ការស្រាវជ្រាវមុខងារ។
1) D(y) - ដែននៃនិយមន័យ៖ សំណុំនៃតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរ x ។ ដែលកន្សោមពិជគណិត f(x) និង g(x) មានន័យ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត នោះដែននៃនិយមន័យមានគ្រប់តម្លៃនៃអថេរឯករាជ្យ ដែលរូបមន្តមានន័យ។
2) លក្ខណៈសម្បត្តិមុខងារ៖ គូ/សេស ភាពទៀងទាត់៖
សេសនិង សូម្បីតែត្រូវបានគេហៅថាមុខងារដែលក្រាហ្វគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃអាគុយម៉ង់។
មុខងារសេស- អនុគមន៍ដែលផ្លាស់ប្តូរតម្លៃទៅជាផ្ទុយគ្នានៅពេលដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរឯករាជ្យ (ស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុចកណ្តាលនៃកូអរដោណេ) ។
មុខងារសូម្បីតែ- មុខងារដែលមិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វានៅពេលដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរឯករាជ្យ (ស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y) ។
ទាំងមុខងារសូម្បីតែឬសេស (មុខងារទូទៅ)គឺជាមុខងារដែលមិនមានស៊ីមេទ្រី។ ប្រភេទនេះរួមបញ្ចូលមុខងារដែលមិនស្ថិតនៅក្រោម 2 ប្រភេទមុន។
មុខងារដែលមិនមែនជារបស់ប្រភេទណាមួយខាងលើត្រូវបានហៅ មិនថាសូម្បីតែឬសេស(ឬមុខងារទូទៅ) ។
មុខងារចម្លែក
អំណាចសេសដែលជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត។
សូម្បីតែមុខងារ
អំណាចគូដែលជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត។
មុខងារតាមកាលកំណត់គឺជាមុខងារដែលធ្វើឡើងវិញតម្លៃរបស់វានៅចន្លោះពេលទៀងទាត់ខ្លះនៃអាគុយម៉ង់ ពោលគឺមិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វានៅពេលដែលចំនួនមិនសូន្យថេរមួយចំនួនត្រូវបានបន្ថែមទៅអាគុយម៉ង់ ( រយៈពេលមុខងារ) លើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ។
3) សូន្យ (ឫស) នៃមុខងារគឺជាចំណុចដែលវាបាត់។
ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្ស អូ. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះអ្នកត្រូវគណនាតម្លៃ f(0). រកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សផងដែរ។ គោហេតុអ្វីត្រូវស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ f(x) = 0 (ឬត្រូវប្រាកដថាមិនមានឫស) ។
ចំណុចដែលក្រាហ្វកាត់អ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា មុខងារសូន្យ. ដើម្បីស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការ ពោលគឺស្វែងរក តម្លៃ x ទាំងនោះដែលមុខងារបាត់។
4) ចន្លោះពេលនៃការជាប់លាប់នៃសញ្ញា, សញ្ញានៅក្នុងពួកគេ។
ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍ f(x) រក្សាសញ្ញារបស់វា។
ចន្លោះពេលថេរគឺជាចន្លោះពេល នៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងនោះ។មុខងារគឺវិជ្ជមានឬអវិជ្ជមាន។
ខាងលើអ័ក្ស x ។
អ័ក្សខាងក្រោម។
5) ភាពជាប់គាំង (ចំណុចនៃការមិនបន្ត, លក្ខណៈនៃការមិនបន្ត, asymtotes) ។
មុខងារបន្ត- មុខងារមួយដែលគ្មាន "លោត" មានន័យថា ការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នាំឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចនៅក្នុងតម្លៃនៃអនុគមន៍។
ចំណុចបំបែកដែលអាចដកចេញបាន។
ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃមុខងារ មានប៉ុន្តែមុខងារមិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចនេះទេ ឬដែនកំណត់មិនត្រូវគ្នានឹងតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចនេះ៖
,
បន្ទាប់មកចំណុចត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបំបែកមុខងារ (ក្នុងការវិភាគស្មុគស្មាញ ចំណុចឯកវចនៈដែលអាចដកចេញបាន)។
ប្រសិនបើយើង "កែតម្រូវ" មុខងារនៅចំណុចនៃការឈប់សំរាកដែលអាចដកចេញបានហើយដាក់ 
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារដែលបន្តនៅចំណុចនេះ។ ប្រតិបត្តិការបែបនេះនៅលើមុខងារមួយត្រូវបានគេហៅថា ពង្រីកមុខងារបន្តឬ ការពង្រីកមុខងារដោយការបន្តដែលបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃឈ្មោះចំណុចដែលជាចំណុច ចោលគម្លាត។
ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ និងទីពីរ
ប្រសិនបើមុខងារមានភាពមិនដំណើរការនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (នោះគឺដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺអវត្តមានឬមិនស្របគ្នានឹងតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ) បន្ទាប់មកសម្រាប់អនុគមន៍លេខមានជម្រើសពីរដែលអាចធ្វើបាន ទាក់ទងនឹងអត្ថិភាពនៃអនុគមន៍លេខ ដែនកំណត់ឯកតោភាគី:
ប្រសិនបើដែនកំណត់ទាំងសងខាងមាន ហើយមានកំណត់ នោះចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបំបែកនៃប្រភេទទីមួយ. ចំណុចដាច់ដែលអាចដកចេញបាន គឺជាចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ។
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ដែនកំណត់ម្ខាងៗមិនមាន ឬមិនមែនជាតម្លៃកំណត់ នោះចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបំបែកនៃប្រភេទទីពីរ.
Asymptote - ត្រង់ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិថាចម្ងាយពីចំណុចនៃខ្សែកោងទៅនេះ។ ត្រង់ទំនោរទៅសូន្យ នៅពេលដែលចំណុចផ្លាស់ទីតាមសាខាទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
បញ្ឈរ
asymptote បញ្ឈរ - បន្ទាត់កំណត់ 
.
តាមក្បួនមួយនៅពេលកំណត់ asymptote បញ្ឈរ ពួកគេរកមើលមិនមែនដែនកំណត់មួយទេប៉ុន្តែមានពីរម្ខាង (ឆ្វេងនិងស្តាំ) ។ នេះត្រូវបានធ្វើដើម្បីកំណត់ពីរបៀបដែលមុខងារមានឥរិយាបទនៅពេលដែលវាចូលទៅជិត asymptote បញ្ឈរពីទិសដៅផ្សេងៗគ្នា។ ឧទាហរណ៍:
ផ្ដេក
asymptote ផ្ដេក - ត្រង់ប្រភេទ, អាស្រ័យលើអត្ថិភាព ដែនកំណត់
.
oblique
Oblique asymptote - ត្រង់ប្រភេទ, អាស្រ័យលើអត្ថិភាព ដែនកំណត់
ចំណាំ៖ មុខងារមួយអាចមាន asymptotes oblique (ផ្ដេក) មិនលើសពីពីរ។
ចំណាំ៖ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ដែនកំណត់មួយក្នុងចំណោមដែនកំណត់ទាំងពីរដែលបានរៀបរាប់ខាងលើមិនមាន (ឬស្មើនឹង ) នោះអ័ព្ទ asymptote oblique នៅ (ឬ ) មិនមានទេ។
ប្រសិនបើនៅក្នុងធាតុ 2.) បន្ទាប់មក ហើយដែនកំណត់ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត asymptote ផ្ដេក។ 
.
6) ការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity ។ស្វែងរកចន្លោះពេល monotonicity នៃអនុគមន៍មួយ។ f(x(ឧ. ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះ)។ នេះត្រូវបានធ្វើដោយការពិនិត្យមើលសញ្ញានៃដេរីវេ f(x) ដើម្បីធ្វើដូច្នេះសូមស្វែងរកដេរីវេ f(xនិងដោះស្រាយវិសមភាព f(x) ០. នៅចន្លោះពេលដែលវិសមភាពនេះត្រូវបានពេញចិត្ត មុខងារ f(x) កើនឡើង។ កន្លែងដែលវិសមភាពបញ្ច្រាសមាន f(x 0) មុខងារ f(x) ថយចុះ។
ស្វែងរកភាពជ្រុលនិយមក្នុងស្រុក។ដោយបានរកឃើញចន្លោះពេលនៃ monotonicity យើងអាចកំណត់ភ្លាមៗនូវចំនុចនៃកម្រិតខ្ពស់បំផុតក្នុងស្រុកដែលការកើនឡើងត្រូវបានជំនួសដោយការថយចុះ មានអតិបរមាក្នុងស្រុក ហើយការថយចុះត្រូវបានជំនួសដោយការកើនឡើង អប្បបរមាក្នុងស្រុក។ គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចទាំងនេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍មានចំណុចសំខាន់ដែលមិនមែនជាចំណុចខ្លាំងក្នុងតំបន់ នោះវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចទាំងនេះផងដែរ។
ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅលើផ្នែកមួយ(បន្ត)
|
1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x). 2. ស្វែងរកចំណុចដែលដេរីវេគឺសូន្យ៖ f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. កំណត់ភាពជាម្ចាស់នៃចំណុច X 1 ,X 2 , … ចម្រៀក [ ក; ខ] : ទុកអោយ x 1ក;ខ, ក x 2ក;ខ . 4. ស្វែងរកតម្លៃមុខងារនៅចំណុចដែលបានជ្រើសរើស និងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក៖ f(x 1), f(x 2),..., f(x ក),f(x ខ), 5. ការជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារពីអ្នកដែលបានរកឃើញ។ មតិយោបល់។ ប្រសិនបើនៅលើផ្នែក [ ក; ខ] មានចំណុចមិនបន្តបន្ទាប់ វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាដែនកំណត់ម្ខាងនៅក្នុងពួកវា ហើយបន្ទាប់មកយកតម្លៃរបស់ពួកគេទៅក្នុងគណនីក្នុងការជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍។ |
7) ការស្វែងរកចន្លោះប្រហោង និងចន្លោះប្រហោង. នេះត្រូវបានធ្វើដោយការពិនិត្យមើលសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 f(x) ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៅចំណុចប្រសព្វនៃចន្លោះប្រហោង និងចន្លោះប្រហោង។ គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចបញ្ឆេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍មានចំនុចបន្តបន្ទាប់ផ្សេងទៀត (ក្រៅពីចំនុចបញ្ឆេះ) ដែលដេរីវេទី 2 ស្មើនឹង 0 ឬមិនមាន នោះនៅចំណុចទាំងនេះ វាក៏មានប្រយោជន៍ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ផងដែរ។ ការស្វែងរក f(x) យើងដោះស្រាយវិសមភាព f(x) ០. នៅលើចន្លោះពេលដំណោះស្រាយនីមួយៗ មុខងារនឹងមានរាងប៉ោងចុះក្រោម។ ការដោះស្រាយវិសមភាពបញ្ច្រាស f(x) 0 យើងរកឃើញចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍ប៉ោងឡើងលើ (នោះគឺ concave)។ យើងកំណត់ចំណុចប្រទាក់ក្រឡាជាចំណុចទាំងនោះដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរទិសដៅនៃប៉ោង (ហើយបន្ត)។
ចំណុចឆ្លុះនៃមុខងារ- នេះគឺជាចំណុចដែលអនុគមន៍បន្ត ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ មុខងារនោះផ្លាស់ប្តូរទិសដៅនៃប៉ោង។
លក្ខខណ្ឌនៃអត្ថិភាព
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃចំណុចបញ្ឆេះ៖ប្រសិនបើអនុគមន៍មានភាពខុសប្លែកគ្នាពីរដងនៅក្នុងសង្កាត់ដែលមានការវាយដំមួយចំនួននៃចំនុចនោះ នោះក៏ដូចគ្នាដែរ។ 
.
ការពឹងផ្អែកនៃអថេរ y លើអថេរ x ដែលតម្លៃនីមួយៗនៃ x ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃតែមួយនៃ y ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍។ សញ្ញាណគឺ y=f(x)។ មុខងារនីមួយៗមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានមួយចំនួនដូចជា monotonicity, parity, periodicity និងផ្សេងទៀត។
ពិចារណាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិស្មើភាពឱ្យកាន់តែលម្អិត។
អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវបានហៅទោះបីវាបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរដូចខាងក្រោមក៏ដោយ៖
2. តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វិសាលភាពនៃអនុគមន៍ត្រូវតែស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច -x ។ នោះគឺសម្រាប់ចំណុច x ណាមួយពីដែននៃមុខងារ សមភាពខាងក្រោម f (x) \u003d f (-x) ត្រូវតែពិត។
ក្រាហ្វនៃមុខងារស្មើគ្នា
ប្រសិនបើអ្នកបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូ វានឹងស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។
ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y=x^2 ស្មើ។ សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។ ដែននៃនិយមន័យគឺជាអ័ក្សលេខទាំងមូល ដែលមានន័យថាវាស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច O ។
យកតាមចិត្ត x=3 ។ f(x)=3^2=9។
f(-x)=(-3)^2=9 ។ ដូច្នេះ f(x) = f(-x)។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទាំងពីរគឺពេញចិត្តសម្រាប់យើងដែលមានន័យថាមុខងារគឺសូម្បីតែ។ ខាងក្រោមនេះជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x^2។
តួលេខបង្ហាញថាក្រាហ្វគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។
ក្រាហ្វនៃមុខងារសេស
អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវបានគេហៅថាសេស ប្រសិនបើវាបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរខាងក្រោម៖
1. ដែននៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវតែស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងចំណុច O. នោះគឺប្រសិនបើចំនុចមួយចំនួន a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍ នោះចំនុចដែលត្រូវគ្នា -a ត្រូវតែជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។
2. សម្រាប់ចំណុច x ណាមួយពីដែននៃអនុគមន៍ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោម f (x) \u003d -f (x) ត្រូវតែពេញចិត្ត។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេសគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងចំណុច O - ប្រភពដើម។ ឧទាហរណ៍ មុខងារ y=x^3 គឺសេស។ សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។ ដែននៃនិយមន័យគឺជាអ័ក្សលេខទាំងមូល ដែលមានន័យថាវាស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច O ។
យក x=2 បំពាន។ f(x)=2^3=8។
f(-x)=(-2)^3=-8 ។ ដូច្នេះ f(x) = -f(x) ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទាំងពីរគឺពេញចិត្តសម្រាប់យើង ដែលមានន័យថាមុខងារគឺសេស។ ខាងក្រោមនេះជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x^3។
តួលេខនេះបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាមុខងារសេស y=x^3 គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។
សូម្បីតែប្រសិនបើសម្រាប់ទាំងអស់ \(x\) ពីដែនរបស់វាគឺពិត៖ \(f(-x)=f(x)\) ។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស \(y\)៖
ឧទាហរណ៍៖ អនុគមន៍ \(f(x)=x^2+\cos x\) គឺស្មើ ពីព្រោះ \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) មុខងារ \(f(x)\) ត្រូវបានហៅ សេសប្រសិនបើសម្រាប់ទាំងអស់ \(x\) ពីដែនរបស់វាគឺពិត៖ \(f(-x)=-f(x)\) ។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេសគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម៖
ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ \(f(x)=x^3+x\) គឺសេសព្រោះ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) អនុគមន៍ដែលមិនទាំងឬសេសត្រូវបានហៅថាអនុគមន៍ទូទៅ។ អនុគមន៍បែបនេះតែងតែត្រូវបានតំណាងដោយឯកឯងថាជាផលបូកនៃអនុគមន៍គូ និងសេស។
ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ \(f(x)=x^2-x\) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍គូ \(f_1=x^2\) និងអនុគមន៍សេស \(f_2=-x\) ។
\\(\ត្រីកោណខ្មៅ\) លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន៖
1) ផលិតផលនិង quotient នៃអនុគមន៍ពីរនៃ parity ដូចគ្នាគឺជាមុខងារគូ។
2) ផលិតផល និងគុណតម្លៃនៃអនុគមន៍ពីរនៃ parity ផ្សេងគ្នា គឺជាមុខងារសេស។
3) ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍គូ គឺជាមុខងារគូ។
4) ផលបូកនិងភាពខុសគ្នានៃមុខងារសេសគឺជាមុខងារសេស។
5) ប្រសិនបើ \(f(x)\) គឺជាអនុគមន៍គូ នោះសមីការ \(f(x)=c\(c\in \mathbb(R)\)) មានឫសតែមួយគត់ប្រសិនបើ និងប្រសិនបើនៅពេលណា។ \\ (x = ០ \\) ។
6) ប្រសិនបើ \(f(x)\) ជាអនុគមន៍គូ ឬសេស ហើយសមីការ \(f(x)=0\) មានឫស \(x=b\) នោះសមីការនេះនឹងមានវិនាទី ឫស \(x =-b\) ។
\(\blacktriangleright\) មុខងារមួយ \(f(x)\) ត្រូវបានគេហៅថាតាមកាលកំណត់នៅលើ \(X\) ប្រសិនបើសម្រាប់លេខមួយចំនួន \(T\ne 0\) យើងមាន \(f(x)=f(x+) T) \\) ដែល \\ (x, x + T \\ ក្នុង X \\) ។ តូចបំផុត \(T\) ដែលសមភាពនេះទទួលបាន ត្រូវបានគេហៅថារយៈពេលសំខាន់ (មូលដ្ឋាន) នៃមុខងារ។
អនុគមន៍តាមកាលកំណត់មានលេខណាមួយនៃទម្រង់ \(nT\) ដែល \(n\in \mathbb(Z)\) ក៏ជាលេខផងដែរ។
ឧទាហរណ៍៖ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រណាមួយគឺតាមកាលកំណត់។
សម្រាប់មុខងារ \(f(x)=\sin x\) និង \(f(x)=\cos x\) រយៈពេលសំខាន់គឺ \(2\pi\) សម្រាប់មុខងារ \(f(x)= \mathrm(tg)\,x\) និង \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) រយៈពេលសំខាន់គឺ \(\pi\) ។
ដើម្បីគូរអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ អ្នកអាចគូសក្រាហ្វរបស់វាលើផ្នែកណាមួយនៃប្រវែង \(T\) (រយៈពេលសំខាន់); បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃមុខងារទាំងមូលត្រូវបានបញ្ចប់ដោយការផ្លាស់ប្តូរផ្នែកដែលបានសាងសង់ដោយចំនួនគត់នៃរយៈពេលទៅខាងស្តាំ និងទៅខាងឆ្វេង៖
\(\blacktriangleright\) ដែន \(D(f)\) នៃអនុគមន៍ \(f(x)\) គឺជាសំណុំដែលមានតម្លៃទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ \(x\) ដែលមុខងារមានន័យ (ត្រូវបានកំណត់) ។
ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ \(f(x)=\sqrt x+1\) មានដែននិយមន័យ៖ \(x\in
កិច្ចការទី 1 #6364
កម្រិតការងារ៖ ស្មើនឹងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a\) សមីការ
មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់?
ចំណាំថាចាប់តាំងពី \(x^2\) និង \(\cos x\) គឺជាមុខងារដូចគ្នា ប្រសិនបើសមីការមានឫស \(x_0\) វានឹងមានឫស \(-x_0\) ផងដែរ។
ពិតហើយ សូមឲ្យ \(x_0\) ជាឫសគល់ នោះគឺសមភាព \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)ត្រឹមត្រូវ។ ជំនួស \(-x_0\)៖ \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
ដូច្នេះ ប្រសិនបើ \(x_0\ne 0\) នោះសមីការនឹងមានឫសយ៉ាងតិចពីររួចហើយ។ ដូច្នេះ \(x_0=0\) ។ បន្ទាប់មក៖
យើងទទួលបានតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីរ \(a\) ។ ចំណាំថាយើងបានប្រើការពិតថា \(x=0\) គឺពិតជាឫសគល់នៃសមីការដើម។ ប៉ុន្តែយើងមិនដែលប្រើការពិតថាគាត់ជាមនុស្សតែម្នាក់នោះទេ។ ដូច្នេះ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសតម្លៃលទ្ធផលនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a\) ទៅក្នុងសមីការដើម ហើយពិនិត្យមើលថាតើ \(a\) root \(x=0\) នឹងមានតែមួយគត់។
1) ប្រសិនបើ \(a=0\) នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ \(2x^2=0\) ។ ជាក់ស្តែង សមីការនេះមានឫសតែមួយ \(x=0\) ។ ដូច្នេះតម្លៃ \(a=0\) សាកសមនឹងយើង។
2) ប្រសិនបើ \(a=-\mathrm(tg)\,1\) នោះសមីការមានទម្រង់ \ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ \ ជា \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\)បន្ទាប់មក \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). ដូច្នេះតម្លៃនៃផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (*) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
ចាប់តាំងពី \(x^2\geqslant 0\) បន្ទាប់មកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (*) គឺធំជាង ឬស្មើនឹង \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) ។
ដូច្នេះ សមភាព (*) អាចរក្សាបានលុះត្រាតែភាគីទាំងពីរនៃសមីការគឺស្មើនឹង \(\mathrm(tg)^2\,1\) ។ ហើយនេះមានន័យថា \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]ដូច្នេះតម្លៃ \(a=-\mathrm(tg)\,1\) សាកសមនឹងយើង។
ចម្លើយ៖
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
កិច្ចការទី 2 #3923
កម្រិតការងារ៖ ស្មើនឹងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a\) ដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នីមួយៗ \
ស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម។
ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយមានភាពស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម នោះមុខងារបែបនេះគឺសេស នោះគឺ \(f(-x)=-f(x)\) គឺពេញចិត្តសម្រាប់ \(x\) ណាមួយពី ដែននៃមុខងារ។ ដូច្នេះ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនោះ ដែល \(f(-x)=-f(x)\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\Rrightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(តម្រឹម)\]
សមីការចុងក្រោយត្រូវតែរក្សាទុកសម្រាប់ទាំងអស់ \(x\) ពីដែន \(f(x)\) ដូច្នេះ \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
ចម្លើយ៖
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
កិច្ចការទី 3 #3069
កម្រិតការងារ៖ ស្មើនឹងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a\) ដែលសមីការនីមួយៗមានដំណោះស្រាយ 4 ដែល \(f\) គឺជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល \(T=\dfrac(16)3\) បានកំណត់នៅលើបន្ទាត់ពិតទាំងមូល និង \(f(x)=ax^2\) សម្រាប់ \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(ភារកិច្ចពីអ្នកជាវ)
ដោយសារ \(f(x)\) ជាអនុគមន៍គូ ក្រាហ្វរបស់វាគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស y ដូច្នេះនៅពេល \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) ។ ដូច្នេះនៅ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)ហើយនេះគឺជាផ្នែកនៃប្រវែង \(\dfrac(16)3\) មុខងារ \(f(x)=ax^2\) ។
1) អនុញ្ញាតឱ្យ \(a>0\) ។ បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(f(x)\) នឹងមើលទៅដូចនេះ៖ 
បន្ទាប់មកដើម្បីឱ្យសមីការមានដំណោះស្រាយ 4 វាចាំបាច់ដែលក្រាហ្វ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) ឆ្លងកាត់ចំណុច \(A\) : 
អាស្រ័យហេតុនេះ \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(aligned) \end(ប្រមូលផ្តុំ)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( បានប្រមូលផ្តុំ)\right.\]ចាប់តាំងពី \(a>0\) បន្ទាប់មក \(a=\dfrac(18)(23)\) គឺល្អ។
2) អនុញ្ញាតឱ្យ \\ (ក<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
យើងត្រូវការក្រាហ្វ \(g(x)\) ដើម្បីឆ្លងកាត់ចំណុច \(B\)៖ \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(ប្រមូលផ្តុំ)\right.\]ចាប់តាំងពី \( ក<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) ករណីដែល \(a=0\) មិនសមស្របទេ ព្រោះពេលនោះ \(f(x)=0\) សម្រាប់ទាំងអស់ \(x\), \(g(x)=2\sqrtx\) និង សមីការនឹងមានឫស 1 ប៉ុណ្ណោះ។
ចម្លើយ៖
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
កិច្ចការទី 4 # 3072
កម្រិតការងារ៖ ស្មើនឹងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់ \(a\) សម្រាប់សមីការនីមួយៗ \
មានឫសយ៉ាងតិចមួយ។
(ភារកិច្ចពីអ្នកជាវ)
យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ \
ហើយពិចារណាមុខងារពីរ៖ \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) និង \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ )
អនុគមន៍ \(g(x)\) គឺគូ មានចំនុចអប្បបរមា \(x=0\) (និង \(g(0)=49\)) ។
មុខងារ \(f(x)\) សម្រាប់ \(x>0\) កំពុងថយចុះ ហើយសម្រាប់ \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
ពិតហើយ សម្រាប់ \(x>0\) ម៉ូឌុលទីពីរពង្រីកជាវិជ្ជមាន (\(|x|=x\)) ដូច្នេះ ដោយមិនគិតពីរបៀបដែលម៉ូឌុលទីមួយពង្រីក \(f(x)\) នឹងស្មើនឹង \ (kx+A\) ដែល \(A\) ជាកន្សោមពី \(a\) ហើយ \(k\) គឺស្មើនឹង \(-9\) ឬ \(-3\) ។ សម្រាប់ \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
ស្វែងរកតម្លៃ \(f\) នៅចំណុចអតិបរមា៖ \ 
ដើម្បីឱ្យសមីការមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ វាចាំបាច់ដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(f\) និង \(g\) មានចំណុចប្រសព្វយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ដូច្នេះអ្នកត្រូវការ៖ \ \\]
ចម្លើយ៖
\(a\in \(-7\)\cup\)
កិច្ចការទី 5 # 3912
កម្រិតការងារ៖ ស្មើនឹងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a\) សម្រាប់សមីការនីមួយៗ \
មានដំណោះស្រាយប្រាំមួយផ្សេងគ្នា។
ចូរធ្វើការជំនួស \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\), \(t>0\) ។ បន្ទាប់មកសមីការនឹងយកទម្រង់ \
យើងនឹងសរសេរបន្តិចម្តង ៗ នូវលក្ខខណ្ឌដែលសមីការដើមនឹងមានដំណោះស្រាយចំនួនប្រាំមួយ។
ចំណាំថាសមីការការ៉េ \((*)\) អាចមានដំណោះស្រាយច្រើនបំផុតពីរ។ សមីការគូបណាមួយ \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) អាចមានដំណោះស្រាយមិនលើសពីបីទេ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើសមីការ \((*)\) មានដំណោះស្រាយពីរផ្សេងគ្នា (វិជ្ជមាន! ចាប់តាំងពី \(t\) ត្រូវតែធំជាងសូន្យ) \(t_1\) និង \(t_2\) នោះដោយបានធ្វើការបញ្ច្រាស ការជំនួសយើងទទួលបាន៖ \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(ប្រមូលផ្តុំ)\right.\]ចាប់តាំងពីលេខវិជ្ជមានណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជា \(\ sqrt2\) ដល់កម្រិតខ្លះ ឧទាហរណ៍ \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2)t_1)\)បន្ទាប់មកសមីការដំបូងនៃសំណុំនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ \
ដូចដែលយើងបាននិយាយរួចមកហើយថាសមីការគូបណាមួយមានដំណោះស្រាយមិនលើសពីបីទេ ដូច្នេះសមីការនីមួយៗពីសំណុំនឹងមានដំណោះស្រាយមិនលើសពីបី។ នេះមានន័យថាសំណុំទាំងមូលនឹងមិនមានដំណោះស្រាយលើសពីប្រាំមួយទេ។
នេះមានន័យថា ដើម្បីឱ្យសមីការដើមមានដំណោះស្រាយប្រាំមួយ សមីការការ៉េ \((*)\) ត្រូវតែមានដំណោះស្រាយពីរផ្សេងគ្នា ហើយសមីការគូបលទ្ធផលនីមួយៗ (ពីសំណុំ) ត្រូវតែមានដំណោះស្រាយបីផ្សេងគ្នា (និងមិនមែនតែមួយ ដំណោះស្រាយនៃសមីការមួយគួរតែស្របគ្នាជាមួយនឹងការសម្រេចចិត្តទីពីរ!)
ជាក់ស្តែង ប្រសិនបើសមីការការ៉េ \((*)\) មានដំណោះស្រាយមួយ នោះយើងនឹងមិនទទួលបានដំណោះស្រាយប្រាំមួយសម្រាប់សមីការដើមនោះទេ។
ដូច្នេះ ផែនការដំណោះស្រាយកាន់តែច្បាស់។ ចូរយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌដែលត្រូវតែបំពេញតាមចំណុច។
1) សម្រាប់សមីការ \((*)\) មានដំណោះស្រាយពីរផ្សេងគ្នា ការរើសអើងរបស់វាត្រូវតែវិជ្ជមាន៖ \
2) យើងក៏ត្រូវការឫសទាំងពីរដើម្បីឱ្យមានភាពវិជ្ជមានផងដែរ (ព្រោះ \(t>0\)) ។ ប្រសិនបើផលិតផលនៃឫសពីរគឺវិជ្ជមាន ហើយផលបូករបស់វាវិជ្ជមាន នោះឫសខ្លួនឯងនឹងមានភាពវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះអ្នកត្រូវការ៖ \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
ដូច្នេះ យើងបានផ្តល់ឱ្យខ្លួនយើងនូវឫសវិជ្ជមានពីរផ្សេងគ្នា \(t_1\) និង \(t_2\) ។
3)
សូមក្រឡេកមើលសមីការនេះ។ \
តើវានឹងមានដំណោះស្រាយបីផ្សេងគ្នាសម្រាប់អ្វី? ដូច្នេះ យើងបានកំណត់ថាឫសទាំងពីរនៃសមីការ \((*)\) ត្រូវតែស្ថិតនៅចន្លោះ \((1;4)\) ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះ? មានឫសមិនសូន្យដាច់ដោយឡែកចំនួនបួន ដែលតំណាងឱ្យរួមគ្នាជាមួយ \\(x=0\) ការវិវត្តនព្វន្ធ។ ចំណាំថាអនុគមន៍ \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) គឺស្មើ ដូច្នេះប្រសិនបើ \(x_0\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការ \((* )\ ) បន្ទាប់មក \(-x_0\) ក៏នឹងជា root របស់វាផងដែរ។ បន្ទាប់មកវាចាំបាច់ដែលឫសនៃសមីការនេះគឺជាលេខដែលតម្រៀបតាមលំដាប់ឡើង៖ \(-2d, -d, d, 2d\) (បន្ទាប់មក \(d> 0\)) ។ ពេលនោះហើយដែលលេខទាំងប្រាំនេះនឹងបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ (ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា \(d\)) ។ ដើម្បីឱ្យឫសទាំងនេះជាលេខ \(-2d, -d, d, 2d\) វាចាំបាច់ដែលលេខ \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) ជាឫសគល់នៃ សមីការ \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) ។ បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ \
ហើយពិចារណាមុខងារពីរ៖ \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) និង \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . ដើម្បីឱ្យសមីការមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ វាចាំបាច់ដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(f\) និង \(g\) មានចំណុចប្រសព្វយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ដូច្នេះអ្នកត្រូវការ៖ \
ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបានចម្លើយ៖ \\]
ចម្លើយ៖ \(a\in \(-2\)\cup\) ភាពស្មើគ្នា និងភាពចម្លែកនៃមុខងារគឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងមួយរបស់វា ហើយភាពស្មើគ្នាកាន់កាប់ផ្នែកដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃវគ្គសិក្សារបស់សាលានៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ វាកំណត់យ៉ាងទូលំទូលាយអំពីលក្ខណៈនៃឥរិយាបថនៃមុខងារ និងជួយសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដល់ការសាងសង់ក្រាហ្វដែលត្រូវគ្នា។ ចូរយើងកំណត់ភាពស្មើគ្នានៃមុខងារ។ និយាយជាទូទៅ មុខងារដែលកំពុងសិក្សាត្រូវបានពិចារណា បើទោះបីជាសម្រាប់តម្លៃផ្ទុយគ្នានៃអថេរឯករាជ្យ (x) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងដែនរបស់វា តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ y (មុខងារ) គឺស្មើគ្នា។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះ។ ពិចារណាមុខងារមួយចំនួន f (x) ដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងដែន D. វានឹងត្រូវបានទោះបីជាសម្រាប់ចំណុច x ណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ៖ ពីនិយមន័យខាងលើ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ដូចតទៅ ពោលគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងចំណុច O ដែលជាប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ ចាប់តាំងពីប្រសិនបើចំណុចមួយចំនួន b មាននៅក្នុងដែននៃនិយមន័យនៃ មុខងារសូម្បីតែ បន្ទាប់មកចំណុចដែលត្រូវគ្នា - b ក៏ស្ថិតនៅក្នុងដែននេះដែរ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ការសន្និដ្ឋានដូចតទៅ៖ អនុគមន៍គូមានទម្រង់ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអ័ក្សកំណត់ (អូយ)។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ភាពស្មើគ្នានៃមុខងារក្នុងការអនុវត្ត? អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើរូបមន្ត h(x) = 11 ^ x + 11 ^ (-x) ។ តាមក្បួនដោះស្រាយដែលតាមពីក្រោយដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ យើងសិក្សាពីដែននៃនិយមន័យជាមុនសិន។ ជាក់ស្តែង វាត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ នោះគឺលក្ខខណ្ឌទីមួយគឺពេញចិត្ត។ ជំហានបន្ទាប់គឺត្រូវជំនួសអាគុយម៉ង់ (x) ជាមួយនឹងតម្លៃផ្ទុយរបស់វា (-x) ។ តោះពិនិត្យមើលភាពស្មើគ្នានៃអនុគមន៍ h(x)=11^x-11^(-x)។ ដោយធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នា យើងទទួលបាន h(-x) = 11^(-x) -11^x ។ ការដកដកជាលទ្ធផលយើងមាន ដោយវិធីនេះវាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថាមានមុខងារដែលមិនអាចត្រូវបានចាត់ថ្នាក់តាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទាំងនេះពួកគេត្រូវបានគេហៅថាសូម្បីតែឬសេស។ សូម្បីតែមុខងារមានលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយចំនួន៖ ភាពស្មើគ្នានៃអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដូចជា g(x) = 0 ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺជាមុខងារគូ វានឹងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វាសម្រាប់តម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរ។ ឫសលទ្ធផលនៃសមីការត្រូវតែផ្សំជាមួយលេខផ្ទុយ។ មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាកម្មវត្ថុនៃការផ្ទៀងផ្ទាត់។ ដូចគ្នានេះដែរត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាមិនស្តង់ដារជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ឧទាហរណ៍ តើមានតម្លៃណាមួយសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលនឹងធ្វើឱ្យសមីការ 2x^6-x^4-ax^2=1 មានឫសបី? ប្រសិនបើយើងពិចារណាថាអថេរចូលទៅក្នុងសមីការក្នុងអំណាចគូ នោះវាច្បាស់ណាស់ថាការជំនួស x ជាមួយ -x នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ វាធ្វើតាមថាប្រសិនបើលេខជាក់លាក់មួយជា root របស់វា នោះលេខផ្ទុយ។ ការសន្និដ្ឋានគឺជាក់ស្តែង: ឫសនៃសមីការក្រៅពីសូន្យត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់វា "ជាគូ" ។ វាច្បាស់ណាស់ថាលេខ 0 ខ្លួនវាមិនមែនទេ ពោលគឺចំនួនឫសនៃសមីការបែបនេះអាចគ្រាន់តែជាគូ ហើយតាមធម្មជាតិសម្រាប់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយ វាមិនអាចមានឫសបីបានទេ។ ប៉ុន្តែចំនួនឫសនៃសមីការ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 អាចជាសេស និងសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ជាការពិតណាស់ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាសំណុំនៃឫសនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានដំណោះស្រាយនៅក្នុង "គូ" ។ តោះពិនិត្យមើលថាតើ 0 ជា root ដែរឬទេ។ នៅពេលជំនួសវាទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន 2=2។ ដូច្នេះ បន្ថែមពីលើ "គូ" 0 ក៏ជា root ផងដែរ ដែលបញ្ជាក់ពីចំនួនសេសរបស់ពួកគេ។ មុខងារសូន្យ សូន្យគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមានអ័ក្ស អូ។
ភាពស្មើគ្នានៃមុខងារ មុខងារសេស ការបង្កើនមុខងារ មុខងារថយចុះ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity ដោយប្រើសេវាកម្ម ចន្លោះពេលនៃការបង្កើន និងបន្ថយមុខងារ អតិបរមាក្នុងស្រុក អប្បបរមាក្នុងស្រុក មុខងារតាមកាលកំណត់ ចន្លោះពេលថេរ មុខងារបន្ត ចំណុចបំបែក ឧទាហរណ៍៖រុករកមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា៖ y = x 3 − 3x
ពិចារណាមុខងារ \(f(x)=x^3-3x^2+4\) ។
អាចត្រូវបានគុណ: \
ដូច្នេះសូន្យរបស់វាគឺ៖ \(x=-1;2\) ។
ប្រសិនបើយើងរកឃើញដេរីវេ \(f"(x)=3x^2-6x\) នោះយើងទទួលបានចំណុចខ្លាំងពីរ \(x_(អតិបរមា)=0, x_(min)=2\) ។
ដូច្នេះក្រាហ្វមើលទៅដូចនេះ៖ 
យើងឃើញថាបន្ទាត់ផ្តេកណាមួយ \(y=k\) ដែល \(0
ដូច្នេះអ្នកត្រូវការ៖ \\ [\ ចាប់ផ្តើម (ករណី) ០<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
ចូរយើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗផងដែរថា ប្រសិនបើលេខ \(t_1\) និង \(t_2\) ខុសគ្នា នោះលេខ \(\log_(\sqrt2)t_1\) និង \(\log_(\sqrt2)t_2\) នឹង ខុសគ្នា ដូច្នេះសមីការ \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)និង \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)នឹងមានឫសផ្សេងគ្នា។
ប្រព័ន្ធ \((**)\) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖ \\ [\ ចាប់ផ្តើម (ករណី) ១
យើងនឹងមិនសរសេរឱ្យច្បាស់នូវឫសគល់នោះទេ។
ពិចារណាមុខងារ \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) ។ ក្រាហ្វរបស់វាគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានសាខាឡើងលើ ដែលមានចំនុចប្រសព្វពីរជាមួយអ័ក្ស abscissa (យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះក្នុងកថាខណ្ឌទី 1))។ តើក្រាហ្វរបស់វាគួរមើលទៅដូចម្តេច ដើម្បីឱ្យចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស abscissa នៅក្នុងចន្លោះ \((1;4)\) ? ដូច្នេះ៖ 
ទីមួយ តម្លៃ \(g(1)\) និង \(g(4)\) នៃអនុគមន៍នៅចំនុច \(1\) និង \(4\) ត្រូវតែជាវិជ្ជមាន ហើយទីពីរ ចំនុចកំពូលនៃ ប៉ារ៉ាបូឡា \(t_0\) ក៏ត្រូវតែនៅចន្លោះពេល \((1;4)\) ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរ: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
អនុគមន៍ \(g(x)\) មានចំណុចអតិបរមា \(x=0\) (និង \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). សូន្យដេរីវេ៖ \\(x=0\) ។ សម្រាប់ \(x<0\)
имеем: \(g">0\), សម្រាប់ \(x>0\) : \(g"<0\)
.
មុខងារ \(f(x)\) សម្រាប់ \(x>0\) កំពុងកើនឡើង ហើយសម្រាប់ \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
ពិតប្រាកដណាស់ សម្រាប់ \(x>0\) ម៉ូឌុលទីមួយពង្រីកជាវិជ្ជមាន (\(|x|=x\)) ដូច្នេះ ដោយមិនគិតពីរបៀបដែលម៉ូឌុលទីពីរពង្រីក \(f(x)\) នឹងស្មើនឹង \ (kx+A\) ដែល \(A\) ជាកន្សោមពី \(a\) ហើយ \(k\) គឺ \(13-10=3\) ឬ \(13+10=23\) . សម្រាប់ \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃ \(f\) នៅចំណុចអប្បបរមា៖ \
យើងទទួលបាន:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x ។
ចាប់តាំងពីការបន្ថែមបំពេញបាននូវច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរ (ការផ្លាស់ទីលំនៅ) វាច្បាស់ណាស់ថា h(-x) = h(x) និងការពឹងផ្អែកមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើគ្នា។
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x) ។ ដូច្នេះ h(x) គឺសេស។
សូន្យនៃអនុគមន៍គឺជាតម្លៃ Xដែលអនុគមន៍ក្លាយជា 0 នោះគឺ f(x)=0។
មុខងារមួយត្រូវបានហៅទោះបីជាសម្រាប់ណាមួយ។ Xពីដែននៃនិយមន័យ សមភាព f(-x) = f(x) 
មុខងារគូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស អូ
មុខងារមួយត្រូវបានគេហៅថាសេសប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ Xពីដែននៃនិយមន័យ សមភាព f(-x) = -f(x) គឺពេញចិត្ត។ 
មុខងារសេសគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមប្រភពដើម។
មុខងារដែលមិនសូម្បីតែឬសេសត្រូវបានគេហៅថាមុខងារទូទៅ។ 
អនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានគេហៅថាកើនឡើង ប្រសិនបើតម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវនឹងតម្លៃធំជាងនៃអនុគមន៍ ពោលគឺឧ។ x 2 > x 1 → f(x 2) > f(x 1) 
អនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះ ប្រសិនបើតម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវនឹងតម្លៃតូចជាងនៃអនុគមន៍ ពោលគឺឧ។ x 2 > x 1 → f (x 2) 
ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍ត្រឹមតែថយចុះ ឬកើនឡើងប៉ុណ្ណោះត្រូវបានហៅ ចន្លោះពេលនៃភាពឯកកោ. អនុគមន៍ f(x) មាន 3 ចន្លោះពេលនៃ monotonicity:
(−∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞) 
ចំណុច x 0ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ Xពីសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។ x 0វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ f(x 0) > f(x) 
ចំណុច x 0ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអប្បបរមាក្នុងស្រុក ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ Xពីសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។ x 0វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ f(x 0)< f(x).
ពិន្ទុអតិបរមាក្នុងតំបន់ និងចំណុចអប្បបរមាក្នុងតំបន់ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងក្នុងតំបន់។ 
x 1 , x 2 - ចំណុចខ្លាំងក្នុងតំបន់។
អនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានគេហៅថាតាមកាលកំណត់ ដោយមានរយៈពេល ធប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ X f(x+T) = f(x) ។ 
ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍គឺវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន ត្រូវបានគេហៅថាចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរ។ 
f(x)>0 សម្រាប់ x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
អនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចំណុច x 0 ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ x → x 0 គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ i.e. 
.
ចំណុចដែលលក្ខខណ្ឌបន្តត្រូវបានរំលោភត្រូវបានហៅថាចំណុចនៃការមិនបន្តនៃមុខងារ។ 
x0- ចំណុចបំបែក។គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់មុខងារគ្រោង
1. ស្វែងរកដែននៃអនុគមន៍ D(y)។
2. ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមានអ័ក្សកូអរដោនេ។
3. ពិនិត្យមុខងារសម្រាប់គូឬសេស។
4. ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពទៀងទាត់។
5. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity និងចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ។
6. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃចំនុចប៉ោង និងចំនុច inflection នៃអនុគមន៍។
7. ស្វែងរក asymtotes នៃអនុគមន៍។
8. ផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការសិក្សា បង្កើតក្រាហ្វ។
៨) ផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការសិក្សា យើងនឹងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ៖ 
