ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយតំបន់ប៉ារ៉ាឡែល។ តំបន់ប៉ារ៉ាឡែល

តើប្រលេឡូក្រាមជាអ្វី? ប៉ារ៉ាឡែលគឺជាចតុកោណដែលភាគីទល់មុខស្របគ្នាជាគូ។

1. ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

កន្លែងណា៖
a គឺជាផ្នែកម្ខាងនៃប្រលេឡូក្រាម
h a គឺជាកម្ពស់ដែលគូរទៅខាងនេះ។

2. ប្រសិនបើប្រវែងនៃជ្រុងពីរនៅជាប់គ្នានៃប៉ារ៉ាឡែល និងមុំរវាងពួកវាត្រូវបានដឹង នោះផ្ទៃដីនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយមុំរវាងពួកវាត្រូវបានគេដឹងនោះផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

លក្ខណសម្បត្តិប្រលេឡូក្រាម

ក្នុងប្រលេឡូក្រាម ភាគីទល់មុខគឺស្មើគ្នា៖ $AB = CD $ , $BC = AD $

ក្នុងប្រលេឡូក្រាម មុំទល់មុខគឺ៖ $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D $

អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមនៅចំណុចប្រសព្វត្រូវបានបំបែក $AO = OC $, $BO = OD $

អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមចែកវាទៅជាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរ។

ផលបូកនៃមុំនៃប្រលេឡូក្រាមដែលនៅជាប់នឹងម្ខាងគឺ 180 o៖

$\angle A + \angle B = 180^(o) $, $\angle B + \angle C = 180^(o)$

$\angle C + \angle D = 180^(o) $, $\angle D + \angle A = 180^(o)$

អង្កត់ទ្រូង និងជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺទាក់ទងគ្នាដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

$d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) $

ក្នុងប្រលេឡូក្រាម មុំរវាងកម្ពស់គឺស្មើនឹងមុំស្រួចរបស់វា៖ $\angle K B H = \angle A $ ។

Bisectors នៃមុំនៅជាប់នឹងផ្នែកម្ខាងនៃ parallelogram គឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក។

Bisectors នៃមុំទល់មុខពីរនៃ parallelogram គឺស្របគ្នា។

លក្ខណៈប៉ារ៉ាឡែល

ចតុកោណជាប្រលេឡូក្រាម ប្រសិនបើ៖

$AB = CD $ និង $AB || CD $

\$AB = ស៊ីឌី \$ និង \\ (BC = AD \\)

\\ (AO = OC \\) និង \\ (BO = OD \\)

$\angle A = \angle C $ និង $\angle B = \angle D $

Javascript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ការគ្រប់គ្រង ActiveX ត្រូវតែបើក ដើម្បីធ្វើការគណនា!

និយមន័យនៃប្រលេឡូក្រាម

ប្រលេឡូក្រាមគឺជាចតុកោណកែង ដែលភាគីផ្ទុយគ្នាស្មើគ្នា និងស្របគ្នា។

ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត

ប្រលេឡូក្រាមមានលក្ខណៈសម្បត្តិមានប្រយោជន៍មួយចំនួនដែលធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងតួលេខនេះ។ ឧទាហរណ៍ លក្ខណសម្បត្តិមួយគឺថាមុំទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើគ្នា។

ពិចារណាវិធីសាស្រ្ត និងរូបមន្តមួយចំនួន អមដោយការដោះស្រាយឧទាហរណ៍សាមញ្ញ។

រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដោយមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់

វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកតំបន់នេះគឺប្រហែលជាជាមូលដ្ឋានបំផុត និងសាមញ្ញបំផុត ព្រោះវាស្ទើរតែដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណ ដោយមានករណីលើកលែងមួយចំនួន។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីទូទៅដោយមិនប្រើលេខ។

ទុកឲ្យប្រលេឡូក្រាមបំពានជាមួយមូលដ្ឋាន ក ក ក, ចំហៀង bb ខនិងកម្ពស់ h h ម៉ោងទាញទៅមូលដ្ឋានរបស់យើង។ បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនេះគឺ៖

S = a ⋅ h S = a \ cdot h ស =a ⋅ម៉ោង

ក ក ក- មូលដ្ឋាន;
h h ម៉ោង- កម្ពស់។

សូមក្រឡេកមើលបញ្ហាងាយស្រួលមួយដើម្បីអនុវត្តការដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតា។

ឧទាហរណ៍

រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលមូលដ្ឋានស្មើ 10 (សង់ទីម៉ែត្រ) និងកម្ពស់ស្មើនឹង 5 (សង់ទីម៉ែត្រ) ត្រូវបានគេស្គាល់។

ដំណោះស្រាយ

A=10 a=10 ក =1 0
h=5 ម៉ោង=5 h =5

ជំនួសនៅក្នុងរូបមន្តរបស់យើង។ យើងទទួលបាន:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50ស =1 0 ⋅ 5 = 5 0 (សូមមើល sq ។ )

ចម្លើយ៖ ៥០ (មើលការ៉េ)

រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យភាគីពីរនិងមុំរវាងពួកគេ

ក្នុងករណីនេះតម្លៃដែលចង់បានត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S = a \\ cdot b \\ cdot \\ sin ( \\ អាល់ហ្វា)ស =a ⋅b ⋅sin(α)

ក, ខ, ខ a , ខ- ជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម;
α\អាល់ហ្វា α - មុំរវាងភាគី ក ក កនិង bb ខ.

ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយទៀតហើយប្រើរូបមន្តខាងលើ។

ឧទាហរណ៍

ស្វែងរកតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមប្រសិនបើចំហៀងត្រូវបានគេដឹង ក ក កដែលជាមូលដ្ឋាននិងមានប្រវែង 20 (សូមមើល) និងបរិវេណមួយ។ ទំ ទំជាលេខស្មើនឹង 100 (សូមមើល) មុំរវាងភាគីជាប់គ្នា ( ក ក កនិង bb ខ) ស្មើនឹង 30 ដឺក្រេ។

ដំណោះស្រាយ

A=20 a=20 ក =2 0
p=100 p=100 p=1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

ដើម្បីស្វែងរកចម្លើយ យើងមិនដឹងតែផ្នែកទីពីរនៃចតុកោណនេះទេ។ តោះស្វែងរកនាង។ បរិមាត្រនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានផ្តល់ដោយ៖
p=a+a+b+b p=a+a+b+b p=ក +ក +b+ខ
100=20+20+b+b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+ខ
100 = 40 + 2b 100 = 40 + 2b 1 0 0 = 4 0 + 2 ខ
60=2b 60=2b 6 0 = 2 ខ
b=30 b=30 b=3 0

ផ្នែកដែលពិបាកបំផុតគឺចប់ហើយ វានៅសល់តែដើម្បីជំនួសតម្លៃរបស់យើងសម្រាប់ជ្រុង និងមុំរវាងពួកវា៖
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S = 20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300ស =2 0 ⋅ 3 0 ⋅ អំពើបាប(៣ 0 ∘ ) = 3 0 0 (សូមមើល sq ។ )

ចម្លើយ៖ ៣០០ (សូមមើលការ៉េ)

រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានផ្តល់ឱ្យអង្កត់ទ្រូងនិងមុំរវាងពួកវា

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S = \\ frac (1) (2) \\ cdot D \\ cdot d \\ cdot sin ( \\ អាល់ហ្វា)ស =2 1 ⋅ ឃ⋅d ⋅sin(α)

ឃ ឃ ឃ- អង្កត់ទ្រូងធំ;
ឃ ឃ ឃ- អង្កត់ទ្រូងតូច;
α\អាល់ហ្វា α គឺជាមុំស្រួចរវាងអង្កត់ទ្រូង។

ឧទាហរណ៍

អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យស្មើនឹង 10 (សូមមើល) និង 5 (សូមមើល) ។ មុំរវាងពួកវាគឺ 30 ដឺក្រេ។ គណនាតំបន់របស់វា។

ដំណោះស្រាយ

ឃ=១០ ឃ=១០ ឃ=1 0
d=5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12.5 S = \frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5ស =2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ អំពើបាប(៣ 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (សូមមើល sq ។ )

តំបន់ប៉ារ៉ាឡែល

ទ្រឹស្តីបទ ១

តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានកំណត់ជាផលិតផលនៃប្រវែងចំហៀងរបស់វាគុណនឹងកម្ពស់ដែលគូរទៅវា។

ដែល $a$ គឺជាផ្នែកម្ខាងនៃប្រលេឡូក្រាម $h$ គឺជាកម្ពស់ដែលគូរទៅខាងនេះ។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងត្រូវបានគេផ្តល់ប៉ារ៉ាឡែល $ABCD$ ជាមួយ $AD=BC=a$ ។ ចូរយើងគូរកម្ពស់ $DF$ និង $AE$ (រូបភាពទី 1)។

រូបភាពទី 1 ។

វាច្បាស់ណាស់ថាតួលេខ $FDAE$ គឺជាចតុកោណ។

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\\] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

ដូច្នេះចាប់តាំងពី $CD=AB,\DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, ដោយ $I$ ការសាកល្បងសមភាពត្រីកោណ។ បន្ទាប់មក

ដូច្នេះយោងតាមទ្រឹស្តីបទផ្ទៃចតុកោណ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ ២

តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានកំណត់ថាជាផលិតផលនៃប្រវែងនៃជ្រុងជាប់គ្នារបស់វាដងស៊ីនុសនៃមុំរវាងភាគីទាំងនោះ។

តាមគណិតវិទ្យា នេះអាចសរសេរដូចខាងក្រោម

ដែល $a,\b$ ជាជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម $\alpha $ គឺជាមុំរវាងពួកវា។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងត្រូវបានគេផ្តល់ប៉ារ៉ាឡែល $ABCD$ ជាមួយ $BC=a,\CD=b,\ \angle C=\alpha$ ។ គូរកម្ពស់ $DF=h$ (រូបភាពទី 2)។

រូបភាពទី 2 ។

តាមនិយមន័យនៃស៊ីនុសយើងទទួលបាន

ជាលទ្ធផល

ដូចនេះ តាមទ្រឹស្តីបទ $1$៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

តំបន់នៃត្រីកោណមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣

តំបន់នៃត្រីកោណត្រូវបានកំណត់ជាពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃប្រវែងនៃចំហៀងរបស់វានិងកម្ពស់ដែលបានគូរទៅវា។

តាមគណិតវិទ្យា នេះអាចសរសេរដូចខាងក្រោម

ដែល $a$ ជាផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណ $h$ គឺជាកម្ពស់ដែលគូរទៅខាងនេះ។

ភស្តុតាង។

រូបភាពទី 3

ដូច្នេះតាមទ្រឹស្តីបទ $1$៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ ៤

តំបន់នៃត្រីកោណត្រូវបានកំណត់ថាជាពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃប្រវែងនៃជ្រុងជាប់គ្នារបស់វាដងស៊ីនុសនៃមុំរវាងភាគីទាំងនោះ។

តាមគណិតវិទ្យា នេះអាចសរសេរដូចខាងក្រោម

ដែល $a,\b$ ជាជ្រុងនៃត្រីកោណ $\alpha $ គឺជាមុំរវាងពួកវា។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានត្រីកោណ $ABC$ ជាមួយ $AB=a$ ។ គូរកម្ពស់ $CH=h$។ ចូរយើងបង្កើតវារហូតដល់ប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ (រូបភាពទី 3)។

ជាក់ស្តែង $\triangle ACB = \ triangle CDB$ ដោយ $I$ ។ បន្ទាប់មក

ដូច្នេះតាមទ្រឹស្តីបទ $1$៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

តំបន់ Trapezium

ទ្រឹស្តីបទ ៥

តំបន់នៃ trapezoid មួយត្រូវបានកំណត់ថាជាពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃផលបូកនៃប្រវែងនៃមូលដ្ឋានរបស់វាគុណនឹងកម្ពស់របស់វា។

តាមគណិតវិទ្យា នេះអាចសរសេរដូចខាងក្រោម

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យពួកយើងត្រូវបានផ្តល់ជា trapezoid $ABCK$ ដែល $AK=a,\BC=b$ ។ ចូរយើងគូរកម្ពស់ $BM=h$ និង $KP=h$ នៅក្នុងវា ព្រមទាំងអង្កត់ទ្រូង $BK$ (រូបភាពទី 4)។

រូបភាពទី 4

តាមទ្រឹស្តីបទ $3$ យើងទទួលបាន

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកផ្ទៃនៃត្រីកោណសមមូល ប្រសិនបើប្រវែងនៃចំហៀងរបស់វាគឺ $a.$

ដំណោះស្រាយ។

ដោយសារត្រីកោណមានសមភាព មុំទាំងអស់របស់វាស្មើនឹង $(60)^0$ ។

បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទ $4$ យើងមាន

ចម្លើយ៖$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$ ។

ចំណាំថាលទ្ធផលនៃបញ្ហានេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃត្រីកោណសមភាពណាមួយដែលមានផ្នែកខាងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដូចនៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ចំនុច និងបន្ទាត់ត្រង់គឺជាធាតុសំខាន់នៃទ្រឹស្តីនៃប្លង់ ដូច្នេះ ប្រលេឡូក្រាមគឺជាតួរលេខសំខាន់មួយនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោង។ ពីវាដូចជាខ្សែស្រលាយពីបាល់មួយ លំហូរគំនិតនៃ "ចតុកោណ", "ការ៉េ", "rhombus" និងបរិមាណធរណីមាត្រផ្សេងទៀត។

នៅក្នុងការទំនាក់ទំនងជាមួយ

និយមន័យនៃប្រលេឡូក្រាម

រាងបួនជ្រុងប៉ោង,មានផ្នែក ដែលគូនីមួយៗស្របគ្នា ត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងធរណីមាត្រថាជាប្រលេឡូក្រាម។

អ្វីដែលប៉ារ៉ាឡែលបុរាណមើលទៅដូចជា ABCD បួនជ្រុង។ ជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាន (AB, BC, CD និង AD) កាត់កែងដែលដកចេញពីកំពូលណាមួយទៅជ្រុងម្ខាងនៃកំពូលនេះត្រូវបានគេហៅថាកម្ពស់ (BE និង BF) បន្ទាត់ AC និង BD គឺជាអង្កត់ទ្រូង។

យកចិត្តទុកដាក់!ការ៉េ រាងមូល និងចតុកោណកែង គឺជាករណីពិសេសនៃប្រលេឡូក្រាម។

ជ្រុងនិងមុំ៖ លក្ខណៈពិសេសសមាមាត្រ

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗ ទាំងទំហំធំ កំណត់ទុកជាមុនដោយការកំណត់ខ្លួនឯងពួកគេត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយទ្រឹស្តីបទ។ លក្ខណៈទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម៖

ផ្នែកដែលផ្ទុយគ្នាគឺដូចគ្នាបេះបិទជាគូ។
មុំដែលទល់មុខគ្នាគឺស្មើគ្នាជាគូ។

ភ័ស្តុតាង៖ ពិចារណា ∆ABC និង ∆ADC ដែលទទួលបានដោយការបែងចែក ABCD បួនជ្រុងតាមបន្ទាត់ AC ។ ∠BCA=∠CAD និង ∠BAC=∠ACD ចាប់តាំងពី AC គឺជារឿងធម្មតាសម្រាប់ពួកគេ (មុំបញ្ឈរសម្រាប់ BC||AD និង AB||CD រៀងគ្នា)។ វាធ្វើតាមពីនេះ៖ ∆ABC = ∆ADC (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរសម្រាប់សមភាពនៃត្រីកោណ)។

ចម្រៀក AB និង BC ក្នុង ∆ABC ត្រូវគ្នាជាគូទៅនឹងបន្ទាត់ CD និង AD ក្នុង ∆ADC ដែលមានន័យថាពួកវាដូចគ្នាបេះបិទ៖ AB = CD, BC = AD ។ ដូច្នេះ ∠B ត្រូវគ្នានឹង ∠D ហើយពួកវាស្មើគ្នា។ ចាប់តាំងពី ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD ដែលដូចគ្នាបេះបិទជាគូ បន្ទាប់មក ∠A = ∠C។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

លក្ខណៈនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់តួលេខ

មុខងារចម្បងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលទាំងនេះ៖ ចំនុចប្រសព្វបំបែកពួកគេ។

ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យ m. E ជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង AC និង BD នៃរូប ABCD ។ ពួកវាបង្កើតជាត្រីកោណសមគ្នាពីរ - ∆ABE និង ∆CDE ។

AB=CD ចាប់តាំងពីពួកវាផ្ទុយគ្នា។ យោងទៅតាមបន្ទាត់ និងផ្នែក ∠ABE = ∠CDE និង ∠BAE = ∠DCE ។

យោងតាមសញ្ញាទីពីរនៃសមភាព ∆ABE = ∆CDE ។ នេះមានន័យថា ធាតុ ∆ABE និង ∆CDE គឺ៖ AE = CE, BE = DE ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ពួកវាជាផ្នែកសមស្របនៃ AC និង BD ។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

លក្ខណៈពិសេសនៃជ្រុងដែលនៅជាប់គ្នា។

នៅជ្រុងជាប់គ្នាផលបូកនៃមុំគឺ 180 °ចាប់តាំងពីពួកវាស្ថិតនៅលើផ្នែកដូចគ្នានៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងផ្នែកខាង។ សម្រាប់ ABCD បួនជ្រុង៖

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

លក្ខណៈសម្បត្តិ Bisector:

ទម្លាក់ទៅម្ខាង, កាត់កែង;
បញ្ឈរទល់មុខមាន bisectors ប៉ារ៉ាឡែល;
ត្រីកោណដែលទទួលបានដោយការគូរ bisector នឹងក្លាយជា isosceles ។

ការកំណត់លក្ខណៈលក្ខណៈនៃប្រលេឡូក្រាមដោយទ្រឹស្តីបទ

លក្ខណៈពិសេសនៃតួលេខនេះ ធ្វើតាមទ្រឹស្ដីចម្បងរបស់វា ដែលអានដូចខាងក្រោម៖ បួនជ្រុងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រលេឡូក្រាមក្នុងករណីដែលអង្កត់ទ្រូងរបស់វាប្រសព្វគ្នា ហើយចំនុចនេះបែងចែកពួកវាជាផ្នែកស្មើគ្នា។

ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ AC និង BD នៃ ABCD បួនជ្រុងប្រសព្វគ្នានៅក្នុង t. E. ចាប់តាំងពី ∠AED = ∠BEC និង AE+CE=AC BE+DE=BD បន្ទាប់មក ∆AED = ∆BEC (ដោយសញ្ញាដំបូងនៃសមភាពនៃត្រីកោណ)។ នោះគឺ ∠EAD = ∠ECB ។ ពួកវាក៏ជាមុំឆ្លងកាត់ខាងក្នុងនៃ AC secant សម្រាប់បន្ទាត់ AD និង BC ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យនៃភាពស្រប - AD || BC ទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នានៃបន្ទាត់ BC និង CD ក៏ត្រូវបានយកមកផងដែរ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខ

តំបន់នៃតួលេខនេះ។ បានរកឃើញតាមវិធីជាច្រើន។មួយក្នុងចំណោមសាមញ្ញបំផុត: គុណកម្ពស់និងមូលដ្ឋានដែលវាត្រូវបានគូរ។

ភស្តុតាង៖ គូរកាត់កែង BE និង CF ពីចំនុចកំពូល B និង C. ∆ABE និង ∆DCF គឺស្មើគ្នាចាប់តាំងពី AB = CD និង BE = CF ។ ABCD គឺស្មើនឹងចតុកោណកែង EBCF ព្រោះពួកវាក៏មានតួលេខសមាមាត្រផងដែរ៖ S ABE និង S EBCD ក៏ដូចជា S DCF និង S EBCD ។ វាដូចខាងក្រោមថាផ្ទៃនៃតួលេខធរណីមាត្រនេះគឺដូចគ្នាទៅនឹងចតុកោណកែងមួយ:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD ។

ដើម្បីកំណត់រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម យើងកំណត់កម្ពស់ជា hb, និងចំហៀង ខ. រៀងគ្នា៖

វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកតំបន់

ការគណនាតំបន់ តាមរយៈជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម និងមុំដែលពួកគេបង្កើត គឺជាវិធីសាស្ត្រទីពីរដែលគេស្គាល់។

Spr-ma - តំបន់;

a និង b គឺជាភាគីរបស់វា។

α - មុំរវាងផ្នែក a និង b ។

វិធីសាស្រ្តនេះគឺអនុវត្តជាក់ស្តែងដោយផ្អែកលើដំបូងប៉ុន្តែក្នុងករណីដែលមិនស្គាល់។ តែងតែកាត់ចេញត្រីកោណកែងដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានរកឃើញដោយអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ ពោលគឺ . ការផ្លាស់ប្តូរសមាមាត្រយើងទទួលបាន។ នៅក្នុងសមីការនៃវិធីសាស្រ្តដំបូងយើងជំនួសកម្ពស់ជាមួយនឹងផលិតផលនេះហើយទទួលបានភស្តុតាងនៃសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះ។

តាមរយៈអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម និងមុំមួយដែលពួកវាបង្កើតនៅពេលពួកគេប្រសព្វគ្នា អ្នកក៏អាចស្វែងរកតំបន់នេះផងដែរ។

ភស្តុតាង៖ AC និង BD ប្រសព្វគ្នាបង្កើតជាត្រីកោណបួន៖ ABE, BEC, CDE និង AED ។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េនេះ។

ផ្ទៃនៃ ∆ នីមួយៗអាចរកឃើញពីកន្សោម ដែល a=BE, b=AE, ∠γ=∠AEB។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកតម្លៃតែមួយនៃស៊ីនុសត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។ នោះគឺជា។ ចាប់តាំងពី AE+CE=AC=d 1 និង BE+DE=BD=d 2 រូបមន្តតំបន់កាត់បន្ថយទៅ៖

ការអនុវត្តក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រ

លក្ខណៈពិសេសនៃផ្នែកធាតុផ្សំនៃ quadrangle នេះបានរកឃើញកម្មវិធីនៅក្នុង ពិជគណិតវ៉ិចទ័រ ពោលគឺ៖ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ។ ក្បួនប្រលេឡូក្រាមបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើបានផ្តល់ឱ្យវ៉ិចទ័រនិងទេ។គឺ collinear បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេនឹងស្មើនឹងអង្កត់ទ្រូងនៃតួលេខនេះ មូលដ្ឋានដែលត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

ភ័ស្តុតាង៖ ពីការចាប់ផ្តើមដែលបានជ្រើសរើសដោយបំពាន - នោះគឺ។ - យើងបង្កើតវ៉ិចទ័រនិង។ បន្ទាប់មកទៀត យើងបង្កើតប៉ារ៉ាឡែល OASV ដែលផ្នែក OA និង OB ជាភាគី។ ដូច្នេះ OS ស្ថិតនៅលើវ៉ិចទ័រ ឬផលបូក។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប្រលេឡូក្រាម

អត្តសញ្ញាណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម:

a និង b, α - ជ្រុងនិងមុំរវាងពួកវា;
d 1 និង d 2 , γ - អង្កត់ទ្រូងនិងនៅចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ;
h a និង h b - កម្ពស់ទាបទៅចំហៀង a និង b;

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ	រូបមន្ត
ការស្វែងរកភាគី
តាមអង្កត់ទ្រូងនិងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា
តាមអង្កត់ទ្រូងនិងចំហៀង
តាមរយៈកម្ពស់ និងចំណុចកំពូលទល់មុខ
ស្វែងរកប្រវែងអង្កត់ទ្រូង
នៅលើជ្រុងនិងទំហំនៃកំពូលរវាងពួកគេ។
នៅតាមជ្រុងម្ខាង និងអង្កត់ទ្រូងមួយ។	សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ប្រលេឡូក្រាម ជាតួរលេខសំខាន់មួយនៃធរណីមាត្រ ត្រូវបានប្រើក្នុងជីវិត ឧទាហរណ៍ ក្នុងការសាងសង់ នៅពេលគណនាផ្ទៃដីនៃគេហទំព័រ ឬការវាស់វែងផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះចំណេះដឹងអំពីលក្ខណៈពិសេសនិងវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងៗរបស់វាអាចមានប្រយោជន៍នៅពេលណាមួយក្នុងជីវិត។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះបន្ថែមលើ លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន ប្រលេឡូក្រាមនិងរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា អ្នកអាចចងចាំ និងអនុវត្តដូចខាងក្រោមៈ

bisector នៃមុំខាងក្នុងនៃ parallelogram កាត់ចេញត្រីកោណ isosceles ពីវា
Bisectors នៃមុំខាងក្នុងដែលនៅជាប់នឹងជ្រុងមួយនៃផ្នែកនៃ parallelogram គឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក
Bisectors មកពីមុំខាងក្នុងទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាម ស្របទៅនឹងគ្នា ឬស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ
ផលបូកនៃការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងរបស់វា
តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមគឺពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងដងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

ចូរយើងពិចារណាអំពីភារកិច្ចនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់។

កិច្ចការទី 1 ។

bisector នៃមុំ C នៃ parallelogram ABCD កាត់ចំហៀង AD ត្រង់ចំនុច M និងការបន្តនៃ side AB លើសពីចំនុច A ត្រង់ចំនុច E. ស្វែងរកបរិមាត្រនៃ parallelogram ប្រសិនបើ AE \u003d 4, DM \u003d ៣.

ដំណោះស្រាយ។

1. ត្រីកោណ CMD isosceles ។ (ទ្រព្យ ១). ដូច្នេះ CD = MD = 3 សង់ទីម៉ែត្រ។

2. ត្រីកោណ EAM គឺជា isosceles ។
ដូច្នេះ AE = AM = 4 សង់ទីម៉ែត្រ។

3. AD = AM + MD = 7 សង់ទីម៉ែត្រ។

4. បរិវេណ ABCD = 20 សង់ទីម៉ែត្រ។

ចម្លើយ។ 20 សង់ទីម៉ែត្រ

កិច្ចការទី 2 ។

អង្កត់ទ្រូងត្រូវបានគូរជារាងបួនជ្រុងប៉ោង ABCD ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាតំបន់នៃត្រីកោណ ABD, ACD, BCD គឺស្មើគ្នា។ បញ្ជាក់ថាចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ដំណោះស្រាយ។

1. សូមអោយ BE ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ABD, CF ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ACD ។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា ហើយពួកគេមាន AD មូលដ្ឋានធម្មតា បន្ទាប់មកកំពស់នៃត្រីកោណទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។ BE = CF ។

2. BE, CF គឺកាត់កែងទៅនឹង AD ។ ចំណុច B និង C ស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ AD ។ BE = CF ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ BC || AD. (*)

3. សូមអោយ AL ជារយៈកំពស់នៃត្រីកោណ ACD, BK រយៈកំពស់នៃត្រីកោណ BCD ។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា ហើយពួកគេមានស៊ីឌីមូលដ្ឋានទូទៅ បន្ទាប់មកកម្ពស់នៃត្រីកោណទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។ AL = BK ។

4. AL និង BK កាត់កែងទៅនឹងស៊ីឌី។ ចំណុច B និង A មានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់។ AL = BK ។ ដូច្នេះបន្ទាត់ AB || ស៊ីឌី (**)

5. លក្ខខណ្ឌ (*), (**) បញ្ជាក់ថា ABCD ជាប្រលេឡូក្រាម។

ចម្លើយ។ បញ្ជាក់។ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។

កិច្ចការទី 3 ។

នៅលើជ្រុង BC និង CD នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ចំនុច M និង H ត្រូវបានសម្គាល់រៀងគ្នា ដូច្នេះផ្នែក BM និង HD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O;<ВМD = 95 о,

ដំណោះស្រាយ។

1. នៅក្នុងត្រីកោណ DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. នៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំ DHC
(
បន្ទាប់មក<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(ចាប់តាំងពីក្នុងត្រីកោណកែង ជើងដែលនៅទល់មុខមុំ 30 o គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស)។

ប៉ុន្តែ CD = AB ។ បន្ទាប់មក AB: HD = 2: 1 ។

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
ចម្លើយ៖ AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

កិច្ចការទី 4 ។

អង្កត់ទ្រូងមួយក្នុងចំណោមអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមប្រវែង 4√6 ធ្វើមុំ 60° ជាមួយមូលដ្ឋាន ហើយអង្កត់ទ្រូងទីពីរធ្វើមុំ 45° ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ស្វែងរកអង្កត់ទ្រូងទីពីរ។

ដំណោះស្រាយ។

1. AO = 2√6.

2. អនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសទៅនឹងត្រីកោណ AOD ។

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o ។

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6 ។

ចម្លើយ៖ ១២.

កិច្ចការទី 5 ។

សម្រាប់ប្រលេឡូក្រាមដែលមានជ្រុង 5√2 និង 7√2 មុំតូចជាងរវាងអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹងមុំតូចជាងនៃប្រលេឡូក្រាម។ រកផលបូកនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង។

ដំណោះស្រាយ។

សូមឱ្យ d 1, d 2 ជាអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ហើយមុំរវាងអង្កត់ទ្រូង និងមុំតូចជាងនៃប្រលេឡូក្រាមជា φ ។

1. ចូរយើងរាប់ពីរផ្សេងគ្នា
វិធីនៃតំបន់របស់វា។

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f ។

យើងទទួលបានសមភាព 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ឬ

2 5√2 7√2 = ឃ 1 ឃ 2 ;

2. ដោយប្រើសមាមាត្ររវាងជ្រុងនិងអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមយើងសរសេរសមភាព

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2 ។

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = ឃ 1 2 + ឃ 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296 ។

3. ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ៖

(ឃ 1 2 + ឃ 2 2 = 296,
(ឃ 1 + ឃ 2 = 140 ។

គុណសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដោយ 2 ហើយបន្ថែមវាទៅទីមួយ។

យើងទទួលបាន (d 1 + d 2) 2 = 576 ។ ដូច្នេះ Id 1 + d 2 I = 24 ។

ចាប់តាំងពី d 1, d 2 គឺជាប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមបន្ទាប់មក d 1 + d 2 = 24 ។

ចម្លើយ៖ ២៤.

កិច្ចការទី 6 ។

ជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 4 និង 6 ។ មុំស្រួចរវាងអង្កត់ទ្រូងគឺ 45 o ។ ស្វែងរកតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម។

ដំណោះស្រាយ។

1. ពីត្រីកោណ AOB ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសយើងសរសេរទំនាក់ទំនងរវាងផ្នែកម្ខាងនៃប៉ារ៉ាឡែលនិងអង្កត់ទ្រូង។

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB ។

4 2 \u003d (ឃ 1 / 2) 2 + (ឃ 2 / 2) 2 - 2 (ឃ 1 / 2) (ឃ 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 − 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16 ។

d 1 2 + d 2 2 − d 1 d 2 √2 = 64 .

2. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងសរសេរទំនាក់ទំនងសម្រាប់ត្រីកោណ AOD ។

យើងយកទៅក្នុងគណនីនោះ។<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

យើងទទួលបានសមីការ d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ។

3. យើងមានប្រព័ន្ធមួយ។
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ។

ដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន 2d 1 d 2 √2 = 80 ឬ

d 1 ឃ 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d ១០.

ចំណាំ៖នៅក្នុងបញ្ហានេះនិងបញ្ហាមុនវាមិនចាំបាច់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងស្រុងទេដោយមើលឃើញថានៅក្នុងបញ្ហានេះយើងត្រូវការផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងដើម្បីគណនាតំបន់។

ចម្លើយ៖ ១០.

កិច្ចការទី 7 ។

ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 96 ហើយជ្រុងរបស់វាគឺ 8 និង 15 ។ រកការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងតូចជាង។

ដំណោះស្រាយ។

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD ។ ចូរធ្វើការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត។

យើងទទួលបាន 96 = 8 15 sin VAD ។ ដូច្នេះ sin VAD = 4/5 ។

2. ស្វែងរក cos BAD ។ sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1 ។

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25 ។

យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងរកឃើញប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងតូចជាង។ អង្កត់ទ្រូង BD នឹងតូចជាងប្រសិនបើមុំ BAD គឺស្រួច។ បន្ទាប់មក cos BAD = 3/5 ។

3. ពីត្រីកោណ ABD ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងរកឃើញការេនៃអង្កត់ទ្រូង BD ។

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD ។

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145 ។

ចម្លើយ៖ ១៤៥ ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

លក្ខណសម្បត្តិប្រលេឡូក្រាម

លក្ខណៈប៉ារ៉ាឡែល

ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត

រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដោយមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់

រូបមន្ត​សម្រាប់​តំបន់​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​មួយ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ភាគី​ពីរ​និង​មុំ​រវាង​ពួក​គេ​

រូបមន្ត​សម្រាប់​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​អង្កត់ទ្រូង​និង​មុំ​រវាង​ពួកវា

តំបន់នៃត្រីកោណមួយ។

តំបន់ Trapezium

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ

និយមន័យនៃប្រលេឡូក្រាម

ជ្រុងនិងមុំ៖ លក្ខណៈពិសេសសមាមាត្រ

លក្ខណៈនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់តួលេខ

លក្ខណៈពិសេសនៃជ្រុងដែលនៅជាប់គ្នា។

ការ​កំណត់​លក្ខណៈ​លក្ខណៈ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដោយ​ទ្រឹស្តីបទ

ការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខ

វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកតំបន់

ការ​អនុវត្ត​ក្នុង​ពិជគណិត​វ៉ិចទ័រ

រូបមន្តសម្រាប់គណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប្រលេឡូក្រាម

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យភាគីពីរនិងមុំរវាងពួកគេ

រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានផ្តល់ឱ្យអង្កត់ទ្រូងនិងមុំរវាងពួកវា

ការកំណត់លក្ខណៈលក្ខណៈនៃប្រលេឡូក្រាមដោយទ្រឹស្តីបទ

ការអនុវត្តក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រ

អត្ថបទដែលទាក់ទង