លំដាប់លេខ VI

§ l48 ។ ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់

រហូតមកដល់ពេលនេះ និយាយអំពីផលបូក យើងតែងតែសន្មតថាចំនួននៃពាក្យនៅក្នុងផលបូកទាំងនេះគឺកំណត់ (ឧទាហរណ៍ 2, 15, 1000 ។ល។)។ ប៉ុន្តែនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន (ជាពិសេសគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង) មនុស្សម្នាក់ត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងផលបូកនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យ។

ស = ក 1 + ក 2 + ... + ក ន + ... . (1)

តើបរិមាណទាំងនេះជាអ្វី? A-priory ផលបូកនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យ ក 1 , ក 2 , ..., ក ន , ... ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃផលបូក S ន ដំបូង ទំ លេខនៅពេល ទំ -> ∞ :

S=S ន = (ក 1 + ក 2 + ... + ក ន ). (2)

ដែនកំណត់ (2) ពិតណាស់អាចមាន ឬមិនអាចមាន។ ដូច្នោះ ផលបូក (១) ត្រូវបានគេនិយាយថាមាន ឬមិនមាន។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើផលបូក (1) មាននៅក្នុងករណីជាក់លាក់នីមួយៗ? ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសំណួរនេះហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីរបស់យើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានករណីពិសេសដ៏សំខាន់មួយដែលយើងត្រូវពិចារណាឥឡូវនេះ។ យើងនឹងនិយាយអំពីការបូកសរុបនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក 1 , ក 1 q , ក 1 q 2 , ... គឺ​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​ធរណីមាត្រ​ដែល​មាន​ការ​ថយ​ចុះ​មិន​ចេះ​ចប់។ មានន័យថា | q |< 1. Сумма первых ទំ សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺស្មើនឹង

ពីទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានលើដែនកំណត់នៃអថេរ (សូមមើល§ ១៣៦) យើងទទួលបាន៖

ប៉ុន្តែ 1 = 1, ក q ន = 0. ដូច្នេះ

ដូច្នេះ ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់គឺស្មើនឹងពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ ចែកដោយមួយដកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

1) ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... គឺ

ហើយផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ 12; -៦; ៣; - ៣/២ , ... ស្មើ

2) ប្រភាគតាមកាលកំណត់សាមញ្ញ 0.454545 ... ប្រែទៅជាធម្មតា។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងតំណាងឱ្យប្រភាគនេះជាផលបូកគ្មានកំណត់៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះគឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់ ដែលពាក្យទីមួយគឺ 45/100 ហើយភាគបែងគឺ 1/100។ ដូច្នេះ

តាមរបៀបដែលបានពិពណ៌នា ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការបំប្លែងប្រភាគតាមកាលកំណត់ធម្មតាទៅជាប្រភាគធម្មតាក៏អាចទទួលបានដែរ (សូមមើលជំពូកទី II § 38)៖

ដើម្បីបំប្លែងប្រភាគតាមកាលកំណត់ធម្មតាទៅជាប្រភាគធម្មតា អ្នកត្រូវបន្តដូចខាងក្រោម៖ ដាក់រយៈពេលនៃប្រភាគទសភាគក្នុងភាគយក និងក្នុងភាគបែង - លេខដែលមានប្រាំបួនយកច្រើនដងដូចដែលមានលេខនៅក្នុងលេខ នៃប្រភាគទសភាគ។

3) ប្រភាគតាមកាលកំណត់ចម្រុះ 0.58333 .... ប្រែទៅជាប្រភាគធម្មតា។

ចូរតំណាងឱ្យប្រភាគនេះជាផលបូកគ្មានកំណត់៖

នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ ពាក្យទាំងអស់ ចាប់ផ្តើមពី 3/1000 បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ ដែលពាក្យទីមួយគឺ 3/1000 ហើយភាគបែងគឺ 1/10។ ដូច្នេះ

នៅក្នុងលក្ខណៈដែលបានពិពណ៌នា ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការបំប្លែងប្រភាគតាមកាលកំណត់ចម្រុះទៅជាប្រភាគធម្មតាក៏អាចទទួលបានដែរ (សូមមើលជំពូកទី II § 38)។ យើងមិនបញ្ចូលវានៅទីនេះដោយចេតនាទេ។ មិនចាំបាច់ទន្ទេញច្បាប់ដ៏លំបាកនេះទេ។ វាមានប្រយោជន៍ជាងក្នុងការដឹងថាប្រភាគតាមកាលកំណត់ចម្រុះណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ និងចំនួនមួយចំនួន។ និងរូបមន្ត

សម្រាប់ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះមិនចេះចប់ ត្រូវតែចងចាំ។

ជាលំហាត់មួយ យើងសូមអញ្ជើញអ្នក បន្ថែមពីលើបញ្ហាលេខ 995-1000 ខាងក្រោម ឱ្យងាកមកបញ្ហាលេខ 301 § 38 ម្តងទៀត។

លំហាត់

995. អ្វីទៅដែលហៅថាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់?

996. ស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់៖

997. សម្រាប់តម្លៃអ្វី X វឌ្ឍនភាព

ថយចុះជាលំដាប់? ស្វែងរកផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពបែបនេះ។

998. នៅក្នុងត្រីកោណសមមូលដែលមានចំហៀង ក ត្រីកោណថ្មីត្រូវបានចារឹកដោយភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា។ ត្រីកោណថ្មីត្រូវបានចារឹកក្នុងត្រីកោណនេះតាមរបៀបដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់។

ក) ផលបូកនៃបរិវេណនៃត្រីកោណទាំងនេះ;

ខ) ផលបូកនៃតំបន់របស់ពួកគេ។

999. នៅក្នុងការ៉េដែលមានជ្រុងមួយ។ ក ការ៉េថ្មីត្រូវបានចារឹកដោយភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា។ ការ៉េមួយត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងការ៉េនេះតាមរបៀបដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់។ រកផលបូកនៃបរិវេណនៃការ៉េទាំងអស់នេះ និងផលបូកនៃតំបន់របស់វា។

1000. ធ្វើឱ្យដំណើរការធរណីមាត្រថយចុះឥតកំណត់ ដូចជាផលបូករបស់វាស្មើនឹង 25/4 ហើយផលបូកនៃការ៉េនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វាស្មើនឹង 625/24 ។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ ដែលពាក្យទីមួយមិនមែនជាសូន្យ ហើយពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗស្មើនឹងពាក្យមុន គុណនឹងចំនួនមិនសូន្យដូចគ្នា។

គំនិតនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានតាងដោយ b1,b2,b3, …, bn, … ។

សមាមាត្រនៃពាក្យណាមួយនៃកំហុសធរណីមាត្រទៅនឹងពាក្យមុនរបស់វា គឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា នោះគឺ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ ១)/bn =…. នេះធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ជាធម្មតាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានតាងដោយអក្សរ q ។

ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់សម្រាប់ |q|<1

វិធីមួយដើម្បីកំណត់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺកំណត់ពាក្យដំបូងរបស់វា b1 និងភាគបែងនៃកំហុសធរណីមាត្រ q ។ ឧទាហរណ៍ b1=4, q=-2។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះផ្តល់នូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនៃ 4, -8, 16, -32, … ។

ប្រសិនបើ q>0 (q មិនស្មើនឹង 1) នោះការវិវត្តជាលំដាប់ monotonic ។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់, 2, 4,8,16,32, ... គឺជាលំដាប់ដែលបង្កើនដោយឯកតា (b1=2, q=2)។

ប្រសិនបើភាគបែង q=1 ក្នុងកំហុសធរណីមាត្រ នោះសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការធរណីមាត្រនឹងស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុង​ករណី​បែប​នេះ ការ​វិវត្ត​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ជា​លំដាប់​ថេរ។

ដើម្បីឱ្យលំដាប់លេខ (bn) ទៅជាដំណើរការធរណីមាត្រ វាចាំបាច់ដែលសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ ជាមធ្យមធរណីមាត្ររបស់សមាជិកជិតខាង។ នោះគឺវាចាំបាច់ដើម្បីបំពេញសមីការខាងក្រោម
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2) សម្រាប់ n> 0 ដែល n ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំលេខធម្មជាតិ N ។

ឥឡូវនេះសូមដាក់ (Xn) - វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ q ដោយ |q|∞) ។
ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងសម្គាល់ដោយ S ជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ នោះរូបមន្តខាងក្រោមនឹងរក្សាទុក៖
S=x1/(1-q) ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ៖

រកផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... ។

ដើម្បីស្វែងរក S យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគ្មានកំណត់។ |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិនីមួយៗ ន ផ្គូផ្គងលេខពិត មួយ n បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាផ្តល់ឱ្យ លំដាប់លេខ :

ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . , មួយ n , . . . .

ដូច្នេះ លំដាប់លេខគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ។

ចំនួន ក 1 បានហៅ សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់ , ចំនួន ក 2 — សមាជិកទីពីរនៃលំដាប់ , ចំនួន ក 3 — ទីបី ល។ ចំនួន មួយ n បានហៅ សមាជិកទី 3 នៃលំដាប់ និងលេខធម្មជាតិ ន — លេខរបស់គាត់។ .

ពីសមាជិកជិតខាងពីរនាក់ មួយ n និង មួយ n +1 លំដាប់នៃសមាជិក មួយ n +1 បានហៅ ជាបន្តបន្ទាប់ (ឆ្ពោះទៅរក មួយ n ) ក មួយ n — មុន (ឆ្ពោះទៅរក មួយ n +1 ).

ដើម្បីបញ្ជាក់លំដាប់ អ្នកត្រូវបញ្ជាក់វិធីសាស្ត្រដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកសមាជិកលំដាប់ដែលមានលេខណាមួយ។

ជាញឹកញាប់លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាមួយ រូបមន្ត​ពាក្យ​ទី​ នោះគឺជារូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់សមាជិកលំដាប់ដោយលេខរបស់វា។

ឧទាហរណ៍,

លំដាប់នៃលេខសេសវិជ្ជមានអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត

មួយ n= 2n- 1,

និងលំដាប់នៃការជំនួស 1 និង -1 - រូបមន្ត

ខន = (-1)ន +1 . ◄

លំដាប់អាចត្រូវបានកំណត់ រូបមន្តកើតឡើងវិញ។, នោះគឺជារូបមន្តដែលបង្ហាញពីសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីមួយចំនួន តាមរយៈសមាជិកមុន (មួយ ឬច្រើន)។

ឧទាហរណ៍,

ប្រសិនបើ ក 1 = 1 , ក មួយ n +1 = មួយ n + 5

ក 1 = 1,

ក 2 = ក 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ក 3 = ក 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ក 4 = ក 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ក 5 = ក 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ប្រសិនបើ ក ក ១= 1, ក ២ = 1, មួយ n +2 = មួយ n + មួយ n +1 , បន្ទាប់មកសមាជិកប្រាំពីរដំបូងនៃលំដាប់លេខត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម:

ក ១ = 1,

ក ២ = 1,

ក ៣ = ក ១ + ក ២ = 1 + 1 = 2,

ក ៤ = ក ២ + ក ៣ = 1 + 2 = 3,

ក ៥ = ក ៣ + ក ៤ = 2 + 3 = 5,

ក 6 = ក 4 + ក 5 = 3 + 5 = 8,

ក 7 = ក 5 + ក 6 = 5 + 8 = 13. ◄

លំដាប់អាចជា ចុងក្រោយ និង គ្មានទីបញ្ចប់ .

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ចុងក្រោយ ប្រសិនបើវាមានចំនួនកំណត់នៃសមាជិក។ លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា គ្មានទីបញ្ចប់ ប្រសិនបើវាមានសមាជិកច្រើនគ្មានកំណត់។

ឧទាហរណ៍,

លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិពីរខ្ទង់៖

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ចុងក្រោយ។

លំដាប់លេខបឋម៖

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

គ្មានទីបញ្ចប់។ ◄

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង ប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺធំជាងសមាជិកមុន។

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ស្រក ប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺតិចជាងសមាជិកមុន។

ឧទាហរណ៍,

2, 4, 6, 8, . . . , 2ន, . . . គឺជាលំដាប់ឡើង;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ន, . . . គឺជាលំដាប់ចុះ។ ◄

លំដាប់ដែលធាតុមិនថយចុះជាមួយនឹងចំនួនកើនឡើង ឬផ្ទុយទៅវិញមិនកើនឡើង ត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់ឯកតា .

លំដាប់ Monotonic ជាពិសេសគឺកំពុងបង្កើនលំដាប់ និងបន្ថយលំដាប់។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ដែល​សមាជិក​នីមួយៗ​ដែល​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​លេខ​ពីរ​គឺ​ស្មើ​នឹង​លេខ​មុន​ដែល​ចំនួន​ដូចគ្នា​ត្រូវ​បាន​បន្ថែម។

ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . , មួយ n, . . .

គឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ន លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ:

មួយ n +1 = មួយ n + ឃ,

កន្លែងណា ឃ - លេខមួយចំនួន។

ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកបន្ទាប់ និងមុននៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺតែងតែថេរ៖

ក ២ - ក 1 = ក ៣ - ក 2 = . . . = មួយ n +1 - មួយ n = ឃ.

ចំនួន ឃ បានហៅ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ.

ដើម្បីកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យដំបូង និងភាពខុសគ្នារបស់វា។

ឧទាហរណ៍,

ប្រសិនបើ ក 1 = 3, ឃ = 4 បន្ទាប់មកពាក្យប្រាំដំបូងនៃលំដាប់ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

ក ១ =3,

ក ២ = ក ១ + ឃ = 3 + 4 = 7,

ក ៣ = ក ២ + ឃ= 7 + 4 = 11,

ក ៤ = ក ៣ + ឃ= 11 + 4 = 15,

ក 5 = ក 4 + ឃ= 15 + 4 = 19. ◄

សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធជាមួយពាក្យទីមួយ ក 1 និងភាពខុសគ្នា ឃ របស់នាង ន

មួយ n = ក ១ + (ន- 1)ឃ.

ឧទាហរណ៍,

ស្វែងរកពាក្យទីសាមសិបនៃដំណើរការនព្វន្ធ

1, 4, 7, 10, . . .

ក ១ =1, ឃ = 3,

មួយ 30 = ក ១ + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

មួយ n-1 = ក ១ + (ន- 2)ឃ,

មួយ n= ក ១ + (ន- 1)ឃ,

មួយ n +1 = ក 1 + ន,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

មួយ n=	មួយ n-1 + a n + 1
	2

សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់។

លេខ a, b និង c គឺ​ជា​សមាជិក​ជាប់​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​មួយ​ចំនួន​ប្រសិន​បើ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួក​គេ​ស្មើ​នឹង​មធ្យម​នព្វន្ធ​នៃ​ពីរ​ផ្សេង​ទៀត​។

ឧទាហរណ៍,

មួយ n = 2ន- 7 , គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ។ យើង​មាន:

មួយ n = 2ន- 7,

មួយ n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ន- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ន- 5.

អាស្រ័យហេតុនេះ

a n+1+a n-1	=	2ន- 5 + 2ន- 9	= 2ន- 7 = មួយ n,
2		2

◄

ចំណាំ​ថា ន -th សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមតែតាមរយៈ ក 1 ប៉ុន្តែក៏មានពីមុនមកដែរ។ ក

មួយ n = ក + (ន- k)ឃ.

ឧទាហរណ៍,

សម្រាប់ ក 5 អាចត្រូវបានសរសេរ

ក ៥ = ក ១ + 4ឃ,

ក ៥ = ក ២ + 3ឃ,

ក ៥ = ក ៣ + 2ឃ,

ក ៥ = ក ៤ + ឃ. ◄

មួយ n = មួយ n-k + kd,

មួយ n = មួយ n+k - kd,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

មួយ n=	ក n-k + ក n+k
	2

សមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ ដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាពីវា។

លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធណាមួយ សមភាពគឺពិត៖

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l ។

ឧទាហរណ៍,

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ

1) ក 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ក 9 + ក 11 )/2;

2) 28 = មួយ 10 = ក ៣ + 7ឃ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) មួយ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ជា

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ស= ក ១ + ក ២ + ក ៣ + ។ . .+ មួយ n,

ដំបូង ន សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃពាក្យខ្លាំងដោយចំនួនពាក្យ៖

ពីនេះជាពិសេសវាដូចខាងក្រោមថាប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីបូកលក្ខខណ្ឌ

ក, ក +1 , . . . , មួយ n,

បន្ទាប់មករូបមន្តមុនរក្សារចនាសម្ព័ន្ធរបស់វា៖

ឧទាហរណ៍,

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ស 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ស 10 - ស 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ប្រសិនបើការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះបរិមាណ ក 1 , មួយ n, ឃ, ននិងស ន ភ្ជាប់ដោយរូបមន្តពីរ៖

ដូច្នេះប្រសិនបើតម្លៃនៃចំនួនបីនៃបរិមាណទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃបរិមាណពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានកំណត់ពីរូបមន្តទាំងនេះបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ។

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ monotonic ។ ក្នុងនោះ៖

• ប្រសិនបើ ឃ > 0 បន្ទាប់មកវាកំពុងកើនឡើង;
• ប្រសិនបើ ឃ < 0 បន្ទាប់មកវាកំពុងថយចុះ;
• ប្រសិនបើ ឃ = 0 បន្ទាប់មក លំដាប់នឹងនៅស្ងៀម។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ពាក្យ​នីមួយៗ​ដែល​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​លេខ​ពីរ​គឺ​ស្មើ​នឹង​លេខ​មុន​គុណ​នឹង​លេខ​ដូច​គ្នា។

ខ 1 , ខ 2 , ខ 3 , . . . , b n, . . .

គឺជាការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ន លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ:

b n +1 = b n · q,

កន្លែងណា q ≠ 0 - លេខមួយចំនួន។

ដូច្នេះ សមាមាត្រនៃពាក្យបន្ទាប់នៃដំណើរការធរណីមាត្រនេះទៅនឹងលេខមុន គឺជាចំនួនថេរ៖

ខ 2 / ខ 1 = ខ 3 / ខ 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

ចំនួន q បានហៅ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ.

ដើម្បីកំណត់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យដំបូង និងភាគបែងរបស់វា។

ឧទាហរណ៍,

ប្រសិនបើ ខ 1 = 1, q = -3 បន្ទាប់មកពាក្យប្រាំដំបូងនៃលំដាប់ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

b ១ = 1,

b ២ = b ១ · q = 1 · (-3) = -3,

b ៣ = b ២ · q= -3 · (-3) = 9,

b ៤ = b ៣ · q= 9 · (-3) = -27,

ខ 5 = ខ 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ខ 1 និងភាគបែង q របស់នាង ន -ពាក្យទី អាចរកបានតាមរូបមន្ត៖

b n = ខ 1 · q ន -1 .

ឧទាហរណ៍,

ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំពីរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ 1, 2, 4, . . .

ខ 1 = 1, q = 2,

ខ 7 = ខ 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b ១ · q ន -2 ,

b n = b ១ · q ន -1 ,

b n +1 = ខ 1 · q ន,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមធរណីមាត្រ (សមាមាត្រ) នៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់បន្សំ។

ដោយសារការសន្ទនាក៏ជាការពិត ការអះអាងខាងក្រោមមាន៖

លេខ a, b និង c គឺជាសមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នានៃដំណើរការធរណីមាត្រមួយចំនួន ប្រសិនបើការ៉េនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀត នោះគឺជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខគឺជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍,

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្ត b n= −3 ២ ន , គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ។ ចូរយើងប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ។ យើង​មាន:

b n= −3 ២ ន,

b n -1 = −3 ២ ន -1 ,

b n +1 = −3 ២ ន +1 .

អាស្រ័យហេតុនេះ

b n 2 =(-៣ ២ ន) 2 = (−3 ២ ន -1 ) (-៣ ២ ន +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ដែលបញ្ជាក់ពីការអះអាងដែលត្រូវការ។ ◄

ចំណាំ​ថា ន ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអាចត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមតែតាមរយៈ ខ 1 ប៉ុន្តែក៏មានពាក្យពីមុនៗផងដែរ។ b k ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើរូបមន្ត

b n = b k · q ន - k.

ឧទាហរណ៍,

សម្រាប់ ខ 5 អាចត្រូវបានសរសេរ

b ៥ = b ១ · q 4 ,

b ៥ = b ២ · q ៣,

b ៥ = b ៣ · q2,

b ៥ = b ៤ · q. ◄

b n = b k · q ន - k,

b n = b n - k · q k,

បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង

b n 2 = b n - k· b n + k

ការេនៃសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនេះដែលស្មើគ្នាពីវា។

លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រណាមួយ សមភាពគឺពិត៖

b m· b n= b k· b l,

ម+ ន= k+ លីត្រ.

ឧទាហរណ៍,

និទស្សន្ត

1) ខ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ខ 5 · ខ 7 ;

2) 1024 = ខ 11 = ខ 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ខ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ខ 4 · ខ 8 ;

4) ខ 2 · ខ 7 = ខ 4 · ខ 5 , ជា

ខ 2 · ខ 7 = 2 · 64 = 128,

ខ 4 · ខ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ស= ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + . . . + b n

ដំបូង ន សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង q ≠ 0 គណនាដោយរូបមន្ត៖

ហើយ​នៅពេល​ដែល q = 1 - យោងតាមរូបមន្ត

ស= n.b. 1

ចំណាំថាប្រសិនបើយើងត្រូវការបូកសរុបលក្ខខណ្ឌ

b k, b k +1 , . . . , b n,

បន្ទាប់មករូបមន្តត្រូវបានប្រើ៖

ស- ស គ -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q ន - k +1	.
	1 - q

ឧទាហរណ៍,

និទស្សន្ត 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ស 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ស 10 - ស 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ប្រសិនបើវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់មកបរិមាណ ខ 1 , b n, q, ននិង ស ភ្ជាប់ដោយរូបមន្តពីរ៖

ដូច្នេះប្រសិនបើតម្លៃនៃបរិមាណទាំងបីនេះត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យ នោះតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃបរិមាណពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានកំណត់ពីរូបមន្តទាំងនេះបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ។

សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ ខ 1 និងភាគបែង q ខាងក្រោមនេះកើតឡើង លក្ខណៈសម្បត្តិ monotonicity :

• វឌ្ឍនភាពកំពុងកើនឡើង ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

ខ 1 > 0 និង q> 1;

ខ 1 < 0 និង 0 < q< 1;

• វឌ្ឍនភាពកំពុងថយចុះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

ខ 1 > 0 និង 0 < q< 1;

ខ 1 < 0 និង q> 1.

ប្រសិនបើ ក q< 0 បន្ទាប់មកការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺសញ្ញាជំនួស៖ ពាក្យសេសរបស់វាមានសញ្ញាដូចគ្នានឹងពាក្យដំបូងរបស់វា ហើយពាក្យលេខគូមានសញ្ញាផ្ទុយ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រឆ្លាស់គ្នាមិនមែនជា monotonic ទេ។

ផលិតផលទីមួយ ន លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ទំ ន= b ១ · b ២ · b ៣ · . . . · b n = (b ១ · b n) ន / 2 .

ឧទាហរណ៍,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ

ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ ដែលម៉ូឌុលភាគបែងគឺតិចជាង 1 , i.e

|q| < 1 .

ចំណាំថាការវិវត្តន៍ធរណីមាត្រដែលថយចុះដោយគ្មានកំណត់អាចមិនមែនជាលំដាប់ធ្លាក់ចុះនោះទេ។ នេះសមនឹងករណីនេះ។

1 < q< 0 .

ជាមួយនឹងភាគបែងបែបនេះ លំដាប់គឺសញ្ញា-ឆ្លាស់គ្នា។ ឧទាហរណ៍,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ ដាក់ឈ្មោះលេខដែលផលបូកដំបូង ន លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួនគ្មានដែនកំណត់ ន . លេខនេះតែងតែកំណត់ ហើយត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត

ស= ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + . . . =	ខ 1	.
	1 - q

ឧទាហរណ៍,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ទំនាក់ទំនងរវាងដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ

ដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ពីរ។

ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . ឃ បន្ទាប់មក

b ក 1 , b ក 2 , b ក 3 , . . . b ឃ .

ឧទាហរណ៍,

1, 3, 5, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា 2 និង

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 7 2 . ◄

ខ 1 , ខ 2 , ខ 3 , . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង q បន្ទាប់មក

កំណត់ហេតុ a b 1, កំណត់ហេតុ a b 2, កំណត់ហេតុ a b ៣, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា កំណត់ហេតុ កq .

ឧទាហរណ៍,

2, 12, 72, . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 6 និង

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា lg 6 . ◄

បញ្ហាមួយចំនួននៃរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យាអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊េរីលេខ។ លំដាប់លេខសាមញ្ញបំផុតពីរដែលត្រូវបានបង្រៀននៅក្នុងសាលាគឺពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពគ្មានកំណត់នៃធរណីមាត្រថយចុះមួយ។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

ពាក្យទាំងនេះមានន័យថាជាស៊េរីនៃចំនួនពិត ធាតុ a i ដែលបំពេញកន្សោម៖

នេះខ្ញុំជាលេខនៃធាតុនៅក្នុងស៊េរី r គឺជាចំនួនថេរដែលត្រូវបានគេហៅថាភាគបែង។

និយមន័យនេះបង្ហាញថា ដោយដឹងពីពាក្យណាមួយនៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងរបស់វា វាអាចទៅរួចក្នុងការស្តារស៊េរីលេខទាំងមូលឡើងវិញ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើធាតុទី 10 ត្រូវបានគេដឹងបន្ទាប់មកបែងចែកវាដោយ r យើងទទួលបានធាតុទី 9 បន្ទាប់មកបែងចែកវាម្តងទៀតយើងទទួលបានលេខ 8 ជាដើម។ អាគុយម៉ង់សាមញ្ញទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរកន្សោមដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ស៊េរីនៃលេខដែលកំពុងពិចារណា:

ឧទាហរណ៍នៃវឌ្ឍនភាពជាមួយភាគបែងនៃ 2 នឹងមានៈ

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

ប្រសិនបើភាគបែងគឺ -2 នោះស៊េរីខុសគ្នាទាំងស្រុងត្រូវបានទទួល៖

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺលឿនជាងពិជគណិតមួយ ពោលគឺពាក្យរបស់វាកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងថយចុះយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

ផលបូកនៃ i សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង ជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវគណនាផលបូកនៃធាតុជាច្រើននៃលំដាប់លេខដែលបានពិចារណា។ ចំពោះករណីនេះ រូបមន្តខាងក្រោមមានសុពលភាព៖

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាដើម្បីគណនាផលបូកនៃពាក្យ i អ្នកត្រូវដឹងតែពីរលេខប៉ុណ្ណោះគឺ a 1 និង r ដែលជាឡូជីខលព្រោះវាកំណត់តែលំដាប់ទាំងមូល។

លំដាប់ចុះក្រោម និងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា។

ឥឡូវនេះសូមពិចារណាករណីពិសេសមួយ។ យើងនឹងសន្មត់ថាតម្លៃដាច់ខាតនៃភាគបែង r មិនលើសពីមួយ ពោលគឺ -1

ការថយចុះនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការពិចារណា ពីព្រោះផលបូកគ្មានកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌរបស់វាមាននិន្នាការទៅជាចំនួនពិតកំណត់។

ចូរយើងទទួលបានរូបមន្តផលបូក នេះជាការងាយស្រួលធ្វើប្រសិនបើយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ S i ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ យើង​មាន:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

ពិចារណាករណីនៅពេល i->∞ ។ ដោយសារម៉ូឌុលនៃភាគបែងគឺតិចជាង 1 បន្ទាប់មកការបង្កើនវាទៅជាថាមពលគ្មានកំណត់នឹងផ្តល់ឱ្យសូន្យ។ វាអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយប្រើឧទាហរណ៍ r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

ជាលទ្ធផលផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់នៃការថយចុះនឹងមានទម្រង់៖

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការអនុវត្ត ឧទាហរណ៍ ដើម្បីគណនាផ្នែកនៃតួលេខ។ វាត្រូវបានគេប្រើផងដែរក្នុងការដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នានៃ Zeno នៃ Elea ជាមួយនឹងសត្វអណ្តើកនិង Achilles ។

ជាក់ស្តែង ការពិចារណាលើផលបូកនៃដំណើរការគ្មានកំណត់នៃការកើនឡើងធរណីមាត្រ (r>1) នឹងនាំទៅរកលទ្ធផល S ∞ = +∞ ។

បញ្ហានៃការស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព

យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលរូបមន្តខាងលើគួរតែត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា។ វាត្រូវបានគេដឹងថាផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់គឺ 11។ លើសពីនេះទៅទៀតពាក្យទី 7 របស់វាគឺតិចជាង 6 ដងនៃពាក្យទីបី។ តើអ្វីជាធាតុទីមួយសម្រាប់ស៊េរីលេខនេះ?

ទីមួយ ចូរយើងសរសេរកន្សោមពីរសម្រាប់កំណត់ធាតុទី 7 និងទី 3 ។ យើង​ទទួល​បាន:

ចែក​កន្សោម​ទី​មួយ​នឹង​ទី​ពីរ ហើយ​បង្ហាញ​ភាគបែង​យើង​មាន៖

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

ដោយសារសមាមាត្រនៃពាក្យទីប្រាំពីរ និងទីបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងអាចជំនួសវា ហើយស្វែងរក r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0.63894

យើងបានគណនា r ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវចំនួនប្រាំខ្ទង់បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ។ ដោយសារតម្លៃលទ្ធផលគឺតិចជាងមួយ វាមានន័យថាការវិវត្តកំពុងថយចុះ ដែលបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកគ្មានកំណត់របស់វា។ យើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ពាក្យទីមួយក្នុងន័យនៃផលបូក S ∞ :

យើងជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ ហើយទទួលបានចម្លើយ៖

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166 ។

ភាពចម្លែកដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Zeno ជាមួយនឹង Achilles លឿន និងអណ្តើកយឺត

Zeno of Elea គឺជាទស្សនវិទូជនជាតិក្រិចដ៏ល្បីល្បាញម្នាក់ដែលបានរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 5 មុនគ។ អ៊ី ចំនួននៃ apogees ឬ paradoxes របស់ខ្លួនបានឈានដល់ពេលបច្ចុប្បន្ន, ដែលបញ្ហានៃទំហំធំនិងតូចគ្មានកំណត់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើង។

ភាពស្រដៀងគ្នាដ៏ល្បីមួយរបស់ Zeno គឺការប្រកួតប្រជែងរវាង Achilles និងសត្វអណ្តើក។ Zeno ជឿថាប្រសិនបើ Achilles ផ្តល់អត្ថប្រយោជន៍ខ្លះដល់សត្វអណ្តើកពីចម្ងាយនោះគាត់នឹងមិនអាចយកឈ្នះវាបានទេ។ ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យ Achilles រត់លឿនជាងសត្វវារ 10 ដង ដែលឧទាហរណ៍ 100 ម៉ែត្រពីមុខគាត់។ ពេលអ្នកចម្បាំងរត់បាន 100 ម៉ែត្រ សត្វអណ្តើកវារថយក្រោយ 10 ។ រត់បាន 10 ម៉ែត្រម្តងទៀត Achilles នឹងឃើញថាអណ្តើកវារបាន 1 ម៉ែត្រទៀត។ អ្នកអាចជជែកតវ៉ាបែបនេះដោយគ្មានកំណត់ ចម្ងាយរវាងគូប្រជែងពិតជានឹងថយចុះ ប៉ុន្តែអណ្តើកនឹងនៅខាងមុខជានិច្ច។

គាត់បានដឹកនាំ Zeno ដល់ការសន្និដ្ឋានថាចលនាមិនមានទេ ហើយចលនាជុំវិញទាំងអស់នៃវត្ថុគឺជាការបំភាន់។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ទស្សនវិទូ​ក្រិច​បុរាណ​និយាយ​ខុស។

ដំណោះស្រាយចំពោះភាពផ្ទុយគ្នាគឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាផលបូកនៃផ្នែកដែលមិនធ្លាប់មានការថយចុះមាននិន្នាការទៅជាចំនួនកំណត់។ ក្នុងករណីខាងលើសម្រាប់ចម្ងាយធ្វើដំណើរដោយ Achilles យើងទទួលបាន:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ យើងទទួលបាន៖

S ∞ \u003d 100 / (1-0.1) ≈ 111.111 ម៉ែត្រ

លទ្ធផលនេះបង្ហាញថា Achilles នឹងវ៉ាដាច់អណ្តើកនៅពេលដែលវាវារបានត្រឹមតែ 11.111 ម៉ែត្រប៉ុណ្ណោះ។

ជនជាតិក្រិចបុរាណមិនដឹងពីរបៀបធ្វើការជាមួយបរិមាណគ្មានកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាពផ្ទុយគ្នានេះអាចដោះស្រាយបាន ប្រសិនបើយើងយកចិត្តទុកដាក់មិនកំណត់ចំនួនចន្លោះប្រហោងដែល Achilles ត្រូវតែជម្នះ ប៉ុន្តែដល់ចំនួនកំណត់នៃជំហានដែលអ្នករត់ត្រូវតែសម្រេចគោលដៅ។

លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ពោលគឺពាក្យនីមួយៗខុសពីលេខមុនដោយ q ដង។ (យើងនឹងសន្មត់ថា q ≠ 1 បើមិនដូច្នេះទេអ្វីៗទាំងអស់គឺតូចពេក) ។ វាងាយមើលឃើញថារូបមន្តទូទៅនៃសមាជិកទី n នៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ b n = b 1 q n – 1 ; ពាក្យដែលមានលេខ b n និង b m ខុសគ្នាដោយ q n – m ដង។

រួចហើយនៅប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណ ពួកគេដឹងមិនត្រឹមតែនព្វន្ធប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងមានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រទៀតផង។ ជាឧទាហរណ៍ នៅទីនេះគឺជាកិច្ចការមួយរបស់ Rhind papyrus៖ “មុខប្រាំពីរមានឆ្មាប្រាំពីរ។ ឆ្មានីមួយៗស៊ីកណ្ដុរប្រាំពីរ កណ្ដុរនីមួយៗស៊ីពោតប្រាំពីរ ត្រចៀកនីមួយៗអាចដុះស្រូវបានប្រាំពីររង្វាស់។ តើ​លេខ​ក្នុង​ស៊េរី​នេះ និង​ចំនួន​សរុប​មាន​ទំហំ​ប៉ុនណា?

អង្ករ។ 1. បញ្ហាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអេហ្ស៊ីបបុរាណ

កិច្ចការនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាច្រើនដងជាមួយនឹងការប្រែប្រួលផ្សេងៗគ្នាក្នុងចំណោមប្រជាជនផ្សេងទៀតនៅពេលផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងការសរសេរនៅសតវត្សទី XIII ។ "សៀវភៅកូនកាត់" ដោយ Leonardo នៃ Pisa (Fibonacci) មានបញ្ហាដែលស្ត្រីចំណាស់ 7 នាក់លេចឡើងនៅលើផ្លូវរបស់ពួកគេទៅកាន់ទីក្រុងរ៉ូម (ជាក់ស្តែងអ្នកធ្វើធម្មយាត្រា) ដែលម្នាក់ៗមានសត្វលា 7 ក្បាលដែលនីមួយៗមាន 7 ថង់ដែលនីមួយៗ មាននំបុ័ងចំនួន 7 ដែលនីមួយៗមាន 7 កាំបិតដែលនីមួយៗមាន 7 ស្រទាប់។ បញ្ហា​សួរ​ថា តើ​មាន​ប៉ុន្មាន​មុខ។

ផលបូកនៃសមាជិក n ទីមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រ S n = b 1 (q n − 1) / (q − 1) ។ រូបមន្តនេះអាចបញ្ជាក់បាន ជាឧទាហរណ៍ ដូចតទៅ៖ S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n − 1 ។

ចូរបន្ថែមលេខ b 1 q n ទៅ S n ហើយទទួលបាន៖

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n − 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b . 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n −1) q = b 1 + S n q .

ដូច្នេះ S n (q − 1) = b 1 (q n − 1) ហើយយើងទទួលបានរូបមន្តចាំបាច់។

រួចហើយនៅលើបន្ទះដីឥដ្ឋមួយនៃបាប៊ីឡូនបុរាណដែលមានអាយុកាលតាំងពីសតវត្សទី VI ។ BC e., មានផលបូក 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. ជាការពិត ដូចនៅក្នុងករណីមួយចំនួនផ្សេងទៀត យើងមិនដឹងថាការពិតនេះត្រូវបានគេដឹងនៅឯណាចំពោះជនជាតិបាប៊ីឡូនទេ។ .

ការរីកចម្រើនយ៉ាងឆាប់រហ័សនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនៅក្នុងវប្បធម៌មួយចំនួន ជាពិសេសនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា ត្រូវបានគេប្រើម្តងហើយម្តងទៀតជានិមិត្តសញ្ញាដែលមើលឃើញនៃភាពធំធេងនៃសាកលលោក។ នៅក្នុងរឿងព្រេងដ៏ល្បីល្បាញអំពីរូបរាងរបស់អុក អ្នកគ្រប់គ្រងផ្តល់ឱ្យអ្នកបង្កើតនូវឱកាសដើម្បីជ្រើសរើសរង្វាន់ដោយខ្លួនឯង ហើយគាត់បានសុំគ្រាប់ស្រូវសាលីមួយចំនួនតាមដែលនឹងទទួលបាន ប្រសិនបើគេដាក់នៅលើក្រឡាទីមួយនៃក្តារអុក។ , ពីរនៅលើទីពីរ, បួននៅលើទីបី, ប្រាំបីនៅលើទីបួន, និងល, រាល់ពេលដែលចំនួនត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង។ Vladyka គិតថាវាជាបាវភាគច្រើន ប៉ុន្តែគាត់បានគណនាខុស។ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាសម្រាប់ 64 ការ៉េទាំងអស់នៃ chessboard អ្នកបង្កើតគួរតែបានទទួល (2 64 - 1) គ្រាប់ធញ្ញជាតិដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលេខ 20 ខ្ទង់; ទោះបីជាផ្ទៃដីទាំងមូលនៃផែនដីត្រូវបានសាបព្រោះក៏ដោយ វានឹងចំណាយពេលយ៉ាងហោចណាស់ 8 ឆ្នាំដើម្បីប្រមូលចំនួនគ្រាប់ធញ្ញជាតិដែលត្រូវការ។ រឿងព្រេងនេះជួនកាលត្រូវបានបកស្រាយថាជាការយោងទៅលទ្ធភាពស្ទើរតែគ្មានដែនកំណត់ដែលលាក់នៅក្នុងល្បែងអុក។

ការពិតដែលថាលេខនេះគឺពិតជា 20 ខ្ទង់គឺងាយស្រួលមើល:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (ការគណនាត្រឹមត្រូវជាងនេះផ្តល់ឱ្យ 1.84 10 19)។ ប៉ុន្តែខ្ញុំឆ្ងល់ថាតើអ្នកអាចដឹងថាលេខនេះបញ្ចប់ដោយលេខអ្វី?

ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រកំពុងកើនឡើង ប្រសិនបើភាគបែងធំជាង 1 ក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ឬថយចុះប្រសិនបើវាតិចជាងមួយ។ ក្នុងករណីចុងក្រោយ លេខ q n អាចក្លាយជាតូចតាមអំពើចិត្តសម្រាប់ n ធំគ្រប់គ្រាន់។ ខណៈពេលដែលការកើនឡើងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយមិននឹកស្មានដល់ ការថយចុះអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលថយចុះយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

n ធំជាង លេខ q n កាន់តែខ្សោយខុសពីសូន្យ ហើយកាន់តែខិតទៅជិតផលបូកនៃ n សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) ទៅលេខ S \u003d b 1 / (1 - q) ។ (ហេតុដូច្នេះហើយ ជាឧទាហរណ៍ អេហ្វ.វៀត)។ លេខ S ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អស់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ សំណួរនៃអត្ថន័យនៃការបូកសរុបនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រទាំងអស់ ជាមួយនឹងចំនួនពាក្យគ្មានកំណត់ គឺមិនច្បាស់លាស់គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់គណិតវិទូនោះទេ។

ការថយចុះនៃដំណើរការធរណីមាត្រអាចត្រូវបានគេមើលឃើញឧទាហរណ៍នៅក្នុង aporias របស់ Zeno "Biting" និង "Achilles and the tortoise" ។ ក្នុងករណីទីមួយ វាត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាផ្លូវទាំងមូល (សន្មត់ថាប្រវែង 1) គឺជាផលបូកនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃផ្នែក 1/2, 1/4, 1/8 ។ល។ តាមទស្សនៈនៃគំនិតអំពីការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគ្មានកំណត់។ ហើយនៅឡើយទេ - តើនេះអាចទៅជាយ៉ាងណា?

អង្ករ។ 2. វឌ្ឍនភាពដែលមានកត្តា 1/2

នៅក្នុង aporia អំពី Achilles ស្ថានភាពគឺស្មុគស្មាញបន្តិចព្រោះនៅទីនេះភាគបែងនៃការវិវត្តគឺមិនស្មើនឹង 1/2 ទេប៉ុន្តែចំពោះចំនួនផ្សេងទៀត។ ជាឧទាហរណ៍ សូមឲ្យ Achilles រត់ក្នុងល្បឿន v អណ្តើកផ្លាស់ទីក្នុងល្បឿន u ហើយចម្ងាយដំបូងរវាងពួកវាគឺលីត្រ។ Achilles នឹងរត់ចម្ងាយនេះនៅក្នុងពេលវេលា l/v, អណ្តើកនឹងផ្លាស់ទីចម្ងាយ lu/v ក្នុងអំឡុងពេលនេះ។ នៅពេលដែល Achilles រត់កាត់ផ្នែកនេះ ចម្ងាយរវាងគាត់ និងអណ្តើកនឹងស្មើនឹង l (u/v) 2 ។ ពាក្យ l និងភាគបែង u/v ។ ផលបូកនេះ - ផ្នែកដែល Achilles នៅទីបំផុតនឹងរត់ទៅចំណុចជួបជាមួយអណ្តើក - គឺស្មើនឹង l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) ។ ប៉ុន្តែជាថ្មីម្តងទៀត ថាតើលទ្ធផលនេះគួរត្រូវបានបកស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច ហើយហេតុអ្វីបានជាវាសមហេតុផលទាល់តែសោះនោះ គឺមិនច្បាស់ជាយូរណាស់មកហើយ។

អង្ករ។ 3. វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយមេគុណ 2/3

ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយ Archimedes នៅពេលកំណត់តំបន់នៃផ្នែកមួយនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ សូមឱ្យផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានចងដោយអង្កត់ធ្នូ AB ហើយទុកឱ្យតង់សង់នៅចំណុច D នៃប៉ារ៉ាបូឡាស្របនឹង AB ។ សូមឱ្យ C ជាចំណុចកណ្តាលនៃ AB, E ជាចំណុចកណ្តាលនៃ AC, F ជាចំណុចកណ្តាលនៃ CB ។ គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹង DC តាមរយៈចំនុច A , E , F , B ; អនុញ្ញាតឱ្យតង់សង់ដែលគូសនៅចំណុច D បន្ទាត់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុច K , L , M , N ។ ចូរយើងគូរផ្នែក AD និង DB ផងដែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ EL កាត់បន្ទាត់ AD នៅចំណុច G និងប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុច H; បន្ទាត់ FM កាត់បន្ទាត់ DB នៅចំណុច Q និងប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុច R ។ យោងតាមទ្រឹស្ដីទូទៅនៃផ្នែកសាជី DC គឺជាអង្កត់ផ្ចិតនៃប៉ារ៉ាបូឡា (នោះគឺផ្នែកស្របទៅនឹងអ័ក្សរបស់វា); វា និងតង់សង់នៅចំណុច D អាចបម្រើជាអ័ក្សកូអរដោនេ x និង y ដែលសមីការប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានសរសេរជា y 2 \u003d 2px (x គឺជាចម្ងាយពី D ទៅចំណុចណាមួយនៃអង្កត់ផ្ចិតដែលបានផ្តល់ឱ្យ y គឺជាប្រវែងនៃ a ចម្រៀកស្របទៅនឹងតង់សង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីចំណុចនៃអង្កត់ផ្ចិតនេះទៅចំណុចមួយចំនួននៅលើប៉ារ៉ាបូឡាខ្លួនវា) ។

ដោយគុណធម៌នៃសមីការប៉ារ៉ាបូឡា DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA និងចាប់តាំងពី DK = 2DL បន្ទាប់មក KA = 4LH ។ ចាប់តាំងពី KA = 2LG, LH = HG ។ តំបន់នៃផ្នែក ADB នៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺស្មើនឹងតំបន់នៃត្រីកោណΔADB និងតំបន់នៃចម្រៀក AHD និង DRB រួមបញ្ចូលគ្នា។ នៅក្នុងវេនតំបន់នៃផ្នែក AHD គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងតំបន់នៃត្រីកោណ AHD និងផ្នែកដែលនៅសល់ AH និង HD ដែលនីមួយៗអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចគ្នា - បំបែកទៅជាត្រីកោណ (Δ) និង ផ្នែកដែលនៅសល់ពីរ () ។ល។:

តំបន់នៃត្រីកោណ ΔAHD គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃត្រីកោណ ΔALD (ពួកគេមានមូលដ្ឋានទូទៅ AD ហើយកម្ពស់ខុសគ្នា 2 ដង) ដែលវាស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃនៃ ត្រីកោណ ΔAKD ហើយដូច្នេះពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃត្រីកោណ ΔACD ។ ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃត្រីកោណΔAHDគឺស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃត្រីកោណΔACD។ ដូចគ្នានេះដែរ តំបន់នៃត្រីកោណ ΔDRB គឺស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ ΔDFB ។ ដូច្នេះ តំបន់នៃត្រីកោណ ∆AHD និង ∆DRB ដែលយករួមគ្នាគឺស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃត្រីកោណ ∆ADB ។ ការធ្វើប្រតិបត្តិការនេះម្តងទៀតដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះផ្នែក AH , HD , DR និង RB ក៏នឹងជ្រើសរើសត្រីកោណពីពួកវាផងដែរ ផ្ទៃដែលយកជាមួយគ្នានឹងតិចជាងតំបន់ត្រីកោណ ΔAHD និង ΔDRB 4 ដង , យកជាមួយគ្នា ហើយដូច្នេះ 16 ដងតិចជាងតំបន់នៃត្រីកោណ ΔADB ។ ល៖

ដូច្នេះ Archimedes បានបង្ហាញថា "គ្រប់ផ្នែកដែលរុំព័ទ្ធរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប៉ារ៉ាបូឡា គឺបួនភាគបីនៃត្រីកោណដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងកម្ពស់ស្មើគ្នាជាមួយវា"។