គណិតវិទ្យា 1. តើពាក្យគណិតវិទ្យាមកពីណា 2. តើអ្នកណាជាអ្នកបង្កើតគណិតវិទ្យា? 3. ប្រធានបទសំខាន់ៗ។ 4. និយមន័យ 5. Etymology នៅលើស្លាយចុងក្រោយ។
តើពាក្យនេះមកពីណា (ទៅស្លាយមុន) គណិតវិទ្យាមកពីភាសាក្រិច - ការសិក្សា វិទ្យាសាស្ត្រ) គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃរចនាសម្ព័ន្ធ លំដាប់ និងទំនាក់ទំនង តាមប្រវត្តិសាស្ត្រផ្អែកលើប្រតិបត្តិការរាប់ វាស់ និងពណ៌នាអំពីរូបរាងរបស់វត្ថុ។ វត្ថុគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈសមហេតុផលនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវត្ថុគណិតវិទ្យាពិត ឬផ្សេងទៀត ហើយសរសេរលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះជាភាសាផ្លូវការមួយ។
តើអ្នកណាជាអ្នកបង្កើតគណិតវិទ្យា (ចូលទៅកាន់ម៉ឺនុយ) គណិតវិទូដំបូងគេត្រូវបានគេហៅថា Thales of Miletus ដែលរស់នៅក្នុងសតវត្សទី VI ។ BC អ៊ី ម្នាក់ក្នុងចំណោមអ្នកប្រាជ្ញទាំងប្រាំពីរនៃប្រទេសក្រិក។ ត្រូវថាតាមដែលអាចធ្វើបាន វាគឺជាអ្នកដំបូងគេដែលរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធចំណេះដឹងទាំងមូលលើប្រធានបទនេះ ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងជាយូរមកហើយនៅក្នុងពិភពលោកដែលគេស្គាល់គាត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកនិពន្ធនៃសន្ធិសញ្ញាដំបូងបង្អស់ស្តីពីគណិតវិទ្យាដែលបានចុះមករកយើងគឺ Euclid (សតវត្សទី III មុនគ.ស)។ គាត់ក៏សមនឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបិតានៃវិទ្យាសាស្រ្តនេះ។
ប្រធានបទសំខាន់ៗ (ចូលទៅកាន់ម៉ឺនុយ) មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារួមបញ្ចូលតែវិទ្យាសាស្ត្រទាំងនោះប៉ុណ្ណោះ ដែលទាំងលំដាប់ ឬរង្វាស់ត្រូវបានពិចារណា ហើយវាមិនមានបញ្ហាអ្វីទាំងអស់ថាតើទាំងនេះជាលេខ តួលេខ ផ្កាយ សំឡេង ឬអ្វីផ្សេងទៀតដែលការវាស់វែងនេះ ត្រូវបានរកឃើញ។ ដូច្នេះហើយ ត្រូវតែមានវិទ្យាសាស្ត្រទូទៅមួយចំនួនដែលពន្យល់ពីអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដែលទាក់ទងនឹងលំដាប់ និងរង្វាស់ ដោយមិនចាំបាច់ចូលទៅក្នុងការសិក្សាមុខវិជ្ជាណាមួយឡើយ ហើយវិទ្យាសាស្ត្រនេះត្រូវតែហៅថាមិនមែនដោយបរទេសទេ ប៉ុន្តែតាមឈ្មោះចាស់នៃគណិតវិទ្យាទូទៅ។
និយមន័យ (ចូលទៅកាន់ម៉ឺនុយ) ការវិភាគបែបទំនើបគឺផ្អែកលើការវិភាគគណិតវិទ្យាបុរាណ ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផ្នែកសំខាន់មួយក្នុងចំណោមផ្នែកសំខាន់ៗទាំងបីនៃគណិតវិទ្យា (រួមជាមួយនឹងពិជគណិត និងធរណីមាត្រ)។ ទន្ទឹមនឹងនេះពាក្យ "ការវិភាគគណិតវិទ្យា" ក្នុងន័យបុរាណត្រូវបានប្រើជាចម្បងនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សានិងសម្ភារៈ។ នៅក្នុងប្រពៃណីអង់គ្លេស-អាមេរិក ការវិភាគគណិតវិទ្យាបុរាណត្រូវគ្នាទៅនឹងកម្មវិធីវគ្គសិក្សាដែលមានឈ្មោះ "ការគណនា"
និរុត្តិសាស្ត្រ (ចូលទៅកាន់ម៉ឺនុយ) ពាក្យ "គណិតវិទ្យា" មកពីភាសាក្រិចផ្សេងទៀត។ មានន័យថា ការសិក្សា ចំណេះដឹង វិទ្យាសាស្ត្រ ជាដើម - ភាសាក្រិច មានន័យថា ទទួលជោគជ័យ ក្រោយមកទាក់ទងនឹងការសិក្សា ក្រោយមកទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យា។ ជាពិសេសនៅក្នុងឡាតាំង វាមានន័យថាសិល្បៈនៃគណិតវិទ្យា។ ពាក្យគឺផ្សេងទៀត - ក្រិក។ នៅក្នុងអត្ថន័យសម័យទំនើបនៃពាក្យនេះ "គណិតវិទ្យា" ត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងស្នាដៃរបស់អារីស្តូត (សតវត្សទី 4 មុនគ) នៅក្នុង "សៀវភៅដែលបានជ្រើសរើសដោយសង្ខេបនៅលើ Nine Muses និងនៅលើ Seven Free Arts" (1672)
គណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃទំនាក់ទំនងបរិមាណ និងទម្រង់លំហនៃការពិតសិក្សាជុំវិញពិភពលោកជុំវិញយើង បាតុភូតធម្មជាតិ និងសង្គម។ ប៉ុន្តែមិនដូចវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទេ គណិតវិទ្យាសិក្សាពីលក្ខណៈពិសេសរបស់វាដោយអរូបីពីអ្នកដទៃ។ ដូច្នេះធរណីមាត្រសិក្សាពីរូបរាង និងទំហំនៃវត្ថុដោយមិនគិតពីលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតរបស់វា៖ ពណ៌ ម៉ាស ភាពរឹង។ល។ ជាទូទៅ វត្ថុគណិតវិទ្យា (រូបធរណីមាត្រ លេខ តម្លៃ) ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចិត្តមនុស្ស ហើយមានតែនៅក្នុងការគិតរបស់មនុស្សប៉ុណ្ណោះ ក្នុងសញ្ញា និងនិមិត្តសញ្ញាដែលបង្កើតជាភាសាគណិតវិទ្យា។
ភាពអរូបីនៃគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗ វាជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលសម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីធម្មជាតិ។
ទម្រង់នៃចំណេះដឹងត្រូវបានបែងចែកជាពីរក្រុម។
ក្រុមទីមួយបង្កើតជាទម្រង់នៃការយល់ដឹង អនុវត្តដោយជំនួយនៃសរីរាង្គញ្ញាណផ្សេងៗ៖ ការមើលឃើញ ការស្តាប់ ក្លិន ការប៉ះ រសជាតិ។
សហ។ ក្រុមទីពីររួមបញ្ចូលទម្រង់នៃការគិតអរូបី គំនិតជាចម្បង សេចក្តីថ្លែងការណ៍ និងការសន្និដ្ឋាន។
ទម្រង់នៃការយល់ដឹងខាងវិញ្ញាណគឺ មានអារម្មណ៍, ការយល់ឃើញនិង តំណាង.
វត្ថុនីមួយៗមិនមានមួយទេ ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើន ហើយយើងស្គាល់ពួកវាដោយជំនួយនៃអារម្មណ៍។
អារម្មណ៍- នេះគឺជាការឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈបុគ្គលនៃវត្ថុ ឬបាតុភូតនៃពិភពសម្ភារៈ ដែលដោយផ្ទាល់ (មានន័យថានៅពេលនេះ) ប៉ះពាល់ដល់អារម្មណ៍របស់យើង។ ទាំងនេះគឺជាអារម្មណ៍នៃពណ៌ក្រហម ក្តៅ ជុំ ពណ៌បៃតង ផ្អែម រលោង និងលក្ខណៈបុគ្គលផ្សេងទៀតនៃវត្ថុ [Getmanova, ទំ។ ៧]។
តាមអារម្មណ៍បុគ្គល ការយល់ឃើញនៃវត្ថុទាំងមូលត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ជាឧទាហរណ៍ ការយល់ឃើញរបស់ផ្លែប៉ោមមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងពីអារម្មណ៍បែបនេះ៖ រាងស្វ៊ែរ ក្រហម ផ្អែម និងជូរ ក្លិនក្រអូប។ល។
ការយល់ឃើញគឺជាការឆ្លុះបញ្ចាំងរួមនៃវត្ថុខាងក្រៅ ដែលជះឥទ្ធិពលដោយផ្ទាល់ដល់អារម្មណ៍របស់យើង [Getmanova, ទំ។ ប្រាំបី] ។ ឧទាហរណ៍រូបភាពនៃចាន, ពែង, ស្លាបព្រា, ឧបករណ៍ប្រើប្រាស់ផ្សេងទៀត; រូបភាពនៃទន្លេ ប្រសិនបើយើងកំពុងជិះទូកតាមមាត់ទន្លេ ឬនៅលើច្រាំងទន្លេនោះ។ រូបព្រៃ បើឥឡូវមកដល់ព្រៃហើយ ។ល។
ការយល់ឃើញ ថ្វីត្បិតតែវាគឺជាការឆ្លុះបញ្ចាំងពីអារម្មណ៍នៃការពិតនៅក្នុងចិត្តរបស់យើងក៏ដោយ ប៉ុន្តែភាគច្រើនពឹងផ្អែកលើបទពិសោធន៍របស់មនុស្ស។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកជីវវិទូនឹងយល់ឃើញវាលស្មៅតាមរបៀបមួយ (គាត់នឹងឃើញប្រភេទផ្សេងៗនៃរុក្ខជាតិ) ប៉ុន្តែអ្នកទេសចរ ឬវិចិត្រករនឹងយល់ឃើញវាតាមរបៀបខុសគ្នាទាំងស្រុង។
ការសម្តែង- នេះគឺជារូបភាពដ៏ត្រេកត្រអាលនៃវត្ថុមួយ ដែលមិនត្រូវបានគេយល់ឃើញដោយយើងនាពេលបច្ចុប្បន្ន ប៉ុន្តែដែលត្រូវបានដឹងពីមុនដោយយើងក្នុងទម្រង់មួយ ឬមួយផ្សេងទៀត [Getmanova, ទំ។ ដប់] ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចស្រមៃមើលមុខអ្នកស្គាល់គ្នា បន្ទប់របស់យើងនៅក្នុងផ្ទះ ដើមឈើ birch ឬផ្សិតមួយ។ ទាំងនេះគឺជាឧទាហរណ៍ បន្តពូជតំណាង ដូចដែលយើងបានឃើញវត្ថុទាំងនេះ។
បទបង្ហាញអាចជា ច្នៃប្រឌិតរួមទាំង អស្ចារ្យ. យើងបង្ហាញជូននូវព្រះនាង Swan ដ៏ស្រស់ស្អាត ឬ Tsar Saltan ឬ Golden Cockerel និងតួអង្គជាច្រើនទៀតពីរឿងនិទានរបស់ A.S. Pushkin ដែលយើងមិនដែលឃើញ ហើយមិនដែលឃើញ។ ទាំងនេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការបង្ហាញប្រកបដោយភាពច្នៃប្រឌិតលើការពិពណ៌នាពាក្យសំដី។ យើងក៏ស្រមៃថា Snow Maiden, Santa Claus, mermaid ជាដើម។
ដូច្នេះទម្រង់នៃការយល់ដឹងគឺអារម្មណ៍ ការយល់ឃើញ និងតំណាង។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ យើងរៀនពីទិដ្ឋភាពខាងក្រៅនៃវត្ថុ (លក្ខណៈរបស់វា រួមទាំងលក្ខណៈសម្បត្តិ)។
ទម្រង់នៃការគិតអរូបី គឺជាគំនិត សេចក្តីថ្លែងការណ៍ និងការសន្និដ្ឋាន។
គំនិត។ វិសាលភាព និងខ្លឹមសារនៃគំនិត
ពាក្យ "គំនិត" ជាធម្មតាត្រូវបានប្រើដើម្បីសំដៅទៅលើប្រភេទទាំងមូលនៃវត្ថុនៃធម្មជាតិបំពានដែលមានលក្ខណៈជាក់លាក់មួយ (ដោយឡែក, សំខាន់) ឬសំណុំទាំងមូលនៃលក្ខណៈសម្បត្តិបែបនេះ, i.e. លក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានលក្ខណៈពិសេសសម្រាប់សមាជិកនៃថ្នាក់នោះ។
តាមទស្សនៈនៃតក្កវិជ្ជា គំនិតគឺជាទម្រង់នៃការគិតពិសេស ដែលត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដូចខាងក្រោមៈ 1) គំនិតគឺជាផលិតផលនៃបញ្ហាដែលមានការរៀបចំខ្ពស់; 2) គំនិតឆ្លុះបញ្ចាំងពីពិភពសម្ភារៈ; 3) គំនិតលេចឡើងនៅក្នុងស្មារតីជាមធ្យោបាយនៃការធ្វើឱ្យទូទៅមួយ; 4) គំនិតមានន័យថាជាពិសេសសកម្មភាពរបស់មនុស្ស; 5) ការបង្កើតគំនិតនៅក្នុងគំនិតរបស់មនុស្សគឺមិនអាចបំបែកចេញពីការបញ្ចេញមតិរបស់ខ្លួនតាមរយៈការនិយាយ ការសរសេរ ឬនិមិត្តសញ្ញា។
តើគំនិតនៃវត្ថុនៃការពិតណាមួយកើតឡើងនៅក្នុងគំនិតរបស់យើងដោយរបៀបណា?
ដំណើរការនៃការបង្កើតគំនិតជាក់លាក់មួយ គឺជាដំណើរការបណ្តើរៗ ដែលដំណាក់កាលបន្តបន្ទាប់ជាច្រើនអាចត្រូវបានគេមើលឃើញ។ ពិចារណាដំណើរការនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត - ការបង្កើតគំនិតនៃលេខ 3 ចំពោះកុមារ។
1. នៅដំណាក់កាលដំបូងនៃការយល់ដឹង កុមារស្គាល់សំណុំជាក់លាក់ផ្សេងៗ ដោយប្រើរូបភាពប្រធានបទ និងបង្ហាញឈុតផ្សេងៗនៃធាតុបី (ផ្លែប៉ោមបី សៀវភៅបី ខ្មៅដៃបី ។ល។)។ កុមារមិនត្រឹមតែឃើញឈុតទាំងនេះប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែពួកគេក៏អាចប៉ះ (ប៉ះ) វត្ថុដែលបង្កើតជាឈុតទាំងនេះផងដែរ។ ដំណើរការនៃការ "មើលឃើញ" នេះបង្កើតនៅក្នុងចិត្តរបស់កុមារនូវទម្រង់ពិសេសនៃការឆ្លុះបញ្ចាំងពីការពិត ដែលត្រូវបានគេហៅថា ការយល់ឃើញ (អារម្មណ៍) ។
2. ចូរយើងដកវត្ថុ (វត្ថុ) ដែលបង្កើតជាឈុតនីមួយៗចេញ ហើយអញ្ជើញកុមារឱ្យកំណត់ថាតើមានអ្វីដូចគ្នាដែលកំណត់លក្ខណៈនីមួយៗ។ ចំនួននៃវត្ថុនៅក្នុងឈុតនីមួយៗគឺត្រូវកត់ត្រានៅក្នុងគំនិតរបស់កុមារថាមាន "បី" នៅគ្រប់ទីកន្លែង។ បើដូច្នេះមែន ទម្រង់ថ្មីមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងគំនិតរបស់កុមារ - គំនិតនៃលេខបី។
3. នៅដំណាក់កាលបន្ទាប់ ដោយផ្អែកលើការពិសោធគំនិត កុមារគួរតែឃើញថាទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងពាក្យ "បី" បង្ហាញពីសំណុំនៃធាតុផ្សេងគ្នានៃទម្រង់ (a; b; c) ។ ដូច្នេះ លក្ខណៈទូទៅដ៏សំខាន់នៃឈុតបែបនេះនឹងត្រូវបានជ្រើសរើស៖ "ដើម្បីឱ្យមានធាតុបី" ។ឥឡូវនេះយើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងគំនិតរបស់កុមារបានបង្កើតឡើង គំនិតនៃលេខ 3 ។
គំនិត- នេះគឺជាទម្រង់នៃការគិតពិសេស ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈសំខាន់ (ដោយឡែក) នៃវត្ថុ ឬវត្ថុនៃការសិក្សា។
ទម្រង់ភាសានៃគោលគំនិត គឺជាពាក្យ ឬក្រុមនៃពាក្យ។ ឧទាហរណ៍ "ត្រីកោណ", "លេខបី", "ចំណុច", "បន្ទាត់ត្រង់", "ត្រីកោណ isosceles", "រុក្ខជាតិ", "ដើមឈើ coniferous", "ទន្លេ Yenisei", "តារាង" ជាដើម។
គំនិតគណិតវិទ្យាមានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួន។ ចំណុចសំខាន់គឺថាវត្ថុគណិតវិទ្យាដែលវាចាំបាច់ដើម្បីបង្កើតគំនិតមិនមាននៅក្នុងការពិតទេ។ វត្ថុគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចិត្តមនុស្ស។ ទាំងនេះគឺជាវត្ថុដ៏ល្អដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីវត្ថុពិត ឬបាតុភូត។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងធរណីមាត្រ រូបរាង និងទំហំនៃវត្ថុត្រូវបានសិក្សា ដោយមិនគិតពីលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតរបស់វា៖ ពណ៌ ម៉ាស ភាពរឹង ជាដើម។ ពីទាំងអស់នេះ ពួកគេត្រូវបានរំខាន, អរូបី។ ដូច្នេះនៅក្នុងធរណីមាត្រជំនួសឱ្យពាក្យ "វត្ថុ" ពួកគេនិយាយថា "តួលេខធរណីមាត្រ" ។ លទ្ធផលនៃអរូបីក៏ជាគោលគំនិតគណិតវិទ្យាដូចជា "លេខ" និង "តម្លៃ" ។
លក្ខណៈពិសេសចម្បងណាមួយ។ គំនិតគឺខាងក្រោម៖ ១) កម្រិតសំឡេង; 2) មាតិកា; 3) ទំនាក់ទំនងរវាងគំនិត.
នៅពេលពួកគេនិយាយអំពីគោលគំនិតគណិតវិទ្យា ពួកវាជាធម្មតាមានន័យថាសំណុំទាំងមូល (សំណុំ) នៃវត្ថុដែលតំណាងដោយពាក្យមួយ (ពាក្យ ឬក្រុមនៃពាក្យ)។ ដូច្នេះបើនិយាយពីការការ៉េ ពួកគេមានន័យថារាងធរណីមាត្រទាំងអស់ដែលជាការ៉េ។ វាត្រូវបានគេជឿថាសំណុំនៃការ៉េទាំងអស់គឺជាវិសាលភាពនៃគំនិតនៃ "ការេ" ។
វិសាលភាពនៃគំនិតសំណុំនៃវត្ថុឬវត្ថុដែលគំនិតនេះអាចអនុវត្តបានត្រូវបានគេហៅថា។
ឧទាហរណ៍ 1) វិសាលភាពនៃគោលគំនិតនៃ "ប៉ារ៉ាឡែល" គឺជាសំណុំនៃចតុកោណកែង ដូចជា ប៉ារ៉ាឡែលត្រឹមត្រូវ, rhombuses, ចតុកោណកែង និងការ៉េ។ 2) វិសាលភាពនៃគំនិតនៃ "លេខធម្មជាតិមួយខ្ទង់" នឹងជាសំណុំ - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ។
វត្ថុគណិតវិទ្យាណាមួយមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់។ ឧទាហរណ៍ ការ៉េមានបួនជ្រុង មុំខាងស្តាំបួនស្មើនឹងអង្កត់ទ្រូង អង្កត់ទ្រូងត្រូវបាន bisected ដោយចំនុចប្រសព្វ។ អ្នកអាចបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតរបស់វា ប៉ុន្តែក្នុងចំណោមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វត្ថុមាន សំខាន់ (ប្លែក)និង មិនសំខាន់.
ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានគេហៅថា ចាំបាច់ (ដោយឡែក) សម្រាប់វត្ថុមួយ ប្រសិនបើវាមាននៅក្នុងវត្ថុនេះ ហើយបើគ្មានវា វាមិនអាចមានបានឡើយ។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានគេហៅថា មិនសំខាន់ សម្រាប់វត្ថុមួយប្រសិនបើវាអាចមានដោយគ្មានវា។
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ការ៉េ ទ្រព្យសម្បត្តិទាំងអស់ដែលបានរាយខាងលើមានសារៈសំខាន់ណាស់។ ទ្រព្យសម្បត្តិ "ផ្នែក AD គឺផ្ដេក" នឹងមិនពាក់ព័ន្ធសម្រាប់ការ៉េ ABCD (រូបភាព 1)។ ប្រសិនបើការ៉េនេះត្រូវបានបង្វិល នោះចំហៀង AD នឹងបញ្ឈរ។
ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ក្មេងថ្នាក់មត្តេយ្យដោយប្រើសម្ភារៈដែលមើលឃើញ (រូបភាពទី 2)៖
ពិពណ៌នាអំពីតួលេខ។
ត្រីកោណខ្មៅតូច។ អង្ករ។ ២
ត្រីកោណពណ៌សធំ។
តើតួលេខស្រដៀងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?
តើតួលេខខុសគ្នាយ៉ាងណា?
ពណ៌, ទំហំ។
តើត្រីកោណមានអ្វីខ្លះ?
៣ ជ្រុង ៣ ជ្រុង។
ដូច្នេះកុមារស្វែងយល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់និងមិនសំខាន់នៃគំនិតនៃ "ត្រីកោណ" ។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ - "មានបីជ្រុងនិងមុំបី" លក្ខណៈសម្បត្តិមិនសំខាន់ - ពណ៌និងទំហំ។
សរុបនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗ (ដោយឡែក) នៃវត្ថុ ឬវត្ថុដែលឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងគំនិតនេះត្រូវបានគេហៅថា ខ្លឹមសារនៃគំនិត .
ជាឧទាហរណ៍ សម្រាប់គោលគំនិតនៃ "ប៉ារ៉ាឡែល" ខ្លឹមសារគឺជាសំណុំនៃលក្ខណៈសម្បត្តិ៖ វាមានបួនជ្រុង មានបួនជ្រុង ជ្រុងទល់មុខគឺស្របជាគូ ភាគីទល់មុខស្មើគ្នា មុំទល់មុខគឺស្មើគ្នា អង្កត់ទ្រូងនៅចំណុចប្រសព្វគឺ ចែកជាពាក់កណ្តាល។
មានទំនាក់ទំនងរវាងបរិមាណនៃគំនិត និងខ្លឹមសាររបស់វា៖ ប្រសិនបើបរិមាណនៃគំនិតកើនឡើង នោះខ្លឹមសាររបស់វាថយចុះ ហើយផ្ទុយទៅវិញ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ វិសាលភាពនៃគោលគំនិត "ត្រីកោណ isosceles" គឺជាផ្នែកមួយនៃវិសាលភាពនៃគោលគំនិត "ត្រីកោណ" ហើយខ្លឹមសារនៃគោលគំនិត " isosceles triangle" រួមបញ្ចូលនូវលក្ខណៈសម្បត្តិច្រើនជាងខ្លឹមសារនៃគោលគំនិត "ត្រីកោណ" ព្រោះ ត្រីកោណ isosceles មិនត្រឹមតែមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់របស់ត្រីកោណប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានលក្ខណៈផ្សេងទៀតដែលមានតែក្នុងត្រីកោណ isosceles ("ពីរជ្រុងស្មើ" "មុំពីរស្មើ" "មេដ្យានពីរស្មើ" ។ល។
គំនិតត្រូវបានបែងចែកទៅជា នៅលីវ, ធម្មតា។និង ប្រភេទ។
គំនិតដែលបរិមាណស្មើនឹង 1 ត្រូវបានគេហៅថា គំនិតតែមួយ .
ឧទាហរណ៍គំនិត៖ "ទន្លេ Yenisei", "សាធារណៈរដ្ឋ Tuva", "ទីក្រុងម៉ូស្គូ" ។
គំនិតដែលបរិមាណធំជាង 1 ត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅ .
ឧទាហរណ៍ គំនិត៖ "ទីក្រុង", "ទន្លេ", "បួនជ្រុង", "លេខ", "ពហុកោណ", "សមីការ" ។
នៅក្នុងដំណើរការនៃការសិក្សាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយ កុមារជាទូទៅបង្កើតនូវគំនិតទូទៅ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងថ្នាក់បឋមសិក្សា សិស្សបានស្គាល់គោលគំនិតដូចជា "លេខ", "លេខ", "លេខមួយខ្ទង់", "លេខពីរខ្ទង់", "លេខច្រើនខ្ទង់", "ប្រភាគ", "ចែករំលែក។ ", "បន្ថែម", "ពាក្យ", "ផលបូក", "ដក", "ដក", "កាត់បន្ថយ", "ភាពខុសគ្នា", "គុណ", "មេគុណ", "ផលិតផល", "ការបែងចែក", "ចែក", "ចែក", "កូតា", "បាល់, ស៊ីឡាំង, កោណ, គូប, ប៉ារ៉ាឡែលភីប, សាជីជ្រុង, មុំ, ត្រីកោណ, ចតុកោណកែង, ការ៉េ, ចតុកោណកែង, ពហុកោណ, រង្វង់, "រង្វង់", "ខ្សែកោង", "ពហុបន្ទាត់", "ផ្នែក" , "ប្រវែងនៃផ្នែក", "កាំរស្មី", "បន្ទាត់ត្រង់", "ចំណុច", "ប្រវែង", "ទទឹង", "កម្ពស់", "បរិវេណ", "តំបន់រូបភាព", "បរិមាណ", "ពេលវេលា", " ល្បឿន” ម៉ាស” តម្លៃ” “ថ្លៃដើម” និងផ្សេងៗទៀត។ គំនិតទាំងអស់នេះគឺជាគំនិតទូទៅ។
នៅសតវត្សទី 3 មុនគ្រឹស្តសករាជ សៀវភៅ Euclid ដែលមានឈ្មោះដូចគ្នាបានបង្ហាញខ្លួននៅអាឡិចសាន់ឌ្រី នៅក្នុងការបកប្រែជាភាសារុស្សីនៃ "ការចាប់ផ្តើម" ។ ពីឈ្មោះឡាតាំង "ការចាប់ផ្តើម" បានមកពាក្យ "ធរណីមាត្របឋម" ។ ទោះបីជាការសរសេររបស់អ្នកកាន់តំណែងមុនរបស់ Euclid មិនបានធ្លាក់មកលើយើងក៏ដោយ យើងអាចបង្កើតមតិមួយចំនួនអំពីការសរសេរទាំងនេះពី Euclid's Elements។ នៅក្នុង "ការចាប់ផ្តើម" មានផ្នែកដែលមានតក្កវិជ្ជាតិចតួចណាស់ដែលភ្ជាប់ជាមួយផ្នែកផ្សេងទៀត។ រូបរាងរបស់ពួកគេត្រូវបានពន្យល់តែដោយការពិតដែលថាពួកគេត្រូវបានណែនាំតាមប្រពៃណីនិងចម្លង "ការចាប់ផ្តើម" នៃអ្នកកាន់តំណែងមុនរបស់ Euclid ។
Euclid's Elements មាន ១៣ សៀវភៅ។ សៀវភៅ 1 - 6 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ Planimetry សៀវភៅ 7 - 10 និយាយអំពីលេខនព្វន្ធ និងបរិមាណដែលមិនអាចគណនាបាន ដែលអាចបង្កើតបានដោយប្រើត្រីវិស័យ និងត្រង់។ សៀវភៅ 11 ទៅ 13 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ stereometric ។
"ការចាប់ផ្តើម" ចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការបង្ហាញនៃ 23 និយមន័យនិង 10 axioms ។ អ័ក្សប្រាំដំបូងគឺ "គំនិតទូទៅ" នៅសល់ត្រូវបានគេហៅថា "postulates" ។ postulates ពីរដំបូងកំណត់សកម្មភាពដោយមានជំនួយពីអ្នកគ្រប់គ្រងដ៏ល្អមួយ ទីបី - ដោយមានជំនួយពីត្រីវិស័យដ៏ល្អមួយ។ ទីបួន "មុំខាងស្តាំទាំងអស់គឺស្មើគ្នា" គឺលែងត្រូវការតទៅទៀតព្រោះវាអាចត្រូវបានកាត់ចេញពី axioms ដែលនៅសល់។ អត្ថបទចុងក្រោយទីប្រាំអានថា "ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយធ្លាក់លើបន្ទាត់ត្រង់ពីរ ហើយបង្កើតជាមុំម្ខាងផ្នែកខាងក្នុងក្នុងផលបូកនៃបន្ទាត់ត្រង់តិចជាងពីរ នោះជាមួយនឹងការបន្តគ្មានដែនកំណត់នៃបន្ទាត់ត្រង់ទាំងពីរនេះ ពួកគេនឹងប្រសព្វគ្នានៅលើ ជ្រុងដែលមុំតិចជាងពីរបន្ទាត់ត្រង់។"
គោលគំនិតទូទៅទាំង ៥ របស់ អឺគ្លីដ គឺជាគោលការណ៍វាស់ប្រវែង មុំ តំបន់ បរិមាណ៖ "ស្មើនឹងដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា" "បើស្មើត្រូវបូកនឹងស្មើ ផលបូកគឺស្មើគ្នា" "ប្រសិនបើស្មើត្រូវបានដកចេញពីស្មើ នៅសល់គឺស្មើគ្នាក្នុងចំណោមខ្លួនពួកគេ" "ការផ្សំជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមកគឺស្មើគ្នា" "ទាំងមូលគឺធំជាងផ្នែក" ។
បន្ទាប់មកមានការរិះគន់អំពីធរណីមាត្ររបស់ Euclid ។ Euclid ត្រូវបានគេរិះគន់ដោយហេតុផលបីយ៉ាង: សម្រាប់ការពិតដែលថាគាត់បានពិចារណាតែបរិមាណធរណីមាត្របែបនេះដែលអាចត្រូវបានសាងសង់ដោយប្រើត្រីវិស័យនិងត្រង់; សម្រាប់ការបំបែកធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ និងការបញ្ជាក់សម្រាប់ចំនួនគត់ នូវអ្វីដែលគាត់បានបង្ហាញរួចហើយសម្រាប់បរិមាណធរណីមាត្រ និងចុងក្រោយសម្រាប់ axioms នៃ Euclid ។ postulate ទីប្រាំដែលជា postulate ពិបាកបំផុតរបស់ Euclid ត្រូវបានគេរិះគន់យ៉ាងខ្លាំងបំផុត។ មនុស្សជាច្រើនបានចាត់ទុកថាវាជាការនាំចេញហើយថាវាអាចនិងគួរត្រូវបានមកពី axioms ផ្សេងទៀត។ អ្នកផ្សេងទៀតបានជឿថា វាគួរតែត្រូវបានជំនួសដោយរូបភាពដែលសាមញ្ញជាង និងមានលក្ខណៈប្រៀបធៀបជាងនេះ ស្មើនឹងវា៖ "តាមរយៈចំណុចមួយនៅខាងក្រៅបន្ទាត់ត្រង់ បន្ទាត់ត្រង់មិនលើសពីមួយអាចត្រូវបានគូរនៅក្នុងយន្តហោះរបស់ពួកគេដែលមិនប្រសព្វបន្ទាត់ត្រង់នេះ" ។
ការរិះគន់នៃគម្លាតរវាងធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធបាននាំទៅដល់ការពង្រីកគោលគំនិតនៃចំនួនទៅចំនួនពិត។ ជម្លោះអំពី postulate ទីប្រាំបាននាំឱ្យមានការពិតដែលថានៅដើមសតវត្សទី 19 N.I. Lobachevsky, J. Bolyai និង K.F. Gauss បានសាងសង់ធរណីមាត្រថ្មីមួយដែល axioms ទាំងអស់នៃធរណីមាត្ររបស់ Euclid ត្រូវបានបំពេញ លើកលែងតែ postulate ទីប្រាំ។ វាត្រូវបានជំនួសដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយគ្នាថា៖ «ក្នុងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅក្រៅបន្ទាត់ បន្ទាត់ច្រើនជាងមួយអាចត្រូវបានគូសដែលមិនប្រសព្វនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ធរណីមាត្រនេះមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានឹងធរណីមាត្ររបស់ Euclid ។
គំរូ Planimetry Lobachevsky នៅលើយន្តហោះ Euclidean ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Henri Poincaré ក្នុងឆ្នាំ 1882 ។
គូរបន្ទាត់ផ្តេកនៅលើយន្តហោះ Euclidean ។ បន្ទាត់នេះត្រូវបានគេហៅថា absolute (x) ។ ចំនុចនៃយន្តហោះ Euclidean ដែលស្ថិតនៅពីលើចំនុចដាច់ខាត គឺជាចំនុចនៃយន្តហោះ Lobachevsky ។ យន្តហោះ Lobachevsky គឺជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលបើកចំហដែលស្ថិតនៅពីលើដាច់ខាត។ ផ្នែកដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដនៅក្នុងគំរូ Poincaré គឺជាអ័ក្សនៃរង្វង់ដែលផ្តោតលើផ្នែកដាច់ខាត ឬបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងដាច់ខាត (AB, CD)។ តួរលេខនៅលើយន្តហោះ Lobachevsky គឺជាតួរលេខនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលចំហរ ស្ថិតនៅពីលើដាច់ខាត (F)។ ចលនាមិនមែនអឺគ្លីដ គឺជាសមាសភាពនៃចំនួនកំណត់នៃចំនួនបញ្ច្រាសដែលផ្តោតលើស៊ីមេទ្រីដាច់ខាត និងអ័ក្សដែលអ័ក្សរបស់វាកាត់កែងទៅនឹងដាច់ខាត។ ចម្រៀកដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដពីរគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានបកប្រែទៅជាផ្នែកផ្សេងទៀតដោយចលនាដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ។ ទាំងនេះគឺជាគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃ axiomatics នៃ Planimetry របស់ Lobachevsky ។
អ័ក្សទាំងអស់នៃ Planimetry របស់ Lobachevsky គឺស្រប។ "បន្ទាត់ដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ គឺជារង្វង់ដែលមានចុងនៅលើដាច់ខាត ឬជាកាំរស្មីដែលមានប្រភពនៅលើដាច់ខាត និងកាត់កែងទៅនឹងដាច់ខាត។" ដូច្នេះការអះអាងនៃ axiom នៃភាពស្របគ្នារបស់ Lobachevsky មិនត្រឹមតែសម្រាប់បន្ទាត់ A និងចំណុច A ដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់បន្ទាត់ A និងចំណុចណាមួយ A ដែលមិនស្ថិតនៅលើវាផងដែរ។
នៅពីក្រោយធរណីមាត្រ Lobachevsky ធរណីមាត្រជាប់លាប់ផ្សេងទៀតបានកើតឡើង៖ ធរណីមាត្រព្យាករណ៍ដែលបំបែកចេញពី Euclidean ធរណីមាត្រ Euclidean ពហុវិមាត្រត្រូវបានបង្កើតឡើង ធរណីមាត្រ Riemannian បានកើតឡើង (ទ្រឹស្តីទូទៅនៃលំហដែលមានច្បាប់កំណត់ប្រវែងវាស់) ។ល។ ពីវិទ្យាសាស្ត្រនៃតួលេខបី។ លំហ Euclidean ធរណីមាត្រសម្រាប់រយៈពេល 40 - 50 ឆ្នាំបានប្រែទៅជាសំណុំនៃទ្រឹស្ដីផ្សេងៗគ្នាដែលស្រដៀងនឹង progenitor របស់វា - ធរណីមាត្រនៃ Euclid ។
ដំណាក់កាលសំខាន់នៃការបង្កើតគណិតវិទ្យាទំនើប។ រចនាសម្ព័ន្ធនៃគណិតវិទ្យាទំនើប
អ្នកសិក្សា A.N. Kolmogorov កំណត់រយៈពេលចំនួនបួនក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា Kolmogorov A.N. - គណិតវិទ្យា វចនានុក្រម សព្វវចនាធិប្បាយ គណិតវិទ្យា ទីក្រុងមូស្គូ សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត ឆ្នាំ ១៩៨៨៖ កំណើតនៃគណិតវិទ្យា គណិតវិទ្យាបឋម គណិតវិទ្យានៃអថេរ គណិតវិទ្យាទំនើប។
ក្នុងអំឡុងពេលនៃការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាបឋម ទ្រឹស្ដីនៃលេខបានរីកចម្រើនបន្តិចម្តងៗចេញពីនព្វន្ធ។ ពិជគណិតត្រូវបានបង្កើតជាការគណនាព្យញ្ជនៈ។ ហើយប្រព័ន្ធនៃការបង្ហាញធរណីមាត្របឋមដែលបង្កើតឡើងដោយជនជាតិក្រិចបុរាណ - ធរណីមាត្រនៃ Euclid - សម្រាប់រយៈពេលពីរសហស្សវត្សរ៍ខាងមុខបានក្លាយជាគំរូនៃការសាងសង់ដកយកនៃទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា។
នៅសតវត្សទី 17 ការទាមទារនៃវិទ្យាសាស្រ្តធម្មជាតិនិងបច្ចេកវិទ្យាបាននាំឱ្យមានការបង្កើតវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យការសិក្សាគណិតវិទ្យានៃចលនាដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណនិងការផ្លាស់ប្តូរនៃតួលេខធរណីមាត្រ។ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់អថេរក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ និងការបង្កើតការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល រយៈពេលនៃគណិតវិទ្យានៃអថេរចាប់ផ្តើម។ ការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យនៃសតវត្សទី 17 គឺជាគំនិតនៃបរិមាណគ្មានកំណត់ដែលណែនាំដោយ Newton និង Leibniz ដែលជាការបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការវិភាគបរិមាណគ្មានកំណត់ (ការវិភាគគណិតវិទ្យា) ។
គោលគំនិតនៃមុខងារបានមកដល់មុន។ មុខងារក្លាយជាប្រធានបទសំខាន់នៃការសិក្សា។ ការសិក្សាអំពីអនុគមន៍នាំទៅដល់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា៖ លីមីត ដេរីវេ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល អាំងតេក្រាល។
ការលេចឡើងនៃគំនិតដ៏អស្ចារ្យរបស់ R. Descartes លើវិធីសាស្រ្តនៃកូអរដោនេក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពេលនេះដែរ។ ធរណីមាត្រវិភាគត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលអនុញ្ញាតឱ្យសិក្សាវត្ថុធរណីមាត្រដោយវិធីសាស្ត្រពិជគណិត និងការវិភាគ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វិធីសាស្ត្រសម្របសម្រួលបានបើកលទ្ធភាពនៃការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃអង្គហេតុពិជគណិត និងការវិភាគ។
ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃគណិតវិទ្យាបានដឹកនាំនៅដើមសតវត្សទី 19 ដល់ការបង្កើតបញ្ហានៃការសិក្សាអំពីប្រភេទនៃទំនាក់ទំនងបរិមាណ និងទម្រង់លំហដែលអាចធ្វើទៅបានតាមទស្សនៈទូទៅដោយយុត្តិធម៌។
ទំនាក់ទំនងរវាងគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិកាន់តែស្មុគស្មាញ។ ទ្រឹស្ដីថ្មីកើតឡើង ហើយវាកើតឡើងមិនត្រឹមតែជាលទ្ធផលនៃការទាមទារនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលទ្ធផលនៃតម្រូវការខាងក្នុងនៃគណិតវិទ្យាផងដែរ។ ឧទាហរណ៍គួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃទ្រឹស្តីបែបនេះគឺធរណីមាត្រស្រមើលស្រមៃរបស់ N.I. Lobachevsky ។ ការអភិវឌ្ឍន៍នៃគណិតវិទ្យានៅសតវត្សទី 19 និង 20 អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មតថាវាជាសម័យកាលនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។ ការអភិវឌ្ឍនៃគណិតវិទ្យាខ្លួនវា គណិតវិទ្យានៃវិស័យផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ ការជ្រៀតចូលនៃវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាទៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃសកម្មភាពជាក់ស្តែង វឌ្ឍនភាពនៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័របាននាំឱ្យមានការលេចចេញនូវមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាថ្មីៗ ឧទាហរណ៍ ការស្រាវជ្រាវប្រតិបត្តិការ ទ្រឹស្តីហ្គេម។ គណិតវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច និងផ្សេងៗទៀត។
វិធីសាស្រ្តសំខាន់ក្នុងការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាគឺភស្តុតាងគណិតវិទ្យា - ហេតុផលឡូជីខលយ៉ាងម៉ត់ចត់។ ការគិតគណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះហេតុផលឡូជីខលទេ។ វិចារណញាណគណិតវិទ្យាគឺចាំបាច់សម្រាប់ការរៀបចំត្រឹមត្រូវនៃបញ្ហា សម្រាប់ការវាយតម្លៃជម្រើសនៃវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយវា។
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា គំរូគណិតវិទ្យានៃវត្ថុត្រូវបានសិក្សា។ គំរូគណិតវិទ្យាដូចគ្នាអាចពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃបាតុភូតពិតដែលនៅឆ្ងាយពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាអាចពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនៃកំណើនប្រជាជន និងការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម។ សម្រាប់គណិតវិទូ វាមិនមែនជាលក្ខណៈនៃវត្ថុដែលកំពុងពិចារណាដែលមានសារៈសំខាន់នោះទេ ប៉ុន្តែទំនាក់ទំនងដែលមានស្រាប់រវាងវត្ថុទាំងនោះ។
ការវែកញែកក្នុងគណិតវិទ្យាមានពីរប្រភេទ គឺការកាត់ចេញ និងការបញ្ចូល។
Induction គឺជាវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវដែលការសន្និដ្ឋានទូទៅត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃបរិវេណជាក់លាក់។
ការកាត់គឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការវែកញែកដោយមធ្យោបាយដែលការសន្និដ្ឋាននៃធម្មជាតិជាក់លាក់មួយកើតឡើងពីបរិវេណទូទៅ។
គណិតវិទ្យាដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ វិស្វកម្ម និងមនុស្សសាស្ត្រ។ ហេតុផលសម្រាប់ការជ្រៀតចូលនៃគណិតវិទ្យាទៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃចំនេះដឹងគឺថាវាផ្តល់នូវគំរូច្បាស់លាស់សម្រាប់ការសិក្សាអំពីការពិតជុំវិញ ផ្ទុយពីគំរូដែលមិនសូវទូទៅនិងមិនច្បាស់លាស់ដែលផ្តល់ដោយវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។ បើគ្មានគណិតវិទ្យាទំនើប ជាមួយនឹងឧបករណ៍ឡូជីខល និងកុំព្យូទ័រដែលបានអភិវឌ្ឍ ការរីកចម្រើនក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្សនឹងមិនអាចទៅរួចទេ។
គណិតវិទ្យាមិនត្រឹមតែជាឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាពសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត និងជាភាសាសកលនៃវិទ្យាសាស្ត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាធាតុផ្សំនៃវប្បធម៌ទូទៅផងដែរ។
លក្ខណៈជាមូលដ្ឋាននៃការគិតគណិតវិទ្យា
លើបញ្ហានេះ ការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសគឺលក្ខណៈនៃការគិតគណិតវិទ្យាដែលផ្តល់ដោយ A.Ya. Khinchin ឬជាទម្រង់ប្រវត្តិសាស្ត្រជាក់លាក់របស់វា - រចនាប័ទ្មនៃការគិតគណិតវិទ្យា។ ដោយបង្ហាញពីខ្លឹមសារនៃរចនាប័ទ្មនៃការគិតបែបគណិតវិទ្យា គាត់បានលើកឡើងនូវលក្ខណៈពិសេសចំនួនបួនដែលជាទូទៅសម្រាប់គ្រប់សម័យកាល ដែលសម្គាល់រចនាប័ទ្មនេះយ៉ាងច្បាស់ពីរចនាប័ទ្មនៃការគិតនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។
ទីមួយគណិតវិទូត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយភាពលេចធ្លោនៃគ្រោងការណ៍ឡូជីខលនៃការវែកញែកដែលនាំទៅដល់ដែនកំណត់។ គណិតវិទូដែលបាត់បង់ការមើលឃើញនៃគ្រោងការណ៍នេះ យ៉ាងហោចណាស់ជាបណ្តោះអាសន្នបាត់បង់សមត្ថភាពក្នុងការគិតបែបវិទ្យាសាស្ត្រទាំងស្រុង។ លក្ខណៈពិសេសប្លែកនៃរចនាប័ទ្មនៃការគិតគណិតវិទ្យានេះមានតម្លៃច្រើននៅក្នុងខ្លួនវា។ ជាក់ស្តែង ក្នុងកម្រិតអតិបរមា វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកត្រួតពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃលំហូរនៃការគិត និងការធានាប្រឆាំងនឹងកំហុស។ ម៉្យាងវិញទៀត វាបង្ខំឱ្យអ្នកគិតត្រូវមាននៅចំពោះមុខភ្នែករបស់គាត់នូវលទ្ធភាពសរុបដែលអាចរកបានក្នុងអំឡុងពេលវិភាគ ហើយតម្រូវឱ្យគាត់គិតគូរពីពួកវានីមួយៗដោយមិនខកខានមួយ (ការខកខានបែបនេះពិតជាអាចធ្វើទៅបាន ហើយតាមពិត ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេសង្កេតឃើញ។ នៅក្នុងរចនាប័ទ្មនៃការគិតផ្សេងទៀត) ។
ទីពីរ, សង្ខេប, i.e. បំណងប្រាថ្នាដោយមនសិការដើម្បីស្វែងរកផ្លូវសមហេតុសមផលដ៏ខ្លីបំផុតដែលនាំទៅដល់គោលដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ ការបដិសេធដោយគ្មានមេត្តានៃអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលចាំបាច់សម្រាប់សុពលភាពដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាននៃអាគុយម៉ង់។ វិចារណកថានៃរចនាប័ទ្មល្អ, មិនអត់ឱន "ទឹក", គ្មានការតុបតែង, ចុះខ្សោយនៃភាពតានតឹងឡូជីខលនៃការ ranting, រំខានទៅចំហៀង; ភាពក្រអឺតក្រទម ភាពតឹងរ៉ឹងនៃការគិត និងការបង្ហាញរបស់វា គឺជាលក្ខណៈសំខាន់នៃការគិតគណិតវិទ្យា។ លក្ខណៈពិសេសនេះមានតម្លៃដ៏អស្ចារ្យមិនត្រឹមតែសម្រាប់គណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់ហេតុផលធ្ងន់ធ្ងរផ្សេងទៀតផងដែរ។ Laconism ដែលជាបំណងប្រាថ្នាមិនអនុញ្ញាតឱ្យមានអ្វីដែលនាំអោយ ទាំងអ្នកគិត និងអ្នកអាន ឬអ្នកស្តាប់របស់គាត់ ផ្តោតយ៉ាងពេញលេញលើផ្លូវនៃគំនិត ដោយមិនមានការរំខានដោយគំនិតបន្ទាប់បន្សំ និងដោយមិនបាត់បង់ទំនាក់ទំនងផ្ទាល់ជាមួយបន្ទាត់សំខាន់នៃហេតុផល។
ជាក្បួន ពន្លឺនៃវិទ្យាសាស្រ្ត គិត និងបង្ហាញខ្លួនឯងយ៉ាងខ្លីនៅក្នុងគ្រប់វិស័យនៃចំណេះដឹង សូម្បីតែនៅពេលដែលគំនិតរបស់ពួកគេបង្កើត និងបង្កើតគំនិតថ្មីជាមូលដ្ឋានក៏ដោយ។ ជាការចាប់អារម្មណ៍ដ៏អស្ចារ្យ ជាឧទាហរណ៍ ភាពក្រអឺតក្រទមនៃការគិត និងការនិយាយរបស់អ្នកបង្កើតរូបវិទ្យាដ៏អស្ចារ្យបំផុត៖ ញូតុន អែងស្តែង នីល បូរ! ប្រហែលជាវាពិបាកណាស់ក្នុងការស្វែងរកឧទាហរណ៍ដ៏ទាក់ទាញបន្ថែមទៀតអំពីឥទ្ធិពលយ៉ាងជ្រាលជ្រៅដែលរចនាប័ទ្មនៃការគិតរបស់អ្នកបង្កើតរបស់វាអាចមានលើការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រ។
សម្រាប់គណិតវិទ្យា ភាពស៊ីសង្វាក់នៃការគិត គឺជាច្បាប់ដែលមិនអាចប្រកែកបាន ដែលកំណត់រាប់សតវត្សមកហើយ។ រាល់ការប៉ុនប៉ងដាក់បន្ទុកលើបទបង្ហាញដោយមិនចាំបាច់ (ទោះបីជាមានភាពរីករាយ និងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់អ្នកស្តាប់ក៏ដោយ) រូបភាព ការរំខាន ការនិយាយស្តីត្រូវបានដាក់នៅក្រោមការសង្ស័យស្របច្បាប់ជាមុន ហើយបណ្តាលឱ្យមានការប្រុងប្រយ័ត្នជាខ្លាំងដោយស្វ័យប្រវត្តិ។
ទី៣ ការវែកញែកច្បាស់លាស់នៃដំណើរនៃការវែកញែក។ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលបង្ហាញសំណើមួយ យើងត្រូវពិចារណាករណីដែលអាចកើតមានចំនួនបួន ដែលករណីនីមួយៗអាចបែងចែកទៅជាលេខរងមួយ ឬផ្សេងទៀត បន្ទាប់មកនៅពេលនៃការវែកញែកនីមួយៗ គណិតវិទូត្រូវចងចាំយ៉ាងច្បាស់ថាក្នុងករណីណា និងករណីរងរបស់គាត់ ឥឡូវនេះការគិតត្រូវបានទទួលហើយ តើករណី និងករណីរងណាដែលគាត់នៅតែត្រូវពិចារណា។ ជាមួយនឹងការរាប់បញ្ចូលប្រភេទណាក៏ដោយ គណិតវិទូត្រូវតែដឹងគ្រប់ពេលថា តើគំនិតទូទៅមួយណាដែលគាត់រាប់បញ្ចូលគំនិតប្រភេទសត្វដែលបង្កើតវាឡើង។ នៅក្នុងការគិតធម្មតា ដែលមិនមានលក្ខណៈវិទ្យាសាស្ត្រ យើងសង្កេតឃើញការភាន់ច្រលំ និងលោតឡើងក្នុងករណីបែបនេះ ដែលនាំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំ និងកំហុសក្នុងការវែកញែក។ ជារឿយៗវាកើតឡើងដែលមនុស្សម្នាក់ចាប់ផ្តើមរាប់ប្រភេទនៃប្រភេទមួយ ហើយបន្ទាប់មកដោយមិនដឹងខ្លួនចំពោះអ្នកស្តាប់ (ហើយជារឿយៗចំពោះខ្លួនគាត់) ដោយប្រើភាពខុសប្លែកគ្នានៃហេតុផលមិនគ្រប់គ្រាន់ បានលោតចូលទៅក្នុងប្រភេទមួយផ្សេងទៀត ហើយបញ្ចប់ដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ថា ហ្សែនទាំងពីរ។ ឥឡូវនេះត្រូវបានចាត់ថ្នាក់; ហើយអ្នកស្តាប់ ឬអ្នកអានមិនដឹងថាព្រំដែននៅត្រង់ណារវាងប្រភេទសត្វទី១ និងប្រភេទទីពីរ។
ដើម្បីធ្វើឱ្យភាពច្របូកច្របល់ និងការលោតបែបនេះមិនអាចទៅរួច គណិតវិទូបានប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនូវវិធីសាស្រ្តខាងក្រៅសាមញ្ញនៃគំនិតលេខរៀង និងការវិនិច្ឆ័យ ដែលជួនកាល (ប៉ុន្តែតិចជាញឹកញាប់) ដែលប្រើក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។ ករណីដែលអាចកើតមានទាំងនោះ ឬគំនិតទូទៅដែលគួរត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងការវែកញែកនេះត្រូវបានប្តូរលេខជាមុន។ នៅក្នុងករណីនីមួយៗ អក្សរតូចដែលត្រូវពិចារណាថាវាមានក៏ត្រូវបានប្តូរលេខផងដែរ (ពេលខ្លះសម្រាប់ភាពខុសគ្នា ដោយប្រើប្រព័ន្ធលេខរៀងផ្សេងទៀត)។ មុនពេលកថាខណ្ឌនីមួយៗ ដែលជាកន្លែងដែលការពិចារណាលើករណីរងថ្មីចាប់ផ្តើម ការកំណត់ដែលទទួលយកសម្រាប់ករណីរងនេះត្រូវបានដាក់ (ឧទាហរណ៍៖ II 3 - នេះមានន័យថាការពិចារណាលើករណីរងទី 3 ចាប់ផ្តើមនៅទីនេះ ឬការពិពណ៌នានៃករណីទីបី។ ប្រភេទនៃប្រភេទទីពីរប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីការចាត់ថ្នាក់) ។ ហើយអ្នកអានដឹងថា រហូតទាល់តែគាត់មកមើលរូបលេខថ្មី អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលត្រូវបានបង្ហាញគឺអនុវត្តតែចំពោះករណីនេះ និងអក្សរតូចប៉ុណ្ណោះ។ វាទៅដោយមិននិយាយថាលេខបែបនេះគ្រាន់តែជាឧបករណ៍ខាងក្រៅប៉ុណ្ណោះ មានប្រយោជន៍ ប៉ុន្តែដោយគ្មានន័យអ្វីជាកាតព្វកិច្ច ហើយខ្លឹមសារនៃបញ្ហាមិនស្ថិតនៅលើវាទេ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការបែងចែកដាច់ដោយឡែកនៃអំណះអំណាង ឬការចាត់ថ្នាក់ដែលវាជំរុញ និងសម្គាល់។ ដោយខ្លួនវា។
ទីបួន ភាពច្បាស់លាស់នៃនិមិត្តសញ្ញា រូបមន្ត សមីការ។ នោះគឺ "និមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យានីមួយៗមានអត្ថន័យកំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង៖ ការជំនួសវាដោយនិមិត្តសញ្ញាមួយផ្សេងទៀត ឬរៀបចំវាឡើងវិញទៅកន្លែងផ្សេងទៀត ជាក្បួនធ្វើឱ្យមានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ ហើយជួនកាលការបំផ្លាញអត្ថន័យនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះទាំងស្រុង។"
ដោយបានដាក់ចេញនូវលក្ខណៈសំខាន់ៗនៃរចនាប័ទ្មគណិតវិទ្យា A.Ya. Khinchin កត់សម្គាល់ថា គណិតវិទ្យា (ជាពិសេសគណិតវិទ្យានៃអថេរ) តាមធម្មជាតិរបស់វាមានលក្ខណៈជាគ្រាមភាសា ដូច្នេះហើយបានរួមចំណែកដល់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃការគិតតាមគ្រាមភាសា។ ជាការពិតណាស់នៅក្នុងដំណើរការនៃការគិតគណិតវិទ្យាមានអន្តរកម្មរវាងការមើលឃើញ (ជាក់ស្តែង) និងគំនិត (អរូបី) ។ Kant បានសរសេរថា "យើងមិនអាចគិតពីបន្ទាត់បានទេ" ដោយមិនបានគូរវាដោយបញ្ញា យើងមិនអាចគិតពីវិមាត្របីសម្រាប់ខ្លួនយើងដោយមិនគូរបន្ទាត់បីកាត់កាត់គ្នាពីចំណុចមួយនោះទេ។
អន្តរកម្មនៃការគិតគណិតវិទ្យា "ដឹកនាំ" ជាក់ស្តែង និងអរូបី ដល់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃគំនិតថ្មី និងថ្មី និងប្រភេទទស្សនវិជ្ជា។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាបុរាណ (គណិតវិទ្យានៃចំនួនថេរ) ទាំងនេះគឺជា "លេខ" និង "លំហ" ដែលត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងពីដំបូងនៅក្នុងនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ Euclidean ហើយក្រោយមកទៀតនៅក្នុងពិជគណិត និងប្រព័ន្ធធរណីមាត្រផ្សេងៗ។ គណិតវិទ្យានៃអថេរគឺ "ផ្អែកលើ" គោលគំនិតដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីចលនានៃរូបធាតុ - "កំណត់", "គ្មានកំណត់", "បន្ត", "ផ្តាច់មុខ", "តូចមិនចេះចប់", "ដេរីវេ" ជាដើម។
ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីដំណាក់កាលប្រវត្តិសាស្ត្របច្ចុប្បន្នក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា នោះវាស្របនឹងការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃប្រភេទទស្សនវិជ្ជា៖ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ "ចៅហ្វាយនាយ" ប្រភេទនៃលទ្ធភាព និងចៃដន្យ។ topology - ប្រភេទនៃទំនាក់ទំនងនិងការបន្ត; ទ្រឹស្តីមហន្តរាយ - ប្រភេទលោត; ទ្រឹស្តីក្រុម - ប្រភេទនៃស៊ីមេទ្រី និងភាពសុខដុម។ល។
នៅក្នុងការគិតគណិតវិទ្យា គំរូសំខាន់ៗនៃការបង្កើតការតភ្ជាប់ឡូជីខលដែលស្រដៀងគ្នាក្នុងទម្រង់ត្រូវបានបង្ហាញ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា ការផ្លាស់ប្តូរពីឯកវចនៈ (និយាយថា ពីវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាមួយចំនួន - axiomatic, algorithmic, constructive, set-theoretic និងផ្សេងទៀត) ទៅពិសេស និងទូទៅ ទៅជាការកាត់យកទូទៅត្រូវបានអនុវត្ត។ ការរួបរួមនៃវិធីសាស្រ្ត និងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាកំណត់ភាពជាក់លាក់នៃការគិតគណិតវិទ្យា អនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយអំពីភាសាគណិតវិទ្យាពិសេសដែលមិនត្រឹមតែឆ្លុះបញ្ចាំងពីការពិតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងសំយោគ ទូទៅ និងព្យាករណ៍ចំណេះដឹងវិទ្យាសាស្ត្រផងដែរ។ អំណាច និងភាពស្រស់ស្អាតនៃគំនិតគណិតវិទ្យាស្ថិតនៅក្នុងភាពច្បាស់លាស់បំផុតនៃតក្កវិជ្ជា ភាពឆើតឆាយនៃសំណង់ និងការស្ថាបនាដ៏ប៉ិនប្រសប់នៃអរូបី។
លទ្ធភាពថ្មីជាមូលដ្ឋាននៃសកម្មភាពផ្លូវចិត្តបានបើកឡើងជាមួយនឹងការបង្កើតកុំព្យូទ័រជាមួយនឹងការបង្កើតគណិតវិទ្យាម៉ាស៊ីន។ ការផ្លាស់ប្តូរសំខាន់ៗបានកើតឡើងនៅក្នុងភាសានៃគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើភាសានៃគណិតវិទ្យាគណនាបុរាណមានរូបមន្តពិជគណិត ធរណីមាត្រ និងការវិភាគ ផ្តោតលើការពិពណ៌នានៃដំណើរការបន្តនៃធម្មជាតិ សិក្សាជាចម្បងនៅក្នុងមេកានិច តារាសាស្ត្រ រូបវិទ្យា នោះភាសាទំនើបរបស់វាគឺភាសានៃក្បួនដោះស្រាយ និងកម្មវិធី រួមទាំង ភាសាចាស់នៃរូបមន្តជាករណីជាក់លាក់មួយ។
ភាសានៃគណិតវិទ្យាគណនាសម័យទំនើបកាន់តែមានលក្ខណៈជាសកល ដែលមានសមត្ថភាពពិពណ៌នាអំពីប្រព័ន្ធស្មុគស្មាញ (ពហុប៉ារ៉ាម៉ែត្រ)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ខ្ញុំចង់បញ្ជាក់ថា ទោះបីជាភាសាគណិតវិទ្យាល្អឥតខ្ចោះយ៉ាងណា ដែលត្រូវបានពង្រឹងដោយបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រអេឡិចត្រូនិក វាមិនផ្តាច់ទំនាក់ទំនងជាមួយ "ការរស់នៅ" ចម្រុះដែលជាភាសាធម្មជាតិនោះទេ។ លើសពីនេះទៅទៀត ភាសានិយាយគឺជាមូលដ្ឋាននៃភាសាសិប្បនិម្មិត។ ក្នុងន័យនេះ ការរកឃើញថ្មីៗរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមានការចាប់អារម្មណ៍។ ចំណុចនោះគឺថា ភាសាបុរាណរបស់ជនជាតិឥណ្ឌា Aymara ដែលត្រូវបាននិយាយដោយប្រជាជនប្រហែល 2.5 លាននាក់ក្នុងប្រទេសបូលីវី និងប៉េរូ ប្រែទៅជាងាយស្រួលបំផុតសម្រាប់បច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។ នៅដើមឆ្នាំ 1610 អ្នកផ្សព្វផ្សាយសាសនា Jesuit ជនជាតិអ៊ីតាលី Ludovico Bertoni ដែលបានចងក្រងវចនានុក្រម Aymara ដំបូងបានកត់សម្គាល់ពីភាពប៉ិនប្រសប់នៃអ្នកបង្កើតរបស់ខ្លួន ដែលសម្រេចបាននូវភាពបរិសុទ្ធប្រកបដោយតក្កវិជ្ជាខ្ពស់។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុង Aymara មិនមានកិរិយាសព្ទមិនទៀងទាត់ និងមិនមានករណីលើកលែងចំពោះច្បាប់វេយ្យាករណ៍ច្បាស់លាស់មួយចំនួន។ លក្ខណៈពិសេសទាំងនេះនៃភាសា Aymara បានអនុញ្ញាតឱ្យគណិតវិទូជនជាតិបូលីវី Ivan Guzman de Rojas បង្កើតប្រព័ន្ធនៃការបកប្រែកុំព្យូទ័រក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីភាសាអ៊ឺរ៉ុបណាមួយក្នុងចំណោមភាសាទាំងប្រាំដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកម្មវិធី "ស្ពាន" រវាងភាសា Aymara ។ កុំព្យូទ័រ "Aymara" ដែលបង្កើតឡើងដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិបូលីវី ត្រូវបានអ្នកជំនាញកោតសរសើរយ៉ាងខ្លាំង។ ដោយសង្ខេបផ្នែកនៃសំណួរនេះអំពីខ្លឹមសារនៃរចនាប័ទ្មនៃការគិតបែបគណិតវិទ្យា វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាខ្លឹមសារសំខាន់របស់វាគឺការយល់ដឹងអំពីធម្មជាតិ។
វិធីសាស្រ្ត Axiomatic
Axiomatics គឺជាវិធីសំខាន់ក្នុងការកសាងទ្រឹស្តីមួយ តាំងពីបុរាណកាលរហូតមកដល់បច្ចុប្បន្ន ដោយបញ្ជាក់ពីភាពជាសកលរបស់វា និងអាចអនុវត្តបានទាំងអស់។
ការស្ថាបនាទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើវិធីសាស្ត្រ axiomatic ។ ទ្រឹស្ដីវិទ្យាសាស្ត្រគឺផ្អែកលើបទប្បញ្ញត្តិដំបូងមួយចំនួនដែលហៅថា axioms ហើយបទប្បញ្ញត្តិផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃទ្រឹស្តីត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលឡូជីខលនៃ axioms ។
វិធីសាស្រ្ត axiomatic បានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងប្រទេសក្រិចបុរាណ ហើយបច្ចុប្បន្នត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងទ្រឹស្តីទ្រឹស្តីស្ទើរតែទាំងអស់ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។
ការប្រៀបធៀបចំនួនបី ក្នុងន័យជាក់លាក់មួយ ធរណីមាត្របំពេញបន្ថែម៖ Euclidean (parabolic), Lobachevsky (hyperbolic) និង Riemannian (រាងពងក្រពើ) វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា រួមជាមួយនឹងភាពស្រដៀងគ្នាមួយចំនួន មានភាពខុសគ្នាខ្លាំងរវាងធរណីមាត្រស្វ៊ែរ។ ដៃនិងធរណីមាត្ររបស់ Euclid និង Lobachevsky - នៅលើផ្សេងទៀត។
ភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងធរណីមាត្រទំនើបគឺថាឥឡូវនេះវាចាប់យក "ធរណីមាត្រ" នៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃលំហស្រមើលស្រមៃផ្សេងៗគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរកត់សំគាល់ថាធរណីមាត្រទាំងអស់នេះគឺជាការបកស្រាយនៃធរណីមាត្រ Euclidean ហើយត្រូវបានផ្អែកលើវិធីសាស្ត្រ axiomatic ដែលប្រើដំបូងដោយ Euclid ។
នៅលើមូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវវិធីសាស្រ្ត axiomatic ត្រូវបានបង្កើតឡើង និងប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ ក្នុងនាមជាករណីពិសេសនៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃដាននៅក្នុង stereometric ដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាលើការសាងសង់ផ្នែកនៅក្នុង polyhedra និងបញ្ហាទីតាំងមួយចំនួនផ្សេងទៀត។
វិធីសាស្រ្ត axiomatic ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលើកដំបូងនៅក្នុងធរណីមាត្រ ឥឡូវនេះបានក្លាយជាឧបករណ៍សំខាន់នៃការសិក្សានៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងមេកានិច។ បច្ចុប្បន្ននេះ ការងារកំពុងដំណើរការដើម្បីកែលម្អ និងសិក្សាវិធីសាស្ត្រ axiomatic នៃការសាងសង់ទ្រឹស្តីមួយឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅ។
វិធីសាស្រ្ត axiomatic នៃការបង្កើតទ្រឹស្ដីវិទ្យាសាស្រ្តមួយមាននៅក្នុងការបន្លិចគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន បង្កើត axioms នៃទ្រឹស្តី និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានមកក្នុងវិធីឡូជីខលដោយផ្អែកលើពួកគេ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាគំនិតមួយត្រូវតែត្រូវបានពន្យល់ដោយជំនួយពីអ្នកដ៏ទៃ ដែលនៅក្នុងវេន ត្រូវបានកំណត់ផងដែរ ដោយមានជំនួយពីគំនិតល្បីមួយចំនួន។ ដូច្នេះហើយ យើងមកដល់គោលគំនិតបឋម ដែលមិនអាចកំណត់បានតាមន័យរបស់អ្នកដទៃ។ គំនិតទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន។
នៅពេលដែលយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ទ្រឹស្តីបទមួយ យើងពឹងផ្អែកលើបរិវេណដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាបានបញ្ជាក់រួចហើយ។ ប៉ុន្តែបរិវេណទាំងនេះក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរ ពួកគេត្រូវតែបញ្ជាក់។ នៅទីបញ្ចប់ យើងមករកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនអាចប្រកែកបាន ហើយទទួលយកវាដោយគ្មានភស្តុតាង។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា axioms ។ សំណុំនៃ axioms ត្រូវតែជាបែបនោះ ដោយពឹងផ្អែកលើវា មនុស្សម្នាក់អាចបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បន្ថែមទៀត។
ដោយបានញែកចេញនូវគោលគំនិតសំខាន់ៗ និងបង្កើត axioms បន្ទាប់មកយើងទាញយកទ្រឹស្តីបទ និងគោលគំនិតផ្សេងទៀតតាមវិធីឡូជីខល។ នេះគឺជារចនាសម្ព័ន្ធឡូជីខលនៃធរណីមាត្រ។ ទស្សនវិជ្ជា និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្លង់មេទ្រី។
ដោយសារវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការផ្តល់និយមន័យតែមួយនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ធរណីមាត្រទាំងអស់ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្រគួរតែត្រូវបានកំណត់ថាជាវត្ថុនៃធម្មជាតិណាមួយដែលបំពេញនូវ axioms នៃធរណីមាត្រនេះ។ ដូច្នេះនៅក្នុងការសាងសង់ axiomatic នៃប្រព័ន្ធធរណីមាត្រមួយ យើងចាប់ផ្តើមពីប្រព័ន្ធជាក់លាក់នៃ axioms ឬ axiomatics ។ axioms ទាំងនេះពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធធរណីមាត្រ ហើយយើងអាចតំណាងឱ្យគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានក្នុងទម្រង់នៃវត្ថុនៃធម្មជាតិណាមួយដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុង axioms ។
បន្ទាប់ពីបង្កើត និងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ធរណីមាត្រដំបូង គេអាចបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយចំនួន (ទ្រឹស្តីបទ) ដោយមានជំនួយពីអ្នកដទៃ។ ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទជាច្រើនត្រូវបានសន្មតថាជា Pythagoras និង Democritus ។
Hippocrates នៃ Chios ត្រូវបានផ្តល់កិត្តិយសជាមួយនឹងការចងក្រងវគ្គសិក្សាជាប្រព័ន្ធដំបូងនៃធរណីមាត្រដោយផ្អែកលើនិយមន័យនិង axioms ។ វគ្គសិក្សានេះនិងដំណើរការជាបន្តបន្ទាប់របស់វាត្រូវបានគេហៅថា "ធាតុ" ។
វិធីសាស្រ្ត Axiomatic នៃការសាងសង់ទ្រឹស្តីវិទ្យាសាស្រ្ត
ការបង្កើតវិធីសាស្រ្តកាត់ផ្តាច់ ឬ axiomatic នៃការសាងសង់វិទ្យាសាស្រ្តគឺជាសមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយនៃគំនិតគណិតវិទ្យា។ វាទាមទារការងាររបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើនជំនាន់។
លក្ខណៈពិសេសគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃប្រព័ន្ធកាត់ចេញនៃការបង្ហាញគឺភាពសាមញ្ញនៃការសាងសង់នេះដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិពណ៌នាវានៅក្នុងពាក្យពីរបី។
ប្រព័ន្ធកាត់នៃការបង្ហាញត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា៖
1) បញ្ជីនៃគំនិតជាមូលដ្ឋាន
2) ការបង្ហាញនិយមន័យ
3) ទៅនឹងការបង្ហាញនៃ axioms,
៤) ការបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ
5) ទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទទាំងនេះ។
axiom គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។
ទ្រឹស្តីបទគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបន្តពី axioms ។
ភ័ស្តុតាងគឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃប្រព័ន្ធកាត់កង វាជាការវែកញែកដែលបង្ហាញថាការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយធ្វើតាមតក្កវិជ្ជាពីការពិតនៃទ្រឹស្តីបទមុន ឬ axioms ។
នៅក្នុងប្រព័ន្ធកាត់កង សំណួរពីរមិនអាចដោះស្រាយបាន៖ 1) អំពីអត្ថន័យនៃគោលគំនិត 2) អំពីការពិតនៃ axioms ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមានន័យថាសំណួរទាំងនេះជាទូទៅមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។
ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃវិទ្យាសាស្រ្តធម្មជាតិបង្ហាញថា លទ្ធភាពនៃការសាងសង់ axiomatic នៃវិទ្យាសាស្រ្តជាក់លាក់មួយ លេចឡើងតែក្នុងកម្រិតខ្ពស់ដោយយុត្តិធម៌នៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិទ្យាសាស្រ្តនេះ ដោយផ្អែកលើចំនួនដ៏ច្រើននៃសម្ភារៈពិត ដែលធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណបានយ៉ាងច្បាស់។ ទំនាក់ទំនង និងទំនាក់ទំនងដែលមានរវាងវត្ថុដែលបានសិក្សាដោយវិទ្យាសាស្ត្រនេះ។
ឧទាហរណ៏នៃការសាងសង់ axiomatic នៃវិទ្យាសាស្រ្តគណិតវិទ្យា គឺធរណីមាត្របឋម។ ប្រព័ន្ធនៃ axioms នៃធរណីមាត្រត្រូវបានពន្យល់ដោយ Euclid (ប្រហែល 300 មុនគ។ ប្រព័ន្ធនេះបានរស់រានមានជីវិតយ៉ាងទូលំទូលាយរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។
គំនិតជាមូលដ្ឋាន៖ ចំណុច, បន្ទាត់, រូបភាពមូលដ្ឋាននៃយន្តហោះ; ស្ថិតនៅចន្លោះ, ជាកម្មសិទ្ធិ, ផ្លាស់ទី។
ធរណីមាត្របឋមមាន 13 axioms ដែលត្រូវបានបែងចែកជា 5 ក្រុម។ នៅក្នុងក្រុមទីប្រាំ មាន axiom មួយអំពីប៉ារ៉ាឡែល (V postulate នៃ Euclid): មានតែបន្ទាត់ត្រង់មួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចគូសតាមចំនុចនៅលើយន្តហោះដែលមិនប្រសព្វបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ នេះគឺជា axiom តែមួយគត់ដែលបណ្តាលឱ្យត្រូវការភស្តុតាង។ ការប៉ុនប៉ងដើម្បីបញ្ជាក់គណិតវិទូដែលកាន់កាប់ក្រោយទីប្រាំអស់រយៈពេលជាង 2 សហវត្សរ៍រហូតដល់ពាក់កណ្តាលទីមួយនៃសតវត្សទី 19 ពោលគឺឧ។ រហូតដល់ពេលដែល Nikolai Ivanovich Lobachevsky បានបង្ហាញនៅក្នុងការសរសេររបស់គាត់អំពីភាពអស់សង្ឃឹមទាំងស្រុងនៃការប៉ុនប៉ងទាំងនេះ។ នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ ភាពមិនអាចទទួលយកបាននៃ postulate ទីប្រាំ គឺជាការពិតគណិតវិទ្យាដែលបានបញ្ជាក់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង។
Axiom អំពីប៉ារ៉ាឡែល N.I. Lobachevsky បានជំនួស axiom: អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់មួយនិងចំណុចដែលស្ថិតនៅខាងក្រៅបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តាមរយៈចំណុចនេះ យ៉ាងហោចណាស់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរអាចត្រូវបានគូរទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ពីប្រព័ន្ធថ្មីនៃ axioms N.I. Lobachevsky ជាមួយនឹងភាពម៉ត់ចត់នៃតក្កវិជ្ជាដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានបានកាត់ចេញនូវប្រព័ន្ធរួមនៃទ្រឹស្តីបទដែលបង្កើតបានជាខ្លឹមសារនៃធរណីមាត្រដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ។ ធរណីមាត្រទាំងពីរនៃ Euclid និង Lobachevsky គឺស្មើគ្នាជាប្រព័ន្ធឡូជីខល។
គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបីនាក់នៅសតវត្សទី 19 ស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នាដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមកបានមកដល់លទ្ធផលដូចគ្នានៃភាពមិនអាចទទួលយកបាននៃ postulate ទី 5 និងការបង្កើតធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean ។
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (១៧៩២-១៨៥៦)
លោក Carl Friedrich Gauss (១៧៧៧-១៨៥៥)
Janos Bolyai (1802-1860)
ភស្តុតាងគណិតវិទ្យា
វិធីសាស្រ្តសំខាន់ក្នុងការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាគឺភស្តុតាងគណិតវិទ្យា - ហេតុផលឡូជីខលយ៉ាងម៉ត់ចត់។ ដោយគុណធម៌នៃភាពចាំបាច់គោលបំណងចង្អុលបង្ហាញសមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្ររុស្ស៊ី L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - គណិតវិទ្យាសម័យទំនើប និងការបង្រៀនរបស់វា Moscow, Nauka, 1985, ហេតុផលឡូជីខល (ដែលតាមធម្មជាតិរបស់វា, ប្រសិនបើត្រឹមត្រូវ, ក៏ម៉ត់ចត់) គឺជាវិធីសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យា, គណិតវិទ្យាគឺមិនអាចគិតបានដោយគ្មានពួកគេ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការគិតគណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះហេតុផលឡូជីខលទេ។ សម្រាប់ការរៀបចំត្រឹមត្រូវនៃបញ្ហា សម្រាប់ការវាយតម្លៃនៃទិន្នន័យរបស់វា សម្រាប់ការជ្រើសរើសចំណុចសំខាន់ៗពីពួកគេ និងសម្រាប់ជម្រើសនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា វិចារណញាណគណិតវិទ្យាក៏ចាំបាច់ផងដែរ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចដឹងជាមុននូវលទ្ធផលដែលចង់បានពីមុន។ វាត្រូវបានទទួល ដើម្បីគូសបញ្ជាក់ផ្លូវនៃការស្រាវជ្រាវ ដោយមានជំនួយពីហេតុផលដែលអាចជឿជាក់បាន។ ប៉ុន្តែសុពលភាពនៃការពិតដែលកំពុងពិចារណា មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការពិនិត្យមើលវាលើឧទាហរណ៍មួយចំនួន មិនមែនដោយការពិសោធន៍មួយចំនួនទេ (ដែលនៅក្នុងខ្លួនវាដើរតួយ៉ាងធំក្នុងការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា) ប៉ុន្តែតាមវិធីសមហេតុសមផលសុទ្ធសាធ។ ច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ។
វាត្រូវបានគេជឿថាភស្តុតាងគណិតវិទ្យាគឺជាការពិតចុងក្រោយ។ ការសម្រេចចិត្តដែលផ្អែកលើតក្កវិជ្ជាសុទ្ធសាធ មិនអាចខុសនោះទេ។ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងកិច្ចការនានា មុនពេលដែលគណិតវិទូត្រូវបានដាក់កាន់តែស្មុគស្មាញ។
លោក Keith Devlin មកពីសាកលវិទ្យាល័យ Stanford រដ្ឋកាលីហ្វ័រញ៉ា សហរដ្ឋអាមេរិក ជឿជាក់ថា "យើងបានឈានចូលដល់សម័យកាលមួយ ដែលឧបករណ៍គណិតវិទ្យាកាន់តែស្មុគស្មាញ និងស្មុគស្មាញ ដែលមើលដំបូងវាមិនអាចនិយាយបានថា តើបញ្ហាដែលបានជួបប្រទះនោះជាការពិត ឬអត់"។ គាត់លើកជាឧទាហរណ៍មួយអំពី "ការចាត់ថ្នាក់នៃក្រុមសាមញ្ញៗ" ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងឆ្នាំ 1980 ប៉ុន្តែភស្តុតាងពិតប្រាកដពេញលេញមិនទាន់ត្រូវបានចែកចាយនៅឡើយ។ ភាគច្រើនទំនងជាទ្រឹស្តីបទគឺពិត ប៉ុន្តែវាមិនអាចនិយាយឱ្យប្រាកដអំពីរឿងនេះបានទេ។
ដំណោះស្រាយកុំព្យូទ័រមិនអាចត្រូវបានគេហៅថាពិតប្រាកដទេព្រោះការគណនាបែបនេះតែងតែមានកំហុស។ នៅឆ្នាំ 1998 Hales បានស្នើដំណោះស្រាយជំនួយកុំព្យូទ័រចំពោះទ្រឹស្តីបទ Kepler ដែលបង្កើតឡើងវិញនៅឆ្នាំ 1611។ ទ្រឹស្ដីនេះពិពណ៌នាអំពីការខ្ចប់យ៉ាងក្រាស់បំផុតនៃបាល់នៅក្នុងលំហ។ ភ័ស្តុតាងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័រ 300 និងមានលេខកូដម៉ាស៊ីនចំនួន 40,000 ជួរ។ អ្នកត្រួតពិនិត្យចំនួន 12 នាក់បានពិនិត្យដំណោះស្រាយអស់រយៈពេលមួយឆ្នាំ ប៉ុន្តែពួកគេមិនដែលសម្រេចបាននូវទំនុកចិត្ត 100% លើភាពត្រឹមត្រូវនៃភស្តុតាងនោះទេ ហើយការសិក្សាត្រូវបានបញ្ជូនឱ្យពិនិត្យឡើងវិញ។ ជាលទ្ធផល វាត្រូវបានបោះពុម្ពតែបន្ទាប់ពីរយៈពេល 4 ឆ្នាំ និងដោយគ្មានការបញ្ជាក់ពេញលេញពីអ្នកត្រួតពិនិត្យ។
រាល់ការគណនាចុងក្រោយបំផុតសម្រាប់បញ្ហាដែលបានអនុវត្តត្រូវបានធ្វើឡើងនៅលើកុំព្យូទ័រ ប៉ុន្តែអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជឿថាសម្រាប់ភាពជឿជាក់កាន់តែខ្លាំង ការគណនាគណិតវិទ្យាគួរតែត្រូវបានបង្ហាញដោយគ្មានកំហុស។
ទ្រឹស្ដីនៃភស្តុតាងត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងតក្កវិជ្ជា ហើយរួមបញ្ចូលធាតុផ្សំរចនាសម្ព័ន្ធចំនួនបី៖ និក្ខេបបទ (អ្វីដែលសន្មត់ថាត្រូវបញ្ជាក់) អាគុយម៉ង់ (សំណុំនៃអង្គហេតុ គំនិតដែលទទួលយកជាទូទៅ ច្បាប់។ល។ នៃវិទ្យាសាស្ត្រដែលពាក់ព័ន្ធ) និងការបង្ហាញ (នីតិវិធីសម្រាប់ ការដាក់ពង្រាយភស្តុតាងដោយខ្លួនវា ខ្សែសង្វាក់បន្តបន្ទាប់នៃការសន្និដ្ឋាននៅពេលដែលការសន្និដ្ឋានទី 1 ក្លាយជាផ្នែកមួយនៃបរិវេណនៃ n + 1th inference) ។ ច្បាប់នៃភស្តុតាងត្រូវបានសម្គាល់ កំហុសឡូជីខលដែលអាចកើតមានត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។
ភ័ស្តុតាងគណិតវិទ្យាមានច្រើនដូចគ្នាជាមួយនឹងគោលការណ៍ដែលបង្កើតឡើងដោយតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ។ ជាងនេះទៅទៀត ច្បាប់គណិតវិទ្យានៃហេតុផល និងប្រតិបត្តិការជាក់ស្តែង បានបម្រើការជាមូលដ្ឋានគ្រឹះមួយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នីតិវិធីភស្តុតាងនៅក្នុងតក្កវិជ្ជា។ ជាពិសេស អ្នកស្រាវជ្រាវអំពីប្រវត្តិនៃការបង្កើតតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ ជឿថានៅពេលមួយ នៅពេលដែលអារីស្តូតបានបោះជំហានដំបូងដើម្បីបង្កើតច្បាប់ និងច្បាប់តក្កវិជ្ជា គាត់បានងាកទៅរកគណិតវិទ្យា និងអនុវត្តសកម្មភាពច្បាប់។ នៅក្នុងប្រភពទាំងនេះ គាត់បានរកឃើញសម្ភារៈសម្រាប់ការសាងសង់ឡូជីខលនៃទ្រឹស្តីនៃការបង្កើត។
នៅសតវត្សទី 20 គោលគំនិតនៃភស្តុតាងបានបាត់បង់អត្ថន័យដ៏តឹងរឹងរបស់វា ដែលបានកើតឡើងនៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងការរកឃើញនៃភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខលដែលលាក់នៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំ និងជាពិសេសទាក់ទងនឹងលទ្ធផលដែលទ្រឹស្តីបទរបស់ K. Gödel ស្តីពីភាពមិនពេញលេញនៃទម្រង់បែបបទបាននាំមក។
ដំបូងបង្អស់ នេះប៉ះពាល់ដល់គណិតវិទ្យាខ្លួនវាផ្ទាល់ ទាក់ទងនឹងការដែលវាត្រូវបានគេជឿថាពាក្យ "ភស្តុតាង" មិនមាននិយមន័យច្បាស់លាស់ទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមតិបែបនេះ (ដែលនៅតែមានសព្វថ្ងៃនេះ) ប៉ះពាល់ដល់គណិតវិទ្យាខ្លួនឯង នោះពួកគេឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថា ភស្តុតាងគួរតែត្រូវបានទទួលយក មិនមែននៅក្នុងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាទេ ប៉ុន្តែក្នុងន័យផ្លូវចិត្ត។ ជាងនេះទៅទៀត ទស្សនៈស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងអារីស្តូតខ្លួនឯង ដែលជឿថាដើម្បីបញ្ជាក់មានន័យថា ធ្វើការវែកញែក ដែលនឹងបញ្ចុះបញ្ចូលយើងដល់កម្រិតដែលថា ការប្រើប្រាស់វា យើងបញ្ចុះបញ្ចូលអ្នកដទៃអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃអ្វីមួយ។ យើងរកឃើញម្លប់ជាក់លាក់នៃវិធីសាស្រ្តផ្លូវចិត្តនៅក្នុង A.E. Yesenin-Volpin ។ គាត់ប្រឆាំងយ៉ាងខ្លាំងចំពោះការទទួលយកការពិតដោយគ្មានភស្តុតាង ដោយភ្ជាប់វាទៅនឹងសកម្មភាពនៃសេចក្តីជំនឿ ហើយសរសេរបន្ថែមទៀតថា: «ខ្ញុំហៅភស្តុតាងនៃការវិនិច្ឆ័យថាជាវិធីសាស្រ្តដ៏ស្មោះត្រង់ដែលធ្វើឱ្យការវិនិច្ឆ័យនេះមិនអាចប្រកែកបាន»។ Yesenin-Volpin រាយការណ៍ថានិយមន័យរបស់គាត់នៅតែត្រូវបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់លាស់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ តើការបង្ហាញភស្តុតាងជា "វិធីសាស្រ្តស្មោះត្រង់" មិនក្បត់ការអំពាវនាវដល់ការវាយតម្លៃខាងសីលធម៌-ផ្លូវចិត្តទេឬ?
ទន្ទឹមនឹងនេះដែរ ការរកឃើញនៃទ្រឹស្តីបទកំណត់ និងការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ទើបតែបានរួមចំណែកដល់ការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យាដែលធ្វើឡើងដោយវិចារណញាណ ជាពិសេសទិសដៅស្ថាបនា និង D. Hilbert ។
ពេលខ្លះគេជឿថា ភស្តុតាងគណិតវិទ្យាមានលក្ខណៈជាសកល ហើយតំណាងឱ្យកំណែដ៏ល្អនៃភស្តុតាងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនមែនជាវិធីសាស្រ្តតែមួយគត់នោះទេ មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនៃនីតិវិធី និងប្រតិបត្តិការផ្អែកលើភស្តុតាង។ វាជាការពិតដែលភស្តុតាងគណិតវិទ្យាមានច្រើនដូចគ្នាជាមួយនឹងតក្កវិជ្ជាផ្លូវការដែលបានអនុវត្តនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ ហើយភស្តុតាងគណិតវិទ្យាមានភាពជាក់លាក់ជាក់លាក់ ក៏ដូចជាសំណុំនៃបច្ចេកទេស-ប្រតិបត្តិការ។ នេះគឺជាកន្លែងដែលយើងនឹងបញ្ឈប់ដោយលុបចោលនូវរឿងទូទៅដែលធ្វើឱ្យវាទាក់ទងទៅនឹងទម្រង់ផ្សេងទៀតនៃភស្តុតាង នោះគឺដោយមិនដាក់ពង្រាយក្បួនដោះស្រាយ ច្បាប់ កំហុស។ល។ នៅគ្រប់ជំហានទាំងអស់ (សូម្បីតែរឿងសំខាន់)។ ដំណើរការភស្តុតាង។
ភ័ស្តុតាងគណិតវិទ្យាគឺជាការវែកញែកដែលមានភារកិច្ចនៃការបញ្ជាក់ការពិត (ជាការពិតណាស់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលជាការកាត់ចេញន័យ) នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ។
សំណុំនៃច្បាប់ដែលប្រើក្នុងភ័ស្តុតាងត្រូវបានបង្កើតឡើងរួមជាមួយការមកដល់នៃសំណង់ axiomatic នៃទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា។ នេះត្រូវបានគេដឹងច្បាស់បំផុតនិងទាំងស្រុងនៅក្នុងធរណីមាត្ររបស់អឺគ្លីដ។ "គោលការណ៍" របស់គាត់បានក្លាយជាប្រភេទនៃស្តង់ដារគំរូសម្រាប់អង្គការ axiomatic នៃចំនេះដឹងគណិតវិទ្យា ហើយសម្រាប់រយៈពេលដ៏យូរមួយនៅតែមានបែបនោះសម្រាប់គណិតវិទូ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបង្ហាញក្នុងទម្រង់នៃលំដាប់ជាក់លាក់មួយត្រូវតែធានានូវការសន្និដ្ឋាន ដែលស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់នៃប្រតិបត្តិការឡូជីខលត្រូវបានចាត់ទុកថាបង្ហាញឱ្យឃើញ។ វាត្រូវតែត្រូវបានសង្កត់ធ្ងន់ថាហេតុផលជាក់លាក់មួយគឺជាភស្តុតាងតែទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធ axiomatic មួយចំនួន។
នៅពេលកំណត់លក្ខណៈនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យា លក្ខណៈសំខាន់ពីរត្រូវបានសម្គាល់។ ជាដំបូង ការពិតដែលភស្តុតាងគណិតវិទ្យាមិនរាប់បញ្ចូលការយោងណាមួយចំពោះភស្តុតាងជាក់ស្តែង។ នីតិវិធីទាំងមូលសម្រាប់ការបញ្ជាក់ការពិតនៃការសន្និដ្ឋានត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃ axiomatics ដែលត្រូវបានទទួលយក។ អ្នកសិក្សា A.D. Aleksandrov សង្កត់ធ្ងន់លើបញ្ហានេះ។ អ្នកអាចវាស់មុំនៃត្រីកោណមួយពាន់ដង ហើយប្រាកដថាវាស្មើនឹង 2d ។ ប៉ុន្តែគណិតវិទ្យាមិនបញ្ជាក់អ្វីទាំងអស់។ អ្នកនឹងបង្ហាញវាដល់គាត់ប្រសិនបើអ្នកកាត់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើពី axioms។ សូមនិយាយឡើងវិញ។ នៅទីនេះ គណិតវិទ្យាគឺនៅជិតវិធីសាស្រ្តនៃ scholasticism ដែលបដិសេធជាមូលដ្ឋានផងដែរនូវអំណះអំណាងដោយការពិតដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពិសោធន៍។
ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃផ្នែកត្រូវបានរកឃើញ នៅពេលបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះ ការអំពាវនាវដល់ការពិសោធន៍រូបវន្តត្រូវបានដកចេញ ដោយហេតុថា ទីមួយ គោលគំនិតនៃ "ភាពមិនអាចសមហេតុផល" គឺគ្មានន័យរូបវន្ត ហើយទីពីរ គណិតវិទូមិនអាច។ នៅពេលដោះស្រាយជាមួយអរូបី ដើម្បីនាំយកទៅផ្នែកបន្ថែមសម្ភារៈជំនួយ ដែលអាចវាស់វែងបានដោយឧបករណ៍ដែលមើលឃើញ។ ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ជាពិសេសផ្នែកចំហៀង និងអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ ត្រូវបានបង្ហាញដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃចំនួនគត់ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ លើសមភាពនៃការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស (រៀងគ្នាអង្កត់ទ្រូង) ទៅនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃ ជើង (ទាំងសងខាងនៃត្រីកោណខាងស្តាំ) ។ ឬនៅពេលដែល Lobachevsky កំពុងស្វែងរកការបញ្ជាក់សម្រាប់ធរណីមាត្ររបស់គាត់ ដោយយោងទៅលើលទ្ធផលនៃការសង្កេតតារាសាស្ត្រ នោះការបញ្ជាក់នេះត្រូវបានអនុវត្តដោយគាត់ដោយមធ្យោបាយនៃការប៉ាន់ស្មានសុទ្ធសាធ។ ការបកស្រាយរបស់ Cayley-Klein និង Beltrami នៃធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean ក៏មានលក្ខណៈគណិតវិទ្យាជាជាងវត្ថុរូបវិទ្យាផងដែរ។
លក្ខណៈទីពីរនៃភ័ស្តុតាងគណិតវិទ្យាគឺភាពអរូបីខ្ពស់បំផុតរបស់វា ដែលវាខុសពីនីតិវិធីភស្តុតាងនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។ ហើយម្តងទៀត ដូចជានៅក្នុងករណីនៃគំនិតនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា វាមិនគ្រាន់តែអំពីកម្រិតនៃការអរូបីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែអំពីធម្មជាតិរបស់វា។ ការពិតគឺថាភ័ស្តុតាងឈានដល់កម្រិតខ្ពស់នៃការអរូបីនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រមួយចំនួនទៀត ឧទាហរណ៍ក្នុងរូបវិទ្យា លោហធាតុវិទ្យា និងជាការពិតណាស់នៅក្នុងទស្សនវិជ្ជា ចាប់តាំងពីបញ្ហាចុងក្រោយនៃការគិត និងការគិតក្លាយជាប្រធានបទចុងក្រោយ។ ម៉្យាងវិញទៀត គណិតវិទ្យាត្រូវបានសម្គាល់ដោយការពិតដែលថាអថេរមានមុខងារនៅទីនេះ ដែលអត្ថន័យគឺនៅក្នុង abstraction ពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ណាមួយ។ សូមចាំថា តាមនិយមន័យ អថេរគឺជាសញ្ញាដែលនៅក្នុងខ្លួនគេមិនមានអត្ថន័យ និងទទួលបានក្រោយតែនៅពេលដែលឈ្មោះរបស់វត្ថុមួយចំនួនត្រូវបានជំនួសសម្រាប់ពួកគេ (អថេរបុគ្គល) ឬនៅពេលដែលលក្ខណៈសម្បត្តិ និងទំនាក់ទំនងជាក់លាក់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ (អថេរព្យាករណ៍) ឬទីបំផុត នៅក្នុងករណីនៃការជំនួសអថេរមួយជាមួយនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានអត្ថន័យ (អថេរ propositional)។
លក្ខណៈពិសេសដែលបានកត់សម្គាល់កំណត់ពីធម្មជាតិនៃភាពអរូបីខ្លាំងនៃសញ្ញាដែលប្រើក្នុងភស្តុតាងគណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ដែលដោយសារតែការរួមបញ្ចូលអថេរនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធរបស់វា ប្រែទៅជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍។
នីតិវិធីនៃភស្តុតាង ដែលកំណត់ក្នុងតក្កវិជ្ជាជាការបង្ហាញ ដំណើរការលើមូលដ្ឋាននៃវិធាននៃការសន្និដ្ឋាន ដោយផ្អែកលើការផ្លាស់ប្តូរពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយទៅសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយទៀតត្រូវបានអនុវត្ត បង្កើតបានជាខ្សែសង្វាក់នៃការសន្និដ្ឋានស្របគ្នា។ ធម្មតាបំផុតគឺច្បាប់ពីរ (ការជំនួស និងការទាញយកសេចក្តីសន្និដ្ឋាន) និងទ្រឹស្តីបទកាត់។
ច្បាប់ជំនួស។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ការជំនួសត្រូវបានកំណត់ថាជាការជំនួសធាតុនីមួយៗ a នៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុ F(a) ផ្សេងទៀតពីសំណុំដូចគ្នា។ នៅក្នុងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា ក្បួនជំនួសត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើរូបមន្តពិត M ក្នុងការគណនាប្រូម៉ូសិនមានអក្សរ A រួចហើយដោយជំនួសវានៅកន្លែងណាដែលវាកើតឡើងដោយអក្សរ D នោះយើងទទួលបានរូបមន្តដែលពិតដូចលេខដើមដែរ។ នេះអាចទៅរួច និងអាចទទួលយកបាន ពីព្រោះនៅក្នុងការគណនានៃសំណើ មួយអរូបីពីអត្ថន័យនៃសំណើ (រូបមន្ត)... មានតែតម្លៃ "ពិត" ឬ "មិនពិត" ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានយកមកពិចារណា។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងរូបមន្ត M: A--> (BUA) យើងជំនួសកន្សោម (AUB) ជំនួស A ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តថ្មី (AUB) --> [(BU(AUB)] ។
ក្បួនសម្រាប់ការសន្និដ្ឋានសន្និដ្ឋានត្រូវគ្នាទៅនឹងរចនាសម្ព័ន្ធនៃ syllogism modus ponens តាមលក្ខខណ្ឌតាមលក្ខខណ្ឌ (របៀបបញ្ជាក់) ក្នុងតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ។ វាមើលទៅដូចនេះ៖
ក .
បានផ្តល់សំណើ (a-> b) និងបានផ្តល់ឱ្យ a. វាធ្វើតាម ខ.
ឧទាហរណ៍៖ បើភ្លៀងហើយ ចិញ្ចើមផ្លូវសើម ភ្លៀង (ក) ដូច្នេះ ចិញ្ចើមផ្លូវសើម (ខ)។ នៅក្នុងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា សទ្ទានុក្រមនេះត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម (a-> b) a-> b ។
ការសន្និដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ជាក្បួនដោយបំបែកសម្រាប់ការជាប់ពាក់ព័ន្ធ។ ប្រសិនបើការបង្កប់ន័យ (a-> b) និងបុព្វបទរបស់វា (a) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះយើងមានសិទ្ធិក្នុងការបន្ថែមការវែកញែក (ភស្តុតាង) ផងដែរនូវផលវិបាកនៃការជាប់ពាក់ព័ន្ធនេះ (ខ)។ Syllogism គឺជាការបង្ខិតបង្ខំ ដែលបង្កើតបានជាឃ្លាំងអាវុធនៃមធ្យោបាយដកយកភស្តុតាង នោះគឺជាការបំពេញតាមតម្រូវការនៃហេតុផលគណិតវិទ្យា។
តួនាទីដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងភស្តុតាងគណិតវិទ្យាត្រូវបានលេងដោយទ្រឹស្តីបទកាត់ - ឈ្មោះទូទៅសម្រាប់ទ្រឹស្តីបទមួយចំនួន នីតិវិធីដែលធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតលទ្ធភាពនៃការជាប់ទាក់ទងបាន៖ A-> B នៅពេលដែលមានប្រភពឡូជីខលនៃ រូបមន្ត B ពីរូបមន្ត A. នៅក្នុងកំណែទូទៅបំផុតនៃការគណនា propositional (នៅក្នុងបុរាណ វិចារណញាណ និងប្រភេទផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា) ទ្រឹស្តីបទកាត់ចែងដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃបរិវេណ G និងបរិវេណ A ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលយោងទៅតាមច្បាប់ B Г, A B (- សញ្ញានៃភាពអាចទាញយកបាន) អាចត្រូវបានកាត់វាបន្ទាប់មកមានតែពីបរិវេណ G ប៉ុណ្ណោះដែលអាចទទួលបានប្រយោគ។ ក --> ខ។
យើងបានពិចារណាលើប្រភេទដែលជាភស្តុតាងផ្ទាល់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ អ្វីដែលគេហៅថាភស្តុតាងប្រយោលក៏ត្រូវបានគេប្រើជាតក្កវិជ្ជាដែរ មានភស្តុតាងមិនផ្ទាល់ដែលលាតត្រដាងតាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម។ មិនមាន, ដោយសារតែហេតុផលមួយចំនួន (ការមិនអាចចូលដំណើរការនៃវត្ថុនៃការសិក្សា, ការបាត់បង់នៃការពិតនៃអត្ថិភាពរបស់វា, ល) ឱកាសដើម្បីដឹកនាំភស្តុតាងផ្ទាល់នៃការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយ, និក្ខេបបទ, ពួកគេបានកសាង antithesis មួយ។ ពួកគេជឿជាក់ថា ការប្រឆាំងគ្នានាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះហើយ គឺជាការមិនពិត។ បន្ទាប់មកពីការពិតនៃភាពមិនពិតនៃការប្រឆាំងនឹងទ្រឹស្តីមួយគូរ - នៅលើមូលដ្ឋាននៃច្បាប់នៃពាក់កណ្តាលដែលបានដកចេញ (a v) - ការសន្និដ្ឋានអំពីការពិតនៃនិក្ខេបបទ។
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ទម្រង់មួយនៃភស្តុតាងប្រយោលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយ - ភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ វាមានតម្លៃជាពិសេស ហើយតាមពិតទៅ វាមិនអាចខ្វះបានក្នុងការទទួលយកគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងការផ្តល់គណិតវិទ្យា ជាឧទាហរណ៍ គោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ ដែលមិនអាចត្រូវបានណែនាំតាមវិធីផ្សេងទៀតឡើយ។
ប្រតិបត្តិការនៃភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នាត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដូចខាងក្រោម។ ផ្តល់ឱ្យនូវលំដាប់នៃរូបមន្ត G និងការអវិជ្ជមាននៃ A (G , A) ។ ប្រសិនបើនេះបង្កប់ន័យ B និងការអវិជ្ជមានរបស់វា (G , A B , non-B ) នោះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាការពិតនៃ A កើតឡើងពីលំដាប់នៃរូបមន្ត G. ម្យ៉ាងវិញទៀត ការពិតនៃនិក្ខេបបទកើតឡើងពីភាពមិនពិតនៃការប្រឆាំង។ .
ឯកសារយោង៖
1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់សម្រាប់អ្នកសេដ្ឋកិច្ច, សៀវភៅសិក្សា, ម៉ូស្គូ, 2002;
2. L.D. Kudryavtsev, គណិតវិទ្យាទំនើប និងការបង្រៀនរបស់វា, Moscow, Nauka, 1985;
3. O. I. Larichev, គំរូគោលបំណង និងការសម្រេចចិត្តតាមប្រធានបទ, Moscow, Nauka, 1987;
4. A.Ya.Halamizer “គណិតវិទ្យា? - វាគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់!”, ការបោះពុម្ពរបស់អ្នកនិពន្ធ, ឆ្នាំ 1989;
5. P.K. Rashevsky, ធរណីមាត្រ Riemannian និងការវិភាគ tensor, Moscow, បោះពុម្ពលើកទី 3, 1967;
6. V.E. Gmurman, ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, វិទ្យាល័យ, 1977;
7. បណ្តាញធំទូលាយពិភពលោក Enternet ។
គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃទំនាក់ទំនងបរិមាណ និងទម្រង់លំហនៃពិភពពិត។ នៅក្នុងទំនាក់ទំនងជិតស្និទ្ធជាមួយនឹងការទាមទារនៃវិទ្យាសាស្រ្ត និងបច្ចេកវិទ្យា ភាគហ៊ុននៃទំនាក់ទំនងបរិមាណ និងទម្រង់លំហដែលសិក្សាដោយគណិតវិទ្យាកំពុងពង្រីកឥតឈប់ឈរ ដូច្នេះនិយមន័យខាងលើត្រូវតែយល់ក្នុងន័យទូទៅបំផុត។
គោលបំណងនៃការសិក្សាគណិតវិទ្យាគឺដើម្បីបង្កើនទស្សនៈទូទៅ វប្បធម៌នៃការគិត ការបង្កើតទស្សនៈពិភពលោកបែបវិទ្យាសាស្ត្រ។
ការយល់ដឹងអំពីមុខតំណែងឯករាជ្យនៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រពិសេសបានក្លាយទៅជាអាចធ្វើទៅបានបន្ទាប់ពីការប្រមូលផ្តុំនៃអង្គហេតុដ៏ច្រើនសន្ធឹកសន្ធាប់ ហើយបានកើតឡើងជាលើកដំបូងនៅក្នុងប្រទេសក្រិចបុរាណក្នុងសតវត្សទី 6-5 មុនគ។ នេះគឺជាការចាប់ផ្តើមនៃសម័យកាលនៃគណិតវិទ្យាបឋម។
ក្នុងអំឡុងពេលនេះ ការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាបានដោះស្រាយតែជាមួយភាគហ៊ុនដែលមានកម្រិតនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានដែលកើតឡើងជាមួយនឹងតម្រូវការសាមញ្ញបំផុតនៃជីវិតសេដ្ឋកិច្ច។ ទន្ទឹមនឹងនោះ ការកែលម្អគុណភាពនៃគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រកំពុងកើតឡើងរួចហើយ។
គណិតវិទ្យាសម័យទំនើបតែងតែប្រៀបធៀបទៅនឹងទីក្រុងធំមួយ។ នេះគឺជាការប្រៀបធៀបដ៏ល្អមួយ ពីព្រោះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដូចជានៅក្នុងទីក្រុងធំមួយ មានដំណើរការរីកចម្រើន និងរីកចម្រើនជាបន្តបន្ទាប់។ តំបន់ថ្មីកំពុងលេចឡើងក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីថ្មីឆើតឆាយ និងស៊ីជម្រៅកំពុងត្រូវបានសាងសង់ ដូចជាការសាងសង់សង្កាត់ និងអគារថ្មី។ ប៉ុន្តែការរីកចម្រើននៃគណិតវិទ្យាមិនមានកំណត់ចំពោះការផ្លាស់ប្តូរមុខមាត់ទីក្រុងដោយសារការសាងសង់ថ្មីនោះទេ។ យើងត្រូវផ្លាស់ប្តូរចាស់។ ទ្រឹស្ដីចាស់ត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងទ្រឹស្តីថ្មី និងទូទៅជាង។ ចាំបាច់ត្រូវពង្រឹងគ្រឹះនៃអគារចាស់។ ផ្លូវថ្មីត្រូវតែដាក់ដើម្បីបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងត្រីមាសឆ្ងាយនៃទីក្រុងគណិតវិទ្យា។ ប៉ុន្តែនេះមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ - ការរចនាស្ថាបត្យកម្មតម្រូវឱ្យមានការខិតខំប្រឹងប្រែងសន្ធឹកសន្ធាប់ ចាប់តាំងពីភាពចម្រុះនៃផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យាមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យខូចចំណាប់អារម្មណ៍ទូទៅនៃវិទ្យាសាស្ត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងរំខានដល់ការយល់ដឹងអំពីវិទ្យាសាស្ត្រទាំងមូល ដោយបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងផ្នែកផ្សេងៗរបស់វា។
ការប្រៀបធៀបមួយផ្សេងទៀតត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់: គណិតវិទ្យាត្រូវបានគេប្រដូចទៅនឹងមែកធាងមែកធាងធំមួយដែលជាប្រព័ន្ធផ្តល់ពន្លកថ្មី។ សាខានីមួយៗនៃមែកធាងគឺជាផ្នែកមួយឬមួយផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។ ចំនួនមែកមិននៅដដែលទេ ព្រោះមែកថ្មីដុះលូតលាស់ជាមួយគ្នាដំបូងដុះដាច់ៗ មែកខ្លះស្ងួតខ្វះទឹកចិញ្ចឹម។ ការប្រៀបធៀបទាំងពីរគឺជោគជ័យ និងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់អំពីស្ថានភាពជាក់ស្តែង។
ដោយមិនសង្ស័យ តម្រូវការភាពស្រស់ស្អាតដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការសាងសង់ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា។ វានិយាយដោយមិននិយាយថាការយល់ឃើញនៃភាពស្រស់ស្អាតគឺជាប្រធានបទខ្លាំងណាស់ហើយជាញឹកញាប់មានគំនិតអាក្រក់ណាស់អំពីរឿងនេះ។ ហើយគេត្រូវតែភ្ញាក់ផ្អើលចំពោះភាពឯកច្ឆ័ន្ទដែលគណិតវិទូដាក់ចូលទៅក្នុងគោលគំនិតនៃ "ភាពស្រស់ស្អាត"៖ លទ្ធផលត្រូវបានចាត់ទុកថាស្រស់ស្អាត ប្រសិនបើពីលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនតូច វាអាចទទួលបានសេចក្តីសន្និដ្ឋានទូទៅទាក់ទងនឹងវត្ថុដ៏ធំទូលាយមួយ។ ដេរីវេគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាស្រស់ស្អាត ប្រសិនបើវាអាចបញ្ជាក់ពីការពិតដ៏សំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យាដោយការវែកញែកសាមញ្ញ និងខ្លី។ ភាពចាស់ទុំរបស់គណិតវិទូ ទេពកោសល្យរបស់គាត់ត្រូវបានទស្សន៍ទាយដោយវិធីអភិវឌ្ឍអារម្មណ៍នៃភាពស្រស់ស្អាតរបស់គាត់។ លទ្ធផលដ៏ល្អឥតខ្ចោះ និងប្រកបដោយសោភ័ណភាពគណិតវិទ្យា ងាយស្រួលយល់ ចងចាំ និងប្រើប្រាស់។ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ទំនាក់ទំនងរបស់ពួកគេជាមួយនឹងផ្នែកនៃចំណេះដឹងផ្សេងទៀត។
គណិតវិទ្យានៅសម័យរបស់យើងបានក្លាយជាវិន័យវិទ្យាសាស្ត្រដែលមានផ្នែកជាច្រើននៃការស្រាវជ្រាវ លទ្ធផល និងវិធីសាស្រ្តយ៉ាងច្រើន។ គណិតវិទ្យាឥឡូវនេះគឺអស្ចារ្យណាស់ដែលមនុស្សម្នាក់មិនអាចគ្របដណ្ដប់លើផ្នែកទាំងអស់របស់វាបានទេ វាគ្មានលទ្ធភាពក្លាយជាអ្នកឯកទេសសកលនៅក្នុងវាទេ។ ការបាត់បង់ទំនាក់ទំនងរវាងទិសដៅដាច់ដោយឡែករបស់វាគឺពិតជាផលវិបាកអវិជ្ជមាននៃការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងឆាប់រហ័សនៃវិទ្យាសាស្ត្រនេះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅលើមូលដ្ឋាននៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃសាខាទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យាមានរឿងសាមញ្ញមួយ - ប្រភពដើមនៃការអភិវឌ្ឍន៍ឫសគល់នៃមែកធាងនៃគណិតវិទ្យា។
ធរណីមាត្ររបស់ Euclid ជាទ្រឹស្ដីវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិដំបូងគេ
គណិតវិទ្យា គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃទំនាក់ទំនងបរិមាណ និងទម្រង់លំហនៃពិភពពិត។ ពាក្យក្រិក (គណិតវិទ្យា) មកពីពាក្យក្រិក (គណិតវិទ្យា) មានន័យថា "ចំណេះដឹង" "វិទ្យាសាស្ត្រ" ។
គណិតវិទ្យាកើតឡើងនៅសម័យបុរាណពីតម្រូវការជាក់ស្តែងរបស់មនុស្ស។ ខ្លឹមសារ និងចរិតលក្ខណៈរបស់វាបានផ្លាស់ប្តូរពេញមួយប្រវត្តិសាស្ត្រ ហើយបន្តផ្លាស់ប្តូរឥឡូវនេះ។ ពីគំនិតប្រធានបទបឋមអំពីចំនួនគត់វិជ្ជមាន ក៏ដូចជាពីគំនិតនៃផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ដែលជាចម្ងាយខ្លីបំផុតរវាងចំណុចពីរ គណិតវិទ្យាបានឈានទៅដល់ការអភិវឌ្ឍន៍ដ៏វែងឆ្ងាយ មុនពេលក្លាយជាវិទ្យាសាស្ត្រអរូបីជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវជាក់លាក់។
ការយល់ដឹងសម័យទំនើបនៃទម្រង់លំហគឺទូលំទូលាយណាស់។ វារួមបញ្ចូល រួមជាមួយនឹងវត្ថុធរណីមាត្រនៃលំហរបីវិមាត្រ (បន្ទាត់ រង្វង់ ត្រីកោណ កោណ ស៊ីឡាំង បាល់។ , និងច្រើនទៀត។ ដូចគ្នាដែរ ទំនាក់ទំនងបរិមាណឥឡូវនេះត្រូវបានបង្ហាញមិនត្រឹមតែដោយចំនួនគត់វិជ្ជមាន ឬលេខសនិទានប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងតាមរយៈ ចំនួនកុំផ្លិច វ៉ិចទ័រ អនុគមន៍ល។ ការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យាបង្ខំឱ្យគណិតវិទ្យាបន្តពង្រីកគំនិតរបស់ខ្លួនអំពីទម្រង់លំហ និងទំនាក់ទំនងបរិមាណ។
គោលគំនិតនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានអរូបីពីបាតុភូត និងវត្ថុជាក់លាក់។ ពួកវាត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃការអរូបីពីលក្ខណៈគុណភាពជាក់លាក់ចំពោះជួរនៃបាតុភូត និងវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ កាលៈទេសៈនេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការអនុវត្តគណិតវិទ្យា។ លេខ 2 មិនត្រូវបានភ្ជាប់ដោយ inextricably ជាមួយមាតិកាប្រធានបទជាក់លាក់ណាមួយទេ។ វាអាចសំដៅទៅលើផ្លែប៉ោមពីរ ឬសៀវភៅពីរ ឬគំនិតពីរ។ វាអនុវត្តបានល្អដូចគ្នាចំពោះវត្ថុទាំងអស់នេះ និងរាប់មិនអស់។ ដូចគ្នាដែរ លក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្ររបស់បាល់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ព្រោះវាធ្វើពីកញ្ចក់ ដែក ឬស្តេរីន។ ជាការពិតណាស់ ការអរូបីពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវត្ថុមួយ ធ្វើឱ្យចំណេះដឹងរបស់យើងចុះខ្សោយអំពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ អំពីលក្ខណៈសម្ភារៈរបស់វា។ ទន្ទឹមនឹងនេះ វាគឺជាការអរូបីពីលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសនៃវត្ថុនីមួយៗ ដែលផ្តល់ភាពសាមញ្ញដល់គំនិត ធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តគណិតវិទ្យាទៅនឹងបាតុភូតចម្រុះបំផុតនៅក្នុងលក្ខណៈសម្ភារៈរបស់ពួកគេ។ ដូច្នេះ ច្បាប់គណិតវិទ្យាដូចគ្នា ឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដូចគ្នា អាចត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងគាប់ចិត្តចំពោះការពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតធម្មជាតិ បច្ចេកទេស ក៏ដូចជាដំណើរការសេដ្ឋកិច្ច និងសង្គម។
អរូបីនៃគំនិតមិនមែនជាលក្ខណៈផ្តាច់មុខនៃគណិតវិទ្យាទេ។ គំនិតវិទ្យាសាស្ត្រ និងទូទៅណាមួយមានធាតុផ្សំនៃអរូបីពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវត្ថុជាក់លាក់។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដំណើរការនៃអរូបីទៅជាងនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដំណើរការនៃការបង្កើតអរូបីនៃកម្រិតផ្សេងៗគ្នាត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ បាទ គំនិត ក្រុមកើតឡើងដោយការអរូបីពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃចំនួនសរុប និងគំនិតអរូបីផ្សេងទៀត។ គណិតវិទ្យាក៏ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយវិធីសាស្រ្តនៃការទទួលបានលទ្ធផលរបស់វា។ ប្រសិនបើអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិតែងតែស្វែងរកបទពិសោធន៍ដើម្បីបញ្ជាក់ពីមុខតំណែងរបស់គាត់ នោះគណិតវិទូបង្ហាញលទ្ធផលរបស់គាត់បានតែតាមរយៈហេតុផលឡូជីខលប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា គ្មានលទ្ធផលណាមួយអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាបង្ហាញឱ្យឃើញនោះទេ រហូតទាល់តែវាត្រូវការភស្តុតាងឡូជីខល ហើយនេះបើទោះបីជាការពិសោធន៍ពិសេសបានបញ្ជាក់ពីលទ្ធផលនេះក៏ដោយ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ ការពិតនៃទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាក៏ត្រូវបានសាកល្បងដោយការអនុវត្តផងដែរ ប៉ុន្តែការធ្វើតេស្តនេះគឺមានលក្ខណៈពិសេស៖ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃគ្រីស្តាល់រយៈពេលវែងរបស់ពួកគេពីការស្នើសុំជាក់ស្តែងជាក់លាក់។ ច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជាខ្លួនឯងត្រូវបានបង្កើតឡើងតែបន្ទាប់ពីរាប់សហស្សវត្សរ៍នៃការសង្កេតនៃដំណើរការនៃធម្មជាតិ។ ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទ និងការបង្កើតបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យា ក៏កើតចេញពីតម្រូវការនៃការអនុវត្តផងដែរ។ គណិតវិទ្យាបានកើតចេញពីតម្រូវការជាក់ស្តែង ហើយទំនាក់ទំនងរបស់វាជាមួយការអនុវត្តកាន់តែមានភាពចម្រុះ និងស៊ីជម្រៅតាមពេលវេលា។
ជាគោលការណ៍ គណិតវិទ្យាអាចអនុវត្តបានចំពោះការសិក្សាអំពីចលនាប្រភេទណាមួយ ដែលជាបាតុភូតដ៏ធំទូលាយមួយ។ តាមពិតតួនាទីរបស់វាក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃសកម្មភាពវិទ្យាសាស្ត្រ និងការអនុវត្តគឺមិនដូចគ្នាទេ។ តួនាទីរបស់គណិតវិទ្យាគឺអស្ចារ្យជាពិសេសក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍រូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា វិស័យបច្ចេកវិទ្យាជាច្រើន ជាទូទៅក្នុងការសិក្សាអំពីបាតុភូតទាំងនោះ ដែលសូម្បីតែការអរូបីយ៉ាងសំខាន់ពីលក្ខណៈគុណភាពជាក់លាក់របស់វា ធ្វើឱ្យវាអាចចាប់យកបរិមាណ និងទំហំបានយ៉ាងត្រឹមត្រូវ លំនាំដែលមាននៅក្នុងពួកគេ។ ជាឧទាហរណ៍ ការសិក្សាគណិតវិទ្យាអំពីចលនានៃរូបកាយសេឡេស្ទាល ដោយផ្អែកលើអរូបីសំខាន់ៗពីលក្ខណៈពិតរបស់ពួកគេ (ឧទាហរណ៍ រូបកាយត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណុចសម្ភារៈ) បានដឹកនាំ និងនាំទៅរកការផ្គូផ្គងដ៏ល្អឥតខ្ចោះជាមួយនឹងចលនាពិតរបស់ពួកគេ។ នៅលើមូលដ្ឋាននេះ វាមិនត្រឹមតែអាចទស្សន៍ទាយបានជាមុននូវបាតុភូតសេឡេស្ទាល (សូរ្យគ្រាស ទីតាំងនៃភពនានា។ , Neptune ក្នុងឆ្នាំ 1846) ។ កន្លែងតូចជាង ប៉ុន្តែនៅតែសំខាន់គឺត្រូវបានកាន់កាប់ដោយគណិតវិទ្យានៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រដូចជា សេដ្ឋកិច្ច ជីវវិទ្យា និងវេជ្ជសាស្ត្រ។ គុណភាពនៃប្រភពដើមនៃបាតុភូតដែលបានសិក្សានៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រទាំងនេះគឺអស្ចារ្យណាស់ ហើយមានឥទ្ធិពលលើធម្មជាតិនៃវគ្គសិក្សារបស់ពួកគេយ៉ាងខ្លាំង ដែលរហូតមកដល់ពេលនេះការវិភាគគណិតវិទ្យាអាចដើរតួនាទីតែក្រោមប៉ុណ្ណោះ។ សារៈសំខាន់ជាពិសេសសម្រាប់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម និងជីវសាស្រ្តគឺ ស្ថិតិគណិតវិទ្យា។គណិតវិទ្យាខ្លួនឯងក៏អភិវឌ្ឍក្រោមឥទ្ធិពលនៃតម្រូវការនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ បច្ចេកវិទ្យា និងសេដ្ឋកិច្ច។ សូម្បីតែក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានឆ្នាំថ្មីៗនេះ មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាមួយចំនួនបានលេចចេញឡើង ដែលបានកើតឡើងដោយផ្អែកលើសំណើជាក់ស្តែង៖ ទ្រឹស្តីព័ត៌មាន ទ្រឹស្តីហ្គេមនិងល។
វាច្បាស់ណាស់ថាការផ្លាស់ប្តូរពីដំណាក់កាលមួយនៃការយល់ដឹងនៃបាតុភូតទៅដំណាក់កាលបន្ទាប់ កាន់តែត្រឹមត្រូវ ធ្វើឱ្យតម្រូវការថ្មីលើគណិតវិទ្យា និងនាំទៅដល់ការបង្កើតគំនិតថ្មី វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវថ្មី។ ដូច្នេះ តម្រូវការនៃវិស័យតារាសាស្ត្រ ផ្លាស់ប្តូរពីចំណេះដឹងពិពណ៌នាសុទ្ធសាធ ទៅជាចំណេះដឹងពិតប្រាកដ នាំឱ្យមានការវិវត្តនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន។ ត្រីកោណមាត្រ៖ នៅសតវត្សរ៍ទី ២ មុនគ.ស អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Hipparchus បានចងក្រងតារាងនៃអង្កត់ធ្នូដែលត្រូវគ្នានឹងតារាងស៊ីនុសទំនើប។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណនៅសតវត្សទី 1 Menelaus និងនៅសតវត្សទី 2 Claudius Ptolemy បានបង្កើតមូលដ្ឋានគ្រឹះ ត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ។ការចាប់អារម្មណ៍កាន់តែខ្លាំងឡើងក្នុងការសិក្សាអំពីចលនា ដែលនាំមកជីវិតដោយការអភិវឌ្ឍន៍នៃការផលិត ការរុករក កាំភ្លើងធំជាដើម បានដឹកនាំក្នុងសតវត្សទី 17 ដល់ការបង្កើតគំនិត។ ការវិភាគគណិតវិទ្យា, ការអភិវឌ្ឍនៃគណិតវិទ្យាថ្មី។ ការណែនាំយ៉ាងទូលំទូលាយនៃវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាក្នុងការសិក្សាអំពីបាតុភូតធម្មជាតិ (ជាចម្បងតារាសាស្ត្រ និងរូបវិទ្យា) និងការអភិវឌ្ឍន៍បច្ចេកវិទ្យា (ជាពិសេសវិស្វកម្មមេកានិច) បានដឹកនាំនៅសតវត្សទី 18 និង 19 ដល់ការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងឆាប់រហ័សនៃទ្រឹស្តី និងទ្រឹស្តី។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ការអភិវឌ្ឍនៃគំនិតនៃរចនាសម្ព័ន្ធម៉ូលេគុលនៃរូបធាតុបណ្តាលឱ្យមានការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងឆាប់រហ័ស ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ. នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ យើងអាចតាមដានការលេចឡើងនៃផ្នែកថ្មីនៃការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាតាមរយៈឧទាហរណ៍ជាច្រើន។ គួរឱ្យកត់សម្គាល់ជាពិសេសគឺសមិទ្ធិផល គណិតវិទ្យាគណនា និងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ និងការបំប្លែងដែលពួកគេផលិតនៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា។
អត្ថបទប្រវត្តិសាស្ត្រ។ នៅក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យា អំឡុងពេលចំនួនបួនដែលមានភាពខុសគ្នាសំខាន់អាចត្រូវបានគូសបញ្ជាក់។ វាជាការលំបាកក្នុងការបែងចែករយៈពេលទាំងនេះឱ្យច្បាស់លាស់ ចាប់តាំងពីដំណាក់កាលបន្តបន្ទាប់នីមួយៗបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងផ្នែកមុន ហើយដូច្នេះវាមានដំណាក់កាលអន្តរកាលដ៏សំខាន់ នៅពេលដែលគំនិតថ្មីៗទើបតែនឹងលេចឡើង ហើយមិនទាន់ក្លាយជាការណែនាំទាំងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឬនៅក្នុងកម្មវិធីរបស់វា។
1) រយៈពេលនៃកំណើតនៃគណិតវិទ្យាជាវិន័យវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យ; ការចាប់ផ្តើមនៃសម័យកាលនេះត្រូវបានបាត់បង់នៅក្នុងជម្រៅនៃប្រវត្តិសាស្រ្ត; វាបានបន្តរហូតដល់ប្រហែល 6-5 សតវត្សមុនគ។ អ៊ី
2) រយៈពេលនៃគណិតវិទ្យាបឋម, គណិតវិទ្យានៃចំនួនថេរ; វាមានរយៈពេលប្រហែលរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 17 នៅពេលដែលការអភិវឌ្ឍនៃគណិតវិទ្យា "ខ្ពស់ជាង" ថ្មីបានទៅឆ្ងាយណាស់។
3) រយៈពេលនៃគណិតវិទ្យានៃអថេរ; កំណត់លក្ខណៈដោយការបង្កើត និងការអភិវឌ្ឍន៍នៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ការសិក្សានៃដំណើរការក្នុងចលនារបស់ពួកគេ ការអភិវឌ្ឍន៍។
4) រយៈពេលនៃគណិតវិទ្យាទំនើប; កំណត់លក្ខណៈដោយការសិក្សាប្រកបដោយមនសិការ និងជាប្រព័ន្ធនៃប្រភេទនៃទំនាក់ទំនងបរិមាណ និងទម្រង់លំហ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ មិនត្រឹមតែសិក្សាលំហបីវិមាត្រពិតប្រាកដប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទម្រង់លំហដែលស្រដៀងនឹងវាផងដែរ។ នៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា អថេរត្រូវបានចាត់ទុកថាអាស្រ័យមិនត្រឹមតែលើអាគុយម៉ង់លេខប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅលើបន្ទាត់មួយចំនួន (មុខងារ) ដែលនាំទៅដល់គោលគំនិត។ មុខងារនិង ប្រតិបត្តិករ. ពិជគណិតប្រែទៅជាទ្រឹស្តីនៃប្រតិបត្តិការពិជគណិតលើធាតុនៃធម្មជាតិបំពាន។ ប្រសិនបើមានតែវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងនេះលើពួកគេ។ ការចាប់ផ្តើមនៃសម័យកាលនេះអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈធម្មជាតិទៅនឹងពាក់កណ្តាលទីមួយនៃសតវត្សទី 19 ។
នៅសម័យបុរាណ ព័ត៌មានគណិតវិទ្យាជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃចំណេះដឹងរបស់សង្ឃ និងមន្ត្រីរដ្ឋាភិបាល។ ស្តុកនៃព័ត៌មាននេះ ដូចដែលអាចត្រូវបានវិនិច្ឆ័យដោយគ្រាប់ដីឥដ្ឋបាប៊ីឡូនដែលបានឌិកូដរួចហើយ និងអេហ្ស៊ីប papyri គណិតវិទ្យា,មានទំហំធំល្មម។ មានភស្តុតាងដែលថាមួយពាន់ឆ្នាំមុនអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Pythagoras នៅ Mesopotamia មិនត្រឹមតែទ្រឹស្តី Pythagoras ត្រូវបានគេស្គាល់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែបញ្ហានៃការស្វែងរកត្រីកោណមុំខាងស្តាំទាំងអស់ដែលមានជ្រុងចំនួនគត់ក៏ត្រូវបានដោះស្រាយផងដែរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឯកសារភាគច្រើននៅសម័យនោះ គឺជាបណ្តុំនៃច្បាប់សម្រាប់អនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុត ក៏ដូចជាសម្រាប់ការគណនាតំបន់នៃតួរលេខ និងបរិមាណសាកសព។ តារាងផ្សេងៗក៏ត្រូវបានរក្សាទុកផងដែរ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការគណនាទាំងនេះ។ នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំទាំងអស់ ច្បាប់មិនត្រូវបានបង្កើតទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានពន្យល់ដោយឧទាហរណ៍ញឹកញាប់។ ការបំប្លែងគណិតវិទ្យាទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រផ្លូវការ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តកាត់យកទម្រង់សំណង់បានយ៉ាងល្អ បានកើតឡើងនៅប្រទេសក្រិកបុរាណ។ នៅកន្លែងដដែល ការច្នៃប្រឌិតគណិតវិទ្យាឈប់គ្មានឈ្មោះ។ ជាក់ស្តែង នព្វន្ធ និងធរណីមាត្រនៅប្រទេសក្រិកបុរាណមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍។ ការចាប់ផ្តើមនៃធរណីមាត្រក្រិកត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់ Thales of Miletus (ចុងសតវត្សទី 7 មុនគ.ស - ការចាប់ផ្តើមនៃសតវត្សទី 6 មុនគ។ នៅក្នុងសាលា Pythagoras of Samos (សតវត្សទី 6 មុនគ.ស) ការបែងចែកលេខត្រូវបានសិក្សា ការវិវឌ្ឍន៍ដ៏សាមញ្ញបំផុតត្រូវបានសង្ខេប លេខល្អឥតខ្ចោះត្រូវបានសិក្សា ប្រភេទផ្សេងៗនៃមធ្យមភាគ (នព្វន្ធ ធរណីមាត្រ អាម៉ូនិក) ត្រូវបានយកមកពិចារណា លេខ Pythagorean ត្រូវបានរកឃើញម្តងទៀត (ចំនួនបីដងនៃចំនួនគត់ ដែលអាចជាជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ)។ នៅសតវត្សរ៍ទី ៥-៦ មុនគ។ បញ្ហាដ៏ល្បីល្បាញនៃវត្ថុបុរាណបានកើតឡើង - ការ៉េនៃរង្វង់មួយផ្នែកនៃមុំមួយការកើនឡើងទ្វេដងនៃគូបមួយលេខមិនសមហេតុផលដំបូងត្រូវបានបង្កើតឡើង។ សៀវភៅសិក្សាជាប្រព័ន្ធដំបូងនៃធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈ Hippocrates of Chios (ពាក់កណ្តាលទី 2 នៃសតវត្សទី 5 មុនគ។ នៅពេលដំណាលគ្នានោះភាពជោគជ័យដ៏សំខាន់នៃសាលា Platonic ដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការប៉ុនប៉ងដើម្បីពន្យល់ដោយហេតុផលអំពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃបញ្ហានៃសាកលលោកគឺជាកម្មសិទ្ធិនៃការស្វែងរក polyhedra ធម្មតា។ នៅលើព្រំដែននៃសតវត្សទី 5 និងទី 4 មុនគ។ Democritus ដោយផ្អែកលើគំនិតអាតូមិចបានស្នើវិធីសាស្រ្តសម្រាប់កំណត់បរិមាណនៃសាកសព។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចចាត់ទុកថាជាគំរូដើមនៃវិធីសាស្ត្រគ្មានកំណត់។ នៅសតវត្សរ៍ទី ៤ មុនគ។ Eudoxus នៃ Cnidus បានបង្កើតទ្រឹស្តីនៃសមាមាត្រ។ សតវត្សទី 3 មុនគ្រឹស្តសករាជត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអាំងតង់ស៊ីតេដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃការច្នៃប្រឌិតគណិតវិទ្យា។ (សតវត្សទី 1 នៃអ្វីដែលហៅថាសម័យអាឡិចសាន់ឌឺ) ។ នៅសតវត្សទី 3 មុនគ។ គណិតវិទូដូចជា Euclid, Archimedes, Apollonius of Perga, Eratosthenes បានធ្វើការ។ ក្រោយមក - ហេរ៉ុន (សតវត្សទី 1 នៃគ។ ស។ ) Diophantus (សតវត្សទី 3) ។ នៅក្នុង "គោលការណ៍" របស់គាត់ Euclid បានប្រមូលនិងទទួលរងនូវដំណើរការឡូជីខលចុងក្រោយនៃសមិទ្ធិផលនៅក្នុងវាលនៃធរណីមាត្រ; ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គាត់បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីលេខ។ គុណសម្បត្តិចម្បងរបស់ Archimedes ក្នុងធរណីមាត្រគឺការកំណត់តំបន់ និងបរិមាណផ្សេងៗ។ Diophantus បានសិក្សាជាចម្បងនូវដំណោះស្រាយនៃសមីការក្នុងចំនួនវិជ្ជមានសមហេតុផល។ ចាប់ពីចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 3 ការធ្លាក់ចុះនៃគណិតវិទ្យាក្រិកបានចាប់ផ្តើម។
គណិតវិទ្យាបានឈានដល់ការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងប្រទេសចិនបុរាណ និងឥណ្ឌា។ គណិតវិទូចិនត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយបច្ចេកទេសខ្ពស់សម្រាប់អនុវត្តការគណនា និងការចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្ត្រពិជគណិតទូទៅ។ នៅសតវត្សរ៍ទី ២-១ មុនគ។ គណិតវិទ្យានៅក្នុងសៀវភៅប្រាំបួនត្រូវបានសរសេរ។ វាមានបច្ចេកទេសដូចគ្នាសម្រាប់ការស្រង់ចេញឫសការ៉េដែលត្រូវបានបង្ហាញផងដែរនៅក្នុងសាលាទំនើប៖ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ រូបមន្តនព្វន្ធនៃទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ។
គណិតវិទ្យាឥណ្ឌាដែលរីកដុះដាលក្នុងសតវត្សទី 5-12 ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងការប្រើប្រាស់លេខទសភាគទំនើប ក៏ដូចជាសូន្យដើម្បីបង្ហាញពីអវត្តមាននៃឯកតានៃប្រភេទដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងគុណសម្បត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតកាន់តែទូលំទូលាយជាង។ Diophantus, ប្រតិបត្តិការមិនត្រឹមតែជាមួយលេខសមហេតុផលវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានលេខអវិជ្ជមាននិងមិនសមហេតុផលផងដែរ។
ការសញ្ជ័យរបស់អារ៉ាប់នាំឱ្យការពិតដែលថាពីអាស៊ីកណ្តាលទៅឧបទ្វីប Iberian អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានប្រើភាសាអារ៉ាប់ក្នុងកំឡុងសតវត្សទី 9-15 ។ នៅសតវត្សរ៍ទី 9 អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអាស៊ីកណ្តាល al-Khwarizmi ដំបូងបានកំណត់ពិជគណិតជាវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យ។ ក្នុងអំឡុងពេលនេះ បញ្ហាធរណីមាត្រជាច្រើនបានទទួលរូបមន្តពិជគណិត។ ស៊ីរី អាល់-បាតានី បានណែនាំអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ Samarkand al-Kashi (សតវត្សទី 15) បានណែនាំប្រភាគទសភាគ និងបានធ្វើបទបង្ហាញជាប្រព័ន្ធ ដោយបង្កើតរូបមន្តទ្វេណូមីលរបស់ញូតុន។
រយៈពេលថ្មីដ៏សំខាន់មួយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាបានចាប់ផ្តើមនៅសតវត្សទី 17 នៅពេលដែលគំនិតនៃចលនាការផ្លាស់ប្តូរបានចូលទៅក្នុងគណិតវិទ្យាយ៉ាងច្បាស់។ ការពិចារណាលើអថេរ និងទំនាក់ទំនងរវាងពួកវានាំទៅដល់គោលគំនិតនៃអនុគមន៍ និស្សន្ទវត្ថុ និងអាំងតេក្រាល។
ចាប់ពីចុងសតវត្សន៍ទី 18 ដល់ដើមសតវត្សទី 19 លក្ខណៈពិសេសថ្មីៗសំខាន់ៗមួយចំនួនត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា។ លក្ខណៈពិសេសបំផុតនៃការទាំងនេះគឺការចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការពិនិត្យឡើងវិញយ៉ាងសំខាន់នៃបញ្ហាមួយចំនួនក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។ សញ្ញាណមិនច្បាស់លាស់នៃ infinitesimals ត្រូវបានជំនួសដោយរូបមន្តច្បាស់លាស់ដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនៃដែនកំណត់មួយ។
នៅក្នុងពិជគណិតនៅសតវត្សទី 19 សំណួរនៃលទ្ធភាពនៃការដោះស្រាយសមីការពិជគណិតក្នុងរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់លាស់ (អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រន័រវេស N. Abel អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំង E. Galois) ។
នៅសតវត្សរ៍ទី 19 និងទី 20 វិធីសាស្រ្តលេខនៃគណិតវិទ្យាបានរីកចម្រើនទៅជាសាខាឯករាជ្យ - គណិតវិទ្យាគណនា។ កម្មវិធីសំខាន់ៗចំពោះបច្ចេកវិជ្ជាកុំព្យូទ័រថ្មីត្រូវបានរកឃើញដោយសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលបានអភិវឌ្ឍនៅសតវត្សទី 19 និងទី 20 - តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។
សម្ភារៈត្រូវបានរៀបចំដោយ Leshchenko O.V. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា។
