ទ្រឹស្តីបទ ១.តំបន់នៃ trapezoid គឺស្មើនឹងផលិតផលពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់របស់វា:

ទ្រឹស្តីបទ ២.អង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ ចែកវាជាបួនត្រីកោណ ដែលពីរគឺស្រដៀងគ្នា ហើយពីរទៀតមានផ្ទៃដូចគ្នា៖

ទ្រឹស្តីបទ ៣.តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់ទាបទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យឬផលិតផលនៃភាគីទាំងពីរនិងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា:

ទ្រឹស្តីបទ ៤.ក្នុងប្រលេឡូក្រាម ផលបូកនៃការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងរបស់វា៖

ទ្រឹស្តីបទ ៥.ផ្ទៃនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោងដែលបំពានគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖

ទ្រឹស្តីបទ ៦.ផ្ទៃ​នៃ​រាង​បួនជ្រុង​ដែល​កាត់​រង្វង់​មួយ​គឺ​ស្មើ​នឹង​ផលិតផល​នៃ​រង្វង់​ពាក់កណ្តាល​នៃ​រាង​បួន​ជ្រុង​នេះ​និង​កាំ​នៃ​រង្វង់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​៖

ទ្រឹស្តីបទ ៧.ចតុកោណ​ដែល​កំពូល​ជា​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ជ្រុង​នៃ​រាង​បួនជ្រុង​ប៉ោង​តាម​អំពើ​ចិត្ត​គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​ផ្ទៃ​ស្មើ​នឹង​ពាក់កណ្តាល​នៃ​ផ្ទៃ​ចតុកោណ​ដើម៖

ទ្រឹស្តីបទ ៨.ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃរាងបួនជ្រុងរាងកាត់កាត់គ្នា នោះផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងទល់មុខនៃរាងបួនជ្រុងនេះគឺ៖

AB2 + CD2 = BC2 + AD2 ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានបោះពុម្ពដោយមានការគាំទ្រពីក្រុមហ៊ុន "DKROST" ។ ស្លាយសម្រាប់កុមារ ផ្ទះ ប្រអប់ខ្សាច់ និងច្រើនទៀត - ការផលិត និងលក់សួនកុមារ លក់ដុំ និងរាយ។ តម្លៃទាបបំផុត ការបញ្ចុះតម្លៃ ពេលវេលាផលិតខ្លី ការចាកចេញ និងការប្រឹក្សាពីអ្នកឯកទេស ការធានាគុណភាព។ អ្នកអាចស្វែងយល់បន្ថែមអំពីក្រុមហ៊ុន មើលកាតាឡុកផលិតផល តម្លៃ និងទំនាក់ទំនងនៅលើគេហទំព័រ ដែលមានទីតាំងនៅ៖ http://dkrost.ru/ ។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទមួយចំនួន

ភស្តុតាងទ្រឹស្តីបទ ២. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ក្លាយជា trapezoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យ AD និង BC មូលដ្ឋានរបស់វា O ចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង AC និង BD នៃ trapezoid នេះ។ ចូរយើងបង្ហាញថាត្រីកោណ AOB និង COD មានផ្ទៃដូចគ្នា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងទម្លាក់កាត់កែង BP និង CQ ពីចំណុច B និង C ទៅបន្ទាត់ AD ។ បន្ទាប់មកតំបន់នៃត្រីកោណ ABD គឺ

និងតំបន់នៃត្រីកោណ ACD គឺ

ចាប់តាំងពី BP = CQ បន្ទាប់មក S∆ABD = S∆ACD ។ ប៉ុន្តែតំបន់នៃត្រីកោណ AOB គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃត្រីកោណ ABD និង AOD ហើយតំបន់នៃត្រីកោណ COD គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃត្រីកោណ ACD និង AOD ។ ដូច្នេះ តំបន់នៃត្រីកោណ AOB និង COD គឺស្មើគ្នា ដែលត្រូវតែបញ្ជាក់។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៤. ឲ្យ ABCD ជាប្រលេឡូក្រាម AB=CD= ក, AD = BC = b,
AC = d1 , BD = d2 , ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α។ ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសទៅត្រីកោណ ABD៖

ដោយអនុវត្តឥឡូវនេះ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ទៅត្រីកោណ ACD យើងទទួលបាន៖

ការបន្ថែមពាក្យដោយពាក្យសមភាពយើងទទួលបាននោះ។ Q.E.D.

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 5. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជារាងបួនជ្រុងប៉ោង, E ចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា, AE = ក, BE = ខ ,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ ។ យើង​មាន:

Q.E.D.

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៦. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជារង្វង់បួនជ្រុងតាមអំពើចិត្ត គូសរង្វង់ O ជាកណ្តាលនៃរង្វង់នេះ OK, OL, OM និង ON ជាបន្ទាត់កាត់កែងដែលទម្លាក់ពីចំណុច O ទៅបន្ទាត់ AB, BC, CD និង AD រៀងគ្នា។ យើង​មាន:

ដែល r គឺជាកាំនៃរង្វង់ ហើយ p គឺជាពាក់កណ្តាលបរិវេណនៃ ABCD បួនជ្រុង។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៧. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជារាងបួនជ្រុងប៉ោងដែលបំពាន K, L, M និង N ជាចំណុចកណ្តាលនៃភាគី AB, BC, CD និង AD រៀងគ្នា។ ដោយសារ KL គឺជាបន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណ ABC បន្ទាត់ KL គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AC ហើយដូចគ្នាដែរ បន្ទាត់ MN គឺស្របនឹងបន្ទាត់ AC ហើយដូច្នេះ KLMN គឺជាប៉ារ៉ាឡែល។ ពិចារណាត្រីកោណ KBL ។ តំបន់របស់វាស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។ តំបន់នៃត្រីកោណ MDN ក៏ស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ ACD ផងដែរ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

ដូចគ្នានេះដែរ

វាមានន័យថា

វាធ្វើតាមនោះមកពីណា

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៨. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជារាងបួនជ្រុងប៉ោងតាមអំពើចិត្ត ដែលអង្កត់ទ្រូងរបស់វាកាត់កែងគ្នា ទុក E ជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា
AE= ក, BE = b, CE = c, DE = ឃ។ អនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រទៅត្រីកោណ ABE និង CDE៖
AB2=AE2+BE2= ក 2 + b2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
ដូចនេះ
AB2+CD2= ក 2 + b2 + c2 + d2 ។
ការ​អនុវត្ត​ទ្រឹស្តីបទ​ពីថា​ហ្គោ​រី​ឥឡូវនេះ​ទៅជា​ត្រីកោណ ADE និង BCE យើង​ទទួលបាន​៖
AD2=AE2+DE2= ក 2 + ឃ2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
វាធ្វើតាមនោះមកពីណា
AD2+BC2= ក 2 + b2 + c2 + d2 ។
ដូច្នេះ AB2 + CD2 = AD2 + BC2 ដែលត្រូវបញ្ជាក់។

ដោះស្រាយបញ្ហា

កិច្ចការទី 1. trapezoid ត្រូវបានពិពណ៌នានៅជិតរង្វង់ដែលមានមុំមូលដ្ឋាន α និង β ។ ស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃ trapezoid ទៅតំបន់នៃរង្វង់។

ការសម្រេចចិត្ត. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ក្លាយជា trapezoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យ AB និង CD មូលដ្ឋានរបស់វា DK និង CM ដែលកាត់កែងបានទម្លាក់ពីចំណុច C និង D ទៅបន្ទាត់ AB ។ សមាមាត្រដែលចង់បានមិនអាស្រ័យលើកាំនៃរង្វង់ទេ។ ដូច្នេះយើងសន្មតថាកាំគឺ 1. បន្ទាប់មកតំបន់នៃរង្វង់គឺπ, យើងរកឃើញតំបន់នៃ trapezoid នេះ។ ដោយសារត្រីកោណ ADK គឺជាត្រីកោណកែង។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ពីត្រីកោណកែង BCM យើងរកឃើញថា ដោយសាររង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ ផលបូកនៃភាគីទល់មុខគឺស្មើគ្នា៖
AB + CD = AD + BC,
តើយើងរកបាននៅឯណា

ដូច្នេះតំបន់នៃ trapezoid គឺ

ហើយសមាមាត្រដែលចង់បានគឺ
ចម្លើយ:

កិច្ចការទី 2. នៅក្នុង ABCD រាងបួនជ្រុង មុំ A គឺ 90° ហើយមុំ C មិនលើសពី 90°។ កាត់កែង BE និង DF ត្រូវបានទម្លាក់ពីបញ្ឈរ B និង D ទៅអង្កត់ទ្រូង AC ។ វាត្រូវបានគេដឹងថា AE = CF ។ បង្ហាញថាមុំ C គឺជាមុំខាងស្តាំ។

ភស្តុតាង. ដោយសារមុំ A គឺ 90°
ហើយមុំ C មិនលើសពី 90° បន្ទាប់មកចំនុច E និង F ស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូង AC ។ ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងអាចសន្មត់ថា AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠ EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ។ វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ពួកយើងដើម្បីបញ្ជាក់ថា α + β + γ + δ = π ។ ជា

តើយើងទទួលបានពីណា ដែលត្រូវបញ្ជាក់

កិច្ចការទី 3. បរិមាត្រនៃ isosceles trapezoid កាត់រង្វង់គឺទំ។ ស្វែងរកកាំនៃរង្វង់នេះ ប្រសិនបើគេដឹងថាមុំស្រួចនៅមូលដ្ឋាននៃ trapezoid គឺα។
ការសម្រេចចិត្ត. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ជា isosceles trapezoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន AD និង BC អនុញ្ញាតឱ្យ BH ជាកម្ពស់នៃ trapezoid នេះពី vertex B ។
ចាប់តាំងពីរង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់មក

អាស្រ័យហេតុនេះ

ពីត្រីកោណកែង ABH យើងរកឃើញ

ចម្លើយ:

កិច្ចការទី 4. បានផ្តល់ជា trapezoid ABCD ដែលមានមូលដ្ឋាន AD និង BC ។ អង្កត់ទ្រូង AC និង BD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O ហើយបន្ទាត់ AB និង CD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច K. បន្ទាត់ KO ប្រសព្វជ្រុង BC និង AD នៅចំនុច M និង N រៀងគ្នា ហើយមុំ BAD គឺ 30°។ វាត្រូវបានគេដឹងថារង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoids ABMN និង NMCD ។ ស្វែងរកសមាមាត្រផ្ទៃនៃត្រីកោណ BKC និង trapezoid ABCD ។

ការសម្រេចចិត្ត. ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាសម្រាប់ trapezoid បំពានបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនិងចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែកបន្ថែមនៃភាគីនៅពេលក្រោយបែងចែកមូលដ្ឋាននីមួយៗជាពាក់កណ្តាល។ ដូច្នេះ BM = MC និង AN = ND ។ លើសពីនេះ ចាប់តាំងពីរង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoids ABMN និង NMCD បន្ទាប់មក
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN ។
វាធ្វើតាមថា AB = ស៊ីឌី នោះគឺ រាងចតុកោណ ABCD គឺជា isosceles ។ សមាមាត្រដែលចង់បាននៃតំបន់មិនអាស្រ័យលើមាត្រដ្ឋានទេ ដូច្នេះយើងអាចសន្មត់ថា KN = x, KM = 1 ។ ពីត្រីកោណខាងស្តាំ AKN និង BKM យើងទទួលបានដែលសរសេរឡើងវិញនូវទំនាក់ទំនងដែលបានប្រើរួចហើយខាងលើ
BM + AN = AB + MN ⇔

យើងត្រូវគណនាសមាមាត្រ៖

នៅទីនេះយើងបានប្រើការពិតដែលថាតំបន់នៃត្រីកោណ AKD និង BKC ត្រូវបានទាក់ទងជាការ៉េនៃជ្រុង KN និង KM ពោលគឺ x2 ។

ចម្លើយ៖

កិច្ចការទី 5 ។នៅក្នុង ABCD រាងបួនជ្រុង ចំណុច E, F, H, G គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃភាគី AB, BC, CD, DA រៀងគ្នា ហើយ O គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែក EH និង FG ។ គេដឹងថា EH = ក, FG = b , រកប្រវែងអង្កត់ទ្រូងនៃរាងបួនជ្រុង។

ការសម្រេចចិត្ត. វាត្រូវបានគេដឹងថា ប្រសិនបើអ្នកភ្ជាប់ជាស៊េរីចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងនៃចតុកោណដែលបំពាន អ្នកនឹងទទួលបានប៉ារ៉ាឡែលមួយ។ ក្នុងករណីរបស់យើង EFHG គឺជាប្រលេឡូក្រាម ហើយ O គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។ បន្ទាប់មក

អនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសទៅត្រីកោណ FOH៖

ដោយសារ FH គឺជាបន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណ BCD ដូច្នេះ

ដូចគ្នានេះដែរ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ទៅជាត្រីកោណ EFO យើងទទួលបាននោះ។

ចម្លើយ:

កិច្ចការទី 6 ។ជ្រុងនៃ trapezoid គឺ 3 និង 5 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថារង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoid មួយ។ បន្ទាត់​កណ្តាល​នៃ​រាង​ចតុកោណ​ចែក​វា​ជា​ពីរ​ផ្នែក គឺ​សមាមាត្រ​នៃ​ផ្ទៃ​ដែល​ស្មើ​នឹង​ការ​ស្វែង​រក​មូលដ្ឋាន​នៃ​រាង​ចតុកោណ។

ការសម្រេចចិត្ត. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ក្លាយជា trapezoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យ AB = 3 និង CD = 5 - ជ្រុងរបស់វាចំនុច K និង M - ចំណុចកណ្តាលនៃភាគី AB និង CD រៀងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យ AD > BC បន្ទាប់មកតំបន់នៃ trapezoid AKMD នឹងធំជាងតំបន់នៃ trapezoid KBCM ។ ដោយសារ KM គឺជាបន្ទាត់កណ្តាលនៃ trapezoid ABCD នោះ trapezoids AKMD និង KBCM មានកំពស់ស្មើគ្នា។ ដោយសារផ្ទៃនៃ trapezoid គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាន និងកម្ពស់ នោះសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

ជាងនេះទៅទៀត ដោយសាររង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoid ABCD បន្ទាប់មក AD + BC = AB + CD = 8. បន្ទាប់មក KM = 4 ជាបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលនៃ trapezoid ABCD ។ ឲ្យ BC = x បន្ទាប់មក AD = 8 − x ។ យើង​មាន:
ដូច្នេះ BC = 1 និង AD = 7 ។

ចម្លើយ៖ 1 និង 7 ។

កិច្ចការទី 7. មូលដ្ឋាន AB នៃ trapezoid ABCD មានប្រវែងវែងជាង CD មូលដ្ឋាន 2 ដង និង 2 ដងនៃផ្នែកចំហៀង AD ។ ប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូង AC គឺ កហើយ​ប្រវែង​ចំហៀង BC គឺ​ស្មើ​នឹង b ។ ស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid នេះ។

ការសម្រេចចិត្ត. ឱ្យ E ជាចំនុចប្រសព្វនៃផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងនៃ trapezoid និង CD = x បន្ទាប់មក AD = x, AB = 2x ។ ចម្រៀក CD គឺស្របទៅនឹងផ្នែក AB និងខ្លីជាងពីរដង ដូច្នេះ CD គឺជាបន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណ ABE ។ ដូច្នេះ CE = BC = b និង DE = AD = x, whence AE = 2x ។ ដូច្នេះត្រីកោណ ABE គឺជា isosceles (AB = AE) ហើយ AC គឺជាមធ្យមរបស់វា។ ដូច្នេះ AC ក៏ជាកម្ពស់នៃត្រីកោណនេះផងដែរ។

ដោយសារត្រីកោណ DEC គឺស្រដៀងនឹងត្រីកោណ AEB ដែលមានមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា

ចម្លើយ:

កិច្ចការ ៨. អង្កត់ទ្រូងនៃត្រីកោណ ABCD ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច E. រកផ្ទៃត្រីកោណ BCE ប្រសិនបើប្រវែងនៃមូលដ្ឋាននៃ trapezoid គឺ AB = 30, DC = 24, ប្រវែងចំហៀង AD = 3 និងមុំ DAB គឺ 60 °។

ការសម្រេចចិត្ត. សូមឱ្យ DH ជាកម្ពស់នៃ trapezoid ។ ពីត្រីកោណ ADH យើងរកឃើញនោះ។

ដោយសារកម្ពស់នៃត្រីកោណ ABC ដែលទម្លាក់ពីចំនុចកំពូល C គឺស្មើនឹងកម្ពស់ DH នៃ trapezoid យើងមាន៖

ចម្លើយ:

កិច្ចការ ៩. នៅក្នុងរាងពងក្រពើ បន្ទាត់កណ្តាលគឺ 4 ហើយមុំនៅគោលមួយគឺ 40° និង 50°។ ស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃ trapezoid ប្រសិនបើផ្នែកតភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃមូលដ្ឋានគឺ 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត. អនុញ្ញាតឱ្យ ABCD ក្លាយជា trapezoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យ AB និង CD មូលដ្ឋានរបស់វា (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. ចូរយើងពង្រីកជ្រុង DA និង CB ទៅចំនុចប្រសព្វត្រង់ចំនុច E. ពិចារណាត្រីកោណ ABE ដែល ∠EAB = 50°។ ∠ EBA = 40°,
ដូច្នេះ ∠AEB = 90°។ EM មធ្យមនៃត្រីកោណនេះ ទាញចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំ គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស៖ EM = AM ។ អនុញ្ញាតឱ្យ EM = x បន្ទាប់មក AM = x, DN = 4 – x ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា MN = 1 ដូច្នេះ
EN = x + 1. ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ AEM និង DEN យើងមាន៖

នេះមានន័យថា AB = 3 និង CD = 5 ។

ចម្លើយ: 3 និង 5 ។

កិច្ចការ ១០. ABCD រាងបួនជ្រុងត្រូវបានគូសរង្វង់ជុំវិញចំនុច O ខណៈពេលដែល AO = OC = 1, BO = OD = 2. ស្វែងរកបរិវេណនៃ ABCD រាងបួនជ្រុង។

ការសម្រេចចិត្ត. អនុញ្ញាតឱ្យ K, L, M, N ជាចំណុចតង់សង់នៃរង្វង់ដែលមានជ្រុង AB, BC, CD, DA រៀងគ្នា r - កាំនៃរង្វង់។ ដោយសារតង់សង់ទៅរង្វង់គឺកាត់កែងទៅនឹងកាំដែលអូសទៅចំណុចទំនាក់ទំនង ត្រីកោណ AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO គឺជាមុំខាងស្តាំ។ ការ​អនុវត្ត​ទ្រឹស្តីបទ​ពីតាហ្គោរ​ទៅ​នឹង​ត្រីកោណ​ទាំង​នេះ យើង​ទទួល​បាន​វា​

ដូច្នេះ AB = BC = CD = DA នោះគឺ ABCD គឺជារូបចម្លាក់។ អង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus កាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយចំនុចនៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ចារឹក។ ពីទីនេះយើងងាយស្រួលរកឃើញថាផ្នែកម្ខាងនៃ rhombus គឺស្មើគ្នា ហើយដូច្នេះ បរិវេណនៃ rhombus គឺស្មើនឹង

ចម្លើយ:

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

គ-១.រាងពងក្រពើ ABCD ត្រូវបានគូសរង្វង់មូលនៃកាំ r ។ អនុញ្ញាតឱ្យ E និង K ជាចំណុចតង់ស៊ីតេនៃរង្វង់នេះជាមួយនឹងជ្រុងនៃ trapezoid ។ មុំរវាងមូលដ្ឋាន AB និងចំហៀង AD នៃ trapezoid គឺ 60 °។ បង្ហាញថា EK គឺស្របទៅនឹង AB ហើយស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid ABEK ។
គ-២.នៅក្នុង trapezoid អង្កត់ទ្រូងគឺ 3 និង 5 ហើយផ្នែកដែលតភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃមូលដ្ឋានគឺ 2. ស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid នេះ។
គ-៣. តើអាចគូសរង្វង់ជុំវិញបួនជ្រុង ABCD ប្រសិនបើ ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
គ-៤.នៅក្នុង trapezoid ABCD (AB គឺជាមូលដ្ឋាន) តម្លៃនៃមុំ DAB, BCD, ADC, ABD និង ADB បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរ)។ រកចំងាយពីចំនុចកំពូល C ទៅអង្កត់ទ្រូង BD ប្រសិនបើកម្ពស់របស់ trapezoid គឺ h ។
គ-៥.បានផ្តល់ឱ្យ isosceles trapezoid ដែលរង្វង់មួយត្រូវបានចារឹក និងជុំវិញដែលរង្វង់មួយត្រូវបានគូសរង្វង់។ សមាមាត្រនៃកម្ពស់នៃ trapezoid ទៅកាំនៃរង្វង់កាត់គឺត្រូវរកមុំនៃ trapezoid នេះ។
គ-៦.ផ្ទៃនៃចតុកោណកែង ABCD គឺ 48 ហើយប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងគឺ 10. នៅលើយន្តហោះដែលចតុកោណស្ថិតនៅនោះ ចំនុច O ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះ OB = OD = 13. រកចំងាយពីចំនុច O ទៅចំនុចកំពូលនៃចតុកោណកែងដែលឆ្ងាយបំផុតពីវា។
គ-៧. បរិវេណនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD គឺ 26។ មុំ ABC គឺ 120°។ កាំនៃរង្វង់ដែលចារឹកជាត្រីកោណ BCD គឺត្រូវរកប្រវែងនៃជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម ប្រសិនបើគេដឹងថា AD > AB។
គ-៨. ABCD បួនជ្រុងត្រូវបានចារឹកក្នុងរង្វង់មួយចំកណ្តាលចំនុច O. Radius OA កាត់កែងទៅនឹងកាំ OB ហើយកាំ OC គឺកាត់កែងទៅនឹងកាំ OD ។ ប្រវែងនៃផ្នែកកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុច C ទៅបន្ទាត់ AD គឺ 9. ប្រវែងនៃផ្នែក BC គឺពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃផ្នែក AD ។ ស្វែងរកតំបន់ត្រីកោណ AOB ។
គ-៩.នៅ​ក្នុង​រាង​បួនជ្រុង​ប៉ោង ABCD បញ្ឈរ A និង C គឺ​ផ្ទុយ​គ្នា ហើយ​ប្រវែង​ចំហៀង AB គឺ 3. មុំ ABC គឺ​មុំ BCD គឺ​រក​ប្រវែង​ចំហៀង AD ប្រសិន​បើ​អ្នក​ដឹង​ថា​ផ្ទៃ​នៃ​ជ្រុង​បួន​ជ្រុង​គឺ

គ-១០.ប៉ោងរាងបួនជ្រុង ABCD មានអង្កត់ទ្រូង AC និង BD ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, និងចំងាយរវាងចំនុចប្រសព្វនៃប្រសព្វនៃត្រីកោណ ABD និងចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors នៃត្រីកោណ ACD គឺស្វែងរកប្រវែងចំហៀង BC ។
គ-១១.អនុញ្ញាតឱ្យ M ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃរាងបួនជ្រុង ABCD ដែលជ្រុង AB, AD និង BC គឺស្មើគ្នា។ រកមុំ CMD ប្រសិនបើគេដឹងថា DM = MC,
និង ∠CAB ≠ ∠DBA ។
គ-១២.នៅក្នុង ABCD បួនជ្រុង យើងដឹងថា ∠A = 74°, ∠D = 120°។ រកមុំរវាង bisectors នៃមុំ B និង C ។
គ-១៣.រង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកជាបួនជ្រុង ABCD ។ ឲ្យ K ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។ គេដឹងថា AB > BC > KC ហើយបរិវេណ និងតំបន់នៃត្រីកោណ BKC គឺ 14 និង 7 រៀងគ្នា។ ស្វែងរក DC ។
គ-១៤.នៅ​ក្នុង​រង្វង់​ដែល​គូស​រង្វង់​រាង​ជា​រង្វង់​គេ​ដឹង​ថា BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°។ ស្វែងរក AB ប្រសិនបើតំបន់នៃ trapezoid ABCD គឺ 10 ។
គ-១៥.នៅក្នុង trapezoid ABCD ដែលមានមូលដ្ឋាន AB និង CD វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា ∠CAB = 2∠DBA។ ស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid នេះ។
គ-១៦.នៅក្នុងប្រលេឡូក្រាម ABCD យើងដឹងថា AC = ក, ∠CAB = 60°។ ស្វែងរកតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម។
ស-១៧. នៅក្នុង ABCD បួនជ្រុង អង្កត់ទ្រូង AC និង BD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច K. ចំនុច L និង M គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃភាគី BC និង AD ។ ផ្នែក LM មានចំណុច K. បួនជ្រុង ABCD គឺដូចជារង្វង់មួយអាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងវា។ រកកាំនៃរង្វង់នេះប្រសិនបើ AB=3 និង LK:KM=1:3។
គ-១៨.ប៉ោងរាងបួនជ្រុង ABCD មានអង្កត់ទ្រូង AC និង BD ។ ក្នុងករណីនេះ ∠BAC =
= ∠BDC ហើយ​ផ្ទៃ​រង្វង់​ដែល​គូស​អំពី​ត្រីកោណ BDC គឺ​ស្មើ​នឹង
ក) រកកាំនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់អំពីត្រីកោណ ABC ។
ខ) ដោយដឹងថា BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90° រកផ្ទៃនៃ ABCD បួនជ្រុង។

ចំណាំ. នេះ​ជា​ផ្នែក​មួយ​នៃ​មេរៀន​ដែល​មាន​បញ្ហា​ក្នុង​ធរណីមាត្រ (ផ្នែក​ប៉ារ៉ាឡែល)។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងធរណីមាត្រដែលមិនមាននៅទីនេះ - សរសេរអំពីវានៅក្នុងវេទិកា។ ដើម្បីសម្គាល់សកម្មភាពនៃការស្រង់ចេញឫសការ៉េក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា និមិត្តសញ្ញា √ ឬ sqrt () ត្រូវបានប្រើ ហើយកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងតង្កៀប។

សម្ភារៈទ្រឹស្តី

ការ​ពន្យល់​អំពី​រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម៖

1. ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងរបស់វា និងកម្ពស់នៅម្ខាងនោះ។
2. តំបន់​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​គឺ​ស្មើ​នឹង​ផលគុណ​នៃ​ជ្រុង​ជាប់​គ្នា​ពីរ​របស់​វា និង​ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​រវាង​ពួកវា
3. ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា

បញ្ហាសម្រាប់ការស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម

កិច្ចការ.
ក្នុង​ប៉ារ៉ាឡែល​មួយ កម្ពស់​តូច​ជាង​និង​ផ្នែក​តូច​ជាង​គឺ 9 សង់ទីម៉ែត្រ និង​ឫស​នៃ 82 រៀង​គ្នា អង្កត់ទ្រូង​វែង​បំផុត​គឺ 15 សង់ទីម៉ែត្រ រក​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម។

ការសម្រេចចិត្ត.
ចូរ​កំណត់​កម្ពស់​តូច​ជាង​នៃ​ប៉ារ៉ាឡែល ABCD ដែល​បន្ទាប​ពី​ចំណុច B ទៅ​គោល​ធំ AD ជា BK ។
ស្វែងរកតម្លៃនៃជើងនៃត្រីកោណកែង ABK ដែលបង្កើតឡើងដោយកម្ពស់តូចជាង ចំហៀងតូចជាង និងផ្នែកនៃមូលដ្ឋានធំជាង។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖

AB 2 = BK 2 + AK ២
82 = 9 2 + AK ២
AK 2 = 82 − 81
AK=1

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពង្រីកមូលដ្ឋានខាងលើនៃប្រលេឡូក្រាម BC ហើយទម្លាក់កម្ពស់ AN នៅលើវាពីមូលដ្ឋានទាបរបស់វា។ AN = BK ជាជ្រុងនៃចតុកោណកែង ANBK ។ នៅក្នុងលទ្ធផលត្រីកោណកែង ANC យើងរកឃើញជើង NC ។
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 ២
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = ១២

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកមូលដ្ឋានធំជាង BC នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ។
BC=NC-NB
យើងពិចារណាថា NB = AK ជាជ្រុងនៃចតុកោណបន្ទាប់មក
BC=12 - 1=11

តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់ទៅមូលដ្ឋាននេះ។
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

ចម្លើយ: 99 សង់ទីម៉ែត្រ2 ។

កិច្ចការ

នៅក្នុងប៉ារ៉ាឡែល ABCD BO កាត់កែងត្រូវបានទម្លាក់ទៅអង្កត់ទ្រូង AC ។ រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមប្រសិនបើ AO=8, OS=6 និង BO=4 ។

ការសម្រេចចិត្ត.
អនុញ្ញាតឱ្យយើងទម្លាក់ DK កាត់កែងមួយបន្ថែមទៀតទៅលើអង្កត់ទ្រូង AC ។
ដូច្នោះហើយ ត្រីកោណ AOB និង DKC, COB និង AKD គឺស្របគ្នាជាគូ។ ជ្រុងម្ខាងគឺជាជ្រុងម្ខាងនៃប្រលេឡូក្រាម មុំមួយគឺត្រូវមួយ ព្រោះវាកាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ទ្រូង ហើយមុំមួយដែលនៅសល់គឺជាឈើឆ្កាងខាងក្នុងដែលដេកសម្រាប់ជ្រុងប៉ារ៉ាឡែលនៃប្រលេឡូក្រាម និងសេសិន។ នៃអង្កត់ទ្រូង។

ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃត្រីកោណដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ I.e
Sparall = 2S AOB +2S BOC

តំបន់នៃត្រីកោណកែងគឺពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃជើង។ កន្លែងណា
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 សង់ទីម៉ែត្រ 2
ចម្លើយ: 56 សង់ទីម៉ែត្រ2 ។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះបន្ថែមលើ លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន ប្រលេឡូក្រាមនិងរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា អ្នកអាចចងចាំ និងអនុវត្តដូចខាងក្រោមៈ

1. bisector នៃមុំខាងក្នុងនៃ parallelogram កាត់ចេញត្រីកោណ isosceles ពីវា
2. Bisectors នៃមុំខាងក្នុងដែលនៅជាប់នឹងជ្រុងមួយនៃផ្នែកនៃ parallelogram គឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក
3. Bisectors មក​ពី​មុំ​ខាង​ក្នុង​ទល់​មុខ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម ស្រប​ទៅ​នឹង​គ្នា ឬ​ស្ថិត​នៅ​លើ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ
4. ផលបូកនៃការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងរបស់វា
5. តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងដងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

ចូរយើងពិចារណាអំពីភារកិច្ចនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់។

កិច្ចការទី 1 ។

ផ្នែកនៃមុំ C នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD កាត់ចំហៀង AD នៅចំណុច M និងផ្នែកបន្ថែមនៃចំហៀង AB លើសពីចំណុច A នៅចំណុច E. ស្វែងរកបរិវេណនៃប្រលេឡូក្រាម ប្រសិនបើ AE \u003d 4, DM \u003d ៣.

ការសម្រេចចិត្ត។

1. ត្រីកោណ CMD isosceles ។ (ទ្រព្យ ១). ដូច្នេះ CD = MD = 3 សង់ទីម៉ែត្រ។

2. ត្រីកោណ EAM គឺជា isosceles ។
ដូច្នេះ AE = AM = 4 សង់ទីម៉ែត្រ។

3. AD = AM + MD = 7 សង់ទីម៉ែត្រ។

4. បរិវេណ ABCD = 20 សង់ទីម៉ែត្រ។

ចម្លើយ។ 20 សង់ទីម៉ែត្រ

កិច្ចការទី 2 ។

អង្កត់ទ្រូង​ត្រូវ​បាន​គូរ​ជា​រាង​បួនជ្រុង​ប៉ោង​ ABCD ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាតំបន់នៃត្រីកោណ ABD, ACD, BCD គឺស្មើគ្នា។ បញ្ជាក់​ថា​ចតុកោណ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. សូមអោយ BE ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ABD, CF ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ACD ។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា ហើយពួកគេមាន AD មូលដ្ឋានធម្មតា បន្ទាប់មកកំពស់នៃត្រីកោណទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។ BE = CF ។

2. BE, CF គឺកាត់កែងទៅនឹង AD ។ ចំណុច B និង C ស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ AD ។ BE = CF ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ BC || AD. (*)

3. សូមអោយ AL ជារយៈកំពស់នៃត្រីកោណ ACD, BK រយៈកំពស់នៃត្រីកោណ BCD ។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា ហើយពួកគេមានស៊ីឌីមូលដ្ឋានទូទៅ បន្ទាប់មកកម្ពស់នៃត្រីកោណទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។ AL = BK ។

4. AL និង BK កាត់កែងទៅនឹងស៊ីឌី។ ចំណុច B និង A មានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់។ AL = BK ។ ដូច្នេះបន្ទាត់ AB || ស៊ីឌី (**)

5. លក្ខខណ្ឌ (*), (**) បញ្ជាក់​ថា ABCD ជា​ប្រលេឡូក្រាម។

ចម្លើយ។ បញ្ជាក់។ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

កិច្ចការទី 3 ។

នៅលើជ្រុង BC និង CD នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ចំនុច M និង H ត្រូវបានសម្គាល់រៀងគ្នា ដូច្នេះផ្នែក BM និង HD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O;<ВМD = 95 о,

ការសម្រេចចិត្ត។

1. នៅក្នុងត្រីកោណ DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. នៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំ DHC
(

បន្ទាប់មក<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(ចាប់តាំងពីនៅក្នុងត្រីកោណកែង ជើងដែលនៅទល់មុខមុំ 30 o គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស)។

ប៉ុន្តែ CD = AB ។ បន្ទាប់មក AB: HD = 2: 1 ។

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

ចម្លើយ៖ AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

កិច្ចការទី 4 ។

អង្កត់ទ្រូងមួយក្នុងចំណោមអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមប្រវែង 4√6 ធ្វើមុំ 60° ជាមួយមូលដ្ឋាន ហើយអង្កត់ទ្រូងទីពីរធ្វើមុំ 45° ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ស្វែងរកអង្កត់ទ្រូងទីពីរ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. AO = 2√6.

2. អនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសទៅនឹងត្រីកោណ AOD ។

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o ។

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6 ។

ចម្លើយ៖ ១២.

កិច្ចការទី 5 ។

សម្រាប់ប្រលេឡូក្រាមដែលមានជ្រុង 5√2 និង 7√2 មុំតូចជាងរវាងអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹងមុំតូចជាងនៃប្រលេឡូក្រាម។ រកផលបូកនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង។

ការសម្រេចចិត្ត។

សូមឱ្យ d 1, d 2 ជាអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ហើយមុំរវាងអង្កត់ទ្រូង និងមុំតូចជាងនៃប្រលេឡូក្រាមជា φ ។

1. ចូរយើងរាប់ពីរផ្សេងគ្នា
វិធីនៃតំបន់របស់វា។

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f ។

យើងទទួលបានសមភាព 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ឬ

2 5√2 7√2 = ឃ 1 ឃ 2 ;

2. ដោយប្រើសមាមាត្ររវាងជ្រុងនិងអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមយើងសរសេរសមភាព

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2 ។

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = ឃ 1 2 + ឃ 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296 ។

3. ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ៖

(ឃ 1 2 + ឃ 2 2 = 296,
(ឃ 1 + ឃ 2 = 140 ។

គុណសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដោយ 2 ហើយបន្ថែមវាទៅទីមួយ។

យើងទទួលបាន (d 1 + d 2) 2 = 576 ។ ដូច្នេះ Id 1 + d 2 I = 24 ។

ចាប់តាំងពី d 1, d 2 គឺជាប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមបន្ទាប់មក d 1 + d 2 = 24 ។

ចម្លើយ៖ ២៤.

កិច្ចការទី 6 ។

ជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 4 និង 6 ។ មុំស្រួចរវាងអង្កត់ទ្រូងគឺ 45 o ។ ស្វែងរកតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. ពីត្រីកោណ AOB ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសយើងសរសេរទំនាក់ទំនងរវាងផ្នែកម្ខាងនៃប៉ារ៉ាឡែលនិងអង្កត់ទ្រូង។

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB ។

4 2 \u003d (ឃ 1 / 2) 2 + (ឃ 2 / 2) 2 - 2 (ឃ 1 / 2) (ឃ 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 − 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16 ។

d 1 2 + d 2 2 − d 1 d 2 √2 = 64 .

2. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងសរសេរទំនាក់ទំនងសម្រាប់ត្រីកោណ AOD ។

យើងយកទៅក្នុងគណនីនោះ។<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

យើងទទួលបានសមីការ d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ។

3. យើងមានប្រព័ន្ធមួយ។
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ។

ដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន 2d 1 d 2 √2 = 80 ឬ

d 1 ឃ 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d ១០.

ចំណាំ៖នៅក្នុងបញ្ហានេះនិងបញ្ហាមុនវាមិនចាំបាច់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងស្រុងទេដោយមើលឃើញថានៅក្នុងបញ្ហានេះយើងត្រូវការផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងដើម្បីគណនាតំបន់។

ចម្លើយ៖ ១០.

កិច្ចការទី 7 ។

ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 96 ហើយជ្រុងរបស់វាគឺ 8 និង 15 ។ រកការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងតូចជាង។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD ។ ចូរធ្វើការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត។

យើងទទួលបាន 96 = 8 15 sin VAD ។ ដូច្នេះ sin VAD = 4/5 ។

2. ស្វែងរក cos BAD ។ sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1 ។

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25 ។

យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងរកឃើញប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងតូចជាង។ អង្កត់ទ្រូង BD នឹងតូចជាងប្រសិនបើមុំ BAD គឺស្រួច។ បន្ទាប់មក cos BAD = 3/5 ។

3. ពីត្រីកោណ ABD ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងរកឃើញការេនៃអង្កត់ទ្រូង BD ។

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD ។

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145 ។

ចម្លើយ៖ ១៤៥ ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

រូបមន្ត​សម្រាប់​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​មួយ។

តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃផ្នែកខាងរបស់វាហើយកម្ពស់ត្រូវបានបន្ទាបទៅផ្នែកនេះ។

ភស្តុតាង

ប្រសិនបើប្រលេឡូក្រាមជាចតុកោណកែង នោះសមភាពត្រូវបានពេញចិត្តដោយទ្រឹស្តីបទផ្ទៃចតុកោណ។ លើសពីនេះ យើងសន្មត់ថាជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមមិនត្រឹមត្រូវទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យ $\angle BAD$ ជាមុំស្រួចនៅក្នុងប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ និង $AD > AB$ ។ បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងប្តូរឈ្មោះបញ្ឈរ។ បន្ទាប់មកកម្ពស់ $BH$ ពីចំនុចកំពូល $B$ ទៅបន្ទាត់ $AD$ ធ្លាក់នៅចំហៀង $AD$ ព្រោះជើង $AH$ ខ្លីជាងអ៊ីប៉ូតេនុស $AB$ និង $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

ចូរយើងប្រៀបធៀបផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ និងផ្ទៃនៃចតុកោណ $HBCK$ ។ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមធំជាងដោយតំបន់ $\ triangle ABH$ ប៉ុន្តែតិចជាងដោយតំបន់ $\ triangle DCK$ ។ ដោយសារត្រីកោណទាំងនេះមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា តំបន់របស់ពួកគេក៏ត្រូវគ្នាផងដែរ។ នេះមានន័យថាតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែងដែលមានជ្រុងវែងទៅចំហៀង និងកម្ពស់នៃប្រលេឡូក្រាម។

រូបមន្ត​សម្រាប់​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ជ្រុង​និង​ស៊ីនុស

ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងជាប់គ្នា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

ភស្តុតាង

កម្ពស់នៃប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ដែលបន្ទាបទៅចំហៀង $AB$ គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃផ្នែក $BC$ និងស៊ីនុសនៃមុំ $\angle ABC$ ។ វានៅសល់ដើម្បីអនុវត្តការអះអាងពីមុន។

រូបមន្ត​សម្រាប់​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ក្នុង​ន័យ​អង្កត់ទ្រូង

តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងនិងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច $O$ នៅមុំ $\alpha$ ។ បន្ទាប់មក $AO = OC$ និង $BO = OD$ ដោយលក្ខណសម្បត្តិប៉ារ៉ាឡែល។ ស៊ីនុសនៃមុំដែលបន្ថែមរហូតដល់ $180^\circ$ គឺ $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$ ។ ដូច្នេះ ស៊ីនុសនៃមុំនៅចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹង $\sin \alpha$ ។

$S_(ABCD)=S_(\triangle AOB) + S_(\triangle BOC) + S_(\triangle COD) + S_(\triangle AOD)$

នេះបើយោងតាម ​​axiom នៃការវាស់វែងតំបន់។ អនុវត្តរូបមន្តតំបន់ត្រីកោណ $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ សម្រាប់ត្រីកោណ និងមុំទាំងនេះ នៅពេលអង្កត់ទ្រូងប្រសព្វគ្នា។ ជ្រុងនីមួយៗស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអង្កត់ទ្រូង ស៊ីនុសក៏ស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ ផ្ទៃនៃត្រីកោណទាំងបួនគឺ $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$ ។ សរុបសេចក្តីទាំងអស់ខាងលើយើងទទួលបាន

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះបន្ថែមលើ លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន ប្រលេឡូក្រាមនិងរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា អ្នកអាចចងចាំ និងអនុវត្តដូចខាងក្រោមៈ

1. bisector នៃមុំខាងក្នុងនៃ parallelogram កាត់ចេញត្រីកោណ isosceles ពីវា
2. Bisectors នៃមុំខាងក្នុងដែលនៅជាប់នឹងជ្រុងមួយនៃផ្នែកនៃ parallelogram គឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក
3. Bisectors មក​ពី​មុំ​ខាង​ក្នុង​ទល់​មុខ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម ស្រប​ទៅ​នឹង​គ្នា ឬ​ស្ថិត​នៅ​លើ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ
4. ផលបូកនៃការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងរបស់វា
5. តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងដងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

ចូរយើងពិចារណាអំពីភារកិច្ចនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់។

កិច្ចការទី 1 ។

ផ្នែកនៃមុំ C នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD កាត់ចំហៀង AD នៅចំណុច M និងផ្នែកបន្ថែមនៃចំហៀង AB លើសពីចំណុច A នៅចំណុច E. ស្វែងរកបរិវេណនៃប្រលេឡូក្រាម ប្រសិនបើ AE \u003d 4, DM \u003d ៣.

ការសម្រេចចិត្ត។

1. ត្រីកោណ CMD isosceles ។ (ទ្រព្យ ១). ដូច្នេះ CD = MD = 3 សង់ទីម៉ែត្រ។

2. ត្រីកោណ EAM គឺជា isosceles ។
ដូច្នេះ AE = AM = 4 សង់ទីម៉ែត្រ។

3. AD = AM + MD = 7 សង់ទីម៉ែត្រ។

4. បរិវេណ ABCD = 20 សង់ទីម៉ែត្រ។

ចម្លើយ។ 20 សង់ទីម៉ែត្រ

កិច្ចការទី 2 ។

អង្កត់ទ្រូង​ត្រូវ​បាន​គូរ​ជា​រាង​បួនជ្រុង​ប៉ោង​ ABCD ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាតំបន់នៃត្រីកោណ ABD, ACD, BCD គឺស្មើគ្នា។ បញ្ជាក់​ថា​ចតុកោណ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. សូមអោយ BE ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ABD, CF ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ACD ។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា ហើយពួកគេមាន AD មូលដ្ឋានធម្មតា បន្ទាប់មកកំពស់នៃត្រីកោណទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។ BE = CF ។

2. BE, CF គឺកាត់កែងទៅនឹង AD ។ ចំណុច B និង C ស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ AD ។ BE = CF ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ BC || AD. (*)

3. សូមអោយ AL ជារយៈកំពស់នៃត្រីកោណ ACD, BK រយៈកំពស់នៃត្រីកោណ BCD ។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា ហើយពួកគេមានស៊ីឌីមូលដ្ឋានទូទៅ បន្ទាប់មកកម្ពស់នៃត្រីកោណទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។ AL = BK ។

4. AL និង BK កាត់កែងទៅនឹងស៊ីឌី។ ចំណុច B និង A មានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់។ AL = BK ។ ដូច្នេះបន្ទាត់ AB || ស៊ីឌី (**)

5. លក្ខខណ្ឌ (*), (**) បញ្ជាក់​ថា ABCD ជា​ប្រលេឡូក្រាម។

ចម្លើយ។ បញ្ជាក់។ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

កិច្ចការទី 3 ។

នៅលើជ្រុង BC និង CD នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ចំនុច M និង H ត្រូវបានសម្គាល់រៀងគ្នា ដូច្នេះផ្នែក BM និង HD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O;<ВМD = 95 о,

ការសម្រេចចិត្ត។

1. នៅក្នុងត្រីកោណ DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. នៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំ DHC
(

បន្ទាប់មក<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(ចាប់តាំងពីនៅក្នុងត្រីកោណកែង ជើងដែលនៅទល់មុខមុំ 30 o គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស)។

ប៉ុន្តែ CD = AB ។ បន្ទាប់មក AB: HD = 2: 1 ។

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

ចម្លើយ៖ AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

កិច្ចការទី 4 ។

អង្កត់ទ្រូងមួយក្នុងចំណោមអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមប្រវែង 4√6 ធ្វើមុំ 60° ជាមួយមូលដ្ឋាន ហើយអង្កត់ទ្រូងទីពីរធ្វើមុំ 45° ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ស្វែងរកអង្កត់ទ្រូងទីពីរ។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. AO = 2√6.

2. អនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសទៅនឹងត្រីកោណ AOD ។

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o ។

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6 ។

ចម្លើយ៖ ១២.

កិច្ចការទី 5 ។

សម្រាប់ប្រលេឡូក្រាមដែលមានជ្រុង 5√2 និង 7√2 មុំតូចជាងរវាងអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹងមុំតូចជាងនៃប្រលេឡូក្រាម។ រកផលបូកនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង។

ការសម្រេចចិត្ត។

សូមឱ្យ d 1, d 2 ជាអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ហើយមុំរវាងអង្កត់ទ្រូង និងមុំតូចជាងនៃប្រលេឡូក្រាមជា φ ។

1. ចូរយើងរាប់ពីរផ្សេងគ្នា
វិធីនៃតំបន់របស់វា។

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f ។

យើងទទួលបានសមភាព 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ឬ

2 5√2 7√2 = ឃ 1 ឃ 2 ;

2. ដោយប្រើសមាមាត្ររវាងជ្រុងនិងអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមយើងសរសេរសមភាព

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2 ។

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = ឃ 1 2 + ឃ 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296 ។

3. ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ៖

(ឃ 1 2 + ឃ 2 2 = 296,
(ឃ 1 + ឃ 2 = 140 ។

គុណសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដោយ 2 ហើយបន្ថែមវាទៅទីមួយ។

យើងទទួលបាន (d 1 + d 2) 2 = 576 ។ ដូច្នេះ Id 1 + d 2 I = 24 ។

ចាប់តាំងពី d 1, d 2 គឺជាប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមបន្ទាប់មក d 1 + d 2 = 24 ។

ចម្លើយ៖ ២៤.

កិច្ចការទី 6 ។

ជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 4 និង 6 ។ មុំស្រួចរវាងអង្កត់ទ្រូងគឺ 45 o ។ ស្វែងរកតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. ពីត្រីកោណ AOB ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសយើងសរសេរទំនាក់ទំនងរវាងផ្នែកម្ខាងនៃប៉ារ៉ាឡែលនិងអង្កត់ទ្រូង។

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB ។

4 2 \u003d (ឃ 1 / 2) 2 + (ឃ 2 / 2) 2 - 2 (ឃ 1 / 2) (ឃ 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 − 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16 ។

d 1 2 + d 2 2 − d 1 d 2 √2 = 64 .

2. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងសរសេរទំនាក់ទំនងសម្រាប់ត្រីកោណ AOD ។

យើងយកទៅក្នុងគណនីនោះ។<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

យើងទទួលបានសមីការ d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ។

3. យើងមានប្រព័ន្ធមួយ។
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ។

ដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន 2d 1 d 2 √2 = 80 ឬ

d 1 ឃ 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d ១០.

ចំណាំ៖នៅក្នុងបញ្ហានេះនិងបញ្ហាមុនវាមិនចាំបាច់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងស្រុងទេដោយមើលឃើញថានៅក្នុងបញ្ហានេះយើងត្រូវការផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងដើម្បីគណនាតំបន់។

ចម្លើយ៖ ១០.

កិច្ចការទី 7 ។

ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 96 ហើយជ្រុងរបស់វាគឺ 8 និង 15 ។ រកការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងតូចជាង។

ការសម្រេចចិត្ត។

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD ។ ចូរធ្វើការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត។

យើងទទួលបាន 96 = 8 15 sin VAD ។ ដូច្នេះ sin VAD = 4/5 ។

2. ស្វែងរក cos BAD ។ sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1 ។

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25 ។

យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងរកឃើញប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងតូចជាង។ អង្កត់ទ្រូង BD នឹងតូចជាងប្រសិនបើមុំ BAD គឺស្រួច។ បន្ទាប់មក cos BAD = 3/5 ។

3. ពីត្រីកោណ ABD ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងរកឃើញការេនៃអង្កត់ទ្រូង BD ។

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD ។

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145 ។

ចម្លើយ៖ ១៤៥ ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។