ប្រធានបទដ៏លំបាកបំផុតមួយសម្រាប់សិស្សគឺការដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។ ចាំ​មើល​សិន​ថា​វា​ភ្ជាប់​ជាមួយ​អ្វី? ជាឧទាហរណ៍ ហេតុអ្វីបានជាសមីការ quadratic កុមារភាគច្រើនចុចដូចជាគ្រាប់ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងគំនិតដ៏ស្មុគស្មាញបំផុតដែលជាម៉ូឌុលមានបញ្ហាជាច្រើន?

តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ ការលំបាកទាំងអស់នេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងកង្វះនៃច្បាប់ដែលបានបង្កើតយ៉ាងច្បាស់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងម៉ូឌុលមួយ។ ដូច្នេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េ សិស្សដឹងច្បាស់ថាគាត់ត្រូវអនុវត្តរូបមន្តបែងចែកជាដំបូង ហើយបន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើម៉ូឌុលមួយត្រូវបានជួបប្រទះនៅក្នុងសមីការ? យើងនឹងព្យាយាមពណ៌នាយ៉ាងច្បាស់អំពីផែនការសកម្មភាពចាំបាច់សម្រាប់ករណី នៅពេលដែលសមីការមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។ យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើនសម្រាប់ករណីនីមួយៗ។

ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងចងចាំ និយមន័យម៉ូឌុល. ដូច្នេះម៉ូឌុលនៃលេខ កលេខខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថាប្រសិនបើ កមិនអវិជ្ជមាន និង -កប្រសិនបើលេខ កតិចជាងសូន្យ។ អ្នកអាចសរសេរវាដូចនេះ៖

|a| = a ប្រសិនបើ a ≥ 0 និង |a| = -a ប្រសិនបើ a< 0

និយាយអំពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថាចំនួនពិតនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចជាក់លាក់មួយនៅលើអ័ក្សលេខ - វាទៅ សំរបសំរួល។ ដូច្នេះ ម៉ូឌុល ឬតម្លៃដាច់ខាតនៃលេខគឺជាចម្ងាយពីចំណុចនេះទៅប្រភពដើមនៃអ័ក្សលេខ។ ចម្ងាយតែងតែត្រូវបានផ្តល់ជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដោយវិធីនេះសូម្បីតែនៅដំណាក់កាលនេះសិស្សជាច្រើនចាប់ផ្តើមយល់ច្រឡំ។ លេខណាមួយអាចស្ថិតនៅក្នុងម៉ូឌុល ប៉ុន្តែលទ្ធផលនៃការអនុវត្តម៉ូឌុលគឺតែងតែជាលេខវិជ្ជមាន។

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការដោះស្រាយសមីការ។

1. ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់ |x| = c ដែល c ជាចំនួនពិត។ សមីការនេះអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើនិយមន័យនៃម៉ូឌុល។

យើងបែងចែកចំនួនពិតទាំងអស់ជាបីក្រុម៖ លេខធំជាងសូន្យ លេខតូចជាងសូន្យ និងក្រុមទីបីគឺលេខ 0។ យើងសរសេរដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ជាដ្យាក្រាម៖

(±c ប្រសិនបើ c> 0

បើ |x| = c បន្ទាប់មក x = (0 ប្រសិនបើ c = 0

(គ្មានឫសប្រសិនបើជាមួយ< 0

១) |x| = 5, ដោយសារតែ 5 > 0 បន្ទាប់មក x = ± 5;

២) |x| = -5, ដោយសារតែ -៥< 0, то уравнение не имеет корней;

៣) |x| = 0 បន្ទាប់មក x = 0 ។

2. សមីការនៃទម្រង់ |f(x)| = b, ដែល b > 0. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ ចាំបាច់ត្រូវកម្ចាត់ម៉ូឌុល។ យើងធ្វើដូចនេះ៖ f(x) = b ឬ f(x) = -b ។ ឥឡូវនេះវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយដោយឡែកពីគ្នានៃសមីការដែលទទួលបាន។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការដើម ខ< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, ដោយសារតែ 4 > 0 បន្ទាប់មក

x + 2 = 4 ឬ x + 2 = −4

2) |x 2 − 5| = 11, ដោយសារតែ 11 > 0 បន្ទាប់មក

x 2 − 5 = 11 ឬ x 2 − 5 = −11

x 2 = 16 x 2 = −6

x = ± 4 គ្មានឫស

3) |x 2 − 5x| = -8, ដោយសារតែ - ប្រាំបី< 0, то уравнение не имеет корней.

3. សមីការនៃទម្រង់ |f(x)| = g(x) ។ យោងតាមអត្ថន័យនៃម៉ូឌុល សមីការបែបនេះនឹងមានដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំរបស់វាធំជាង ឬស្មើសូន្យ ពោលគឺឧ។ g(x) ≥ 0. បន្ទាប់មកយើងមាន៖

f(x) = g(x)ឬ f(x) = -g(x).

1) |2x–1| = 5x − 10. សមីការនេះនឹងមានឫស ប្រសិនបើ 5x − 10 ≥ 0. នេះគឺជាកន្លែងដែលដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះចាប់ផ្តើម។

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. ដំណោះស្រាយ៖

2x − 1 = 5x − 10 ឬ 2x − 1 = -(5x − 10)

3. ផ្សំ O.D.Z. ហើយដំណោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ឫស x \u003d 11/7 មិនសមយោងទៅតាម O.D.Z. វាតិចជាង 2 ហើយ x \u003d 3 បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ។

ចម្លើយ៖ x = ៣

២) |x–១| \u003d 1 - x 2 ។

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. ចូរយើងដោះស្រាយវិសមភាពនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល៖

(1 − x)(1 + x) ≥ 0

2. ដំណោះស្រាយ៖

x - 1 \u003d 1 - x 2 ឬ x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x − 2 = 0 x 2 − x = 0

x = −2 ឬ x = 1 x = 0 ឬ x = 1

3. ផ្សំដំណោះស្រាយ និង O.D.Z.:

មានតែឫស x = 1 និង x = 0 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។

ចម្លើយ៖ x = 0, x = 1 ។

4. សមីការនៃទម្រង់ |f(x)| = |g(x)|។ សមីការបែបនេះគឺស្មើនឹងសមីការពីរខាងក្រោម f(x) = g(x) ឬ f(x) = -g(x) ។

1) |x 2 − 5x + 7| = |2x–5|។ សមីការនេះគឺស្មើនឹងពីរខាងក្រោម៖

x 2 − 5x + 7 = 2x − 5 ឬ x 2 − 5x +7 = −2x + 5

x 2 − 7x + 12 = 0 x 2 − 3x + 2 = 0

x = 3 ឬ x = 4 x = 2 ឬ x = 1

ចម្លើយ៖ x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 ។

5. សមីការដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស (ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ) ។ វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយនេះគឺងាយស្រួលបំផុតក្នុងការពន្យល់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។ ដូច្នេះ សូម​ឱ្យ​សមីការ​ការ៉េ​ជាមួយ​ម៉ូឌុល​មួយ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ៖

x 2 − 6|x| + 5 = 0. តាមលក្ខណសម្បត្តិនៃម៉ូឌុល x 2 = |x| 2 ដូច្នេះសមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម:

|x| ២–៦|x| + 5 = 0. ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ |x| = t ≥ 0 បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន៖

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. ការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងទទួលបានថា t \u003d 1 ឬ t \u003d 5. ចូរយើងត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ៖

|x| = 1 ឬ |x| = ៥

x = ± 1 x = ± 5

ចម្លើយ៖ x = −5, x = −1, x = 1, x = 5 ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

x 2 + |x| – 2 = 0. តាមលក្ខណសម្បត្តិនៃម៉ូឌុល x 2 = |x| 2, ដូច្នេះ

|x| ២ + |x| – 2 = 0. ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ |x| = t ≥ 0 បន្ទាប់មក៖

t 2 + t - 2 \u003d 0. ការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងទទួលបាន t \u003d -2 ឬ t \u003d 1. តោះត្រឡប់ទៅការជំនួសវិញ៖

|x| = -2 ឬ |x| = ១

គ្មានឫស x = ± 1

ចម្លើយ៖ x = −1, x = 1 ។

6. ប្រភេទមួយទៀតនៃសមីការគឺសមីការដែលមានម៉ូឌុល "ស្មុគស្មាញ" ។ សមីការបែបនេះរួមបញ្ចូលសមីការដែលមាន "ម៉ូឌុលនៅក្នុងម៉ូឌុល" ។ សមីការនៃប្រភេទនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ូឌុល។

1) |3 – |x|| = 4. យើងនឹងធ្វើសកម្មភាពដូចទៅនឹងសមីការនៃប្រភេទទីពីរ។ ដោយសារតែ 4 > 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការពីរ៖

៣ – |x| = 4 ឬ 3 – |x| = -៤.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញម៉ូឌុល x ក្នុងសមីការនីមួយៗ បន្ទាប់មក |x| = -1 ឬ |x| = ៧.

យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលនីមួយៗ។ មិនមានឫសគល់នៅក្នុងសមីការទីមួយទេ ពីព្រោះ - មួយ។< 0, а во втором x = ±7.

ចម្លើយ x = −7, x = 7 ។

2) |3+|x+1|| = 5. យើងដោះស្រាយសមីការនេះតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា៖

៣+|x+១| = 5 ឬ 3 + |x + 1| = -៥

|x+1| = 2 |x + 1| = -៨

x + 1 = 2 ឬ x + 1 = −2 ។ មិនមានឫសទេ។

ចម្លើយ៖ x = −3, x = 1 ។

វាក៏មានវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល។ នេះគឺជាវិធីសាស្ត្រដកឃ្លា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាវាបន្ថែមទៀត។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ម៉ូឌុលគឺជារឿងមួយក្នុងចំណោមរឿងទាំងនោះដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាហាក់ដូចជាធ្លាប់បានឮ ប៉ុន្តែតាមពិតគ្មាននរណាម្នាក់យល់នោះទេ។ ដូច្នេះហើយ ថ្ងៃនេះ នឹងមានមេរៀនដ៏ធំមួយ ដែលឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុល។

ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកភ្លាមៗ៖ មេរៀននឹងសាមញ្ញ។ ជាទូទៅ ម៉ូឌុលគឺជាប្រធានបទសាមញ្ញ។ “បាទ ពិតណាស់ ស្រួលណាស់! វាធ្វើឱ្យខួរក្បាលខ្ញុំផ្ទុះ! - សិស្សជាច្រើននឹងនិយាយ ប៉ុន្តែការដាច់ខួរក្បាលទាំងអស់នេះ គឺដោយសារតែមនុស្សភាគច្រើនមិនមានចំណេះដឹងនៅក្នុងក្បាលរបស់ពួកគេ ប៉ុន្តែប្រភេទនៃការឆ្គួតមួយចំនួន។ ហើយ​គោលបំណង​នៃ​មេរៀន​នេះ គឺ​ចង់​ប្រែក្លាយ​រឿង​ក្លែង​ក្លាយ​ទៅជា​ចំណេះដឹង។ :)

ទ្រឹស្តីបន្តិច

ដូច្នេះតោះទៅ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលសំខាន់បំផុត: តើម៉ូឌុលគឺជាអ្វី? ខ្ញុំ​សូម​រំលឹក​អ្នក​ថា ម៉ូឌុល​នៃ​លេខ​គឺ​ជា​លេខ​ដូចគ្នា ប៉ុន្តែ​យក​ដោយ​គ្មាន​សញ្ញា​ដក។ នោះជាឧទាហរណ៍ $\left| -5 \ ស្ដាំ |= 5$ ។ ឬ $\left| -129.5\right|=129.5$។

តើវាសាមញ្ញទេ? បាទ សាមញ្ញ។ តើម៉ូឌុលនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺជាអ្វី? នៅទីនេះវាកាន់តែសាមញ្ញ៖ ម៉ូឌុលនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងចំនួននេះដោយខ្លួនឯង៖ $\left| 5\right|=5$; $\left| 129.5 \right|=129.5$ ។ល។

វាប្រែចេញនូវអ្វីដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ៖ លេខផ្សេងគ្នាអាចមានម៉ូឌុលដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍៖ $\left| -៥ \\ ស្តាំ | = ឆ្វេង | 5\right|=5$; $\left| -129.5 ស្តាំ|=\left| 129.5 \right|=129.5$។ វាងាយស្រួលមើលថាតើលេខប្រភេទណាខ្លះ ដែលម៉ូឌុលគឺដូចគ្នា៖ លេខទាំងនេះគឺផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះយើងកត់សំគាល់ដោយខ្លួនឯងថាម៉ូឌុលនៃលេខផ្ទុយគឺស្មើគ្នា:

\[\ ឆ្វេង| -a \right|=\left| មួយ\ត្រូវ|\]

ការពិតសំខាន់មួយទៀត៖ ម៉ូឌុលមិនដែលអវិជ្ជមានទេ។. លេខណាមួយដែលយើងយក - សូម្បីតែវិជ្ជមាន សូម្បីតែអវិជ្ជមាន - ម៉ូឌុលរបស់វាតែងតែប្រែទៅជាវិជ្ជមាន (ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរបំផុតគឺសូន្យ)។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលម៉ូឌុលត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់តម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនមួយ។

លើសពីនេះទៀត ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលនិយមន័យនៃម៉ូឌុលសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន នោះយើងទទួលបាននិយមន័យសកលនៃម៉ូឌុលសម្រាប់លេខទាំងអស់។ ឧទាហរណ៍៖ ម៉ូឌុលនៃលេខគឺស្មើនឹងលេខនេះផ្ទាល់ ប្រសិនបើលេខវិជ្ជមាន (ឬសូន្យ) ឬស្មើនឹងលេខផ្ទុយ ប្រសិនបើលេខគឺអវិជ្ជមាន។ អ្នកអាចសរសេរនេះជារូបមន្ត៖

វាក៏មានម៉ូឌុលនៃសូន្យផងដែរ ប៉ុន្តែវាតែងតែស្មើនឹងសូន្យ។ ដូចគ្នា​នេះ​ផង​ដែរ លេខ​សូន្យ​គឺ​ជា​លេខ​តែ​មួយ​គត់​ដែល​មិន​មាន​ការ​ផ្ទុយ។

ដូច្នេះប្រសិនបើយើងពិចារណាមុខងារ $y=\left| x \right|$ ហើយព្យាយាមគូរក្រាហ្វរបស់វា អ្នកនឹងទទួលបាន "daw" បែបនេះ៖

គំរូក្រាហ្វម៉ូឌុល និងដំណោះស្រាយសមីការ

ពីរូបភាពនេះ អ្នកអាចមើលឃើញភ្លាមៗថា $\left| -m \right|=\left| m \right|$ ហើយ​គ្រោង​ម៉ូឌុល​មិន​ដែល​ធ្លាក់​ក្រោម​អ័ក្ស x ទេ។ ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ៖ បន្ទាត់ក្រហមសម្គាល់បន្ទាត់ត្រង់ $y=a$ ដែលជាមួយ $a$ វិជ្ជមាន ផ្តល់ឱ្យយើងនូវឫសពីរក្នុងពេលតែមួយ៖ $((x)_(1))$ និង $((x) _(2)) $ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីវានៅពេលក្រោយ។ :)

បន្ថែមពីលើនិយមន័យពិជគណិតសុទ្ធសាធ មានធរណីមាត្រមួយ។ ចូរនិយាយថាមានចំណុចពីរនៅលើបន្ទាត់លេខ៖ $((x)_(1))$ និង $((x)_(2))$ ។ ក្នុងករណីនេះកន្សោម $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ គឺគ្រាន់តែជាចំងាយរវាងចំនុចដែលបានបញ្ជាក់។ ឬប្រសិនបើអ្នកចង់ ប្រវែងនៃផ្នែកតភ្ជាប់ចំណុចទាំងនេះ៖

ម៉ូឌុលគឺជាចំងាយរវាងចំនុចនៅលើបន្ទាត់លេខ

វាក៏ធ្វើតាមនិយមន័យនេះផងដែរដែលថាម៉ូឌុលគឺតែងតែមិនអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែនិយមន័យនិងទ្រឹស្តីគ្រប់គ្រាន់ - ចូរបន្តទៅសមីការពិតប្រាកដ។ :)

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានស្វែងរកនិយមន័យ។ ប៉ុន្តែវាមិនងាយស្រួលជាងនេះទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការដែលមានម៉ូឌុលនេះ?

ស្ងប់ស្ងាត់ ស្ងប់ស្ងាត់។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញបំផុត។ ពិចារណាអ្វីមួយដូចនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| x\right|=3\]

ដូច្នេះ modulo$x$ គឺ 3 ។ តើ $x$ អាចស្មើនឹងអ្វី? ជាការប្រសើរណាស់ ការវិនិច្ឆ័យតាមនិយមន័យ $x=3$ នឹងសាកសមនឹងយើង។ ពិតជា៖

\[\ ឆ្វេង| 3\right|=3\]

តើមានលេខផ្សេងទៀតទេ? Cap ហាក់ដូចជាផ្តល់សញ្ញាថាមាន។ ឧទាហរណ៍ $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, i.e. សមភាពដែលត្រូវការគឺពេញចិត្ត។

ដូច្នេះ​ប្រហែល​ជា​យើង​ស្វែង​រក​គិត​ថា​យើង​នឹង​រក​ឃើញ​លេខ​ទៀត? ប៉ុន្តែបំបែកចេញ៖ មិនមានលេខទៀតទេ។ សមីការ $\left| x \right|=3$ មានឫសពីរគឺ $x=3$ និង $x=-3$ ។

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។ អនុញ្ញាតឱ្យជំនួសឱ្យអថេរ $x$ មុខងារ $f\left(x\right)$ ព្យួរនៅក្រោមសញ្ញា modulus ហើយនៅខាងស្តាំ ជំនួសឱ្យ triple យើងដាក់លេខបំពាន $a$។ យើងទទួលបានសមីការ៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=a\]

អញ្ចឹងតើអ្នកសម្រេចចិត្តដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក៖ $f\left(x\right)$ គឺជាមុខងារបំពាន $a$ គឺជាលេខណាមួយ។ ទាំងនោះ។ ណាមួយ! ឧទាហរណ៍:

\[\ ឆ្វេង| 2x+1 \right|=5\]

\[\ ឆ្វេង| 10x-5 \right|=-65\]

សូមក្រឡេកមើលសមីការទីពីរ។ អ្នកអាចនិយាយអំពីគាត់ភ្លាមៗ៖ គាត់គ្មានឫសទេ។ ហេតុអ្វី? នោះជាការត្រឹមត្រូវ៖ ព្រោះវាតម្រូវឱ្យម៉ូឌុលស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលមិនដែលកើតឡើង ដោយសារយើងដឹងរួចហើយថាម៉ូឌុលគឺជាចំនួនវិជ្ជមានជានិច្ច ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរបំផុតគឺសូន្យ។

ប៉ុន្តែជាមួយនឹងសមីការទីមួយ អ្វីៗគឺសប្បាយជាង។ មានជម្រើសពីរ៖ មានកន្សោមវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល ហើយបន្ទាប់មក $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ ឬកន្សោមនេះនៅតែអវិជ្ជមាន ក្នុងករណីនេះ $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1\right)=-2x-1$។ ក្នុងករណីដំបូង សមីការរបស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖

\[\ ឆ្វេង| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

ហើយភ្លាមៗនោះវាប្រែថាកន្សោមម៉ូឌុលរង $2x+1$ គឺពិតជាវិជ្ជមាន - វាស្មើនឹងលេខ 5។ នោះគឺ យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះដោយសុវត្ថិភាព - ឫសលទ្ធផលនឹងក្លាយជាចម្លើយមួយផ្នែក៖

អ្នកទាំងឡាយណាដែលមិនគួរឱ្យជឿជាពិសេសអាចព្យាយាមជំនួសឫសដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម ហើយត្រូវប្រាកដថាពិតជានឹងមានលេខវិជ្ជមាននៅក្រោមម៉ូឌុល។

ឥឡូវសូមមើលករណីនៃកន្សោមម៉ូឌុលអវិជ្ជមាន៖

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right។\Rightarrow -2x-1=5 ព្រួញស្ដាំ 2x+1=-5\]

ឱ! ជាថ្មីម្តងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់៖ យើងសន្មត់ថា $2x+1 \lt 0$ ហើយជាលទ្ធផល យើងទទួលបាននោះ $2x+1=-5$ - តាមពិត កន្សោមនេះគឺតិចជាងសូន្យ។ យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល ខណៈពេលដែលដឹងច្បាស់ថាឫសដែលបានរកឃើញនឹងសមនឹងយើង៖

សរុបមក យើងទទួលបានចម្លើយពីរម្តងទៀត៖ $x=2$ និង $x=3$។ បាទ បរិមាណនៃការគណនាបានប្រែទៅជាច្រើនជាងបន្តិចនៅក្នុងសមីការសាមញ្ញបំផុត $\left| x \right|=3$ ប៉ុន្តែជាមូលដ្ឋានគ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរទេ។ ដូច្នេះប្រហែលជាមានប្រភេទនៃក្បួនដោះស្រាយសកលមួយចំនួន?

បាទ ក្បួនដោះស្រាយបែបនេះមាន។ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគវា។

ការកម្ចាត់សញ្ញាម៉ូឌុល

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានសមីការ $\left| f\left(x\right) \right|=a$, និង $a\ge 0$ (បើមិនដូច្នេះទេ ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ មិនមានឫសគល់ទេ)។ បន្ទាប់មក​អ្នក​អាច​កម្ចាត់​សញ្ញា​ម៉ូឌុល​បាន​ដោយ​យោងតាម​ច្បាប់​ខាងក្រោម​នេះ​៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=a\Rightarrow f\left(x\right)=\pm a\]

ដូច្នេះសមីការរបស់យើងជាមួយម៉ូឌុលបំបែកជាពីរ ប៉ុន្តែដោយគ្មានម៉ូឌុល។ នោះហើយជាបច្ចេកវិទ្យាទាំងមូល! ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការមួយចំនួន។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនេះ។

\[\ ឆ្វេង| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

យើងនឹងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានៅពេលដែលមានលេខ 10 ជាមួយបូកនៅខាងស្តាំ ហើយដាច់ដោយឡែកពីគ្នានៅពេលដែលវាមានដក។ យើង​មាន:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\ Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

អស់ហើយ! យើងទទួលបានឫសពីរ៖ $x=1.2$ និង $x=-2.8$។ ដំណោះស្រាយទាំងមូលយកពីរបន្ទាត់។

មិនអីទេ តោះមើលអ្វីដែលធ្ងន់ធ្ងរជាងនេះបន្តិច៖

\[\ ឆ្វេង| 7-5x \right|=13\]

ម្តងទៀត បើកម៉ូឌុលដោយបូក និងដក៖

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\ ព្រួញស្ដាំ -5x=-20\ ព្រួញស្ដាំ x=4 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ម្តងទៀតពីរបីជួរ - ហើយចម្លើយគឺរួចរាល់! ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅក្នុងម៉ូឌុលទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវចងចាំច្បាប់មួយចំនួន។ ដូច្នេះហើយ យើងបន្តទៅមុខទៀត ហើយបន្តការងារដែលពិបាកជាងនេះ។

ករណីខាងស្ដាំអថេរ

ឥឡូវពិចារណាសមីការនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| 3x-2 \right|=2x\]

សមីការនេះគឺខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានពីសមីការមុនទាំងអស់។ យ៉ាងម៉េច? ហើយការពិតដែលថាកន្សោម $2x$ គឺនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នា ហើយយើងមិនអាចដឹងជាមុនថាតើវាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាននោះទេ។

តើ​ធ្វើ​ដូចម្តេច​ដើម្បី​នៅ​ក្នុង​ករណី​នោះ? ដំបូងយើងត្រូវយល់ម្តងហើយម្តងទៀត ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺអវិជ្ជមាន នោះសមីការនឹងមិនមានឫសគល់ទេ។- យើងដឹងរួចហើយថា ម៉ូឌុលមិនអាចស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ។

ហើយទីពីរប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៅតែវិជ្ជមាន (ឬស្មើនឹងសូន្យ) នោះអ្នកអាចបន្តតាមរបៀបដូចគ្នាដូចពីមុន៖ គ្រាន់តែបើកម៉ូឌុលដោយឡែកពីគ្នាជាមួយសញ្ញាបូកនិងដោយឡែកពីគ្នាដោយសញ្ញាដក។

ដូច្នេះ យើងបង្កើតច្បាប់សម្រាប់អនុគមន៍បំពាន $f\left(x\right)$ និង $g\left(x\right)$:

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right) \right|=g\left(x\right)\Rightarrow\left\(\begin(align)&f\left(x\right)=\pm g\left(x\right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align)\right.\]

ទាក់ទងនឹងសមីការរបស់យើង យើងទទួលបាន៖

\[\ ឆ្វេង| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)&3x-2=\pm 2x, \\&2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

ជាការប្រសើរណាស់ យើងអាចដោះស្រាយតម្រូវការ $2x\ge 0$ តាមរបៀបណាមួយ។ នៅទីបញ្ចប់ យើងអាចជំនួសឫសគល់ដែលយើងទទួលបានពីសមីការទីមួយដោយឆោតល្ងង់ ហើយពិនិត្យមើលថាតើវិសមភាពមានឬអត់។

ដូច្នេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង៖

\[\begin(align)&3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2 ព្រួញស្ដាំ 3x=0 ព្រួញស្ដាំ x=0 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

មែនហើយ តើឫសទាំងពីរនេះមួយណាដែលបំពេញតម្រូវការ $2x\ge 0$? បាទទាំងពីរ! ដូច្នេះចម្លើយនឹងមានពីរលេខ៖ $x=(4)/(3)\;$ និង $x=0$ ។ នោះជាដំណោះស្រាយ។ :)

ខ្ញុំ​សង្ស័យ​ថា​សិស្ស​ម្នាក់​ចាប់​ផ្ដើម​អផ្សុក​ហើយ? ជាការប្រសើរណាស់ សូមពិចារណាសមីការដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

ទោះបីជាវាមើលទៅអាក្រក់ក៏ដោយ តាមពិតវាគឺជាសមីការដូចគ្នានៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលស្មើនឹងមុខងារ"៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\]

ហើយវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)&( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \\right), \\&x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \\right.\]

យើងនឹងដោះស្រាយវិសមភាពនៅពេលក្រោយ - វាពិតជាសាហាវពេក (តាមពិតទៅសាមញ្ញ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនដោះស្រាយវាទេ)។ សម្រាប់ពេលនេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលសមីការលទ្ធផល។ ពិចារណាករណីទីមួយ - នេះគឺជាពេលដែលម៉ូឌុលត្រូវបានពង្រីកដោយសញ្ញាបូក៖

\[((x)^(៣))-៣((x)^(២))+x=x-((x)^(៣))\]

ជាការប្រសើរណាស់ នៅទីនេះវាមិនមែនជាគំនិតដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីប្រមូលអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅខាងឆ្វេង នាំយកស្រដៀងគ្នា និងមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ហើយនេះជាអ្វីដែលកើតឡើង៖

\[\begin(align)&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ការដាក់កត្តារួម $((x)^(2))$ ចេញពីតង្កៀប យើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត៖

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)&((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

នៅទីនេះ យើងបានប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃផលិតផល ដើម្បីជាប្រយោជន៍ដែលយើងបានរាប់ជាពហុនាមដើម៖ ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ។

ឥឡូវនេះតាមរបៀបដូចគ្នា យើងនឹងដោះស្រាយសមីការទីពីរ ដែលទទួលបានដោយការពង្រីកម៉ូឌុលដោយសញ្ញាដក៖

\[\begin(align)&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \\right); \\& ((x)^(៣))-៣((x)^(២))+x=-x+((x)^(៣)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\&x\left(-3x+2\right)=0. \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ជាថ្មីម្តងទៀតរឿងដូចគ្នា: ផលិតផលគឺសូន្យនៅពេលដែលយ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយគឺសូន្យ។ យើង​មាន:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \\right.\]

មែនហើយ យើងទទួលបានឫសបី៖ $x=0$, $x=1.5$ និង $x=(2)/(3)\;$ ។ មែនហើយ តើអ្វីនឹងទៅជាចម្លើយចុងក្រោយពីឈុតនេះ? ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមចងចាំថា យើងមានឧបសគ្គវិសមភាពបន្ថែម៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីតម្រូវការនេះ? ចូរយើងជំនួសឫសគល់ដែលបានរកឃើញ ហើយពិនិត្យមើលថាតើវិសមភាពមានសម្រាប់ $x$ ទាំងនេះឬអត់។ យើង​មាន:

\[\begin(align)&x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ដូច្នេះ root $x=1.5$ មិនសមនឹងយើងទេ។ ហើយមានតែឫសពីរប៉ុណ្ណោះដែលនឹងឆ្លើយតប៖

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសូម្បីតែក្នុងករណីនេះមិនមានអ្វីពិបាកទេ - សមីការជាមួយម៉ូឌុលតែងតែត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវមានការយល់ដឹងល្អអំពីពហុនាម និងវិសមភាព។ ដូច្នេះហើយ យើងបន្តទៅកិច្ចការស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀត - វានឹងមិនមានមួយទេ ប៉ុន្តែម៉ូឌុលពីរ។

សមីការដែលមានម៉ូឌុលពីរ

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានសិក្សាតែសមីការសាមញ្ញបំផុត - មានម៉ូឌុលមួយ និងអ្វីផ្សេងទៀត។ យើងបានផ្ញើ "អ្វីផ្សេងទៀត" នេះទៅផ្នែកមួយទៀតនៃវិសមភាព ដែលនៅឆ្ងាយពីម៉ូឌុល ដូច្នេះនៅទីបញ្ចប់អ្វីៗទាំងអស់នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចជា $\left| f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)$ ឬសូម្បីតែសាមញ្ញជាង $\left| f\left(x\right)\right|=a$។

ប៉ុន្តែសាលាមត្តេយ្យបានចប់ហើយ - វាដល់ពេលដែលត្រូវពិចារណាអ្វីមួយដែលធ្ងន់ធ្ងរជាងនេះ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការដូចនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=\left| g\left(x\right)\right|\]

នេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលគឺស្មើនឹងម៉ូឌុល" ។ ចំណុចសំខាន់ជាមូលដ្ឋានគឺអវត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌ និងកត្តាផ្សេងទៀត៖ មានតែម៉ូឌុលមួយនៅខាងឆ្វេង ម៉ូឌុលមួយបន្ថែមទៀតនៅខាងស្តាំ - និងគ្មានអ្វីទៀតទេ។

ឥឡូវនេះ គេនឹងគិតថាសមីការបែបនេះពិបាកដោះស្រាយជាងអ្វីដែលយើងបានសិក្សាកន្លងមក។ ប៉ុន្តែទេ៖ សមីការទាំងនេះត្រូវបានដោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ នេះគឺជារូបមន្ត៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=\left| g\left(x\right)\right|\Rightarrow f\left(x\right)=\pm g\left(x\right)\]

គ្រប់យ៉ាង! យើង​គ្រាន់តែ​ស្មើ​កន្សោម​ម៉ូឌុល​រង​ដោយ​ដាក់​បុព្វបទ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួកវា​ដោយ​សញ្ញា​បូក ឬ​ដក។ ហើយបន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលពីរ - ហើយឫសគឺរួចរាល់! គ្មានការរឹតបន្តឹងបន្ថែម គ្មានវិសមភាព។ល។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។

តោះព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហានេះ៖

\[\ ឆ្វេង| 2x+3 \\ ស្ដាំ|= ឆ្វេង| 2x-7 \ ស្ដាំ |\]

សាលាបឋមសិក្សា Watson! ការបើកម៉ូឌុល៖

\[\ ឆ្វេង| 2x+3 \\ ស្ដាំ|= ឆ្វេង| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7\right)\]

ចូរយើងពិចារណាករណីនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា៖

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7\right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

សមីការទីមួយមិនមានឫសគល់ទេ។ ព្រោះពេលណា $3=-7$? តើតម្លៃ $x$ ប៉ុន្មាន? “តើអ្វីទៅជា $x$? តើអ្នកបានគប់ដុំថ្មទេ? គ្មាន $x$ ទាល់តែសោះ” អ្នកនិយាយ។ ហើយអ្នកនឹងត្រឹមត្រូវ។ យើងទទួលបានសមភាពដែលមិនអាស្រ័យលើអថេរ $x$ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានោះ សមភាពខ្លួនឯងគឺមិនត្រឹមត្រូវ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលមិនមានឫស។

ជាមួយនឹងសមីការទីពីរ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះបន្តិច ប៉ុន្តែក៏សាមញ្ញណាស់ដែរ៖

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចតាមព្យញ្ជនៈក្នុងពីរជួរ - យើងមិនរំពឹងអ្វីផ្សេងទៀតពីសមីការលីនេអ៊ែរទេ។ :)

ជាលទ្ធផល ចម្លើយចុងក្រោយគឺ៖ $x=1$។

អញ្ចឹងម៉េច? ភាព​ស្មុគស្មាញ? ជាការពិតណាស់មិនមែនទេ។ តោះសាកល្បងអ្វីផ្សេងទៀត៖

\[\ ឆ្វេង| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងមានសមីការដូចជា $\left| f\left(x\right)\right|=\left| g\left(x\right)\right|$។ ដូច្នេះ យើង​សរសេរ​វា​ឡើង​វិញ​ភ្លាមៗ ដោយ​បង្ហាញ​សញ្ញា​ម៉ូឌុល៖

\[((x)^(2))-3x+2=\pm ឆ្វេង(x-1 \right)\]

ឥឡូវនេះ ប្រហែលជាមាននរណាម្នាក់សួរថា “ហេ៎ តើសមហេតុសមផលបែបណា? ហេតុអ្វីបានជា បូក-ដក នៅខាងស្តាំ ហើយមិននៅខាងឆ្វេង? ស្ងប់ស្ងាត់ ខ្ញុំនឹងពន្យល់គ្រប់យ៉ាង។ ជាការពិត តាមរបៀបដ៏ល្អ យើងគួរតែសរសេរសមីការរបស់យើងឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវបើកតង្កៀប ផ្លាស់ទីពាក្យទាំងអស់ក្នុងទិសដៅមួយពីសញ្ញាស្មើគ្នា (ចាប់តាំងពីសមីការ ជាក់ស្តែងនឹងការ៉េនៅក្នុងករណីទាំងពីរ) ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកឫស។ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់៖ នៅពេលដែល "បូក-ដក" នៅពីមុខពាក្យបី (ជាពិសេសនៅពេលដែលពាក្យមួយក្នុងចំណោមពាក្យទាំងនេះជាកន្សោមការ៉េ) វាមើលទៅស្មុគស្មាញជាងស្ថានភាពនៅពេលដែល "បូក-ដក" គឺនៅពីមុខពីរប៉ុណ្ណោះ។ លក្ខខណ្ឌ។

ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីរារាំងយើងពីការសរសេរសមីការដើមឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

\[\ ឆ្វេង| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \ ស្ដាំ |\]

តើមានអ្វីកើតឡើង? បាទ គ្មានអ្វីពិសេសទេ៖ គ្រាន់តែប្តូរទៅឆ្វេង និងស្តាំ។ រឿងតូចតាច ដែលនៅទីបញ្ចប់នឹងសម្រួលដល់ជីវិតរបស់យើងបន្តិច។ :)

ជាទូទៅ យើងដោះស្រាយសមីការនេះ ដោយពិចារណាលើជម្រើសដោយបូក និងដក៖

\[\begin(align)&((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1\right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

សមីការទីមួយមានឫស $x=3$ និង $x=1$។ ទីពីរ ជាទូទៅជាការ៉េពិតប្រាកដ

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1\right))^(2))\]

ដូច្នេះ វាមានឫសតែមួយ៖ $x=1$។ ប៉ុន្តែយើងបានទទួលឫសនេះរួចហើយ។ ដូច្នេះមានតែពីរលេខប៉ុណ្ណោះដែលនឹងចូលទៅក្នុងចម្លើយចុងក្រោយ៖

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

បេសកកម្មបានបញ្ចប់! អ្នកអាចយកវាចេញពីធ្នើហើយញ៉ាំនំ។ មាន 2 ក្នុងចំណោមពួកគេ ជាមធ្យមរបស់អ្នក។ :)

ចំណាំសំខាន់. វត្តមាននៃឫសដូចគ្នាសម្រាប់កំណែផ្សេងគ្នានៃការពង្រីកម៉ូឌុលមានន័យថាពហុធានដើមត្រូវបាន decomposed ទៅជាកត្តា ហើយក្នុងចំនោមកត្តាទាំងនេះ វាចាំបាច់ត្រូវតែជារឿងធម្មតាមួយ។ ពិតជា៖

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(២))-៣x+២ \\ ស្តាំ|; \\&\left| x-1 \right|=\left| \left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុលមួយ៖ $\left| a\cdot b \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | b \right|$ (នោះគឺម៉ូឌុលនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុល) ដូច្នេះសមីការដើមអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

\[\ ឆ្វេង| x-1 \right|=\left| x-1 \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | x-2 \ ស្ដាំ |\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញយើងពិតជាមានកត្តាទូទៅមួយ។ ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើអ្នកប្រមូលម៉ូឌុលទាំងអស់នៅម្ខាង នោះអ្នកអាចយកមេគុណនេះចេញពីតង្កៀប៖

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| x-1 \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | x-2 \ ស្តាំ |; \\&\left| x-1 \\ ស្តាំ | - \\ ឆ្វេង | x-1 \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | x-2 \\ ស្តាំ |= 0; \\&\left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left|x-2\right|\right)=0។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

មែនហើយ ឥឡូវនេះ យើងរំលឹកថា ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ៖

\[\left[ \begin(align)&\left| x-1 \\ ស្ដាំ|=0, \\& \\ ឆ្វេង| x-2 \ ស្ដាំ |=1 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\ ស្តាំ។\]

ដូច្នេះសមីការដើមដែលមានម៉ូឌុលពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការសាមញ្ញបំផុតពីរដែលយើងបាននិយាយនៅដើមមេរៀន។ សមីការ​បែប​នេះ​អាច​ដោះស្រាយ​បាន​តែ​ពីរ​ជួរ​ប៉ុណ្ណោះ។ :)

ការកត់សម្គាល់នេះអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញដែលមិនចាំបាច់ និងមិនអាចអនុវត្តបានក្នុងការអនុវត្ត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមការពិត អ្នកអាចនឹងជួបប្រទះនូវកិច្ចការស្មុគស្មាញច្រើនជាងកិច្ចការដែលយើងកំពុងវិភាគនៅថ្ងៃនេះ។ នៅក្នុងពួកវា ម៉ូឌុលអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយពហុនាម ឫសនព្វន្ធ លោការីត ។ល។ ហើយ​ក្នុង​ស្ថានភាព​បែប​នេះ លទ្ធភាព​ក្នុង​ការ​បន្ទាប​កម្រិត​រួម​នៃ​សមីការ​ដោយ​ការ​ដាក់​អ្វី​មួយ​ចេញ​ពី​តង្កៀប​អាច​មាន​ប្រយោជន៍​ខ្លាំង​ណាស់។ :)

ឥឡូវនេះខ្ញុំចង់វិភាគសមីការមួយផ្សេងទៀតដែលនៅ glance ដំបូងអាចហាក់ដូចជាឆ្កួត។ សិស្សជាច្រើន "នៅជាប់" នៅលើវា - សូម្បីតែអ្នកដែលជឿថាពួកគេមានការយល់ដឹងល្អអំពីម៉ូឌុល។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការនេះរឹតតែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយជាងអ្វីដែលយើងបានពិចារណាពីមុន។ ហើយប្រសិនបើអ្នកយល់ពីមូលហេតុ អ្នកនឹងទទួលបានល្បិចមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការយ៉ាងឆាប់រហ័សជាមួយម៉ូឌុល។

ដូច្នេះសមីការគឺ៖

\[\ ឆ្វេង| x-((x)^(3)) \\ ស្ដាំ|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

ទេ នេះ​មិន​មែន​ជា​ការ​វាយ​ខុស​ទេ៖ វា​ជា​ការ​បូក​រវាង​ម៉ូឌុល។ ហើយយើងត្រូវស្វែងរកថាតើ $x$ មួយណាដែលផលបូកនៃម៉ូឌុលពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ។ :)

មាន​បញ្ហា​អ្វី? ហើយបញ្ហាគឺថាម៉ូឌុលនីមួយៗគឺជាលេខវិជ្ជមាន ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរបំផុតគឺសូន្យ។ តើមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលអ្នកបន្ថែមលេខវិជ្ជមានពីរ? ជាក់ស្តែង លេខវិជ្ជមានម្តងទៀត៖

\\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

បន្ទាត់ចុងក្រោយអាចផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវគំនិតមួយ៖ ករណីតែមួយគត់ដែលផលបូកនៃម៉ូឌុលគឺសូន្យគឺប្រសិនបើម៉ូឌុលនីមួយៗស្មើនឹងសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| x-((x)^(3)) \\ ស្ដាំ|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\(\begin(align)&\left|x-(((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align)\right.\]

តើនៅពេលណាដែលម៉ូឌុលស្មើនឹងសូន្យ? មានតែនៅក្នុងករណីមួយ - នៅពេលដែលកន្សោមម៉ូឌុលរងស្មើនឹងសូន្យ៖

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

ដូច្នេះ យើងមានបីចំណុចដែលម៉ូឌុលទីមួយត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ៖ 0, 1, និង −1; ក៏ដូចជាចំណុចពីរដែលម៉ូឌុលទីពីរគឺសូន្យ៖ −2 និង 1។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងត្រូវការម៉ូឌុលទាំងពីរឱ្យសូន្យក្នុងពេលតែមួយ ដូច្នេះក្នុងចំណោមលេខដែលបានរកឃើញ យើងត្រូវជ្រើសរើសលេខដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសំណុំទាំងពីរ។ ជាក់ស្តែង មានលេខតែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ $x=1$ - នេះនឹងក្លាយជាចម្លើយចុងក្រោយ។

វិធីសាស្រ្តបំបែក

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានគ្របដណ្តប់ bunch នៃភារកិច្ចរួចហើយនិងបានរៀនល្បិចជាច្រើន។ តើអ្នកគិតថានោះជាវាទេ? តែអត់ទេ! ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាបច្ចេកទេសចុងក្រោយ - ហើយក្នុងពេលតែមួយសំខាន់បំផុត។ យើងនឹងនិយាយអំពីការបំបែកសមីការជាមួយម៉ូឌុល។ តើ​អ្វី​នឹង​ត្រូវ​ពិភាក្សា? ចូរយើងត្រលប់ទៅវិញបន្តិច ហើយពិចារណាសមីការសាមញ្ញមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍នេះ៖

\[\ ឆ្វេង| 3x-5\right|=5-3x\]

ជាគោលការណ៍ យើងដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះរួចហើយ ព្រោះវាជាស្តង់ដារ $\left| f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)$។ ប៉ុន្តែសូមព្យាយាមមើលសមីការនេះពីមុំខុសគ្នាបន្តិច។ កាន់តែច្បាស់ សូមពិចារណាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ម៉ូឌុលនៃលេខណាមួយអាចស្មើនឹងលេខខ្លួនឯង ឬវាអាចផ្ទុយនឹងលេខនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| a \right|=\left\( \begin(align)&a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

តាមពិតភាពមិនច្បាស់លាស់នេះគឺជាបញ្ហាទាំងមូល៖ ដោយសារលេខក្រោមការផ្លាស់ប្តូរម៉ូឌុល (វាអាស្រ័យលើអថេរ) វាមិនច្បាស់សម្រាប់យើងថាតើវាវិជ្ជមានឬអវិជ្ជមានទេ។

ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើដំបូងយើងតម្រូវឱ្យលេខនេះវិជ្ជមាន? ឧទាហរណ៍ យើងទាមទារថា $3x-5 \gt 0$ - ក្នុងករណីនេះ យើងត្រូវបានធានាថានឹងទទួលបានលេខវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល ហើយយើងអាចកម្ចាត់ម៉ូឌុលនេះបានទាំងស្រុង៖

ដូច្នេះសមីការរបស់យើងនឹងប្រែទៅជាលីនេអ៊ែរ ដែលត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួល៖

ពិត ការពិចារណាទាំងអស់នេះសមហេតុផលតែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ $3x-5 \gt 0$ - យើងខ្លួនយើងផ្ទាល់បានណែនាំតម្រូវការនេះក្នុងគោលបំណងដើម្បីបង្ហាញម៉ូឌុលដោយមិនច្បាស់លាស់។ ដូច្នេះសូមជំនួស $x=\frac(5)(3)$ ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនេះហើយពិនិត្យ៖

វាប្រែថាសម្រាប់តម្លៃដែលបានបញ្ជាក់នៃ $x$ តម្រូវការរបស់យើងមិនត្រូវបានបំពេញទេព្រោះ កន្សោមបានប្រែទៅជាស្មើសូន្យ ហើយយើងត្រូវការវាឱ្យធំជាងសូន្យយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ សោកសៅ។ :(

តែមិនអីទេ! យ៉ាងណាមិញ មានជម្រើសមួយទៀត $3x-5 \lt 0$ ។ លើសពីនេះទៅទៀត៖ មានករណី $3x-5=0$ ផងដែរ - នេះក៏ត្រូវយកមកពិចារណាផងដែរ បើមិនដូច្នេះទេ ដំណោះស្រាយនឹងមិនពេញលេញ។ ដូច្នេះ សូមពិចារណាករណី $3x-5 \lt 0$៖

វាច្បាស់ណាស់ថាម៉ូឌុលនឹងបើកដោយសញ្ញាដក។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកស្ថានភាពចម្លែកមួយកើតឡើង: កន្សោមដូចគ្នានឹងបិទទាំងនៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៅក្នុងសមីការដើម:

ខ្ញុំឆ្ងល់ថាតើអ្វីទៅជា $x$ កន្សោម $5-3x$ នឹងស្មើនឹងកន្សោម $5-3x$? ពីសមីការបែបនេះ សូម្បីតែប្រធានក្រុមក៏ច្បាស់ជាស្រក់ទឹកមាត់ដែរ ប៉ុន្តែយើងដឹងថាសមីការនេះគឺជាអត្តសញ្ញាណមួយ ពោលគឺឧ។ វាជាការពិតសម្រាប់តម្លៃនៃអថេរណាមួយ!

ហើយនេះមានន័យថា $x$ ណាមួយនឹងសមនឹងយើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមានដែនកំណត់៖

ម្យ៉ាងវិញទៀត ចម្លើយនឹងមិនមែនជាលេខតែមួយទេ ប៉ុន្តែជាចន្លោះពេលទាំងមូល៖

ជាចុងក្រោយ នៅមានសំណុំរឿងមួយទៀតដែលត្រូវពិចារណា៖ $3x-5=0$។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ៖ នឹងមានសូន្យនៅក្រោមម៉ូឌុល ហើយម៉ូឌុលនៃសូន្យក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ (វាធ្វើតាមនិយមន័យដោយផ្ទាល់):

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកសមីការដើម $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ នឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖

យើងបានទទួលឫសខាងលើរួចហើយ នៅពេលយើងពិចារណាករណី $3x-5 \gt 0$ ។ លើសពីនេះទៅទៀត ឫសនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ $3x-5=0$ - នេះគឺជាការដាក់កម្រិតដែលយើងខ្លួនយើងណែនាំដើម្បីទុកជាមោឃៈនូវម៉ូឌុល។ :)

ដូច្នេះ បន្ថែមពីលើចន្លោះពេល យើងក៏នឹងពេញចិត្តជាមួយនឹងលេខដែលនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះនេះ៖

ការផ្សំឫសក្នុងសមីការជាមួយម៉ូឌុល

ចម្លើយចុងក្រោយសរុប៖ $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3)\right]$។ វាមិនមែនជារឿងសាមញ្ញទេក្នុងការឃើញការក្លែងបន្លំបែបនេះនៅក្នុងចម្លើយចំពោះសមីការសាមញ្ញ (សំខាន់លីនេអ៊ែរ) ជាមួយម៉ូឌុល ជាការប្រសើរណាស់, ទទួលបានប្រើវា: ភាពស្មុគស្មាញនៃម៉ូឌុលស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាចម្លើយនៅក្នុងសមីការបែបនេះអាចមិនអាចទាយទុកជាមុនបានទាំងស្រុង។

អ្វី​ដែល​សំខាន់​ជាង​នេះ​ទៅ​ទៀត៖ យើង​ទើប​តែ​រុះរើ​ក្បួន​ដោះស្រាយ​សាកល​សម្រាប់​ដោះស្រាយ​សមីការ​ជាមួយ​ម៉ូឌុល! ហើយក្បួនដោះស្រាយនេះមានជំហានដូចខាងក្រោមៈ

1. ស្មើម៉ូឌុលនីមួយៗក្នុងសមីការទៅសូន្យ។ ចូរយើងទទួលបានសមីការមួយចំនួន;
2. ដោះស្រាយសមីការទាំងអស់នេះ ហើយសម្គាល់ឫសនៅលើបន្ទាត់លេខ។ ជាលទ្ធផល បន្ទាត់ត្រង់នឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាចន្លោះពេលជាច្រើន ដែលម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានពង្រីកដោយឡែក។
3. ដោះស្រាយសមីការដើមសម្រាប់ចន្លោះពេលនីមួយៗ ហើយផ្សំចម្លើយ។

អស់ហើយ! នៅតែមានសំណួរតែមួយគត់: អ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយឫសខ្លួនឯងដែលទទួលបាននៅជំហានទី 1? ឧបមាថាយើងមានឫសពីរគឺ $x=1$ និង $x=5$។ ពួកគេនឹងបំបែកបន្ទាត់លេខជា 3 ផ្នែក៖

ការបំបែកបន្ទាត់លេខទៅជាចន្លោះពេលដោយប្រើចំណុច

ដូច្នេះតើចន្លោះពេលមានអ្វីខ្លះ? វាច្បាស់ណាស់ថាមានបីក្នុងចំណោមពួកគេ:

1. ខាងឆ្វេងបំផុត៖ $x \lt 1$ - ឯកតាខ្លួនវាមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលទេ។
2. កណ្តាល៖ $1\le x \lt 5$ - នៅទីនេះមួយត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល ប៉ុន្តែប្រាំមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលទេ។
3. មួយស្តាំបំផុត៖ $x\ge 5$ — ទាំងប្រាំត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅទីនេះតែប៉ុណ្ណោះ!

ខ្ញុំគិតថាអ្នកបានយល់ពីគំរូរួចហើយ។ ចន្លោះពេលនីមួយៗរួមបញ្ចូលចុងខាងឆ្វេង ហើយមិនរាប់បញ្ចូលចុងខាងស្តាំទេ។

នៅ glance ដំបូង កំណត់ត្រាបែបនេះអាចហាក់ដូចជាមិនស្រួល មិនសមហេតុសមផល ហើយជាទូទៅជាប្រភេទឆ្កួត។ ប៉ុន្តែជឿខ្ញុំ៖ បន្ទាប់ពីការអនុវត្តតិចតួច អ្នកនឹងឃើញថានេះគឺជាវិធីសាស្រ្តដែលអាចទុកចិត្តបំផុត ហើយក្នុងពេលតែមួយមិនជ្រៀតជ្រែកជាមួយម៉ូឌុលដែលបង្ហាញដោយមិនច្បាស់លាស់។ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើគ្រោងការណ៍បែបនេះជាជាងការគិតរាល់ពេល៖ ផ្តល់ចុងឆ្វេង/ស្តាំទៅចន្លោះពេលបច្ចុប្បន្ន ឬ "បោះ" វាទៅបន្ទាប់។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងវិភាគលម្អិត តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។. យើងនឹងផ្តល់និយមន័យផ្សេងៗនៃម៉ូឌុលនៃលេខមួយ ណែនាំសញ្ញាណ និងផ្តល់រូបភាពក្រាហ្វិក។ ក្នុងករណីនេះ យើងពិចារណាឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃការស្វែងរកម៉ូឌុលនៃលេខតាមនិយមន័យ។ បន្ទាប់ពីនោះ យើងរាយបញ្ជី និងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗរបស់ម៉ូឌុល។ នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ យើងនឹងនិយាយអំពីរបៀបដែលម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ និងរកឃើញ។

ការរុករកទំព័រ។

ម៉ូឌុលនៃចំនួន - និយមន័យ សញ្ញាណ និងឧទាហរណ៍

ដំបូងយើងណែនាំ ការកំណត់ម៉ូឌុល. ម៉ូឌុលនៃលេខ a នឹងត្រូវបានសរសេរជា ពោលគឺនៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំនៃលេខ ដែលយើងនឹងដាក់បន្ទាត់បញ្ឈរដែលបង្កើតជាសញ្ញានៃម៉ូឌុល។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ពីរបី។ ឧទាហរណ៍ ម៉ូឌុល -7 អាចត្រូវបានសរសេរជា ; ម៉ូឌុល 4,125 ត្រូវបានសរសេរជា ហើយម៉ូឌុលត្រូវបានសរសេរជា .

និយមន័យខាងក្រោមនៃម៉ូឌុលសំដៅលើ ហើយដូច្នេះ ដល់ និងចំនួនគត់ និងលេខសមហេតុសមផល និងមិនសមហេតុផល ចំពោះផ្នែកធាតុផ្សំនៃសំណុំចំនួនពិត។ យើងនឹងនិយាយអំពីម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុង។

និយមន័យ។

ម៉ូឌុលនៃ កគឺជាចំនួនដែលខ្លួនវាផ្ទាល់ ប្រសិនបើ a ជាចំនួនវិជ្ជមាន ឬចំនួន −a ផ្ទុយពីចំនួន a ប្រសិនបើ a ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ឬ 0 ប្រសិនបើ a = 0 ។

និយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានសរសេរជាញឹកញាប់ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម សញ្ញាណនេះមានន័យថា ប្រសិនបើ a>0, ប្រសិនបើ a=0, ហើយប្រសិនបើ a<0 .

កំណត់ត្រាអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់បង្រួមជាង . សញ្ញាណនេះមានន័យថា ប្រសិនបើ (a ធំជាង ឬស្មើ 0) ហើយប្រសិនបើ a<0 .

ក៏មានកំណត់ត្រាផងដែរ។ . នៅទីនេះ ករណីដែល a=0 គួរតែត្រូវបានពន្យល់ដោយឡែកពីគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ យើងមាន , ប៉ុន្តែ −0=0 , ចាប់តាំងពីសូន្យត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលេខដែលផ្ទុយពីខ្លួនវា។

ចូរនាំមក ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកម៉ូឌុលនៃលេខជាមួយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកម៉ូឌុលនៃលេខ 15 និង . ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការស្វែងរក។ ដោយសារលេខ 15 គឺវិជ្ជមាន ម៉ូឌុលរបស់វាគឺតាមនិយមន័យស្មើនឹងលេខនេះផ្ទាល់ ពោលគឺ . តើម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាអ្វី? ដោយសារជាលេខអវិជ្ជមាន នោះម៉ូឌុលរបស់វាស្មើនឹងលេខទល់មុខនឹងលេខ ពោលគឺលេខ . ដូច្នេះ, ។

នៅក្នុងសេចក្តីសន្និដ្ឋាននៃកថាខណ្ឌនេះ យើងផ្តល់សេចក្តីសន្និដ្ឋានមួយ ដែលងាយស្រួលអនុវត្តក្នុងការអនុវត្តនៅពេលស្វែងរកម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ។ ពីនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ វាធ្វើតាមនោះ។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនគឺស្មើនឹងចំនួននៅក្រោមសញ្ញានៃម៉ូឌុល ដោយមិនគិតពីសញ្ញារបស់វា។ហើយពីឧទាហរណ៍ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ នេះអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានសំឡេងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានហៅផងដែរ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ. ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ និងតម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនគឺមួយ និងដូចគ្នា។

ម៉ូឌុលនៃចំនួនជាចម្ងាយ

តាមធរណីមាត្រ ម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយអាចត្រូវបានបកស្រាយថាជា ចម្ងាយ. ចូរនាំមក ការ​កំណត់​នៃ​ម៉ូឌុល​នៃ​ចំនួន​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ចម្ងាយ.

និយមន័យ។

ម៉ូឌុលនៃ កគឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេទៅចំណុចដែលត្រូវនឹងលេខ a ។

និយមន័យនេះគឺស្របនឹងនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ។ ចូរ​ពន្យល់​ចំណុច​នេះ។ ចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹងលេខវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងលេខនេះ។ សូន្យត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភពដើម ដូច្នេះចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេ 0 គឺសូន្យ (គ្មានផ្នែកតែមួយ និងគ្មានចម្រៀកណាដែលបង្កើតបានជាប្រភាគនៃផ្នែកឯកតាណាមួយត្រូវពន្យារពេលដើម្បីទទួលបានពីចំណុច O ដល់ចំណុច ជាមួយកូអរដោនេ 0) ។ ចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេអវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងលេខទល់មុខនឹងកូអរដោណេនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ព្រោះវាស្មើនឹងចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលកូអរដោនេគឺជាលេខផ្ទុយ។

ឧទាហរណ៍ ម៉ូឌុលនៃលេខ 9 គឺ 9 ចាប់តាំងពីចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ 9 គឺប្រាំបួន។ សូមលើកឧទាហរណ៍មួយទៀត។ ចំណុច​ដែល​មាន​កូអរដោណេ −3.25 គឺ​នៅ​ចម្ងាយ 3.25 ពី​ចំណុច O ដូច្នេះ .

និយមន័យសំឡេងនៃម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាករណីពិសេសនៃការកំណត់ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ។

និយមន័យ។

ម៉ូឌុលខុសគ្នានៃលេខពីរ a និង b គឺស្មើនឹងចំងាយរវាងចំនុចនៃបន្ទាត់កូអរដោណេដែលមានកូអរដោនេ a និង b ។

នោះគឺប្រសិនបើចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ A(a) និង B(b) នោះចម្ងាយពីចំណុច A ដល់ចំណុច B គឺស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នារវាងលេខ a និង b ។ ប្រសិនបើយើងយកចំណុច O (ចំណុចយោង) ជាចំណុច B នោះយើងនឹងទទួលបាននិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមកថាខណ្ឌនេះ។

ការ​កំណត់​ម៉ូឌុល​នៃ​ចំនួន​តាម​រយៈ​ឫស​ការ៉េ​នព្វន្ធ

ពេលខ្លះបានរកឃើញ ការកំណត់នៃម៉ូឌុលតាមរយៈឫសការ៉េនព្វន្ធ.

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាម៉ូឌុលនៃលេខ −30 ហើយផ្អែកលើនិយមន័យនេះ។ យើង​មាន ។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃពីរភាគបី៖ .

និយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយក្នុងន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ ក៏ស្របនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយនៃអត្ថបទនេះ។ សូមបង្ហាញវា។ ទុកជាលេខវិជ្ជមាន ហើយទុក −a ជាលេខអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក និង ប្រសិនបើ a=0 នោះ .

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុល

ម៉ូឌុលមានលទ្ធផលលក្ខណៈមួយចំនួន - លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុល. ឥឡូវនេះយើងនឹងផ្តល់ឱ្យពួកគេនូវមេនិងប្រើជាទូទៅបំផុត។ នៅពេលបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ យើងនឹងពឹងផ្អែកលើនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចម្ងាយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុលជាក់ស្តែងបំផុត − ម៉ូឌុលនៃចំនួនមិនអាចជាលេខអវិជ្ជមានទេ។. ជាទម្រង់ព្យញ្ជនៈ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានទម្រង់សម្រាប់លេខណាមួយ a . លក្ខណសម្បត្តិនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវ៖ ម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាចម្ងាយ ហើយចម្ងាយមិនអាចបង្ហាញជាលេខអវិជ្ជមានបានទេ។

ចូរបន្តទៅលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ទាប់នៃម៉ូឌុល។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើចំនួននេះគឺសូន្យប៉ុណ្ណោះ។. ម៉ូឌុលនៃសូន្យគឺសូន្យតាមនិយមន័យ។ សូន្យត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភពដើម គ្មានចំណុចផ្សេងទៀតនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេត្រូវនឹងសូន្យទេ ដោយសារចំនួនពិតនីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំណុចតែមួយនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា លេខណាមួយក្រៅពីសូន្យត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចផ្សេងក្រៅពីប្រភពដើម។ ហើយចម្ងាយពីចំណុចដើមទៅចំណុចណាមួយក្រៅពីចំណុច O គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ព្រោះចម្ងាយរវាងចំណុចទាំងពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើចំណុចទាំងនេះស្របគ្នា។ ហេតុផលខាងលើបង្ហាញឱ្យឃើញថា មានតែម៉ូឌុលនៃសូន្យប៉ុណ្ណោះដែលស្មើនឹងសូន្យ។

បន្តទៅមុខទៀត។ លេខទល់មុខមានម៉ូឌុលស្មើគ្នា ពោលគឺសម្រាប់លេខណាមួយ a . ជាការពិត ចំណុចពីរនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ដែលកូអរដោនេរបស់វាជាលេខទល់មុខ គឺនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីប្រភពដើម ដែលមានន័យថា ម៉ូឌុលនៃលេខផ្ទុយគឺស្មើគ្នា។

ទ្រព្យសម្បត្តិម៉ូឌុលបន្ទាប់គឺ៖ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះ, ឧ. តាមនិយមន័យ ម៉ូឌុលនៃផលគុណនៃលេខ a និង b គឺ a b if ឬ −(a b) if . វាអនុវត្តតាមច្បាប់នៃការគុណនៃចំនួនពិតដែលផលគុណនៃម៉ូឌុលនៃលេខ a និង b គឺស្មើនឹង b , , ឬ −(a b) , if , ដែលបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណា។

ម៉ូឌុលនៃ quotient នៃការបែងចែក a ដោយ b គឺស្មើនឹង quotient នៃការបែងចែកម៉ូឌុលនៃ a ដោយ ម៉ូឌុលនៃ b ។, ឧ. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃម៉ូឌុលនេះ។ ដោយហេតុថា កូតាគឺស្មើនឹងផលិតផល។ ដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិពីមុនយើងមាន . វានៅសល់តែប្រើសមភាព ដែលមានសុពលភាពដោយសារនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខ។

ទ្រព្យសម្បត្តិម៉ូឌុលខាងក្រោមត្រូវបានសរសេរជាវិសមភាព៖ , a , b និង c គឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន។ វិសមភាពសរសេរគឺគ្មានអ្វីលើសពីនេះទេ។ វិសមភាពត្រីកោណ. ដើម្បីបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់ ចូរយើងយកចំនុច A(a) , B(b) , C(c) នៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ហើយពិចារណាត្រីកោណដែលខូច ABC ដែលចំនុចកំពូលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ តាមនិយមន័យ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផ្នែក AB, - ប្រវែងនៃចម្រៀក AC, និង - ប្រវែងនៃចម្រៀក CB ។ ដោយសារប្រវែងនៃជ្រុងណាមួយនៃត្រីកោណមិនលើសពីផលបូកនៃប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរទៀតនោះ វិសមភាព ដូច្នេះ វិសមភាពក៏មាន។

វិសមភាពដែលទើបតែបានបង្ហាញគឺជារឿងធម្មតាជាងនៅក្នុងទម្រង់ . វិសមភាពជាលាយលក្ខណ៍អក្សរជាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាទ្រព្យសម្បត្តិដាច់ដោយឡែកនៃម៉ូឌុលជាមួយនឹងទម្រង់បែបបទ៖ " ម៉ូឌុលនៃផលបូកនៃលេខពីរមិនលើសពីផលបូកនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះទេ។"។ ប៉ុន្តែវិសមភាពដោយផ្ទាល់គឺមកពីវិសមភាព ប្រសិនបើយើងដាក់ −b ជំនួសឱ្យ b ហើយយក c=0 ។

ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច

ចូរយើងផ្តល់ឱ្យ ការកំណត់ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច. សូមឱ្យយើងត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យ ចំនួនកុំផ្លិចសរសេរជាទម្រង់ពិជគណិត ដែល x និង y គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន តំណាងរៀងគ្នា ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ z និងជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

ឯកជនភាពរបស់អ្នកគឺសំខាន់សម្រាប់ពួកយើង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងបានបង្កើតគោលការណ៍ឯកជនភាពដែលពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ និងរក្សាទុកព័ត៌មានរបស់អ្នក។ សូមអានគោលការណ៍ឯកជនភាពរបស់យើង ហើយប្រាប់យើងឱ្យដឹង ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ។

ការប្រមូល និងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសំដៅលើទិន្នន័យដែលអាចប្រើដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណបុគ្គលជាក់លាក់ ឬទាក់ទងគាត់។

អ្នកអាចនឹងត្រូវបានស្នើសុំឱ្យផ្តល់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកគ្រប់ពេលនៅពេលអ្នកទាក់ទងមកយើង។

ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រភេទព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងអាចប្រមូលបាន និងរបៀបដែលយើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានទាំងនោះ។

តើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអ្វីខ្លះដែលយើងប្រមូលបាន៖

• នៅពេលអ្នកដាក់ពាក្យស្នើសុំនៅលើគេហទំព័រ យើងអាចប្រមូលព័ត៌មានផ្សេងៗ រួមទាំងឈ្មោះ លេខទូរស័ព្ទ អាសយដ្ឋានអ៊ីមែល។ល។

របៀបដែលយើងប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

• ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលបានអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាក់ទងអ្នក និងជូនដំណឹងដល់អ្នកអំពីការផ្តល់ជូនពិសេស ការផ្សព្វផ្សាយ និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត និងព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខ។
• យូរៗម្ដង យើងអាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក ដើម្បីផ្ញើការជូនដំណឹង និងសារសំខាន់ៗដល់អ្នក។
• យើងក៏អាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់គោលបំណងផ្ទៃក្នុងផងដែរ ដូចជាការធ្វើសវនកម្ម ការវិភាគទិន្នន័យ និងការស្រាវជ្រាវផ្សេងៗ ដើម្បីកែលម្អសេវាកម្មដែលយើងផ្តល់ និងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវការណែនាំទាក់ទងនឹងសេវាកម្មរបស់យើង។
• ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលការចាប់រង្វាន់ ការប្រកួត ឬការលើកទឹកចិត្តស្រដៀងគ្នា យើងអាចប្រើព័ត៌មានដែលអ្នកផ្តល់ដើម្បីគ្រប់គ្រងកម្មវិធីបែបនេះ។

ការបង្ហាញដល់ភាគីទីបី

យើងមិនបង្ហាញព័ត៌មានដែលទទួលបានពីអ្នកទៅភាគីទីបីទេ។

ករណីលើកលែង៖

• ក្នុងករណីដែលវាចាំបាច់ - ស្របតាមច្បាប់ សណ្តាប់ធ្នាប់តុលាការ ក្នុងដំណើរការផ្លូវច្បាប់ និង / ឬផ្អែកលើសំណើសាធារណៈ ឬសំណើពីស្ថាប័នរដ្ឋនៅលើទឹកដីនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី - បង្ហាញព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ យើងក៏អាចបង្ហាញព័ត៌មានអំពីអ្នកផងដែរ ប្រសិនបើយើងកំណត់ថាការបង្ហាញបែបនេះគឺចាំបាច់ ឬសមរម្យសម្រាប់សន្តិសុខ ការអនុវត្តច្បាប់ ឬគោលបំណងផលប្រយោជន៍សាធារណៈផ្សេងទៀត។
• នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការរៀបចំឡើងវិញ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬការលក់ យើងអាចផ្ទេរព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលទៅកាន់អ្នកស្នងតំណែងភាគីទីបីដែលពាក់ព័ន្ធ។

ការការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

យើងមានការប្រុងប្រយ័ត្ន - រួមទាំងរដ្ឋបាល បច្ចេកទេស និងរូបវន្ត - ដើម្បីការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកពីការបាត់បង់ ការលួច និងការប្រើប្រាស់ខុស ក៏ដូចជាពីការចូលប្រើប្រាស់ ការលាតត្រដាង ការផ្លាស់ប្តូរ និងការបំផ្លិចបំផ្លាញដោយគ្មានការអនុញ្ញាត។

រក្សាភាពឯកជនរបស់អ្នកនៅកម្រិតក្រុមហ៊ុន

ដើម្បីធានាថាព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកមានសុវត្ថិភាព យើងទាក់ទងការអនុវត្តឯកជនភាព និងសុវត្ថិភាពដល់បុគ្គលិករបស់យើង និងអនុវត្តការអនុវត្តឯកជនភាពយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។ កគឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុច ប៉ុន្តែ(ក).

ដើម្បីយល់ពីនិយមន័យនេះ យើងជំនួសដោយអថេរ កលេខណាមួយ ឧទាហរណ៍ 3 ហើយព្យាយាមអានវាម្តងទៀត៖

តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។ 3 គឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុច ប៉ុន្តែ(3 ).

វាច្បាស់ណាស់ថាម៉ូឌុលគឺគ្មានអ្វីលើសពីចម្ងាយធម្មតាទេ។ តោះសាកល្បងមើលចម្ងាយពីដើមដល់ចំណុច A( 3 )

ចម្ងាយពីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេទៅចំណុច A( 3 ) គឺស្មើនឹង 3 (បីឯកតា ឬបីជំហាន)។

ម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយបន្ទាត់បញ្ឈរពីរឧទាហរណ៍៖

ម៉ូឌុលនៃលេខ 3 ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម: |3|

ម៉ូឌុលនៃលេខ 4 ត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម: |4|

ម៉ូឌុលនៃលេខ 5 ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម: |5|

យើងរកមើលម៉ូឌុលនៃលេខ 3 ហើយរកឃើញថាវាស្មើនឹង 3 ។ ដូច្នេះយើងសរសេរ៖

អានដូចជា៖ "ម៉ូឌុលនៃបីគឺបី"

ឥឡូវយើងព្យាយាមរកម៉ូឌុលនៃលេខ -3 ។ ម្តងទៀត យើងត្រលប់ទៅនិយមន័យ ហើយជំនួសលេខ -3 ទៅក្នុងវា។ ជំនួសឱ្យចំណុចមួយ។ កប្រើចំណុចថ្មី។ ខ. ចំណុច កយើងបានប្រើរួចហើយនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូង។

ម៉ូឌុលនៃលេខគឺ 3 ហៅចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុច ខ(—3 ).

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយទៀតមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។ ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយដែលជាចម្ងាយក៏នឹងមិនអវិជ្ជមានដែរ។ ម៉ូឌុលនៃលេខ -3 នឹងជាលេខ 3។ ចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុច B(-3) ក៏ស្មើនឹងបីឯកតាដែរ៖

អានដូចជា៖ "ម៉ូឌុលនៃលេខដកបីគឺបី"

ម៉ូឌុលនៃលេខ 0 គឺ 0 ចាប់តាំងពីចំនុចដែលមានកូអរដោណេ 0 ស្របគ្នាជាមួយនឹងប្រភពដើម ពោលគឺឧ។ ចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុច O(0)ស្មើសូន្យ៖

"ម៉ូឌុលនៃសូន្យគឺសូន្យ"

យើងធ្វើការសន្និដ្ឋាន៖

• ម៉ូឌុលនៃចំនួនមិនអាចជាអវិជ្ជមានទេ។
• សម្រាប់លេខវិជ្ជមាន និងសូន្យ ម៉ូឌុលគឺស្មើនឹងលេខខ្លួនវា ហើយសម្រាប់លេខអវិជ្ជមានមួយទៅលេខផ្ទុយ។
• លេខទល់មុខមានម៉ូឌុលស្មើគ្នា។

លេខផ្ទុយ

លេខដែលខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញាប៉ុណ្ណោះត្រូវបានហៅ ទល់មុខ. ឧទាហរណ៍ លេខ −2 និង 2 គឺផ្ទុយគ្នា។ ពួកវាខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញាប៉ុណ្ណោះ។ លេខ −2 មានសញ្ញាដក ហើយលេខ 2 មានសញ្ញាបូក ប៉ុន្តែយើងមើលមិនឃើញទេ ព្រោះបូកដូចដែលយើងបាននិយាយមុននេះ ជាធម្មតាមិនត្រូវបានសរសេរទេ។

ឧទាហរណ៍ច្រើនទៀតនៃលេខផ្ទុយ៖

លេខទល់មុខមានម៉ូឌុលស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកម៉ូឌុលសម្រាប់ −2 និង 2

តួលេខបង្ហាញថាចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុច A(−2)និង ខ(2)ស្មើនឹងពីរជំហាន។

តើអ្នកចូលចិត្តមេរៀនទេ?
ចូលរួមជាមួយក្រុម Vkontakte ថ្មីរបស់យើង ហើយចាប់ផ្តើមទទួលបានការជូនដំណឹងអំពីមេរៀនថ្មី។