មុនពេលយើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត បញ្ហានៃដំណើរការនព្វន្ធពិចារណាថាតើលំដាប់លេខជាអ្វី ចាប់តាំងពីការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសនៃលំដាប់លេខ។
លំដាប់លេខគឺជាសំណុំលេខ ដែលធាតុនីមួយៗមានលេខស៊េរីរៀងៗខ្លួន. ធាតុនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃលំដាប់។ ចំនួនលំដាប់នៃធាតុលំដាប់មួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលិបិក្រមមួយ៖
ធាតុដំបូងនៃលំដាប់;
ធាតុទីប្រាំនៃលំដាប់;
- "ទី" ធាតុនៃលំដាប់, i.e. ធាតុ "ឈរក្នុងជួរ" នៅលេខ n ។
មានភាពអាស្រ័យរវាងតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយ និងលេខលំដាប់របស់វា។ ដូច្នេះ យើងអាចពិចារណាលំដាប់មួយជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់ជាលេខលំដាប់នៃធាតុនៃលំដាប់។ ម្យ៉ាងទៀត គេអាចនិយាយបែបនោះ។ លំដាប់គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ៖
លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមបីវិធី៖
1 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើតារាង។ក្នុងករណីនេះ យើងគ្រាន់តែកំណត់តម្លៃនៃសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់។
ជាឧទាហរណ៍ នរណាម្នាក់បានសម្រេចចិត្តធ្វើការគ្រប់គ្រងពេលវេលាផ្ទាល់ខ្លួន ហើយចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការគណនាថាតើគាត់ចំណាយពេលប៉ុន្មាននៅលើ VKontakte ក្នុងមួយសប្តាហ៍។ ដោយការសរសេរពេលវេលានៅក្នុងតារាងមួយ គាត់នឹងទទួលបានលំដាប់ដែលមានធាតុប្រាំពីរ៖
ជួរទីមួយនៃតារាងមានលេខនៃថ្ងៃនៃសប្តាហ៍ទីពីរ - ពេលវេលាគិតជានាទី។ យើងឃើញថា នោះគឺនៅថ្ងៃច័ន្ទ នរណាម្នាក់បានចំណាយពេល 125 នាទីនៅលើ VKontakte នោះគឺនៅថ្ងៃព្រហស្បតិ៍ - 248 នាទី ហើយនោះគឺនៅថ្ងៃសុក្រត្រឹមតែ 15 ប៉ុណ្ណោះ។
2 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តសមាជិកទី n ។
ក្នុងករណីនេះ ការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយនៅលើលេខរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់ជារូបមន្ត។
ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក
ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុលំដាប់ដែលមានលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងជំនួសលេខធាតុទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់សមាជិកទី n ។
យើងធ្វើដូចគ្នាប្រសិនបើយើងត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានគេស្គាល់។ យើងជំនួសតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ជំនួសវិញនៅក្នុងសមីការនៃអនុគមន៍៖
ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ 
បន្ទាប់មក
ជាថ្មីម្តងទៀត ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថា ក្នុងលំដាប់មួយ ផ្ទុយទៅនឹងអនុគមន៍លេខតាមអំពើចិត្ត មានតែលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះដែលអាចជាអាគុយម៉ង់។
3 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់ដែលមានលេខ n លើតម្លៃនៃសមាជិកពីមុន។ ក្នុងករណីនេះវាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការដឹងតែចំនួនសមាជិកនៃលំដាប់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា។ យើងត្រូវបញ្ជាក់សមាជិកដំបូង ឬសមាជិកពីរបីនាក់ដំបូងនៃលំដាប់។
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាតាមលំដាប់លំដោយ 
, 
យើងអាចស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់មួយ។ នៅក្នុងលំដាប់ចាប់ផ្តើមពីទីបី៖
នោះគឺរាល់ពេលដើម្បីរកតម្លៃនៃសមាជិកទី n នៃលំដាប់ យើងត្រឡប់ទៅពីរមុនវិញ។ វិធីនៃលំដាប់នេះត្រូវបានគេហៅថា កើតឡើងវិញ។, មកពីពាក្យឡាតាំង កើតឡើងវិញ- ត្រឡប់មកវិញ។
ឥឡូវនេះយើងអាចកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធមួយ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសដ៏សាមញ្ញនៃលំដាប់លេខ។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខ ដែលសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងលេខមុន ដែលបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា។
លេខត្រូវបានហៅ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬសូន្យ។
ប្រសិនបើ title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} កើនឡើង.
ឧទាហរណ៍ ២; ៥; ប្រាំបី; ដប់មួយ;...
ប្រសិនបើ នោះពាក្យនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺតិចជាងពាក្យមុន ហើយការវិវត្តគឺ ស្រក.
ឧទាហរណ៍ ២; - មួយ; - បួន; -៧;...
ប្រសិនបើ នោះសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពគឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា ហើយការវិវត្តគឺ ស្ថានី.
ឧទាហរណ៍ ២;២;២;២;...
ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖
តោះមើលរូបភាព។
យើងឃើញនោះ។
និងក្នុងពេលតែមួយ
បន្ថែមភាពស្មើគ្នាទាំងពីរនេះ យើងទទួលបាន៖
.
ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 2:
ដូច្នេះ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនពីរដែលនៅជិតគ្នា៖
លើសពីនេះទៅទៀតដោយសារតែ
និងក្នុងពេលតែមួយ
បន្ទាប់មក
, ហេតុដូចនេះហើយ
សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលចាប់ផ្តើមដោយ title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
រូបមន្តសមាជិក។
យើងឃើញថាសម្រាប់សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖
ជាចុងក្រោយ
យើងទទួលបាន រូបមន្តនៃពាក្យទី 3 ។
សំខាន់!សមាជិកណាមួយនៃការរីកចម្រើននព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ និង . ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកអាចស្វែងរកសមាជិកណាមួយរបស់វា។
ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត ផលបូកនៃពាក្យដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាពីចំនុចខ្លាំងគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក៖
ពិចារណាការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយ n សមាជិក។ សូមឱ្យផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនេះស្មើនឹង .
រៀបចំលក្ខខណ្ឌនៃការរីកចម្រើនជាមុនក្នុងលំដាប់ឡើងនៃលេខ ហើយបន្ទាប់មកតាមលំដាប់ចុះ ៖
ចូរផ្គូផ្គងវា៖
ផលបូកក្នុងវង់ក្រចកនីមួយៗគឺ ចំនួនគូគឺ n ។
យើងទទួលបាន:
ដូច្នេះ ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖
ពិចារណា ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការវិវត្តនព្វន្ធ.
1 . លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តនៃសមាជិកទី 9: . បង្ហាញថាលំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកពីរនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់គឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា។
យើងបានទទួលថាភាពខុសគ្នានៃសមាជិកពីរដែលនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់មិនអាស្រ័យលើចំនួនរបស់ពួកគេហើយជាចំនួនថេរ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ លំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។
2 . ដែលបានផ្តល់ឱ្យការវិវត្តនព្វន្ធ -31; -២៧;...
ក) ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌចំនួន ៣១ នៃដំណើរការ។
ខ) កំណត់ថាតើលេខ 41 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការវិវត្តនេះ។
ក)យើងឃើញថា;
ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 សម្រាប់ការរីកចម្រើនរបស់យើង។
ជាទូទៅ 
ក្នុងករណីរបស់យើង។ 
, នោះហើយជាមូលហេតុដែល 
ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិនីមួយៗ ន ផ្គូផ្គងលេខពិត មួយ n បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាផ្តល់ឱ្យ លំដាប់លេខ :
ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . , មួយ n , . . . .
ដូច្នេះ លំដាប់លេខគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ។
ចំនួន ក 1 បានហៅ សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់ , ចំនួន ក 2 — សមាជិកទីពីរនៃលំដាប់ , ចំនួន ក 3 — ទីបី លល។ ចំនួន មួយ n បានហៅ សមាជិកទី 3 នៃលំដាប់ និងលេខធម្មជាតិ ន — លេខរបស់គាត់។ .
ពីសមាជិកជិតខាងពីរនាក់ មួយ n និង មួយ n +1 លំដាប់នៃសមាជិក មួយ n +1 បានហៅ ជាបន្តបន្ទាប់ (ឆ្ពោះទៅរក មួយ n ) ក មួយ n — មុន (ឆ្ពោះទៅរក មួយ n +1 ).
ដើម្បីបញ្ជាក់លំដាប់ អ្នកត្រូវបញ្ជាក់វិធីសាស្ត្រដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកសមាជិកលំដាប់ដែលមានលេខណាមួយ។
ជាញឹកញាប់លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាមួយ រូបមន្តពាក្យទី នោះគឺជារូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់សមាជិកលំដាប់ដោយលេខរបស់វា។
ឧទាហរណ៍,
លំដាប់នៃលេខសេសវិជ្ជមានអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត
មួយ n= 2n- 1,
និងលំដាប់នៃការជំនួស 1 និង -1 - រូបមន្ត
ខន = (-1)ន +1 . ◄
លំដាប់អាចត្រូវបានកំណត់ រូបមន្តកើតឡើងវិញ។, នោះគឺជារូបមន្តដែលបង្ហាញពីសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីមួយចំនួន តាមរយៈសមាជិកមុន (មួយ ឬច្រើន)។
ឧទាហរណ៍,
ប្រសិនបើ ក 1 = 1 , ក មួយ n +1 = មួយ n + 5
ក 1 = 1,
ក 2 = ក 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ក 3 = ក 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ក 4 = ក 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ក 5 = ក 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
ប្រសិនបើ ក ក ១= 1, ក ២ = 1, មួយ n +2 = មួយ n + មួយ n +1 , បន្ទាប់មកសមាជិកប្រាំពីរដំបូងនៃលំដាប់លេខត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម:
ក ១ = 1,
ក ២ = 1,
ក ៣ = ក ១ + ក ២ = 1 + 1 = 2,
ក ៤ = ក ២ + ក ៣ = 1 + 2 = 3,
ក ៥ = ក ៣ + ក ៤ = 2 + 3 = 5,
ក 6 = ក 4 + ក 5 = 3 + 5 = 8,
ក 7 = ក 5 + ក 6 = 5 + 8 = 13. ◄
លំដាប់អាចជា ចុងក្រោយ និង គ្មានទីបញ្ចប់ .
លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ចុងក្រោយ ប្រសិនបើវាមានចំនួនកំណត់នៃសមាជិក។ លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា គ្មានទីបញ្ចប់ ប្រសិនបើវាមានសមាជិកច្រើនឥតកំណត់។
ឧទាហរណ៍,
លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិពីរខ្ទង់៖
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
ចុងក្រោយ។
លំដាប់លេខបឋម៖
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
គ្មានទីបញ្ចប់។ ◄
លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង ប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺធំជាងសមាជិកមុន។
លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ស្រក ប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺតិចជាងសមាជិកមុន។
ឧទាហរណ៍,
2, 4, 6, 8, . . . , 2ន, . . . គឺជាលំដាប់ឡើង;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ន, . . . គឺជាលំដាប់ចុះ។ ◄
លំដាប់ដែលធាតុមិនថយចុះជាមួយនឹងចំនួនកើនឡើង ឬផ្ទុយទៅវិញមិនកើនឡើង ត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់ឯកតា .
លំដាប់ Monotonic ជាពិសេសគឺកំពុងបង្កើនលំដាប់ និងបន្ថយលំដាប់។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ លំដាប់មួយត្រូវបានហៅដែលសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្ដើមពីលេខពីរគឺស្មើនឹងលេខមុនដែលចំនួនដូចគ្នាត្រូវបានបន្ថែម។
ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . , មួយ n, . . .
គឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ន លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ:
មួយ n +1 = មួយ n + ឃ,
កន្លែងណា ឃ - លេខមួយចំនួន។
ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកបន្ទាប់ និងមុននៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺតែងតែថេរ៖
ក ២ - ក 1 = ក ៣ - ក 2 = . . . = មួយ n +1 - មួយ n = ឃ.
ចំនួន ឃ បានហៅ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ.
ដើម្បីកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យដំបូង និងភាពខុសគ្នារបស់វា។
ឧទាហរណ៍,
ប្រសិនបើ ក 1 = 3, ឃ = 4 បន្ទាប់មកពាក្យប្រាំដំបូងនៃលំដាប់ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:
ក ១ =3,
ក ២ = ក ១ + ឃ = 3 + 4 = 7,
ក ៣ = ក ២ + ឃ= 7 + 4 = 11,
ក ៤ = ក ៣ + ឃ= 11 + 4 = 15,
ក 5 = ក 4 + ឃ= 15 + 4 = 19. ◄
សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធជាមួយពាក្យទីមួយ ក 1 និងភាពខុសគ្នា ឃ របស់នាង ន
មួយ n = ក ១ + (ន- 1)ឃ.
ឧទាហរណ៍,
ស្វែងរកពាក្យទីសាមសិបនៃដំណើរការនព្វន្ធ
1, 4, 7, 10, . . .
ក ១ =1, ឃ = 3,
មួយ 30 = ក ១ + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
មួយ n-1 = ក ១ + (ន- 2)ឃ,
មួយ n= ក ១ + (ន- 1)ឃ,
មួយ n +1 = ក 1 + ន,
បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង
| មួយ n=
| មួយ n-1 + a n + 1
|
| 2
|
សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់។
លេខ a, b និង c គឺជាសមាជិកជាប់គ្នានៃការរីកចម្រើននព្វន្ធមួយចំនួនប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃពីរផ្សេងទៀត។
ឧទាហរណ៍,
មួយ n = 2ន- 7 , គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ។ យើងមាន:
មួយ n = 2ន- 7,
មួយ n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ន- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ន- 5.
អាស្រ័យហេតុនេះ
| a n+1+a n-1
| =
| 2ន- 5 + 2ន- 9
| = 2ន- 7 = មួយ n,
|
| 2
| 2
|
◄
ចំណាំថា ន -th សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមតែតាមរយៈ ក 1 ប៉ុន្តែក៏មានពីមុនមកដែរ។ ក
មួយ n = ក + (ន- k)ឃ.
ឧទាហរណ៍,
សម្រាប់ ក 5 អាចត្រូវបានសរសេរ
ក ៥ = ក ១ + 4ឃ,
ក ៥ = ក ២ + 3ឃ,
ក ៥ = ក ៣ + 2ឃ,
ក ៥ = ក ៤ + ឃ. ◄
មួយ n = មួយ n-k + kd,
មួយ n = មួយ n+k - kd,
បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង
| មួយ n=
| ក n-k
+ ក n+k
|
| 2
|
សមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ ដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាពីវា។
លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធណាមួយ សមភាពគឺពិត៖
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l ។
ឧទាហរណ៍,
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ
1) ក 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ក 9 + ក 11 )/2;
2) 28 = មួយ 10 = ក ៣ + 7ឃ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) មួយ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ដោយសារតែ
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
ស= ក ១ + ក ២ + ក ៣ + ។ . .+ មួយ n,
ដំបូង ន សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃពាក្យខ្លាំងដោយចំនួនពាក្យ៖
ពីនេះជាពិសេសវាដូចខាងក្រោមថាប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីបូកលក្ខខណ្ឌ
ក, ក +1 , . . . , មួយ n,
បន្ទាប់មករូបមន្តមុនរក្សារចនាសម្ព័ន្ធរបស់វា៖
ឧទាហរណ៍,
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
ស 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ស 10 - ស 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
ប្រសិនបើការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះបរិមាណ ក 1 , មួយ n, ឃ, ននិងស ន ភ្ជាប់ដោយរូបមន្តពីរ៖
ដូច្នេះប្រសិនបើតម្លៃនៃចំនួនបីនៃបរិមាណទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃបរិមាណពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានកំណត់ពីរូបមន្តទាំងនេះបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ។
ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ monotonic ។ ក្នុងនោះ៖
- ប្រសិនបើ ឃ > 0 បន្ទាប់មកវាកំពុងកើនឡើង;
- ប្រសិនបើ ឃ < 0 បន្ទាប់មកវាកំពុងថយចុះ;
- ប្រសិនបើ ឃ = 0 បន្ទាប់មក លំដាប់នឹងនៅស្ងៀម។
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ លំដាប់មួយត្រូវបានហៅដែលសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្ដើមពីលេខពីរគឺស្មើនឹងលេខមុនគុណនឹងលេខដូចគ្នា។
ខ 1 , ខ 2 , ខ 3 , . . . , b n, . . .
គឺជាការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ន លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ:
b n +1 = b n · q,
កន្លែងណា q ≠ 0 - លេខមួយចំនួន។
ដូច្នេះ សមាមាត្រនៃពាក្យបន្ទាប់នៃដំណើរការធរណីមាត្រនេះទៅនឹងលេខមុន គឺជាចំនួនថេរ៖
ខ 2 / ខ 1 = ខ 3 / ខ 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
ចំនួន q បានហៅ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ.
ដើម្បីកំណត់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យដំបូង និងភាគបែងរបស់វា។
ឧទាហរណ៍,
ប្រសិនបើ ខ 1 = 1, q = -3 បន្ទាប់មកពាក្យប្រាំដំបូងនៃលំដាប់ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:
b ១ = 1,
b ២ = b ១ · q = 1 · (-3) = -3,
b ៣ = b ២ · q= -3 · (-3) = 9,
b ៤ = b ៣ · q= 9 · (-3) = -27,
ខ 5 = ខ 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
ខ 1 និងភាគបែង q របស់នាង ន -ពាក្យទី អាចរកបានតាមរូបមន្ត៖
b n = ខ 1 · q ន -1 .
ឧទាហរណ៍,
ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំពីរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ 1, 2, 4, . . .
ខ 1 = 1, q = 2,
ខ 7 = ខ 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b ១ · q ន -2 ,
b n = b ១ · q ន -1 ,
b n +1 = ខ 1 · q ន,
បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមធរណីមាត្រ (សមាមាត្រ) នៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់បន្សំ។
ដោយសារការសន្ទនាក៏ជាការពិត ការអះអាងខាងក្រោមមាន៖
លេខ a, b និង c គឺជាសមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នានៃដំណើរការធរណីមាត្រមួយចំនួន ប្រសិនបើការ៉េនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀត នោះគឺជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខគឺជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀត។
ឧទាហរណ៍,
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្ត b n= −3 ២ ន , គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ។ ចូរយើងប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ។ យើងមាន:
b n= −3 ២ ន,
b n -1 = −3 ២ ន -1 ,
b n +1 = −3 ២ ន +1 .
អាស្រ័យហេតុនេះ
b n 2 =(-៣ ២ ន) 2 = (−3 ២ ន -1 ) (-៣ ២ ន +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
ដែលបញ្ជាក់ពីការអះអាងដែលត្រូវការ។ ◄
ចំណាំថា ន ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអាចត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមតែតាមរយៈ ខ 1 ប៉ុន្តែក៏មានពាក្យពីមុនៗផងដែរ។ b k ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើរូបមន្ត
b n = b k · q ន - k.
ឧទាហរណ៍,
សម្រាប់ ខ 5 អាចត្រូវបានសរសេរ
b ៥ = b ១ · q 4 ,
b ៥ = b ២ · q ៣,
b ៥ = b ៣ · q2,
b ៥ = b ៤ · q. ◄
b n = b k · q ន - k,
b n = b n - k · q k,
បន្ទាប់មកជាក់ស្តែង
b n 2 = b n - k· b n + k
ការេនៃសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលចាប់ផ្តើមពីទីពីរ គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនេះដែលស្មើគ្នាពីវា។
លើសពីនេះទៀត សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រណាមួយ សមភាពគឺពិត៖
b m· b n= b k· b l,
ម+ ន= k+ លីត្រ.
ឧទាហរណ៍,
និទស្សន្ត
1) ខ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ខ 5 · ខ 7 ;
2) 1024 = ខ 11 = ខ 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) ខ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ខ 4 · ខ 8 ;
4) ខ 2 · ខ 7 = ខ 4 · ខ 5 , ដោយសារតែ
ខ 2 · ខ 7 = 2 · 64 = 128,
ខ 4 · ខ 5 = 8 · 16 = 128. ◄
ស= ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + . . . + b n
ដំបូង ន សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង q ≠ 0 គណនាដោយរូបមន្ត៖
ហើយនៅពេលដែល q = 1 - យោងតាមរូបមន្ត
ស= n.b. 1
ចំណាំថាប្រសិនបើយើងត្រូវការបូកសរុបលក្ខខណ្ឌ
b k, b k +1 , . . . , b n,
បន្ទាប់មករូបមន្តត្រូវបានប្រើ៖
| ស- ស គ -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q ន -
k +1
| . |
| 1 - q
|
ឧទាហរណ៍,
និទស្សន្ត 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
ស 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = ស 10 - ស 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
ប្រសិនបើវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់មកបរិមាណ ខ 1 , b n, q, ននិង ស ភ្ជាប់ដោយរូបមន្តពីរ៖
ដូច្នេះប្រសិនបើតម្លៃនៃបរិមាណទាំងបីនេះត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យ នោះតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃបរិមាណពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានកំណត់ពីរូបមន្តទាំងនេះបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ។
សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ ខ 1 និងភាគបែង q ខាងក្រោមនេះកើតឡើង លក្ខណៈសម្បត្តិ monotonicity :
- វឌ្ឍនភាពកំពុងកើនឡើង ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖
ខ 1 > 0 និង q> 1;
ខ 1 < 0 និង 0 < q< 1;
- វឌ្ឍនភាពកំពុងថយចុះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖
ខ 1 > 0 និង 0 < q< 1;
ខ 1 < 0 និង q> 1.
ប្រសិនបើ ក q< 0 បន្ទាប់មកការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺសញ្ញាជំនួស៖ ពាក្យសេសរបស់វាមានសញ្ញាដូចគ្នានឹងពាក្យដំបូងរបស់វា ហើយពាក្យលេខគូមានសញ្ញាផ្ទុយ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រឆ្លាស់គ្នាមិនមែនជា monotonic ទេ។
ផលិតផលទីមួយ ន លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ទំ ន= b ១ · b ២ · b ៣ · . . . · b n = (b ១ · b n) ន / 2 .
ឧទាហរណ៍,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ
ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ ដែលម៉ូឌុលភាគបែងគឺតិចជាង 1 នោះគឺ
|q| < 1 .
ចំណាំថាការវិវត្តន៍ធរណីមាត្រដែលថយចុះដោយគ្មានកំណត់អាចមិនមែនជាលំដាប់ធ្លាក់ចុះនោះទេ។ នេះសមនឹងករណីនេះ។
1 < q< 0 .
ជាមួយនឹងភាគបែងបែបនេះ លំដាប់គឺសញ្ញា-ឆ្លាស់គ្នា។ ឧទាហរណ៍,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ ដាក់ឈ្មោះលេខដែលផលបូកដំបូង ន លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួនគ្មានដែនកំណត់ ន . លេខនេះតែងតែកំណត់ ហើយត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត
| ស= ខ 1 + ខ 2 + ខ 3 + . . . = | ខ 1
| . |
| 1 - q
|
ឧទាហរណ៍,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
ទំនាក់ទំនងរវាងដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ
ដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ពីរប៉ុណ្ណោះ។
ក 1 , ក 2 , ក 3 , . . . ឃ បន្ទាប់មក
b ក 1 , b ក 2 , b ក 3 , . . . b ឃ .
ឧទាហរណ៍,
1, 3, 5, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា 2 និង
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 7 2 . ◄
ខ 1 , ខ 2 , ខ 3 , . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង q បន្ទាប់មក
កំណត់ហេតុ a b 1, កំណត់ហេតុ a b 2, កំណត់ហេតុ a b ៣, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា កំណត់ហេតុ កq .
ឧទាហរណ៍,
2, 12, 72, . . . គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង 6 និង
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា lg 6 . ◄
តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃរូបមន្ត?
រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរក ណាមួយ។ តាមលេខរបស់គាត់" n" .
ជាការពិតណាស់អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យដំបូង ក ១និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ ឃបើគ្មានប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះទេ អ្នកមិនអាចសរសេរការវិវត្តជាក់លាក់បានទេ។
វាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទន្ទេញ (ឬបន្លំ) រូបមន្តនេះទេ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ចូលខ្លឹមសាររបស់វា និងអនុវត្តរូបមន្តក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗ។ បាទហើយមិនភ្លេចនៅពេលត្រូវទេ បាទ…) ម៉េច មិនភ្លេច- ខ្ញុំមិនដឹងទេ។ ប៉ុន្តែ របៀបចងចាំបើចាំបាច់ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ការណែនាំ។ សម្រាប់អ្នកដែលចេះមេរៀនដល់ចប់។ )
ដូច្នេះ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងរូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
តើអ្វីទៅជារូបមន្តជាទូទៅ - យើងស្រមៃ។) តើអ្វីទៅជាការវិវត្តនព្វន្ធ លេខសមាជិក ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព - ត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងមេរៀនមុន។ សូមមើលប្រសិនបើអ្នកមិនទាន់បានអាន។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនោះ។ វានៅសល់ដើម្បីរកឱ្យឃើញនូវអ្វី សមាជិកទី។
វឌ្ឍនភាពជាទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរជាស៊េរីលេខ៖
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
ក ១- តំណាងឱ្យពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ក ៣- សមាជិកទីបី ក ៤- ទីបួន ហើយដូច្នេះនៅលើ។ បើយើងចាប់អារម្មណ៍នឹងពាក្យទីប្រាំ ឧបមាថាយើងកំពុងធ្វើការជាមួយ ក ៥ប្រសិនបើមួយរយម្ភៃ - ពី មួយ 120.
របៀបកំណត់ជាទូទៅ ណាមួយ។សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ, s ណាមួយ។ចំនួន? សាមញ្ញណាស់! ដូចនេះ៖
មួយ n
នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា n-th សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។នៅក្រោមអក្សរ n លេខសមាជិកទាំងអស់ត្រូវបានលាក់ក្នុងពេលតែមួយ៖ 1, 2, 3, 4 ហើយដូច្នេះនៅលើ។
ហើយតើកំណត់ត្រាបែបនេះផ្តល់អ្វីដល់យើង? គ្រាន់តែគិតជំនួសឱ្យលេខគេសរសេរសំបុត្រ...
ការសម្គាល់នេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាពសម្រាប់ធ្វើការជាមួយដំណើរការនព្វន្ធ។ ការប្រើប្រាស់សញ្ញាណ មួយ nយើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ណាមួយ។សមាជិក ណាមួយ។វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ និងកិច្ចការជាច្រើនដែលត្រូវដោះស្រាយជាបន្តបន្ទាប់។ អ្នកនឹងឃើញបន្ថែមទៀត។
នៅក្នុងរូបមន្តនៃសមាជិកទី n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖
| a n = a 1 + (n-1)d |
ក ១- សមាជិកដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ;
ន- លេខសមាជិក។
រូបមន្តភ្ជាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ៗនៃដំណើរការណាមួយ៖ a n ; a 1 ; ឃនិង ន. ជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះ ល្បែងផ្គុំរូបទាំងអស់វិលជុំវិញដំណើរការ។
រូបមន្តពាក្យទី 9 ក៏អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរវឌ្ឍនភាពជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ក្នុងបញ្ហា វាអាចនិយាយបានថាការវិវត្តន៍ត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖
a n = 5 + (n-1) ២.
បញ្ហាបែបនេះ ថែមទាំងអាចយល់ច្រលំ… មិនមានស៊េរី គ្មានភាពខុសប្លែកគ្នា… ប៉ុន្តែបើប្រៀបធៀបលក្ខខណ្ឌជាមួយរូបមន្ត ងាយយល់ថា ក្នុងដំណើរការនេះ a 1 \u003d 5 និង d \u003d 2 ។
ហើយវាអាចកាន់តែខឹង!) បើយើងប្រកាន់លក្ខខណ្ឌដូចគ្នា៖ a n = 5 + (n-1) 2,បាទ/ចាស បើកតង្កៀប ហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា? យើងទទួលបានរូបមន្តថ្មី៖
មួយ = 3 + 2n ។
វា។ មិនត្រឹមតែមិនទូទៅទេប៉ុន្តែសម្រាប់ដំណើរការជាក់លាក់មួយ។ នេះគឺជាកន្លែងដែលរណ្ដៅស្ថិតនៅ។ អ្នកខ្លះគិតថាពាក្យទីមួយគឺបី។ ទោះបីជាការពិតសមាជិកដំបូងគឺប្រាំ ... ទាបជាងបន្តិចយើងនឹងធ្វើការជាមួយរូបមន្តដែលបានកែប្រែបែបនេះ។
នៅក្នុងភារកិច្ចសម្រាប់វឌ្ឍនភាព មានកំណត់សម្គាល់មួយទៀត - a n+1. នេះគឺជាអ្នកទាយវាថា "n បូកដំបូង" ពាក្យនៃការរីកចម្រើន។ អត្ថន័យរបស់វាគឺសាមញ្ញ និងគ្មានការបង្កគ្រោះថ្នាក់។) នេះគឺជាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព ដែលចំនួនដែលធំជាងចំនួន n ដោយមួយ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួនយើងយកសម្រាប់ មួយ nអាណត្តិទីប្រាំបន្ទាប់មក a n+1នឹងក្លាយជាសមាជិកទីប្រាំមួយ។ ល។
ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ការកំណត់ a n+1កើតឡើងក្នុងទម្រង់បែបបទដដែលៗ។ កុំខ្លាចពាក្យដ៏អាក្រក់នេះ!) នេះគ្រាន់តែជាវិធីបង្ហាញពីការវិវត្តនព្វន្ធមួយប៉ុណ្ណោះ តាមរយៈមុន។ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធក្នុងទម្រង់នេះ ដោយប្រើរូបមន្តដដែលៗ៖
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
ទីបួន - ដល់ទីបី ទីប្រាំ - ដល់ទីបួន ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ហើយរបៀបរាប់ភ្លាម ពោលពាក្យទីម្ភៃ មួយ 20? ប៉ុន្តែគ្មានផ្លូវទេ!) ខណៈពេលដែលពាក្យទី 19 មិនត្រូវបានគេដឹងនោះ 20 មិនអាចរាប់បានទេ។ នេះគឺជាភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងរូបមន្ត recursive និងរូបមន្តនៃពាក្យទី n ។ Recursive ដំណើរការតែតាមរយៈ មុន term និងរូបមន្តនៃពាក្យទី n - តាមរយៈ ដំបូងនិងអនុញ្ញាត ភ្លាមៗស្វែងរកសមាជិកណាមួយតាមលេខរបស់វា។ មិនរាប់លេខស៊េរីទាំងមូលតាមលំដាប់លំដោយ។
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ រូបមន្ត recursive អាចប្រែទៅជាធម្មតាបានយ៉ាងងាយស្រួល។ រាប់គូនៃពាក្យជាប់គ្នា គណនាភាពខុសគ្នា ឃ,ស្វែងរកពាក្យដំបូង បើចាំបាច់ ក ១សរសេររូបមន្តក្នុងទម្រង់ធម្មតា ហើយធ្វើការជាមួយវា។ នៅក្នុង GIA ភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់។
ការអនុវត្តរូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ជាដំបូងសូមក្រឡេកមើលការអនុវត្តផ្ទាល់នៃរូបមន្ត។ នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀនមុនមានបញ្ហា៖
ដែលបានឲ្យដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ។ រក 121 ប្រសិនបើ 1 = 3 និង d = 1/6 ។
បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានរូបមន្តណាមួយឡើយ ដោយគ្រាន់តែផ្អែកលើអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ បន្ថែម បាទ បន្ថែម ... មួយម៉ោង ឬពីរម៉ោង។ )
ហើយយោងទៅតាមរូបមន្តដំណោះស្រាយនឹងចំណាយពេលតិចជាងមួយនាទី។ អ្នកអាចកំណត់ពេលវេលាបាន។) យើងសម្រេចចិត្ត។
លក្ខខណ្ឌផ្តល់ទិន្នន័យទាំងអស់សម្រាប់ការប្រើប្រាស់រូបមន្ត៖ a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6 ។វានៅតែត្រូវមើលថាជាអ្វី ន.គ្មានបញ្ហា! យើងត្រូវស្វែងរក មួយ 121. នៅទីនេះយើងសរសេរ៖
សូមយកចិត្តទុកដាក់! ជំនួសឱ្យសន្ទស្សន៍ នលេខជាក់លាក់មួយបានបង្ហាញខ្លួន៖ 121. ដែលពិតជាឡូជីខល។) យើងចាប់អារម្មណ៍លើសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ លេខមួយរយម្ភៃមួយ។នេះនឹងជារបស់យើង។ ន.វាជាអត្ថន័យនេះ។ ន= 121 យើងនឹងជំនួសបន្ថែមទៅក្នុងរូបមន្ត ក្នុងតង្កៀប។ ជំនួសលេខទាំងអស់ក្នុងរូបមន្ត ហើយគណនា៖
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។ គ្រាន់តែឆាប់គេអាចរកឃើញសមាជិកប្រាំរយភាគដប់ ហើយមួយពាន់ទីបីក៏បានដែរ។ យើងដាក់ជំនួសវិញ។ នលេខដែលចង់បាននៅក្នុងលិបិក្រមនៃអក្សរ " ក"ហើយនៅក្នុងតង្កៀប ហើយយើងពិចារណា។
ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកពីខ្លឹមសារ៖ រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរក ណាមួយ។រយៈពេលនៃដំណើរការនព្វន្ធ តាមលេខរបស់គាត់" n" .
ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាកាន់តែឆ្លាតវៃ។ ឧបមាថាយើងមានបញ្ហាដូចខាងក្រោមៈ
រកពាក្យដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 17 =-2; d=-0.5 ។
ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកណាមួយខ្ញុំនឹងណែនាំជំហានដំបូង។ សរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ!បាទបាទ។ សរសេរដោយដៃនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក៖
| a n = a 1 + (n-1)d |
ហើយឥឡូវមើលអក្សរនៃរូបមន្ត យើងយល់ថាយើងមានទិន្នន័យអ្វីខ្លះ ហើយបាត់អ្វី? មាន d=-0.5,មានសមាជិកទីដប់ប្រាំពីរ ... អ្វីគ្រប់យ៉ាង? បើអ្នកគិតថាអស់ហើយ នោះអ្នកមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហាបានទេ បាទ…
យើងក៏មានលេខផងដែរ។ ន! នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ a 17 = −2លាក់ ជម្រើសពីរ។នេះគឺជាតម្លៃនៃសមាជិកទីដប់ប្រាំពីរ (-2) និងលេខរបស់វា (17) ។ ទាំងនោះ។ n=១៧."រឿងតូចតាច" នេះច្រើនតែរំលងក្បាល ហើយបើគ្មានវាទេ (បើគ្មាន "រឿងតូច" មិនមែនក្បាលទេ!) បញ្ហាមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។ ទោះបីជា ... និងដោយគ្មានក្បាលផងដែរ។ )
ឥឡូវនេះយើងអាចជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងដោយល្ងង់ខ្លៅទៅក្នុងរូបមន្ត៖
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
អូបាទ, ក ១៧យើងដឹងថាវាជា -2 ។ ជាការប្រសើរណាស់, តោះដាក់វានៅក្នុង:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
នៅក្នុងខ្លឹមសារគឺទាំងអស់។ វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញពាក្យដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធពីរូបមន្ត និងគណនា។ អ្នកទទួលបានចម្លើយ៖ a 1 = 6 ។
បច្ចេកទេសបែបនេះ - ការសរសេររូបមន្ត និងគ្រាន់តែជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ - ជួយបានច្រើនក្នុងកិច្ចការសាមញ្ញ។ ជាការពិតណាស់ អ្នកត្រូវតែអាចបង្ហាញអថេរពីរូបមន្តមួយ ប៉ុន្តែត្រូវធ្វើអ្វី!? បើគ្មានជំនាញនេះទេ គណិតវិទ្យាមិនអាចរៀនបានទាល់តែសោះ…
បញ្ហាពេញនិយមមួយទៀត៖
រកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 1 = 2; a 15 = 12 ។
ពួកយើងកំពុងធ្វើអ្វីហ្នឹង? អ្នកនឹងភ្ញាក់ផ្អើល យើងសរសេររូបមន្ត!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
ពិចារណាពីអ្វីដែលយើងដឹង៖ a 1 = 2; a 15 = 12; និង (រំលេចពិសេស!) n=15. មានអារម្មណ៍សេរីដើម្បីជំនួសក្នុងរូបមន្ត៖
12=2 + (15-1) ឃ
ចូរយើងធ្វើនព្វន្ធ។ )
12=2 + 14 ឃ
ឃ=10/14 = 5/7
នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។
ដូច្នេះភារកិច្ច a n , a 1និង ឃបានសម្រេចចិត្ត។ វានៅសល់ដើម្បីរៀនពីរបៀបស្វែងរកលេខ៖
លេខ 99 គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ដែល a 1 = 12; d=3. ស្វែងរកចំនួនសមាជិកនេះ។
យើងជំនួសបរិមាណដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងរូបមន្តនៃពាក្យទី 9៖
a n = 12 + (n-1) ៣
នៅ glance ដំបូង, មានបរិមាណមិនស្គាល់ពីរនៅទីនេះ: a n និង n ។ប៉ុន្តែ មួយ nគឺជាសមាជិកខ្លះនៃវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងលេខ ន... ហើយសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនេះ យើងដឹងហើយ! វាគឺ 99 ។ យើងមិនស្គាល់លេខរបស់គាត់ទេ។ ន,ដូច្នេះលេខនេះក៏ត្រូវស្វែងរកផងដែរ។ ជំនួសពាក្យវឌ្ឍនភាព ៩៩ ទៅក្នុងរូបមន្ត៖
99 = 12 + (n-1) ៣
យើងបង្ហាញពីរូបមន្ត ន, យើងគិត។ យើងទទួលបានចម្លើយ៖ n=30 ។
ហើយឥឡូវនេះជាបញ្ហានៅលើប្រធានបទដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានការច្នៃប្រឌិតជាងនេះ)៖
កំណត់ថាតើលេខ 117 នឹងក្លាយជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
ចូរយើងសរសេររូបមន្តម្តងទៀត។ តើមានជម្រើសអ្វី? ហឹម... ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការភ្នែក?) តើយើងឃើញសមាជិកដំបូងនៃការវិវត្តន៍ដែរឬទេ? យើងឃើញ។ នេះគឺ -3.6 ។ អ្នកអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាព៖ a 1 \u003d -3.6 ។ភាពខុសគ្នា ឃតើអាចកំណត់ពីស៊េរីបានទេ? វាងាយស្រួលប្រសិនបើអ្នកដឹងពីភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធគឺ៖
d = -2.4 − (−3.6) = 1.2
បាទ យើងបានធ្វើរឿងសាមញ្ញបំផុត។ វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយលេខដែលមិនស្គាល់ ននិងលេខដែលមិនអាចយល់បាន 117 ។ នៅក្នុងបញ្ហាមុន យ៉ាងហោចណាស់វាត្រូវបានគេដឹងថាវាជាពាក្យនៃវឌ្ឍនភាពដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ តែនៅទីនេះយើងមិនដឹងថា… ម៉េចទៅ!? មែនហើយ របៀបក្លាយជា របៀបក្លាយជា... បើកសមត្ថភាពច្នៃប្រឌិតរបស់អ្នក!)
យើង ឧបមាយ៉ាងណាមិញ 117 គឺជាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពរបស់យើង។ ជាមួយនឹងលេខមិនស្គាល់ ន. ហើយដូចទៅនឹងបញ្ហាមុនដែរ ចូរយើងព្យាយាមស្វែងរកលេខនេះ។ ទាំងនោះ។ យើងសរសេររូបមន្ត (បាទ-បាទ!)) ហើយជំនួសលេខរបស់យើង៖
117 = −3.6 + (n-1) 1.2
ជាថ្មីម្តងទៀតយើងបង្ហាញពីរូបមន្តនយើងរាប់ និងទទួលបាន៖
ឱ! លេខបានប្រែក្លាយ ប្រភាគ!មួយរយមួយកន្លះ។ និងលេខប្រភាគកំពុងដំណើរការ មិនអាច។តើយើងសន្និដ្ឋានអ្វី? បាទ! លេខ 117 មិនមែនសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពរបស់យើង។ វាគឺនៅកន្លែងណាមួយរវាងសមាជិកទី 101 និងទី 102 ។ ប្រសិនបើលេខបានប្រែទៅជាធម្មជាតិ, i.e. ចំនួនគត់វិជ្ជមាន បន្ទាប់មកចំនួននឹងជាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងលេខដែលបានរកឃើញ។ ហើយក្នុងករណីរបស់យើងចម្លើយចំពោះបញ្ហានឹងមានៈ ទេ
ភារកិច្ចផ្អែកលើកំណែពិតនៃ GIA៖
ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖
a n \u003d -4 + 6.8n
ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌទីមួយ និងទីដប់ នៃវឌ្ឍនភាព។
នៅទីនេះការវិវត្តត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបមិនធម្មតា។ រូបមន្តប្រភេទខ្លះ ... វាកើតឡើង។) ទោះយ៉ាងណារូបមន្តនេះ (ដូចដែលខ្ញុំបានសរសេរខាងលើ) - ក៏ជារូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ!នាងក៏អនុញ្ញាតដែរ។ ស្វែងរកសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពតាមលេខរបស់វា។
យើងកំពុងស្វែងរកសមាជិកដំបូង។ អ្នកដែលគិត។ ថាពាក្យទីមួយគឺដកបួនគឺខុសធ្ងន់ធ្ងរ!) ដោយសារតែរូបមន្តក្នុងបញ្ហាត្រូវបានកែប្រែ។ ពាក្យដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធនៅក្នុងវា។ លាក់។គ្មានអ្វីទេ យើងនឹងរកឃើញវាឥឡូវនេះ។ )
ដូចគ្នានឹងកិច្ចការមុនដែរ យើងជំនួស n=1ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ៖
a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
នៅទីនេះ! ពាក្យទីមួយគឺ 2.8 មិនមែន -4!
ដូចគ្នានេះដែរ យើងកំពុងស្វែងរកពាក្យទី១០៖
a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។
ហើយឥឡូវនេះសម្រាប់អ្នកដែលបានអានរហូតដល់បន្ទាត់ទាំងនេះ ប្រាក់រង្វាន់ដែលបានសន្យា។ )
ឧបមាថា នៅក្នុងស្ថានភាពប្រយុទ្ធដ៏លំបាកនៃ GIA ឬការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម អ្នកភ្លេចរូបមន្តមានប្រយោជន៍នៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធ។ មានអ្វីមួយកើតឡើងក្នុងចិត្ត ប៉ុន្តែដោយមិនច្បាស់លាស់យ៉ាងណា… ថាតើ នទីនោះ ឬ n+1 ឬ n-1...ទៅជាយ៉ាងណា!?
ស្ងប់ស្ងាត់! រូបមន្តនេះងាយទទួលបាន។ មិនតឹងរ៉ឹងខ្លាំងទេ ប៉ុន្តែពិតជាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទំនុកចិត្ត និងការសម្រេចចិត្តត្រឹមត្រូវ!) សម្រាប់ការសន្និដ្ឋាន វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីចងចាំអត្ថន័យបឋមនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយមានពេលពីរបីនាទី។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការគូររូបភាព។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់។
យើងគូរអ័ក្សលេខ ហើយសម្គាល់លេខទីមួយនៅលើវា។ ទីពីរ ទីបី។ល។ សមាជិក។ ហើយកត់សម្គាល់ភាពខុសគ្នា ឃរវាងសមាជិក។ ដូចនេះ៖
យើងក្រឡេកមើលរូបភាពហើយគិត៖ តើពាក្យទីពីរស្មើនឹងអ្វី? ទីពីរ មួយ។ ឃ:
ក 2 =a 1 + 1 ឃ
តើពាក្យទីបីជាអ្វី? ទីបី term ស្មើនឹងពាក្យទីមួយបូក ពីរ ឃ.
ក 3 =a 1 + 2 ឃ
តើអ្នកទទួលបានវាទេ? ខ្ញុំមិនដាក់ពាក្យមួយចំនួនជាដិតសម្រាប់អ្វីនោះទេ។ យល់ព្រម មួយជំហានទៀត។ )
តើអ្វីទៅជាពាក្យទីបួន? ទីបួន term ស្មើនឹងពាក្យទីមួយបូក បី ឃ.
ក 4 =a 1 + 3 ឃ
វាដល់ពេលដែលត្រូវដឹងថាចំនួនចន្លោះនោះ i.e. ឃ, ជានិច្ច មួយតិចជាងចំនួនសមាជិកដែលអ្នកកំពុងស្វែងរក ន. នោះគឺរហូតដល់ចំនួន n, ចំនួនចន្លោះនឹងត្រូវបាន n-1.ដូច្នេះរូបមន្តនឹងមាន (គ្មានជម្រើស!)៖
| a n = a 1 + (n-1)d |
ជាទូទៅរូបភាពដែលមើលឃើញមានអត្ថប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនក្នុងគណិតវិទ្យា។ កុំធ្វេសប្រហែសរូបភាព។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើវាពិបាកក្នុងការគូររូបភាពនោះ ... មានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះ!) លើសពីនេះទៀតរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកភ្ជាប់ឃ្លាំងអាវុធដ៏មានឥទ្ធិពលទាំងមូលនៃគណិតវិទ្យាទៅនឹងដំណោះស្រាយ - សមីការវិសមភាពប្រព័ន្ធ។ល។ អ្នកមិនអាចដាក់រូបភាពក្នុងសមីការបានទេ...
ភារកិច្ចសម្រាប់ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ។
សម្រាប់ការឡើងកំដៅផែនដី៖
1. នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5.1 ។ ស្វែងរក 3 ។
ព័ត៌មានជំនួយ៖ យោងតាមរូបភាពបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងរយៈពេល 20 វិនាទី ... យោងតាមរូបមន្តវាប្រែជាពិបាកជាង។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ការស្ទាត់រូបមន្តវាមានប្រយោជន៍ជាង។) ក្នុងផ្នែកទី 555 បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយទាំងដោយរូបភាព និងដោយរូបមន្ត។ មានអារម្មណ៍ខុសគ្នា!)
ហើយនេះមិនមែនជាការឡើងកម្តៅទៀតទេ)។
2. នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 = 49, 3. រក 3 ។
តើស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការគូររូបអ្វី?) នៅតែ! វាប្រសើរជាងនៅក្នុងរូបមន្តបាទ ...
3. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5 ។ ស្វែងរកពាក្យមួយរយម្ភៃប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
នៅក្នុងកិច្ចការនេះ វឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរបៀបដែលកើតឡើងដដែលៗ។ ប៉ុន្តែរាប់រហូតដល់មួយរយម្ភៃប្រាំ ... មិនមែនគ្រប់គ្នាអាចធ្វើបានទេ) ប៉ុន្តែរូបមន្តនៃអាណត្តិទី 9 គឺស្ថិតនៅក្នុងអំណាចរបស់មនុស្សគ្រប់រូប!
4. បានផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធ (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
ស្វែងរកចំនួននៃពាក្យវិជ្ជមានតូចបំផុតនៃការវិវត្ត។
5. យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃកិច្ចការទី 4 ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌវិជ្ជមានតូចបំផុតនិងអវិជ្ជមានធំបំផុតនៃវឌ្ឍនភាព។
6. ផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌទី 5 និងទី 12 នៃការកើនឡើងនព្វន្ធគឺ -2.5 ហើយផលបូកនៃពាក្យទីបីនិងទីដប់មួយគឺសូន្យ។ រក ១៤.
មិនមែនជាកិច្ចការងាយស្រួលបំផុតទេបាទ ... ) នៅទីនេះវិធីសាស្ត្រ "នៅលើម្រាមដៃ" នឹងមិនដំណើរការទេ។ អ្នកត្រូវសរសេររូបមន្ត និងដោះស្រាយសមីការ។
ចំលើយ (មិនសមហេតុផល)៖
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
បានកើតឡើង? ល្អណាស់!)
អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? វាកើតឡើង។ ដោយវិធីនេះនៅក្នុងភារកិច្ចចុងក្រោយមានចំណុចល្អិតល្អន់មួយ។ ការយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលអានបញ្ហានឹងត្រូវបានទាមទារ។ និងតក្កវិជ្ជា។
ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទាំងអស់នេះត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងផ្នែកទី 555 ។ ហើយធាតុរវើរវាយសម្រាប់ទី 4 និងពេលដ៏ខ្លីសម្រាប់ទី 6 និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយសម្រាប់រូបមន្តនៃពាក្យទី 9 - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានលាបពណ៌។ ខ្ញុំសូមណែនាំ។
ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...
និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )
អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)
អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។
ការវិវត្តនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ
ព័ត៌មានទ្រឹស្តី
ព័ត៌មានទ្រឹស្តី
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ |
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ |
|
និយមន័យ |
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ មួយ nលំដាប់មួយត្រូវបានហៅដែលសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្ដើមពីលេខពីរគឺស្មើនឹងសមាជិកមុនដែលបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា។ ឃ (ឃ- ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ) |
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ b nលំដាប់នៃលេខមិនមែនសូន្យត្រូវបានហៅ ដែលពាក្យនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងពាក្យមុនគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា q (q- ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព) |
រូបមន្តដដែលៗ |
សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន |
សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន |
រូបមន្តទី 3 |
a n = a 1 + ឃ (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| ទ្រព្យសម្បត្តិលក្ខណៈ |  |
|
| ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ |  |
 |
ឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ចជាមួយមតិយោបល់
លំហាត់ 1
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( មួយ n) ក ១ = -6, ក ២
យោងតាមរូបមន្តនៃពាក្យទី 9:
មួយ ២២ = ក ១+ ឃ (២២ − ១) = ក ១+ ២១ ឃ
តាមលក្ខខណ្ឌ៖
ក ១= -6 ដូច្នេះ មួយ ២២= -6 + 21 ឃ។
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
មួយ ២២ = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
ចម្លើយ៖ មួយ ២២ = -48.
កិច្ចការទី 2
ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការធរណីមាត្រ: -3; ៦;....
វិធីទី ១ (ដោយប្រើរូបមន្ត n-term)
យោងតាមរូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q ៤.
ដោយសារតែ b ១ = -3,
វិធីទី 2 (ដោយប្រើរូបមន្ត recursive)
ដោយសារភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ -2 (q = −2) បន្ទាប់មក៖
b ៣ = 6 ∙ (-2) = -12;
b ៤ = -12 ∙ (-2) = 24;
b ៥ = 24 ∙ (-2) = -48.
ចម្លើយ៖ b ៥ = -48.
កិច្ចការទី 3
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( a n) a ៧៤ = 34; មួយ 76= 156. រកពាក្យចិតសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ លក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈមានទម្រង់ 
.
ដូច្នេះ៖
.
ជំនួសទិន្នន័យក្នុងរូបមន្ត៖
ចម្លើយ៖ ៩៥។
កិច្ចការទី 4
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ( a n) a n= 3n − 4. រកផលបូកនៃពាក្យដប់ប្រាំពីរដំបូង។
ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ រូបមន្តពីរត្រូវបានប្រើ៖
.
តើពួកគេមួយណាងាយស្រួលជាងក្នុងការដាក់ពាក្យក្នុងករណីនេះ?
តាមលក្ខខណ្ឌ រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 នៃការវិវត្តដើមត្រូវបានគេស្គាល់ ( មួយ n) មួយ n= 3n − 4. អាចរកបានភ្លាមៗ និង ក ១, និង មួយ ១៦ដោយមិនបានរកឃើញ ឃ. ដូច្នេះយើងប្រើរូបមន្តដំបូង។
ចម្លើយ៖ ៣៦៨ ។
កិច្ចការទី 5
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ មួយ n) ក ១ = -6; ក ២= -៨. ស្វែងរករយៈពេលម្ភៃវិនាទីនៃវឌ្ឍនភាព។
យោងតាមរូបមន្តនៃពាក្យទី 9:
a 22 = a 1 + ឃ (22 – 1) = ក ១+ ២១ ឃ។
តាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើ ក ១= -6 បន្ទាប់មក មួយ ២២= -6 + 21 ឃ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
មួយ ២២ = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
ចម្លើយ៖ មួយ ២២ = -48.
កិច្ចការទី 6
លក្ខខណ្ឌជាប់ៗគ្នាជាច្រើននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកត់ត្រា៖
រកពាក្យនៃការវិវត្តដែលតំណាងដោយអក្សរ x ។
ពេលដោះស្រាយ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី៩ b n \u003d b 1 ∙ q n - 1សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ សមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ ដើម្បីស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព q អ្នកត្រូវយកលក្ខខណ្ឌណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពទាំងនេះ ហើយចែកដោយលេខមុន។ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង អ្នកអាចយក និងបែងចែកដោយ។ យើងទទួលបាននោះ q \u003d 3. ជំនួសឱ្យ n យើងជំនួសលេខ 3 ក្នុងរូបមន្ត ព្រោះវាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពាក្យទីបីនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន៖
.
ចម្លើយ៖ ។
កិច្ចការទី 7
ពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី n ជ្រើសរើសមួយដែលលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត មួយ ២៧ > 9:
ដោយសារលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវតែពេញចិត្តសម្រាប់អាណត្តិទី 27 នៃវឌ្ឍនភាព យើងជំនួសលេខ 27 ជំនួសឱ្យ n ក្នុងដំណើរការនីមួយៗនៃដំណើរការទាំងបួន។ នៅដំណាក់កាលទី ៤ យើងទទួលបាន៖
.
ចម្លើយ៖ ៤.
កិច្ចការ ៨
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ក ១= 3, ឃ = -1.5 ។ បញ្ជាក់តម្លៃធំបំផុតនៃ n ដែលវិសមភាពមាន មួយ n > -6.
ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត។
ដំណោះស្រាយវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។
បានផ្តល់ឱ្យ: a n, d, n
ស្វែងរក៖ ក ១
កម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះរកឃើញ \(a_1\) នៃដំណើរការនព្វន្ធដោយផ្អែកលើលេខដែលបានបញ្ជាក់ដោយអ្នកប្រើប្រាស់ \(a_n, d\) និង \(n \) ។
លេខ \(a_n\) និង \(d\) អាចត្រូវបានបញ្ជាក់មិនត្រឹមតែជាចំនួនគត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាប្រភាគផងដែរ។ លើសពីនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាប្រភាគទសភាគ (\(2.5 \)) និងជាប្រភាគធម្មតា (\(-5\frac(2)(7)\))។
កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយផងដែរ។
ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម និងសម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។
តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។
ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលលេខទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកគេ។
ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលលេខ
លេខ \(a_n\) និង \(d\) អាចត្រូវបានបញ្ជាក់មិនត្រឹមតែជាចំនួនគត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាប្រភាគផងដែរ។
លេខ \(n\) អាចជាចំនួនគត់វិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។
ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
ផ្នែកចំនួនគត់ និងប្រភាគនៅក្នុងប្រភាគទសភាគអាចត្រូវបានបំបែកដោយចំនុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបញ្ចូលទសភាគដូចជា 2.5 ឬដូច 2.5
ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។
ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។
នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
បញ្ចូល៖
លទ្ធផល៖ \(-\frac(2)(3)\)
ផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand៖ &
បញ្ចូល៖
លទ្ធផល៖ \(-1\frac(2)(3) \)
វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូមមេត្តារង់ចាំ វិ...
ប្រសិនបើអ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញកិច្ចការណាមួយ។អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.
ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖
ទ្រឹស្តីបន្តិច។
លំដាប់លេខ
នៅក្នុងការអនុវត្តប្រចាំថ្ងៃ លេខរៀងនៃវត្ថុផ្សេងៗ ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើដើម្បីចង្អុលបង្ហាញលំដាប់ដែលពួកវាស្ថិតនៅ។ ជាឧទាហរណ៍ ផ្ទះនៅតាមដងផ្លូវនីមួយៗមានលេខរៀង។ នៅក្នុងបណ្ណាល័យ ការជាវរបស់អ្នកអានត្រូវបានដាក់លេខ ហើយបន្ទាប់មករៀបចំតាមលំដាប់លេខដែលបានកំណត់នៅក្នុងទូឯកសារពិសេស។
នៅក្នុងធនាគារសន្សំ តាមចំនួនគណនីផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកដាក់ប្រាក់ អ្នកអាចស្វែងរកគណនីនេះយ៉ាងងាយស្រួល និងមើលថាតើប្រភេទប្រាក់បញ្ញើមានអ្វីខ្លះ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការដាក់ប្រាក់ a1 rubles នៅលើគណនីលេខ 1 ការដាក់ប្រាក់ចំនួន 2 rubles នៅលើគណនីលេខ 2 ។ល។ វាប្រែចេញ។ លំដាប់លេខ
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a N
ដែល N ជាចំនួនគណនីទាំងអស់។ នៅទីនេះ លេខធម្មជាតិនីមួយៗ n ពី 1 ដល់ N ត្រូវបានផ្តល់លេខ a n ។
គណិតវិទ្យាក៏សិក្សាផងដែរ។ លំដាប់លេខគ្មានកំណត់៖
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... .
លេខ 1 ត្រូវបានគេហៅថា សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់, លេខ 2 - សមាជិកទីពីរនៃលំដាប់លេខ ក ៣ - សមាជិកទីបីនៃលំដាប់ល។
លេខ a n ត្រូវបានហៅ nth (nth) សមាជិកនៃលំដាប់ហើយលេខធម្មជាតិ n គឺជារបស់វា។ ចំនួន.
ឧទាហរណ៍នៅក្នុងលំដាប់នៃការេនៃលេខធម្មជាតិ 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... និង 1 = 1 គឺជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់; និង n = n 2 គឺជាសមាជិកទី n នៃលំដាប់; a n+1 = (n + 1) 2 គឺជាសមាជិក (n + 1)th (en បូកទីមួយ) នៃលំដាប់។ ជារឿយៗ លំដាប់មួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 របស់វា។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ផ្តល់នូវលំដាប់ \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4), \dots,\frac(1)(n) , \dots \\)
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ
រយៈពេលមួយឆ្នាំគឺប្រហែល 365 ថ្ងៃ។ តម្លៃត្រឹមត្រូវជាងគឺ \(365\frac(1)(4)\) ថ្ងៃ ដូច្នេះរៀងរាល់បួនឆ្នាំម្តង កំហុសនៃមួយថ្ងៃនឹងកើនឡើង។
ដើម្បីគិតគូរពីកំហុសនេះ ថ្ងៃមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅរៀងរាល់ឆ្នាំទីបួន ហើយឆ្នាំពន្លូតត្រូវបានគេហៅថាឆ្នាំបង្គ្រប់។
ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងសហសវត្សរ៍ទី 3 ឆ្នាំបង្គ្រប់គឺ 2004, 2008, 2012, 2016, ... ។
ក្នុងលំដាប់នេះ សមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខពីរគឺស្មើនឹងលេខមុន ដែលបានបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា 4. លំដាប់បែបនេះត្រូវបានហៅថា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ.
និយមន័យ។
លំដាប់លេខ a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... ត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធប្រសិនបើសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់ n សមភាព
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ដែល d ជាលេខមួយចំនួន។
វាធ្វើតាមរូបមន្តនេះដែល a n + 1 - a n = d ។ លេខ d ត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ.
តាមនិយមន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ យើងមាន៖
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
កន្លែងណា
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ដែល \(n>1 \)
ដូច្នេះ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកទាំងពីរដែលនៅជាប់នឹងវា។ នេះពន្យល់ពីវឌ្ឍនភាពនៃឈ្មោះ "នព្វន្ធ"។
ចំណាំថាប្រសិនបើ 1 និង d ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់នៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត recursive a n + 1 = a n + d ។ តាមរបៀបនេះ វាមិនពិបាកក្នុងការគណនាពាក្យពីរបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ 100 ការគណនាជាច្រើននឹងត្រូវបានទាមទាររួចហើយ។ ជាធម្មតា រូបមន្តពាក្យទី 9 ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការនេះ។ យោងតាមនិយមន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
ល។
ជាទូទៅ
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ចាប់តាំងពីសមាជិកទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានទទួលពីសមាជិកទីមួយដោយបន្ថែម (n-1) ដងនៃលេខ d ។
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ.
ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ
ចូររកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពី 1 ដល់ 100 ។
យើងសរសេរផលបូកនេះតាមពីរវិធី៖
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1 ។
យើងបន្ថែមពាក្យសមភាពទាំងនេះតាមពាក្យ៖
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 ។
មាន 100 ពាក្យនៅក្នុងផលបូកនេះ។
ដូច្នេះ 2S = 101 * 100, wherece S = 101 * 50 = 5050 ។
ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាអំពីដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
អនុញ្ញាតឱ្យ S n ជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនេះ៖
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
បន្ទាប់មក ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺ
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \\)
ចាប់តាំងពី \(a_n=a_1+(n-1)d\) បន្ទាប់មកជំនួស n ក្នុងរូបមន្តនេះ យើងទទួលបានរូបមន្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរក ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
