មុខងារចែកចាយមានព័ត៌មានពេញលេញអំពីអថេរចៃដន្យ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត មុខងារចែកចាយមិនតែងតែត្រូវបានបង្កើតឡើងទេ។ ពេលខ្លះ ចំណេះដឹងពេញលេញបែបនេះមិនត្រូវបានទាមទារទេ។ ព័ត៌មានមួយផ្នែកអំពីអថេរចៃដន្យត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខណៈលេខ ដែលអាស្រ័យលើប្រភេទព័ត៌មានត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុមដូចខាងក្រោម។
1. លក្ខណៈនៃទីតាំងនៃអថេរចៃដន្យនៅលើអ័ក្សលេខ (របៀប ម៉ូ, មធ្យម ខ្ញុំ, តម្លៃរំពឹងទុក M(X)).
2. លក្ខណៈនៃការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យជុំវិញតម្លៃមធ្យម (ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ ឃ(X) គម្លាតស្តង់ដារ σ( X)).
3. លក្ខណៈនៃរាងកោង y = φ( x) (ភាពមិនស៊ីមេទ្រី ជា, kurtosis ឧ).
ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវលក្ខណៈនីមួយៗនៃលក្ខណៈទាំងនេះ។
តម្លៃរំពឹងទុក
អថេរចៃដន្យ Xបង្ហាញពីតម្លៃមធ្យមមួយចំនួនដែលតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ត្រូវបានដាក់ជាក្រុម X. សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកដែលអាចយកតែចំនួនកំណត់នៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះ៖
. (2.4)
សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត Xដែលមានដង់ស៊ីតេចែកចាយ φ( x) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺជាអាំងតេក្រាលដូចខាងក្រោមៈ 
. (2.5)
នៅទីនេះវាត្រូវបានសន្មត់ថាអាំងតេក្រាលមិនសមរម្យបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ i.e. មាន។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
1. M(S) = គកន្លែងណា ជាមួយ = const;
2. ម (គ∙X) = គ∙M(X);
3. M(X ± យ) = M(X) ± M(Y) កន្លែងណា Xនិង យ- អថេរចៃដន្យណាមួយ;
4. M(X∙យ)=M(X)∙M(Y) កន្លែងណា Xនិង យគឺជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ។
អថេរចៃដន្យពីរត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យ
, ប្រសិនបើច្បាប់នៃការចែកចាយនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេមិនអាស្រ័យលើតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបានដែលតម្លៃផ្សេងទៀតបានយក។
ម៉ូដ
អថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា, តំណាង ម៉ូតម្លៃដែលទំនងបំផុតរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា (រូបភាព 2.3) ហើយរបៀបនៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺជាតម្លៃដែលដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេអតិបរមា (រូបភាព 2.4) ។ 
អង្ករ។ 2.3 រូប។ ២.៤
មធ្យម
អថេរចៃដន្យបន្ត Xតម្លៃរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា Me ដែលវាប្រហែលស្មើគ្នាថាតើអថេរចៃដន្យនឹងប្រែទៅជាតិច ឬច្រើន ខ្ញុំ, i.e.
P(X < ខ្ញុំ) = P(X > ខ្ញុំ)
តាមនិយមន័យនៃមធ្យមភាគ វាធ្វើតាមនោះ។ P(X<ខ្ញុំ) = 0.5, i.e. ច (ខ្ញុំ) = 0.5 ។ តាមធរណីមាត្រ មធ្យមអាចបកស្រាយថាជា abscissa ដែលក្នុងនោះ φ( x) bisects the area bounded by the distribution curve (រូបភាព 2.5) ។ នៅក្នុងករណីនៃការចែកចាយស៊ីមេទ្រី មធ្យមត្រូវគ្នានឹងរបៀប និងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (រូបភាព 2.6) ។ 
អង្ករ។ 2.5 រូប។ ២.៦
ការបែកខ្ញែក។
ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ- រង្វាស់នៃការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ តំណាង ឃ[X] នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍រុស្ស៊ី និង (eng. ភាពខុសប្លែកគ្នា) នៅបរទេស។ នៅក្នុងស្ថិតិ ការកំណត់ ឬត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ ឫសការេនៃបំរែបំរួល ស្មើនឹង , ត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ គម្លាតស្តង់ដារ ឬការរីករាលដាលស្តង់ដារ។ គម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានវាស់ជាឯកតាដូចគ្នានឹងអថេរចៃដន្យដោយខ្លួនឯង ហើយវ៉ារ្យង់ត្រូវបានវាស់ជាការ៉េនៃឯកតានោះ។
វាកើតឡើងពីវិសមភាពរបស់ Chebyshev ដែលអថេរចៃដន្យផ្លាស់ទីឆ្ងាយពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាច្រើនជាង kគម្លាតស្តង់ដារដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេតិចជាង 1/ k² ដូច្នេះឧទាហរណ៍យ៉ាងហោចណាស់ 75% នៃករណីអថេរចៃដន្យមួយត្រូវបានដកចេញពីមធ្យមរបស់វាដោយគម្លាតស្តង់ដារមិនលើសពីពីរហើយក្នុងប្រហែល 89% - ដោយមិនលើសពីបី។
ការបែកខ្ញែក
អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
ឃ(X) = M(X –M(X)) 2 .
ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ Xវាងាយស្រួលក្នុងការគណនាតាមរូបមន្ត៖
ក) សម្រាប់បរិមាណដាច់ដោយឡែក
; (2.6)
ខ) សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត
j( X) ឃ x – 2 . (2.7)
ការបែកខ្ញែកមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
1. ឃ(គ) = 0, កន្លែងណា ជាមួយ = const;
2. ឃ(គ× X) = C 2 ∙ ឃ(X);
3. ឃ(X± យ) = ឃ(X) + ឃ(យ), ប្រសិនបើ Xនិង យអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ។
គម្លាតស្តង់ដារ
អថេរចៃដន្យ Xត្រូវបានគេហៅថាជាឫសនព្វន្ធនៃបំរែបំរួល, i.e.
σ( X) = .
ចំណាំថាវិមាត្រ σ( X) ស្របពេលជាមួយនឹងវិមាត្រនៃអថេរចៃដន្យ Xដូច្នេះ គម្លាតស្តង់ដារគឺកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ការបែងចែកលក្ខណៈ។
ការធ្វើទូទៅនៃលក្ខណៈលេខសំខាន់ៗនៃអថេរចៃដន្យគឺជាគំនិតនៃគ្រានៃអថេរចៃដន្យ។
គ្រាដំបូងនៃលំដាប់ kth
α kអថេរចៃដន្យ Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃបរិមាណ X ក, i.e. α k = M(X k).
ពេលដំបូងនៃលំដាប់ទីមួយគឺការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ។
ពេលកណ្តាលនៃលំដាប់ kth
μ kអថេរចៃដន្យ Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃបរិមាណ ( X–M(X))k, i.e. μ k = M(X–M(X))k.
គ្រាកណ្តាលនៃលំដាប់ទីពីរគឺការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ។
សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គ្រាដំបូងត្រូវបានបង្ហាញដោយផលបូក α k= ហើយចំនុចកណ្តាលគឺផលបូក μ k = 
កន្លែងណា ទំ = p(X=x ខ្ញុំ) សម្រាប់ពេលដំបូង និងកណ្តាលនៃអថេរចៃដន្យបន្ត ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមអាចទទួលបាន៖
α k = , μ k = 
,
កន្លែងណា φ( x) គឺជាដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ X ។
តម្លៃ ជា= μ 3 / σ 3 ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ asymmetry
.
ប្រសិនបើមេគុណ asymmetry គឺអវិជ្ជមាន នោះបង្ហាញពីឥទ្ធិពលដ៏ធំមួយលើតម្លៃនៃគម្លាតអវិជ្ជមាន m 3 ។ ក្នុងករណីនេះ ខ្សែកោងចែកចាយ (រូបភាព 2.7) គឺរាបស្មើជាងនៅខាងឆ្វេង M(X) ប្រសិនបើមេគុណ As គឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាឥទ្ធិពលនៃគម្លាតវិជ្ជមានឈ្នះ នោះខ្សែកោងនៃការចែកចាយ (រូបភាព 2.7) គឺល្អជាងនៅខាងស្តាំ។ នៅក្នុងការអនុវត្តសញ្ញានៃ asymmetry ត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងនៃខ្សែកោងចែកចាយទាក់ទងទៅនឹងរបៀប (ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។ 
អង្ករ។ ២.៧
kurtosis
ឯកត្រូវបានគេហៅថាបរិមាណ
ឯក\u003d μ 4 / σ 4 - 3 ។
សំណួរទី 24: ទំនាក់ទំនង
ទំនាក់ទំនង (ការពឹងផ្អែកជាប់ទាក់ទងគ្នា។) - ទំនាក់ទំនងស្ថិតិនៃអថេរចៃដន្យពីរ ឬច្រើន (ឬអថេរដែលអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាមានកម្រិតភាពត្រឹមត្រូវដែលអាចទទួលយកបានមួយចំនួន)។ ក្នុងករណីនេះការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃបរិមាណមួយឬច្រើនទាំងនេះត្រូវបានអមដោយការផ្លាស់ប្តូរជាប្រព័ន្ធនៅក្នុងតម្លៃនៃបរិមាណផ្សេងទៀតឬផ្សេងទៀត។ រង្វាស់គណិតវិទ្យានៃការជាប់ទាក់ទងគ្នានៃអថេរចៃដន្យពីរគឺ ទំនាក់ទំនងទំនាក់ទំនងឬមេគុណទំនាក់ទំនង (ឬ) ។ ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអថេរចៃដន្យមួយមិននាំឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរទៀងទាត់នៅក្នុងអថេរចៃដន្យមួយផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែនាំទៅរកការផ្លាស់ប្តូរលក្ខណៈស្ថិតិមួយផ្សេងទៀតនៃអថេរចៃដន្យនេះ នោះទំនាក់ទំនងបែបនេះមិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការជាប់ទាក់ទងគ្នាទេ ទោះបីជាវាជាស្ថិតិក៏ដោយ។
ជាលើកដំបូង ពាក្យ "ការជាប់ទាក់ទងគ្នា" ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងចរាចរបែបវិទ្យាសាស្ត្រដោយអ្នកបុរាណវិទ្យាជនជាតិបារាំង Georges Cuvier នៅសតវត្សទី 18 ។ គាត់បានបង្កើត "ច្បាប់នៃការជាប់ទាក់ទងគ្នា" នៃផ្នែក និងសរីរាង្គនៃសត្វមានជីវិត ដោយមានជំនួយដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្តាររូបរាងរបស់ហ្វូស៊ីលសត្វដោយមានការចោលវាតែផ្នែកមួយនៃសំណល់របស់វា។ នៅក្នុងស្ថិតិ ពាក្យ "ការជាប់ទាក់ទងគ្នា" ត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាលើកដំបូងដោយអ្នកជីវវិទូអង់គ្លេស និងជាអ្នកស្ថិតិ Francis Galton នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ។
ប្រភេទមួយចំនួននៃមេគុណទំនាក់ទំនងអាចជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន (វាក៏អាចទៅរួចដែរដែលថាមិនមានទំនាក់ទំនងស្ថិតិ - ឧទាហរណ៍សម្រាប់អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ)។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានសន្មត់ថាទំនាក់ទំនងលំដាប់តឹងរ៉ឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យលើតម្លៃនៃអថេរ នោះ ទំនាក់ទំនងអវិជ្ជមាន- ការជាប់ទាក់ទងគ្នា ដែលក្នុងនោះការកើនឡើងនៃអថេរមួយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការថយចុះនៃអថេរមួយទៀត ខណៈពេលដែលមេគុណទំនាក់ទំនងអាចជាអវិជ្ជមាន។ ទំនាក់ទំនងវិជ្ជមាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌបែបនេះ ការជាប់ទាក់ទងគ្នាដែលការកើនឡើងនៃអថេរមួយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃអថេរមួយទៀត ខណៈពេលដែលមេគុណទំនាក់ទំនងអាចជាវិជ្ជមាន។
ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកពិសេសនៃគណិតវិទ្យា ដែលត្រូវបានសិក្សាដោយសិស្សនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សាតែប៉ុណ្ណោះ។ តើអ្នកចូលចិត្តការគណនា និងរូបមន្តទេ? តើអ្នកមិនខ្លាចការរំពឹងទុកនៃអ្នកស្គាល់គ្នាជាមួយនឹងការចែកចាយធម្មតា ធាតុនៃក្រុម ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាមែនទេ? បន្ទាប់មកប្រធានបទនេះនឹងចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងសម្រាប់អ្នក។ ចូរយើងស្គាល់គំនិតជាមូលដ្ឋានសំខាន់ៗមួយចំនួននៃផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រនេះ។
ចូរយើងចងចាំមូលដ្ឋានគ្រឹះ
ទោះបីជាអ្នកចងចាំគោលគំនិតសាមញ្ញបំផុតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេក៏ដោយ កុំធ្វេសប្រហែសកថាខណ្ឌទីមួយនៃអត្ថបទ។ ការពិតគឺថាដោយគ្មានការយល់ដឹងច្បាស់លាស់អំពីមូលដ្ឋាននោះអ្នកនឹងមិនអាចធ្វើការជាមួយរូបមន្តដែលបានពិភាក្សាខាងក្រោមបានទេ។
ដូច្នេះ មានព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យខ្លះ ការពិសោធន៍ខ្លះ។ ជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពដែលបានអនុវត្ត យើងអាចទទួលបានលទ្ធផលជាច្រើន - ពួកគេខ្លះជារឿងធម្មតាជាង ខ្លះទៀតមិនសូវសាមញ្ញ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួននៃលទ្ធផលដែលទទួលបានពិតប្រាកដនៃប្រភេទមួយទៅនឹងចំនួនសរុបនៃអ្វីដែលអាចធ្វើទៅបាន។ មានតែការដឹងពីនិយមន័យបុរាណនៃគោលគំនិតនេះប៉ុណ្ណោះ អ្នកអាចចាប់ផ្តើមសិក្សាពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់។
មធ្យម
ត្រលប់មកសាលាវិញ ក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា អ្នកចាប់ផ្តើមធ្វើការជាមួយមធ្យមនព្វន្ធ។ គំនិតនេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ហើយដូច្នេះវាមិនអាចត្រូវបានគេអើពើបានទេ។ រឿងចំបងសម្រាប់យើងនៅពេលនេះគឺថាយើងនឹងជួបប្រទះវានៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យមួយ។
យើងមានលំដាប់លេខ ហើយចង់រកមធ្យមនព្វន្ធ។ អ្វីទាំងអស់ដែលត្រូវការពីយើងគឺត្រូវបូកសរុបអ្វីៗទាំងអស់ដែលមាន ហើយបែងចែកដោយចំនួនធាតុនៅក្នុងលំដាប់។ ឲ្យយើងមានលេខពី ១ ដល់ ៩ ផលបូកនៃធាតុនឹងមាន ៤៥ ហើយយើងនឹងចែកតម្លៃនេះនឹង ៩ ចម្លើយ៖ - ៥.
ការបែកខ្ញែក
នៅក្នុងពាក្យវិទ្យាសាស្រ្ត ការប្រែប្រួលគឺជាការ៉េមធ្យមនៃគម្លាតនៃតម្លៃលក្ខណៈពិសេសដែលទទួលបានពីមធ្យមនព្វន្ធ។ មួយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង D. តើត្រូវការអ្វីខ្លះដើម្បីគណនាវា? សម្រាប់ធាតុនីមួយៗនៃលំដាប់ យើងគណនាភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលមាន និងមធ្យមនព្វន្ធ និងការ៉េវា វានឹងមានតម្លៃច្រើនដូចដែលអាចមានលទ្ធផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងកំពុងពិចារណា។ បន្ទាប់យើងសង្ខេបអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលទទួលបាននិងបែងចែកដោយចំនួនធាតុនៅក្នុងលំដាប់។ ប្រសិនបើយើងមានលទ្ធផលដែលអាចមាន 5 នោះចែកនឹងប្រាំ។
ភាពខុសគ្នាក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលអ្នកត្រូវចងចាំ ដើម្បីអនុវត្តវានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យត្រូវបានកើនឡើង X ដង នោះវ៉ារ្យ៉ង់នឹងកើនឡើង X ដងនៃការ៉េ (ឧ. វាមិនដែលតិចជាងសូន្យ និងមិនអាស្រ័យលើការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃដោយតម្លៃស្មើគ្នាឡើងលើ ឬចុះក្រោម។ ដូចគ្នានេះផងដែរសម្រាប់ការសាកល្បងឯករាជ្យ ភាពខុសគ្នានៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃវ៉ារ្យ៉ង់។
ឥឡូវនេះ យើងពិតជាត្រូវពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។
ឧបមាថាយើងដំណើរការការពិសោធន៍ចំនួន 21 ហើយទទួលបានលទ្ធផល 7 ផ្សេងៗគ្នា។ យើងសង្កេតមើលពួកវានីមួយៗរៀងៗខ្លួន 1,2,2,3,4,4 និង 5 ដង។ តើអ្វីទៅជាភាពខុសគ្នា?
ដំបូងយើងគណនាមធ្យមនព្វន្ធ៖ ផលបូកនៃធាតុគឺ 21។ យើងចែកវាដោយ 7 ទទួលបាន 3 ឥឡូវនេះយើងដកលេខ 3 ពីលេខនីមួយៗក្នុងលំដាប់ដើម ការ៉េតម្លៃនីមួយៗ ហើយបូកលទ្ធផលជាមួយគ្នា។ . វាប្រែចេញ 12. ឥឡូវនេះវានៅសល់សម្រាប់ពួកយើងដើម្បីបែងចែកលេខដោយចំនួនធាតុ ហើយវានឹងហាក់បីដូចជានោះជាទាំងអស់។ ប៉ុន្តែមានការចាប់! តោះពិភាក្សាគ្នា។
អាស្រ័យលើចំនួននៃការពិសោធន៍
វាប្រែថានៅពេលគណនាបំរែបំរួល ភាគបែងអាចជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខពីរ៖ ទាំង N ឬ N-1 ។ នៅទីនេះ N គឺជាចំនួននៃការពិសោធន៍ដែលបានអនុវត្ត ឬចំនួនធាតុនៅក្នុងលំដាប់ (ដែលសំខាន់គឺដូចគ្នា)។ តើវាអាស្រ័យលើអ្វី?
ប្រសិនបើចំនួនតេស្តត្រូវបានវាស់ជារាប់រយ នោះយើងត្រូវដាក់ N ក្នុងភាគបែង ប្រសិនបើជាឯកតា នោះ N-1។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានសម្រេចចិត្តគូរព្រំដែនជានិមិត្តរូប៖ សព្វថ្ងៃនេះវារត់តាមលេខ 30។ ប្រសិនបើយើងធ្វើការពិសោធន៍តិចជាង 30 នោះយើងនឹងបែងចែកបរិមាណដោយ N-1 ហើយប្រសិនបើច្រើនបន្ទាប់មកដោយ N ។
កិច្ចការ
ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍របស់យើងនៃការដោះស្រាយបញ្ហាវ៉ារ្យ៉ង់ និងការរំពឹងទុក។ យើងទទួលបានលេខមធ្យមនៃ 12 ដែលត្រូវតែបែងចែកដោយ N ឬ N-1 ។ ចាប់តាំងពីយើងបានធ្វើការពិសោធន៍ចំនួន 21 ដែលតិចជាង 30 យើងនឹងជ្រើសរើសជម្រើសទីពីរ។ ដូច្នេះចម្លើយគឺ៖ វ៉ារ្យ៉ង់គឺ 12/2 = 2 ។
តម្លៃរំពឹងទុក
ចូរយើងបន្តទៅគំនិតទីពីរ ដែលយើងត្រូវពិចារណាក្នុងអត្ថបទនេះ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមលទ្ធផលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ថាតម្លៃលទ្ធផលក៏ដូចជាលទ្ធផលនៃការគណនាវ៉ារ្យង់ត្រូវបានទទួលតែម្តងគត់សម្រាប់កិច្ចការទាំងមូលមិនថាលទ្ធផលប៉ុន្មានដែលវាពិចារណានោះទេ។
រូបមន្តរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងយកលទ្ធផល គុណវាដោយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា បន្ថែមដូចគ្នាសម្រាប់លទ្ធផលទីពីរ ទីបី។ល។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនេះគឺងាយស្រួលគណនា។ ឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូក។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ការងារ។ មិនមែនគ្រប់បរិមាណនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេអនុញ្ញាតឱ្យប្រតិបត្តិការសាមញ្ញបែបនេះត្រូវបានអនុវត្តនោះទេ។ ចូរយើងធ្វើកិច្ចការមួយ ហើយគណនាតម្លៃនៃគោលគំនិតពីរដែលយើងបានសិក្សាក្នុងពេលតែមួយ។ លើសពីនេះទៀតយើងត្រូវបានរំខានដោយទ្រឹស្តី - វាដល់ពេលដែលត្រូវអនុវត្ត។
ឧទាហរណ៍មួយទៀត
យើងបានដំណើរការការសាកល្បងចំនួន 50 ហើយទទួលបានលទ្ធផល 10 ប្រភេទ - លេខ 0 ដល់ 9 - លេចឡើងក្នុងភាគរយផ្សេងៗគ្នា។ ទាំងនេះគឺរៀងៗខ្លួន៖ 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. សូមចាំថាដើម្បីទទួលបានប្រូបាប៊ីលីតេ អ្នកត្រូវបែងចែកតម្លៃភាគរយដោយ 100។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន 0.02; 0.1 ជាដើម។ ចូរយើងបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ និងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
យើងគណនាមធ្យមនព្វន្ធដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងចងចាំពីបឋមសិក្សា៖ ៥០/១០ = ៥។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកប្រែប្រូបាប៊ីលីតេទៅជាចំនួនលទ្ធផល "ជាបំណែកៗ" ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការរាប់។ យើងទទួលបាន 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 និង 9។ ដកមធ្យមនព្វន្ធចេញពីតម្លៃនីមួយៗដែលទទួលបាន បន្ទាប់ពីនោះយើងដាក់ការ៉េនីមួយៗនៃលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ សូមមើលពីរបៀបធ្វើវាជាមួយធាតុទីមួយជាឧទាហរណ៍៖ 1 - 5 = (-4) ។ បន្ថែមទៀត៖ (-4) * (-4) = 16. សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀត ធ្វើប្រតិបត្តិការទាំងនេះដោយខ្លួនឯង។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ នោះបន្ទាប់ពីបន្ថែមអ្វីគ្រប់យ៉ាង អ្នកនឹងទទួលបាន 90។
ចូរបន្តគណនាបំរែបំរួល និងមធ្យមដោយបែងចែក 90 ដោយ N. ហេតុអ្វីបានជាយើងជ្រើសរើស N និងមិនមែន N-1? នោះជាការត្រឹមត្រូវ ពីព្រោះចំនួននៃការពិសោធន៍ដែលបានអនុវត្តលើសពី 30។ ដូច្នេះ៖ 90/10 = 9. យើងទទួលបានការបែកខ្ញែក។ ប្រសិនបើអ្នកទទួលបានលេខផ្សេង កុំអស់សង្ឃឹម។ ភាគច្រើនទំនងជាអ្នកបានធ្វើកំហុស banal នៅក្នុងការគណនា។ ពិនិត្យមើលឡើងវិញនូវអ្វីដែលអ្នកបានសរសេរ ហើយប្រាកដថាអ្វីៗនឹងដំណើរការ។
ជាចុងក្រោយ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ យើងនឹងមិនផ្តល់ការគណនាទាំងអស់ទេ យើងនឹងសរសេរតែចំលើយដែលអ្នកអាចពិនិត្យបន្ទាប់ពីបំពេញគ្រប់នីតិវិធីដែលត្រូវការ។ តម្លៃរំពឹងទុកនឹងមាន 5.48 ។ យើងគ្រាន់តែរំលឹកពីរបៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃធាតុដំបូង: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងគ្រាន់តែគុណតម្លៃនៃលទ្ធផលដោយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។
គម្លាត
គោលគំនិតមួយទៀតដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺ គម្លាតស្តង់ដារ។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង sd ឬដោយអក្សរតូចក្រិក "sigma" ។ គំនិតនេះបង្ហាញពីរបៀបដែលតម្លៃជាមធ្យមខុសពីលក្ខណៈកណ្តាល។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា អ្នកត្រូវគណនាឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់។
ប្រសិនបើអ្នកគ្រោងការចែកចាយធម្មតា ហើយចង់ឃើញគម្លាតការ៉េដោយផ្ទាល់នៅលើវា នេះអាចត្រូវបានធ្វើក្នុងជំហានជាច្រើន។ យកពាក់កណ្តាលនៃរូបភាពទៅខាងឆ្វេង ឬស្តាំនៃរបៀប (តម្លៃកណ្តាល) គូរកាត់កែងទៅអ័ក្សផ្តេក ដូច្នេះតំបន់នៃតួលេខលទ្ធផលគឺស្មើគ្នា។ តម្លៃនៃផ្នែករវាងពាក់កណ្តាលនៃការចែកចាយ និងការព្យាករលទ្ធផលនៅលើអ័ក្សផ្តេកនឹងជាគម្លាតស្តង់ដារ។
កម្មវិធី
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីការពិពណ៌នានៃរូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ដែលបានបង្ហាញ ការគណនាបំរែបំរួល និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាមិនមែនជានីតិវិធីងាយស្រួលបំផុតតាមទស្សនៈនព្វន្ធនោះទេ។ ដើម្បីកុំឱ្យខ្ជះខ្ជាយពេលវេលាវាសមហេតុផលក្នុងការប្រើកម្មវិធីដែលប្រើក្នុងការអប់រំខ្ពស់ - វាត្រូវបានគេហៅថា "R" ។ វាមានមុខងារដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាតម្លៃសម្រាប់គោលគំនិតជាច្រើនពីស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។
ឧទាហរណ៍ អ្នកកំណត់វ៉ិចទ័រនៃតម្លៃ។ នេះត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម: វ៉ិចទ័រ<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
ទីបំផុត
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺគ្មានការដែលវាពិបាកក្នុងការគណនាអ្វីនៅពេលអនាគត។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាសំខាន់នៃការបង្រៀននៅសាកលវិទ្យាល័យ ពួកគេត្រូវបានពិចារណារួចហើយនៅក្នុងខែដំបូងនៃការសិក្សាមុខវិជ្ជានេះ។ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែខ្វះការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតសាមញ្ញទាំងនេះ និងអសមត្ថភាពក្នុងការគណនាវា សិស្សជាច្រើនភ្លាមៗចាប់ផ្តើមធ្លាក់ពីក្រោយកម្មវិធី ហើយក្រោយមកទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់ក្រីក្រនៅចុងបញ្ចប់នៃវគ្គ ដែលធ្វើឲ្យពួកគេបាត់បង់អាហារូបករណ៍។
អនុវត្តយ៉ាងហោចណាស់មួយសប្តាហ៍សម្រាប់រយៈពេលកន្លះម៉ោងក្នុងមួយថ្ងៃ ដោះស្រាយកិច្ចការដែលស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ បន្ទាប់មក លើការធ្វើតេស្តទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ អ្នកនឹងស៊ូទ្រាំនឹងឧទាហរណ៍ដោយគ្មានគន្លឹះបន្ថែម និងសន្លឹកបន្លំ។
តម្លៃបុគ្គលនីមួយៗត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយមុខងារចែកចាយរបស់វា។ ដូចគ្នានេះផងដែរដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីលក្ខណៈលេខជាច្រើនដោយអរគុណដែលវាអាចបង្ហាញលក្ខណៈសំខាន់ៗនៃអថេរចៃដន្យក្នុងទម្រង់សង្ខេប។
បរិមាណទាំងនេះជាចម្បង តម្លៃរំពឹងទុកនិង ការបែកខ្ញែក .
តម្លៃរំពឹងទុក- តម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ត្រូវបានកំណត់ថាជា។
នៅក្នុងវិធីសាមញ្ញបំផុត ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X(w)ត្រូវបានរកឃើញដូច អាំងតេក្រាលឡេបេសហ្គេសទាក់ទងនឹងរង្វាស់ប្រូបាប៊ីលីតេ រ ដើម ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ
អ្នកក៏អាចស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃផងដែរ។ អាំងតេក្រាល Lebesgueពី Xដោយការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ R Xបរិមាណ X:
កន្លែងដែលជាសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ X.
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអនុគមន៍ពីអថេរចៃដន្យ Xគឺតាមរយៈការចែកចាយ R X. ឧទាហរណ៍, ប្រសិនបើ X- អថេរចៃដន្យជាមួយតម្លៃក្នុង និង f(x)- មិនច្បាស់លាស់ បូរ៉ាល។មុខងារ X បន្ទាប់មក៖
ប្រសិនបើ ក F(x)- មុខងារចែកចាយ Xបន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺអាចតំណាងបាន។ អាំងតេក្រាលLebesgue - Stieltjes (ឬ Riemann - Stieltjes):
ខណៈពេលដែលការរួមបញ្ចូល Xក្នុងន័យអ្វី ( * ) ត្រូវគ្នាទៅនឹងភាពកំណត់នៃអាំងតេក្រាល
ក្នុងករណីជាក់លាក់ប្រសិនបើ Xមានការចែកចាយដាច់ពីគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេ x k, k=1, 2, . , និងប្រូបាប៊ីលីតេ , បន្ទាប់មក
ប្រសិនបើ Xមានការចែកចាយបន្តយ៉ាងពិតប្រាកដជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ p(x)បន្ទាប់មក
ក្នុងករណីនេះ អត្ថិភាពនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹងការបង្រួបបង្រួមដាច់ខាតនៃស៊េរី ឬអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ។
- ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងតម្លៃនេះ៖
គ- ថេរ;
- M=C.M[X]
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃតម្លៃដែលបានយកដោយចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ = ផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖
M=M[X]+M[Y]
ប្រសិនបើ Xនិង យឯករាជ្យ។
ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា៖
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក: តម្លៃរបស់វាទាំងអស់អាចត្រូវបានប្ដូរលេខដោយលេខធម្មជាតិ; ស្មើតម្លៃនីមួយៗជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេមិនសូន្យ។
1. គុណគូជាវេន៖ x ខ្ញុំនៅលើ ភី.
2. បន្ថែមផលិតផលនៃគូនីមួយៗ x i p i.
ឧទាហរណ៍, សម្រាប់ ន = 4 :
មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកជាជំហានៗ វាកើនឡើងភ្លាមៗនៅចំណុចទាំងនោះ ដែលប្រូបាប៊ីលីតេមានសញ្ញាវិជ្ជមាន។
ឧទាហរណ៍៖ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាតាមរូបមន្ត។
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា (តម្លៃមធ្យម) នៃអថេរចៃដន្យ X ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេដាច់ពីគ្នា គឺជាលេខ m = M[X]=∑x i p i ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។
ការផ្តល់សេវា. ជាមួយនឹងសេវាកម្មអនឡាញ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារត្រូវបានគណនា(សូមមើលឧទាហរណ៍) ។ លើសពីនេះទៀតក្រាហ្វនៃមុខងារចែកចាយ F(X) ត្រូវបានគ្រោងទុក។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងខ្លួនវា៖ M[C]=C , C ជាថេរ;
- M=C M[X]
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖ M=M[X]+M[Y]
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖ M = M[X] M[Y] ប្រសិនបើ X និង Y ឯករាជ្យ។
លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក
- ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងសូន្យ៖ D(c)=0។
- កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីក្រោមសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការ៉េវា៖ D (k * X) = k 2 D (X) ។
- ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X និង Y គឺឯករាជ្យ នោះវ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃបំរែបំរួល៖ D(X+Y)=D(X)+D(Y)។
- ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X និង Y គឺអាស្រ័យ៖ D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- សម្រាប់ភាពខុសគ្នា រូបមន្តគណនាមានសុពលភាព៖
D(X)=M(X 2)-(M(X)) ២
ឧទាហរណ៍។ ការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យពីរ X និង Y ត្រូវបានគេស្គាល់៖ M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6 ។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ Z=9X-8Y+7 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖ M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = ២៣.
ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែកខ្ញែក៖ D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក: តម្លៃរបស់វាទាំងអស់អាចត្រូវបានប្ដូរលេខដោយលេខធម្មជាតិ; កំណត់តម្លៃនីមួយៗនូវប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមែនជាសូន្យ។- គុណគូមួយនឹងមួយ: x i ដោយ p i ។
- យើងបន្ថែមផលិតផលនៃគូនីមួយៗ x i p i ។
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
ឧទាហរណ៍ #1 ។
| x ខ្ញុំ | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| ភី | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត m = ∑x i p i ។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត d = ∑x 2 i p i − M[x] 2 ។
ការបែកខ្ញែក D[X].
D[X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
គម្លាតស្តង់ដារ σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
ឧទាហរណ៍ #2 ។ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមានស៊េរីចែកចាយដូចខាងក្រោមៈ
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| រ | ក | 0,32 | 2ក | 0,41 | 0,03 |
ការសម្រេចចិត្ត។ តម្លៃ a ត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនង៖ Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 ឬ 0.24 = 3 a, wherece a = 0.08
ឧទាហរណ៍ #3 ។ កំណត់ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ប្រសិនបើវ៉ារ្យង់របស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ និង x 1
p 1 = 0.3; p2=0.3; p3=0.1; ទំ 4 \u003d 0.3
d(x)=12.96
ការសម្រេចចិត្ត។
នៅទីនេះអ្នកត្រូវបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកវ៉ារ្យង់ d (x)៖
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
ដែលការរំពឹងទុក m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
សម្រាប់ទិន្នន័យរបស់យើង។
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3*0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
ឬ -9/100 (x 2 -20x+96)=0
ដូច្នោះហើយ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ ហើយវានឹងមានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ។
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d ១២
យើងជ្រើសរើសមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ x 1
ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0.3; p2=0.3; p3=0.1; ទំ 4 \u003d 0.3
ការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យាគឺជាលក្ខណៈលេខដែលប្រើជាទូទៅបំផុតនៃអថេរចៃដន្យ។ ពួកគេកំណត់លក្ខណៈសំខាន់បំផុតនៃការចែកចាយ: ទីតាំងនិងកម្រិតនៃការបែកខ្ញែករបស់វា។ នៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើននៃការអនុវត្ត ការពិពណ៌នាពេញលេញ និងពេញលេញនៃអថេរចៃដន្យ - ច្បាប់នៃការចែកចាយ - មិនអាចទទួលបានទាល់តែសោះ ឬមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ ពួកវាត្រូវបានកំណត់ចំពោះការពិពណ៌នាប្រហាក់ប្រហែលនៃអថេរចៃដន្យដោយប្រើលក្ខណៈលេខ។
ការរំពឹងទុកតាមគណិតសាស្ត្រ ជារឿយៗត្រូវបានសំដៅយ៉ាងសាមញ្ញថាជាតម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ។ ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យគឺជាលក្ខណៈនៃការបែកខ្ញែក ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យជុំវិញការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក
ចូរយើងខិតទៅជិតគោលគំនិតនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ជាដំបូងបន្តពីការបកស្រាយមេកានិចនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាស់ឯកតាត្រូវបានចែកចាយរវាងចំនុចនៃអ័ក្ស x x1 , x 2 , ..., xនហើយចំនុចសម្ភារៈនីមួយៗមានម៉ាស់ដែលត្រូវគ្នានឹងវាពី ទំ1 , ទំ 2 , ..., ទំន. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅលើអ័ក្ស x ដែលកំណត់លក្ខណៈទីតាំងនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលនៃចំណុចសម្ភារៈដោយគិតគូរពីម៉ាស់របស់វា។ វាជាធម្មជាតិក្នុងការយកចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាសនៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈដូចជាចំណុចមួយ។ នេះគឺជាទម្ងន់មធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ Xដែលក្នុងនោះ abscissa នៃចំណុចនីមួយៗ xខ្ញុំបញ្ចូលជាមួយ "ទម្ងន់" ស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។ តម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យបានទទួលដូច្នេះ Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់របស់វា និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះ៖
ឧទាហរណ៍ ១បានរៀបចំឆ្នោត ឈ្នះ-ឈ្នះ។ មានការឈ្នះចំនួន 1000 ដែលក្នុងនោះ 400 គឺ 10 រូប្លិកនីមួយៗ។ 300 - 20 rubles គ្នា។ 200 - 100 rubles គ្នា។ និង 100 - 200 rubles គ្នា។ តើការឈ្នះជាមធ្យមសម្រាប់អ្នកដែលទិញសំបុត្រមួយគឺជាអ្វី?
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងនឹងរកឃើញការឈ្នះជាមធ្យម ប្រសិនបើចំនួនសរុបនៃការឈ្នះដែលស្មើនឹង 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubles ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1000 (ចំនួនសរុបនៃការឈ្នះ)។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន 50000/1000 = 50 rubles ។ ប៉ុន្តែកន្សោមសម្រាប់គណនាការចំណេញមធ្យមក៏អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖
ម៉្យាងទៀតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះចំនួននៃការឈ្នះគឺជាអថេរចៃដន្យដែលអាចទទួលយកតម្លៃ 10, 20, 100 និង 200 រូប្លិ៍។ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេស្មើនឹង 0.4 រៀងគ្នា; 0.3; 0.2; ០.១. ដូច្នេះការសងជាមធ្យមដែលរំពឹងទុកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃទំហំនៃការទូទាត់សង និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលពួកគេ។
ឧទាហរណ៍ ២អ្នកបោះពុម្ពបានសម្រេចចិត្តបោះពុម្ពសៀវភៅថ្មី។ គាត់នឹងលក់សៀវភៅនេះក្នុងតម្លៃ 280 រូប្លិ ដែលក្នុងនោះ 200 នឹងត្រូវផ្តល់ឱ្យគាត់ 50 ទៅហាងលក់សៀវភៅ និង 30 ដល់អ្នកនិពន្ធ។ តារាងផ្តល់ព័ត៌មានអំពីតម្លៃនៃការបោះពុម្ពសៀវភៅ និងលទ្ធភាពនៃការលក់សៀវភៅមួយចំនួន។
ស្វែងរកប្រាក់ចំណេញដែលរំពឹងទុករបស់អ្នកបោះពុម្ពផ្សាយ។
ការសម្រេចចិត្ត។ អថេរចៃដន្យ "ប្រាក់ចំណេញ" គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងប្រាក់ចំណូលពីការលក់ និងតម្លៃនៃការចំណាយ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើសៀវភៅមួយក្បាល 500 ច្បាប់ត្រូវបានលក់ នោះប្រាក់ចំណូលពីការលក់គឺ 200 * 500 = 100,000 ហើយតម្លៃនៃការបោះពុម្ពគឺ 225,000 រូប្លិ៍។ ដូច្នេះអ្នកបោះពុម្ពត្រូវប្រឈមនឹងការបាត់បង់ 125,000 រូប្លិ៍។ តារាងខាងក្រោមសង្ខេបតម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃអថេរចៃដន្យ - ប្រាក់ចំណេញ៖
| ចំនួន | ប្រាក់ចំណេញ xខ្ញុំ | ប្រូបាប៊ីលីតេ ទំខ្ញុំ | xខ្ញុំ ទំខ្ញុំ |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| សរុប៖ | 1,00 | 25000 |
ដូច្នេះ យើងទទួលបានការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃប្រាក់ចំណេញរបស់អ្នកបោះពុម្ពផ្សាយ៖
.
ឧទាហរណ៍ ៣មានឱកាសវាយមួយគ្រាប់ ទំ= 0.2 ។ កំណត់ការប្រើប្រាស់សំបកដែលផ្តល់នូវការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃចំនួននៃការចុចស្មើ 5 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ពីរូបមន្តរំពឹងទុកដូចគ្នាដែលយើងបានប្រើកន្លងមក យើងបង្ហាញ x- ការប្រើប្រាស់សំបក៖
.
ឧទាហរណ៍ 4កំណត់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ xចំនួននៃការវាយជាមួយការបាញ់ចំនួនបី ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយដោយការបាញ់នីមួយៗ ទំ = 0,4 .
ព័ត៌មានជំនួយ៖ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដោយ រូបមន្ត Bernoulli .
ទ្រព្យសម្បត្តិរំពឹងទុក
ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។
ទ្រព្យ ១.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងតម្លៃថេរនេះ៖
ទ្រព្យ ២.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញារំពឹងទុក៖
ទ្រព្យ ៣.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖
ទ្រព្យ ៤.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖
ទ្រព្យ ៥.ប្រសិនបើតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ Xថយចុះ (កើនឡើង) ដោយចំនួនដូចគ្នា។ ជាមួយបន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វានឹងថយចុះ (កើនឡើង) ដោយចំនួនដូចគ្នា៖
នៅពេលដែលអ្នកមិនអាចត្រូវបានកំណត់ត្រឹមតែការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។
ក្នុងករណីភាគច្រើន មានតែការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ មិនអាចកំណត់លក្ខណៈបានគ្រប់គ្រាន់នៃអថេរចៃដន្យនោះទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ Xនិង យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយច្បាប់ចែកចាយដូចខាងក្រោមៈ
| អត្ថន័យ X | ប្រូបាប៊ីលីតេ |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| អត្ថន័យ យ | ប្រូបាប៊ីលីតេ |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃបរិមាណទាំងនេះគឺដូចគ្នា - ស្មើសូន្យ៖
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការចែកចាយរបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា។ តម្លៃចៃដន្យ Xអាចយកតម្លៃដែលខុសគ្នាតិចតួចពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ហើយអថេរចៃដន្យ យអាចយកតម្លៃដែលខុសពីការរំពឹងទុកខាងគណិតវិទ្យាយ៉ាងខ្លាំង។ ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នានេះ៖ ប្រាក់ឈ្នួលជាមធ្យមមិនធ្វើឱ្យវាអាចវិនិច្ឆ័យសមាមាត្រនៃកម្មករដែលមានប្រាក់ខែខ្ពស់ និងទាបនោះទេ។ ម៉្យាងទៀត តាមការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា មនុស្សម្នាក់មិនអាចវិនិច្ឆ័យថាតើគម្លាតណាមួយពីវាទេ យ៉ាងហោចណាស់ជាមធ្យមអាចធ្វើទៅបាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ។
ការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។
ការបែកខ្ញែកអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
គម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ Xគឺជាតម្លៃនព្វន្ធនៃឫសការ៉េនៃការប្រែប្រួលរបស់វា៖
.
ឧទាហរណ៍ ៥គណនាបំរែបំរួល និងគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យដែលច្បាប់នៃការចែកចាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងតារាងខាងលើ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យដូចដែលបានរកឃើញខាងលើគឺស្មើនឹងសូន្យ។ យោងតាមរូបមន្តបំបែកសម្រាប់ អ៊ី(X)=អ៊ី(y)=0 យើងទទួលបាន៖
បន្ទាប់មកគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ Xនិង យបង្កើត
.
ដូច្នេះជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដូចគ្នា ភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ Xតូចនិងចៃដន្យណាស់។ យ- សំខាន់។ នេះគឺជាផលវិបាកនៃភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយរបស់ពួកគេ។
ឧទាហរណ៍ ៦វិនិយោគិនមានគម្រោងវិនិយោគជំនួសចំនួន ៤។ តារាងសង្ខេបទិន្នន័យអំពីប្រាក់ចំណេញដែលរំពឹងទុកនៅក្នុងគម្រោងទាំងនេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា។
| គម្រោង ១ | គម្រោង ២ | គម្រោង ៣ | គម្រោង ៤ |
| 500, ទំ=1 | 1000, ទំ=0,5 | 500, ទំ=0,5 | 500, ទំ=0,5 |
| 0, ទំ=0,5 | 1000, ទំ=0,25 | 10500, ទំ=0,25 | |
| 0, ទំ=0,25 | 9500, ទំ=0,25 |
ស្វែងរកជម្រើសនីមួយៗ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យ៉ង់ និងគម្លាតស្តង់ដារ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលបរិមាណទាំងនេះត្រូវបានគណនាសម្រាប់ជម្រើសទី 3៖
តារាងសង្ខេបតម្លៃដែលបានរកឃើញសម្រាប់ជម្រើសទាំងអស់។
ជម្មើសជំនួសទាំងអស់មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដូចគ្នា។ នេះមានន័យថា ក្នុងរយៈពេលវែង មនុស្សគ្រប់រូបមានប្រាក់ចំណូលដូចគ្នា។ គម្លាតស្តង់ដារអាចត្រូវបានបកស្រាយថាជារង្វាស់នៃហានិភ័យ - វាកាន់តែធំ ហានិភ័យនៃការវិនិយោគកាន់តែធំ។ វិនិយោគិនដែលមិនចង់បានហានិភ័យច្រើននឹងជ្រើសរើសគម្រោង 1 ព្រោះវាមានគម្លាតស្តង់ដារតូចបំផុត (0)។ ប្រសិនបើអ្នកវិនិយោគចូលចិត្តហានិភ័យ និងប្រាក់ចំណេញខ្ពស់ក្នុងរយៈពេលខ្លី នោះគាត់នឹងជ្រើសរើសគម្រោងដែលមានគម្លាតស្តង់ដារធំបំផុត - គម្រោងទី 4 ។
លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក
ចូរយើងបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែកខ្ញែក។
ទ្រព្យ ១.ការបែកខ្ញែកនៃតម្លៃថេរគឺសូន្យ៖
ទ្រព្យ ២.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាបែកខ្ញែកដោយការបំបែកវា៖
.
ទ្រព្យ ៣.បំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃតម្លៃនេះ ដែលការេនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃខ្លួនវាត្រូវបានដក៖
,
កន្លែងណា 
.
ទ្រព្យ ៤.ភាពខុសគ្នានៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃបំរែបំរួលរបស់វា៖
ឧទាហរណ៍ ៧វាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xយកតែតម្លៃពីរ៖ −3 និង 7។ លើសពីនេះ ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេស្គាល់៖ អ៊ី(X) = ៤. ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។
ការសម្រេចចិត្ត។ បញ្ជាក់ដោយ ទំប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យយកតម្លៃ x1 = −3 . បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃ x2 = 7 នឹងមាន 1 − ទំ. ចូរយើងទាញយកសមីការសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖
អ៊ី(X) = x 1 ទំ + x 2 (1 − ទំ) = −3ទំ + 7(1 − ទំ) = 4 ,
កន្លែងដែលយើងទទួលបានប្រូបាប៊ីលីតេ៖ ទំ= 0.3 និង 1 − ទំ = 0,7 .
ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ៖
| X | −3 | 7 |
| ទំ | 0,3 | 0,7 |
យើងគណនាបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យនេះដោយប្រើរូបមន្តពីលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 នៃវ៉ារ្យង់៖
ឃ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ
ឧទាហរណ៍ ៨អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xយកតែពីរតម្លៃ។ វាយកតម្លៃធំជាងនៃ 3 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.4 ។ លើសពីនេះ ភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេស្គាល់ ឃ(X) = ៦. ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ។
ឧទាហរណ៍ ៩កោដ្ឋមួយមានគ្រាប់ពណ៌ស៦ និងគ្រាប់ខ្មៅ៤ ។ បាល់ចំនួន ៣ ត្រូវបានគេយកចេញពីកោដ្ឋ។ ចំនួនបាល់ពណ៌សក្នុងចំនោមបាល់ដែលបានគូរគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X. ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។ តម្លៃចៃដន្យ Xអាចយកតម្លៃ 0, 1, 2, 3 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានគណនាពី ក្បួនគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ. ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ៖
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ទំ | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ដូច្នេះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យនេះ៖
ម(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
បំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ៖
ឃ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់
សម្រាប់អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ ការបកស្រាយមេកានិកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានឹងរក្សាបាននូវអត្ថន័យដូចគ្នា៖ ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់សម្រាប់ម៉ាស់ឯកតាដែលចែកចាយបន្តនៅលើអ័ក្ស x ជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេ f(x) ផ្ទុយទៅនឹងអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ដែលអាគុយម៉ង់មុខងារ xខ្ញុំផ្លាស់ប្តូរភ្លាមៗ សម្រាប់អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ អាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់។ ប៉ុន្តែការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺទាក់ទងទៅនឹងតម្លៃមធ្យមរបស់វាផងដែរ។
ដើម្បីស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ អ្នកត្រូវស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ . ប្រសិនបើអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេនៃអថេរចៃដន្យបន្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវាចូលទៅក្នុងអាំងតេក្រាលដោយផ្ទាល់។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះដោយការបែងចែកវា អ្នកត្រូវស្វែងរកអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេ។
មធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យបន្តត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាតំណាងដោយ ឬ .
