ការបង្កើតបញ្ហា

កិច្ចការនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការស្គាល់អ្នកប្រើប្រាស់ជាមួយនឹងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្ត្រជាលេខ ដូចជាម៉ាទ្រីសកំណត់ និងបញ្ច្រាស និងវិធីផ្សេងៗដើម្បីគណនាពួកគេ។ នៅក្នុងរបាយការណ៍ទ្រឹស្តីនេះ ជាភាសាសាមញ្ញ និងអាចចូលដំណើរការបាន គោលគំនិត និងនិយមន័យជាមូលដ្ឋានត្រូវបានណែនាំជាលើកដំបូង ដោយឈរលើមូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវបន្ថែមទៀតត្រូវបានអនុវត្ត។ អ្នកប្រើប្រាស់ប្រហែលជាមិនមានចំណេះដឹងពិសេសក្នុងផ្នែកនៃវិធីសាស្រ្តលេខ និងពិជគណិតលីនេអ៊ែរទេ ប៉ុន្តែនឹងអាចប្រើប្រាស់លទ្ធផលនៃការងារនេះបានយ៉ាងងាយស្រួល។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ កម្មវិធីសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសដោយវិធីសាស្រ្តជាច្រើនដែលសរសេរជាភាសាសរសេរកម្មវិធី C ++ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កម្មវិធី​នេះ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ជា​បន្ទប់​ពិសោធន៍​សម្រាប់​បង្កើត​រូបភាព​សម្រាប់​របាយការណ៍។ ហើយការសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរកំពុងត្រូវបានអនុវត្ត។ ភាពគ្មានប្រយោជន៍នៃការគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានបង្ហាញ ដូច្នេះក្រដាសផ្តល់នូវវិធីដ៏ល្អប្រសើរបន្ថែមទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការដោយមិនចាំបាច់គណនាវា។ វាត្រូវបានពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាមានវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាជាច្រើនសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់ និងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ហើយចំនុចខ្វះខាតរបស់ពួកគេត្រូវបានវិភាគ។ កំហុសក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់ក៏ត្រូវបានពិចារណាផងដែរ ហើយភាពត្រឹមត្រូវដែលសម្រេចបានត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណ។ បន្ថែមពីលើពាក្យជាភាសារុស្សី សមមូលជាភាសាអង់គ្លេសរបស់ពួកគេក៏ត្រូវបានប្រើក្នុងការងារផងដែរ ដើម្បីស្វែងយល់ពីឈ្មោះអ្វីដែលត្រូវស្វែងរកនីតិវិធីជាលេខនៅក្នុងបណ្ណាល័យ និងអ្វីដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វាមានន័យ។

និយមន័យជាមូលដ្ឋាន និងលក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញ

កំណត់

ចូរយើងណែនាំនិយមន័យនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ណាមួយ។ និយមន័យនេះនឹង កើតឡើងវិញ។នោះគឺដើម្បីកំណត់ថាតើអ្វីជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់នោះ អ្នកត្រូវដឹងរួចហើយថាអ្វីជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់។ សូមចំណាំផងដែរថា កត្តាកំណត់មានសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនឹងត្រូវបានតាងដោយ ឬ det ។

និយមន័យ ១. កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសការ៉េ លេខលំដាប់ទីពីរត្រូវបានគេហៅថា .

កត្តាកំណត់ ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថាលេខ

តើអ្វីជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីសដោយលុបជួរទីមួយ និងជួរឈរដែលមានលេខ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងសរសេរពីរបៀបដែលអ្នកអាចគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីបួន៖

មតិយោបល់។ការគណនាជាក់ស្តែងនៃកត្តាកំណត់សម្រាប់ម៉ាទ្រីសខាងលើលំដាប់ទីបីដោយផ្អែកលើនិយមន័យត្រូវបានប្រើនៅក្នុងករណីពិសេស។ តាមក្បួនការគណនាត្រូវបានអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយផ្សេងទៀតដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅពេលក្រោយហើយដែលតម្រូវឱ្យមានការងារគណនាតិច។

មតិយោបល់។នៅក្នុងនិយមន័យទី 1 វានឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវក្នុងការនិយាយថា កត្តាកំណត់គឺជាមុខងារដែលបានកំណត់លើសំណុំនៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ការ៉េ និងយកតម្លៃនៅក្នុងសំណុំនៃលេខ។

មតិយោបល់។នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ជំនួសឱ្យពាក្យ "កំណត់" ពាក្យ "កំណត់" ក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរដែលមានអត្ថន័យដូចគ្នា។ ពីពាក្យ "កំណត់" ការកំណត់បានបង្ហាញខ្លួន។

ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃកត្តាកំណត់ ដែលយើងបង្កើតជាទម្រង់នៃការអះអាង។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១.នៅពេលបញ្ជូនម៉ាទ្រីស កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ពោលគឺ .

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ២.កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសការ៉េគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់ ពោលគឺ .

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៣.ប្រសិនបើជួរពីរក្នុងម៉ាទ្រីសត្រូវបានប្តូរ នោះកត្តាកំណត់របស់វានឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៤.ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមានជួរដូចគ្នាពីរ នោះកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។

នៅពេលអនាគត យើងនឹងត្រូវការបន្ថែមខ្សែអក្សរ និងគុណខ្សែមួយដោយលេខមួយ។ យើងនឹងអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងនេះនៅលើជួរដេក (ជួរឈរ) ក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីសជួរដេក (ម៉ាទ្រីសជួរឈរ) ពោលគឺធាតុដោយធាតុ។ លទ្ធផលនឹងជាជួរដេក (ជួរឈរ) ដែលតាមក្បួនមិនត្រូវគ្នានឹងជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដើមទេ។ នៅក្នុងវត្តមាននៃប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមជួរដេក (ជួរឈរ) និងគុណពួកវាដោយចំនួនមួយ យើងក៏អាចនិយាយអំពីបន្សំលីនេអ៊ែរនៃជួរដេក (ជួរឈរ) ពោលគឺផលបូកជាមួយនឹងមេគុណលេខ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៥.ប្រសិនបើជួរនៃម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានគុណដោយលេខ នោះកត្តាកំណត់របស់វានឹងត្រូវបានគុណនឹងលេខនោះ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៦.ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមានជួរសូន្យ នោះកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៧.ប្រសិនបើជួរដេកមួយរបស់ម៉ាទ្រីសស្មើនឹងចំនួនផ្សេងទៀតដែលគុណនឹងចំនួនមួយ (ជួរដេកគឺសមាមាត្រ) នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគឺសូន្យ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៨.សូមឱ្យជួរ i-th នៅក្នុងម៉ាទ្រីសមើលទៅដូច . បន្ទាប់មក ដែលជាកន្លែងដែលម៉ាទ្រីសទទួលបានពីម៉ាទ្រីសដោយជំនួសជួរ i-th ជាមួយជួរដេក ហើយម៉ាទ្រីសត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរ i-th ជាមួយជួរដេក .

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៩.ប្រសិនបើជួរដេកមួយនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានបន្ថែមទៅមួយទៀត គុណនឹងលេខ នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១០.ប្រសិនបើជួរដេកមួយនៃម៉ាទ្រីសគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃជួរផ្សេងទៀតរបស់វា នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគឺសូន្យ។

និយមន័យ ២. ការបន្ថែមពិជគណិតទៅ​ធាតុ​ម៉ាទ្រីស​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ចំនួន​ស្មើ​នឹង​ដែល​ជា​កត្តា​កំណត់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ទទួល​បាន​ពី​ម៉ាទ្រីស​ដោយ​លុប​ជួរ​ដេក i-th និង​ជួរ​ឈរ j-th ។ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតទៅនឹងធាតុម៉ាទ្រីសត្រូវបានតំណាងដោយ .

ឧទាហរណ៍។អនុញ្ញាតឱ្យមាន . បន្ទាប់មក

មតិយោបល់។ដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិត និយមន័យនៃកត្តាកំណត់ 1 អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១១. ការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃកត្តាកំណត់ក្នុងខ្សែអក្សរតាមអំពើចិត្ត។

កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសបំពេញរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍។គណនា .

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរ​ប្រើ​ការ​ពង្រីក​ក្នុង​ជួរ​ទី​បី​វា​ចំណេញ​ជាង​ព្រោះ​ក្នុង​ជួរ​ទី​បី​លេខ​ពីរ​ក្នុង​ចំណោម​លេខ​បី​គឺ​សូន្យ។ ទទួលបាន

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១២.សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់នៅ យើងមានទំនាក់ទំនង .

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១៣.លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃកត្តាកំណត់ដែលបានបង្កើតសម្រាប់ជួរដេក (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1 - 11) ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ជួរឈរផងដែរ ជាពិសេសការរលាយនៃកត្តាកំណត់នៅក្នុងជួរឈរ j-th គឺត្រឹមត្រូវ និងសមភាព នៅ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ១៤.កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសត្រីកោណគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់របស់វា។

ផលវិបាក។កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណគឺស្មើនឹងមួយ, .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចរកឃើញកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់គ្រប់គ្រាន់ជាមួយនឹងចំនួនតិចតួចនៃការគណនា។ ក្បួនដោះស្រាយការគណនាមានដូចខាងក្រោម។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើតលេខសូន្យក្នុងជួរឈរ។អនុញ្ញាតឱ្យវាតម្រូវឱ្យគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់។ ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកប្តូរបន្ទាត់ទីមួយ និងបន្ទាត់ផ្សេងទៀតដែលធាតុទីមួយមិនមែនជាសូន្យ។ ជាលទ្ធផល កត្តាកំណត់ នឹងស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសថ្មីដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។ ប្រសិនបើធាតុទីមួយនៃជួរនីមួយៗស្មើនឹងសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសមានជួរឈរសូន្យ ហើយដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទី 1, 13 កត្តាកំណត់របស់វាគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ដូច្នេះ យើងពិចារណាវារួចហើយនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដើម។ ទុកឱ្យបន្ទាត់ទីមួយមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ចូរបន្ថែមទៅជួរទីពីរ ជួរទីមួយគុណនឹងលេខ។ បន្ទាប់មកធាតុទីមួយនៃជួរទីពីរនឹងស្មើនឹង .

ធាតុដែលនៅសល់នៃជួរទីពីរថ្មីនឹងត្រូវបានតំណាងដោយ , . កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសថ្មីយោងតាមសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 9 គឺស្មើនឹង . គុណជួរទីមួយដោយលេខហើយបន្ថែមវាទៅទីបី។ ធាតុទីមួយនៃជួរទីបីថ្មីនឹងស្មើនឹង

ធាតុដែលនៅសល់នៃជួរទីបីថ្មីនឹងត្រូវបានតំណាងដោយ , . កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសថ្មីយោងតាមសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 9 គឺស្មើនឹង .

យើងនឹងបន្តដំណើរការនៃការទទួលបានសូន្យជំនួសឱ្យធាតុដំបូងនៃខ្សែអក្សរ។ ជាចុងក្រោយ យើងគុណជួរទីមួយដោយលេខមួយ ហើយបន្ថែមវាទៅជួរចុងក្រោយ។ លទ្ធផលគឺជាម៉ាទ្រីស តំណាងដោយ , ដែលមានទម្រង់

និង . ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស យើងប្រើការពង្រីកនៅក្នុងជួរទីមួយ

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់គឺនៅខាងស្តាំ។ យើងអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នាទៅនឹងវា ហើយការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់។ ដំណើរការត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់យើងឈានដល់ការកំណត់លំដាប់ទីពីរដែលត្រូវបានគណនាតាមនិយមន័យ។

ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមិនមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ណាមួយទេនោះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង។ ផ្នែកដ៏ល្អមួយទៀតនៃក្បួនដោះស្រាយនេះគឺថាវាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរកម្មវិធីសម្រាប់កុំព្យូទ័រដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃការបញ្ជាទិញធំៗ។ នៅក្នុងកម្មវិធីស្ដង់ដារសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់ ក្បួនដោះស្រាយនេះត្រូវបានប្រើជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចដែលទាក់ទងនឹងការបង្រួមអប្បបរមាឥទ្ធិពលនៃកំហុសបង្គត់ និងកំហុសទិន្នន័យបញ្ចូលក្នុងការគណនាកុំព្យូទ័រ។

ឧទាហរណ៍។ការគណនាម៉ាទ្រីសកំណត់ .

ការសម្រេចចិត្ត។ជួរទីមួយត្រូវបានទុកចោល។ ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមទីមួយគុណនឹងលេខ៖

កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមទីមួយគុណនឹងលេខ៖

កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមទីមួយគុណនឹងលេខ៖

កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន

ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នា យើងគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់លេខ 3 ដែលនៅខាងស្តាំ។ យើងទុកជួរទីមួយមិនផ្លាស់ប្តូរទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមទីមួយគុណនឹងលេខ :

ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមទីមួយគុណនឹងលេខ :

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន

ចម្លើយ។ .

មតិយោបល់។ទោះបីជាប្រភាគត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាក៏ដោយ លទ្ធផលគឺជាចំនួនគត់។ ជាការពិតណាស់ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ និងការពិតដែលថាលេខដើមគឺជាចំនួនគត់ ប្រតិបត្តិការជាមួយប្រភាគអាចត្រូវបានជៀសវាង។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តផ្នែកវិស្វកម្ម លេខគឺជាចំនួនគត់កម្រណាស់។ ដូច្នេះជាក្បួន ធាតុនៃកត្តាកំណត់នឹងជាប្រភាគទសភាគ ហើយវាមិនត្រូវបានគេណែនាំឱ្យប្រើល្បិចណាមួយដើម្បីសម្រួលការគណនានោះទេ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

និយមន័យ ៣.ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េប្រសិនបើ .

វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នានឹងម៉ាទ្រីស (បើមិនដូច្នេះទេផលិតផលមួយឬមិនត្រូវបានកំណត់) ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានសម្គាល់ដោយ . ដូច្នេះប្រសិនបើមាន។

ពីនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសច្រាស វាធ្វើតាមថាម៉ាទ្រីសគឺបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ពោលគឺ . ម៉ាទ្រីស និងអាចនិយាយបានថា បញ្ច្រាសគ្នាទៅវិញទៅមក ឬច្រាសមកវិញ។

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគឺសូន្យ នោះការបញ្ច្រាសរបស់វាមិនមានទេ។

ដោយសារសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស វាមានសារៈសំខាន់ថាតើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសស្មើនឹងសូន្យឬអត់ យើងណែនាំនិយមន័យខាងក្រោម។

និយមន័យ ៤.ចូរហៅម៉ាទ្រីសការ៉េ degenerateឬ ម៉ាទ្រីសពិសេស, ប្រសិនបើ មិន degenerateឬ ម៉ាទ្រីស nonsingular, ប្រសិនបើ .

សេចក្តីថ្លែងការណ៍។ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន នោះវាមានតែមួយ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍។ប្រសិនបើ​ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​មួយ​គឺ​មិន​ខូច​ទ្រង់ទ្រាយ នោះ​ការ​បញ្ច្រាស​របស់​វា​មាន​ហើយ  (1) ដែលជាកន្លែងដែលមានការបន្ថែមពិជគណិតទៅធាតុ .

ទ្រឹស្តីបទ។ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​សម្រាប់​ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​មាន​ប្រសិនបើ​ម៉ាទ្រីស​មិន​ឯកវចនៈ​ទេ ម៉ាទ្រីស​ច្រាស​គឺ​មាន​តែមួយគត់ ហើយ​រូបមន្ត (1) មាន​សុពលភាព។

មតិយោបល់។ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសគួរតែត្រូវបានបង់ទៅកន្លែងដែលកាន់កាប់ដោយការបន្ថែមពិជគណិតនៅក្នុងរូបមន្តម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖ សន្ទស្សន៍ទីមួយបង្ហាញពីចំនួន ជួរឈរហើយទីពីរគឺជាលេខ បន្ទាត់ដែលក្នុងនោះការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតដែលបានគណនាគួរតែត្រូវបានសរសេរ។

ឧទាហរណ៍។ .

ការសម្រេចចិត្ត។ការស្វែងរកកត្តាកំណត់

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ម៉ាទ្រីសគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ ហើយបញ្ច្រាសសម្រាប់វាមាន។ ស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិត៖

យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយដាក់ការបន្ថែមពិជគណិតដែលបានរកឃើញ ដូច្នេះសន្ទស្សន៍ទីមួយត្រូវគ្នានឹងជួរឈរ ហើយទីពីរទៅជួរដេក៖ (2)

ម៉ាទ្រីសលទ្ធផល (2) គឺជាចម្លើយចំពោះបញ្ហា។

មតិយោបល់។នៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន វានឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវក្នុងការសរសេរចម្លើយដូចនេះ៖
(3)

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញាណ (2) មានលក្ខណៈតូចតាចជាង ហើយវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការគណនាបន្ថែមទៀត ប្រសិនបើមានជាមួយវា។ ដូច្នេះ ការសរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ (២) គឺល្អជាងប្រសិនបើធាតុនៃម៉ាទ្រីសជាចំនួនគត់។ ហើយផ្ទុយមកវិញ ប្រសិនបើធាតុនៃម៉ាទ្រីសជាប្រភាគទសភាគ នោះជាការប្រសើរក្នុងការសរសេរម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយគ្មានកត្តានៅខាងមុខ។

មតិយោបល់។នៅពេលស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស អ្នកត្រូវតែធ្វើការគណនាច្រើន និងក្បួនមិនធម្មតាសម្រាប់រៀបចំការបន្ថែមពិជគណិតនៅក្នុងម៉ាទ្រីសចុងក្រោយ។ ដូច្នេះមានឱកាសខ្ពស់នៃកំហុស។ ដើម្បីជៀសវាងកំហុស អ្នកគួរតែធ្វើការពិនិត្យ៖ គណនាផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសដើមដោយលេខចុងក្រោយក្នុងលំដាប់មួយ ឬមួយផ្សេងទៀត។ ប្រសិនបើលទ្ធផលគឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ នោះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។ បើមិនដូច្នោះទេអ្នកត្រូវរកមើលកំហុស។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស .

ការសម្រេចចិត្ត។ - មាន។

ចម្លើយ៖ .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត (1) ទាមទារការគណនាច្រើនពេក។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីបួន និងខ្ពស់ជាងនេះ គឺមិនអាចទទួលយកបានទេ។ ក្បួនដោះស្រាយពិតប្រាកដសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលក្រោយ។

ការគណនាម៉ាទ្រីសកំណត់ និងបញ្ច្រាសដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

វិធីសាស្ត្រ Gauss អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសកំណត់ និងបញ្ច្រាស។

ពោលគឺ កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹង det ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់ Gaussian៖

តើជួរឈរ j-th នៃម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៅឯណា គឺជាវ៉ិចទ័រដែលចង់បាន។

វ៉ិចទ័រដំណោះស្រាយលទ្ធផល - ទម្រង់ ជាក់ស្តែង ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស ចាប់តាំងពី .

រូបមន្តសម្រាប់កត្តាកំណត់

1. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសគឺ nonsingular បន្ទាប់មកនិង (ផលិតផលនៃធាតុនាំមុខ) ។

ដោយសារសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស វាមានសារៈសំខាន់ថាតើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសស្មើនឹងសូន្យឬអត់ យើងណែនាំនិយមន័យខាងក្រោម។

និយមន័យ 14.9ចូរហៅម៉ាទ្រីសការ៉េ degenerateឬ ម៉ាទ្រីសពិសេស, ប្រសិនបើ មិន degenerateឬ ម៉ាទ្រីស nonsingular, ប្រសិនបើ .

ការផ្តល់ជូន 14.21 ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន នោះវាមានតែមួយ។

ភស្តុតាង. ទុក​ម៉ាទ្រីស​ពីរ ហើយ​ជា​ធាតុ​បញ្ច្រាស​នៃ​ម៉ាទ្រីស។ បន្ទាប់មក

ដូច្នេះ, ។

ច្បាប់របស់ Cramer.

សូមឱ្យសមីការម៉ាទ្រីស AX=B

កន្លែងណា ; គឺជាកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់ ឃការជំនួស ខ្ញុំ-th column ដោយជួរឈរនៃសមាជិកសេរីនៃម៉ាទ្រីស ខ:

ភស្តុតាងទ្រឹស្តីបទចែកចេញជាបីផ្នែក៖

1. ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (1) មានហើយមានតែមួយគត់។

2. សមភាព (2) គឺជាផលវិបាកនៃសមីការម៉ាទ្រីស (1) ។

3. សមភាព (2) បញ្ចូលសមីការម៉ាទ្រីស (1) ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វាក៏មានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតែមួយគត់។
ការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការម៉ាទ្រីស (1) នៅខាងឆ្វេងដោយ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ៖

ភាពប្លែកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសបង្ហាញផ្នែកដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទ។

ចូរបន្តទៅភស្តុតាង ការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ។រវាងរូបមន្ត (1) និង (2) ។

ដោយប្រើរូបមន្ត (4) យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់ ខ្ញុំ- ធាតុទី។ សម្រាប់ការនេះអ្នកត្រូវគុណ ខ្ញុំ- ជួរទីនៃម៉ាទ្រីស

ក្នុងមួយជួរ ខ.

បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ ខ្ញុំជួរ​ទី​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ពាក់ព័ន្ធ​ត្រូវ​បាន​ផ្សំ​ឡើង​ដោយ​ការ​បន្ថែម​ពិជគណិត យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ការទាញយករូបមន្តរបស់ Cramer បានបញ្ចប់។ ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ថា​កន្សោម

ចូរផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃការបូកសរុបនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃកន្សោមលទ្ធផល៖

តើនិមិត្តសញ្ញា delta Kroneker នៅឯណា។

ដោយសារនិមិត្តសញ្ញា delta ដកការបូកសរុបលើសន្ទស្សន៍ណាមួយ យើងទទួលបានលទ្ធផលដែលត្រូវការ៖

លេខស្មុគស្មាញ៖ គំនិតគឺដើម្បីកំណត់វត្ថុថ្មីដោយមានជំនួយពីអ្នកដែលស្គាល់។ លេខពិតមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ នៅពេលឆ្លងទៅយន្តហោះ យើងទទួលបានលេខកុំផ្លិច។ និយមន័យ៖ ចំនួនកុំផ្លិចគឺជាគូនៃចំនួនពិត z = (a,b) ។ លេខ a = Re z ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិត ហើយ b = Im z ជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច z ។

ប្រតិបត្តិការលើចំនួនកុំផ្លិច៖ចំនួនកុំផ្លិច z1 z2 គឺ Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2 ។ បន្ថែម៖ Z=z1+z2។ ⇔Rez=Rez1+Rez2 & Imz1+ Imz2។ លេខ (0,0) ត្រូវបានតាងដោយ 0។ នេះគឺជាធាតុអព្យាក្រឹត។ វាត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ថាការបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចមានលក្ខណៈសម្បត្តិស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការបូកនៃចំនួនពិត។ (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – commutativity; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – associativity; 3. Z1 + 0 = z1 - អត្ថិភាពនៃសូន្យ (ធាតុអព្យាក្រឹត) 4. z + (−z) = 0 - អត្ថិភាពនៃធាតុផ្ទុយ) ។ គុណ: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1 ។ ចំនួនកុំផ្លិច z ស្ថិតនៅលើអ័ក្សពិត ប្រសិនបើ Imz = 0 ។ លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការលើលេខបែបនេះស្របគ្នានឹងលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការលើចំនួនពិតធម្មតា។ គុណនៃចំនួនកុំផ្លិច មានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបិទ ការផ្លាស់ប្តូរ និងទំនាក់ទំនង។ លេខ (1,0) ត្រូវបានតាងដោយ 1។ វាគឺជាធាតុអព្យាក្រឹតដោយការគុណ។ ប្រសិនបើ a∈ R, z ∈C នោះ Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz ។ និយមន័យលេខ (0,1) ត្រូវបានតំណាងដោយ ខ្ញុំហើយត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ក្នុងសញ្ញាណនេះ យើងទទួលបានតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត៖ z = a + ib, a, b∈ R ។ i=-1 ។(a,b)=(a,0)+(0,b);(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 + b 2 > 0 (a + ib) (a-ib / a 2 + b 2) = 1. លេខត្រូវបានគេហៅថា ផ្សំទៅ z ប្រសិនបើ Re = Re z ; អ៊ឹម =- ខ្ញុំ z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2ម៉ូឌុលនៃចំនួន z គឺជាចំនួនពិត| z |= ។ រូបមន្តត្រឹមត្រូវ| z| 2 = z វាធ្វើតាមនិយមន័យថា z ≠ 0⇔| z|≠ 0 ។ z −1 = /|z| ២ (1)

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច៖ a=rcos(t); b=r sin(t)។ Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) t-argument នៃចំនួនកុំផ្លិច។ Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2pk ។

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( មួយ)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z −1= /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

និយមន័យ៖ឫសគល់នៃដឺក្រេ n ពីឯកតាគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ z n = 1 សំណើ។ មានឫសគល់នៃសាមគ្គីភាពច្បាស់លាស់។ ពួកវាត្រូវបានសរសេរជា z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 ។ ទ្រឹស្តីបទ។នៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច សមីការតែងតែមានដំណោះស្រាយ n Z=r(cos(t)+isin(t)); z n = r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n=1 .Z-ចំនួនគត់។ K ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Z. k=2=E 2=E n-1 E n ; អ៊ី n = 1; E n+p=E ទំ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានបង្ហាញថាដំណោះស្រាយនៃសមីការគឺជាចំណុចកំពូលនៃ n-gon ធម្មតា ហើយចំនុចកំពូលមួយស្របគ្នានឹង 1 ។

ឫសទី n នៃ z 0. Z k \u003d Z 0; Z0 =0 => Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 \u003d r 0 (cos (t0) + isin (t0)); r0!=0; Z n \u003d r n (cos (nt) + isin (nt))

r n \u003d r 0, nt-t 0 \u003d 2pk; r=; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2pk+t0)/n)+isin((2pk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2pk/n)+isin(2pk/n) )=Z 1 E k ;z=z 1 E k ;Z 1 n =z 0, k=0, n=1

ម៉ាទ្រីស។ និយមន័យ៖ម៉ាទ្រីស m × n គឺជាតារាងចតុកោណដែលមានជួរ m និងជួរឈរ n ដែលធាតុរបស់វាជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច។ ធាតុម៉ាទ្រីសមានសន្ទស្សន៍ទ្វេ។

ប្រសិនបើ m = n នោះវាគឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ m ហើយធាតុដែលមានសន្ទស្សន៍ដូចគ្នាបង្កើតជាអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស។

ប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីស៖ និយមន័យ៖ម៉ាទ្រីសពីរ A, B ត្រូវបានគេហៅថា

ស្មើគ្នាប្រសិនបើទំហំរបស់ពួកគេដូចគ្នានិង A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

ការបន្ថែម។ម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំដូចគ្នាត្រូវបានគេពិចារណា។ និយមន័យ:C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j ការផ្តល់ជូន. ការបន្ថែមម៉ាទ្រីសគឺ commutative, associative, មានធាតុអព្យាក្រឹត ហើយសម្រាប់ម៉ាទ្រីសនីមួយៗមានធាតុផ្ទុយ។

ធាតុអព្យាក្រឹត គឺជាម៉ាទ្រីសសូន្យ ដែលធាតុទាំងអស់ស្មើនឹង 0។ វាត្រូវបានតាងដោយ Θ ។

គុណ។ម៉ាទ្រីស m × n A ត្រូវបានតំណាងដោយ Amn . និយមន័យៈ C mk = A mn B nk ó

គ =ចំណាំថា ជាទូទៅ ការគុណមិនមែនជាការផ្លាស់ប្តូរទេ។ ការបិទមានសុពលភាពសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំថេរ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសចំនួនបី Amn, Bnk, Ckr ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក (AB) C = A (BC) ។ ប្រសិនបើផលិតផលនៃ 3 ម៉ាទ្រីសមាន នោះវាគឺជាការភ្ជាប់គ្នា។

និមិត្តសញ្ញា Kroneker δij ។ វាគឺ 1 ប្រសិនបើសន្ទស្សន៍ត្រូវគ្នា ហើយ 0 បើមិនដូច្នេះទេ។ និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ I n គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n ដែលសមភាព n I n [ i | j] = δij ការផ្តល់ជូន។សមភាព I m A mn = A mn I n = A mn

ការបូកនិងគុណនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានភ្ជាប់ដោយច្បាប់នៃការចែកចាយ។ A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)===+

ការផ្ទេរម៉ាទ្រីស។ម៉ាទ្រីស transposed គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ទទួល​បាន​ពី​ធាតុ​ដើម​ដោយ​ការ​ជំនួស​ជួរ​ដេក​ជាមួយ​ជួរ​ឈរ។

(A+B) T = A T + B T

(AB) T \u003d B T A T; (AB) T \u003d (AB) \u003d \u003d (B T A T)

គុណម៉ាទ្រីសដោយលេខ។ផលិតផលនៃលេខ a និងម៉ាទ្រីស A mn ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសថ្មី B = aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

ចន្លោះលីនេអ៊ែរ(L) លើវាល F ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំវ៉ិចទ័រ L=(α,β..)

1.α+β=β+α(ទំនាក់ទំនង) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(សមាគម) 3.α+θ=α, α∙1=α(អព្យាក្រឹតភាព) 4.α+(-α)=θ(អត្ថិភាពនៃអព្យាក្រឹត)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα។ ឯកសារ (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a និង b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b ។) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

ឧទាហរណ៍នៃលំហលីនេអ៊ែរ គឺជាសំណុំនៃម៉ាទ្រីសទំហំថេរ ជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណដោយលេខមួយ។

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ, ប្រសិនបើ 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរទេ នោះវាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ពិចារណា 1. n=1 α 1 អាស្រ័យ។ a 1 ≠0, a 1 α 1 = θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 ,α 2 អាស្រ័យ។ a 1 ≠0, a 1 α 1 + a 2 α 2 = θ, α 1 = -a 1 −1 a 2 α 2 = b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n អាស្រ័យ។ a 1 ≠0, α 1 = Σ k = 2 n b k α k , 1α 1 - Σ k = 2 n b k α k = θ, (1,b 2 ..b n)≠0

ការផ្តល់ជូន៖ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលមានវ៉ិចទ័រច្រើនជាង 1 គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រមួយចំនួននៃប្រព័ន្ធគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានប្រព័ន្ធរងដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ឯកសារ៖ (α 1 ..α n អាស្រ័យ។ ប្រព័ន្ធ៖ α 1 ..α n ; α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានវ៉ិចទ័រ null នោះវាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ទ្រឹស្តីបទលំហលំហ: (សូមឱ្យប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ 2 α 1 ..α m , β 1 ..β n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ α ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃ β ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ α នីមួយៗជាបន្សំលីនេអ៊ែរ β α i = Σ k =1 n a ik β k , ( α ) ( ( β ), ( β ) ( ( γ ) → ( α ) ( ( γ )) ទ្រឹស្តីបទ៖ដែលបានផ្តល់ឱ្យ 2 ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ α គឺឯករាជ្យ ហើយ (α) ( (β) → m≤n ចូរយើងបង្ហាញថា α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ( (β) → (α ) អាស្រ័យ (សូមបញ្ជាក់ដោយការបញ្ចូល។ m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1. a 11 =0→ α 1 = θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 = a 11 a 21 β 1 − a 21 a 11 β 1 = θ . α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n −1 β n −1 .. α n = a n 1 β 1 + .. a nn −1 β n − 1 ប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់ =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n −1 =0→ α 1 = θ→ ប្រព័ន្ធទាំងមូលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 – с 2 α 1 = b 21 β 1 +..+b 2 n −2 β n −2 , c 2 =a 2 n −1 / a 1 n −1 , α 3 ′= α 3 –с 3 α 1 ។ . α n ′= α n –с n α 1. ដោយការបញ្ចូលមុន មានសំណុំលេខមិនសូន្យ d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( (β) , m>n → (α) អាស្រ័យប្រសិនបើ (α) ឯករាជ្យ → m≤n)

MLNP-max.line.independent.subsystem។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ α 1 ..α n នៃប្រព័ន្ធរងមួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ α i 1 ..α in ត្រូវបានគេហៅថា MLIS ប្រសិនបើ 1. α 1 ..α n គឺឯករាជ្យ2. α i 1 ..α ir , α ij អាស្រ័យ។ វ៉ិចទ័រនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ MLLM ។ ( α i 1 ..α ir , α ij អាស្រ័យ a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij = θ

a i 1 ..a ir , a ij ≠0 ប្រសិនបើ a ij = 0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir = θ a i 1 ..a ir = 0 ផ្ទុយ a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

ផលវិបាក៖ ណាមួយ 2 MLIS ពីប្រព័ន្ធមួយនៃវ៉ិចទ័រមានចំនួនវ៉ិចទ័រដូចគ្នា (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk), (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k → r=k ចំនួនវ៉ិចទ័រ MLLM ត្រូវបានគេហៅថា ចំណាត់ថ្នាក់ប្រព័ន្ធដើម។ ក្នុងករណីលំហលីនេអ៊ែរ (ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានវ៉ិចទ័រទាំងអស់ក្នុងលំហ) MLLM mb គឺគ្មានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ យើងពិចារណាករណីចុងក្រោយ។ ចំនួនវ៉ិចទ័រ (ចំណាត់ថ្នាក់) គឺជាវិមាត្រនៃលំហលីនេអ៊ែរ។ មូលដ្ឋាន MLNP ។ ចន្លោះនៃផ្នែកដឹកនាំ។វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​គ្នា​ពីរ​បង្កើត​ឡើង មូលដ្ឋាននៅក្នុងលំហនៃវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ។ α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 ។ 3 វ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 ។ ការប្រៀបធៀប - វ៉ិចទ័រ 3 គឺស្របទៅនឹងប្លង់តែមួយ α 4 = α 4 ′+ α 5 ′, α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 , α 5 ′= a 3 α 3 , α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 ។ ចន្លោះនៃខ្សែនៃប្រវែង n. α= ការផ្តល់ជូន៖ចន្លោះនៃខ្សែប្រវែង n មានវិមាត្រ n ។ ( ξ ១ =<1…0>ξ2 =<0,1…0>.. n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n = θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (ឯករាជភាពលីនេអ៊ែរ) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n → ចន្លោះនៃខ្សែប្រវែង n មានវិមាត្រ និង n ។

ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។

ប្រព័ន្ធពីរនៃវ៉ិចទ័រ α និង β ត្រូវបានគេហៅថាសមមូលប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនីមួយៗ

α(β(បង្ហាញ) និង β(α.

ការផ្តល់ជូន។ចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធសមមូលស្របគ្នា។

α i 1 , α i 2 ,… , α ir – MLLM α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLLM β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

ការផ្លាស់ប្តូរ α និង β កន្លែង → r>=k >>> ហេតុដូច្នេះហើយ r=k ។

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស A =

α i =

ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគេហៅថាចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ α1, α2, …, αm ដែលផ្សំឡើងដោយម៉ាទ្រីសនេះ >> ចំណាត់ថ្នាក់(A)-ចំណាត់ថ្នាក់

តាមនិយមន័យវាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលដែលជួរឈរត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញនោះចំណាត់ថ្នាក់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ចូរយើងបង្ហាញថានៅពេលដែលជួរឈរត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ ចំណាត់ថ្នាក់ក៏មិនផ្លាស់ប្តូរដែរ។

ក'=

α'i =

លីនេអ៊ែរអាស្រ័យ៖

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m = θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α'm, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

វាស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរ ឬជួរឈរមួយចំនួន និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់ពួកគេ i.e. ដែលជាកន្លែងដែល i 0 ត្រូវបានជួសជុល។
កន្សោម (*) ត្រូវបានគេហៅថា decomposition នៃកត្តាកំណត់ D ក្នុងន័យនៃធាតុនៃជួរដេកដែលមានលេខ i 0 ។

ការផ្តល់សេវា. សេវាកម្មនេះត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងការប្រតិបត្តិនៃដំណោះស្រាយទាំងមូលក្នុងទម្រង់ Word ។ លើសពីនេះទៀតគំរូដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្កើតនៅក្នុង Excel ។

ការណែនាំ។ ជ្រើសរើសវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស ចុចបន្ទាប់។

វិមាត្រម៉ាទ្រីស 2 3 4 5 6 7 8 9 10

មានវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់៖ a-prioryនិង ការបំបែកដោយជួរឬជួរឈរ. ប្រសិនបើអ្នកចង់ស្វែងរកកត្តាកំណត់ដោយបង្កើតលេខសូន្យក្នុងជួរ ឬជួរឈរមួយ នោះអ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខនេះបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកកត្តាកំណត់

1. សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ n=2 កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ Δ=a 11 * a 22 -a 12 * a 21
2. សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ n=3 កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាតាមរយៈការបន្ថែមពិជគណិត ឬ វិធីសាស្រ្ត Sarrus.
3. ម៉ាទ្រីសដែលមានវិមាត្រធំជាងបីត្រូវបានបំបែកទៅជាការបន្ថែមពិជគណិត ដែលកត្តាកំណត់ (អនីតិជន) ត្រូវបានគណនា។ ឧទាហរណ៍, កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ទី 4ត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈការពង្រីកក្នុងជួរដេក ឬជួរឈរ (សូមមើលឧទាហរណ៍)។

ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់ដែលមានអនុគមន៍ក្នុងម៉ាទ្រីស វិធីសាស្ត្រស្តង់ដារត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ឧទាហរណ៍ គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទី៣៖

ចូរប្រើការពង្រីកជួរទីមួយ។
Δ = sin(x) × + 1 × = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់

ស្វែងរកកត្តាកំណត់តាមរយៈការបន្ថែមពិជគណិតគឺជាវិធីសាស្រ្តទូទៅមួយ។ កំណែសាមញ្ញរបស់វាគឺការគណនាកត្តាកំណត់ដោយច្បាប់ Sarrus ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាមួយនឹងវិមាត្រម៉ាទ្រីសធំ វិធីសាស្ត្រខាងក្រោមត្រូវបានប្រើប្រាស់៖

1. ការគណនាកត្តាកំណត់ដោយការកាត់បន្ថយលំដាប់
2. ការគណនាកត្តាកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian (ដោយកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ)។

ក្នុង Excel ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់ អនុគមន៍ = MOPRED (ជួរក្រឡា) ត្រូវបានប្រើ។

ការប្រើប្រាស់កត្តាកំណត់

កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាជាក្បួនសម្រាប់ប្រព័ន្ធជាក់លាក់មួយ ដែលផ្តល់ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសការ៉េ។ ពិចារណាលើប្រភេទនៃភារកិច្ចមួយចំនួន ការស្វែងរកកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស. ពេលខ្លះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនស្គាល់ a ដែលកត្តាកំណត់នឹងស្មើនឹងសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវបង្កើតសមីការសម្រាប់កត្តាកំណត់ (ឧទាហរណ៍ យោងទៅតាម ច្បាប់ត្រីកោណ) ហើយ​ដែល​ស្មើ​នឹង 0 គណនា​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a .
ការបំបែកដោយជួរឈរ (ដោយជួរឈរទីមួយ):
អនីតិជនសម្រាប់ (1,1)៖ លុបជួរទីមួយ និងជួរទីមួយចេញពីម៉ាទ្រីស។
ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់អនីតិជននេះ។ ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6 ។

ចូរកំណត់អនីតិជនសម្រាប់ (2,1)៖ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងលុបជួរទីពីរ និងជួរទីមួយចេញពីម៉ាទ្រីស។

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់អនីតិជននេះ។ ∆ 2,1 = (0 (−2)-2 (−2)) = 4 ។ អនីតិជនសម្រាប់ (3,1): លុបជួរទី 3 និងជួរទី 1 ចេញពីម៉ាទ្រីស។
ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់អនីតិជននេះ។ ∆ 3,1 = (0 1-2 (−2)) = ៤
កត្តាកំណត់សំខាន់គឺ៖ ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

ចូរស្វែងរកកត្តាកំណត់ដោយប្រើការពង្រីកដោយជួរដេក (ដោយជួរទីមួយ)៖
អនីតិជនសម្រាប់ (1,1)៖ លុបជួរទីមួយ និងជួរទីមួយចេញពីម៉ាទ្រីស។

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់អនីតិជននេះ។ ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6 ។ អនីតិជនសម្រាប់ (1,2): លុបជួរទី 1 និងជួរទី 2 ចេញពីម៉ាទ្រីស។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់អនីតិជននេះ។ ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7 ។ ហើយដើម្បីស្វែងរកអនីតិជនសម្រាប់ (1,3) យើងលុបជួរទីមួយ និងជួរទីបីចេញពីម៉ាទ្រីស។ ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់អនីតិជននេះ។ ∆ 1.3 = (3 2-1 2) = ៤
យើងរកឃើញកត្តាកំណត់សំខាន់៖ ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយ n មិនស្គាល់ហៅថាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់

កន្លែងណា អាយនិង b i (ខ្ញុំ=1,…,ម; ខ=1,…,ន) គឺជាលេខដែលគេស្គាល់មួយចំនួន និង x 1 ,…,x n- មិនស្គាល់។ នៅក្នុងសញ្ញាណនៃមេគុណ អាយសន្ទស្សន៍ទីមួយ ខ្ញុំបង្ហាញពីចំនួនសមីការ និងទីពីរ jគឺជាចំនួនមិនស្គាល់ដែលមេគុណនេះឈរ។

មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលយើងនឹងហៅ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ.

លេខនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ b 1,…,b mបានហៅ សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

សរុប នលេខ c 1,…,c នបានហៅ ការសម្រេចចិត្តនៃប្រព័ន្ធនេះ ប្រសិនបើសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធក្លាយជាសមភាពបន្ទាប់ពីជំនួសលេខទៅក្នុងវា។ c 1,…,c នជំនួសឱ្យការមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា។ x 1 ,…,x n.

ភារកិច្ចរបស់យើងគឺស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះស្ថានភាពបីអាចកើតឡើង:

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយត្រូវបានគេហៅថា រួម. បើមិនដូច្នោះទេ i.e. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។.

ពិចារណាវិធីដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។

វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីកសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

Matrices ធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរយ៉ាងខ្លីនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

ពិចារណាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ និងជួរម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកមិនស្គាល់ និងឥតគិតថ្លៃ

តោះស្វែងរកផលិតផល

ទាំងនោះ។ ជាលទ្ធផលនៃផលិតផល យើងទទួលបានផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធនេះ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើនិយមន័យនៃសមភាពម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា

ឬខ្លីជាងនេះ។ ក∙X=B.

នៅទីនេះម៉ាទ្រីស កនិង ខត្រូវបានគេស្គាល់ និងម៉ាទ្រីស Xមិនស្គាល់។ នាងត្រូវតែស្វែងរកព្រោះ។ ធាតុរបស់វាគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការម៉ាទ្រីស.

សូមឱ្យម៉ាទ្រីសកំណត់ខុសពីសូន្យ | ក| ≠ 0. បន្ទាប់មកសមីការម៉ាទ្រីសត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីស ក-១, បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ក:. ដរាបណា A -1 A = Eនិង អ៊ី∙X=Xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃសមីការម៉ាទ្រីសក្នុងទម្រង់ X = A -1 B .

សូមចំណាំថា ដោយសារម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េ វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសអាចដោះស្រាយបានតែប្រព័ន្ធទាំងនោះដែល ចំនួនសមីការគឺដូចគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធក៏អាចធ្វើទៅបានដែរក្នុងករណីដែលចំនួនសមីការមិនស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស កមិនមែនជាការ៉េទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ X = A -1 B.

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

ច្បាប់របស់ CRAMER

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ i.e. ផ្សំឡើងដោយមេគុណនៅមិនស្គាល់

បានហៅ ការកំណត់ប្រព័ន្ធ.

យើងបង្កើតកត្តាកំណត់បីបន្ថែមទៀតដូចខាងក្រោម៖ យើងជំនួសជួរឈរ 1, 2 និង 3 ជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងកត្តាកំណត់ D ជាមួយនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ

បន្ទាប់មកយើងអាចបញ្ជាក់លទ្ធផលដូចខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ (ក្បួនរបស់ Cramer) ។ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធដែលកំពុងពិចារណាមានដំណោះស្រាយមួយ និងតែមួយគត់ ហើយ

ភស្តុតាង. ដូច្នេះ សូមពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី។ គុណសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត ក ១១ធាតុ ក ១១, សមីការទី 2 - លើ ក២១និងទី 3 - នៅលើ ក ៣១:

តោះបន្ថែមសមីការទាំងនេះ៖

ពិចារណាលើតង្កៀបនីមួយៗ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះ។ ដោយទ្រឹស្តីបទលើការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរឈរទី 1

ដូចគ្នានេះដែរវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានិង។

ទី​បំផុត​វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​មើល​ឃើញ​នោះ។

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមភាព៖ ។

ដូច្នេះ, ។

សមភាព និងបានមកពីពាក្យស្រដៀងគ្នា ដែលការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះកើតឡើង។

ដូច្នេះហើយ យើងកត់សំគាល់ថា ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ និងច្រាសមកវិញ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ពោលគឺឧ។ មិនឆបគ្នា។

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

វិធីសាស្ត្រហ្គាស

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណាពីមុនអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយតែប្រព័ន្ធទាំងនោះដែលចំនួនសមីការត្រូវគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវតែខុសពីសូន្យ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺមានលក្ខណៈជាសកលជាង ហើយស័ក្តិសមសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនសមីការណាមួយ។ វាមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

សូមពិចារណាម្តងទៀតនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

.

យើងទុកសមីការទីមួយមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយចាប់ពីសមីការទី 2 និងទី 3 យើងដកពាក្យដែលមាន x ១. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកសមីការទីពីរដោយ ក 21 ហើយគុណនឹង - ក 11 ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមជាមួយសមីការទី 1 ។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងបែងចែកសមីការទីបីទៅជា ក 31 និងគុណនឹង - ក 11 ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមវាទៅទីមួយ។ ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធដើមនឹងមានទម្រង់៖

ឥឡូវនេះ ពីសមីការចុងក្រោយ យើងលុបបំបាត់ពាក្យដែលមាន x2. ដើម្បីធ្វើដូចនេះចែកសមីការទីបីដោយ គុណនឹង ហើយបន្ថែមវាទៅទីពីរ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងមានប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដូច្នេះពីសមីការចុងក្រោយវាងាយស្រួលរក x ៣បន្ទាប់មកពីសមីការទី 2 x2ហើយទីបំផុតចាប់ពីថ្ងៃទី ១ - x ១.

នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian សមីការអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើចាំបាច់។

ជារឿយៗ ជំនួសឱ្យការសរសេរប្រព័ន្ធសមីការថ្មី ពួកគេកំណត់ខ្លួនឯងក្នុងការសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ហើយបន្ទាប់មកនាំវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ឬអង្កត់ទ្រូង ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។

ទៅ ការផ្លាស់ប្តូរបឋមម៉ាទ្រីសរួមមានការផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមៈ

1. ការផ្លាស់ប្តូរជួរឬជួរឈរ;
2. គុណលេខមួយដោយលេខមិនសូន្យ;
3. បន្ថែមទៅបន្ទាត់មួយ បន្ទាត់ផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍:ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

2.ប្រសិនបើ │A│=0 នោះម៉ាទ្រីស A ខូច ហើយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 មិនមានទេ។

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសច្រាសមាន។

3. រក A T ប្តូរទៅ A ។

4. ស្វែងរកការបំពេញបន្ថែមពីពិជគណិតនៃធាតុនៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង ហើយផ្សំម៉ាទ្រីសជាប់គ្នាពីពួកវា។ 5. យើងគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតាមរូបមន្ត 6. ពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយផ្អែកលើនិយមន័យរបស់វា A -1 ∙A = A ∙A -1 = E ។

· №28

· ក្នុង​ម៉ាទ្រីស m x n ដោយ​ការ​លុប​ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ​ណា​មួយ អាច​ជ្រើស​អនុម៉ាទ្រីស​ការេ​នៃ​លំដាប់ kth ដែល k≤min(m; n) ។ កត្តាកំណត់នៃ submatrices បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា k-th order minors នៃ matrix A.

· ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺជាលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃម៉ាទ្រីសនេះ។

· ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានកំណត់ដោយជួរ A ឬ r (A) ។

· ពីនិយមន័យដូចខាងក្រោមៈ

· 1) ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃទំហំ m x n មិនលើសពីតូចបំផុតនៃទំហំរបស់វាពោលគឺឧ។ r(A) ≤ min (m; n) ។

· 2) r(A)=0 ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺឧ។ A=0។

· 3) សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទី n r(A) = n ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មិនឯកវចនៈ។

· ក្នុងករណីទូទៅ ការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយការរាប់បញ្ចូលអនីតិជនទាំងអស់គឺពិបាកណាស់។ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់កិច្ចការនេះ ការបំប្លែងបឋមត្រូវបានប្រើដែលរក្សាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស៖

· 1) ការបដិសេធនៃជួរសូន្យ (ជួរឈរ) ។

· 2) គុណនៃធាតុទាំងអស់នៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីសដោយលេខមិនសូន្យ។

· 3) ការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់ជួរ (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីស។

· 4) ការបន្ថែមទៅធាតុនីមួយៗនៃជួរមួយ (ជួរឈរ) ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរមួយទៀត (ជួរឈរ) គុណនឹងលេខណាមួយ។

· 5) ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស។

· ទ្រឹស្តីបទ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរក្រោមការបំប្លែងបឋមនៃម៉ាទ្រីសទេ។

№31

— សូមឲ្យចំនួនសមីការក្នុងប្រព័ន្ធ (១) ស្មើនឹងចំនួនអថេរ ឧ. m=n ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ ហើយកត្តាកំណត់របស់វាΔ=│А│ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ។

— ឧបមាថា │А│ មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។

— ការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពម៉ាទ្រីសនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 យើងទទួលបាន៖

— A -1 (AX) \u003d A -1 B ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងជាម៉ាទ្រីសជួរឈរ៖

X \u003d A -1 B ។

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

— ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ។ សូមឱ្យ Δ ជាអ្នកកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ A ហើយ Δ j ជាអ្នកកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីសដោយជំនួសជួរឈរ jth ជាមួយនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ Δ មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត Cramer៖

កន្លែងណា j=1..n.

№33

—
វិធីសាស្រ្ត Gauss - វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់អថេរជាបន្តបន្ទាប់ - មាននៅក្នុងការពិតដែលថាដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលនៃប្រភេទជំហានឬត្រីកោណ។

— ពិចារណាម៉ាទ្រីស៖

— ម៉ាទ្រីស​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ពង្រីក​នៃ​ប្រព័ន្ធ (1) ព្រោះ​បន្ថែម​លើ​ម៉ាទ្រីស​នៃប្រព័ន្ធ A វា​ក៏​រួម​បញ្ចូល​ជួរ​ឈរ​នៃ​សមាជិក​ដោយ​ឥត​គិត​ថ្លៃ​ផង​ដែរ។

№26

— វ៉ិចទ័រ N-dimensional គឺជាសំណុំលំដាប់នៃចំនួនពិត n សរសេរជា X=(x 1,x 2,...x n) ដែល x i គឺជាសមាសធាតុ i-th នៃវ៉ិចទ័រ X ។

— វ៉ិចទ័រ n-dimensional ពីរគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែសមាសធាតុរៀងៗខ្លួនគឺស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ X = Y ប្រសិនបើ x ខ្ញុំ = y ខ្ញុំ , i = 1…n ។

សំណុំនៃវ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុពិត ដែលក្នុងនោះប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខដែលបំពេញលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើត្រូវបានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះវ៉ិចទ័រ។

— ចន្លោះវ៉ិចទ័រ R ត្រូវបានគេហៅថា n-dimensional ប្រសិនបើមានវ៉ិចទ័រឯករាជ្យ n លីនេអ៊ែរនៅក្នុងវា ហើយវ៉ិចទ័រ n + 1 ណាមួយអាស្រ័យរួចហើយ។ លេខ n ត្រូវបានគេហៅថាវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ R ហើយត្រូវបានតំណាងថា dim(R) ។

№29

ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ

— និយមន័យ។ ប្រសិនបើច្បាប់ (ច្បាប់) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ យោងទៅតាមវ៉ិចទ័រ x នៃលំហនីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយវ៉ិចទ័រ y តែមួយនៃលំហ។

បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថា: ប្រតិបត្តិករ (ការផ្លាស់ប្តូរ, ការធ្វើផែនទី) A(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ, ធ្វើសកម្មភាពពីទៅនិង

សរសេរ y=A(x) ។

— ប្រតិបត្តិករត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើសម្រាប់វ៉ិចទ័រ x និង y នៃលំហ

និងលេខណាមួយ λ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖

№37

— អនុញ្ញាតឱ្យ А ជាសំណុំដែលមានចំនួនកំណត់នៃធាតុ a 1 , a 2 , a 3 …a n ។ ក្រុមអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីធាតុផ្សេងៗនៃសំណុំ A ។ ប្រសិនបើក្រុមនីមួយៗរួមបញ្ចូលចំនួនធាតុដូចគ្នា m (m ចេញពី n) នោះគេនិយាយថាបង្កើតជាសមាសធាតុនៃធាតុ n ជាមួយ m នីមួយៗ។ ការតភ្ជាប់មានបីប្រភេទ៖ ការដាក់ បន្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។

— ទំនាក់ទំនង,ដែលនីមួយៗរួមបញ្ចូលធាតុ n ទាំងអស់នៃសំណុំ A ហើយដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុត្រូវបានគេហៅថា permutations នៃធាតុ n ។ ចំនួននៃការបំប្លែងបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា Р n ។

№35

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺផ្អែកលើគោលគំនិតនៃភាពស្មើគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍។

ភាពស្មើគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ មានន័យថាគ្មានហេតុផលណាមួយដែលចូលចិត្តវាជាងអ្នកផ្សេងនោះទេ។

ចូរយើងពិចារណាលើការសាកល្បងមួយ ដែលលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ A អាចកើតឡើង។ លទ្ធផលនីមួយៗ ដែលព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើង ត្រូវបានគេហៅថាអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ A ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A (តំណាងដោយ P(A)) គឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ A (តំណាងដោយ k) ទៅនឹងចំនួននៃលទ្ធផលតេស្តទាំងអស់ - N i.e. P(A)=k/N ។

— លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមធ្វើតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖

— ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ។

— ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹងមួយ។

— ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ

№39, 40

— ទ្រឹស្តីបទបន្ថែម។ ប្រសិនបើ A និង B មិនស៊ីគ្នា នោះ P(A + B) = P(A) + P(B)