ម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតនៅលើគេហទំព័រសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមពេញលេញនៃសម្ភារៈដែលគ្របដណ្តប់ដោយសិស្ស និងសិស្សសាលា និងការបណ្តុះបណ្តាលជំនាញជាក់ស្តែងរបស់ពួកគេ។ តើត្រូវប្រើម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតលើធនធានរបស់យើងយ៉ាងដូចម្តេច? នេះត្រូវបានធ្វើយ៉ាងងាយស្រួលអ្នកគ្រាន់តែបញ្ចូលមុខងារដើមនៅក្នុងវាលដែលមានស្រាប់ ជ្រើសរើសតម្លៃដែនកំណត់ដែលត្រូវការសម្រាប់អថេរពីឧបករណ៍ជ្រើសរើស ហើយចុចលើប៊ូតុង "ដំណោះស្រាយ"។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះអ្នកត្រូវគណនាតម្លៃកំណត់ នោះអ្នកត្រូវបញ្ចូលតម្លៃនៃចំណុចនេះ - ទាំងលេខ ឬនិមិត្តសញ្ញា។ ការគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតនឹងជួយអ្នកស្វែងរកតម្លៃដែនកំណត់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែនកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលនិយមន័យមុខងារ ហើយតម្លៃនេះដែលតម្លៃនៃមុខងារដែលកំពុងសិក្សាកើនឡើងនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាមានទំនោរទៅចំណុចណាមួយ គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះ ដែនកំណត់។ យោងតាមការគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតនៅលើគេហទំព័ររបស់យើងយើងអាចនិយាយដូចខាងក្រោម - មាន analogues ជាច្រើននៅលើអ៊ីនធឺណិតអ្នកអាចស្វែងរកអ្នកដែលសក្ដិសមអ្នកត្រូវស្វែងរកវាដោយការលំបាក។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះអ្នកនឹងជួបប្រទះការពិតដែលថាគេហទំព័រមួយទៅគេហទំព័រមួយផ្សេងទៀតគឺខុសគ្នា។ ពួកគេជាច្រើនមិនផ្តល់ម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតទាល់តែសោះ មិនដូចពួកយើងទេ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងម៉ាស៊ីនស្វែងរកល្បីណាមួយ មិនថា Yandex ឬ Google អ្នកស្វែងរកគេហទំព័រដោយប្រើឃ្លា "ការគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិត" នោះគេហទំព័រនឹងស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដំបូងក្នុងលទ្ធផលស្វែងរក។ នេះមានន័យថាម៉ាស៊ីនស្វែងរកទាំងនេះជឿជាក់លើយើង ហើយនៅលើគេហទំព័ររបស់យើងមានតែមាតិកាដែលមានគុណភាពខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះ ហើយសំខាន់បំផុតគឺមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សសាលា និងសាកលវិទ្យាល័យ! ចូរបន្តនិយាយអំពីម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់ ហើយជាទូទៅអំពីទ្រឹស្តីនៃការឆ្លងដល់ដែនកំណត់។ ជាញឹកញាប់ណាស់ នៅក្នុងនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃមុខងារ គំនិតនៃសង្កាត់ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ នៅទីនេះ ដែនកំណត់នៃមុខងារ ក៏ដូចជាដំណោះស្រាយនៃដែនកំណត់ទាំងនេះ គឺត្រូវបានសិក្សាតែត្រង់ចំណុចដែលកំណត់សម្រាប់ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារ ដោយដឹងថានៅក្នុងសង្កាត់នីមួយៗនៃចំណុចបែបនេះមានចំណុចចេញពីដែននៃនិយមន័យនៃ មុខងារនេះ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយអំពីទំនោរនៃមុខងារអថេរទៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នៅចំណុចមួយចំនួននៃដែនរបស់មុខងារ ហើយម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតផ្តល់នូវដំណោះស្រាយដែនកំណត់លម្អិតនៃមុខងារនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះមុខងារនឹងបន្តនៅចំណុចនោះ។ សូមឱ្យម៉ាស៊ីនគិតលេខដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយផ្តល់លទ្ធផលវិជ្ជមានមួយចំនួន ហើយយើងនឹងពិនិត្យមើលវានៅលើគេហទំព័រផ្សេងទៀត។ នេះអាចបញ្ជាក់ពីគុណភាពនៃធនធានរបស់យើង ហើយដូចដែលមនុស្សជាច្រើនបានដឹងរួចមកហើយថា វាគឺល្អបំផុត និងសមនឹងទទួលបានការសរសើរខ្ពស់បំផុត។ ទន្ទឹមនឹងនេះ មានលទ្ធភាពនៃការកំណត់ការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតដើម្បីសិក្សា និងដោយឯករាជ្យ ប៉ុន្តែស្ថិតក្រោមការត្រួតពិនិត្យយ៉ាងជិតស្និទ្ធរបស់គ្រូដែលមានជំនាញវិជ្ជាជីវៈ។ ជារឿយៗសកម្មភាពនេះនឹងនាំឱ្យមានលទ្ធផលរំពឹងទុក។ សិស្សទាំងអស់គ្រាន់តែស្រមៃថា ការគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនឹងពណ៌នាលម្អិតអំពីកិច្ចការលំបាករបស់ពួកគេ ដែលផ្តល់ឱ្យដោយគ្រូនៅដើមឆមាស។ ប៉ុន្តែវាមិនសាមញ្ញទេ។ ដំបូងអ្នកត្រូវសិក្សាទ្រឹស្តី ហើយបន្ទាប់មកប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខឥតគិតថ្លៃ។ ដូចជាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិត ម៉ាស៊ីនគិតលេខនឹងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវព័ត៌មានលម្អិតនៃធាតុដែលអ្នកត្រូវការ ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តជាមួយនឹងលទ្ធផល។ ប៉ុន្តែចំណុចកំណត់នៃដែននិយមន័យអាចមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននិយមន័យនេះទេ ហើយនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយការគណនាលម្អិតដោយម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិត។ ឧទាហរណ៍៖ យើងអាចពិចារណាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយនៅចុងនៃផ្នែកបើកចំហដែលមុខងាររបស់យើងត្រូវបានកំណត់។ ក្នុងករណីនេះ ព្រំដែននៃផ្នែកខ្លួនឯងមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដែននៃនិយមន័យទេ។ ក្នុងន័យនេះ ប្រព័ន្ធនៃសង្កាត់នៃចំណុចនេះគឺជាករណីពិសេសនៃមូលដ្ឋាននៃផ្នែករងបែបនេះ។ ការគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតត្រូវបានផលិតក្នុងពេលវេលាជាក់ស្តែង ហើយរូបមន្តត្រូវបានអនុវត្តចំពោះវាក្នុងទម្រង់វិភាគច្បាស់លាស់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតគឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃគោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ៖ ដំបូង ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយត្រូវបានគេយល់ថាជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃធាតុនៃជួរ។ នៃអនុគមន៍ដែលផ្សំឡើងដោយរូបភាពនៃចំណុចនៃលំដាប់នៃធាតុនៃដែននៃអនុគមន៍មួយទៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ដែនកំណត់ដែលត្រូវបានពិចារណា); ប្រសិនបើដែនកំណត់បែបនេះមាន នោះមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថានឹងបង្រួបបង្រួមទៅតម្លៃដែលបានបញ្ជាក់។ ប្រសិនបើដែនកំណត់បែបនេះមិនមានទេ នោះមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថា diverge ។ និយាយជាទូទៅ ទ្រឹស្ដីនៃការឆ្លងដល់ដែនកំណត់ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យាទាំងអស់។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺផ្អែកយ៉ាងជាក់លាក់លើការផ្លាស់ប្តូរដែនកំណត់ ពោលគឺដំណោះស្រាយលម្អិតនៃដែនកំណត់គឺជាមូលដ្ឋាននៃវិទ្យាសាស្ត្រនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយម៉ាស៊ីនគិតលេខដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការរៀនរបស់សិស្ស។ ម៉ាស៊ីនគិតលេខដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតនៅលើគេហទំព័រគឺជាសេវាកម្មតែមួយគត់សម្រាប់ការទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ និងភ្លាមៗក្នុងពេលវេលាជាក់ស្តែង។ មិនញឹកញាប់ទេ ឬជាញឹកញយ សិស្សភ្លាមៗមានការលំបាកក្នុងការដោះស្រាយដែនកំណត់កំឡុងពេលសិក្សាដំបូងនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងធានាថាការដោះស្រាយម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតនៅលើសេវាកម្មរបស់យើងគឺជាការធានានូវភាពត្រឹមត្រូវ និងទទួលបានចម្លើយដែលមានគុណភាពខ្ពស់។ អ្នកនឹងទទួលបានចម្លើយចំពោះដំណោះស្រាយលម្អិតនៃដែនកំណត់ជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគិតលេខក្នុងរយៈពេលតែប៉ុន្មានវិនាទីប៉ុណ្ណោះ អ្នកក៏អាចនិយាយបានភ្លាមៗផងដែរ។ . ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលទិន្នន័យមិនត្រឹមត្រូវ នោះគឺជាតួអក្សរដែលមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតដោយប្រព័ន្ធ វាមិនអីទេ សេវាកម្មនឹងជូនដំណឹងអ្នកដោយស្វ័យប្រវត្តិអំពីកំហុស។ កែតម្រូវមុខងារដែលបានបញ្ចូលពីមុន (ឬចំណុចកំណត់) និងទទួលបានដំណោះស្រាយលម្អិតត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិត។ ជឿជាក់លើពួកយើង ហើយយើងនឹងមិនធ្វើឱ្យអ្នកខកចិត្តឡើយ។ អ្នកអាចប្រើគេហទំព័របានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនឹងពណ៌នាលម្អិតអំពីជំហានមួយជំហានម្តងៗសម្រាប់ការគណនាបញ្ហា។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការរង់ចាំពីរបីវិនាទី និងទទួលបានចម្លើយដែលចង់បាន។ ដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត បច្ចេកទេសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ ជាពិសេសវិធីសាស្ត្រ L'Hospital ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់ ព្រោះវាមានលក្ខណៈជាសកល ហើយនាំទៅរកចម្លើយលឿនជាងវិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតនៃការគណនាដែនកំណត់នៃមុខងារ។ . ជាញឹកញយ ដំណោះស្រាយលម្អិតតាមអ៊ីនធឺណិតដោយម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់ គឺតម្រូវឱ្យគណនាផលបូកនៃលំដាប់លេខ។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃលំដាប់លេខ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបង្ហាញពីផលបូកមួយផ្នែកនៃលំដាប់នេះឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ហើយបន្ទាប់មកអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញដោយប្រើសេវាកម្មគេហទំព័រឥតគិតថ្លៃរបស់យើង ចាប់តាំងពីការគណនាដែនកំណត់ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតរបស់យើងពី ផលបូកផ្នែកនឹងជាផលបូកចុងក្រោយនៃលំដាប់លេខ។ ដំណោះស្រាយលម្អិតជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតដោយប្រើប្រាស់សេវាកម្មគេហទំព័រផ្តល់ឱ្យសិស្សនូវវិធីមួយដើម្បីមើលវឌ្ឍនភាពនៃការដោះស្រាយបញ្ហា ដែលធ្វើឲ្យការយល់ដឹងអំពីទ្រឹស្តីដែនកំណត់មានភាពងាយស្រួល និងអាចចូលដំណើរការបានសម្រាប់ស្ទើរតែគ្រប់គ្នា។ រក្សា​ការ​ផ្តោត​អារម្មណ៍ ហើយ​កុំ​បណ្តោយ​ឱ្យ​សកម្មភាព​ខុស​ធ្វើ​ឱ្យ​អ្នក​ជួប​បញ្ហា​ជាមួយ​នឹង​ចំណាត់ថ្នាក់​មិនល្អ។ ដូចជាដំណោះស្រាយលម្អិតណាមួយជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគិតលេខដែនកំណត់សេវាកម្មអនឡាញ បញ្ហានឹងត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ងាយស្រួល និងអាចយល់បាន ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត ដោយអនុលោមតាមវិធាន និងបទប្បញ្ញត្តិទាំងអស់សម្រាប់ការទទួលបានដំណោះស្រាយ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ អ្នកអាចរក្សាទុក ពេលវេលា និងលុយកាក់ ព្រោះយើងមិនសុំអ្វីទាំងអស់។ នៅលើគេហទំព័ររបស់យើង ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃការគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតគឺតែងតែមានម្ភៃបួនម៉ោងក្នុងមួយថ្ងៃ។ ជាការពិត ការគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតទាំងអស់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយអាចនឹងមិនផ្តល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពនៃដំណោះស្រាយមួយជំហានម្តងមួយៗឱ្យបានលម្អិតនោះទេ អ្នកមិនគួរភ្លេចអំពីរឿងនេះទេ ហើយអ្នកគ្រប់គ្នាគួរតែធ្វើតាម។ ដរាបណាដែនកំណត់នៃការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតជំរុញឱ្យអ្នកចុចលើប៊ូតុង "ដំណោះស្រាយ" បន្ទាប់មកដំបូងសូមពិនិត្យមើលអ្វីគ្រប់យ៉ាង។ ឧ. ពិនិត្យមុខងារដែលបានបញ្ចូល ផងដែរនូវតម្លៃកំណត់ ហើយគ្រាន់តែបន្តសកម្មភាព។ វានឹងជួយសង្រ្គោះអ្នកពីបទពិសោធន៍ដ៏ឈឺចាប់សម្រាប់ការគណនាដែលមិនជោគជ័យ។ ហើយបន្ទាប់មកដែនកំណត់នៃការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិតដែលមានច្បាប់លម្អិតនឹងផ្តល់ឱ្យតំណាងហ្វាក់តូរីយ៉ូលត្រឹមត្រូវនៃសកម្មភាពជាជំហាន ៗ ។ ប្រសិនបើម៉ាស៊ីនគណនាដែនកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតភ្លាមៗមិនបានផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិតទេនោះ វាអាចមានហេតុផលជាច្រើនសម្រាប់បញ្ហានេះ។ ដំបូងពិនិត្យកន្សោមមុខងារដែលបានសរសេរ។ វាត្រូវតែមានអថេរ "x" បើមិនដូច្នេះទេ មុខងារទាំងមូលនឹងត្រូវបានចាត់ទុកដោយប្រព័ន្ធថាជាថេរ។ បន្ទាប់មក ពិនិត្យតម្លៃកំណត់ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬតម្លៃនិមិត្តសញ្ញា។ វាក៏គួរតែមានអក្សរឡាតាំងផងដែរ - នេះជាការសំខាន់! បន្ទាប់មក អ្នកអាចព្យាយាមម្តងទៀត ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយលម្អិតនៃដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតលើសេវាកម្មដ៏ល្អរបស់យើង ហើយប្រើប្រាស់លទ្ធផល។ នៅពេលដែលពួកគេនិយាយថាដែនកំណត់នៃការសម្រេចចិត្តលើអ៊ីនធឺណិតយ៉ាងលម្អិតគឺពិបាកខ្លាំងណាស់ - កុំជឿវា ហើយសំខាន់បំផុតកុំភ័យស្លន់ស្លោ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានអនុញ្ញាតក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃវគ្គបណ្តុះបណ្តាល។ យើងសូមណែនាំថា អ្នកដោយមិនមានការភ័យស្លន់ស្លោ សូមចំណាយពេលតែប៉ុន្មាននាទីដើម្បីបម្រើសេវាកម្មរបស់យើង ហើយពិនិត្យមើលលំហាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃដំណោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតមិនអាចដោះស្រាយបានលម្អិតទេ នោះអ្នកបានធ្វើការវាយអក្សរ ព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ គេហទំព័រអាចដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់ដោយគ្មានការលំបាកច្រើន។ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់គិតថាអ្នកអាចទទួលបានលទ្ធផលដែលចង់បានភ្លាមៗដោយគ្មានកម្លាំងពលកម្មនិងការខំប្រឹងប្រែងនោះទេ។ នៅលើតម្រូវការណាមួយដើម្បីលះបង់ពេលវេលាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីសិក្សាសម្ភារៈ។ វាអាចទៅរួចសម្រាប់ការគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតនីមួយៗជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយដើម្បីលេចធ្លោនៅក្នុងលម្អិតនៅដំណាក់កាលនៃការកសាងដំណោះស្រាយដែលលាតត្រដាងហើយសន្មតថាផ្ទុយ។ ប៉ុន្តែវាមិនមានបញ្ហាថាតើត្រូវបង្ហាញវាដោយរបៀបណាទេព្រោះយើងមានការព្រួយបារម្ភអំពីដំណើរការនៃវិធីសាស្រ្តវិទ្យាសាស្ត្រ។ ជាលទ្ធផល យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតគឺផ្អែកលើលម្អិតលើទិដ្ឋភាពជាមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ កំណត់គោលការណ៍ស្នូលចំនួនប្រាំ ហើយចាប់ផ្តើមឆ្ពោះទៅមុខ។ អ្នកនឹងត្រូវបានសួរថាតើដំណោះស្រាយម៉ាស៊ីនគិតលេខមាននៅលើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតសម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នាឬអត់ ហើយអ្នកនឹងឆ្លើយថា បាទ! ប្រហែលជាក្នុងន័យនេះមិនមានការផ្តោតជាពិសេសទៅលើលទ្ធផលនោះទេ ប៉ុន្តែដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតមានអត្ថន័យខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចនៅក្នុងលម្អិតជាងវាហាក់ដូចជានៅដើមដំបូងនៃការសិក្សាវិន័យ។ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តប្រកបដោយតុល្យភាព ជាមួយនឹងការតម្រឹមត្រឹមត្រូវនៃកងកម្លាំង អ្នកអាចកាត់បន្ថយដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតយ៉ាងរហ័សដោយលំអិតដោយខ្លួនឯង.! តាមពិតទៅ ការគណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតនឹងចាប់ផ្តើមតំណាងឱ្យសមាមាត្រនៃជំហានទាំងអស់នៃការគណនាជាជំហានៗកាន់តែលឿន។

គំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់និងមុខងារ។ នៅពេលដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ វាត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: lim xn=a ។ នៅក្នុងលំដាប់នៃលំដាប់បែបនេះ xn ទំនោរទៅ a និង n ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ លំដាប់មួយត្រូវបានតំណាងជាធម្មតាជាស៊េរី ឧទាហរណ៍៖
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
លំដាប់ត្រូវបានបែងចែកទៅជា ឡើង និងចុះ។ ឧទាហរណ៍:
xn=n^2 - ការកើនឡើងលំដាប់
yn=1/n - លំដាប់
ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ដែនកំណត់នៃលំដាប់ xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x →∞
ដែនកំណត់នេះគឺសូន្យព្រោះ n →∞ ហើយលំដាប់ 1/n^2 មានទំនោរទៅសូន្យ។

ជាធម្មតាអថេរ x មានទំនោរទៅដែនកំណត់កំណត់ a លើសពីនេះ x តែងតែខិតជិត a ហើយតម្លៃនៃ a គឺថេរ។ នេះត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ limx = a ខណៈពេលដែល n ក៏អាចមានទំនោរទៅទាំងសូន្យ និងគ្មានកំណត់។ មានមុខងារគ្មានដែនកំណត់ សម្រាប់ពួកវា ដែនកំណត់មានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត នៅពេលដែលឧទាហរណ៍ មុខងារនៃការបន្ថយល្បឿនរថភ្លើង វាអាចទៅរួចសម្រាប់ដែនកំណត់ដែលទំនោរទៅសូន្យ។
ដែនកំណត់មានលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន។ តាមក្បួនមុខងារណាមួយមានដែនកំណត់តែមួយគត់។ នេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដែនកំណត់។ ផ្សេងទៀតមានរាយខាងក្រោម៖
* ផលបូកនៃដែនកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដែនកំណត់៖
lim(x+y)=limx+limy
* ដែនកំណត់នៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់៖
lim(xy)=limx*limy
* ដែនកំណត់នៃកូតាគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់៖
lim(x/y)= lim x/lim y
* កត្តាថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាកំណត់៖
lim(Cx)=C lim x
ដោយបានផ្ដល់អនុគមន៍ 1 /x ដែល x →∞ ដែនកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។ ប្រសិនបើ x → 0 នោះដែនកំណត់នៃមុខងារបែបនេះគឺស្មើនឹង ∞ ។
សម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានច្បាប់ទាំងនេះ។ ដោយសារអនុគមន៍ sin x តែងតែមានទំនោរទៅមួយ នៅពេលវាជិតដល់សូន្យ អត្តសញ្ញាណមានសម្រាប់វា៖
lim sin x/x=1

នៅក្នុងមុខងារមួយចំនួននៅពេលគណនាដែនកំណត់នៃភាពមិនច្បាស់លាស់កើតឡើង - ស្ថានភាពដែលដែនកំណត់មិនអាចគណនាបាន។ មធ្យោបាយតែមួយគត់ចេញពីស្ថានភាពនេះគឺ L'Hopital ។ ភាពមិនប្រាកដប្រជាមានពីរប្រភេទ៖
* ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ 0/0
* ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ∞/∞
ឧទាហរណ៍ បានផ្តល់ដែនកំណត់នៃទម្រង់ខាងក្រោម៖ lim f(x)/l(x) លើសពីនេះ f(x0)=l(x0)=0។ ក្នុងករណីនេះ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ 0/0។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ មុខងារទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកខុសគ្នា បន្ទាប់ពីនោះដែនកំណត់នៃលទ្ធផលត្រូវបានរកឃើញ។ សម្រាប់ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ 0/0 ដែនកំណត់គឺ៖
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (ជា x → 0)
ច្បាប់ដូចគ្នាគឺសម្រាប់ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ ∞/∞។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖ f(x)=l(x)=∞
ដោយមានជំនួយពីច្បាប់របស់ L'Hopital មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញតម្លៃនៃដែនកំណត់ណាមួយដែលភាពមិនច្បាស់លាស់លេចឡើង។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់

បរិមាណ - អវត្តមាននៃកំហុសក្នុងការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ (x^2)" គឺស្មើនឹង 2x។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថា:
f"(x)=nx^(n-1)

ដែនកំណត់មុខងារ- ចំនួន កនឹងជាដែនកំណត់នៃតម្លៃអថេរមួយចំនួន ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វា តម្លៃអថេរនេះខិតជិតមិនកំណត់។ ក.

ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀតលេខ កគឺជាដែនកំណត់នៃមុខងារ y=f(x)នៅចំណុច x0ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ពិន្ទុណាមួយពីដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ មិនស្មើនឹង x0ហើយដែលបង្រួបបង្រួមដល់ចំណុច x 0 (lim x n = x0), លំដាប់​នៃ​តម្លៃ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​អនុគមន៍​ទៅ​ជា​លេខ  ក.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមានដែនកំណត់ជាមួយនឹងអាគុយម៉ង់ដែលមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ អិល:

អត្ថន័យ ប៉ុន្តែគឺជា ដែនកំណត់ (តម្លៃកំណត់) នៃមុខងារ f(x)នៅចំណុច x0ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់នៃចំណុចណាមួយ។ ដែលបង្រួបបង្រួម x0ប៉ុន្តែដែលមិនមាន x0ជាផ្នែកមួយនៃធាតុរបស់វា (ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសង្កាត់ដែលត្រូវបានវាយដំ x0) លំដាប់នៃតម្លៃមុខងារ បង្រួបបង្រួម ក.

ដែនកំណត់នៃមុខងារយោងទៅតាម Cauchy ។

អត្ថន័យ កនឹងត្រូវបាន ដែនកំណត់មុខងារ f(x)នៅចំណុច x0ប្រសិន​បើ​សម្រាប់​ការ​បញ្ជូន​បន្ត​ណា​មួយ​បាន​យក​លេខ​មិន​អវិជ្ជមាន ε លេខដែលត្រូវគ្នាមិនអវិជ្ជមាននឹងត្រូវបានរកឃើញ δ = δ(ε) បែបនេះសម្រាប់អាគុយម៉ង់នីមួយៗ xបំពេញលក្ខខណ្ឌ 0 < | x - x0 | < δ , វិសមភាព | f(x) ក |< ε .

វានឹងសាមញ្ញណាស់ ប្រសិនបើអ្នកយល់ពីខ្លឹមសារនៃដែនកំណត់ និងច្បាប់ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការស្វែងរកវា។ ថាដែនកំណត់នៃមុខងារ f(x)នៅ xប្រាថ្នាចង់ កស្មើ កត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

លើសពីនេះទៅទៀត តម្លៃដែលអថេរមាននិន្នាការ xអាចមិនត្រឹមតែជាលេខប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងគ្មានកំណត់ (∞) ពេលខ្លះ +∞ ឬ -∞ ឬប្រហែលជាគ្មានដែនកំណត់ទាល់តែសោះ។

ដើម្បីយល់ពីរបៀប ស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារវាជាការល្អបំផុតក្នុងការមើលឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។

យើងត្រូវស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារ f(x) = 1/xនៅ៖

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃដែនកំណត់ទីមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកគ្រាន់តែអាចជំនួសបាន។ xលេខដែលវាប្រាថ្នា ឧ. 2, យើងទទួលបាន:

ស្វែងរកដែនកំណត់ទីពីរនៃមុខងារ. នៅទីនេះ ជំនួសក្នុងទម្រង់សុទ្ធ 0 ជំនួសវិញ។ xវាមិនអាចទៅរួចទេពីព្រោះ មិនអាចបែងចែកដោយ 0 ។ ប៉ុន្តែយើងអាចយកតម្លៃជិតសូន្យឧទាហរណ៍ 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 និងបន្តបន្ទាប់ជាមួយនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x)នឹងកើនឡើង: 100; ១០០០; 10000; 100000 ជាដើម។ ដូច្នេះ​ហើយ​ទើប​អាច​យល់​ថា​ពេល​ណា​ x→ 0 តម្លៃនៃមុខងារដែលស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់នឹងកើនឡើងឥតកំណត់ពោលគឺឧ។ ព្យាយាមសម្រាប់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ដែលមានន័យថា៖

ទាក់ទងនឹងដែនកំណត់ទីបី។ ស្ថានភាពដូចគ្នានឹងករណីមុនដែរ មិនអាចជំនួសបានទេ។ ∞ នៅក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធបំផុត។ យើងត្រូវពិចារណាករណីនៃការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ x. យើងជំនួស 1000; 10000; 100000 និងបន្តបន្ទាប់ទៀត យើងមានតម្លៃនៃមុខងារ f(x) = 1/xនឹងថយចុះ: 0.001; 0.0001; 0.00001; ហើយដូច្នេះនៅលើ, ទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះ៖

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាដែនកំណត់នៃមុខងារ

ចាប់ផ្តើមដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីពីរ យើងឃើញភាពមិនច្បាស់លាស់។ ពីទីនេះយើងរកឃើញកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកនិងភាគបែង - នេះគឺ x ៣យើងយកវាចេញពីតង្កៀបក្នុងភាគយក និងភាគបែង ហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយវាដោយវា៖

ចម្លើយ

ជំហានដំបូងនៅក្នុង ការស្វែងរកដែនកំណត់នេះ។ជំនួសតម្លៃ 1 ជំនួសវិញ។ xដែលបណ្តាលឱ្យមានភាពមិនច្បាស់លាស់។ ដើម្បីដោះស្រាយវា យើងបំបែកភាគយកទៅជាកត្តា យើងនឹងធ្វើវាដោយស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + 2x − ៣:

ឃ \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ ឃ=√16 = 4

x 1,2 = (−2± ៤) / ២→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

ដូច្នេះលេខភាគនឹងជា៖

ចម្លើយ

នេះគឺជានិយមន័យនៃតម្លៃជាក់លាក់របស់វា ឬតំបន់ជាក់លាក់មួយដែលមុខងារធ្លាក់ ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយដែនកំណត់។

ដើម្បីសម្រេចដែនកំណត់ សូមអនុវត្តតាមច្បាប់៖

ដោយបានយល់ពីខ្លឹមសារ និងខ្លឹមសារ កំណត់ច្បាប់នៃការសម្រេចចិត្តអ្នកនឹងទទួលបានការយល់ដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីរបៀបដោះស្រាយពួកគេ។

ដែនកំណត់ផ្តល់ឱ្យសិស្សទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យាមានបញ្ហាច្រើន។ ដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវប្រើល្បិចជាច្រើន ហើយជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាច្រើនប្រភេទដែលសមស្របនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងមិនជួយអ្នកឱ្យយល់ពីដែនកំណត់នៃសមត្ថភាពរបស់អ្នក ឬយល់ពីដែនកំណត់នៃការគ្រប់គ្រងនោះទេ ប៉ុន្តែយើងនឹងព្យាយាមឆ្លើយសំណួរ: របៀបយល់ពីដែនកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ? ការយល់ដឹងកើតឡើងជាមួយនឹងបទពិសោធន៍ ដូច្នេះក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍លម្អិតមួយចំនួននៃការដោះស្រាយដែនកំណត់ជាមួយនឹងការពន្យល់។

គំនិតនៃដែនកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យា

សំណួរទីមួយគឺ៖ តើអ្វីជាដែនកំណត់ និងកម្រិតនៃអ្វី? យើងអាចនិយាយអំពីដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ និងមុខងារ។ យើងចាប់អារម្មណ៍លើគោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ ព្រោះវានៅជាមួយពួកគេដែលសិស្សភាគច្រើនជួបប្រទះ។ ប៉ុន្តែជាដំបូង និយមន័យទូទៅបំផុតនៃដែនកំណត់៖

ចូរនិយាយថាមានអថេរខ្លះ។ ប្រសិនបើតម្លៃនេះនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរមិនកំណត់បានខិតជិតចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ក បន្ទាប់មក ក គឺជាដែនកំណត់នៃតម្លៃនេះ។

សម្រាប់មុខងារដែលបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន f (x) = y ដែនកំណត់គឺជាចំនួន ក ដែលមុខងារមាននិន្នាការនៅពេល X ទំនោរទៅចំណុចជាក់លាក់មួយ។ ក . ចំណុច ក ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលដែលមុខងារត្រូវបានកំណត់។

វាស្តាប់ទៅពិបាក ប៉ុន្តែវាត្រូវបានសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញ៖

លឹម- ពីភាសាអង់គ្លេស ដែនកំណត់- ដែនកំណត់។

វាក៏មានការពន្យល់ធរណីមាត្រសម្រាប់និយមន័យនៃដែនកំណត់ផងដែរ ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងនឹងមិនចូលទៅក្នុងទ្រឹស្តីទេ ដោយសារយើងចាប់អារម្មណ៍លើការអនុវត្តច្រើនជាងផ្នែកទ្រឹស្តីនៃបញ្ហា។ នៅពេលដែលយើងនិយាយនោះ។ X ទំនោរទៅនឹងតម្លៃមួយចំនួន នេះមានន័យថាអថេរមិនទទួលយកតម្លៃនៃលេខមួយទេ ប៉ុន្តែខិតជិតវាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។

ចូរយើងលើកឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។ បញ្ហាប្រឈមគឺស្វែងរកដែនកំណត់។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍នេះ យើងជំនួសតម្លៃ x=3 ចូលទៅក្នុងមុខងារមួយ។ យើង​ទទួល​បាន:

ដោយវិធីនេះប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍សូមអានអត្ថបទដាច់ដោយឡែកអំពីប្រធានបទនេះ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ X អាចមានទំនោរទៅនឹងតម្លៃណាមួយ។ វាអាចជាលេខណាមួយ ឬគ្មានកំណត់។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយនៅពេល X ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖

វាច្បាស់ណាស់ដោយវិចារណញាណថាចំនួនធំជាងនៅក្នុងភាគបែង តម្លៃតូចជាងនឹងត្រូវបានយកដោយអនុគមន៍។ ដូច្នេះជាមួយនឹងកំណើនគ្មានដែនកំណត់ X អត្ថន័យ 1/x នឹងថយចុះ ហើយចូលទៅជិតសូន្យ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសតម្លៃដើម្បីព្យាយាមចូលទៅក្នុងមុខងារ។ X . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនេះគឺជាករណីសាមញ្ញបំផុត។ ជារឿយៗការស្វែងរកដែនកំណត់គឺមិនច្បាស់ទេ។ នៅក្នុងដែនកំណត់ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ 0/0 ឬ infinity/គ្មានកំណត់ . អ្វីដែលត្រូវធ្វើក្នុងករណីបែបនេះ? ប្រើល្បិច!

ភាពមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុង

ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់គ្មានកំណត់/គ្មានកំណត់

សូមឱ្យមានដែនកំណត់៖

ប្រសិនបើយើងព្យាយាមជំនួស infinity ទៅក្នុងអនុគមន៍ នោះយើងនឹងទទួលបាន infinity ទាំងនៅក្នុងភាគយក និងនៅក្នុងភាគបែង។ ជាទូទៅវាមានតម្លៃក្នុងការនិយាយថាមានធាតុផ្សំជាក់លាក់នៃសិល្បៈក្នុងការដោះស្រាយភាពមិនច្បាស់លាស់បែបនេះ៖ អ្នកត្រូវកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែលអ្នកអាចបំប្លែងមុខងារតាមរបៀបដែលភាពមិនប្រាកដប្រជាត្រូវបានបាត់បង់។ ក្នុងករណីរបស់យើង យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ X នៅក្នុងថ្នាក់ជាន់ខ្ពស់។ តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង?

តាមឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាខាងលើ យើងដឹងថាពាក្យដែលមាន x ក្នុងភាគបែងនឹងមានទំនោរទៅសូន្យ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយចំពោះដែនកំណត់គឺ៖

ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ infinity/គ្មានកំណត់ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ Xដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។

និយាយ​អញ្ចឹង! សម្រាប់អ្នកអានរបស់យើងឥឡូវនេះមានការបញ្ចុះតម្លៃ 10% នៅលើ

ប្រភេទនៃភាពមិនច្បាស់លាស់មួយទៀត៖ 0/0

ដូចរាល់ដង ការជំនួសមុខងារតម្លៃ x=-1 ផ្តល់ឱ្យ 0 នៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែង។ សូមក្រឡេកមើលឱ្យជិតបន្តិច ហើយអ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថា យើងមានសមីការបួនជ្រុងនៅក្នុងភាគយក។ ចូរយើងស្វែងរកឫសហើយសរសេរ៖

តោះកាត់បន្ថយ និងទទួលបាន៖

ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកជួបប្រទះភាពមិនច្បាស់ប្រភេទ 0/0 - ធ្វើកត្តាភាគយក និងភាគបែង។

ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះគឺជាតារាងដែលមានដែនកំណត់នៃមុខងារមួយចំនួន៖

ការគ្រប់គ្រងរបស់ L'Hopital នៅខាងក្នុង

មធ្យោបាយដ៏មានឥទ្ធិពលមួយទៀតដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ទាំងពីរប្រភេទ។ តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្ត?

ប្រសិនបើមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុងដែនកំណត់ យើងយកដេរីវេនៃភាគយក និងភាគបែងរហូតដល់ភាពមិនច្បាស់លាស់បាត់។

តាមទស្សនៈ ច្បាប់របស់ L'Hopital មើលទៅដូចនេះ៖

ចំណុចសំខាន់ ៖ ដែនកំណត់ ដែលដេរីវេនៃភាគយក និងភាគបែងគឺជំនួសឱ្យភាគយក និងភាគបែង ត្រូវតែមាន។

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង៖

មានភាពមិនច្បាស់លាស់ធម្មតា។ 0/0 . យកនិស្សន្ទវត្ថុនៃភាគយក និងភាគបែង៖

Voila, ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោលយ៉ាងឆាប់រហ័សនិងឆើតឆាយ។

យើងសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងអាចយកព័ត៌មាននេះទៅប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង និងស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរ "របៀបដោះស្រាយដែនកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់"។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់ ឬដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចមួយ ហើយមិនមានពេលសម្រាប់ការងារនេះពីពាក្យ "ដាច់ខាត" សូមទាក់ទងសេវាកម្មនិស្សិតដែលមានជំនាញវិជ្ជាជីវៈសម្រាប់ដំណោះស្រាយរហ័ស និងលម្អិត។

ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានគេហៅថាសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

\begin(សមីការ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)

ដោយសារសម្រាប់ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $\sin\alpha\to(0)$ យើងនិយាយថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ និយាយជាទូទៅក្នុងរូបមន្ត (1) ជំនួសឱ្យអថេរ $\alpha$ នៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែង កន្សោមណាមួយអាចមានទីតាំងនៅ ដរាបណាលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖

1. កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺឧ។ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។
2. កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងគឺដូចគ្នា។

Corollaries ពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ:

\begin(សមីការ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)

ឧទាហរណ៍ដប់មួយត្រូវបានដោះស្រាយនៅលើទំព័រនេះ។ ឧទាហរណ៍លេខ 1 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត (2)-(4) ។ ឧទាហរណ៍ #2, #3, #4 និង #5 មានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ ឧទាហរណ៍ 6-10 មានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមតិយោបល់តិចតួច ឬគ្មាន ដូចដែលការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន។ នៅពេលដោះស្រាយ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រមួយចំនួនត្រូវបានប្រើប្រាស់ ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញ។

ខ្ញុំចំណាំថាវត្តមាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររួមជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac (0) (0)$ មិនមែនមានន័យថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវតែត្រូវបានអនុវត្តនោះទេ។ ពេលខ្លះការបំប្លែងត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញគឺគ្រប់គ្រាន់ - ឧទាហរណ៍សូមមើល។

ឧទាហរណ៍ #1

បង្ហាញថា $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ។

ក) ចាប់តាំងពី $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ បន្ទាប់មក៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

ចាប់តាំងពី $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ និង $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , បន្ទាប់មក៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ខ) ចូរធ្វើការជំនួស $\alpha=\sin(y)$ ។ ចាប់តាំងពី $\sin(0)=0$ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $y\to(0)$ ។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃសូន្យ ដែល $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ ដូច្នេះ៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$

សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។

គ) ចូរធ្វើការជំនួស $\alpha=\tg(y)$ ។ ចាប់តាំងពី $\tg(0)=0$ លក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ និង $y\to(0)$ គឺសមមូល។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃលេខសូន្យ ដែល $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ ដូច្នេះដោយពឹងផ្អែកលើលទ្ធផលនៃធាតុ a) យើងមាន៖

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$

សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភាពស្មើគ្នា ក) ខ) គ) ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើរួមជាមួយនឹងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។

ឧទាហរណ៍ #2

ដែនកំណត់គណនា $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ និង $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. ហើយភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$, i.e. រួចរាល់។ លើសពីនេះទៀត វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងគឺដូចគ្នា (ឧ. និងពេញចិត្ត)៖

ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរដែលបានរាយនៅដើមទំព័រត្រូវបានបំពេញ។ វាធ្វើតាមពីនេះដែលរូបមន្តអាចអនុវត្តបាន i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+7 ))=1$។

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$។

ឧទាហរណ៍ #3

ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))x=0$ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac( 0 )(0)$ ឧ. រួចរាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងមិនត្រូវគ្នាទេ។ នៅទីនេះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកែសម្រួលកន្សោមនៅក្នុងភាគបែងទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន។ យើងត្រូវការកន្សោម $9x$ ដើម្បីស្ថិតនៅក្នុងភាគបែង - បន្ទាប់មកវានឹងក្លាយជាការពិត។ សំខាន់ យើងខ្វះកត្តា $9$ ក្នុងភាគបែង ដែលវាមិនពិបាកបញ្ចូលនោះទេ គ្រាន់តែគុណកន្សោមក្នុងភាគបែងដោយ $9។ តាមធម្មជាតិ ដើម្បីប៉ះប៉ូវគុណនឹង ៩ ដុល្លារ អ្នកនឹងត្រូវចែកភ្លាមៗដោយ ៩ ដុល្លារ ហើយចែក៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

ឥឡូវនេះកន្សោមនៅក្នុងភាគបែង និងនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុសគឺដូចគ្នា។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរសម្រាប់ដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ដូច្នេះ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$ ។ ហើយនេះមានន័យថា៖

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$ ។

ឧទាហរណ៍ #4

ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ នៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ ទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់នៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានខូច។ ភាគយកដែលមាន $\sin(5x)$ ទាមទារ $5x$ ក្នុងភាគបែង។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវចែកភាគយកដោយ $5x$ ហើយគុណនឹង $5x$ ភ្លាមៗ។ លើសពីនេះទៀត យើងនឹងធ្វើប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នាជាមួយភាគបែង គុណ និងចែក $\tg(8x)$ ដោយ $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

កាត់បន្ថយ $x$ ហើយយក $\frac(5)(8)$ ថេរចេញពីសញ្ញាកំណត់ យើងទទួលបាន៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x)))( 8x)) $$

ចំណាំថា $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ បំពេញបានពេញលេញនូវតម្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ រូបមន្តខាងក្រោមគឺអាចអនុវត្តបាន៖

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1)=\frac(5)(8)។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$។

ឧទាហរណ៍ #5

ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (រំលឹកថា $\cos(0)=1$) និង $\ lim_(x\to(0))x^2=0$ បន្ទាប់មកយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីអនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង អ្នកគួរតែកម្ចាត់កូស៊ីនុសនៅក្នុងភាគយកដោយចូលទៅកាន់ស៊ីនុស (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត) ឬតង់ហ្សង់ (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត)។ អ្នក​អាច​ធ្វើ​វា​ជាមួយ​នឹង​ការ​បំប្លែង​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))$$

តោះត្រឡប់ទៅដែនកំណត់៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

ប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ គឺនៅជិតទម្រង់ដែលត្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងរួចទៅហើយ។ ចូរធ្វើការបន្តិចជាមួយនឹងប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ដោយកែតម្រូវវាទៅដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង (ចំណាំថាកន្សោមនៅក្នុងភាគយកនិងនៅក្រោមស៊ីនុសត្រូវតែផ្គូផ្គង)៖

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

ចូរយើងត្រលប់ទៅដែនកំណត់ដែលបានពិចារណា៖

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25 ។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$ ។

ឧទាហរណ៍ #6

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ និង $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ បន្ទាប់មក យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac(0)(0)$ ។ តោះបើកវាដោយមានជំនួយពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុស។ ចាប់តាំងពី $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ បន្ទាប់មក៖

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x)។$$

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ sines យើងនឹងមាន:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x)))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$ ។

ឧទាហរណ៍ #7

គណនាដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ បានផ្តល់ $\alpha\neq\beta $

ការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមុននេះ ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងគ្រាន់តែកត់សំគាល់ថា មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac(0)(0)$ ម្តងទៀត។ ចូរផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុសដោយប្រើរូបមន្ត

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

ដោយប្រើរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\ ត្រូវ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2)។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ អាល់ហ្វា^2)(2)$។

ឧទាហរណ៍ #8

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (រំលឹកថា $\sin(0)=\tg(0)=0$) និង $\ lim_(x\to(0))x^3=0$ បន្ទាប់មកនៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ចូរបំបែកវាដូចនេះ៖

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3)=\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x)))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$។

ឧទាហរណ៍ #9

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ និង $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$ បន្ទាប់មកមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ មុននឹងបន្តការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថាអថេរ $\alpha \to 0$ ក្នុងរូបមន្ត)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=x-3$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត (អត្ថប្រយោជន៍នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយខាងក្រោម) វាមានតម្លៃធ្វើការជំនួសដូចខាងក្រោម: $t=\frac(x-3)(2)$ ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាការជំនួសទាំងពីរអាចអនុវត្តបានក្នុងករណីនេះ គ្រាន់តែការជំនួសទីពីរនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការតិចជាងដោយប្រភាគ។ ចាប់តាំងពី $x\to(3)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$។

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\ ត្រូវ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$ ។

ឧទាហរណ៍ #10

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $ ។

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ $\frac(0)(0)$។ មុននឹងបន្តការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថាអថេរគឺ $\alpha\to(0)$ ក្នុងរូបមន្ត)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=\frac(\pi)(2)-x$ ។ ចាប់តាំងពី $x\to\frac(\pi)(2)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$។

ឧទាហរណ៍ #11

ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$ ។

ក្នុងករណីនេះយើងមិនចាំបាច់ប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ សូមចំណាំ៖ នៅក្នុងដែនកំណត់ទីមួយ និងទីពីរ មានតែអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងលេខប៉ុណ្ណោះ។ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃប្រភេទនេះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់។ ក្នុងករណីនេះបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញដែលបានរៀបរាប់និងកាត់បន្ថយកត្តាមួយចំនួនភាពមិនច្បាស់លាស់នឹងរលាយបាត់។ ខ្ញុំបានផ្តល់ឧទាហរណ៍នេះក្នុងគោលបំណងតែមួយគត់៖ ដើម្បីបង្ហាញថាវត្តមាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់ មិនចាំបាច់មានន័យថាការអនុវត្តដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងឡើយ។

ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (រំលឹកថា $\sin\frac(\pi)(2)=1$) និង $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (រំលឹកថា $\cos\frac(\pi)(2)=0$) បន្ទាប់មក យើងដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់ នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមានន័យទាល់តែសោះដែលយើងត្រូវប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាថា $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))))=\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x))=\frac(1)(1+1)=\frac(1)(2)។ $$

មានដំណោះស្រាយស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសៀវភៅដំណោះស្រាយរបស់ Demidovich (លេខ 475) ។ ចំពោះដែនកំណត់ទីពីរ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុននៃផ្នែកនេះ យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ហេតុអ្វីបានជាវាកើតឡើង? វាកើតឡើងដោយសារតែ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ និង $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីបំប្លែងកន្សោមក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ គោលបំណងនៃសកម្មភាពរបស់យើង៖ សរសេរផលបូកក្នុងភាគយក និងភាគបែងជាផលិតផល។ ដោយវិធីនេះ ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការជំនួសអថេរក្នុងទម្រង់ស្រដៀងគ្នា ដូច្នេះអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (សូមមើលឧទាហរណ៍ឧទាហរណ៍លេខ 9 ឬលេខ 10 នៅលើទំព័រនេះ)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាគ្មានចំណុចណាមួយក្នុងការជំនួសអថេរនោះទេ ទោះបីជាវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការជំនួសអថេរ $t=x-\frac(2\pi)(3)$ ប្រសិនបើចង់បាន។

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ទៅ\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x))+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3))។ $$

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងមិនចាំបាច់អនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ ជាការពិតណាស់ នេះអាចត្រូវបានធ្វើប្រសិនបើចង់បាន (សូមមើលកំណត់សម្គាល់ខាងក្រោម) ប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេ។

តើ​អ្វី​នឹង​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​ដោយ​ប្រើ​កម្រិត​គួរ​ឱ្យ​កត់​សម្គាល់​ដំបូង? បង្ហាញ/លាក់

ដោយប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងយើងទទួលបាន:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3))\ ស្តាំ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3)))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3)))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( ៣))។ $$

ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( ៣))$។