មុខងារ Antiderivative និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការពិត 1. ការរួមបញ្ចូលគឺផ្ទុយពីភាពខុសគ្នា ពោលគឺការស្ដារឡើងវិញនូវមុខងារមួយពីដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ។ មុខងារត្រូវបានស្ដារឡើងវិញតាមរបៀបនេះ។ ច(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា បុព្វកាលសម្រាប់មុខងារ f(x).

និយមន័យ 1. មុខងារ ច(x f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេលនេះសមភាព ច "(x)=f(x) នោះគឺមុខងារនេះ។ f(x) គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ ច(x). .

ឧទាហរណ៍មុខងារ ច(x) = បាប x គឺជាសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x) = ខូស x នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូលចាប់តាំងពីតម្លៃណាមួយនៃ x (អំពើបាប x)" = (cos x) .

និយមន័យ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) គឺ​ជា​ការ​ប្រមូល​ផ្ដុំ​នៃ antiderivatives ទាំងអស់​របស់​វា​. នេះប្រើសញ្ញាណ

∫

f(x)dx

,

តើសញ្ញានៅឯណា ∫ ត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាអាំងតេក្រាល មុខងារ f(x) គឺ​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​មួយ​និង​ f(x)dx គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នា។

ដូច្នេះប្រសិនបើ ច(x) គឺជាសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្មមួយចំនួន f(x) បន្ទាប់មក

∫

f(x)dx = ច(x) +គ

កន្លែងណា គ - ថេរ (អថេរ) ។

ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃសំណុំនៃ antiderivatives នៃអនុគមន៍ជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រោមគឺសមរម្យ។ សូមឱ្យមានទ្វារមួយ (ទ្វារឈើបុរាណ) ។ មុខងាររបស់វាគឺ "ធ្វើជាទ្វារ" ។ តើទ្វារធ្វើពីអ្វី? ពីដើមឈើមួយ។ នេះមានន័យថាសំណុំនៃ antiderivatives នៃ integrand "to be a door" នោះគឺ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វា គឺជាមុខងារ "to be a tree + C" ដែល C ជាថេរ ដែលនៅក្នុងបរិបទនេះអាចបញ្ជាក់បានថាសម្រាប់ ឧទាហរណ៍ប្រភេទដើមឈើ។ ដូចជាទ្វារមួយត្រូវបានធ្វើពីឈើជាមួយនឹងឧបករណ៍មួយចំនួន ដេរីវេនៃមុខងារគឺ "បង្កើតឡើង" នៃមុខងារប្រឆាំងដេរីវេជាមួយ រូបមន្តដែលយើងរៀនដោយសិក្សាពីដេរីវេ .

បន្ទាប់មកតារាងមុខងារនៃវត្ថុទូទៅ និងបុព្វកាលដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ ("ដើម្បីជាទ្វារ" - "ដើម្បីក្លាយជាដើមឈើ", "ដើម្បីជាស្លាបព្រា" - "ដើម្បីក្លាយជាលោហៈ" ល) គឺស្រដៀងទៅនឹងតារាងនៃ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ជាមូលដ្ឋាន ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។ តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់រាយនាមមុខងារទូទៅ ដែលបង្ហាញពីអង្គបដិប្រាណដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ ជាផ្នែកមួយនៃភារកិច្ចសម្រាប់ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ដោយគ្មានការខិតខំប្រឹងប្រែងពិសេស នោះគឺយោងទៅតាមតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ នៅក្នុងបញ្ហាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ អាំងតេក្រាលត្រូវតែត្រូវបានបំប្លែងជាមុនសិន ទើបអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងបាន។

ការពិត 2. ការស្ដារមុខងារជា antiderivative មួយ យើងត្រូវយកទៅក្នុងគណនី arbitrary constant (ថេរ) គហើយដើម្បីកុំឱ្យសរសេរបញ្ជីនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុដែលមានចំនួនថេរខុសៗគ្នាពីលេខ 1 ដល់ភាពគ្មានកំណត់ អ្នកត្រូវសរសេរសំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេទីវ័រដែលមានចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត។ គដូចនេះ៖ ៥ x³+C ដូច្នេះ ថេរដែលបំពាន (ថេរ) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមនៃ antiderivative ចាប់តាំងពី antiderivative អាចជាមុខងារមួយ ឧទាហរណ៍ 5 x³+4 ឬ 5 x³+3 ហើយនៅពេលបែងចែក 4 ឬ 3 ផ្សេងគ្នា ឬបាត់ថេរផ្សេងទៀត។

យើងកំណត់បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូល: សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) ស្វែងរកមុខងារបែបនេះ ច(x), ដេរីវេគឺស្មើនឹង f(x).

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចំពោះ​មុខងារ​នេះ អង់ទីរីវេទីវ គឺជា​មុខងារ

មុខងារ ច(x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់មុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេ ច(x) គឺស្មើនឹង f(x) ឬដែលជារឿងដូចគ្នា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ច(x) គឺស្មើនឹង f(x) dx, i.e.

(2)

ដូច្នេះ អនុគមន៍គឺប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនមែនជាថ្នាំប្រឆាំងតែមួយគត់សម្រាប់ . ពួកគេក៏ជាមុខងារផងដែរ។

កន្លែងណា ជាមួយគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយភាពខុសគ្នា។

ដូច្នេះប្រសិនបើមាន antiderivatives មួយសម្រាប់មុខងារមួយ នោះសម្រាប់វាមានសំណុំនៃ antiderivatives ដែលគ្មានកំណត់ដែលខុសគ្នាដោយ summand ថេរ។ រាល់ antiderivatives សម្រាប់មុខងារមួយត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងលើ។ នេះធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្លូវការនៃការពិត 2) ។ប្រសិនបើ ក ច(x) គឺជាសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xបន្ទាប់មក antiderivative ផ្សេងទៀតសម្រាប់ f(x) នៅលើចន្លោះពេលដូចគ្នាអាចត្រូវបានតំណាងជា ច(x) + គកន្លែងណា ជាមួយគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងបង្វែរទៅតារាងនៃអាំងតេក្រាលរួចហើយ ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទី 3 បន្ទាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ យើង​ធ្វើ​បែប​នេះ​មុន​នឹង​ស្គាល់​ខ្លួន​យើង​ជាមួយ​នឹង​តារាង​ទាំង​មូល ដើម្បី​ឱ្យ​ខ្លឹមសារ​នៃ​ការ​ខាង​លើ​នេះ​ច្បាស់​លាស់។ ហើយបន្ទាប់ពីតារាង និងលក្ខណៈសម្បត្តិ យើងនឹងប្រើពួកវាទាំងស្រុងនៅពេលរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកសំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញសំណុំនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ នៅពេលនិយាយអំពីរូបមន្តពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ពេលនេះ គ្រាន់តែទទួលយកថាមានរូបមន្តបែបនេះ ហើយយើងនឹងសិក្សាតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ពេញលេញបន្ថែមទៀតបន្តិច។

1) ការអនុវត្តរូបមន្ត (7) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 3 យើងទទួលបាន

2) ការប្រើរូបមន្ត (10) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 1/3 យើងមាន

3) ចាប់តាំងពី

បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត (7) នៅ ន= -1/4 រក

នៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល ពួកគេមិនសរសេរមុខងារដោយខ្លួនឯងទេ។ fនិងផលិតផលរបស់វាដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx. នេះត្រូវបានធ្វើជាចម្បងដើម្បីបង្ហាញថាអថេរមួយណាដែល antiderivative កំពុងត្រូវបានស្វែងរក។ ឧទាហរណ៍,

, ;

នៅទីនេះក្នុងករណីទាំងពីរ អាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹង ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វានៅក្នុងករណីដែលបានពិចារណាប្រែទៅជាខុសគ្នា។ ក្នុងករណីដំបូង មុខងារនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ xហើយនៅក្នុងទីពីរ - ជាមុខងារនៃ z .

ដំណើរការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលមុខងារនោះ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកខ្សែកោង y=F(x)ហើយយើងដឹងរួចហើយថាតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចនីមួយៗរបស់វាគឺជាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) abscissa នៃចំណុចនេះ។

យោងតាមអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើខ្សែកោង y=F(x)ស្មើនឹងតម្លៃនៃដេរីវេ F"(x). ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកមុខងារបែបនេះ F(x)សម្រាប់ការដែល F"(x)=f(x). មុខងារចាំបាច់ក្នុងកិច្ចការ F(x)មានប្រភពមកពី f(x). លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺពេញចិត្តមិនមែនដោយខ្សែកោងមួយទេប៉ុន្តែដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោង។ y=F(x)- ខ្សែកោងមួយក្នុងចំណោមខ្សែកោងទាំងនេះ និងខ្សែកោងផ្សេងទៀតអាចទទួលបានពីវាដោយការបកប្រែស្របគ្នាតាមអ័ក្ស អូ.

ចូរហៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃ f(x)ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ ប្រសិនបើ ក F"(x)=f(x)បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃមុខងារ y=F(x)គឺជាខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។

ការពិត 3. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានតំណាងតាមធរណីមាត្រដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលទាំងអស់ ដូចក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។ ចម្ងាយនៃខ្សែកោងនីមួយៗពីប្រភពដើមត្រូវបានកំណត់ដោយថេរបំពាន (ថេរ) នៃការរួមបញ្ចូល គ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការពិត 4. ទ្រឹស្តីបទ 1. ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល ហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វាស្មើនឹងអាំងតេក្រាល។

ការពិត 5. ទ្រឹស្តីបទ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) ស្មើនឹងមុខងារ f(x) រហូតដល់រយៈពេលថេរ , i.e.

(3)

ទ្រឹស្តីបទ 1 និង 2 បង្ហាញថាភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។

ការពិត 6. ទ្រឹស្តីបទ 3. កត្តាថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ , i.e.

នៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ៖ នៅក្រោមអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ƒ(x) ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។(ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។ ការគណនាអាំងតេក្រាលដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស៖ ដើម្បីស្វែងរកអនុគមន៍ F (x) ដោយដឹងពីដេរីវេរបស់វា F "(x) \u003d ƒ (x) (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) មុខងារដែលចង់បាន F (x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative នៃអនុគមន៍ ƒ (x) ។

មុខងារ F(x) ត្រូវបានគេហៅថា បុព្វកាលអនុគមន៍ ƒ(x) នៅលើចន្លោះពេល (a; b) ប្រសិនបើសម្រាប់ x є (a; b) សមភាព

F " (x)=ƒ(x) (ឬ dF(x)=ƒ(x)dx) ។

ឧទាហរណ៍អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេទី y \u003d x 2, x є R, គឺជាមុខងារមួយ ចាប់តាំងពី

ជាក់ស្តែង antiderivatives ក៏នឹងមានមុខងារណាមួយផងដែរ។

ដែល C ជាថេរ ព្រោះ

ទ្រឹស្តីបទ 29. 1. ប្រសិនបើអនុគមន៍ F(x) គឺជាអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ ƒ(x) នៅលើ (a; b) នោះសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណទាំងអស់សម្រាប់ ƒ(x) ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត F(x)+ C ដែល C ជាចំនួនថេរ។

▲ អនុគមន៍ F(x)+C គឺជាអង់ទីករនៃ ƒ(x)។

ជាការពិត (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x)។

អនុញ្ញាតឱ្យ F(x) ជាមួយចំនួនផ្សេងទៀត ខុសពី F(x) អនុគមន៍ប្រឆាំង ƒ(x), i.e., Ф"(x)=ƒ(x)។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ x є (a; b) យើងមាន

ហើយនេះមានន័យថា (សូមមើល កូរ៉ូឡារី ២៥.១) នោះ។

ដែល C គឺជាចំនួនថេរ។ ដូច្នេះ Ф(х)=F(x)+С.▼

សំណុំនៃអនុគមន៍បឋមទាំងអស់ F(x)+C សម្រាប់ ƒ(x) ត្រូវបានហៅ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ ƒ(x)ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ∫ ƒ(x) dx ។

ដូច្នេះតាមនិយមន័យ

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C ។

នៅទីនេះ ƒ(x) ត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាល។, ƒ(x)dx — អាំងតេក្រាល, X - អថេររួមបញ្ចូល, ∫ -សញ្ញាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់.

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលនៃអនុគមន៍នេះ។

អាំងតេក្រាលធរណីមាត្រមិនកំណត់គឺជាក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោង "ប៉ារ៉ាឡែល" y \u003d F (x) + C (តម្លៃលេខនីមួយៗនៃ C ត្រូវគ្នាទៅនឹងខ្សែកោងជាក់លាក់នៃគ្រួសារ) (សូមមើលរូប 166)។ ក្រាហ្វនៃអង្គបដិប្រាណនីមួយៗ (ខ្សែកោង) ត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។.

តើគ្រប់មុខងារមានអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ទេ?

មានទ្រឹស្តីបទមួយដែលបញ្ជាក់ថា "រាល់មុខងារបន្តលើ (a;b) មាន antiderivative នៅចន្លោះពេលនេះ" ហើយជាលទ្ធផល អាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដែលធ្វើតាមនិយមន័យរបស់វា។

១.ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល ហើយដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

ឃ(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x) ។

ពិតហើយ d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x)។

សូមអរគុណចំពោះទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ភាពត្រឹមត្រូវនៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយភាពខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍ សមភាព

∫(3x 2 + 4) dx = x h + 4x + C

true, since (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4 ។

2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយចំនួនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអនុគមន៍នេះ និងថេរតាមអំពើចិត្ត៖

∫dF(x)=F(x)+C។

ពិតជា

3. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

α ≠ 0 គឺជាថេរ។

ពិតជា

(ដាក់ C 1 / a \u003d C ។ )

4. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍បន្តគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃអាំងតេក្រាលនៃលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍៖

អនុញ្ញាតឱ្យ F"(x)=ƒ(x) និង G"(x)=g(x)។ បន្ទាប់មក

ដែលជាកន្លែងដែល C 1 ± C 2 \u003d C ។

5. (Invariance នៃរូបមន្តរួមបញ្ចូល)។

ប្រសិនបើ ក ដែល u=φ(x) គឺជាអនុគមន៍បំពានដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុបន្ត។

▲ ទុក x ជាអថេរឯករាជ្យ ƒ(x) អនុគមន៍បន្ត និង F(x) អង់ទីកររបស់វា។ បន្ទាប់មក

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ u=φ(x) ដែល φ(x) គឺជាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់។ ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញ F(u)=F(φ(x)) ។ ដោយសារតែភាពខុសគ្នានៃទម្រង់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលដំបូងនៃមុខងារ (សូមមើលទំព័រ 160) យើងមាន

ពីទីនេះ▼

ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៅតែមានសុពលភាព មិនថាអថេររួមបញ្ចូលគឺជាអថេរឯករាជ្យ ឬមុខងារណាមួយរបស់វាដែលមានដេរីវេបន្ត។

ដូច្នេះពីរូបមន្ត ដោយជំនួស x ជាមួយ u (u = φ (x)) យើងទទួលបាន

ជាពិសេស,

ឧទាហរណ៍ 29.1 ។ស្វែងរកអាំងតេក្រាល។

ដែលជាកន្លែងដែល C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4 ។

ឧទាហរណ៍ 29.2 ។ស្វែងរកដំណោះស្រាយរួម៖

• ២៩.៣. តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មូលដ្ឋាន

ទាញយកប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថាការរួមបញ្ចូលគឺជាការច្រាសនៃភាពខុសគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានតារាងនៃអាំងតេក្រាលជាមូលដ្ឋានដោយដាក់បញ្ច្រាសរូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល (តារាងឌីផេរ៉ង់ស្យែល) និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍, ជា

d(sin u)=cos u . ឌូ

ការទទួលបាននៃរូបមន្តតារាងមួយចំនួននឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលពិចារណាលើវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗនៃការរួមបញ្ចូល។

អាំងតេក្រាលក្នុងតារាងខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលតារាង។ ពួកគេគួរតែដឹងដោយបេះដូង។ នៅក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលមិនមានច្បាប់សាមញ្ញ និងជាសកលសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេពីអនុគមន៍បឋម ដូចនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនោះទេ។ វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ (ឧ. ការរួមបញ្ចូលមុខងារ) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តដែលនាំយកអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ចង់បាន) ទៅជាតារាងមួយ។ ដូច្នេះ ចាំបាច់ត្រូវដឹងពីអាំងតេក្រាលតារាង និងអាចស្គាល់ពួកវាបាន។

ចំណាំថានៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាន អថេរសមាហរណកម្ម និងអាចសម្គាល់ទាំងអថេរឯករាជ្យ និងមុខងារនៃអថេរឯករាជ្យមួយ (យោងទៅតាមលក្ខណៈ invariance នៃរូបមន្តរួមបញ្ចូល)។

សុពលភាពនៃរូបមន្តខាងក្រោមអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយយកឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅជ្រុងខាងស្តាំ ដែលនឹងស្មើនឹងអាំងតេក្រាលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ជាឧទាហរណ៍ សុពលភាពនៃរូបមន្ត 2. អនុគមន៍ 1/u ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តសម្រាប់តម្លៃ nonzero ទាំងអស់នៃ u ។

ប្រសិនបើ u > 0 បន្ទាប់មក ln|u|=lnu បន្ទាប់មក ដូច្នេះ

ប្រសិនបើ​អ្នក<0, то ln|u|=ln(-u). Ноមធ្យោបាយ

ដូច្នេះរូបមន្ត 2 គឺត្រឹមត្រូវ។ ដូចគ្នានេះដែរ ចូរយើងពិនិត្យមើលរូបមន្ត 15៖

តារាងនៃអាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាន

មិត្ត! យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យពិភាក្សា។ ប្រសិនបើអ្នកមានមតិសូមសរសេរមកយើងនៅក្នុងមតិយោបល់។

ភារកិច្ចចម្បងនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ f'(x)ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល df=f'(x)dxមុខងារ f(x)នៅក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាល បញ្ហាច្រាសត្រូវបានដោះស្រាយ។ យោងទៅតាមមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកមុខងារបែបនេះ F(x)អ្វី F'(x)=f(x)ឬ dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx ។

ដូច្នេះ ភារកិច្ចចម្បងនៃការគណនាអាំងតេក្រាល។គឺជាមុខងារសង្គ្រោះ F(x)ដោយដេរីវេដែលស្គាល់ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃមុខងារនេះ។ ការគណនាអាំងតេក្រាលមានកម្មវិធីជាច្រើននៅក្នុងធរណីមាត្រ មេកានិច រូបវិទ្យា និងបច្ចេកវិទ្យា។ វាផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកតំបន់ បរិមាណ ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញ។ល។

និយមន័យ។ មុខងារF(x), ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់មុខងារf(x) នៅលើសំណុំ X ប្រសិនបើវាអាចខុសគ្នាសម្រាប់ណាមួយ និងF'(x)=f(x) ឬdF(x)=f(x)dx ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ការបន្តណាមួយនៅលើចន្លោះពេល [ក;b] មុខងារf(x) មាន antiderivative នៅលើផ្នែកនេះ។F(x)

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើ កF 1 (x) និងF 2 (x) គឺជាអង់ទីករពីរផ្សេងគ្នានៃមុខងារដូចគ្នា។f(x) នៅលើសំណុំ x បន្ទាប់មកពួកវាខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរពោលគឺឧ។F 2 (x)=F1x)+C ដែល C ជាថេរ.

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

និយមន័យ។ សរុបF(x)+C នៃសារធាតុប្រឆាំងមេរោគទាំងអស់។f(x) នៅលើសំណុំ X ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ហើយត្រូវបានតំណាងថា:

- (1)

នៅក្នុងរូបមន្ត (1) f(x)dxបានហៅ អាំងតេក្រាល,f(x) គឺជាអាំងតេក្រាល, x គឺជាអថេររួមបញ្ចូល,ក C គឺជាថេរនៃការរួមបញ្ចូល។

ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដែលធ្វើតាមនិយមន័យរបស់វា។

1. ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

និង .

2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយចំនួនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអនុគមន៍នេះ និងថេរតាមអំពើចិត្ត៖

3. កត្តាថេរ a (a≠0) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

4. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖

5. ប្រសិនបើ កF(x) គឺជាអង់ទីករនៃមុខងារf(x) បន្ទាប់មក៖

6 (ភាពប្រែប្រួលនៃរូបមន្តរួមបញ្ចូល) ។ រូបមន្តរួមបញ្ចូលណាមួយរក្សាទម្រង់របស់វា ប្រសិនបើអថេររួមបញ្ចូលត្រូវបានជំនួសដោយមុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរនេះ៖

កន្លែងណាu គឺជាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។

តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ចូរនាំមក ច្បាប់ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលមុខងារ។

ចូរនាំមក តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មូលដ្ឋាន។(ចំណាំថានៅទីនេះ ដូចនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល អក្សរ យូអាចត្រូវបានគេហៅថាអថេរឯករាជ្យ (u=x)និងមុខងារនៃអថេរឯករាជ្យ (u=យូ(x)).)

(n≠-1) ។ (a>0, a≠1)។ (a≠0)។ (a≠0)។ (|u|> |a|) ។(|u|< |a|).

អាំងតេក្រាល 1 - 17 ត្រូវបានគេហៅថា តារាង។

រូបមន្តខាងលើមួយចំនួននៃតារាងអាំងតេក្រាលដែលមិនមាន analogue នៅក្នុងតារាងដេរីវេ ត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយការបែងចែកផ្នែកខាងស្តាំរបស់ពួកគេ។

ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៅក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ការរួមបញ្ចូលដោយការជំនួស (ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ) ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាល។

ដែលមិនមែនជាតារាង។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តជំនួសគឺថានៅក្នុងអាំងតេក្រាលអថេរ Xជំនួសអថេរ tយោងតាមរូបមន្ត x=φ(t)កន្លែងណា dx=φ'(t)dt

ទ្រឹស្តីបទ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារx=φ(t) ត្រូវបានកំណត់ និងអាចខុសគ្នានៅលើសំណុំ T មួយចំនួន ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ X ជាសំណុំនៃតម្លៃនៃអនុគមន៍នេះ ដែលមុខងារត្រូវបានកំណត់f(x) បន្ទាប់មកប្រសិនបើនៅលើសំណុំ X មុខងារf(

អត្ថបទនេះនិយាយលម្អិតអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើគំនិតនៃអាំងតេក្រាល Riemann និង Darboux ។ ការគណនានៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយឆ្លងកាត់ដោយអរគុណចំពោះលក្ខណៈសម្បត្តិ 5 ។ នៅសល់នៃពួកវាត្រូវបានប្រើដើម្បីវាយតម្លៃកន្សោមផ្សេងៗ។

មុន​នឹង​ឆ្លង​ទៅ​លក្ខណៈ​សំខាន់​នៃ​អាំងតេក្រាល​ដែល​កំណត់ វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ប្រាកដ​ថា a មិន​លើស b ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

និយមន័យ ១

អនុគមន៍ y \u003d f (x) ដែលកំណត់សម្រាប់ x \u003d a គឺស្រដៀងនឹងសមភាពយុត្តិធម៌ ∫ a f (x) d x \u003d 0 ។

ភស្តុតាង ១

ពីទីនេះយើងឃើញថាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំណត់ស្របគ្នាគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺជាផលវិបាកនៃអាំងតេក្រាល Riemann ពីព្រោះផលបូកអាំងតេក្រាលនីមួយៗ σ សម្រាប់ភាគថាសណាមួយនៅលើចន្លោះពេល [ a ; a ] និងជម្រើសណាមួយនៃពិន្ទុ ζ i ស្មើសូន្យ ពីព្រោះ x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , ។ . . , n , ដូច្នេះយើងទទួលបានថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍អាំងតេក្រាលគឺសូន្យ។

និយមន័យ ២

សម្រាប់​អនុគមន៍​ដែល​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន​នៅ​លើ​ផ្នែក [ a ; b ] លក្ខខណ្ឌ ∫ a b f (x) d x = − ∫ b a f (x) d x ពេញចិត្ត។

ភស្តុតាង ២

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមនៃការរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្លែង នោះតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនឹងផ្លាស់ប្តូរតម្លៃទៅផ្ទុយ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានដកចេញពីអាំងតេក្រាល Riemann ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លេខរៀងនៃការបែងចែកផ្នែកចាប់ផ្តើមពីចំនុច x = b ។

និយមន័យ ៣

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x ត្រូវបានប្រើសម្រាប់អនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទ y = f (x) និង y = g (x) ដែលកំណត់លើផ្នែក [ a ; ខ]។

ភស្តុតាង ៣

សរសេរផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y = f (x) ± g (x) សម្រាប់បែងចែកជាចម្រៀកដែលមានជម្រើសនៃចំនុច ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i − x i − 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i − x i − 1 = σ f ± σ g

ដែល σ f និង σ g គឺជាផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) សម្រាប់បំបែកផ្នែក។ បន្ទាប់ពីឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៅ λ = m a x i = 1 , 2 , ។ . . , n (x i − x i − 1) → 0 យើងទទួលបាននោះ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g ។

តាមនិយមន័យរបស់ Riemann កន្សោមនេះគឺសមមូល។

និយមន័យ ៤

ការយកកត្តាថេរចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ អនុគមន៍រួមបញ្ចូលពីចន្លោះពេល [ a ; b ] ជាមួយនឹងតម្លៃបំពាននៃ k មានវិសមភាពត្រឹមត្រូវនៃទម្រង់ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ។

ភស្តុតាង ៤

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺស្រដៀងនឹងឯកសារមុន៖

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i − x i − 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i − x i − 1) = k σ f ⇒ lim → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

និយមន័យ ៥

ប្រសិនបើអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = f (x) មិនអាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះ x ជាមួយ a ∈ x , b ∈ x នោះយើងទទួលបាន ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x ។

ភស្តុតាង ៥

ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានចាត់ទុកថាមានសុពលភាពសម្រាប់ c ∈ a ; b សម្រាប់ c ≤ a និង c ≥ b ។ ភស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិពីមុន។

និយមន័យ ៦

នៅពេលដែលអនុគមន៍មួយមានសមត្ថភាពអាចរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មក វាអាចទៅរួចសម្រាប់ផ្នែកខាងក្នុងណាមួយ c ; d ∈ a ; ខ.

ភស្តុតាង ៦

ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិ Darboux៖ ប្រសិនបើយើងបន្ថែមចំណុចទៅភាគថាសដែលមានស្រាប់នៃផ្នែកមួយ នោះផលបូក Darboux ខាងក្រោមនឹងមិនថយចុះទេ ហើយផ្នែកខាងលើនឹងមិនកើនឡើងទេ។

និយមន័យ ៧

នៅពេលដែលអនុគមន៍មួយត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅលើ [ a ; b ] ពី f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x ∈ a ; b បន្ទាប់មកយើងទទួលបានថា ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ។

ទ្រព្យសម្បត្តិអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann: ផលបូកអាំងតេក្រាលណាមួយសម្រាប់ជម្រើសណាមួយនៃភាគថាសនៃផ្នែក និងពិន្ទុ ζ i ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌថា f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 គឺមិនអវិជ្ជមាន។

ភស្តុតាង ៧

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) រួមបញ្ចូលគ្នានៅលើផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកវិសមភាពខាងក្រោមត្រូវបានចាត់ទុកថាមានសុពលភាព៖

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ខ

សូមអរគុណចំពោះការអះអាងនេះ យើងដឹងថាការរួមបញ្ចូលគឺអាចទទួលយកបាន។ កូរ៉ូឡារីនេះនឹងត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិផ្សេងទៀត។

និយមន័យ ៨

សម្រាប់អនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នា y = f (x) ពីផ្នែក [ a ; b ] យើងមានវិសមភាពត្រឹមត្រូវនៃទម្រង់ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ។

ភស្តុតាង ៨

េយងមន − f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) ។ ពីទ្រព្យសម្បត្តិពីមុន យើងទទួលបានថាវិសមភាពអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលពាក្យដោយពាក្យ ហើយវាត្រូវគ្នាទៅនឹងវិសមភាពនៃទម្រង់ - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ។ វិសមភាពទ្វេនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់មួយផ្សេងទៀត៖ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ។

និយមន័យ ៩

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] សម្រាប់ g (x) ≥ 0 សម្រាប់ x ∈ a ណាមួយ ; b យើងទទួលបានវិសមភាពនៃទម្រង់ m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x ដែល m = m i n x ∈ a ; b f (x) និង M = m a x x ∈ a ; b f (x) ។

ភស្តុតាង ៩

ភ័ស្តុតាងត្រូវបានធ្វើតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ M និង m ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ y = f (x) ដែលកំណត់ពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មក m ≤ f (x) ≤ M ។ វាចាំបាច់ក្នុងការគុណវិសមភាពទ្វេដោយអនុគមន៍ y = g (x) ដែលនឹងផ្តល់តម្លៃនៃវិសមភាពទ្វេនៃទម្រង់ m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការរួមបញ្ចូលវានៅលើផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកយើងទទួលបានការអះអាងដើម្បីបញ្ជាក់។

លទ្ធផល៖ សម្រាប់ g (x) = 1 វិសមភាពក្លាយជា m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b − a) ។

រូបមន្តមធ្យមដំបូង

និយមន័យ ១០

សម្រាប់ y ​​= f (x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល [ a ; b ] ជាមួយ m = m i n x ∈ a ; b f (x) និង M = m a x x ∈ a ; b f (x) មានលេខ μ ∈ m ; M ដែលសមនឹង ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

លទ្ធផល៖ នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) បន្តពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកមានលេខបែបនេះ c ∈ a ; b ដែលបំពេញសមភាព ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

រូបមន្តទីមួយនៃតម្លៃមធ្យមក្នុងទម្រង់ទូទៅ

និយមន័យ ១១

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] ជាមួយ m = m i n x ∈ a ; b f (x) និង M = m a x x ∈ a ; b f (x) , និង g (x) > 0 សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x ∈ a ; ខ. ដូច្នេះយើងមានថាមានលេខ μ ∈ m ; M ដែលបំពេញសមភាព ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x ។

រូបមន្តតម្លៃមធ្យមទីពីរ

និយមន័យ ១២

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] ហើយ y = g (x) គឺជា monotonic បន្ទាប់មកមានលេខដែល c ∈ a ; b ដែលជាកន្លែងដែលយើងទទួលបានសមភាពស្មើភាពនៃទម្រង់ ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ភាគច្រើននៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយផ្អែកលើគោលគំនិតរបស់ Riemann និង Darboux នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងប្រាំដំបូង ដូច្នេះយើងនឹងយោងទៅលើពួកវានៅពេលចាំបាច់។ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលនៅសល់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើជាចម្បងដើម្បីវាយតម្លៃកន្សោមផ្សេងៗ។

មុនពេលបន្តទៅ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់យើងយល់ស្របថា a មិនលើសពី b ។

សម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) កំណត់សម្រាប់ x = a សមភាពគឺពិត។

នោះគឺតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដែលមានដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលដូចគ្នាគឺសូន្យ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺជាផលវិបាកនៃនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះ ផលបូកអាំងតេក្រាលនីមួយៗសម្រាប់ភាគថាសនៃចន្លោះពេល និងជម្រើសនៃចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ ចាប់តាំងពីដូច្នេះ ដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាលគឺសូន្យ។

សម្រាប់មុខងារដែលអាចបញ្ចូលបាននៅលើផ្នែកមួយ យើងមាន .

ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅពេលដែលដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមនៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានបញ្ច្រាស តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានបញ្ច្រាស។ លក្ខណសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នេះក៏ធ្វើតាមគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាល Riemann ដែរ មានតែលេខរៀងនៃផ្នែកនៃផ្នែកមួយប៉ុណ្ណោះ ដែលគួរតែចាប់ផ្តើមពីចំនុច x = b ។

សម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) អាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលមួយ។

ភស្តុតាង។

យើងសរសេរផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ សម្រាប់ភាគថាសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃផ្នែកនិងជម្រើសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃចំណុច:

កន្លែងណា និងជាផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) សម្រាប់ភាគថាសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃផ្នែករៀងគ្នា។

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៅ យើងទទួលបាននោះ តាមនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann គឺស្មើនឹងការអះអាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលកំពុងត្រូវបានបញ្ជាក់។

កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ នោះ​គឺ​សម្រាប់​អនុគមន៍​ដែល​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន​លើ​ផ្នែក y = f(x) និង​ចំនួន​បំពាន k នោះ​សមភាព .

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នេះគឺពិតជាស្រដៀងនឹងវត្ថុមុន៖


អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះ X និង ហើយ​បន្ទាប់​មក .

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងពីរ និងសម្រាប់ ឬ .

ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិពីមុននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅលើផ្នែកមួយ នោះវាក៏អាចរួមបញ្ចូលនៅលើផ្នែកខាងក្នុងណាមួយផងដែរ។

ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលបូក Darboux៖ ប្រសិនបើពិន្ទុថ្មីត្រូវបានបន្ថែមទៅភាគថាសដែលមានស្រាប់នៃផ្នែកនោះ ផលបូក Darboux ខាងក្រោមនឹងមិនថយចុះទេ ហើយផ្នែកខាងលើនឹងមិនកើនឡើងទេ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មិនអាចរួមបញ្ចូលបាននៅលើចន្លោះពេល និងសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់ នោះ .

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann៖ ផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់ជម្រើសណាមួយនៃចំណុចបំបែកនៃផ្នែក និងចំណុចនៅនឹងមិនមែនជាអវិជ្ជមាន (មិនវិជ្ជមាន)។

ផលវិបាក។

សម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖


សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមានន័យថាការរួមបញ្ចូលវិសមភាពគឺអាចទទួលយកបាន។ យើង​នឹង​ប្រើ​កូរ៉ូឡារី​នេះ​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ដូច​ខាង​ក្រោម។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) បញ្ចូលទៅក្នុងផ្នែក បន្ទាប់មកវិសមភាព .

ភស្តុតាង។

វាច្បាស់ណាស់។ . នៅក្នុងទ្រព្យសម្បត្តិមុន យើងបានរកឃើញថាវិសមភាពអាចរួមបញ្ចូលពាក្យតាមពាក្យ ដូច្នេះវាគឺពិត . វិសមភាពទ្វេនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា .

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល និងសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់ បន្ទាប់មក កន្លែងណា និង .

ភស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ដោយសារ m និង M គឺជាតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅលើ segment នោះ . ការគុណវិសមភាពទ្វេដោយអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមាន y = g(x) នាំយើងទៅរកវិសមភាពទ្វេខាងក្រោម។ ការរួមបញ្ចូលវានៅលើផ្នែក យើងមកដល់ការអះអាងដើម្បីបញ្ជាក់។

ផលវិបាក។

ប្រសិនបើយើងយក g(x) = 1 នោះវិសមភាពកើតឡើង .

រូបមន្តដំបូងសម្រាប់មធ្យម។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) បញ្ចូលគ្នានៅលើផ្នែក , និង បន្ទាប់មកមានលេខបែបនេះ។

ផលវិបាក។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) បន្តនៅលើផ្នែក នោះមានលេខដូចនោះ។ .

រូបមន្តទីមួយនៃតម្លៃមធ្យមក្នុងទម្រង់ទូទៅ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល , និង និង g(x) > 0 សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់។ បន្ទាប់មកមានលេខបែបនេះ .

រូបមន្តទីពីរសម្រាប់មធ្យម។

ប្រសិនបើនៅក្នុងផ្នែកមួយ អនុគមន៍ y = f(x) គឺអាចរួមបញ្ចូលបាន ហើយ y = g(x) គឺជាឯកតា នោះមានលេខដែលសមភាព .