ទ្រឹស្តីសង្ខេប

វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange គឺជាវិធីសាស្រ្តបុរាណសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យា (ជាពិសេសប៉ោង) ។ ជាអកុសលនៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃវិធីសាស្រ្តនេះ ការលំបាកក្នុងការគណនាសំខាន់ៗអាចកើតមានឡើង ដោយធ្វើឱ្យតំបន់នៃការប្រើប្រាស់របស់វារួមតូច។ យើងពិចារណានៅទីនេះនូវវិធីសាស្ត្រ Lagrange ជាចម្បងព្រោះវាជាឧបករណ៍ដែលប្រើយ៉ាងសកម្មដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្រ្តលេខទំនើបផ្សេងៗដែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្ត។ ចំពោះមុខងារ Lagrange និង Lagrange មេគុណ ពួកវាដើរតួនាទីឯករាជ្យ និងសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងទ្រឹស្តី និងកម្មវិធីមិនត្រឹមតែនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ។

ពិចារណាបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពបុរាណ៖

ក្នុងចំណោមការរឹតបន្តឹងនៃបញ្ហានេះមិនមានវិសមភាពទេ វាមិនមានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរ ភាពមិនច្បាស់លាស់ និងមុខងារ និងជាបន្ត និងមានដេរីវេនៃផ្នែកនៃយ៉ាងហោចណាស់លំដាប់ទីពីរ។

វិធីសាស្រ្តបុរាណក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្តល់នូវប្រព័ន្ធនៃសមីការ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់) ដែលត្រូវតែពេញចិត្តដោយចំណុចដែលផ្តល់មុខងារជាមួយនឹងភាពខ្លាំងក្នុងតំបន់លើសំណុំនៃចំណុចដែលបំពេញនូវឧបសគ្គ (សម្រាប់បញ្ហាសរសេរកម្មវិធីប៉ោង ចំណុចដែលបានរកឃើញ។ នឹងជាចំណុចខ្លាំងសកលក្នុងពេលតែមួយ)

ចូរ​យើង​សន្មត​ថា​អនុគមន៍ (1) មាន​លក្ខខណ្ឌ​មូលដ្ឋាន​ខ្លាំង​នៅ​ចំណុច ហើយ​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​គឺ​ស្មើ​នឹង . បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌចាំបាច់អាចត្រូវបានសរសេរជា:

គឺជាមុខងារ Lagrange; គឺជាមេគុណ Lagrange ។

វាក៏មានលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដែលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ (3) កំណត់ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍។ សំណួរនេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅលើមូលដ្ឋាននៃការសិក្សាអំពីសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរនៃមុខងារ Lagrange ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់គឺជាចំណាប់អារម្មណ៍ខាងទ្រឹស្តី។

អ្នកអាចបញ្ជាក់នីតិវិធីខាងក្រោមសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា (1), (2) ដោយវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange៖

1) តែងមុខងារ Lagrange (4);

2) ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ Lagrange ដោយគោរពទៅនឹងអថេរទាំងអស់ ហើយស្មើនឹងពួកវា

សូន្យ ដូច្នេះប្រព័ន្ធ (3) ដែលមានសមីការនឹងត្រូវបានទទួល។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផល (ប្រសិនបើវាប្រែទៅជាអាចធ្វើទៅបាន!) ហើយដូច្នេះស្វែងរកចំណុចស្ថានីទាំងអស់នៃអនុគមន៍ Lagrange;

3) ពីចំណុចស្ថានីដែលបានយកដោយគ្មានកូអរដោណេ ជ្រើសរើសចំណុចដែលមុខងារមានលក្ខខណ្ឌក្នុងមូលដ្ឋានជ្រុលក្នុងវត្តមាននៃឧបសគ្គ (2)។ ជម្រើសនេះត្រូវបានធ្វើឡើងជាឧទាហរណ៍ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់តំបន់ជ្រុលនិយម។ ជារឿយៗការសិក្សាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់នៃបញ្ហាត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយបញ្ហា

កិច្ចការ

ក្រុមហ៊ុននេះផលិតទំនិញពីរប្រភេទក្នុងបរិមាណ និង . មុខងារចំណាយមានប្រយោជន៍ត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង។ តម្លៃនៃទំនិញទាំងនេះនៅលើទីផ្សារគឺស្មើគ្នានិងរៀងគ្នា។

កំណត់នៅបរិមាណនៃទិន្នផលដែលប្រាក់ចំណេញអតិបរមាត្រូវបានសម្រេច និងចំនួនដែលវាស្មើនឹងប្រសិនបើការចំណាយសរុបមិនលើសពី

មានបញ្ហាក្នុងការយល់ដឹងអំពីដំណើរការដំណោះស្រាយ? គេហទំព័រមានសេវាកម្មដោះស្រាយបញ្ហាដោយវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយដ៏ល្អប្រសើរក្នុងការបញ្ជាទិញ

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា

គំរូសេដ្ឋកិច្ច និងគណិតវិទ្យានៃបញ្ហា

មុខងារចំណេញ៖

ដែនកំណត់តម្លៃ៖

យើងទទួលបានគំរូសេដ្ឋកិច្ច និងគណិតវិទ្យាខាងក្រោម៖

លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមអត្ថន័យនៃភារកិច្ច

វិធីសាស្រ្តមេគុណ Lagrange

តោះបង្កើតមុខងារ Lagrange៖

យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទី 1៖

យើងបង្កើត និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក

ប្រាក់ចំណេញអតិបរមា៖

ចម្លើយ

ដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីផលិតឯកតា។ ទំនិញនៃប្រភេទទី 1 និងគ្រឿង។ ទំនិញនៃប្រភេទទី 2 ។ ក្នុងករណីនេះប្រាក់ចំណេញនឹងមានអតិបរមាហើយនឹងមាន 270 ។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការសរសេរកម្មវិធីប៉ោងរាងបួនជ្រុងដោយវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក
វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ (LPP) ដែលមានអថេរពីរត្រូវបានពិចារណា។ នៅលើឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាការពិពណ៌នាលម្អិតនៃការសាងសង់គំនូរនិងការស្វែងរកដំណោះស្រាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

គំរូគ្រប់គ្រងសារពើភ័ណ្ឌ Wilson
នៅលើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាគំរូសំខាន់នៃការគ្រប់គ្រងសារពើភ័ណ្ឌ (គំរូ Wilson) ត្រូវបានពិចារណា។ សូចនាករនៃគំរូដូចជាទំហំដ៏ល្អប្រសើរនៃការបញ្ជាទិញច្រើន ការចំណាយលើការផ្ទុកប្រចាំឆ្នាំ ចន្លោះពេលរវាងការចែកចាយ និងចំណុចនៃការដាក់ការបញ្ជាទិញត្រូវបានគណនា។

ម៉ាទ្រីសតម្លៃផ្ទាល់ និងម៉ាទ្រីសបញ្ចូល-ទិន្នផល
នៅលើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាគំរូប្រសព្វ Leontiev ត្រូវបានពិចារណា។ ការគណនាម៉ាទ្រីសនៃមេគុណនៃថ្លៃសម្ភារៈផ្ទាល់ ម៉ាទ្រីស "បញ្ចូល-ទិន្នផល" ម៉ាទ្រីសនៃមេគុណនៃការចំណាយដោយប្រយោល វ៉ិចទ័រនៃការប្រើប្រាស់ចុងក្រោយ និងទិន្នផលសរុបត្រូវបានបង្ហាញ។

ជាមួយខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្ត Lagrange គឺដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហាជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជ្រុលដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ។ ពិចារណាគំរូកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ៖

(5.2)

កន្លែងណា
មានមុខងារល្បី,

ក
ត្រូវបានផ្តល់មេគុណ។

ចំណាំថានៅក្នុងរូបមន្តនៃបញ្ហានេះ ឧបសគ្គត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមភាព ហើយមិនមានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អថេរដែលមិនអវិជ្ជមាននោះទេ។ លើសពីនេះទៀតយើងសន្មតថាមុខងារ
គឺបន្តជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកដំបូងរបស់ពួកគេ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ប្តូរលក្ខខណ្ឌ (5.2) តាមរបៀបដែលផ្នែកខាងឆ្វេងឬខាងស្តាំនៃសមភាពមាន សូន្យ:

(5.3)

ចូរយើងបង្កើតមុខងារ Lagrange ។ វារួមបញ្ចូលមុខងារគោលបំណង (5.1) និងផ្នែកខាងស្តាំនៃឧបសគ្គ (5.3) ដែលយករៀងគ្នាជាមួយមេគុណ
. វានឹងមានមេគុណ Lagrange ច្រើនដូចដែលមានឧបសគ្គនៅក្នុងបញ្ហា។

ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ (5.4) គឺជាចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃបញ្ហាដើម និងផ្ទុយមកវិញ៖ ផែនការដ៏ប្រសើរបំផុតនៃបញ្ហា (5.1)-(5.2) គឺជាចំណុចខ្លាំងសកលនៃមុខងារ Lagrange ។

ពិត​ហើយ សូម​ឲ្យ​ដំណោះស្រាយ​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ
បញ្ហា (5.1)-(5.2) បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌ (5.3) ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ចូរជំនួសផែនការ
ចូលទៅក្នុងអនុគមន៍ (5.4) និងផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃសមភាព (5.5) ។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកផែនការដ៏ល្អប្រសើរនៃបញ្ហាដើម ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការស៊ើបអង្កេតលើមុខងារ Lagrange ឱ្យបានខ្លាំងបំផុត។ អនុគមន៍​មាន​តម្លៃ​ខ្លាំង​នៅ​ចំណុច​ដែល​ដេរីវេ​ភាគ​របស់​វា​ស្មើ សូន្យ. ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានី។

យើងកំណត់ដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ (5.4)

,

.

បន្ទាប់ពីការស្មើគ្នា សូន្យនិស្សន្ទវត្ថុយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ m+nសមីការជាមួយ m+nមិនស្គាល់

,(5.6)

ក្នុងករណីទូទៅ ប្រព័ន្ធ (5.6)-(5.7) នឹងមានដំណោះស្រាយជាច្រើន ដែលរួមបញ្ចូលនូវអតិបរមា និងអប្បបរមាទាំងអស់នៃមុខងារ Lagrange ។ ដើម្បីរំលេចអតិបរិមា ឬអប្បបរមាជាសកល តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងត្រូវបានគណនានៅគ្រប់ចំណុចដែលបានរកឃើញ។ តម្លៃធំបំផុតនៃតម្លៃទាំងនេះនឹងជាអតិបរមាសកល ហើយតូចបំផុតនឹងជាអប្បបរមាសកល។ ក្នុងករណីខ្លះវាអាចប្រើបាន។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពតឹងរ៉ឹងមុខងារបន្ត (សូមមើលបញ្ហា 5.2 ខាងក្រោម)៖

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
គឺបន្ត និងខុសគ្នាពីរដងនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចស្ថានីរបស់វា។ (ទាំងនោះ។
)). បន្ទាប់មក៖

ក ) ប្រសិនបើ
, (5.8)

បន្ទាប់មក គឺជាចំណុចអតិបរមាដ៏តឹងរឹងនៃមុខងារ
;

ខ) ប្រសិនបើ
, (5.9)

បន្ទាប់មក គឺជាចំណុចអប្បបរមាដ៏តឹងរឹងនៃមុខងារ
;

ជី ) ប្រសិនបើ
,

បន្ទាប់មកសំណួរនៃវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនៅតែបើកចំហ។

លើសពីនេះទៅទៀត ដំណោះស្រាយមួយចំនួននៃប្រព័ន្ធ (5.6)-(5.7) អាចនឹងអវិជ្ជមាន។ ដែលមិនស្របនឹងអត្ថន័យសេដ្ឋកិច្ចនៃអថេរ។ ក្នុងករណីនេះលទ្ធភាពនៃការជំនួសតម្លៃអវិជ្ជមានដោយសូន្យគួរតែត្រូវបានវិភាគ។

អត្ថន័យសេដ្ឋកិច្ចនៃមេគុណ Lagrange ។តម្លៃមេគុណល្អបំផុត
បង្ហាញថាតើតម្លៃនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនឹងផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាន Z នៅពេលបង្កើនឬបន្ថយធនធាន jក្នុងមួយឯកតា, ដោយសារតែ

វិធីសាស្ត្រ Lagrange ក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែលឧបសគ្គមានវិសមភាព។ ដូច្នេះការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ

,

អនុវត្តក្នុងដំណាក់កាលជាច្រើន៖

1. កំណត់ចំនុចស្ថានីនៃអនុគមន៍គោលបំណង ដែលពួកគេដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

.

2. ពីចំនុចស្ថានី អ្នកទាំងនោះត្រូវបានជ្រើសរើសដែលសំរបសំរួលបំពេញតាមលក្ខខណ្ឌ

3. វិធីសាស្ត្រ Lagrange ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងឧបសគ្គសមភាព (5.1)-(5.2)។

4. ចំណុចដែលរកឃើញនៅដំណាក់កាលទីពីរ និងទីបីត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់អតិបរិមាសកល៖ តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងនៅចំណុចទាំងនេះត្រូវបានប្រៀបធៀប - តម្លៃធំបំផុតត្រូវគ្នាទៅនឹងផែនការដ៏ល្អប្រសើរ។

កិច្ចការ 5.1អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហា 1.3 ពិចារណាក្នុងផ្នែកទីមួយដោយវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។ ការចែកចាយធនធានទឹកដ៏ល្អប្រសើរត្រូវបានពិពណ៌នាដោយគំរូគណិតវិទ្យា

.

តែងមុខងារ Lagrange

ស្វែងរកអតិបរមាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនេះ។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​គណនា​និស្សន្ទវត្ថុ​ដោយ​ផ្នែក ហើយ​យក​វា​ទៅ​សូន្យ

,

ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាផែនការដ៏ល្អប្រសើរសម្រាប់ការចែកចាយធនធានទឹកលើតំបន់ស្រោចស្រព

, .

បរិមាណ
វាស់វែងរាប់សែនម៉ែត្រគូប។
- ចំនួនប្រាក់ចំណូលសុទ្ធក្នុងមួយទឹកស្រោចស្រពមួយរយពាន់ម៉ែត្រគូប។ ដូេចនះ រតឹមតៃម្ល 1 ម 3 ៃនទឹកធារាសាស្រ្តគឺ
កន្លែង ឯកតា

ប្រាក់ចំណូលសុទ្ធបន្ថែមអតិបរមាពីប្រព័ន្ធធារាសាស្រ្តនឹងមាន

160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=

172391.02 (គ្រឿង)

កិច្ចការ 5.2ដោះស្រាយបញ្ហាកម្មវិធីមិនលីនេអ៊ែរ

យើងតំណាងឱ្យឧបសគ្គដូចជា៖

.

ផ្សំអនុគមន៍ Lagrange និងកំណត់ដេរីវេដោយផ្នែករបស់វា។

.

ដើម្បីកំណត់ចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange គួរតែស្មើនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែករបស់វាទៅសូន្យ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

.

ពីសមីការទីមួយដូចខាងក្រោម

. (5.10)

កន្សោម ជំនួសសមីការទីពីរ

,

ពីនោះមានដំណោះស្រាយពីរសម្រាប់ :

និង
. (5.11)

ការជំនួសដំណោះស្រាយទាំងនេះទៅក្នុងសមីការទីបី យើងទទួលបាន

,
.

តម្លៃនៃមេគុណ Lagrange និងមិនស្គាល់ គណនាដោយកន្សោម (5.10)-(5.11)៖

,
,
,
.

ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានចំណុចខ្លាំងពីរ៖

;
.

ដើម្បីស្វែងយល់ថាតើចំណុចទាំងនេះជាពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមា យើងប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កម្រិតខ្លាំង (5.8)-(5.9)។ កន្សោមមុនសម្រាប់ ដែលទទួលបានពីការរឹតបន្តឹងនៃគំរូគណិតវិទ្យា យើងជំនួសមុខងារគោលបំណង

,

. (5.12)

ដើម្បីពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពតឹងរ៉ឹងខ្លាំង យើងគួរតែកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ (5.11) នៅចំណុចខ្លាំងដែលយើងបានរកឃើញ
និង
.

,
;

.

ដូច្នេះ (·)
គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃបញ្ហាដើម (
), ក (·)
- ចំណុចអតិបរមា។

ផែនការល្អបំផុត:

,
,
,

.

ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្ត

កន្លែងណា។

ហេតុផល

យុត្តិកម្មខាងក្រោមនៃវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange មិនមែនជាភស្តុតាងដ៏តឹងរឹងរបស់វាទេ។ វាមានហេតុផល heuristic ដែលជួយឱ្យយល់ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃវិធីសាស្រ្ត។

ករណី 2D

បន្ទាត់កម្រិតនិងខ្សែកោង។

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកអតិបរមានៃមុខងារមួយចំនួននៃអថេរពីរនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ . យើងនឹងសន្មត់ថាមុខងារទាំងអស់អាចខុសគ្នាជាបន្តបន្ទាប់ ហើយសមីការនេះកំណត់ខ្សែកោងរលោង សលើផ្ទៃ។ បន្ទាប់មកបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ fនៅលើខ្សែកោង ស. យើងក៏នឹងសន្មត់ថា សមិនឆ្លងកាត់ចំណុចដែលជម្រាល fប្រែទៅជា 0 ។

គូរនៅលើយន្តហោះនូវបន្ទាត់កម្រិតនៃមុខងារ f(ឧ. ខ្សែកោង) ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីការពិចារណាធរណីមាត្រថាភាពខ្លាំងនៃមុខងារ fនៅលើខ្សែកោង សវា​អាច​មាន​តែ​ចំណុច​ដែល​តង់សង់​ទៅ សហើយបន្ទាត់កម្រិតដែលត្រូវគ្នាគឺដូចគ្នា។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើខ្សែកោង សឆ្លងកាត់បន្ទាត់កម្រិត fនៅចំណុចមួយឆ្លងកាត់ (នោះគឺនៅមុំមិនសូន្យ) បន្ទាប់មកផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង សពីចំណុចដែលយើងអាចទទួលបានទាំងពីរទៅបន្ទាត់កម្រិតដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំជាងនេះ។ fនិងតូចជាង។ ដូច្នេះ ចំណុច​បែបនេះ​មិនអាច​ជា​ចំណុច​ជ្រុលនិយម​នោះទេ។

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការជ្រុលនៅក្នុងករណីរបស់យើងនឹងជាការចៃដន្យនៃតង់សង់។ ដើម្បីសរសេរវាជាទម្រង់វិភាគ សូមចំណាំថាវាស្មើនឹងភាពស្របគ្នានៃជម្រាលនៃអនុគមន៍ fនិង ψ នៅចំណុចនេះ ដោយសារវ៉ិចទ័រជម្រាលគឺកាត់កែងទៅនឹងតង់ហ្សង់ទៅបន្ទាត់កម្រិត។ លក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ដែល λ គឺជាលេខដែលមិនមែនជាសូន្យ ដែលជាមេគុណ Lagrange ។

សូមពិចារណាឥឡូវនេះ មុខងារ Lagrangeអាស្រ័យលើ និង λ :

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពខ្លាំងរបស់វាគឺសូន្យជម្រាល។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាវាត្រូវបានសរសេរជា

យើងបានទទួលប្រព័ន្ធមួយដែលសមីការពីរដំបូងគឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ក្នុងមូលដ្ឋាន (1) ហើយសមីការទីបីគឺស្មើនឹងសមីការ។ . ពីវាអ្នកអាចរកឃើញ។ ក្នុងករណីនេះចាប់តាំងពីបើមិនដូច្នេះទេជម្រាលនៃមុខងារ fបាត់នៅចំណុចមួយ។ ដែលផ្ទុយនឹងការសន្មត់របស់យើង។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាចំណុចដែលបានរកឃើញនៅក្នុងវិធីនេះអាចមិនមែនជាចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌដែលចង់បាន - លក្ខខណ្ឌដែលបានពិចារណាគឺចាំបាច់ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។ ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមដោយប្រើមុខងារជំនួយ អិលនិងបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange ដែលបានអនុវត្តនៅទីនេះសម្រាប់ករណីសាមញ្ញបំផុតនៃអថេរពីរ។ វាប្រែថាហេតុផលខាងលើអាចត្រូវបានធ្វើជាទូទៅចំពោះករណីនៃចំនួនអថេរ និងសមីការបំពានដែលបញ្ជាក់លក្ខខណ្ឌ។

នៅលើមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange មួយក៏អាចបង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់មួយចំនួនសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌ ដែលទាមទារឱ្យមានការវិភាគលើដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍ Lagrange ។

ការដាក់ពាក្យ

• វិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរដែលកើតឡើងក្នុងវិស័យជាច្រើន (ឧទាហរណ៍ក្នុងផ្នែកសេដ្ឋកិច្ច)។
• វិធីសាស្រ្តចម្បងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពគុណភាពនៃការអ៊ិនកូដទិន្នន័យអូឌីយ៉ូ និងវីដេអូសម្រាប់អត្រាប៊ីតមធ្យមដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ - ភាសាអង់គ្លេស។ ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយអត្រា).

សូម​មើល​ផង​ដែរ

តំណភ្ជាប់

• Zorich V.A.ការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី 1. - ed ។ ទី 2, ប។ និងបន្ថែម - អិមៈ FAZIS ឆ្នាំ ១៩៩៧។

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

សូមមើលអ្វីដែល "Lagrange multipliers" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

មេគុណ Lagrange- កត្តាបន្ថែមដែលបំប្លែងមុខងារគោលបំណងនៃបញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរនៃការសរសេរកម្មវិធីប៉ោង (ជាពិសេសការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ) នៅពេលដែលវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តបុរាណមួយដោយវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយកត្តា ...... វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច និងគណិតវិទ្យា

មេគុណ Lagrange- កត្តាបន្ថែមដែលបំប្លែងមុខងារគោលបំណងនៃបញ្ហាខ្លាំងនៃកម្មវិធីប៉ោង (ជាពិសេសការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ) នៅពេលដែលវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តបុរាណមួយដោយវិធីសាស្ត្រដោះស្រាយកត្តា (Lagrange method) ...... សៀវភៅណែនាំអ្នកបកប្រែបច្ចេកទេស

មេកានិច។ 1) សមីការ Lagrangian នៃប្រភេទទី 1 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចលនារបស់មេកានិច។ ប្រព័ន្ធ ដែល​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នៅ​ក្នុង​ការ​ព្យាករ​លើ​អ័ក្ស​កូអរដោណេ​ចតុកោណ ហើយ​មាន​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា ។ មេគុណ Lagrange ។ បានទទួលដោយ J. Lagrange ក្នុងឆ្នាំ 1788។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធ holonomic ... ... សព្វវចនាធិប្បាយរូបវិទ្យា

មេកានិក សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៃលំដាប់ទី 2 ដែលពិពណ៌នាអំពីចលនានៃមេកានិច។ ប្រព័ន្ធក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងដែលបានអនុវត្តចំពោះពួកគេ។ L. នៅ។ បង្កើតឡើងដោយ J. Lag range ជាពីរទម្រង់៖ L. at ។ ប្រភេទទី 1 ឬសមីការនៅក្នុងកូអរដោនេ Cartesian ជាមួយ ... ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

1) នៅក្នុង hydromechanics សមីការសម្រាប់ចលនានៃអង្គធាតុរាវ (ឧស្ម័ន) នៅក្នុងអថេរ Lagrange ដែលជាកូអរដោនេរបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក។ បានទទួលភាសាបារាំង។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ J. Lagrange (J. Lagrange; c. 1780) ។ ពី L. នៅ។ ច្បាប់នៃចលនារបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក h c ត្រូវបានកំណត់ក្នុងទម្រង់នៃភាពអាស្រ័យ ...... សព្វវចនាធិប្បាយរូបវិទ្យា

វិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange ដែលជាវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ការស្វែងរកលក្ខខណ្ឌជ្រុលនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលទាក់ទងនឹងឧបសគ្គ m ខ្ញុំប្រែប្រួលពីមួយទៅ m ។ ខ្លឹមសារ ១ ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្ត្រ ... វិគីភីឌា

អនុគមន៍ដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់មុខងារលើសលប់តាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរ និងមុខងារជាច្រើន។ ដោយមានជំនួយពី L. f. លក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមចាំបាច់ត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងបញ្ហាសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌ។ មិនចាំបាច់បង្ហាញតែអថេរ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម; L. m. m. មាននៅក្នុងការកាត់បន្ថយបញ្ហាទាំងនេះទៅជាបញ្ហាសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារជំនួយនៃអ្វីដែលគេហៅថា។ មុខងារ Lagrange ។ ចំពោះបញ្ហានៃភាពជ្រុលនៃមុខងារ f(x1,x2,...,xn) សម្រាប់ ... ...

អថេរ ដោយ​មាន​ជំនួយ​ដែល​មុខងារ Lagrange ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​នៅ​ក្នុង​ការ​សិក្សា​អំពី​បញ្ហា​សម្រាប់​កម្រិត​ខ្លាំង​តាម​លក្ខខណ្ឌ។ ការប្រើប្រាស់ L. m. និងមុខងារ Lagrange ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានលក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមចាំបាច់ក្នុងរបៀបឯកសណ្ឋានក្នុងបញ្ហាសម្រាប់លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

1) នៅក្នុង hydromechanics សមីការនៃចលនារបស់ឧបករណ៍ផ្ទុករាវដែលសរសេរនៅក្នុងអថេរ Lagrange ដែលជាកូអរដោនេនៃភាគល្អិតរបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក។ ពី L. នៅ។ ច្បាប់នៃចលនានៃភាគល្អិតនៃឧបករណ៍ផ្ទុកត្រូវបានកំណត់ក្នុងទម្រង់នៃការពឹងផ្អែកនៃកូអរដោណេទាន់ពេល ហើយយោងទៅតាមពួកគេ ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

វិធីសាស្រ្ត LAGRANGE

វិធីសាស្រ្តនៃការកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅផលបូកនៃការ៉េដែលចង្អុលបង្ហាញនៅឆ្នាំ 1759 ដោយ J. Lagrange ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

ពីអថេរ x 0 , x 1 , ... , x ន. ជាមួយនឹងមេគុណពីវាល kលក្ខណៈ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីនាំយកទម្រង់នេះទៅជា Canonical ។ ចិត្ត

ដោយប្រើការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិនមែនជាការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃអថេរ។ L. m. រួមមានដូចខាងក្រោម។ យើងអាចសន្មត់ថាមិនមែនមេគុណទាំងអស់នៃទម្រង់ (1) ស្មើនឹងសូន្យទេ។ ដូច្នេះករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន។

1) សម្រាប់អ្នកខ្លះ g,អង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់មក

ដែលទម្រង់ f 1 (x) មិនមានអថេរ x g ។ 2) ប្រសិនបើទាំងអស់។ ប៉ុន្តែ បន្ទាប់មក

ដែលទម្រង់ f 2 (x) មិនមានអថេរពីរ x gនិង x ម៉ោងទម្រង់នៅក្រោមសញ្ញាការ៉េក្នុង (4) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដោយអនុវត្តការបំប្លែងទម្រង់ (៣) និង (៤) ទម្រង់ (១) បន្ទាប់ពីចំនួនជំហានកំណត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាផលបូកនៃទម្រង់លីនេអ៊ែរឯករាជ្យ។ ដោយប្រើដេរីវេដោយផ្នែក រូបមន្ត (3) និង (4) អាចត្រូវបានសរសេរជា

ពន្លឺ។: G a n t m a h e r F ។ រ.,ទ្រឹស្តី Matrices, 2nd ed., Moscow, 1966; K ur o sh A.G., វគ្គសិក្សានៃ Higher Algebra, 11th ed., M., 1975; Alexandrov P.S., ការបង្រៀនអំពីធរណីមាត្រវិភាគ..., M., 1968 ។ I.V. Proskuryakov ។

សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។ - អិមៈសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត. I.M. Vinogradov ។ ១៩៧៧-១៩៨៥។

សូមមើលអ្វីដែល "LAGRANGE METHOD" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

វិធីសាស្រ្ត Lagrange- វិធីសាស្រ្ត Lagrange - វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាកម្មវិធីគណិតវិទ្យាតាមថ្នាក់មួយចំនួនដោយស្វែងរកចំនុច Saddle (x *, λ *) នៃអនុគមន៍ Lagrange ដែលត្រូវបានសម្រេចដោយសមីការទៅនឹងសូន្យនៃដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅ។ .. ... វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច និងគណិតវិទ្យា

វិធីសាស្រ្ត Lagrange- វិធីសាស្រ្ដសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាកម្មវិធីគណិតវិទ្យាតាមថ្នាក់មួយចំនួន ដោយស្វែងរកចំនុច Saddle (x*, ?*) នៃអនុគមន៍ Lagrange ដែលសម្រេចបានដោយសមីការទៅនឹងសូន្យនៃដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍នេះទាក់ទងនឹង xi និង ?i . សូមមើល Lagrangian ។ (x, y) = គ និង f 2 (x, y) = C 2 លើផ្ទៃ XOយ.

ពីនេះធ្វើតាមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃប្រព័ន្ធ។ សមីការមិនលីនេអ៊ែរ៖

កំណត់ (យ៉ាងហោចណាស់ប្រមាណ) ចន្លោះពេលនៃអត្ថិភាពនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ (១០) ឬសមីការ (១១)។ នៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីប្រភេទនៃសមីការរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធ, ដែននៃនិយមន័យនៃសមីការគ្នារបស់ពួកគេ, ល. ពេលខ្លះការជ្រើសរើសនៃការប្រហាក់ប្រហែលដំបូងនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានប្រើ;

កំណត់តារាងដំណោះស្រាយនៃសមីការ (11) សម្រាប់អថេរ x និង y នៅលើចន្លោះពេលដែលបានជ្រើសរើស ឬបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f 1 (x, y) = គ, និង f 2 (x, y) = C 2 (ប្រព័ន្ធ (១០)) ។

ធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មឫសប៉ាន់ស្មាននៃប្រព័ន្ធសមីការ - ស្វែងរកតម្លៃអប្បបរមាជាច្រើនពីតារាងតារាងនៃឫសសមីការ (១១) ឬកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ (១០)។

4. ស្វែងរកឫសសម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការ (10) ដោយប្រើកម្មវិធីបន្ថែម ស្វែងរកដំណោះស្រាយ។