រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ quadratic បន្ថែមលើរូបមន្តឫស មានទំនាក់ទំនងមានប្រយោជន៍ផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់នូវរូបមន្ត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។ បន្ទាប់​មក យើង​ពិចារណា​ទ្រឹស្តីបទ​មួយ​ទៅ​ទ្រឹស្តីបទ​របស់​វីតា។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍លក្ខណៈបំផុត។ ជាចុងក្រោយ យើងសរសេររូបមន្ត Vieta ដែលកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងឫសពិត សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n និងមេគុណរបស់វា។

ការរុករកទំព័រ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta, ការបង្កើត, ភស្តុតាង

ពីរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 នៃទម្រង់ ដែល D = b 2 −4 a c ទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = −b/a, x 1 x 2 = គ/ក។ លទ្ធផលទាំងនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា:

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើ ក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ b និង a ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ និងផលគុណនៃ ឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ c និង a ពោលគឺ .

ភស្តុតាង។

យើងនឹងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Vieta តាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖ យើងនឹងចងក្រងផលបូក និងផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលគេស្គាល់ បន្ទាប់មកយើងនឹងបំប្លែងកន្សោមលទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាពួកវាស្មើនឹង −b /a និង c/a រៀងគ្នា។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងផលបូកនៃឫស, តែងវា។ ឥឡូវនេះយើងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងរួមមួយ យើងមាន។ នៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគលទ្ធផល បន្ទាប់ពីនោះ : . ទីបំផុតបន្ទាប់ពី 2 យើងទទួលបាន។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េ។ ចូរបន្តទៅទីពីរ។

យើងចងក្រងផលនៃឫសនៃសមីការ quadratic : ។ យោងតាមក្បួនគុណនៃប្រភាគ ផលិតផលចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជា។ ឥឡូវនេះ យើងគុណនឹងតង្កៀបដោយតង្កៀបនៅក្នុងភាគយក ប៉ុន្តែវាលឿនជាងក្នុងការបង្រួមផលិតផលនេះដោយ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ, ដូច្នេះ។ បន្ទាប់មក ដោយចងចាំ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់។ ហើយដោយសាររូបមន្ត D=b 2 −4 ac·c ត្រូវគ្នាទៅនឹងការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ដូច្នេះ b 2 −4·a·c អាចត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងប្រភាគចុងក្រោយជំនួសឱ្យ D យើងទទួលបាន។ បន្ទាប់ពីបើកតង្កៀប និងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌដូច យើងមកដល់ប្រភាគ ហើយការកាត់បន្ថយរបស់វាត្រឹម 4·a ផ្តល់ឱ្យ។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលនៃឫស។

ប្រសិនបើយើងលុបចោលការពន្យល់ នោះភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta នឹងមានទម្រង់សង្ខេបមួយ៖
,
.

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសតែមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសមីការក្នុងករណីនេះមានឫសដូចគ្នាពីរ នោះសមភាពពីទ្រឹស្តីបទ Vieta ក៏កាន់ដែរ។ ពិតប្រាកដណាស់ សម្រាប់ D=0 ឫសនៃសមីការការ៉េគឺ បន្ទាប់មក និង ហើយចាប់តាំងពី D=0 នោះគឺ b 2 −4·a·c=0 មកពីណា b 2 = 4·a·c បន្ទាប់មក។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតទាក់ទងនឹងសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ (ជាមួយនឹងមេគុណខ្ពស់បំផុតស្មើនឹង 1) នៃទម្រង់ x 2 +p·x+q=0 ។ ពេលខ្លះវាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់សមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះ ដែលមិនកំណត់ភាពទូទៅ ចាប់តាំងពីសមីការការ៉េណាមួយអាចត្រូវបានជំនួសដោយសមីការសមមូលដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយលេខមិនសូន្យ a ។ នេះគឺជារូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

ទ្រឹស្តីបទ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + p x + q \u003d 0 គឺស្មើនឹងមេគុណ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះគឺ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

រូបមន្តទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន បង្ហាញថាប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 នោះទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = − p , x 1 x 2 = q ។ ម៉្យាងទៀត ពីទំនាក់ទំនងជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q វាដូចខាងក្រោម x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 +p x + q = 0 ។ ម្យ៉ាង​ទៀត ការ​អះអាង​ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង​ទ្រឹស្តីបទ​របស់​វីតា គឺ​ពិត។ យើងបង្កើតវាតាមទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់វា។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើលេខ x 1 និង x 2 គឺដូចនោះ x 1 + x 2 = −p និង x 1 x 2 = q នោះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x + q=0 .

ភស្តុតាង។

បន្ទាប់ពីជំនួសមេគុណ p និង q ក្នុងសមីការ x 2 +p x + q = 0 នៃកន្សោមរបស់ពួកគេតាមរយៈ x 1 និង x 2 វាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល។

យើងជំនួសលេខ x 1 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការលទ្ធផល យើងមានសមភាព x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0ដែលសម្រាប់ x 1 និង x 2 គឺជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 0=0 ចាប់តាំងពី x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដែលមានន័យថា x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការសមមូល x 2 +p x+q=0 ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ជំនួសលេខ x 2 ជំនួស x បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាព x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. នេះគឺជាសមីការត្រឹមត្រូវពីព្រោះ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 2 ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការផងដែរ។ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដូច្នេះហើយ សមីការ x 2 +p x + q = 0 ។

នេះ​បញ្ចប់​ភស្តុតាង​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ​សន្ទនា​ទៅ​ទ្រឹស្តីបទ​របស់​វីតា។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta

វាដល់ពេលដែលត្រូវនិយាយអំពីការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta និងទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់វា។ នៅក្នុងផ្នែករងនេះ យើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតាបំផុតមួយចំនួន។

យើងចាប់ផ្តើមដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ វាងាយស្រួលប្រើវាដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលេខទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនិងភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាបន្ទាប់ពីនោះសុពលភាពនៃទំនាក់ទំនងត្រូវបានពិនិត្យ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះពេញចិត្ត នោះដោយសារទ្រឹស្តីបទដែលនិយាយទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនពេញចិត្ត នោះលេខទាំងនេះមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េទេ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍។

តើគូមួយណានៃលេខ 1) x 1 = −5, x 2 = 3, ឬ 2) ឬ 3) គឺជាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េ 4 x 2 −16 x+9=0?

ការសម្រេចចិត្ត។

មេគុណនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 4 x 2 −16 x+9=0 គឺ a=4 , b=−16 , c=9 ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េត្រូវតែស្មើនឹង −b/a នោះគឺ 16/4=4 ហើយផលគុណនៃឫសត្រូវតែស្មើនឹង c/a ពោលគឺ 9 /៤.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខក្នុងគូនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងបី ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងតម្លៃដែលទើបតែទទួលបាន។

ក្នុងករណីទីមួយ យើងមាន x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពីលេខ 4 ដូច្នេះការផ្ទៀងផ្ទាត់បន្ថែមមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តទេប៉ុន្តែដោយទ្រឹស្តីបទ ការបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងអាចសន្និដ្ឋានភ្លាមៗថាលេខគូទីមួយមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ .

ចូរបន្តទៅករណីទីពីរ។ នៅទីនេះ នោះគឺលក្ខខណ្ឌទីមួយគឺពេញចិត្ត។ យើងពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពី 9/4 ។ ដូច្នេះ គូទីពីរនៃលេខមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការ quadratic ទេ។

ករណីចុងក្រោយនៅសល់។ នៅទីនេះ និង។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះលេខទាំងនេះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖

ទ្រឹស្តីបទដែលជាទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់ Vieta អាចត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្តដើម្បីជ្រើសរើសឫសនៃសមីការការ៉េ។ ជាធម្មតា ឫសចំនួនគត់នៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ត្រូវបានជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីក្នុងករណីផ្សេងទៀត វាពិបាកធ្វើណាស់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គេប្រើការពិតដែលថា ប្រសិនបើផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរនៃសមីការការ៉េ យកដោយសញ្ញាដក ហើយផលគុណនៃលេខទាំងនេះស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះលេខទាំងនេះគឺ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ចូរយើងយកសមីការការ៉េ x 2 −5 x + 6 = 0 ។ ដើម្បីឱ្យលេខ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការនេះ សមភាពពីរ x 1 +x 2 \u003d 5 និង x 1 x 2 \u003d 6 ត្រូវតែពេញចិត្ត។ វានៅសល់ដើម្បីជ្រើសរើសលេខបែបនេះ។ ក្នុងករណីនេះ វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើ៖ លេខបែបនេះគឺ 2 និង 3 ចាប់តាំងពី 2 + 3 = 5 និង 2 3 = 6 ។ ដូច្នេះ 2 និង 3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។

ទ្រឹស្ដីបទធៀបទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺងាយស្រួលជាពិសេសសម្រាប់ការស្វែងរកឫសទីពីរនៃសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយនៅពេលដែលឫសណាមួយត្រូវបានគេដឹង ឬច្បាស់រួចហើយ។ ក្នុងករណីនេះឫសទីពីរត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនងណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 512 x 2 −509 x−3=0 ។ នៅទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាឯកតាគឺជាឫសគល់នៃសមីការ ព្រោះផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េនេះគឺសូន្យ។ ដូច្នេះ x 1 = 1 ។ ជាឧទាហរណ៍ ឫសទីពីរ x 2 អាចត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនង x 1 x 2 = c/a ។ យើងមាន 1 x 2 = −3/512 , ពេលណា x 2 = −3/512 ។ ដូច្នេះ យើងបានកំណត់ឫសទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ៖ ១ និង −៣/៥១២។

វាច្បាស់ណាស់ថាការជ្រើសរើសឫសគឺចាំបាច់តែនៅក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដើម្បីស្វែងរកឫស អ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េតាមរយៈអ្នករើសអើង។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីបទ ដែលបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺការចងក្រងនៃសមីការការ៉េសម្រាប់ឫស x 1 និង x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគណនាផលបូកនៃឫសដែលផ្តល់មេគុណនៃ x ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងផលិតផលនៃឫសដែលផ្តល់រយៈពេលឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍។

សរសេរសមីការការ៉េដែលមានឫសជាលេខ −11 និង 23 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

សម្គាល់ x 1 = −11 និង x 2 = 23 ។ យើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខទាំងនេះ៖ x 1 + x 2 \u003d 12 និង x 1 x 2 \u003d −253 ។ ដូច្នេះ លេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណទីពីរ -12 និងពាក្យឥតគិតថ្លៃ -253 ។ នោះគឺ x 2 −12·x−253=0 គឺជាសមីការដែលចង់បាន។

ចម្លើយ៖

x 2 −12 x−253=0 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ តើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទាក់ទងទៅនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 យ៉ាងដូចម្តេច? នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលពាក់ព័ន្ធចំនួនពីរ៖

• ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ q គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះពួកវាទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរគឺអវិជ្ជមាន។
• ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ q គឺជាលេខអវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះសញ្ញារបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា ម្យ៉ាងវិញទៀត ឫសមួយគឺវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺអវិជ្ជមាន។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះធ្វើតាមរូបមន្ត x 1 x 2 =q ក៏ដូចជាច្បាប់សម្រាប់គុណលេខវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន និងលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេ។

ឧទាហរណ៍។

R គឺវិជ្ជមាន។ យោងតាមរូបមន្តបែងចែកយើងរកឃើញ D = (r + 2) 2 −4 1 (r−1) = r 2 +4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8 តម្លៃនៃកន្សោម r 2 +8 គឺវិជ្ជមានសម្រាប់ r ពិតណាមួយ ដូច្នេះ D> 0 សម្រាប់ r ពិតប្រាកដណាមួយ។ ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​ដើម​មាន​ឫស​ពីរ​សម្រាប់​តម្លៃ​ពិត​ណាមួយ​នៃ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ r ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថានៅពេលដែលឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃឫសគឺខុសគ្នា នោះផលិតផលរបស់ពួកគេគឺអវិជ្ជមាន ហើយដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ផលិតផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ដូច្នេះហើយ យើងចាប់អារម្មណ៍លើតម្លៃទាំងនោះនៃ r ដែលពាក្យឥតគិតថ្លៃ r−1 គឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ r ដែលចាប់អារម្មណ៍យើង យើងត្រូវ ដោះស្រាយវិសមភាពលីនេអ៊ែរ r−1<0 , откуда находим r<1 .

ចម្លើយ៖

នៅ r<1 .

រូបមន្ត Vieta

ខាងលើ យើងបាននិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ និងវិភាគទំនាក់ទំនងដែលវាអះអាង។ ប៉ុន្តែមានរូបមន្តដែលភ្ជាប់ឫសពិត និងមេគុណមិនត្រឹមតែសមីការបួនជ្រុងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសមីការគូប សមីការបួនជ្រុង និងជាទូទៅ។ សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n. ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Vieta.

យើងសរសេររូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n នៃទម្រង់ ខណៈពេលដែលយើងសន្មត់ថាវាមានឫសពិត x 1, x 2, ..., x n (ក្នុងចំនោមពួកវាអាចមានដូចគ្នា)៖

ទទួលបានរូបមន្ត Vieta អនុញ្ញាត ទ្រឹស្តីបទកត្តាកត្តាពហុនាមក៏ដូចជានិយមន័យនៃពហុនាមស្មើគ្នា តាមរយៈសមភាពនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់។ ដូច្នេះពហុនាម និងការពង្រីករបស់វាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់គឺស្មើគ្នា។ ការបើកតង្កៀបនៅក្នុងផលិតផលចុងក្រោយ និងស្មើមេគុណដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្ត Vieta ។

ជាពិសេស សម្រាប់ n=2 យើងធ្លាប់ស្គាល់រូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។

សម្រាប់សមីការគូប រូបមន្ត Vieta មានទម្រង់

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត Vieta មានអ្វីដែលហៅថាបឋម ពហុនាមស៊ីមេទ្រី.

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
• ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed ។ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - M. : ការត្រាស់ដឹង, 2010.- 368 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-022771-1 ។

ខ្លឹមសារនៃបច្ចេកទេសនេះគឺស្វែងរកឫសគល់ដោយគ្មានជំនួយពីអ្នករើសអើង។ សម្រាប់សមីការនៃទម្រង់ x2 + bx + c = 0 ដែលមានឫសផ្សេងគ្នាពិតប្រាកដ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរគឺពិត។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីមួយនិយាយថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការនេះគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណនៃអថេរ x (ក្នុងករណីនេះវាគឺជា b) ប៉ុន្តែមានសញ្ញាផ្ទុយ។ តាមទស្សនៈ វាមើលទៅដូចនេះ៖ x1 + x2 = −b ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរមិនត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយផលបូកទៀតទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងផលិតផលនៃឫសទាំងពីរដូចគ្នា។ ផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងមេគុណឥតគិតថ្លៃ i.e. គ. ឬ x1 * x2 = គ។ ឧទាហរណ៍ទាំងពីរនេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជួយសម្រួលដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង ប៉ុន្តែមានដែនកំណត់មួយ។ សមីការបួនជ្រុងដែលឫសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើបច្ចេកទេសនេះត្រូវតែកាត់បន្ថយ។ នៅក្នុងសមីការខាងលើសម្រាប់មេគុណ a មួយមុន x2 គឺស្មើនឹងមួយ។ សមីការណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្រដៀងគ្នាដោយបែងចែកកន្សោមដោយមេគុណទីមួយ ប៉ុន្តែប្រតិបត្តិការនេះមិនតែងតែសមហេតុផលទេ។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងគួរចងចាំពីរបៀបដែលយោងទៅតាមប្រពៃណី វាជាទម្លាប់ក្នុងការរកមើលឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ឫសទីមួយ និងទីពីរត្រូវបានរកឃើញគឺ៖ x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2 ។ ជាទូទៅបែងចែកដោយ 2a ប៉ុន្តែដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ ទ្រឹស្តីបទអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែល a=1 ប៉ុណ្ណោះ។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ នេះមានន័យថា x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b ។

ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ផលិតផលនៃឫសដែលមិនស្គាល់: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4 ។ នៅក្នុងវេន D = b2-4c (ម្តងទៀតជាមួយ a=1) ។ វាប្រែថាលទ្ធផលគឺ: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c ។

ពីភស្តុតាងសាមញ្ញខាងលើ មានតែការសន្និដ្ឋានមួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចទាញបាន៖ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុង។

រូបមន្តទីពីរ និងភស្តុតាង

ទ្រឹស្តីបទ Vieta មានការបកស្រាយមួយទៀត។ ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ វាមិនមែនជាការបកស្រាយទេ ប៉ុន្តែជាការនិយាយ។ ការពិតគឺថាប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌដូចគ្នាត្រូវបានបំពេញដូចនៅក្នុងករណីដំបូង: មានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នានោះទ្រឹស្តីបទអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងរូបមន្តផ្សេងគ្នា។

សមភាពនេះមើលទៅដូចនេះ៖ x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ P(x) ប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ x1 និង x2 នោះវាអាចត្រូវបានសរសេរជា P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) ។ ក្នុងករណីដែល P មានសញ្ញាប័ត្រទីពីរ ហើយនេះពិតជាអ្វីដែលកន្សោមដើមមើលទៅដូចនេះ R គឺជាលេខសំខាន់ ពោលគឺ 1. សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ហេតុផលដែលសមភាពនឹងមិនមាន។ មេគុណ x2 នៅពេលបើកតង្កៀបមិនគួរលើសពីមួយទេ ហើយកន្សោមគួរតែនៅតែការ៉េ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសាកល្បងឫសគល់ដែលបានរកឃើញរួចហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកបានរកឃើញឫស អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) ដើម្បីគណនាតម្លៃ \(p\ ) និង \\ ( q ) ។ ហើយប្រសិនបើពួកវាប្រែជាដូចគ្នាទៅនឹងសមីការដើម នោះឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើ ដោះស្រាយសមីការ \(x^2+x-56=0\) និងទទួលបានឫស៖ \(x_1=7\), \(x_2=-8\) ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើយើងមានកំហុសក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយដែរឬទេ។ ក្នុងករណីរបស់យើង \(p=1\) និង \(q=-56\) ។ តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងពីរបានបញ្ចូលគ្នា ដែលមានន័យថា យើងបានដោះស្រាយសមីការបានត្រឹមត្រូវ។

ការធ្វើតេស្តនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្ទាល់មាត់។ វានឹងចំណាយពេល 5 វិនាទី ហើយជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសឆោតល្ងង់។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស

ប្រសិនបើ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) បន្ទាប់មក \(x_1\) និង \(x_2\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ \ (x^2+px+q=0\) ។

ឬតាមរបៀបសាមញ្ញ៖ ប្រសិនបើអ្នកមានសមីការនៃទម្រង់ \(x^2+px+q=0\) បន្ទាប់មកដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end (cases)\) អ្នកនឹងរកឃើញឫសរបស់វា។

សូមអរគុណចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចរកឃើញឫសនៃសមីការការ៉េបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ជាពិសេសប្រសិនបើឫសទាំងនេះមាន។ ជំនាញនេះមានសារៈសំខាន់ព្រោះវាចំណេញពេលវេលាច្រើន។

ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការ \(x^2-5x+6=0\) ។

ការសម្រេចចិត្ត ៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស យើងទទួលបានថាឫសបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\) ។
សូមមើលសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ \(x_1 \cdot x_2=6\) ។ តើ​លេខ​ពីរ​អាច​រលាយ​ទៅ​ជា \(6\)? នៅលើ \(2\) និង \(3\), \(6\) និង \(1\) ឬ \(-2\) និង \(-3\) និង \(-6\) និង \(- មួយ\) ហើយគូណាដែលត្រូវជ្រើសរើស សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធនឹងប្រាប់៖ \(x_1+x_2=5\)។ \(2\) និង \(3\) គឺស្រដៀងគ្នា ព្រោះ \(2+3=5\) ។
ចម្លើយ ៖ \(x_1=2\), \(x_2=3\) ។

ឧទាហរណ៍ . ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ច្រាសរកឫសនៃសមីការការ៉េ៖
ក) \(x^2-15x+14=0\); ខ) \(x^2+3x-4=0\); គ) \(x^2+9x+20=0\); ឃ) \\(x^2-88x+780=0\) ។

ការសម្រេចចិត្ត :
ក) \(x^2-15x+14=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(14\) រលាយទៅជា? \(2\) និង \(7\), \(-2\) និង \(-7\), \(-1\) និង \(-14\), \(1\) និង \(14\ ) តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(15\)? ចម្លើយ៖ \(1\) និង \(14\) ។

ខ) \(x^2+3x-4=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(-4\) រលាយ? \(-2\) និង \(2\), \(4\) និង \(-1\), \(1\) និង \(-4\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៣\)? ចម្លើយ៖ \(១\) និង \(-៤\) ។

គ) \(x^2+9x+20=0\) – តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(20\) រលាយ? \(4\) និង \(5\), \(-4\) និង \(-5\), \(2\) និង \(10\), \(-2\) និង \(-10\) ), \(-20\) និង \(-1\), \(20\) និង \(1\) ។ តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​បន្ថែម​ដល់ \(-៩\)? ចម្លើយ៖ \(-៤\) និង \(-៥\) ។

ឃ) \(x^2-88x+780=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(780\) រលាយ? \(390\) និង \(2\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? ទេ តើ \(780\) មានមេគុណអ្វីទៀត? \(78\) និង \(10\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? បាទ។ ចម្លើយ៖ \(78\) និង \(10\) ។

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងពាក្យចុងក្រោយទៅជាកត្តាដែលអាចកើតមានទាំងអស់ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ)។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើផលបូករបស់ពួកគេផ្តល់ឱ្យ \(-p\) ដែរឬទេ។

សំខាន់!ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងទ្រឹស្តីបទសន្ទនាដំណើរការតែជាមួយ ពោលគឺមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\) ស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើដំបូងយើងមានសមីការមិនកាត់បន្ថយ នោះយើងអាចកាត់បន្ថយបានដោយគ្រាន់តែបែងចែកដោយមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\)។

ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ \(2x^2-4x-6=0\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយយើងចង់ប្រើទ្រឹស្តីបទមួយរបស់ Vieta ។ ប៉ុន្តែយើងមិនអាចទេ ព្រោះមេគុណមុន \(x^2\) ស្មើនឹង \(2\)។ ចូរកម្ចាត់វាដោយបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយ \(2\) ។

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\\(x^2-2x-3=0\)

រួចរាល់។ ឥឡូវនេះយើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទទាំងពីរ។

ចម្លើយចំពោះសំណួរដែលគេសួរញឹកញាប់

សំណួរ៖ តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta តើអ្នកអាចដោះស្រាយបានទេ?
ចម្លើយ៖ ជាអកុសលទេ។ ប្រសិនបើមិនមានចំនួនគត់នៅក្នុងសមីការ ឬសមីការមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់ នោះទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នឹងមិនអាចជួយបានទេ។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើ រើសអើង . ជាសំណាងល្អ 80% នៃសមីការក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់។

មុខងារបួនជ្រុង។

អនុគមន៍ដែលផ្តល់ដោយរូបមន្ត y = ax2 + bx + c ដែល x និង y ជាអថេរ ហើយ a, b, c ត្រូវបានផ្តល់លេខ ដោយមិនស្មើនឹង 0 ។
បានហៅ មុខងារបួនជ្រុង

ការជ្រើសរើសការ៉េពេញ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការបួនជ្រុង លក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាព និងលេខរបស់វា។

គឺជាការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ។

ទ្រឹស្តីបទផ្ទាល់ និងបញ្ច្រាសរបស់ Vieta ។

ការបំបែកត្រីកោណការ៉េទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន

x 1 និង x 2 - ឫសនៃត្រីកោណការ៉េx 2 + ភីច + q. បន្ទាប់មក trinomial នេះត្រូវបាន decomposed ទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរដូចខាងក្រោម:x 2 + ភីច + q = (x - x 1) (x - x 2).

ភស្តុតាង។ ជំនួសដោយ

ទំនិង qការបញ្ចេញមតិរបស់ពួកគេតាមរយៈx 1 និង x 2 ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុម៖

x 2 + ភីច + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

សមីការ​ការ៉េ។ គ្រោងត្រីកោណការ៉េ

ប្រភេទសមីការ

ត្រូវបានគេហៅថាសមីការការ៉េ។ លេខ D = b 2 − 4ac គឺជាការរើសអើងនៃសមីការនេះ។
ប្រសិនបើ ក

បន្ទាប់មកលេខ

គឺជាឫស (ឬដំណោះស្រាយ) នៃសមីការការ៉េ។ ប្រសិនបើ D = 0 នោះឫសស្របគ្នា៖

ប្រសិនបើ D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
រូបមន្តត្រឹមត្រូវ៖

- រូបមន្ត Vieta; ក
ax 2 + bx + c \u003d a (x − x 1) (x − x 2) -
រូបមន្តកត្តាកត្តា។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ការ៉េ (ត្រីកោណមាត្រ) y \u003d ax 2 + bx + c គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ទីតាំងរបស់ប៉ារ៉ាបូឡា អាស្រ័យលើសញ្ញានៃមេគុណ a និង ឌី បែងចែកត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។


លេខ x 1 និង x 2 នៅលើអ័ក្ស x គឺជាឫសនៃសមីការការ៉េ ax 2 + bx + + c \u003d 0; កូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា (ចំណុច A) ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់។

ចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយអ័ក្ស y មានកូអរដោនេ (0; គ) ។
ដូចជាបន្ទាត់ត្រង់ និងរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូឡាបែងចែកយន្តហោះជាពីរផ្នែក។ នៅក្នុងផ្នែកមួយក្នុងចំណោមផ្នែកទាំងនេះ កូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់បំពេញវិសមភាព y > ax 2 + bx + c ហើយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតគឺផ្ទុយ។ សញ្ញាវិសមភាពនៅក្នុងផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសនៃយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយការស្វែងរកវានៅចំណុចមួយចំនួននៅក្នុងផ្នែកនៃយន្តហោះនេះ។
ពិចារណាពីគោលគំនិតនៃតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡា (ឬរង្វង់)។ បន្ទាត់ y - kx + 1 នឹង​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​តង់សង់​ទៅ​ប៉ារ៉ាបូឡា (ឬ​រង្វង់) ប្រសិនបើ​វា​មាន​ចំណុច​រួម​មួយ​ជាមួយ​នឹង​ខ្សែ​កោង​នេះ។


នៅចំណុចនៃទំនាក់ទំនង M(x; y) សម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា សមភាព kx + 1 = ax 2 + bx + c ត្រូវបានបំពេញ (សម្រាប់រង្វង់សមភាព (x − x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) 2 - R 2) ។ សមីការការរើសអើងនៃសមីការការ៉េលទ្ធផលទៅសូន្យ (ចាប់តាំងពីសមីការត្រូវតែមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់) យើងមកដល់លក្ខខណ្ឌសម្រាប់គណនាមេគុណនៃតង់សង់។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ចូរ​កំណត់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ
(1) .
បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណដែលយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ។ ផលិតផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖
;
.

កំណត់ចំណាំអំពីឫសច្រើន។

ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការ (1) គឺសូន្យ នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។ ប៉ុន្តែ ដើម្បី​ជៀសវាង​ការ​បង្កើត​ទម្រង់​ស្មុគស្មាញ វា​ត្រូវ​បាន​ទទួល​យក​ជា​ទូទៅ​ថា​នៅ​ក្នុង​ករណី​នេះ សមីការ (1) មាន​ឫស​ច្រើន ឬ​ស្មើ​ពីរ៖
.

ភស្តុតាងមួយ។

ចូរយើងស្វែងរកឫសនៃសមីការ (១)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ៖
;
;
.

ស្វែងរកផលបូកនៃឫស៖
.

ដើម្បីស្វែងរកផលិតផលយើងអនុវត្តរូបមន្ត៖
.
បន្ទាប់មក

.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភស្តុតាងពីរ

ប្រសិនបើលេខ និងជាឫសគល់នៃសមីការ quadratic (1) បន្ទាប់មក
.
យើងបើកតង្កៀប។

.
ដូច្នេះ សមីការ (១) នឹងមានទម្រង់៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (១) យើងរកឃើញ៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស

សូមឱ្យមានលេខតាមអំពើចិត្ត។ បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
,
កន្លែងណា
(2) ;
(3) .

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់ Vieta

ពិចារណាសមីការការ៉េ
(1) .
យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើ និង , បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការ (1)។

ជំនួស (2) និង (3) ទៅ (1)៖
.
យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖
;
;
(4) .

ជំនួសក្នុង (4):
;
.

ជំនួសក្នុង (4):
;
.
សមីការត្រូវបានបំពេញ។ នោះគឺលេខគឺជាឫសនៃសមីការ (1) ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញ

ឥឡូវពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ
(5) ,
កន្លែងណា និងជាលេខមួយចំនួន។ និង។

យើងបែងចែកសមីការ (5) ដោយ៖
.
នោះគឺយើងទទួលបានសមីការខាងលើ
,
កន្លែងណា; .

បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

ចូរ​កំណត់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ
.
បន្ទាប់មកផលបូកនិងផលនៃឫសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការគូប

ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫសនៃសមីការគូប។ ពិចារណាសមីការគូប
(6) ,
ដែលជាកន្លែងដែល , , គឺជាលេខមួយចំនួន។ និង។
ចូរបែងចែកសមីការនេះដោយ៖
(7) ,
កន្លែងណា , , ។
សូមឱ្យ , , ជាឫសគល់នៃសមីការ (7) (និងសមីការ (6)) ។ បន្ទាប់មក

.

ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការ (៧) យើងរកឃើញ៖
;
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការដឺក្រេទី 1

ដូចគ្នាដែរ អ្នកអាចរកឃើញទំនាក់ទំនងរវាងឫស , , ... , , សម្រាប់សមីការនៃសញ្ញាបត្រទី
.

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការសញ្ញាបត្រទី n មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
;
;
;

.

ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តទាំងនេះ យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
បន្ទាប់មកយើងយកមេគុណនៅ , , , ... , ហើយប្រៀបធៀបពាក្យទំនេរ។

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។
សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ Nikolsky, M.K. Potapov et al ។ , ពិជគណិត: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 នៃស្ថាប័នអប់រំ, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ការអប់រំ, 2006 ។