មុំរវាងយន្តហោះ

ចូរយើងពិចារណាប្លង់ពីរ α 1 និង α 2 ដែលផ្តល់ឲ្យរៀងគ្នាដោយសមីការ៖

នៅក្រោម ជ្រុងរវាងយន្តហោះពីរ យើងមានន័យថាមួយនៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះទាំងនេះ។ វាច្បាស់ណាស់ថាមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា និងប្លង់ α 1 និង α 2 គឺស្មើនឹងមួយនៃមុំ dihedral ដែលនៅជាប់គ្នាដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ឬ . នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល . ដោយសារតែ និង បន្ទាប់មក

.

ឧទាហរណ៍។កំណត់មុំរវាងយន្តហោះ x+2y-3z+4=0 និង 2 x+3y+z+8=0.

លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះពីរ។

ប្លង់ពីរ α 1 និង α 2 គឺស្របគ្នាប្រសិនបើវ៉ិចទ័រធម្មតា និងស្របគ្នា ដូច្នេះហើយ .

ដូច្នេះ យន្តហោះពីរគឺស្របគ្នាទៅវិញទៅមក ប្រសិនបើមេគុណនៅកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នាគឺសមាមាត្រ៖

ឬ

លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះ។

វាច្បាស់ណាស់ថា ប្លង់ពីរគឺកាត់កែង ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វាកាត់កែង ហើយដូច្នេះ ឬ .

នៅក្នុងវិធីនេះ, ។

ឧទាហរណ៍។

ដោយផ្ទាល់ក្នុងលំហ។

សមីការវ៉ិចទ័រដោយផ្ទាល់។

សមីការ​ប៉ារ៉ាមេត​ផ្ទាល់

ទីតាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងលំហគឺត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយបញ្ជាក់ចំណុចថេរណាមួយរបស់វា។ ម 1 និងវ៉ិចទ័រស្របទៅនឹងបន្ទាត់នេះ។

វ៉ិចទ័រដែលស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានគេហៅថា ណែនាំវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់នេះ។

ដូច្នេះសូមឱ្យត្រង់ លីត្រឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ម 1 (x 1 , y 1 , z 1) ដេកលើបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។

ពិចារណាចំណុចដែលបំពាន M(x,y,z)នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខនោះ។ .

វ៉ិចទ័រ និង​ជា​បន្ទាត់​ជាប់ ដូច្នេះ​មាន​ចំនួន​បែប​នេះ។ tតើមេគុណនៅឯណា tអាចយកតម្លៃលេខណាមួយអាស្រ័យលើទីតាំងនៃចំណុច មនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ កត្តា tត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ កំណត់វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច ម 1 និង មរៀងៗខ្លួន តាមរយៈ និង យើងទទួលបាន។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រសមីការបន្ទាត់ត្រង់។ វាបង្ហាញថាតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនីមួយៗ tត្រូវគ្នាទៅនឹងវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចមួយចំនួន មដេកលើបន្ទាត់ត្រង់។

យើងសរសេរសមីការនេះក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ។ បាន​កត់​សម្គាល់​ឃើញ​ថា , និងពីទីនេះ

សមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រសមីការបន្ទាត់ត្រង់។

នៅពេលផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tការផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេ x, yនិង zនិងចំណុច មផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

សមីការ Canonical ផ្ទាល់

អនុញ្ញាតឱ្យ ម 1 (x 1 , y 1 , z 1) - ចំនុចមួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រ, និង គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វា។ ជាថ្មីម្តងទៀត យកចំណុចដែលបំពានលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ M(x,y,z)ហើយពិចារណាវ៉ិចទ័រ។

វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រ និងជាគូ ដូច្នេះកូអរដោនេរៀងៗខ្លួនត្រូវតែសមាមាត្រ

– Canonicalសមីការបន្ទាត់ត្រង់។

ចំណាំ ១.ចំណាំថាសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់អាចទទួលបានពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយការលុបបំបាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t. ជាការពិតពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលយើងទទួលបាន ឬ .

ឧទាហរណ៍។សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ នៅក្នុងវិធីប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

បញ្ជាក់ ដូច្នេះ x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

ចំណាំ ២.អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេមួយ ឧទាហរណ៍ អ័ក្ស គោ. បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់គឺកាត់កែង គោ, ដូច្នេះ, ម=0. អាស្រ័យហេតុនេះ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់យកទម្រង់

ការលុបបំបាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចេញពីសមីការ tយើងទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីនេះផងដែរ យើងយល់ព្រមក្នុងការសរសេរជាផ្លូវការសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់ . ដូច្នេះ ប្រសិនបើភាគបែងនៃប្រភាគមួយគឺសូន្យ នោះមានន័យថាបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នា។

ដូចគ្នានេះដែរសមីការ Canonical ត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស គោនិង អូឬអ័ក្សប៉ារ៉ាឡែល អុក.

ឧទាហរណ៍។

សមីការទូទៅ បន្ទាត់ផ្ទាល់ជាបន្ទាត់នៃអន្តរការីនៃយន្តហោះពីរ

តាមរយៈបន្ទាត់ត្រង់នីមួយៗក្នុងលំហ ឆ្លងកាត់ចំនួនយន្តហោះគ្មានកំណត់។ ណាមួយនៃពួកគេទាំងពីរប្រសព្វគ្នាកំណត់វានៅក្នុងលំហ។ ដូច្នេះ សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ទាំង​ពីរ​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ពិចារណា​រួម​គ្នា​គឺ​ជា​សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​នេះ។

ជាទូទៅ ប្លង់មិនស្របគ្នាណាមួយដែលផ្តល់ដោយសមីការទូទៅ

កំណត់បន្ទាត់ប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅត្រង់។

ឧទាហរណ៍។

បង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ

ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់មួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំណុចទាំងពីររបស់វា។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺជ្រើសរើសចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយប្លង់កូអរដោនេ។ ឧទាហរណ៍ចំណុចប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ xOyយើងទទួលបានពីសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយសន្មត់ z= 0:

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងរកឃើញចំណុច ម 1 (1;2;0).

ស្រដៀងគ្នានេះដែរសន្មត់ y= 0 យើងទទួលបានចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយយន្តហោះ xOz:

ពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ មួយអាចបន្តទៅសមីការ Canonical ឬ parametric របស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវរកចំណុចមួយចំនួន ម 1 នៅលើបន្ទាត់និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់។

កូអរដោនេចំណុច ម 1 យើងទទួលបានពីប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះ ដោយផ្តល់ឱ្យមួយនៃកូអរដោណេនូវតម្លៃបំពាន។ ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅ សូមចំណាំថាវ៉ិចទ័រនេះត្រូវតែកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតាទាំងពីរ និង . ដូច្នេះសម្រាប់វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រអ្នកអាចយកផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតា៖

.

ឧទាហរណ៍។ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ ទៅទម្រង់ Canonical ។

ស្វែងរកចំណុចនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជ្រើសរើសកូអរដោណេមួយក្នុងចំណោមកូអរដោណេតាមអំពើចិត្ត ឧទាហរណ៍។ y= 0 និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលកំណត់បន្ទាត់មានកូអរដោណេ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រទិសដៅនឹងត្រង់

. អាស្រ័យហេតុនេះ លីត្រ: .

មុំរវាងសិទ្ធិ

ជ្រុងរវាងបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ យើងនឹងហៅមុំដែលនៅជាប់គ្នាដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលគូសតាមរយៈចំណុចបំពានដែលស្របគ្នានឹងទិន្នន័យ។

សូមឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ៖

ជាក់ស្តែងមុំφរវាងបន្ទាត់អាចត្រូវបានយកជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេនិង . ចាប់តាំងពីពេលនោះមក យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រដែលយើងទទួលបាន

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងយន្តហោះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការសាងសង់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ ប្រសិនបើចំណុចពីរនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះត្រូវបានគេស្គាល់ ឬប្រសិនបើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះត្រូវបានគេស្គាល់។ ចូរយើងបង្ហាញវិធីសាស្រ្តសម្រាប់បំប្លែងសមីការក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទៅជាទម្រង់ Canonical និងទូទៅ។

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ អិលនៅលើយន្តហោះត្រូវបានតំណាងដោយរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

(1)

កន្លែងណា x 1 , y 1 កូអរដោនេនៃចំណុចមួយចំនួន ម 1 នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ អិល. វ៉ិចទ័រ q={ម, ទំ) គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ អិល, tគឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួន។

ចំណាំថានៅពេលសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ វ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់មិនគួរជាវ៉ិចទ័រសូន្យទេ ពោលគឺយ៉ាងហោចណាស់កូអរដោនេមួយនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំ qត្រូវតែខុសពីសូន្យ។

ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ដែលផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (1) វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tតម្លៃពីរផ្សេងគ្នា, គណនា xនិង yហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់តាមចំនុចទាំងនេះ។ នៅ t=0 យើងមានចំណុចមួយ។ ម 1 (x 1 , y 1) នៅ t=1 យើងទទួលបានចំណុចមួយ។ ម 2 (x 1 +ម, y 1 +ទំ).

ដើម្បីចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ អិលវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការមានចំណុចនៅលើបន្ទាត់ អិលនិងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ ឬចំណុចពីរដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ អិល. ក្នុងករណីដំបូង ដើម្បីបង្កើតសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ អ្នកត្រូវបញ្ចូលកូអរដោនេនៃចំនុច និងវ៉ិចទ័រទិសដៅទៅក្នុងសមីការ (1)។ ក្នុងករណីទី 2 ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ q={ម, ទំ) ការគណនាភាពខុសគ្នានៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃចំនុច ម 1 និង ម 2: ម=x 2 −x 1 , ទំ=y 2 −y 1 (រូបទី 1) ។ លើសពីនេះ ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីទីមួយ ជំនួសកូអរដោណេនៃចំនុចមួយ (វាមិនមានបញ្ហាមួយណាទេ) និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ qបន្ទាត់ត្រង់ក្នុង (1) ។

ឧទាហរណ៍ 1. បន្ទាត់មួយឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ម=(3,−1) និងមានវ៉ិចទ័រទិសដៅ q=(−៣, ៥)។ បង្កើតសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់។

ដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីបង្កើតសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច និងវ៉ិចទ័រទិសដៅទៅជាសមីការ (1)៖

ចូរធ្វើឱ្យសមីការលទ្ធផលសាមញ្ញ៖

ពីកន្សោម (3) យើងអាចសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះមួយ:

នាំយកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះទៅជាទម្រង់ Canonical ។

ដំណោះស្រាយ៖ បង្ហាញប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tតាមរយៈអថេរ xនិង y:

(5)

ពីកន្សោម (5) យើងអាចសរសេរបាន។

សមីការនៅក្នុងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នីមួយៗនៃប្រភាគទៅនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួន t:

យើងទទួលបានសមីការដែលបង្ហាញពីកូអរដោនេបច្ចុប្បន្ននៃចំណុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t.

ដូច្នេះ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ។

ទុកពីរចំណុច M 1 (x1,y1,z1)និង M 2 (x2,y2,z2). សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរត្រូវបានទទួលតាមរបៀបដូចគ្នានឹងសមីការស្រដៀងគ្នានៅលើយន្តហោះ។ ដូច្នេះ យើងផ្តល់ទម្រង់នៃសមីការនេះភ្លាមៗ។

បន្ទាត់ត្រង់ត្រង់ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

ប្រសិនបើយើងពិចារណាប្លង់មិនស្របគ្នាពីរ នោះចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេនឹងជាបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រធម្មតា។ និង non-collinear ។

ខាងក្រោមនេះ នៅពេលពិចារណាឧទាហរណ៍ យើងនឹងបង្ហាញវិធីមួយដើម្បីបំប្លែងសមីការបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាសមីការ Canonical ។

5.4 មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ។ លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរ។

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរក្នុងលំហ គឺជាមុំណាមួយដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលគូសតាមរយៈចំណុចបំពានដែលស្របគ្នានឹងទិន្នន័យ។

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ Canonical របស់ពួកគេ។

សម្រាប់មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ យើងនឹងយកមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅ។

និង

លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេ ហើយនោះគឺទៅសមភាពទៅសូន្យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន: ឬក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ៖ .

លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលក្ខខណ្ឌនៃភាពប៉ារ៉ាឡែលនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេនិង

5.5 ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។

សូមឱ្យសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

និងយន្តហោះ។ មុំរវាងបន្ទាត់ និងប្លង់នឹងជាមុំដែលនៅជាប់គ្នាទាំងពីរដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ (រូបភាព 5.5)។

រូបភាព 5.5

ប្រសិនបើបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនោះ វ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះគឺជាប់គ្នា។ ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រ collinear

នៅក្នុងករណីនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងយន្តហោះ វ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេដែលបានបង្ហាញខាងលើគឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនិងយន្តហោះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ; ទាំងនោះ។ ផលិតផលចំនុចរបស់ពួកគេគឺសូន្យ ឬក្នុងទម្រង់សម្របសម្រួល៖ .

ខាង​ក្រោម​នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​នៃ​ការ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​ទាក់​ទង​នឹង​ប្រធាន​បទ​ជំពូក​ទី ៥។

ឧទាហរណ៍ 1៖

សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A (1,2,4) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរប្រើសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

ជាចំនុចមួយ យើងយកចំនុច A (1,2,4) ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់តាមលក្ខខណ្ឌ។

ដោយដឹងពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ យើងដឹងពីវ៉ិចទ័រស្របនឹងបន្ទាត់។

ដោយ​សារ​តែ​តាម​លក្ខខណ្ឌ បន្ទាត់​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​យន្តហោះ​ដែល​ចង់​បាន វ៉ិចទ័រ​ទិស​អាច​ត្រូវ​បាន​យក​ជា​វ៉ិចទ័រ​ធម្មតា​របស់​យន្តហោះ។

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះក្នុងទម្រង់៖

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

ឧទាហរណ៍ 2៖

ស្វែងរកនៅលើយន្តហោះ 4x-7y+5z-20=0ចំណុច P ដែល OP ធ្វើមុំស្មើគ្នាជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។

ដំណោះស្រាយ៖

តោះបង្កើតគំនូរព្រាង។ (រូបភាព 5.6)

នៅ

រូបភាព 5.6

ចំណុចទទេ Р មានកូអរដោនេ។ ដោយសារវ៉ិចទ័របង្កើតមុំដូចគ្នាជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ នោះកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺស្មើគ្នាទៅវិញទៅមក

ចូរយើងស្វែងរកការព្យាករណ៍នៃវ៉ិចទ័រ៖

បន្ទាប់មកកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល។

ពីសមភាពនៃកូស៊ីនុសទិសដៅ សមភាពដូចខាងក្រោមៈ

x p \u003d y p \u003d z ទំ

ដោយសារចំនុច P ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ ការជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុចនេះទៅក្នុងសមីការនៃយន្តហោះ ប្រែវាទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

4x ទំ −7x ទំ +5x ទំ −20=0

2x p \u003d ២០

x p \u003d ១០

រៀងគ្នា៖ y r=10; z ទំ=10.

ដូច្នេះចំនុចដែលចង់បាន P មានកូអរដោនេ P (10; 10; 10)

ឧទាហរណ៍ 3៖

ផ្តល់ពីរពិន្ទុ A (2, -1, -2) និង B (8, -7.5) ។ ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច B កាត់កែងទៅផ្នែក AB ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា យើងប្រើសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

ជាចំនុចមួយ យើងប្រើចំនុច B (8, -7.5) ហើយជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ វ៉ិចទ័រ។ ចូរយើងស្វែងរកការព្យាករណ៍នៃវ៉ិចទ័រ៖

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះក្នុងទម្រង់៖

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

ឧទាហរណ៍ 4៖

ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្ស OY ហើយឆ្លងកាត់ចំនុច K(1,-5,1) និង M(3,2,-2)។

ដំណោះស្រាយ៖

ដោយសារយន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្ស OY យើងនឹងប្រើសមីការមិនពេញលេញនៃយន្តហោះ។

Ax+Cz+D=0

ដោយសារចំនុច K និង M ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ យើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌពីរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ មេគុណ A និង C នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ D ។

យើងជំនួសមេគុណដែលរកឃើញទៅក្នុងសមីការមិនពេញលេញនៃយន្តហោះ៖

ចាប់តាំងពីពេលនោះមកយើងកាត់បន្ថយ D:

ឧទាហរណ៍ 5៖

ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរប្រើសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ 3 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច M, K, R ជាទីមួយ ទីពីរ និងទីបី យើងទទួលបាន៖

ពង្រីកកត្តាកំណត់តាមខ្សែទី 1 ។

ឧទាហរណ៍ ៦៖

រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ 3x+5y-7z-21=0

ដំណោះស្រាយ៖

តោះធ្វើគំនូរព្រាង (រូបភាព ៥.៧)

រូបភាព 5.7

យើងសម្គាល់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ P 2 និងយន្តហោះដែលចង់បាន P 2 ។ ពីសមីការនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យР 1 យើងកំណត់ការព្យាករណ៍នៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះР 1 ។

វ៉ិចទ័រអាចផ្លាស់ទីទៅយន្តហោះ P 2 ដោយមធ្យោបាយនៃការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យន្តហោះ P 2 កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ P 1 ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ P 2 ។ .

ចូរយើងស្វែងរកការព្យាករណ៍នៃវ៉ិចទ័រដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះР 2៖

ឥឡូវនេះយើងមានវ៉ិចទ័រពីរហើយដេកនៅក្នុងយន្តហោះ R 2 ។ ជាក់ស្តែង វ៉ិចទ័រ ស្មើនឹងផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ ហើយនឹងកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ R 2 ព្រោះវាកាត់កែងទៅ ហើយដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វាទៅនឹងប្លង់ R 2។

វ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយការព្យាករណ៍របស់ពួកគេ ដូច្នេះ៖

បន្ទាប់​មក យើង​ប្រើ​សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​មួយ​ដែល​កាត់​កែង​ទៅនឹង​វ៉ិចទ័រ។ ជាចំនុចមួយ អ្នកអាចយកចំនុចណាមួយនៃ M 1 ឬ M 2 ឧទាហរណ៍ M 1 (8, -3.1); ជាវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះР 2 យើងយក .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

ឧទាហរណ៍ ៧៖

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានកំណត់ដោយចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ។ ស្វែងរកសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់។

ដំណោះស្រាយ៖

យើងមានសមីការក្នុងទម្រង់៖

ត្រូវការស្វែងរកចំណុចមួយ។ x 0, y 0, z 0) ដែលតាមរយៈបន្ទាត់ត្រង់ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅឆ្លងកាត់។

យើងជ្រើសរើសកូអរដោនេមួយតាមអំពើចិត្ត។ ឧទាហរណ៍, z=1បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ៖

ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញចំណុចមួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលចង់បាន (2,0,1)។

ក្នុងនាមជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បាន យើងយកផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និង ដែលជាវ៉ិចទ័រធម្មតាចាប់តាំងពី ដែលមានន័យថាស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលចង់បាន។

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មានការព្យាករ។ ការប្រើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ:

ដូច្នេះសមីការ Canonical ដែលចង់បានមានទម្រង់៖

ឧទាហរណ៍ ៨៖

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ 2x+3y+3z-8=0

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងសរសេរសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

ចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃតែមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t. ដើម្បីស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងប្លង់ យើងជំនួសកន្សោមទៅក្នុងសមីការនៃយន្តហោះ x, y, zតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំណុចដែលចង់បាន

ចំណុចប្រសព្វដែលចង់បានមានកូអរដោនេ (1; 1; 1) ។

ឧទាហរណ៍ ៩៖

ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

តោះធ្វើគំនូរព្រាង (រូបភាព ៥.៩)

រូបភាព 5.9

ពីសមីការបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយយើងកំណត់ការព្យាករណ៍នៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។ យើងរកឃើញការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះ P ហើយយកចំនុច និងពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ M 1 (1, -1,2) និង M 2 (0,1, -2) ។

បាឋកថាលេខ ៧

យន្តហោះ និងបន្ទាត់ក្នុងលំហ

សាស្រ្តាចារ្យ Dymkov M.P.

1. សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់

អនុញ្ញាតឱ្យចំណុច M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយវ៉ិចទ័រ s = (l ,m ,n ) ដេកលើ

បន្ទាត់នេះ (ឬស្របនឹងវា) ។ វ៉ិចទ័រ s ត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ ណែនាំវ៉ិចទ័រត្រង់.

លក្ខខណ្ឌទាំងនេះកំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហ។ តោះស្វែងរកនាង

សមីការ។ យកចំណុចបំពាន M (x, y, z) នៅលើបន្ទាត់។ វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រ

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) និង s ជា collinear ។

ដូច្នេះ M 0 M = t s − គឺជាសមីការវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់។

នៅក្នុងសំណេរសំរបសំរួល សមីការចុងក្រោយមានតំណាងប៉ារ៉ាម៉ែត្រដូចខាងក្រោម

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

កន្លែងដែល t - "រត់ឆ្លងកាត់"

ចន្លោះពេល (−∞ ,∞) ,

(ព្រោះចំនុច M (x, y, z) ត្រូវតែ

"រត់ឆ្លងកាត់"

បន្ទាត់ទាំងមូល) ។

2. សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ការលុបបំបាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ពីសមីការមុនយើងមាន

x − x

y - y

z−z

T-

សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

3. មុំរវាងបន្ទាត់។ លក្ខខណ្ឌ " " និង " " នៃ បន្ទាត់ ពីរ

សូមឱ្យបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

x − ស៊ី

y - យី

z-zi

i = 1.2 ។

និយមន័យ។

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ L 1 និង L 2

ចូរហៅមុំណាមួយពី

មុំពីរដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីររៀងគ្នា ស្របទៅនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ (ដែលអាចទាមទារការបកប្រែស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ)។

វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលមុំមួយស្មើនឹងមុំϕរវាង

វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់

= (l 1 , m 1 , n 1 )

= (l 2 , m 2 , n 2 ) , [ និងមុំទីពីរ

បន្ទាប់មកវានឹងស្មើនឹង (π − φ ) ] ។ បន្ទាប់មកមុំត្រូវបានកំណត់ពីទំនាក់ទំនង

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

បន្ទាត់ត្រង់គឺស្របគ្នា។ប្រសិនបើ s និង s

collinear

បន្ទាត់កាត់កែងទៅ s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 ។

4. មុំរវាងបន្ទាត់និងយន្តហោះ។ លក្ខខណ្ឌ «» និង «» ដោយផ្ទាល់ និង

យន្តហោះ

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ L ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical របស់វា x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

និងយន្តហោះ P ដោយសមីការ

អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0 ។

និយមន័យ។ មុំរវាងបន្ទាត់ L

ហើយប្លង់ p គឺជាមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ L និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ។

វាធ្វើតាមពីនិយមន័យ (និងរូប) ដែលមុំដែលចង់បាន ϕ ត្រូវបានបំពេញបន្ថែម (រហូតដល់មុំខាងស្តាំ) ទៅមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា n (A, B, C) និង

ទិសវ៉ិចទ័រ s (l,m,n) ។

Al + Bm + Cn

−φ

ស៊ិន φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n ២

(. ត្រូវបានថតដើម្បីទទួលបានមុំស្រួច)។

ប្រសិនបើ L Р នោះ s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −					លក្ខខណ្ឌ "" ។
ប្រសិនបើ L P នោះ s គឺជាប់នឹង n
				គ-	លក្ខខណ្ឌ "" ។
5. ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ
L : x = x0 + l , t ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 ។
ការជំនួសកន្សោមសម្រាប់ x, y, z ចូលទៅក្នុងសមីការនៃយន្តហោះ និងការបំប្លែង,
		t = − អ័ក្ស 0 + ដោយ 0 + Cz 0 + D ។
				Al + Bm + Cn

ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើយើងជំនួស "t" ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នោះ យើងនឹងរកឃើញចំណុចប្រសព្វដែលចង់បាន។

បាឋកថាលេខ ៨-៩

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា

សាស្រ្តាចារ្យ Dymkov M.P.

ប្រតិបត្តិការសំខាន់មួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺប្រតិបត្តិការនៃការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់ដែលកើតឡើងនៅក្នុងវគ្គសិក្សាក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា។ យើងចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃការអនុម័តទៅប្រតិបត្តិការដែនកំណត់ដោយផ្អែកលើគំនិតនៃដែនកំណត់នៃអ្វីដែលគេហៅថាលំដាប់លេខ។ នេះនឹងជួយសម្រួលដល់ការណែនាំនៃទម្រង់សំខាន់មួយទៀតនៃការអនុម័តទៅកាន់ប្រតិបត្តិការដែនកំណត់ ដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។ នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ ការសាងសង់នៃការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់នឹងត្រូវបានប្រើនៅក្នុងការសាងសង់នៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល។



 លំដាប់ធំគ្មានកំណត់

 ទំនាក់ទំនងរវាងលំដាប់ធំ និងតូចគ្មានកំណត់។

 លក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់គ្មានកំណត់

 ដែនកំណត់លំដាប់។

 លក្ខណសម្បត្តិនៃលំដាប់ប្រសព្វ

 ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើលំដាប់បញ្ចូលគ្នា

 លំដាប់ Monotonic

 លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នា Cauchy

 លេខ e និងរូបភាពសេដ្ឋកិច្ចរបស់វា។

 ការអនុវត្តដែនកំណត់ក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច

§ 1. លំដាប់លេខ និងលក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញ

1. គំនិតនៃលំដាប់លេខ។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើលំដាប់

លំដាប់លេខគឺជាសំណុំលេខគ្មានកំណត់។ លំដាប់ឧទាហរណ៍ត្រូវបានគេស្គាល់ពីសាលា៖

1) លំដាប់នៃសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រគ្មានកំណត់;

2) លំដាប់នៃបរិវេណធម្មតា។ n-gons ចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ;

	3) លំដាប់នៃលេខ							ចំនួនប្រហាក់ប្រហែល

នឹងត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខ (ឬគ្រាន់តែជាលំដាប់) ។

លេខដាច់ដោយឡែក x 3 , x 5 , x n នឹងត្រូវបានគេហៅថាធាតុឬសមាជិកនៃលំដាប់ (1) ។ និមិត្តសញ្ញា x n ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកទូទៅ ឬ n-th នៃលំដាប់នេះ។ ការផ្តល់តម្លៃ n = 1, 2, … នៅក្នុងពាក្យទូទៅ x n យើងទទួលបានរៀងគ្នា ទីមួយ x 1 ទីពីរ x 2 និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។ សមាជិក។

លំដាប់ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (សូមមើល Def ។ ) ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ការទទួលបានធាតុណាមួយរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់។ ជាញឹកញាប់ លំដាប់មួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទូទៅនៃលំដាប់។

ដើម្បី​បង្រួម​កំណត់​ចំណាំ លំដាប់ (1) ជួនកាល​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា

(x n) ។ ឧទាហរណ៍,			មានន័យថា លំដាប់ទី១
(1+ (− 1)n) យើងមាន			0, 2, 0, 2, … .

រចនាសម្ព័ន្ធនៃពាក្យទូទៅ (រូបមន្តរបស់វា) អាចស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍,

							ន.
x n =					n-សេស

ជួនកាលលំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយអ្វីដែលគេហៅថា រូបមន្តកើតឡើងដដែលៗ, i.e. រូបមន្ត​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​ស្វែង​រក​សមាជិក​បន្តបន្ទាប់​នៃ​លំដាប់​ពី​មុន​ដែល​គេ​ស្គាល់។

ឧទាហរណ៍ (លេខ Fibonacci) ។អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 = x 2 = 1 ហើយរូបមន្តដដែលៗ x n = x n − 1 + x n − 2 សម្រាប់ n = 3, 4, … ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកយើងមានលំដាប់ 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (លេខរបស់ Leonardo មកពី Pisa ដែលមានឈ្មោះហៅក្រៅ Fibonacci) ។ តាមធរណីមាត្រ លំដាប់លេខអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅលើលេខ

អ័ក្ស​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​លំដាប់​នៃ​ចំណុច​ដែល​កូអរដោណេ​ស្មើ​នឹង​ចំណុច​ត្រូវ​គ្នា។

សមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃលំដាប់។ ឧទាហរណ៍ ( x n ) = 1 n ។

មេរៀនលេខ ៨-៩ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា prof. Dymkov M.P. ៦៦

ពិចារណារួមជាមួយនឹងលំដាប់ ( x n ) លំដាប់មួយទៀត ( y n ) : y 1 , y 2 , y , n (2) ។

និយមន័យ។ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា, ផលិតផល, កូតា) នៃលំដាប់

តម្លៃ ( xn ) និង ( yn ) ត្រូវបានគេហៅថា sequence ( zn ) ដែលសមាជិកគឺ

បង្កើតឡើងដោយយោងតាម

z n = x n + y n

X-y

≠ 0

ផលិតផលនៃលំដាប់ ( xn ) និងលេខ c R គឺជាលំដាប់ ( c xn ) ។

និយមន័យ។ លំដាប់ (xn) ត្រូវបានគេហៅថា bounded

ពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម) ប្រសិនបើមានចំនួនពិត M (m) នោះធាតុនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ xn បំពេញមិនស្មើគ្នា។

xn ≤ M (xn ≥ m) ។ លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា bounded ប្រសិន​បើ​វា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ទាំង​ខាង​លើ និង​ខាងក្រោម m ≤ xn ≤ M ។ លំដាប់ xn ត្រូវបានគេហៅថា

មិនមានដែនកំណត់ ប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមាន A (ធំតាមអំពើចិត្ត) យ៉ាងហោចណាស់មានធាតុមួយនៃលំដាប់ xn ពេញចិត្ត

ដែលផ្តល់វិសមភាព xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1 .

( x n ) = ( n ) − ត្រូវបានចងពីខាងក្រោមដោយ 1 ប៉ុន្តែមិនមានព្រំដែន។

( x n ) = ( − n ) − មានព្រំប្រទល់ពីខាងលើ (–1) ប៉ុន្តែក៏គ្មានព្រំដែនដែរ។

និយមន័យ។ លំដាប់ (x n) ត្រូវបានគេហៅថា គ្មានដែនកំណត់,

ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនពិតវិជ្ជមានណាមួយ ε (មិនថាវាតូចប៉ុនណា) មានលេខ N អាស្រ័យលើ ε , (N = N (ε )) ដូចនេះសម្រាប់ n ≥ N វិសមភាព x n< ε .

ឧទាហរណ៍។ ( x n ) = 1 n ។

និយមន័យ។ លំដាប់ (xn) ត្រូវបានគេហៅថា ការឈឺចាប់គ្មានទីបញ្ចប់ -

shoy ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន A (មិនថាវាធំប៉ុនណា) មានលេខ N (N = N (A)) ដូចនេះសម្រាប់ទាំងអស់ n ≥ N

វិសមភាព xn > A ត្រូវបានទទួល។

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច M1 (x1, y1, z1) ហើយស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (m ,n, l) ។ ចូរយើងសរសេរសមីការសម្រាប់បន្ទាត់នេះ។

ចូរយើងយកចំណុចបំពាន M (x, y, z) នៅលើបន្ទាត់នេះ ហើយស្វែងរកទំនាក់ទំនងរវាង x, y, z ។ ចូរយើងបង្កើតវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា។

- សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

44 សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ដោយសារតែ សមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលគឺជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់។

សមីការវ៉ិចទ័រនេះអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់កូអរដោណេ៖

ការបំប្លែងប្រព័ន្ធនេះ និងសមីការតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t យើងទទួលបានសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ៖

និយមន័យ។ កូស៊ីនុសទិសនៃបន្ទាត់ត្រង់ គឺជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ ដែលអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ពីទីនេះយើងទទួលបាន: m: n: p = cosa: cosb: cosg ។

លេខ m, n, p ត្រូវបានគេហៅថាជម្រាលនៃបន្ទាត់។ ដោយសារជាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះ m, n និង p មិនអាចស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយបានទេ ប៉ុន្តែមួយឬពីរនៃចំនួននេះអាចស្មើនឹងសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះ នៅក្នុងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ លេខដែលត្រូវគ្នាគួរតែស្មើនឹងសូន្យ។

45 សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងលំហដែលឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ពីរផ្សេងគ្នា។

ធរណីមាត្រវិភាគ

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យ M1(x1y1) និង M2(x2y2) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ ចូរយើងចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងពីរនេះ ដូចជាវ៉ិចទ័រទិសដៅ S យើងយក M1M2

ទ្រីកា។

នេះ​ជា​សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឲ្យ (x1 y1) និង (x2, y2)

ឥឡូវនេះ ចូរយើងងាកទៅរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះក្នុងលំហ។

ធរណីមាត្រវិភាគក្នុងលំហ 3 វិមាត្រ

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីពីរវិមាត្រ សមីការណាមួយនៃដឺក្រេទីមួយទាក់ទងទៅនឹងអថេរបី x, y, z គឺជាសមីការនៃយន្តហោះក្នុងលំហ Оxyz. planes ។ សមីការ Canonical នៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M(x0,y0,z0) និងមាន N(A,B,C) A(x–x0) + B(y–y0) + C(z–z0) =0 – តើមួយណាជាសមីការនេះ?

តម្លៃ x-x0, y-y0 និង z-z0 គឺជាភាពខុសគ្នារវាងកូអរដោនេនៃចំណុចបច្ចុប្បន្ន និងចំណុចថេរ។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ a (x-x 0, y-y0, z-z0) គឺជាវ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដែលបានពិពណ៌នា ហើយវ៉ិចទ័រ N គឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ដែលមានន័យថាពួកវាកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

បន្ទាប់មកផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។

ក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ (N,a)=0 មើលទៅដូចនេះ៖

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

នៅក្នុងលំហ វ៉ិចទ័របីដងខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងត្រូវបានសម្គាល់។ បីដងនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar a, b, c ត្រូវបានគេហៅថាត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើពីប្រភពដើមទូទៅរបស់ពួកគេ ការឆ្លងកាត់ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ a, b, c នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញហាក់ដូចជាទ្រនិចនាឡិកាទៅអ្នកសង្កេត។ បើមិនដូច្នោះទេ a, b, c នៅសល់។

46 មុំរវាងបន្ទាត់ក្នុងលំហ

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ គឺជាមុំដែលនៅជាប់គ្នាដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលគូសតាមរយៈចំណុចបំពានដែលស្របគ្នានឹងទិន្នន័យ។

សូមឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ៖

ជាក់ស្តែងមុំφរវាងបន្ទាត់អាចត្រូវបានយកជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេនិង។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកយោងទៅតាមរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រដែលយើងទទួលបាន

លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរគឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌនៃភាពប៉ារ៉ាឡែល និងកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេ និង៖

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើមេគុណរៀងៗខ្លួនគឺសមាមាត្រ i.e. l1 គឺ​ស្រប​នឹង l2 ប្រសិន​បើ​វា​ស្រប​គ្នា​តែ​ប៉ុណ្ណោះ។ .

បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែងប្រសិនបើផលបូកនៃផលិតផលនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើសូន្យ៖ .

រកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច М1(1;2;3) ស្របនឹងបន្ទាត់ l1:

ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ដែលចង់បាន l គឺស្របទៅនឹង l1 បន្ទាប់មកជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ដែលចង់បាន l យើងអាចយកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ l1 ។