកោណកែងកោងបង្វិលជុំវិញអ័ក្សអុក ចងដោយផ្នែកបន្ទាត់បន្ត និងបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d a និង x \u003d b នោះបរិមាណនៃរាងកាយដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃ trapezoid នេះនៅជុំវិញអ័ក្ស Ox នឹងស្មើនឹង :

ប្រសិនបើរាងចតុកោណកែងត្រូវបានចងដោយក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តមួយ និងបន្ទាត់ x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

ប្រសិនបើតួលេខនេះត្រូវបានចងដោយខ្សែកោង ហើយ (គឺ "ខ្ពស់ជាង" ដោយបន្ទាត់ត្រង់ x = a, x = b នោះបរិមាណនៃតួបដិវត្តជុំវិញអ័ក្សអុកនឹងស្មើនឹង៖

និងជុំវិញអ័ក្ស y (:

ប្រសិនបើផ្នែក curvilinear ត្រូវបានបង្វិលជុំវិញអ័ក្សប៉ូលនោះ តំបន់នៃតួលទ្ធផលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

2. ការដោះស្រាយបញ្ហា

កិច្ចការទី 14៖ គណនាផ្នែកនៃតួលេខដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វមុខងារ៖

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី 1 - ក្រាហ្វនៃមុខងារ

X ផ្លាស់ប្តូរពី 0 ទៅ

x 1 = -1 និង x 2 = 2 - ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាពទី 1) ។

3) គណនាផ្ទៃនៃរូបដោយប្រើរូបមន្ត (10) ។

ចម្លើយ៖ S = ។

កិច្ចការទី 15៖ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ៖

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី 2 - ក្រាហ្វនៃមុខងារ

ពិចារណាមុខងារមួយនៅលើចន្លោះពេល។

រូបភាពទី 3 - តារាងនៃអថេរសម្រាប់អនុគមន៍

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក 1 ធ្នូនឹងសមនឹងអំឡុងពេលនេះ។ ធ្នូនេះមានផ្នែកកណ្តាល (S 1) និងផ្នែកចំហៀង។ ផ្នែកកណ្តាលមានផ្នែកដែលចង់បាន និងចតុកោណកែង (S pr): ។ ចូរយើងគណនាផ្ទៃដីនៃផ្នែកកណ្តាលមួយនៃធ្នូ។

2) ស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

ហើយ y = 6 ដូច្នេះ

សម្រាប់ចន្លោះពេល ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

3) ស្វែងរកផ្ទៃនៃរូបដោយប្រើរូបមន្ត (12) ។

អាំងតេក្រាល curvilinear trapezoid

បញ្ហាទី 16៖ គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការក្នុងកូអរដោណេប៉ូលៈ

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី 4 - ក្រាហ្វនៃមុខងារ

រូបភាពទី 5 - តារាងនៃមុខងារអថេរ,

2) ស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

ជាលទ្ធផល -

3) ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើរូបមន្ត (13) ។

ចម្លើយ៖ S=។

កិច្ចការទី 17៖ គណនាប្រវែងនៃខ្សែកោងដែលផ្តល់ដោយសមីការក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណៈ

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី 6 - ក្រាហ្វនៃមុខងារ

រូបភាពទី 7 - តារាងនៃអថេរមុខងារ

2) ស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

ប្រែប្រួលពី ln ទៅ ln នេះគឺជាក់ស្តែងពីលក្ខខណ្ឌ។

3) រកប្រវែងធ្នូដោយប្រើរូបមន្ត (15) ។

ចម្លើយ៖ លីត្រ =

កិច្ចការទី 18៖ គណនាប្រវែងនៃខ្សែកោងដែលផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ 1)

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី 8- ក្រាហ្វមុខងារ

រូបភាពទី 11 - តារាងនៃអថេរមុខងារ

2) ស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

ts ប្រែប្រួលពី, នេះគឺជាក់ស្តែងពីលក្ខខណ្ឌ។

ចូររកប្រវែងធ្នូដោយប្រើរូបមន្ត (17) ។

កិច្ចការទី 20៖ គណនាបរិមាណសាកសពដែលជាប់នឹងផ្ទៃ៖

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី ១២ - ក្រាហ្វនៃមុខងារ៖

2) ស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

Z ផ្លាស់ប្តូរពី 0 ទៅ 3 ។

3) ស្វែងរកបរិមាណនៃតួលេខដោយប្រើរូបមន្ត (18)

កិច្ចការទី 21: គណនាបរិមាណនៃតួដែលចងដោយក្រាហ្វមុខងារ អ័ក្សបង្វិល Ox: 1)

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី 13 - ក្រាហ្វនៃមុខងារ

រូបភាពទី 15 - តារាងក្រាហ្វមុខងារ

2) ស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

ពិន្ទុ (0;0) និង (1;1) គឺជារឿងធម្មតាសម្រាប់ក្រាហ្វទាំងពីរ ដូច្នេះទាំងនេះគឺជាដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល ដែលជាក់ស្តែងនៅក្នុងរូបភាព។

3) ស្វែងរកបរិមាណនៃតួលេខដោយប្រើរូបមន្ត (20) ។

កិច្ចការទី 22៖ គណនាផ្ទៃនៃរូបកាយដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយក្រាហ្វមុខងារជុំវិញអ័ក្សប៉ូលៈ

១) ដំណោះស្រាយ៖

រូបភាពទី 16 - ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

រូបភាពទី 17 - តារាងនៃអថេរសម្រាប់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

2) ស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

c ផ្លាស់ប្តូរពី

3) រកផ្ទៃនៃរូបដោយប្រើរូបមន្ត (22) ។

ចម្លើយ៖ ៣.៦៨

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

នៅក្នុងដំណើរការនៃការបញ្ចប់វគ្គសិក្សារបស់ខ្ញុំលើប្រធានបទ "អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់" ខ្ញុំបានរៀនពីរបៀបគណនាផ្ទៃនៃរូបធាតុផ្សេងៗ ស្វែងរកប្រវែងនៃខ្សែកោងផ្សេងៗ និងគណនាបរិមាណផងដែរ។ គំនិតនៃការធ្វើការជាមួយអាំងតេក្រាលនេះនឹងជួយខ្ញុំក្នុងសកម្មភាពវិជ្ជាជីវៈនាពេលអនាគតរបស់ខ្ញុំ របៀបអនុវត្តសកម្មភាពផ្សេងៗឱ្យបានលឿន និងប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព។ យ៉ាងណាមិញ អាំងតេក្រាលខ្លួនវាគឺជាគោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃគណិតវិទ្យា ដែលបានកើតឡើងទាក់ទងនឹងតម្រូវការ ដើម្បីស្វែងរកអនុគមន៍ដោយដេរីវេររបស់ពួកគេ (ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរកមុខងារដែលបង្ហាញពីផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយ ចំណុចផ្លាស់ទី យោងទៅតាមល្បឿននៃចំណុចនេះ) និងម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីវាស់តំបន់ បរិមាណ ប្រវែងធ្នូ ការងារនៃកម្លាំងសម្រាប់រយៈពេលជាក់លាក់ណាមួយ។ល។

បញ្ជីនៃប្រភពដែលបានប្រើ

1. សរសេរ, D.T. មេរៀន​សង្ខេប​អំពី​គណិតវិទ្យា​ថ្នាក់​ឧត្តម​សិក្សា៖ វគ្គ ១ - ទី ៩ ed. - M. : Iris-press, 2008. - 288 ទំ។

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងអាំងតេក្រាល: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 ទំ។

3. V. A. Zorich, ការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែក I. - Ed ។ ទី 4 - M.: MTSNMO, 2002. - 664 ទំ។

4. Kuznetsov D.A. "ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់" ទីក្រុងម៉ូស្គូឆ្នាំ 1983

5. Nikolsky S. N. "ធាតុនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា" ។ - M. : Nauka, 1981 ។

ឯកសារស្រដៀងគ្នា

ការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ។ ស្វែងរកអាំងតេក្រាលជាក់លាក់នៃអនុគមន៍។ ការកំណត់តំបន់នៅក្រោមខ្សែកោង តំបន់នៃតួរលេខដែលរុំព័ទ្ធរវាងខ្សែកោង។ ការគណនាបរិមាណនៃបដិវត្តន៍។ ដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍មួយ។ កំណត់បរិមាណស៊ីឡាំង។

បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 09/18/2013


លក្ខណៈពិសេសនៃការគណនាបរិមាណនៃសាកសពដែលចងដោយផ្ទៃដោយប្រើអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលទ្វេ។ ការកំណត់តំបន់នៃតួលេខយន្តហោះដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររួមបញ្ចូលក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 09/17/2013


ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ទាក់ទងទៅនឹងដែនកំណត់ខាងលើអថេរ។ ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាលយោងតាមរូបមន្ត ញូតុន-លីបនីហ្ស ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ប្រវែងធ្នូនៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។

ការងារត្រួតពិនិត្យ, បានបន្ថែម 08/22/2009


គ្រា និងចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃខ្សែកោងយន្តហោះ។ ទ្រឹស្តីបទ Gulden ។ ផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃធ្នូនៃខ្សែកោងយន្តហោះជុំវិញអ័ក្សដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនៃធ្នូ ហើយមិនប្រសព្វ វាស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃធ្នូ និងប្រវែងនៃរង្វង់។

ការបង្រៀន, បានបន្ថែម 09/04/2003


បច្ចេកទេស និងដំណាក់កាលសំខាន់នៃការស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ តំបន់នៃរាងចតុកោណកែង និងផ្នែក ប្រវែងនៃធ្នូនៃខ្សែកោង បរិមាណសាកសព ផ្ទៃក្រឡានៃបដិវត្តន៍ ការងាររបស់ កម្លាំងអថេរ។ លំដាប់ និងយន្តការសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើកញ្ចប់ MathCAD ។

ការងារត្រួតពិនិត្យ, បានបន្ថែម 11/21/2010


លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ សមភាពនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃផលបូកពិជគណិត (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរ។ ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យម - រួម និងភស្តុតាង។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 09/18/2013


បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលលេខនៃមុខងារ។ ការគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃចតុកោណកែង ចតុកោណកែង ចតុកោណកែង។ កំហុសនៃរូបមន្ត និងការប្រៀបធៀបវិធីសាស្រ្តក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃភាពត្រឹមត្រូវ។

សៀវភៅណែនាំបណ្តុះបណ្តាលបន្ថែម ០៧/០១/២០០៩


វិធីសាស្រ្តគណនាអាំងតេក្រាល។ រូបមន្ត និងការផ្ទៀងផ្ទាត់អាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ តំបន់​នៃ​រាង​ចតុកោណ​កែង។ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ច្បាស់លាស់ និងស្មុគស្មាញ។ កម្មវិធីជាមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាល។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់និងមិនកំណត់។

បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 01/15/2014


ការគណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើអាំងតេក្រាលទ្វេ។ ការគណនាអាំងតេក្រាលទ្វេដោយចូលទៅកាន់កូអរដោណេប៉ូល។ បច្ចេកទេសសម្រាប់កំណត់អាំងតេក្រាល curvilinear នៃប្រភេទទីពីរតាមបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងលំហូរនៃវាលវ៉ិចទ័រ។

ការងារត្រួតពិនិត្យ, បានបន្ថែម 12/14/2012


គោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ការគណនាតំបន់ បរិមាណនៃរាងកាយ និងប្រវែងនៃធ្នូ គ្រាឋិតិវន្ត និងចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃខ្សែកោង។ ការគណនាតំបន់នៅក្នុងករណីនៃតំបន់ curvilinear ចតុកោណ។ ការអនុវត្តនៃ curvilinear, ផ្ទៃ និង អាំងតេក្រាលបី។

ទំព័រដើម > ការបង្រៀន

បាឋកថា 18. ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

១៨.១. ការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ។

វាត្រូវបានគេដឹងថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៅលើផ្នែកមួយគឺជាតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលចងដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x)។ ប្រសិនបើក្រាហ្វមានទីតាំងនៅខាងក្រោមអ័ក្ស x, i.e. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0 បន្ទាប់មកតំបន់មានសញ្ញា "+" ។

រូបមន្តត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃដីសរុប។

តំបន់នៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់មួយចំនួនអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើអាំងតេក្រាលជាក់លាក់ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។រក​ផ្ទៃ​នៃ​រូប​ដែល​ជាប់​នឹង​បន្ទាត់ y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d ២ ។

ផ្ទៃដែលចង់បាន (ដាក់ស្រមោលក្នុងរូប) អាចរកបានតាមរូបមន្ត៖

១៨.២. ការស្វែងរកតំបន់នៃវិស័យ curvilinear ។

ដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃវិស័យ curvilinear យើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។ សមីការនៃខ្សែកោងដែលចងផ្នែកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេនេះមានទម្រង់  = f() ដែល  ជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រកាំដែលភ្ជាប់បង្គោលទៅនឹងចំណុចបំពានលើខ្សែកោង ហើយ  គឺជាមុំទំនោរ នៃវ៉ិចទ័រកាំនេះទៅអ័ក្សប៉ូល។

ផ្ទៃនៃផ្នែកកោងអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

១៨.៣. ការគណនាប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោង។

y y = f(x)

S i y i

ប្រវែងនៃប៉ូលីលីនដែលត្រូវគ្នានឹងធ្នូអាចត្រូវបានរកឃើញជា
.

បន្ទាប់មកប្រវែងនៃធ្នូគឺ
.

សម្រាប់ហេតុផលធរណីមាត្រ៖

ក្នុងពេលជាមួយគ្នា

បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា

ទាំងនោះ។

ប្រសិនបើសមីការនៃខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នោះដោយគិតគូរពីច្បាប់សម្រាប់ការគណនាដេរីវេនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងទទួលបាន

,

ដែល x = (t) និង y = (t) ។

ប្រសិនបើកំណត់ ខ្សែកោងលំហហើយ x = (t), y = (t) និង z = Z(t) បន្ទាប់មក

ប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានកំណត់ កូអរដោណេប៉ូល។បន្ទាប់មក

,  = f() ។

ឧទាហរណ៍៖រករង្វង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ x 2 + y 2 = r 2 ។

1 វិធី។ចូរយើងបង្ហាញអថេរ y ពីសមីការ។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ

បន្ទាប់មក S = 2r ។ យើងទទួលបានរូបមន្តដ៏ល្បីសម្រាប់បរិមាត្រនៃរង្វង់មួយ។

2 វិធី។ប្រសិនបើយើងតំណាងឱ្យសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូលមួយ យើងទទួលបាន: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, i.e. អនុគមន៍  = f() = r,
បន្ទាប់មក

១៨.៤. ការគណនាបរិមាណសាកសព។

ការគណនាបរិមាណនៃរាងកាយពីតំបន់ដែលគេស្គាល់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែលរបស់វា។

អនុញ្ញាតឱ្យមានតួនៃបរិមាណ V. តំបន់នៃផ្នែកឆ្លងកាត់ណាមួយនៃរាងកាយ Q ត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាមុខងារបន្ត Q = Q(x) ។ ចូរបែងចែករាងកាយទៅជា "ស្រទាប់" ដោយផ្នែកឆ្លងកាត់ឆ្លងកាត់ចំនុច x i នៃការបែងចែកផ្នែក។ ដោយសារតែ មុខងារ Q(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែកមធ្យមមួយចំនួននៃភាគថាស បន្ទាប់មកវាត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វា។ ចូរកំណត់ពួកវាតាម M i និង m i ។

ប្រសិនបើនៅលើផ្នែកធំនិងតូចបំផុតទាំងនេះដើម្បីសាងសង់ស៊ីឡាំងជាមួយម៉ាស៊ីនភ្លើងស្របទៅនឹងអ័ក្ស x នោះបរិមាណនៃស៊ីឡាំងទាំងនេះនឹងស្មើនឹង M i x i និង m i x i នៅទីនេះ x i = x i - x i -1 ។

ដោយបានធ្វើការសាងសង់បែបនេះសម្រាប់ផ្នែកទាំងអស់នៃភាគថាសយើងទទួលបានស៊ីឡាំងដែលមានបរិមាណរៀងៗខ្លួន។
និង
.

ដោយសារជំហានភាគថាស  ទំនោរទៅសូន្យ ផលបូកទាំងនេះមានដែនកំណត់រួមមួយ៖

ដូច្នេះបរិមាណនៃរាងកាយអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត:

គុណវិបត្តិនៃរូបមន្តនេះគឺថា ដើម្បីស្វែងរកបរិមាណ ចាំបាច់ត្រូវដឹងពីមុខងារ Q(x) ដែលជាបញ្ហាខ្លាំងណាស់សម្រាប់តួស្មុគស្មាញ។

ឧទាហរណ៍៖រកបរិមាណនៃរង្វង់នៃកាំ R.

នៅក្នុងផ្នែកឈើឆ្កាងនៃបាល់ រង្វង់នៃកាំអថេរ y ត្រូវបានទទួល។ អាស្រ័យលើកូអរដោនេ x បច្ចុប្បន្ន កាំនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត
.

បន្ទាប់មកអនុគមន៍ផ្ទៃកាត់មានទម្រង់៖ Q(x) = .

យើងទទួលបានបរិមាណបាល់៖

ឧទាហរណ៍៖ស្វែងរកបរិមាណនៃពីរ៉ាមីតបំពានដែលមានកម្ពស់ H និងផ្ទៃមូលដ្ឋាន S ។

នៅពេលឆ្លងកាត់ពីរ៉ាមីតជាមួយនឹងយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងកម្ពស់នៅក្នុងផ្នែកយើងទទួលបានតួលេខស្រដៀងនឹងមូលដ្ឋាន។ មេគុណភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខទាំងនេះគឺស្មើនឹងសមាមាត្រ x / H ដែល x គឺជាចម្ងាយពីប្លង់ផ្នែកទៅកំពូលនៃពីរ៉ាមីត។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីធរណីមាត្រថាសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃតួលេខស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងមេគុណនៃភាពស្រដៀងគ្នាការ៉េ, i.e.

ពីទីនេះយើងទទួលបានមុខងារនៃផ្នែកឆ្លងកាត់៖

ស្វែងរកបរិមាណពីរ៉ាមីត៖

១៨.៥. បរិមាណនៃសាកសពនៃបដិវត្តន៍។

ពិចារណាខ្សែកោងដែលផ្តល់ដោយសមីការ y = f(x) ។ ចូរយើងសន្មត់ថាអនុគមន៍ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក។ ប្រសិនបើរាងចតុកោណកែងកោងដែលត្រូវនឹងវាជាមួយនឹងគោល a និង b ត្រូវបានបង្វិលជុំវិញអ័ក្សអុក នោះយើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា រាងកាយនៃបដិវត្តន៍.

ដោយសារតែ ផ្នែកនីមួយៗនៃរាងកាយដោយយន្តហោះ x = const គឺជារង្វង់នៃកាំ បន្ទាប់មកបរិមាណនៃរាងកាយបដិវត្តអាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានខាងលើ៖

១៨.៦. ផ្ទៃនៃរូបកាយបដិវត្តន៍។

M និង B

និយមន័យ៖ ផ្ទៃនៃការបង្វិលខ្សែកោង AB ជុំវិញអ័ក្សដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ដែលតំបន់នៃផ្ទៃនៃបដិវត្តនៃបន្ទាត់ដែលខូចដែលត្រូវបានចារឹកក្នុងខ្សែកោង AB មានទំនោរទៅនៅពេលដែលប្រវែងធំបំផុតនៃតំណភ្ជាប់នៃបន្ទាត់ដែលខូចទាំងនេះមានទំនោរទៅសូន្យ។

ចូរបែងចែកធ្នូ AB ទៅជា n ផ្នែកដោយចំនុច M 0 , M 1 , M 2 , … , M n ។ ចំនុចកំពូលនៃប៉ូលីលីនលទ្ធផលមានកូអរដោនេ x i និង y i ។ នៅពេលដែលបន្ទាត់ដែលខូចបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស យើងទទួលបានផ្ទៃដែលមានផ្ទៃក្រោយនៃកោណដែលកាត់ចេញ ផ្ទៃដែលស្មើនឹង P i ។ តំបន់នេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

នេះ S i គឺជាប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូនីមួយៗ។

យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange (cf. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange) ចំពោះទំនាក់ទំនង
.

សូមឱ្យយើងបង្ហាញកម្មវិធីមួយចំនួននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខផ្ទះល្វែង

តំបន់​នៃ​រាង​ចតុកោណកែង​ដែល​ជាប់​នឹង​ខ្សែ​កោង (កន្លែង​ណា
), ត្រង់
,
និងផ្នែក
អ័ក្ស
, ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

.

ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយខ្សែកោង
និង
(កន្លែងណា
) ត្រង់
និង
គណនាដោយរូបមន្ត

.

ប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
, បន្ទាប់មកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ព្រំដែនដោយខ្សែកោងនេះ, បន្ទាត់ត្រង់
,
និងផ្នែក
អ័ក្ស
, ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

,

កន្លែងណា និង ត្រូវបានកំណត់ពីសមីការ
,
, ក
នៅ
.

តំបន់​នៃ​ផ្នែក​កោង​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ខ្សែ​កោង​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ក្នុង​កូអរដោណេ​ប៉ូល​ដោយ​សមីការ
និងកាំប៉ូឡាពីរ
,
(
) ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

.

ឧទាហរណ៍ 1.27 ។គណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយប៉ារ៉ាបូឡា
និងដោយផ្ទាល់
(រូបភាព 1.1) ។

	ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងប៉ារ៉ាបូឡា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការ , . កន្លែងណា , . បន្ទាប់មកតាមរូបមន្ត (1.6) យើងមាន .

ការគណនាប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោង Planar

ប្រសិនបើខ្សែកោង
នៅលើផ្នែក
- រលោង (មានន័យថាដេរីវេ
គឺបន្ត) បន្ទាប់មកប្រវែងនៃធ្នូដែលត្រូវគ្នានៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

.

នៅពេលបញ្ជាក់ខ្សែកោងតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
(
- មុខងារផ្សេងគ្នាជាបន្តបន្ទាប់) ប្រវែងនៃធ្នូនៃខ្សែកោងដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរ monotonic នៅក្នុងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ពី ពីមុន , ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍ 1.28 ។គណនាប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោង
,
,
.

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ :
,
. បន្ទាប់មកតាមរូបមន្ត (1.7) យើងទទួលបាន

.

2. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

សូម​ឱ្យ​លេខ​ដែល​បាន​បញ្ជា​ទិញ​នីមួយៗ
ពីតំបន់មួយចំនួន
ត្រូវគ្នានឹងចំនួនជាក់លាក់
. បន្ទាប់មក បានហៅ មុខងារនៃអថេរពីរ និង ,
-អថេរឯករាជ្យ ឬ អាគុយម៉ង់ ,
-ដែននៃនិយមន័យ មុខងារប៉ុន្តែសំណុំ តម្លៃ​មុខងារ​ទាំងអស់ - ជួររបស់វា។ និងសម្គាល់
.

តាមធរណីមាត្រ ដែននៃអនុគមន៍គឺជាធម្មតាជាផ្នែកខ្លះនៃយន្តហោះ
កំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលអាចឬមិនអាចជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់នេះ។

ឧទាហរណ៍ 2.1 ។ស្វែងរកដែន
មុខងារ
.

	ដំណោះស្រាយ។មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចទាំងនោះនៃយន្តហោះ , ដែលក្នុងនោះ , ឬ . ចំណុចនៃយន្តហោះសម្រាប់ បង្កើតជាព្រំដែននៃតំបន់ . សមីការ កំណត់ប៉ារ៉ាបូឡា (រូបភាព 2.1; ចាប់តាំងពីប៉ារ៉ាបូឡាមិនមែនជារបស់តំបន់ វាត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់ចំនុច) ។ ជាងនេះទៅទៀត វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ថាចំណុចណា ដែលមានទីតាំងនៅខាងលើប៉ារ៉ាបូឡា។ តំបន់ បើកហើយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

ប្រសិនបើអថេរ ផ្តល់ការជំរុញខ្លះ
, ក ទុកវាឱ្យថេរ បន្ទាប់មកមុខងារ
នឹងទទួលបានការកើនឡើង
បានហៅ មុខងារបង្កើនឯកជន ដោយអថេរ :

ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើអថេរ ទទួលបានការកើនឡើង
, ក នៅតែថេរ បន្ទាប់មកមុខងារ
នឹងទទួលបានការកើនឡើង
បានហៅ មុខងារបង្កើនឯកជន ដោយអថេរ :

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់៖

,

,

ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារ
ដោយអថេរ និង រៀងគ្នា។

ចំណាំ 2.1 ។ ដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារនៃចំនួនអថេរឯករាជ្យណាមួយត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។

ចំណាំ 2.2 ។ ដោយសារដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹងអថេរណាមួយគឺជាដេរីវេដែលទាក់ទងនឹងអថេរនេះ ផ្តល់ថាអថេរផ្សេងទៀតគឺថេរ នោះក្បួនទាំងអស់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារនៃអថេរមួយអាចអនុវត្តបានចំពោះការស្វែងរកដេរីវេភាគនៃមុខងារនៃចំនួនអថេរណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ 2.2 ។
.

ដំណោះស្រាយ. យើង​ស្វែងរក:

,

.

ឧទាហរណ៍ 2.3 ។ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍
.

ដំណោះស្រាយ. យើង​ស្វែងរក:

,

,

.

ការបង្កើនមុខងារពេញលេញ
ត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា

ផ្នែកសំខាន់នៃការបង្កើនមុខងារសរុប
អាស្រ័យទៅលើការបង្កើនអថេរឯករាជ្យ
និង
,ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារ និងតំណាង
. ប្រសិនបើអនុគមន៍មានដេរីវេភាគបន្ត នោះឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបមាន ហើយស្មើនឹង

,

កន្លែងណា
,
- ការកើនឡើងដោយបំពាននៃអថេរឯករាជ្យ ដែលហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វា។

ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់មុខងារនៃអថេរបី
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

.

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
មាននៅចំណុច
First-order partial derivatives ទាក់ទងនឹងអថេរទាំងអស់។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាល មុខងារ
នៅចំណុច
និងតំណាង
ឬ
.

ចំណាំ 2.3 ។ និមិត្តសញ្ញា
ត្រូវបានគេហៅថាប្រតិបត្តិករ Hamilton ហើយត្រូវបានប្រកាសថា "numbla" ។

ឧទាហរណ៍ 2.4 ។ស្វែងរកជម្រាលនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។
.

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក៖

,
,

និងគណនាតម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុច
:

,
,
.

អាស្រ័យហេតុនេះ
.

ដេរីវេ មុខងារ
នៅចំណុច
ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ
ហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រ
នៅ
:

កន្លែងណា
.

ប្រសិនបើមុខងារ
គឺអាចខុសគ្នា នោះដេរីវេក្នុងទិសដៅនេះត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

,

កន្លែងណា ,- មុំ, ដែលវ៉ិចទ័រ ទម្រង់ជាមួយអ័ក្ស
និង
រៀងគ្នា។

ក្នុងករណីមុខងារនៃអថេរបី
ដេរីវេទិសដៅត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។ រូបមន្តដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់

,

កន្លែងណា
- កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ .

ឧទាហរណ៍ 2.5 ។ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅចំណុច
ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ
កន្លែងណា
.

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រ
និងទិសដៅរបស់វា កូស៊ីនុស៖

,
,
,
.

គណនាតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៅចំណុច
:

,
,
;
,
,
.

ជំនួស (2.1) យើងទទួលបាន

.

ដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ ហៅថា និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ដែលយកចេញពីដេរីវេភាគនៃលំដាប់ទីមួយ៖

,

,

,

និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក
,
បានហៅ លាយ . តម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះគឺស្មើគ្នានៅចំណុចទាំងនោះដែលនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះបន្ត។

ឧទាហរណ៍ 2.6 ។ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកទីពីរនៃអនុគមន៍មួយ។
.

ដំណោះស្រាយ. គណនាដេរីវេភាគដំបូងនៃលំដាប់ទីមួយ៖

,
.

ការបែងចែកពួកវាម្តងទៀតយើងទទួលបាន៖

,
,

,
.

ការប្រៀបធៀបកន្សោមចុងក្រោយយើងឃើញថា
.

ឧទាហរណ៍ 2.7 ។បញ្ជាក់មុខងារនោះ។
បំពេញសមីការ Laplace

.

ដំណោះស្រាយ. យើង​ស្វែងរក:

,
.

,
.

.

ចំណុច
បានហៅ ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក (អប្បបរមា ) មុខងារ
ប្រសិនបើសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់។
, ក្រៅពី
និងជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់តូចមួយគ្រប់គ្រាន់របស់វា វិសមភាព

(
).

អតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ខ្លាំង . ចំណុច​ដែល​អតិបរិមា​នៃ​មុខងារ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ .

ទ្រឹស្តីបទ ២.១ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ជ្រុល ). ប្រសិនបើចំណុច
គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ
បន្ទាប់មក យ៉ាងហោចណាស់និស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះមួយមិនមានទេ។

ចំណុចដែលលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានី ឬ រិះគន់ . ចំណុចខ្លាំងតែងតែស្ថិតនៅស្ថានី ប៉ុន្តែចំណុចនៅស្ថានីអាចមិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ ដើម្បីឱ្យចំណុចស្ថានីក្លាយជាចំណុចខ្លាំង លក្ខខណ្ឌខ្លាំងគ្រប់គ្រាន់ត្រូវតែពេញចិត្ត។

ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោមជាមុនសិន :

,
,
,
.

ទ្រឹស្តីបទ ២.២ (ល័ក្ខខ័ណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម ). អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
គឺខុសគ្នាពីរដងនៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។
និងចំណុច
ស្ថិតស្ថេរសម្រាប់មុខងារ
. បន្ទាប់មក៖

1.ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកចំណុច
គឺ​ជា​ចំណុច​ខ្លាំង​នៃ​មុខងារ និង
នឹងក្លាយជាចំណុចអតិបរមា
(
)និងចំណុចអប្បបរមានៅ
(
).

2.ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកនៅចំណុច

មិនមានជ្រុល។

3.ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកអាចមាន ឬអាចមិនមានជ្រុល។

ឧទាហរណ៍ 2.8 ។ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ជ្រុល
.

ដំណោះស្រាយ. ដោយសារនៅក្នុងករណីនេះ ដេរីវេផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយតែងតែមាន ដើម្បីស្វែងរកចំណុចស្ថានី (សំខាន់) យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

,
,

កន្លែងណា
,
,
,
. ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានចំណុចពីរ៖
,
.

,
,
.

សម្រាប់ចំណុច
យើងទទួលបាន៖ នោះគឺមិនមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចនេះទេ។ សម្រាប់ចំណុច
យើងទទួលបាន៖ និង
, ជាលទ្ធផល

នៅចំណុចនេះ មុខងារនេះឈានដល់កម្រិតអប្បបរមាក្នុងស្រុក៖ .

តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងដែលចងពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ y=f(x)ឆ្វេងនិងស្តាំ - ត្រង់ x=aនិង x=bរៀងគ្នាពីខាងក្រោម - អ័ក្ស គោ, ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ផ្ទៃ​នៃ​រាង​ចតុកោណកែង​ដែល​ចង​នៅ​ខាង​ស្ដាំ​ដោយ​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍​មួយ។ x=φ(y), ខាងលើនិងខាងក្រោម - ត្រង់ y=dនិង y=cរៀងគ្នានៅខាងឆ្វេង - អ័ក្ស អូ:

តំបន់នៃតួរលេខ curvilinear ចងពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ y 2 \u003d f 2 (x)ខាងក្រោម - ក្រាហ្វនៃមុខងារ y 1 \u003d f 1 (x)ឆ្វេងនិងស្តាំ - ត្រង់ x=aនិង x=b:

តំបន់នៃតួរលេខ curvilinear ចងនៅខាងឆ្វេង និងស្តាំដោយក្រាហ្វមុខងារ x 1 \u003d φ 1 (y)និង x 2 \u003d φ 2 (y), ខាងលើនិងខាងក្រោម - ត្រង់ y=dនិង y=cរៀងគ្នា៖

ពិចារណាករណីនៅពេលដែលបន្ទាត់កំណត់ curvilinear trapezoid ពីខាងលើត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t)កន្លែងណា α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) = ក, φ 1 (β) = ខ. សមីការទាំងនេះកំណត់មុខងារមួយចំនួន y=f(x)នៅលើផ្នែក [ ក, ខ] តំបន់នៃ curvilinear trapezoid មួយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ចូរបន្តទៅអថេរថ្មីមួយ x = φ 1 (t)បន្ទាប់មក dx = φ "1 (t) dt, ក y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t)ដូច្នេះ \begin (បង្ហាញគណិតវិទ្យា)

តំបន់នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។

ពិចារណាវិស័យ curvilinear OABកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ ρ=ρ(φ) នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល, ធ្នឹមពីរ អូអេនិង OBសម្រាប់ការដែល φ=α , φ=β .

យើងបែងចែកវិស័យទៅជាវិស័យបឋម អូម k-1 M k ( k=1, …, ន, M 0 = ក, Mn=B) បញ្ជាក់ដោយ Δφkមុំរវាងធ្នឹម អូម k-1និង អូម kបង្កើតមុំជាមួយអ័ក្សប៉ូល។ φk-1និង φkរៀងគ្នា។ វិស័យបឋមនីមួយៗ OM k-1 M kជំនួសដោយផ្នែករង្វង់ដែលមានកាំ ρ k \u003d ρ (φ "k)កន្លែងណា φ "ក- តម្លៃមុំ φ ពីចន្លោះពេល [ φk-1 , φk] និងមុំកណ្តាល Δφk. តំបន់នៃវិស័យចុងក្រោយត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត .

បង្ហាញពីតំបន់នៃវិស័យ "បោះជំហាន" ដែលប្រហែលជំនួសវិស័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ OAB.

តំបន់ OABត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃតំបន់នៃវិស័យ "បោះជំហាន" នៅ n→∞និង λ=អតិបរមាΔφ k → 0:

ដោយសារតែ បន្ទាប់មក

ប្រវែងអ័ក្សកោង

អនុញ្ញាតឱ្យនៅលើចន្លោះពេល [ ក, ខ] មុខងារផ្សេងគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y=f(x)ដែលក្រាហ្វគឺជាធ្នូ។ ផ្នែកបន្ទាត់ [ ក, ខ] បំបែកជា នចំនុច x ១, x2, …, xn-1. ចំណុចទាំងនេះនឹងឆ្លើយតបទៅនឹងចំណុច ម១, ម២, …, Mn-1 arcs, ភ្ជាប់ពួកវាជាមួយបន្ទាត់ដែលខូច, ដែលត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ខូចដែលចារឹកនៅក្នុងធ្នូមួយ។ បរិវេណនៃខ្សែដែលខូចនេះត្រូវបានតាងដោយ s ននោះគឺ

និយមន័យ. ប្រវែងនៃធ្នូនៃបន្ទាត់គឺជាដែនកំណត់នៃបរិវេណនៃបន្ទាត់ polyline ដែលបានចារឹកនៅក្នុងវា នៅពេលដែលចំនួននៃតំណភ្ជាប់ M k-1 M kកើនឡើងឥតកំណត់ ហើយប្រវែងធំបំផុតនៃពួកវាមានទំនោរទៅសូន្យ៖

ដែល λ គឺជាប្រវែងនៃតំណភ្ជាប់ធំបំផុត។

យើងនឹងរាប់ប្រវែងនៃធ្នូពីចំណុចមួយចំនួនរបស់វា ឧទាហរណ៍។ ក. អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុច M(x,y)ប្រវែងធ្នូគឺ សនិងនៅចំណុច M"(x+Δx,y+Δy)ប្រវែងធ្នូគឺ s + Δs, ដែល, i> Δs - ប្រវែងធ្នូ។ ពីត្រីកោណមួយ។ MNM"រកប្រវែងអង្កត់ធ្នូ៖ .

ពីការពិចារណាធរណីមាត្រវាធ្វើតាមនោះ។

នោះ​គឺ​ជា​ធ្នូ​តូច​បំផុត​នៃ​បន្ទាត់ និង​អង្កត់ធ្នូ​ដែល​បញ្ចូល​វា​គឺ​សមមូល។

ចូរបំប្លែងរូបមន្តបង្ហាញពីប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូ៖

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ក្នុងសមភាពនេះ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ s=s(x):

ពីដែលយើងរកឃើញ

រូបមន្តនេះបង្ហាញពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃធ្នូនៃខ្សែកោងយន្តហោះ ហើយមានលក្ខណៈសាមញ្ញ អត្ថន័យធរណីមាត្រ៖ បង្ហាញទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរសម្រាប់ត្រីកោណគ្មានកំណត់ MTN (ds=MT, ).

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃធ្នូនៃខ្សែកោងអវកាសត្រូវបានផ្តល់ដោយ

ពិចារណាធ្នូនៃបន្ទាត់លំហដែលផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

កន្លែងណា α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃអាគុយម៉ង់ tបន្ទាប់មក

ការរួមបញ្ចូលសមភាពនេះលើចន្លោះពេល [ α, β ] យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងនៃធ្នូបន្ទាត់នេះ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ អុកសុីបន្ទាប់មក z=0សម្រាប់​ទាំងអស់ t∈[α, β], នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ក្នុងករណីនៅពេលដែលបន្ទាត់រាបស្មើត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ y=f(x) (a≤x≤b) កន្លែងណា f(x)គឺជាមុខងារដែលអាចខុសគ្នា រូបមន្តចុងក្រោយយកទម្រង់

សូមឱ្យបន្ទាត់រាបស្មើត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។ ក្នុងករណីនេះយើងមានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φដែលមុំប៉ូលត្រូវបានយកជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ φ . ដោយសារតែ

បន្ទាប់មករូបមន្តបង្ហាញពីប្រវែងនៃធ្នូនៃបន្ទាត់ ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) នៅក្នុងប៉ូលកូអរដោណេមានទម្រង់

បរិមាណរាងកាយ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញបរិមាណនៃរាងកាយប្រសិនបើតំបន់នៃផ្នែកឆ្លងកាត់ណាមួយនៃរាងកាយនេះកាត់កែងទៅទិសដៅជាក់លាក់មួយត្រូវបានដឹង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែករាងកាយនេះទៅជាស្រទាប់បឋមដោយប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស គោនិងកំណត់ដោយសមីការ x=const. សម្រាប់ការជួសជុលណាមួយ។ x∈តំបន់ដែលគេស្គាល់ S=S(x)ផ្នែកឆ្លងកាត់នៃរាងកាយនេះ។

ស្រទាប់បឋមកាត់ចេញដោយយន្តហោះ x=x k-1, x = x k (k=1, …, ន, x 0 = ក, xn=b) យើងជំនួសវាដោយស៊ីឡាំងដែលមានកម្ពស់ ∆x k = x k −x k −1និងតំបន់មូលដ្ឋាន S(ξk), ξk ∈.

បរិមាណនៃស៊ីឡាំងបឋមដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត Δvk =E(ξk)Δxk. ចូរយើងសង្ខេបផលិតផលបែបនេះទាំងអស់។

ដែលជាផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ S=S(x)នៅលើផ្នែក [ ក, ខ] វាបង្ហាញពីបរិមាណនៃតួដែលបានបោះជំហាន ដែលរួមមានស៊ីឡាំងបឋម និងប្រហែលជំនួសតួដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

បរិមាណនៃតួដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាដែនកំណត់នៃបរិមាណនៃតួដែលបានបញ្ជាក់ λ→0 កន្លែងណា λ - ប្រវែងធំបំផុតនៃផ្នែកបឋម ∆x k. បញ្ជាក់ដោយ វបរិមាណនៃរាងកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ

ម្យ៉ាង​វិញទៀត,

ដូច្នេះបរិមាណនៃរាងកាយសម្រាប់ផ្នែកឆ្លងកាត់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ប្រសិនបើរាងកាយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្សមួយ។ គោ curvilinear trapezoid ចងពីខាងលើដោយធ្នូនៃបន្ទាត់បន្តមួយ។ y=f(x)កន្លែងណា a≤x≤bបន្ទាប់មក S(x) = π f 2 (x)ហើយរូបមន្តចុងក្រោយក្លាយជា៖

មតិយោបល់. បរិមាណ​នៃ​តួ​ខ្លួន​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​បង្វិល​រាង​រាង​ចតុកោណ​ដែល​ចង​នៅ​ខាង​ស្ដាំ​ដោយ​ក្រាហ្វ​មុខងារ x=φ(y) (c ≤ x ≤ ឃ) ជុំវិញអ័ក្ស អូគណនាដោយរូបមន្ត

ផ្ទៃនៃការបង្វិល

ពិចារណាលើផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូនៃបន្ទាត់ y=f(x) (a≤x≤b) ជុំវិញអ័ក្ស គោ(សន្មតថាមុខងារ y=f(x)មានដេរីវេបន្ត)។ យើងជួសជុលតម្លៃ x∈អាគុយម៉ង់មុខងារនឹងត្រូវបានបង្កើន dxដែលត្រូវនឹង "ចិញ្ចៀនបឋម" ដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូបឋម Δl. "ចិញ្ចៀន" នេះត្រូវបានជំនួសដោយរង្វង់ស៊ីឡាំង - ផ្ទៃក្រោយនៃរាងកាយដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃចតុកោណកែងជាមួយនឹងមូលដ្ឋានស្មើនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃធ្នូ។ dl, និងកម្ពស់ h=f(x). កាត់ចិញ្ចៀនចុងក្រោយហើយលាតវាយើងទទួលបានបន្ទះដែលមានទទឹង dlនិងប្រវែង 2πyកន្លែងណា y=f(x).

ដូច្នេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្ទៃត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្ត

រូបមន្តនេះបង្ហាញពីផ្ទៃផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូនៃបន្ទាត់មួយ។ y=f(x) (a≤x≤b) ជុំវិញអ័ក្ស គោ.