Trifanova Marina Anatolievna
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា កន្លែងហាត់ប្រាណ លេខ៤៨ (ពហុទម្រង់)

គោលបំណងបីនៃមេរៀន:

ការអប់រំ៖
ការរៀបចំប្រព័ន្ធ និងចំណេះដឹងទូទៅលើការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។
អភិវឌ្ឍន៍៖
ដើម្បីលើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃការគិតឡូជីខល សមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការដោយឯករាជ្យ ជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងគ្នាទៅវិញទៅមក និងការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង សមត្ថភាពក្នុងការនិយាយ និងស្តាប់។
ការចិញ្ចឹមបីបាច់៖
ការអភិវឌ្ឍនៃទម្លាប់នៃការងារថេរ, ការអប់រំនៃការឆ្លើយតប, ការខិតខំប្រឹងប្រែង, ភាពត្រឹមត្រូវ។

ប្រភេទមេរៀន:

មេរៀនក្នុងការអនុវត្តស្មុគស្មាញនៃចំណេះដឹង ជំនាញ និងសមត្ថភាព។

ទម្រង់មេរៀន:

ការផ្សាយ, នាទីរាងកាយ, ទម្រង់ផ្សេងៗនៃការងារ។

ឧបករណ៍៖

កំណត់ចំណាំយោង កាតភារកិច្ច ម៉ាទ្រីសត្រួតពិនិត្យមេរៀន។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

I. ពេលរៀបចំ

1. ផ្សព្វផ្សាយគោលបំណងនៃមេរៀនដល់សិស្ស។
2. ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ (ឧបសម្ព័ន្ធទី ១)។ ធ្វើការជាមួយអរូបីជាមូលដ្ឋាន (ឧបសម្ព័ន្ធទី 2) ។

សមីការ និងចម្លើយសម្រាប់នីមួយៗត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារខៀន។ សិស្សពិនិត្យមើលចម្លើយ និងផ្តល់ការវិភាគសង្ខេបអំពីដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនីមួយៗ ឬឆ្លើយសំណួររបស់គ្រូ (ការស្ទង់មតិខាងមុខ)។ ការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង - សិស្សផ្តល់ឱ្យខ្លួនឯងនូវថ្នាក់និងប្រគល់សៀវភៅកត់ត្រាទៅគ្រូដើម្បីពិនិត្យមើលការកែតម្រូវពិន្ទុឬការយល់ព្រមរបស់ពួកគេ។ ថ្នាក់រៀនសរសេរនៅលើក្តារខៀន៖

"5+" - 6 សមីការ;
"5" - 5 សមីការ;
"4" - 4 សមីការ;
"3" - 3 សមីការ។

សំណួររបស់គ្រូសម្រាប់កិច្ចការផ្ទះ៖

1 សមីការ

1. តើអ្វីជាការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងសមីការ?
2. តើសមីការអ្វីដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរអថេរ?

2 សមីការ

1. តើពហុធាណាដែលបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ?
2. តើការជំនួសអថេរត្រូវបានទទួល?

3 សមីការ

1. តើពហុនាមអ្វីខ្លះដែលត្រូវគុណដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ?

4 សមីការ

1. ដាក់ឈ្មោះមុខងារ f(x) ។
2. តើឫសផ្សេងទៀតត្រូវបានរកឃើញដោយរបៀបណា?

5 សមីការ

1. តើចន្លោះពេលប៉ុន្មានត្រូវបានទទួលដើម្បីដោះស្រាយសមីការ?

៦ សមីការ

1. តើសមីការនេះអាចដោះស្រាយដោយរបៀបណា?
2. តើដំណោះស្រាយមួយណាសមហេតុផលជាង?

II. ការងារជាក្រុមគឺជាផ្នែកសំខាន់នៃមេរៀន។

ថ្នាក់ត្រូវបានបែងចែកជា 4 ក្រុម។ ក្រុមនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់កាតមួយដែលមានសំណួរទ្រឹស្តី និងជាក់ស្តែង (ឧបសម្ព័ន្ធទី 3)៖ "ផ្តាច់វិធីសាស្រ្តដែលបានស្នើឡើងសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ ហើយពន្យល់វាដោយប្រើឧទាហរណ៍នេះ។"

1. ការងារជាក្រុម 15 នាទី។
2. ឧទាហរណ៍​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​នៅ​លើ​ក្ដារខៀន (ក្តារ​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា ៤ ផ្នែក)។
3. របាយការណ៍ក្រុមចំណាយពេល 2-3 នាទី។
4. គ្រូកែតម្រូវរបាយការណ៍របស់ក្រុម និងជួយក្នុងករណីមានការលំបាក។

ការងារជាក្រុមបន្តនៅលើសន្លឹកបៀលេខ 5 - 8 ។ សម្រាប់សមីការនីមួយៗ 5 នាទីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការពិភាក្សាក្នុងក្រុម។ បន្ទាប់មកក្តារខៀនមានរបាយការណ៍ស្តីពីសមីការនេះ - ការវិភាគសង្ខេបនៃដំណោះស្រាយ។ សមីការប្រហែលជាមិនត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុងនោះទេ - វាត្រូវបានបញ្ចប់នៅផ្ទះ ប៉ុន្តែលំដាប់ទាំងមូលនៃដំណោះស្រាយរបស់វានៅក្នុងថ្នាក់ត្រូវបានពិភាក្សា។

III. ការងារឯករាជ្យ។ឧបសម្ព័ន្ធ ៤.

1. សិស្សម្នាក់ៗទទួលបានកិច្ចការផ្ទាល់ខ្លួន។
2. ការងារត្រូវចំណាយពេល 20 នាទី។
3. 5 នាទីមុនចប់មេរៀន គ្រូផ្តល់ចំលើយចំហសម្រាប់សមីការនីមួយៗ។
4. សិស្សផ្លាស់ប្តូរសៀវភៅកត់ត្រាក្នុងរង្វង់មួយ ហើយពិនិត្យមើលចម្លើយជាមួយមិត្តភ័ក្តិ។ ការផ្តល់ចំណាត់ថ្នាក់។
5. សៀវភៅកត់ត្រាត្រូវបានប្រគល់ជូនគ្រូដើម្បីពិនិត្យ និងកែកម្រិតថ្នាក់។

IV. សេចក្តីសង្ខេបនៃមេរៀន។

កិច្ចការ​ផ្ទះ។

បំពេញដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនពេញលេញ។ រៀបចំសម្រាប់ការកាត់ការត្រួតពិនិត្យ។

ការចាត់ថ្នាក់។

ការប្រើប្រាស់សមីការគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាជាច្រើនការសាងសង់រចនាសម្ព័ន្ធនិងសូម្បីតែកីឡា។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ដោយ​មនុស្ស​តាំង​ពី​សម័យ​បុរាណ ហើយ​ចាប់​តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​របស់​វា​មាន​តែ​កើន​ឡើង។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់គឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការប្រភេទនេះ អ្នកត្រូវការ៖

កំណត់ឫសសនិទាននៃសមីការ;

បែងចែកពហុនាមដែលនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ;

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។

ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់សមីការនៃទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ចូរយើងស្វែងរកឫសពិតរបស់វា។ គុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការដោយ \

តោះផ្លាស់ប្តូរអថេរ \

ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានសមីការកាត់បន្ថយកម្រិតទីបួន ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងតាមក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ៖ យើងពិនិត្យមើលផ្នែក អនុវត្តការបែងចែក ហើយជាលទ្ធផល យើងរកឃើញថាសមីការមានឫសពិតពីរ \ និងស្មុគស្មាញពីរ។ ទាំងឡាយ។ យើងទទួលបានចម្លើយដូចខាងក្រោមចំពោះសមីការរបស់យើងនៃសញ្ញាប័ត្រទីបួន៖

តើខ្ញុំអាចដោះស្រាយសមីការនៃអំណាចខ្ពស់លើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងអ្នកដោះស្រាយនៅឯណា?

អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង https:// site. កម្មវិធីដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺគ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នកទៅក្នុងកម្មវិធីដោះស្រាយ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម Vkontakte របស់យើង http://vk.com/pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។

"វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង"

( ការអាន Kiselevsky)

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា Afanasyeva L.A.

អនុវិទ្យាល័យ MKOU Verkhnekarachanskaya

ស្រុក Gribanovsky តំបន់ Voronezh

ឆ្នាំ 2015

ការអប់រំគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាននៅក្នុងសាលាអប់រំទូទៅគឺជាធាតុផ្សំដ៏សំខាន់នៃការអប់រំទូទៅ និងវប្បធម៌ទូទៅរបស់មនុស្សសម័យទំនើប។

គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីឈ្មោះ Courant បានសរសេរថា “អស់រយៈពេលជាងពីរពាន់ឆ្នាំមកនេះ ការកាន់កាប់របស់មួយចំនួន មិនមែនជារឿងហួសហេតុពេកទេ ចំណេះដឹងក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យា គឺជាផ្នែកចាំបាច់នៃសារពើភ័ណ្ឌបញ្ញារបស់មនុស្សគ្រប់រូប។ ហើយក្នុងចំណោមចំណេះដឹងនេះ មិនមែនកន្លែងចុងក្រោយជាកម្មសិទ្ធិរបស់សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការទេ។

រួចហើយនៅសម័យបុរាណ មនុស្សបានដឹងថាវាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាក្នុងការរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការពិជគណិត។ ប្រហែល 4,000 ឆ្នាំមុន អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របាប៊ីឡូនបានស្ទាត់ជំនាញដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ និងប្រព័ន្ធដោះស្រាយនៃសមីការពីរ ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះជាសញ្ញាប័ត្រទីពីរ។ ដោយមានជំនួយពីសមីការ បញ្ហាផ្សេងៗនៃការវាស់វែងដីធ្លី ស្ថាបត្យកម្ម និងកិច្ចការយោធាត្រូវបានដោះស្រាយ បញ្ហាជាច្រើន និងផ្សេងៗគ្នានៃការអនុវត្ត និងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដោយសារភាសាពិតប្រាកដនៃគណិតវិទ្យាធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញការពិត និងទំនាក់ទំនងបានយ៉ាងសាមញ្ញ។ ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ជា​ភាសា​សាមញ្ញ អាច​មើល​ទៅ​ហាក់​ដូចជា​ច្របូកច្របល់ និង​ស្មុគស្មាញ។ សមីការគឺជាគោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ ដែលចាប់ផ្តើមពីកំណើតនៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រ គឺជាមុខវិជ្ជាចម្បងនៃការសិក្សាពិជគណិត។ ហើយសព្វថ្ងៃនេះ នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា ចាប់ផ្តើមពីដំណាក់កាលដំបូងនៃការអប់រំ ការយកចិត្តទុកដាក់ច្រើនគឺត្រូវយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទផ្សេងៗ។

មិនមានរូបមន្តសកលសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទី 1 នោះទេ។ ជាការពិតណាស់ មនុស្សជាច្រើនបានចេញមកជាមួយនឹងគំនិតដែលគួរឱ្យចង់ស្វែងរកសម្រាប់កម្រិតណាមួយ។ នរូបមន្តដែលនឹងបង្ហាញពីឫសគល់នៃសមីការនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា ពោលគឺនឹងដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ "យុគសម័យកណ្តាលដ៏អាប់អួរ" ប្រែទៅជាអាប់អួរតាមដែលអាចធ្វើទៅបានទាក់ទងនឹងបញ្ហាដែលកំពុងពិភាក្សា - អស់រយៈពេលប្រាំពីរសតវត្សទាំងមូលគ្មាននរណាម្នាក់បានរកឃើញរូបមន្តដែលត្រូវការទេ! មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 16 ប៉ុណ្ណោះដែលគណិតវិទូអ៊ីតាលីគ្រប់គ្រងដើម្បីបន្ត - ដើម្បីស្វែងរករូបមន្ត ន =3 និង ន =4 . ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ Scipio Dal Ferro សិស្សរបស់គាត់ Fiori និង Tartaglia បានដោះស្រាយជាមួយនឹងសំណួរនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ។ នៅឆ្នាំ 1545 សៀវភៅរបស់គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី D Cardano "សិល្បៈដ៏អស្ចារ្យ ឬនៅលើច្បាប់ពិជគណិត" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលរួមជាមួយនឹងបញ្ហាផ្សេងទៀតនៃពិជគណិត វិធីសាស្ត្រទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូបត្រូវបានពិចារណា ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយ។ សមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 4 ត្រូវបានរកឃើញដោយសិស្សរបស់គាត់ L. Ferrari ។ ការបង្ហាញពេញលេញនៃបញ្ហាទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ F. Viet ។ ហើយនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 20 នៃសតវត្សទី 19 គណិតវិទូជនជាតិន័រវេស N. Abel បានបង្ហាញថាឫសនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 5 និងខ្ពស់ជាងនេះមិនអាចបង្ហាញតាមរយៈរ៉ាឌីកាល់បានទេ។

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការជាធម្មតាមាននៅក្នុងការជំនួសសមីការជាមួយនឹងសមមូលមួយ។ ការជំនួសសមីការជាមួយនឹងសមមូលមួយគឺផ្អែកលើការអនុវត្តនៃ axioms បួន៖

1. ប្រសិនបើតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានកើនឡើងដោយចំនួនដូចគ្នានោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

2. ប្រសិនបើលេខដូចគ្នាត្រូវបានដកចេញពីតម្លៃស្មើគ្នា នោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

3. ប្រសិនបើតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នានោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

4. ប្រសិនបើតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានបែងចែកដោយលេខដូចគ្នានោះលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។

ដោយសារផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ P(x) = 0 គឺជាពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រទី n វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការរំលឹកឡើងវិញនូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម៖

សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឫសនៃពហុនាម និងការបែងចែករបស់វា៖

1. ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី n មានចំនួនឫសមិនលើសពីចំនួន n ហើយឫសនៃគុណ m កើតឡើងពិតប្រាកដ m ដង។

2. ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានឫសពិតយ៉ាងតិចមួយ។

3. ប្រសិនបើ α ជាឫសនៃ Р(х) បន្ទាប់មក Р n (х) = (х - α) · Q n - 1 (x) ដែល Q n - 1 (x) គឺជាពហុធានៃដឺក្រេ (n - 1) .

4. ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់គឺជាផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ។

5. ពហុធាដែលបានកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់មិនអាចមានឫសសនិទានប្រភាគបានទេ។

6. សម្រាប់ពហុធាដឺក្រេទីបី

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d រឿងមួយក្នុងចំណោមពីរគឺអាចធ្វើទៅបាន៖ ទាំងវារលាយទៅជាផលិតផលនៃ binomials បី

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) ឬ decompose ទៅជាផលិតផលនៃ binomial និង trinomial ការ៉េ P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ) ។

7. ពហុធានៃដឺក្រេទីបួនពង្រីកទៅជាផលគុណនៃត្រីកោណការ៉េពីរ។

8. ពហុធា f(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយពហុនាម g(x) ដោយគ្មានសល់ ប្រសិនបើមានពហុនាម q(x) ដូចនេះ f(x) = g(x) q(x)។ ដើម្បីបែងចែកពហុធា ច្បាប់នៃ "ការបែងចែកដោយជ្រុងមួយ" ត្រូវបានអនុវត្ត។

9. ដើម្បីឱ្យពហុនាម P(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial (x – c) វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល c ជាឫសគល់នៃ P(x) (Corollary to Bezout's theorem)។

10. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ប្រសិនបើ x 1, x 2, ..., x n គឺជាឫសពិតនៃពហុនាម

P (x) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ... + a n បន្ទាប់មកសមភាពខាងក្រោមមាន៖

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0 ។

ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១ . រកសល់បន្ទាប់ពីបែងចែក P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 ដោយ (x - 1/3) ។

ការសម្រេចចិត្ត។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout៖ "នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial (x - c) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុនាមនៅក្នុង c" ។ ចូររក P(1/3) = 0។ ដូច្នេះហើយ នៅសល់គឺ 0 ហើយលេខ 1/3 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា។

ចម្លើយ៖ R = 0 ។

ឧទាហរណ៍ ២ . ចែក "ជ្រុង" 2x 3 + 3x 2 − 2x + 3 ដោយ (x + 2) ។ ស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសេសសល់ និងបរិមាណមិនពេញលេញ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2x 3 + 3x 2 − 2x + 3| x + ២

2x 3 + 4x 2 2x 2 − x

X 2 - 2x

X 2 - 2x

ចម្លើយ៖ R = 3; កូតា៖ 2x 2 - x ។

វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង

1. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺថា ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ f (x) \u003d 0 អថេរថ្មី (ជំនួស) t \u003d x n ឬ t \u003d g (x) ត្រូវបានណែនាំ ហើយ f (x) ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ t ការទទួលបានសមីការថ្មី r (t) ។ ដោះស្រាយសមីការ r(t) រកឫស៖ (t 1, t 2, …, t n) ។ បន្ទាប់ពីនោះ សំណុំនៃសមីការ n q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n ត្រូវបានទទួល ដែលឫសនៃសមីការដើមត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍;(x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ៖ (x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 ។

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x + 1) + 3 − 1 = 0 ។

ការជំនួស (x 2 + x + 1) = t ។

t 2 − 3t + 2 = 0 ។

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. ការជំនួសបញ្ច្រាស៖

x 2 + x + 1 = 2 ឬ x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 ឬ x 2 + x \u003d 0;

ពីសមីការទីមួយ: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, ពីទីពីរ: 0 និង -1 ។

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីស្វែងរកកម្មវិធីក្នុងការដោះស្រាយ អាចត្រឡប់មកវិញបាន។ សមីការ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0 ដែលមេគុណនៃលក្ខខណ្ឌនៃសមីការមានគម្លាតស្មើគ្នាពីដើម និងចុង។ , គឺស្មើគ្នា។

2. ការបំបែកកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃការដាក់ជាក្រុម និងរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់

មូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺដើម្បីដាក់លក្ខខណ្ឌជាក្រុមតាមរបៀបដែលក្រុមនីមួយៗមានកត្តារួមមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវប្រើល្បិចសិប្បនិម្មិតមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍៖ x 4 − 3x 2 + 4x − 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ស្រមៃ - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 និងក្រុម៖

(x 4 − 2x 2) - (x 2 − 4x + 3) = 0 ។

(x 4 − 2x 2 +1 − 1) - (x 2 − 4x + 3 + 1 − 1) = 0 ។

(x 2 − 1) 2 − 1 − (x − 2) 2 + 1 = 0 ។

(x 2 − 1) 2 - (x − 2) 2 \u003d 0 ។

(x 2 − 1 − x + 2) (x 2 − 1 + x − 2) = 0 ។

(x 2 − x + 1) (x 2 + x − 3) = 0 ។

x 2 - x + 1 \u003d 0 ឬ x 2 + x - 3 \u003d 0 ។

មិនមានឫសនៅក្នុងសមីការទី 1 ពីទីពីរ: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2 ។

3. កត្តាកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តគឺថាពហុធាដើមត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាដែលមានមេគុណមិនស្គាល់។ ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិដែលពហុនាមស្មើគ្នា ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាស្មើគ្នានៅថាមពលដូចគ្នា មេគុណពង្រីកដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍៖ x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ពហុធានៃដឺក្រេទី 3 អាចត្រូវបានបំបែកទៅជាផលិតផលនៃកត្តាលីនេអ៊ែរ និងការ៉េ។

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b − a) x 2 + (c − ab) x − ac ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

យើង​ទទួល​បាន

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2) ។

ឫសគល់នៃសមីការ (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ងាយស្រួលរក។

ចម្លើយ៖ -១; -២.

4. វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសឫសដោយមេគុណខ្ពស់បំផុតនិងឥតគិតថ្លៃ

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ៖

1) ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់ គឺជាអ្នកចែកនៃពាក្យសេរី។

2) ដើម្បីឱ្យប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន p/q (p ជាចំនួនគត់ q ជាធម្មជាតិ) ជាឫសគល់នៃសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់ វាចាំបាច់ដែលលេខ p គឺជាអ្នកចែកចំនួនគត់នៃពាក្យសេរី a 0 ហើយ q គឺជាការបែងចែកធម្មជាតិនៃមេគុណខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍៖ 6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2: ទំ = ± 1, ± 2

6: q = 1, 2, 3, 6 ។

ដូច្នេះ p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6។

ដោយបានរកឃើញឫសមួយឧទាហរណ៍ - 2 យើងនឹងរកឃើញឫសផ្សេងទៀតដោយប្រើការបែងចែកដោយជ្រុងមួយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ឬគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ចម្លើយ៖ -២; 1/2; ១/៣.

5. វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក។

វិធីសាស្រ្តនេះមាននៅក្នុងការគូសវាសក្រាហ្វ និងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍៖ x 5 + x − 2 = 0

ចូរតំណាងឱ្យសមីការក្នុងទម្រង់ x 5 \u003d - x + 2 ។ មុខងារ y \u003d x 5 កំពុងកើនឡើង ហើយមុខងារ y \u003d - x + 2 កំពុងថយចុះ។ នេះមានន័យថាសមីការ x 5 + x - 2 \u003d 0 មានឫសតែមួយ -1 ។

6. គុណនៃសមីការដោយអនុគមន៍មួយ។

ជួនកាលដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតត្រូវបានសម្របសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដោយការគុណផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយមុខងារមួយចំនួន - ពហុធានៅក្នុងមិនស្គាល់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវាត្រូវតែចងចាំថាឫសបន្ថែមអាចលេចឡើង - ឫសនៃពហុធាដែលសមីការត្រូវបានគុណ។ ដូច្នេះ គេត្រូវតែគុណនឹងពហុនាមដែលមិនមានឫស និងទទួលបានសមីការសមមូល ឬគុណដោយពហុធាជាមួយឬស ហើយបន្ទាប់មកឫសនីមួយៗត្រូវជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម ហើយកំណត់ថាតើលេខនេះគឺជាឫសរបស់វា។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

ការសម្រេចចិត្ត៖ ការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយពហុធា X 2 + 1 ដែលមិនមានឫសគល់ យើងទទួលបានសមីការ៖

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
សមីការ (១). សមីការ (២) អាចសរសេរជា៖

X 10 + 1 = 0 (3)
វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការ (3) មិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ដូច្នេះសមីការ (1) មិនមានពួកវាទេ។

ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

បន្ថែមពីលើវិធីសាស្រ្តខាងលើសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះមានផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ការជ្រើសរើសការ៉េពេញ គ្រោងការណ៍របស់ Horner តំណាងនៃប្រភាគក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគពីរ។ នៃវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ដែលត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតពួកគេប្រើ: វិធីសាស្រ្តនៃកត្តានៃផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាកត្តា;

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ (វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី); វិធីក្រាហ្វិក។ យើងណែនាំវិធីសាស្រ្តទាំងនេះដល់សិស្សថ្នាក់ទី 9 នៅពេលសិក្សាលើប្រធានបទ "សមីការទាំងមូល និងឫសគល់របស់វា"។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតទី 9 (អ្នកនិពន្ធ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk និងអ្នកដទៃ) នៃឆ្នាំចុងក្រោយនៃការបោះពុម្ពផ្សាយ វិធីសាស្ត្រសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងត្រូវបានពិចារណាលម្អិតគ្រប់គ្រាន់។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងផ្នែក "សម្រាប់អ្នកដែលចង់ដឹងបន្ថែម" តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ សម្ភារៈត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងវិធីដែលអាចចូលដំណើរការបានលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើឫសនៃពហុធា និងចំនួនគត់នៃសមីការទាំងមូលនៅពេលដោះស្រាយសមីការខ្ពស់ជាង។ ដឺក្រេ។ សិស្សដែលរៀបចំបានល្អសិក្សាសម្ភារៈនេះដោយចំណាប់អារម្មណ៍ ហើយបន្ទាប់មកបង្ហាញសមីការដែលបានដោះស្រាយទៅមិត្តរួមថ្នាក់របស់ពួកគេ។

ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញយើងត្រូវបានភ្ជាប់ក្នុងវិធីមួយឬមួយផ្សេងទៀតជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា។ សមិទ្ធិផលក្នុងរូបវិទ្យា វិស្វកម្ម បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានគ្រាន់តែបញ្ជាក់ពីរឿងនេះប៉ុណ្ណោះ។ ហើយអ្វីដែលសំខាន់ - ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើនបានចុះមកក្នុងការដោះស្រាយសមីការជាច្រើនប្រភេទដែលអ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបដោះស្រាយ។

ពិចារណា ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរមួយដឺក្រេខ្ពស់ជាងទីពីរ។

ដឺក្រេនៃសមីការ P(x) = 0 គឺជាដឺក្រេនៃពហុធា P(x), i.e. អំណាចធំបំផុតនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វាជាមួយនឹងមេគុណមិនសូន្យ។

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សមីការ (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 មានសញ្ញាប័ត្រទីប្រាំ ពីព្រោះ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការនៃការបើកតង្កៀបនិងនាំយកស្រដៀងគ្នាយើងទទួលបានសមីការសមមូល x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 នៃដឺក្រេទី 5 ។

រំលឹកឡើងវិញនូវច្បាប់ដែលនឹងត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងទីពីរ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីឫសនៃពហុនាម និងការបែងចែករបស់វា៖

1. ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី n មានចំនួនឫសមិនលើសពីចំនួន n ហើយឫសនៃគុណ m កើតឡើងពិតប្រាកដ m ដង។

2. ពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានឫសពិតយ៉ាងតិចមួយ។

3. ប្រសិនបើ α ជាឫសនៃ Р(х) នោះ Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x) ដែល Q n – 1 (x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ (n – 1) .

4.

5. ពហុធាដែលបានកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់មិនអាចមានឫសសនិទានប្រភាគបានទេ។

6. សម្រាប់ពហុធាដឺក្រេទីបី

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d រឿងមួយក្នុងចំណោមពីរគឺអាចធ្វើទៅបាន៖ ទាំងវារលាយទៅជាផលិតផលនៃ binomials បី

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) ឬ decompose ទៅជាផលិតផលនៃ binomial និង trinomial ការ៉េ P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ) ។

7. ពហុធានៃដឺក្រេទីបួនពង្រីកទៅជាផលគុណនៃត្រីកោណការ៉េពីរ។

8. ពហុធា f(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយពហុនាម g(x) ដោយគ្មានសល់ ប្រសិនបើមានពហុនាម q(x) នោះ f(x) = g(x) q(x)។ ដើម្បីបែងចែកពហុធា ច្បាប់នៃ "ការបែងចែកដោយជ្រុងមួយ" ត្រូវបានអនុវត្ត។

9. ដើម្បីឱ្យពហុនាម P(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial (x – c) វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលលេខ c ជាឫសនៃ P(x) (Corollary to Bezout's theorem)។

10. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ប្រសិនបើ x 1, x 2, ..., x n គឺជាឫសពិតនៃពហុនាម

P (x) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ... + a n បន្ទាប់មកសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0 ។

ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១

រកសល់បន្ទាប់ពីបែងចែក P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 ដោយ (x - 1/3) ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout៖ "នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial (x - c) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុនាមនៅក្នុង c" ។ ចូរយើងស្វែងរក P(1/3) = 0។ ដូច្នេះហើយ នៅសល់គឺ 0 ហើយលេខ 1/3 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា។

ចម្លើយ៖ R = 0 ។

ឧទាហរណ៍ ២

ចែក "ជ្រុង" 2x 3 + 3x 2 − 2x + 3 ដោយ (x + 2) ។ ស្វែងរកផ្នែកដែលនៅសេសសល់ និងបរិមាណមិនពេញលេញ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

2x 3 + 3x 2 − 2x + 3| x + ២

2x 3 + 4x 2 2x 2 − x

X 2 – 2 x

ចម្លើយ៖ R = 3; កូតា៖ 2x 2 - x ។

វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង

1. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយពីឧទាហរណ៍នៃសមីការ biquadratic ។ វាមាននៅក្នុងការពិតដែលថាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ f (x) \u003d 0 អថេរថ្មី (ជំនួស) t \u003d x n ឬ t \u003d g (x) ត្រូវបានណែនាំហើយ f (x) ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ t ទទួលបាន សមីការថ្មី r (t) ។ បន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការ r(t) រកឫស៖

(t 1 , t 2 , …, t n) ។ បន្ទាប់ពីនោះ សំណុំនៃសមីការ n q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n ត្រូវបានទទួល ដែលឫសនៃសមីការដើមត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ ១

(x 2 + x + 1) 2 − 3x 2 − 3x − 1 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x) − 1 = 0 ។

(x 2 + x + 1) 2 − 3 (x 2 + x + 1) + 3 − 1 = 0 ។

ការជំនួស (x 2 + x + 1) = t ។

t 2 − 3t + 2 = 0 ។

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. ការជំនួសបញ្ច្រាស៖

x 2 + x + 1 = 2 ឬ x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x − 1 = 0 ឬ x 2 + x = 0;

ចំលើយ៖ ពីសមីការទីមួយ៖ x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2 ពីសមីការទីពីរ៖ 0 និង −1 ។

2. ការបំបែកកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃការដាក់ជាក្រុម និងរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់

មូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្រ្តនេះក៏មិនមែនជារឿងថ្មីដែរ ហើយមាននៅក្នុងការដាក់ជាក្រុមតាមវិធីដែលក្រុមនីមួយៗមានកត្តារួមមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវប្រើល្បិចសិប្បនិម្មិតមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១

x 4 − 3x 2 + 4x − 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ស្រមៃ - 3x 2 = −2x 2 − x 2 និងក្រុម៖

(x 4 − 2x 2) - (x 2 − 4x + 3) = 0 ។

(x 4 − 2x 2 +1 − 1) - (x 2 − 4x + 3 + 1 − 1) = 0 ។

(x 2 − 1) 2 − 1 − (x − 2) 2 + 1 = 0 ។

(x 2 − 1) 2 - (x − 2) 2 \u003d 0 ។

(x 2 − 1 − x + 2) (x 2 − 1 + x − 2) = 0 ។

(x 2 − x + 1) (x 2 + x − 3) = 0 ។

x 2 - x + 1 \u003d 0 ឬ x 2 + x - 3 \u003d 0 ។

ចម្លើយ៖ មិនមានឫសគល់នៅក្នុងសមីការទីមួយទេ ពីទីពីរ៖ x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2 ។

3. ការបំបែកកត្តាដោយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តគឺថាពហុធាដើមត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាដែលមានមេគុណមិនស្គាល់។ ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិដែលពហុនាមស្មើគ្នា ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាស្មើគ្នានៅថាមពលដូចគ្នា មេគុណពង្រីកដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ ១

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ពហុធានៃដឺក្រេទី 3 អាចត្រូវបានបំបែកទៅជាផលិតផលនៃកត្តាលីនេអ៊ែរ និងការ៉េ។

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, i.e.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2) ។

ឫសគល់នៃសមីការ (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ងាយស្រួលរក។

ចម្លើយ៖ -១; -២.

4. វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសឫសដោយមេគុណខ្ពស់បំផុតនិងឥតគិតថ្លៃ

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ៖

1) ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់គឺជាផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ។

2) ដើម្បីឱ្យប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន p/q (p ជាចំនួនគត់ q ជាធម្មជាតិ) ជាឫសគល់នៃសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់ វាចាំបាច់ដែលលេខ p គឺជាអ្នកចែកចំនួនគត់នៃពាក្យសេរី a 0 និង q គឺជាការបែងចែកធម្មជាតិនៃមេគុណខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍ ១

6x 3 + 7x 2 − 9x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

6: q = 1, 2, 3, 6 ។

ដូច្នេះ p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6។

ដោយបានរកឃើញឫសមួយឧទាហរណ៍ - 2 យើងនឹងរកឃើញឫសផ្សេងទៀតដោយប្រើការបែងចែកដោយជ្រុងមួយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ឬគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ចម្លើយ៖ -២; 1/2; ១/៣.

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។