បុព្វកាល។ ពាក្យដ៏ស្រស់ស្អាត។) ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ភាសារុស្សីបន្តិច។ នេះ​ជា​របៀប​ដែល​ពាក្យ​ត្រូវ​បាន​គេ​បញ្ចេញ​មិន​មែន "បឋម" ដូចដែលវាហាក់ដូចជា។ Antiderivative គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការគណនាអាំងតេក្រាលទាំងមូល។ អាំងតេក្រាលណាមួយ - មិនកំណត់, កំណត់ (អ្នកនឹងស្គាល់ពួកគេរួចហើយនៅក្នុងឆមាសនេះ) ក៏ដូចជាទ្វេដង, បី, កោង, ផ្ទៃ (ហើយទាំងនេះគឺជាតួអង្គសំខាន់នៃឆ្នាំទីពីរ) - ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើគោលគំនិតគន្លឹះនេះ។ វាមានន័យពេញលេញក្នុងការធ្វើជាម្ចាស់។ ទៅ។)

មុន​នឹង​ស្គាល់​គោល​គំនិត​នៃ​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​និស្សន្ទវត្ថុ សូម​រំលឹក​ពី​ពាក្យ​ទូទៅ​ដែល​ជា​ទូទៅ​បំផុត ដេរីវេ. ដោយមិនគិតពីទ្រឹស្តីអផ្សុកនៃដែនកំណត់ ការកើនឡើងនៃអំណះអំណាង និងអ្វីៗផ្សេងទៀត យើងអាចនិយាយបានថា ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ (ឬ ភាពខុសគ្នា) គ្រាន់តែជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ មុខងារ. ហើយនោះហើយជាវា។ មុខងារណាមួយត្រូវបានយក (ឧទាហរណ៍ f (x) = x2) និង យោងតាមច្បាប់ជាក់លាក់បំប្លែងទៅជា មុខងារថ្មី។. ហើយនេះគឺជាមួយ។ មុខងារថ្មី។ហើយបានហៅ ដេរីវេ.

ក្នុងករណីរបស់យើងមុនពេលភាពខុសគ្នាមានមុខងារមួយ។ f (x) = x2ហើយបន្ទាប់ពីភាពខុសគ្នាវាបានក្លាយជារួចទៅហើយ មុខងារផ្សេងទៀត។ f'(x) = 2x.

ដេរីវេ- ដោយសារតែមុខងារថ្មីរបស់យើង។ f'(x) = 2x បានកើតឡើងពីមុខងារ f (x) = x2. ជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការខុសគ្នា។ ហើយ​លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត វា​មក​ពី​វា ហើយ​មិន​មែន​មក​ពី​មុខងារ​មួយ​ចំនួន​ផ្សេង​ទៀត ( x ៣, ឧទាហរណ៍)។

និយាយ​ឲ្យ​ចំ f (x) = x2- នេះគឺជាម៉ាក់ f'(x) = 2x- កូនស្រីជាទីស្រឡាញ់របស់នាង។ ) នេះអាចយល់បាន។ បន្តទៅមុខទៀត។

គណិតវិទូគឺជាមនុស្សស្ងប់ស្ងាត់។ សម្រាប់រាល់សកម្មភាពពួកគេព្យាយាមស្វែងរកប្រតិកម្ម។ :) មានបូក - ក៏មានដក។ មានគុណ និង មានការបែងចែក។ ការបង្កើនអំណាចគឺការទាញយកឫស។ ស៊ីនុសគឺអាកស៊ីន។ ពិត​ជា​មាន​ដូច​គ្នា។ ភាពខុសគ្នាមានន័យថាមាន... ការរួមបញ្ចូល.)

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​សូម​លើក​បញ្ហា​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​បែប​នេះ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងមានមុខងារសាមញ្ញបែបនេះ f(x) = ១. ហើយយើងត្រូវឆ្លើយសំណួរនេះ៖

ដេរីវេនៃមុខងារ WHAT ផ្តល់ឱ្យយើងនូវមុខងារf(x) = 1?

ម្យ៉ាង​ទៀត ការ​ឃើញ​កូន​ស្រី​ប្រើ​ការ​វិភាគ DNA រក​ឃើញ​ថា​ម្ដាយ​ជា​នរណា។ :) ដូច្នេះមកពីអ្វី ដំបូងមុខងារ (តោះហៅវាថា F(x)) របស់យើង។ ដេរីវេមុខងារ f(x) = 1? ឬក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យា ដើម្បីអ្វីមុខងារ F(x) សមភាពត្រូវបានបំពេញ៖

F'(x) = f(x) = 1?

ឧទាហរណ៍បឋម។ ខ្ញុំបានព្យាយាម។) យើងគ្រាន់តែជ្រើសរើសមុខងារ F (x) ដើម្បីឱ្យសមភាពដំណើរការ។ :) អញ្ចឹងតើអ្នករើសវាដោយរបៀបណា? អូប្រាកដ! F (x) = x ។ ដោយសារតែ៖

F'(x) = x' = 1 = f(x).

ជាការពិតណាស់បានរកឃើញម៉ាក់ F (x) = xអ្នកត្រូវតែហៅវាថាអ្វីមួយបាទ) ជួបខ្ញុំ!

Antiderivative សម្រាប់មុខងារមួយ។f(x) គឺជាមុខងារមួយ។ច(x) ដែលដេរីវេគឺស្មើនឹងf(x), i.e. ដែលសមភាពច’(x) = f(x).

អស់ហើយ។ មិនមានល្បិចវិទ្យាសាស្ត្រទៀតទេ។ នៅក្នុងនិយមន័យដ៏តឹងរឹង ឃ្លាបន្ថែមមួយត្រូវបានបន្ថែម "រវាង x". ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនស្វែងយល់ពី subtleties ទាំងនេះសម្រាប់ពេលនេះទេ ព្រោះភារកិច្ចចម្បងរបស់យើងគឺត្រូវរៀនពីរបៀបដើម្បីស្វែងរកបុព្វបទទាំងនេះ។

ក្នុងករណីរបស់យើងវាគ្រាន់តែប្រែថាមុខងារ F (x) = xគឺ បុព្វកាលសម្រាប់មុខងារ f(x) = ១.

ហេតុអ្វី? ដោយសារតែ F'(x) = f(x) = ១. ដេរីវេនៃ x គឺជាឯកតា។ គ្មានការជំទាស់។ )

ពាក្យ "បុព្វបុរស" នៅក្នុងវិធី philistine មានន័យថា "បុព្វបុរស" "ឪពុកម្តាយ" "បុព្វបុរស" ។ យើងរំឮកភ្លាមៗនូវមនុស្សជាទីស្រឡាញ់ និងជិតស្និទ្ធបំផុត។) ហើយការស្វែងរកអង្គបដិប្រាណដោយខ្លួនវាគឺជាការស្ដារឡើងវិញនូវមុខងារដើម។ ដោយដេរីវេដែលគេស្គាល់. និយាយម្យ៉ាងទៀត សកម្មភាពនេះ។ បញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នា. ហើយនោះហើយជាវា! ដំណើរការដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថាវិទ្យាសាស្រ្តផងដែរ - ការរួមបញ្ចូល. ប៉ុន្តែអំពី អាំងតេក្រាល- ពេលក្រោយ។ អត់ធ្មត់មិត្ត!

ចងចាំ៖

សមាហរណកម្មគឺជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាលើមុខងារមួយ (ដូចជាភាពខុសគ្នា)។

ការរួមបញ្ចូលគឺជាការបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នា។

អង្គបដិប្រាណគឺជាលទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូល។

ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរក antiderivative សម្រាប់មុខងារ f (x) = x. នោះគឺសូមស្វែងរក មុខងារបែបនេះ F(x) , ទៅ ដេរីវេរបស់វា។នឹងស្មើនឹង x:

F'(x) = x

តើអ្នកណាជាមិត្តនឹងនិស្សន្ទវត្ថុ ប្រហែលជាមានអ្វីមួយដូចនេះក្នុងចិត្ត៖

(x 2)' = 2x ។

ជាការប្រសើរណាស់, គោរពនិងគោរពចំពោះអ្នកដែលចងចាំតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ!) ត្រឹមត្រូវហើយ។ ប៉ុន្តែមានបញ្ហាមួយ។ មុខងារដើមរបស់យើង។ f (x) = x, ក (x2)' = 2 x. ពីរ X. ហើយបន្ទាប់ពីភាពខុសគ្នាយើងគួរតែទទួលបាន គ្រាន់តែ x. មិនអីទេ។ ប៉ុន្តែ…

យើង​ជា​មនុស្ស​វិទ្យាសាស្ត្រ។ យើងបានទទួលវិញ្ញាបនបត្រ។) ហើយយើងដឹងពីសាលាថាផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពណាមួយអាចត្រូវបានគុណ និងចែកដោយចំនួនដូចគ្នា (លើកលែងតែសូន្យជាការពិតណាស់)! ដូច្នេះ រៀបចំ។ ចូរ​ទាញ​យក​ឱកាស​នេះ​។ )

យ៉ាងណាមិញយើងចង់ឱ្យ X ស្អាតនៅខាងស្តាំមែនទេ? ហើយ deuce ជ្រៀតជ្រែក ... ដូច្នេះយើងយកសមាមាត្រសម្រាប់ដេរីវេ (x 2) '= 2x ហើយបែងចែក ផ្នែកទាំងពីររបស់វា។សម្រាប់​ពីរ​នេះ​:

ដូច្នេះ វា​កំពុង​ជម្រះ​រឿង​មួយ​ចំនួន។ បន្តទៅមុខទៀត។ យើងដឹងថាថេរណាមួយអាចជា យកវាចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ដូចនេះ៖

រូបមន្តទាំងអស់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាដំណើរការទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងច្រាសមកវិញ - ពីស្តាំទៅឆ្វេង។ នេះមានន័យថាជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា ភាពថេរណាមួយអាចកើតឡើង បញ្ចូលនៅក្រោមសញ្ញាដេរីវេ៖

ក្នុងករណីរបស់យើង យើងលាក់ទាំងពីរនៅក្នុងភាគបែង (ឬដែលដូចគ្នា មេគុណ 1/2) នៅក្រោមសញ្ញានៃដេរីវេ៖

ហើយ​ឥឡូវនេះ ដោយប្រុងប្រយ័ត្នតោះមើលកំណត់ត្រារបស់យើង។ តើយើងឃើញអ្វី? យើងឃើញសមភាពមួយដែលនិយាយថាដេរីវេនៃ អ្វីមួយ(នេះ​គឺជា អ្វីមួយ- ក្នុងតង្កៀប) ស្មើនឹង x ។

សមភាពលទ្ធផលគ្រាន់តែមានន័យថា antiderivative ដែលចង់បានសម្រាប់មុខងារ f (x) = x បម្រើមុខងារ F(x) = x2/2 . មួយដែលស្ថិតនៅក្នុងតង្កៀបនៅក្រោមជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ដោយ​ផ្ទាល់​ទៅ​តាម​អត្ថន័យ​នៃ​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​នេះ​។​) សូម​ពិនិត្យ​មើល​លទ្ធផល​។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖

អស្ចារ្យ! ទទួលបានមុខងារដើម f (x) = x. ពី​អ្វី​ដែល​ពួក​គេ​បាន​រាំ​ទៅ​នោះ​ពួក​គេ​បាន​ត្រឡប់​មក​វិញ​។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​ថ្នាំ​ប្រឆាំង​ជំនាន់​ថ្មី​របស់​យើង​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​យ៉ាង​ត្រឹមត្រូវ។)

ចុះបើ f (x) = x2? តើបុព្វកាលរបស់វាស្មើនឹងអ្វី? គ្មាន​បញ្ហា! អ្នកនិងខ្ញុំដឹង (ម្តងទៀតពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា) ថា:

3x2 = (x3)'

និង នោះគឺ

យល់ទេ? ឥឡូវនេះ យើងដោយមិនដឹងខ្លួនសម្រាប់ខ្លួនយើង បានរៀនរាប់ចំនួន antiderivatives សម្រាប់ណាមួយ។ អនុគមន៍ f(x) = x n. នៅក្នុងចិត្ត។) យើងយកសូចនាករដំបូង នបង្កើនវាដោយមួយ ហើយជាសំណង យើងបែងចែករចនាសម្ព័ន្ធទាំងមូលដោយ n+1:

ដោយវិធីនេះរូបមន្តលទ្ធផលគឺត្រឹមត្រូវ។ មិនត្រឹមតែសម្រាប់សូចនាករធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះទេសញ្ញាបត្រ នប៉ុន្តែសម្រាប់ផ្សេងទៀតណាមួយ - អវិជ្ជមានប្រភាគ។ នេះធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក antiderivatives ពីសាមញ្ញ ប្រភាគនិង ឫស។

ឧទាហរណ៍:

ធម្មជាតិ n ≠ −1 បើមិនដូច្នេះទេ ភាគបែងនៃរូបមន្តគឺសូន្យ ហើយរូបមន្តបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។) អំពីករណីពិសេសនេះ n=-1បន្តិចក្រោយមក។ )

តើអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺជាអ្វី? តារាងអាំងតេក្រាល។

ចូរនិយាយថាអ្វីដែលជាដេរីវេសម្រាប់មុខងារ F(x) = x?មែនហើយ មួយ មួយ - ខ្ញុំឮចម្លើយដែលមិនពេញចិត្ត... នោះហើយជាសិទ្ធិ។ ឯកតា។ ប៉ុន្តែ… សម្រាប់មុខងារ G(x) = x+1ដេរីវេ ក៏នឹងស្មើនឹងមួយ។:

ដូចគ្នានេះផងដែរ ដេរីវេនឹងស្មើនឹងមួយសម្រាប់អនុគមន៍ x+1234 និងសម្រាប់មុខងារ x-10 និងសម្រាប់មុខងារផ្សេងទៀតនៃទម្រង់ x+C កន្លែងណា ពី គឺថេរណាមួយ។ ចំពោះដេរីវេនៃថេរណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយពីការបូក/ដកនៃសូន្យ គ្មាននរណាម្នាក់ត្រជាក់ ឬក្តៅនោះទេ។)

វាប្រែចេញភាពមិនច្បាស់លាស់។ វាប្រែថាសម្រាប់មុខងារ f(x) = ១បម្រើជាគំរូដើម មិនត្រឹមតែមុខងារមួយ។ F (x) = x ប៉ុន្តែក៏មានមុខងារផងដែរ។ F 1 (x) = x+1234 និងមុខងារ F 2 (x) = x −10 ល​ល!

បាទ។ ត្រឹមត្រូវហើយ) សម្រាប់អ្នករាល់គ្នា ( បន្តនៅចន្លោះពេល) នៃមុខងារ មិនមែនមានតែមួយ antiderivative ទេ ប៉ុន្តែ ជាច្រើនគ្មានកំណត់ - គ្រួសារទាំងមូល! មិន​មែន​ជា​ឪពុក ឬ​ម្តាយ​ម្នាក់​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ពូជពង្ស​ទាំង​មូល។ )

តែ! ញាតិ​សន្តាន​បុព្វបុរស​របស់​យើង​ទាំង​អស់​មាន​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​សំខាន់​មួយ​ដូច​គ្នា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាសាច់ញាតិ។) ទ្រព្យសម្បត្តិមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ដែលនៅក្នុងដំណើរការនៃការវិភាគវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលយើងនឹងចងចាំអំពីវាច្រើនជាងម្តង។ ហើយយើងនឹងចងចាំជាយូរមកហើយ។ )

នេះ​គឺ​ជា​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នេះ​:

បុព្វបទទាំងពីរ ច 1 (x) និងច 2 (x) ពីមុខងារដូចគ្នា។f(x) ខុសគ្នាដោយអថេរ៖

ច 1 (x) - ច 2 (x) = គ.

អ្នកណាខ្វល់អំពីភស្តុតាង - សិក្សាអក្សរសិល្ប៍ ឬកំណត់ចំណាំការបង្រៀន។) មិនអីទេ ខ្ញុំនឹងបញ្ជាក់វា។ ជាសំណាងល្អ ភស្តុតាងនៅទីនេះគឺបឋមក្នុងជំហានមួយ។ យើងយកសមភាព

ច 1 (x) - ច 2 (x) = គ

និង ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរ។នោះគឺយើងគ្រាន់តែដាក់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលដោយឆោតល្ងង់៖

អស់ហើយ។ ដូចដែលពួកគេនិយាយ CTD ។ :)

តើទ្រព្យសម្បត្តិនេះនិយាយអ្វីខ្លះ? ហើយបុព្វហេតុពីរផ្សេងគ្នា ពីមុខងារដូចគ្នា។ f(x)មិនអាចខុសគ្នាដោយ កន្សោមខ្លះជាមួយ x . តឹងរ៉ឹងតែលើថេរ! ម្យ៉ាង​ទៀត​ប្រសិន​បើ​យើង​មាន​ក្រាហ្វ​មួយ​ប្រភេទ មួយក្នុងចំណោមអ្នកត្រួសត្រាយផ្លូវ(អនុញ្ញាតឱ្យវាជា F(x)) បន្ទាប់មកក្រាហ្វ អ្នកផ្សេងទៀតសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់យើងត្រូវបានសាងសង់ដោយការបកប្រែស្របគ្នានៃក្រាហ្វ F(x) តាមអ័ក្ស y ។

តោះមើលរបៀបដែលវាមើលទៅលើមុខងារឧទាហរណ៍ f (x) = x. បុព្វកាលទាំងអស់របស់វា ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ មានទម្រង់ទូទៅ F(x) = x 2/2+C . នៅក្នុងរូបភាពវាមើលទៅដូចជា ចំនួនគ្មានកំណត់នៃប៉ារ៉ាបូឡាទទួលបានពីប៉ារ៉ាបូឡា "មេ" y = x 2/2 ដោយការផ្លាស់ប្តូរឡើងលើ ឬចុះក្រោមតាមអ័ក្ស OY អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ ពី.

ចងចាំសាលារៀបចំមុខងារមួយ។ y=f(x)+aការផ្លាស់ប្តូរកាលវិភាគ y=f(x)ដោយឯកតា "a" តាមអ័ក្ស y?) នៅទីនេះវាដូចគ្នា) ។

ហើយយកចិត្តទុកដាក់៖ ប៉ារ៉ាបូឡារបស់យើង។ កុំឆ្លងទៅណា!វាជាធម្មជាតិ។ យ៉ាងណាមិញ មុខងារពីរផ្សេងគ្នា y 1 (x) និង y 2 (x) នឹងត្រូវគ្នាដោយជៀសមិនរួច។ តម្លៃពីរផ្សេងគ្នានៃថេរ – ពី 1និង ពី ២.

ដូច្នេះសមីការ y 1 (x) = y 2 (x) មិនដែលមានដំណោះស្រាយទេ៖

គ ១ = គ ២

x ∊ ∅ , ដោយសារតែ C 1 ≠ C2

ហើយឥឡូវនេះយើងយ៉ាងរលូនទៅជិតគោលគំនិតស្នូលទីពីរនៃការគណនាអាំងតេក្រាល។ ដូចដែលយើងទើបតែបង្កើតឡើង សម្រាប់មុខងារណាមួយ f(x) មានសំណុំអង់ទីករគ្មានកំណត់ F(x) + C ដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយថេរមួយ។ ឈុតដែលមិនចេះរីងស្ងួតបំផុតនេះក៏មានឈ្មោះពិសេសរបស់វាផងដែរ។) សូមស្រឡាញ់ និងពេញចិត្ត!

តើអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺជាអ្វី?

សំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់សម្រាប់មុខងារមួយ។ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ពីមុខងារf(x).

នោះជានិយមន័យទាំងមូល។ )

"មិន​ប្រាកដ​ប្រជា" - ព្រោះសំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់សម្រាប់មុខងារដូចគ្នា។ មិនចេះចប់. ជម្រើសច្រើនពេក។ )

"អាំងតេក្រាល" - យើងនឹងស្គាល់ជាមួយនឹងការឌិកូដលម្អិតនៃពាក្យឃោរឃៅនេះនៅក្នុងផ្នែកធំបន្ទាប់នៅលើ អាំងតេក្រាលជាក់លាក់. ក្នុងពេលនេះ ក្នុងទម្រង់រដុប យើងនឹងពិចារណាថាជាវត្ថុសំខាន់មួយ។ ទូទៅ, មួយ, ទាំងមូល. និងការរួមបញ្ចូល សមាគមមួយ, ទូទៅក្នុងករណីនេះការផ្លាស់ប្តូរពីជាក់លាក់ (ដេរីវេ) ទៅជាទូទៅ (ប្រឆាំងដេរីវេ) ។ អ្វីមួយ​ដូច​នោះ។

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖

វាអានដូចគ្នានឹងវាត្រូវបានសរសេរ៖ អាំងតេក្រាល Eff នៃ x de x. ឬ អាំងតេក្រាល ពី ef ពី x de x ។ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកទទួលបានគំនិត។ )

ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងសញ្ញាណ។

∫ - រូបតំណាងអាំងតេក្រាល។អត្ថន័យគឺដូចគ្នានឹងជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលសម្រាប់ដេរីវេ។ )

ឃ - រូបតំណាងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ យើងមិនខ្លាចទេ! ហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវការនៅទីនោះ - ទាបជាងបន្តិច។

f(x) - អាំងតេក្រាល។(តាមរយៈ "s") ។

f(x)dx - អាំងតេក្រាល។ឬអាចនិយាយបានថា "ការបំពេញ" នៃអាំងតេក្រាល។

យោងតាមអត្ថន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

នៅទីនេះ F(x)- ដូចគ្នា។ ប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x)ដែលយើងដូចម្ដេច បានរកឃើញខ្លួនឯង។របៀបដែលពួកគេបានរកឃើញវាមិនមែនជាចំណុចនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងបានបង្កើតវា។ F(x) = x2/2សម្រាប់ f(x)=x.

"ពី" - ថេរដោយបំពាន។ឬតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រ អាំងតេក្រាលថេរ. ឬ ការរួមបញ្ចូលថេរ។អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺតែមួយ។ )

ឥឡូវនេះ ចូរយើងត្រឡប់ទៅរកឧទាហរណ៍ដំបូងបំផុតរបស់យើង ប្រឆាំងនឹងការចម្លង។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាព៖

តើអថេរអាំងតេក្រាលគឺជាអ្វី ហើយហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវការ?

សំណួរគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ ហើយសំខាន់ណាស់ (ខ្លាំងណាស់!) ថេរអាំងតេក្រាលពីសំណុំគ្មានកំណត់ទាំងមូលនៃអង្គបដិប្រាណនិស្ស័យ បំបែកចេញពីបន្ទាត់នោះ ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អ្វី​ដែល​ជា​ចំណុច។ ពីសំណុំគ្មានដែនកំណត់ដើមនៃ antiderivatives (i.e. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់) វាចាំបាច់ក្នុងការជ្រើសរើសខ្សែកោងដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាមួយ​ខ្លះ កូអរដោនេជាក់លាក់។កិច្ចការបែបនេះតែងតែជួបប្រទះ និងគ្រប់ទីកន្លែងក្នុងអំឡុងពេលស្គាល់គ្នាដំបូងជាមួយអាំងតេក្រាល។ ទាំងនៅសាលា និងនៅសកលវិទ្យាល័យ។

បញ្ហាធម្មតា៖

ក្នុងចំនោមសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណទាំងអស់នៃអនុគមន៍ f=x ជ្រើសរើសមួយដែលឆ្លងកាត់ចំណុច (2;2) ។

យើងចាប់ផ្តើមគិតដោយក្បាលរបស់យើង ... សំណុំនៃបុព្វកាលទាំងអស់ - នេះមានន័យថាដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើ រួមបញ្ចូលមុខងារដើមរបស់យើង។នោះគឺ x(x)។ យើង​បាន​ធ្វើ​នេះ​ខ្ពស់​បន្តិច ហើយ​បាន​ចម្លើយ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ហើយឥឡូវនេះយើងយល់ពីអ្វីដែលយើងទទួលបាន។ យើងបានទទួលមិនត្រឹមតែមុខងារមួយប៉ុណ្ណោះទេ ក្រុមគ្រួសារទាំងមូលនៃមុខងារ។ណាមួយ? វីដា y=x 2/2+C . អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ C. ហើយឥឡូវនេះយើងត្រូវ "ចាប់" តម្លៃនៃថេរនេះ។ អញ្ចឹង តោះចាប់វា?)

ដំបងនេសាទរបស់យើង - គ្រួសារនៃខ្សែកោង (ប៉ារ៉ាបូឡា) y=x2/2+C ។

ថេរ - ទាំងនេះគឺជាត្រី។ ច្រើនណាស់។ ប៉ុន្តែម្នាក់ៗមានទំពក់ និងនុយរៀងៗខ្លួន។ )

ហើយ​អ្វី​ទៅ​ជា​នុយ? ត្រឹមត្រូវ! ចំណុចរបស់យើងគឺ (-2; 2) ។

ដូច្នេះ​យើង​ជំនួស​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច​របស់​យើង​ក្នុង​ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​និស្សន្ទវត្ថុ! យើង​ទទួល​បាន:

y(2) = 2

ពីទីនេះវាងាយស្រួលរក C=0.

តើស៊ីយ៉ូមានន័យយ៉ាងណា? នេះមានន័យថាចេញពីសំណុំគ្មានកំណត់ទាំងមូលនៃប៉ារ៉ាបូឡានៃទម្រង់y=x 2/2+Cតែប៉ុណ្ណោះ ប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយថេរ C = 0សាកសមនឹងយើង! ពោលគឺ៖y=x2/2 ។ ហើយមានតែនាងប៉ុណ្ណោះ។ មានតែប៉ារ៉ាបូឡានេះទេដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចដែលយើងត្រូវការ (-2; 2) ។ ហើយនៅក្នុងប៉ារ៉ាបូឡាផ្សេងទៀតទាំងអស់ពីគ្រួសាររបស់យើងឆ្លងកាត់ ចំណុចនេះ។ នឹងលែងមានទៀតហើយ។តាមរយៈចំណុចមួយចំនួនផ្សេងទៀតនៃយន្តហោះ - បាទ ប៉ុន្តែតាមរយៈចំណុច (2; 2) - មិនមានទៀតទេ។ យល់ទេ?

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ នេះជារូបភាពពីរសម្រាប់អ្នក - ក្រុមគ្រួសារប៉ារ៉ាបូឡាទាំងមូល (ឧ. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់) និងមួយចំនួនទៀត។ ប៉ារ៉ាបូឡាបេតុងដែលត្រូវគ្នា។ តម្លៃជាក់លាក់នៃថេរនិងឆ្លងកាត់ ចំណុចជាក់លាក់៖

មើលថាតើវាមានសារៈសំខាន់ប៉ុណ្ណាដើម្បីពិចារណាតម្លៃថេរ ពីពេលរួមបញ្ចូល! ដូច្នេះកុំធ្វេសប្រហែសអក្សរ "C" ហើយកុំភ្លេចសន្មតថាជាចម្លើយចុងក្រោយ។

ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាហេតុអ្វីបានជានិមិត្តសញ្ញាព្យួរនៅគ្រប់ទីកន្លែងនៅខាងក្នុងអាំងតេក្រាល។ dx . សិស្សតែងតែភ្លេចអំពីវា ... ហើយនេះក៏ជាកំហុសដែរ! ហើយរដុបណាស់។ ចំណុចគឺថាការរួមបញ្ចូលគឺជាការបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នា។ ហើយអ្វីដែលពិតប្រាកដ លទ្ធផលនៃភាពខុសគ្នា? ដេរីវេ? ពិត ប៉ុន្តែមិនពិតទេ។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល!

ក្នុងករណីរបស់យើងសម្រាប់មុខងារ f(x)ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃ antiderivative របស់វា។ F(x), នឹងមានៈ

អ្នកណាមិនយល់ពីខ្សែសង្វាក់នេះ - ប្រញាប់និយាយឡើងវិញនូវនិយមន័យនិងអត្ថន័យនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងរបៀបដែលវាត្រូវបានបង្ហាញឱ្យច្បាស់! បើមិនដូច្នោះទេអ្នកនឹងបន្ថយល្បឿនដោយគ្មានមេត្តានៅក្នុងអាំងតេក្រាល ... ។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកនៅក្នុងទម្រង់ philistine ដ៏ឈ្លើយបំផុតថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារណាមួយ f(x) គឺគ្រាន់តែជាផលិតផលប៉ុណ្ណោះ។ f'(x)dx. ហើយនោះហើយជាវា! យកនិស្សន្ទវត្ថុហើយគុណវា។ ទៅឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់(ឧ. dx) ។ នោះគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលណាមួយតាមការពិតត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាធម្មតា។ ដេរីវេ.

ដូច្នេះនិយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹងអាំងតេក្រាលគឺ "យក" មិនមែនមកពី មុខងារ f(x)ដូចដែលត្រូវបានគេជឿជាទូទៅនិង ឌីផេរ៉ង់ស្យែល f(x)dx!ប៉ុន្តែនៅក្នុងកំណែសាមញ្ញ វាជាទម្លាប់ក្នុងការនិយាយបែបនោះ។ "អាំងតេក្រាលត្រូវបានយកចេញពីមុខងារ". ឬ៖ "រួមបញ្ចូលមុខងារ f(x)". នេះគឺដូចគ្នា។ហើយយើងនឹងនិយាយដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែអំពីរូបតំណាង dxតោះកុំភ្លេចណា! :)

ហើយឥឡូវនេះខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកពីរបៀបកុំភ្លេចវានៅពេលថត។ ស្រមៃមើលជាមុនថាអ្នកកំពុងគណនាដេរីវេធម្មតាដោយគោរពតាមអថេរ x ។ តើអ្នកសរសេរវាដោយរបៀបណា?

ដូចនេះ៖ f'(x), y'(x), y'x ។ ឬកាន់តែរឹងមាំ តាមរយៈសមាមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ dy/dx ។ កំណត់ត្រាទាំងអស់នេះបង្ហាញយើងថាដេរីវេត្រូវបានយកយ៉ាងជាក់លាក់ដោយ x ។ ហើយមិនមែនដោយ "y", "te" ឬអថេរផ្សេងទៀតទេ។ )

ដូចគ្នាដែរចំពោះអាំងតេក្រាល។ ការថត ∫ f(x)dxសហរដ្ឋអាមេរិកផងដែរ។ ដូចជាប្រសិនបើបង្ហាញថាការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងពិតប្រាកដ ដោយអថេរ x. ជាការពិតណាស់ នេះគឺសាមញ្ញបំផុត និងឆៅ ប៉ុន្តែវាច្បាស់ណាស់ ខ្ញុំសង្ឃឹមថា។ និងហាងឆេង ភ្លេចកំណត់គុណលក្ខណៈគ្រប់ទីកន្លែង dxធ្លាក់ចុះយ៉ាងខ្លាំង។ )

ដូច្នេះអ្វីដែលជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដូចគ្នា - គិតវាចេញ។ អស្ចារ្យណាស់។) ឥឡូវនេះ វាជាការល្អក្នុងការរៀនអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ទាំងនេះ គណនា. ឬនិយាយសាមញ្ញថា "យក" ។ :) ហើយនៅទីនេះសិស្សកំពុងរង់ចាំព័ត៌មានពីរ - ល្អនិងមិនល្អ។ សម្រាប់ពេលនេះ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលល្អ។ )

ដំណឹង​ល្អ​។ សម្រាប់អាំងតេក្រាលក៏ដូចជាសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុមានតារាង។ និងអាំងតេក្រាលទាំងអស់ដែលយើងនឹងជួបនៅតាមផ្លូវ សូម្បីតែរឿងដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច និងអស្ចារ្យបំផុតក៏ដោយ យើង យោងតាមច្បាប់ជាក់លាក់យើងនឹងកាត់បន្ថយចំពោះតារាងទាំងនេះ។ )

ដូច្នេះនាងនៅទីនេះ តារាងអាំងតេក្រាល!

នេះគឺជាតារាងអាំងតេក្រាលដ៏ស្រស់ស្អាតពីមុខងារពេញនិយមបំផុត។ ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះក្រុមនៃរូបមន្ត 1-2 (មុខងារថេរនិងថាមពល) ។ ទាំងនេះគឺជារូបមន្តទូទៅបំផុតនៅក្នុងអាំងតេក្រាល!

ក្រុមទីបីនៃរូបមន្ត (ត្រីកោណមាត្រ) ដូចដែលអ្នកអាចទាយត្រូវបានទទួលដោយគ្រាន់តែដាក់បញ្ច្រាសរូបមន្តដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ។

ឧទាហរណ៍:

ជាមួយនឹងក្រុមទីបួននៃរូបមន្ត (អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នា។

ហើយនេះគឺជារូបមន្តបួនក្រុមចុងក្រោយ (5-8) សម្រាប់ពួកយើង ថ្មី។តើពួកគេមកពីណា ហើយសម្រាប់គុណសម្បត្តិបែបនេះ ទើបមុខងារកម្រនិងអសកម្មទាំងនេះចូលក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលជាមូលដ្ឋាន? ហេតុអ្វីបានជាក្រុមមុខងារទាំងនេះលេចធ្លោខ្លាំងពីមុខងារដែលនៅសល់?

ដូច្នេះវាបានកើតឡើងជាប្រវត្តិសាស្ត្រនៅក្នុងដំណើរការនៃការអភិវឌ្ឍ វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នា . នៅពេលដែលយើងហ្វឹកហាត់ដើម្បីយកអាំងតេក្រាលចម្រុះបំផុត អ្នកនឹងយល់ថាអាំងតេក្រាលនៃមុខងារដែលបានរាយក្នុងតារាងគឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ជាញឹកញាប់ណាស់ដែលគណិតវិទូបានចាត់ថ្នាក់ពួកវាជាតារាង។) អាំងតេក្រាលផ្សេងទៀតជាច្រើនត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវា ពីសំណង់ស្មុគស្មាញជាង។

សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃការចាប់អារម្មណ៍ អ្នកអាចយករូបមន្តដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចទាំងនេះមួយ ហើយធ្វើភាពខុសគ្នា។ :) ឧទាហរណ៍ រូបមន្តទី ៧ ដ៏ឃោរឃៅបំផុត។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ។ គណិតវិទូមិនបានបោកបញ្ឆោតទេ។ :)

វាគឺជាការចង់ដឹងថាតារាងនៃអាំងតេក្រាលក៏ដូចជាតារាងនៃដេរីវេដោយបេះដូង។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ រូបមន្តបួនក្រុមដំបូង។ វាមិនមែនជាការលំបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជានៅ glance ដំបូង។ ទន្ទេញចាំក្រុមចុងក្រោយទាំងបួន (ជាមួយប្រភាគ និងឫស) លាហើយមិនមានតម្លៃទេ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ដំបូង​ឡើយ អ្នក​នឹង​យល់​ច្រឡំ​ថា​តើ​ត្រូវ​សរសេរ​លោការីត​នៅ​កន្លែង​ណា អាកតង់សង់​នៅ​កន្លែង​ណា អាកស៊ីន​នៅ​កន្លែង​ណា 1/a កន្លែង​ណា​ជា 1/2a... មាន​ផ្លូវ​តែ​មួយ​គត់​គឺ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​ឧទាហរណ៍​បន្ថែម​ទៀត។ បន្ទាប់មក តារាងនឹងចងចាំបន្តិចម្តងៗដោយខ្លួនវា ហើយការសង្ស័យនឹងឈប់ច្រណែន។ )

បុគ្គលដែលចង់ដឹងចង់ឃើញជាពិសេស សម្លឹងមើលយ៉ាងជិតស្និទ្ធនៅតុអាចសួរថាៈ តើអាំងតេក្រាលនៃមុខងារ "សាលា" បឋមផ្សេងទៀត - តង់សង់ លោការីត "ធ្នូ" នៅក្នុងតារាងនៅឯណា? ចូរនិយាយថាហេតុអ្វីបានជាមានអាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសនៅក្នុងតារាង ប៉ុន្តែមិនមានទេ និយាយថាអាំងតេក្រាលនៃតង់សង់ tg x? ឬមិនមានអាំងតេក្រាលពីលោការីត ln x? ពី Arcsine arcsin x? ហេតុអ្វីបានជាពួកគេកាន់តែអាក្រក់? ប៉ុន្តែវាពោរពេញទៅដោយមុខងារ "ខាងឆ្វេង" មួយចំនួន - ជាមួយឫស ប្រភាគ ការ៉េ ...

ចម្លើយ។ គ្មានអ្វីអាក្រក់ជាងនេះទេ។) គ្រាន់តែអាំងតេក្រាលខាងលើ (ពីតង់សង់ លោការីត អាកស៊ីន។ល។) មិនមែនជាតារាងទេ។ . ហើយពួកវាត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការអនុវត្តតិចជាងញឹកញាប់ជាងអ្វីដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាង។ ដូច្នេះដឹង ដោយ​បេះដូងដែលពួកគេស្មើនឹង គឺមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ។ គ្រាន់​តែ​ដឹង តើពួកគេសុខសប្បាយជាទេ? គណនា.)

ចុះអ្នកណាម្នាក់នៅតែទ្រាំមិនបាន? ដូច្នេះហើយ ជាពិសេសសម្រាប់អ្នក!

អញ្ចឹងតើអ្នកទៅរៀនយ៉ាងម៉េចដែរ? :) អ្នកនឹងមិន? ហើយកុំ) ប៉ុន្តែកុំបារម្ភ យើងនឹងរកឃើញអាំងតេក្រាលបែបនេះទាំងអស់។ នៅក្នុងមេរៀនដែលពាក់ព័ន្ធ។ :)

ឥឡូវនេះយើងងាកទៅរកលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ បាទ គ្មានអ្វីត្រូវធ្វើទេ! គំនិតថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ ហើយលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនរបស់វាត្រូវបានពិចារណាភ្លាមៗ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ឥឡូវ​នេះ​មិន​សូវ​ជា​ដំណឹង​ល្អ​ទេ។

មិន​ដូច​ការ​ខុស​គ្នា​, ច្បាប់រួមស្តង់ដារទូទៅ, យុត្តិធម៌ សម្រាប់ឱកាសទាំងអស់។, មិនមាននៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ វាអស្ចារ្យណាស់!

ជាឧទាហរណ៍ អ្នកទាំងអស់គ្នាដឹងយ៉ាងច្បាស់ (ខ្ញុំសង្ឃឹម!) នោះ។ ណាមួយ។ការងារ ណាមួយ។មុខងារពីរ f(x) g(x) ត្រូវបានបែងចែកដូចនេះ៖

(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

ណាមួយ។កូតាត្រូវបានបែងចែកដូចនេះ៖

ហើយមុខងារស្មុគ្រស្មាញណាក៏ដោយ មិនថាវាអាចបត់បានយ៉ាងណានោះទេ គឺមានភាពខុសគ្នាដូចនេះ៖

ហើយមិនថាមុខងារណាមួយត្រូវបានលាក់នៅក្រោមអក្សរ f និង g ទេ ច្បាប់ទូទៅនឹងនៅតែដំណើរការ ហើយនិស្សន្ទវត្ថុតាមវិធីមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតនឹងត្រូវបានរកឃើញ។

ប៉ុន្តែជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល លេខបែបនេះនឹងលែងដំណើរការទៀតហើយ៖ សម្រាប់ផលិតផល ប្រភាគ (ប្រភាគ) ក៏ដូចជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃរូបមន្តរួមបញ្ចូលទូទៅ មិន​មាន! មិនមានច្បាប់ស្តង់ដារទេ!ផ្ទុយទៅវិញ ពួកគេគឺជា។ ខ្ញុំបានប្រមាថគណិតវិទ្យាដោយឥតប្រយោជន៍។) ប៉ុន្តែដំបូងឡើយ វាមានចំនួនតិចជាងច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ភាពខុសគ្នា។ ហើយទីពីរ វិធីសាស្រ្តសមាហរណកម្មភាគច្រើនដែលយើងនឹងនិយាយនៅក្នុងមេរៀនខាងក្រោមគឺជាក់លាក់ខ្លាំងណាស់។ ហើយពួកវាមានសុពលភាពសម្រាប់តែមុខងារជាក់លាក់មួយ ដែលមានកម្រិតខ្លាំង។ តោះនិយាយសម្រាប់ អនុគមន៍សមហេតុផលប្រភាគ. ឬខ្លះទៀត។

ហើយអាំងតេក្រាលមួយចំនួន ទោះបីជាវាមាននៅក្នុងធម្មជាតិក៏ដោយ ជាទូទៅមិនត្រូវបានបង្ហាញតាមមធ្យោបាយណាមួយតាមរយៈមុខងារ "សាលា" បឋមទេ! បាទ/ចាស៎ ហើយមានអាំងតេក្រាលបែបនេះច្រើនណាស់! :)

នោះហើយជាមូលហេតុដែលការធ្វើសមាហរណកម្មគឺជាកិច្ចការដែលចំណាយពេលច្រើន និងពិបាកជាងការខុសប្លែកគ្នា។ ប៉ុន្តែ​នេះ​មាន​ភាព​ស្រើបស្រាល​របស់​ខ្លួន។ សកម្មភាពនេះគឺមានភាពច្នៃប្រឌិត និងគួរឱ្យរំភើបណាស់។) ហើយប្រសិនបើអ្នកធ្វើជាម្ចាស់តារាងអាំងតេក្រាលបានល្អ និងស្ទាត់ជំនាញយ៉ាងហោចណាស់ពីរបច្ចេកទេសជាមូលដ្ឋាន ដែលយើងនឹងពិភាក្សានៅពេលក្រោយ (ហើយ) នោះអ្នកពិតជាចូលចិត្តការរួមបញ្ចូល។ :)

ហើយឥឡូវនេះសូមឱ្យយើងស្គាល់ការពិតជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ ពួកគេគ្មានអ្វីសោះ។ នៅទីនេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងពីរដំបូងគឺស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុងទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ ហើយត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណសម្បត្តិលីនេអ៊ែរនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ . អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនិងឡូជីខលនៅទីនេះ៖ អាំងតេក្រាលនៃផលបូក / ភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូក / ភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលហើយកត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

ប៉ុន្តែអចលនទ្រព្យទាំងបីខាងក្រោមនេះ គឺជាមូលដ្ឋានថ្មីសម្រាប់យើង។ ចូរយើងវិភាគពួកវាឱ្យកាន់តែលម្អិត។ ពួកគេបញ្ចេញសំឡេងជាភាសារុស្សីដូចខាងក្រោម។

ទ្រព្យសម្បត្តិទីបី

ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញដូចជានៅក្នុងរឿងនិទាន។ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលអនុគមន៍ ហើយបន្ទាប់មករកឃើញដេរីវេនៃលទ្ធផលត្រឡប់មកវិញ នោះ... អ្នកទទួលបានអាំងតេក្រាលដើម។ :) លក្ខណសម្បត្តិនេះតែងតែអាចប្រើ (និងគួរ) ដើម្បីពិនិត្យមើលលទ្ធផលចុងក្រោយនៃការរួមបញ្ចូល។ យើងបានគណនាអាំងតេក្រាល - បែងចែកចម្លើយ! យើងទទួលបានអាំងតេក្រាល - យល់ព្រម។ ពួកគេមិនបានទទួលវាទេ ដែលមានន័យថា ពួកគេបានរញ៉េរញ៉ៃនៅកន្លែងណាមួយ។ រកមើលកំហុស។ )

ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងចម្លើយ មុខងារដ៏ឃោរឃៅ និងស្មុគស្មាញបែបនេះអាចទទួលបាន ដែលវាស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការបែងចែកពួកវាមកវិញ បាទ។ ប៉ុន្តែ​វា​ជា​ការ​ល្អ​ប្រសិន​បើ​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ដើម្បី​ព្យាយាម​ពិនិត្យ​មើល​ខ្លួន​ឯង​។ យ៉ាងហោចណាស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងនោះដែលវាងាយស្រួល។ )

ទ្រព្យសម្បត្តិទីបួន

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល។ .

មិនមានអ្វីពិសេសនៅទីនេះទេ។ ខ្លឹមសារគឺដូចគ្នា មានតែ dx លេចឡើងនៅចុងបញ្ចប់។ យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិមុននិងច្បាប់សម្រាប់ការពង្រីកឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ទ្រព្យសម្បត្តិទីប្រាំ

អាំងតេក្រាលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយចំនួនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអនុគមន៍នេះ និងថេរតាមអំពើចិត្ត។ .

ក៏ជាទ្រព្យសម្បត្តិដ៏សាមញ្ញផងដែរ។ យើងក៏នឹងប្រើវាជាទៀងទាត់ក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលផងដែរ។ ជាពិសេស - ក្នុង និង.

នេះគឺជាមុខងារមានប្រយោជន៍មួយចំនួន។ ខ្ញុំនឹងមិនធុញទ្រាន់នឹងភស្តុតាងដ៏តឹងរឹងរបស់ពួកគេនៅទីនេះទេ។ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកដែលមានបំណងចង់ធ្វើវាដោយខ្លួនឯង។ ដោយផ្ទាល់យោងទៅតាមអត្ថន័យនៃដេរីវេនិងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ខ្ញុំ​នឹង​បញ្ជាក់​តែ​ទ្រព្យ​ទី​ប្រាំ​ចុង​ក្រោយ​ប៉ុណ្ណោះ ព្រោះ​វា​មិន​សូវ​ច្បាស់។

ដូច្នេះយើងមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ៖

យើងដក "ការបំពេញ" នៃអាំងតេក្រាលរបស់យើង ហើយបើកវាយោងទៅតាមនិយមន័យនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

ក្នុង​ករណី​នេះ ខ្ញុំ​សូម​រំលឹក​អ្នក​ថា យោង​តាម​សញ្ញាណ​របស់​យើង​អំពី​និស្សន្ទវត្ថុ និង​និស្សន្ទវត្ថុ។ ច’(x) = f(x) .

ឥឡូវនេះយើងបញ្ចូលលទ្ធផលរបស់យើងត្រឡប់ទៅខាងក្នុងអាំងតេក្រាល៖

បានទទួលយ៉ាងពិតប្រាកដ និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (សូមអោយភាសារុស្សីអត់ទោសអោយខ្ញុំផង)! :)

អស់ហើយ។)

អញ្ចឹង។ នៅលើនេះ ខ្ញុំចាត់ទុកការស្គាល់គ្នាដំបូងរបស់យើងជាមួយនឹងពិភពអាថ៌កំបាំងនៃអាំងតេក្រាលដែលបានកើតឡើង។ ថ្ងៃនេះ​ខ្ញុំ​ស្នើ​ឱ្យ​បិទ​។ យើង​មាន​អាវុធ​គ្រប់គ្រាន់​ហើយ​ដើម្បី​បន្ត​ឈ្លបយកការណ៍។ ប្រសិនបើមិនមានកាំភ្លើងយន្តទេ យ៉ាងហោចណាស់ក៏ប្រើកាំភ្លើងខ្លីទឹកដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាន និងតុ។ :) នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងកំពុងរង់ចាំរួចហើយនូវឧទាហរណ៍ដែលមិនបង្កគ្រោះថ្នាក់បំផុតនៃអាំងតេក្រាលសម្រាប់ការអនុវត្តផ្ទាល់នៃតារាង និងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានសរសេរ។

លាហើយ!

គោលដៅ:

• ការបង្កើតគំនិតនៃបុព្វកាល។
• ការរៀបចំសម្រាប់ការយល់ឃើញនៃអាំងតេក្រាល។
• ការបង្កើតជំនាញកុំព្យូទ័រ។
• ការអប់រំនៃអារម្មណ៍នៃភាពស្រស់ស្អាត (សមត្ថភាពក្នុងការមើលឃើញភាពស្រស់ស្អាតមិនធម្មតា) ។

ការវិភាគគណិតវិទ្យា - សំណុំនៃផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ការសិក្សាអំពីមុខងារ និងលក្ខណៈទូទៅរបស់វាដោយវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានសិក្សាផ្នែកនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលហៅថា ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលជាខ្លឹមសារនៃការសិក្សាមុខងារមួយនៅក្នុង "តូច" ។

ទាំងនោះ។ ការសិក្សាអំពីមុខងារនៅក្នុងសង្កាត់តូចៗគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចនីមួយៗនៃនិយមន័យ។ មួយនៃប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នាគឺការស្វែងរកដេរីវេ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ហើយអនុវត្តវាទៅការសិក្សាមុខងារ។

សារៈសំខាន់ដូចគ្នាគឺបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើឥរិយាបទនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេដឹងនៅក្នុងបរិវេណនៃចំណុចនីមួយៗនៃនិយមន័យរបស់វានោះ របៀបស្តារមុខងារទាំងមូល ពោលគឺឧ។ លើជួរទាំងមូលនៃនិយមន័យរបស់វា។ បញ្ហា​នេះ​ជា​កម្មវត្ថុ​នៃ​ការ​សិក្សា​នូវ​អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​ការគណនា​អាំងតេក្រាល​។

ការរួមបញ្ចូលគឺជាសកម្មភាពបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នា។ ឬការស្ដារមុខងារ f(x) ពីដេរីវេដែលបានផ្តល់ឱ្យ f`(x) ។ ពាក្យឡាតាំង "Integro" មានន័យថាការស្ដារឡើងវិញ។

ឧទាហរណ៍ #1.

អនុញ្ញាតឱ្យ (x)`= 3x 2 ។
ស្វែងរក f(x)។

ដំណោះស្រាយ៖

ដោយផ្អែកលើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថា f (x) \u003d x 3 ពីព្រោះ (x 3)` \u003d 3x 2
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាងាយស្រួលមើលថា f(x) ត្រូវបានរកឃើញមិនច្បាស់។
ជា f(x) យើងអាចយកបាន។
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3 ។ល។

ដោយសារតែដេរីវេនៃពួកវានីមួយៗគឺ 3x2 ។ (ដេរីវេនៃថេរគឺ 0) ។ មុខងារទាំងអស់នេះខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃបញ្ហាអាចត្រូវបានសរសេរជា f (x) = x 3 + C ដែល C គឺជាចំនួនពិតថេរណាមួយ។

មុខងារណាមួយដែលបានរកឃើញ f(x) ត្រូវបានហៅ បឋមសម្រាប់អនុគមន៍ F`(x) = 3x 2

និយមន័យ។ អនុគមន៍ F(x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) នៅលើចន្លោះពេល J ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីចន្លោះនេះ F`(x) = f(x)។ ដូច្នេះ អនុគមន៍ F (x) \u003d x 3 គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ f (x) \u003d 3x 2 នៅលើ (- ∞ ; ∞) ។
ដោយហេតុថា សម្រាប់ x ~ R ទាំងអស់ សមភាពគឺពិត៖ F`(x)=(x 3)`=3x 2

ដូចដែលយើងបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយ មុខងារនេះមានសំណុំអង់ទីករគ្មានកំណត់ (សូមមើលឧទាហរណ៍លេខ 1)។

ឧទាហរណ៍ #2 ។ អនុគមន៍ F(x)=x គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ f(x)= 1/x ទាំងអស់នៅលើចន្លោះពេល (0; +) ពីព្រោះ សម្រាប់ x ទាំងអស់ពីចន្លោះពេលនេះ សមភាពទទួលបាន។
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

ឧទាហរណ៍ #3 អនុគមន៍ F(x)=tg3x គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ f(x)=3/cos3x នៅចន្លោះពេល (-n/ 2; ទំ/ 2),
ដោយសារតែ F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

ឧទាហរណ៍ #4 អនុគមន៍ F(x)=3sin4x+1/x-2 គឺប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់ f(x)=12cos4x-1/x 2 នៅចន្លោះពេល (0;∞)
ដោយសារតែ F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

បាឋកថា ២

ប្រធានបទ៖ បុព្វហេតុ។ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃមុខងារប្រឆាំងដេរីវេ។

នៅពេលសិក្សាអំពីអង្គបដិប្រាណ យើងនឹងពឹងផ្អែកលើការអះអាងខាងក្រោម។ សញ្ញានៃភាពថេរនៃអនុគមន៍៖ ប្រសិនបើចន្លោះពេល J ដេរីវេ Ψ(х) នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹង 0 នោះចន្លោះពេលនេះអនុគមន៍Ψ(х) គឺថេរ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមធរណីមាត្រ។

វាត្រូវបានគេដឹងថា Ψ`(x) = tgα, γde α - មុំទំនោរនៃតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ Ψ(x) នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 ។ ប្រសិនបើ Ψ`(υ)=0 នៅចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេល J នោះ tgα=0 δ សម្រាប់តង់ហ្សង់ណាមួយចំពោះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ Ψ(x)។ នេះមានន័យថាតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារនៅចំណុចណាមួយគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ។ ដូច្នេះ​នៅ​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​បាន​បង្ហាញ ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍ Ψ(x) ត្រូវ​គ្នា​នឹង​ផ្នែក​បន្ទាត់​ត្រង់ y=C ។

ដូច្នេះ អនុគមន៍ f(x)=c គឺថេរនៅលើចន្លោះពេល J ប្រសិនបើ f`(x)=0 នៅលើចន្លោះពេលនេះ។

ជាការពិតណាស់ សម្រាប់ x 1 និង x 2 បំពានពីចន្លោះ J យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទលើតម្លៃមធ្យមនៃអនុគមន៍ យើងអាចសរសេរបាន៖
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1) ពីព្រោះ f`(c)=0 បន្ទាប់មក f(x 2)=f(x 1)

ទ្រឹស្តីបទ៖ (លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេទី)

ប្រសិនបើ F(x) គឺជាវត្ថុប្រឆាំងមួយសម្រាប់អនុគមន៍ f(x) នៅចន្លោះ J នោះសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណទាំងអស់នៃអនុគមន៍នេះមានទម្រង់៖ F(x)+C ដែល C ជាចំនួនពិតណាមួយ។

ភស្តុតាង៖

អនុញ្ញាតឱ្យ F`(x) = f(x), បន្ទាប់មក (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), សម្រាប់ x − J ។
ឧបមាថាមាន Φ(x) - អង់ទីករមួយទៀតសម្រាប់ f (x) នៅលើចន្លោះ J, i.e. Φ`(x) = f(x),
បន្ទាប់មក (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, សម្រាប់ x Є J ។
នេះមានន័យថា Φ(x) - F(x) គឺថេរនៅលើចន្លោះ J.
ដូច្នេះ Φ(x) - F(x) = C ។
ពេលណា Φ(x)= F(x)+C ។
នេះមានន័យថាប្រសិនបើ F (x) គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ f (x) នៅលើចន្លោះ J នោះសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណទាំងអស់នៃអនុគមន៍នេះមានទម្រង់៖ F (x) + C ដែល C ជាចំនួនពិតណាមួយ។
ដូច្នេះ អង់ទីករពីរនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ។

ឧទាហរណ៍៖ រកសំណុំនៃ antiderivatives នៃអនុគមន៍ f (x) = cos x ។ គូរក្រាហ្វនៃបីដំបូង។

ដំណោះស្រាយ៖ Sin x - មួយនៃ antiderivatives សម្រាប់អនុគមន៍ f (x) = cos x
F(x) = Sin x + C គឺជាសំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់។

F 1 (x) = Sin x −1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1

រូបភាពធរណីមាត្រ៖ក្រាហ្វនៃការប្រឆាំងដេរីវេទី F(x)+C អាចទទួលបានពីក្រាហ្វនៃអង់ទីគ័រ F(x) ដោយប្រើការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល r (0; គ)។

ឧទាហរណ៍៖ សម្រាប់អនុគមន៍ f (x) \u003d 2x ស្វែងរកអង្គបដិប្រាណ ក្រាហ្វដែលឆ្លងកាត់ t.M (1; 4)

ដំណោះស្រាយ៖ F(х)=х 2 +С គឺជាសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណទាំងអស់ F(1)=4 - យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។
ដូច្នេះ 4 \u003d 1 2 +C
គ = ៣
F (x) \u003d x 2 +3

មួយនៃប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នាគឺការស្វែងរកដេរីវេ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ហើយអនុវត្តវាទៅការសិក្សាមុខងារ។

សារៈសំខាន់ដូចគ្នាគឺបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើឥរិយាបទនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេដឹងនៅក្នុងបរិវេណនៃចំណុចនីមួយៗនៃនិយមន័យរបស់វានោះ របៀបស្តារមុខងារទាំងមូល ពោលគឺឧ។ លើជួរទាំងមូលនៃនិយមន័យរបស់វា។ បញ្ហា​នេះ​ជា​កម្មវត្ថុ​នៃ​ការ​សិក្សា​នូវ​អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​ការគណនា​អាំងតេក្រាល​។

ការរួមបញ្ចូលគឺជាសកម្មភាពបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នា។ ឬការស្ដារមុខងារ f(x) ពីដេរីវេដែលបានផ្តល់ឱ្យ f`(x) ។ ពាក្យឡាតាំង "Integro" មានន័យថាការស្ដារឡើងវិញ។

ឧទាហរណ៍ #1.

អនុញ្ញាតឱ្យ (f(x))' = 3x 2 ។ ស្វែងរក f(x)។

ដំណោះស្រាយ៖

ដោយផ្អែកលើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថា f (x) \u003d x 3 ពីព្រោះ

(x 3) ' = 3x 2 ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាងាយស្រួលមើលថា f (x) ត្រូវបានរកឃើញមិនច្បាស់។ ជា f (x) អ្នកអាចយក f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 ជាដើម។

ដោយសារតែ ដេរីវេនៃពួកវានីមួយៗគឺ 3x2 ។ (ដេរីវេនៃថេរគឺ 0) ។ មុខងារទាំងអស់នេះខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃបញ្ហាអាចត្រូវបានសរសេរជា f (x) = x 3 + C ដែល C គឺជាចំនួនពិតថេរណាមួយ។

មុខងារណាមួយដែលបានរកឃើញ f(x) ត្រូវបានហៅ បុព្វកាលសម្រាប់អនុគមន៍ F`(x) = 3x 2

និយមន័យ។

អនុគមន៍ F(x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) នៅលើចន្លោះពេល J ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីចន្លោះនេះ F`(x) = f(x)។ ដូច្នេះ អនុគមន៍ F (x) \u003d x 3 គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ f (x) \u003d 3x 2 នៅលើ (- ∞ ; ∞) ។ ដោយហេតុថា សម្រាប់ x ~ R ទាំងអស់ សមភាពគឺពិត៖ F`(x)=(x 3)`=3x 2

ដូចដែលយើងបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយ មុខងារនេះមានសំណុំអង់ទីករគ្មានកំណត់។

ឧទាហរណ៍ #2 ។

អនុគមន៍គឺប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់ទាំងអស់នៅលើចន្លោះពេល (0; +∞) ពីព្រោះ សម្រាប់ម៉ោងទាំងអស់ពីចន្លោះពេលនេះ សមភាពទទួលបាន។

ភារកិច្ចនៃការធ្វើសមាហរណកម្មគឺដើម្បីស្វែងរក antiderivatives របស់វាទាំងអស់សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការអះអាងខាងក្រោមដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ៖

សញ្ញានៃភាពស្ថិតស្ថេរនៃមុខងារ។ ប្រសិនបើ F "(x) \u003d 0 នៅលើចន្លោះពេល I ខ្លះ នោះមុខងារ F គឺថេរនៅលើចន្លោះពេលនេះ។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជួសជុល x 0 មួយចំនួនពីចន្លោះពេល I. បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ x ពីចន្លោះពេលបែបនេះ ដោយគុណធម៌នៃរូបមន្ត Lagrange មួយអាចបញ្ជាក់លេខបែបនេះ c រវាង x និង x 0 នោះ។

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0) ។

តាមលក្ខខណ្ឌ F '(c) = 0, ចាប់តាំងពី c ∈1, ដូច្នេះ,

F(x) - F(x 0) = 0 ។

ដូច្នេះសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីចន្លោះពេល I

ឧ. មុខងារ F នៅតែថេរ។

អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេទី f ទាំងអស់អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើរូបមន្តមួយ ដែលត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ទូទៅនៃ antiderivatives សម្រាប់មុខងារ f. ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត ( ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃបុព្វកាល):

ទ្រឹស្តីបទ។ សារធាតុប្រឆាំងដេរីវេណាមួយសម្រាប់អនុគមន៍ f នៅលើចន្លោះពេលខ្ញុំអាចត្រូវបានសរសេរជា

F(x) + C, (1) ដែល F(x) គឺជាវត្ថុប្រឆាំងមួយសម្រាប់អនុគមន៍ f(x) នៅលើចន្លោះពេល I ហើយ C គឺជាថេរដែលបំពាន។

ចូរយើងពន្យល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ដែលនៅក្នុងនោះ លក្ខណៈសម្បត្តិពីរនៃ antiderivative ត្រូវបានបង្កើតដោយសង្ខេប៖

1. លេខណាមួយដែលយើងដាក់ក្នុងកន្សោម (1) ជំនួសឱ្យ C យើងទទួលបាន antiderivative សម្រាប់ f នៅចន្លោះ I;
2. ណាមួយ antiderivative Ф សម្រាប់ f នៅចន្លោះពេល I ត្រូវបានគេយក នោះគេអាចជ្រើសរើសលេខ C ដែលសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីចន្លោះពេល I សមភាពនឹងពេញចិត្ត។

ភស្តុតាង។

1. តាមលក្ខខណ្ឌ អនុគមន៍ F គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ f នៅចន្លោះពេល I. ដូច្នេះ F "(x) \u003d f (x) សម្រាប់ x∈1 ណាមួយ ដូច្នេះ (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), ឧ. F(x) + C គឺជាអង់ទីករសម្រាប់អនុគមន៍ f ។
2. អនុញ្ញាតឱ្យ Ф (х) ជាវត្ថុប្រឆាំងមួយសម្រាប់អនុគមន៍ f នៅចន្លោះពេលដូចគ្នា I ពោលគឺ Ф "(x) = f (х) សម្រាប់ x∈I ទាំងអស់។

បន្ទាប់មក (Ф (x) - F (x)) "= Ф" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0 ។

វាធ្វើតាមពីទីនេះ។ ដោយសារតែសញ្ញានៃភាពជាប់លាប់នៃអនុគមន៍ ដែលភាពខុសគ្នា Ф (х) - F (х) គឺជាមុខងារដែលយកតម្លៃថេរមួយចំនួន C នៅចន្លោះពេល I ។

ដូច្នេះសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីចន្លោះពេល I សមភាព Ф(х) - F(x) = С គឺជាការពិត ដែលត្រូវតែបញ្ជាក់។ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃ antiderivative អាចត្រូវបានផ្តល់អត្ថន័យធរណីមាត្រ: ក្រាហ្វនៃវត្ថុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុទាំងពីរសម្រាប់អនុគមន៍ f ត្រូវបានទទួលពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយការបកប្រែស្របគ្នាតាមអ័ក្ស y

សំណួរសម្រាប់អរូបី

អនុគមន៍ F(x) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់អនុគមន៍ f(x)។ រក F(1) ប្រសិនបើ f(x)=9x2 - 6x + 1 និង F(-1) = 2 ។

ស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់សម្រាប់មុខងារមួយ។

សម្រាប់អនុគមន៍ (x) = cos2 * sin2x ស្វែងរក antiderivative F(x) ប្រសិនបើ F(0) = 0 ។

សម្រាប់មុខងារមួយ ស្វែងរកអង្គបដិប្រាណដែលក្រាហ្វឆ្លងកាត់ចំណុច

យើងបានឃើញថាដេរីវេមានកម្មវិធីជាច្រើន៖ ដេរីវេគឺជាល្បឿននៃចលនា (ឬជាទូទៅល្បឿននៃដំណើរការណាមួយ); ដេរីវេគឺជាជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍; ដោយប្រើដេរីវេអ្នកអាចស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ monotonicity និង extrema; ដេរីវេជួយដោះស្រាយបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាព។

ប៉ុន្តែនៅក្នុងជីវិតពិត មនុស្សម្នាក់ក៏ត្រូវដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាសផងដែរ៖ ឧទាហរណ៍ រួមជាមួយនឹងបញ្ហានៃការស្វែងរកល្បឿនពីច្បាប់នៃចលនាដែលគេស្គាល់ វាក៏មានបញ្ហាក្នុងការស្ដារឡើងវិញនូវច្បាប់នៃចលនាពីល្បឿនដែលគេស្គាល់ផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១ចំណុចសម្ភារៈផ្លាស់ទីតាមបន្ទាត់ត្រង់ល្បឿននៃចលនារបស់វានៅពេល t ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត u = tg ។ ស្វែងរកច្បាប់នៃចលនា។

ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ s = s (t) ជាច្បាប់នៃចលនាដែលចង់បាន។ គេដឹងថា s"(t) = u"(t) ។ ដូច្នេះដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាយើងត្រូវជ្រើសរើស មុខងារ s = s(t) ដែលដេរីវេគឺស្មើនឹង tg ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយ

យើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវប៉ុន្តែមិនពេញលេញ។ យើងបានទទួលថា តាមពិត បញ្ហាមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់៖ មុខងារណាមួយនៃទម្រង់ ថេរតាមអំពើចិត្ត, អាចបម្រើជាច្បាប់នៃចលនា, ចាប់តាំងពី

ដើម្បីធ្វើឱ្យកិច្ចការកាន់តែជាក់លាក់ យើងត្រូវជួសជុលស្ថានភាពដំបូង៖ ចង្អុលបង្ហាញកូអរដោនេនៃចំណុចរំកិលនៅចំណុចមួយចំនួនក្នុងពេលវេលា ឧទាហរណ៍នៅ t=0 ។ ប្រសិនបើនិយាយថា s (0) \u003d s 0 បន្ទាប់មកពីសមភាពយើងទទួលបាន s (0) \u003d 0 + C ពោលគឺ S 0 \u003d C. ឥឡូវនេះច្បាប់នៃចលនាត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេស៖
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមកត្រូវបានផ្តល់ឈ្មោះផ្សេងៗគ្នា សញ្ញាណពិសេសត្រូវបានបង្កើត៖ ឧទាហរណ៍ squaring (x 2) និងការស្រង់ចេញពី sine ឫសការ៉េ (sinx) និង អាកស៊ីន(arcsin x) ជាដើម។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុទាក់ទងនឹងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា និងប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាស i.e. ដំណើរការនៃការស្វែងរកមុខងារដោយដេរីវេដែលបានផ្តល់ឱ្យ - ដោយការរួមបញ្ចូល។
ពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្លួនវាអាចត្រូវបានរាប់ជាសុចរិត "តាមវិធីខាងលោកិយ": មុខងារ y - f (x) "ផលិតចូលទៅក្នុងពិភពលោក" មុខងារថ្មី y "= f" (x) មុខងារ y \u003d f (x) ដើរតួជា "មេ" ប៉ុន្តែគណិតវិទូ ពិតណាស់មិនហៅវាថា "មេ" ឬ "អ្នកផលិត" ពួកគេនិយាយថា វាគឺទាក់ទងទៅនឹងមុខងារ y "=f" (x) រូបភាពបឋម ឬ​និយាយ​ឲ្យ​ខ្លី​ថា ​​អង់ទីរីវេទីវ។

និយមន័យ ១.អនុគមន៍ y \u003d F (x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d f (x) លើចន្លោះពេល X ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើសម្រាប់ x ទាំងអស់ពី X សមភាព F "(x) \u003d f (x) គឺពិត .

នៅក្នុងការអនុវត្ត ចន្លោះពេល X ជាធម្មតាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ទេ ប៉ុន្តែបង្កប់ន័យ (ជាដែនធម្មជាតិនៃមុខងារ)។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

1) អនុគមន៍ y \u003d x 2 គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d 2x ចាប់តាំងពីសម្រាប់ x សមភាពទាំងអស់ (x 2) "\u003d 2x គឺពិត។
2) អនុគមន៍ y - x 3 គឺជាអង់ទីករសម្រាប់អនុគមន៍ y-3x 2 ចាប់តាំងពីសម្រាប់ x ទាំងអស់សមភាព (x 3)" \u003d 3x 2 គឺពិត។
3) អនុគមន៍ y-sinx គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y=cosx ចាប់តាំងពីសម្រាប់ x ទាំងអស់សមភាព (sinx) "=cosx គឺពិត។
4) អនុគមន៍គឺប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់អនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល ចាប់តាំងពីសម្រាប់ x> 0 ទាំងអស់ សមភាពគឺពិត
ជាទូទៅ ការដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ វាមិនពិបាកក្នុងការចងក្រងតារាងរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុនោះទេ។

យើងសង្ឃឹមថាអ្នកយល់ពីរបៀបដែលតារាងនេះត្រូវបានចងក្រង៖ ដេរីវេនៃមុខងារដែលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរទីពីរគឺស្មើនឹងមុខងារដែលត្រូវបានសរសេរក្នុងបន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ (ពិនិត្យមើលវាចេញ កុំខ្ជិល វាជា មានប្រយោជន៍ណាស់) ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d x 5 អង្គបដិប្រាណ ដូចដែលអ្នកបង្កើត គឺជាមុខងារ (សូមមើលតារាងជួរទីបួន)។

កំណត់ចំណាំ៖ 1. ខាងក្រោមនេះ យើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទថា ប្រសិនបើ y = F(x) គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) នោះអនុគមន៍ y = f(x) មានអង្គបដិប្រាណច្រើនឥតកំណត់ ហើយពួកវាទាំងអស់មានទម្រង់ y = F (x ) + C. ដូច្នេះ វាជាការត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការបន្ថែមពាក្យ C នៅគ្រប់ទីកន្លែងក្នុងជួរទីពីរនៃតារាង ដែល C ជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។
2. សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពខ្លី ពេលខ្លះជំនួសឱ្យឃ្លា "អនុគមន៍ y = F(x) គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x)" ពួកគេនិយាយថា F(x) គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ f(x) "។

2. ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំង

នៅពេលស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ក៏ដូចជានៅពេលស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ មិនត្រឹមតែប្រើរូបមន្តទេ (ពួកគេត្រូវបានរាយក្នុងតារាងនៅលើទំព័រ 196) ប៉ុន្តែក៏មានច្បាប់មួយចំនួនផងដែរ។ ពួកវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងច្បាប់ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

យើងដឹងថាដេរីវេនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ច្បាប់នេះបង្កើតច្បាប់ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេ។

វិធាន 1ផលបូកនៃ antiderivatives ស្មើនឹងផលបូកនៃ antiderivatives ។

យើងទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកទៅ "ពន្លឺ" ខ្លះនៃពាក្យនេះ។ តាមពិត វានឹងចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) និង y=g(x) មាន antiderivatives នៅលើចន្លោះ X, y-F(x) និង y-G(x) រៀងគ្នា បន្ទាប់មកផលបូក នៃអនុគមន៍ y = f(x) + g(x) មាន antiderivative នៅចន្លោះ X ហើយ antiderivative នេះគឺជាអនុគមន៍ y = F(x) + G(x) ។ ប៉ុន្តែជាធម្មតានៅពេលបង្កើតច្បាប់ (និងមិនមែនទ្រឹស្តីបទ) មានតែពាក្យគន្លឹះប៉ុណ្ណោះដែលនៅសេសសល់ - វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ការអនុវត្តច្បាប់ក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y = 2x + cos x ។

ដំណោះស្រាយ។អង្គបដិប្រាណសម្រាប់ 2x គឺ x "; អង់ទីករសម្រាប់ cosx គឺ sin x ។ ដូច្នេះ អង់ទីករសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d 2x + cos x នឹងក្លាយជាអនុគមន៍ y \u003d x 2 + sin x (ហើយជាទូទៅមុខងារណាមួយនៃ ទម្រង់ Y \u003d x 1 + sinx + C) ។
យើងដឹងថាកត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ច្បាប់នេះបង្កើតច្បាប់ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេ។

ក្បួនទី 2កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញា antiderivative ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ។ក) អង្គបដិប្រាណសម្រាប់ sin x គឺ -cos x; ដូច្នេះសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d 5 sin x អង្គបដិប្រាណនឹងជាមុខងារ y \u003d -5 cos x ។

ខ) អង្គបដិប្រាណសម្រាប់ cos x គឺ sin x; ដូចនេះ សម្រាប់មុខងារប្រឆាំងដេរីវេទីវ នឹងមានមុខងារមួយ។
គ) អង្គបដិប្រាណសម្រាប់ x 3 គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ x គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់មុខងារ y \u003d 1 គឺជាអនុគមន៍ y \u003d x ។ ដោយប្រើច្បាប់ទីមួយ និងទីពីរសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ យើងទទួលបានថាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d 12x 3 + 8x-1 គឺជាមុខងារ
មតិយោបល់។ដូចដែលអ្នកដឹងស្រាប់ ដេរីវេនៃផលិតផលមួយមិនស្មើនឹងផលិតផលនៃនិស្សន្ទវត្ថុទេ (ច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃផលិតផលគឺស្មុគស្មាញជាង) ហើយដេរីវេនៃកូតាគឺមិនស្មើនឹងកូតានៃនិស្សន្ទវត្ថុនោះទេ។ ដូច្នេះមិនមានច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរក antiderivative នៃផលិតផល ឬ antiderivative នៃ quotient នៃអនុគមន៍ពីរនោះទេ។ ត្រូវ​ប្រុងប្រយ័ត្ន!
យើងទទួលបានច្បាប់មួយបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ។ យើងដឹងថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (kx + m) ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ច្បាប់នេះបង្កើតច្បាប់ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេ។
ក្បួនទី 3ប្រសិនបើ y \u003d F (x) គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d f (x) នោះអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d f (kx + m) គឺជាអនុគមន៍

ជា​ការ​ពិត,

នេះ​មាន​ន័យ​ថា​វា​ជា​អង់ទីករ​សម្រាប់​អនុគមន៍ y \u003d f (kx + m) ។
អត្ថន័យនៃច្បាប់ទីបីមានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើអ្នកដឹងថា antiderivative សម្រាប់មុខងារ y \u003d f (x) គឺជាមុខងារ y \u003d F (x) ហើយអ្នកត្រូវស្វែងរក antiderivative នៃអនុគមន៍ y \u003d f (kx + m) បន្ទាប់មកបន្តជា ខាងក្រោម៖ យកអនុគមន៍ F ដូចគ្នា ប៉ុន្តែជំនួសឱ្យអាគុយម៉ង់ x ជំនួសកន្សោម xx+m; លើសពីនេះទៀតកុំភ្លេចសរសេរ "កត្តាកែតម្រូវ" មុនពេលសញ្ញានៃមុខងារ
ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរក antiderivatives សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ដំណោះស្រាយ, ក) អង្គបដិប្រាណសម្រាប់ sin x គឺ -cos x; នេះមានន័យថាសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d sin2x អង្គបដិប្រាណនឹងជាមុខងារ
ខ) អង្គបដិប្រាណសម្រាប់ cos x គឺ sin x; ដូចនេះ សម្រាប់មុខងារប្រឆាំងដេរីវេទីវ នឹងមានមុខងារមួយ។

គ) អង្គបដិប្រាណសម្រាប់ x 7 ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារ y \u003d (4-5x) 7 អង្គបដិប្រាណនឹងជាមុខងារ

3. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់

យើងបានកត់សម្គាល់ខាងលើរួចហើយថាបញ្ហានៃការស្វែងរក antiderivative សម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ y = f(x) មានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ។ ចូរពិភាក្សាអំពីបញ្ហានេះឱ្យបានលំអិត។

ភស្តុតាង។ 1. អនុញ្ញាតឱ្យ y \u003d F (x) ជាអ្នកប្រឆាំងសម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅលើចន្លោះពេល X ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ x ទាំងអស់ពី X ភាពស្មើគ្នា x "(x) \u003d f (x) គឺ ពិត។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារណាមួយនៃទម្រង់ y \u003d F (x) + C៖
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x) ។

ដូច្នេះ (F(x)+C) = f(x)។ នេះមានន័យថា y \u003d F (x) + C គឺជាអង់ទីករសម្រាប់មុខងារ y \u003d f (x) ។
ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញថា ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) មានអង់ទីករ y \u003d F (x) នោះមុខងារ (f \u003d f (x) មានអង់ទីករជាច្រើនគ្មានកំណត់ ឧទាហរណ៍ មុខងារណាមួយនៃ ទម្រង់ y \u003d F (x) + C គឺជាសារធាតុប្រឆាំង។
2. ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសំណុំទាំងមូលនៃ antiderivatives ត្រូវបានអស់ដោយប្រភេទនៃមុខងារដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

អនុញ្ញាតឱ្យ y=F 1 (x) និង y=F(x) ជាសារធាតុប្រឆាំងពីរសម្រាប់អនុគមន៍ Y = f(x) នៅលើចន្លោះ X។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីចន្លោះពេល X ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖ F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x) ។

ពិចារណាមុខងារ y \u003d F 1 (x) -.F (x) ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វា៖ (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0 ។
វាត្រូវបានគេដឹងថាប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល X គឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ នោះមុខងារគឺថេរនៅលើចន្លោះពេល X (សូមមើលទ្រឹស្តីបទ 3 ក្នុង§ 35) ។ ដូច្នេះ F 1 (x) -F (x) \u003d C, i.e. Fx) \u003d F (x) + C ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ៥ច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរល្បឿនពីពេលវេលា v = -5sin2t ត្រូវបានកំណត់។ ស្វែងរកច្បាប់នៃចលនា s = s(t) ប្រសិនបើគេដឹងថានៅពេលនោះ t=0 កូអរដោនេនៃចំនុចគឺស្មើនឹងលេខ 1.5 (i.e. s(t) = 1.5)។

ដំណោះស្រាយ។ដោយសារល្បឿនគឺជាដេរីវេនៃកូអរដោណេជាមុខងារនៃពេលវេលា ជាដំបូងយើងត្រូវស្វែងរក antiderivative នៃល្បឿន i.e. antiderivative សម្រាប់អនុគមន៍ v = -5sin2t ។ មួយនៃ antiderivatives បែបនេះគឺជាមុខងារ ហើយសំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់មានទម្រង់:

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃជាក់លាក់នៃ C ថេរ យើងប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង ដោយយោងទៅតាមនោះ s(0) = 1.5 ។ ការជំនួសក្នុងរូបមន្ត (1) តម្លៃ t = 0, S = 1.5 យើងទទួលបាន៖

ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ C ទៅជារូបមន្ត (1) យើងទទួលបានច្បាប់នៃចលនាចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង៖

និយមន័យ ២.ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មាន antiderivative y = F(x) នៅចន្លោះ X នោះសំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់ i.e. សំណុំនៃមុខងារនៃទម្រង់ y \u003d F (x) + C ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ហើយត្រូវបានតំណាងថាៈ

(ពួកគេអាន៖ “អេហ្វ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃ x de x”)។
នៅ​ផ្នែក​បន្ទាប់ យើង​នឹង​ដឹង​ថា​អត្ថន័យ​លាក់​កំបាំង​នៃ​ការ​កត់​សម្គាល់​នេះ​គឺ​ជា​អ្វី។
ដោយផ្អែកលើតារាងនៃអង្គបដិប្រាណដែលមាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ យើងនឹងចងក្រងតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ជាមូលដ្ឋាន៖

ដោយផ្អែកលើច្បាប់ទាំងបីខាងលើសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចបង្កើតច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលដែលត្រូវគ្នា។

វិធាន 1អាំងតេក្រាលនៃផលបូកនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖

ក្បួនទី 2កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

ក្បួនទី 3ប្រសិនបើ ក

ឧទាហរណ៍ ៦ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

ដំណោះស្រាយក) ដោយប្រើច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលទីមួយ និងទីពីរ យើងទទួលបាន៖

ឥឡូវនេះយើងប្រើរូបមន្តធ្វើសមាហរណកម្មទី 3 និងទី 4៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

ខ) ដោយប្រើច្បាប់សមាហរណកម្មទីបី និងរូបមន្តទី 8 យើងទទួលបាន៖

គ) សម្រាប់ការកំណត់ដោយផ្ទាល់នៃអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងមិនមានរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា ឬក្បួនដែលត្រូវគ្នានោះទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ ការបំប្លែងដូចគ្នាបឋមនៃកន្សោមដែលមាននៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលជួនកាលអាចជួយបាន។

ចូរប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រសម្រាប់បន្ថយកម្រិត៖

បន្ទាប់មកយើងរកឃើញជាបន្តបន្ទាប់៖

A.G. Mordkovich Algebra ថ្នាក់ទី 10

ប្រតិទិន - ការធ្វើផែនការតាមប្រធានបទក្នុងគណិតវិទ្យា, វីដេអូ in mathematics online , គណិតវិទ្យានៅសាលា

និយមន័យនៃ antiderivative ។

អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ f(x) នៅលើចន្លោះពេល (a; b) គឺជាអនុគមន៍ F(x) ដែលសមភាពមានសម្រាប់ x ណាមួយពីចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើយើងពិចារណាលើការពិតដែលថាដេរីវេនៃថេរ C គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមភាព . ដូច្នេះ អនុគមន៍ f(x) មានសំណុំនៃ antiderivatives F(x)+C សម្រាប់ arbitrary constant C ហើយ antiderivatives ទាំងនេះខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយតម្លៃថេរតាមអំពើចិត្ត។

និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

សំណុំទាំងមូលនៃ antiderivatives នៃអនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍នេះ ហើយត្រូវបានតាង .

កន្សោមត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាល។និង f(x) អាំងតេក្រាល។. អាំងតេក្រាលគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ f(x) ។

សកម្មភាពនៃការស្វែងរកមុខងារមិនស្គាល់ដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា មិនប្រាកដប្រជាការធ្វើសមាហរណកម្ម ពីព្រោះលទ្ធផលនៃការធ្វើសមាហរណកម្មមិនមែនជាមុខងារមួយ F(x) ទេ ប៉ុន្តែជាសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណរបស់វា F(x)+C ។

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដេរីវេ មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើត និងបញ្ជាក់បាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់(លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម) ។

សមភាពកម្រិតមធ្យមនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទីមួយ និងទីពីរនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការបំភ្លឺ។

ដើម្បីបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិទីបី និងទីបួន វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព៖

និស្សន្ទវត្ថុ​ទាំង​នេះ​ស្មើ​នឹង​អង្គធាតុ​ដែល​ជា​ភស្ដុតាង​ដោយ​គុណធម៌​នៃ​ទ្រព្យ​ទី១។ វាត្រូវបានគេប្រើផងដែរនៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយ។

ដូច្នេះបញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលគឺជាបញ្ហាបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នា ហើយមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធរវាងបញ្ហាទាំងនេះ៖

• ទ្រព្យសម្បត្តិដំបូងអនុញ្ញាតឱ្យពិនិត្យមើលការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃការរួមបញ្ចូលដែលបានអនុវត្តវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ ប្រសិនបើមុខងារដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃភាពខុសគ្នាប្រែទៅជាស្មើនឹងអាំងតេក្រាល នោះវានឹងមានន័យថាការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។
• ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញ antiderivative របស់វាពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលគេស្គាល់នៃអនុគមន៍មួយ។ ការគណនាដោយផ្ទាល់នៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរក antiderivative នៃអនុគមន៍ដែលតម្លៃរបស់វាស្មើនឹងមួយនៅ x = 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងដឹងពីការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនោះ។ (គ្រាន់តែមើលតារាងដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម)។ ដោយវិធីនេះ . ដោយទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ . នោះគឺយើងមានសំណុំនៃ antiderivatives ។ សម្រាប់ x = 1 យើងទទួលបានតម្លៃ។ តាមលក្ខខណ្ឌ តម្លៃនេះត្រូវតែស្មើនឹងមួយ ដូច្នេះ С = 1 ។ ថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេដែលចង់បាននឹងយកទម្រង់។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ហើយពិនិត្យមើលលទ្ធផលដោយភាពខុសគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

យោងតាមរូបមន្តនៃស៊ីនុសនៃមុំទ្វេពីត្រីកោណមាត្រ , នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល