របៀបបែងចែកលេខដែលមានអំណាចដូចគ្នា។ មេរៀន "គុណ និងការបែងចែកអំណាច"

ជាក់ស្តែង លេខដែលមានថាមពលអាចត្រូវបានបន្ថែមដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត។ ដោយបន្ថែមពួកវាម្តងមួយៗជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។.

ដូច្នេះផលបូកនៃ a 3 និង b 2 គឺ a 3 + b 2 ។
ផលបូកនៃ 3 - b n និង h 5 -d 4 គឺ a 3 - b n + h 5 - d 4 ។

ហាងឆេង អំណាចដូចគ្នានៃអថេរដូចគ្នា។អាចត្រូវបានបន្ថែមឬដក។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2a 2 និង 3a 2 គឺ 5a 2 ។

វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រសិនបើយើងយកការ៉េពីរ a ឬបីការ៉េ a ឬប្រាំការ៉េ a ។

ប៉ុន្តែសញ្ញាបត្រ អថេរផ្សេងៗនិង កម្រិតផ្សេងៗ អថេរដូចគ្នាត្រូវតែបន្ថែមដោយបន្ថែមពួកវាទៅសញ្ញារបស់ពួកគេ។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2 និង a 3 គឺជាផលបូកនៃ 2 + a 3 ។

វាច្បាស់ណាស់ថាការេនៃ a និងគូបនៃ a គឺមិនពីរដងនៃការេនៃ a ប៉ុន្តែពីរដងនៃគូបនៃ a ។

ផលបូកនៃ 3 b n និង 3a 5 b 6 គឺ a 3 b n + 3a 5 b 6 ។

ដកអំណាចត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការបន្ថែម លើកលែងតែសញ្ញានៃអនុសញ្ញាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរទៅតាមនោះ។

ឬ៖
2a 4 − (−6a 4) = 8a ៤
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

គុណអំណាច

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានគុណដូចបរិមាណផ្សេងទៀតដោយសរសេរពួកវាមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀតដោយមានឬគ្មានសញ្ញាគុណរវាងពួកវា។

ដូច្នេះលទ្ធផលនៃគុណ 3 គុណនឹង b 2 គឺជា 3 b 2 ឬ aaabb ។

ឬ៖
x −3 ⋅ a m = a m x −3
3a 6 y 2 ⋅ (−2x) = −6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

លទ្ធផលនៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចត្រូវបានបញ្ជាដោយបន្ថែមអថេរដូចគ្នា។
កន្សោមនឹងមានទម្រង់៖ a 5 b 5 y 3 ។

ដោយការប្រៀបធៀបលេខជាច្រើន (អថេរ) ជាមួយនឹងអំណាច យើងអាចឃើញថា ប្រសិនបើចំនួនទាំងពីរត្រូវបានគុណ នោះលទ្ធផលគឺជាចំនួន (អថេរ) ដែលមានថាមពលស្មើនឹង ផលបូកកម្រិតនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

នៅទីនេះ 5 គឺជាអំណាចនៃលទ្ធផលនៃគុណស្មើនឹង 2 + 3 ផលបូកនៃអំណាចនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a n .a m = a m + n ។

សម្រាប់ n មួយ a ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលអំណាចនៃ n គឺ;

ហើយ m ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលដឺក្រេ m គឺស្មើនឹង;

នោះហើយជាមូលហេតុដែល, អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានគុណដោយការបន្ថែមនិទស្សន្ត។

ដូច្នេះ a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 ។ និង x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6 ។

ឬ៖
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

គុណ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x − y)។
ចម្លើយ៖ x ៤ − y ៤ ។
គុណ (x 3 + x − 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ។

ច្បាប់នេះក៏ពិតសម្រាប់លេខដែលនិទស្សន្តគឺ - អវិជ្ជមាន.

1. ដូច្នេះ a -2 .a -3 = a -5 . នេះអាចសរសេរជា (1/aa)។(1/aaa) = 1/aaa។

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

ប្រសិនបើ a + b ត្រូវបានគុណនឹង a - b នោះលទ្ធផលនឹងជា 2 - b 2៖ នោះគឺជា

លទ្ធផលនៃការគុណផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃការ៉េរបស់ពួកគេ។

ប្រសិនបើផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរត្រូវបានលើកឡើង ការ៉េលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះនៅក្នុង ទីបួនសញ្ញាបត្រ។

ដូច្នេះ (a - y) ។(a + y) = a 2 - y 2 ។
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ។
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 ។

ការបែងចែកដឺក្រេ

លេខថាមពលអាចត្រូវបានបែងចែកដូចជាលេខផ្សេងទៀតដោយដកចេញពីផ្នែក ឬដោយដាក់វាជាទម្រង់ប្រភាគ។

ដូច្នេះ a 3 b 2 ចែកនឹង b 2 គឺ a 3 ។

ឬ៖
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

ការសរសេរ 5 ចែកនឹង 3 មើលទៅដូចជា $\frac(a^5)(a^3)$ ។ ប៉ុន្តែនេះគឺស្មើនឹង 2 ។ នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខ
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 ។
លេខណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀត ហើយនិទស្សន្តនឹងស្មើនឹង ភាពខុសគ្នាសូចនាករនៃលេខដែលអាចបែងចែកបាន។

នៅពេលបែងចែកអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តរបស់ពួកគេត្រូវបានដក។.

ដូច្នេះ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 ។ នោះគឺ $\frac(yyy)(yy)=y$។

ហើយ n + 1: a = a n + 1-1 = a n ។ នោះគឺ $\frac(aa^n)(a) = a^n$ ។

ឬ៖
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

ច្បាប់នេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់លេខជាមួយ អវិជ្ជមានតម្លៃសញ្ញាបត្រ។
លទ្ធផលនៃការបែងចែក a -5 ដោយ a -3 គឺ a -2 ។
ផងដែរ $\frac(1)(aaaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1)=\frac(aaa)(aaaaa)=\frac (1)(aa)$។

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ឬ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

វាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើការគុណ និងការបែងចែកអំណាចបានយ៉ាងល្អ ព្រោះប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងពិជគណិត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

1. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac(5a^4)(3a^2)$ ចម្លើយ៖ $\frac(5a^2)(3)$។

2. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac(6x^6)(3x^5)$ ។ ចម្លើយ៖ $\frac(2x)(1)$ ឬ 2x។

3. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត a 2/a 3 និង a -3/a -4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
a 2 .a -4 គឺជា -2 ភាគយកទីមួយ។
a 3 .a −3 គឺ a 0 = 1 ជាភាគយកទីពីរ។
a 3 .a -4 គឺ a -1 ដែលជាភាគយកទូទៅ។
បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ a -2 /a -1 និង 1/a -1 ។

4. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត 2a 4/5a 3 និង 2/a 4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងធម្មតា។
ចម្លើយ៖ 2a 3/5a 7 និង 5a 5/5a 7 ឬ 2a 3/5a 2 និង 5/5a 2 ។

5. គុណ (a 3 + b)/b 4 ដោយ (a − b)/3 ។

6. គុណ (a 5 + 1)/x 2 ដោយ (b 2 − 1)/(x + a)។

7. គុណ b 4 /a -2 ដោយ h -3 /x និង a n / y -3 ។

8. ចែក 4/y 3 ដោយ 3/y 2 ។ ចម្លើយ៖ a/y ។

9. ចែក (h 3 - 1)/d 4 ដោយ (d n + 1)/h ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគុណអំណាច? តើអំណាចមួយណាអាចគុណបាន ហើយមួយណាមិនអាច? តើអ្នកគុណលេខដោយថាមពលដោយរបៀបណា?

នៅក្នុងពិជគណិត អ្នកអាចរកឃើញផលនៃអំណាចក្នុងករណីពីរ៖

1) ប្រសិនបើសញ្ញាបត្រមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា;

2) ប្រសិនបើដឺក្រេមានសូចនាករដូចគ្នា។

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋានត្រូវតែនៅដដែល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបន្ថែម៖

នៅពេលគុណដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករដូចគ្នា សូចនាករសរុបអាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប៖

ពិចារណាពីរបៀបបង្កើនអំណាច ដោយមានឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឯកតាក្នុងនិទស្សន្តមិនត្រូវបានសរសេរទេ ប៉ុន្តែនៅពេលគុណនឹងដឺក្រេ គេគិតដល់៖

នៅពេលគុណចំនួនដឺក្រេអាចជាណាមួយ។ គួរចងចាំថាអ្នកមិនអាចសរសេរសញ្ញាគុណនៅពីមុខអក្សរបានទេ៖

នៅក្នុងកន្សោម និទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្តមុន។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគុណលេខដោយថាមពល ដំបូងអ្នកត្រូវតែអនុវត្តនិទស្សន្ត ហើយមានតែពេលនោះទេ - គុណ៖

www.algebraclass.ru

ការបូក ដក គុណ និងការបែងចែកអំណាច

ការបូកនិងដកនៃអំណាច

ដូច្នេះផលបូកនៃ a 3 និង b 2 គឺ a 3 + b 2 ។
ផលបូកនៃ a 3 - b n និង h 5 -d 4 គឺ a 3 - b n + h 5 - d 4 ។

ហាងឆេង អំណាចដូចគ្នានៃអថេរដូចគ្នា។អាចត្រូវបានបន្ថែមឬដក។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2a 2 និង 3a 2 គឺ 5a 2 ។

វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រសិនបើយើងយកការ៉េពីរ a ឬបីការ៉េ a ឬប្រាំការ៉េ a ។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2 និង a 3 គឺជាផលបូកនៃ 2 + a 3 ។

ផលបូកនៃ 3 b n និង 3a 5 b 6 គឺ a 3 b n + 3a 5 b 6 ។

ឬ៖
2a 4 − (−6a 4) = 8a ៤
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

គុណអំណាច

ដូច្នេះលទ្ធផលនៃគុណ 3 គុណនឹង b 2 គឺជា 3 b 2 ឬ aaabb ។

ឬ៖
x −3 ⋅ a m = a m x −3
3a 6 y 2 ⋅ (−2x) = −6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ដូច្នេះ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

នៅទីនេះ 5 គឺជាអំណាចនៃលទ្ធផលនៃគុណស្មើនឹង 2 + 3 ផលបូកនៃអំណាចនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a n .a m = a m + n ។

សម្រាប់ n មួយ a ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលអំណាចនៃ n គឺ;

ហើយ m ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលដឺក្រេ m គឺស្មើនឹង;

ដូច្នេះ a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 ។ និង x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6 ។

ឬ៖
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

គុណ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x − y)។
ចម្លើយ៖ x ៤ − y ៤ ។
គុណ (x 3 + x − 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ។

ច្បាប់នេះក៏ពិតសម្រាប់លេខដែលនិទស្សន្តគឺ − អវិជ្ជមាន.

1. ដូច្នេះ a -2 .a -3 = a -5 . នេះអាចសរសេរជា (1/aa)។(1/aaa) = 1/aaa។

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

ប្រសិនបើ a + b ត្រូវបានគុណនឹង a - b នោះលទ្ធផលនឹងជា 2 - b 2៖ នោះគឺជា

ដូច្នេះ (a - y) ។(a + y) = a 2 - y 2 ។
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ។
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 ។

ការបែងចែកដឺក្រេ

ដូច្នេះ a 3 b 2 ចែកនឹង b 2 គឺ a 3 ។

ការសរសេរ 5 ចែកនឹង 3 មើលទៅដូចជា $\frac $ ប៉ុន្តែនេះគឺស្មើនឹង 2 ។ នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខ
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 ។
លេខណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀត ហើយនិទស្សន្តនឹងស្មើនឹង ភាពខុសគ្នាសូចនាករនៃលេខដែលអាចបែងចែកបាន។

ដូច្នេះ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 ។ នោះគឺ $\frac = y$ ។

ហើយ n + 1: a = a n + 1-1 = a n ។ នោះគឺ $\frac = a^n$ ។

ឬ៖
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

ច្បាប់នេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់លេខជាមួយ អវិជ្ជមានតម្លៃសញ្ញាបត្រ។
លទ្ធផលនៃការបែងចែក a -5 ដោយ a -3 គឺ a -2 ។
ផងដែរ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $ ។

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ឬ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

1. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac $ ចម្លើយ៖ $\frac $។

2. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac$ ។ ចម្លើយ៖ $\frac $ ឬ 2x ។

5. គុណ (a 3 + b)/b 4 ដោយ (a − b)/3 ។

6. គុណ (a 5 + 1)/x 2 ដោយ (b 2 − 1)/(x + a)។

7. គុណ b 4 /a -2 ដោយ h -3 /x និង a n / y -3 ។

8. ចែក 4/y 3 ដោយ 3/y 2 ។ ចម្លើយ៖ a/y ។

លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិត

យើងរំលឹកអ្នកថានៅក្នុងមេរៀននេះយើងយល់ លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិតជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិនិងសូន្យ។ សញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកវានឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ។

និទស្សន្តដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកងាយស្រួលក្នុងការគណនាក្នុងឧទាហរណ៍និទស្សន្ត។

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ១
ផលិតផលនៃអំណាច

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម។

a m a n \u003d a m + n ដែល "a" គឺជាលេខណាមួយ ហើយ "m", "n" គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចនេះក៏ប៉ះពាល់ដល់ផលិតផលនៃអំណាចបីឬច្រើនផងដែរ។

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

បង្ហាញជាសញ្ញាប័ត្រ។
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

បង្ហាញជាសញ្ញាប័ត្រ។
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

សូមចំណាំថានៅក្នុងទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានចង្អុលបង្ហាញវាគ្រាន់តែជាការគុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។. វាមិនអនុវត្តចំពោះការបន្ថែមរបស់ពួកគេទេ។

អ្នកមិនអាចជំនួសផលបូក (3 3 + 3 2) ជាមួយ 3 5 បានទេ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើ
គណនា (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 និង 3 5 = 243

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ២
សញ្ញាបត្រឯកជន

នៅពេលបែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃការបែងចែកត្រូវបានដកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។

សរសេរកូតាជាថាមពល
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

គណនា។

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រផ្នែក។
3 8: t = 3 ៤

ចម្លើយ៖ t = 3 4 = 81

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលេខ 1 និងលេខ 2 អ្នកអាចធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ និងអនុវត្តការគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេ។

2 11 − 5 = 2 6 = 64

សូមចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិ 2 ដោះស្រាយតែជាមួយការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

អ្នកមិនអាចជំនួសភាពខុសគ្នា (4 3 −4 2) ជាមួយ 4 1 ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើអ្នកគណនា (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 និង 4 1 = 4

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ៣
និទស្សន្ត

នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៃអំណាចនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។

(a n) m \u003d a n m ដែល "a" គឺជាលេខណាមួយ ហើយ "m", "n" គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

សូមចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 4 ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃដឺក្រេក៏ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសផងដែរ។

(a n b n) = (a b) n

នោះគឺ ដើម្បីគុណដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា អ្នកអាចគុណគោល ហើយទុកនិទស្សន្តមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ឧទាហរណ៍។ គណនា។
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

ឧទាហរណ៍។ គណនា។
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញជាងនេះ វាអាចមានករណីនៅពេលដែលគុណ និងការបែងចែកត្រូវតែអនុវត្តលើអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា និងនិទស្សន្តផ្សេងគ្នា។ ក្នុងករណីនេះយើងណែនាំអ្នកឱ្យធ្វើដូចខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ឧទាហរណ៍នៃនិទស្សន្តនៃប្រភាគទសភាគ។

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = បួន

ទ្រព្យសម្បត្តិ ៥
អំណាចនៃប្រភាគ (ប្រភាគ)

ដើម្បីបង្កើនកូតាទៅជាអំណាចមួយ អ្នកអាចបង្កើនភាគលាភនិងការបែងចែកដោយឡែកពីគ្នាទៅអំណាចនេះ ហើយបែងចែកលទ្ធផលទីមួយដោយទីពីរ។

(a: b) n \u003d a n: b n ដែល "a", "b" គឺជាលេខសមហេតុផលណាមួយ b ≠ 0, n គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

ឧទាហរណ៍។ បញ្ចេញមតិជាអំណាចដោយផ្នែក។
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

យើងរំលឹកអ្នកថា កូតាអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ។ ដូច្នេះ យើងនឹងលើកយកប្រភាគមួយទៅអានុភាពលម្អិតនៅទំព័របន្ទាប់។

ដឺក្រេនិងឫស

ប្រតិបត្តិការជាមួយអំណាចនិងឫស។ សញ្ញាប័ត្រជាមួយអវិជ្ជមាន ,

សូន្យ និងប្រភាគ សូចនាករ។ អំពីការបញ្ចេញមតិដែលមិនសមហេតុផល។

ប្រតិបត្តិការជាមួយសញ្ញាបត្រ។

1. នៅពេលគុណអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា សូចនាកររបស់វាត្រូវបានបន្ថែមឡើង៖

ម · a n = a m + n ។

2. នៅពេលដែលបែងចែកដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នាសូចនាកររបស់ពួកគេ។ ដក .

3. កម្រិតនៃផលិតផលនៃកត្តាពីរឬច្រើនគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដឺក្រេនៃកត្តាទាំងនេះ។

4. កម្រិតនៃសមាមាត្រ (ប្រភាគ) គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃដឺក្រេនៃភាគលាភ (ភាគលាភ) និង ភាគបែង (ភាគបែង)៖

(ក/ខ) n = a n / b n ។

5. នៅពេលបង្កើនកម្រិតដល់ថាមពល សូចនាកររបស់ពួកគេត្រូវបានគុណ៖

រូបមន្តខាងលើទាំងអស់ត្រូវបានអាន និងប្រតិបត្តិក្នុងទិសដៅទាំងពីរពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងច្រាសមកវិញ។

ឧទាហរណ៍ (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

ប្រតិបត្តិការជាមួយឫស។ នៅក្នុងរូបមន្តទាំងអស់ខាងក្រោម និមិត្តសញ្ញាមានន័យថា ឫសនព្វន្ធ(ការបង្ហាញរ៉ាឌីកាល់គឺវិជ្ជមាន) ។

1. ឫសគល់នៃផលនៃកត្តាជាច្រើនស្មើនឹងផលនៃឬសនៃកត្តាទាំងនេះ៖

2. ឫសនៃសមាមាត្រគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃឫសនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖

៣.ពេលលើកឬសដល់អំណាចល្មមលើកឡើងដល់អំណាចនេះ លេខឫស៖

4. ប្រសិនបើអ្នកបង្កើនកម្រិតនៃឫសដោយ m ដង ហើយដំណាលគ្នាបង្កើនចំនួន root ទៅ m -th degree នោះតម្លៃរបស់ root នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

5. ប្រសិនបើអ្នកកាត់បន្ថយកម្រិតនៃឫសដោយ m ដង ហើយក្នុងពេលតែមួយដកឫសនៃសញ្ញាបត្រ m-th ពីលេខរ៉ាឌីកាល់ នោះតម្លៃនៃឫសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

ការពង្រីកគំនិតនៃសញ្ញាបត្រ។ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិចារណាដឺក្រេតែជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែប្រតិបត្តិការដែលមានអំណាច និងឫសគល់ក៏អាចនាំទៅដល់ដែរ។ អវិជ្ជមាន, សូន្យនិង ប្រភាគសូចនាករ។ និទស្សន្តទាំងអស់នេះទាមទារនិយមន័យបន្ថែម។

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន។ កម្រិតនៃចំនួនជាក់លាក់ដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមាន (ចំនួនគត់) ត្រូវបានកំណត់ថាជាលេខមួយចែកដោយកម្រិតនៃចំនួនដូចគ្នាជាមួយនឹងនិទស្សន្តស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតនៃនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន៖

ឥឡូវនេះរូបមន្ត ម : មួយ n = មួយ m-nអាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែសម្រាប់ ម, ច្រើនជាង នប៉ុន្តែក៏នៅ ម, តិចជាង ន .

ឧទាហរណ៍ ក 4: ក 7 = ក 4 — 7 = ក — 3 .

ប្រសិនបើយើងចង់បានរូបមន្ត ម : មួយ n = ម — នមានភាពយុត្តិធម៌នៅ m = នយើងត្រូវការនិយមន័យនៃសូន្យដឺក្រេ។

សញ្ញាប័ត្រជាមួយលេខសូន្យ។ កម្រិតនៃលេខដែលមិនមែនជាសូន្យដែលមាននិទស្សន្តសូន្យគឺ 1 ។

ឧទាហរណ៍។ 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ។ ដើម្បីបង្កើនចំនួនពិត a ទៅអំណាច m / n អ្នកត្រូវដកឫសនៃសញ្ញាបត្រទី n ពីអំណាច mth នៃលេខនេះ a:

អំពីការបញ្ចេញមតិដែលមិនសមហេតុផល។ មានការបញ្ចេញមតិបែបនេះជាច្រើន។

កន្លែងណា ក ≠ 0 , មិនមាន។

ជាការពិតប្រសិនបើយើងសន្មតថា xគឺជាចំនួនជាក់លាក់មួយ បន្ទាប់មក ស្របតាមនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការបែងចែក យើងមាន៖ ក = 0· x, i.e. ក= 0 ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ៖ ក ≠ 0

— លេខណាមួយ។

ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើយើងសន្មតថាកន្សោមនេះគឺស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន xបន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការបែងចែកយើងមាន: 0 = 0 x. ប៉ុន្តែសមភាពនេះរក្សា លេខណាមួយ xដែលត្រូវបញ្ជាក់។

0 0 — លេខណាមួយ។

ដំណោះស្រាយ សូមពិចារណាករណីសំខាន់ៗចំនួនបី៖

1) x = 0 – តម្លៃនេះមិនបំពេញសមីការនេះទេ។

2) ពេលណា x> 0 យើងទទួលបាន៖ x / x= 1, i.e. 1 = 1, មកពីណា,

អ្វី x- លេខណាមួយ; ប៉ុន្តែដោយគិតគូរពីនោះ។

ករណីរបស់យើង។ x> 0 ចម្លើយគឺ x > 0 ;

ច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា

សញ្ញាប័ត្រជាមួយសូចនាករសមហេតុផល,

មុខងារថាមពល IV

§ 69. គុណនិងការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ១.ដើម្បីគុណអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមនិទស្សន្ត ហើយទុកមូលដ្ឋានដូចគ្នា នោះគឺជា

ភស្តុតាង។តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

យើងបានពិចារណាផលិតផលនៃអំណាចពីរ។ តាមពិត ទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញគឺជាការពិតសម្រាប់ចំនួននៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ២.ដើម្បីបែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា នៅពេលដែលសូចនាករនៃភាគលាភធំជាងសូចនាករនៃការបែងចែក វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដកសូចនាករនៃការបែងចែកចេញពីសូចនាករនៃភាគលាភ ហើយទុកមូលដ្ឋានដូចគ្នា នោះគឺ នៅ t > ន

(ក =/= 0)

ភស្តុតាង។សូមចាំថា ផលគុណនៃការបែងចែកលេខមួយទៅលេខមួយទៀត គឺជាចំនួនដែលនៅពេលគុណនឹងចែកចែកភាគលាភ។ ដូច្នេះសូមបញ្ជាក់រូបមន្ត កន្លែងណា ក =/= 0 វាដូចជាការបញ្ជាក់រូបមន្ត

ប្រសិនបើ ក t > ន បន្ទាប់មកលេខ t - ទំ នឹងធម្មជាតិ; ដូច្នេះដោយទ្រឹស្តីបទ ១

ទ្រឹស្តីបទ 2 ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំថារូបមន្ត

បង្ហាញដោយពួកយើងតែនៅក្រោមការសន្មត់ថា t > ន . ដូច្នេះ ពីអ្វីដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញនោះ វាមិនទាន់អាចទាញបានទេ ឧទាហរណ៍ ការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមៈ

លើសពីនេះ យើងមិនទាន់បានគិតដល់ដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានទេ ហើយយើងមិនទាន់ដឹងថាអត្ថន័យអាចផ្តល់អោយកន្សោមលេខ 3 បានទេ? - 2 .

ទ្រឹស្តីបទ ៣. ដើម្បីលើកថាមពលទៅជាថាមពល វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណនិទស្សន្ត ដោយទុកមូលដ្ឋាននៃនិទស្សន្តដដែល។នោះគឺ

ភស្តុតាង។ដោយប្រើនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ និងទ្រឹស្តីបទទី១ នៃផ្នែកនេះ យើងទទួលបាន៖

Q.E.D.

ឧទាហរណ៍ (2 3) 2 = 2 6 = 64;

៥១៨ (មាត់.) កំណត់ X ពីសមីការ៖

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (កែសម្រួល) សម្រួល៖

520. (សម្រួល) សម្រួល៖

521. បង្ហាញកន្សោមទាំងនេះជាដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

1) 32 និង 64; 3) 85 និង 163; 5) 4 100 និង 32 50;

2) -1000 និង 100; 4) -27 និង -243; 6) 81 75 8 200 និង 3 600 4 150 ។

រូបមន្តថាមពលប្រើក្នុងដំណើរការកាត់បន្ថយ និងសម្រួលកន្សោមស្មុគស្មាញ ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាព។

ចំនួន គគឺ ន- អំណាចនៃលេខមួយ។ កពេលណា:

ប្រតិបត្តិការជាមួយសញ្ញាបត្រ។

1. ការគុណដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា សូចនាកររបស់ពួកគេបន្ថែមឡើង៖

មa n = a m + n ។

2. នៅក្នុងការបែងចែកដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា សូចនាកររបស់ពួកគេត្រូវបានដក៖

3. កម្រិតនៃផលិតផលនៃកត្តា 2 ឬច្រើនគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដឺក្រេនៃកត្តាទាំងនេះ:

(abc…) n = a n b n c n …

4. កម្រិតនៃប្រភាគគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃដឺក្រេនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖

(a/b) n = a n / b n ។

5. ការបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពលមួយ និទស្សន្តត្រូវបានគុណ:

(am) n = a m n ។

រូបមន្តនីមួយៗខាងលើគឺត្រឹមត្រូវក្នុងទិសដៅពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងច្រាសមកវិញ។

ឧទាហរណ៍. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ប្រតិបត្តិការជាមួយឫស។

1. ឫសគល់នៃផលនៃកត្តាជាច្រើនស្មើនឹងផលនៃឬសនៃកត្តាទាំងនេះ៖

2. ឫសនៃសមាមាត្រគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃភាគលាភនិងការបែងចែកឫស:

3. ពេលលើកឫសទៅជាអំណាច វាល្មមនឹងលើកលេខឫសទៅអំណាចនេះ៖

4. ប្រសិនបើយើងបង្កើនកម្រិតនៃឫសនៅក្នុង នម្តងហើយក្នុងពេលតែមួយបង្កើនដល់ ន th power គឺជាលេខ root បន្ទាប់មកតម្លៃនៃ root នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

5. ប្រសិនបើយើងបន្ថយកម្រិតនៃឫសនៅក្នុង ន root ក្នុងពេលតែមួយ នដឺក្រេទី ពីលេខរ៉ាឌីកាល់ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃឫសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន។កម្រិតនៃចំនួនជាក់លាក់ដែលមាននិទស្សន្តមិនវិជ្ជមាន (ចំនួនគត់) ត្រូវបានកំណត់ថាជាលេខមួយចែកដោយកម្រិតនៃចំនួនដូចគ្នាជាមួយនឹងនិទស្សន្តស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតនៃនិទស្សន្តមិនវិជ្ជមាន៖

រូបមន្ត ម៖a n = a m - nអាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែសម្រាប់ ម> នប៉ុន្តែក៏នៅ ម< ន.

ឧទាហរណ៍. ក៤៖ ក ៧ = ក ៤ ដល់ ៧ = ក -៣.

ទៅរូបមន្ត ម៖a n = a m - nបានក្លាយជាយុត្តិធម៌នៅ m=nអ្នកត្រូវការវត្តមាននៃសញ្ញាប័ត្រសូន្យ។

សញ្ញាប័ត្រជាមួយលេខសូន្យ។អំណាចនៃលេខដែលមិនមែនជាសូន្យដែលមាននិទស្សន្តសូន្យគឺស្មើនឹងមួយ។

ឧទាហរណ៍. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ។ដើម្បីបង្កើនចំនួនពិត កដល់កម្រិតមួយ។ m/nអ្នកត្រូវដកឫស នកម្រិតនៃ មអំណាចនៃលេខនេះ។ ក.

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធនីមួយៗ ជួនកាលមានភាពស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការកត់ត្រា ហើយពួកគេព្យាយាមធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ។ វាធ្លាប់ដូចគ្នាជាមួយប្រតិបត្តិការបន្ថែម។ វាចាំបាច់សម្រាប់មនុស្សដើម្បីអនុវត្តការបន្ថែមម្តងហើយម្តងទៀតនៃប្រភេទដូចគ្នាឧទាហរណ៍ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកំរាលព្រំ Persian មួយរយដែលតម្លៃគឺ 3 កាក់មាសសម្រាប់នីមួយៗ។ 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300 ។ ដោយសារភាពច្របូកច្របល់ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីកាត់បន្ថយការសម្គាល់មកត្រឹម 3 * 100 = 300 ។ តាមពិត សញ្ញា "បីដងមួយរយ" មានន័យថាអ្នកត្រូវយក មួយរយបីដង ហើយបន្ថែមវាជាមួយគ្នា។ គុណបានឫសគល់ ទទួលបានប្រជាប្រិយភាពទូទៅ។ ប៉ុន្តែពិភពលោកមិននៅស្ងៀមទេ ហើយនៅក្នុងយុគសម័យកណ្តាល វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការគុណដដែលៗដដែលៗ។ ខ្ញុំនឹកឃើញពាក្យប្រឌិតរបស់ជនជាតិឥណ្ឌាចាស់មួយរូបអំពីអ្នកប្រាជ្ញម្នាក់ដែលសុំគ្រាប់ស្រូវសាលីក្នុងបរិមាណខាងក្រោមជារង្វាន់សម្រាប់ការងារដែលបានធ្វើ៖ សម្រាប់ក្រឡាទីមួយនៃក្តារអុក គាត់បានសុំគ្រាប់មួយ សម្រាប់ទីពីរ - ពីរ ទីបី - បួន។ ទីប្រាំ - ប្រាំបី ហើយដូច្នេះនៅលើ។ នេះជារបៀបដែលគុណនៃអំណាចដំបូងបានបង្ហាញខ្លួន ពីព្រោះចំនួនគ្រាប់ធញ្ញជាតិគឺស្មើនឹងពីរទៅថាមពលនៃចំនួនក្រឡា។ ឧទាហរណ៍ នៅលើក្រឡាចុងក្រោយនឹងមាន 2*2*2*…*2 = 2^63 គ្រាប់ធញ្ញជាតិ ដែលស្មើនឹងលេខ 18 តួអក្សរដែលតាមពិតគឺជាអត្ថន័យនៃពាក្យប្រឌិត។

ប្រតិបត្តិការនៃការលើកឡើងទៅកាន់អំណាចបានចាប់ផ្តើមយ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយវាក៏បានក្លាយជាការចាំបាច់ភ្លាមៗដើម្បីអនុវត្តការបូក ដក ចែក និងគុណដឺក្រេ។ ក្រោយមកទៀតគឺមានតម្លៃពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀត។ រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមថាមពលគឺសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។ លើសពីនេះទៀតវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការយល់ថាតើពួកគេមកពីណាប្រសិនបើប្រតិបត្តិការថាមពលត្រូវបានជំនួសដោយការគុណ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងអ្នកត្រូវយល់ពីវាក្យស័ព្ទបឋម។ កន្សោម a ^ b (អាន "a ដល់អំណាចនៃ b") មានន័យថាចំនួន a គួរតែត្រូវបានគុណដោយខ្លួនវា b ដងហើយ "a" ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេហើយ "b" គឺជានិទស្សន្ត។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃអំណាចគឺដូចគ្នា នោះរូបមន្តគឺបានមកយ៉ាងសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម 2^3 * 2^4 ។ ដើម្បីដឹងពីអ្វីដែលគួរកើតឡើង អ្នកគួរតែស្វែងរកចម្លើយនៅលើកុំព្យូទ័រ មុនពេលចាប់ផ្តើមដំណោះស្រាយ។ ការបញ្ចូលកន្សោមនេះទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខអនឡាញណាមួយ ម៉ាស៊ីនស្វែងរក ដោយវាយ "គុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា និងដូចគ្នា" ឬកញ្ចប់គណិតវិទ្យា លទ្ធផលនឹងមាន 128 ។ ឥឡូវសូមសរសេរកន្សោមនេះ៖ 2^3 = 2*2*2, និង 2^4 = 2 * 2 * 2 * 2 ។ វាប្រែថា 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) ។ វាប្រែថាផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានដែលបានលើកឡើងទៅជាថាមពលស្មើនឹងផលបូកនៃអំណាចពីរមុន។

អ្នកប្រហែលជាគិតថានេះជាឧបទ្ទវហេតុ ប៉ុន្តែទេ៖ ឧទាហរណ៍ផ្សេងទៀតអាចបញ្ជាក់បានតែច្បាប់នេះប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ជាទូទៅ រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ a^n * a^m = a^(n+m) ។ វាក៏មានច្បាប់មួយដែលថាលេខណាមួយទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ។ នៅទីនេះយើងគួរចងចាំក្បួននៃអំណាចអវិជ្ជមាន: a^(-n) = 1 / a^n ។ នោះគឺប្រសិនបើ 2^3 = 8 បន្ទាប់មក 2^(-3) = 1/8 ។ ដោយប្រើច្បាប់នេះ យើងអាចបញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នា a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ ហើយនៅតែមួយ។ ពីនេះ ក្បួនគឺបានមកថា quotient នៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាននេះទៅកម្រិតមួយស្មើនឹង quotient នៃភាគលាភនិងផ្នែកចែក: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ។ គុណគឺជាប្រតិបត្តិការផ្លាស់ប្តូរ ដូច្នេះនិទស្សន្តគុណត្រូវបន្ថែមជាដំបូង៖ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = ២. បន្ទាប់មកអ្នកគួរតែដោះស្រាយជាមួយនឹងការបែងចែកដោយកម្រិតអវិជ្ជមាន។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកនិទស្សន្តចែកចេញពីនិទស្សន្តភាគលាភ៖ 2^1:2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8 ។ វាប្រែថាប្រតិបត្តិការនៃការបែងចែកដោយដឺក្រេអវិជ្ជមានគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណដោយនិទស្សន្តវិជ្ជមានស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះចម្លើយចុងក្រោយគឺ 8 ។

មានឧទាហរណ៍ដែលការគុណនៃអំណាចដែលមិនមែនជា Canonical កើតឡើង។ ការគុណអំណាចដោយមូលដ្ឋានខុសគ្នាច្រើនតែពិបាកជាង ហើយពេលខ្លះក៏មិនអាចទៅរួចដែរ។ ឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗដែលអាចធ្វើទៅបានគួរតែត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729។ ជាក់ស្តែង មានគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា។ ប៉ុន្តែវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមូលដ្ឋានទាំងអស់គឺជាអំណាចផ្សេងគ្នានៃបីដង។ 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6 ។ ដោយប្រើក្បួន (a^n) ^m = a^(n*m) អ្នកគួរតែសរសេរកន្សោមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលជាង៖ 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12-10+6) = 3^(11) ។ ចម្លើយ៖ ៣^១១។ ក្នុងករណីដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ច្បាប់ a^n*b^n=(a*b)^n ដំណើរការសម្រាប់សូចនាករស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 3^3 * 7^3 = 21^3 ។ បើមិនដូច្នោះទេ នៅពេលដែលមានមូលដ្ឋាន និងសូចនាករផ្សេងគ្នា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតគុណពេញលេញ។ ពេលខ្លះអ្នកអាចសម្រួលផ្នែកខ្លះ ឬងាកទៅរកជំនួយពីបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានណែនាំតាំងពីថ្នាក់ទី 7 នៅក្នុងមេរៀនពិជគណិត។ ហើយនៅពេលអនាគត ពេញមួយវគ្គនៃការសិក្សាគណិតវិទ្យា គំនិតនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗរបស់វា។ សញ្ញាបត្រគឺជាប្រធានបទដ៏លំបាកមួយ ដែលទាមទារឱ្យមានការទន្ទេញចាំតម្លៃ និងសមត្ថភាពក្នុងការរាប់បានត្រឹមត្រូវ និងឆាប់រហ័ស។ សម្រាប់ការងារកាន់តែលឿន និងប្រសើរជាងមុនជាមួយនឹងសញ្ញាបត្រគណិតវិទ្យា ពួកគេបានមកជាមួយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។ ពួកគេជួយកាត់បន្ថយការគណនាធំៗ ដើម្បីបំប្លែងឧទាហរណ៍ដ៏ធំទៅជាលេខតែមួយទៅកម្រិតខ្លះ។ លក្ខណៈសម្បត្តិមិនមានច្រើនទេ ហើយពួកវាទាំងអស់គឺងាយស្រួលចងចាំ និងអនុវត្តក្នុងការអនុវត្ត។ ដូច្នេះ អត្ថបទពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃសញ្ញាបត្រ ក៏ដូចជាកន្លែងដែលគេអនុវត្ត។

លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិត

យើងនឹងពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិចំនួន 12 នៃសញ្ញាបត្រ រួមទាំងទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ហើយផ្តល់ឧទាហរណ៍សម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗ។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងកម្រិតកាន់តែលឿន ក៏ដូចជាជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសក្នុងការគណនាជាច្រើន។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី 1 ។

មនុស្សជាច្រើនតែងតែភ្លេចអំពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ធ្វើខុស តំណាងឱ្យលេខមួយទៅសូន្យដឺក្រេជាសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ២ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៣ ។

វាត្រូវតែចងចាំថាទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចប្រើបានតែនៅពេលគុណលេខប៉ុណ្ណោះវាមិនដំណើរការជាមួយផលបូកទេ! ហើយយើងមិនត្រូវភ្លេចថា នេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមអនុវត្តចំពោះតែអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៤ ។

ប្រសិនបើលេខនៅក្នុងភាគបែងត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលអវិជ្ជមាន នោះនៅពេលដក កម្រិតនៃភាគបែងត្រូវបានយកជាតង្កៀប ដើម្បីជំនួសសញ្ញាឱ្យបានត្រឹមត្រូវក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត។

ទ្រព្យសម្បត្តិដំណើរការតែពេលចែក មិនមែនពេលដកទេ!

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៥ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៦ ។

លក្ខណសម្បត្តិនេះក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងការបញ្ច្រាសផងដែរ។ ឯកតាដែលចែកដោយលេខមួយដល់កម្រិតមួយគឺចំនួននោះទៅជាថាមពលអវិជ្ជមាន។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៧ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមិនអាចអនុវត្តចំពោះផលបូក និងភាពខុសគ្នាទេ! នៅពេលបង្កើនផលបូក ឬភាពខុសគ្នាទៅជាថាមពល រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើ មិនមែនជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃថាមពលនោះទេ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៨ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៩ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការសម្រាប់ដឺក្រេប្រភាគណាមួយដែលមានភាគយកស្មើនឹងមួយ រូបមន្តនឹងដូចគ្នា មានតែកម្រិតនៃឫសនឹងផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើភាគបែងនៃសញ្ញាបត្រ។

ដូចគ្នានេះផងដែរ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស។ ឫសនៃអំណាចនៃចំនួនណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាលេខនោះទៅអំណាចនៃមួយបែងចែកដោយអំណាចនៃឬស។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងករណីដែលឫសនៃលេខមិនត្រូវបានស្រង់ចេញ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១០ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការមិនត្រឹមតែជាមួយឫសការ៉េនិងសញ្ញាបត្រទីពីរប៉ុណ្ណោះទេ។ ប្រសិនបើកម្រិតនៃឫស និងកម្រិតដែលឫសនេះត្រូវបានលើកឡើងដូចគ្នា នោះចម្លើយនឹងជាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១១ ។

អ្នកត្រូវអាចមើលឃើញទ្រព្យសម្បត្តិនេះទាន់ពេលនៅពេលដោះស្រាយវា ដើម្បីសង្គ្រោះខ្លួនអ្នកពីការគណនាដ៏ធំ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១២ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗនឹងជួបអ្នកច្រើនជាងមួយដងក្នុងកិច្ចការ វាអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់វា ឬវាអាចទាមទារការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួន និងការប្រើប្រាស់រូបមន្តផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះសម្រាប់ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ វាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ អ្នកត្រូវអនុវត្ត និងភ្ជាប់ចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាដែលនៅសល់។

ការអនុវត្តសញ្ញាបត្រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ពួកវាត្រូវបានប្រើយ៉ាងសកម្មក្នុងពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ សញ្ញាបត្រក្នុងគណិតវិទ្យាមានកន្លែងសំខាន់ដាច់ដោយឡែក។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាពត្រូវបានដោះស្រាយ ក៏ដូចជាអំណាចច្រើនតែធ្វើឱ្យមានភាពស្មុគស្មាញដល់សមីការ និងឧទាហរណ៍ទាក់ទងនឹងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។ និទស្សន្តជួយជៀសវាងការគណនាធំ និងវែង វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកាត់បន្ថយ និងគណនានិទស្សន្ត។ ប៉ុន្តែដើម្បីធ្វើការជាមួយអំណាចធំ ឬជាមួយនឹងអំណាចនៃចំនួនច្រើន អ្នកត្រូវដឹងមិនត្រឹមតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងមានសមត្ថភាពធ្វើការជាមួយមូលដ្ឋានផងដែរ អាចបំបែកពួកវាបាន ដើម្បីធ្វើឱ្យកិច្ចការរបស់អ្នកកាន់តែងាយស្រួល។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល អ្នកក៏គួរតែដឹងពីអត្ថន័យនៃលេខដែលលើកឡើងទៅជាថាមពល។ នេះនឹងកាត់បន្ថយពេលវេលារបស់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយដោយលុបបំបាត់តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាយូរ។

គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដើរតួនាទីពិសេសនៅក្នុងលោការីត។ ដោយហេតុថាលោការីត ជាខ្លឹមសារ គឺជាអំណាចនៃលេខ។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់គឺជាឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃការប្រើប្រាស់អំណាច។ ពួកវាមិនអាចប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេបានទេ ពួកគេត្រូវបាន decomposed យោងទៅតាមច្បាប់ពិសេស ប៉ុន្តែនៅក្នុងរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់នីមួយៗមានដឺក្រេមិនប្រែប្រួល។

សញ្ញាបត្រក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មក្នុងរូបវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រផងដែរ។ ការបកប្រែទាំងអស់ទៅក្នុងប្រព័ន្ធ SI ត្រូវបានធ្វើឡើងដោយប្រើដឺក្រេ ហើយនៅពេលអនាគត នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រត្រូវបានអនុវត្ត។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ អំណាចនៃពីរត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្ម ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការរាប់ និងសម្រួលដល់ការយល់ឃើញនៃលេខ។ ការគណនាបន្ថែមទៀតលើការបំប្លែងឯកតារង្វាស់ ឬការគណនានៃបញ្ហា ដូចជានៅក្នុងរូបវិទ្យា កើតឡើងដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។

ដឺក្រេក៏មានប្រយោជន៍ក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រផងដែរ ដែលអ្នកកម្រអាចរកឃើញការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេមួយ ប៉ុន្តែដឺក្រេខ្លួនឯងត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងសកម្មដើម្បីកាត់បន្ថយការកត់ត្រាបរិមាណ និងចម្ងាយផ្សេងៗ។

ដឺក្រេក៏ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃផងដែរ នៅពេលគណនាតំបន់ បរិមាណ ចម្ងាយ។

ដោយមានជំនួយពីដឺក្រេ តម្លៃធំណាស់ និងតូចបំផុតមិនបានសរសេរក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយទេ។

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាព

លក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេកាន់កាប់កន្លែងពិសេសមួយយ៉ាងជាក់លាក់នៅក្នុងសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាព។ ភារកិច្ចទាំងនេះគឺជារឿងធម្មតាណាស់ ទាំងនៅក្នុងវគ្គសិក្សា និងនៅក្នុងការប្រឡង។ ពួកគេទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។ ភាពមិនស្គាល់គឺតែងតែស្ថិតនៅក្នុងកម្រិតខ្លួនឯង ដូច្នេះហើយការដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នោះ វានឹងមិនពិបាកក្នុងការដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមភាពបែបនេះទេ។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

គុណអំណាច

ការបែងចែកដឺក្រេ

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

ការបូក ដក គុណ និងការបែងចែកអំណាច

ការបូកនិងដកនៃអំណាច

គុណអំណាច

ការបែងចែកដឺក្រេ

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិត

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ១ ផលិតផលនៃអំណាច

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ២ សញ្ញាបត្រឯកជន

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ៣ និទស្សន្ត

ទ្រព្យសម្បត្តិ ៥ អំណាចនៃប្រភាគ (ប្រភាគ)

ដឺក្រេនិងឫស

រូបមន្តខាងលើទាំងអស់ត្រូវបានអាន និងប្រតិបត្តិក្នុងទិសដៅទាំងពីរពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងច្រាសមកវិញ។

ច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា

លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិត

ការអនុវត្តសញ្ញាបត្រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាព

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ១
ផលិតផលនៃអំណាច

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ២
សញ្ញាបត្រឯកជន

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ៣
និទស្សន្ត

ទ្រព្យសម្បត្តិ ៥
អំណាចនៃប្រភាគ (ប្រភាគ)

អត្ថបទដែលទាក់ទង