នៅក្នុងកិច្ចការ B14 ពី USE ក្នុងគណិតវិទ្យា អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត ឬធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយ។ នេះគឺជាបញ្ហាតូចតាចពីការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយវាគឺសម្រាប់ហេតុផលនេះ ដែលសិស្សានុសិស្សវិទ្យាល័យគ្រប់រូបអាច និងគួររៀនពីរបៀបដោះស្រាយវាជាធម្មតា។ ចូរយើងវិភាគឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលសិស្សសាលាបានដោះស្រាយនៅឯការងាររោគវិនិច្ឆ័យក្នុងគណិតវិទ្យាដែលបានកើតឡើងនៅទីក្រុងមូស្គូនៅថ្ងៃទី 7 ខែធ្នូឆ្នាំ 2011 ។

អាស្រ័យលើចន្លោះពេលដែលអ្នកចង់ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍ ក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារមួយខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

I. ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ៖

• ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
• ជ្រើសរើសពីចំណុចដែលសង្ស័យថាខ្លាំងបំផុត ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងដែននៃមុខងារ។
• គណនាតម្លៃ មុខងារ(មិនមែនជាដេរីវេទេ!) នៅចំណុចទាំងនេះ។
• ក្នុង​ចំណោម​តម្លៃ​ដែល​ទទួល​បាន សូម​ជ្រើសរើស​តម្លៃ​ធំ​បំផុត ឬ​តូច​បំផុត វា​នឹង​ជា​តម្លៃ​ដែល​អ្នក​ចង់​បាន។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ ២៣ នៅលើផ្នែក។

ការសម្រេចចិត្ត៖យើងធ្វើសកម្មភាពយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ៖

• វិសាលភាពនៃមុខងារមិនត្រូវបានកំណត់៖ ឃ(y) = រ.
• ដេរីវេនៃមុខងារគឺ៖ y' = 3x 2 – 36x+ 81. វិសាលភាពនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយក៏មិនកំណត់ដែរ៖ ឃ(y') = រ.
• សូន្យនៃដេរីវេ៖ y' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0 ដូច្នេះ x 2 – 12x+ 27 = 0 មកពីណា x= 3 និង x= 9, ចន្លោះពេលរបស់យើងរួមបញ្ចូលតែប៉ុណ្ណោះ x= 9 (ចំណុចមួយគួរឱ្យសង្ស័យសម្រាប់ជ្រុល) ។
• យើងរកឃើញតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលសង្ស័យពីភាពជ្រុលនិយម និងនៅគែមនៃចន្លោះពេល។ ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការគណនា យើងតំណាងឱ្យមុខងារក្នុងទម្រង់៖ y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231 ។

ដូច្នេះ ពីតម្លៃដែលទទួលបាន តូចបំផុតគឺ 23។ ចម្លើយ៖ ២៣.

II. ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍៖

• ស្វែងរកវិសាលភាពនៃមុខងារ។
• ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
• កំណត់ចំណុចដែលសង្ស័យថាជាអវយវៈ (ចំណុចទាំងនោះដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍បាត់ និងចំណុចដែលមិនមានដេរីវេទី ២ ម្ខាង)។
• សម្គាល់ចំណុចទាំងនេះ និងដែននៃមុខងារនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់សញ្ញា ដេរីវេ(មិនដំណើរការ!) នៅលើចន្លោះពេលលទ្ធផល។
• កំណត់តម្លៃ មុខងារ(មិនមែនជាដេរីវេទេ!) នៅចំនុចអប្បបរមា (ចំនុចទាំងនោះដែលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូក) តម្លៃតូចបំផុតនៃតម្លៃទាំងនេះនឹងជាតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍។ ប្រសិនបើគ្មានពិន្ទុអប្បបរមាទេ នោះមុខងារមិនមានតម្លៃអប្បបរមាទេ។
• កំណត់តម្លៃ មុខងារ(មិនមែនជាដេរីវេទេ!) នៅចំនុចអតិបរមា (ចំនុចទាំងនោះដែលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក) ធំបំផុតនៃតម្លៃទាំងនេះនឹងជាតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ។ ប្រសិនបើគ្មានពិន្ទុអតិបរមាទេ នោះមុខងារមិនមានតម្លៃអតិបរមាទេ។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ។

នៅខែកក្កដាឆ្នាំ 2020 NASA ចាប់ផ្តើមបេសកកម្មទៅកាន់ភពព្រះអង្គារ។ យានអវកាសនេះនឹងបញ្ជូនទៅកាន់ភពព្រះអង្គារ ដែលជាក្រុមហ៊ុនដឹកជញ្ជូនអេឡិចត្រូនិកដែលមានឈ្មោះសមាជិកទាំងអស់នៃបេសកកម្ម។

ប្រសិនបើការបង្ហោះនេះបានដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នក ឬអ្នកគ្រាន់តែចូលចិត្តវា សូមចែករំលែកតំណទៅវាជាមួយមិត្តភក្តិរបស់អ្នកនៅលើបណ្តាញសង្គម។

ជម្រើស​កូដ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ជម្រើស​កូដ​ទាំង​នេះ​ត្រូវ​ចម្លង និង​បិទ​ភ្ជាប់​ទៅ​ក្នុង​លេខ​កូដ​ទំព័រ​បណ្ដាញ​របស់​អ្នក និយម​រវាង​ស្លាក និងឬភ្លាមៗបន្ទាប់ពីស្លាក . យោងតាមជម្រើសដំបូង MathJax ផ្ទុកលឿនជាងមុន និងបន្ថយទំព័រតិចជាងមុន។ ប៉ុន្តែជម្រើសទីពីរតាមដាន និងផ្ទុកកំណែចុងក្រោយបំផុតរបស់ MathJax ដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលលេខកូដដំបូង នោះវានឹងចាំបាច់ត្រូវធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជាប្រចាំ។ ប្រសិនបើអ្នកបិទភ្ជាប់កូដទីពីរ នោះទំព័រនឹងផ្ទុកយឺតជាងមុន ប៉ុន្តែអ្នកនឹងមិនចាំបាច់តាមដានបច្ចុប្បន្នភាព MathJax ជានិច្ចនោះទេ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីភ្ជាប់ MathJax គឺនៅក្នុង Blogger ឬ WordPress៖ នៅក្នុងផ្ទាំងគ្រប់គ្រងគេហទំព័រ បន្ថែមធាតុក្រាហ្វិកដែលត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីបញ្ចូលកូដ JavaScript ភាគីទីបី ចម្លងកូដផ្ទុកកំណែទីមួយ ឬទីពីរដែលបានបង្ហាញខាងលើទៅក្នុងវា ហើយដាក់ធាតុក្រាហ្វិកឱ្យជិត។ ដល់ការចាប់ផ្តើមនៃគំរូ (ដោយវិធីនេះ វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ ព្រោះស្គ្រីប MathJax ត្រូវបានផ្ទុកដោយអសមកាល)។ អស់ហើយ។ ឥឡូវនេះរៀនវាក្យសម្ព័ន្ធសម្គាល់ MathML, LaTeX និង ASCIIMathML ហើយអ្នកត្រៀមខ្លួនរួចរាល់ហើយក្នុងការបង្កប់រូបមន្តគណិតវិទ្យាទៅក្នុងគេហទំព័ររបស់អ្នក។

ថ្ងៃចូលឆ្នាំសកលមួយទៀត... អាកាសធាតុត្រជាក់ និងផ្កាព្រិលនៅលើផ្ទាំងបង្អួច... ទាំងអស់នេះបានជំរុញឱ្យខ្ញុំសរសេរម្តងទៀតអំពី... fractals និងអ្វីដែល Wolfram Alpha ដឹងអំពីវា។ ក្នុងឱកាសនេះមានអត្ថបទគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយដែលក្នុងនោះមានឧទាហរណ៍នៃរចនាសម្ព័ន្ធ fractal ពីរវិមាត្រ។ នៅទីនេះយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតនៃ fractals បីវិមាត្រ។

ប្រភាគអាចត្រូវបានតំណាងដោយមើលឃើញ (ពិពណ៌នា) ជារូបធរណីមាត្រ ឬតួ (មានន័យថាទាំងពីរជាសំណុំ ក្នុងករណីនេះ សំណុំនៃចំណុច) ព័ត៌មានលម្អិតដែលមានរាងដូចរូបដើម។ នោះគឺវាគឺជារចនាសម្ព័ន្ធស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដោយពិចារណាលើព័ត៌មានលម្អិតដែលនៅពេលពង្រីកយើងនឹងឃើញរូបរាងដូចគ្នាដោយគ្មានការពង្រីក។ ចំណែក​ឯ​ករណី​រូប​ធរណីមាត្រ​ធម្មតា (មិន​មែន​ជា​ប្រភាគ​ទេ) ពេល​ពង្រីក​ចូល យើង​នឹង​ឃើញ​ព័ត៌មាន​លម្អិត​ដែល​មាន​រាង​សាមញ្ញ​ជាង​រូប​ដើម។ ជាឧទាហរណ៍ នៅការពង្រីកខ្ពស់គ្រប់គ្រាន់ ផ្នែកនៃពងក្រពើមើលទៅដូចជាផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់។ នេះមិនកើតឡើងជាមួយ fractals ទេ: ជាមួយនឹងការកើនឡើងណាមួយនៅក្នុងពួកវា យើងនឹងឃើញរូបរាងស្មុគ្រស្មាញដដែលម្តងទៀត ដែលការកើនឡើងនីមួយៗនឹងត្រូវធ្វើឡើងម្តងហើយម្តងទៀត។

លោក Benoit Mandelbrot ស្ថាបនិកនៃវិទ្យាសាស្រ្តនៃ fractals នៅក្នុងអត្ថបទរបស់គាត់ Fractals and Art for Science បានសរសេរថា "Fractals គឺជារាងធរណីមាត្រដែលមានភាពស្មុគស្មាញនៅក្នុងពត៌មានលំអិតរបស់វា ដូចដែលពួកវាមាននៅក្នុងទម្រង់ទាំងមូល។ នោះគឺប្រសិនបើផ្នែកនៃ fractal នឹង ពង្រីកទំហំទាំងមូល វានឹងមើលទៅដូចជាទាំងមូល ឬពិតប្រាកដ ឬប្រហែលជាមានការខូចទ្រង់ទ្រាយបន្តិច។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y=f(X)បន្តនៅលើចន្លោះពេល [ ក, ខ] ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ មុខងារបែបនេះនៅលើផ្នែកនេះឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមា។ អនុគមន៍​អាច​យក​តម្លៃ​ទាំង​នេះ​នៅ​ចំណុច​ខាង​ក្នុង​នៃ​ផ្នែក [ ក, ខ] ឬនៅលើព្រំដែននៃផ្នែក។

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយនៅលើ segment [ ក, ខ] ចាំបាច់៖

1) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារក្នុងចន្លោះពេល ( ក, ខ);

2) គណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ;

3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក នោះគឺសម្រាប់ x=កនិង x = ខ;

4) ពីតម្លៃដែលបានគណនាទាំងអស់នៃអនុគមន៍ សូមជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

នៅលើផ្នែក។

ស្វែងរកចំណុចសំខាន់៖

ចំណុចទាំងនេះស្ថិតនៅក្នុងផ្នែក។ y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

នៅចំណុច x= 3 និងនៅចំណុច x= 0.

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ប៉ោង និងចំណុចបញ្ឆេះ។

មុខងារ y = f (x) បានហៅ ប៉ោងនៅក្នុង​ចន្លោះ (ក, ខ) ប្រសិនបើក្រាហ្វរបស់វាស្ថិតនៅក្រោមតង់ហ្សង់ដែលគូសនៅចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេលនេះ ហើយត្រូវបានគេហៅថា ប៉ោងចុះក្រោម (ប៉ោង)ប្រសិនបើក្រាហ្វរបស់វាស្ថិតនៅពីលើតង់សង់។

ចំណុចនៅការផ្លាស់ប្តូរដែលប៉ោងត្រូវបានជំនួសដោយ concavity ឬផ្ទុយមកវិញត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចឆ្លង.

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាសម្រាប់ចំណុចប៉ោង និងចំណុចបញ្ឆេះ៖

1. រកចំនុចសំខាន់នៃប្រភេទទីពីរ នោះគឺចំនុចដែលដេរីវេទី 2 ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

2. ដាក់ចំនុចសំខាន់នៅលើបន្ទាត់លេខ ដោយបំបែកវាជាចន្លោះពេល។ ស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 នៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។ if នោះអនុគមន៍គឺប៉ោងឡើងលើ ប្រសិនបើ នោះមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោម។

3. ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុចសំខាន់នៃប្រភេទទីពីរ វាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ហើយនៅចំណុចនេះ ដេរីវេទី 2 ស្មើនឹងសូន្យ នោះចំនុចនេះគឺជា abscissa នៃចំនុច inflection ។ ស្វែងរកការចាត់តាំងរបស់វា។

Asymtotes នៃក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ ការស៊ើបអង្កេតមុខងារចូលទៅក្នុង asymtotes ។

និយមន័យ។ asymptote នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា ត្រង់ដែល​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ថា​ចម្ងាយ​ពី​ចំណុច​ណា​មួយ​នៃ​ក្រាហ្វ​ទៅ​បន្ទាត់​នេះ​មាន​ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ​ដោយ​ការ​ដក​ចេញ​ដោយ​គ្មាន​ដែន​កំណត់​នៃ​ចំណុច​ក្រាហ្វ​ពី​ដើម។

មាន asymtotes បីប្រភេទ៖ បញ្ឈរ ផ្ដេក និងទំនោរ។

និយមន័យ។ហៅផ្ទាល់ asymptote បញ្ឈរក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ដែនកំណត់ម្ខាងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ នោះគឺជា

កន្លែងដែលជាចំណុចមិនបន្តនៃមុខងារ នោះគឺវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននិយមន័យ។

ឧទាហរណ៍។

ឃ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - ចំណុចបំបែក។

និយមន័យ។ត្រង់ y=កបានហៅ asymptote ផ្ដេកក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)នៅ, ប្រសិនបើ

ឧទាហរណ៍។

x
y

និយមន័យ។ត្រង់ y=kx +ខ (k≠ 0) ត្រូវបានគេហៅថា oblique asymptoteក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)នៅ​កន្លែងណា

គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារនិងគ្រោង។

ក្បួនដោះស្រាយស្រាវជ្រាវមុខងារy = f(x) :

1. ស្វែងរកដែននៃមុខងារ ឃ (y).

2. ស្វែងរក (ប្រសិនបើអាច) ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ (ជាមួយ x= 0 និងនៅ y = 0).

3. ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់មុខងារគូ និងសេស ( y (‒ x) = y (x) ‒ ភាពស្មើគ្នា; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ សេស)

4. ស្វែងរក asymtotes នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

5. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍។

6. ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

7. ស្វែងរកចន្លោះប្រហោង (concavity) និងចំនុច inflection នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

8. នៅលើមូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវដែលបានធ្វើឡើង បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតមុខងារ និងគ្រោងក្រាហ្វរបស់វា។

1) ឃ (y) =

x= 4 - ចំណុចបំបែក។

2) ពេលណា x = 0,

(0; - 5) - ចំណុចប្រសព្វជាមួយ អូយ.

នៅ y = 0,

3) y(‒ x)= មុខងារទូទៅ (សូម្បីតែឬសេស) ។

4) យើងស៊ើបអង្កេតរករោគសញ្ញា។

ក) បញ្ឈរ

ខ) ផ្ដេក

គ) ស្វែងរក asymtotes oblique នៅកន្លែងណា

- សមីការ asymptote oblique

5) នៅក្នុងសមីការនេះ វាមិនត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍នោះទេ។

6)

ចំណុចសំខាន់ៗទាំងនេះបែងចែកដែនទាំងមូលនៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេល (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) និង (10; +∞) ។ វាងាយស្រួលបង្ហាញលទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងទម្រង់តារាងខាងក្រោម៖

				មិនមានបន្ថែមទេ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតារាងថាចំណុច X= ‒2‒ ចំណុចអតិបរមា នៅចំណុច X= 4‒ គ្មានជ្រុល, X= 10 - ចំណុចអប្បបរមា។

ជំនួសតម្លៃ (‒ 3) ទៅក្នុងសមីការ៖

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

អតិបរមានៃមុខងារនេះគឺ

(– 2; – 4) – កម្រិតអតិបរមា។

អប្បបរមានៃមុខងារនេះគឺ

(១០; ២០) គឺជាអប្បរមា។

7) ពិនិត្យភាពប៉ោង និងចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

គោលគំនិតនៃតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

គោលគំនិតនៃតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងគំនិតនៃចំណុចសំខាន់នៃមុខងារមួយ។

និយមន័យ ១

$x_0$ ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ $f(x)$ ប្រសិនបើ៖

1) $x_0$ - ចំណុចខាងក្នុងនៃដែននិយមន័យ;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ឬមិនមាន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងណែនាំនិយមន័យនៃតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

និយមន័យ ២

អនុគមន៍ $y=f(x)$ ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល $X$ ឈានដល់តម្លៃអតិបរមារបស់វា ប្រសិនបើមានចំណុច $x_0\in X$ នោះសម្រាប់ $x\in X$ វិសមភាពទាំងអស់

និយមន័យ ៣

អនុគមន៍ $y=f(x)$ ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល $X$ ឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វា ប្រសិនបើមានចំណុច $x_0\in X$ ដូចនេះសម្រាប់ $x\in X$ វិសមភាពទាំងអស់

ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass លើមុខងារបន្តនៅចន្លោះពេលមួយ។

ដំបូង​យើង​សូម​ណែនាំ​គោល​គំនិត​នៃ​មុខងារ​បន្ត​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល​មួយ​៖

និយមន័យ ៤

អនុគមន៍ $f\left(x\right)$ ត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅលើចន្លោះពេល $$ ប្រសិនបើវាបន្តនៅគ្រប់ចំនុចនៃចន្លោះ $(a,b)$ ហើយបន្តនៅខាងស្តាំចំនុច $x= a$ ហើយនៅខាងឆ្វេងនៅចំណុច $x = b$ ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទលើអនុគមន៍បន្តនៅចន្លោះពេលមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ១

ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass

មុខងារ $f\left(x\right)$ ដែលបន្តនៅចន្លោះពេល $$ ឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅចន្លោះពេលនេះ នោះគឺមានចំនុច $\alpha ,\beta \\ in $ ដូច នោះសម្រាប់ $x\in $ វិសមភាព $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$ ។

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។

នៅទីនេះមុខងារ $f(x)$ ឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំណុច $x=\alpha $ ឈានដល់តម្លៃអតិបរមារបស់វានៅចំណុច $x=\beta $។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $f(x)$ នៅលើចន្លោះពេល $$

1) ស្វែងរកដេរីវេ $f"(x)$;

2) រកចំនុចដែលដេរីវេ $f"\left(x\right)=0$;

3) ស្វែងរកចំណុចដែលដេរីវេ $f"(x)$ មិនមាន;

4) ជ្រើសរើសពីចំណុចដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌទី 2 និងទី 3 ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក $$;

5) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលទទួលបានក្នុងជំហានទី 4 ក៏ដូចជានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក $$;

6) ជ្រើសរើសពីតម្លៃដែលទទួលបានជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។

បញ្ហាសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅលើផ្នែកមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែក៖ $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

ការសម្រេចចិត្ត។

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\in \left,\3\in $;

៥) តម្លៃ៖

\ \ \ \

6) ធំបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញគឺ $33$ តូចបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញគឺ $1$។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖

ចម្លើយ៖$max=33,\ min=1$ ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែក៖ $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានអនុវត្តតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ។

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ មាននៅគ្រប់ចំណុចនៃដែននិយមន័យ។

4) $-3\notin\left,\5\in $;

៥) តម្លៃ៖

\ \ \

6) តម្លៃធំបំផុតដែលបានរកឃើញគឺ $225$ តូចបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញគឺ $50$។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖

ចម្លើយ៖$max=225,\ min=50$។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល [-2,2]៖ $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានអនុវត្តតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ។

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \\

3) $f"(x)$ មិនមាននៅចំណុច $x=1$ ទេ។

4) $3\notin \left[-2,2\right],\-1\in \left[-2,2\right],\1\in \left[-2,2\right]$ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ 1 មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់វិសាលភាព;

៥) តម្លៃ៖

\ \ \

6) ធំបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញគឺ $1$ តូចបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញគឺ $-8\frac(1)(3)$។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖ \end (រាប់បញ្ចូល)

ចម្លើយ៖$max=1,\ min==-8\frac(1)(3)$។

តួលេខខាងក្រោមបង្ហាញពីកន្លែងដែលមុខងារអាចឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតរបស់វា។ នៅក្នុងរូបខាងឆ្វេង តម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតត្រូវបានជួសជុលនៅចំណុចនៃមុខងារអប្បបរមា និងអតិបរមានៃមូលដ្ឋាន។ នៅក្នុងតួលេខត្រឹមត្រូវ - នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។

ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) បន្តនៅលើចន្លោះពេល [ ក, ខ] បន្ទាប់មកវាឈានដល់ផ្នែកនេះ។ យ៉ាងហោចណាស់ និង តម្លៃខ្ពស់បំផុត . នេះ, ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ, អាចកើតឡើងទាំងនៅក្នុង ចំណុចខ្លាំងឬនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរក យ៉ាងហោចណាស់ និង តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ បន្តនៅចន្លោះពេល [ ក, ខ] អ្នកត្រូវគណនាតម្លៃរបស់វាទាំងអស់។ ចំណុចសំខាន់ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសផ្នែកតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃពួកគេ។

អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់តម្លៃអតិបរមានៃមុខងារ f(x) នៅលើផ្នែក [ ក, ខ]។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗទាំងអស់របស់វា ដែលស្ថិតនៅលើ [ ក, ខ] .

ចំណុចសំខាន់ ត្រូវបានគេហៅថាចំណុច មុខងារដែលបានកំណត់និងនាង ដេរីវេគឺសូន្យ ឬមិនមាន។ បន្ទាប់មកអ្នកគួរតែគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ៗ។ ហើយជាចុងក្រោយ គេគួរតែប្រៀបធៀបតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ៗ និងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ( f(ក) និង f(ខ)) ធំបំផុតនៃចំនួនទាំងនេះនឹងមាន តម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល [ក, ខ] .

បញ្ហានៃការស្វែងរក តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ .

យើងកំពុងស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងាររួមគ្នា

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក [-1, 2] .

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ។ ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ () ហើយទទួលបានចំណុចសំខាន់ពីរ៖ និង . ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុច ដោយសារចំនុចមិនមែនជារបស់ផ្នែក [-1, ២]។ តម្លៃមុខងារទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម៖ , , . វាធ្វើតាមនោះ។ តម្លៃមុខងារតូចបំផុត។(សម្គាល់ជាពណ៌ក្រហមនៅលើក្រាហ្វខាងក្រោម) ស្មើនឹង -7 ត្រូវបានឈានដល់នៅចុងខាងស្តាំនៃផ្នែក - នៅចំណុច និង អស្ចារ្យបំផុត។(ពណ៌ក្រហមនៅលើក្រាហ្វ) ស្មើនឹង 9 - នៅចំណុចសំខាន់។

ប្រសិនបើមុខងារបន្តក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ ហើយចន្លោះពេលនេះមិនមែនជាផ្នែកមួយ (ប៉ុន្តែជាឧទាហរណ៍ ចន្លោះពេល ភាពខុសគ្នារវាងចន្លោះពេល និងផ្នែកមួយ៖ ចំនុចព្រំដែននៃចន្លោះពេលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលនោះទេ ប៉ុន្តែ ចំណុចព្រំដែននៃផ្នែកត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផ្នែក) បន្ទាប់មកក្នុងចំណោមតម្លៃនៃអនុគមន៍ប្រហែលជាមិនមានតូចបំផុត និងធំបំផុតនោះទេ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោមគឺបន្តនៅលើ ]-∞, +∞[ ហើយមិនមានតម្លៃធំបំផុតនោះទេ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ចន្លោះពេលណាមួយ (បិទ បើក ឬគ្មានកំណត់) ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមនៃមុខងារបន្តមាន។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមអ៊ីនធឺណិត .

ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក [-1, 3] .

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះជាដេរីវេនៃកូតា៖

.

យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​យើង​នូវ​ចំណុច​សំខាន់​មួយ៖ . វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះ [-1, 3] ។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖

ចូរយើងប្រៀបធៀបតម្លៃទាំងនេះ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស្មើនឹង -៥/១៣ នៅចំណុច និង តម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង 1 នៅចំណុច។

យើងបន្តស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងាររួមគ្នា

មានគ្រូបង្រៀនដែលលើប្រធានបទនៃការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ មិនបានផ្តល់ឧទាហរណ៍ដល់សិស្សដែលស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលទើបតែបានពិចារណានោះទេ ពោលគឺអ្នកដែលនៅក្នុងអនុគមន៍ជាពហុនាម ឬប្រភាគ ភាគយក និងភាគបែងដែលជាពហុនាម។ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះគំរូបែបនេះទេ ព្រោះថាក្នុងចំណោមគ្រូមានអ្នកចូលចិត្តធ្វើឱ្យសិស្សគិតឱ្យបានពេញលេញ (តារាងដេរីវេ)។ ដូច្នេះ លោការីត និងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនឹងត្រូវបានប្រើ។

ឧទាហរណ៍ 8. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក .

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះជា ដេរីវេនៃផលិតផល :

យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ ដែល​ផ្តល់​ចំណុច​សំខាន់​មួយ៖ . វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖

លទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងអស់៖ មុខងារឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វា។ស្មើ 0 នៅចំណុចមួយ និងនៅចំណុចមួយ និង តម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង អ៊ី² នៅចំណុច។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមអ៊ីនធឺណិត .

ឧទាហរណ៍ 9. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក .

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ៖

ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ៖

ចំណុចសំខាន់តែមួយគត់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ មុខងារឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វា។, ស្មើនឹង , នៅចំណុច និង តម្លៃធំបំផុត, ស្មើនឹង , នៅចំណុច .

នៅក្នុងបញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរដែលបានអនុវត្ត ការស្វែងរកតម្លៃមុខងារតូចបំផុត (ធំបំផុត) ជាក្បួនត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹមការស្វែងរកអប្បបរមា (អតិបរមា)។ ប៉ុន្តែវាមិនមែនជា minima ឬ maxima ខ្លួនឯងដែលមានចំណាប់អារម្មណ៍ជាក់ស្តែងខ្លាំងជាងនោះទេ ប៉ុន្តែជាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលពួកគេត្រូវបានសម្រេច។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត ការលំបាកបន្ថែមកើតឡើង - ការចងក្រងមុខងារដែលពិពណ៌នាអំពីបាតុភូត ឬដំណើរការដែលកំពុងពិចារណា។

ឧទាហរណ៍ 10ធុង​ដែល​មាន​ចំណុះ​៤​មាន​រាង​ដូច​ប៉ារ៉ាឡែល​ភីង​ដែល​មាន​មូលដ្ឋាន​ការ៉េ​ហើយ​បើក​នៅ​កំពូល​ត្រូវ​ត្រូវ​បាន​សំណប៉ាហាំង។ តើធុងគួរមានទំហំប៉ុនណា ដើម្បីគ្របដណ្ដប់ដោយសម្ភារៈតិចបំផុត?

ការសម្រេចចិត្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន x- ផ្នែកមូលដ្ឋាន ម៉ោង- កម្ពស់ធុង, ស- ផ្ទៃរបស់វាដោយគ្មានគម្រប វ- កម្រិតសំឡេងរបស់វា។ ផ្ទៃនៃធុងត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត , i.e. គឺជាមុខងារនៃអថេរពីរ។ ដើម្បីបង្ហាញ សជាមុខងារនៃអថេរមួយ យើងប្រើការពិតថា មកពីណា។ ការជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ ម៉ោងចូលទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ ស:

ចូរ​យើង​ពិនិត្យ​មើល​មុខងារ​នេះ​សម្រាប់​កម្រិត​ខ្លាំង។ វាត្រូវបានកំណត់ និងអាចខុសគ្នាគ្រប់ទីកន្លែងក្នុង ]0, +∞[ , និង

.

យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ () ហើយ​រក​ចំណុច​សំខាន់។ លើសពីនេះទៀត នៅ , ដេរីវេមិនមានទេ ប៉ុន្តែតម្លៃនេះមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដែននៃនិយមន័យ ដូច្នេះហើយមិនអាចជាចំណុចខ្លាំងបានទេ។ ដូច្នេះ - ចំណុចសំខាន់តែមួយគត់។ សូមពិនិត្យមើលវាសម្រាប់វត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមដោយប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីពីរ។ នៅពេលដែលដេរីវេទី 2 ធំជាងសូន្យ ()។ នេះមានន័យថានៅពេលដែលមុខងារឈានដល់អប្បបរមា . ដោយសារតែនេះ។ អប្បបរមា - អតិបរមាតែមួយគត់នៃមុខងារនេះ វាគឺជាតម្លៃតូចបំផុតរបស់វា។. ដូច្នេះផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃធុងគួរតែស្មើនឹង 2 ម៉ែត្រនិងកម្ពស់របស់វា។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ