នៅក្នុងអត្ថបទនេះ វិធីសាស្រ្តត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមធ្យោបាយដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ (SLAE)។ វិធីសាស្រ្តគឺវិភាគ ពោលគឺវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសរសេរក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសតម្លៃពីឧទាហរណ៍ជាក់លាក់នៅទីនោះ។ មិនដូចវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬរូបមន្តរបស់ Cramer នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកក៏អាចធ្វើការជាមួយដំណោះស្រាយជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់។ ឬពួកគេមិនមានវាទាល់តែសោះ។
តើ Gauss មានន័យដូចម្តេច?
ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរប្រព័ន្ធសមីការរបស់យើងនៅក្នុង វាមើលទៅដូចនេះ។ ប្រព័ន្ធត្រូវបានយក៖
មេគុណត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់តារាង ហើយនៅខាងស្តាំក្នុងជួរឈរដាច់ដោយឡែកមួយ - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ជួរឈរដែលមានសមាជិកដោយឥតគិតថ្លៃត្រូវបានបំបែកចេញដើម្បីភាពងាយស្រួល។ ម៉ាទ្រីសដែលរួមបញ្ចូលទាំងជួរឈរនេះត្រូវបានហៅថាពង្រីក។
លើសពីនេះ ម៉ាទ្រីសចម្បងដែលមានមេគុណត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជារាងត្រីកោណខាងលើ។ នេះគឺជាចំណុចសំខាន់នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ បន្ទាប់ពីឧបាយកលមួយចំនួន ម៉ាទ្រីសគួរតែមើលទៅដូចនេះ ដូច្នេះមានតែសូន្យនៅផ្នែកខាងក្រោមខាងឆ្វេងរបស់វា៖
បន្ទាប់មក ប្រសិនបើអ្នកសរសេរម៉ាទ្រីសថ្មីម្តងទៀតជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថា ជួរចុងក្រោយមានតម្លៃនៃឫសមួយរួចហើយ ដែលបន្ទាប់មកត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការខាងលើ ឫសមួយទៀតត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។
នេះគឺជាការពិពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងន័យទូទៅបំផុត។ ហើយតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើភ្លាមៗប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ? ឬមានចំនួនមិនកំណត់នៃពួកគេ? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរទាំងនេះ និងសំណួរជាច្រើនទៀត ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាដាច់ដោយឡែកពីគ្នានូវធាតុទាំងអស់ដែលប្រើក្នុងដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
ម៉ាទ្រីស, លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។
មិនមានអត្ថន័យលាក់កំបាំងនៅក្នុងម៉ាទ្រីសទេ។ វាគ្រាន់តែជាវិធីងាយស្រួលក្នុងការកត់ត្រាទិន្នន័យសម្រាប់ប្រតិបត្តិការនៅពេលក្រោយ។ សូម្បីតែសិស្សសាលាក៏មិនគួរខ្លាចពួកគេដែរ។
ម៉ាទ្រីសតែងតែមានរាងចតុកោណកែងព្រោះវាងាយស្រួលជាង។ សូម្បីតែនៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងពុះកញ្ជ្រោលដល់ការកសាងម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ ចតុកោណកែងមួយលេចឡើងក្នុងធាតុ ដោយមានតែលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះនៅកន្លែងដែលគ្មានលេខ។ សូន្យអាចត្រូវបានលុបចោល ប៉ុន្តែវាត្រូវបានបង្កប់ន័យ។
ម៉ាទ្រីសមានទំហំ។ "ទទឹង" របស់វាគឺជាចំនួនជួរដេក (m) "ប្រវែង" របស់វាគឺជាចំនួនជួរឈរ (n) ។ បន្ទាប់មកទំហំនៃម៉ាទ្រីស A (អក្សរធំឡាតាំងជាធម្មតាត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការកំណត់របស់វា) នឹងត្រូវបានតំណាងថាជា A m×n ។ ប្រសិនបើ m=n នោះម៉ាទ្រីសនេះគឺការ៉េ ហើយ m=n គឺជាលំដាប់របស់វា។ ដូច្នោះហើយ ធាតុណាមួយនៃម៉ាទ្រីស A អាចត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួនជួរដេក និងជួរឈររបស់វា៖ a xy ; x - លេខជួរ, ការផ្លាស់ប្តូរ, y - ចំនួនជួរឈរ, ការផ្លាស់ប្តូរ។
ខមិនមែនជាចំណុចសំខាន់នៃដំណោះស្រាយទេ។ ជាគោលការណ៍ ប្រតិបត្តិការទាំងអស់អាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់ជាមួយសមីការខ្លួនឯង ប៉ុន្តែការកត់សម្គាល់នឹងប្រែទៅជាស្មុគស្មាញជាង ហើយវានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយល់ច្រឡំនៅក្នុងវា។
កំណត់
ម៉ាទ្រីសក៏មានកត្តាកំណត់ផងដែរ។ នេះគឺជាមុខងារសំខាន់ណាស់។ ការស្វែងរកអត្ថន័យរបស់វាឥឡូវនេះគឺមិនមានតម្លៃទេ អ្នកអាចបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានគណនា ហើយបន្ទាប់មកប្រាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសដែលវាកំណត់។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់គឺតាមរយៈអង្កត់ទ្រូង។ អង្កត់ទ្រូងស្រមើលស្រមៃត្រូវបានគូរក្នុងម៉ាទ្រីស; ធាតុដែលមាននៅលើពួកវានីមួយៗត្រូវបានគុណហើយបន្ទាប់មកផលិតផលលទ្ធផលត្រូវបានបន្ថែម: អង្កត់ទ្រូងដែលមានជម្រាលទៅខាងស្តាំ - មានសញ្ញា "បូក" ជាមួយនឹងជម្រាលទៅខាងឆ្វេង - មានសញ្ញា "ដក" ។
វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាកត្តាកំណត់អាចត្រូវបានគណនាសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសចតុកោណ អ្នកអាចធ្វើដូចខាងក្រោម៖ ជ្រើសរើសចំនួនជួរដេកតូចបំផុត និងចំនួនជួរឈរ (សូមឱ្យវាជា k) ហើយបន្ទាប់មកសម្គាល់ជួរឈរ k និង k ដោយចៃដន្យក្នុងម៉ាទ្រីស។ ធាតុដែលមានទីតាំងនៅប្រសព្វនៃជួរឈរ និងជួរដេកដែលបានជ្រើសនឹងបង្កើតជាម៉ាទ្រីសការ៉េថ្មី។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺជាលេខក្រៅពីសូន្យ នោះគេហៅថាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសចតុកោណដើម។
មុនពេលបន្តដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss វាមិនឈឺចាប់ក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់ទេ។ ប្រសិនបើវាប្រែជាសូន្យ នោះយើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាម៉ាទ្រីសមានទាំងចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬមិនមានអ្វីទាំងអស់។ ក្នុងករណីដ៏ក្រៀមក្រំបែបនេះ អ្នកត្រូវទៅបន្ថែមទៀត ហើយស្វែងយល់អំពីចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។
ចំណាត់ថ្នាក់ប្រព័ន្ធ
មានរឿងដូចជាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ។ នេះគឺជាលំដាប់អតិបរិមានៃកត្តាកំណត់មិនសូន្យរបស់វា (ចងចាំអនីតិជនមូលដ្ឋាន យើងអាចនិយាយបានថា ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស គឺជាលំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋាន)។
យោងទៅតាមចំណាត់ថ្នាក់ SLAE អាចត្រូវបានបែងចែកជាៈ
- រួម។ នៅនៃប្រព័ន្ធរួមគ្នា, ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បង (មានមេគុណតែប៉ុណ្ណោះ) ស្របគ្នាជាមួយនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃការពង្រីកមួយ (ជាមួយនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ) ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះមានដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់តែមួយទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធរួមគ្នាត្រូវបានបែងចែកបន្ថែមជា៖
- - ជាក់លាក់- មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធមួយចំនួន ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស និងចំនួនមិនស្គាល់ (ឬចំនួនជួរឈរដែលជារឿងដូចគ្នា) គឺស្មើគ្នា។
- - មិនកំណត់ -ជាមួយនឹងចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសម្រាប់ប្រព័ន្ធបែបនេះគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់។
- មិនឆបគ្នា។ នៅប្រព័ន្ធបែបនេះ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗ និងពង្រីកមិនស្របគ្នាទេ។ ប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
វិធីសាស្រ្ត Gauss គឺល្អដែលវាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានទាំងភស្តុតាងដែលមិនច្បាស់លាស់នៃភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធ (ដោយមិនគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសធំ) ឬដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
ការផ្លាស់ប្តូរបឋម
មុនពេលបន្តដោយផ្ទាល់ទៅដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែស្មុគស្មាញនិងងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនា។ នេះត្រូវបានសម្រេចតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរបឋម - ដូចជាការអនុវត្តរបស់ពួកគេមិនផ្លាស់ប្តូរចម្លើយចុងក្រោយតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការបំប្លែងបឋមមួយចំនួនខាងលើមានសុពលភាពសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសដែលជាប្រភពនៃ SLAE យ៉ាងជាក់លាក់។ នេះគឺជាបញ្ជីនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ៖
- ការផ្លាស់ប្តូរខ្សែអក្សរ។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃសមីការនៅក្នុងកំណត់ត្រាប្រព័ន្ធនោះវានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ វាក៏អាចផ្លាស់ប្តូរជួរដេកក្នុងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះ ដោយមិនភ្លេចអំពីជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
- ការគុណធាតុទាំងអស់នៃខ្សែអក្សរដោយកត្តាមួយចំនួន។ មានប្រយោជន៍ណាស់! ជាមួយវា អ្នកអាចកាត់បន្ថយលេខធំនៅក្នុងម៉ាទ្រីស ឬដកលេខសូន្យចេញ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយដូចធម្មតានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ហើយវានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការបន្ថែមទៀត។ រឿងចំបងគឺថាមេគុណមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។
- លុបជួរដោយមេគុណសមាមាត្រ។ មួយផ្នែកនេះធ្វើតាមពីកថាខណ្ឌមុន។ ប្រសិនបើជួរពីរឬច្រើនក្នុងម៉ាទ្រីសមានមេគុណសមាមាត្រ នោះនៅពេលគុណ/បែងចែកជួរដេកមួយដោយមេគុណសមាមាត្រនោះ ជួរដេកដូចគ្នាបេះបិទពីរ (ឬច្រើនជាងនេះ) ហើយអ្នកអាចដកលេខបន្ថែមចេញ ដោយទុកតែ មួយ។
- ការដកបន្ទាត់ទទេ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការបំលែង ខ្សែអក្សរមួយត្រូវបានទទួលនៅកន្លែងណាមួយដែលធាតុទាំងអស់ រួមទាំងសមាជិកទំនេរគឺសូន្យ នោះខ្សែបែបនេះអាចត្រូវបានគេហៅថាសូន្យ ហើយបោះចេញពីម៉ាទ្រីស។
- ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរមួយ ធាតុនៃជួរមួយទៀត (នៅក្នុងជួរឈរដែលត្រូវគ្នា) គុណនឹងមេគុណជាក់លាក់មួយ។ ការផ្លាស់ប្តូរដែលមិនច្បាស់លាស់ និងសំខាន់បំផុតនៃទាំងអស់។ វាគឺមានតម្លៃនៅលើវានៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀត។
ការបន្ថែមខ្សែអក្សរគុណនឹងកត្តាមួយ។
ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការយល់ដឹង វាគឺមានតម្លៃក្នុងការរុះរើដំណើរការនេះមួយជំហានម្តងៗ។ ជួរពីរត្រូវបានយកចេញពីម៉ាទ្រីស៖
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b ២
ឧបមាថាអ្នកត្រូវបន្ថែមទីមួយទៅទីពីរគុណនឹងមេគុណ "-2" ។
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
បន្ទាប់មកនៅក្នុងម៉ាទ្រីសជួរទីពីរត្រូវបានជំនួសដោយថ្មីមួយហើយជួរទីមួយនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n|b ២
គួរកត់សម្គាល់ថាកត្តាគុណអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបដែលលទ្ធផលនៃការបន្ថែមខ្សែពីរ ធាតុមួយនៃខ្សែថ្មីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្ន្រះ វាអាចទទួលបានសមីការក្នុងប្រព័ន្ធ ដ្រលនឹងមានមួយមិនសូវស្គាល់។ ហើយប្រសិនបើអ្នកទទួលបានសមីការបែបនេះចំនួនពីរ នោះប្រតិបត្តិការអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត ហើយទទួលបានសមីការដែលនឹងមានពីរដែលមិនស្គាល់រួចហើយ។ ហើយប្រសិនបើរាល់ពេលដែលយើងបង្វែរទៅសូន្យមួយមេគុណសម្រាប់ជួរទាំងអស់ដែលទាបជាងជួរដើម នោះយើងអាចដូចជាជំហានចុះទៅបាតនៃម៉ាទ្រីស ហើយទទួលបានសមីការជាមួយនឹងមិនស្គាល់មួយ។ នេះត្រូវបានគេហៅថាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។
ជាទូទៅ
សូមឱ្យមានប្រព័ន្ធមួយ។ វាមានសមីការ m និង n ឫសមិនស្គាល់។ អ្នកអាចសរសេរវាដូចនេះ៖
ម៉ាទ្រីសចម្បងត្រូវបានចងក្រងពីមេគុណនៃប្រព័ន្ធ។ ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃត្រូវបានបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក និងបំបែកដោយរបារមួយដើម្បីភាពងាយស្រួល។
- ជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានគុណដោយមេគុណ k = (-a 21 / a 11);
- ជួរទីមួយដែលបានកែប្រែ និងជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានបន្ថែម។
- ជំនួសឱ្យជួរទីពីរ លទ្ធផលនៃការបន្ថែមពីកថាខណ្ឌមុនត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងម៉ាទ្រីស។
- ឥឡូវនេះមេគុណទីមួយនៅក្នុងជួរទីពីរថ្មីគឺ 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 ។
ឥឡូវនេះការផ្លាស់ប្តូរស៊េរីដូចគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត មានតែជួរទីមួយ និងទីបីប៉ុណ្ណោះដែលពាក់ព័ន្ធ។ ដូច្នោះហើយ ក្នុងជំហាននីមួយៗនៃក្បួនដោះស្រាយ ធាតុ 21 ត្រូវបានជំនួសដោយ 31 ។ បន្ទាប់មកអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់ 41 , ... a m1 . លទ្ធផលគឺជាម៉ាទ្រីសដែលធាតុទីមួយក្នុងជួរគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវភ្លេចអំពីបន្ទាត់ទី 1 ហើយប្រតិបត្តិក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នាដោយចាប់ផ្តើមពីបន្ទាត់ទីពីរ:
- មេគុណ k \u003d (-a 32 / a 22);
- បន្ទាត់ដែលបានកែប្រែទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ "បច្ចុប្បន្ន";
- លទ្ធផលនៃការបន្ថែមត្រូវបានជំនួសនៅក្នុងជួរទីបី, ទីបួននិងដូច្នេះនៅលើបន្ទាត់, ខណៈពេលដែលទីមួយនិងទីពីរនៅតែមិនមានការផ្លាស់ប្តូរ;
- នៅក្នុងជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ធាតុពីរដំបូងគឺស្មើនឹងសូន្យរួចហើយ។
ក្បួនដោះស្រាយត្រូវតែធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់មេគុណ k = (-a m,m-1 /a mm) លេចឡើង។ នេះមានន័យថា algorithm ត្រូវបានដំណើរការចុងក្រោយសម្រាប់តែសមីការទាបប៉ុណ្ណោះ។ ឥឡូវនេះម៉ាទ្រីសមើលទៅដូចជាត្រីកោណ ឬមានរាងជាជំហាន។ បន្ទាត់ខាងក្រោមមានសមភាព a mn × x n = b m ។ មេគុណនិងពាក្យសេរីត្រូវបានគេដឹងហើយឫសត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវា៖ x n = b m / a mn ។ ឫសលទ្ធផលត្រូវបានជំនួសទៅជួរខាងលើដើម្បីស្វែងរក x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 ។ ហើយបន្តដោយភាពស្រដៀងគ្នា៖ នៅក្នុងជួរបន្ទាប់នីមួយៗមានឫសថ្មី ហើយដោយបានឈានដល់ "កំពូល" នៃប្រព័ន្ធ អ្នកអាចរកឃើញដំណោះស្រាយជាច្រើន។ វានឹងមានតែមួយ។
នៅពេលដែលគ្មានដំណោះស្រាយ
ប្រសិនបើនៅក្នុងជួរម៉ាទ្រីសមួយ ធាតុទាំងអស់ លើកលែងតែពាក្យទំនេរ គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងជួរនេះមើលទៅដូចជា 0 = b ។ វាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ ហើយចាប់តាំងពីសមីការបែបនេះត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធ នោះសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺទទេ ពោលគឺវាខូច។
នៅពេលដែលមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់
វាអាចប្រែថានៅក្នុងម៉ាទ្រីសត្រីកោណដែលកាត់បន្ថយមិនមានជួរដេកដែលមានធាតុមួយ - មេគុណនៃសមីការហើយមួយទៀត - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ មានតែខ្សែអក្សរដែលនៅពេលសរសេរឡើងវិញនឹងមើលទៅដូចជាសមីការដែលមានអថេរពីរ ឬច្រើន។ នេះមានន័យថាប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ ក្នុងករណីនេះ ចម្លើយអាចត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់នៃដំណោះស្រាយទូទៅ។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច?
អថេរទាំងអស់នៅក្នុងម៉ាទ្រីសត្រូវបានបែងចែកទៅជាមូលដ្ឋាន និងឥតគិតថ្លៃ។ មូលដ្ឋាន - ទាំងនេះគឺជាអ្នកដែលឈរ "នៅលើគែម" នៃជួរដេកនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានបោះជំហាន។ នៅសល់គឺឥតគិតថ្លៃ។ នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ អថេរមូលដ្ឋានត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃឥតគិតថ្លៃ។
ដើម្បីភាពងាយស្រួល ម៉ាទ្រីសត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាដំបូងចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចុងក្រោយនៃពួកវា ដែលពិតប្រាកដមានតែអថេរមូលដ្ឋានមួយប៉ុណ្ណោះ វានៅតែនៅម្ខាង ហើយអ្វីៗផ្សេងទៀតត្រូវបានផ្ទេរទៅម្ខាងទៀត។ នេះត្រូវបានធ្វើសម្រាប់សមីការនីមួយៗដែលមានអថេរមូលដ្ឋានមួយ។ បន្ទាប់មក នៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ ដែលអាចធ្វើទៅបាន ជំនួសឱ្យអថេរមូលដ្ឋាន កន្សោមដែលទទួលបានសម្រាប់វាត្រូវបានជំនួស។ ប្រសិនបើលទ្ធផលគឺម្តងទៀត កន្សោមដែលមានអថេរមូលដ្ឋានតែមួយគត់ វាត្រូវបានបង្ហាញពីទីនោះម្តងទៀត ហើយបន្តរហូតដល់អថេរមូលដ្ឋាននីមួយៗត្រូវបានសរសេរជាកន្សោមជាមួយអថេរឥតគិតថ្លៃ។ នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅរបស់ SLAE ។
អ្នកក៏អាចស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធផងដែរ - ផ្តល់ឱ្យអថេរឥតគិតថ្លៃតម្លៃណាមួយហើយបន្ទាប់មកសម្រាប់ករណីពិសេសនេះគណនាតម្លៃនៃអថេរមូលដ្ឋាន។ មានដំណោះស្រាយពិសេសៗជាច្រើនគ្មានកំណត់។
ដំណោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់
នេះគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ។
ដើម្បីភាពងាយស្រួលវាជាការប្រសើរក្នុងការបង្កើតម៉ាទ្រីសរបស់វាភ្លាមៗ
វាត្រូវបានគេដឹងថានៅពេលដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss សមីការដែលត្រូវគ្នានឹងជួរទីមួយនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរនៅចុងបញ្ចប់នៃការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះវានឹងមានផលចំណេញច្រើនជាងប្រសិនបើធាតុខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសគឺតូចបំផុត - បន្ទាប់មកធាតុដំបូងនៃជួរដេកដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការនឹងប្រែទៅជាសូន្យ។ នេះមានន័យថានៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានចងក្រងវានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការដាក់ទីពីរជំនួសជួរទីមួយ។
ជួរទីពីរ៖ k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k ×a 13 = 1 + (-3) × 4 = −11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
ជួរទីបី៖ k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k ×a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k ×a 12 = 1 + (-5) × 2 = −9
a" 3 3 = a 33 + k ×a 13 = 2 + (-5) × 4 = −18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
ឥឡូវនេះ ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរម៉ាទ្រីសជាមួយនឹងលទ្ធផលកម្រិតមធ្យមនៃការផ្លាស់ប្តូរ។
វាច្បាស់ណាស់ថាម៉ាទ្រីសបែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ការយល់ឃើញដោយមានជំនួយពីប្រតិបត្តិការមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចដក "ដក" ទាំងអស់ចេញពីជួរទីពីរ ដោយគុណធាតុនីមួយៗដោយ "-1" ។
វាក៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ផងដែរថានៅក្នុងជួរទីបីធាតុទាំងអស់គឺគុណនៃបី។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចកាត់បន្ថយខ្សែអក្សរដោយលេខនេះ ដោយគុណធាតុនីមួយៗដោយ "-1/3" (ដក - ក្នុងពេលតែមួយដើម្បីដកតម្លៃអវិជ្ជមានចេញ)។
មើលទៅស្អាតជាង។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវទុកខ្សែទីមួយតែម្នាក់ឯង ហើយធ្វើការជាមួយទីពីរ និងទីបី។ ភារកិច្ចគឺត្រូវបន្ថែមជួរទីពីរទៅជួរទីបី គុណនឹងមេគុណដែលធាតុ 32 ក្លាយជាស្មើសូន្យ។
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 ប្រភាគ ហើយមានតែពេលនោះប៉ុណ្ណោះ នៅពេលដែលចម្លើយត្រូវបានទទួល សូមសម្រេចថាតើត្រូវបង្គត់ឡើង ហើយបកប្រែទៅជាទម្រង់នៃសញ្ញាណផ្សេងទៀត)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (−3/7) × 7 = 3 + (−3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
ម៉ាទ្រីសត្រូវបានសរសេរម្តងទៀតជាមួយនឹងតម្លៃថ្មី។
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលមានទម្រង់ជាជំហានរួចហើយ។ ដូច្នេះការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធបន្ថែមទៀតដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss មិនត្រូវបានទាមទារទេ។ អ្វីដែលអាចធ្វើបាននៅទីនេះគឺត្រូវដកមេគុណរួម "-1/7" ចេញពីជួរទីបី។
ឥឡូវនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រស់ស្អាត។ ចំណុចគឺតូច - សរសេរម៉ាទ្រីសម្តងទៀតក្នុងទម្រង់នៃប្រព័ន្ធសមីការនិងគណនាឫស
x + 2y + 4z = 12(1)
7y + 11z = 24 (2)
ក្បួនដោះស្រាយដែលឫសនឹងត្រូវបានរកឃើញឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថា ចលនាបញ្ច្រាសនៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ សមីការ (៣) មានតម្លៃ z៖
y = (24 − 11 × (61/9))/7 = −65/9
ហើយសមីការទីមួយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរក x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
យើងមានសិទ្ធិហៅការរួមប្រព័ន្ធបែបនេះ ហើយថែមទាំងកំណត់ថាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ការឆ្លើយតបត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9 ។
ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធមិនកំណត់
វ៉ារ្យ៉ង់នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាក់លាក់មួយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានវិភាគ ឥឡូវនេះវាចាំបាច់ដើម្បីពិចារណាករណីប្រសិនបើប្រព័ន្ធនេះគឺគ្មានកំណត់ នោះគឺជាដំណោះស្រាយជាច្រើនដែលមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់វា។
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 − 3x 5 = −2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 − x 5 = 12 (4)
ទម្រង់នៃប្រព័ន្ធគឺគួរឱ្យព្រួយបារម្ភរួចទៅហើយព្រោះចំនួននៃមិនស្គាល់គឺ n = 5 ហើយចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធគឺពិតជាតិចជាងចំនួននេះរួចទៅហើយព្រោះចំនួនជួរដេកគឺ m = 4 ពោលគឺ។ លំដាប់ធំបំផុតនៃកត្តាកំណត់ការ៉េគឺ 4. នេះមានន័យថាមានដំណោះស្រាយរាប់មិនអស់ ហើយចាំបាច់ត្រូវរកមើលទម្រង់ទូទៅរបស់វា។ វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់សមីការលីនេអ៊ែរធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបាន។
ទីមួយ ដូចធម្មតា ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមត្រូវបានចងក្រង។
ជួរទីពីរ៖ មេគុណ k = (-a 21 / a 11) = -3 ។ នៅក្នុងជួរទី 3 ធាតុទីមួយគឺមុនពេលការបំលែងដូច្នេះអ្នកមិនចាំបាច់ប៉ះអ្វីទេអ្នកត្រូវទុកវាចោល។ ជួរទីបួន៖ k = (-a 4 1 /a 11) = −5
ការគុណធាតុនៃជួរទីមួយដោយមេគុណនីមួយៗនៅក្នុងវេន ហើយបន្ថែមពួកវាទៅជួរដែលចង់បាន យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញជួរទីពីរទីបីនិងទីបួនមានធាតុដែលសមាមាត្រគ្នាទៅវិញទៅមក។ ទីពីរ និងទីបួន ជាទូទៅដូចគ្នា ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានយកចេញភ្លាមៗ ហើយនៅសល់គុណនឹងមេគុណ "-1" និងទទួលបានបន្ទាត់លេខ 3។ ហើយម្តងទៀត ទុកមួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ដូចគ្នាទាំងពីរ។
វាបានប្រែក្លាយដូចជាម៉ាទ្រីស។ ប្រព័ន្ធនេះមិនទាន់ត្រូវបានសរសេរនៅឡើយទេ វាចាំបាច់នៅទីនេះដើម្បីកំណត់អថេរមូលដ្ឋាន - ឈរនៅមេគុណ 11 \u003d 1 និង 22 \u003d 1 ហើយឥតគិតថ្លៃ - នៅសល់ទាំងអស់។
សមីការទីពីរមានអថេរមូលដ្ឋានតែមួយគត់ - x 2 ។ ដូច្នេះ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញពីទីនោះ ដោយសរសេរតាមរយៈអថេរ x 3 , x 4 , x 5 ដែលមិនគិតថ្លៃ។
យើងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការទីមួយ។
វាប្រែចេញសមីការដែលអថេរមូលដ្ឋានតែមួយគត់គឺ x 1 ។ ចូរធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹង x 2 ។
អថេរមូលដ្ឋានទាំងអស់ដែលមានពីរត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចំនួនឥតគិតថ្លៃចំនួនបី ឥឡូវនេះអ្នកអាចសរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ។
អ្នកក៏អាចបញ្ជាក់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃប្រព័ន្ធផងដែរ។ សម្រាប់ករណីបែបនេះ ជាក្បួនសូន្យត្រូវបានជ្រើសរើសជាតម្លៃសម្រាប់អថេរឥតគិតថ្លៃ។ បន្ទាប់មកចម្លើយនឹងមានៈ
16, 23, 0, 0, 0.
ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នា។
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺលឿនបំផុត។ វាបញ្ចប់ភ្លាមៗនៅដំណាក់កាលមួយ សមីការមួយត្រូវបានទទួល ដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។ នោះគឺដំណាក់កាលដែលមានការគណនាឫសដែលវែងឆ្ងាយហើយគួរឱ្យខ្លាចបាត់។ ប្រព័ន្ធខាងក្រោមត្រូវបានពិចារណា៖
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = −2 (2)
4x + y − 3z = 5 (3)
ជាធម្មតាម៉ាទ្រីសត្រូវបានចងក្រង៖
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
ហើយវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទីមួយ បន្ទាត់ទីបីមានសមីការនៃទម្រង់
គ្មានដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ហើយចម្លើយគឺសំណុំទទេ។
គុណសម្បត្តិនិងគុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ
ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រណាមួយដើម្បីដោះស្រាយ SLAE នៅលើក្រដាសដោយប្រើប៊ិច នោះវិធីសាស្ត្រដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងអត្ថបទនេះមើលទៅទាក់ទាញបំផុត។ នៅក្នុងការបំប្លែងបឋម វាពិបាកជាងក្នុងការយល់ច្រលំជាងវាកើតឡើង ប្រសិនបើអ្នកត្រូវរកមើលដោយខ្លួនឯងនូវកត្តាកំណត់ ឬម៉ាទ្រីសច្រាសល្បិចមួយចំនួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកប្រើកម្មវិធីសម្រាប់ធ្វើការជាមួយទិន្នន័យនៃប្រភេទនេះ ឧទាហរណ៍ សៀវភៅបញ្ជី នោះវាបង្ហាញថាកម្មវិធីបែបនេះមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រចម្បងនៃម៉ាទ្រីសរួចហើយ - កត្តាកំណត់ អនីតិជន ច្រាស ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកប្រាកដថាម៉ាស៊ីននឹងគណនាតម្លៃទាំងនេះដោយខ្លួនឯង ហើយនឹងមិនបង្កើតកំហុសទេ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬរូបមន្តរបស់ Cramer ពីព្រោះកម្មវិធីរបស់ពួកគេចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់ដោយការគណនាកត្តាកំណត់ និងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
ការដាក់ពាក្យ
ដោយសារដំណោះស្រាយ Gaussian គឺជាក្បួនដោះស្រាយមួយ ហើយតាមពិតម៉ាទ្រីសគឺជាអារេពីរវិមាត្រ វាអាចត្រូវបានប្រើក្នុងការសរសេរកម្មវិធី។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពីអត្ថបទដាក់ខ្លួនវាជាមគ្គុទ្ទេសក៍ "សម្រាប់អត់ចេះសោះ" វាគួរតែត្រូវបាននិយាយថាកន្លែងដែលងាយស្រួលបំផុតដើម្បីដាក់វិធីសាស្រ្តគឺសៀវភៅបញ្ជីឧទាហរណ៍ Excel ។ ជាថ្មីម្តងទៀត SLAE ណាមួយដែលបានបញ្ចូលក្នុងតារាងក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសនឹងត្រូវបានចាត់ទុកដោយ Excel ជាអារេពីរវិមាត្រ។ ហើយសម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយពួកវា មានពាក្យបញ្ជាល្អៗជាច្រើន៖ បន្ថែម (អ្នកអាចបន្ថែមតែម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំដូចគ្នា!) គុណនឹងលេខ គុណម៉ាទ្រីស (ក៏មានការរឹតបន្តឹងជាក់លាក់) ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស និងប្តូរ ហើយសំខាន់បំផុត , ការគណនាកត្តាកំណត់។ ប្រសិនបើកិច្ចការដែលប្រើពេលនេះត្រូវបានជំនួសដោយពាក្យបញ្ជាតែមួយ វាលឿនជាងក្នុងការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ហើយដូច្នេះដើម្បីបង្កើតភាពឆបគ្នា ឬភាពមិនស៊ីសង្វាក់របស់វា។
ចាប់តាំងពីដើមសតវត្សទី 16-18 មក គណិតវិទូបានចាប់ផ្ដើមសិក្សាយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់នូវមុខងារ ដោយសារអ្វីដែលបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងច្រើននៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ បច្ចេកវិជ្ជាកុំព្យូទ័រ បើគ្មានចំណេះដឹងនេះ ប្រាកដជាមិនមានទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញ សមីការលីនេអ៊ែរ និងមុខងារ គំនិតផ្សេងៗ ទ្រឹស្តីបទ និងបច្ចេកទេសដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្កើតឡើង។ វិធីសាស្រ្ត និងបច្ចេកទេសជាសកល និងសមហេតុផលសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេគឺវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ម៉ាទ្រីស, ចំណាត់ថ្នាក់របស់ពួកគេ, កត្តាកំណត់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចត្រូវបានគណនាដោយមិនប្រើប្រតិបត្តិការស្មុគស្មាញ។
តើអ្វីទៅជា SLAU
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានគោលគំនិតនៃ SLAE - ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ តើនាងតំណាងឱ្យអ្វី? នេះជាសំណុំសមីការ m ជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ n ដែលត្រូវការ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញជា x, y, z ឬ x 1 , x 2 ... x n ឬនិមិត្តសញ្ញាផ្សេងទៀត។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian មានន័យថាស្វែងរករាល់អ្វីដែលមិនស្គាល់។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមួយមានចំនួនមិនស្គាល់ និងសមីការដូចគ្នា នោះវាត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធលំដាប់លេខ។
វិធីសាស្រ្តពេញនិយមបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយ SLAE
នៅក្នុងស្ថាប័នអប់រំនៃការអប់រំមធ្យមសិក្សាវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗនៃការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធបែបនេះកំពុងត្រូវបានសិក្សា។ ភាគច្រើន ទាំងនេះគឺជាសមីការសាមញ្ញដែលមានពីរមិនស្គាល់ ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រដែលមានស្រាប់សម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយចំពោះពួកវានឹងមិនចំណាយពេលច្រើនទេ។ វាអាចដូចជាវិធីសាស្រ្តជំនួសមួយ នៅពេលដែលសមីការមួយផ្សេងទៀតបានមកពីសមីការមួយ ហើយជំនួសទៅជាសមីការដើម។ ឬពាក្យដោយដក និងបូក។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានចាត់ទុកថាងាយស្រួលបំផុត និងជាសកលបំផុត។ វាធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ណាមួយ។ ហេតុអ្វីបានជាបច្ចេកទេសនេះចាត់ទុកថាសមហេតុផល? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសគឺល្អព្រោះវាមិនត្រូវការច្រើនដងដើម្បីសរសេរតួអក្សរដែលមិនចាំបាច់ឡើងវិញក្នុងទម្រង់មិនស្គាល់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើមេគុណ - ហើយអ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលគួរឱ្យទុកចិត្ត។
តើ SLAEs ប្រើក្នុងការអនុវត្តនៅឯណា?
ដំណោះស្រាយនៃ SLAE គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ។ នៅក្នុងយុគសម័យកុំព្យូទ័របច្ចេកវិទ្យាខ្ពស់របស់យើង មនុស្សដែលចូលរួមយ៉ាងជិតស្និទ្ធក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ហ្គេម និងកម្មវិធីផ្សេងទៀតត្រូវដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធបែបនេះ អ្វីដែលពួកគេតំណាង និងរបៀបពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលលទ្ធផល។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ អ្នកសរសេរកម្មវិធីបង្កើតម៉ាស៊ីនគណនាពិជគណិតលីនេអ៊ែរពិសេស នេះរួមបញ្ចូលទាំងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាដំណោះស្រាយដែលមានស្រាប់ទាំងអស់។ រូបមន្ត និងបច្ចេកទេសសាមញ្ញផ្សេងទៀតក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ។
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពឆបគ្នា SLAE
ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចដោះស្រាយបានលុះត្រាតែវាត្រូវគ្នា។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងបង្ហាញ SLAE ក្នុងទម្រង់ Ax=b ។ វាមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើ rang(A) ស្មើនឹង rang(A,b)។ ក្នុងករណីនេះ (A,b) គឺជាម៉ាទ្រីសទម្រង់បន្ថែមដែលអាចទទួលបានពីម៉ាទ្រីស A ដោយសរសេរវាឡើងវិញជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ វាប្រែថាការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺងាយស្រួលណាស់។
ប្រហែលជាសញ្ញាណខ្លះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងទេ ដូច្នេះហើយ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយប្រើឧទាហរណ៍។ ឧបមាថាមានប្រព័ន្ធ៖ x+y=1; 2x−3y=6។ វាមានសមីការតែពីរដែលមាន 2 មិនស្គាល់។ ប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសរបស់វាស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម។ តើចំណាត់ថ្នាក់ជាអ្វី? នេះគឺជាចំនួនបន្ទាត់ឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ 2. ម៉ាទ្រីស A នឹងមានមេគុណដែលមានទីតាំងនៅជិតមិនស្គាល់ ហើយមេគុណនៅពីក្រោយសញ្ញា "=" ក៏នឹងសមទៅនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកផងដែរ។
ហេតុអ្វីបានជា SLAE អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស
ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពត្រូវគ្នានេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian cascade អ្នកអាចដោះស្រាយម៉ាទ្រីស និងទទួលបានចម្លើយដែលអាចទុកចិត្តបានតែមួយគត់សម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងមូល។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសធម្មតាគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីករបស់វា ប៉ុន្តែតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ នោះប្រព័ន្ធមានចម្លើយគ្មានកំណត់។
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីស
មុននឹងបន្តទៅការដោះស្រាយម៉ាទ្រីស វាចាំបាច់ត្រូវដឹងថាសកម្មភាពអ្វីខ្លះដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តលើធាតុរបស់វា។ មានការផ្លាស់ប្តូរបឋមជាច្រើន៖
- ដោយការសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញទៅក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស និងអនុវត្តដំណោះស្រាយរបស់វា វាអាចគុណធាតុទាំងអស់នៃស៊េរីដោយមេគុណដូចគ្នា។
- ដើម្បីបំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical ជួរដេកប៉ារ៉ាឡែលពីរអាចត្រូវបានប្តូរ។ ទម្រង់ Canonical បង្កប់ន័យថាធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានទីតាំងនៅតាមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ក្លាយជាធាតុមួយ ហើយធាតុដែលនៅសល់ក្លាយជាសូន្យ។
- ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកប៉ារ៉ាឡែលនៃម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានបន្ថែមមួយទៅមួយទៀត។
វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss
ខ្លឹមសារនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងសមីការមិនដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបណ្តើរៗ។ ចូរនិយាយថាយើងមានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលក្នុងនោះមានពីរមិនស្គាល់។ ដើម្បីស្វែងរកពួកវា អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលប្រព័ន្ធសម្រាប់ភាពឆបគ្នា។ សមីការ Gaussian ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរមេគុណដែលនៅជិតមិនស្គាល់នីមួយៗក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ អ្នកត្រូវសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម។ ប្រសិនបើសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការមានចំនួនមិនស្គាល់តិចជាងនោះ "0" ត្រូវតែដាក់ជំនួសធាតុដែលបាត់។ វិធីសាស្រ្តបំប្លែងដែលគេស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះម៉ាទ្រីស៖ គុណ ចែកដោយលេខ បន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកទៅគ្នាទៅវិញទៅមក និងផ្សេងទៀត។ វាប្រែថាក្នុងជួរនីមួយៗវាចាំបាច់ក្នុងការទុកអថេរមួយជាមួយនឹងតម្លៃ "1" នៅសល់គួរតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅសូន្យ។ សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាវិធីសាស្ត្រ Gauss ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 2x2
ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងយកប្រព័ន្ធសាមញ្ញនៃសមីការពិជគណិត ដែលក្នុងនោះនឹងមាន 2 មិនស្គាល់។
ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងម៉ាទ្រីសបន្ថែម។
ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះ មានតែប្រតិបត្តិការពីរប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទាមទារ។ យើងត្រូវនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical ដូច្នេះមានឯកតាតាមអង្កត់ទ្រូងមេ។ ដូច្នេះ ការបកប្រែពីទម្រង់ម៉ាទ្រីសត្រឡប់ទៅប្រព័ន្ធវិញ យើងទទួលបានសមីការ៖ 1x+0y=b1 និង 0x+1y=b2 ដែល b1 និង b2 គឺជាចម្លើយដែលទទួលបានក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ។
- ជំហានដំបូងក្នុងការដោះស្រាយម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនឹងមានដូចខាងក្រោម៖ ជួរទីមួយត្រូវតែគុណនឹង -7 ហើយធាតុដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីររៀងៗខ្លួន ដើម្បីកម្ចាត់មួយដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទីពីរ។
- ដោយសារដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss បង្កប់ន័យនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical នោះចាំបាច់ត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការដូចគ្នាជាមួយនឹងសមីការទីមួយ ហើយដកអថេរទីពីរចេញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដកជួរទីពីរពីទីមួយហើយទទួលបានចម្លើយចាំបាច់ - ដំណោះស្រាយនៃ SLAE ។ ឬដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប យើងគុណជួរទីពីរដោយកត្តានៃ -1 ហើយបន្ថែមធាតុនៃជួរទីពីរទៅជួរទីមួយ។ នេះគឺដូចគ្នា។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញប្រព័ន្ធរបស់យើងត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ។ យើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖ x=-5, y=7 ។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយ SLAE 3x3
ឧបមាថាយើងមានប្រព័ន្ធស្មុគស្មាញនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss ធ្វើឱ្យវាអាចគណនាចម្លើយបាន សូម្បីតែប្រព័ន្ធដែលមើលទៅហាក់ដូចជាមានការភ័ន្តច្រឡំបំផុត។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងយល់កាន់តែស៊ីជម្រៅទៅក្នុងវិធីសាស្ត្រគណនា យើងអាចបន្តទៅឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងចំនួនបីដែលមិនស្គាល់។
ដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុន យើងសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសពង្រីក ហើយចាប់ផ្តើមនាំវាទៅជាទម្រង់ Canonical ។
ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពច្រើនជាងក្នុងឧទាហរណ៍មុន។
- ដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើនៅក្នុងជួរឈរដំបូងមួយធាតុតែមួយ ហើយសូន្យនៅសល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណសមីការទីមួយដោយ -1 ហើយបន្ថែមសមីការទីពីរទៅវា។ វាជាការសំខាន់ក្នុងការចងចាំថាយើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយនៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់វាហើយទីពីរ - រួចហើយនៅក្នុងទម្រង់ដែលបានកែប្រែ។
- បន្ទាប់មក យើងដកលេខដែលមិនស្គាល់ដំបូងចេញពីសមីការទីបី។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណធាតុនៃជួរទីមួយដោយ -2 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីបី។ ឥឡូវនេះបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរត្រូវបានសរសេរឡើងវិញនៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់ពួកគេហើយទីបី - រួចហើយជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញពីលទ្ធផលយើងទទួលបានទីមួយនៅដើមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសហើយនៅសល់គឺសូន្យ។ សកម្មភាពមួយចំនួនទៀត និងប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss នឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយភាពជឿជាក់។
- ឥឡូវអ្នកត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការលើធាតុផ្សេងទៀតនៃជួរដេក។ ជំហានទីបី និងទីបួនអាចរួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយ។ យើងត្រូវបែងចែកជួរទីពីរ និងទីបីដោយ -1 ដើម្បីកម្ចាត់អវិជ្ជមាននៅលើអង្កត់ទ្រូង។ យើងបាននាំយកបន្ទាត់ទីបីទៅទម្រង់តម្រូវការរួចហើយ។
- បន្ទាប់យើងធ្វើ canonicalize ជួរទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណធាតុនៃជួរទីបីដោយ -3 ហើយបន្ថែមពួកវាទៅជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីលទ្ធផលដែលបន្ទាត់ទីពីរក៏ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដែលយើងត្រូវការ។ វានៅសល់ដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការពីរបីទៀត ហើយដកមេគុណនៃមិនស្គាល់ចេញពីជួរទីមួយ។
- ដើម្បីបង្កើត 0 ពីធាតុទីពីរនៃជួរដេក អ្នកត្រូវគុណជួរទីបីដោយ -3 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីមួយ។
- ជំហានសម្រេចចិត្តបន្ទាប់គឺត្រូវបន្ថែមធាតុចាំបាច់នៃជួរទីពីរទៅជួរទីមួយ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានទម្រង់ Canonical នៃម៉ាទ្រីស ហើយតាមនោះ ចម្លើយ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺសាមញ្ញណាស់។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 4x4 នៃសមីការ
ប្រព័ន្ធសមីការស្មុគ្រស្មាញមួយចំនួនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដោយប្រើកម្មវិធីកុំព្យូទ័រ។ វាចាំបាច់ដើម្បីជំរុញមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ទៅក្នុងក្រឡាទទេដែលមានស្រាប់ ហើយកម្មវិធីនឹងគណនាលទ្ធផលដែលត្រូវការជាជំហានៗ ដោយពណ៌នាអំពីសកម្មភាពនីមួយៗយ៉ាងលម្អិត។
ការណែនាំជាជំហាន ៗ សម្រាប់ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍បែបនេះត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។
នៅក្នុងជំហានដំបូង មេគុណឥតគិតថ្លៃ និងលេខសម្រាប់មិនស្គាល់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងក្រឡាទទេ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបន្ថែមដូចគ្នា ដែលយើងសរសេរដោយដៃ។
ហើយប្រតិបត្តិការនព្វន្ធចាំបាច់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកទៅជាទម្រង់ Canonical ។ វាត្រូវតែយល់ថា ចម្លើយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការមិនតែងតែជាចំនួនគត់នោះទេ។ ជួនកាលដំណោះស្រាយអាចមកពីលេខប្រភាគ។
ពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ
វិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ផ្តល់សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។ ដើម្បីរកមើលថាតើមេគុណត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវអ្នកគ្រាន់តែត្រូវជំនួសលទ្ធផលទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវតែផ្គូផ្គងផ្នែកខាងស្តាំ ដែលនៅពីក្រោយសញ្ញាស្មើ។ ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រូវគ្នា នោះអ្នកត្រូវគណនាប្រព័ន្ធឡើងវិញ ឬព្យាយាមអនុវត្តវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនៃការដោះស្រាយ SLAE ដែលអ្នកស្គាល់ ដូចជាការជំនួស ឬការដកតាមកាលកំណត់ និងការបូកបន្ថែម។ យ៉ាងណាមិញ គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលមានវិធីសាស្រ្តដោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាយ៉ាងច្រើន។ ប៉ុន្តែត្រូវចាំថា លទ្ធផលគួរតែដូចគ្នាជានិច្ច មិនថាអ្នកបានប្រើវិធីដោះស្រាយបែបណានោះទេ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss៖ កំហុសទូទៅបំផុតក្នុងការដោះស្រាយ SLAE
ក្នុងអំឡុងពេលនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃសមីការ កំហុសភាគច្រើនកើតឡើងជាញឹកញាប់ ដូចជាការផ្ទេរមេគុណមិនត្រឹមត្រូវទៅជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ មានប្រព័ន្ធដែលមិនស្គាល់មួយចំនួនត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការមួយ បន្ទាប់មកការផ្ទេរទិន្នន័យទៅម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ពួកគេអាចបាត់បង់។ ជាលទ្ធផលនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធនេះ លទ្ធផលអាចនឹងមិនឆ្លើយតបទៅនឹងការពិតនោះទេ។
កំហុសចំបងមួយទៀតអាចជាការសរសេរមិនត្រឹមត្រូវនូវលទ្ធផលចុងក្រោយ។ វាត្រូវតែយល់យ៉ាងច្បាស់ថាមេគុណទីមួយនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងមិនស្គាល់ដំបូងពីប្រព័ន្ធទីពីរ - ទៅទីពីរហើយដូច្នេះនៅលើ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss ពិពណ៌នាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ សូមអរគុណដល់គាត់វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើប្រតិបត្តិការចាំបាច់និងស្វែងរកលទ្ធផលត្រឹមត្រូវ។ លើសពីនេះទៀតនេះគឺជាឧបករណ៍សកលសម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយដែលអាចទុកចិត្តបានចំពោះសមីការនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ។ ប្រហែលជានោះហើយជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយ SLAE ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវតែដោះស្រាយ (ស្វែងរកតម្លៃបែបនេះនៃ хi ដែលមិនស្គាល់ដែលបង្វែរសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាព)។
យើងដឹងថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរអាច៖
1) គ្មានដំណោះស្រាយ (ត្រូវ មិនឆបគ្នា។).
2) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។
3) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
ដូចដែលយើងចងចាំ ក្បួនរបស់ Cramer និងវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសគឺមិនសមស្របទេក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ វិធីសាស្រ្ត Gauss – ឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុត និងអាចប្រើប្រាស់បានសម្រាប់ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ, ដែល ក្នុងគ្រប់ករណីនាំយើងទៅរកចម្លើយ! ក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តនៅក្នុងករណីទាំងបីដំណើរការដូចគ្នា។ ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រ Cramer និង matrix ទាមទារចំណេះដឹងអំពីកត្តាកំណត់ នោះការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Gauss ទាមទារចំណេះដឹងអំពីប្រតិបត្តិការលេខនព្វន្ធតែប៉ុណ្ណោះ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចចូលប្រើបានសូម្បីតែសិស្សសាលាបឋមសិក្សា។
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ( នេះគឺជាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ - ម៉ាទ្រីសដែលមានតែមេគុណនៃការមិនស្គាល់ បូកនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss៖
1) ជាមួយ trokyម៉ាទ្រីស អាច រៀបចំឡើងវិញកន្លែង។
2) ប្រសិនបើមាន (ឬ) សមាមាត្រ (ជាករណីពិសេស - ដូចគ្នា) ជួរដេកក្នុងម៉ាទ្រីស នោះវាដូចខាងក្រោម លុបពីម៉ាទ្រីស ជួរទាំងអស់នេះលើកលែងតែមួយ។
3) ប្រសិនបើជួរសូន្យបានលេចឡើងក្នុងម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបំប្លែង នោះវាក៏ធ្វើតាមដែរ។ លុប.
4) ជួរនៃម៉ាទ្រីសអាច គុណ (ចែក)ទៅលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ។
5) ទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអ្នកអាចធ្វើបាន បន្ថែមខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខខុសពីសូន្យ។
នៅក្នុងវិធីសាស្រ្ត Gauss ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការទេ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss មានពីរដំណាក់កាល៖
- "ការផ្លាស់ទីដោយផ្ទាល់" - ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនាំម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរទៅជាទម្រង់ជំហាន "ត្រីកោណ"៖ ធាតុនៃម៉ាទ្រីសពង្រីកដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងធំគឺស្មើនឹងសូន្យ (ការផ្លាស់ទីពីលើចុះក្រោម ) ឧទាហរណ៍ចំពោះប្រភេទនេះ៖
ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ
1) ចូរយើងពិចារណាសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ហើយមេគុណនៅ x 1 គឺស្មើនឹង K. ទីពីរ ទីបី។ល។ យើងបំប្លែងសមីការដូចខាងក្រោម៖ យើងបែងចែកសមីការនីមួយៗ (មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ រួមទាំងពាក្យឥតគិតថ្លៃ) ដោយមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ x 1 ដែលស្ថិតនៅក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយគុណនឹង K. បន្ទាប់ពីនោះ ដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ ( មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)។ យើងទទួលបាន x 1 ក្នុងសមីការទីពីរ មេគុណ 0។ ពីសមីការបំប្លែងទីបី យើងដកសមីការទីមួយ ដូច្នេះរហូតដល់សមីការទាំងអស់ លើកលែងតែទីមួយ ដែលមិនស្គាល់ x 1 នឹងមិនមានមេគុណ 0 ទេ។
2) បន្តទៅសមីការបន្ទាប់។ សូមឱ្យនេះជាសមីការទីពីរ ហើយមេគុណនៅ x 2 គឺស្មើនឹង M. ជាមួយនឹងសមីការ "រង" ទាំងអស់ យើងបន្តដូចដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ ដូច្នេះ "ក្រោម" x 2 ដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទាំងអស់នឹងជាសូន្យ។
3) យើងឆ្លងទៅសមីការបន្ទាប់ ហើយបន្តរហូតដល់មួយចុងក្រោយមិនស្គាល់ និងបានបំប្លែងពាក្យសេរីដែលនៅសល់។
- "ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស" នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (ចលនា "បាតឡើងលើ") ។ ពីសមីការ "ទាប" ចុងក្រោយយើងទទួលបានដំណោះស្រាយដំបូងមួយ - មិនស្គាល់ x n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការបឋម A * x n \u003d B. ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ x 3 \u003d 4. យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការបន្ទាប់ "ខាងលើ" ហើយដោះស្រាយវាទាក់ទងនឹងមិនស្គាល់បន្ទាប់។ ឧទាហរណ៍ x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. ហើយបន្តរហូតដល់យើងរកឃើញអ្វីដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់។
ឧទាហរណ៍។
យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដូចដែលអ្នកនិពន្ធខ្លះណែនាំ៖
ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖
យើងក្រឡេកមើល "ជំហាន" ខាងឆ្វេងខាងលើ។ នៅទីនោះយើងគួរតែមានឯកតា។ បញ្ហាគឺថាគ្មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងជួរទីមួយទាល់តែសោះ ដូច្នេះគ្មានអ្វីអាចដោះស្រាយបានដោយការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនោះទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ អង្គភាពត្រូវតែរៀបចំដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ជាធម្មតា នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ តោះធ្វើវាដូចនេះ៖
1 ជំហាន
. ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -1 ។ នោះគឺយើងគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -1 ហើយអនុវត្តការបន្ថែមនៃបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរខណៈពេលដែលបន្ទាត់ទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ។
ឥឡូវនេះនៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ "ដកមួយ" ដែលសាកសមនឹងយើងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។ អ្នកណាដែលចង់ទទួលបាន +1 អាចធ្វើសកម្មភាពបន្ថែម៖ គុណជួរទីមួយដោយ -1 (ប្តូរសញ្ញារបស់វា)។
2 ជំហាន . ជួរទីមួយគុណនឹង 5 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។
3 ជំហាន . ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង -1 ជាគោលការណ៍នេះគឺសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត។ សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីបីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរហើយផ្លាស់ទីទៅកន្លែងទីពីរដូច្នេះនៅលើ "ជំហានទីពីរ យើងមានឯកតាដែលចង់បាន។
4 ជំហាន . ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង 2 ។
5 ជំហាន . ជួរទីបីចែកនឹង 3 ។
សញ្ញាដែលបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា (មិនសូវមានកំហុសទេ) គឺជាបន្ទាត់ខាងក្រោម "អាក្រក់" ។ នោះគឺប្រសិនបើយើងទទួលបានអ្វីមួយដូចជា (0 0 11 | 23) ខាងក្រោម ហើយយោងទៅតាម 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 បន្ទាប់មកជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងអាចនិយាយបានថា កំហុសមួយបានកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលបឋមសិក្សា។ ការផ្លាស់ប្តូរ។
យើងអនុវត្តការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស នៅក្នុងការរចនានៃឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធខ្លួនឯងជារឿយៗមិនត្រូវបានសរសេរឡើងវិញទេ ហើយសមីការត្រូវបាន "យកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ" ។ ចលនាបញ្ច្រាស ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថា ដំណើរការ "ពីបាតឡើងលើ"។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អំណោយបានប្រែក្លាយ៖
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1 ដូច្នេះ x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
ចម្លើយ:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d ១.
ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង។ យើងទទួលបាន
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
ចែកសមីការទីពីរដោយ 5 និងទីបីដោយ 3 ។
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
គុណសមីការទីពីរ និងទីបីដោយ 4 យើងទទួលបាន៖
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
ដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ និងទីបី យើងមាន៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
ចែកសមីការទីបីដោយ 0.64៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
គុណសមីការទីបីដោយ 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
យើងដកសមីការទីពីរចេញពីសមីការទីបី យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបន្ថែម "ជំហាន"៖
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
ដូច្នេះ ចាប់តាំងពីមានកំហុសកើតឡើងក្នុងដំណើរការនៃការគណនា យើងទទួលបាន x 3 \u003d 0.96 ឬប្រហែល 1 ។
x 2 \u003d 3 និង x 1 \u003d -1 ។
ដោះស្រាយតាមវិធីនេះ អ្នកនឹងមិនដែលច្រឡំក្នុងការគណនាទេ ហើយទោះបីជាមានកំហុសក្នុងការគណនាក៏ដោយ អ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផល។
វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺអាចសរសេរកម្មវិធីបានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយមិនគិតពីលក្ខណៈជាក់លាក់នៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នោះទេ ព្រោះក្នុងការអនុវត្ត (ក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច និងបច្ចេកទេស) ត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយមេគុណដែលមិនមែនជាចំនួនគត់។
សូមជូនពរអ្នកសំណាង! ជួបគ្នាក្នុងថ្នាក់! គ្រូបង្រៀន Dmitry Aistrakhanov ។
គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។
ប្រព័ន្ធពីរនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេនិយាយថាសមមូលប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេទាំងអស់គឺដូចគ្នា។
ការបំប្លែងបឋមនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺ៖
- ការលុបចេញពីប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនសំខាន់, i.e. ដែលមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ;
- គុណសមីការណាមួយដោយលេខមិនសូន្យ;
- ការបន្ថែមទៅសមីការ i -th នៃសមីការ j -th ណាមួយ គុណនឹងចំនួនណាមួយ។
អថេរ x i ត្រូវបានគេហៅថាឥតគិតថ្លៃ ប្រសិនបើអថេរនេះមិនត្រូវបានអនុញ្ញាត ហើយប្រព័ន្ធទាំងមូលនៃសមីការត្រូវបានអនុញ្ញាត។
ទ្រឹស្តីបទ។ បំរែបំរួលបឋមបំប្លែងប្រព័ន្ធសមីការទៅជាសមមូលមួយ។
អត្ថន័យនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីបំប្លែងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ និងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូលដែលអនុញ្ញាត ឬសមមូល។
ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រ Gauss មានជំហានដូចខាងក្រោមៈ
- ពិចារណាសមីការទីមួយ។ យើងជ្រើសរើសមេគុណមិនសូន្យដំបូង ហើយបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយវា។ យើងទទួលបានសមីការដែលអថេរ x i បញ្ចូលជាមួយមេគុណ 1;
- ដកសមីការនេះចេញពីសមីការផ្សេងទៀត ដោយគុណវាដោយលេខ ដែលមេគុណនៃអថេរ x i ក្នុងសមីការដែលនៅសល់ត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅនឹងអថេរ x i និងស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម។
- ប្រសិនបើសមីការមិនសំខាន់កើតឡើង (កម្រ ប៉ុន្តែវាកើតឡើង ឧទាហរណ៍ 0 = 0) យើងលុបវាចេញពីប្រព័ន្ធ។ ជាលទ្ធផល សមីការក្លាយជាមួយតិច។
- យើងធ្វើជំហានមុនម្តងទៀតមិនលើសពី n ដង ដែល n ជាចំនួនសមីការក្នុងប្រព័ន្ធ។ រាល់ពេលដែលយើងជ្រើសរើសអថេរថ្មីសម្រាប់ "ដំណើរការ"។ ប្រសិនបើសមីការប៉ះទង្គិចកើតឡើង (ឧទាហរណ៍ 0 = 8) ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។
ជាលទ្ធផល បន្ទាប់ពីពីរបីជំហាន យើងទទួលបានប្រព័ន្ធអនុញ្ញាត (អាចជាមួយនឹងអថេរឥតគិតថ្លៃ) ឬមួយមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ ប្រព័ន្ធដែលបានអនុញ្ញាតមានពីរករណី៖
- ចំនួនអថេរគឺស្មើនឹងចំនួនសមីការ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់;
- ចំនួនអថេរគឺធំជាងចំនួនសមីការ។ យើងប្រមូលអថេរឥតគិតថ្លៃទាំងអស់នៅខាងស្តាំ - យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់អថេរដែលបានអនុញ្ញាត។ រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងចម្លើយ។
អស់ហើយ! ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ! នេះគឺជាក្បួនដោះស្រាយដ៏សាមញ្ញមួយ ហើយដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកមិនចាំបាច់ទាក់ទងគ្រូបង្រៀនផ្នែកគណិតវិទ្យាទេ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖
កិច្ចការ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
ការពិពណ៌នាជំហាន៖
- យើងដកសមីការទីមួយចេញពីទីពីរ និងទីបី - យើងទទួលបានអថេរ x 1 ដែលអនុញ្ញាត។
- យើងគុណសមីការទីពីរដោយ (−1) ហើយចែកសមីការទីបីដោយ (−3) - យើងទទួលបានសមីការពីរដែលអថេរ x 2 បញ្ចូលជាមួយមេគុណនៃ 1;
- យើងបន្ថែមសមីការទីពីរទៅទីមួយ ហើយដកពីសមីការទីពីរ។ ចូរយើងទទួលបានអថេរដែលអនុញ្ញាត x 2 ;
- ជាចុងក្រោយ យើងដកសមីការទីបីចេញពីទីមួយ - យើងទទួលបានអថេរ x 3 ដែលអនុញ្ញាត។
- យើងបានទទួលប្រព័ន្ធអនុញ្ញាត យើងសរសេរចម្លើយ។
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រព័ន្ធថ្មីមួយដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម ដែលអថេរដែលបានអនុញ្ញាតទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសេរី។
តើដំណោះស្រាយទូទៅអាចត្រូវការនៅពេលណា? ប្រសិនបើអ្នកត្រូវធ្វើជំហានតិចជាង k (k គឺជាចំនួនសមីការសរុប)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយហេតុផលដែលដំណើរការបញ្ចប់នៅជំហានមួយចំនួន l< k , может быть две:
- បន្ទាប់ពីជំហាន l -th យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលមិនមានសមីការជាមួយលេខ (l + 1) ។ តាមការពិតនេះគឺល្អព្រោះ។ ប្រព័ន្ធដែលបានដោះស្រាយត្រូវបានទទួលយ៉ាងណាក៏ដោយ - សូម្បីតែពីរបីជំហានមុនក៏ដោយ។
- បន្ទាប់ពីជំហាន l -th សមីការមួយត្រូវបានទទួល ដែលមេគុណនៃអថេរទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ ហើយមេគុណទំនេរគឺខុសពីសូន្យ។ នេះជាសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ហើយដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។
វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ថាការលេចឡើងនៃសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាហេតុផលគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងកត់សំគាល់ថា ជាលទ្ធផលនៃជំហានទី l សមីការមិនពិតមិនអាចនៅដដែលទេ - ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានលុបដោយផ្ទាល់នៅក្នុងដំណើរការ។
ការពិពណ៌នាជំហាន៖
- ដកសមីការទីមួយ គុណនឹង 4 ចេញពីទីពីរ។ ហើយក៏បន្ថែមសមីការទីមួយទៅទីបីផងដែរ - យើងទទួលបានអថេរ x 1;
- យើងដកសមីការទីបី គុណនឹង 2 ពីទីពីរ យើងទទួលបានសមីការផ្ទុយ 0 = −5 ។
ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ចាប់តាំងពីសមីការមិនស៊ីសង្វាក់ត្រូវបានរកឃើញ។
កិច្ចការ។ ស៊ើបអង្កេតភាពត្រូវគ្នា និងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ៖
ការពិពណ៌នាជំហាន៖
- យើងដកសមីការទីមួយចេញពីទីពីរ (បន្ទាប់ពីគុណនឹងពីរ) និងទីបី - យើងទទួលបានអថេរ x 1;
- ដកសមីការទីពីរចេញពីសមីការទីបី។ ដោយសារមេគុណទាំងអស់នៅក្នុងសមីការទាំងនេះគឺដូចគ្នា សមីការទី 3 ក្លាយជារឿងតូចតាច។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងគុណសមីការទីពីរដោយ (−1);
- យើងដកសមីការទីពីរចេញពីសមីការទីមួយ - យើងទទួលបានអថេរ x 2 ដែលអនុញ្ញាត។ ប្រព័ន្ធទាំងមូលនៃសមីការឥឡូវនេះក៏ត្រូវបានដោះស្រាយផងដែរ។
- ដោយសារអថេរ x 3 និង x 4 មិនគិតថ្លៃ យើងផ្លាស់ទីពួកវាទៅខាងស្តាំដើម្បីបង្ហាញអថេរដែលបានអនុញ្ញាត។ នេះគឺជាចម្លើយ។
ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធគឺរួមគ្នានិងមិនកំណត់ដោយសារមានអថេរអនុញ្ញាតពីរ (x 1 និង x 2) និងសេរីពីរ (x 3 និង x 4)។
វិធីសាមញ្ញបំផុតមួយដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាល្បិចមួយដោយផ្អែកលើការគណនាកត្តាកំណត់ ( ច្បាប់របស់ Cramer) អត្ថប្រយោជន៍របស់វាគឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកត់ត្រាដំណោះស្រាយភ្លាមៗវាងាយស្រួលជាពិសេសក្នុងករណីដែលមេគុណប្រព័ន្ធមិនមែនជាលេខប៉ុន្តែប៉ារ៉ាម៉ែត្រខ្លះ។ គុណវិបត្តិរបស់វាគឺភាពលំបាកនៃការគណនានៅក្នុងករណីនៃសមីការមួយចំនួនធំ លើសពីនេះច្បាប់របស់ Cramer មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់ចំពោះប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ ក្នុងករណីបែបនេះវាត្រូវបានគេប្រើជាធម្មតា វិធីសាស្រ្ត Gauss.
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានសំណុំដូចគ្នានៃដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថា សមមូល. ជាក់ស្តែង សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ឬប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានគុណដោយចំនួនមិនមែនសូន្យមួយចំនួន ឬប្រសិនបើសមីការមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅមួយទៀត។
វិធីសាស្រ្ត Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់) ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថា ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធមួយជំហានដែលសមមូល។ ទីមួយដោយមានជំនួយពីសមីការទី 1 ។ x 1 នៃសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើសមីការទី 2 យើងលុបបំបាត់ x 2 នៃសមីការទី 3 និងសមីការបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ ដំណើរការនេះហៅថា វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់បន្តរហូតដល់នៅសល់តែមិនស្គាល់មួយនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការចុងក្រោយ x ន. បន្ទាប់ពីនោះវាត្រូវបានបង្កើតឡើង Gaussian បញ្ច្រាស- ការដោះស្រាយសមីការចុងក្រោយ យើងរកឃើញ x ន; បន្ទាប់ពីនោះដោយប្រើតម្លៃនេះពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងគណនា x ន-១ ល។ ចុងក្រោយយើងរកឃើញ x 1 ពីសមីការទីមួយ។
ការបំប្លែង Gaussian ត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងងាយស្រួលដោយការអនុវត្តការបំប្លែងមិនមែនជាមួយនឹងសមីការខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសនៃមេគុណរបស់ពួកគេ។ ពិចារណាម៉ាទ្រីស៖
បានហៅ ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសពង្រីក,ដោយសារតែបន្ថែមលើម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ វារួមបញ្ចូលជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺផ្អែកលើការនាំយកម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ឬទម្រង់ trapezoidal ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមិនការ៉េ) ដោយប្រើការបំប្លែងជួរដេកបឋម (!) នៃម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។
ឧទាហរណ៍ 5.1 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖
ការសម្រេចចិត្ត. ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើជួរទីមួយ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលនៅសល់ទៅជាសូន្យ៖
យើងទទួលបានសូន្យនៅជួរទី 2 ទី 3 និងទី 4 នៃជួរទីមួយ៖
ឥឡូវនេះយើងត្រូវការធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីពីរខាងក្រោមជួរទី 2 ដើម្បីស្មើនឹងសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចគុណជួរទីពីរដោយ -4/7 ហើយបន្ថែមទៅជួរទី 3 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីកុំឱ្យដោះស្រាយប្រភាគ យើងនឹងបង្កើតឯកតាមួយនៅជួរទី 2 នៃជួរទីពីរ ហើយមានតែ
ឥឡូវនេះ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ អ្នកត្រូវដកធាតុនៃជួរទី 4 នៃជួរទី 3 ចេញ សម្រាប់ការនេះ អ្នកអាចគុណជួរទីបីដោយ 8/54 ហើយបន្ថែមវាទៅទីបួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីមិនដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ យើងនឹងប្តូរជួរទី 3 និងទី 4 និងជួរទី 3 និងទី 4 ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលបានបញ្ជាក់ឡើងវិញទៅសូន្យ។ ចំណាំថានៅពេលដែលជួរឈរត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ អថេរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានប្តូរ ហើយនេះត្រូវតែចងចាំ។ ការបំប្លែងបឋមផ្សេងទៀតជាមួយជួរឈរ (ការបន្ថែម និងគុណដោយលេខ) មិនអាចអនុវត្តបានទេ!
ម៉ាទ្រីសសាមញ្ញចុងក្រោយត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលស្មើនឹងគំរូដើម៖
ពីទីនេះដោយប្រើវិធីបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងរកឃើញពីសមីការទីបួន x 3 = -1; ពីទីបី x 4 = -2, ពីទីពីរ x 2 = 2 និងពីសមីការទីមួយ x 1 = 1. ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ចម្លើយត្រូវបានសរសេរជា
យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់, i.e. នៅពេលដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយ។ តោះមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នាឬមិនកំណត់។
ឧទាហរណ៍ 5.2 ។រុករកប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖
ការសម្រេចចិត្ត. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ
យើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសាមញ្ញ៖
នៅទីនេះក្នុងសមីការចុងក្រោយ វាបានប្រែក្លាយថា 0=4, i.e. ភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ i.e. នាងគឺ មិនឆបគ្នា។. à
ឧទាហរណ៍ 5.3 ។ស្វែងយល់ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖
ការសម្រេចចិត្ត. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖
ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ មានតែលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទទួលនៅក្នុងជួរចុងក្រោយ។ នេះមានន័យថាចំនួនសមីការបានថយចុះមួយ៖
ដូច្នេះ បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ សមីការពីរនៅតែមាន និងមិនស្គាល់ចំនួនបួន ពោលគឺឧ។ "បន្ថែម" មិនស្គាល់ពីរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ "ហួសហេតុ" ឬដូចដែលពួកគេនិយាយ។ អថេរឥតគិតថ្លៃ, នឹង x 3 និង x៤. បន្ទាប់មក
សន្មត់ x 3 = 2កនិង x 4 = ខ, យើងទទួលបាន x 2 = 1–កនិង x 1 = 2ខ–ក; ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស
ដំណោះស្រាយដែលសរសេរតាមរបៀបនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅចាប់តាំងពីដោយផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនិង ខតម្លៃខុសគ្នា វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិពណ៌នាដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ ក
