ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគ

ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគឬ រូបមន្ត Newton-Leibnizផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងប្រតិបត្តិការពីរ៖ យកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងការគណនាអង់ទីករ

ពាក្យ

ពិចារណាលើអាំងតេក្រាលនៃមុខងារ y = f(x) ក្នុងចំនួនថេរ ករហូតដល់លេខ xដែលយើងនឹងពិចារណាអថេរ។ យើងសរសេរអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

អាំងតេក្រាលប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំណត់ខាងលើអថេរ។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលមធ្យម វាជាការងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺបន្ត និងអាចខុសគ្នា។ ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះនៅចំនុច x គឺស្មើនឹងអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នា។ ពីនេះវាដូចខាងក្រោមថាមុខងារបន្តណាមួយមាន antiderivative ក្នុងទម្រង់ជា quadrature: . ហើយចាប់តាំងពីថ្នាក់នៃអង្គបដិវត្តន៍នៃអនុគមន៍ f ខុសគ្នាដោយថេរ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាៈ អាំងតេក្រាលជាក់លាក់នៃអនុគមន៍ f គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអង្គបដិប្រាណនៅចំនុច b និង a ។

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

• Pleiades
• 6174 (លេខ)

សូមមើលអ្វីដែល "ទ្រឹស្តីបទនៃការវិភាគ" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

ទ្រឹស្តីបទសំណល់មូលដ្ឋាន- ទ្រឹស្តីបទសំណល់គឺជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ meromorphic លើវណ្ឌវង្កបិទជិត។ វាក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលពិត។ វាគឺជាការទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Cauchy និងអាំងតេក្រាល ... ... វិគីភីឌា

ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិត- អះអាង​ថា​រាល់​ពហុនាម​មិន​ថេរ (នៃ​អថេរ​មួយ) ដែល​មាន​មេគុណ​ស្មុគស្មាញ​មាន​ឫសគល់​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​មួយ​ក្នុង​វាល​នៃ​ចំនួន​កុំផ្លិច។ រូបមន្តសមមូលនៃទ្រឹស្តីបទមានដូចខាងក្រោម៖ វាលនៃចំនួនកុំផ្លិច ... ... វិគីភីឌា

ទ្រឹស្តីបទញូតុន- រូបមន្តនៃ Newton Leibniz ឬទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគផ្តល់នូវទំនាក់ទំនងរវាងប្រតិបត្តិការពីរ៖ យកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងការគណនា antiderivative ។ ប្រសិនបើវាបន្តនៅលើផ្នែកមួយ និង antiderivative ណាមួយរបស់វានៅលើផ្នែកនេះ នោះវាមាន ... Wikipedia

រូបមន្ត Newton-Leibniz

ញូតុន - រូបមន្ត Leibniz- ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគ ឬរូបមន្ត Newton-Leibniz ផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងប្រតិបត្តិការពីរ៖ យកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងការគណនារូបមន្តប្រឆាំងឌីរីវេទី ពិចារណាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ចាប់ពីចំនួនថេរ a ដល់ .. .... វិគីភីឌា

អាំងតេក្រាល។- កំណត់​អាំងតេក្រាល​ជា​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ ពាក្យ​នេះ​មាន​ន័យ​ផ្សេង​ទៀត សូមមើល Integral (disambiguation)។ អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍មួយ ... វិគីភីឌា - សម្រាប់អនុគមន៍មួយ នេះគឺជាការប្រមូលផ្ដុំនៃអង់ទីគ័រទាំងអស់នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើចន្លោះពេល និង antiderivative របស់វា នោះគឺនៅ នោះ... Wikipedia

មានពេលមួយ ឪពុកខ្ញុំ និងខ្ញុំកំពុងបើកឡានឆ្ងាយ។ ហើយនេះគឺជាហេតុផលដ៏ល្អសម្រាប់ការសន្ទនាដ៏ឆ្លាតវៃ។

យើងកំពុងនិយាយអំពី "ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាន" ។ ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធគឺថាចំនួនគត់ណាមួយអាចត្រូវបាន decomposed ទៅជាផលិតផលនៃចំនួនបឋម និងនៅក្នុងវិធីតែមួយគត់។ ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតគឺថាពហុធាមានឫសច្រើនតាមកម្រិតរបស់វា (ទោះបីជាមាននរកជាមួយរូបមន្តក៏ដោយ)។ ហើយបន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគដូចម្ដេចបានហោះចេញពីក្បាលរបស់ខ្ញុំនៅពេលនោះ។

ឪពុកបានផ្តល់យោបល់ថាទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគឺទ្រឹស្តីបទ Newton-Leibniz ។ "តើនេះនិយាយអំពីអ្វី?" ខ្ញុំ​បាន​សួរ។ ឪពុក៖ «ខ្ញុំ​មិន​ចាំ​ពាក្យ​ច្បាស់​លាស់​ទេ ប៉ុន្តែ​អ្វី​មួយ​អំពី​ការ​ពិត​ដែល​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​គឺ​ជា​ប្រតិបត្តិការ​បញ្ច្រាស​ទៅ​នឹង​ភាព​ខុស​គ្នា»។

ចាំមើល មិនមែនតាមនិយមន័យទេ?

ដូចរាល់ដងជាមួយនឹងទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានទាំងនេះ អ្វីដែលពួកគេនិយាយហាក់ដូចជាជាក់ស្តែង បន្ទាប់ពីអ្នកបានឆ្លងកាត់វារួចហើយ។ ប៉ុន្តែតាមការពិត វាគឺជាទ្រឹស្តីបទចម្បងដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាពីការរួមបញ្ចូល និងភាពខុសគ្នាជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាស។ ហេតុផលប្រឆាំងវិទ្យាសាស្រ្តយ៉ាងស៊ីជម្រៅនឹងបន្តទៅមុខទៀត ដែលគណិតវិទូណាម្នាក់នឹងរកឃើញកំហុសផ្លូវការចំនួន 100500 ប៉ុន្តែពេលនេះវាមិនសំខាន់ទេ។

តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? នេះគឺជាពេលដែលយើងគូរតង់សង់នៅចំណុចនីមួយៗនៃអនុគមន៍ ហើយស្វែងរកតង់សង់នៃមុំដែលវាឆ្លងកាត់ទៅផ្តេកដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើចំនុចនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់តង់សង់ដែលបានរកឃើញនោះ មុខងារថ្មីមួយនឹងត្រូវបានទទួល ដែលត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថាលេខ អ៊ីដែលជាដេរីវេនៃមុខងារ អ៊ី xគឺស្មើនឹង អ៊ី xនោះគឺនៅចំណុចនីមួយៗតង់សង់នៃមុំគឺគ្រាន់តែស្មើនឹងតម្លៃនៃមុខងារខ្លួនវាប៉ុណ្ណោះ។

តើសមាហរណកម្មគឺជាអ្វី? នេះ​គឺ​ជា​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​តួ​លេខ​នៅ​ពី​ក្រោម​ខ្សែ​កោង​នៃ​អនុគមន៍​ដែល​បាន​កំណត់​ដោយ​ព្រំដែន​បញ្ឈរ​មួយ​ចំនួន កនិង ខនិងអ័ក្សផ្តេក៖

ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកដោយចំនួនកើនឡើងនៃចតុកោណកែង ហើយមើលលើដែនកំណត់នៃផលបូកនៃតំបន់ នោះអ្នកទទួលបានត្រឹមតែផ្ទៃដីនៃតួលេខនេះ។ តំបន់នេះត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍ y = f(x)នៅលើផ្នែក [ ក; ខ] ហើយត្រូវបានសម្គាល់ដូចនេះ៖

និយាយឱ្យត្រង់ទៅ វាមិនច្បាស់ទាល់តែសោះថា ភាពមិនច្បាស់លាស់អំពីមុំ និងរឿងអាសអាភាសអំពីតំបន់នោះ ជាទូទៅមានទំនាក់ទំនងគ្នាដូចម្ដេច។

ហើយនេះជារបៀបដែលពួកគេត្រូវបានភ្ជាប់។ និស្សន្ទវត្ថុបញ្ច្រាសនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative ។ Antiderivative ពី f(x)គឺជាមុខងារបែបនេះ g(x)ដេរីវេរបស់វា។ g´(x) = f(x). ឧទាហរណ៍មុខងារ y = xដេរីវេ 2 + 8 y = 2x. ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារ y = xមុខងារ y = (x 2/2) + 4 គឺប្រឆាំងដេរីវេ។

វា​ងាយ​នឹង​មើល​ឃើញ​ថា​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​មុខងារ​បែប​នេះ។ ឧទាហរណ៍ ដេរីវេនៃមុខងារ y = x 2+28 ផងដែរ។ y = 2x. ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារ y = xមុខងារ ( x 2/2) + 14 ក៏ជា antiderivative ផងដែរ។ នេះជាឡូជីខល ពីព្រោះដេរីវេគឺជាមុំនៅចំណុចនីមួយៗ ហើយវាជាធម្មជាតិដែលវាមិនផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើកម្ពស់ដែលយើងលើកក្រាហ្វទាំងមូលនៃមុខងារទាំងមូល ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារ xបុព្វកាលគឺ x 2/2 បូក ច្រើនតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត.

ដូច្នេះ, វាប្រែចេញ, ដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខនៅក្រោមមុខងារ y = f(x)ចាប់ពី កពីមុន ខអ្នកត្រូវយកតម្លៃនៃ antiderivatives ណាមួយរបស់វា។ g(x)នៅចំនុច ខនិង កហើយដកមួយពីមួយទៀត៖

នៅទីនេះ g- ទោះបីជាណាមួយក៏ដោយ ប៉ុន្តែនៅតែជាប្រភេទបុព្វកាលមួយចំនួន ដូច្នេះ "ច្រើនតាមតែអ្នកចូលចិត្ត" នឹងដូចគ្នាសម្រាប់វា ពួកគេនឹងត្រូវបានដកចេញពីគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយនឹងមិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលនោះទេ។ អ្នកអាចយកមុខងារសាមញ្ញមួយចំនួនដូចជា y = 2xជាកន្លែងដែលតំបន់ដែលគ្មានអាំងតេក្រាលងាយគណនាក្នុងចិត្ត និងពិនិត្យ។ ធ្វើការ!

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃការវិភាគ ឬទ្រឹស្តីបទ Newton-Leibniz។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានបញ្ជាក់ នោះយើងអាចហៅការរកឃើញនៃការរួមបញ្ចូល antiderivative ហើយជាទូទៅចាត់ទុកភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។

§ 5. ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគ

1. ទ្រឹស្តីបទចម្បង។ គោលគំនិតនៃការធ្វើសមាហរណកម្ម និងចំពោះវិសាលភាពនៃភាពខុសគ្នាមួយចំនួន ត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងល្អមុនពេលការងាររបស់ Newton និង Leibniz ។ ប៉ុន្តែវាពិតជាចាំបាច់ណាស់ក្នុងការបង្កើតរបកគំហើញដ៏សាមញ្ញបំផុតមួយ ដើម្បីផ្តល់កម្លាំងរុញច្រានដល់ការវិវត្តន៍ដ៏ធំសម្បើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលបានបង្កើតថ្មី។ ដំណើរការកំណត់ដែលមើលទៅហាក់ដូចជាមិនជាប់គ្នាពីរ ដែលប្រើមួយសម្រាប់ភាពខុសគ្នា មួយទៀតសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលមុខងារ ប្រែថាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ជាការពិតពួកគេគឺជាគ្នាទៅវិញទៅមក

				ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាស,
				ល្អសម្រាប់ប្រតិបត្តិការដូចជា
				បូកនិងដក, ឆ្លាត
				ការកាត់និងការបែងចែក។ ខុសគ្នា -
				សង្គមនិងអាំងតេក្រាល។
				លេខគឺ
				អ្វីមួយដែលបង្រួបបង្រួម។
				សមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យរបស់ New
				សម្លេង និង Leibniz គឺ
				ក្នុង​នោះ​ជា​លើក​ដំបូង​ពួក​គេ​
អង្ករ។ 274. Int លេងជាមុខងារកំពូល				ប៉ុន្តែយល់និងប្រើ
				ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគនេះ។
				នៅខាងក្រោយ។ ដោយគ្មានការសង្ស័យពួកគេបើកចំហ

ចង lay n ប៉ុន្តែផ្លូវផ្ទាល់គឺការអភិវឌ្ឍវិទ្យាសាស្ត្រ និងមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទាល់តែសោះ គួរឱ្យកត់សម្គាល់ភាពខុសគ្នាបុគ្គលទាំងនេះបានមកដោយឯករាជ្យ និងស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នា ដើម្បីយល់ច្បាស់អំពីកាលៈទេសៈខាងលើ។

ដើម្បីបង្កើតទ្រឹស្តីបទមេឲ្យបានច្បាស់លាស់ យើងពិចារណាពីអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y = f(x) ក្នុងចន្លោះពីចំនួនថេរ a ដល់លេខ x ដែលយើងនឹងពិចារណាអថេរ។ ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល x ជាមួយនឹងអថេរដែលលេចឡើងនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល យើងសរសេរអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម (មើលទំព័រ 428)៖

F(x)=Z

ដូច្នេះការបង្ហាញចេតនារបស់យើងក្នុងការសិក្សាអាំងតេក្រាលជាអនុគមន៍ F(x) នៃដែនកំណត់ខាងលើរបស់វា (រូបភាព 274)។ អនុគមន៍​នេះ F (x) ជា​ផ្ទៃ​ក្រោម​ខ្សែ​កោង y = f(u) ពី​ចំណុច u = a ដល់​ចំណុច u = x ។ ជួនកាលអាំងតេក្រាល F(x) ដែលមានដែនកំណត់ខាងលើអថេរត្រូវបានគេហៅថា "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់"។

ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគអានដូចខាងក្រោមៈ

ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (1) ទាក់ទងទៅនឹងដែនកំណត់ខាងលើ x គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(u) នៅចំណុច u = x:

F 0 (x) = f (x) ។

ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគ

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណើរការរួមបញ្ចូលដែលនាំមុខពីមុខងារ f(x) ទៅមុខងារ F(x) ត្រូវបាន "បំផ្លាញ" ដោយដំណើរការបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នាដែលបានអនុវត្តចំពោះមុខងារ F(x)។

នៅលើមូលដ្ឋានវិចារណញាណ ភស្តុតាងនៃសំណើនេះមិនពិបាកទេ។ វាត្រូវបានផ្អែកលើការបកស្រាយនៃអាំងតេក្រាល F(x) ជាតំបន់មួយ ហើយនឹងត្រូវបានបិទបាំងប្រសិនបើយើងព្យាយាមគូសវាសមុខងារ F(x) និងបកស្រាយដេរីវេទី F0(x) ជាជម្រាលដែលត្រូវគ្នា។ ដោយទុកចោលការបកស្រាយធរណីមាត្រដែលបានបង្កើតឡើងពីមុននៃដេរីវេ យើងនឹងរក្សាការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាល F (x) ជាផ្ទៃមួយ ហើយយើងនឹងក្លាយជាវិធីសាស្ត្រវិភាគដើម្បីបែងចែកមុខងារ F (x) ខុសគ្នា។ ភាពខុសគ្នា

F (x1) − F (x)

គឺគ្រាន់តែជាតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោង y = f(u) រវាងដែនកំណត់ u = x1 និង u = x (រូបភាព 275) ហើយវាងាយស្រួលយល់ថាតម្លៃលេខនៃផ្ទៃនេះស្ថិតនៅចន្លោះលេខ (x1 − x ) m និង (x1 − x) M:

(x1 − x)m 6 F (x1) − F (x) 6 (x1 − x)M,

ដែល M និង m រៀងគ្នា តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ f(u) ក្នុងចន្លោះពេលពី u = x ទៅ u = x1 ។ ជាការពិតណាស់ ផលិតផលទាំងនេះផ្តល់ឱ្យផ្នែកនៃចតុកោណកែងពីរ ដែលមួយមានតំបន់ curvilinear ដែលកំពុងពិចារណា ហើយមួយទៀតមាននៅក្នុងនោះ។

អង្ករ។ 275. នៅលើភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទចម្បង

នេះបង្កប់ន័យ

m 6 F (x1) − F (x) 6 M. x1 − x

ចូរយើងសន្មត់ថាអនុគមន៍ f(u) គឺបន្ត ដូច្នេះនៅពេលដែល x1 ទំនោរទៅ x ទាំងបរិមាណ M និង m មានទំនោរទៅតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(u) នៅចំណុច u = x, i.e. ទៅតម្លៃនៃ f(x) ក្នុងករណីនេះមនុស្សម្នាក់អាចពិចារណាបាន។

468 ការវិភាគគណិតវិទ្យា Ch. VIII

បានបង្ហាញឱ្យឃើញ
F 0 (x) = lim	F (x1) − F (x)
x1 → x	x1 − x

អត្ថន័យវិចារណញាណនៃលទ្ធផលនេះគឺនៅពេលដែលវាកើនឡើង អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរផ្ទៃក្រោមខ្សែកោង y = f(x) គឺស្មើនឹងកម្ពស់នៃខ្សែកោងនៅ x ។

នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំមួយចំនួន ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទចម្បងនេះត្រូវបានបិទបាំងដោយសារតែវាក្យស័ព្ទដែលបានជ្រើសរើសមិនត្រឹមត្រូវ។ ជាដំបូង អ្នកនិពន្ធជាច្រើនបានណែនាំគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុមួយ ហើយបន្ទាប់មកកំណត់ "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់" យ៉ាងសាមញ្ញជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទាក់ទងនឹងភាពខុសគ្នា៖ ពួកគេនិយាយថាមុខងារ G(x) គឺជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ f (x) ប្រសិនបើ

G0 (x) = f (x) ។

ដូច្នេះវិធីនៃការបង្ហាញនេះភ្ជាប់ដោយផ្ទាល់នូវភាពខុសគ្នាជាមួយនឹងពាក្យ "អាំងតេក្រាល" ។ វាគ្រាន់តែជាពេលក្រោយប៉ុណ្ណោះដែលគំនិតនៃ "អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់" ត្រូវបានណែនាំ ចាត់ទុកជាតំបន់ ឬជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូក ហើយវាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់គ្រប់គ្រាន់ថាពាក្យ "អាំងតេក្រាល" ឥឡូវនេះមានន័យខុសគ្នាទាំងស្រុងពីពេលមុននោះទេ។ ហើយឥឡូវនេះវាប្រែថាអ្វីដែលសំខាន់បំផុតដែលមាននៅក្នុងទ្រឹស្ដីគឺត្រូវបានទទួលភ្លាមៗ - តាមរយៈទ្វារខាងក្រោយហើយសិស្សជួបប្រទះការលំបាកយ៉ាងខ្លាំងក្នុងការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់គាត់ដើម្បីយល់ពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហា។ យើងចូលចិត្តហៅអនុគមន៍ G(x) ដែល G0 (x) = f(x) មិនមែនជា "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់" ប៉ុន្តែ antiderivatives នៃអនុគមន៍ f(x)។ បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទចម្បងអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ

អនុគមន៍ F (x) ដែលជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលមានកម្រិតទាបជាងថេរ និងដែនកំណត់ខាងលើអថេរ x គឺជាធាតុផ្សំមួយនៃអនុគមន៍ f(x)។

យើងនិយាយថា "មួយនៃ" អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់ហេតុផលថាប្រសិនបើ G(x) គឺជាអនុគមន៍ប្រឆាំងនៃ f(x) នោះវាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារណាមួយនៃទម្រង់ H(x) = G(x) + c (c - arbitrary constant) ក៏ជា antiderivative ដែរ ព្រោះ H0 (x) = G0 (x) ។ ការសន្ទនាក៏ជាការពិតដែរ។ អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេពីរ G(x)

និង H(x) អាចខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ។ ជាការពិត ភាពខុសគ្នា U(x) = G(x) − H(x) មាន U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0 ជាដេរីវេ, i.e. នោះគឺ ភាពខុសប្លែកគ្នានេះគឺថេរ ព្រោះវាច្បាស់ណាស់ថា ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺផ្ដេកនៅចំនុចនីមួយៗរបស់វា នោះមុខងារខ្លួនវាផ្ទាល់ ដែលតំណាងដោយក្រាហ្វ ច្បាស់ជាមានថេរ។

នេះនាំឱ្យមានច្បាប់សំខាន់មួយសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលរវាង a និង b ដោយសន្មតថាយើងដឹងពីអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេមួយចំនួន G(x) នៃអនុគមន៍ f(x) ។ នេះបើយោងតាមមេរបស់យើង។

ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគ

ទ្រឹស្តីបទ, មុខងារ

វាក៏មានអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ផងដែរ។ ដូច្នេះ F(x) =

G(x) + c ដែល c ជាថេរ។ តម្លៃនៃថេរនេះនឹងត្រូវបានកំណត់,

ប្រសិនបើយើងពិចារណាថា F (a) = f (u) du = 0 ។ នេះមានន័យថា៖

0 = G(a) + c ដូច្នេះ c = −G(a) ។ បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់រវាង a និង x ដូចគ្នាបេះបិទនឹងសមភាព

F (x) = f(u) du = G(x) − G(a);

ការជំនួស x ដល់ b នាំទៅរករូបមន្ត

f(u) du = G(b) − G(a),

ដោយមិនគិតពីមុខងារ antiderivative ណាមួយត្រូវបាន "ចាប់ផ្តើម" ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត: ដើម្បីគណនាជាក់លាក់មួយនៅក្នុង -

អាំងតេក្រាល f(x) dx វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការស្វែងរកអនុគមន៍ G(x) ដែល

swarm G0 (x) = f(x) ហើយបន្ទាប់មកបង្កើតភាពខុសគ្នា G(b) − G(a) ។

2. កម្មវិធីដំបូង។ ការរួមបញ្ចូលមុខងារ xr, cos x, sin x ។ មុខងារ arctg x ។ នៅទីនេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការផ្តល់នូវគំនិតពេញលេញនៃតួនាទីនៃទ្រឹស្តីបទចម្បង ហើយយើងបង្ខាំងខ្លួនយើងក្នុងការផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ នៅក្នុងបញ្ហាដែលបានជួបប្រទះនៅក្នុងមេកានិច និងរូបវិទ្យា ឬក្នុងគណិតវិទ្យាវាច្រើនតែចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃលេខនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយចំនួន។ ការប៉ុនប៉ងដោយផ្ទាល់ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលជាដែនកំណត់អាចជាការពិបាកមិនអាចលើសបាន។ ម៉្យាងទៀត ដូចដែលយើងបានឃើញនៅក្នុង§ 3 ភាពខុសគ្នាណាមួយត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងងាយស្រួល ហើយវាមិនពិបាកក្នុងការប្រមូលផ្តុំរូបមន្តនៃភាពខុសគ្នាមួយចំនួនធំនោះទេ។ រូបមន្តនីមួយៗ G0 (x) = f(x) ផ្ទុយទៅវិញ អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជារូបមន្តដែលកំណត់អនុគមន៍ antiderivative G(x) នៃអនុគមន៍ f(x)។

រូបមន្ត (3) អនុញ្ញាតឱ្យប្រើអនុគមន៍ antiderivative ដែលគេស្គាល់ ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ f(x) ក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួន។

ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងចង់ស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃអំណាច x2, x3 ឬ xn ជាទូទៅ នោះរឿងសាមញ្ញបំផុតគឺត្រូវបន្តដូចដែលបានបញ្ជាក់ក្នុង§ 1។ តាមរូបមន្តភាពខុសគ្នានៃថាមពល ដេរីវេនៃ xn គឺ nxn−1,

470 ការវិភាគគណិតវិទ្យា Ch. VIII

ដូច្នេះដេរីវេនៃមុខងារ

G(x) = n x
	1 (n 6= -1)

មានមុខងារមួយ។

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn ។

xn+1

ក្នុងករណីនេះអនុគមន៍ n + 1 គឺជាអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ

ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ f(x) = xn ដូច្នេះហើយយើងទទួលបានរូបមន្តភ្លាមៗ

x n dx = G(b) − G(a) = b n + 1 − a n + 1 ។ n + 1

អាគុយម៉ង់នេះគឺសាមញ្ញដែលមិនអាចប្រៀបផ្ទឹមបានជាងនីតិវិធីដ៏លំបាកសម្រាប់ការគណនាដោយផ្ទាល់នូវអាំងតេក្រាលដែលជាដែនកំណត់នៃផលបូក។

ជាករណីទូទៅជាងនេះ យើងបានរកឃើញក្នុង§ 3 ថាសម្រាប់សនិទានកម្មណាមួយ ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ដេរីវេនៃអនុគមន៍ xs គឺស្មើនឹង sxs−1 ហើយដូច្នេះសម្រាប់ s = r + 1 អនុគមន៍

x r+1

មានដេរីវេ f(x) = G0 (x) = xr (យើងសន្មត់ថា r 6= −1,

x r+1

ពោលគឺ s 6= 0) ។ ដូច្នេះមុខងារ r + 1 គឺជាអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ ឬ

"អាំងតេក្រាលមិនកំណត់" នៃ xr ហើយយើងទទួលបាន (សម្រាប់វិជ្ជមាន a និង b និងសម្រាប់ r 6= −1) រូបមន្ត

xr dx =	b r + 1 − a r + 1

ក្នុងរូបមន្ត (4) គេត្រូវសន្មត់ថាអនុគមន៍ xr ក្រោមអាំងតេក្រាលត្រូវបានកំណត់ និងបន្តក្នុងចន្លោះពេលសមាហរណកម្ម ដូច្នេះចំនុច x = 0 ត្រូវតែត្រូវបានដកចេញ ប្រសិនបើ r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

ប្រសិនបើយើងកំណត់ G(x) = − cos x នោះយើងទទួលបាន G0 (x) = sin x ដូច្នេះហើយទំនាក់ទំនងកើតឡើង។

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a ។

ដូចគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើ G(x) = sin x នោះ G0 (x) = cos x ដូច្នេះហើយ

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a ។

§ ៥ ទ្រឹស្តីបទនៃការវិភាគ ៤៧១

លទ្ធផលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសគឺទទួលបានពីរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារ arctg x:

	ដោយសារអនុគមន៍ arctg x គឺប្រឆាំងដេរីវេទាក់ទងនឹងមុខងារ
							1+x2

បន្ទាប់មកផ្អែកលើរូបមន្ត (៣) យើងអាចសរសេរបាន។

arctan b − arctan 0 = Z 0	1 + x2dx ។

ប៉ុន្តែ arctan 0 = 0 (តម្លៃសូន្យនៃតង់សង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃសូន្យនៃមុំ)។ ដូច្នេះយើងមាន

arctg b = Z 0

1+x2

ជាពិសេស,

អត្ថន័យ

តង់សង់,

1, ការប្រកួត

នៅ 45◦ ដែលក្នុងរង្វាស់រ៉ាដ្យង់ត្រូវគ្នា។

ដាក់ទំ។ ដូច្នេះយើង

យើង​ទទួល​បាន

អស្ចារ្យ

1 + x2dx ។

បង្ហាញ

តំបន់អ្វី

កាលវិភាគ

1 + x 2 ចាប់ពី x = 0 ដល់ x =

1 គឺស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃដីនៃអង្គភាព

276. តំបន់ក្រោមផ្លូវ

គ្មានរង្វង់។

នៅខាងក្នុង

3. រូបមន្ត

លីបនីស

1+x2

នាំមុខ

សម្រាប់ទំ។ លទ្ធផលចុងក្រោយ

នៃស្រស់ស្អាតបំផុត។

រូបមន្តគណិតវិទ្យាដែលបានរកឃើញនៅសតវត្សទី 17 - ទៅជាសញ្ញា - អថេរ

ទៅស៊េរី Leibniz ដែលអនុញ្ញាតឱ្យគណនា p:

4 ទំ = 1 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + ។ . .

+ និមិត្តសញ្ញា។ . . គួរតែត្រូវបានយល់ក្នុងន័យថាលំដាប់នៃ "ផលបូកផ្នែក" កំណត់ដែលទទួលបាននៅពេលដែលផ្នែកខាងស្តាំនៃ

នៃសមភាព, មានតែ n លក្ខខណ្ឌនៃផលបូកប៉ុណ្ណោះត្រូវបានគេយក, ទំនោរទៅដែនកំណត់ p នៅ

ការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ n ។

ការវិភាគគណិតវិទ្យា

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តដ៏អស្ចារ្យនេះ យើងគ្រាន់តែរំលឹករូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រកំណត់ប៉ុណ្ណោះ

1 − qn = 1 + q + q2 + ។ . . + qn−1 ,

ដែល "ពាក្យសំណល់" Rn ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត

Rn = (−1)n x 2n 2 ។

សមភាព (8) អាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ 1។ អនុវត្តតាមច្បាប់ a) ពី§ 3 យើងត្រូវយកផលបូកនៃអាំងតេក្រាលនៃលក្ខខណ្ឌបុគ្គលនៅផ្នែកខាងស្តាំ។ ផ្អែកលើ (៤) យើងដឹង

xm dx =

bm+1

- ព្រឹក +1

ជាពិសេសយើងទទួលបាន

xm dx =

ពីណាទៅ

1+x2

1 − 3 +

ដូច្នេះហើយ

− 7

+. . . + (−1)n−1

2n − 1 + Tn ,

ទំ R0

1+x2

Tn = (

យោងតាមរូបមន្ត (5) ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃទម្រង់គឺ

លី (9) គឺ

ភាពខុសគ្នារវាង

និងផលបូកឯកជន

(−1)n−1

Sn = 1 -

− Sn = Tn ។ វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា Tn មាននិន្នាការទៅសូន្យដូច

ការកើនឡើង n. យើង​មាន​វិសមភាព

x 2n 6 x2n ។

1+x2

រំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្ត (១៣) § ១ ដែលបង្កើតវិសមភាព

f(x) dx 6 g(x) dx សម្រាប់ f(x) 6 g(x) និង a< b,

គោលគំនិតនៃការធ្វើសមាហរណកម្ម និងចំពោះវិសាលភាពនៃភាពខុសគ្នាមួយចំនួន ត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងល្អមុនពេលការងាររបស់ Newton និង Leibniz ។ ប៉ុន្តែវាពិតជាចាំបាច់ណាស់ក្នុងការបង្កើតរបកគំហើញដ៏សាមញ្ញបំផុតមួយ ដើម្បីផ្តល់កម្លាំងរុញច្រានដល់ការវិវត្តន៍ដ៏ធំសម្បើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលបានបង្កើតថ្មី។ ដំណើរការកំណត់ដែលមើលទៅហាក់ដូចជាមិនជាប់គ្នាពីរ ដែលប្រើមួយសម្រាប់ភាពខុសគ្នា មួយទៀតសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលមុខងារ ប្រែថាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ជាការពិត ពួកវាជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក ដូចជាប្រតិបត្តិការដូចជាការបូក និងដក គុណ និងចែក។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល គឺជារឿងមួយ។

សមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យរបស់ Newton និង Leibniz គឺថាជាលើកដំបូងដែលពួកគេបានដឹងយ៉ាងច្បាស់ និងប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទនៃការវិភាគជាមូលដ្ឋាននេះ។ ដោយមិនសង្ស័យ របកគំហើញរបស់ពួកគេស្ថិតនៅលើផ្លូវផ្ទាល់នៃការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ ហើយវាមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលមនុស្សផ្សេងៗបានមកដោយឯករាជ្យ និងស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នាដើម្បីយល់ច្បាស់អំពីកាលៈទេសៈខាងលើ។

អង្ករ។ 274. អាំងតេក្រាលជាអនុគមន៍នៃដែនកំណត់ខាងលើ

ដើម្បីបង្កើតទ្រឹស្តីបទមេឲ្យបានច្បាស់លាស់ យើងពិចារណាពីអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ចាប់ពីចំនួនថេរ a ដល់លេខ x ដែលយើងនឹងពិចារណាអថេរ។ ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល x ជាមួយនឹងអថេរដែលលេចឡើងនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល យើងសរសេរអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម (សូមមើលទំព័រ 459)៖

ដូច្នេះបង្ហាញពីចេតនារបស់យើងក្នុងការសិក្សាអាំងតេក្រាលដែលជាមុខងារនៃដែនកំណត់ខាងលើរបស់វា (រូបភាព 274)។ អនុគមន៍​នេះ​គឺ​ជា​ផ្ទៃ​ក្រោម​ខ្សែ​កោង​ពី​ចំណុច​មួយ​ទៅ​ចំណុច​មួយ​។ ជួនកាល​អាំងតេក្រាល​ដែល​មាន​កម្រិត​អថេរ​ខាងលើ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា "អាំងតេក្រាល​មិន​កំណត់"។

ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគអានដូចខាងក្រោមៈ ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (1) ទាក់ទងទៅនឹងដែនកំណត់ខាងលើ x គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណើរការសមាហរណកម្មដែលដឹកនាំពីមុខងារមួយទៅមុខងារមួយត្រូវបាន "បំផ្លាញ" ដោយដំណើរការបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នាដែលបានអនុវត្តចំពោះមុខងារ។

អង្ករ។ 275. នៅលើភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទចម្បង

នៅលើមូលដ្ឋានវិចារណញាណ ភស្តុតាងនៃសំណើនេះមិនពិបាកទេ។ វាត្រូវបានផ្អែកលើការបកស្រាយនៃអាំងតេក្រាលជាតំបន់មួយ ហើយវានឹងត្រូវបានបិទបាំង ប្រសិនបើយើងព្យាយាមគូសវាសមុខងារ និងបកស្រាយនិស្សន្ទវត្ថុជាជម្រាលដែលត្រូវគ្នា។ ដោយទុកចោលការបកស្រាយធរណីមាត្រដែលបានបង្កើតឡើងពីមុននៃដេរីវេ យើងនឹងរក្សាការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលជាតំបន់មួយ ហើយយើងនឹងក្លាយជាវិធីសាស្ត្រវិភាគដើម្បីបែងចែកមុខងារមួយ។ ភាពខុសគ្នា

វាគ្រាន់តែជាតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោងរវាងដែនកំណត់ (រូបភាព 275) ហើយវាមិនពិបាកក្នុងការយល់ថាតម្លៃលេខនៃតំបន់នេះត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាងលេខនោះទេ។

កន្លែងណា (រៀងគ្នា តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារក្នុងចន្លោះពេលពីទៅ) ជាការពិត ផលិតផលទាំងនេះផ្តល់ឱ្យតំបន់នៃចតុកោណកែងពីរ ដែលមួយក្នុងចំនោមនោះមានតំបន់ curvilinear ដែលកំពុងពិចារណា ហើយមួយទៀតមាននៅក្នុងនោះ។

នេះ​បញ្ជាក់​ថា​:

ចូរយើងសន្មតថាអនុគមន៍គឺបន្ត ដូច្នេះបរិមាណទាំងពីរមានទំនោរទៅនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍

ត្រង់ចំណុច ពោលគឺចំពោះតម្លៃ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចពិចារណាបានថា វាបានបង្ហាញថា

អត្ថន័យវិចារណញាណនៃលទ្ធផលនេះគឺថានៅពេលដែលវាកើនឡើងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោងគឺស្មើនឹងកម្ពស់នៃខ្សែកោងនៅ x ។

នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំមួយចំនួន ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទចម្បងនេះត្រូវបានបិទបាំងដោយសារតែវាក្យស័ព្ទដែលបានជ្រើសរើសមិនត្រឹមត្រូវ។ ជាដំបូង អ្នកនិពន្ធជាច្រើនបានណែនាំគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុមួយ ហើយបន្ទាប់មកកំណត់ "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់" យ៉ាងសាមញ្ញជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅនឹងភាពខុសគ្នា៖ ពួកគេនិយាយថាមុខងារគឺជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើ

ដូច្នេះវិធីនៃការបង្ហាញនេះភ្ជាប់ដោយផ្ទាល់នូវភាពខុសគ្នាជាមួយនឹងពាក្យ "អាំងតេក្រាល" ។ វាគ្រាន់តែជាពេលក្រោយប៉ុណ្ណោះដែលគំនិតនៃ "អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់" ត្រូវបានណែនាំ ចាត់ទុកជាតំបន់ ឬជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូក ហើយវាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់គ្រប់គ្រាន់ថាពាក្យ "អាំងតេក្រាល" ឥឡូវនេះមានន័យខុសគ្នាទាំងស្រុងពីពេលមុននោះទេ។ ហើយឥឡូវនេះវាប្រែថាអ្វីដែលសំខាន់បំផុតដែលមាននៅក្នុងទ្រឹស្ដីគឺត្រូវបានទទួលភ្លាមៗ - តាមរយៈទ្វារខាងក្រោយហើយសិស្សជួបប្រទះការលំបាកយ៉ាងខ្លាំងក្នុងការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់គាត់ដើម្បីយល់ពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហា។ យើងចូលចិត្តអនុគមន៍ដែលយើងហៅថាមិនមែន "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់" ប៉ុន្តែអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃអនុគមន៍។ បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទមេអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ

អនុគមន៍​ដែល​ជា​អាំងតេក្រាល​នៃ​អនុគមន៍​ដែល​មាន​កម្រិត​ទាប​ថេរ​និង​អថេរ​ខាងលើ​ដែនកំណត់ x គឺជា​អនុគមន៍​ប្រឆាំង​ដេរីវេ​របស់​អនុគមន៍

យើងនិយាយថា "មួយនៃ" អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេទីសម្រាប់ហេតុផលថាប្រសិនបើជាអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃ នោះវាច្បាស់ភ្លាមៗថាមុខងារណាមួយនៃទម្រង់ (c គឺជាថេរដែលបំពាន) ក៏ជាវត្ថុប្រឆាំងដេរីវេដែរ ចាប់តាំងពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយក៏ជាការពិត។ មុខងារប្រឆាំងដេរីវេពីរអាចខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ។ ជាការពិត ភាពខុសគ្នាមានដូចជា ដេរីវេ i.e. ភាពខុសគ្នានេះគឺថេរព្រោះវាច្បាស់ថាប្រសិនបើក្រាហ្វមុខងារនៅក្នុងនីមួយៗ

គោលគំនិតនៃការធ្វើសមាហរណកម្ម និងចំពោះវិសាលភាពនៃភាពខុសគ្នាមួយចំនួន ត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងល្អមុនពេលការងាររបស់ Newton និង Leibniz ។ ប៉ុន្តែវាពិតជាចាំបាច់ណាស់ក្នុងការបង្កើតរបកគំហើញដ៏សាមញ្ញបំផុតមួយ ដើម្បីផ្តល់កម្លាំងរុញច្រានដល់ការវិវត្តន៍ដ៏ធំសម្បើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលបានបង្កើតថ្មី។ ដំណើរការកំណត់ដែលហាក់បីដូចជាមិនជាប់គ្នាពីរ ដែលប្រើមួយសម្រាប់ភាពខុសគ្នា មួយទៀតសម្រាប់រួមបញ្ចូលមុខងារ ប្រែទៅជាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ជាការពិត ពួកវាជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក ដូចជាប្រតិបត្តិការដូចជាការបូក និងដក គុណ និងចែក។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល គឺជារឿងមួយ។

សមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យរបស់ Newton និង Leibniz គឺថាជាលើកដំបូងដែលពួកគេបានទទួលស្គាល់ និងប្រើប្រាស់វាយ៉ាងច្បាស់ ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគ។ដោយមិនសង្ស័យ របកគំហើញរបស់ពួកគេស្ថិតនៅលើផ្លូវផ្ទាល់នៃការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ ហើយវាមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលមនុស្សផ្សេងៗបានមកដោយឯករាជ្យ និងស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នាដើម្បីយល់ច្បាស់អំពីកាលៈទេសៈខាងលើ។

ដើម្បី​បង្កើត​ទ្រឹស្តីបទ​មេ​ឱ្យ​បាន​ច្បាស់ យើង​ពិចារណា​អំពី​អាំងតេក្រាល​នៃ​អនុគមន៍ y=f(x)ចាប់ពីចំនួនថេរ a ដល់លេខ x ដែលយើងនឹងពិចារណាអថេរ។ ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល x ជាមួយនឹងអថេរដែលលេចឡើងនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល យើងសរសេរអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម (មើលទំ។ 435)៖

ដូច្នេះការបង្ហាញចេតនារបស់យើងក្នុងការសិក្សាអាំងតេក្រាលជាមុខងារនៃ F(x) នៃដែនកំណត់ខាងលើរបស់វា (រូបភាព 274)។ មុខងារនេះ F(x) គឺជាតំបន់ដែលស្ថិតនៅក្រោមខ្សែកោង y=f(u)ពីចំណុច u = កដល់ចំណុច u=x. ជួនកាលអាំងតេក្រាល F(x) ដែលមានដែនកំណត់ខាងលើអថេរត្រូវបានគេហៅថា "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់"។

ទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃការវិភាគអានដូចខាងក្រោមៈ ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (1) ទាក់ទងទៅនឹងដែនកំណត់ខាងលើរបស់វា x គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ f (u) នៅចំណុច u = x:

F "(x) \u003d f (x) ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណើរការរួមបញ្ចូលដែលនាំមុខពីមុខងារ f(x) ទៅមុខងារ F(x) ត្រូវបាន "បំផ្លាញ" ដោយដំណើរការបញ្ច្រាសនៃភាពខុសគ្នាដែលបានអនុវត្តចំពោះមុខងារ F(x)។

នៅលើមូលដ្ឋានវិចារណញាណ ភស្តុតាងនៃសំណើនេះមិនពិបាកទេ។ វាត្រូវបានផ្អែកលើការបកស្រាយនៃអាំងតេក្រាល F(x) ជាផ្ទៃមួយ ហើយនឹងត្រូវបានបិទបាំង ប្រសិនបើយើងព្យាយាមគូសវាសអនុគមន៍ F(x) និងបកស្រាយដេរីវេទី F"(x) ជាជម្រាលដែលត្រូវគ្នា។ ទុកចោលពីមុន។ ការបកស្រាយធរណីមាត្រដែលបានបង្កើតឡើងនៃដេរីវេ យើងនឹងរក្សាការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាល F (x) ជាតំបន់មួយ ហើយការបែងចែកមុខងារ F (x) នឹងក្លាយជាវិធីសាស្ត្រវិភាគ។

F (x 1) - F (x)

គឺគ្រាន់តែជាតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោង y=f(u)រវាងដែនកំណត់ u = x 1 និង u=x(រូបភាព 275) ហើយវាងាយស្រួលយល់ថាតម្លៃលេខនៃតំបន់នេះត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាងលេខ។ (x 1 - x) មនិង (x 1 - x) M:

(x 1 − x)m≤F (x 1) - F (x) ≤(x 1 − x) M,

ដែល M និង m ជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ f (u) ក្នុងចន្លោះពេលពី u = x ទៅ u = x 1 ។ ជាការពិតណាស់ ផលិតផលទាំងនេះផ្តល់ឱ្យផ្នែកនៃចតុកោណកែងពីរ ដែលមួយមានតំបន់ curvilinear ដែលកំពុងពិចារណា ហើយមួយទៀតមាននៅក្នុងនោះ។

នេះ​បញ្ជាក់​ថា​:

ឧបមាថាអនុគមន៍ f (u) គឺបន្ត ដូច្នេះនៅពេលដែល x 1 ទំនោរទៅ x ទាំងបរិមាណ M និង m មានទំនោរទៅរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ f (u) នៅចំណុច u \u003d x, i.e. ទៅតម្លៃនៃ f (x) ។ ក្នុងករណីនេះវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភស្តុតាង

អត្ថន័យវិចារណញាណនៃលទ្ធផលនេះគឺថានៅពេលដែលអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងតំបន់ក្រោមខ្សែកោងកើនឡើង។ y=f(x)ស្មើនឹងកម្ពស់នៃខ្សែកោងនៅ x ។

នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំមួយចំនួន ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទចម្បងនេះត្រូវបានបិទបាំងដោយវាក្យស័ព្ទដែលបានជ្រើសរើសមិនត្រឹមត្រូវ។ ជាដំបូង អ្នកនិពន្ធជាច្រើនបានណែនាំគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុមួយ ហើយបន្ទាប់មកកំណត់ "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់" យ៉ាងសាមញ្ញជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទាក់ទងនឹងភាពខុសគ្នា៖ ពួកគេនិយាយថាអនុគមន៍ G (x) គឺជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ f (x) ប្រសិនបើ

G"(x) = f(x) ។

ដូច្នេះវិធីនៃការបង្ហាញនេះភ្ជាប់ដោយផ្ទាល់នូវភាពខុសគ្នាជាមួយនឹងពាក្យ "អាំងតេក្រាល" ។ វាគ្រាន់តែជាពេលក្រោយប៉ុណ្ណោះដែលគំនិតនៃ "អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់" ត្រូវបានណែនាំ ចាត់ទុកជាតំបន់ ឬជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូក ហើយវាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់គ្រប់គ្រាន់ថាពាក្យ "អាំងតេក្រាល" ឥឡូវនេះមានន័យខុសគ្នាទាំងស្រុងពីពេលមុននោះទេ។ ហើយឥឡូវនេះវាប្រែថាអ្វីដែលសំខាន់បំផុតដែលមាននៅក្នុងទ្រឹស្ដីគឺទទួលបានតែពីទ្វារខាងក្រោយប៉ុណ្ណោះ ហើយសិស្សជួបប្រទះការលំបាកយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរក្នុងការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់គាត់ដើម្បីយល់ពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហា។ យើងចូលចិត្តមុខងារ G(x) ដែល G "(x) \u003d f (x)ហៅមិនមែន "អាំងតេក្រាលមិនកំណត់" ប៉ុន្តែ មុខងារប្រឆាំងដេរីវេពីអនុគមន៍ f(x)។ បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទចម្បងអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ

អនុគមន៍ F (x) ដែលជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ f (x) ដែលមានដែនកំណត់ខាងលើទាប និងអថេរ x គឺជាអង់ទីករមួយនៃអនុគមន៍ f (x) ។

យើងនិយាយថា "មួយនៃ" អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់ហេតុផលថាប្រសិនបើ G(x) គឺជាអនុគមន៍ប្រឆាំងនៃ f(x) នោះវាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារណាមួយនៃទម្រង់ H(x) = G(x) + គ(c គឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន​) ក៏​ជា​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ចាប់​តាំង​ពី​ H "(x) = G" (x). ការសន្ទនាក៏ជាការពិតដែរ។ អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេពីរ G(x) និង H(x) អាចខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ។ជាការពិតភាពខុសគ្នា U(x) = G(x) - H(x)មាន​ជា​ដេរីវេ U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0ពោលគឺ ភាពខុសប្លែកគ្នានេះគឺថេរ ព្រោះវាច្បាស់ណាស់ថា ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺផ្ដេកនៅចំនុចនីមួយៗរបស់វា នោះមុខងារខ្លួនវាផ្ទាល់ ដែលតំណាងដោយក្រាហ្វ ប្រាកដជាថេរ។