និយមន័យ 1. លេខបឋមគឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ដែលបែងចែកដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ និង 1 ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខមួយគឺសំខាន់ប្រសិនបើវាមានការបែងចែកធម្មជាតិពីរផ្សេងគ្នា។

និយមន័យ 2. លេខធម្មជាតិណាដែលមានការបែងចែកផ្សេងទៀតក្រៅពីខ្លួនវា និងលេខមួយត្រូវបានគេហៅថា លេខសមាសធាតុ។

ម្យ៉ាង​ទៀត លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​មិន​មែន​បឋម​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​លេខ​ផ្សំ។ និយមន័យ 1 បង្កប់ន័យថាចំនួនសមាសធាតុមានការបែងចែកធម្មជាតិច្រើនជាងពីរ។ លេខ 1 មិន​មែន​ជា​បឋម ឬ​សមាសធាតុ​ទេ។ មានតែមួយចែកលេខ 1 ហើយក្រៅពីនេះ ទ្រឹស្ដីជាច្រើនអំពីចំនួនបឋមមិនរក្សាការរួបរួមទេ។

វាធ្វើតាមនិយមន័យ 1 និង 2 ដែលរាល់ចំនួនគត់វិជ្ជមានធំជាង 1 គឺជាចំនួនបឋម ឬជាលេខផ្សំ។

ខាងក្រោមគឺជាកម្មវិធីសម្រាប់បង្ហាញលេខបឋមរហូតដល់ 5000។ បំពេញក្រឡាចុចលើប៊ូតុង "បង្កើត" ហើយរង់ចាំពីរបីវិនាទី។

តារាងលេខសំខាន់

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1. ប្រសិនបើ ក ទំគឺជាលេខបឋម និង កចំនួនគត់ណាមួយ បន្ទាប់មកក៏បាន កចែក​ដោយ ទំ, ឬ ទំនិង កលេខសំខាន់ៗដែលទាក់ទង។

ពិត។ ប្រសិនបើ ក ទំលេខបឋម បន្ទាប់មកវាត្រូវបានបែងចែកដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ និង 1 ប្រសិនបើ កមិនបែងចែកដោយ ទំបន្ទាប់មក ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត កនិង ទំស្មើនឹង 1. បន្ទាប់មក ទំនិង កលេខសំខាន់ៗដែលទាក់ទង។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 2. ប្រសិនបើផលគុណនៃចំនួនលេខជាច្រើន។ ក 1 , ក 2 , ក 3 , ... ត្រូវបានបែងចែកដោយលេខបឋម ទំបន្ទាប់មកយ៉ាងហោចណាស់មានលេខមួយ។ ក 1 , ក 2 , ក 3, ... ត្រូវបានបែងចែកដោយ ទំ.

ពិត។ ប្រសិនបើគ្មានលេខណាមួយអាចបែងចែកដោយ ទំបន្ទាប់មកលេខ ក 1 , ក 2 , ក 3 , ... ជាលេខសំខាន់ទាក់ទងទៅ ទំ. ប៉ុន្តែពីកូរ៉ូឡារី 3 () វាធ្វើតាមផលិតផលរបស់ពួកគេ។ ក 1 , ក 2 , ក៣ , ... ក៏ជាច្បាប់ចម្លងផងដែរ ទំដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃការអះអាង។ ដូច្នេះ យ៉ាងហោចណាស់លេខមួយត្រូវបែងចែកដោយ ទំ.

ទ្រឹស្តីបទ 1. លេខសមាសធាតុណាមួយអាចតែងតែត្រូវបានតំណាង ហើយលើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុងវិធីតែមួយគត់ដែលជាផលិតផលនៃចំនួនកំណត់នៃចំនួនបឋម។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន kលេខសមាសធាតុ និងអនុញ្ញាតឱ្យ ក 1 គឺជាផ្នែកមួយរបស់វាខុសពី 1 និងខ្លួនវាផ្ទាល់។ ប្រសិនបើ ក ក 1 គឺជាសមាសធាតុ បន្ទាប់មកវាមានបន្ថែមទៅ 1 និង ក 1 និងការបែងចែកផ្សេងទៀត។ ក២. ប្រសិនបើ ក ក 2 គឺជាលេខផ្សំ បន្ទាប់មកវាមាន បន្ថែមលើ 1 និង ក 2 និងការបែងចែកផ្សេងទៀត។ ក៣. ឈ្លោះ​គ្នា​តាម​វិធី​នេះ​ហើយ​គិត​ថា​លេខ ក 1 , ក 2 , ក 3 , ... ថយចុះ ហើយស៊េរីនេះមានចំនួនកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌ យើងនឹងឈានដល់ចំនួនបឋមមួយចំនួន ទំមួយ។ បន្ទាប់មក kអាចត្រូវបានតំណាងជា

ឧបមាថាមានការពង្រីកចំនួនពីរ k:

ជា k=p 1 ទំ 2 ទំ 3 ... ត្រូវបានបែងចែកដោយលេខបឋម qឧទាហរណ៍ 1 បន្ទាប់មកយ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយ។ ទំ 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ qមួយ។ ប៉ុន្តែ ទំ 1 គឺជាបឋម ហើយត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 និងខ្លួនវាតែប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ទំ 1 =q១ (ព្រោះ q 1 ≠1)

បន្ទាប់មកពី (2) យើងអាចដកចេញបាន។ ទំ 1 និង q 1:

ដូច្នេះ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថា លេខបឋមណាមួយដែលបញ្ចូលការពង្រីកទី 1 ជាកត្តាមួយ ឬច្រើនដងចូលទៅក្នុងការពង្រីកទីពីរ យ៉ាងហោចណាស់ចំនួនដងដូចគ្នា ហើយផ្ទុយទៅវិញ លេខបឋមណាមួយដែលបញ្ចូលការពង្រីកទីពីរជាកត្តាមួយ ឬច្រើន ដងក៏ចូលទៅក្នុងការពង្រីកដំបូងយ៉ាងហោចណាស់ច្រើនដងដែរ។ ដូច្នេះ លេខបឋមណាមួយបញ្ចូលជាកត្តានៅក្នុងការពង្រីកទាំងពីរចំនួនដងដូចគ្នា ហើយដូច្នេះ ការពង្រីកទាំងពីរនេះគឺដូចគ្នា ។■

ការបែកខ្ញែកនៃចំនួនសមាសធាតុ kអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម

(3)

កន្លែងណា ទំ 1 , ទំ 2 , ... លេខរៀងៗខ្លួន, α, β, γ ... ចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

ការរលួយ (៣) ត្រូវបានគេហៅថា ការរលួយ Canonicalលេខ។

លេខបឋមនៅក្នុងស៊េរីនៃលេខធម្មជាតិកើតឡើងមិនស្មើគ្នា។ នៅក្នុងផ្នែកខ្លះនៃស៊េរីមានច្រើនជាងនេះ ខ្លះទៀតតិចជាង។ យើងបន្តទៅមុខទៀតតាមស៊េរីលេខ លេខបឋមកាន់តែកម្រ។ សំណួរ​សួរ​ថា តើ​មាន​លេខ​បឋម​ធំ​ជាង​គេ​ទេ? គណិតវិទូជនជាតិក្រិចបុរាណ Euclid បានបង្ហាញថា មានលេខបឋមជាច្រើនគ្មានកំណត់។ យើងបង្ហាញភស្តុតាងនេះខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ 2. ចំនួននៃលេខបឋមគឺគ្មានកំណត់។

ភស្តុតាង។ ឧបមាថាមានចំនួនបឋមកំណត់ ហើយសូមឱ្យចំនួនបឋមធំជាងគេ ទំ. តោះពិចារណាលេខទាំងអស់។ ទំ. តាមការសន្មតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ លេខទាំងនេះត្រូវតែជាសមាសធាតុ ហើយត្រូវតែបែងចែកដោយយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមលេខសំខាន់ៗ។ តោះ​ជ្រើសរើស​លេខ​ដែល​ជា​ផល​នៃ​លេខ​ទាំង​អស់​នេះ​បូក​នឹង​លេខ​១៖

ចំនួន zច្រើនទៀត ទំជា 2 ទំច្រើនទៀត ទំ. ទំមិនអាចបែងចែកដោយលេខសំខាន់ៗទាំងនេះទេ ចាប់តាំងពី នៅពេលដែលបែងចែកដោយពួកគេនីមួយៗ វាផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 1 ។ ដូច្នេះយើងឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះ​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​ចំនួន​បឋម​។

ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទទូទៅជាង៖

ទ្រឹស្តីបទ 3. អនុញ្ញាតឱ្យមានការវិវត្តនព្វន្ធ

បន្ទាប់មកលេខបឋមណាមួយនៅក្នុង នគួរតែត្រូវបានរួមបញ្ចូលផងដែរ។ មដូច្នេះនៅក្នុង នមិនអាចរួមបញ្ចូលកត្តាចម្បងផ្សេងទៀតដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង មហើយលើសពីនេះទៅទៀត កត្តាចម្បងទាំងនេះនៅក្នុង នលេចឡើងមិនលើសពីដងទេ។ ម.

ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។ ប្រសិនបើរាល់កត្តាសំខាន់នៃចំនួនមួយ។ នកើតឡើងយ៉ាងហោចណាស់ចំនួនដងដូចគ្នា។ មបន្ទាប់មក មចែក​ដោយ ន.

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 3. អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក 1 ,ក 2 ,ក 3 , ... បឋមនានាលេចឡើងនៅក្នុង មដូច្នេះ

កន្លែងណា ខ្ញុំ=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . សម្គាល់​ឃើញ​ថា មួយ ខ្ញុំទទួលយក α +1 តម្លៃ, β j ទទួលយក β +1 តម្លៃ, γ k យក γ +1 តម្លៃ, ....

ការបែងចែកលេខធម្មជាតិទៅជាបឋម និងសមាសធាតុត្រូវបានសន្មតថាជាគណិតវិទូក្រិកបុរាណ Pythagoras ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាម Pythagoras នោះសំណុំនៃលេខធម្មជាតិអាចត្រូវបានបែងចែកជាបីថ្នាក់: (1) - សំណុំដែលមានលេខមួយ - មួយ; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) គឺជាសំណុំនៃលេខបឋម។ (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) គឺជាសំណុំនៃលេខផ្សំ។

អាថ៌កំបាំងផ្សេងៗគ្នាជាច្រើនលាក់បាំងឈុតទីពីរ។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើលេខបឋមគឺជាអ្វី។ យើងបើក “វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា” (Yu. V. Prokhorov, គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយ “សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត” ឆ្នាំ ១៩៨៨) ហើយអាន៖

"ចំនួនបឋមគឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមានដែលធំជាងមួយដែលគ្មានការបែងចែកផ្សេងក្រៅពីខ្លួនវា និងមួយ: 2,3,5,7,11,13,

គោលគំនិតនៃចំនួនបឋមគឺជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងការសិក្សានៃការបែងចែកលេខធម្មជាតិ។ ពោលគឺ ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធបញ្ជាក់ថា រាល់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន លើកលែងតែលេខ 1 អាចត្រូវបានបំបែកទៅជាផលិតផលនៃលេខបឋម (លំដាប់នៃកត្តាមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណា)។ មានលេខសំខាន់ៗជាច្រើនដែលមិនចេះចប់ (សំណើនេះហៅថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Euclid ត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយចំពោះគណិតវិទូក្រិកបុរាណ ភស្តុតាងរបស់វាអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅទី 9 នៃធាតុរបស់ Euclid) ។ P. Dirichlet (1837) បានបង្កើតឡើងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a+bx នៅ x=1។ ,2,с ជាមួយចំនួនគត់ coprime a និង b ក៏មានបឋមជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ដើម្បីស្វែងរកលេខបឋមពី 1 ដល់ x ល្បីពីសតវត្សទី 3 ត្រូវបានប្រើ។ BC អ៊ី Sieve នៃ Eratosthenes ។ ដោយពិចារណាលើលំដាប់ (*) នៃ primes ពី 1 ដល់ x បង្ហាញថានៅពេលដែល x កើនឡើង វាកាន់តែកម្រជាមធ្យម។ មាន​ផ្នែក​វែង​តាម​អំពើ​ចិត្ត​នៃ​ស៊េរី​នៃ​លេខ​ធម្មជាតិ ដែល​ក្នុង​ចំណោម​នោះ​មិន​មាន​លេខ​បឋម​តែ​មួយ (ទ្រឹស្តីបទ ៤)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះដែរមានលេខបឋមបែបនេះ ភាពខុសគ្នារវាងដែលស្មើនឹង 2 (គេហៅថាកូនភ្លោះ)។ រហូត​មក​ដល់​ពេល​នេះ (១៩៨៧) គេ​នៅ​មិន​ទាន់​ដឹង​ថា​តើ​ឈុត​កូន​ភ្លោះ​បែប​នេះ​មាន​កំណត់ ឬ​គ្មាន​កំណត់​នោះ​ទេ។ តារាងនៃចំនួនបឋមនៅក្នុងចំនួនធម្មជាតិ 11 លានដំបូងបង្ហាញពីកូនភ្លោះធំណាស់ (ឧទាហរណ៍ 10,006,427 និង 10,006,429) ។

ការបកស្រាយអំពីការបែងចែកលេខបឋមនៅក្នុងស៊េរីលេខធម្មជាតិ គឺជាបញ្ហាដ៏លំបាកមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងជាការសិក្សាអំពីឥរិយាបថ asymptotic នៃអនុគមន៍ដែលបង្ហាញពីចំនួនបឋមដែលមិនលើសពីចំនួនវិជ្ជមាន x ។ វាច្បាស់ណាស់ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Euclid ដែលនៅ។ L. Euler បានណែនាំមុខងារ zeta នៅឆ្នាំ 1737 ។

គាត់​ក៏​បាន​បង្ហាញ​ថា

កន្លែងដែលការបូកសរុបត្រូវបានអនុវត្តលើចំនួនធម្មជាតិទាំងអស់ ហើយផលិតផលត្រូវបានយកពីលើ primes ទាំងអស់។ អត្តសញ្ញាណនេះ និងលក្ខណៈទូទៅរបស់វាដើរតួនាទីជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកលេខបឋម។ ដោយបន្តពីរឿងនេះ L. Euler បានបង្ហាញថាស៊េរី និងផលិតផលនៅក្នុង prime p ខុសគ្នា។ ជាងនេះទៅទៀត អិល អយល័រ បានកំណត់ថា មានលេខសំខាន់ៗ "ជាច្រើន" ពីព្រោះ

ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានេះ ស្ទើរតែគ្រប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់គឺផ្សំគ្នាតាំងពីនៅ។

និងសម្រាប់ណាមួយ (ឧ. អ្វីដែលលូតលាស់ជាមុខងារ)។ តាមកាលប្បវត្តិ លទ្ធផលសំខាន់បន្ទាប់ដែលចម្រាញ់ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev គឺជាអ្វីដែលគេហៅថា។ ច្បាប់ asymptotic នៃការចែកចាយនៃចំនួនបឋម (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896) ដែលមាននៅក្នុងការពិតដែលថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រគឺស្មើនឹង 1 ។ ក្រោយមក កិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងសំខាន់ៗរបស់គណិតវិទូត្រូវបានដឹកនាំទៅ ការបញ្ជាក់ពីច្បាប់ asymptotic នៃការបែងចែកលេខបឋម។ សំណួរនៃការបែងចែកលេខបឋមត្រូវបានសិក្សាទាំងដោយវិធីសាស្ត្របឋម និងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

នៅទីនេះវាសមហេតុផលដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទមួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទ។

លេម៉ា 1. ប្រសិនបើ gcd(a, b)=1 នោះមានចំនួនគត់ x, y ដូចនេះ។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យ a និង b ជាលេខដែលទាក់ទងគ្នា។ ពិចារណាលើសំណុំ J នៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ z តំណាងក្នុងទម្រង់ ហើយជ្រើសរើសលេខតូចបំផុត d នៅក្នុងវា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថា a ត្រូវបានបែងចែកដោយ d ។ ចែក a ដោយ d ជាមួយនៅសល់: ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ។ ដោយសារវាមានទម្រង់ ដូច្នេះហើយ

យើងឃើញនោះ។

ដោយសារយើងសន្មត់ថា d គឺជាចំនួនតូចបំផុតក្នុង J នោះយើងមានភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះ a ត្រូវបានបែងចែកដោយ d ។

ដូចគ្នានេះដែរ យើងបង្ហាញថា b ត្រូវបានបែងចែកដោយ d ។ ដូច្នេះ d=1 ។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ប្រសិនបើលេខ a និង b គឺជា coprime ហើយផលិតផល bx ត្រូវបានបែងចែកដោយ a នោះ x ត្រូវបានបែងចែកដោយ a ។

ភស្តុតាង ១. យើងត្រូវបង្ហាញថាពូថៅត្រូវបានបែងចែកដោយ b និង gcd(a,b)=1 បន្ទាប់មក x ត្រូវបានបែងចែកដោយ b ។

ដោយលេមម៉ា 1 មាន x, y បែបនោះ។ បន្ទាប់មក ជាក់ស្តែង គឺត្រូវបានបែងចែកដោយ ខ។

ភ័ស្តុតាង 2. ពិចារណាសំណុំ J នៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ z ដែល zc ត្រូវបានបែងចែកដោយ b ។ អនុញ្ញាតឱ្យ d ជាលេខតូចបំផុតនៅក្នុង J. វាងាយស្រួលមើលនោះ។ ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងភស្តុតាងនៃលេម៉ា 1 យើងបង្ហាញថា a ត្រូវបានបែងចែកដោយ d និង b ត្រូវបានបែងចែកដោយ d

លេម៉ា 2. ប្រសិនបើលេខ q,p1,p2,pn ជាបឋម ហើយផលិតផលត្រូវបានបែងចែកដោយ q នោះលេខមួយក្នុងចំណោមលេខ pi គឺស្មើនឹង q ។

ភស្តុតាង។ ជាបឋម សូមចំណាំថា ប្រសិនបើលេខបឋម p ត្រូវបានបែងចែកដោយ q នោះ p=q ។ នេះបង្កប់ន័យភ្លាមៗនូវការអះអាងនៃ lemma សម្រាប់ n=1។ សម្រាប់ n=2 វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីទ្រឹស្តីបទទី១៖ ប្រសិនបើ p1p2 ត្រូវបានបែងចែកដោយលេខបឋម q u នោះ p2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ q (ឧ)។

យើងបញ្ជាក់ lemma សម្រាប់ n=3 ដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យ p1 p2 p3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ q ។ ប្រសិនបើ p3 = q នោះអ្វីៗទាំងអស់ត្រូវបានបញ្ជាក់។ ប្រសិនបើយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ 1 p1 p2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ q ។ ដូច្នេះ យើងបានកាត់បន្ថយករណី n=3 ទៅជាករណីដែលបានពិចារណារួចហើយ n=2។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ពី n=3 យើងអាចទៅ n=4 បន្ទាប់មកទៅ n=5 ហើយជាទូទៅ សន្មត់ថា n=k ការអះអាងរបស់ lemma ត្រូវបានបញ្ជាក់ យើងអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយស្រួលសម្រាប់ n=k+1។ នេះបញ្ចុះបញ្ចូលយើងថា lemma គឺពិតសម្រាប់ n ។

ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធ។ រាល់លេខធម្មជាតិអាចត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាចម្បងតាមរបៀបតែមួយគត់។

ភស្តុតាង។ ឧបមាថាមានកត្តាពីរនៃចំនួន a ទៅជាកត្តាចម្បង៖

ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានបែងចែកដោយ q1 នោះផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពក៏ត្រូវតែបែងចែកដោយ q1 ផងដែរ។ យោងតាម ​​Lemma 2 លេខមួយគឺស្មើនឹង q1។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងលុបចោលភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយ q1 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តហេតុផលដូចគ្នាសម្រាប់ q2 បន្ទាប់មកសម្រាប់ q3 សម្រាប់ qi ។ នៅទីបញ្ចប់ កត្តាទាំងអស់នៅខាងស្តាំនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយ ហើយ 1 នឹងនៅតែមាន។ តាមធម្មជាតិ គ្មានអ្វីនឹងនៅខាងឆ្វេងឡើយ លើកលែងតែមួយ។ ដូច្នេះហើយ យើងសន្និដ្ឋានថា ការពង្រីកទាំងពីរ និងអាចខុសគ្នាតែតាមលំដាប់នៃកត្តាប៉ុណ្ណោះ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ Euclid ។ ចំនួននៃលេខបឋមគឺគ្មានកំណត់។

ភស្តុតាង។ សន្មតថាស៊េរីនៃលេខបឋមមានកំណត់ ហើយកំណត់លេខបឋមចុងក្រោយដោយអក្សរ N. តែងផលិតផល

ចូរបន្ថែម 1 ទៅវា។ យើងទទួលបាន៖

លេខនេះជាចំនួនគត់ ត្រូវតែមានកត្តាចម្បងមួយ ពោលគឺវាត្រូវតែបែងចែកដោយចំនួនបឋមយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ប៉ុន្តែលេខបឋមទាំងអស់ ដោយការសន្មត់ មិនត្រូវលើសពី N ហើយលេខ M + 1 មិនអាចបែងចែកបានដោយគ្មានសល់ដោយលេខបឋមណាមួយតិចជាង ឬស្មើ N - រាល់ពេលដែលនៅសល់គឺ 1។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ។

ទ្រឹស្តីបទ 4. ផ្នែកនៃលេខផ្សំរវាងលេខបឋមអាចមានប្រវែងណាមួយ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញថាស៊េរីមាន n លេខបន្សំជាប់គ្នា។

លេខទាំងនេះទៅដោយផ្ទាល់មួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀតនៅក្នុងស៊េរីធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីលេខបន្ទាប់នីមួយៗគឺ 1 ច្រើនជាងលេខមុន។ វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាពួកវាទាំងអស់សុទ្ធតែជាសមាសធាតុ។

លេខទីមួយ

សូម្បីតែ ដោយសារពាក្យទាំងពីររបស់វាមានកត្តា 2។ ហើយលេខគូណាមួយដែលធំជាង 2 គឺជាសមាសធាតុផ្សំ។

លេខទីពីរមានពីរពាក្យ ដែលនីមួយៗជាពហុគុណនៃ 3។ ដូច្នេះលេខនេះគឺជាសមាសធាតុ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងកំណត់ថាចំនួនបន្ទាប់គឺជាពហុគុណនៃ 4 ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីរបស់យើងមានកត្តាដែលខុសពីមួយ និងខ្លួនវាផ្ទាល់។ ដូច្នេះវាគឺជាសមាសធាតុ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដោយបានសិក្សាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ យើងបន្តការពិចារណាលើអត្ថបទ។ នៅក្នុងអត្ថបទរបស់នាង Sieve of Eratosthenes ត្រូវបានលើកឡើងជាវិធីមួយដើម្បីស្វែងរកលេខបឋម។ តោះអានអំពីវិធីនេះពីវចនានុក្រមដូចគ្នា៖

" Sieve នៃ Eratosthenes គឺជាវិធីសាស្រ្តមួយដែលបង្កើតឡើងដោយ Eratosthenes ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបំបែកលេខសមាសធាតុចេញពីស៊េរីធម្មជាតិ។ ខ្លឹមសារនៃ Sieve របស់ Eratosthenes មានដូចខាងក្រោម។ ឯកតាត្រូវបានកាត់ចេញ។ លេខពីរគឺសាមញ្ញ។ លេខធម្មជាតិទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយ 2 ត្រូវបានកាត់ចេញ។ លេខ 3 - លេខដែលមិនបានឆ្លងកាត់ដំបូងនឹងជាលេខបឋម។ លើសពីនេះ លេខធម្មជាតិទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយ 3 ត្រូវបានកាត់ចេញ។ លេខ 5 - លេខដែលមិនកាត់បន្ទាប់ - នឹងមានលក្ខណៈសាមញ្ញ។ ដោយបន្តការគណនាស្រដៀងគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញផ្នែកវែងតាមអំពើចិត្តនៃលំដាប់នៃលេខបឋម។ Sieve នៃ Eratosthenes ជាវិធីសាស្រ្តទ្រឹស្តីសម្រាប់ការសិក្សាទ្រឹស្តីលេខត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ W. Brun (1919) ។

នេះ​ជា​ចំនួន​ធំ​បំផុត​ដែល​បច្ចុប្បន្ន​គេ​ស្គាល់​ថា​ជា​លេខ​សំខាន់៖

ចំនួននេះមានខ្ទង់ទសភាគប្រហែលប្រាំពីររយ។ ការគណនាដែលវាត្រូវបានគេរកឃើញថាចំនួននេះគឺជាបឋមត្រូវបានអនុវត្តនៅលើកុំព្យូទ័រទំនើប។

"អនុគមន៍ Riemann zeta -function គឺជាអនុគមន៍វិភាគនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញមួយ សម្រាប់ σ>1 ដែលកំណត់ដោយស៊េរី Dirichlet ដែលរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ និងស្មើភាពគ្នា៖

សម្រាប់ σ>1 តំណាងក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលអយល័រមានសុពលភាព៖

(2) ដែល p រត់ឆ្លងកាត់បឋមទាំងអស់។

អត្តសញ្ញាណនៃស៊េរី (1) និងផលិតផល (2) គឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃមុខងារសេតា។ វាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងៗដែលភ្ជាប់អនុគមន៍ zeta ជាមួយនឹងអនុគមន៍ទ្រឹស្តីលេខសំខាន់បំផុត។ ដូច្នេះ មុខងារ zeta ដើរតួនាទីយ៉ាងធំនៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។

មុខងារ zeta ត្រូវបានណែនាំជាមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដមួយដោយ L. Euler (1737, publ. 1744) ដែលបង្ហាញពីទីតាំងរបស់វានៅក្នុងផលិតផល (2)។ បន្ទាប់មកមុខងារ zeta ត្រូវបានពិចារណាដោយ P. Dirichlet ហើយជាពិសេសដោយជោគជ័យដោយ P. L. Chebyshev ទាក់ទងនឹងការសិក្សាច្បាប់នៃការចែកចាយលេខបឋម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិដ៏ជ្រាលជ្រៅបំផុតនៃអនុគមន៍ហ្សេតា ត្រូវបានគេរកឃើញបន្ទាប់ពីស្នាដៃរបស់ ប៊ី រីម៉ាន់ ដែលជាលើកដំបូងក្នុងឆ្នាំ១៨៥៩ បានចាត់ទុកមុខងារសេតាថាជាមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ គាត់ក៏បានណែនាំឈ្មោះ "មុខងារសេតា" និង ការកំណត់ """។

ប៉ុន្តែសំណួរកើតឡើង: តើការអនុវត្តជាក់ស្តែងអ្វីសម្រាប់ការងារទាំងអស់នេះលើលេខបឋម? ជាការពិត ស្ទើរតែគ្មានប្រយោជន៍សម្រាប់ពួកគេ ប៉ុន្តែមានផ្នែកមួយដែលលេខបឋម និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្តរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។ នេះគឺជាការគ្រីប។ នៅទីនេះ លេខបឋមត្រូវបានប្រើនៅក្នុងប្រព័ន្ធអ៊ិនគ្រីបដោយមិនចាំបាច់ផ្ទេរសោ។

ជាអកុសល នេះជាអ្វីទាំងអស់ដែលដឹងអំពីលេខបឋម នៅមានអាថ៌កំបាំងជាច្រើនទៀត។ ជាឧទាហរណ៍ វាមិនត្រូវបានគេដឹងថាតើសំណុំនៃលេខបឋមដែលអាចតំណាងជាការ៉េពីរគឺគ្មានកំណត់ទេ។

"លេខ​បឋម​មិន​សាមញ្ញ"។

ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តធ្វើការស្រាវជ្រាវបន្តិចបន្តួច ដើម្បីស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរមួយចំនួនអំពីលេខបឋម។ ជាដំបូង ខ្ញុំបានចងក្រងកម្មវិធីដែលបោះពុម្ពលេខបឋមជាប់គ្នាទាំងអស់តិចជាង 1,000,000,000 លើសពីនេះ ខ្ញុំបានចងក្រងកម្មវិធីដែលកំណត់ថាតើលេខដែលបានបញ្ចូលគឺជាលេខបឋម។ ដើម្បីសិក្សាពីបញ្ហានៃលេខបឋម ខ្ញុំបានបង្កើតក្រាហ្វដែលសម្គាល់ការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃលេខបឋមលើលេខធម្មតា។ ជាផែនការស្រាវជ្រាវបន្ថែម ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តប្រើអត្ថបទដោយ I. S. Zeltser និង B. A. Kordemsky "ហ្វូងសត្វដ៏គួរឱ្យអស់សំណើចនៃ លេខបឋម។" អ្នកនិពន្ធបានកំណត់ផ្លូវស្រាវជ្រាវដូចខាងក្រោមៈ

1. 168 កន្លែងនៃចំនួនធម្មជាតិពាន់ដំបូងត្រូវបានកាន់កាប់ដោយលេខបឋម។ ក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះ 16 លេខគឺ palindromic - លេខនីមួយៗស្មើនឹង 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919,

មានតែលេខ 1061 ខ្ទង់បួនខ្ទង់ប៉ុណ្ណោះ ហើយគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមលេខទាំងនោះមានលក្ខណៈស្លូតបូតឡើយ។

មានលេខ palindromic សាមញ្ញប្រាំខ្ទង់ជាច្រើន។ ពួកគេរួមបញ្ចូលភាពស្រស់ស្អាតបែបនេះ: 13331, 15551, 16661, 19991. ដោយមិនសង្ស័យ, មានហ្វូងសត្វនៃប្រភេទនេះ:, ។ ប៉ុន្តែ​ក្នុង​ហ្វូង​នីមួយៗ​មាន​ប៉ុន្មាន​ច្បាប់?

3+x+x+x+3=6+3x=3(2+x)

9+x+x+x+9=18+3x=3(6+x)

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខហើយត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដូច្នេះលេខទាំងនេះក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ផងដែរ។

ចំពោះលេខនៃទម្រង់នេះ ក្នុងចំណោមពួកគេលេខ 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 គឺជាលេខសំខាន់។

2. នៅក្នុងលេខមួយពាន់ដំបូងមានប្រាំ "ភាគបួន" ដែលមានលេខបឋមជាប់គ្នា ខ្ទង់ចុងក្រោយដែលបង្កើតជាលំដាប់ 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829)។

តើមានប៉ុន្មានត្រីមាសបែបនេះក្នុងចំណោមខ្ទង់ n-digit prime សម្រាប់ n>3?

ដោយ​ប្រើ​កម្មវិធី​ដែល​ខ្ញុំ​បាន​សរសេរ ខ្ញុំ​បាន​រក​ឃើញ​ត្រីមាស​ដែល​បាត់​ដោយ​អ្នក​និពន្ធ៖ (479, 467, 463, 461) និង quartets សម្រាប់ n = 4, 5, 6. សម្រាប់ n = 4 មាន 11 quartets

3. ហ្វូងនៃបឋមប្រាំបួន: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - មានភាពទាក់ទាញមិនត្រឹមតែដោយសារតែវាជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានភាពខុសគ្នានៃ 210 ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ដោយសារតែវាអាចសមនឹងប្រាំបួនផងដែរ។ កោសិកា ដូច្នេះ​ការ៉េ​វេទមន្ត​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​ថេរ​ស្មើ​នឹង​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ចំនួន​បឋម​ពីរ៖ 3119 - 2:

សមាជិកទី 10 នៃដំណើរការដែលកំពុងពិចារណាបន្ទាប់ 2089 ក៏ជាលេខសំខាន់ផងដែរ។ ប្រសិនបើអ្នកដកលេខ 199 ចេញពីហ្វូង ប៉ុន្តែរួមបញ្ចូល 2089 បន្ទាប់មកនៅក្នុងសមាសភាពនេះហ្វូងអាចបង្កើតជាការ៉េវេទមន្ត - ប្រធានបទសម្រាប់ការស្វែងរក។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមានការ៉េវេទមន្តផ្សេងទៀតដែលមានលេខបឋម:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

ការ៉េដែលបានស្នើឡើងគឺចង់ដឹងចង់ឃើញដោយសារតែ

1. វាជាការ៉េវេទមន្ត 7x7;

2. វាមានការ៉េវេទមន្ត 5x5;

3. ការ៉េវេទមន្ត 5x5 មានការ៉េវេទមន្ត 3x3;

4. ការេទាំងអស់នេះមានលេខកណ្តាលធម្មតាមួយ - 3407;

5. លេខ 49 ទាំងអស់រួមបញ្ចូលនៅក្នុង 7x7 ចុងការ៉េនៅក្នុងលេខ 7;

6. លេខទាំង 49 ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងការ៉េ 7x7 គឺជាលេខបឋម។

7. លេខនីមួយៗនៃ 49 ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងការ៉េ 7x7 អាចត្រូវបានតំណាងជា 30n + 17 ។

កម្មវិធីដែលប្រើត្រូវបានសរសេរដោយខ្ញុំក្នុងភាសាសរសេរកម្មវិធី Dev-C++ ហើយខ្ញុំផ្តល់អត្ថបទរបស់ពួកគេនៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធ (សូមមើលឯកសារដែលមានផ្នែកបន្ថែម .cpp)។ បន្ថែមពីលើទាំងអស់ខាងលើ ខ្ញុំបានសរសេរកម្មវិធីដែលបំបែកលេខធម្មជាតិជាប់គ្នាទៅជាកត្តាបឋម (សូមមើល ការបែងចែក 1. cpp) និងកម្មវិធីដែលបំបែកតែលេខដែលបានបញ្ចូលទៅក្នុងកត្តាបឋម (សូមមើល ការបែងចែក 2. cpp) ។ ដោយសារកម្មវិធីទាំងនេះក្នុងទម្រង់ចងក្រងប្រើកន្លែងច្រើនពេក មានតែអត្ថបទរបស់ពួកគេប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនរណាម្នាក់អាចចងក្រងពួកវាបានប្រសិនបើពួកគេមានកម្មវិធីត្រឹមត្រូវ។

ជីវប្រវត្តិ​របស់​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​ពាក់ព័ន្ធ​នឹង​បញ្ហា​នៃ​លេខ​បឋម

EUCLIDES

(ប្រហែល ៣៣០ មុនគ.ស - ប្រហែល ២៧២ មុនគ.ស)

ព័ត៌មានដែលអាចទុកចិត្តបានតិចតួចបំផុតត្រូវបានរក្សាទុកអំពីជីវិតរបស់គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញបំផុតនៃសម័យបុរាណ។ វាត្រូវបានគេជឿថាគាត់បានសិក្សានៅទីក្រុងអាថែនដែលពន្យល់ពីពាក្យបញ្ជាដ៏អស្ចារ្យរបស់គាត់អំពីធរណីមាត្រដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសាលាផ្លាតូ។ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា តាម​មើល​ទៅ គាត់​មិន​សូវ​ស្គាល់​ការ​សរសេរ​របស់​អារីស្តូត​ទេ។ គាត់បានបង្រៀននៅអាឡិចសាន់ឌ្រី ជាកន្លែងដែលគាត់ទទួលបានការសរសើរខ្ពស់ចំពោះសកម្មភាពបង្រៀនរបស់គាត់ក្នុងរជ្ជកាលរបស់ Ptolemy I Soter ។ មានរឿងព្រេងមួយដែលស្តេចនេះទាមទារឱ្យបង្ហាញឱ្យគាត់ដឹងពីវិធីដើម្បីសម្រេចបានជោគជ័យយ៉ាងឆាប់រហ័សនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែល Euclid បានឆ្លើយថាមិនមានវិធីរបស់រាជនៅក្នុងធរណីមាត្រទេ (ទោះជាយ៉ាងណាក៏រឿងស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានប្រាប់ផងដែរអំពី Menchem ដែលត្រូវបានគេចោទសួរ។ អំពីដូចគ្នាដោយ Alexander the Great) ។ ទំនៀមទំលាប់បានរក្សាការចងចាំរបស់ Euclid ថាជាមនុស្សដែលមានចិត្តល្អ និងសុភាព។ Euclid គឺជាអ្នកនិពន្ធនៃសន្ធិសញ្ញាលើប្រធានបទផ្សេងៗ ប៉ុន្តែឈ្មោះរបស់គាត់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាចម្បងជាមួយនឹងសន្ធិសញ្ញាមួយដែលមានឈ្មោះថា "ការចាប់ផ្តើម" ។ វាគឺអំពីការប្រមូលផ្ដុំនៃស្នាដៃរបស់គណិតវិទូដែលបានធ្វើការមុនគាត់ (ដែលល្បីល្បាញជាងគេគឺ Hippocrates of Kos) លទ្ធផលដែលគាត់បាននាំមកនូវភាពល្អឥតខ្ចោះ ដោយសារសមត្ថភាពទូទៅ និងឧស្សាហ៍ព្យាយាម។

អយល័រ (អយល័រ) លីអូណាត

(Basel, Switzerland 1707 - St. Petersburg, 1783)

គណិតវិទូ មេកានិក និងរូបវិទ្យា។ កើតក្នុងគ្រួសាររបស់គ្រូគង្វាលក្រីក្រ Paul Euler ។ គាត់បានទទួលការអប់រំដំបូងពីឪពុករបស់គាត់ ហើយនៅឆ្នាំ 1720-24 នៅសាកលវិទ្យាល័យ Basel ជាកន្លែងដែលគាត់បានចូលរួមការបង្រៀនអំពីគណិតវិទ្យាដោយ I. Bernoulli ។

នៅចុងបញ្ចប់នៃឆ្នាំ 1726 អយល័រត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យទៅសាលាវិទ្យាសាស្ត្រ St. Petersburg ហើយនៅខែឧសភាឆ្នាំ 1727 បានមកដល់ទីក្រុង St. នៅក្នុងសាលាដែលបានរៀបចំថ្មី អយល័របានរកឃើញលក្ខខណ្ឌអំណោយផលសម្រាប់សកម្មភាពវិទ្យាសាស្ត្រ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យគាត់ចាប់ផ្តើមសិក្សាគណិតវិទ្យា និងមេកានិកភ្លាមៗ។ ក្នុងអំឡុងពេល 14 ឆ្នាំនៃសម័យ Petersburg ដំបូងនៃជីវិតរបស់គាត់ អយល័របានរៀបចំការងារប្រហែល 80 សម្រាប់បោះពុម្ព និងបោះពុម្ពច្រើនជាង 50 ។ នៅ St. Petersburg គាត់បានសិក្សាភាសារុស្សី។

អយល័របានចូលរួមក្នុងសកម្មភាពជាច្រើននៃបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រសាំងពេទឺប៊ឺគ។ គាត់បានផ្តល់ការបង្រៀនដល់និស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យសិក្សា ចូលរួមក្នុងការប្រឡងបច្ចេកទេសផ្សេងៗ ធ្វើការលើការចងក្រងផែនទីនៃប្រទេសរុស្ស៊ី និងបានសរសេរជាសាធារណៈ "ការណែនាំអំពីនព្វន្ធ" (1738-40) ។ តាមការណែនាំពិសេសពីបណ្ឌិត្យសភា អយល័របានរៀបចំសម្រាប់ការបោះពុម្ភផ្សាយវិទ្យាសាស្ត្រកងទ័ពជើងទឹក (១៧៤៩) ដែលជាការងារមូលដ្ឋានលើទ្រឹស្តីនៃការកសាងកប៉ាល់ និងការរុករក។

នៅឆ្នាំ 1741 អយល័របានទទួលយកការផ្តល់ជូនរបស់ស្តេច Prussian ហ្វ្រេឌ្រិចទី 2 ដើម្បីផ្លាស់ទៅទីក្រុងប៊ែរឡាំង ជាកន្លែងដែលការរៀបចំឡើងវិញនៃបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រនឹងប្រព្រឹត្តទៅ។ នៅបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រទីក្រុងប៊ែកឡាំង អយល័របានកាន់មុខតំណែងជានាយកថ្នាក់គណិតវិទ្យា និងជាសមាជិកក្រុមប្រឹក្សាភិបាល ហើយបន្ទាប់ពីការស្លាប់របស់ប្រធានទីមួយគឺ ភី ម៉ូភើទុយស (P. Maupertuis) អស់រយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំ (ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1759) គាត់ពិតជាបានដឹកនាំសាលា។ អស់រយៈពេល 25 ឆ្នាំនៃជីវិតរបស់គាត់នៅទីក្រុងប៊ែរឡាំងគាត់បានរៀបចំការងារប្រហែល 300 ដែលក្នុងនោះមានអក្សរកាត់ធំ ៗ មួយចំនួន។

ខណៈពេលដែលរស់នៅក្នុងទីក្រុងប៊ែកឡាំង អយល័រមិនបានឈប់ធ្វើការយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់សម្រាប់បណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រសាំងពេទឺប៊ឺគ ដោយរក្សាតំណែងជាសមាជិកកិត្តិយសរបស់ខ្លួន។ គាត់បានធ្វើការឆ្លើយឆ្លងតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិទ្យាសាស្ត្រយ៉ាងទូលំទូលាយ ជាពិសេសគាត់បានឆ្លើយឆ្លងជាមួយ M. Lomonosov ដែលគាត់កោតសរសើរយ៉ាងខ្លាំង។ អយល័រ​បាន​កែសម្រួល​ផ្នែក​គណិតវិទ្យា​នៃ​ស្ថាប័ន​វិទ្យាសាស្ត្រ​រុស្ស៊ី​ដែល​ក្នុង​អំឡុង​ពេល​នេះ​គាត់​បាន​បោះពុម្ព​អត្ថបទ​ស្ទើរតែ​ជាច្រើន​ដូច​ក្នុង​សៀវភៅ "អនុស្សាវរីយ៍​" នៃ​បណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រ​ទីក្រុង​ប៊ែរឡាំង។ គាត់បានចូលរួមយ៉ាងសកម្មក្នុងការបណ្តុះបណ្តាលគណិតវិទូរុស្ស៊ី; អ្នកសិក្សានាពេលអនាគត S. Kotelnikov, S. Rumovsky និង M. Sofronov ត្រូវបានបញ្ជូនទៅទីក្រុង Berlin ដើម្បីសិក្សាក្រោមការដឹកនាំរបស់គាត់។ អយល័របានផ្តល់ជំនួយដ៏អស្ចារ្យដល់បណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រសាំងពេទឺប៊ឺគ ទទួលបានអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងឧបករណ៍សម្រាប់វា ការចរចាជាមួយបេក្ខជនសម្រាប់មុខតំណែងនៅសាលា។ល។

នៅថ្ងៃទី 17 (28) ខែកក្កដា ឆ្នាំ 1766 អយល័រ និងគ្រួសាររបស់គាត់បានត្រលប់ទៅសាំងពេទឺប៊ឺគវិញ។ ថ្វីបើគាត់មានវ័យចំណាស់ និងពិការភ្នែកស្ទើរតែទាំងស្រុងដែលកើតមានចំពោះគាត់ក៏ដោយ គាត់បានធ្វើការប្រកបដោយផលិតភាពរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃជីវិតរបស់គាត់។ ក្នុងអំឡុងពេល 17 ឆ្នាំនៃការស្នាក់នៅលើកទីពីររបស់គាត់នៅសាំងពេទឺប៊ឺគគាត់បានរៀបចំការងារប្រហែល 400 ក្នុងចំណោមសៀវភៅធំ ៗ ជាច្រើន។ អយល័របានបន្តចូលរួមក្នុងការងាររៀបចំរបស់សាលា។ នៅឆ្នាំ 1776 គាត់គឺជាអ្នកជំនាញម្នាក់លើគម្រោងស្ពានតែមួយឆ្លងកាត់ Neva ដែលស្នើឡើងដោយ I. Kulibin ហើយក្រៅពីគណៈកម្មាការទាំងមូល គាត់តែម្នាក់ឯងបានផ្តល់ការគាំទ្រយ៉ាងទូលំទូលាយដល់គម្រោងនេះ។

គុណសម្បត្តិរបស់ អយល័រ ក្នុងនាមជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏លេចធ្លោ និងអ្នករៀបចំការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រ ត្រូវបានកោតសរសើរយ៉ាងខ្លាំងក្នុងអំឡុងពេលនៃជីវិតរបស់គាត់។ បន្ថែមពីលើសាលា St. Petersburg និង Berlin គាត់ជាសមាជិកនៃស្ថាប័នវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ធំបំផុតមួយគឺ Paris Academy of Sciences, Royal Society of London និងផ្សេងៗទៀត។

ចំណុចសំខាន់មួយនៃការងាររបស់ អយល័រ គឺផលិតភាពពិសេសរបស់គាត់។ មានតែក្នុងអំឡុងពេលនៃជីវិតរបស់គាត់ប៉ុណ្ណោះ សៀវភៅ និងអត្ថបទរបស់គាត់ប្រហែល 550 ត្រូវបានបោះពុម្ព (បញ្ជីនៃស្នាដៃរបស់អយល័រមានប្រហែល 850 ចំណងជើង)។ នៅឆ្នាំ 1909 សមាគមវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិស្វីសបានចាប់ផ្តើមបោះពុម្ពស្នាដៃទាំងស្រុងរបស់ អយល័រ ដែលត្រូវបានបញ្ចប់នៅឆ្នាំ 1975; វាមាន 72 ភាគ។ ការចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងគឺការឆ្លើយឆ្លងបែបវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ធំធេងរបស់អយល័រ (ប្រហែល 3,000 សំបុត្រ) ដែលរហូតមកដល់ពេលនេះត្រូវបានបោះពុម្ពតែផ្នែកខ្លះប៉ុណ្ណោះ។

រង្វង់នៃការសិក្សារបស់អយល័រគឺធំទូលាយមិនធម្មតា គ្របដណ្តប់គ្រប់ផ្នែកទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យា និងមេកានិកសហសម័យ ទ្រឹស្តីនៃការបត់បែន រូបវិទ្យា គណិតវិទ្យា អុបទិក ទ្រឹស្ដីតន្ត្រី ទ្រឹស្ដីម៉ាស៊ីន បាល់ទិក វិទ្យាសាស្ត្រសមុទ្រ អាជីវកម្មធានារ៉ាប់រង។ល។ ប្រហែល 3/5 នៃស្នាដៃរបស់អយល័រ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់គណិតវិទ្យា នៅសល់ 2/5 ជាចម្បងសម្រាប់កម្មវិធីរបស់វា។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានរៀបចំជាប្រព័ន្ធនូវលទ្ធផលរបស់គាត់ និងលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយអ្នកដ៏ទៃនៅក្នុងអក្សរកាត់បុរាណមួយចំនួន ដែលសរសេរដោយភាពច្បាស់លាស់ដ៏អស្ចារ្យ និងផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ដ៏មានតម្លៃ។ ទាំងនេះគឺជាឧទាហរណ៍ "មេកានិច ឬវិទ្យាសាស្ត្រនៃចលនា ដែលបានបញ្ជាក់ដោយការវិភាគ" (1736), "ការណែនាំអំពីការវិភាគ" (1748), "ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល" (1755), "ទ្រឹស្ដីនៃចលនានៃរាងកាយរឹង" (1765) ។ ) "Universal Arithmetic" (1768-69) ដែលបានឆ្លងកាត់ការបោះពុម្ពប្រហែល 30 ក្នុង 6 ភាសា "ការគណនាអាំងតេក្រាល" (1768-94) ។ល។ នៅសតវត្សទី XVIII ។ ហើយមួយផ្នែកនៅសតវត្សទី 19 ។ សំបុត្រដែលមានជាសាធារណៈលើបញ្ហារូបវន្ត និងទស្សនវិជ្ជាផ្សេងៗ ដែលសរសេរទៅកាន់ម្ចាស់ក្សត្រីជនជាតិអាឡឺម៉ង់មួយអង្គបានទទួលប្រជាប្រិយភាពយ៉ាងសម្បើម។ (១៧៦៨–៧៤) ដែល​បាន​ឆ្លង​កាត់​ការ​បោះពុម្ព​ជាង ៤០ ក្នុង ១០ ភាសា។ ខ្លឹមសារភាគច្រើននៃអក្សរកាត់របស់អយល័រត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងសៀវភៅសិក្សាសម្រាប់វិទ្យាល័យ និងអនុវិទ្យាល័យដោយផ្នែក។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការរាយបញ្ជីទ្រឹស្តីបទ វិធីសាស្រ្ត និងរូបមន្តទាំងអស់របស់អយល័រដែលបានប្រើរហូតមក ដែលក្នុងនោះមានតែពីរបីប៉ុណ្ណោះដែលលេចឡើងក្នុងអក្សរសិល្ប៍ក្រោមឈ្មោះរបស់គាត់ [ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្របន្ទាត់ខូចរបស់អយល័រ ការជំនួសអយល័រ ថេរអយល័រ សមីការអយល័រ រូបមន្តអយល័រ។ មុខងាររបស់អយល័រ, លេខអយល័រ, រូបមន្តអយល័រ - ម៉ាកឡូរិន, រូបមន្តអយល័រ-ហ្វូរីរី, លក្ខណៈអយល័រ, អាំងតេក្រាលអយល័រ, មុំអយល័រ] ។

នៅក្នុង "មេកានិក" អយល័របានពន្យល់ជាលើកដំបូងអំពីសក្ដានុពលនៃចំណុចមួយ ដោយមានជំនួយពីការវិភាគគណិតវិទ្យា៖ ចលនាដោយសេរីនៃចំណុចមួយនៅក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងផ្សេងៗទាំងនៅក្នុងកន្លែងទំនេរ និងនៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកដែលមានភាពធន់។ ចលនានៃចំណុចមួយនៅតាមបណ្តោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឬតាមបណ្តោយផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ; ចលនាក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងកណ្តាល។ នៅឆ្នាំ 1744 គាត់បានបង្កើតគោលការណ៍មេកានិកនៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត ហើយបានបង្ហាញពីកម្មវិធីដំបូងរបស់វា។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃចលនានៃរាងកាយរឹង អយល័របានបង្កើត kinematics និងឌីណាមិកនៃតួរឹង ហើយបានផ្តល់សមីការសម្រាប់ការបង្វិលរបស់វាជុំវិញចំណុចថេរមួយ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃ gyroscopes ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីរបស់គាត់អំពីកប៉ាល់ អយល័របានរួមចំណែកដ៏មានតម្លៃចំពោះទ្រឹស្ដីស្ថិរភាព។ សារៈសំខាន់គឺការរកឃើញរបស់អយល័រនៅក្នុងមេកានិចសេឡេស្ទាល (ឧទាហរណ៍នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃចលនារបស់ព្រះច័ន្ទ) និងមេកានិចបន្ត (សមីការជាមូលដ្ឋាននៃចលនានៃវត្ថុរាវដ៏ល្អក្នុងទម្រង់អយល័រ និងនៅក្នុងអ្វីដែលគេហៅថា អថេរ Lagrange ឧស្ម័ន។ លំយោលក្នុងបំពង់ជាដើម)។ នៅក្នុងអុបទិក អយល័រ (១៧៤៧) បានផ្តល់រូបមន្តសម្រាប់កែវថត biconvex ហើយបានស្នើវិធីសាស្ត្រសម្រាប់គណនាសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែររបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក។ អយល័របានប្រកាន់ខ្ជាប់នូវទ្រឹស្តីរលកនៃពន្លឺ។ គាត់ជឿថាពណ៌ផ្សេងគ្នាត្រូវគ្នាទៅនឹងរលកពន្លឺខុសៗគ្នា។ អយល័រ​បាន​ស្នើ​វិធី​ដើម្បី​លុប​បំបាត់​ភាព​ខុស​ប្រក្រតី​នៃ​កញ្ចក់ និង​បាន​ផ្តល់​វិធីសាស្ត្រ​សម្រាប់​គណនា​សមាសធាតុ​អុបទិក​នៃ​មីក្រូទស្សន៍។ អយល័រ​បាន​លះបង់​ស៊េរី​ការងារ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ ដែល​បាន​ចាប់ផ្តើម​ក្នុង​ឆ្នាំ ១៧៤៨ ចំពោះ​រូបវិទ្យា​គណិតវិទ្យា៖ បញ្ហា​នៃ​ការ​រំញ័រ​នៃ​ខ្សែអក្សរ ចាន ភ្នាស។ល។ ការសិក្សា​ទាំងអស់នេះ​បាន​ជំរុញ​ឱ្យ​មានការ​អភិវឌ្ឍ​ទ្រឹស្តី​នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល វិធីសាស្ត្រ​វិភាគ​ប្រហាក់ប្រហែល និង​ពិសេស។ . មុខងារ ធរណីមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ល។ របកគំហើញគណិតវិទ្យាជាច្រើនរបស់ អយល័រ មាននៅក្នុងស្នាដៃទាំងនេះយ៉ាងជាក់លាក់។

ការងារសំខាន់របស់អយល័រជាគណិតវិទូគឺការវិវឌ្ឍន៍នៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ គាត់បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាជាច្រើនដែលទើបតែនៅក្មេង ឬអវត្តមានទាំងស្រុងនៅក្នុងការគណនាគ្មានកំណត់នៃ I. Newton, G. Leibniz និងបងប្អូន Bernoulli ។ ដូច្នេះ អយល័រ គឺជាអ្នកដំបូងដែលណែនាំមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគ្រស្មាញ និងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋមនៃអថេរស្មុគស្មាញ (អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និងត្រីកោណមាត្រ); ជាពិសេស គាត់ទទួលបានរូបមន្តដែលទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទៅអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ការងាររបស់អយល័រក្នុងទិសដៅនេះបានសម្គាល់ការចាប់ផ្តើមនៃទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។

អយល័រគឺជាអ្នកបង្កើតការគណនាបំរែបំរួលដែលត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងការងារ "វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកបន្ទាត់កោងដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិអតិបរមាឬអប្បបរមា។ » (១៧៤៤)។ វិធីសាស្រ្តដែលអយល័រក្នុងឆ្នាំ 1744 ទទួលបានលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ សមីការអយល័រ គឺជាគំរូដើមនៃវិធីសាស្ត្រផ្ទាល់នៃការគណនាបំរែបំរួលនៃសតវត្សទី 20 ។ អយល័របានបង្កើតទ្រឹស្ដីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាជាវិន័យឯករាជ្យ ហើយបានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ នៅទីនេះគាត់ជាម្ចាស់ការរកឃើញមួយចំនួនធំ៖ វិធីសាស្ត្របុរាណនៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណថេរ វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត ការបំភ្លឺនៃលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមីការ Riccati ការរួមបញ្ចូលនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណអថេរដោយប្រើស៊េរីគ្មានកំណត់។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ដំណោះស្រាយពិសេស គោលលទ្ធិនៃកត្តារួមបញ្ចូល វិធីសាស្ត្រប្រហាក់ប្រហែលផ្សេងៗ និងបច្ចេកទេសមួយចំនួនសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ អយល័របានចងក្រងផ្នែកសំខាន់នៃលទ្ធផលទាំងនេះនៅក្នុង "ការគណនាអាំងតេក្រាល" របស់គាត់។

អយល័រក៏បានពង្រឹងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាលក្នុងន័យតូចចង្អៀតនៃពាក្យ (ឧទាហរណ៍ ទ្រឹស្តីនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីមុខងារដូចគ្នា គំនិតនៃអាំងតេក្រាលទ្វេ និងការគណនានៃអាំងតេក្រាលពិសេសជាច្រើន)។ នៅក្នុង "Differential Calculus" អយល័របានសម្តែង និងគាំទ្រជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃការជឿជាក់របស់គាត់ក្នុងភាពរហ័សរហួននៃការប្រើប្រាស់ស៊េរីផ្សេងគ្នា និងវិធីសាស្រ្តដែលបានស្នើឡើងសម្រាប់ការបូកសរុបនៃស៊េរី ដោយគិតទុកជាមុននូវគំនិតនៃទ្រឹស្តីដ៏តឹងរឹងទំនើបនៃស៊េរី divergent ដែលបានបង្កើតឡើងនៅវេននៃ សតវត្សទី 19 និង 20 ។ លើសពីនេះទៀត អយល័រ ទទួលបានលទ្ធផលជាក់ស្តែងជាច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃស៊េរី។ គាត់បានបើកអ្វីដែលគេហៅថា។ រូបមន្តសង្ខេប Euler-Maclaurin បានស្នើការផ្លាស់ប្តូរស៊េរីដែលមានឈ្មោះរបស់គាត់ កំណត់ផលបូកនៃស៊េរីមួយចំនួនធំ និងណែនាំប្រភេទសំខាន់ៗថ្មីនៃស៊េរីទៅជាគណិតវិទ្យា (ឧទាហរណ៍ ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ)។ ការសិក្សារបស់អយល័រលើទ្រឹស្ដីនៃប្រភាគបន្ត និងដំណើរការគ្មានកំណត់ផ្សេងទៀតជាប់នៅទីនេះ។

អយល័រគឺជាអ្នកបង្កើតទ្រឹស្តីនៃមុខងារពិសេស។ ដំបូងគាត់ចាប់ផ្តើមពិចារណាស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសជាមុខងារ ហើយមិនមែនជាផ្នែកនៅក្នុងរង្វង់ទេ។ គាត់បានទទួលការពង្រីកបុរាណស្ទើរតែទាំងអស់នៃមុខងារបឋមទៅជាស៊េរី និងផលិតផលគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងស្នាដៃរបស់គាត់ទ្រឹស្តីនៃមុខងារγត្រូវបានបង្កើតឡើង។ គាត់បានស៊ើបអង្កេតលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលរាងអេលីប មុខងារអ៊ីពែរបូល និងស៊ីឡាំង មុខងារζ អនុគមន៍θ មួយចំនួន លោការីតអាំងតេក្រាល និងថ្នាក់សំខាន់ៗនៃពហុនាមពិសេស។

យោងតាមលោក P. Chebyshev អយល័របានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវទាំងអស់ដែលបង្កើតជាផ្នែកទូទៅនៃទ្រឹស្តីលេខ។ ដូច្នេះ អយល័របានបង្ហាញពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយចំនួនដែលធ្វើឡើងដោយ P. Fermat (ឧទាហរណ៍ ទ្រឹស្តីបទតិចតួចរបស់ Fermat) បានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្ដីនៃសំណល់ថាមពល និងទ្រឹស្តីនៃទម្រង់បួនជ្រុង បានរកឃើញ (ប៉ុន្តែមិនបានបញ្ជាក់) ច្បាប់បដិវត្តបួនជ្រុង។ និងបានសិក្សាពីបញ្ហាមួយចំនួនក្នុងការវិភាគ Diophantine ។ នៅក្នុងស្នាដៃស្តីពីការបែងចែកលេខទៅជាពាក្យ និងទ្រឹស្តីនៃចំនួនបឋម អយល័រគឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគ ដូច្នេះជាអ្នកបង្កើតទ្រឹស្តីលេខវិភាគ។ ជាពិសេសគាត់បានណែនាំមុខងារ ζ និងបង្ហាញពីអ្វីដែលគេហៅថា។ អត្តសញ្ញាណរបស់អយល័រដែលទាក់ទងនឹងលេខបឋមទៅនឹងលេខធម្មជាតិទាំងអស់។

គុណសម្បត្តិរបស់អយល័រក៏អស្ចារ្យផងដែរនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងពិជគណិត គាត់ធ្វើការលើដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់នៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ និងលើសមីការនៅក្នុងចំនួនមិនស្គាល់ពីរ ក៏ដូចជាអ្វីដែលហៅថា។ អត្តសញ្ញាណបួនជ្រុងរបស់អយល័រ។ អយល័របានធ្វើឱ្យមានការវិវឌ្ឍន៍យ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ជាពិសេសនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល គាត់បានសិក្សាលម្អិតអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃបន្ទាត់ភូមិសាស្ត្រ ដែលជាលើកដំបូងបានអនុវត្តសមីការធម្មជាតិនៃខ្សែកោង ហើយសំខាន់បំផុតនោះគាត់បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃផ្ទៃ។ គាត់បានណែនាំពីគោលគំនិតនៃទិសដៅសំខាន់នៅចំណុចមួយលើផ្ទៃមួយ បង្ហាញរាងមូលរបស់ពួកគេ ទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់កោងនៃផ្នែកធម្មតាណាមួយ បានចាប់ផ្តើមការសិក្សាលើផ្ទៃដែលអាចអភិវឌ្ឍបាន។ល។ នៅក្នុងការងារមួយដែលត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយក្រោយស្លាប់ (1862) គាត់បានរំពឹងទុកផ្នែកខ្លះនៃការស្រាវជ្រាវរបស់ K. Gauss លើធរណីមាត្រខាងក្នុងនៃផ្ទៃ។ អយល័រក៏បានដោះស្រាយជាមួយនឹងសំណួរបុគ្គលនៃ topology និងបានបង្ហាញឱ្យឃើញឧទាហរណ៍ទ្រឹស្តីបទដ៏សំខាន់មួយនៅលើ polyhedra ប៉ោង។ អយល័រ គណិតវិទូ ជារឿយៗត្រូវបានពិពណ៌នាថាជា "ម៉ាស៊ីនគិតលេខ" ដ៏អស្ចារ្យ។ ជាការពិត គាត់គឺជាមេដែលមិនអាចប្រៀបផ្ទឹមបាននៃការគណនា និងការបំប្លែងជាផ្លូវការ នៅក្នុងស្នាដៃរបស់គាត់ រូបមន្ត និងនិមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យាជាច្រើនបានទទួលនូវរូបរាងទំនើប (ឧទាហរណ៍ គាត់ជាម្ចាស់ការរចនាសម្រាប់ e និង π)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អយល័រក៏បានណែនាំគំនិតស៊ីជម្រៅមួយចំនួនទៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ ដែលឥឡូវនេះត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងធ្វើជាគំរូសម្រាប់ជម្រៅនៃការជ្រៀតចូលទៅក្នុងប្រធានបទនៃការស្រាវជ្រាវ។

យោងតាមលោក P. Laplace អយល័រគឺជាគ្រូបង្រៀនគណិតវិទូនៅពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 18 ។

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren បច្ចុប្បន្នអាល្លឺម៉ង់ ឆ្នាំ 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

គាត់បានសិក្សានៅទីក្រុងប៉ារីស រក្សាទំនាក់ទំនងមិត្តភាពជាមួយគណិតវិទូឆ្នើម ជាពិសេសជាមួយ Fourier ។ នៅពេលទទួលបានសញ្ញាបត្រ គាត់បានធ្វើជាសាស្រ្តាចារ្យនៅសាកលវិទ្យាល័យ Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) និង Göttingen ជាកន្លែងដែលគាត់បានក្លាយជាប្រធាននាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យាបន្ទាប់ពីការស្លាប់របស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ Carl Friedrich Gauss ។ ការរួមចំណែកដ៏ឆ្នើមបំផុតរបស់គាត់ចំពោះវិទ្យាសាស្ត្រទាក់ទងនឹងទ្រឹស្ដីលេខ ជាចម្បង ការសិក្សាអំពីស៊េរី។ នេះបានអនុញ្ញាតឱ្យគាត់បង្កើតទ្រឹស្តីស៊េរីដែលស្នើឡើងដោយ Fourier ។ បានបង្កើតកំណែផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់នៃភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat ប្រើមុខងារវិភាគដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានព្វន្ធ និងណែនាំលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ស៊េរី។ នៅក្នុងផ្នែកនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាគាត់បានធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងនូវនិយមន័យនិងគំនិតនៃមុខងារមួយនៅក្នុងវិស័យមេកានិចទ្រឹស្តីគាត់បានផ្តោតលើការសិក្សាអំពីស្ថេរភាពនៃប្រព័ន្ធនិងលើគំនិត Newtonian នៃសក្តានុពល។

CHEBYSHEV PAFNUTIY LVOVYCH

គណិតវិទូជនជាតិរុស្សី ស្ថាបនិកសាលាវិទ្យាសាស្ត្រសាំងពេទឺប៊ឺគ អ្នកសិក្សានៃបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រសាំងពេទឺប៊ឺគ (១៨៥៦)។ ស្នាដៃរបស់ Chebyshev បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍសាខាថ្មីជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា។

ស្នាដៃជាច្រើនរបស់ Chebyshev គឺនៅក្នុងផ្នែកនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ជាពិសេស គាត់គឺជាប្រធានបទនៃនិក្ខេបបទសម្រាប់សិទ្ធិក្នុងការបង្រៀន ដែលក្នុងនោះ Chebyshev បានស៊ើបអង្កេតលើភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃការបញ្ចេញមតិមិនសមហេតុផលមួយចំនួននៅក្នុងមុខងារពិជគណិត និងលោការីត។ Chebyshev ក៏បានលះបង់ការងារមួយចំនួនទៀតក្នុងការរួមបញ្ចូលមុខងារពិជគណិត។ នៅក្នុងមួយក្នុងចំណោមពួកគេ (1853) ទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីមួយអំពីលក្ខខណ្ឌនៃអាំងតេក្រាលនៅក្នុងមុខងារបឋមនៃ binomial ឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានទទួល។ ផ្នែកសំខាន់មួយនៃការស្រាវជ្រាវក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺជាការងាររបស់គាត់លើការកសាងទ្រឹស្តីទូទៅនៃពហុធាអ័រតូហ្គោន។ ហេតុផលសម្រាប់ការបង្កើតរបស់វាគឺការបង្រួបបង្រួមប៉ារ៉ាបូលដោយវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ ការស៊ើបអង្កេតរបស់ Chebyshev លើបញ្ហានៃគ្រា និងរូបមន្តបួនជ្រុងជាប់នឹងរង្វង់គំនិតដូចគ្នា។ ជាមួយនឹងការកាត់បន្ថយការគណនាក្នុងចិត្ត Chebyshev បានស្នើ (1873) ដើម្បីពិចារណារូបមន្ត quadrature ដែលមានមេគុណស្មើគ្នា (ការរួមបញ្ចូលប្រហាក់ប្រហែល) ។ ការស្រាវជ្រាវលើរូបមន្ត quadrature និងទ្រឹស្តីនៃ interpolation ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់យ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយនឹងភារកិច្ចដែលត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ Chebyshev នៅក្នុងនាយកដ្ឋានកាំភ្លើងធំនៃគណៈកម្មាធិការវិទ្យាសាស្ត្រយោធា។

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ Chebyshev ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងការណែនាំជាប្រព័ន្ធចំពោះការពិចារណានៃអថេរចៃដន្យ និងការបង្កើតបច្ចេកទេសថ្មីសម្រាប់ការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ - អ្វីដែលគេហៅថា។ វិធីសាស្រ្តនៃគ្រា (1845, 1846, 1867, 1887) ។ គាត់បានបង្ហាញពីច្បាប់នៃចំនួនដ៏ធំនៅក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ; ទន្ទឹមនឹងនេះ ភស្តុតាងរបស់គាត់គឺមានភាពទាក់ទាញនៅក្នុងភាពសាមញ្ញ និងបឋមរបស់វា។ Chebyshev មិនបានបញ្ចប់ការសិក្សាអំពីលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃមុខងារចែកចាយនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យទៅនឹងច្បាប់ធម្មតា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ A. A. Markov បានគ្រប់គ្រងដើម្បីធ្វើដូច្នេះជាមួយនឹងការបន្ថែមមួយចំនួននៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Chebyshev ។ ដោយគ្មានប្រភពច្បាស់លាស់ Chebyshev ក៏បានគូសបញ្ជាក់អំពីលទ្ធភាពនៃការចម្រាញ់នៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់នេះក្នុងទម្រង់នៃការពង្រីក asymptotic នៃមុខងារចែកចាយនៃផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យនៅក្នុងអំណាចនៃ n21/2 ដែល n ជាចំនួនពាក្យ។ ការងាររបស់ Chebyshev លើទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបង្កើតជាដំណាក់កាលសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា។ លើសពីនេះទៀតពួកគេជាមូលដ្ឋានដែលសាលារុស្ស៊ីនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបានធំឡើងដែលដំបូងឡើយមានសិស្សផ្ទាល់របស់ Chebyshev ។

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, ជិត Intra, Italy 66)

គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់។ នៅឆ្នាំ 1846 គាត់បានចូលសាកលវិទ្យាល័យ Göttingen៖ គាត់បានស្តាប់ការបង្រៀនរបស់ K. Gauss ដែលគំនិតជាច្រើនត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគាត់នៅពេលក្រោយ។ ក្នុង​ឆ្នាំ 1847–49 លោក​បាន​ចូល​រួម​ការ​បង្រៀន​នៅ​សាកល​វិទ្យាល័យ Berlin; នៅឆ្នាំ 1849 គាត់បានត្រលប់ទៅ Göttingen ជាកន្លែងដែលគាត់បានក្លាយជាមិត្តជិតស្និទ្ធជាមួយអ្នកសហការរបស់ Gauss ដែលជារូបវិទូ W. Weber ដែលបានធ្វើឱ្យគាត់ចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងចំពោះសំណួរនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិគណិតវិទ្យា។

នៅឆ្នាំ 1851 គាត់បានការពារនិក្ខេបបទថ្នាក់បណ្ឌិតរបស់គាត់ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីទូទៅនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ" ។ ពីឆ្នាំ 1854 Privatdozent ពីឆ្នាំ 1857 សាស្រ្តាចារ្យនៅសាកលវិទ្យាល័យ Göttingen ។

ការងាររបស់ Riemann មានឥទិ្ធពលយ៉ាងខ្លាំងលើការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យានៅពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 19 ។ និងនៅក្នុងសតវត្សទី 20 ។ នៅក្នុងវិញ្ញាបនបត្រថ្នាក់បណ្ឌិតរបស់គាត់ Riemann បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ទិសដៅធរណីមាត្រនៃទ្រឹស្តីនៃមុខងារវិភាគ។ គាត់បានណែនាំនូវអ្វីដែលហៅថាផ្ទៃ Riemann ដែលមានសារៈសំខាន់ក្នុងការសិក្សាមុខងារពហុគុណ បានបង្កើតទ្រឹស្ដីនៃការគូសវាសស្របគ្នា ហើយភ្ជាប់ជាមួយនេះ បានផ្តល់គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃ topology បានសិក្សាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារវិភាគនៅក្នុងតំបន់។ នៃប្រភេទផ្សេងៗ (គេហៅថាគោលការណ៍ Dirichlet)។ល។ វិធីសាស្រ្តដែលបង្កើតឡើងដោយ Riemann ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងការងារបន្ថែមទៀតរបស់គាត់លើទ្រឹស្តីនៃមុខងារពិជគណិត និងអាំងតេក្រាល លើទ្រឹស្តីវិភាគនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ជាពិសេសសមីការដែលកំណត់មុខងារ hypergeometric) នៅលើទ្រឹស្តីលេខវិភាគ (ឧទាហរណ៍ Riemann បានបង្ហាញពីការតភ្ជាប់រវាងការចែកចាយនៃលេខបឋម និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ζ ជាពិសេសជាមួយនឹងការចែកចាយសូន្យរបស់វានៅក្នុងដែនស្មុគស្មាញ - អ្វីដែលគេហៅថាសម្មតិកម្ម Riemann ដែលជា សុពលភាពដែលមិនទាន់ត្រូវបានបញ្ជាក់) ។ល។

នៅក្នុងឯកសារមួយចំនួន Riemann បានស៊ើបអង្កេតលើការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ ហើយទាក់ទងនឹងបញ្ហានេះ បានកំណត់លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាក្នុងន័យរបស់ Riemann ដែលមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃសំណុំ និងមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដមួយ។ . Riemann ក៏បានស្នើវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក (ឧទាហរណ៍ ការប្រើប្រាស់អ្វីដែលគេហៅថា Riemann invariants និងមុខងារ Riemann)។

នៅក្នុងការបង្រៀនដ៏ល្បីល្បាញឆ្នាំ 1854 របស់គាត់ "On the hypotheses underlying Geometry" (1867) Riemann បានផ្តល់គំនិតទូទៅនៃលំហគណិតវិទ្យា (តាមពាក្យរបស់គាត់ "manifolds") រួមទាំងមុខងារ និង topological spaces ។ នៅទីនេះគាត់បានចាត់ទុកធរណីមាត្រក្នុងន័យទូលំទូលាយថាជាគោលលទ្ធិនៃការបន្តនៃ manifolds n-dimensional ពោលគឺការប្រមូលផ្តុំនៃវត្ថុដូចគ្នាណាមួយ ហើយជាទូទៅលទ្ធផលនៃ Gauss នៅលើធរណីមាត្រខាងក្នុងនៃផ្ទៃមួយ គាត់បានផ្តល់នូវគំនិតទូទៅនៃធាតុលីនេអ៊ែរ។ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចម្ងាយរវាងចំនុចនៃ manifold) ដោយហេតុនេះកំណត់នូវអ្វីដែលគេហៅថា Finsler spaces ។ លម្អិតបន្ថែមទៀត Riemann បានចាត់ទុកអ្វីដែលគេហៅថា លំហ Riemannian ដោយធ្វើឱ្យទូទៅនូវចន្លោះនៃធរណីមាត្រនៃ Euclid, Lobachevsky និងធរណីមាត្ររាងអេលីបរបស់ Riemann ដែលកំណត់ដោយប្រភេទពិសេសនៃធាតុលីនេអ៊ែរ ហើយបានបង្កើតទ្រឹស្តីនៃកោងរបស់វា។ ដោយពិភាក្សាអំពីការអនុវត្តគំនិតរបស់គាត់ចំពោះលំហរូបវន្ត លោក Riemann បានលើកសំណួរអំពី "មូលហេតុនៃលក្ខណៈសម្បត្តិម៉ែត្រ" របស់វា ដូចជាការរំពឹងទុកនូវអ្វីដែលបានធ្វើនៅក្នុងទ្រឹស្តីទូទៅនៃទំនាក់ទំនង។

គំនិត និងវិធីសាស្រ្តដែលស្នើឡើងដោយ Riemann បានបើកផ្លូវថ្មីក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា ហើយបានរកឃើញការអនុវត្តនៅក្នុងមេកានិច និងទ្រឹស្តីទូទៅនៃទំនាក់ទំនង។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានស្លាប់នៅឆ្នាំ 1866 ដោយសារជំងឺរបេង។

លេខគឺខុសគ្នា៖ ធម្មជាតិ ធម្មជាតិ សនិទានលេខ ចំនួនគត់ និងប្រភាគ វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ស្មុគស្មាញ និងបឋម សេស និងគូ ពិត។ល។ ពីអត្ថបទនេះអ្នកអាចរៀនពីអ្វីដែលជាលេខបឋម។

តើ​លេខ​ប៉ុន្មាន​ដែល​គេ​ហៅ​ពាក្យ​អង់គ្លេស​ថា​សាមញ្ញ?

ជាញឹកញយ សិស្សសាលាមិនដឹងពីរបៀបឆ្លើយសំណួរមួយក្នុងចំណោមសំណួរសាមញ្ញបំផុតក្នុងគណិតវិទ្យា អំពីអ្វីដែលជាចំនួនបឋម។ ពួកគេច្រើនតែច្រឡំលេខបឋមជាមួយលេខធម្មជាតិ (នោះគឺជាលេខដែលមនុស្សប្រើនៅពេលរាប់វត្ថុ ខណៈពេលដែលនៅក្នុងប្រភពខ្លះពួកគេចាប់ផ្តើមពីលេខសូន្យ ហើយខ្លះទៀត - ពីមួយ)។ ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺជាគំនិតខុសគ្នាទាំងស្រុង។ លេខបឋមគឺជាលេខធម្មជាតិ ពោលគឺចំនួនគត់ និងលេខវិជ្ជមានដែលធំជាងមួយ ហើយដែលមានតែ 2 ការបែងចែកធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុង​ករណី​នេះ មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ផ្នែក​ទាំង​នេះ​គឺ​ជា​លេខ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ ហើយ​ទីពីរ​គឺ​ជា​ឯកតា។ ជាឧទាហរណ៍ លេខបីជាលេខដំបូង ព្រោះវាមិនអាចបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយលេខណាមួយក្រៅពីខ្លួនវា និងលេខមួយ។

លេខផ្សំ

លេខដែលផ្ទុយពីលេខបឋមគឺជាលេខផ្សំ។ ពួកវាក៏ជាធម្មជាតិដែរ ធំជាងមួយ ប៉ុន្តែមិនមានពីរទេ ប៉ុន្តែមានការបែងចែកច្រើនជាង។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ លេខ 4, 6, 8, 9 ជាដើម គឺជាលេខធម្មជាតិ សមាសធាតុ ប៉ុន្តែមិនមែនជាលេខបឋមទេ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ទាំងនេះភាគច្រើនជាលេខគូ ប៉ុន្តែមិនមែនទាំងអស់ទេ។ ប៉ុន្តែ "ពីរ" គឺជាលេខគូ និង "លេខទីមួយ" នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខបឋម។

បន្តបន្ទាប់

ដើម្បីបង្កើតស៊េរីនៃលេខបឋម វាចាំបាច់ក្នុងការជ្រើសរើសពីលេខធម្មជាតិទាំងអស់ ដោយគិតគូរពីនិយមន័យរបស់ពួកគេ ពោលគឺអ្នកត្រូវធ្វើសកម្មភាពដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាលើចំនួនវិជ្ជមានធម្មជាតិនីមួយៗលើប្រធានបទថាតើវាមានការបែងចែកលើសពីពីរ។ ចូរយើងព្យាយាមបង្កើតស៊េរី (លំដាប់) ដែលមានលេខបឋម។ បញ្ជីចាប់ផ្តើមដោយពីរ បន្ទាប់មកមកបី ព្រោះវាគ្រាន់តែបែងចែកដោយខ្លួនវា និងមួយប៉ុណ្ណោះ។ ពិចារណាលេខបួន។ តើវាមានការបែងចែកក្រៅពីបួន និងមួយទេ? បាទ លេខនោះគឺ 2។ ដូច្នេះ បួនមិនមែនជាលេខសំខាន់ទេ។ ប្រាំក៏ជាលេខសំខាន់ដែរ (ក្រៅពីលេខ 1 និង 5 វាមិនត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀតទេ) ប៉ុន្តែប្រាំមួយគឺអាចបែងចែកបាន។ ហើយជាទូទៅ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមលេខគូទាំងអស់ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថា ក្រៅពី "ពីរ" គ្មានលេខណាមួយជាលេខសំខាន់នោះទេ។ ពីនេះយើងសន្និដ្ឋានថាលេខគូលើកលែងតែលេខពីរមិនមែនជាលេខសំខាន់ទេ។ របកគំហើញមួយទៀត៖ លេខទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយបី លើកលែងតែលេខបី ទោះជាលេខសេស ឬលេខសេស ក៏មិនមែនជាលេខសំខាន់ដែរ (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ។ល។)។ អនុវត្តដូចគ្នាចំពោះលេខដែលបែងចែកដោយប្រាំ និងប្រាំពីរ។ ឈុតរបស់ពួកគេទាំងអស់ក៏មិនសាមញ្ញដែរ។ ចូរយើងសង្ខេប។ ដូច្នេះ លេខសេសទាំងអស់ លើកលែងតែលេខមួយ និងលេខប្រាំបួន ជារបស់លេខមួយខ្ទង់សាមញ្ញ ហើយមានតែ "ពីរ" ប៉ុណ្ណោះពីលេខគូ។ ដប់ខ្លួនឯង (10, 20, ... 40, ល) មិនមែនជាបឋម។ លេខពីរខ្ទង់ បីខ្ទង់។ល។ លេខបឋមអាចកំណត់បានដោយផ្អែកលើគោលការណ៍ខាងលើ៖ ប្រសិនបើពួកគេមិនមានការបែងចែកផ្សេងក្រៅពីខ្លួនគេ និងលេខមួយ។

ទ្រឹស្តីអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលេខបឋម

មានវិទ្យាសាស្ត្រដែលសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃចំនួនគត់ រួមទាំងបឋម។ នេះគឺជាសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានគេហៅថាខ្ពស់ជាង។ បន្ថែមពីលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃចំនួនគត់ នាងក៏ដោះស្រាយជាមួយលេខពិជគណិត លេខឆ្លង ក៏ដូចជាមុខងារនៃប្រភពដើមផ្សេងៗដែលទាក់ទងនឹងនព្វន្ធនៃលេខទាំងនេះ។ នៅក្នុងការសិក្សាទាំងនេះ បន្ថែមពីលើវិធីសាស្ត្របឋម និងពិជគណិត ការវិភាគ និងធរណីមាត្រក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ។ ជាពិសេសការសិក្សានៃលេខបឋមទាក់ទងនឹង "ទ្រឹស្តីលេខ" ។

លេខសំខាន់គឺជា "ប្លុកសំណង់" នៃលេខធម្មជាតិ

នៅក្នុងនព្វន្ធមានទ្រឹស្តីបទមួយហៅថា ទ្រឹស្តីបទមេ។ យោងទៅតាមវា លេខធម្មជាតិណាមួយ លើកលែងតែការរួបរួម អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផល កត្តាដែលជាលេខសំខាន់ ហើយលំដាប់នៃកត្តាគឺមានតែមួយគត់ ដែលមានន័យថាវិធីសាស្ត្រតំណាងគឺមានតែមួយគត់។ វាត្រូវបានគេហៅថា decomposition នៃចំនួនធម្មជាតិទៅជាកត្តាចម្បង។ មានឈ្មោះផ្សេងទៀតសម្រាប់ដំណើរការនេះ - កត្តានៃលេខ។ បន្តពីនេះ លេខសំខាន់ៗអាចត្រូវបានគេហៅថា "សម្ភារៈសំណង់", "ប្លុក" សម្រាប់ការសាងសង់លេខធម្មជាតិ។

ស្វែងរកលេខសំខាន់ៗ។ ការធ្វើតេស្តភាពសាមញ្ញ

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើននៃសម័យផ្សេងៗគ្នាបានព្យាយាមស្វែងរកគោលការណ៍មួយចំនួន (ប្រព័ន្ធ) សម្រាប់ស្វែងរកបញ្ជីលេខបឋម។ វិទ្យាសាស្រ្តដឹងពីប្រព័ន្ធដែលហៅថា Sieve របស់ Atkin, Sieve របស់ Sundartam, Sieve របស់ Eratosthenes ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ពួកគេមិនផ្តល់លទ្ធផលសំខាន់ណាមួយទេ ហើយការធ្វើតេស្តសាមញ្ញមួយត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកលេខបឋម។ ក្បួនដោះស្រាយក៏ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូផងដែរ។ ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាការធ្វើតេស្តបឋម។ ជាឧទាហរណ៍ មានការធ្វើតេស្តដែលបង្កើតឡើងដោយ Rabin និង Miller ។ វាត្រូវបានប្រើដោយអ្នកសរសេរកូដសម្ងាត់។ ក៏មានការធ្វើតេស្ត Kayala-Agrawala-Saskena ផងដែរ។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទោះបីជាមានភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ក៏ដោយ វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការគណនា ដែលកាត់បន្ថយតម្លៃជាក់ស្តែងរបស់វា។

តើសំណុំនៃបឋមមានដែនកំណត់ទេ?

ការពិតដែលថាសំណុំនៃបឋមគឺគ្មានកំណត់ត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងសៀវភៅ "ការចាប់ផ្តើម" ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Euclid ។ គាត់​បាន​និយាយ​ថា​៖ «​សូម​ស្រមៃ​មើល​មួយ​ភ្លែត​ថា​លេខ​បឋម​មាន​ដែនកំណត់។ បន្ទាប់មក ចូរគុណពួកវាជាមួយគ្នា ហើយបន្ថែមមួយទៅផលិតផល។ លេខដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការសាមញ្ញទាំងនេះមិនអាចបែងចែកដោយស៊េរីនៃលេខបឋមណាមួយបានទេ ពីព្រោះចំនួនដែលនៅសល់នឹងតែងតែជាលេខមួយ។ ហើយ​នេះ​មាន​ន័យ​ថា​មាន​លេខ​មួយ​ចំនួន​ទៀត​ដែល​មិន​ទាន់​បញ្ចូល​ក្នុង​បញ្ជី​លេខ​បឋម។ ដូច្នេះ ការសន្មត់របស់យើងមិនពិតទេ ហើយសំណុំនេះមិនអាចមានដែនកំណត់បានទេ។ បន្ថែមពីលើភស្តុតាងរបស់ Euclid មានរូបមន្តទំនើបជាងដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយគណិតវិទូជនជាតិស្វីសនៅសតវត្សទីដប់ប្រាំបី Leonhard Euler ។ យោងទៅតាមគាត់ ផលបូក ផលបូកនៃលេខ n ទីមួយ លូតលាស់ដោយគ្មានកំណត់ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួន n ។ ហើយនេះគឺជារូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទទាក់ទងនឹងការបែងចែកលេខបឋម៖ (n) លូតលាស់ដូច n / ln (n) ។

តើលេខបឋមធំបំផុតគឺជាអ្វី?

Leonard Euler ដូចគ្នាទាំងអស់អាចស្វែងរកលេខធំបំផុតសម្រាប់ពេលវេលារបស់គាត់។ នេះគឺ 2 31 - 1 = 2147483647 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅឆ្នាំ 2013 ភាពត្រឹមត្រូវបំផុតមួយផ្សេងទៀតនៅក្នុងបញ្ជីលេខបឋមត្រូវបានគណនា - 2 57885161 - 1. វាត្រូវបានគេហៅថាលេខ Mersenne ។ វាមានប្រហែល 17 លានខ្ទង់ទសភាគ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញចំនួនដែលបានរកឃើញដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រពីសតវត្សទីដប់ប្រាំបីគឺតូចជាងនេះច្រើនដង។ វាគួរតែដូច្នេះហើយ ព្រោះអយល័របានធ្វើការគណនានេះដោយដៃ ខណៈពេលដែលសហសម័យរបស់យើងប្រហែលជាត្រូវបានជួយដោយកុំព្យូទ័រ។ ជាងនេះទៅទៀត លេខនេះត្រូវបានទទួលនៅនាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យានៅក្នុងនាយកដ្ឋានមួយរបស់អាមេរិក។ លេខដែលដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនេះឆ្លងកាត់ការធ្វើតេស្ត Luc-Lehmer primality ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយវិទ្យាសាស្ត្រមិនចង់ឈប់នៅទីនោះទេ។ មូលនិធិ Electronic Frontier Foundation ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងឆ្នាំ 1990 នៅសហរដ្ឋអាមេរិក (EFF) បានផ្តល់រង្វាន់ជារូបិយវត្ថុសម្រាប់ការស្វែងរកលេខសំខាន់ៗ។ ហើយប្រសិនបើរហូតដល់ឆ្នាំ 2013 រង្វាន់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទាំងនោះដែលនឹងរកឃើញពួកគេពីក្នុងចំណោមលេខទសភាគ 1 និង 10 លាននោះ ថ្ងៃនេះតួលេខនេះបានឈានដល់ពី 100 លានទៅ 1 ពាន់លាន។ រង្វាន់មានចាប់ពី 150 ទៅ 250 ពាន់ដុល្លារអាមេរិក។

ឈ្មោះនៃលេខពិសេស

លេខទាំងនោះដែលត្រូវបានរកឃើញដោយអរគុណចំពោះក្បួនដោះស្រាយដែលបង្កើតឡើងដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជាក់លាក់ និងបានឆ្លងកាត់ការធ្វើតេស្តភាពសាមញ្ញត្រូវបានគេហៅថាពិសេស។ នេះគឺជាពួកគេមួយចំនួន៖

1. Mersin ។

4. Cullen ។

6. Mills et al ។

ភាពសាមញ្ញនៃលេខទាំងនេះ ដែលដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រខាងលើ ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើការធ្វើតេស្តដូចខាងក្រោមៈ

1. Lucas-Lemer ។

2. Pepina ។

3. រៀល។

4. Billhart - Lehmer - Selfridge និងអ្នកដទៃ។

វិទ្យាសាស្ត្រទំនើបមិនឈប់ត្រឹមនេះទេ ហើយប្រហែលជានៅពេលអនាគតដ៏ខ្លីខាងមុខ ពិភពលោកនឹងស្គាល់ឈ្មោះអ្នកដែលអាចទទួលបានរង្វាន់ ២៥ម៉ឺនដុល្លារ ដោយស្វែងរកលេខធំបំផុត។

បញ្ជីនៃការបែងចែក។តាមនិយមន័យលេខ នគឺបឋមលុះត្រាតែវាមិនបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយ 2 និងចំនួនគត់ផ្សេងទៀត លើកលែងតែ 1 និងខ្លួនវាប៉ុណ្ណោះ។ រូបមន្តខាងលើដកចេញនូវជំហានដែលមិនចាំបាច់ និងចំណេញពេលវេលា៖ ឧទាហរណ៍ បន្ទាប់ពីពិនិត្យមើលថាតើលេខអាចចែកដោយ 3 ឬអត់នោះ មិនចាំបាច់ពិនិត្យមើលថាតើវាចែកនឹង 9 ទេ។

• អនុគមន៍ floor(x) បង្គត់ x ទៅចំនួនគត់ជិតបំផុតតិចជាង ឬស្មើ x ។

ស្វែងយល់អំពីនព្វន្ធម៉ូឌុល។ប្រតិបត្តិការ "x mod y" (mod គឺជាអក្សរកាត់នៃពាក្យឡាតាំង "modulo" មានន័យថា "module") មានន័យថា "ចែក x ដោយ y និងស្វែងរកនៅសល់" ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅក្នុងនព្វន្ធម៉ូឌុល នៅពេលឈានដល់តម្លៃជាក់លាក់មួយ ដែលត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលលេខ "ប្រែ" ត្រឡប់ទៅសូន្យ។ ឧទាហរណ៍ នាឡិកាវាស់ម៉ោងជាមួយម៉ូឌុល 12៖ វាបង្ហាញម៉ោង 10 11 និង 12 ហើយបន្ទាប់មកត្រឡប់ទៅលេខ 1។

• ម៉ាស៊ីនគិតលេខជាច្រើនមាន Mod key។ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះបង្ហាញពីរបៀបគណនាមុខងារនេះដោយដៃសម្រាប់លេខធំ។

ស្វែងយល់អំពីបញ្ហានៃទ្រឹស្តីបទតូចរបស់ Fermat ។លេខទាំងអស់ដែលលក្ខខណ្ឌតេស្តមិនត្រូវបានបំពេញគឺជាសមាសធាតុ ប៉ុន្តែលេខដែលនៅសល់គឺមានតែប៉ុណ្ណោះ។ ប្រហែលត្រូវបានចាត់ទុកថាសាមញ្ញ។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ជៀសវាងលទ្ធផលមិនត្រឹមត្រូវ រកមើល ននៅក្នុងបញ្ជីនៃ "លេខ Carmichael" (លេខសមាសធាតុដែលពេញចិត្តនឹងការធ្វើតេស្តនេះ) និង "លេខ pseudo-prime Fermat" (លេខទាំងនេះត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្តសម្រាប់តែតម្លៃមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។ ក).

ប្រសិនបើងាយស្រួល សូមប្រើការធ្វើតេស្ត Miller-Rabin ។ទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះគឺពិបាកសម្រាប់ការគណនាដោយដៃក៏ដោយ វាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងកម្មវិធីកុំព្យូទ័រ។ វាផ្តល់នូវល្បឿនដែលអាចទទួលយកបាន និងផ្តល់កំហុសតិចជាងវិធីសាស្ត្ររបស់ Fermat ។ លេខផ្សំនឹងមិនត្រូវបានយកជាលេខបឋមទេ ប្រសិនបើការគណនាត្រូវបានធ្វើឡើងសម្រាប់តម្លៃលើសពី ¼ ក. ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសតម្លៃផ្សេងគ្នាដោយចៃដន្យ កហើយសម្រាប់ពួកគេទាំងអស់ ការធ្វើតេស្តនឹងផ្តល់លទ្ធផលវិជ្ជមាន យើងអាចសន្មត់ថាជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃទំនុកចិត្ត នគឺជាលេខបឋម។

សម្រាប់លេខធំ ប្រើលេខនព្វន្ធម៉ូឌុល។ប្រសិនបើអ្នកមិនមានម៉ាស៊ីនគិតលេខងាយស្រួលទេ ឬប្រសិនបើម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់អ្នកមិនត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីគ្រប់គ្រងលេខធំបែបនេះទេ សូមប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិថាមពល និងលេខនព្វន្ធម៉ូឌុលដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែងាយស្រួល។ ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ 3 50 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម 3^(50))ម៉ូដ ៥០៖

• សរសេរកន្សោមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលជាង៖ mod 50. នៅពេលគណនាដោយដៃ ភាពសាមញ្ញបន្ថែមទៀតប្រហែលជាចាំបាច់។
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. នៅទីនេះយើងបានយកទៅក្នុងគណនីទ្រព្យសម្បត្តិនៃការគុណម៉ូឌុល។
• 3 25 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម 3^(25))ម៉ូដ 50 = 43 ។
• (3 25 (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម (3^(25)))ម៉ូដ ៥០ ∗ 3 25 (\ displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))ម៉ូដ ៥០
• = 1849 (\displaystyle =1849)ម៉ូដ ៥០
• = 49 (\displaystyle=49).

លេខបឋមគឺជាលេខធម្មជាតិដែលបែងចែកដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ និងលេខមួយ។

លេខដែលនៅសល់ត្រូវបានគេហៅថាសមាសធាតុ។

លេខធម្មជាតិសាមញ្ញ

ប៉ុន្តែមិនមែនលេខធម្មជាតិទាំងអស់សុទ្ធតែសំខាន់នោះទេ។

លេខ​ធម្មជាតិ​សាមញ្ញ​គឺ​មាន​តែ​លេខ​ដែល​អាច​បែងចែក​បាន​ដោយ​ខ្លួន​គេ​និង​ដោយ​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍នៃលេខបឋម៖

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

ចំនួនគត់សាមញ្ញ

វាដូចខាងក្រោមថាមានតែលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះដែលជាលេខបឋម។

នេះមានន័យថាលេខសំខាន់គឺចាំបាច់ធម្មជាតិ។

ប៉ុន្តែលេខធម្មជាតិទាំងអស់ក៏ជាចំនួនគត់ផងដែរ។

ដូច្នេះ លេខបឋមទាំងអស់គឺជាចំនួនគត់។

ឧទាហរណ៍នៃលេខបឋម៖

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

សូម្បីតែលេខសំខាន់

មានតែលេខមួយគត់ ហើយនោះគឺជាលេខពីរ។

លេខសំខាន់ៗផ្សេងទៀតទាំងអស់គឺសេស។

ហេតុអ្វីបានជាលេខគូដែលធំជាងពីរមិនអាចជាលេខបឋមបាន?

ប៉ុន្តែដោយសារតែលេខគូណាមួយដែលធំជាងពីរនឹងត្រូវបែងចែកដោយខ្លួនវា មិនមែនដោយមួយទេ ប៉ុន្តែដោយពីរ នោះមានន័យថាចំនួនបែបនេះនឹងតែងតែមានបីចែក និងអាចច្រើនជាងនេះ។