សូមឱ្យវិសមភាពពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ f 1(x) > g 1(x) និង f 2(x) > g 2(x). ប្រព័ន្ធវិសមភាព គឺ គឺជាការភ្ជាប់នៃវិសមភាពទាំងនេះ . ប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះ។ Xដែលប្រែវិសមភាពនីមួយៗទៅជាវិសមភាពលេខពិត។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាព គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វិសមភាព | x| < កកន្លែងណា ក> 0 គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធមួយ ឬវិសមភាពទ្វេ -- ក < x < ក.

សំណុំនៃវិសមភាព f 1(x) > g 1(x) និង f 2(x) > g 2(x) គឺ ខ្លួនឯង ការបំបែកវិសមភាពទាំងនេះ .

ឈុតត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ដំណោះស្រាយនៃឈុតនេះ។ គឺជាតម្លៃនៃអថេរណាមួយ។ Xដែលប្រែទៅជាវិសមភាពលេខពិតយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃវិសមភាពនៅក្នុងសំណុំ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសំណុំគឺជាការរួបរួមនៃសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពដែលបង្កើតជាសំណុំ។

វិសមភាព | x| > កកន្លែងណា ក> 0 គឺស្មើនឹងសំណុំ

កិច្ចការ។ស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់វិសមភាពនៃប្រព័ន្ធនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វា។ ចូរយើងបំប្លែងវិសមភាពនីមួយៗទៅជាទម្រង់ x > កឬ x < ក.

Û Û

Û Û Û

X> -7 គឺជាចន្លោះលេខ (-7; ¥) និងសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព X < 7 - промежуток (-¥; 7). Найдем их пересечение: (-7; ¥) Ç (-¥; 7) = (-7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (-7; 7).

កិច្ចការ។ដោះស្រាយវិសមភាព | x+ ៣| £4 ។

ការសម្រេចចិត្ត។វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេដង -4 £ x+ 3 £ 4. ដោះស្រាយវាយើងរកឃើញថា -7 £ x£ 1, i.e. Xអូ [-7; មួយ]។

កិច្ចការ។ស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយប្រជាជន

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមុនសិន សម្រាប់វិសមភាពចំនួនប្រជាជននីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកសហជីពរបស់ពួកគេ។

យើងបំប្លែងវិសមភាពចំនួនប្រជាជននីមួយៗ ដោយជំនួសវាដោយសមមូលមួយ៖ Û Û Û

សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព X> 2 គឺជាចន្លោះលេខ (2; ¥) និងសំណុំនៃដំណោះស្រាយវិសមភាព X> 1 - ចន្លោះពេល (1; ¥) ។ ចូរយើងស្វែងរកសហជីពរបស់ពួកគេ៖ (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥) ។ ដូច្នេះ សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃការប្រមូលគឺជាចន្លោះលេខ (1; ¥) ។

កិច្ចការ។ដោះស្រាយវិសមភាព | x+ 3| > 5.

ការសម្រេចចិត្ត។វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងសំណុំវិសមភាព៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃសំណុំលទ្ធផលគឺចន្លោះលេខ (-¥; -8) È (2; ¥) ។

លំហាត់សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ

1. ស្វែងរកសំណុំការពិតនៃការភ្ជាប់នៃវិសមភាពខាងក្រោម ហើយគូរវានៅលើបន្ទាត់ពិតប្រាកដមួយ៖

ក) ( X> 3) អ្នក ( X> 5); ឆ) ( X³ -7) អ្នក ( X³ -9);

ខ) ( X < 3) Ù (X < 5); д) (X> 4) អ្នក ( X£ -2);

ក្នុង) ( X³ -4) យូ ( X£ -2); ង) ( X³ -6) យូ ( X < 11).

2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

ក) ខ)

ក្នុង) ឆ)

3. ស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព៖

ក) | x - 6| < 13; в) |3x- ៦| £0;

ខ) |៥ - ២ x| £3; ឃ) |៣ x - 8| < - 1.

4. ស្វែងរកសំណុំការពិតនៃការបំបែកនៃវិសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

ក) ( X> -9) Ú ( X> 1) Ú ( X> 6); ឆ) ( X < 2) Ú (X > 8);

§មួយ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធមើល

ហៅថាប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។

នៅទីនេះ
- មិនស្គាល់, - មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់,
- សមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃសមីការ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់នៃសមីការគឺស្មើនឹងសូន្យនោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នា.ការសម្រេចចិត្តប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាសំណុំនៃលេខ
នៅពេលជំនួសប្រព័ន្ធជំនួសឱ្យមិនស្គាល់ សមីការទាំងអស់ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ ប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា រួមប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ប្រព័ន្ធរួមជាមួយនឹងដំណោះស្រាយតែមួយគត់ត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់. ប្រព័ន្ធទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមមូលប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នា។

ប្រព័ន្ធ (1) អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដោយប្រើសមីការ

(2)

.

§២. ភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

យើងហៅម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ (1) ម៉ាទ្រីស

Kroneker - ទ្រឹស្តីបទ Capelli. ប្រព័ន្ធ (1) គឺស្របប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក៖

.

§៣. ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធន សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយន មិនស្គាល់។

ពិចារណាប្រព័ន្ធមិនស្មើគ្នា នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់៖

(3)

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer.ប្រសិនបើកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ (3)
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ទាំងនោះ។
,

កន្លែងណា - កត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់ ការជំនួស th column ទៅជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើ ក
និងយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោម ≠0 បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ប្រព័ន្ធ (3) អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើសញ្ញាម៉ាទ្រីសរបស់វា (2) ។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែស្មើ ន, i.e.
បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានបញ្ច្រាស
. ការគុណសមីការម៉ាទ្រីស
ទៅម៉ាទ្រីស
នៅខាងឆ្វេងយើងទទួលបាន៖

.

សមភាពចុងក្រោយបង្ហាញពីវិធីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ការសម្រេចចិត្ត។ ម៉ាទ្រីស
មិន degenerate, ដោយសារតែ
ដូច្នេះមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចូរយើងគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
.

,

លំហាត់ប្រាណ. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

§ 4 ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធមិនដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ (1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធគឺស្រប, i.e. លក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ត្រូវបានបំពេញ៖
. ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស
(ចំពោះចំនួនមិនស្គាល់) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ ចូរយើងពន្យល់។

សូមឱ្យចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស r(ក)= r< ន. ដរាបណា
បន្ទាប់មកមានអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ r. ចូរហៅវាថាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ មិនស្គាល់ដែលមេគុណបង្កើតជាអនីតិជនមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា អថេរមូលដ្ឋាន។ មិនស្គាល់ដែលនៅសល់ត្រូវបានគេហៅថាអថេរឥតគិតថ្លៃ។ យើងរៀបចំសមីការឡើងវិញ ហើយប្តូរលេខអថេរ ដូច្នេះអនីតិជននេះមានទីតាំងនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ៖

.

ទីមួយ rជួរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នៅសល់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវា។ ដូច្នេះបន្ទាត់ទាំងនេះ (សមីការ) អាចត្រូវបានលុបចោល។ យើង​ទទួល​បាន:

ចូរ​ផ្តល់​តម្លៃ​លេខ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​ដល់​អថេរ​ឥតគិតថ្លៃ៖ . យើងទុកតែអថេរមូលដ្ឋាននៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយផ្លាស់ទីអថេរឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំ។

បានទទួលប្រព័ន្ធមួយ។ rសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ rមិនស្គាល់ ដែលកត្តាកំណត់ខុសពី 0។ វាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ (1) ។ បើមិនដូច្នេះទេ៖ កន្សោមនៃអថេរមូលដ្ឋាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃឥតគិតថ្លៃត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយទូទៅប្រព័ន្ធ។ ពីវាអ្នកអាចទទួលបានលេខគ្មានកំណត់ ការសម្រេចចិត្តឯកជនផ្តល់ឱ្យអថេរដោយឥតគិតថ្លៃតម្លៃបំពាន។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលទទួលបានពីទូទៅមួយនៅតម្លៃសូន្យនៃអថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន. ចំនួននៃដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នាមិនលើសពីទេ។
. ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានដែលមានសមាសធាតុមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍.

,r=2.

អថេរ
- មូលដ្ឋាន,
- ឥតគិតថ្លៃ។

ចូរយើងបន្ថែមសមីការ; បង្ហាញ
តាមរយៈ
:

- ការសម្រេចចិត្តទូទៅ។

- ដំណោះស្រាយឯកជន
.

- ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន, មូលដ្ឋាន។

§ ៥. វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់សិក្សា និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វាមាននៅក្នុងការនាំយកប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូង (ឬត្រីកោណ) ដោយការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមដែលមិនបំពានលើសមមូលនៃប្រព័ន្ធ។ អថេរ​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​មិន​បាន​រាប់​បញ្ចូល​ប្រសិន​បើ​វា​មាន​នៅ​ក្នុង​សមីការ​តែ​មួយ​របស់​ប្រព័ន្ធ​ដែល​មាន​មេគុណ 1 ។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមប្រព័ន្ធគឺ៖

គុណសមីការដោយលេខមិនសូន្យ;

ការបន្ថែមសមីការគុណនឹងចំនួនណាមួយជាមួយនឹងសមីការមួយផ្សេងទៀត;

ការរៀបចំឡើងវិញនៃសមីការ;

ទម្លាក់សមីការ 0 = 0 ។

ការបំប្លែងបឋមអាចត្រូវបានអនុវត្តមិនមែនលើសមីការទេ ប៉ុន្តែនៅលើម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធសមមូលលទ្ធផល។

ឧទាហរណ៍.

ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

.

អនុវត្តការបំប្លែងបឋម យើងនាំយកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ឯកតា៖ យើងនឹងបង្កើតឯកតានៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ ហើយសូន្យនៅខាងក្រៅវា។

មតិយោបល់. ប្រសិនបើនៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងបឋម សមីការនៃទម្រង់ 0 = ទៅ(កន្លែងណា ទៅ0), បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់អាចត្រូវបានធ្វើជាផ្លូវការក្នុងទម្រង់ តុ.

ជួរឈរខាងឆ្វេងនៃតារាងមានព័ត៌មានអំពីអថេរដែលបានដកចេញ (មូលដ្ឋាន) ។ ជួរឈរដែលនៅសល់មានមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃនៃសមីការ។

ម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងតារាងប្រភព។ បន្ទាប់មកបន្តទៅការអនុវត្តការបំប្លែង Jordan៖

1. ជ្រើសរើសអថេរ ដែលនឹងក្លាយជាមូលដ្ឋាន។ ជួរឈរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាជួរឈរគន្លឹះ។ ជ្រើសរើសសមីការដែលអថេរនេះនឹងនៅតែត្រូវបានដកចេញពីសមីការផ្សេងទៀត។ ជួរតារាងដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ជួរគន្លឹះ។ មេគុណ ការឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេកគន្លឹះ និងជួរឈរគន្លឹះត្រូវបានគេហៅថា គ្រាប់ចុច។

2. ធាតុនៃខ្សែអក្សរគន្លឹះត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុគន្លឹះ។

3. ជួរឈរគន្លឹះត្រូវបានបំពេញដោយលេខសូន្យ។

4. ធាតុដែលនៅសល់ត្រូវបានគណនាដោយយោងទៅតាមច្បាប់ចតុកោណ។ ពួកវាបង្កើតជាចតុកោណកែង នៅចំនុចកំពូលទល់មុខ ដែលមានធាតុសំខាន់ និងធាតុគណនាឡើងវិញ។ ពីផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណជាមួយនឹងធាតុសំខាន់ផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងផ្សេងទៀតត្រូវបានដកភាពខុសគ្នាលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុសំខាន់។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធសមីការ៖

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ៖

ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន៖
.

ការបំប្លែងការជំនួសម្តងអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទៅពីមូលដ្ឋានមួយនៃប្រព័ន្ធទៅមួយទៀត៖ ជំនួសឱ្យអថេរចម្បងមួយ អថេរឥតគិតថ្លៃមួយត្រូវបានណែនាំទៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ធាតុសំខាន់មួយត្រូវបានជ្រើសរើសនៅក្នុងជួរឈរអថេរឥតគិតថ្លៃ ហើយការបំប្លែងត្រូវបានអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយខាងលើ។

§៦. ស្វែងរកដំណោះស្រាយគាំទ្រ

ដំណោះស្រាយយោងនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដែលមិនមានសមាសធាតុអវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយគាំទ្រនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម។

1. នៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់ត្រូវតែមិនអវិជ្ជមាន៖
.

2. ធាតុសំខាន់ត្រូវបានជ្រើសរើសក្នុងចំណោមមេគុណវិជ្ជមាន។

3. ប្រសិនបើអថេរដែលបានណែនាំទៅក្នុងមូលដ្ឋានមានមេគុណវិជ្ជមានជាច្រើន នោះខ្សែអក្សរគន្លឹះគឺជាផ្នែកមួយដែលសមាមាត្រនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃទៅនឹងមេគុណវិជ្ជមានគឺតូចបំផុត។

ចំណាំ ១. ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ សមីការមួយលេចឡើងដែលមេគុណទាំងអស់មិនវិជ្ជមាន ហើយពាក្យសេរី
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយដែលមិនអវិជ្ជមានទេ។

ចំណាំ ២. ប្រសិនបើមិនមានធាតុវិជ្ជមានតែមួយនៅក្នុងជួរឈរនៃមេគុណសម្រាប់អថេរឥតគិតថ្លៃនោះ ការផ្លាស់ប្តូរទៅដំណោះស្រាយយោងមួយផ្សេងទៀតគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ឧទាហរណ៍។

ប្រសិនបើបញ្ហាមានអថេរតិចជាងបី វាមិនមែនជាបញ្ហាទេ។ ប្រសិនបើលើសពីប្រាំបី វាមិនអាចសម្រេចបាន។ អ៊ីណុន។

បញ្ហាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវ៉ារ្យ៉ង់ទាំងអស់នៃ USE ចាប់តាំងពីពេលដោះស្រាយពួកវា វាត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់បំផុតថាតើចំណេះដឹងរបស់អ្នកបញ្ចប់ការសិក្សាមានភាពស៊ីជម្រៅ និងក្រៅផ្លូវការប៉ុណ្ណា។ ការលំបាកដែលសិស្សជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្តការងារបែបនេះមិនត្រឹមតែបណ្តាលមកពីភាពស្មុគស្មាញទាក់ទងគ្នារបស់ពួកគេប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ដោយសារការយកចិត្តទុកដាក់មិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ពួកគេនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាផងដែរ។ នៅក្នុងវ៉ារ្យ៉ង់នៃ KIMs ក្នុងគណិតវិទ្យា មានកិច្ចការពីរប្រភេទដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ទីមួយ៖ "សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដោះស្រាយសមីការ វិសមភាព ឬប្រព័ន្ធ។" ទីពីរ៖ "ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ សម្រាប់ដំណោះស្រាយនីមួយៗនៃវិសមភាព សមីការ ឬប្រព័ន្ធបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ។" ដូច្នោះហើយ ចំលើយក្នុងបញ្ហាទាំងពីរប្រភេទនេះ ខុសគ្នាត្រង់ខ្លឹមសារ។ ក្នុងករណីដំបូង តម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានរាយក្នុងចម្លើយ ហើយដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រូវបានសរសេរសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃតម្លៃទាំងនេះ។ ទីពីររាយបញ្ជីតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងអស់ដែលលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាត្រូវបានបំពេញ។ ការកត់ត្រាចំលើយគឺជាដំណាក់កាលសំខាន់មួយនៃដំណោះស្រាយ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ដែលមិនត្រូវភ្លេចឆ្លុះបញ្ចាំងគ្រប់ដំណាក់កាលនៃការសម្រេចចិត្តនៅក្នុងចម្លើយ។ នេះ​ចាំបាច់​ត្រូវ​យក​ចិត្ត​ទុក​ដាក់​ដល់​សិស្ស។
ឧបសម្ព័ន្ធនៃមេរៀនមានសម្ភារៈបន្ថែមលើប្រធានបទ "ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ" ដែលនឹងជួយក្នុងការរៀបចំសិស្សសម្រាប់វិញ្ញាបនប័ត្រចុងក្រោយ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

• ការរៀបចំប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹងរបស់សិស្ស;
• ការអភិវឌ្ឍជំនាញដើម្បីអនុវត្តតំណាងក្រាហ្វិកក្នុងប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការ;
• ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ;
• ការអនុវត្តការគ្រប់គ្រងប្រតិបត្តិការ និងការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯងរបស់សិស្ស;
• ការអភិវឌ្ឍន៍នៃការស្រាវជ្រាវ និងសកម្មភាពយល់ដឹងរបស់សិស្សសាលា សមត្ថភាពក្នុងការវាយតម្លៃលទ្ធផលដែលទទួលបាន។

មេរៀននេះត្រូវបានរចនាឡើងសម្រាប់បង្រៀនពីរម៉ោង។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1. ពេលវេលារៀបចំ

សារប្រធានបទ គោលបំណង និងគោលបំណងនៃមេរៀន។

1. ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងមូលដ្ឋានរបស់សិស្ស

ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ។ ជាកិច្ចការផ្ទះ សិស្សត្រូវបានស្នើឱ្យដោះស្រាយប្រព័ន្ធនីមួយៗនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ក) ខ) ក្នុង)

ក្រាហ្វិកនិងការវិភាគ; ធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីចំនួនដំណោះស្រាយដែលទទួលបានសម្រាប់ករណីនីមួយៗ

ការសន្និដ្ឋានរបស់សិស្សត្រូវបានស្តាប់ និងវិភាគ។ លទ្ធផលនៃការងារក្រោមការណែនាំរបស់គ្រូត្រូវបានសង្ខេបនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា។

ជាទូទៅ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរដែលមិនស្គាល់ពីរអាចត្រូវបានតំណាងដូចជា៖ .

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការក្រាហ្វិក មានន័យថា ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃសមីការទាំងនេះ ឬដើម្បីបញ្ជាក់ថាមិនមាន។ ក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធនេះនៅលើយន្តហោះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់មួយចំនួន។

មានករណីបីនៃការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរនៅលើយន្តហោះមួយ:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

សម្រាប់ករណីនីមួយៗវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការគូរគំនូរ។

1. រៀនសម្ភារៈថ្មី។

ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀនយើងនឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ យើង​នឹង​ហៅ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​មួយ​ជា​អថេរ​ឯករាជ្យ តម្លៃ​ដែល​ក្នុង​បញ្ហា​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​លេខ​ពិត​ថេរ​ឬ​តាម​អំពើ​ចិត្ត ឬ​លេខ​ដែល​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​សំណុំ​ដែល​បាន​កំណត់​ទុកជាមុន។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រមានន័យថាបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងដែលអនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃណាមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដើម្បីស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធ។

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺអាស្រ័យលើសំណួរដែលបានដាក់នៅក្នុងវា។ ប្រសិនបើអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់តម្លៃផ្សេងគ្នានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ឬស៊ើបអង្កេតវា នោះអ្នកត្រូវផ្តល់ចម្លើយសមហេតុផលសម្រាប់តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយ ឬសម្រាប់តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំដែលបានបញ្ជាក់ជាមុននៅក្នុងបញ្ហា។ . ប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់នោះការសិក្សាពេញលេញមិនត្រូវបានទាមទារទេហើយដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់ចំពោះការស្វែងរកតម្លៃជាក់លាក់ទាំងនេះនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍ ១សម្រាប់តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនីមួយៗយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។

1. ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប្រសិនបើ

ក្នុងករណីនេះយើងមាន

1. ប្រសិនបើ a = 0 នោះប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់

ប្រព័ន្ធគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា, i.e. មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

1. ប្រសិនបើបន្ទាប់មកប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់

វាច្បាស់ណាស់ថាក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់នៃទម្រង់ x = t; ដែល t ជាចំនួនពិត។

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ២

• មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់;
• មានដំណោះស្រាយជាច្រើន;
• មិនមានដំណោះស្រាយទេ?

ការសម្រេចចិត្ត។

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣ចូរយើងស្វែងរកផលបូកនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a និង b ដែលប្រព័ន្ធ

មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ការសម្រេចចិត្ត។ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ប្រសិនបើ

នោះគឺប្រសិនបើ a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 = 48 ។

ចម្លើយ៖ ៤៨.

1. ការបង្រួបបង្រួមនៃអ្វីដែលបានរៀននៅក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយបញ្ហា

1. លេខ ១៥.២៤(ក)។ សម្រាប់តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនីមួយៗ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

1. #15.25(a) សម្រាប់តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនីមួយៗ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

1. សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រព័ន្ធនៃសមីការ

ក) មិនមានដំណោះស្រាយ; ខ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។

ចម្លើយ៖ សម្រាប់ a = 2 មិនមានដំណោះស្រាយទេ សម្រាប់ a = -2 មានចំនួនដំណោះស្រាយមិនកំណត់។

1. ការងារជាក់ស្តែងជាក្រុម

ថ្នាក់ត្រូវបានបែងចែកជាក្រុម 4-5 នាក់។ ក្រុមនីមួយៗរួមបញ្ចូលសិស្សដែលមានកម្រិតខុសៗគ្នានៃការបណ្តុះបណ្តាលគណិតវិទ្យា។ ក្រុមនីមួយៗទទួលបានកាតមួយដែលមានភារកិច្ច។ អ្នកអាចអញ្ជើញក្រុមទាំងអស់ឱ្យដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការមួយ ហើយរៀបចំដំណោះស្រាយ។ ក្រុមដែលបានបញ្ចប់ភារកិច្ចត្រឹមត្រូវដំបូងបង្ហាញដំណោះស្រាយរបស់ខ្លួន; នៅសល់ប្រគល់ការសម្រេចចិត្តទៅគ្រូ។

កាត។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ។

ចម្លើយ៖ ពេលណា ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ; នៅពេលដែលមិនមានដំណោះស្រាយ; សម្រាប់ a = -1 មានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់នៃទម្រង់ (t; 1- t) ដែល t R

ប្រសិនបើថ្នាក់ខ្លាំង ក្រុមអាចត្រូវបានផ្តល់ជូនប្រព័ន្ធផ្សេងគ្នានៃសមីការ បញ្ជីដែលមាននៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធទី 1 ។ បន្ទាប់មកក្រុមនីមួយៗបង្ហាញដំណោះស្រាយរបស់ខ្លួនដល់ថ្នាក់។

របាយការណ៍របស់ក្រុមដែលបំពេញកិច្ចការបានត្រឹមត្រូវជាលើកដំបូង

អ្នកចូលរួមបញ្ចេញសំឡេង និងពន្យល់ពីកំណែរបស់ពួកគេអំពីដំណោះស្រាយ និងឆ្លើយសំណួរដែលបានកើតឡើងពីតំណាងក្រុមផ្សេងទៀត។

1. ការងារឯករាជ្យ

ជម្រើសទី 1

ជម្រើសទី 2

1. សង្ខេបមេរៀន

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការសិក្សាដែលរួមបញ្ចូលលក្ខខណ្ឌសំខាន់បី។ គ្រូសុំឱ្យសិស្សបង្កើត។

នៅពេលសម្រេចចិត្ត សូមចងចាំថា៖

1. ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ វាចាំបាច់ដែលបន្ទាត់ដែលត្រូវគ្នានឹងសមីការនៃប្រព័ន្ធប្រសព្វគ្នា i.e. វាចាំបាច់ក្នុងការបំពេញលក្ខខណ្ឌ;
2. ដើម្បី​មិន​មាន​ដំណោះស្រាយ បន្ទាត់​ត្រូវ​តែ​ស្រប​គ្នា i.e. លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ
3. ហើយចុងក្រោយដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ បន្ទាត់ត្រូវតែស្របគ្នា ពោលគឺឧ។ លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។

គ្រូវាយតំលៃការងារនៅក្នុងមេរៀននៃថ្នាក់ទាំងមូល ហើយកំណត់សញ្ញាសម្គាល់សម្រាប់មេរៀនសម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗ។ បន្ទាប់ពីពិនិត្យមើលការងារឯករាជ្យ សិស្សម្នាក់ៗនឹងទទួលបានការវាយតម្លៃសម្រាប់មេរៀន។

1. កិច្ចការ​ផ្ទះ

សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ b ប្រព័ន្ធនៃសមីការ

• មានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់;
• មិនមានដំណោះស្រាយទេ?

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 4x + b និង y = kx + 6 គឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។

• ស្វែងរក b និង k,
• ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វទាំងនេះ។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ m និង n ។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a (ជម្រើសណាមួយ) ។

អក្សរសាស្ត្រ

1. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ 11 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: ការអប់រំ, 2008 ។
2. គណិតវិទ្យា៖ ថ្នាក់ទី៩៖ ការរៀបចំសម្រាប់ការបញ្ជាក់ចុងក្រោយរបស់រដ្ឋ / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008 ។
3. ការត្រៀមខ្លួនសម្រាប់សាកលវិទ្យាល័យ។ គណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី 2 រដ្ឋ បច្ចេកវិទ្យា។ un-t; វិទ្យាស្ថានទំនើប បច្ចេកវិទ្យា។ និងសេដ្ឋកិច្ច; ចងក្រងដោយ៖ S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palshchikov ។ - Krasnodar ឆ្នាំ ២០០៦។
4. ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់វគ្គសិក្សាត្រៀម TUSUR: មគ្គុទ្ទេសក៍សិក្សា / Z. M. Goldstein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. គូឌីណូវ។ - Tomsk: Tomsk ។ រដ្ឋ។ សាកលវិទ្យាល័យប្រព័ន្ធគ្រប់គ្រង និងវិទ្យុអេឡិចត្រូនិក ឆ្នាំ ១៩៩៨។
5. គណិតវិទ្យា៖ វគ្គសិក្សាដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងលើការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង / O. Yu. Cherkasov, A.G. Yakushev ។ - M.: Rolf, Iris-press, 1998 ។

យើងបន្តដោះស្រាយជាមួយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិចារណាលើប្រព័ន្ធដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមមធ្យោបាយណាមួយ: វិធីសាស្រ្តជំនួស("សាលា") ដោយរូបមន្តរបស់ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស, វិធីសាស្រ្ត Gauss. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ករណីពីរបន្ថែមទៀតគឺរីករាលដាលនៅក្នុងការអនុវត្តនៅពេលដែល៖

1) ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ);

2) ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងនេះ វិធីសាស្ត្រជាសកលបំផុតនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ - វិធីសាស្រ្ត Gauss. តាមពិតវិធីសាស្ត្រ "សាលា" ក៏នឹងនាំទៅរកចម្លើយដែរ ប៉ុន្តែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង វាជាទម្លាប់ក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian នៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់។ អ្នកដែលមិនស៊ាំនឹងក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Gauss សូមសិក្សាមេរៀនជាមុនសិន វិធីសាស្រ្ត Gauss

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមគឺដូចគ្នាបេះបិទភាពខុសគ្នានឹងនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ។ ជាដំបូង សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។

ឧទាហរណ៍ ១

តើអ្វីចាប់ភ្នែកអ្នកភ្លាមៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ? ចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនអថេរ។ មានទ្រឹស្តីបទមួយដែលនិយាយថា៖ “ប្រសិនបើចំនួនសមីការក្នុងប្រព័ន្ធមានតិចជាងចំនួនអថេរ, បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធគឺមិនជាប់លាប់ ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ហើយវានៅសល់តែដើម្បីស្វែងយល់។

ការចាប់ផ្តើមនៃដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញណាស់ - យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធហើយដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរបឋមយើងនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន ៗ ៖

(មួយ)។ នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេង យើងត្រូវយក (+1) ឬ (-1)។ មិនមានលេខបែបនេះនៅក្នុងជួរទីមួយទេ ដូច្នេះការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនឹងមិនដំណើរការទេ។ អង្គភាពនឹងត្រូវរៀបចំដោយឯករាជ្យ ហើយនេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ យើងបានធ្វើដូច្នេះ។ ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីបីគុណនឹង (-1) ។

(២). ឥឡូវនេះយើងទទួលបានសូន្យពីរនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ទៅជួរទីពីរ បន្ថែមជួរទីមួយ គុណនឹង 3។ ទៅជួរទីបី បន្ថែមទីមួយ គុណនឹង 5។

(៣). បន្ទាប់​ពី​ការ​បំប្លែង​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​រួច វា​តែងតែ​ត្រូវ​បាន​ណែនាំ​ដើម្បី​មើល​ថា​តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ដើម្បី​សម្រួល​ខ្សែ​លទ្ធផល​? អាច។ យើងបែងចែកជួរទីពីរដោយ 2 ក្នុងពេលតែមួយទទួលបានមួយដែលអ្នកចង់បាន (-1) នៅលើជំហានទីពីរ។ ចែកជួរទីបីដោយ (-3) ។

(៤). បន្ថែមខ្សែទីពីរទៅជួរទីបី។ ប្រហែលជាមនុស្សគ្រប់គ្នាបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះខ្សែបន្ទាត់អាក្រក់ដែលប្រែទៅជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម:

. វាច្បាស់ណាស់ថាវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។

ជាការពិត យើងសរសេរម៉ាទ្រីសលទ្ធផលឡើងវិញ

ត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ខ្សែអក្សរនៃទម្រង់ កន្លែងណាλ គឺ​ជា​លេខ​ដែល​មិន​មែន​សូន្យ បន្ទាប់​មក​ប្រព័ន្ធ​មិន​ស៊ីសង្វាក់​គ្នា (គ្មាន​ដំណោះស្រាយ)។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកត់ត្រាចុងបញ្ចប់នៃភារកិច្ច? អ្នកត្រូវសរសេរឃ្លា៖

“ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ខ្សែនៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល λ ≠ 0 "។ ចម្លើយ៖ "ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)"។

សូមចំណាំថាក្នុងករណីនេះមិនមានការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian ទេមិនមានដំណោះស្រាយទេហើយគ្មានអ្វីដែលត្រូវស្វែងរកទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងរំលឹកអ្នកថាដំណើរការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នកអាចខុសពីដំណើរការសម្រេចចិត្តរបស់យើង វិធីសាស្ត្រ Gauss មិនកំណត់ក្បួនដោះស្រាយដែលមិនច្បាស់លាស់ទេ អ្នកត្រូវទាយនីតិវិធី និងសកម្មភាពដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងករណីនីមួយៗដោយឯករាជ្យ។

លក្ខណៈបច្ចេកទេសមួយទៀតនៃដំណោះស្រាយ៖ ការបំប្លែងបឋមអាចត្រូវបានបញ្ឈប់ ក្នុងពេលតែមួយដរាបណាបន្ទាត់ដូច កន្លែងណា λ ≠ 0 . ពិចារណាឧទាហរណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ៖ ឧបមាថាបន្ទាប់ពីការបំលែងដំបូងយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស

.

ម៉ាទ្រីស​នេះ​មិន​ទាន់​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ជំហាន​មួយ​នៅ​ឡើយ​ទេ ប៉ុន្តែ​មិន​ចាំបាច់​មាន​ការ​បំប្លែង​បឋម​បន្ថែម​ទៀត​ទេ ចាប់​តាំង​ពី​បន្ទាត់​នៃ​ទម្រង់​មួយ​បាន​លេច​ឡើង ជា​កន្លែង​ដែល λ ≠ 0 . វាគួរតែត្រូវបានឆ្លើយភ្លាមៗថាប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នា។

នៅពេលដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយ នេះស្ទើរតែជាអំណោយដល់សិស្ស ពីព្រោះដំណោះស្រាយខ្លីមួយត្រូវបានទទួល ជួនកាលតាមព្យញ្ជនៈក្នុង 2-3 ជំហាន។ ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងពិភពលោកនេះគឺមានតុល្យភាព ហើយបញ្ហាដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់គឺយូរជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍ 3៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

មាន 4 សមីការ និង 4 មិនស្គាល់ ដូច្នេះប្រព័ន្ធអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ឬមានដំណោះស្រាយច្រើនគ្មានកំណត់។ មិនថាវាជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងករណីណាក៏ដោយនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយ។ នេះគឺជាភាពបត់បែនរបស់វា។

ការចាប់ផ្តើមគឺជាស្តង់ដារម្តងទៀត។ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់ជំហានមួយ៖

នោះហើយជាទាំងអស់ ហើយអ្នកខ្លាច។

(មួយ)។ សូមចំណាំថាលេខទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដូច្នេះនៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេងយើងក៏ពេញចិត្តជាមួយនឹង deuce ផងដែរ។ ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-4) ។ ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-2) ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-1) ។

យកចិត្តទុកដាក់!មនុស្សជាច្រើនអាចនឹងត្រូវបានល្បួងពីជួរទីបួន ដកបន្ទាត់​ទី​មួយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេបទពិសោធន៍បង្ហាញថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសក្នុងការគណនាកើនឡើងច្រើនដង។ យើងគ្រាន់តែបន្ថែម៖ ទៅជួរទី ៤ យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-១) - យ៉ាង​ពិតប្រាកដ!

(២). បន្ទាត់បីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ពីរក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានលុប។ នៅទីនេះម្តងទៀតវាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញ បង្កើនការយកចិត្តទុកដាក់ប៉ុន្តែតើបន្ទាត់ពិតជាសមាមាត្រមែនទេ? សម្រាប់ការធានារ៉ាប់រងឡើងវិញ វានឹងមិនត្រូវបាននាំអោយក្នុងការគុណជួរទីពីរដោយ (-1) ហើយបែងចែកជួរទី 4 ដោយ 2 ដែលបណ្តាលឱ្យមានជួរដេកដូចគ្នាបី។ ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយកចេញពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

នៅពេលបំពេញកិច្ចការក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើកំណត់ចំណាំដូចគ្នានៅក្នុងខ្មៅដៃ ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់។

យើងសរសេរឡើងវិញនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នា៖

ដំណោះស្រាយតែមួយគត់របស់ប្រព័ន្ធ "ធម្មតា" មិនមានក្លិននៅទីនេះទេ។ បន្ទាត់អាក្រក់ទៅណា λ ≠ 0, ទេ ដូច្នេះហើយ នេះជាករណីទីបីដែលនៅសល់ - ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។

សំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបនៅក្នុងទម្រង់នៃអ្វីដែលគេហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធទូទៅ.

យើងនឹងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើចលនាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការជាមួយនឹងសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ គំនិតថ្មីលេចឡើង៖ "អថេរមូលដ្ឋាន"និង "អថេរឥតគិតថ្លៃ". ដំបូង​យើង​កំណត់​អថេរ​អ្វី​ដែល​យើង​មាន មូលដ្ឋាននិងអថេរអ្វីខ្លះ - ឥតគិតថ្លៃ. វាមិនចាំបាច់ក្នុងការពន្យល់លម្អិតអំពីលក្ខខណ្ឌនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរនោះទេ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំថាមាន អថេរមូលដ្ឋាននិង អថេរឥតគិតថ្លៃ.

អថេរមូលដ្ឋានតែងតែ "អង្គុយ" យ៉ាងតឹងរ៉ឹងលើជំហាននៃម៉ាទ្រីស. ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អថេរមូលដ្ឋានគឺ x 1 និង x 3 .

អថេរឥតគិតថ្លៃគឺជាអ្វីគ្រប់យ៉ាង នៅសល់អថេរដែលមិនទទួលបានជំហានមួយ។ ក្នុងករណីរបស់យើងមានពីរ៖ x 2 និង x 4 - អថេរឥតគិតថ្លៃ។

ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវការ ទាំងអស់។អថេរមូលដ្ឋានបង្ហាញ តែតាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ. ចលនាបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian ដំណើរការពីបាតឡើងលើ។ ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាន x 3:

ឥឡូវនេះសូមមើលសមីការទីមួយ៖ . ដំបូងយើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាន x 1 តាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 4:

លទ្ធផលគឺអ្វីដែលអ្នកត្រូវការ - ទាំងអស់។អថេរមូលដ្ឋាន ( x 1 និង x 3) បានបង្ហាញ តែតាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ ( x 2 និង x 4):

តាមពិតដំណោះស្រាយទូទៅគឺរួចរាល់ហើយ៖

.

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅ? ជាដំបូង អថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ "ដោយខ្លួនឯង" និងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅកន្លែងរបស់ពួកគេ។ ក្នុងករណីនេះអថេរឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 4 គួរតែត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងមុខតំណែងទីពីរនិងទីបួន:

.

កន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋាន ហើយច្បាស់ណាស់ចាំបាច់ត្រូវសរសេរក្នុងមុខតំណែងទីមួយ និងទីបី៖

ពីដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធមួយអាចរកឃើញជាច្រើនគ្មានកំណត់ ការសម្រេចចិត្តឯកជន. វាសាមញ្ញណាស់។ អថេរឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 4 ត្រូវបានគេហៅដូច្នេះដោយសារតែពួកគេអាចផ្តល់ឱ្យ តម្លៃចុងក្រោយណាមួយ។. តម្លៃដែលពេញនិយមបំផុតគឺតម្លៃសូន្យព្រោះថានេះគឺជាវិធីងាយស្រួលបំផុតដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ការជំនួស ( x 2 = 0; x 4 = 0) ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពិសេសមួយ៖

ឬ​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​ជាក់លាក់​មួយ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​អថេរ​សេរី​ដែល​មាន​តម្លៃ ( x 2 = 0; x 4 = 0).

មួយ​គូ​ជា​គូស្នេហ៍​ផ្អែមល្ហែម​មួយ​ទៀត​ តោះ​ជំនួស ( x 2 = 1 និង x 4 = 1) ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

ពោលគឺ (-1; 1; 1; 1) គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយផ្សេងទៀត។

វាងាយមើលឃើញថាប្រព័ន្ធសមីការមាន ដំណោះស្រាយជាច្រើន។ចាប់តាំងពីយើងអាចផ្តល់អថេរដោយឥតគិតថ្លៃ ណាមួយ។តម្លៃ។

គ្នា។ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវតែពេញចិត្ត ដល់គ្នា។សមីការប្រព័ន្ធ។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យ "រហ័ស" នៃភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមយកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ (-1; 1; 1; 1) ហើយជំនួសវាទៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវមកជាមួយគ្នា។ ហើយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយពិសេសណាមួយដែលអ្នកទទួលបាន អ្វីគ្រប់យ៉ាងក៏គួរតែបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ពេលខ្លះបញ្ឆោត ពោលគឺឧ។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួនអាចបំពេញសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ហើយដំណោះស្រាយទូទៅខ្លួនឯងត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះជាដំបូង ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយទូទៅគឺមានភាពហ្មត់ចត់ និងអាចទុកចិត្តបានជាង។

របៀបពិនិត្យមើលលទ្ធផលទូទៅនៃដំណោះស្រាយ ?

វា​មិន​ពិបាក​ទេ ប៉ុន្តែ​វា​ទាមទារ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ដ៏​យូរ​អង្វែង។ យើងត្រូវទទួលយកការបញ្ចេញមតិ មូលដ្ឋានអថេរក្នុងករណីនេះ និង ហើយជំនួសពួកវាទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានទទួល។

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរដើមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានទទួល។

ហើយបន្ថែមទៀត - ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីបីនិងទីបួននៃប្រព័ន្ធ។ ការត្រួតពិនិត្យនេះគឺយូរជាងនេះ ប៉ុន្តែវាធានានូវភាពត្រឹមត្រូវ 100% នៃដំណោះស្រាយទាំងមូល។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងភារកិច្ចមួយចំនួនវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅ។

ឧទាហរណ៍ 4៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងឯកជនពីរ។ ពិនិត្យដំណោះស្រាយរួម។

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ នៅទីនេះដោយវិធីនេះម្តងទៀតចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ដែលមានន័យថាវាច្បាស់ភ្លាមៗថាប្រព័ន្ធនឹងមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាឬជាមួយនឹងចំនួនគ្មានកំណត់នៃដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ 5៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ចូរស្វែងរកដំណោះស្រាយពិសេសពីរ ហើយពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅ

ការសម្រេចចិត្ត៖ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

(មួយ)។ បន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយទៅជួរទីពីរ។ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 2។ ទៅជួរទីបួន យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 3។

(២). ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង (-5) ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង (-7) ។

(៣). ជួរទីបីនិងទីបួនគឺដូចគ្នាយើងលុបមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ ខាងក្រោមនេះជាភាពស្រស់ស្អាត៖

អថេរមូលដ្ឋានស្ថិតនៅលើជំហាន ដូច្នេះពួកវាជាអថេរមូលដ្ឋាន។

មានអថេរឥតគិតថ្លៃតែមួយគត់ ដែលមិនទទួលបានជំហាន៖ .

(៤). ចលនាបញ្ច្រាស។ យើងបង្ហាញអថេរជាមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

ពីសមីការទីបី៖

ពិចារណាសមីការទីពីរ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

, , ,

ពិចារណាសមីការទីមួយ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ ហើយចូលទៅក្នុងវា៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅជាមួយនឹងអថេរឥតគិតថ្លៃមួយ។ x 4:

ម្តងនេះ តើវាកើតឡើងដោយរបៀបណា? អថេរឥតគិតថ្លៃ x៤ អង្គុយតែម្នាក់ឯងក្នុងទី ៤ ត្រឹមត្រូវរបស់វា។ កន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋាន , , ក៏មាននៅក្នុងកន្លែងរបស់ពួកគេផងដែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅភ្លាមៗ។

យើងជំនួសអថេរមូលដ្ឋាន , ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំដែលត្រូវគ្នានៃសមីការត្រូវបានទទួល ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅត្រឹមត្រូវត្រូវបានរកឃើញ។

ឥឡូវនេះពីដំណោះស្រាយទូទៅដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពិសេសពីរ។ អថេរទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញនៅទីនេះតាមរយៈតែមួយ អថេរ x៤. អ្នកមិនចាំបាច់បំបែកក្បាលរបស់អ្នកទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន x 4 = 0 បន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសទីមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន x 4 = 1 បន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយទៀត។

ចម្លើយ៖ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖ . ដំណោះស្រាយឯកជន៖

និង .

ឧទាហរណ៍ ៦៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។

យើងបានពិនិត្យដំណោះស្រាយទូទៅរួចហើយ ចម្លើយអាចទុកចិត្តបាន។ សកម្មភាពរបស់អ្នកអាចខុសពីសកម្មភាពរបស់យើង។ រឿងចំបងគឺថាដំណោះស្រាយទូទៅស្របគ្នា។ ប្រហែលជា មនុស្សជាច្រើនបានកត់សម្គាល់ឃើញពីពេលវេលាមិនល្អនៅក្នុងដំណោះស្រាយ៖ ជាញឹកញាប់ ក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងត្រូវដើរលេងជាមួយប្រភាគធម្មតា។ នៅក្នុងការអនុវត្ត នេះជាការពិត ករណីដែលគ្មានប្រភាគគឺជារឿងធម្មតាតិចជាង។ ត្រូវត្រៀមខ្លួនខាងផ្លូវចិត្ត ហើយសំខាន់បំផុតគឺបច្ចេកទេស។

ចូរយើងរស់នៅលើលក្ខណៈពិសេសនៃដំណោះស្រាយដែលមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធជួនកាលអាចរួមបញ្ចូលថេរ (ឬថេរ) ។

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយទូទៅ៖ ។ ខាងក្រោមនេះជាអថេរមូលដ្ឋានមួយគឺស្មើនឹងចំនួនថេរ៖ . មិនមានអ្វីកម្រនិងអសកម្មនៅក្នុងរឿងនេះទេវាកើតឡើង។ ជាក់ស្តែង ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយពិសេសណាមួយនឹងមានប្រាំនៅក្នុងទីតាំងដំបូង។

កម្រណាស់ ប៉ុន្តែមានប្រព័ន្ធ ចំនួនសមីការគឺធំជាងចំនួនអថេរ. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ដំណើរការក្រោមលក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរបំផុត។ អ្នកគួរតែនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយស្ងប់ស្ងាត់យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា អាចមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ អាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

យើងនិយាយម្តងទៀតនៅក្នុងដំបូន្មានរបស់យើង - ដើម្បីមានអារម្មណ៍ស្រួលនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកគួរតែបំពេញដៃរបស់អ្នកហើយដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ប្រព័ន្ធរាប់សិប។

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖

ការសម្រេចចិត្ត៖ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមដែលបានអនុវត្ត៖

(1) ខ្សែទីមួយនិងទីបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។

(2) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរគុណនឹង (-6) ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង (-7) ។

(3) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង (-1) ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម, ខ្សែនៃទម្រង់មួយ។កន្លែងណា λ ≠ 0 .ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍ 4៖

ការសម្រេចចិត្ត៖យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់ជំហានមួយ៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖

(មួយ)។ ជួរទីមួយគុណនឹង 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

មិនមានឯកតាសម្រាប់ជំហានទីពីរទេ។ ហើយការផ្លាស់ប្តូរ (2) មានគោលបំណងដើម្បីទទួលបានវា។

(២). ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -3 ។

(៣). ជួរទីពីរនិងទីបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (លទ្ធផល -1 ត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅជំហានទីពីរ)

(៤). ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង 3 ។

(៥). សញ្ញានៃបន្ទាត់ពីរដំបូងត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) បន្ទាត់ទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 14 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

(មួយ)។ នៅទីនេះ គឺជាអថេរមូលដ្ឋាន (ដែលស្ថិតនៅលើជំហាន) និង គឺជាអថេរឥតគិតថ្លៃ (ដែលមិនទទួលបានជំហាន) ។

(២). យើងបង្ហាញអថេរមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

ពីសមីការទីបី៖ .

(៣). ពិចារណាសមីការទីពីរ៖ដំណោះស្រាយពិសេស៖

ចម្លើយ៖ ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

លេខស្មុគស្មាញ

នៅក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងណែនាំអំពីគំនិត ចំនួនកុំផ្លិច, ពិចារណា ពិជគណិត, ត្រីកោណមាត្រនិង ទម្រង់ចង្អុលបង្ហាញចំនួនកុំផ្លិច។ យើងក៏នឹងរៀនពីរបៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចផងដែរ៖ បូក ដក គុណ ចែក និទស្សន្ត និងដកឫស។

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច អ្នកមិនត្រូវការចំណេះដឹងពិសេសណាមួយពីមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់នោះទេ ហើយសម្ភារៈអាចរកបានសូម្បីតែសិស្សសាលាក៏ដោយ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអាចធ្វើប្រតិបត្តិការពិជគណិតជាមួយនឹងលេខ "ធម្មតា" ហើយចងចាំត្រីកោណមាត្រ។

ជាដំបូង ចូរយើងចងចាំលេខ "ធម្មតា" ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាពួកគេត្រូវបានគេហៅថា សំណុំនៃចំនួនពិតហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ Rឬ R (ក្រាស់) ។ លេខពិតទាំងអស់ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់លេខដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

ក្រុមហ៊ុននៃចំនួនពិតមានពណ៌ច្រើន - នេះគឺជាចំនួនគត់ និងប្រភាគ និងលេខមិនសមហេតុផល។ ក្នុងករណីនេះ ចំនុចនីមួយៗនៃអ័ក្សលេខត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនពិតមួយចំនួន។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ករណីពីរបន្ថែមទៀតគឺរីករាលដាលនៅក្នុងការអនុវត្ត៖

- ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ);
ប្រព័ន្ធនេះមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ចំណាំ ៖ ពាក្យ "ភាពជាប់លាប់" បង្កប់ន័យថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយយ៉ាងតិច។ នៅក្នុងកិច្ចការមួយចំនួនវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិនិត្យមើលប្រព័ន្ធជាមុនសម្រាប់ភាពឆបគ្នារបៀបធ្វើ - សូមមើលអត្ថបទនៅលើ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស.

សម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងនេះ វិធីសាស្ត្រជាសកលបំផុតនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ - វិធីសាស្រ្ត Gauss. តាមពិតវិធីសាស្ត្រ "សាលា" ក៏នឹងនាំទៅរកចម្លើយដែរ ប៉ុន្តែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង វាជាទម្លាប់ក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian នៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់។ អ្នកដែលមិនស៊ាំនឹងក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Gauss សូមសិក្សាមេរៀនជាមុនសិន វិធីសាស្រ្ត gauss សម្រាប់អត់ចេះសោះ.

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមគឺដូចគ្នាបេះបិទភាពខុសគ្នានឹងនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ។ ជាដំបូង សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។

ឧទាហរណ៍ ១

តើអ្វីចាប់ភ្នែកអ្នកភ្លាមៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ? ចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនអថេរ។ ប្រសិនបើចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនអថេរបន្ទាប់មក យើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថា ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ ហើយវានៅសល់តែដើម្បីស្វែងយល់។

ការចាប់ផ្តើមនៃដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញណាស់ - យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធហើយដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរបឋមយើងនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន ៗ ៖

(1) នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេង យើងត្រូវយក +1 ឬ -1។ មិនមានលេខបែបនេះនៅក្នុងជួរទីមួយទេ ដូច្នេះការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនឹងមិនដំណើរការទេ។ អង្គភាពនឹងត្រូវរៀបចំដោយឯករាជ្យ ហើយនេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ ខ្ញុំធ្វើដូចនេះ៖ ទៅជួរទីមួយ បន្ថែមជួរទីបី គុណនឹង -1។

(2) ឥឡូវនេះយើងទទួលបានសូន្យពីរនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ទៅជួរទីពីរ យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 3។ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 5។

(3) បន្ទាប់ពីការបំប្លែងត្រូវបានបញ្ចប់ វាត្រូវបានណែនាំជានិច្ចដើម្បីមើលថាតើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលខ្សែលទ្ធផលដែរឬទេ? អាច។ យើងបែងចែកជួរទីពីរដោយ 2 ក្នុងពេលតែមួយទទួលបាន -1 ដែលចង់បាននៅលើជំហានទីពីរ។ ចែកជួរទីបីដោយ -3 ។

(4) បន្ថែមខ្សែទីពីរទៅជួរទីបី។

ប្រហែលជាមនុស្សគ្រប់គ្នាបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះខ្សែបន្ទាត់អាក្រក់ដែលប្រែទៅជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម: . វាច្បាស់ណាស់ថាវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ ជាការពិត យើងសរសេរម៉ាទ្រីសលទ្ធផលឡើងវិញ ត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ខ្សែនៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល ដែលជាលេខមិនមែនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ)។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកត់ត្រាចុងបញ្ចប់នៃភារកិច្ច? ចូរគូរជាមួយដីសពណ៌ស៖ "ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម បន្ទាត់នៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល កន្លែងណា" ហើយផ្តល់ចម្លើយ៖ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។

ប្រសិនបើយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីរុករកប្រព័ន្ធសម្រាប់ភាពឆបគ្នានោះ វាចាំបាច់ក្នុងការចេញដំណោះស្រាយនៅក្នុងរចនាប័ទ្មដ៏រឹងមាំបន្ថែមទៀតដែលពាក់ព័ន្ធនឹងគំនិត។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស និងទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli.

សូមចំណាំថាមិនមានចលនាបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian នៅទីនេះទេ - មិនមានដំណោះស្រាយ ហើយគ្មានអ្វីដែលត្រូវស្វែងរកទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ ជាថ្មីម្តងទៀត ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ផ្លូវដំណោះស្រាយរបស់អ្នកអាចខុសពីផ្លូវដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ ក្បួនដោះស្រាយ Gaussian មិនមាន "ភាពរឹង" ខ្លាំងនោះទេ។

លក្ខណៈបច្ចេកទេសមួយទៀតនៃដំណោះស្រាយ៖ ការបំប្លែងបឋមអាចត្រូវបានបញ្ឈប់ ក្នុងពេលតែមួយដរាបណាបន្ទាត់ដូច កន្លែងណា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ៖ ឧបមាថាបន្ទាប់ពីការបំលែងដំបូងយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស . ម៉ាទ្រីស​មិន​ទាន់​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ជំហាន​ទេ ប៉ុន្តែ​មិន​ចាំបាច់​មាន​ការ​បំប្លែង​បឋម​បន្ថែម​ទៀត​ទេ ចាប់​តាំង​ពី​បន្ទាត់​នៃ​ទម្រង់​មួយ​បាន​លេច​ឡើង​ជា​កន្លែង។ វាគួរតែត្រូវបានឆ្លើយភ្លាមៗថាប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នា។

នៅពេលដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយ នេះស្ទើរតែជាអំណោយមួយ ពីព្រោះដំណោះស្រាយខ្លីមួយត្រូវបានទទួល ជួនកាលតាមព្យញ្ជនៈក្នុង 2-3 ជំហាន។

ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងពិភពលោកនេះគឺមានតុល្យភាព ហើយបញ្ហាដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់គឺយូរជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

មាន 4 សមីការ និង 4 មិនស្គាល់ ដូច្នេះប្រព័ន្ធអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ឬមានដំណោះស្រាយច្រើនគ្មានកំណត់។ មិនថាវាជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងករណីណាក៏ដោយនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយ។ វាស្ថិតនៅលើភាពបត់បែនរបស់វា។

ការចាប់ផ្តើមគឺជាស្តង់ដារម្តងទៀត។ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់ជំហានមួយ៖

នោះហើយជាទាំងអស់ ហើយអ្នកខ្លាច។

(1) ចំណាំថាលេខទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដូច្នេះលេខ 2 គឺល្អនៅលើជួរកំពូលខាងឆ្វេង។ ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -4 ។ ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2 ។ ទៅ​ជួរ​ទី​បួន យើង​បន្ថែម​ជួរ​ទីមួយ​គុណ​នឹង -1 ។

យកចិត្តទុកដាក់!មនុស្សជាច្រើនអាចនឹងត្រូវបានល្បួងពីជួរទីបួន ដកបន្ទាត់​ទី​មួយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេបទពិសោធន៍បង្ហាញថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសក្នុងការគណនាកើនឡើងច្រើនដង។ គ្រាន់តែបន្ថែម៖ ទៅជួរទី ៤ បន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -១ - យ៉ាង​ពិតប្រាកដ!

(2) បន្ទាត់បីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ពីរនៃពួកវាអាចត្រូវបានលុប។

នៅទីនេះម្តងទៀតវាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញ បង្កើនការយកចិត្តទុកដាក់ប៉ុន្តែតើបន្ទាត់ពិតជាសមាមាត្រមែនទេ? សម្រាប់ការធានាឡើងវិញ (ជាពិសេសសម្រាប់តែចាន) វានឹងមិននាំឱ្យខាតពេលក្នុងការគុណជួរទីពីរដោយ -1 ហើយបែងចែកជួរទីបួនដោយ 2 ដែលបណ្តាលឱ្យមានជួរដេកដូចគ្នាចំនួនបី។ ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយកចេញពីរ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

នៅពេលបំពេញកិច្ចការក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើកំណត់ចំណាំដូចគ្នានៅក្នុងខ្មៅដៃ ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់។

យើងសរសេរឡើងវិញនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នា៖

ដំណោះស្រាយតែមួយគត់របស់ប្រព័ន្ធ "ធម្មតា" មិនមានក្លិននៅទីនេះទេ។ មិន​មាន​បន្ទាត់​អាក្រក់​ផង​ដែរ​។ នេះមានន័យថានេះជាករណីទីបីដែលនៅសល់ - ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់។ ពេលខ្លះតាមលក្ខខណ្ឌ ចាំបាច់ត្រូវស៊ើបអង្កេតពីភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ (ឧ. ដើម្បីបញ្ជាក់ថាមានដំណោះស្រាយ) អ្នកអាចអានអំពីរឿងនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃអត្ថបទ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ?ប៉ុន្តែ​សម្រាប់​ពេល​នេះ ចូរ​យើង​បំបែក​មូលដ្ឋាន​គ្រឹះ៖

សំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបនៅក្នុងទម្រង់នៃអ្វីដែលគេហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធទូទៅ .

យើងនឹងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើចលនាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដំបូងយើងត្រូវកំណត់ថាតើអថេរអ្វីខ្លះដែលយើងមាន មូលដ្ឋាននិងអថេរមួយណា ឥតគិតថ្លៃ. វាមិនចាំបាច់ក្នុងការរំខានជាមួយលក្ខខណ្ឌនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរនោះទេ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំថាមាន អថេរមូលដ្ឋាននិង អថេរឥតគិតថ្លៃ.

អថេរមូលដ្ឋានតែងតែ "អង្គុយ" យ៉ាងតឹងរ៉ឹងលើជំហាននៃម៉ាទ្រីស.
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អថេរមូលដ្ឋានគឺ និង

អថេរឥតគិតថ្លៃគឺជាអ្វីគ្រប់យ៉ាង នៅសល់អថេរដែលមិនទទួលបានជំហានមួយ។ ក្នុងករណីរបស់យើងមានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ៖ - អថេរឥតគិតថ្លៃ។

ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវការ ទាំងអស់។ អថេរមូលដ្ឋានបង្ហាញ តែតាមរយៈ អថេរឥតគិតថ្លៃ.

ចលនាបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian ដំណើរការពីបាតឡើងលើ។
ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាន៖

ឥឡូវនេះសូមមើលសមីការទីមួយ៖ . ដំបូងយើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

លទ្ធផលគឺអ្វីដែលអ្នកត្រូវការ - ទាំងអស់។អថេរមូលដ្ឋាន (និង) ត្រូវបានបង្ហាញ តែតាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

តាមពិតដំណោះស្រាយទូទៅគឺរួចរាល់ហើយ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅ?
អថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ "ដោយខ្លួនឯង" និងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅកន្លែងរបស់ពួកគេ។ ក្នុងករណីនេះ អថេរឥតគិតថ្លៃ គួរតែត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងទីតាំងទីពីរ និងទីបួន៖
.

កន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋាន ហើយច្បាស់ណាស់ចាំបាច់ត្រូវសរសេរក្នុងមុខតំណែងទីមួយ និងទីបី៖

ផ្តល់អថេរឥតគិតថ្លៃ តម្លៃបំពានមានច្រើនឥតកំណត់ ការសម្រេចចិត្តឯកជន. តម្លៃដែលពេញនិយមបំផុតគឺសូន្យចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយពិសេសគឺងាយស្រួលបំផុតដើម្បីទទួលបាន។ ជំនួសនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

គឺជាការសម្រេចចិត្តឯកជន។

មួយ​គូ​ជា​គូស្នេហ៍​ផ្អែមល្ហែម​មួយ​គូ​ទៀត តោះ​ជំនួស​ដំណោះ​ស្រាយ​ទូទៅ៖

គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយទៀត។

វាងាយមើលឃើញថាប្រព័ន្ធសមីការមាន ដំណោះស្រាយជាច្រើន។(ចាប់តាំងពីយើងអាចផ្តល់អថេរឥតគិតថ្លៃ ណាមួយ។តម្លៃ)

គ្នា។ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវតែពេញចិត្ត ដល់គ្នា។សមីការប្រព័ន្ធ។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យ "រហ័ស" នៃភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវមកជាមួយគ្នា។ ហើយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយពិសេសណាមួយដែលអ្នកទទួលបាន អ្វីគ្រប់យ៉ាងក៏គួរតែបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

ប៉ុន្តែនិយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយពេលខ្លះបញ្ឆោត។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួនអាចបំពេញសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ហើយដំណោះស្រាយទូទៅខ្លួនឯងត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមត្រូវ។

ដូច្នេះការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយទូទៅគឺមានភាពហ្មត់ចត់ និងអាចទុកចិត្តបានជាង។ របៀបពិនិត្យមើលលទ្ធផលទូទៅនៃដំណោះស្រាយ ?

វាងាយស្រួល ប៉ុន្តែគួរឱ្យធុញទ្រាន់ណាស់។ យើងត្រូវទទួលយកការបញ្ចេញមតិ មូលដ្ឋានអថេរក្នុងករណីនេះ និង ហើយជំនួសពួកវាទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ៖

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖


ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើមត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍ 4

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងឯកជនពីរ។ ពិនិត្យដំណោះស្រាយរួម។

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ នៅទីនេះដោយវិធីនេះម្តងទៀតចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ដែលមានន័យថាវាច្បាស់ភ្លាមៗថាប្រព័ន្ធនឹងមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាឬជាមួយនឹងចំនួនគ្មានកំណត់នៃដំណោះស្រាយ។ តើអ្វីសំខាន់នៅក្នុងដំណើរការសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង? ការយកចិត្តទុកដាក់ ហើយម្តងទៀតការយកចិត្តទុកដាក់. ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

និងឧទាហរណ៍ពីរបីបន្ថែមទៀតដើម្បីពង្រឹងសម្ភារៈ

ឧទាហរណ៍ ៥

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ចូរស្វែងរកដំណោះស្រាយពិសេសពីរ ហើយពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅ

ការសម្រេចចិត្ត៖ ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ និងដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម យើងនាំវាទៅជាទម្រង់ជំហាន៖

(1) បន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយទៅជួរទីពីរ។ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 2។ ទៅជួរទីបួន យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 3។
(2) ទៅជួរទីបី បន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង -5 ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -7 ។
(3) ជួរទី 3 និងទី 4 គឺដូចគ្នា យើងលុបមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

ខាងក្រោមនេះជាភាពស្រស់ស្អាត៖

អថេរមូលដ្ឋានស្ថិតនៅលើជំហាន ដូច្នេះពួកវាជាអថេរមូលដ្ឋាន។
មានអថេរឥតគិតថ្លៃតែមួយគត់ ដែលមិនទទួលបានជំហាន៖

ចលនាបញ្ច្រាស៖
យើងបង្ហាញអថេរជាមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖
ពីសមីការទីបី៖

ពិចារណាសមីការទីពីរ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

ពិចារណាសមីការទីមួយ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ ហើយចូលទៅក្នុងវា៖

បាទ ម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលរាប់ប្រភាគធម្មតានៅតែងាយស្រួល។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ម្តងនេះ តើវាកើតឡើងដោយរបៀបណា? អថេរឥតគិតថ្លៃអង្គុយតែម្នាក់ឯងនៅក្នុងកន្លែងទីបួនត្រឹមត្រូវរបស់វា។ កន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋានក៏បានយកកន្លែងធម្មតារបស់ពួកគេផងដែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅភ្លាមៗ។ ធ្វើការឱ្យស្បែកខ្មៅ ប៉ុន្តែខ្ញុំបានធ្វើវារួចហើយ ដូច្នេះចាប់ =)

យើងជំនួសវីរបុរសបី , ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំដែលត្រូវគ្នានៃសមីការត្រូវបានទទួល ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ឥឡូវនេះពីដំណោះស្រាយទូទៅដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពិសេសពីរ។ មេចុងភៅនៅទីនេះគឺជាអថេរឥតគិតថ្លៃតែមួយគត់។ អ្នកមិនចាំបាច់បំបែកក្បាលរបស់អ្នកទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មក គឺជាការសម្រេចចិត្តឯកជន។
អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយទៀត។

ចម្លើយការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖ ដំណោះស្រាយពិសេស៖ , .

ខ្ញុំមិនគួរចងចាំអំពីជនជាតិស្បែកខ្មៅនៅទីនេះទេ ... ... ពីព្រោះការជម្រុញសោកនាដកម្មគ្រប់ប្រភេទបានចូលមកក្នុងក្បាលរបស់ខ្ញុំ ហើយខ្ញុំក៏នឹកឃើញរូបភាព Fotozhaba ដ៏ល្បីល្បាញដែល Ku Klux Klansmen ក្នុងឈុតពណ៌សរត់ពេញវាលបន្ទាប់ពីបាល់ទាត់ខ្មៅ។ អ្នកលេង។ ខ្ញុំអង្គុយញញឹមយ៉ាងស្ងប់ស្ងាត់។ ដឹង​ថា​រំខាន​ដល់​ណា​…

គណិតវិទ្យាជាច្រើនគឺមានគ្រោះថ្នាក់ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ចុងក្រោយស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។

ខ្ញុំបានពិនិត្យដំណោះស្រាយទូទៅរួចហើយ ចម្លើយអាចទុកចិត្តបាន។ ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកអាចខុសពីដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ រឿងសំខាន់គឺថាដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវគ្នា។

ប្រហែលជា មនុស្សជាច្រើនបានកត់សម្គាល់ឃើញពីពេលវេលាមិនល្អនៅក្នុងដំណោះស្រាយ៖ ជាញឹកញាប់ ក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងត្រូវដើរលេងជាមួយប្រភាគធម្មតា។ នៅក្នុងការអនុវត្ត នេះជាការពិត ករណីដែលគ្មានប្រភាគគឺជារឿងធម្មតាតិចជាង។ ត្រូវត្រៀមខ្លួនខាងផ្លូវចិត្ត ហើយសំខាន់បំផុតគឺបច្ចេកទេស។

ខ្ញុំនឹងរស់នៅលើលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃដំណោះស្រាយដែលមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធជួនកាលអាចរួមបញ្ចូលថេរ (ឬថេរ) ឧទាហរណ៍៖ . ខាងក្រោមនេះជាអថេរមូលដ្ឋានមួយគឺស្មើនឹងចំនួនថេរ៖ . មិនមានអ្វីកម្រនិងអសកម្មនៅក្នុងរឿងនេះទេវាកើតឡើង។ ជាក់ស្តែង ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយពិសេសណាមួយនឹងមានប្រាំនៅក្នុងទីតាំងដំបូង។

កម្រណាស់ ប៉ុន្តែមានប្រព័ន្ធ ចំនួនសមីការគឺធំជាងចំនួនអថេរ. វិធីសាស្ត្រ Gauss ដំណើរការក្នុងស្ថានភាពធ្ងន់ធ្ងរបំផុត អ្នកគួរតែនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ជំហានមួយដោយស្ងប់ស្ងាត់តាមក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា អាចមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយអ្វីដែលចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ អាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។