នៅក្នុងបញ្ហា B9 ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ឬដេរីវេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់បរិមាណមួយខាងក្រោម៖

1. តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចមួយចំនួន x 0,
2. ចំណុចខ្ពស់ឬទាប (ចំណុចខ្លាំង),
3. ចន្លោះពេលនៃមុខងារបង្កើននិងបន្ថយ (ចន្លោះពេលនៃ monotonicity) ។

មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុដែលបង្ហាញក្នុងបញ្ហានេះតែងតែបន្ត ដែលជួយសម្រួលដល់ដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។ ថ្វីបើការពិតដែលថាភារកិច្ចជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាក៏ដោយ វាគឺស្ថិតនៅក្នុងអំណាចរបស់សិស្សដែលខ្សោយបំផុត ដោយសារគ្មានចំណេះដឹងទ្រឹស្តីស៊ីជម្រៅត្រូវបានទាមទារនៅទីនេះ។

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ចំណុចខ្លាំង និងចន្លោះពេល monotonicity មានក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ និងជាសកល - ពួកគេទាំងអស់នឹងត្រូវបានពិភាក្សាខាងក្រោម។

អានដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា B9 ដើម្បីកុំឱ្យមានកំហុសឆោតល្ងង់៖ ពេលខ្លះអត្ថបទដ៏សំបូរបែបបានមក ប៉ុន្តែមានលក្ខខណ្ឌសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលប៉ះពាល់ដល់ដំណើរនៃដំណោះស្រាយ។

ការគណនាតម្លៃនៃដេរីវេ។ វិធីសាស្រ្តពីរចំណុច

ប្រសិនបើបញ្ហាត្រូវបានផ្តល់ក្រាហ្វិកនៃអនុគមន៍ f(x) តង់សង់ទៅក្រាហ្វនេះនៅចំណុចមួយចំនួន x 0 ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចនេះ ក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្ត៖

1. ស្វែងរកចំណុច "គ្រប់គ្រាន់" ពីរនៅលើក្រាហ្វតង់សង់៖ កូអរដោនេរបស់ពួកគេត្រូវតែជាចំនួនគត់។ ចូរសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះជា A (x 1 ; y 1) និង B (x 2 ; y 2) ។ សរសេរកូអរដោណេឱ្យបានត្រឹមត្រូវ - នេះគឺជាចំណុចសំខាន់នៃដំណោះស្រាយ ហើយកំហុសណាមួយនៅទីនេះនាំទៅរកចម្លើយខុស។
2. ដោយដឹងពីកូអរដោនេ វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δx = x 2 − x 1 និងការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ Δy = y 2 − y 1 ។
3. ទីបំផុតយើងរកឃើញតម្លៃនៃដេរីវេ D = Δy/Δx ។ និយាយម៉្យាងទៀតអ្នកត្រូវបែងចែកមុខងារបង្កើនដោយការកើនឡើងអាគុយម៉ង់ - ហើយនេះនឹងជាចម្លើយ។

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងកត់សំគាល់៖ ចំណុច A និង B ត្រូវតែស្វែងរកយ៉ាងជាក់លាក់នៅលើតង់សង់ ហើយមិនមែននៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) ដូចករណីញឹកញាប់នោះទេ។ តង់សង់នឹងចាំបាច់មានចំណុចបែបនេះយ៉ាងហោចណាស់ពីរ បើមិនដូច្នេះទេបញ្ហាត្រូវបានបង្កើតមិនត្រឹមត្រូវ។

ពិចារណាចំណុច A (−3; 2) និង B (−1; 6) ហើយស្វែងរកការបង្កើន៖
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d ៤.

ចូររកតម្លៃនៃដេរីវេ៖ D = Δy/Δx = 4/2 = 2 ។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) និងតង់សង់ទៅវានៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 ។ រកតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x 0 ។

ពិចារណាចំណុច A (0; 3) និង B (3; 0) ស្វែងរកការកើនឡើង៖
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3 ។

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញតម្លៃនៃដេរីវេ៖ D = Δy/Δx = −3/3 = −1 ។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) និងតង់សង់ទៅវានៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 ។ រកតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x 0 ។

ពិចារណាចំណុច A (0; 2) និង B (5; 2) ហើយស្វែងរកការកើនឡើង៖
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0 ។

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេ៖ D = Δy/Δx = 0/5 = 0 ។

ពីឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ យើងអាចបង្កើតច្បាប់បាន៖ ប្រសិនបើតង់សង់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស OX នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចទំនាក់ទំនងគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះអ្នកមិនចាំបាច់គណនាអ្វីទាំងអស់ - គ្រាន់តែមើលក្រាហ្វ។

ការគណនាពិន្ទុខ្ពស់និងទាប

ជួនកាលជំនួសឱ្យក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅក្នុងបញ្ហា B9 ក្រាហ្វដេរីវេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកចំណុចអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍។ នៅក្នុងសេណារីយ៉ូនេះ វិធីសាស្ត្រពីរចំណុចគឺគ្មានប្រយោជន៍ទេ ប៉ុន្តែមានមួយទៀត សូម្បីតែក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញជាង។ ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់និយមន័យពាក្យ៖

1. ចំណុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ f(x) ប្រសិនបើវិសមភាពខាងក្រោមមាននៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ៖ f(x 0) ≥ f(x) ។
2. ចំនុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f(x) ប្រសិនបើវិសមភាពខាងក្រោមមាននៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ៖ f(x 0) ≤ f(x) ។

ដើម្បីស្វែងរកចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមានៅលើក្រាហ្វនៃដេរីវេ វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ

1. គូរក្រាហ្វនៃនិស្សន្ទវត្ថុឡើងវិញ ដោយលុបព័ត៌មានដែលមិនចាំបាច់ទាំងអស់។ ដូចដែលការអនុវត្តបង្ហាញ ទិន្នន័យបន្ថែមគ្រាន់តែរំខានដល់ការសម្រេចចិត្តប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ យើងសម្គាល់លេខសូន្យនៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ - ហើយនោះហើយជាវា។
2. ស្វែងយល់ពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅលើចន្លោះពេលរវាងសូន្យ។ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនុចមួយចំនួន x 0 គេដឹងថា f'(x 0) ≠ 0 នោះមានតែជម្រើសពីរប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើទៅបាន៖ f'(x 0) ≥ 0 ឬ f'(x 0) ≤ 0។ សញ្ញានៃដេរីវេគឺ ងាយស្រួលកំណត់ពីគំនូរដើម៖ ប្រសិនបើក្រាហ្វដេរីវេស្ថិតនៅពីលើអ័ក្ស OX នោះ f'(x) ≥ 0។ ផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើក្រាហ្វដេរីវេស្ថិតនៅខាងក្រោមអ័ក្ស OX នោះ f'(x) ≤ 0។
3. យើងពិនិត្យមើលលេខសូន្យ និងសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុម្តងទៀត។ កន្លែងដែលសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូក វាមានចំណុចអប្បបរមា។ ផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។ ការរាប់តែងតែធ្វើឡើងពីឆ្វេងទៅស្តាំ។

គ្រោងការណ៍នេះដំណើរការសម្រាប់តែមុខងារបន្តប៉ុណ្ណោះ - មិនមានអ្វីផ្សេងទៀតនៅក្នុងបញ្ហា B9 ទេ។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែក [−5; ៥]។ ស្វែងរកចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើផ្នែកនេះ។

ចូរយើងកម្ចាត់ព័ត៌មានដែលមិនចាំបាច់ - យើងនឹងទុកតែព្រំដែន [−5; 5] និងសូន្យនៃដេរីវេ x = −3 និង x = 2.5 ។ សូមកត់សម្គាល់ផងដែរនូវសញ្ញា៖

ជាក់ស្តែងនៅចំណុច x = −3 សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូក។ នេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែក [−3; ៧]។ ស្វែងរកចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើផ្នែកនេះ។

ចូរគូរក្រាហ្វឡើងវិញ ដោយបន្សល់ទុកតែព្រំដែន [−3; 7] និងលេខសូន្យនៃដេរីវេទី x = −1.7 និង x = 5 យើង​មាន:

ជាក់ស្តែងនៅចំណុច x = 5 សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក - នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែក [−6; ៤]។ ស្វែងរកចំនួនពិន្ទុអតិបរមានៃអនុគមន៍ f(x) ដែលជារបស់ចន្លោះពេល [−4; ៣]។

វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែផ្នែកនៃក្រាហ្វដែលចងដោយផ្នែក [−4; ៣]។ ដូច្នេះហើយ យើងបង្កើតក្រាហ្វថ្មីមួយ ដែលយើងសម្គាល់តែព្រំដែន [−4; 3] និងលេខសូន្យនៃដេរីវេនៅខាងក្នុងវា។ ពោលគឺ ចំនុច x = −3.5 និង x = 2. យើងទទួលបាន៖

នៅលើក្រាហ្វនេះមានចំណុចអតិបរមា x = 2 តែមួយគត់។ វាស្ថិតនៅក្នុងវាដែលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក។

កំណត់ចំណាំតូចមួយអំពីចំណុចដែលមានកូអរដោណេមិនមែនចំនួនគត់។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងបញ្ហាចុងក្រោយ ចំនុច x = −3.5 ត្រូវបានពិចារណា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា យើងអាចយក x = −3.4 ។ ប្រសិនបើបញ្ហាត្រូវបានបង្កើតត្រឹមត្រូវ ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះមិនគួរប៉ះពាល់ដល់ចម្លើយទេ ព្រោះចំណុច "ដោយគ្មានកន្លែងស្នាក់នៅ" មិនពាក់ព័ន្ធដោយផ្ទាល់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានោះទេ។ ជាការពិតណាស់ជាមួយនឹងចំនួនគត់ ល្បិចបែបនេះនឹងមិនដំណើរការទេ។

ការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារមួយ។

នៅក្នុងបញ្ហាបែបនេះ ដូចជាចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមា វាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីស្វែងរកតំបន់ដែលមុខងារខ្លួនវាកើនឡើង ឬថយចុះពីក្រាហ្វនៃដេរីវេ។ ដំបូង​យើង​កំណត់​ថា​តើ​ការ​ឡើង​ចុះ​គឺ​ជា​អ្វី៖

1. អនុគមន៍ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​កើន​ឡើង​លើ​ផ្នែក​មួយ ប្រសិន​បើ​សម្រាប់​ចំណុច​ពីរ x 1 និង x 2 ពី​ផ្នែក​នេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​គឺ​ពិត៖ x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់កាន់តែធំ តម្លៃនៃមុខងារកាន់តែធំ។
2. អនុគមន៍ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ការ​ថយ​ចុះ​នៅ​លើ​ផ្នែក​មួយ ប្រសិន​បើ​សម្រាប់​ចំណុច​ពីរ x 1 និង x 2 ពី​ផ្នែក​នេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​គឺ​ពិត៖ x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) ។ ទាំងនោះ។ តម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃតូចជាងនៃអនុគមន៍។

យើងបង្កើតលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បង្កើន និងបន្ថយ៖

1. សម្រាប់មុខងារបន្ត f(x) ដើម្បីបង្កើននៅលើផ្នែក វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលដេរីវេរបស់វានៅខាងក្នុងផ្នែកគឺវិជ្ជមាន ឧ។ f'(x) ≥ 0 ។
2. សម្រាប់អនុគមន៍បន្ត f(x) ដើម្បីបន្ថយនៅលើផ្នែក វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលដេរីវេរបស់វានៅខាងក្នុងផ្នែកគឺអវិជ្ជមាន ឧ។ f'(x) ≤ 0 ។

យើងទទួលយកការអះអាងទាំងនេះដោយគ្មានភស្តុតាង។ ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះ ដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាចំណុចខ្លាំង៖

1. លុបព័ត៌មានដែលលែងត្រូវការទាំងអស់ចេញ។ នៅលើក្រាហ្វដើមនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងចាប់អារម្មណ៍ជាចម្បងលើសូន្យនៃអនុគមន៍ ដូច្នេះយើងទុកតែពួកវាប៉ុណ្ណោះ។
2. សម្គាល់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលរវាងសូន្យ។ កន្លែងណា f'(x) ≥ 0 មុខងារកើនឡើង ហើយ f'(x) ≤ 0 វាថយចុះ។ ប្រសិនបើបញ្ហាមានការរឹតបន្តឹងលើអថេរ x យើងក៏សម្គាល់ពួកវានៅលើតារាងថ្មី។
3. ឥឡូវ​យើង​ដឹង​ពី​ឥរិយាបថ​នៃ​មុខងារ​និង​កម្រិត​ហើយ វា​នៅ​តែ​គណនា​តម្លៃ​ដែល​ទាមទារ​ក្នុង​បញ្ហា។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែក [−3; ៧.៥]។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការថយចុះអនុគមន៍ f(x)។ នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក សូមសរសេរផលបូកនៃចំនួនគត់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលទាំងនេះ។

ដូចធម្មតា យើងគូរក្រាហ្វឡើងវិញ ហើយសម្គាល់ព្រំដែន [−3; 7.5] ក៏ដូចជាសូន្យនៃដេរីវេ x = −1.5 និង x = 5.3 ។ បន្ទាប់មកយើងសម្គាល់សញ្ញានៃដេរីវេ។ យើង​មាន:

ចាប់តាំងពីដេរីវេគឺអវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេល (− 1.5) នេះគឺជាចន្លោះពេលនៃការថយចុះមុខងារ។ វានៅសល់ដើម្បីបូកសរុបចំនួនគត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេលនេះ៖
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែក [−10; ៤]។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការបង្កើនអនុគមន៍ f(x)។ នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក សូមសរសេរប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ។

ចូរ​យើង​លុប​បំបាត់​ព័ត៌មាន​មិន​ប្រក្រតី។ យើងទុកតែព្រំដែន [−10; 4] និងសូន្យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលលើកនេះប្រែជាបួន៖ x = −8, x = −6, x = −3 និង x = 2

យើងចាប់អារម្មណ៍លើចន្លោះពេលនៃការបង្កើនមុខងារ, i.e. ដែល f'(x) ≥ 0. មានចន្លោះពេលពីរនៅលើក្រាហ្វ៖ (−8; −6) និង (−3; 2)។ ចូរយើងគណនាប្រវែងរបស់ពួកគេ៖
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5 ។

ដោយសារវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកប្រវែងធំបំផុតនៃចន្លោះពេលយើងសរសេរតម្លៃ l 2 = 5 ជាការឆ្លើយតប។

ដេរីវេនៃមុខងារគឺជាប្រធានបទដ៏លំបាកបំផុតមួយនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ មិនមែនគ្រប់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សានឹងឆ្លើយសំណួរថាអ្វីទៅជាដេរីវេទេ។

អត្ថបទនេះពន្យល់យ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់ថាអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ និងមូលហេតុដែលវាត្រូវការ។. ឥឡូវនេះ យើងនឹងមិនខិតខំសម្រាប់ភាពតឹងរ៉ឹងផ្នែកគណិតវិទ្យានៃការបង្ហាញនោះទេ។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រូវយល់ពីអត្ថន័យ។

ចូរយើងចងចាំនិយមន័យ៖

ដេរីវេគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារបី។ តើអ្នកគិតថាមួយណាលូតលាស់លឿនជាងគេ?

ចម្លើយគឺជាក់ស្តែង - ទីបី។ វាមានអត្រាខ្ពស់បំផុតនៃការផ្លាស់ប្តូរ នោះគឺជាដេរីវេធំបំផុត។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយទៀត។

Kostya, Grisha និង Matvey ទទួលបានការងារក្នុងពេលតែមួយ។ តោះ​មើល​ថា​ចំណូល​របស់​ពួក​គេ​បាន​ផ្លាស់​ប្តូរ​យ៉ាង​ណា​ក្នុង​អំឡុង​ឆ្នាំ​នេះ៖

អ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅលើតារាងភ្លាមៗមែនទេ? ប្រាក់ចំណូលរបស់ Kostya បានកើនឡើងទ្វេដងក្នុងរយៈពេលប្រាំមួយខែ។ ហើយ​ប្រាក់​ចំណូល​របស់ Grisha ក៏​កើន​ឡើង​ដែរ ប៉ុន្តែ​គ្រាន់​តែ​បន្តិច។ ហើយប្រាក់ចំណូលរបស់ម៉ាថាយបានថយចុះដល់សូន្យ។ លក្ខខណ្ឌចាប់ផ្តើមគឺដូចគ្នាប៉ុន្តែអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ i.e. ដេរីវេ, - ខុសគ្នា។ សម្រាប់ Matvey ដេរីវេនៃប្រាក់ចំណូលរបស់គាត់ជាទូទៅអវិជ្ជមាន។

ដោយវិចារណញាណ យើងអាចប៉ាន់ស្មានអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារយ៉ាងងាយស្រួល។ ប៉ុន្តែតើយើងធ្វើវាដោយរបៀបណា?

អ្វី​ដែល​យើង​ពិត​ជា​កំពុង​សម្លឹង​មើល​គឺ​របៀប​ដែល​ក្រាហ្វ​នៃ​មុខងារ​ឡើង​ទៅ​លើ (ឬ​ចុះ​ក្រោម)។ ម៉្យាងទៀត y ផ្លាស់ប្តូរលឿនប៉ុណ្ណាជាមួយ x ។ ជាក់ស្តែងមុខងារដូចគ្នានៅចំណុចផ្សេងគ្នាអាចមានតម្លៃខុសគ្នានៃដេរីវេ - នោះគឺវាអាចផ្លាស់ប្តូរលឿនឬយឺតជាង។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានតាងដោយ .

ចូរបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកដោយប្រើក្រាហ្វ។

ក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួនត្រូវបានគូរ។ យកចំណុចមួយនៅលើវាជាមួយ abscissa មួយ។ គូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។ យើងចង់វាយតម្លៃថាតើក្រាហ្វនៃមុខងារឡើងខ្ពស់ប៉ុណ្ណា។ តម្លៃងាយស្រួលសម្រាប់នេះគឺ តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ។

សូមចំណាំ - ជាមុំទំនោរនៃតង់សង់ យើងយកមុំរវាងតង់សង់ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស។

ពេលខ្លះសិស្សសួរថាតើអ្វីជាតង់សង់នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ នេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណុចរួមតែមួយគត់ជាមួយនឹងក្រាហ្វនៅក្នុងផ្នែកនេះ លើសពីនេះទៅទៀត ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបរបស់យើង។ វាមើលទៅដូចជាតង់សង់ទៅរង្វង់មួយ។

ចូរយើងស្វែងរក។ យើងចាំថាតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នា។ ពីត្រីកោណ៖

យើងបានរកឃើញដេរីវេដោយប្រើក្រាហ្វដោយមិនដឹងពីរូបមន្តនៃអនុគមន៍។ ភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងការប្រឡងក្នុងគណិតវិទ្យានៅក្រោមលេខ។

មានទំនាក់ទំនងសំខាន់មួយទៀត។ សូមចាំថាបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

បរិមាណនៅក្នុងសមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។. វាស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅអ័ក្ស។

.

យើងទទួលបាននោះ។

ចូរយើងចងចាំរូបមន្តនេះ។ វាបង្ហាញពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងចំណោទនៃតង់សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ។

ម្យ៉ាងទៀត ដេរីវេគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់។

យើងបាននិយាយរួចមកហើយថាមុខងារដូចគ្នាអាចមានដេរីវេផ្សេងគ្នានៅចំណុចផ្សេងគ្នា។ សូមមើលពីរបៀបដែលដេរីវេគឺទាក់ទងទៅនឹងឥរិយាបថនៃអនុគមន៍។

តោះគូរក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួន។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនេះកើនឡើងក្នុងផ្នែកខ្លះ ហើយបន្ថយនៅផ្នែកផ្សេងទៀត និងក្នុងអត្រាផ្សេងគ្នា។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនេះមានពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមា។

នៅចំណុចមួយមុខងារកំពុងកើនឡើង។ តង់សង់​ទៅ​ក្រាហ្វ​ដែល​គូស​នៅ​ចំណុច​នោះ​បង្កើត​ជា​មុំ​ស្រួច​ជាមួយ​ទិស​វិជ្ជមាន​នៃ​អ័ក្ស។ ដូច្នេះដេរីវេគឺវិជ្ជមាននៅចំណុច។

នៅចំណុចនេះមុខងាររបស់យើងកំពុងថយចុះ។ តង់សង់នៅចំណុចនេះបង្កើតជាមុំ obtuse ជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស។ ដោយសារតង់សង់នៃមុំ obtuse គឺអវិជ្ជមាន ដេរីវេនៅចំណុចគឺអវិជ្ជមាន។

នេះជាអ្វីដែលកើតឡើង៖

ប្រសិនបើមុខងារមួយកំពុងកើនឡើង ដេរីវេរបស់វាគឺវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើវាថយចុះ ដេរីវេរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។

ហើយ​តើ​អ្វី​នឹង​កើត​ឡើង​នៅ​ចំណុច​អតិបរមា និង​អប្បបរមា? យើងឃើញថានៅ (ចំណុចអតិបរមា) និង (ចំណុចអប្បបរមា) តង់សង់គឺផ្ដេក។ ដូច្នេះ តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចទាំងនេះគឺសូន្យ ហើយដេរីវេក៏ជាសូន្យផងដែរ។

ចំណុចគឺជាចំណុចអតិបរមា។ នៅចំណុចនេះការកើនឡើងនៃមុខងារត្រូវបានជំនួសដោយការថយចុះ។ អាស្រ័យហេតុនេះ សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរនៅចំណុចពី "បូក" ទៅ "ដក" ។

នៅចំណុច - ចំណុចអប្បបរមា - ដេរីវេក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ ប៉ុន្តែសញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរពី "ដក" ទៅ "បូក" ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដោយមានជំនួយពីដេរីវេ អ្នកអាចរកឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលចាប់អារម្មណ៍យើងអំពីអាកប្បកិរិយានៃមុខងារ។

ប្រសិនបើដេរីវេគឺវិជ្ជមាន នោះមុខងារកំពុងកើនឡើង។

ប្រសិនបើដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន នោះមុខងារនឹងថយចុះ។

នៅចំណុចអតិបរមា ដេរីវេគឺសូន្យ ហើយប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។

នៅចំណុចអប្បបរមា ដេរីវេក៏ជាសូន្យ និងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក។

យើងសរសេរការរកឃើញទាំងនេះក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖

	កើនឡើង	ចំណុចអតិបរមា	ថយចុះ	ចំណុចអប្បបរមា	កើនឡើង
+	0	-	0	+

ចូរយើងធ្វើការបំភ្លឺពីរយ៉ាង។ អ្នកនឹងត្រូវការមួយក្នុងចំណោមពួកគេនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រឡង។ មួយទៀត - ក្នុងឆ្នាំដំបូងជាមួយនឹងការសិក្សាកាន់តែធ្ងន់ធ្ងរអំពីមុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

ករណីអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយចំនួនស្មើនឹងសូន្យ ប៉ុន្តែមុខងារនេះមិនមានអតិបរមា ឬអប្បបរមានៅចំណុចនេះទេ។ នេះហៅថា :

នៅចំណុចមួយ តង់សង់ទៅក្រាហ្វគឺផ្ដេក ហើយដេរីវេគឺសូន្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមុនពេលចំនុចមុខងារកើនឡើង - ហើយបន្ទាប់ពីចំនុចវាបន្តកើនឡើង។ សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុមិនផ្លាស់ប្តូរទេ - វានៅតែមានភាពវិជ្ជមានដូចដែលវាធ្លាប់មាន។

វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលថានៅចំណុចអតិបរមាឬអប្បបរមា ដេរីវេមិនមានទេ។ នៅលើក្រាហ្វ នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងការបំបែកដ៏មុតស្រួច នៅពេលដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេប្រសិនបើមុខងារមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយក្រាហ្វប៉ុន្តែដោយរូបមន្តមួយ? ក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានអនុវត្ត

លោក Sergei Nikiforov

ប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍មានសញ្ញាថេរនៅលើចន្លោះពេល ហើយមុខងារខ្លួនវាបន្តនៅលើព្រំដែនរបស់វា នោះចំនុចព្រំដែនត្រូវបានភ្ជាប់ទៅទាំងការកើនឡើង និងបន្ថយចន្លោះពេល ដែលវាត្រូវគ្នាយ៉ាងពេញលេញទៅនឹងនិយមន័យនៃមុខងារបង្កើន និងបន្ថយ។

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

ជំរាបសួរ។ តើគេអាចប្រកែកបានដោយរបៀបណាថា នៅចំណុចដែលដេរីវេទីវ័រស្មើនឹងសូន្យ មុខងារនឹងកើនឡើង។ ផ្តល់ហេតុផល។ បើមិនដូច្នេះទេ វាគ្រាន់តែជាការចង់បានរបស់នរណាម្នាក់ប៉ុណ្ណោះ។ ដោយទ្រឹស្តីបទអ្វី? និងភស្តុតាងផងដែរ។ សូមអរគុណ។

សេវាកម្មគាំទ្រ

តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចមួយគឺមិនទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេលនោះទេ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មុខងារ - ពួកវាទាំងអស់កើនឡើងនៅចន្លោះពេល

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

ប្រសិនបើមុខងារមួយកំពុងកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេល (a;b) ហើយត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅចំណុច a និង b នោះវានឹងកើនឡើងនៅលើផ្នែក។ ទាំងនោះ។ ចំនុច x = 2 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ទោះបីជាតាមក្បួនមួយការកើនឡើងនិងការថយចុះត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនមែននៅលើផ្នែកមួយប៉ុន្តែនៅលើចន្លោះពេលមួយ។

ប៉ុន្តែនៅចំណុច x=2 មុខងារមានអប្បបរមាមូលដ្ឋាន។ និងរបៀបពន្យល់ដល់កុមារថា នៅពេលដែលពួកគេកំពុងស្វែងរកចំណុចនៃការកើនឡើង (ការថយចុះ) នោះយើងមិនរាប់បញ្ចូលចំណុចនៃភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់នោះទេ ប៉ុន្តែពួកគេចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង (ថយចុះ)។

ដោយពិចារណាថាផ្នែកទីមួយនៃការប្រឡងគឺសម្រាប់ "ក្រុមកណ្តាលនៃសាលាមត្តេយ្យ" បន្ទាប់មកការ nuances បែបនេះប្រហែលជាហួសកំរិត។

ដោយឡែកពីគ្នា អរគុណច្រើនចំពោះ "ខ្ញុំនឹងដោះស្រាយការប្រឡង" ដល់បុគ្គលិកទាំងអស់ ដែលជាការណែនាំដ៏ល្អ។

លោក Sergei Nikiforov

ការពន្យល់សាមញ្ញអាចទទួលបានប្រសិនបើយើងចាប់ផ្តើមពីនិយមន័យនៃមុខងារបង្កើន/បន្ថយ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថាវាស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ មុខងារមួយត្រូវបានគេហៅថា បង្កើន/បន្ថយ នៅចន្លោះពេល ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ធំនៃមុខងារត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំជាង/តូចនៃមុខងារ។ និយមន័យបែបនេះមិនប្រើគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ ដូច្នេះសំណួរអំពីចំណុចដែលការបាត់និស្សន្ទវត្ថុមិនអាចកើតឡើងបាន។

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

អរុណសួស្តី។ នៅទីនេះក្នុងមតិយោបល់ខ្ញុំឃើញមានជំនឿថាព្រំដែនគួរតែត្រូវបានរួមបញ្ចូល។ ចូរនិយាយថាខ្ញុំយល់ស្របនឹងរឿងនេះ។ ប៉ុន្តែសូមក្រឡេកមើលដំណោះស្រាយរបស់អ្នកចំពោះបញ្ហា 7089។ នៅទីនោះ នៅពេលបញ្ជាក់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង ព្រំដែនមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលនោះទេ។ ហើយវាប៉ះពាល់ដល់ការឆ្លើយតប។ ទាំងនោះ។ ដំណោះស្រាយនៃកិច្ចការ 6429 និង 7089 ផ្ទុយគ្នាទៅវិញទៅមក។ សូមបញ្ជាក់អំពីស្ថានភាពនេះ។

Alexander Ivanov

កិច្ចការ 6429 និង 7089 មានសំណួរខុសគ្នាទាំងស្រុង។

ក្នុង​មួយ​មាន​ចន្លោះ​ពេល​នៃ​ការ​កើន​ឡើង ហើយ​ក្នុង​មួយ​ទៀត​មាន​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​មាន​និស្សន្ទវត្ថុ​វិជ្ជមាន។

មិនមានភាពផ្ទុយគ្នាទេ។

extrema ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះ ប៉ុន្តែចំនុចដែលដេរីវេទីវ័រស្មើនឹងសូន្យ មិនចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលដែលដេរីវេទីវ័រមានភាពវិជ្ជមាននោះទេ។

A Z 28.01.2019 19:09

សហសេវិក​មាន​គំនិត​កើន​ឡើង​ត្រង់​ចំណុច​មួយ។

(សូមមើល Fichtenholtz ឧទាហរណ៍)

ហើយការយល់ដឹងរបស់អ្នកអំពីការកើនឡើងនៅចំណុច x=2 គឺផ្ទុយទៅនឹងនិយមន័យបុរាណ។

ការបង្កើន និងបន្ថយគឺជាដំណើរការមួយ ហើយខ្ញុំចង់ប្រកាន់ខ្ជាប់នូវគោលការណ៍នេះ។

ក្នុងចន្លោះពេលណាមួយដែលមានចំណុច x=2 មុខងារមិនកើនឡើងទេ។ ដូច្នេះការដាក់បញ្ចូលចំណុច x=2 គឺជាដំណើរការពិសេសមួយ។

ជាធម្មតា ដើម្បីជៀសវាងការភ័ន្តច្រឡំ ការបញ្ចូលចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេលត្រូវបាននិយាយដោយឡែកពីគ្នា។

Alexander Ivanov

អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​កើន​ឡើង​នៅ​ចន្លោះ​ពេល​ខ្លះ ប្រសិន​បើ​តម្លៃ​ធំ​ជាង​នៃ​អាគុយម៉ង់​ពី​ចន្លោះ​ពេល​នេះ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​តម្លៃ​ធំ​ជាង​របស់​អនុគមន៍។

នៅចំណុច x = 2 មុខងារគឺអាចខុសគ្នា ហើយនៅលើចន្លោះពេល (2; 6) ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាតម្លៃរបស់វាមានភាពវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅលើចន្លោះពេល ដែលមានន័យថាមុខងារកើនឡើងតែក្នុង ផ្នែកនេះ ដូច្នេះតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងខាងឆ្វេង x = −3 តិចជាងតម្លៃរបស់វានៅខាងស្ដាំ x = −2.

ចម្លើយ៖ φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) ការប្រើក្រាហ្វនៃអង់ទីករ Φ 2 (x ) (ក្នុងករណីរបស់យើងវាជាក្រាហ្វពណ៌ខៀវ) កំណត់តម្លៃ 2 នៃអនុគមន៍មួយណាធំជាង φ ២ (−១) ឬ φ 2 (4)?

ពីក្រាហ្វនៃ antiderivative វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាចំណុច x = −1 ស្ថិតនៅក្នុងតំបន់ដែលកំពុងកើនឡើង ដូច្នេះតម្លៃនៃដេរីវេដែលត្រូវគ្នាគឺវិជ្ជមាន។ ចំណុច x = 4 ស្ថិតនៅក្នុងតំបន់ថយចុះ ហើយតម្លៃនៃដេរីវេដែលត្រូវគ្នាគឺអវិជ្ជមាន។ ដោយសារតម្លៃវិជ្ជមានគឺធំជាងអវិជ្ជមាន នោះយើងសន្និដ្ឋានថាតម្លៃនៃអនុគមន៍មិនស្គាល់ ដែលជាដេរីវេយ៉ាងជាក់លាក់គឺតិចជាងនៅចំណុច −1 ។

ចម្លើយ៖ φ 2 (−1) > φ 2 (4)

អ្នកអាចសួរសំណួរស្រដៀងគ្នាជាច្រើននៅលើក្រាហ្វដែលបាត់ ដែលនាំទៅរកបញ្ហាជាច្រើនជាមួយនឹងចម្លើយខ្លី ដែលបង្កើតឡើងដោយយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ដូចគ្នា។ ព្យាយាមដោះស្រាយពួកគេខ្លះ។

ភារកិច្ចសម្រាប់កំណត់លក្ខណៈនៃដេរីវេតាមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។

រូបភាពទី 1 ។

រូបភាពទី 2 ។

កិច្ចការទី 1

y = f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−10.5;19) ។ កំណត់ចំនួនចំនុចគត់ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍មានភាពវិជ្ជមាន។

ដេរីវេនៃមុខងារគឺវិជ្ជមាននៅក្នុងតំបន់ទាំងនោះដែលមុខងារកើនឡើង។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខថាទាំងនេះគឺជាចន្លោះពេល (−10.5; −7.6), (−1; 8.2) និង (15.7;19) ។ ចូររាយបញ្ជីចំនួនគត់នៅក្នុងចន្លោះពេលទាំងនេះ៖ "−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6" , "7", "8", "16", "17", "18" ។ សរុបមាន ១៥ ពិន្ទុ។

ចម្លើយ៖ 15

សុន្ទរកថា។
1. នៅពេលដែលនៅក្នុងភារកិច្ចអំពីក្រាហ្វមុខងារវាត្រូវបានទាមទារឱ្យដាក់ឈ្មោះ "ចំណុច" ជាក្បួនមានតែតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ប៉ុណ្ណោះដែលមានន័យថា x ដែលជា abscissas នៃចំណុចដែលត្រូវគ្នាដែលមាននៅលើក្រាហ្វ។ ការចាត់តាំងនៃចំណុចទាំងនេះគឺជាតម្លៃនៃមុខងារពួកគេពឹងផ្អែកហើយអាចគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើចាំបាច់។
2. នៅពេលរាយបញ្ជីពិន្ទុ យើងមិនបានគិតគូរពីគែមនៃចន្លោះពេលនោះទេ ដោយសារមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះមិនកើនឡើង ឬថយចុះ ប៉ុន្តែ "លាតត្រដាង"។ ដេរីវេនៅចំណុចទាំងនោះមិនវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានទេ វាស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះពួកវាត្រូវបានគេហៅថាចំណុចស្ថានី។ លើសពីនេះ យើងមិនគិតពីព្រំដែននៃដែននៅទីនេះទេ ព្រោះលក្ខខណ្ឌនិយាយថានេះជាចន្លោះពេល។

កិច្ចការទី 2

រូបភាពទី 1 បង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារ y = f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−10.5;19) ។ កំណត់ចំនួនគត់នៃចំនុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ f" (x ) គឺអវិជ្ជមាន។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺអវិជ្ជមាននៅក្នុងផ្នែកទាំងនោះដែលមុខងារត្រូវបានថយចុះ។ តួលេខបង្ហាញថាទាំងនេះគឺជាចន្លោះពេល (−7.6;−1) និង (8.2;15.7)។ ចំណុចចំនួនគត់នៅក្នុងចន្លោះពេលទាំងនេះ៖ "−7","−6", "−5","−4", "−3","−2", "9","10", "11","12 ", "13", "14", "15" ។ សរុបមាន ១៣ ពិន្ទុ។

ចម្លើយ៖ 13

មើលកំណត់ចំណាំអំពីបញ្ហាមុន។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម យើងត្រូវចងចាំនិយមន័យមួយទៀត។

ចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានផ្សំដោយឈ្មោះទូទៅមួយ - ចំណុចខ្លាំង .

នៅចំណុចទាំងនេះ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងបាត់ ឬមិនមាន ( លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការជ្រុល).
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់គឺជាសញ្ញាមួយ ប៉ុន្តែមិនមែនជាការធានានៃអត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងពេកនោះទេ។ លក្ខខណ្ឌ​គ្រប់គ្រាន់​សម្រាប់​កម្រិត​ខ្លាំងគឺជាការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖ ប្រសិនបើដេរីវេនៅចំណុចមួយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅ "−" នោះនេះគឺជាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍។ ប្រសិនបើដេរីវេនៅចំណុចមួយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "−" ទៅ "+" នោះនេះគឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍។ ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន ប៉ុន្តែសញ្ញានៃដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ នោះចំណុចដែលបានបញ្ជាក់មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍នោះទេ។ វាអាចជាចំណុចឆ្លុះ ចំណុចបំបែក ឬចំណុចបំបែកនៅក្នុងក្រាហ្វមុខងារ។

កិច្ចការទី 3

រូបភាពទី 1 បង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារ y = f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−10.5;19) ។ ស្វែងរកចំនួនចំនុចដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វអនុគមន៍គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ y = 6 ឬស្របគ្នាជាមួយវា។

សូមចាំថាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់ y = kx + ខ កន្លែងណា k- មេគុណនៃទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះទៅអ័ក្ស គោ. ក្នុងករណីរបស់យើង។ k= 0, i.e. ត្រង់ y = 6 មិនលំអៀង ប៉ុន្តែស្របទៅនឹងអ័ក្ស គោ. ដូច្នេះតង់សង់ដែលចង់បានក៏ត្រូវតែស្របទៅនឹងអ័ក្សដែរ។ គោហើយត្រូវតែមានមេគុណជម្រាលនៃ 0។ តង់សង់មានទ្រព្យសម្បត្តិនេះនៅចំណុចនៃមុខងារខ្លាំង។ ដូច្នេះ ដើម្បីឆ្លើយសំណួរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវរាប់ចំណុចខ្លាំងទាំងអស់នៅលើតារាង។ មាន 4 ក្នុងចំណោមពួកគេ - ពីរពិន្ទុអតិបរមានិងពីរពិន្ទុអប្បបរមា។

ចម្លើយ៖ 4

កិច្ចការទី 4

មុខងារ y = f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−11; 23) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែក។

នៅលើផ្នែកដែលបានបញ្ជាក់ យើងឃើញចំណុចខ្លាំងចំនួន 2 ។ អតិបរមានៃមុខងារត្រូវបានឈានដល់ចំណុច x 1 = 4, អប្បបរមានៅចំណុច x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

ចម្លើយ៖ 12

កិច្ចការទី 5

រូបភាពទី 1 បង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារ y = f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−10.5;19) ។ ស្វែងរកចំនួនចំនុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ f" (x ) ស្មើនឹង 0 ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យនៅចំណុចខ្លាំងបំផុត ដែលក្នុងនោះ 4 អាចមើលឃើញនៅលើក្រាហ្វ៖
2 ខ្ពស់ និង 2 ទាប។

ចម្លើយ៖ 4

ភារកិច្ចសម្រាប់កំណត់លក្ខណៈនៃមុខងារពីក្រាហ្វនៃដេរីវេរបស់វា។

រូបភាពទី 1 ។

រូបភាពទី 2 ។

កិច្ចការទី 6

រូបភាពទី 2 បង្ហាញក្រាហ្វ f" (x ) - ដេរីវេនៃមុខងារ f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−11; 23) ។ នៅចំនុចណានៃផ្នែក [−6;2] គឺជាមុខងារ f (x ) ទទួលយកតម្លៃធំបំផុត។

នៅលើផ្នែកដែលបានបញ្ជាក់ ដេរីវេគឺគ្មានចំណុចវិជ្ជមានទេ ដូច្នេះមុខងារមិនកើនឡើងទេ។ វាថយចុះឬឆ្លងកាត់ចំណុចស្ថានី។ ដូច្នេះ មុខងារឈានដល់តម្លៃអតិបរមារបស់វានៅលើព្រំដែនខាងឆ្វេងនៃផ្នែក៖ x = −6.

ចម្លើយ៖ −6

មតិយោបល់៖ ពីក្រាហ្វនៃដេរីវេ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅលើផ្នែក [−6;2] វាស្មើនឹងសូន្យបីដង៖ នៅចំនុច x = −6, x = −2, x = 2. ប៉ុន្តែនៅចំណុច x = −2 វាមិនបានផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ដែលមានន័យថានៅចំណុចនេះ មិនអាចមានមុខងារខ្លាំងពេកទេ។ ភាគច្រើនទំនងជាមានចំណុចបញ្ឆេះនៅក្នុងក្រាហ្វនៃមុខងារដើម។

កិច្ចការទី 7

រូបភាពទី 2 បង្ហាញក្រាហ្វ f" (x ) - ដេរីវេនៃមុខងារ f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−11; 23) ។ នៅចំណុចណានៅលើផ្នែកដែលមុខងារយកតម្លៃតូចបំផុត។

នៅលើផ្នែក ដេរីវេគឺវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ដូច្នេះមុខងារកើនឡើងតែលើផ្នែកនេះប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ មុខងារឈានដល់តម្លៃទាបបំផុតរបស់វានៅលើព្រំដែនខាងឆ្វេងនៃផ្នែក៖ x = 3.

ចម្លើយ៖ 3

កិច្ចការ ៨

រូបភាពទី 2 បង្ហាញក្រាហ្វ f" (x ) - ដេរីវេនៃមុខងារ f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−11; 23) ។ ស្វែងរកចំនួនពិន្ទុអតិបរមានៃអនុគមន៍ f (x ) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក [−5;10] ។

យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌចាំបាច់អតិបរមានៃមុខងារ ប្រហែលនៅចំណុចដែលដេរីវេរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ។ នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងនេះគឺជាចំណុច: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. ប៉ុន្តែយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ វាប្រាកដជានឹងមានមានតែនៅក្នុងពួកវាដែលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពី "+" ទៅ "−" ។ នៅលើក្រាហ្វនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងឃើញថាចំណុចដែលបានរាយបញ្ជី មានតែចំណុចបែបនេះប៉ុណ្ណោះ។ x = 6.

ចម្លើយ៖ 1

កិច្ចការ ៩

រូបភាពទី 2 បង្ហាញក្រាហ្វ f" (x ) - ដេរីវេនៃមុខងារ f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−11; 23) ។ ស្វែងរកចំនួនចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារមួយ។ f (x ) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។

ភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍អាចស្ថិតនៅចំណុចទាំងនោះដែលដេរីវេរបស់វាស្មើនឹង 0។ នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃក្រាហ្វដេរីវេ យើងឃើញ 5 ចំណុចបែបនេះ៖ x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. ប៉ុន្តែនៅចំណុច x = 14 ដេរីវេមិនបានផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទេ ដូច្នេះវាត្រូវតែត្រូវបានដកចេញពីការពិចារណា។ ដូច្នេះ 4 ពិន្ទុ​នៅ​តែ​មាន។

ចម្លើយ៖ 4

កិច្ចការ ១០

រូបភាពទី 1 បង្ហាញក្រាហ្វ f" (x ) - ដេរីវេនៃមុខងារ f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−10.5;19) ។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការបង្កើនមុខងារ f (x ) នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក សូមសរសេរប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ។

ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ស្របគ្នានឹងចន្លោះពេលនៃភាពវិជ្ជមាននៃដេរីវេ។ នៅលើក្រាហ្វ យើងឃើញពួកវាបី - (−9; −7), (4; 12), (18; 19) ។ វែងបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេគឺទីពីរ។ ប្រវែងរបស់វា។ លីត្រ = 12 − 4 = 8.

ចម្លើយ៖ 8

កិច្ចការ ១១

រូបភាពទី 2 បង្ហាញក្រាហ្វ f" (x ) - ដេរីវេនៃមុខងារ f (x ) បានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−11; 23) ។ រកចំនួនចំនុចដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x ) គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ y = −2x − 11 ឬផ្គូផ្គងវា។

មេគុណជម្រាល (ហៅថាតង់សង់នៃមុំជម្រាល) នៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ k = −2 ។ យើងចាប់អារម្មណ៍លើតង់សង់ប៉ារ៉ាឡែល ឬស្របគ្នា, i.e. បន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាលដូចគ្នា។ ដោយផ្អែកលើអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ - ជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចដែលបានពិចារណានៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ យើងគណនាឡើងវិញនូវចំណុចដែលដេរីវេគឺ −2 ។ មាន 9 ចំណុចបែបនេះនៅក្នុងរូបភាពទី 2 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការរាប់ពួកវានៅចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ និងបន្ទាត់ក្រឡាចត្រង្គដែលឆ្លងកាត់តម្លៃ −2 នៅលើអ័ក្ស អូ.

ចម្លើយ៖ 9

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ដោយប្រើក្រាហ្វដូចគ្នា អ្នកអាចសួរសំណួរជាច្រើនអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារ និងដេរីវេរបស់វា។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, សំណួរដូចគ្នាអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈក្រាហ្វិកនៃមុខងារផ្សេងគ្នា។ សូមប្រយ័ត្នពេលដោះស្រាយបញ្ហានេះនៅពេលប្រឡង ហើយអ្នកនឹងយល់ថាវាងាយស្រួលណាស់។ ប្រភេទផ្សេងទៀតនៃភារកិច្ចនេះ - នៅលើអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃ antiderivative - នឹងត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀត។