>> ខ្លាំង

មុខងារខ្លាំង

និយមន័យនៃជ្រុល

មុខងារ y = f (x) ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង (ស្រក) ក្នុងចន្លោះពេលខ្លះប្រសិនបើសម្រាប់ x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x2)) ។

ប្រសិនបើមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន y \u003d f (x) នៅលើផ្នែកមួយកើនឡើង (ថយចុះ) នោះដេរីវេរបស់វានៅលើផ្នែកនេះ f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

ចំណុច x អំពី បានហៅ ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក (អប្បបរមា) នៃអនុគមន៍ f (x) ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំនុច x oសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ដែលវិសមភាព f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )) ។

ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងហើយតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះគឺជារបស់វា។ ខ្លាំង។

ចំណុចខ្លាំង

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ជ្រុល . ប្រសិនបើចំណុច x អំពី គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x) បន្ទាប់មក f " (x o ) = 0 ឬ f(x o) មិនមានទេ។ ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សំខាន់ដែលមុខងារខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចសំខាន់។ ភាពខ្លាំងនៃមុខងារមួយគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងចំណោមចំណុចសំខាន់ៗរបស់វា។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដំបូង។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន x អំពី - ចំណុចសំខាន់។ ប្រសិនបើ f" (x) នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x អំពី ប្តូរសញ្ញាបូកទៅជាដក បន្ទាប់មកនៅចំណុច x oមុខងារមានអតិបរមា បើមិនដូច្នេះទេវាមានអប្បបរមា។ ប្រសិនបើដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ នោះនៅចំណុច x អំពី មិនមានជ្រុល។

លក្ខខណ្ឌទីពីរគ្រប់គ្រាន់។ ឱ្យអនុគមន៍ f(x) មាន
f" (x) នៅជិតចំនុច x អំពី និងដេរីវេទី ២ នៅចំណុច x o. ប្រសិនបើ f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oគឺជាចំនុចអប្បបរមា (អតិបរមា) ក្នុងតំបន់នៃអនុគមន៍ f(x)។ ប្រសិនបើ =0 នោះ មួយត្រូវតែប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដំបូង ឬពាក់ព័ន្ធនឹងអ្វីដែលខ្ពស់ជាង។

នៅលើផ្នែកមួយ មុខងារ y \u003d f (x) អាចឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត ឬធំបំផុត ទាំងនៅចំណុចសំខាន់ ឬនៅចុងផ្នែក។

ឧទាហរណ៍ 3.22 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ជា f " (

ភារកិច្ចសម្រាប់ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ 3.23 ។ ក

ការសម្រេចចិត្ត។ xនិង y y
0 ≤ x≤
> 0 ខណៈពេលដែល x > a / 4 ស " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение មុខងារ sq ។. ឯកតា).

ឧទាហរណ៍ 3.24 ។ p ≈

ការសម្រេចចិត្ត។ទំ
ស"
R = 2, H = 16/4 = 4 ។

ឧទាហរណ៍ 3.22 ។រកផ្នែកខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x) = 2x 3 − 15x 2 + 36x − 14 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ជា f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3) បន្ទាប់មកចំនុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ x 1 \u003d 2 និង x 2 \u003d 3. ចំនុចខ្លាំងអាចមាននៅចំនុចទាំងនេះតែប៉ុណ្ណោះ ពិន្ទុ។ ចាប់តាំងពីពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x 1 \u003d 2 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះមុខងារមានអតិបរមា។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 2 \u003d 3 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ដូច្នេះនៅចំណុច x 2 \u003d 3 មុខងារមានអប្បបរមា។ ការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ជាចំនុច
x 1 = 2 និង x 2 = 3 យើងរកឃើញភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍៖ អតិបរមា f (2) = 14 និងអប្បបរមា f (3) = 13 ។

ឧទាហរណ៍ 3.23 ។វាចាំបាច់ក្នុងការសាងសង់តំបន់ចតុកោណនៅជិតជញ្ជាំងថ្មដើម្បីឱ្យវាត្រូវបានហ៊ុមព័ទ្ធដោយសំណាញ់លួសនៅជ្រុងទាំងបីហើយនៅជាប់នឹងជញ្ជាំងនៅជ្រុងទីបួន។ សម្រាប់នេះមាន កម៉ែត្រលីនេអ៊ែរនៃក្រឡាចត្រង្គ។ តើ​គេហទំព័រ​នឹង​មាន​ផ្ទៃ​ធំ​ជាង​គេ​នៅ​សមាមាត្រ​មួយ​ណា?

ការសម្រេចចិត្ត។សម្គាល់ផ្នែកនៃគេហទំព័រតាមរយៈ xនិង y. ផ្ទៃនៃគេហទំព័រគឺស្មើនឹង S = xy ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន yគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងជញ្ជាំង។ បន្ទាប់មក តាមលក្ខខណ្ឌ សមភាព 2x + y = ត្រូវតែកាន់។ ដូច្នេះ y = a − 2x និង S = x (a − 2x) ដែល
0 ≤ x≤ a /2 (ប្រវែងនិងទទឹងនៃបន្ទះមិនអាចជាអវិជ្ជមាន) ។ S” = a − 4x, a − 4x = 0 សម្រាប់ x = a/4, មកពីណា
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2 ។ ដរាបណា x = a /4 គឺជាចំណុចសំខាន់តែមួយគត់ សូមពិនិត្យមើលថាតើសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះឬអត់។ សម្រាប់ x a / 4 S "> 0 ខណៈពេលដែល x > a / 4 ស " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение មុខងារ S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (sq ។. ឯកតា). ដោយសារ S កំពុងបន្ត ហើយតម្លៃរបស់វានៅខាងចុងនៃ S(0) និង S(a/2) គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះតម្លៃដែលបានរកឃើញនឹងជាតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ។ ដូច្នេះសមាមាត្រអំណោយផលបំផុតនៃគេហទំព័រក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺ y = 2x ។

ឧទាហរណ៍ 3.24 ។វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីធ្វើធុងស៊ីឡាំងបិទជិតដែលមានសមត្ថភាព V = 16 p ≈ ៥០ ម ៣. តើទំហំធុងគួរមានទំហំប៉ុនណា (កាំ R និងកំពស់ H) ដើម្បីប្រើប្រាស់សម្ភារៈតិចបំផុតសម្រាប់ការផលិតរបស់វា?

ការសម្រេចចិត្ត។ផ្ទៃដីសរុបនៃស៊ីឡាំងគឺ S = 2ទំ R(R+H)។ យើងដឹងពីបរិមាណនៃស៊ីឡាំង V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 ទំ / ទំ R 2 \u003d 16 / R ២. ដូច្នេះ S(R) = 2ទំ (R2+16/R)។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ៖
ស"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2) ។ ស" (R) = 0 សម្រាប់ R 3 = 8 ដូច្នេះ
R = 2, H = 16/4 = 4 ។

ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ គឺជាចំណុចនៅក្នុងដែនរបស់អនុគមន៍ ដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមា។ តម្លៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា extrema (អប្បបរមា និងអតិបរមា) នៃមុខងារ.

និយមន័យ. ចំណុច x1 វិសាលភាពមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះធំជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជិតល្មមនឹងវា ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាព f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 អតិបរមា។

និយមន័យ. ចំណុច x2 វិសាលភាពមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះតិចជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជិតល្មមនឹងវា ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាព។ f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ) ក្នុងករណីនេះមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថាមាននៅចំណុច x2 អប្បបរមា។

ចូរនិយាយចំណុច x1 - ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ f(x) បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x1 មុខងារកើនឡើងដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0 ) និងក្នុងចន្លោះពេលក្រោយ x1 ដូច្នេះមុខងារកំពុងថយចុះ ដេរីវេនៃមុខងារតិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ចូរយើងសន្មតថាចំណុចនោះ។ x2 - ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារ f(x) បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x2 អនុគមន៍កំពុងថយចុះ ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺតិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 មុខងារកំពុងកើនឡើង ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0) ។ ក្នុងករណីនេះផងដែរនៅចំណុច x2 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺសូន្យ ឬមិនមាន។

ទ្រឹស្តីបទ Fermat (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត). ប្រសិនបើចំណុច x0 - ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ ( f "(x) = 0 ) ឬមិនមាន។

និយមន័យ. ចំណុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ .

ឧទាហរណ៍ ១តោះពិចារណាមុខងារមួយ។

នៅចំណុច x= 0 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះចំនុច x= 0 គឺជាចំណុចសំខាន់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលអាចមើលឃើញនៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ វាកើនឡើងនៅក្នុងដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ ដូច្នេះចំណុច x= 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនេះទេ។

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ដោយសារឧទាហរណ៍នៃមុខងារផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលលក្ខខណ្ឌទាំងនេះពេញចិត្ត ប៉ុន្តែមុខងារ មិនមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះ ត្រូវតែមានសូចនាករគ្រប់គ្រាន់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចវិនិច្ឆ័យថាតើមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចសំខាន់ណាមួយ និងមួយណា - អតិបរមា ឬអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត)។ចំណុចសំខាន់ x0 f(x) ប្រសិនបើដេរីវេនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ ហើយប្រសិនបើសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពី "បូក" ទៅ "ដក" នោះចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី "ដក" ទៅ "បូក" បន្ទាប់មកចំណុចអប្បបរមា .

ប្រសិនបើនៅជិតចំណុច x0 នៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំរបស់វា ដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វា មានន័យថាមុខងារថយចុះ ឬកើនឡើងតែនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច។ x0 . ក្នុងករណីនេះនៅចំណុច x0 មិនមានជ្រុល។

ដូច្នេះ ដើម្បីកំណត់ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ អ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោម :

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ ហើយកំណត់ចំណុចសំខាន់។
3. ផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើក្រដាស សម្គាល់ចំណុចសំខាន់ៗនៅលើអ័ក្សលេខ និងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្នុងចន្លោះលទ្ធផល។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពី "បូក" ទៅ "ដក" នោះចំនុចសំខាន់គឺជាចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី "ដក" ទៅ "បូក" នោះចំនុចសំខាន់គឺជាចំនុចអប្បបរមា។
4. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុត។ .

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ ដើម្បី​រក​ចំណុច​សំខាន់៖

.

ដោយសារ​តម្លៃ​ណាមួយ​នៃ "x" ភាគបែង​មិន​ស្មើ​នឹង​សូន្យ នោះ​យើង​យក​ភាគយក​ទៅ​សូន្យ៖

ទទួលបានចំណុចសំខាន់មួយ។ x= ៣. យើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេលកំណត់ដោយចំណុចនេះ៖

នៅក្នុងជួរពីដកអចិន្រ្តៃយ៍ទៅ 3 - សញ្ញាដក នោះគឺមុខងារថយចុះ។

នៅក្នុងជួរពី 3 ដល់បូកគ្មានដែនកំណត់ - សញ្ញាបូក មានន័យថាមុខងារកើនឡើង។

នោះគឺចំណុច x= 3 គឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអប្បបរមា៖

ដូច្នេះ ចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារត្រូវបានរកឃើញ៖ (3; 0) ហើយវាគឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត)។ចំណុចសំខាន់ x0 គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះមិនស្មើនឹងសូន្យ ( f ""(x) ≠ 0 ) លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើដេរីវេទី 2 ធំជាងសូន្យ ( f ""(x) > 0 ) បន្ទាប់មកចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើដេរីវេទី 2 តិចជាងសូន្យ ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

ចំណាំ 1. ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយ។ x0 ទាំងនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីររលាយបាត់ បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការវិនិច្ឆ័យវត្តមាននៃភាពខ្លាំងនៅលើមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាទីពីរគ្រប់គ្រាន់។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

កំណត់សម្គាល់ 2. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារមួយក៏មិនអាចអនុវត្តបានដែរ នៅពេលដែលដេរីវេទី 1 មិនមាននៅចំណុចស្ថានី (បន្ទាប់មកដេរីវេទី 2 ក៏មិនមានដែរ) ។ ក្នុងករណីនេះវាក៏ចាំបាច់ផងដែរក្នុងការប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ធម្មជាតិក្នុងតំបន់នៃមុខងារជ្រុល

តាមនិយមន័យខាងលើ វាធ្វើតាមថា ឧត្តមភាពនៃមុខងារគឺមានលក្ខណៈមូលដ្ឋាន - នេះគឺជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ បើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃជិតបំផុត។

ឧបមាថាអ្នកពិចារណាលើប្រាក់ចំណូលរបស់អ្នកក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងខែឧសភាអ្នករកបាន 45,000 rubles ហើយនៅក្នុងខែមេសា 42,000 rubles និងនៅក្នុងខែមិថុនា 39,000 rubles នោះប្រាក់ចំណូលខែឧសភាគឺជាអតិបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃដែលនៅជិតបំផុត។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងខែតុលា អ្នករកបាន 71,000 rubles ក្នុងខែកញ្ញា 75,000 rubles និងក្នុងខែវិច្ឆិកា 74,000 rubles ដូច្នេះប្រាក់ចំណូលខែតុលាគឺជាអប្បបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃដែលនៅជិត។ ហើយអ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងងាយស្រួលថាអតិបរមាក្នុងចំណោមតម្លៃនៃខែមេសា - ឧសភា - មិថុនាគឺតិចជាងអប្បបរមានៃខែកញ្ញា - តុលា - វិច្ឆិកា។

និយាយជាទូទៅ មុខងារមួយអាចមានភាពជ្រុលនិយមជាច្រើននៅចន្លោះពេល ហើយវាអាចបង្ហាញថាអប្បរមានៃមុខងារគឺធំជាងអតិបរមាណាមួយ។ ដូច្នេះ សម្រាប់មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ។

នោះគឺគេមិនគួរគិតថាអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារគឺរៀងគ្នា តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅលើផ្នែកទាំងមូលដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណា។ នៅចំណុចអតិបរិមា អនុគមន៍មានតម្លៃធំបំផុតត្រឹមតែប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះដែលវាមាននៅគ្រប់ចំណុចគ្រប់គ្រាន់ជិតដល់ចំណុចអតិបរមា ហើយនៅចំណុចអប្បបរមា តម្លៃតូចបំផុតត្រឹមតែប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះដែល វា​មាន​គ្រប់​ចំណុច​គ្រប់​គ្រាន់​ជិត​ដល់​ចំណុច​អប្បបរមា។

ដូច្នេះហើយ យើងអាចកែលម្អគោលគំនិតនៃចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ ហើយហៅចំណុចអប្បបរមា ចំណុចអប្បបរមាក្នុងស្រុក និងចំណុចអតិបរមា - ចំណុចអតិបរមាក្នុងតំបន់។

យើងកំពុងស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ។ មុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ដេរីវេរបស់វា។ ក៏មាននៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ដូច្នេះ ក្នុងករណីនេះ មានតែចំណុចដែល , i.e. បម្រើជាចំណុចសំខាន់ប៉ុណ្ណោះ។ មកពីណា និង។ ចំណុចសំខាន់ និងបែងចែកដែនទាំងមូលនៃអនុគមន៍ទៅជាបីចន្លោះពេលនៃ monotonicity: . យើងជ្រើសរើសចំណុចត្រួតពិនិត្យមួយនៅក្នុងពួកវានីមួយៗ ហើយស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេនៅចំណុចនេះ។

សម្រាប់ចន្លោះពេល ចំណុចយោងអាចជា៖ យើងរកឃើញ . យកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងទទួលបាន ហើយយកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងមាន . ដូច្នេះក្នុងចន្លោះពេល និង និងក្នុងចន្លោះពេល។ យោងទៅតាមសញ្ញាដំបូងគ្រប់គ្រាន់នៃ extremum វាមិនមាន extremum នៅចំណុចនោះទេ (ចាប់តាំងពីដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វាក្នុងចន្លោះពេល) ហើយមុខងារមានអប្បបរមានៅចំណុច (ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីដកទៅបូកនៅពេលឆ្លងកាត់។ តាមរយៈចំណុចនេះ)។ ស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍៖ , និង . នៅក្នុងចន្លោះពេល មុខងារថយចុះ ចាប់តាំងពីចន្លោះពេលនេះ ហើយក្នុងចន្លោះពេលវាកើនឡើង ចាប់តាំងពីក្នុងចន្លោះពេលនេះ។

ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីការសាងសង់ក្រាហ្វ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ នៅពេលដែលយើងទទួលបានសមីការដែលមានឫសគល់ និង ពោលគឺ ពីរពិន្ទុ (0; 0) និង (4; 0) នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រូវបានរកឃើញ។ ដោយប្រើព័ត៌មានទាំងអស់ដែលទទួលបាន យើងបង្កើតក្រាហ្វ (សូមមើលនៅដើមឧទាហរណ៍)។

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

ដែននៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់លេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច ឧ។ .

ដើម្បីសង្ខេបការសិក្សា យើងអាចប្រើការពិតដែលថាមុខងារនេះគឺសូម្បីតែ, ចាប់តាំងពី . ដូច្នេះក្រាហ្វរបស់វាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស អូហើយការសិក្សាអាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ចន្លោះពេលប៉ុណ្ណោះ។

ការស្វែងរកដេរីវេ និងចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ៖

1) ;

2) ,

ប៉ុន្តែមុខងារទទួលរងការសម្រាកនៅចំណុចនេះ ដូច្នេះវាមិនអាចជាចំណុចខ្លាំងបានទេ។

ដូច្នេះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមានចំណុចសំខាន់ពីរ: និង . ដោយគិតគូរពីភាពស្មើគ្នានៃអនុគមន៍ យើងពិនិត្យតែចំណុចដោយសញ្ញាទីពីរគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចខ្លាំង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេទីពីរ ហើយកំណត់សញ្ញារបស់វានៅ៖ យើងទទួលបាន។ ចាប់តាំងពី និង , បន្ទាប់មកគឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ ខណៈពេលដែល .

ដើម្បីទទួលបានរូបភាពពេញលេញនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ ចូរយើងស្វែងយល់ពីអាកប្បកិរិយារបស់វានៅលើព្រំដែននៃនិយមន័យនៃដែន៖

(នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញាបង្ហាញពីបំណងប្រាថ្នា xទៅសូន្យនៅខាងស្តាំ និង xនៅតែវិជ្ជមាន; ដូចគ្នានេះដែរមានន័យថាសេចក្តីប្រាថ្នា xទៅសូន្យនៅខាងឆ្វេង និង xនៅតែអវិជ្ជមាន) ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ។ បន្ទាប់យើងរកឃើញ

,

ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើ .

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សទេ។ រូបភាពគឺនៅដើមដំបូងនៃឧទាហរណ៍។

យើងបន្តស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៨ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ស្វែងរកដែននៃមុខងារ។ ដោយសារវិសមភាពត្រូវតែរក្សា យើងទទួលបានពី .

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ៖

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ។

សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) នៃអថេរជាច្រើន ចំនុច x ជាវ៉ិចទ័រ f '(x) គឺជាវ៉ិចទ័រនៃដេរីវេទី 1 (ជម្រាល) នៃអនុគមន៍ f(x), f ′ ′(x) គឺជាម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី។ នៃដេរីវេផ្នែកទីពីរ (Hesse matrix − Hessian) អនុគមន៍ f(x)។
សម្រាប់មុខងារនៃអថេរជាច្រើន លក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម។
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់សុទិដ្ឋិនិយមក្នុងតំបន់។ អនុញ្ញាតឱ្យ f (x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x * R n ។ ប្រសិនបើ x * ជាចំណុចខ្លាំងក្នុងតំបន់ នោះ f'(x *) = 0 ។
ដូចពីមុនចំណុចដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី។ ធម្មជាតិនៃចំនុចស្ថានី x * គឺទាក់ទងទៅនឹងសញ្ញា-កំណត់នៃម៉ាទ្រីស Hessian f′ ′(x) ។
ការកំណត់សញ្ញានៃម៉ាទ្រីស A អាស្រ័យលើសញ្ញានៃទម្រង់រាងបួនជ្រុង Q(α)=< α A, α >សម្រាប់ nonzero α∈R n ទាំងអស់។
នៅទីនេះ និងបន្តតាមរយៈ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ x និង y ត្រូវបានតំណាង។ A-priory,

ម៉ាទ្រីស A គឺវិជ្ជមាន (មិនអវិជ្ជមាន) កំណត់ប្រសិនបើ Q(α)>0 (Q(α)≥0) សម្រាប់ α∈R n មិនមែនសូន្យទាំងអស់ ; អវិជ្ជមាន (មិនវិជ្ជមាន) កំណត់ប្រសិនបើ Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 សម្រាប់ nonzero α∈R n និង Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សុទិដ្ឋិនិយមក្នុងតំបន់។ អនុញ្ញាតឱ្យ f (x) ខុសគ្នាពីរដងនៅចំណុច x * R n និង f '(x *) = 0, i.e. x * - ចំណុចស្ថានី។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស f (x *) គឺវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) ច្បាស់លាស់ នោះ x * គឺជាចំណុចអប្បបរមា (អតិបរមា) ក្នុងតំបន់។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស f′(x *) មិនកំណត់ នោះ x* គឺជាចំនុចកៀប។
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស f′(x *) មិនអវិជ្ជមាន (មិនវិជ្ជមាន) ច្បាស់លាស់ នោះដើម្បីកំណត់ធម្មជាតិនៃចំនុចស្ថានី x * ការសិក្សាអំពីនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់គឺត្រូវបានទាមទារ។
ដើម្បីពិនិត្យមើលការកំណត់សញ្ញានៃម៉ាទ្រីស ជាក្បួន លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester ត្រូវបានប្រើ។ យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនេះ ម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី A ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន ប្រសិនបើអនីតិជនជ្រុងទាំងអស់របស់វាមានភាពវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះ អនីតិជនជ្រុងនៃម៉ាទ្រីស A គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានសាងសង់ពីធាតុនៃម៉ាទ្រីស A ដោយឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេក និងជួរឈរដែលមានលេខដូចគ្នា (និងទីមួយ) ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី A សម្រាប់និយមន័យអវិជ្ជមាន អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលម៉ាទ្រីស (−A) សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់វិជ្ជមាន។
ដូច្នេះ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់កំណត់ចំនុចនៃ local extrema នៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើនមានដូចខាងក្រោម។
1. រក f′(x)។
2. ប្រព័ន្ធត្រូវបានដោះស្រាយ

ជាលទ្ធផលពិន្ទុស្ថានី x i ត្រូវបានគណនា។
3. រក f′(x) កំណត់ i=1។
4. រក f′(x i)
5. អនីតិជនជ្រុងនៃម៉ាទ្រីស f′(x i) ត្រូវបានគណនា។ ប្រសិនបើមិនមែនអនីតិជន angular ទាំងអស់មិនមែនជាសូន្យទេ នោះដើម្បីកំណត់ពីធម្មជាតិនៃចំនុចស្ថានី x i ការសិក្សាអំពីដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងគឺត្រូវបានទាមទារ។ ក្នុងករណីនេះការផ្លាស់ប្តូរទៅធាតុទី 8 ត្រូវបានអនុវត្ត។
បើមិនដូច្នោះទេ សូមចូលទៅកាន់ជំហានទី 6 ។
6. សញ្ញានៃអនីតិជន angular f′(x i) ត្រូវបានវិភាគ។ ប្រសិនបើ f′(x i) កំណត់ជាវិជ្ជមាន នោះ x i គឺជាចំណុចអប្បបរមាក្នុងតំបន់។ ក្នុងករណីនេះការផ្លាស់ប្តូរទៅធាតុទី 8 ត្រូវបានអនុវត្ត។
បើមិនដូច្នេះទេ សូមចូលទៅកាន់ធាតុទី 7 ។
7. អនីតិជនជ្រុងនៃម៉ាទ្រីស -f′(x i) ត្រូវបានគណនា ហើយសញ្ញារបស់ពួកគេត្រូវបានវិភាគ។
ប្រសិនបើ -f′(x i) − ជាវិជ្ជមានកំណត់ នោះ f′′(x i) គឺជានិយមន័យអវិជ្ជមាន ហើយ x i គឺជាចំណុចអតិបរមាក្នុងតំបន់។
បើមិនដូច្នេះទេ f′(x i) គឺគ្មានកំណត់ ហើយ x i គឺជាចំនុចកែប។
8. លក្ខខណ្ឌសម្រាប់កំណត់លក្ខណៈនៃចំនុចស្ថានីទាំងអស់ i=N ត្រូវបានគូសធីក។
ប្រសិនបើវាពេញចិត្តនោះការគណនាត្រូវបានបញ្ចប់។
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមិនត្រូវបានបំពេញ នោះ i=i+1 ត្រូវបានសន្មត់ ហើយការផ្លាស់ប្តូរទៅជំហានទី 4 ត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ #1 ។ កំណត់ចំណុចនៃតំបន់ជ្រុលនៃអនុគមន៍ f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









ដោយសារអនីតិជនជ្រុងទាំងអស់មិនមែនជាសូន្យ តួអក្សរនៃ x 2 ត្រូវបានកំណត់ដោយ f′(x) ។
ដោយសារម៉ាទ្រីស f′(x 2) គឺជានិយមន័យវិជ្ជមាន x 2 គឺជាចំណុចអប្បបរមាក្នុងតំបន់។
ចម្លើយ៖ អនុគមន៍ f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 មានអប្បរមាមូលដ្ឋាននៅចំណុច x = (5/3; 8/3) ។

អនុគមន៍​បង្កើន​ដល់​ការ​បង្កើន​អាគុយម៉ង់ ដែល​មាន​ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ។ ដើម្បីស្វែងរកវា សូមប្រើតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ឧទាហរណ៍ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = x3 នឹងស្មើនឹង y' = x2 ។

ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​នេះ​ទៅ​សូន្យ (ក្នុង​ករណី​នេះ x2=0)។

ស្វែងរកតម្លៃនៃអថេរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទាំងនេះនឹងជាតម្លៃនៅពេលដែលនិស្សន្ទវត្ថុនេះនឹងស្មើនឹង 0។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសលេខបំពានក្នុងកន្សោមជំនួសឱ្យ x ដែលកន្សោមទាំងមូលនឹងក្លាយទៅជាសូន្យ។ ឧទាហរណ៍:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

អនុវត្ត​តម្លៃ​ដែល​ទទួល​បាន​នៅ​លើ​បន្ទាត់​កូអរដោណេ ហើយ​គណនា​សញ្ញា​នៃ​ដេរីវេ​សម្រាប់​តម្លៃ​នីមួយៗ​ដែល​ទទួល។ ចំណុចត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ដែលត្រូវបានយកជាប្រភពដើម។ ដើម្បីគណនាតម្លៃក្នុងចន្លោះពេល ជំនួសតម្លៃបំពានដែលត្រូវនឹងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍មុនរហូតដល់ចន្លោះពេល -1 អ្នកអាចជ្រើសរើសតម្លៃ -2។ សម្រាប់ -1 ដល់ 1 អ្នកអាចជ្រើសរើស 0 ហើយសម្រាប់តម្លៃដែលធំជាង 1 សូមជ្រើសរើស 2 ក្នុងករណីនេះដេរីវេដែលមាន x = -2 នឹងស្មើនឹង -0.24, i.e. អវិជ្ជមាន ហើយនឹងមានសញ្ញាដកនៅលើចន្លោះពេលនេះ។ ប្រសិនបើ x=0 នោះតម្លៃនឹងស្មើនឹង 2 ហើយសញ្ញាមួយត្រូវបានដាក់នៅលើចន្លោះពេលនេះ។ ប្រសិនបើ x = 1 នោះដេរីវេក៏នឹងស្មើនឹង -0.24 ហើយដកមួយត្រូវបានដាក់។

ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វាពីដកទៅបូក នោះនេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា ហើយប្រសិនបើពីបូកទៅដក នោះនេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។

វីដេអូពាក់ព័ន្ធ

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ មានសេវាកម្មអនឡាញដែលគណនាតម្លៃដែលត្រូវការ និងបង្ហាញលទ្ធផល។ នៅលើគេហទំព័របែបនេះ អ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញរហូតដល់ 5 ។

ប្រភព៖

• សេវាកម្មមួយក្នុងចំណោមសេវាកម្មសម្រាប់គណនានិស្សន្ទវត្ថុ
• ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ

ចំណុចអតិបរិមានៃអនុគមន៍រួមជាមួយនឹងចំណុចអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំង។ នៅចំណុចទាំងនេះមុខងារផ្លាស់ប្តូរឥរិយាបថរបស់វា។ Extrema ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះលេខមានកំណត់ ហើយតែងតែស្ថិតនៅក្នុងមូលដ្ឋាន។

ការណែនាំ

ដំណើរ​ការ​នៃ​ការ​ស្វែង​រក​ផ្នែក​ខ្លាំង​ក្នុង​តំបន់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​អនុគមន៍​មួយ​ហើយ​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ដោយ​ការ​វិភាគ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទីមួយ​និង​ទីពីរ​នៃ​អនុគមន៍។ មុនពេលចាប់ផ្តើមការរុករក សូមប្រាកដថាជួរដែលបានបញ្ជាក់នៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ជារបស់តម្លៃដែលអនុញ្ញាត។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ F=1/x តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x=0 គឺមិនត្រឹមត្រូវទេ។ ឬសម្រាប់អនុគមន៍ Y=tg(x) អាគុយម៉ង់មិនអាចមានតម្លៃ x=90° ទេ។

សូមប្រាកដថាអនុគមន៍ Y មានភាពខុសប្លែកគ្នាលើចន្លោះដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងមូល។ ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ Y" វាច្បាស់ណាស់ថាមុនពេលឈានដល់ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក មុខងារកើនឡើង ហើយនៅពេលដែលឆ្លងកាត់អតិបរិមា មុខងារនឹងថយចុះ។ មុខងារ។ ខណៈពេលដែលមុខងារកំពុងកើនឡើង អត្រានៃដំណើរការនេះគឺជាតម្លៃវិជ្ជមាន។ នៅពេលដែលឆ្លងកាត់អតិបរមាក្នុងស្រុក មុខងារចាប់ផ្តើមថយចុះ ហើយអត្រានៃដំណើរការផ្លាស់ប្តូរមុខងារក្លាយជាអវិជ្ជមាន។ ការផ្លាស់ប្តូរនៃអត្រា ការផ្លាស់ប្តូរមុខងារតាមរយៈសូន្យកើតឡើងនៅចំណុចនៃអតិបរមាក្នុងស្រុក។

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ Y \u003d -x² + x + 1 នៅលើផ្នែកពី -1 ទៅ 1 មានដេរីវេបន្ត Y "\u003d -2x + 1. នៅ x \u003d 1/2 ដេរីវេគឺសូន្យ ហើយនៅពេល ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី " +" ទៅ "-" ដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ Y "=-2 ។ បង្កើតក្រាហ្វចំណុចមួយដោយចំណុចនៃអនុគមន៍ Y=-x²+x+1 ហើយពិនិត្យមើលថាតើចំនុចដែលមាន abscissa x=1/2 គឺជាអតិបរមាក្នុងតំបន់នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអ័ក្សលេខ។

និយមន័យ៖ចំនុច x0 ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចនៃអតិបរមាក្នុងតំបន់ (ឬអប្បបរមា) នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច x0 អនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត (ឬតូចបំផុត) ពោលគឺឧ។ សម្រាប់ х ទាំងអស់ពីសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x0 លក្ខខណ្ឌ f(x) f(x0) (ឬ f(x) f(x0)) គឺពេញចិត្ត។

ពិន្ទុនៃអតិបរមា ឬអប្បបរមាក្នុងតំបន់ត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយឈ្មោះទូទៅមួយ - ចំណុចនៃភាពខ្លាំងក្នុងតំបន់នៃមុខងារមួយ។

ចំណាំថានៅចំណុចនៃកម្រិតខ្លាំងក្នុងតំបន់ មុខងារឈានដល់តម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមារបស់វាតែនៅក្នុងតំបន់មូលដ្ឋានមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។ មានករណីនៅពេលដែលយោងទៅតាមតម្លៃនៃуmaxуmin។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងក្នុងតំបន់

ទ្រឹស្តីបទ . ប្រសិនបើអនុគមន៍បន្ត y = f(x) មានកម្រិតខ្លាំងមូលដ្ឋាននៅចំណុច x0 នោះនៅចំណុចនេះ ដេរីវេទី 1 គឺសូន្យ ឬមិនមាន ពោលគឺឧ។ ភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់កើតឡើងនៅចំណុចសំខាន់នៃប្រភេទទីមួយ។

នៅចំណុចខ្លាំងក្នុងតំបន់ តង់ហ្សង់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស 0x ឬមានតង់ហ្សង់ពីរ (សូមមើលរូប)។ ចំណាំថាចំណុចសំខាន់គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់។ ភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់កើតឡើងតែនៅចំណុចសំខាន់នៃប្រភេទទីមួយប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់ចំណុចសំខាន់ទាំងអស់សុទ្ធតែមានកម្រិតខ្លាំងក្នុងតំបន់នោះទេ។

ឧទាហរណ៍៖ ប៉ារ៉ាបូឡាគូប y = x3 មានចំណុចសំខាន់ x0=0 ដែលដេរីវេ y/(0)=0 ប៉ុន្តែចំនុចសំខាន់ x0=0 មិនមែនជាចំនុចខ្លាំងនោះទេ ប៉ុន្តែមានចំនុចបញ្ឆេះនៅក្នុងវា (សូមមើលខាងក្រោម)។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងក្នុងតំបន់

ទ្រឹស្តីបទ . ប្រសិនបើនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់នៃប្រភេទទីមួយ ពីឆ្វេងទៅស្តាំ ដេរីវេទី y / (x)

ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី “+” ទៅ “-” បន្ទាប់មកមុខងារបន្ត y(x) មានអតិបរមាក្នុងតំបន់នៅចំណុចសំខាន់នេះ។

ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី “-” ទៅ “+” បន្ទាប់មកមុខងារបន្ត y(x) មានអប្បបរមាក្នុងតំបន់នៅចំណុចសំខាន់នេះ

មិន​មាន​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​សញ្ញា, បន្ទាប់​មក​មិន​មាន​កម្រិត​ខ្លាំង​ក្នុង​តំបន់​នៅ​ចំណុច​សំខាន់​នេះ, មាន​ចំណុច inflection ។

សម្រាប់អតិបរិមាក្នុងស្រុក តំបន់នៃអនុគមន៍កើនឡើង (y/0) ត្រូវបានជំនួសដោយផ្ទៃនៃមុខងារបន្ថយ (y/0)។ សម្រាប់អប្បរមាក្នុងស្រុក តំបន់នៃអនុគមន៍ថយចុះ (y/0) ត្រូវបានជំនួសដោយផ្ទៃនៃអនុគមន៍កើនឡើង (y/0)។

ឧទាហរណ៍៖ ស៊ើបអង្កេតមុខងារ y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 សម្រាប់ monotonicity, extremum និងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃប្រភេទទីមួយដោយកំណត់ដេរីវេ (y/) ហើយស្មើនឹងសូន្យ៖ y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

យើងដោះស្រាយត្រីកោណមាត្រការ៉េដោយប្រើការរើសអើង៖

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = −5, x2k = −1 ។

2) ចូរយើងបែងចែកអ័ក្សលេខដោយចំនុចសំខាន់ជា 3 តំបន់ ហើយកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេ (y/) នៅក្នុងពួកវា។ ដោយផ្អែកលើសញ្ញាទាំងនេះយើងរកឃើញផ្នែកនៃ monotonicity (បង្កើននិងបន្ថយ) នៃមុខងារហើយដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានេះយើងកំណត់ចំណុចនៃជ្រុលក្នុងស្រុក (អតិបរមានិងអប្បបរមា) ។

លទ្ធផលនៃការសិក្សាត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់តារាង ដែលការសន្និដ្ឋានខាងក្រោមអាចទាញបាន៖

• 1. នៅលើចន្លោះពេល y /(-10) 0 មុខងារកើនឡើងឯកតា (សញ្ញានៃដេរីវេ y ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណពីចំណុចបញ្ជា x = -10 យកក្នុងចន្លោះពេលនេះ);
• 2. នៅលើចន្លោះពេល (-5; -1) y /(-2) 0 មុខងារ monotonically ថយចុះ (សញ្ញានៃដេរីវេ y ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណពីចំណុចត្រួតពិនិត្យ x = -2 យកក្នុងចន្លោះពេលនេះ);
• 3. នៅលើចន្លោះពេល y /(0) 0 មុខងារកើនឡើងឯកតា (សញ្ញានៃដេរីវេ y ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណពីចំណុចបញ្ជា x = 0 ដែលយកក្នុងចន្លោះពេលនេះ);
• 4. នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ x1k \u003d -5 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅ "-" ដូច្នេះចំណុចនេះគឺជាចំណុចអតិបរមាក្នុងតំបន់
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ x2k \u003d -1 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "-" ទៅ "+" ដូច្នេះចំណុចនេះគឺជាចំណុចអប្បបរមាក្នុងតំបន់
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16) ។

x −5 (−5 ; -1) -1

3) យើងនឹងបង្កើតក្រាហ្វដោយផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការសិក្សាដោយមានការចូលរួមនៃការគណនាបន្ថែមនៃតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចត្រួតពិនិត្យ:

យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ Oxy;

បង្ហាញកូអរដោនេនៃអតិបរមា (-5; 16) និងអប្បបរមា (-1; -16) ពិន្ទុ;

ដើម្បីកែលម្អក្រាហ្វ យើងគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចបញ្ជា ដោយជ្រើសរើសពួកវាទៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមា ហើយនៅខាងក្នុងចន្លោះពេលកណ្តាល ឧទាហរណ៍៖ y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9(-6;9); (-3;0) និង (0;-9) - ចំណុចត្រួតពិនិត្យដែលបានគណនា ដែលត្រូវបានគ្រោងដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វ។

យើងបង្ហាញក្រាហ្វក្នុងទម្រង់ជាខ្សែកោងដែលមានប៉ោងឡើងនៅចំណុចអតិបរមា និងប៉ោងចុះក្រោមនៅចំណុចអប្បបរមា ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចត្រួតពិនិត្យដែលបានគណនា។