ចូរនិយាយថា Achilles រត់លឿនជាងសត្វអណ្តើកដប់ដង ហើយមានល្បឿនមួយពាន់នៅពីក្រោយវា។ នៅពេលដែលវាត្រូវការ Achilles ដើម្បីរត់ចម្ងាយនេះ អណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហានក្នុងទិសដៅដូចគ្នា។ នៅពេលដែល Achilles រត់បានមួយរយជំហាន អណ្តើកនឹងវារដប់ជំហានទៀត។ ដំណើរការនឹងបន្តដោយគ្មានកំណត់ Achilles នឹងមិនតាមទាន់សត្វអណ្តើកទេ។
ហេតុផលនេះបានក្លាយជាការតក់ស្លុតឡូជីខលសម្រាប់មនុស្សជំនាន់ក្រោយៗទាំងអស់។ Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... ពួកគេទាំងអស់នៅក្នុងវិធីមួយឬមួយផ្សេងទៀតបានចាត់ទុកថា aporias របស់ Zeno ។ តក់ស្លុតខ្លាំងម្ល៉េះ»។ ... ការពិភាក្សាបន្តនៅពេលបច្ចុប្បន្ននេះ សហគមន៍វិទ្យាសាស្ត្រមិនទាន់អាចយល់ឃើញរួមអំពីខ្លឹមសារនៃពាក្យប្រៀបធៀប ... ការវិភាគគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីកំណត់ វិធីសាស្រ្តរូបវិទ្យា និងទស្សនវិជ្ជាថ្មីត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការសិក្សាអំពីបញ្ហានេះ។ ; គ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេក្លាយជាដំណោះស្រាយដែលទទួលយកជាសកលចំពោះបញ្ហា..."[Wikipedia, Zeno's Aporias"] មនុស្សគ្រប់គ្នាយល់ថាពួកគេកំពុងត្រូវបានបោកបញ្ឆោត ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់យល់ថាអ្វីជាការបោកប្រាស់នោះទេ។
តាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យា Zeno នៅក្នុង aporia របស់គាត់បានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីការផ្លាស់ប្តូរពីតម្លៃទៅ។ ការផ្លាស់ប្តូរនេះបង្កប់ន័យអនុវត្តជំនួសឱ្យថេរ។ តាមដែលខ្ញុំយល់ ឧបករណ៍គណិតវិទ្យាសម្រាប់អនុវត្តឯកតាអថេរនៃការវាស់វែងមិនទាន់ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅឡើយ ឬវាមិនត្រូវបានអនុវត្តចំពោះ aporia របស់ Zeno ទេ។ ការអនុវត្តតក្កវិជ្ជាធម្មតារបស់យើងនាំយើងចូលទៅក្នុងអន្ទាក់។ យើងដោយនិចលភាពនៃការគិត អនុវត្តឯកតាថេរនៃពេលវេលាទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ តាមទស្សនៈរូបវន្ត វាហាក់បីដូចជាពេលវេលាថយចុះរហូតដល់ការឈប់ពេញលេញនៅពេល Achilles ចាប់ឡើងជាមួយអណ្តើក។ ប្រសិនបើពេលវេលាឈប់ Achilles មិនអាចយកឈ្នះអណ្តើកបានទៀតទេ។
បើយើងបង្វែរតក្កវិជ្ជាដែលយើងធ្លាប់ធ្វើ នោះអ្វីៗក៏នឹងទៅកន្លែងដែរ។ Achilles រត់ក្នុងល្បឿនថេរ។ ផ្នែកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃផ្លូវរបស់វាខ្លីជាងផ្នែកមុនដប់ដង។ ដូច្នោះហើយ ពេលវេលាដែលចំណាយលើការយកឈ្នះគឺតិចជាងការលើកមុនដប់ដង។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តគោលគំនិតនៃ "ភាពមិនចេះរីងស្ងួត" ក្នុងស្ថានភាពនេះ នោះវានឹងជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការនិយាយថា "Achilles នឹងវ៉ាដាច់អណ្តើកយ៉ាងលឿនបំផុត"។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីជៀសវាងអន្ទាក់ឡូជីខលនេះ? រក្សានៅក្នុងឯកតានៃពេលវេលា ហើយកុំប្តូរទៅតម្លៃទៅវិញទៅមក។ នៅក្នុងភាសារបស់ Zeno វាមើលទៅដូចនេះ:
នៅពេលដែលវាត្រូវ Achilles រត់មួយពាន់ជំហាន អណ្តើកវារមួយរយជំហានក្នុងទិសដៅដូចគ្នា។ ក្នុងចន្លោះពេលបន្ទាប់ ស្មើនឹងលើកទីមួយ Achilles នឹងរត់មួយពាន់ជំហានទៀត ហើយអណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហាន។ ឥឡូវនេះ Achilles គឺប្រាំបីរយជំហានមុនអណ្តើក។
វិធីសាស្រ្តនេះពិពណ៌នាឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់នូវការពិតដោយគ្មានភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខល។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាដំណោះស្រាយពេញលេញចំពោះបញ្ហានោះទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Einstein អំពីភាពមិនអាចគ្រប់គ្រងបាននៃល្បឿននៃពន្លឺគឺស្រដៀងទៅនឹង aporia របស់ Zeno "Achilles and the tortoise" ។ យើងមិនទាន់បានសិក្សា គិតឡើងវិញ និងដោះស្រាយបញ្ហានេះនៅឡើយទេ។ ហើយដំណោះស្រាយត្រូវតែស្វែងរកមិនមែនក្នុងចំនួនច្រើនគ្មានកំណត់ទេ ប៉ុន្តែជាឯកតារង្វាស់។
aporia គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀតនៃ Zeno ប្រាប់ពីព្រួញហោះ:
ព្រួញហោះគឺគ្មានចលនាទេ ព្រោះរាល់ពេលដែលវាសម្រាក ហើយចាប់តាំងពីពេលវាសម្រាកគ្រប់ពេល វាតែងតែសម្រាក។
នៅក្នុង aporia នេះ ភាពផ្ទុយគ្នានៃឡូជីខលត្រូវបានយកឈ្នះយ៉ាងសាមញ្ញ - វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថារាល់ពេលដែលព្រួញហោះហើរគឺសម្រាកនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាក្នុងលំហដែលតាមពិតគឺជាចលនា។ មានចំណុចមួយទៀតដែលត្រូវកត់សម្គាល់នៅទីនេះ។ ពីរូបថតមួយសន្លឹកនៃឡាននៅលើផ្លូវ វាមិនអាចកំណត់ពីការពិតនៃចលនារបស់វា ឬចម្ងាយទៅវាបានទេ។ ដើម្បីកំណត់ពីការពិតនៃចលនារបស់រថយន្ត រូបថតពីរសន្លឹកដែលថតពីចំណុចដូចគ្នា នៅចំណុចផ្សេងគ្នា ត្រូវការពេលវេលា ប៉ុន្តែពួកវាមិនអាចប្រើដើម្បីកំណត់ចម្ងាយបានទេ។ ដើម្បីកំណត់ចម្ងាយទៅរថយន្ត អ្នកត្រូវការរូបថតពីរសន្លឹកដែលថតពីចំណុចផ្សេងៗគ្នាក្នុងលំហក្នុងពេលតែមួយ ប៉ុន្តែអ្នកមិនអាចកំណត់ការពិតនៃចលនាពីពួកវាបានទេ (តាមធម្មជាតិ អ្នកនៅតែត្រូវការទិន្នន័យបន្ថែមសម្រាប់ការគណនា ត្រីកោណមាត្រនឹងជួយអ្នក)។ អ្វីដែលខ្ញុំចង់បញ្ជាក់ជាពិសេសនោះគឺថា ចំណុចពីរនៅក្នុងពេលវេលា និងពីរចំណុចនៅក្នុងលំហ គឺជារឿងពីរផ្សេងគ្នាដែលមិនគួរមានការភាន់ច្រឡំនោះទេ ព្រោះថាវាផ្តល់ឱកាសខុសៗគ្នាសម្រាប់ការរុករក។
ថ្ងៃពុធ ទី៤ ខែកក្កដា ឆ្នាំ២០១៨
ជាការប្រសើរណាស់ ភាពខុសគ្នារវាង set និង multiset ត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុង Wikipedia ។ យើងមើលទៅ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ "សំណុំមិនអាចមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទពីរ" ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទនៅក្នុងសំណុំនោះ សំណុំបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា "ពហុសិត" ។ សត្វដែលសមហេតុផលនឹងមិនយល់ពីតក្កវិជ្ជានៃភាពមិនសមហេតុផលបែបនេះឡើយ។ នេះជាកម្រិតនៃសត្វសេកដែលចេះនិយាយ និងស្វាដែលបានហ្វឹកហ្វឺនហើយ ដែលក្នុងចិត្តគឺអវត្តមានពីពាក្យ «ទាំងស្រុង»។ គណិតវិទូដើរតួជាអ្នកបង្ហាត់បង្រៀនធម្មតា ដោយអធិប្បាយគំនិតមិនសមហេតុសមផលរបស់ពួកគេមកកាន់យើង។
មានពេលមួយ វិស្វករដែលសាងសង់ស្ពានបានជិះទូកក្រោមស្ពាន កំឡុងពេលធ្វើតេស្តស្ពាន។ ប្រសិនបើស្ពានដួលរលំ វិស្វករមធ្យមបានស្លាប់នៅក្រោមគំនរបាក់បែកនៃការបង្កើតរបស់គាត់។ ប្រសិនបើស្ពានអាចទប់ទល់នឹងបន្ទុកបាន វិស្វករដែលមានទេពកោសល្យបានសាងសង់ស្ពានផ្សេងទៀត។
មិនថាគណិតវិទូលាក់ខ្លួននៅពីក្រោយឃ្លាថា "ចិត្តខ្ញុំ ខ្ញុំនៅក្នុងផ្ទះ" ឬ "គណិតវិទ្យាសិក្សាគំនិតអរូបី" មានទងផ្ចិតមួយដែលអាចភ្ជាប់ពួកវាជាមួយការពិត។ ទងផ្ចិតនេះគឺជាលុយ។ ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្ដីសំណុំគណិតវិទ្យាចំពោះគណិតវិទូខ្លួនឯង។
យើងរៀនគណិតវិទ្យាបានយ៉ាងល្អ ហើយឥឡូវយើងកំពុងអង្គុយនៅតុបើកប្រាក់ខែ។ នៅទីនេះមានគណិតវិទូមករកយើងដើម្បីលុយរបស់គាត់។ យើងរាប់ចំនួនសរុបទៅគាត់ ហើយដាក់វានៅលើតុរបស់យើងជាគំនរផ្សេងៗគ្នា ដែលយើងដាក់វិក័យប័ត្រនៃនិកាយដូចគ្នា។ បន្ទាប់មកយើងយកវិក្កយបត្រមួយពីគំនរនីមួយៗ ហើយផ្តល់ឱ្យគណិតវិទូនូវ "ប្រាក់ខែគណិតវិទ្យា" របស់គាត់។ យើងពន្យល់គណិតវិទ្យាថា គាត់នឹងទទួលបានវិក្កយបត្រដែលនៅសល់ លុះត្រាតែគាត់បញ្ជាក់ថា សំណុំដែលគ្មានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ មិនស្មើនឹងសំណុំដែលមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ។ នេះជាកន្លែងដែលការសប្បាយចាប់ផ្តើម។
ជាដំបូង តក្កវិជ្ជារបស់តំណាងរាស្ត្រនឹងដំណើរការ៖ "អ្នកអាចអនុវត្តវាចំពោះអ្នកដទៃ ប៉ុន្តែមិនមែនចំពោះខ្ញុំទេ!" លើសពីនេះ ការធានានឹងចាប់ផ្តើមថាមានលេខក្រដាសប្រាក់ផ្សេងៗគ្នានៅលើក្រដាសប្រាក់នៃនិកាយដូចគ្នា ដែលមានន័យថា ពួកវាមិនអាចចាត់ទុកជាធាតុដូចគ្នាបានទេ។ ជាការប្រសើរណាស់, យើងរាប់ប្រាក់ខែជាកាក់ - មិនមានលេខនៅលើកាក់ទេ។ នៅទីនេះ គណិតវិទូនឹងនឹកឃើញរូបវិទ្យាយ៉ាងក្លៀវក្លា៖ កាក់ផ្សេងៗគ្នាមានបរិមាណកខ្វក់ខុសៗគ្នា រចនាសម្ព័ន្ធគ្រីស្តាល់ និងការរៀបចំអាតូមសម្រាប់កាក់នីមួយៗមានតែមួយគត់...
ហើយឥឡូវនេះខ្ញុំមានសំណួរដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត: តើព្រំប្រទល់នៅឯណាដែលលើសពីធាតុនៃសំណុំច្រើនប្រែទៅជាធាតុនៃសំណុំមួយហើយច្រាសមកវិញ? បន្ទាត់បែបនេះមិនមានទេ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចដោយ shamans វិទ្យាសាស្ត្រនៅទីនេះមិនជិតទេ។
មើលនេះ។ យើងជ្រើសរើសកីឡដ្ឋានបាល់ទាត់ដែលមានផ្ទៃដីដូចគ្នា។ តំបន់នៃវាលគឺដូចគ្នាដែលមានន័យថាយើងមានសំណុំពហុ។ ប៉ុន្តែបើយើងពិចារណាឈ្មោះកីឡដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបានច្រើនព្រោះឈ្មោះខុសគ្នា។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសំណុំនៃធាតុដូចគ្នាគឺទាំងសំណុំនិងសំណុំច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។ ត្រឹមត្រូវទេ? ហើយនៅទីនេះ គណិតវិទូ-shaman-shuller យក trump ace ចេញពីដៃអាវរបស់គាត់ ហើយចាប់ផ្តើមប្រាប់យើងអំពីឈុត ឬ multiset ។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយគាត់នឹងបញ្ចុះបញ្ចូលយើងថាគាត់និយាយត្រូវ។
ដើម្បីយល់ពីរបៀបដែល shamans សម័យទំនើបដំណើរការជាមួយទ្រឹស្តីសំណុំដោយចងវាទៅនឹងការពិតវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឆ្លើយសំណួរមួយ: តើធាតុនៃសំណុំមួយខុសគ្នាពីធាតុនៃសំណុំមួយផ្សេងទៀតយ៉ាងដូចម្តេច? ខ្ញុំនឹងបង្ហាញអ្នករាល់គ្នាដោយមិនមាន "អាចយល់បានថាមិនមែនជាមួយទាំងមូល" ឬ "មិនអាចយល់បានដូចជាទាំងមូល" ។
ថ្ងៃអាទិត្យ ទី១៨ ខែមីនា ឆ្នាំ២០១៨
ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខគឺជាការរាំរបស់ shamans ជាមួយនឹង tambourine ដែលមិនទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យា។ មែនហើយ នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា យើងត្រូវបានបង្រៀនឱ្យស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនមួយ ហើយប្រើវា ប៉ុន្តែពួកគេជា shamans សម្រាប់នោះ ដើម្បីបង្រៀនកូនចៅរបស់ពួកគេនូវជំនាញ និងប្រាជ្ញារបស់ពួកគេ បើមិនដូច្នេះទេ shamans នឹងស្លាប់។
តើអ្នកត្រូវការភស្តុតាងទេ? បើកវិគីភីឌា ហើយព្យាយាមស្វែងរកទំព័រ "ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខមួយ"។ នាងមិនមានទេ។ មិនមានរូបមន្តនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលអ្នកអាចរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនណាមួយនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ លេខគឺជានិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកដែលយើងសរសេរលេខ ហើយនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា កិច្ចការស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ "រកផលបូកនៃនិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកដែលតំណាងឱ្យលេខណាមួយ"។ គណិតវិទូមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហានេះបានទេ ប៉ុន្តែ shamans អាចធ្វើវាបានជាបឋម។
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើយើងធ្វើអ្វី និងរបៀបដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះហើយ ឧបមាថាយើងមានលេខ 12345។ តើត្រូវធ្វើអ្វីដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខនេះ? ចូរយើងពិចារណាជំហានទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ។
1. សរសេរលេខនៅលើក្រដាសមួយ។ តើយើងបានធ្វើអ្វី? យើងបានបំប្លែងលេខទៅជានិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកលេខ។ នេះមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។
2. យើងកាត់រូបភាពដែលទទួលបានមួយទៅជារូបភាពជាច្រើនដែលមានលេខដាច់ដោយឡែក។ ការកាត់រូបភាពមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។
3. បំប្លែងតួអក្សរក្រាហ្វិកនីមួយៗទៅជាលេខ។ នេះមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។
4. បន្ថែមលេខលទ្ធផល។ ឥឡូវនេះវាជាគណិតវិទ្យា។
ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខ 12345 គឺ 15 ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ។
តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា វាមិនមានបញ្ហាថាយើងសរសេរលេខប្រព័ន្ធណាទេ។ ដូច្នេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខផ្សេងគ្នា ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខដូចគ្នានឹងខុសគ្នា។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្រព័ន្ធលេខត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាអក្សរតូចនៅខាងស្តាំនៃលេខ។ ជាមួយនឹងចំនួនដ៏ធំនៃ 12345 ខ្ញុំមិនចង់បញ្ឆោតក្បាលរបស់ខ្ញុំទេសូមពិចារណាលេខ 26 ពីអត្ថបទអំពី។ ចូរយើងសរសេរលេខនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខគោលពីរ គោលប្រាំបី ទសភាគ និងគោលដប់ប្រាំមួយ។ យើងនឹងមិនពិចារណាជំហាននីមួយៗនៅក្រោមមីក្រូទស្សន៍ទេ យើងបានធ្វើរួចហើយ។ តោះមើលលទ្ធផល។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខផ្សេងគ្នាផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខដូចគ្នាគឺខុសគ្នា។ លទ្ធផលនេះមិនទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យាទេ។ វាដូចគ្នាទៅនឹងប្រសិនបើអ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលខុសគ្នាទាំងស្រុងនៅពេលកំណត់តំបន់នៃចតុកោណជាម៉ែត្រ និងសង់ទីម៉ែត្រ។
លេខសូន្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទាំងអស់មើលទៅដូចគ្នា និងមិនមានលេខសរុប។ នេះគឺជាអំណះអំណាងមួយផ្សេងទៀតក្នុងការពេញចិត្តចំពោះការពិតដែលថា . សំណួរសម្រាប់គណិតវិទូ៖ តើវាមានន័យដូចម្តេចក្នុងគណិតវិទ្យាដែលមិនមែនជាលេខ? ចុះសម្រាប់គណិតវិទូវិញ គ្មានអ្វីក្រៅពីលេខទេ? សម្រាប់ shamans, ខ្ញុំអាចអនុញ្ញាតនេះ, ប៉ុន្តែសម្រាប់អ្នកវិទ្យាសាស្រ្ត, ទេ។ ការពិតមិនមែនគ្រាន់តែជាលេខទេ។
លទ្ធផលដែលទទួលបានគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភស្តុតាងដែលថាប្រព័ន្ធលេខគឺជាឯកតានៃការវាស់វែងនៃលេខ។ យ៉ាងណាមិញ យើងមិនអាចប្រៀបធៀបលេខជាមួយនឹងឯកតារង្វាស់ផ្សេងគ្នាបានទេ។ ប្រសិនបើសកម្មភាពដូចគ្នាជាមួយនឹងឯកតារង្វាស់ផ្សេងគ្នានៃបរិមាណដូចគ្នានាំទៅរកលទ្ធផលផ្សេងគ្នាបន្ទាប់ពីការប្រៀបធៀបពួកវា នោះវាមិនមានអ្វីទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យាទេ។
តើគណិតវិទ្យាពិតគឺជាអ្វី? នេះគឺជាពេលដែលលទ្ធផលនៃសកម្មភាពគណិតវិទ្យាមិនអាស្រ័យលើតម្លៃនៃចំនួន ឯកតារង្វាស់ដែលបានប្រើ និងលើអ្នកណាដែលធ្វើសកម្មភាពនេះ។
អុញ! តើនេះមិនមែនជាបន្ទប់ទឹករបស់ស្ត្រីទេឬ?
- នារីវ័យក្មេង! នេះជាបន្ទប់ពិសោធន៍សម្រាប់សិក្សាពីភាពបរិសុទ្ធគ្មានកំណត់នៃព្រលឹងពេលឡើងឋានសួគ៌! Nimbus នៅលើកំពូលហើយព្រួញឡើងលើ។ តើបង្គន់អ្វីទៀត?
ស្រី... សសរមួយនៅពីលើ ហើយព្រួញចុះក្រោមជាប្រុស។
បើអ្នកមានសិល្បៈរចនាបែបនេះភ្លឺភ្នែកច្រើនដងក្នុងមួយថ្ងៃ។
បន្ទាប់មកវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលអ្នកស្រាប់តែឃើញរូបតំណាងចម្លែកនៅក្នុងឡានរបស់អ្នក៖
ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំខិតខំប្រឹងប្រែងដោយខ្លួនឯងដើម្បីមើលសញ្ញាដក 4 ដឺក្រេនៅក្នុងមនុស្សម្នាក់ដែលហៀរសំបោរ (រូបភាពមួយ) (សមាសភាពនៃរូបភាពជាច្រើន: សញ្ញាដកលេខ 4 ការរចនាដឺក្រេ) ។ ហើយខ្ញុំក៏មិនចាត់ទុកនារីម្នាក់នេះថាជាមនុស្សល្ងង់ដែលមិនចេះរូបវិទ្យាដែរ។ នាងគ្រាន់តែមានទម្រង់អ័ក្សនៃការយល់ឃើញនៃរូបភាពក្រាហ្វិក។ ហើយគណិតវិទូបង្រៀនយើងគ្រប់ពេល។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយ។
1A មិនមែនជា "ដកបួនដឺក្រេ" ឬ "មួយ a" ទេ។ នេះគឺជា "មនុស្សល្មោភកាម" ឬលេខ "ម្ភៃប្រាំមួយ" នៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខគោលដប់ប្រាំមួយ។ មនុស្សទាំងនោះដែលធ្វើការឥតឈប់ឈរនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខនេះ យល់ដោយស្វ័យប្រវត្តិនូវលេខ និងអក្សរជានិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកតែមួយ។
មេរៀនវីដេអូ "ការកំណត់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៅលើរង្វង់ឯកតា" គឺជាសម្ភារៈដែលមើលឃើញសម្រាប់មេរៀនលើប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ។ ក្នុងអំឡុងពេលមេរៀន គោលគំនិតនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសសម្រាប់លេខដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាត្រូវបានពិចារណា គំរូជាច្រើនត្រូវបានពិពណ៌នាដែលបង្កើតជាសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលការបកស្រាយនៃគោលគំនិតនេះត្រូវបានប្រើ។ រូបភាពដែលងាយស្រួល និងអាចយល់បាននៃដំណោះស្រាយ វគ្គសិក្សាលម្អិតនៃហេតុផលជួយឱ្យសម្រេចបាននូវគោលដៅសិក្សាលឿនជាងមុន បង្កើនប្រសិទ្ធភាពនៃមេរៀន។
វីដេអូបង្រៀនចាប់ផ្តើមដោយការណែនាំអំពីប្រធានបទ។ នៅដើមដំបូងនៃការបង្ហាញ និយមន័យនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃលេខមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អេក្រង់បង្ហាញរង្វង់ឯកតាដែលនៅកណ្តាលដើមចំណុចប្រសព្វនៃរង្វង់ឯកតាដែលមានអ័ក្សកូអរដោណេ A, B, C, D ត្រូវបានសម្គាល់។ បន្ទាប់មក abscissa នៃចំណុចនេះគឺជាកូស៊ីនុសនៃលេខ t ហើយត្រូវបានតំណាងឱ្យ cos t, ការចាត់តាំងនៃចំនុចគឺស៊ីនុស ហើយត្រូវបានតំណាងថា sin t ។ ការបញ្ចេញសំឡេងនៃនិយមន័យត្រូវបានអមដោយរូបភាពនៃចំណុច M នៅលើរង្វង់ឯកតាដែលបង្ហាញពី abscissa និង ordinate របស់វា។ ការកត់សម្គាល់ខ្លីមួយត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់ M (t) \u003d M (x; y), x \u003d cos t, y \u003d sin t ។ ការដាក់កម្រិតលើតម្លៃនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃចំនួនមួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។ យោងតាមទិន្នន័យដែលបានពិចារណា, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.
វាក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរក្នុងការមើលពីតួលេខពីរបៀបដែលសញ្ញានៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើត្រីមាសដែលចំណុចស្ថិតនៅ។ តារាងមួយត្រូវបានចងក្រងនៅលើអេក្រង់ ដែលនៅក្នុងមុខងារនីមួយៗ សញ្ញារបស់វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញអាស្រ័យលើត្រីមាស។ សញ្ញានៃ cos t គឺបូកនៅក្នុងត្រីមាសទី 1 និងទី 4 និងដកនៅក្នុងត្រីមាសទីពីរ និងទីបី។ សញ្ញា sin t គឺបូកក្នុងត្រីមាសទីមួយ និងទីពីរ ដកនៅត្រីមាសទីបី និងទីបួន។
សិស្សត្រូវបានរំលឹកពីសមីការរង្វង់ឯកតា x 2 + y 2 = 1 ។ វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាបន្ទាប់ពីការជំនួសជំនួសឱ្យកូអរដោនេនៃអនុគមន៍ដែលត្រូវគ្នាយើងទទួលបាន cos 2 t + sin 2 t = 1 - អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសំខាន់។ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរក sin t និង cos t ដោយប្រើរង្វង់ឯកតា តារាងនៃតម្លៃមូលដ្ឋាននៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសត្រូវបានបំពេញសម្រាប់លេខពី 0 ទៅ 2π ជាមួយនឹងជំហាននៃ π/4 និងសម្រាប់លេខពី π/6 ទៅ 11π/6 ជាមួយនឹងជំហាននៃ π/6 ។ តារាងទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអេក្រង់។ ដោយមានជំនួយពីពួកគេ និងគំនូរ គ្រូអាចពិនិត្យមើលពីរបៀបដែលសម្ភារៈត្រូវបានរៀន និងរបៀបដែលសិស្សយល់ពីប្រភពដើមនៃតម្លៃ sin t និង cos t ។
ឧទាហរណ៍មួយត្រូវបានពិចារណាដែល sin t និង cos t ត្រូវបានគណនាសម្រាប់ t = 41π/4 ។ ដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញដោយតួលេខដែលបង្ហាញរង្វង់ឯកតាដែលនៅចំកណ្តាលដើម។ ចំណុច 41π/4 ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើវា។ វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាចំណុចនេះស្របគ្នានឹងទីតាំងនៃចំណុច π/4 ។ នេះបង្ហាញឱ្យឃើញដោយតំណាងឱ្យប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យជាប្រភាគចម្រុះ 41π/4=π/4+2π·5 ។ ដោយប្រើតារាងតម្លៃកូស៊ីនុស យើងទទួលបានតម្លៃ cos π/4=√2/2 និង sinπ/4=√2/2 ។ តាមព័ត៌មានដែលទទួលបាន វាធ្វើតាមថា cos 41π/4=√2/2 និង sin 41π/4=√2/2 ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ អ្នកត្រូវគណនា sin t និង cos t សម្រាប់ t=-25π/3 ។ អេក្រង់បង្ហាញរង្វង់ឯកតាដែលមានចំណុចសម្គាល់នៅលើវា t=-25π/3 ។ ដំបូង ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា លេខ -25π / 3 ត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគចម្រុះ ដើម្បីរកមើលថាតើតារាងមួយណាដែលតម្លៃ sin t និង cos t នឹងត្រូវគ្នា។ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបាន -25π/3=-π/3+2π (-4)។ ជាក់ស្តែង t=-25π/3 នឹងស្របគ្នានៅលើរង្វង់ដែលមានចំនុច -π/3 ឬ 5π/3 ។ ពីតារាង សូមជ្រើសរើសតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស cos 5π/3=1/2 និង sin 5π/3=-√3/2 ។ តម្លៃទាំងនេះនឹងជាការពិតសម្រាប់លេខដែលបានពិចារណា cos (-25π/3)=1/2 និង sin (-25π/3)=-√3/2 ។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។
ឧទាហរណ៍ទី 3 ត្រូវបានដោះស្រាយស្រដៀងគ្នា ដែលចាំបាច់ត្រូវគណនា sin t និង cos t សម្រាប់ t = 37π ។ ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ លេខ 37π ត្រូវបានពង្រីកដោយញែក π និង 2π ។ នៅក្នុងការតំណាងនេះយើងទទួលបាន 37π = π + 2π 18 ។ នៅលើរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅជាប់នឹងដំណោះស្រាយចំណុចនេះត្រូវបានសម្គាល់នៅចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែកអវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស y និងរង្វង់ឯកតា - ចំណុចπ។ វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃចំនួននឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃតារាងនៃπ។ ពីតារាងយើងរកឃើញតម្លៃ sin π=-1 និង cos π=0 ។ ដូច្នោះហើយតម្លៃដូចគ្នាទាំងនេះគឺជាតម្លៃដែលចង់បាន នោះគឺ sin 37π=-1 និង cos 37π=0 ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 4 វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនា sin t និង cos t នៅ t = −12π ។ យើងតំណាងឱ្យលេខក្នុងទម្រង់ -12π = 0 + 2π (-6) ។ ដូច្នោះហើយចំនុច -12π ស្របគ្នានឹងចំនុច 0. តម្លៃនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃចំនុចនេះគឺ sin 0=1 និង cos 0=0 ។ តម្លៃទាំងនេះគឺជា sin ដែលចង់បាន (-12π)=1 និង cos (-12π)=0 ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ទីប្រាំ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការ sin t=√3/2។ ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ គោលគំនិតនៃស៊ីនុសនៃចំនួនមួយត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ចាប់តាំងពីវាតំណាងឱ្យការចាត់តាំងនៃចំណុច M (t) វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកចំណុចមួយជាមួយការចាត់តាំង √3/2 ។ តួលេខដែលភ្ជាប់មកជាមួយដំណោះស្រាយបង្ហាញថាការចាត់តាំង √3/2 ត្រូវគ្នានឹងចំណុចពីរគឺ π/3 ទីមួយ និងទីពីរπ/3។ ដោយគិតគូរពីភាពទៀងទាត់នៃអនុគមន៍ យើងកត់សំគាល់ថា t=π/3+2πk និង t=2π/3+2πk សម្រាប់ចំនួនគត់ k ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 6 សមីការជាមួយកូស៊ីនុសត្រូវបានដោះស្រាយ - cos t=-1/2 ។ ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ យើងរកឃើញចំណុចជាមួយ abscissa 2π/3 នៅលើរង្វង់ឯកតា។ រូបភាពត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអេក្រង់ដែលនៅលើ abscissa -1/2 ត្រូវបានសម្គាល់។ វាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនុចពីរនៅលើរង្វង់ - 2π/3 និង -2π/3 ។ ដោយគិតពីភាពទៀងទាត់នៃអនុគមន៍ ដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញត្រូវបានសរសេរជា t=2π/3+2πk និង t=-2π/3+2πk ដែល k ជាចំនួនគត់។
ឧទាហរណ៍ 7 សមីការ sin t-1=0 ត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយ សមីការត្រូវបានបំលែងទៅជា sin t=1។ ស៊ីនុស ១ ត្រូវនឹងលេខ π/២។ ដោយគិតពីរយៈពេលនៃអនុគមន៍ ដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញត្រូវបានសរសេរជា t=π/2+2πk ដែល k ជាចំនួនគត់។ ដូចគ្នានេះដែរ ក្នុងឧទាហរណ៍ 8 សមីការ cos t+1=0 ត្រូវបានដោះស្រាយ។ ចូរបំប្លែងសមីការទៅជាទម្រង់ cos t=-1។ ចំនុចដែល abscissa គឺ -1 ត្រូវនឹងលេខ π ។ ចំណុចនេះត្រូវបានសម្គាល់នៅលើរង្វង់ឯកតានៅជាប់នឹងដំណោះស្រាយអត្ថបទ។ ដូច្នោះហើយ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺលេខ t = π + 2πk ដែល k ជាចំនួនគត់។ គ្មានការលំបាកទៀតទេគឺដំណោះស្រាយនៃសមីការ cos t + 1 = 1 ក្នុងឧទាហរណ៍ 9 ។ ដោយបានបំប្លែងសមីការយើងទទួលបាន cos t = 0 ។ នៅលើរង្វង់ឯកតាដែលបង្ហាញនៅជាប់ដំណោះស្រាយ យើងសម្គាល់ចំណុច -π/2 និង -3π/2 ដែលកូស៊ីនុសយកតម្លៃ 0. ជាក់ស្តែង ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះនឹងជាស៊េរីនៃតម្លៃ t =π/2+πk ដែល k ជាចំនួនគត់។
ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 10 តម្លៃនៃ sin 2 និង cos 3 ត្រូវបានប្រៀបធៀប។ ដើម្បីធ្វើឱ្យដំណោះស្រាយច្បាស់លាស់ រូបភាពមួយត្រូវបានបង្ហាញដែលចំណុច 2 និង 3 ត្រូវបានសម្គាល់។ ដោយដឹងថា π / 2≈1.57 យើងប៉ាន់ប្រមាណចម្ងាយនៃចំនុច។ ពីវា។ តួលេខបង្ហាញថាចំណុច 2 គឺ 0.43 ឆ្ងាយពី π/2 ខណៈពេលដែលចំនុច 3 គឺ 1.43 ឆ្ងាយ ដូច្នេះចំនុច 2 មាន abscissa ធំជាងចំនុច 3 ។ នេះមានន័យថា sin 2 > cos 3 ។
ឧទាហរណ៍ 11 ពិពណ៌នាអំពីការគណនានៃកន្សោម sin 5π/4 ។ ចាប់តាំងពី 5π / 4 គឺ π / 4 + π បន្ទាប់មកដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយកន្សោមអាចត្រូវបានបម្លែងទៅជាទម្រង់ - sin π / 4 ។ ពីតារាងជ្រើសរើសតម្លៃរបស់វា - sin π/4=-√2/2 ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ក្នុងឧទាហរណ៍ 12 តម្លៃនៃកន្សោម cos7π/6 ត្រូវបានរកឃើញ។ ការបំប្លែងវាទៅជាទម្រង់ cos (π/6+π) យើងទទួលបានកន្សោម - cos π/6 ។ តម្លៃតារាងគឺ cos π/6=-√3/2 ។ តម្លៃនេះនឹងជាដំណោះស្រាយ។
លើសពីនេះទៀតវាត្រូវបានស្នើឱ្យចងចាំសមភាពសំខាន់ៗដែលជួយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា - ទាំងនេះគឺជាអំពើបាប (-t) \u003d -sin t និង cos (-t) \u003d cos t ។ តាមពិត កន្សោមនេះបង្ហាញពីភាពស្មើគ្នានៃកូស៊ីនុស និង ភាពចម្លែកនៃស៊ីនុស។ នៅក្នុងរូបភាពនៃរង្វង់ឯកតា នៅជាប់នឹងសមភាព អ្នកអាចមើលឃើញពីរបៀបដែលសមភាពទាំងនេះដំណើរការនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ។ សមភាពពីរត្រូវបានបង្ហាញផងដែរដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីរយៈពេលនៃមុខងារដែលមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា sin(t+2πk)= sin t និង cos (t+2πk)=cos t ។ សមីការត្រូវបានបង្ហាញដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីការរៀបចំស៊ីមេទ្រីនៃចំនុចនៅលើរង្វង់ឯកតា sin(t+π)= -sin t និង cos (t+π)=-cos t ។ រូបភាពមួយត្រូវបានសាងសង់នៅជាប់នឹងសមភាព ដែលបង្ហាញទីតាំងនៃចំណុចទាំងនេះនៅលើរង្វង់ឯកតា។ ហើយចុងក្រោយបង្ហាញពីភាពស្មើគ្នា sin(t+π/2)= cos t និង cos (t+π/2)=- sin t ។
មេរៀនវីដេអូ "ការកំណត់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៅលើរង្វង់ឯកតា" ត្រូវបានណែនាំអោយប្រើក្នុងមេរៀនសាលាបុរាណក្នុងគណិតវិទ្យា ដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពរបស់វា និងធានាបាននូវភាពមើលឃើញនៃការពន្យល់របស់គ្រូ។ សម្រាប់គោលបំណងដូចគ្នា សម្ភារៈអាចប្រើប្រាស់ក្នុងវគ្គសិក្សានៃការសិក្សាពីចម្ងាយ។ សៀវភៅណែនាំក៏អាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការបង្កើតជំនាញសមស្របសម្រាប់ដោះស្រាយកិច្ចការនៅក្នុងសិស្សនៅពេលធ្វើជាម្ចាស់លើសម្ភារៈដោយខ្លួនឯង។
ការបកស្រាយអត្ថបទ៖
"និយមន័យនៃស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុសនៅលើរង្វង់ឯកតា" ។
ចូរយើងផ្តល់និយមន័យនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ។
និយមន័យ៖ ប្រសិនបើចំនុច M នៃរង្វង់ឯកតាលេខត្រូវគ្នានឹងលេខ t (te) នោះ abscissa នៃចំនុច M ត្រូវបានគេហៅថា cosine នៃលេខ t (te) និង denoted cost ហើយការចាត់តាំងនៃចំនុច M គឺ ហៅថាស៊ីនុសនៃលេខ t (te) និងតំណាងឱ្យ sint (អង្ករ) ។
ដូច្នេះប្រសិនបើ M (t) \u003d M (x, y) (em ពី te គឺស្មើនឹង em ជាមួយកូអរដោណេ x និង y) បន្ទាប់មក x \u003d ចំណាយ y \u003d ស៊ីន (x គឺស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃ te, y គឺស្មើនឹងស៊ីនុសនៃ te) ដូច្នេះហើយ - 1≤ ចំណាយ ≤ 1, -1≤ sint ≤1(កូស៊ីនុស te ធំជាង ឬស្មើនឹងដកមួយ ប៉ុន្តែតិចជាង ឬស្មើនឹងមួយ ស៊ីនុស te ធំជាង ឬស្មើ ដល់ដកមួយ ប៉ុន្តែតិចជាង ឬស្មើមួយ) ដោយដឹងថាចំណុចនីមួយៗនៃរង្វង់លេខមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធ xOy មានកូអរដោណេផ្ទាល់ខ្លួន អ្នកអាចបង្កើតតារាងតម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសជាភាគបួននៃរង្វង់មួយ។ ដែលជាកន្លែងដែលតម្លៃនៃកូស៊ីនុសគឺវិជ្ជមាននៅក្នុងត្រីមាសទី 1 និងទី 4 ហើយដូច្នេះអវិជ្ជមាននៅក្នុងត្រីមាសទីពីរនិងទីបី។
តម្លៃនៃស៊ីនុសគឺវិជ្ជមាននៅក្នុងត្រីមាសទី 1 និងទី 2 ហើយរៀងគ្នាអវិជ្ជមាននៅក្នុងត្រីមាសទី 3 និងទី 4 ។ (បង្ហាញនៅលើគំនូរ)
ដោយសារសមីការនៃរង្វង់លេខមានទម្រង់ x 2 + y 2 = 1 (x ការេបូក y ការ៉េស្មើនឹងមួយ) បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាព៖
(cosine squared te បូក sine squared te ស្មើមួយ) ។
ដោយផ្អែកលើតារាងដែលយើងចងក្រងនៅពេលកំណត់កូអរដោណេនៃចំនុចនៃរង្វង់លេខ យើងនឹងចងក្រងតារាងសម្រាប់កូអរដោនេនៃចំនុចនៃរង្វង់លេខសម្រាប់តម្លៃតម្លៃ និង sint ។
ពិចារណាឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍ 1. គណនា cos t និង sin t ប្រសិនបើ t = (te ស្មើសែសិបមួយ pi ដោយបួន) ។
ការសម្រេចចិត្ត។ លេខ t = ត្រូវនឹងចំណុចដូចគ្នានៃរង្វង់លេខជាលេខ ចាប់តាំងពី = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (សែសិបមួយ pi គុណនឹងបួន ស្មើនឹងផលបូកនៃ pi ដោយបួន និង ផលិតផលនៃពីរ pi គុណនឹងប្រាំ) ។ ហើយសម្រាប់ចំណុច t \u003d យោងតាមតារាងតម្លៃនៃកូស៊ីនុស 1 គឺ cos \u003d និង sin \u003d ។ អាស្រ័យហេតុនេះ
ឧទាហរណ៍ 2. គណនា cos t និង អំពើបាប t ប្រសិនបើ t = (te ស្មើនឹងដកម្ភៃប្រាំ pi គុណនឹងបី) ។
ដំណោះស្រាយ៖ លេខ t = ត្រូវនឹងចំណុចដូចគ្នានៃរង្វង់លេខជាលេខ ចាប់តាំងពី = ∙ π = − (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (ដកម្ភៃប្រាំ pi ដោយបីគឺស្មើនឹង ផលបូកនៃដក pi ដោយបី និងផលគុណនៃ pi ពីរគុណនឹងដកបួន) ។ ហើយលេខត្រូវគ្នានៅលើរង្វង់លេខទៅចំណុចដូចគ្នាទៅនឹងលេខ។ ហើយចំពោះចំនុច t = យោងតាមតារាងទី 2 យើងមាន cos = និង sin = ដូច្នេះ cos () = និង sin () = ។
ឧទាហរណ៍ 3. គណនា cos t និង sin t ប្រសិនបើ t = 37π; (te ស្មើនឹងសាមសិបប្រាំពីរ pi) ។
ដំណោះស្រាយ៖ 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. ដូច្នេះហើយលេខ 37π ត្រូវគ្នានឹងចំនុចដូចគ្នានៃរង្វង់លេខជាលេខπ។ ហើយសម្រាប់ចំនុច t = π យោងតាមតារាងទី 1 យើងមាន cos π = −1, sin π = 0 ។ ដូច្នេះហើយ cos37π = -1, sin37π=0 ។
ឧទាហរណ៍ 4. គណនា cos t និង sin t ប្រសិនបើ t = -12π (ស្មើនឹងដកដប់ពីរ pi)។
ដំណោះស្រាយ៖ - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6) នោះគឺលេខ - 12π ត្រូវគ្នានឹងចំណុចដូចគ្នានៃរង្វង់លេខដែលជាលេខសូន្យ។ ហើយចំពោះចំនុច t = 0 យោងតាមតារាងទី 1 យើងមាន cos 0 = 1, sin 0 = 0 ។ហេតុនេះ cos (-12π) =1, sin (-12π) = 0 ។
ឧទាហរណ៍ 5. ដោះស្រាយសមីការ sin t = .
ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយពិចារណាថា sin t គឺជាចំនុចកំណត់នៃចំនុច M (t) (em ពី te) នៃរង្វង់លេខ យើងនឹងស្វែងរកចំនុចដែលមានលេខ ordinate នៅលើរង្វង់លេខ ហើយសរសេរចុះថាតើលេខណាដែលត្រូវនឹង។ ចំនុចមួយត្រូវគ្នានឹងលេខមួយ ហើយហេតុដូច្នេះហើយចំពោះលេខណាមួយនៃទម្រង់ + 2πk ។ ចំណុចទីពីរត្រូវគ្នានឹងលេខមួយ ហើយហេតុដូច្នេះហើយ លេខណាមួយនៃទម្រង់ + 2πk ។ ចម្លើយ៖ t = + 2πk ដែល kϵZ (ka ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ zet) t= + 2πk ដែល kϵZ (ka ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ zet) ។
ឧទាហរណ៍ 6. ដោះស្រាយសមីការ cos t = .
ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយពិចារណាថា cos t គឺជា abscissa នៃចំនុច M (t) (em ពី te) នៃរង្វង់លេខ យើងស្វែងរកចំនុចជាមួយ abscissa នៅលើរង្វង់លេខ ហើយសរសេរចុះថាលេខមួយណាដែលត្រូវនឹង។ ចំនុចមួយត្រូវគ្នានឹងលេខមួយ ហើយហេតុដូច្នេះហើយចំពោះលេខណាមួយនៃទម្រង់ + 2πk ។ ហើយចំណុចទីពីរត្រូវនឹងលេខឬហេតុដូច្នេះហើយបានជាលេខណាមួយនៃទម្រង់ + 2πk ឬ + 2πk ។
ចម្លើយ៖ t = + 2πk, t=+ 2πk (ឬ ± + 2πk (បូកដកពីរ pi ដោយបីបូកពីរ pi ka) ដែល kϵZ (ka ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ z) ។
ឧទាហរណ៍ 7. ដោះស្រាយសមីការ cos t = .
ការសម្រេចចិត្ត។ ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងឧទាហរណ៍មុនដែរ នៅលើរង្វង់លេខ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចជាមួយ abscissa ហើយសរសេរចុះថាតើលេខណាដែលត្រូវនឹង។
តួរលេខបង្ហាញថា E និង S ពីរចំនុចមាន abscissa ហើយយើងមិនទាន់អាចនិយាយបានថាតើលេខប៉ុន្មានដែលត្រូវគ្នានឹង។ យើងនឹងត្រលប់ទៅបញ្ហានេះនៅពេលក្រោយ។
ឧទាហរណ៍ 8. ដោះស្រាយសមីការ sin t = − 0.3 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ នៅលើរង្វង់លេខយើងរកឃើញចំណុចជាមួយ ordinate - 0.3 ហើយសរសេរថាតើលេខណាដែលត្រូវនឹង។
ចំនុចពីរ P និង H មានលេខរៀង - 0.3 ហើយយើងមិនទាន់អាចនិយាយបានថាតើលេខណាដែលត្រូវនឹង។ យើងក៏នឹងត្រលប់ទៅបញ្ហានេះនៅពេលក្រោយ។
ឧទាហរណ៍ 9. ដោះស្រាយសមីការ sin t -1 = 0
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងផ្ទេរដកមួយទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបាន sinus te ស្មើនឹងមួយ (sin t \u003d 1) ។ នៅលើរង្វង់លេខ យើងត្រូវស្វែងរកចំណុចដែលកំណត់ជាលេខមួយ។ ចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខមួយ ហើយហេតុដូច្នេះហើយចំពោះលេខទាំងអស់នៃទម្រង់ + 2πk (pi គុណនឹងពីរបូកពីរកំពូល)។
ចម្លើយ៖ t = + 2πk, kϵZ(ka ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ zet) ។
ឧទាហរណ៍ 10. ដោះស្រាយសមីការ cos t + 1 = 0 ។
យើងផ្ទេរឯកតាទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបានកូស៊ីនុស te ស្មើនឹងដកមួយ (cos t \u003d - 1)) abscissa minus one មានចំនុចនៅលើរង្វង់លេខដែលត្រូវនឹងលេខπ ដែល មានន័យថាលេខទាំងអស់នៃទម្រង់ π + 2πk ។ ចម្លើយ៖ t = π+ 2πk, kϵZ ។
ឧទាហរណ៍ 11. ដោះស្រាយសមីការ cos t + 1 = 1 ។
យើងផ្ទេរឯកតាទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបានកូស៊ីនុស te ស្មើនឹងសូន្យ (cos t \u003d 0) ។ ចំនុច B និង D (រូបទី 1) មានសូន្យ abscissa ដែលត្រូវនឹងលេខ។ល។ លេខទាំងនេះ អាចសរសេរជា + πk ។ ចម្លើយ៖ t = + πk, kϵZ ។
ឧទាហរណ៍ 12. តើលេខទាំងពីរមួយណាធំជាង cos 2 ឬ cos 3? (កូស៊ីនុសនៃពីរ ឬកូស៊ីនុសនៃបី)
ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរកែទម្រង់សំណួរតាមវិធីផ្សេង៖ ចំនុចទី 2 និងទី 3 ត្រូវបានគូសនៅលើរង្វង់លេខ។ តើមួយណាមាន abscissa ធំជាង?
ចូរគូសចំនុចទី 2 និងទី 3 នៅលើរង្វង់លេខ។ 3 x 1.43 (ចំនុចមួយសែសិបបីរយ)។ ដូច្នេះចំនុចទី 2 គឺនៅជិតចំណុចជាងចំនុចទី 3 ដូច្នេះវាមាន abscissa ធំជាង (យើងបានគិតគូរថា abscissas ទាំងពីរគឺអវិជ្ជមាន)។
ចម្លើយ៖ cos 2 > cos 3 ។
ឧទាហរណ៍ 13. គណនា sin (sine of five pi គុណ 4)
ការសម្រេចចិត្ត។ sin(+ π) = - sin = (ស៊ីនុសនៃ pi គុណនឹង 4 គឺជាផលបូកនៃ pi គុណនឹង 4 ហើយ pi គឺដក ស៊ីនុសនៃ pi គុណនឹង 4 គឺដកឫសការ៉េនៃ 2 គុណនឹង 2) ។
ឧទាហរណ៍ 14. គណនា cos (កូស៊ីនុស ប្រាំពីរ pi គុណនឹងប្រាំមួយ) ។
cos (+ π) = - cos = ។ (តំណាងប្រាំពីរ pi ដោយប្រាំមួយ ជាផលបូកនៃ pi ដោយប្រាំមួយ និង pi ហើយអនុវត្តសមីការទីបី) ។
សម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស យើងទទួលបានរូបមន្តសំខាន់ៗមួយចំនួន។
1. សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ t, សមភាព
sin (-t) = -sin t
cos (-t) = cos t
ស៊ីនុសនៃដក te គឺស្មើនឹងដកស៊ីនុសនៃ te
កូស៊ីនុសនៃ minu te គឺស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃ te ។
តួលេខបង្ហាញថាចំណុច E និង L ដែលស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស abscissa មាន abscissa ដូចគ្នា ដែលមានន័យថា
cos(-t) = ថ្លៃដើម ប៉ុន្តែការចាត់តាំងគឺស្មើគ្នានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត និងផ្ទុយគ្នានៅក្នុងសញ្ញា (មានន័យថា sin(- t) = - sint ។
2. សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ t, សមភាព
sin(t+2πk)=sint
cos (t+2πk) = cos t
ស៊ីនុសនៃ te បូកពីរ pi ស្មើនឹងស៊ីនុសនៃ te
កូស៊ីនុសនៃ te បូកពីរ pi ស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃ te
នេះជាការពិត ដោយសារចំនុចដូចគ្នាត្រូវគ្នានឹងលេខ t និង t + 2πk។
3. សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ t, សមភាព
sin (t+π) = -sin t
cos (t+π) = -cos t
ស៊ីនុសនៃ te បូក pi ស្មើនឹងដកស៊ីនុសនៃ te
កូស៊ីនុសនៃ te បូក pi ស្មើនឹង ដកកូស៊ីនុសនៃ te
សូមឱ្យលេខ t ត្រូវនឹងចំនុច E នៃរង្វង់លេខ បន្ទាប់មកលេខ t + π ត្រូវគ្នានឹងចំនុច L ដែលស៊ីមេទ្រីទៅនឹងចំនុច E ទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។ តួលេខបង្ហាញថាចំណុចទាំងនេះមាន abscissas និង ordinates ស្មើគ្នានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត និងផ្ទុយគ្នានៅក្នុងសញ្ញា។ វាមានន័យថា,
cos(t+π)= - ថ្លៃដើម;
sin(t + π) = - sint ។
4. សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ t, សមភាព
sin (t+) = cos t
cos (t+) = -sin t
ស៊ីនុសនៃ te បូក pi គុណនឹងពីរ ស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃ te
កូស៊ីនុសនៃ te បូក pi គុណនឹងពីរ ស្មើនឹងដកស៊ីនុសនៃ te ។
រង្វង់លេខគឺជារង្វង់ឯកតាដែលពិន្ទុត្រូវគ្នានឹងចំនួនពិតជាក់លាក់។
រង្វង់ឯកតាគឺជារង្វង់នៃកាំ 1 ។
ទិដ្ឋភាពទូទៅនៃរង្វង់លេខ។
1) កាំរបស់វាត្រូវបានយកជាឯកតារង្វាស់។
2) អង្កត់ផ្ចិតផ្ដេកនិងបញ្ឈរបែងចែករង្វង់លេខជាបួនភាគបួន។ ពួកគេត្រូវបានគេហៅថារៀងគ្នាត្រីមាសទី 1 ទី 2 ទី 3 និងទី 4 ។
3) អង្កត់ផ្ចិតផ្តេកត្រូវបានកំណត់ AC ដោយ A គឺខ្លាំងបំផុត។ ត្រឹមត្រូវ។ចំណុច។
អង្កត់ផ្ចិតបញ្ឈរត្រូវបានកំណត់ BD ដោយ B ជាចំណុចខ្ពស់បំផុត។
រៀងគ្នា៖
ត្រីមាសទីមួយគឺធ្នូ AB
ត្រីមាសទីពីរ - ធ្នូ BC
ត្រីមាសទីបី - ស៊ីឌីធ្នូ
ត្រីមាសទីបួន - ធ្នូ DA
4) ចំណុចចាប់ផ្តើមនៃរង្វង់លេខគឺចំណុច A ។
រង្វង់លេខអាចត្រូវបានរាប់តាមទ្រនិចនាឡិកាឬច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។
រាប់ពីចំណុច A ប្រឆាំងទ្រនិចនាឡិកាត្រូវបានគេហៅថា ទិសដៅវិជ្ជមាន.
រាប់ពីចំណុច A នៅលើទ្រនិចនាឡិកាត្រូវបានគេហៅថា ទិសដៅអវិជ្ជមាន.
រង្វង់លេខនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ។
កណ្តាលនៃកាំនៃរង្វង់លេខត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភពដើម (លេខ 0) ។
អង្កត់ផ្ចិតផ្ដេកត្រូវគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស x, បញ្ឈរ - អ័ក្ស y.
ចំណុចចាប់ផ្តើម A រង្វង់លេខti ស្ថិតនៅលើអ័ក្សxនិងមានកូអរដោនេ (1; 0) ។
ឈ្មោះ និងទីតាំងនៃចំណុចសំខាន់នៃរង្វង់លេខ៖
របៀបចងចាំឈ្មោះរង្វង់លេខ។
មានគំរូសាមញ្ញមួយចំនួនដែលនឹងជួយអ្នកឱ្យងាយស្រួលចងចាំឈ្មោះមូលដ្ឋាននៃរង្វង់លេខ។
មុនពេលយើងចាប់ផ្តើម យើងរំលឹកឡើងវិញថា ការរាប់ថយក្រោយគឺស្ថិតនៅក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន ពោលគឺចាប់ពីចំណុច A (2π) ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។
1) ចូរចាប់ផ្តើមពីចំណុចខ្លាំងនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។
ចំណុចចាប់ផ្តើមគឺ 2π (ចំណុចខាងស្តាំបំផុតនៅលើអ័ក្ស Xស្មើនឹង ១) ។
ដូចដែលអ្នកដឹង 2π គឺជារង្វង់នៃរង្វង់មួយ។ ដូច្នេះពាក់កណ្តាលរង្វង់គឺ 1π ឬ π ។ អ័ក្ស Xចែករង្វង់ជាពាក់កណ្តាល។ ដូច្នោះហើយចំនុចខាងឆ្វេងបំផុតនៅលើអ័ក្ស Xស្មើនឹង −1 ត្រូវបានគេហៅថា π ។
ចំណុចខ្ពស់បំផុតនៅលើអ័ក្ស នៅស្មើនឹង 1 បំបែកពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើ។ ដូច្នេះប្រសិនបើពាក់កណ្តាលរង្វង់គឺ π នោះពាក់កណ្តាលនៃរង្វង់ពាក់កណ្តាលគឺ π/2 ។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ π/2 ក៏ជារង្វង់មួយភាគបួនផងដែរ។ យើងរាប់បីត្រីមាសបែបនេះពីទីមួយដល់ទីបី - ហើយយើងនឹងមកដល់ចំណុចទាបបំផុតនៅលើអ័ក្ស នៅស្មើនឹង -1 ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើវារួមបញ្ចូលបីភាគបួន នោះឈ្មោះរបស់វាគឺ 3π/2។
2) ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅចំណុចដែលនៅសល់។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចទល់មុខទាំងអស់មានភាគបែងដូចគ្នា - លើសពីនេះទៅទៀត ទាំងនេះគឺជាចំណុចទល់មុខ និងទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស នៅនិងទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលនៃអ័ក្ស និងទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស X. នេះនឹងជួយយើងឱ្យដឹងពីតម្លៃចំណុចរបស់ពួកគេដោយមិនមានការបង្ខិតបង្ខំ។
វាចាំបាច់ក្នុងការចងចាំតែតម្លៃនៃចំនុចនៃត្រីមាសទី 1 ប៉ុណ្ណោះ: π / 6, π / 4 និង π / 3 ។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹង "ឃើញ" គំរូមួយចំនួន:
- ទំនាក់ទំនងអ័ក្ស នៅ
នៅចំនុចនៃត្រីមាសទី 2 ទល់នឹងចំនុចនៃត្រីមាសទីមួយ លេខនៅក្នុងភាគយកគឺ 1 តិចជាងភាគបែង។ ឧទាហរណ៍ យកចំនុច π/6។ ចំណុចផ្ទុយអំពីអ័ក្ស នៅក៏មាន 6 ក្នុងភាគបែង និង 5 ក្នុងភាគយក (1 តិច)។ នោះគឺឈ្មោះចំណុចនេះ៖ 5π/6 ។ ចំនុចទល់មុខ π/4 ក៏មាន 4 ក្នុងភាគបែងដែរ ហើយ 3 ក្នុងភាគយក (1 តិចជាង 4) - នោះគឺជាចំនុច 3π/4 ។
ចំនុចទល់មុខ π/3 ក៏មាន 3 ក្នុងភាគបែង ហើយ 1 តិចក្នុងភាគយក៖ 2π/3 ។
- ទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលនៃអ័ក្សកូអរដោនេផ្ទុយគឺពិត៖ លេខនៅក្នុងភាគយកនៃចំណុចផ្ទុយ (ក្នុងត្រីមាសទីបី) គឺ 1 ច្រើនជាងតម្លៃនៃភាគបែង។ យកចំនុច π/6 ម្តងទៀត។ ចំនុចទល់មុខវាទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលក៏មាន 6 នៅក្នុងភាគបែងដែរ ហើយនៅក្នុងភាគយកលេខគឺ 1 ទៀត - នោះគឺ 7π / 6 ។
ចំនុចទល់មុខចំនុច π/4 ក៏មាន 4 ក្នុងភាគបែងដែរ ហើយលេខក្នុងភាគយកគឺ 1 ទៀត៖ 5π/4 ។
ចំនុចទល់មុខចំនុច π/3 ក៏មាន 3 ក្នុងភាគបែងដែរ ហើយលេខក្នុងភាគយកគឺ 1 ទៀត៖ 4π/3 ។
- ទំនាក់ទំនងអ័ក្ស X(ត្រីមាសទីបួន)បញ្ហាគឺពិបាកជាង។ នៅទីនេះវាចាំបាច់ក្នុងការបន្ថែមតម្លៃនៃភាគបែងនូវលេខដែលមាន 1 តិចជាង - ផលបូកនេះនឹងស្មើនឹងផ្នែកលេខនៃភាគយកនៃចំណុចផ្ទុយ។ ចូរចាប់ផ្តើមម្តងទៀតជាមួយ π/6 ។ ចូរបន្ថែមទៅតម្លៃនៃភាគបែង ស្មើនឹង 6 ជាលេខដែលមាន 1 តិចជាងចំនួននេះ - នោះគឺ 5. យើងទទួលបាន: 6 + 5 = 11 ។ ដូច្នេះ ទល់មុខវាទាក់ទងនឹងអ័ក្ស Xចំនុចនឹងមាន 6 នៅក្នុងភាគបែង ហើយ 11 នៅក្នុងភាគយក - នោះគឺ 11π / 6 ។
ចំណុច π/4 ។ យើងបន្ថែមទៅតម្លៃនៃភាគបែងមួយលេខ 1 តិច៖ 4 + 3 = 7 ។ ដូច្នេះ ទល់មុខវាទាក់ទងនឹងអ័ក្ស Xចំនុចមាន 4 ក្នុងភាគបែង និង 7 ក្នុងភាគយក ពោលគឺ 7π/4 ។
ចំណុច π/3 ។ ភាគបែងគឺ 3. យើងបន្ថែមទៅ 3 មួយតិចជាង - នោះគឺ 2. យើងទទួលបាន 5. ដូច្នេះចំណុចផ្ទុយមាន 5 នៅក្នុងភាគយក - ហើយនេះគឺជាចំណុច 5π / 3 ។
3) ភាពទៀងទាត់មួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ចំណុចកណ្តាលនៃត្រីមាស។ វាច្បាស់ណាស់ថាភាគបែងរបស់ពួកគេគឺ 4. ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើភាគយក។ លេខភាគកណ្តាលនៃត្រីមាសទីមួយគឺ 1π (ប៉ុន្តែ 1 មិនមែនជាទម្លាប់ក្នុងការសរសេរទេ)។ ភាគយកនៃពាក់កណ្តាលនៃត្រីមាសទីពីរគឺ 3π ។ លេខភាគកណ្តាលនៃត្រីមាសទីបីគឺ 5π ។ លេខភាគកណ្តាលនៃត្រីមាសទីបួនគឺ 7π ។ វាប្រែថានៅក្នុងភាគយកនៃចំនុចកណ្តាលនៃត្រីមាសមានលេខសេសចំនួនបួនដំបូងនៅក្នុងលំដាប់ឡើង:
(1)π, 3π, 5π, 7π ។
វាក៏សាមញ្ញណាស់។ ចាប់តាំងពីពាក់កណ្តាលនៃត្រីមាសទាំងអស់មាន 4 នៅក្នុងភាគបែង យើងស្គាល់ឈ្មោះពេញរបស់ពួកគេរួចហើយ៖ π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 ។
លក្ខណៈពិសេសនៃរង្វង់លេខ។ ការប្រៀបធៀបជាមួយបន្ទាត់លេខ។
ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថានៅលើបន្ទាត់លេខចំណុចនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខតែមួយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើចំនុច A នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ស្មើនឹង 3 នោះវាមិនអាចស្មើនឹងចំនួនផ្សេងទៀតបានទេ។
វាខុសគ្នានៅលើរង្វង់លេខព្រោះវាជារង្វង់។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីចេញពីចំណុច A នៃរង្វង់ទៅចំណុច M អ្នកអាចធ្វើវាបានដូចជានៅលើបន្ទាត់ត្រង់ (បន្ទាប់ពីឆ្លងកាត់ធ្នូ) ឬអ្នកអាចទៅជុំវិញរង្វង់ទាំងមូល ហើយបន្ទាប់មកមកដល់ចំណុច M ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
សូមឱ្យចំនុច M ស្មើនឹងចំនួន t ។ ដូចដែលយើងដឹងហើយថារង្វង់គឺ 2π ។ ដូច្នេះហើយ យើងអាចសរសេរចំណុចនៃរង្វង់ t តាមពីរវិធី៖ t ឬ t + 2π ។ ទាំងនេះគឺជាតម្លៃសមមូល។
នោះគឺ t = t + 2π ។ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាក្នុងករណីដំបូងអ្នកមកចំណុច M ភ្លាមៗដោយមិនបង្កើតរង្វង់ហើយក្នុងករណីទី 2 អ្នកបានបង្កើតរង្វង់មួយប៉ុន្តែបានបញ្ចប់នៅចំណុចដូចគ្នា M ។ អ្នកអាចបង្កើតពីរ បី និងពីររយ។ រង្វង់.. ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ចំនួនរង្វង់ដោយអក្សរ នយើងទទួលបានកន្សោមថ្មី៖
t = t + 2π ន.
ដូច្នេះរូបមន្ត៖
នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ បន្ថែមលើមុំគិតជាដឺក្រេ យើងសង្កេត។
បន្ថែមទៀតអំពីរ៉ាដ្យង់៖
រ៉ាដ្យង់ត្រូវបានកំណត់ជាតម្លៃមុំនៃធ្នូដែលប្រវែងស្មើនឹងកាំរបស់វា។ ដូច្នោះហើយចាប់តាំងពីបរិមាត្រគឺ 
បន្ទាប់មក វាច្បាស់ណាស់ថារ៉ាដ្យង់សមនឹងរង្វង់ នោះគឺ
1 rad ≈ 57.295779513° ≈ 57°17′44.806″ ≈ 206265″។
មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថារ៉ាដ្យង់
ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ក. នោះហើយជារបៀបដែលយើង រៀនពីរបៀបបំប្លែងរ៉ាដ្យង់ទៅជាមុំ.
ឥឡូវនេះផ្ទុយមកវិញ តោះបំប្លែងដឺក្រេទៅជារ៉ាដ្យង់.
ឧបមាថាយើងត្រូវបំប្លែងទៅជារ៉ាដ្យង់។ នឹងជួយយើង។ យើងបន្តដូចខាងក្រោមៈ
ចាប់តាំងពី, រ៉ាដ្យង់, បន្ទាប់មកបំពេញតារាង:
យើងហ្វឹកហាត់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងរង្វង់មួយ។
សូមបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម។
ជាការប្រសើរណាស់, វាជាការល្អប្រសិនបើយើងត្រូវបានសួរឱ្យគណនា, និយាយថា - ជាធម្មតាមិនមានការភាន់ច្រលំនៅទីនេះទេ - អ្នករាល់គ្នាចាប់ផ្តើមមើលដំបូងនៅលើរង្វង់។
ហើយប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានសួរឱ្យគណនាឧទាហរណ៍ ... មនុស្សជាច្រើន ស្រាប់តែចាប់ផ្តើមមិនយល់កន្លែងដែលត្រូវរកមើលសូន្យនេះ ... ជាញឹកញាប់ពួកគេស្វែងរកវានៅប្រភពដើម។ ហេតុអ្វី?
1) ព្រមទាំងអស់គ្នា!អ្វីដែលកើតឡើងបន្ទាប់ពី ឬជាអាគុយម៉ង់ = មុំ និង ជ្រុងរបស់យើងគឺ នៅលើរង្វង់ កុំស្វែងរកពួកវានៅលើអ័ក្ស x!(វាគ្រាន់តែថាចំនុចនីមួយៗធ្លាក់លើរង្វង់ និងអ័ក្ស...) ហើយតម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសខ្លួនឯង - យើងកំពុងស្វែងរកនៅលើអ័ក្ស!
2) និងច្រើនទៀត!ប្រសិនបើយើងចាកចេញពីចំណុចចាប់ផ្តើម ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា(ទិសដៅសំខាន់នៃការឆ្លងកាត់រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ) បន្ទាប់មកយើងកំណត់ឡែកតម្លៃវិជ្ជមាននៃមុំមុំកើនឡើងនៅពេលយើងផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅនោះ។
ប្រសិនបើយើងចាកចេញពីចំណុចចាប់ផ្តើម តាមទ្រនិចនាឡិកាបន្ទាប់មកយើងកំណត់ឡែកតម្លៃអវិជ្ជមាននៃមុំ។
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកតម្លៃ។
ការសម្រេចចិត្ត៖
យើងរកឃើញនៅលើរង្វង់។ យើងគូរចំណុចនៅលើអ័ក្សស៊ីនុស (នោះគឺយើងគូរកាត់កែងពីចំនុចទៅអ័ក្សស៊ីនុស (អូ))។
យើងមកដល់ម៉ោង 0។
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកតម្លៃ។
ការសម្រេចចិត្ត៖
យើងរកឃើញនៅលើរង្វង់ (យើងឆ្លងកាត់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកានិងច្រើនទៀត) ។ យើងព្យាករចំណុចមួយទៅលើអ័ក្សស៊ីនុស (ហើយវា។ រួចហើយស្ថិតនៅលើអ័ក្សប្រហោងឆ្អឹង) ។
យើងធ្លាក់ចូលទៅក្នុង -1 តាមអ័ក្សស៊ីនុស។
ចំណាំថានៅពីក្រោយចំណុច "លាក់" គឺជាចំណុចដូចជា (យើងអាចទៅចំណុចដែលបានសម្គាល់តាមទ្រនិចនាឡិកា ដែលមានន័យថាសញ្ញាដកលេចឡើង) និងជាច្រើនផ្សេងទៀតគ្មានកំណត់។
មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតភាពស្រដៀងគ្នាដូចខាងក្រោមៈ
ស្រមៃមើលរង្វង់ត្រីកោណមាត្រជាម៉ាស៊ីនហាត់ប្រាណក្នុងកីឡដ្ឋាន។
បន្ទាប់ពីបានទាំងអស់ អ្នកអាចបញ្ចប់នៅចំណុច "ទង់" ខ្ញុំចាប់ផ្តើមច្រាសទ្រនិចនាឡិកា រត់និយាយថា 300 ម៉ែត្រ ឬរត់និយាយថា 100 ម៉ែត្រតាមទ្រនិចនាឡិកា (យើងគិតពីប្រវែងផ្លូវគឺ 400 ម៉ែត្រ) ។
ហើយអ្នកក៏អាចបញ្ចប់នៅចំណុច "ទង់" (បន្ទាប់ពី "ចាប់ផ្តើម") ដោយរត់ និយាយថា 700 m, 1100 m, 1500 m, ល។ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ អ្នកអាចទៅដល់ Flag Point ដោយរត់ចម្ងាយ 500m ឬ 900m។ល។ តាមទ្រនិចនាឡិកាចាប់ពីពេលចាប់ផ្តើម។
ពង្រីកម៉ាស៊ីនហាត់ប្រាណរបស់កីឡដ្ឋានឱ្យទៅជាជួរលេខ។ ស្រមៃមើលកន្លែងដែលនៅលើបន្ទាត់នេះនឹងមានឧទាហរណ៍តម្លៃ 300, 700, 1100, 1500 ។ល។ យើងនឹងឃើញចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខ ដែលស្មើពីគ្នា។ ចូរយើងត្រលប់មកវិញ។ ចំណុច "ជាប់គ្នា" ទៅជាមួយ។
ដូច្នេះវាគឺជាមួយនឹងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ នៅពីក្រោយចំណុចនីមួយៗ មានចំណុចផ្សេងៗជាច្រើនឥតកំណត់។
ឧបមាថា មុំ , , , ល។ បង្ហាញជាចំណុចតែមួយ។ ហើយតម្លៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស នៅក្នុងពួកគេ ពិតណាស់គឺដូចគ្នា។ (តើអ្នកបានកត់សម្គាល់ឃើញថាយើងបានបន្ថែម/ដក ឬ? នេះគឺជារយៈពេលសម្រាប់អនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ )
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកតម្លៃ។
ការសម្រេចចិត្ត៖
ចូរយើងបំប្លែងទៅជាដឺក្រេដើម្បីភាពសាមញ្ញ។
(ក្រោយមក នៅពេលដែលអ្នកស៊ាំនឹងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ អ្នកនឹងមិនចាំបាច់បំប្លែងរ៉ាដ្យង់ទៅជាដឺក្រេទេ)៖
យើងនឹងផ្លាស់ទីតាមទ្រនិចនាឡិកាពីចំណុច ចូរយើងទៅពាក់កណ្តាលរង្វង់ () និងច្រើនទៀត
យើងយល់ថាតម្លៃនៃស៊ីនុសស្របគ្នានឹងតម្លៃនៃស៊ីនុស ហើយស្មើនឹង
ចំណាំថាប្រសិនបើយើងយកឧទាហរណ៍ ឬជាដើម នោះយើងនឹងទទួលបានតម្លៃស៊ីនុសដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកតម្លៃ។
ការសម្រេចចិត្ត៖
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងមិនបំប្លែងរ៉ាដ្យង់ទៅជាដឺក្រេដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុនទេ។
នោះគឺយើងត្រូវទៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកាពាក់កណ្តាលរង្វង់មួយ និងមួយភាគបួននៃរង្វង់ពាក់កណ្តាលមួយ ហើយបញ្ចាំងចំណុចលទ្ធផលទៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស (អ័ក្សផ្តេក)។
ឧទាហរណ៍ ៥
ស្វែងរកតម្លៃ។
ការសម្រេចចិត្ត៖
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគូរលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ?
ប្រសិនបើយើងឆ្លងកាត់ ឬយ៉ាងហោចណាស់ យើងនឹងនៅតែបញ្ចប់នៅចំណុចដែលយើងកំណត់ថា "ចាប់ផ្តើម"។ ដូច្នេះអ្នកអាចទៅចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ភ្លាមៗ
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកតម្លៃ។
ការសម្រេចចិត្ត៖
យើងនឹងបញ្ចប់នៅចំណុចមួយ (នឹងនាំយើងទៅចំណុចសូន្យ)។ យើងគូសចំណុចនៃរង្វង់លើអ័ក្សកូស៊ីនុស (មើលរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ) យើងចូល។ I.e.
រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ - នៅក្នុងដៃរបស់អ្នក
អ្នកបានយល់រួចហើយថារឿងសំខាន់គឺត្រូវចងចាំតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃត្រីមាសទីមួយ។ នៅក្នុងត្រីមាសដែលនៅសល់អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នាអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការធ្វើតាមសញ្ញា។ ហើយខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងមិនភ្លេច "ជណ្ដើរខ្សែសង្វាក់" នៃតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ 
របៀបស្វែងរក តម្លៃតង់សង់ និងកូតង់សង់មុំសំខាន់។
បន្ទាប់ពីនោះ ដោយបានស្គាល់តម្លៃមូលដ្ឋាននៃតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។ អ្នកអាចឆ្លងកាត់
នៅលើគំរូរង្វង់ទទេ។ រថភ្លើង!
នៅពេលសិក្សាត្រីកោណមាត្រនៅសាលា សិស្សម្នាក់ៗប្រឈមមុខនឹងគំនិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយអំពី "រង្វង់លេខ"។ វាអាស្រ័យលើសមត្ថភាពរបស់គ្រូសាលាក្នុងការពន្យល់ថាវាជាអ្វី និងហេតុអ្វីចាំបាច់ តើសិស្សនឹងនិយាយអំពីត្រីកោណមាត្រនៅពេលក្រោយបានល្អប៉ុណ្ណា។ ជាអកុសល មិនមែនគ្រូគ្រប់រូបអាចពន្យល់សម្ភារៈនេះតាមរបៀបដែលអាចចូលប្រើបាននោះទេ។ ជាលទ្ធផល សិស្សជាច្រើនមានការភ័ន្តច្រឡំ សូម្បីតែរបៀបអបអរក៏ដោយ។ ចំណុចនៅលើរង្វង់លេខ. ប្រសិនបើអ្នកអានអត្ថបទនេះដល់ទីបញ្ចប់ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបធ្វើវាដោយគ្មានបញ្ហា។
ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។ ចូរគូររង្វង់មួយ កាំដែលស្មើនឹង 1។ ចំនុច "ស្តាំ" បំផុតនៃរង្វង់នេះនឹងត្រូវបានតាងដោយអក្សរ អូ:
សូមអបអរសាទរអ្នកទើបតែគូររង្វង់ឯកតា។ ដោយសារកាំនៃរង្វង់នេះគឺ 1 នោះប្រវែងរបស់វាគឺ .
ចំនួនពិតនីមួយៗអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងប្រវែងនៃគន្លងតាមបណ្តោយរង្វង់លេខពីចំណុច អូ. ទិសដៅនៃចលនាគឺច្រាសទ្រនិចនាឡិកាជាទិសដៅវិជ្ជមាន។ សម្រាប់អវិជ្ជមាន - ទ្រនិចនាឡិកា៖
ការរៀបចំចំណុចនៅលើរង្វង់លេខ
ដូចដែលយើងបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយប្រវែងនៃរង្វង់លេខ (រង្វង់ឯកតា) គឺស្មើនឹង។ តើលេខនឹងស្ថិតនៅត្រង់ណានៅលើរង្វង់មូលនេះ? ជាក់ស្តែងពីចំណុច អូច្រាសទ្រនិចនាឡិកាអ្នកត្រូវទៅពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃរង្វង់ហើយយើងនឹងរកឃើញខ្លួនឯងនៅចំណុចដែលចង់បាន។ ចូរយើងសម្គាល់វាដោយអក្សរ ខ:
ចំណាំថាចំណុចដូចគ្នាអាចត្រូវបានទៅដល់ដោយឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលរង្វង់ក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកយើងដាក់លេខនៅលើរង្វង់ឯកតា។ នោះគឺលេខហើយត្រូវគ្នានឹងចំណុចដូចគ្នា។
ជាងនេះទៅទៀត ចំណុចដូចគ្នានេះក៏ត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខ , , , និង ជាទូទៅ សំណុំលេខគ្មានកំណត់ដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ , ដែល , នោះជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំចំនួនគត់។ ទាំងអស់នេះគឺដោយសារតែពីចំណុច ខអ្នកអាចធ្វើដំណើរ "ជុំវិញពិភពលោក" ក្នុងទិសដៅណាមួយ (បន្ថែមឬដករង្វង់) ហើយទៅដល់ចំណុចដូចគ្នា។ យើងទទួលបានការសន្និដ្ឋានសំខាន់មួយដែលត្រូវយល់និងចងចាំ។
លេខនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចតែមួយនៅលើរង្វង់លេខ។ ប៉ុន្តែចំនុចនីមួយៗនៅលើរង្វង់លេខត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបែងចែកពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើនៃរង្វង់លេខទៅជាធ្នូដែលមានប្រវែងស្មើគ្នាជាមួយនឹងចំនុចមួយ។ គ. វាងាយស្រួលមើលថាប្រវែងធ្នូ អូ.ស៊ីគឺស្មើនឹង។ ចូរយើងទុកមួយឡែកពីចំណុចនេះ។ គធ្នូដែលមានប្រវែងដូចគ្នាក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ជាលទ្ធផលយើងឈានដល់ចំណុច ខ. លទ្ធផលគឺត្រូវបានរំពឹងទុកយ៉ាងខ្លាំងចាប់តាំងពី . ចូរពន្យារធ្នូនេះក្នុងទិសដដែលម្ដងទៀត ប៉ុន្តែឥឡូវនេះពីចំណុច ខ. ជាលទ្ធផលយើងឈានដល់ចំណុច ឃដែលនឹងផ្គូផ្គងលេខរួចហើយ៖
ចំណាំម្តងទៀតថាចំណុចនេះមិនត្រឹមត្រឹមលេខប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែក៏ឧទាហរណ៍ចំពោះលេខផងដែរ ពីព្រោះចំណុចនេះអាចទៅដល់ដោយកំណត់ឡែកពីចំណុច។ អូរង្វង់មួយភាគបួនក្នុងទិសទ្រនិចនាឡិកា (ក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន) ។
ហើយជាទូទៅ យើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា ចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនលេខគ្មានកំណត់ដែលអាចសរសេរជាទម្រង់ 
. ប៉ុន្តែពួកគេក៏អាចសរសេរជា . ឬប្រសិនបើអ្នកចង់នៅក្នុងទម្រង់នៃ . កំណត់ត្រាទាំងអស់នេះគឺពិតជាសមមូល ហើយពួកគេអាចទទួលបានពីគ្នាទៅវិញទៅមក។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបំបែកធ្នូចូល អូ.ស៊ីចំណុចពាក់កណ្តាល ម. គិតឥឡូវនេះថាតើប្រវែងនៃធ្នូគឺជាអ្វី អូម? ត្រូវហើយ ពាក់កណ្តាលធ្នូ អូ.ស៊ី. I.e. តើលេខចំនុចណាដែលត្រូវនឹង មនៅលើរង្វង់លេខ? ខ្ញុំប្រាកដថាឥឡូវនេះអ្នកនឹងដឹងថាលេខទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់។
ប៉ុន្តែវាអាចទៅរួចបើមិនដូច្នេះទេ។ ចូរយើងទទួលយករូបមន្តដែលបានបង្ហាញ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។ 
. នោះគឺលេខទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា 
. លទ្ធផលដូចគ្នាអាចទទួលបានដោយប្រើរង្វង់លេខ។ ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយ ធាតុទាំងពីរគឺសមមូល ហើយពួកគេអាចទទួលបានពីគ្នាទៅវិញទៅមក។
ឥឡូវនេះ អ្នកអាចផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃលេខដែលទាក់ទងនឹងចំណុចបានយ៉ាងងាយ ន, ទំនិង ខេនៅលើរង្វង់លេខ។ ឧទាហរណ៍ លេខ និង៖
ជាញឹកញយ វាជាចំនួនវិជ្ជមានតិចតួចបំផុត ដែលត្រូវបានយកទៅកំណត់ចំណុចដែលត្រូវគ្នានៅលើរង្វង់លេខ។ បើទោះបីជានេះមិនមែនជាការចាំបាច់ទាំងអស់, និងចំណុច នដូចដែលអ្នកបានដឹងរួចមកហើយថាត្រូវគ្នានឹងចំនួនគ្មានកំណត់នៃលេខផ្សេងទៀត។ រួមទាំងឧទាហរណ៍លេខ។
ប្រសិនបើអ្នកបំបែកធ្នូ អូ.ស៊ីចូលទៅក្នុងអ័ក្សស្មើគ្នាបីដែលមានចំនុច សនិង អិលដូច្នេះចំណុច សនឹងស្ថិតនៅចន្លោះចំនុច អូនិង អិលបន្ទាប់មកប្រវែងធ្នូ ប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការនឹងស្មើនឹង , និងប្រវែងនៃធ្នូ អូលនឹងស្មើនឹង។ ដោយប្រើចំណេះដឹងដែលអ្នកបានទទួលនៅក្នុងផ្នែកមុននៃមេរៀន អ្នកអាចយល់បានយ៉ាងងាយស្រួលពីរបៀបដែលចំនុចដែលនៅសល់នៅលើរង្វង់លេខបានប្រែក្លាយ៖
លេខដែលមិនមែនជាពហុគុណនៃπនៅលើរង្វង់លេខ
ឥឡូវនេះយើងសួរខ្លួនឯងនូវសំណួរថា តើនៅលើបន្ទាត់លេខត្រង់ណាដើម្បីសម្គាល់ចំណុចដែលត្រូវនឹងលេខ ១? ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ពីចំណុច "ស្តាំ" បំផុតនៃរង្វង់ឯកតា អូទុកធ្នូដែលមានប្រវែងស្មើនឹង 1។ យើងគ្រាន់តែអាចបង្ហាញពីទីតាំងនៃចំណុចដែលចង់បានប៉ុណ្ណោះ។ សូមបន្តដូចខាងក្រោម។
