នៅក្នុងផ្នែកមុន ដោយឧទ្ទិសដល់ការវិភាគនៃអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយ យើងទទួលបានរូបមន្តមួយចំនួនសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x សម្រាប់អនុគមន៍បន្តនិងមិនអវិជ្ជមាន y = f (x) នៅលើផ្នែក [ a ; ខ],

S (G) = − ∫ a b f (x) d x សម្រាប់អនុគមន៍បន្តនិងមិនវិជ្ជមាន y = f (x) នៅលើផ្នែក [ a ; ខ]។

រូបមន្តទាំងនេះអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញៗ។ ជាការពិត ជាញឹកញាប់យើងត្រូវធ្វើការជាមួយទម្រង់ស្មុគស្មាញជាង។ ក្នុងន័យនេះ យើងនឹងលះបង់ផ្នែកនេះក្នុងការវិភាគនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខ ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយមុខងារក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់មួយ i.e. ដូចជា y = f(x) ឬ x = g(y) ។

ទ្រឹស្តីបទ

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f 1 (x) និង y = f 2 (x) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តលើផ្នែក [ a ; b ] និង f 1 (x) ≤ f 2 (x) សម្រាប់តម្លៃណាមួយ x ពី [ a ; ខ]។ បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃតួលេខ Gbounded ដោយបន្ទាត់ x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) និង y \u003d f 2 (x) នឹងមើលទៅដូចជា S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ។

រូបមន្តស្រដៀងគ្នានឹងអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) និង x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

ភស្តុតាង

យើងនឹងវិភាគករណីចំនួនបីដែលរូបមន្តនឹងមានសុពលភាព។

ក្នុងករណីដំបូងដោយគិតគូរពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបន្ថែមនៃតំបន់នោះផលបូកនៃតំបន់នៃតួរលេខ G និង curvilinear trapezoid G 1 គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃរូប G 2 ។ វាមានន័យថា

ដូច្នេះ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) − f 1 (x)) ឃ x ។

យើងអាចអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិទីបីនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ក្នុងករណីទីពីរ សមភាពគឺ៖ S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) − f 1 (x)) d x

រូបភាពក្រាហ្វិកនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ប្រសិនបើមុខងារទាំងពីរមិនវិជ្ជមាន យើងទទួលបាន៖ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = − ∫ a b f 2 (x) d x − − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . រូបភាពក្រាហ្វិកនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ចូរបន្តទៅការពិចារណាលើករណីទូទៅ នៅពេលដែល y = f 1 (x) និង y = f 2 (x) ប្រសព្វអ័ក្ស O x ។

យើងនឹងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វជា x i , i = 1 , 2 , ។ . . , ន - 1 ។ ចំណុចទាំងនេះបំបែកផ្នែក [ a ; b ] ទៅជា n ផ្នែក x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , ។ . . , n , ដែល α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

អាស្រ័យហេតុនេះ

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) − f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) − f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) − f 1 (x) d x

យើងអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទីប្រាំនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ចូរយើងបង្ហាញករណីទូទៅនៅលើក្រាហ្វ។

រូបមន្ត S (G) = ∫ a b f 2 (x) − f 1 (x) d x អាចចាត់ទុកថាជាភស្តុតាង។

ហើយឥឡូវនេះ ចូរបន្តទៅការវិភាគនៃឧទាហរណ៍នៃការគណនាផ្ទៃនៃរូបភាពដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y \u003d f (x) និង x \u003d g (y) ។

ដោយពិចារណាលើឧទាហរណ៍ណាមួយ យើងនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការសាងសង់ក្រាហ្វ។ រូបភាពនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យរាងស្មុគស្មាញជាបន្សំនៃរាងសាមញ្ញ។ ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាក្នុងការគូរក្រាហ្វិក និងតួលេខនៅលើពួកវា អ្នកអាចសិក្សាផ្នែកអំពីមុខងារបឋមមូលដ្ឋាន ការបំប្លែងធរណីមាត្រនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ក៏ដូចជាការគូសវាសនៅពេលពិនិត្យមើលមុខងារមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ផ្ទៃនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d - x 2 + 6 x - 5 និងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d ៤.

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងគូរបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ។

នៅចន្លោះពេល [ 1 ; 4] ក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា y = − x 2 + 6 x − 5 ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ y = − 1 3 x − 1 2 ។ ក្នុងន័យនេះ ដើម្បីទទួលបានចំលើយ យើងប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានមុននេះ ក៏ដូចជាវិធីសាស្ត្រសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

S (G) = ∫ 1 4 − x 2 + 6 x − 5 − 1 3 x − 1 2 d x = = ∫ 1 4 − x 2 + 19 3 x − 9 2 d x = − 1 3 x 3 + 19 6 x 2 − 9 2 x 1 4 = = − 1 3 4 3 + 19 6 4 2 − 9 2 4 − − 1 3 1 3 + 19 6 1 2 − 9 2 1 = = − 64 3 + 152 3 − 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

ចម្លើយ៖ S (G) = ១៣

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y = x + 2 , y = x , x = 7 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​មាន​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស x ។ នេះគឺ x = 7 ។ នេះតម្រូវឱ្យយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលទីពីរដោយខ្លួនឯង។

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វ ហើយដាក់លើវានូវបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ការមានក្រាហ្វនៅពីមុខភ្នែករបស់យើង យើងអាចកំណត់យ៉ាងងាយស្រួលថាដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូលនឹងជា abscissa នៃចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x និងពាក់កណ្តាលប៉ារ៉ាបូល y \u003d x + 2 ។ ដើម្បីស្វែងរក abscissa យើងប្រើសមភាព៖

y = x + 2 O DZ : x ≥ − 2 x 2 = x + 2 2 x 2 − x − 2 = 0 D = ( − 1 ) 2 − 4 1 ( − 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 − 9 2 = − 1 ∉ O D G

វាប្រែថា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វគឺ x = 2 ។

យើងគូរយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះការពិតដែលថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ទូទៅនៅក្នុងគំនូរ បន្ទាត់ y = x + 2 , y = x ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (2 ; 2) ដូច្នេះការគណនាលម្អិតបែបនេះអាចហាក់ដូចជាលែងត្រូវការតទៅទៀត។ យើងបានផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិតបែបនេះនៅទីនេះតែប៉ុណ្ណោះ ពីព្រោះក្នុងករណីស្មុគស្មាញជាងនេះ ដំណោះស្រាយប្រហែលជាមិនច្បាស់ទេ។ នេះមានន័យថាវាជាការប្រសើរក្នុងការគណនាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយវិភាគជានិច្ច។

នៅចន្លោះពេល [ 2 ; 7] ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x ស្ថិតនៅខាងលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x + 2 ។ អនុវត្តរូបមន្តដើម្បីគណនាផ្ទៃ៖

S (G) = ∫ 2 7 (x − x + 2) d x = x 2 2 − 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 − 2 3 (7 + 2) 3 2 − 2 2 . 2 − 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 − 18 − 2 + 16 3 = 59 6

ចំលើយ៖ S (G) = 59 ៦

ឧទាហរណ៍ ៣

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃមុខងារ y \u003d 1 x និង y \u003d - x 2 + 4 x - 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត

តោះគូរបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វ។

ចូរកំណត់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយសមីការកន្សោម 1 x និង - x 2 + 4 x - 2 ។ បានផ្តល់ថា x មិនស្មើនឹងសូន្យ សមភាព 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 ក្លាយជាសមមូលទៅនឹងសមីការដឺក្រេទីបី - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 ជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ . អ្នកអាចធ្វើឱ្យការចងចាំឡើងវិញនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះដោយយោងទៅផ្នែក "ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូប" ។

ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ x = 1: − 1 3 + 4 1 2 − 2 1 − 1 = 0 ។

ការបែងចែកកន្សោម − x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1 ដោយ binomial x − 1 យើងទទួលបាន៖ − x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1 ⇔ − (x − 1) (x 2 − 3 x - 1) = 0

យើងអាចរកឫសដែលនៅសល់ពីសមីការ x 2 − 3 x − 1 = 0 ៖

x 2 − 3 x − 1 = 0 D = ( − 3 ) 2 − 4 1 ( − 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . ៣; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0 ។ ៣

យើងបានរកឃើញចន្លោះពេល x ∈ 1; 3 + 13 2 ដែល G ត្រូវបានរុំព័ទ្ធពីលើបន្ទាត់ពណ៌ខៀវ និងខាងក្រោមបន្ទាត់ក្រហម។ នេះជួយយើងកំណត់តំបន់នៃតួលេខ៖

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 − x 2 + 4 x − 2 − 1 x d x = − x 3 3 + 2 x 2 − 2 x − ln x 1 3 + 13 2 = = − 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

ចម្លើយ៖ S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

ឧទាហរណ៍ 4

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែកោង y \u003d x 3, y \u003d - កំណត់ហេតុ 2 x + 1 និងអ័ក្ស x ។

ការសម្រេចចិត្ត

តោះដាក់បន្ទាត់ទាំងអស់នៅលើក្រាហ្វ។ យើងអាចទទួលបានក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = - log 2 x + 1 ពីក្រាហ្វ y = log 2 x ប្រសិនបើយើងដាក់វាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x ហើយផ្លាស់ទីវាឡើងលើមួយឯកតា។ សមីការនៃអ័ក្ស x y \u003d 0 ។

ចូរយើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូបភាព ក្រាហ្វនៃមុខងារ y \u003d x 3 និង y \u003d 0 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (0; 0) ។ នេះគឺដោយសារតែ x \u003d 0 គឺជាឫសពិតតែមួយគត់នៃសមីការ x 3 \u003d 0 ។

x = 2 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសមីការ - log 2 x + 1 = 0 ដូច្នេះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = - log 2 x + 1 និង y = 0 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (2 ; 0) ។

x = 1 គឺជាឫសតែមួយគត់នៃសមីការ x 3 = - log 2 x + 1 ។ ក្នុងន័យនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x 3 និង y \u003d - កំណត់ហេតុ 2 x + 1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (1; 1) ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយប្រហែលជាមិនច្បាស់ទេ ប៉ុន្តែសមីការ x 3 \u003d - កំណត់ហេតុ 2 x + 1 មិនអាចមានឫសច្រើនជាងមួយបានទេ ដោយសារមុខងារ y \u003d x 3 កំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ហើយមុខងារ y \u003d - log 2 x + 1 កំពុងថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

ជំហានបន្ទាប់ពាក់ព័ន្ធនឹងជម្រើសជាច្រើន។

ជម្រើសលេខ 1

យើង​អាច​តំណាង​ឱ្យ​រូប G ជា​ផលបូក​នៃ​កំណាត់​រាង​កោង​ពីរ​ដែល​មាន​ទីតាំង​ខាងលើ​អ័ក្ស abscissa ដែល​ទីមួយ​ស្ថិត​នៅ​ខាងក្រោម​បន្ទាត់​កណ្តាល​នៅលើ​ផ្នែក x ∈ 0; 1 និងទីពីរគឺនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ក្រហមនៅលើផ្នែក x ∈ 1 ; ២. នេះមានន័យថា ផ្ទៃនឹងស្មើនឹង S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ។

ជម្រើសលេខ 2

តួលេខ G អាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃតួលេខពីរ ដែលទីមួយមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស x និងខាងក្រោមបន្ទាត់ពណ៌ខៀវនៅលើផ្នែក x ∈ 0; 2 និងទីពីរគឺនៅចន្លោះបន្ទាត់ក្រហម និងខៀវនៅលើផ្នែក x ∈ 1 ; ២. នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតំបន់ដូចនេះ៖

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x − ∫ 1 2 x 3 − (− log 2 x + 1) d x

ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីស្វែងរកតំបន់ អ្នកនឹងត្រូវប្រើរូបមន្តនៃទម្រង់ S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ។ តាមពិត បន្ទាត់ដែលចងរាងអាចត្រូវបានតំណាងជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ y ។

ចូរដោះស្រាយសមីការ y = x 3 និង - log 2 x + 1 ទាក់ទងនឹង x៖

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 − y ⇒ x = 2 1 - y

យើងទទួលបានតំបន់ដែលត្រូវការ៖

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 − y − y 3) d y = − 2 1 − y ln 2 − y 4 4 0 1 = = − 2 1 − 1 ln 2 − 1 4 4 − − 2 1 − 0 ln 2 − 0 4 4 = − 1 ln 2 − 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 − 1 4

ចំលើយ៖ S (G) = 1 ln 2 − 1 ៤

ឧទាហរណ៍ ៥

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 ។

ការសម្រេចចិត្ត

គូរបន្ទាត់នៅលើគំនូសតាងដោយបន្ទាត់ក្រហម ផ្តល់ដោយអនុគមន៍ y = x ។ គូរបន្ទាត់ y = − 1 2 x + 4 ជាពណ៌ខៀវ ហើយគូសបន្ទាត់ y = 2 3 x − 3 ជាពណ៌ខ្មៅ។

ចំណាំចំណុចប្រសព្វ។

រកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x និង y = − 1 2 x + 4 ៖

x = − 1 2 x + 4 O DZ : x ≥ 0 x = − 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 − 4 x + 16 ⇔ x 2 − 20 x + 64 = 0 D = (− 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 − 144 2 = 4 i ជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ x 2 = 4 = 2 , − 1 2 x 2 + 4 = − 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ ⇒ (4 ; 2) ចំនុចប្រសព្វ i y = x និង y = − 1 2 x + 4

រកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x និង y = 2 3 x − 3 ៖

x = 2 3 x − 3 O DZ : x ≥ 0 x = 2 3 x − 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 − 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 − 45 x + 81 = 0 D = (− 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 ពិនិត្យ៖ x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ⇒ (9; 3) ចំនុចប្រសព្វ y = x និង y = 2 3 x − 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 – 3 = 2 3 9 4 − 3 = − 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទេ

រកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ y = − 1 2 x + 4 និង y = 2 3 x − 3 ៖

1 2 x + 4 = 2 3 x − 3 ⇔ − 3 x + 24 = 4 x − 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 − 1 2 6 + 4 = 2 3 6 − 3 = 1 ⇒ (6 1) ចំនុចប្រសព្វ y = − 1 2 x + 4 និង y = 2 3 x − 3

វិធីសាស្រ្តលេខ 1

យើងតំណាងឱ្យតំបន់នៃតួលេខដែលចង់បានជាផលបូកនៃតំបន់នៃតួលេខបុគ្គល។

បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួលេខគឺ:

S (G) = ∫ 4 6 x − − 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x − 2 3 x − 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 − 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 − x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 − 4 6 − 2 3 4 3 2 + 4 2 4 − 4 4 + + 2 3 9 3 2 − 9 2 3 + 3 9 − 2 3 6 3 2 − 6 2 3 + 3 6 = = − 25 3 + 4 6 + − 4 6 + 12 = 11 3

វិធីសាស្រ្តលេខ 2

តំបន់នៃតួលេខដើមអាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃតួលេខពីរផ្សេងទៀត។

បន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយសមីការបន្ទាត់សម្រាប់ x ហើយបន្ទាប់ពីនោះយើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខ។

y = x ⇒ x = y 2 បន្ទាត់ក្រហម y = 2 3 x − 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 បន្ទាត់ខ្មៅ y = − 1 2 x + 4 ⇒ x = − 2 y + 8 s i n i i l i n i

ដូច្នេះតំបន់គឺ៖

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 − − 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 − y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y − 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 − y 2 d y = = 7 4 y 2 − 7 4 y 1 2 + − y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 − 7 4 2 − 7 4 1 2 − 7 4 1 + + − 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 − − 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញតម្លៃត្រូវគ្នា។

ចំលើយ៖ S (G) = 11 ៣

លទ្ធផល

ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងត្រូវគូសបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វា ហើយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកតំបន់នោះ។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងបានពិនិត្យមើលជម្រើសទូទៅបំផុតសម្រាប់កិច្ចការ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ របៀបគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខ

ឥឡូវនេះយើងងាកទៅរកការពិចារណានៃកម្មវិធីនៃការគណនាអាំងតេក្រាល។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងវិភាគកិច្ចការធម្មតា និងសាមញ្ញបំផុត។ របៀបប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃតួលេខយន្តហោះ. ជាចុងក្រោយ អ្នកដែលស្វែងរកអត្ថន័យក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ - ប្រហែលជាពួកគេរកវាឃើញ។ អ្នកមិនដែលដឹងទេ។ នៅក្នុងជីវិតពិត អ្នកនឹងត្រូវប៉ាន់ស្មានខ្ទមនៅរដូវក្តៅជាមួយនឹងមុខងារបឋម ហើយស្វែងរកតំបន់របស់វាដោយប្រើអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ។

ដើម្បីគ្រប់គ្រងសម្ភារៈដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវតែ៖

1) ស្វែងយល់ពីអាំងតេក្រាលមិនកំណត់យ៉ាងហោចណាស់នៅកម្រិតមធ្យម។ ដូចនេះ អ្នកអត់ចេះសោះគួរតែអានមេរៀនជាមុនសិន ទេ។.

2) អាចអនុវត្តរូបមន្ត Newton-Leibniz និងគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ អ្នកអាចបង្កើតទំនាក់ទំនងមិត្តភាពដ៏កក់ក្តៅជាមួយនឹងអាំងតេក្រាលជាក់លាក់នៅលើទំព័រ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ.

តាមការពិត ដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខ អ្នកមិនត្រូវការចំណេះដឹងច្រើនអំពីអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ និងច្បាស់លាស់នោះទេ។ ភារកិច្ច "គណនាផ្ទៃដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់" តែងតែពាក់ព័ន្ធនឹងការសាងសង់គំនូរដូច្នេះចំណេះដឹង និងជំនាញគូររបស់អ្នកនឹងជាបញ្ហាដែលពាក់ព័ន្ធជាងនេះ។ ក្នុងន័យនេះ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការធ្វើឱ្យអង្គចងចាំឡើងវិញនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បឋមសំខាន់ៗ ហើយយ៉ាងហោចណាស់ ដើម្បីអាចបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ ប៉ារ៉ាបូឡា និងអ៊ីពែបូឡា។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើ (មនុស្សជាច្រើនត្រូវការវា) ដោយមានជំនួយពីសម្ភារៈវិធីសាស្រ្ត និងអត្ថបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រនៃក្រាហ្វ។

តាមពិតទៅ អ្នករាល់គ្នាដឹងច្បាស់អំពីបញ្ហានៃការស្វែងរកតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់តាំងពីសាលាមកម្ល៉េះ ហើយយើងនឹងឈានទៅមុខបន្តិចនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ អត្ថបទនេះប្រហែលជាមិនមានទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែការពិតគឺថាបញ្ហាកើតឡើងក្នុង 99 ករណីក្នុងចំនោម 100 នៅពេលដែលសិស្សម្នាក់ត្រូវបានធ្វើទារុណកម្មដោយប៉មស្អប់ដោយភាពរីករាយក្នុងការរៀនមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាខ្ពស់។

សមា្ភារៈនៃសិក្ខាសាលានេះត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញ លម្អិត និងជាមួយនឹងទ្រឹស្តីអប្បបរមា។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងរាងចតុកោណកែង។

រាងចតុកោណកែងហៅថា រូបសំប៉ែត ដែលចងភ្ជាប់ដោយអ័ក្ស បន្ទាត់ត្រង់ និងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តនៅលើផ្នែកដែលមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅលើចន្លោះពេលនេះ។ សូមឱ្យតួលេខនេះមានទីតាំងនៅ មិន​តិច​ជាង abscissa៖

បន្ទាប់មក តំបន់នៃ trapezoid curvilinear គឺមានចំនួនស្មើនឹងអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ។. អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ណាមួយ (ដែលមាន) មានអត្ថន័យធរណីមាត្រល្អណាស់។ នៅលើមេរៀន អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយខ្ញុំបាននិយាយថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាលេខ។ ហើយឥឡូវនេះ វាដល់ពេលដែលត្រូវប្រាប់ការពិតដ៏មានប្រយោជន៍មួយផ្សេងទៀត។ តាមទស្សនៈនៃធរណីមាត្រ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺ AREA.

I.e, អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ (ប្រសិនបើវាមាន) ធរណីមាត្រត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្ទៃនៃតួលេខមួយចំនួន. ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ អាំងតេក្រាលកំណត់ខ្សែកោងនៅលើយន្តហោះដែលមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស (អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចបំពេញគំនូរ) ហើយអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយខ្លួនវាគឺជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃរាងចតុកោណកែងដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១

នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍កិច្ចការធម្មតា។ គ្រាដំបូងនិងសំខាន់បំផុតនៃការសម្រេចចិត្តគឺការសាងសង់គំនូរ. លើសពីនេះទៅទៀតគំនូរត្រូវតែត្រូវបានសាងសង់ ស្តាំ.

នៅពេលសាងសង់ប្លង់មេ ខ្ញុំសូមណែនាំតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ ដំបូងវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ទាំងអស់ (ប្រសិនបើមាន) និងតែមួយគត់ បន្ទាប់ពី- ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា ក្រាហ្វនៃមុខងារផ្សេងៗ។ ក្រាហ្វមុខងារមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការសាងសង់ ចំណុចដោយចំណុចជាមួយនឹងបច្ចេកទេសនៃការសាងសង់ pointwise អាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសម្ភារៈយោង ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋម. នៅទីនោះអ្នកក៏អាចស្វែងរកសម្ភារៈដែលមានប្រយោជន៍ច្រើនទាក់ទងនឹងមេរៀនរបស់យើងផងដែរ - របៀបបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡាយ៉ាងលឿន។

នៅក្នុងបញ្ហានេះ ដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ។
ចូរបង្កើតគំនូរមួយ (ចំណាំថាសមីការកំណត់អ័ក្ស)៖

ខ្ញុំនឹងមិនញាស់អង្កាញ់ curvilinear ទេ វាច្បាស់ណាស់ថាតើយើងកំពុងនិយាយអំពីតំបន់ណានៅទីនេះ។ ដំណោះស្រាយបន្តដូចនេះ៖

នៅលើផ្នែក ក្រាហ្វនៃមុខងារមានទីតាំងនៅ លើអ័ក្ស, នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល:

ចម្លើយ៖

តើអ្នកណាដែលមានការលំបាកក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងអនុវត្តរូបមន្តញូតុន-លីបនីស , យោងទៅការបង្រៀន អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ.

បន្ទាប់ពីកិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការមើលគំនូរ និងស្វែងយល់ថាតើចម្លើយគឺពិតឬអត់។ ក្នុងករណីនេះ "ដោយភ្នែក" យើងរាប់ចំនួនក្រឡានៅក្នុងគំនូរ - ប្រហែល 9 នឹងត្រូវបានវាយវាហាក់ដូចជាការពិត។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងមាន, និយាយថា, ចម្លើយ: 20 ឯកតាការ៉េ, បន្ទាប់មក, ជាក់ស្តែង, កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅកន្លែងណាមួយ - 20 ក្រឡាច្បាស់ណាស់មិនសមនឹងតួលេខនៅក្នុងសំណួរ, យ៉ាងហោចណាស់រាប់សិប។ ប្រសិនបើចម្លើយប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន នោះកិច្ចការក៏ត្រូវបានដោះស្រាយមិនត្រឹមត្រូវដែរ។

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ , , និងអ័ក្ស

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើ curvilinear trapezoid មានទីតាំងនៅ នៅក្រោមអ័ក្ស?

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ និងអ័ក្សសំរបសំរួល។

ការសម្រេចចិត្ត: តោះធ្វើគំនូរ

ប្រសិនបើ curvilinear trapezoid មានទីតាំងនៅ នៅក្រោមអ័ក្ស(ឬ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់ មិនខ្ពស់ជាងអ័ក្សដែលបានផ្តល់ឱ្យ) បន្ទាប់មកតំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
ក្នុងករណី​នេះ:

យកចិត្តទុកដាក់! កុំច្រឡំកិច្ចការពីរប្រភេទ:

1) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យដោះស្រាយគ្រាន់តែជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយគ្មានអត្ថន័យធរណីមាត្រ នោះវាអាចជាអវិជ្ជមាន។

2) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នោះ តំបន់គឺតែងតែវិជ្ជមាន! នោះហើយជាមូលហេតុដែលដកលេចឡើងនៅក្នុងរូបមន្តដែលទើបតែពិចារណា។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ភាគច្រើនជាញឹកញាប់តួលេខនេះមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងលើ និងខាងក្រោម ហើយដូច្នេះ ពីបញ្ហាសាលាសាមញ្ញបំផុត យើងបន្តទៅឧទាហរណ៍ដ៏មានអត្ថន័យបន្ថែមទៀត។

ឧទាហរណ៍ 4

រក​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​បន្ទាត់ .

ការសម្រេចចិត្ត៖ ដំបូងអ្នកត្រូវបំពេញគំនូរ។ និយាយជាទូទៅនៅពេលសាងសង់គំនូរនៅក្នុងបញ្ហាតំបន់យើងចាប់អារម្មណ៍បំផុតចំពោះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយគឺការវិភាគ។ យើងដោះស្រាយសមីការ៖

ដូច្នេះ ដែនកំណត់ទាបនៃសមាហរណកម្ម ដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល។
យកល្អកុំប្រើវិធីនេះ បើអាច។.

វាមានផលចំណេញច្រើន និងលឿនជាងមុនក្នុងការកសាងបន្ទាត់តាមចំនុច ខណៈពេលដែលដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរកឃើញថា "ដោយខ្លួនឯង"។ បច្ចេកទេសសាងសង់ចំណុចដោយចំណុចសម្រាប់គំនូសតាងផ្សេងៗត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងជំនួយ ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋម. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រវិភាគក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់ ពេលខ្លះនៅតែត្រូវប្រើ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វមានទំហំធំល្មម ឬការសាងសង់ខ្សែស្រឡាយមិនបានបង្ហាញពីដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម (វាអាចជាប្រភាគ ឬមិនសមហេតុផល)។ ហើយយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍បែបនេះផងដែរ។

យើងត្រឡប់ទៅភារកិច្ចរបស់យើងវិញ៖ វាជារឿងសមហេតុសមផលជាងមុនក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ដំបូង ហើយមានតែប៉ារ៉ាបូឡាប៉ុណ្ណោះ។ តោះធ្វើគំនូរ៖

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថាជាមួយនឹងការសាងសង់ដោយចង្អុល ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់បំផុតថា "ដោយស្វ័យប្រវត្តិ"។

ហើយឥឡូវនេះរូបមន្តធ្វើការ៖ ប្រសិនបើមានមុខងារបន្តមួយចំនួននៅលើចន្លោះពេល ធំជាង ឬស្មើអនុគមន៍បន្តមួយចំនួន បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួរលេខដែលចងដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ និងបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

នៅទីនេះវាមិនចាំបាច់គិតអំពីកន្លែងដែលតួលេខមានទីតាំងនៅ - ខាងលើអ័ក្សឬខាងក្រោមអ័ក្សហើយនិយាយប្រហែល។ វាសំខាន់ថាគំនូសតាងមួយណានៅខាងលើ(ទាក់ទងទៅនឹងក្រាហ្វផ្សេងទៀត) ហើយមួយណានៅខាងក្រោម.

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា វាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក ប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីដកពី

ការបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ:

តួលេខដែលចង់បានត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាពីខាងលើ និងបន្ទាត់ត្រង់ពីខាងក្រោម។
នៅលើផ្នែកនេះបើយោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា:

ចម្លើយ៖

តាមពិត រូបមន្តរបស់សាលាសម្រាប់តំបន់នៃ curvilinear trapezoid នៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាប (សូមមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញលេខ 3) គឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត . ដោយសារអ័ក្សត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ ហើយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានទីតាំងនៅ មិនខ្ពស់ជាងអ័ក្ស បន្ទាប់មក

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍ពីរបីសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

ឧទាហរណ៍ ៥

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលរុំព័ទ្ធដោយបន្ទាត់ .

នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការគណនាតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ ជួនកាលឧប្បត្តិហេតុគួរឱ្យអស់សំណើចកើតឡើង។ គំនូរ​ត្រូវ​បាន​គេ​ធ្វើ​ឡើង​ត្រឹមត្រូវ ការគណនា​ក៏​ត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែ​ដោយ​សារ​ការ​មិន​យកចិត្តទុកដាក់… បានរកឃើញតំបន់នៃតួលេខខុសនោះហើយជារបៀបដែលអ្នកបំរើដែលស្តាប់បង្គាប់របស់អ្នកបានវាយដំជាច្រើនដង។ នេះជាករណីជីវិតពិត៖

ឧទាហរណ៍ ៧

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ , , , .

ការសម្រេចចិត្ត: តោះធ្វើគំនូរជាមុនសិន៖

… អេ គំនូរចេញមកក្រៅ ប៉ុន្តែអ្វីៗហាក់ដូចជាអាចយល់បាន។

តួលេខ​ដែល​តំបន់​ដែល​យើង​ត្រូវ​រក​នោះ​មាន​ពណ៌​ខៀវ។(មើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលក្ខខណ្ឌ - របៀបដែលតួលេខត្រូវបានកំណត់!) ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត ដោយសារតែការមិនយកចិត្តទុកដាក់ "កំហុស" កើតឡើងជាញឹកញាប់ ដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខដែលមានស្រមោលពណ៌បៃតង!

ឧទាហរណ៍​នេះ​ក៏​មាន​ប្រយោជន៍​ក្នុង​នោះ​ក្នុង​នោះ​ផ្ទៃ​នៃ​តួលេខ​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​ប្រើ​អាំងតេក្រាល​ច្បាស់លាស់​ពីរ។ ពិតជា៖

1) នៅលើផ្នែកខាងលើអ័ក្សមានក្រាហ្វបន្ទាត់ត្រង់;

2) នៅលើផ្នែកខាងលើអ័ក្សគឺជាក្រាហ្វអ៊ីពែបូឡា។

វាច្បាស់ណាស់ថាតំបន់អាច (និងគួរ) ត្រូវបានបន្ថែម ដូច្នេះ៖

ចម្លើយ៖

ចូរបន្តទៅកិច្ចការដ៏មានអត្ថន័យមួយទៀត។

ឧទាហរណ៍ ៨

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់
ចូរបង្ហាញសមីការក្នុងទម្រង់ "សាលា" ហើយអនុវត្តការគូរចំណុចដោយចំណុច៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីគំនូរថាដែនកំណត់ខាងលើរបស់យើងគឺ "ល្អ": .
ប៉ុន្តែតើអ្វីជាដែនកំណត់ទាប? វាច្បាស់ណាស់ថានេះមិនមែនជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែតើអ្វីទៅ? ប្រហែល ? ប៉ុន្តែ​តើ​ការ​ធានា​ថា​គំនូរ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​ភាព​ត្រឹមត្រូវ​ល្អ​ឥត​ខ្ចោះ​នៅ​កន្លែង​ណា​នោះ វា​អាច​នឹង​ក្លាយ​ជា​រឿង​នោះ​បាន។ ឬឫស។ ចុះបើយើងមិនទទួលបានក្រាហ្វត្រឹមត្រូវ?

ក្នុងករណីបែបនេះ មនុស្សម្នាក់ត្រូវចំណាយពេលបន្ថែម និងកំណត់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលដោយការវិភាគ។

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងប៉ារ៉ាបូឡា។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការ៖


,

ពិត។

ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតគឺរឿងតូចតាច រឿងសំខាន់គឺមិនត្រូវច្រឡំក្នុងការជំនួស និងសញ្ញានោះទេ ការគណនានៅទីនេះមិនងាយស្រួលបំផុតនោះទេ។

នៅលើផ្នែក យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

ចម្លើយ៖

ជាការប្រសើរណាស់, នៅក្នុងការបញ្ចប់នៃមេរៀន, យើងនឹងពិចារណាកិច្ចការពីរកាន់តែពិបាក។

ឧទាហរណ៍ ៩

គណនា​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​បាន​កំណត់​ដោយ​បន្ទាត់ , ,

ការសម្រេចចិត្ត៖ គូររូបនេះក្នុងគំនូរ។

យ៉ាប់ ខ្ញុំភ្លេចចុះហត្ថលេខាលើកាលវិភាគ ហើយធ្វើរូបភាពឡើងវិញ សុំទោសមិនមែន hotz ទេ។ មិន​មែន​ជា​គំនូរ​ទេ សរុប​មក​ថ្ងៃ​នេះ​ជា​ថ្ងៃ =)

សម្រាប់ការសាងសង់ចំណុចដោយចំណុច វាចាំបាច់ត្រូវដឹងពីរូបរាងរបស់ sinusoid (ហើយជាទូទៅវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹង ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បឋមទាំងអស់។) ក៏ដូចជាតម្លៃស៊ីនុសមួយចំនួន ពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុង តារាងត្រីកោណមាត្រ. ក្នុងករណីខ្លះ (ដូចករណីនេះ) វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យសាងសង់គំនូរព្រាង ដែលក្រាហ្វ និងដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវតែបង្ហាញជាគោលការណ៍ត្រឹមត្រូវ។

មិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលនៅទីនេះទេ ពួកគេធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌដោយផ្ទាល់៖ - "x" ផ្លាស់ប្តូរពីសូន្យទៅ "pi" ។ យើងធ្វើការសម្រេចចិត្តបន្ថែម៖

នៅលើផ្នែក ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស ដូច្នេះ៖

ការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខនេះប្រហែលជាបញ្ហាលំបាកបំផុតមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីតំបន់។ នៅក្នុងធរណីមាត្រសាលា ពួកគេត្រូវបានបង្រៀនឱ្យស្វែងរកផ្នែកនៃរាងធរណីមាត្រជាមូលដ្ឋានដូចជា ឧទាហរណ៍ ត្រីកោណ រាងមូល ចតុកោណកែង រាងចតុកោណ រង្វង់។ល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជារឿយៗមនុស្សម្នាក់ត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនានៃផ្នែកនៃតួលេខស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ វាគឺនៅក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដែលវាងាយស្រួលប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។

និយមន័យ។

រាងចតុកោណកែងតួរលេខ G ខ្លះត្រូវបានហៅ កំណត់ដោយបន្ទាត់ y = f(x), y = 0, x = a និង x = b ហើយមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [a; b] ហើយមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វានៅលើវា។ (រូបទី 1) ។តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងអាចត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរ S (G) ។

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ʃ a b f(x)dx សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) ដែលបន្តនិងមិនអវិជ្ជមានលើផ្នែក [a; b], និងជាតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលត្រូវគ្នា។

នោះគឺដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខ G ដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a និង x \u003d b វាចាំបាច់ក្នុងការគណនា កំណត់អាំងតេក្រាល ʃ a b f (x) dx ។

ដូច្នេះ S(G) = ʃ a b f(x)dx ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មិនវិជ្ជមាននៅលើ [a; b] បន្ទាប់មកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត S(G) = -ʃ a b f(x)dx ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d x 3; y = 1; x = ២.

ការសម្រេចចិត្ត។

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ ABC ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ ២.

តំបន់ដែលចង់បានគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃ curvilinear trapezoid DACE និងការ៉េ DABE ។

ដោយប្រើរូបមន្ត S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) យើងរកឃើញដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖

(y \u003d x 3,
(y = 1 ។

ដូច្នេះយើងមាន x 1 \u003d 1 - ដែនកំណត់ទាប និង x \u003d 2 - ដែនកំណត់ខាងលើ។

ដូច្នេះ S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx − 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (ឯកតាការ៉េ) ។

ចម្លើយ៖ ១១/៤ ម៉ែតការ៉េ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d √x; y = 2; x = ៩.

ការសម្រេចចិត្ត។

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ ABC ដែលត្រូវបានចងពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

y \u003d √x និងពីខាងក្រោមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d 2. តួលេខលទ្ធផលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ ៣.

ផ្ទៃដែលចង់បានគឺស្មើនឹង S = ʃ a b (√x − 2) ។ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលៈ b = 9 ដើម្បីស្វែងរក a យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖

(y = √x,
(y = 2 ។

ដូច្នេះ យើងមានថា x = 4 = a គឺជាដែនកំណត់ទាប។

ដូច្នេះ S = ∫ 4 9 (√x − 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| ៤ ៩ - ២x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (ឯកតាការ៉េ)។

ចម្លើយ៖ S = 2 2/3 sq ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងរៀបចំអនុគមន៍ y \u003d x 3 - 4x សម្រាប់ x ≥ 0 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេ y ':

y' = 3x 2 – 4, y' = 0 at х = ±2/√3 ≈ 1.1 គឺជាចំនុចសំខាន់។

ប្រសិនបើយើងគូរចំណុចសំខាន់នៅលើអ័ក្សពិត ហើយដាក់សញ្ញានៃដេរីវេ នោះយើងទទួលបានថាអនុគមន៍ថយចុះពីសូន្យទៅ 2/√3 ហើយកើនឡើងពី 2/√3 ទៅបូកគ្មានដែនកំណត់។ បន្ទាប់មក x = 2/√3 ជាចំនុចអប្បបរមា តម្លៃអប្បបរមានៃអនុគមន៍ y គឺ min = -16/(3√3) ≈ −3 ។

ចូរកំណត់ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖

ប្រសិនបើ x \u003d 0 បន្ទាប់មក y \u003d 0 ដែលមានន័យថា A (0; 0) គឺជាចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស Oy ។

ប្រសិនបើ y \u003d 0 បន្ទាប់មក x 3 - 4x \u003d 0 ឬ x (x 2 - 4) \u003d 0 ឬ x (x - 2) (x + 2) \u003d 0 ពីកន្លែង x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (មិនសមរម្យទេ ព្រោះ x ≥ 0) ។

ចំណុច A(0; 0) និង B(2; 0) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សអុក។

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ OAB ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ ៤.

ចាប់តាំងពីមុខងារ y \u003d x 3 - 4x ទទួលយក (0; 2) តម្លៃអវិជ្ជមានបន្ទាប់មក

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|។

យើងមាន៖ ʃ 0 2 (x 3 − 4x)dx = (x 4 /4 − 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4 ពីកន្លែងដែល S \u003d 4 ម៉ែត្រការ៉េ។ ឯកតា

ចម្លើយ៖ S = 4 sq ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ 4

រកផ្ទៃនៃរូបដែលចងដោយប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d 2x 2 - 2x + 1, បន្ទាត់ត្រង់ x \u003d 0, y \u003d 0 និងតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡានេះនៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d ២.

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំបូងយើងចងក្រងសមីការនៃតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d 2x 2 - 2x + 1 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x₀ \u003d 2 ។

ចាប់តាំងពីដេរីវេ y' = 4x − 2 បន្ទាប់មកសម្រាប់ x 0 = 2 យើងទទួលបាន k = y'(2) = 6 ។

រកលំដាប់នៃចំណុចប៉ះ៖ y 0 = 2 2 2 − 2 2 + 1 = 5 ។

ដូច្នេះសមីការតង់សង់មានទម្រង់៖ y - 5 \u003d 6 (x - 2) ឬ y \u003d 6x - 7 ។

ចូរយើងបង្កើតតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7 ។

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - ប៉ារ៉ាបូឡា។ ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖ A(0; 1) - ជាមួយអ័ក្ស Oy; ជាមួយនឹងអ័ក្សអុក - មិនមានចំណុចប្រសព្វទេពីព្រោះ សមីការ 2x 2 − 2x + 1 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយ (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2 ពោលគឺ ចំនុចកំពូលនៃចំនុចប៉ារ៉ាបូឡា B មានកូអរដោនេ B (1/2; 1/2) ។

ដូច្នេះតួលេខដែលតំបន់ដែលត្រូវកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ ៥.

យើងមាន៖ S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​។

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច D ពីលក្ខខណ្ឌ៖

6x − 7 = 0, i.e. x \u003d 7/6 បន្ទាប់មក DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6 ។

យើងរកឃើញផ្ទៃនៃត្រីកោណ DBC ដោយប្រើរូបមន្ត S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC ។ ដូច្នេះ

S ADBC ​​​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 sq ។ ឯកតា

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 − 2x + 1)dx = (2x 3 /3 − 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (ឯកតាការ៉េ)។

ទីបំផុតយើងទទួលបាន៖ S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (sq. units)។

ចម្លើយ៖ S = 1 1/4 sq ។ ឯកតា

យើងបានពិនិត្យឧទាហរណ៍ ការស្វែងរកផ្នែកនៃតួលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវចេះបង្កើតបន្ទាត់ និងក្រាហ្វនៃមុខងារនៅលើយន្តហោះ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ អនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកតំបន់ ដែលបង្កប់ន័យសមត្ថភាព និងជំនាញក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

និយមន័យ។ភាពខុសគ្នា F (b) - F (a) ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ f (x) នៅលើផ្នែក [ a ; b ] ហើយ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ = F (b) - F (a) - រូបមន្ត Newton-Leibniz ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាល។

តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងដែលចងភ្ជាប់ដោយក្រាហ្វវិជ្ជមានជាបន្តបន្ទាប់នៅលើចន្លោះពេល [ a ; b ] នៃអនុគមន៍ f (x) អ័ក្សអុក និងបន្ទាត់ត្រង់ x=a និង x=b៖

ការគណនាតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាល។

1. ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយក្រាហ្វនៃអវិជ្ជមានបន្តនៅលើចន្លោះពេល [ a ; b ] នៃអនុគមន៍ f (x) អ័ក្សអុក និងបន្ទាត់ត្រង់ x=a និង x=b៖

2. ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្ត f (x) និងបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d a, x \u003d ខ៖

3. ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្ត f (x) និង៖

4. ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្ត f (x) និងអ័ក្សអុក៖

កិច្ចការ និងការធ្វើតេស្តលើប្រធានបទ "អាំងតេក្រាល ។ ការគណនាតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាល"

• អាំងតេក្រាល។

  មេរៀន៖ ៤ កិច្ចការ៖ ១៣ តេស្តៈ ១

• ការគណនាតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាល។ - Antiderivative និងអាំងតេក្រាលថ្នាក់ទី 11

  មេរៀន៖ ១ កិច្ចការ៖ ១០ សំណួរ៖ ១

• ប្រឆាំងដេរីវេ - Antiderivative និងអាំងតេក្រាលថ្នាក់ទី 11

  មេរៀន៖ ១ កិច្ចការ៖ ១១ តេស្តៈ ១

• Planimetry: ការគណនាប្រវែងនិងតំបន់

  កិច្ចការ៖ ៧

• ការគណនានិងការផ្លាស់ប្តូរ - ត្រៀមប្រលងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា

  កិច្ចការ៖ ១០

មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ សូមព្យាយាមគូរតួលេខនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។ នេះនឹងជួយសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដល់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា។

ការសិក្សាសម្ភារៈទ្រឹស្តីលើប្រធានបទនេះផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវឱកាសដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃគំនិតនៃ antiderivative និងអាំងតេក្រាល, រៀនទំនាក់ទំនងរវាងពួកគេ, ស្ទាត់ជំនាញបច្ចេកទេសសាមញ្ញបំផុតនៃការគណនាអាំងតេក្រាល, រៀនពីរបៀបដើម្បីអនុវត្តអាំងតេក្រាលក្នុងការគណនាផ្នែកនៃតួលេខដែលបានកំណត់ដោយមុខងារ ក្រាហ្វ។

ឧទាហរណ៍។

1. គណនាអាំងតេក្រាល។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ 0.

2. រកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់

ក) f(x) = 2 X – X 2 និងអ័ក្ស x

ការសម្រេចចិត្ត៖ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 2x - x 2 parabola ។ Vertex: (1; 1) ។

ចម្លើយ៖(ឯកតា sq ។ )