ការណែនាំ

មុនពេលចាប់ផ្តើមភស្តុតាង ត្រូវប្រាកដថាបន្ទាត់ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា ហើយអាចគូសនៅលើវាបាន។ វិធីសាស្ត្រ​ភស្តុតាង​សាមញ្ញ​បំផុត​គឺ​វិធីសាស្ត្រ​វាស់វែង​ជាមួយ​បន្ទាត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះត្រូវប្រើបន្ទាត់ដើម្បីវាស់ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ត្រង់នៅកន្លែងជាច្រើនឱ្យឆ្ងាយពីគ្នាតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប្រសិនបើចម្ងាយនៅដដែល បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របគ្នា។ ប៉ុន្តែ​វិធីសាស្ត្រ​នេះ​មិន​ត្រឹមត្រូវ​គ្រប់គ្រាន់​ទេ ដូច្នេះ​យក​ល្អ​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​ផ្សេង​។

គូរ​បន្ទាត់​ទី​បី​ដើម្បី​ឱ្យ​វា​ប្រសព្វ​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​ទាំងពីរ។ វាបង្កើតជាជ្រុងខាងក្រៅបួន និងជ្រុងខាងក្នុងបួនជាមួយពួកគេ។ ពិចារណាជ្រុងខាងក្នុង។ អ្នក​ដែល​ដេក​តាម​ខ្សែ​និយាម​នោះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​និយាយ​កុហក។ អ្នក​ដែល​ដេក​នៅ​ម្ខាង​គេ​ហៅ​ថា​ម្ខាង។ ដោយប្រើ protractor វាស់ជ្រុងអង្កត់ទ្រូងខាងក្នុងពីរ។ ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នា នោះបន្ទាត់នឹងស្របគ្នា។ ប្រសិនបើមានការសង្ស័យ សូមវាស់មុំផ្នែកខាងក្នុងម្ខាង ហើយបន្ថែមតម្លៃលទ្ធផល។ បន្ទាត់នឹងស្របគ្នា ប្រសិនបើផលបូកនៃមុំផ្នែកខាងក្នុងម្ខាងស្មើ 180º។

ប្រសិនបើអ្នកមិនមាន protractor សូមប្រើការ៉េ 90º ។ ប្រើវាដើម្បីបង្កើតកាត់កែងទៅបន្ទាត់មួយ។ បន្ទាប់ពីនោះ បន្តកាត់កែងនេះតាមរបៀបដែលវាប្រសព្វនឹងបន្ទាត់មួយទៀត។ ដោយប្រើការ៉េដូចគ្នា ពិនិត្យមើលថាតើមុំកាត់កែងនេះកាត់វា។ ប្រសិនបើមុំនេះក៏ស្មើនឹង 90º នោះបន្ទាត់គឺស្របទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ដែលបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ស្វែងរកមគ្គុទ្ទេសក៍របស់ពួកគេឬវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្របគ្នា ស្របគ្នា នោះបន្ទាត់គឺស្របគ្នា។ នាំយកសមីការនៃបន្ទាត់ទៅជាទម្រង់ទូទៅ ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នីមួយៗ។ កូអរដោនេរបស់វាស្មើនឹងមេគុណ A និង B. ក្នុងករណីដែលសមាមាត្រនៃកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រធម្មតាគឺដូចគ្នា ពួកវាជាគូលីនេអ៊ែរ ហើយបន្ទាត់គឺស្របគ្នា។

ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 4x-2y+1=0 និង x/1=(y-4)/2។ សមីការទីមួយមានទម្រង់ទូទៅ សមីការទីពីរគឺអក្សរកាត់។ នាំយកសមីការទីពីរទៅជាទម្រង់ទូទៅ។ ប្រើក្បួនបំប្លែងសមាមាត្រសម្រាប់ការនេះ ហើយអ្នកនឹងបញ្ចប់ដោយ 2x=y-4។ បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ទូទៅ ទទួលបាន 2x-y + 4 = 0 ។ ចាប់តាំងពីសមីការទូទៅសម្រាប់បន្ទាត់ណាមួយត្រូវបានសរសេរ Ax + Vy + C = 0 បន្ទាប់មកសម្រាប់ជួរទីមួយ៖ A = 4, B = 2 និងសម្រាប់ជួរទីពីរ A = 2, B = 1 ។ សម្រាប់កូអរដោនេដោយផ្ទាល់ទីមួយនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា (4;2) និងសម្រាប់ទីពីរ - (2;1) ។ ស្វែងរកសមាមាត្រនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រធម្មតា 4/2=2 និង 2/1=2 ។ លេខទាំងនេះស្មើគ្នា ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា។ ដោយសារវ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា បន្ទាត់គឺស្របគ្នា។

អត្ថបទនេះគឺអំពីបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងអំពីបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ ទីមួយ និយមន័យនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងយន្តហោះ និងក្នុងលំហ គឺត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ សញ្ញាណត្រូវបានណែនាំ ឧទាហរណ៍ និងរូបភាពក្រាហ្វិកនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ លើសពីនេះ សញ្ញា និងលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានវិភាគ។ សរុបមក ដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញសម្រាប់បញ្ហាធម្មតានៃការបង្ហាញពីភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការមួយចំនួននៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណកែងនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហបីវិមាត្រ។

ការរុករកទំព័រ។

បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល - ព័ត៌មានមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ។

ខ្សែពីរនៅក្នុងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាឡែលប្រសិនបើពួកគេមិនមានចំណុចរួម។

និយមន័យ។

បន្ទាត់ពីរក្នុងបីវិមាត្រត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាឡែលប្រសិនបើពួកគេដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយមិនមានចំណុចរួម។

ចំណាំថាឃ្លា "ប្រសិនបើពួកគេកុហកនៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា" នៅក្នុងនិយមន័យនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងលំហគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់។ សូមបញ្ជាក់ចំណុចនេះ៖ បន្ទាត់ត្រង់ពីរក្នុងលំហបីវិមាត្រដែលមិនមានចំណុចរួម ហើយមិនកុហកក្នុងប្លង់តែមួយ មិនស្របគ្នាទេ ប៉ុន្តែមានគំនុំ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ គែមទល់មុខនៃសន្លឹកសៀវភៅកត់ត្រាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ បន្ទាត់ត្រង់ដែលប្លង់ជញ្ជាំងផ្ទះប្រសព្វគ្នា ប្លង់នៃពិដាន និងជាន់គឺស្របគ្នា។ ផ្លូវដែកនៅលើដីកម្រិតក៏អាចត្រូវបានគេគិតថាជាបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលផងដែរ។

និមិត្តសញ្ញា "" ត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្គាល់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ នោះគឺប្រសិនបើបន្ទាត់ a និង b ស្របគ្នានោះ អ្នកអាចសរសេរដោយសង្ខេប b ។

ចំណាំថាប្រសិនបើបន្ទាត់ a និង b គឺស្របគ្នានោះយើងអាចនិយាយបានថាបន្ទាត់ a គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ b ហើយបន្ទាត់ b គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ a ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ចេញសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលដើរតួយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការសិក្សាអំពីបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងយន្តហោះ៖ តាមរយៈចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាឆ្លងកាត់បន្ទាត់តែមួយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានទទួលយកថាជាការពិត (វាមិនអាចបញ្ជាក់បាននៅលើមូលដ្ឋាននៃ axioms ដែលគេស្គាល់នៃ planimetry) ហើយវាត្រូវបានគេហៅថា axiom នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

ចំពោះករណីនៅក្នុងលំហ ទ្រឹស្តីបទគឺពិត៖ តាមរយៈចំណុចណាមួយក្នុងលំហដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាឆ្លងកាត់បន្ទាត់តែមួយស្របទៅនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទ្រឹស្តីបទនេះអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើ axiom ខាងលើនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល (អ្នកអាចរកឃើញភស្តុតាងរបស់វានៅក្នុងសៀវភៅធរណីមាត្រថ្នាក់ទី 10-11 ដែលត្រូវបានរាយនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទក្នុងគន្ថនិទ្ទេស)។

ចំពោះករណីនៅក្នុងលំហ ទ្រឹស្តីបទគឺពិត៖ តាមរយៈចំណុចណាមួយក្នុងលំហដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាឆ្លងកាត់បន្ទាត់តែមួយស្របទៅនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើ axiom នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។

ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ - សញ្ញានិងលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា។

សញ្ញានៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលគឺ​ជា​លក្ខខណ្ឌ​គ្រប់គ្រាន់​សម្រាប់​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល ពោល​គឺ​លក្ខខណ្ឌ​បែប​នេះ ការ​បំពេញ​ដែល​ធានា​នូវ​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល។ ម្យ៉ាង​ទៀត ការ​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​នេះ​គឺ​គ្រប់គ្រាន់​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​ការពិតដែលថា​បន្ទាត់​ស្រប​គ្នា។

វាក៏មានលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងយន្តហោះ និងក្នុងលំហរបីវិមាត្រ។

ចូរយើងពន្យល់ពីអត្ថន័យនៃឃ្លា "លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល"។

យើងបានដោះស្រាយលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលរួចហើយ។ ហើយតើ "លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល" គឺជាអ្វី? តាមឈ្មោះ "ចាំបាច់" វាច្បាស់ណាស់ថាការបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះគឺចាំបាច់ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ស្របគ្នា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមិនពេញចិត្តនោះបន្ទាត់មិនស្របគ្នា។ ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ស្របគ្នា។គឺជាលក្ខខណ្ឌមួយ ការបំពេញដែលចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ នោះគឺនៅលើដៃមួយនេះគឺជាសញ្ញានៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលហើយម្យ៉ាងវិញទៀតនេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិដែលបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមាន។

មុននឹងបញ្ជាក់ពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ស្របគ្នា វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យជំនួយមួយចំនួន។

បន្ទាត់​សម្ងាត់គឺ​ជា​បន្ទាត់​ដែល​កាត់​គ្នា​នៃ​បន្ទាត់​មិន​ស្រប​គ្នា​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ពីរ។

នៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរនៃ secant ប្រាំបីដែលមិនត្រូវបានដាក់ពង្រាយត្រូវបានបង្កើតឡើង។ នៅក្នុងការបង្កើតលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលអ្វីដែលគេហៅថា កុហក ច្រាសទិស, ដែលត្រូវគ្នា។និង ជ្រុងម្ខាង. ចូរបង្ហាញពួកវានៅលើគំនូរ។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរនៅលើយន្តហោះត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយ secant នោះសម្រាប់ភាពស្របគ្នារបស់វា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលមុំនិយាយបញ្ច្រាសគឺស្មើគ្នា ឬមុំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើគ្នា ឬផលបូកនៃមុំម្ខាងគឺស្មើនឹង 180 ដឺក្រេ។

ចូរយើងបង្ហាញរូបភាពក្រាហ្វិកនៃលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់នេះសម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងយន្តហោះ។

អ្នកអាចរកឃើញភស្តុតាងនៃលក្ខខណ្ឌទាំងនេះសម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាធរណីមាត្រសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7-9 ។

ចំណាំថាលក្ខខណ្ឌទាំងនេះក៏អាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រផងដែរ - រឿងសំខាន់គឺថាបន្ទាត់ទាំងពីរនិង secant ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា។

នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទមួយចំនួនទៀត ដែលជារឿយៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​ពីរ​ក្នុង​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​បន្ទាត់​ទីបី នោះ​ពួកគេ​គឺ​ស្រប​គ្នា។ ភ័ស្តុតាងនៃលក្ខណៈពិសេសនេះធ្វើតាម axiom នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

មានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាសម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​ពីរ​ក្នុង​លំហ​គឺ​ស្រប​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់​ទី​បី នោះ​វា​ស្រប​គ្នា។ ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈពិសេសនេះត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រនៅថ្នាក់ទី 10 ។

ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទដែលបញ្ចេញសំឡេង។

ចូរយើងផ្តល់ទ្រឹស្តីបទមួយបន្ថែមទៀតដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរក្នុងយន្តហោះកាត់កែងទៅបន្ទាត់ទីបី នោះពួកវាស្របគ្នា។

មានទ្រឹស្តីបទស្រដៀងគ្នាសម្រាប់បន្ទាត់ក្នុងលំហ។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​ពីរ​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ​កាត់​កែង​ទៅនឹង​ប្លង់​តែមួយ នោះ​ពួកវា​ស្រប​គ្នា។

ចូរយើងគូររូបភាពដែលត្រូវនឹងទ្រឹស្តីបទទាំងនេះ។

ទ្រឹស្ដីទាំងអស់ដែលបានបង្កើតខាងលើ សញ្ញា និងលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់គឺសមរម្យឥតខ្ចោះសម្រាប់ការបង្ហាញពីភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃធរណីមាត្រ។ នោះគឺដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ពីរដែលផ្តល់ឱ្យ វាចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញថាពួកវាស្របទៅនឹងបន្ទាត់ទីបីឬដើម្បីបង្ហាញពីសមភាពនៃមុំឆ្លងកាត់។ល។ បញ្ហាទាំងនេះជាច្រើនត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រនៅវិទ្យាល័យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីជាច្រើនវាងាយស្រួលប្រើវិធីសាស្រ្តនៃកូអរដោនេដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងយន្តហោះឬក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

នៅក្នុងផ្នែកនៃអត្ថបទនេះយើងនឹងបង្កើត លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃសមីការដែលកំណត់បន្ទាត់ទាំងនេះ ហើយយើងក៏នឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិតចំពោះបញ្ហាធម្មតាផងដែរ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ពីរនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Oxy ។ ភស្តុតាងរបស់គាត់គឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ និងនិយមន័យនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ។

ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរត្រូវស្របគ្នាក្នុងយន្តហោះ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ទាំងនេះគឺជាប់គ្នា ឬវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ទាំងនេះគឺជាប់គ្នា ឬវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់មួយគឺកាត់កែងទៅធម្មតា វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ទីពីរ។

ជាក់ស្តែង លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ពីរក្នុងយន្តហោះកាត់បន្ថយទៅ (វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ ឬវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់) ឬទៅ (វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់មួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ទីពីរ)។ ដូច្នេះប្រសិនបើ និងជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ a និង b និង និង គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ a និង b រៀងគ្នា បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល a និង b អាចត្រូវបានសរសេរជា , ឬ ឬ t ជាចំនួនពិត។ នៅក្នុងវេន កូអរដោនេនៃការដឹកនាំ និង (ឬ) វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ a និង b ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការដែលគេស្គាល់នៃបន្ទាត់ត្រង់។

ជាពិសេស ប្រសិនបើបន្ទាត់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Oxy នៅលើយន្តហោះកំណត់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់នៃទម្រង់ និងបន្ទាត់ត្រង់ ខ - បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ទាំងនេះមានកូអរដោណេរៀងៗខ្លួន ហើយលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ a និង b នឹងត្រូវបានសរសេរជា .

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយនឹងមេគុណជម្រាលនៃទម្រង់ . ដូច្នេះប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណគឺស្របគ្នា ហើយអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយនឹងមេគុណជម្រាល នោះមេគុណជម្រាលនៃបន្ទាត់នឹងស្មើគ្នា។ ហើយច្រាសមកវិញ៖ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ដែលមិនស្របគ្នានៅលើយន្តហោះក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានមេគុណជម្រាលស្មើគ្នា នោះបន្ទាត់ត្រង់បែបនេះគឺស្របគ្នា។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ a និងបន្ទាត់ b នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកំណត់សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះនៃទម្រង់ និង ឬសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៃទម្រង់ និង រៀងគ្នា បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ទាំងនេះមានកូអរដោណេ និង ហើយលក្ខខណ្ឌប៉ារ៉ាឡែលសម្រាប់បន្ទាត់ a និង b ត្រូវបានសរសេរជា .

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

តើបន្ទាត់ស្របគ្នាទេ? និង?

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងសរសេរឡើងវិញនូវសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាចម្រៀកក្នុងទម្រង់ជាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖ . ឥឡូវនេះយើងអាចមើលឃើញថានោះគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។ វ៉ិចទ័រទាំងនេះមិនជាប់គ្នាទេ ព្រោះមិនមានចំនួនពិត t ដែលសមភាព ( ) អាស្រ័យហេតុនេះ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះគឺមិនពេញចិត្តទេ ដូច្នេះបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនស្របគ្នា។

ចម្លើយ៖

ទេ បន្ទាត់មិនស្របគ្នាទេ។

ឧទាហរណ៍។

តើ​បន្ទាត់​និង​ស្រប?

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងនាំយកសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយទៅសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានជម្រាល: . ជាក់ស្តែងសមីការនៃបន្ទាត់និងមិនដូចគ្នា (ក្នុងករណីនេះបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងដូចគ្នា) ហើយជម្រាលនៃបន្ទាត់គឺស្មើគ្នាដូច្នេះបន្ទាត់ដើមគឺស្របគ្នា។

ដំណោះស្រាយទីពីរ។

ជាដំបូង សូមបង្ហាញថាបន្ទាត់ដើមមិនស្របគ្នាទេ៖ យកចំណុចណាមួយនៃបន្ទាត់ ឧទាហរណ៍ (0, 1) កូអរដោនេនៃចំណុចនេះមិនបំពេញសមីការនៃបន្ទាត់ ដូច្នេះបន្ទាត់មិនស្របគ្នា។ ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់គឺវ៉ិចទ័រ ហើយវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់គឺជាវ៉ិចទ័រ។ ចូរយើងគណនានិង៖ . អាស្រ័យហេតុនេះ វ៉ិចទ័រ និងកាត់កែង ដែលមានន័យថា លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺពេញចិត្ត។ ដូច្នេះបន្ទាត់គឺស្របគ្នា។

ចម្លើយ៖

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របគ្នា។

ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណក្នុងលំហបីវិមាត្រ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ខាងក្រោមត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ទ្រឹស្តីបទ។

សម្រាប់​បន្ទាត់​មិន​ស្របគ្នា​ស្របគ្នា​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ វា​ចាំបាច់ និង​គ្រប់គ្រាន់​ដែល​វ៉ិចទ័រ​ទិសដៅ​របស់​វា​ត្រូវ​គ្នា​។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណក្នុងលំហបីវិមាត្រត្រូវបានគេស្គាល់ ហើយអ្នកត្រូវឆ្លើយសំណួរថាតើបន្ទាត់ទាំងនេះស្របគ្នាឬអត់នោះ អ្នកត្រូវស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ ហើយពិនិត្យមើល។ ការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតប្រសិនបើ និង - វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានកូអរដោនេនិង . ជា បន្ទាប់មក។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ពីរស្របគ្នាក្នុងលំហគឺពេញចិត្ត។ នេះបង្ហាញពីភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និង .

គន្ថនិទ្ទេស។

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី ៧ ដល់ទី ៩៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. ធរណីមាត្រ។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១០-១១ នៃវិទ្យាល័យ។
• Pogorelov A.V., ធរណីមាត្រ។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7-11 នៃស្ថាប័នអប់រំ។
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ ភាគទី១៖ ធាតុនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងធរណីមាត្រវិភាគ។
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. ធរណីមាត្រវិភាគ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល ផ្តល់និយមន័យ កំណត់សញ្ញា និងលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃសម្ភារៈទ្រឹស្តី យើងនឹងប្រើរូបភាព និងដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតា។

និយមន័យ ១

បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងយន្តហោះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ពីរនៅក្នុងយន្តហោះដែលមិនមានចំណុចរួម។

និយមន័យ ២

បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលក្នុងលំហ 3D- បន្ទាត់ត្រង់ពីរនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ និងមិនមានចំណុចរួម។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាដើម្បីកំណត់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងលំហការបំភ្លឺ "ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ" គឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់: បន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រដែលមិនមានចំណុចរួមនិងមិនកុហកនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយគឺមិនមែនទេ។ ប៉ារ៉ាឡែល ប៉ុន្តែប្រសព្វគ្នា។

ដើម្បីសម្គាល់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល វាជារឿងធម្មតាក្នុងការប្រើនិមិត្តសញ្ញា ∥ ។ នោះគឺប្រសិនបើបន្ទាត់ a និង b ស្របគ្នា លក្ខខណ្ឌនេះគួរតែត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបដូចខាងក្រោម: a ‖ b ។ ដោយពាក្យសំដី ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដូចខាងក្រោមៈ បន្ទាត់ a និង b គឺស្របគ្នា ឬ បន្ទាត់ a គឺស្របទៅបន្ទាត់ b ឬ បន្ទាត់ b គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ a ។

ចូរយើងបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយដែលមានតួនាទីសំខាន់នៅក្នុងប្រធានបទដែលកំពុងសិក្សា។

Axiom

តាម​រយៈ​ចំណុច​ដែល​មិន​មែន​ជា​របស់​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​នោះ​មាន​តែ​មួយ​បន្ទាត់​ស្រប​នឹង​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមិនអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយផ្អែកលើ axioms ដែលគេស្គាល់នៃ planimetry នោះទេ។

ក្នុងករណីដែលវាមកដល់លំហ ទ្រឹស្តីបទគឺពិត៖

ទ្រឹស្តីបទ ១

តាមរយៈចំណុចណាមួយក្នុងលំហដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ នឹងមានបន្ទាត់តែមួយស្របនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ទ្រឹស្តីបទនេះងាយស្រួលបញ្ជាក់ដោយផ្អែកលើ axiom ខាងលើ (កម្មវិធីធរណីមាត្រសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១០-១១)។

សញ្ញានៃភាពស្របគ្នាគឺជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដែលបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានធានា។ ម្យ៉ាង​ទៀត ការ​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​នេះ​គឺ​គ្រប់គ្រាន់​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​ការពិត​នៃ​ភាព​ស្រប​គ្នា។

ជាពិសេស មានលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពន្យល់: ចាំបាច់មានន័យថាលក្ខខណ្ឌ, ការបំពេញដែលចាំបាច់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល; ប្រសិនបើវាមិនពេញចិត្ត បន្ទាត់មិនស្របគ្នាទេ។

សរុបសេចក្តី លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ គឺជាលក្ខខណ្ឌបែបនេះ ការប្រតិបត្តិដែលចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ស្របគ្នាទៅវិញទៅមក។ ម្យ៉ាងវិញទៀត នេះគឺជាសញ្ញានៃភាពស្របគ្នា ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត ទ្រព្យសម្បត្តិដែលមាននៅក្នុងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

មុននឹងផ្តល់ទម្រង់ច្បាស់លាស់នៃលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ យើងរំលឹកឡើងវិញនូវគោលគំនិតបន្ថែមមួយចំនួនទៀត។

និយមន័យ ៣

បន្ទាត់​សម្ងាត់គឺ​ជា​បន្ទាត់​ដែល​កាត់​គ្នា​នៃ​បន្ទាត់​ដែល​មិន​ត្រូវ​គ្នា​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ។

ប្រសព្វ​នឹង​បន្ទាត់​ត្រង់​ពីរ និមិត្ត​បង្កើត​ជា​មុំ​មិន​ពង្រីក​ប្រាំបី។ ដើម្បីបង្កើតលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ យើងនឹងប្រើប្រភេទមុំបែបនេះដូចជា ការនិយាយឆ្លងគ្នា ការឆ្លើយឆ្លង និងម្ខាង។ សូម​បង្ហាញ​ពួក​គេ​ក្នុង​ឧទាហរណ៍៖

ទ្រឹស្តីបទ ២

ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរនៅលើយន្តហោះប្រសព្វគ្នា នោះសម្រាប់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលមុំនិយាយបញ្ច្រាសត្រូវស្មើគ្នា ឬមុំដែលត្រូវគ្នាស្មើគ្នា ឬផលបូកនៃមុំម្ខាងគឺស្មើនឹង 180 ដឺក្រេ។

ចូរយើងបង្ហាញក្រាហ្វិកពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅលើយន្តហោះ៖

ភស្តុតាងនៃលក្ខខណ្ឌទាំងនេះមាននៅក្នុងកម្មវិធីធរណីមាត្រសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7-9 ។

ជាទូទៅ លក្ខខណ្ឌទាំងនេះក៏អាចអនុវត្តបានសម្រាប់លំហរបីវិមាត្រផងដែរ ដោយបានផ្តល់ថា បន្ទាត់ពីរ និងសេកានជារបស់យន្តហោះតែមួយ។

ចូរយើងចង្អុលបង្ហាញទ្រឹស្ដីមួយចំនួនទៀត ដែលជារឿយៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការបញ្ជាក់ការពិតថា បន្ទាត់គឺស្របគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ៣

នៅក្នុងយន្តហោះមួយ ខ្សែពីរស្របទៅមួយភាគបីគឺស្របគ្នា។ លក្ខណៈនេះត្រូវបានបញ្ជាក់នៅលើមូលដ្ឋាននៃ axiom នៃភាពស្របគ្នាដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤

នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ បន្ទាត់ពីរស្របទៅមួយភាគបីគឺស្របទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

ភស្តុតាងនៃគុណលក្ខណៈត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងកម្មវិធីធរណីមាត្រថ្នាក់ទី១០។

យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃទ្រឹស្តីបទទាំងនេះ៖

ចូរយើងបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទមួយគូទៀត ដែលបញ្ជាក់ពីភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់។

ទ្រឹស្តីបទ ៥

នៅក្នុងយន្តហោះ បន្ទាត់ពីរកាត់កែងទៅមួយភាគបីគឺស្របគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតភាពស្រដៀងគ្នាសម្រាប់លំហបីវិមាត្រ។

ទ្រឹស្តីបទ ៦

នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ បន្ទាត់ពីរកាត់កែងទៅមួយភាគបីគឺស្របទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

សូម​បង្ហាញ៖

ទ្រឹស្តីបទ សញ្ញា និងលក្ខខណ្ឌខាងលើទាំងអស់ ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលនូវភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃធរណីមាត្រ។ នោះគឺដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ មួយអាចបង្ហាញថាមុំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើគ្នា ឬបង្ហាញពីការពិតដែលថាបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺកាត់កែងទៅនឹងទីបី ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ប៉ុន្តែយើងកត់សម្គាល់ថា ជារឿយៗវាងាយស្រួលជាងក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ក្នុងយន្តហោះ ឬក្នុងលំហបីវិមាត្រ។

ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះនៃប្រភេទដែលអាចធ្វើបាន។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ បន្ទាត់ត្រង់មួយដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណក្នុងលំហបីវិមាត្រត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការមួយចំនួននៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

ចូរយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃសមីការដែលពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងយន្តហោះ។ វាត្រូវបានផ្អែកលើនិយមន័យនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នៅក្នុងយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ ៧

ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរស្របគ្នានៅលើយន្តហោះ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវគ្នា ឬវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ collinear ឬវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់មួយគឺ កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ផ្សេងទៀត។

វាក្លាយជាជាក់ស្តែងដែលលក្ខខណ្ឌនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅលើយន្តហោះគឺផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រ collinear ឬលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ។ នោះគឺប្រសិនបើ a → = (a x , a y) និង b → = (b x , b y) គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ a និង b ;

និង n b → = (n b x , n b y) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ a និង b បន្ទាប់មកយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ខាងលើ និងគ្រប់គ្រាន់ដូចខាងក្រោម៖ a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ឬ n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ឬ a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 ដែល t ជាចំនួនពិតមួយចំនួន។ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំឬដោយផ្ទាល់ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃបន្ទាត់។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍សំខាន់ៗ។

1. បន្ទាត់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; បន្ទាត់ ខ - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមានកូអរដោនេ (A 1 , B 1) និង (A 2 , B 2) រៀងគ្នា។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នាដូចខាងក្រោមៈ

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. បន្ទាត់ត្រង់ a ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណោទនៃទម្រង់ y = k 1 x + b 1 ។ បន្ទាត់ត្រង់ ខ - y \u003d k 2 x + b 2 ។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមានកូអរដោនេ (k 1 , - 1) និង (k 2 , - 1) រៀងគ្នាហើយយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌស្របគ្នាដូចខាងក្រោម:

k 1 = t k 2 − 1 = t ( − 1 ) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

ដូច្នេះប្រសិនបើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការជាមួយនឹងមេគុណជម្រាល នោះមេគុណជម្រាលនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងស្មើគ្នា។ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍រួមគឺជាការពិត៖ ប្រសិនបើបន្ទាត់មិនស្របគ្នានៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនៃបន្ទាត់ដែលមានមេគុណជម្រាលដូចគ្នា នោះបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងនេះគឺស្របគ្នា។

1. បន្ទាត់ a និង b នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ៖ x − x 1 a x = y – y 1 a y និង x − x 2 b x = y – y 2 b y ឬសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ៖ x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y និង x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y ។

បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមានៈ a x , a y និង b x , b y រៀងគ្នា ហើយយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌប៉ារ៉ាឡែលដូចខាងក្រោមៈ

a x = t b x a y = t b y

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១

ផ្តល់ពីរជួរ៖ 2 x − 3 y + 1 = 0 និង x 1 2 + y 5 = 1 ។ អ្នកត្រូវកំណត់ថាតើពួកវាស្របគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាផ្នែកក្នុងទម្រង់នៃសមីការទូទៅ៖

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y − 1 = 0

យើងឃើញថា n a → = (2 , − 3) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ 2 x − 3 y + 1 = 0 ហើយ n b → = 2 , 1 5 គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ x 1 2 + y 5 = ១.

វ៉ិចទ័រជាលទ្ធផលមិនជាប់គ្នាទេ ព្រោះ មិនមានតម្លៃ t ដែលសមភាពនឹងជាការពិតទេ៖

2 = t 2 − 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 − 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 − 3 = 1 5

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់នៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះគឺមិនពេញចិត្តដែលមានន័យថាបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនស្របគ្នា។

ចម្លើយ៖បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនស្របគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ y = 2 x + 1 និង x 1 = y - 4 2 ។ តើពួកគេស្របគ្នាទេ?

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរបំប្លែងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ x 1 \u003d y - 4 2 ទៅជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាលមួយ៖

x 1 = y − 4 2 ⇔ 1 (y − 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

យើងឃើញថាសមីការនៃបន្ទាត់ y = 2 x + 1 និង y = 2 x + 4 មិនដូចគ្នាទេ (បើមិនដូច្នេះទេ បន្ទាត់នឹងដូចគ្នា) ហើយចំណោតនៃបន្ទាត់គឺស្មើគ្នា ដែលមានន័យថា បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របគ្នា។

ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។ ដំបូងយើងពិនិត្យមើលថាតើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របគ្នា។ យើងប្រើចំណុចណាមួយនៃបន្ទាត់ y \u003d 2 x + 1 ឧទាហរណ៍ (0, 1) កូអរដោនេនៃចំណុចនេះមិនត្រូវគ្នានឹងសមីការនៃបន្ទាត់ x 1 \u003d y - 4 2 ដែលមានន័យថា បន្ទាត់មិនស្របគ្នា។

ជំហានបន្ទាប់គឺដើម្បីកំណត់ការបំពេញលក្ខខណ្ឌប៉ារ៉ាឡែលសម្រាប់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ y = 2 x + 1 គឺជាវ៉ិចទ័រ n a → = (2 , - 1) ហើយវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ទីពីរគឺ b → = (1 , 2) ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺសូន្យ៖

n a → , b → = 2 1 + ( − 1 ) 2 = 0

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រគឺកាត់កែង៖ នេះបង្ហាញដល់យើងនូវការបំពេញលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ដើមស្របគ្នា។ ទាំងនោះ។ បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របគ្នា។

ចម្លើយ៖បន្ទាត់ទាំងនេះគឺស្របគ្នា។

ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៃលំហរបីវិមាត្រ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ខាងក្រោមត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ទ្រឹស្តីបទ ៨

សម្រាប់​បន្ទាត់​មិន​ស្របគ្នា​ពីរ​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ​ស្រប​គ្នា វា​ចាំបាច់ និង​គ្រប់គ្រាន់​ដែល​វ៉ិចទ័រ​ទិសដៅ​នៃ​បន្ទាត់​ទាំងនេះ​ត្រូវ​គ្នា​។

ទាំងនោះ។ សម្រាប់សមីការនៃបន្ទាត់ក្នុងលំហបីវិមាត្រ ចម្លើយទៅនឹងសំណួរ៖ តើពួកវាស្របគ្នាឬអត់ ត្រូវបានរកឃើញដោយកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក៏ដូចជាពិនិត្យមើលស្ថានភាពនៃភាពជាប់គ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើ a → = (a x, a y, a z) និង b → = (b x, b y, b z) គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ a និង b រៀងគ្នា បន្ទាប់មកដើម្បីឱ្យពួកវាស្របគ្នា អត្ថិភាព។ នៃចំនួនពិត t គឺចាំបាច់ ដូច្នេះសមភាពទទួលបាន៖

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

ឧទាហរណ៍ ៣

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ x 1 = y − 2 0 = z + 1 − 3 និង x = 2 + 2 λ y = 1 z = − 3 − 6 λ ។ វាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត

លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយក្នុងលំហ និងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយទៀតនៅក្នុងលំហ។ វ៉ិចទ័រទិសដៅ a → និង b → បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​មាន​កូអរដោនេ៖ (1 , 0 , - 3) និង (2 , 0 , - 6) ។

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t − 6 ⇔ t = 1 2 បន្ទាប់មក a → = 1 2 b → ។

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងលំហគឺពេញចិត្ត។

ចម្លើយ៖ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានបង្ហាញ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ លក្ខណៈសម្បត្តិនិងសញ្ញានៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល

1. Axiom នៃប៉ារ៉ាឡែល។ តាមរយៈចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ភាគច្រើនបន្ទាត់ត្រង់មួយអាចត្រូវបានគូរស្របទៅនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

2. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ដូចគ្នា នោះពួកវាស្របគ្នានឹងគ្នា។

3. បន្ទាត់ពីរដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដូចគ្នាគឺស្របគ្នា។

4. ប្រសិនបើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយមួយភាគបី នោះមុំឈើឆ្កាងខាងក្នុងដែលបង្កើតឡើងនៅពេលតែមួយគឺស្មើគ្នា។ មុំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើគ្នា; ជ្រុងម្ខាងផ្នែកខាងក្នុងបន្ថែមរហូតដល់ 180°។

5. ប្រសិនបើនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរ ទីបីបង្កើតបានជាមុំកុហកផ្នែកខាងក្នុងស្មើគ្នា នោះបន្ទាត់ត្រង់គឺស្របគ្នា។

6. ប្រសិនបើនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ ទម្រង់ទីបីស្មើមុំដែលត្រូវគ្នា នោះបន្ទាត់គឺស្របគ្នា។

7. ប្រសិនបើនៅចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរនៃទីបីផលបូកនៃជ្រុងម្ខាងខាងក្នុងគឺ 180 °បន្ទាប់មកបន្ទាត់គឺស្របគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទថាឡេស. ប្រសិនបើផ្នែកស្មើគ្នាត្រូវបានដាក់នៅជ្រុងម្ខាងនៃមុំ ហើយបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានកាត់តាមចុងរបស់វា ប្រសព្វផ្នែកទីពីរនៃមុំ នោះផ្នែកស្មើគ្នាក៏នឹងត្រូវបានដាក់នៅផ្នែកទីពីរនៃមុំផងដែរ។

ទ្រឹស្តីបទលើផ្នែកសមាមាត្រ. បន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែលកាត់ជ្រុងនៃមុំកាត់ផ្នែកសមាមាត្រនៅលើពួកវា។

ត្រីកោណ។ សញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណ.

1. ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរ និងមុំរវាងពួកវានៃត្រីកោណមួយ ស្មើនឹងភាគីទាំងពីរ និងមុំរវាងពួកវានៃត្រីកោណមួយទៀត នោះត្រីកោណគឺស្របគ្នា។

2. ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាង និងមុំពីរនៅជាប់នឹងវានៃត្រីកោណមួយ ស្មើនឹងចំហៀង ហើយមុំពីរនៅជាប់នឹងវានៃត្រីកោណមួយទៀត នោះត្រីកោណគឺស្របគ្នា។

3. ប្រសិនបើជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងបីជ្រុងនៃត្រីកោណមួយទៀត នោះត្រីកោណគឺស្របគ្នា។

សញ្ញានៃសមភាពនៃត្រីកោណកែង

1. នៅលើជើងពីរ។

2. តាមបណ្តោយជើងនិងអ៊ីប៉ូតេនុស។

3. ដោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច។

4. តាមបណ្តោយជើងនិងមុំស្រួច។

ទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណមួយ និងផលវិបាករបស់វា។

1. ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃត្រីកោណគឺ 180°។

2. មុំខាងក្រៅនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងផលបូកនៃមុំខាងក្នុងពីរដែលមិននៅជាប់នឹងវា។

3. ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃប៉ោង n-gon គឺ

4. ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃ ga-gon គឺ 360°។

5. មុំដែលមានជ្រុងកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមកគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើវាទាំងពីរស្រួចឬទាំងពីរ obtuse ។

6. មុំរវាង bisectors នៃមុំជាប់គ្នាគឺ 90° ។

7. bisectors នៃមុំម្ខាងខាងក្នុងដែលមានបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និង secant កាត់កែង។

លក្ខណៈសំខាន់ៗ និងសញ្ញានៃត្រីកោណ isosceles

1. មុំនៅមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណ isosceles គឺស្មើគ្នា។

2. ប្រសិនបើមុំពីរនៃត្រីកោណមួយស្មើគ្នា នោះវាគឺជា isosceles ។

3. នៅក្នុងត្រីកោណ isosceles មធ្យម, bisector និងកម្ពស់ដែលត្រូវបានទាញទៅមូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា។

4. ប្រសិនបើគូនៃផ្នែកណាមួយពីបី - មធ្យម, bisector, កម្ពស់ - ស្របគ្នានៅក្នុងត្រីកោណមួយ នោះវាគឺជា isosceles ។

វិសមភាពត្រីកោណ និងផលវិបាករបស់វា។

1. ផលបូកនៃជ្រុងទាំងពីរនៃត្រីកោណមួយគឺធំជាងភាគីទីបីរបស់វា។

2. ផលបូកនៃតំណភ្ជាប់នៃបន្ទាត់ដែលខូចគឺធំជាងផ្នែកដែលតភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើម

តំណភ្ជាប់ដំបូងជាមួយចុងបញ្ចប់នៃចុងក្រោយ។

3. ទល់មុខមុំធំជាងនៃត្រីកោណស្ថិតនៅផ្នែកធំជាង។

4. ទល់នឹងជ្រុងធំនៃត្រីកោណស្ថិតនៅមុំធំជាង។

5. អ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺធំជាងជើង។

6. ប្រសិនបើកាត់កែង និងទំនោរត្រូវបានដកចេញពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ នោះហើយ។

1) កាត់កែងគឺខ្លីជាងទំនោរ;

2) ជម្រាលធំជាងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងការព្យាករណ៍ធំជាង និងច្រាសមកវិញ។

បន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណ។

ផ្នែក​បន្ទាត់​តភ្ជាប់​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ជ្រុង​ទាំង​សងខាង​នៃ​ត្រីកោណ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា​បន្ទាត់​កណ្តាល​នៃ​ត្រីកោណ។

ទ្រឹស្តីបទបន្ទាត់កណ្តាលត្រីកោណ.

បន្ទាត់​មធ្យម​នៃ​ត្រីកោណ​គឺ​ស្រប​ទៅ​នឹង​ជ្រុង​នៃ​ត្រីកោណ ហើយ​ស្មើ​នឹង​ពាក់​កណ្តាល​នៃ​វា។

ទ្រឹស្តីបទមធ្យមត្រីកោណ

1. មេដ្យាននៃត្រីកោណមួយប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ហើយបែងចែកវាក្នុងសមាមាត្រនៃ 2: 1 ដោយរាប់ពីកំពូល។

2. ប្រសិនបើមធ្យមនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្នែកដែលវាត្រូវបានគូរ នោះត្រីកោណគឺមុំខាងស្តាំ។

3. មធ្យមនៃត្រីកោណកែងដែលទាញចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃ bisectors កាត់កែងទៅជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ។. រង្វង់​កាត់​កែង​ទៅ​ជ្រុង​នៃ​ត្រីកោណ​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច​មួយ​ដែល​ជា​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​រង្វង់​ដែល​គូស​អំពី​ត្រីកោណ។

ទ្រឹស្តីបទកម្ពស់ត្រីកោណ. បន្ទាត់ដែលមានកម្ពស់នៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ទ្រឹស្តីបទត្រីកោណមាត្រ. ផ្នែក​នៃ​ត្រីកោណ​ប្រសព្វ​នៅ​ចំណុច​មួយ ដែល​ជា​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​រង្វង់​ដែល​ចារឹក​ក្នុង​ត្រីកោណ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទ្វេនៃត្រីកោណ. ផ្នែក​នៃ​ត្រីកោណ​ចែក​ផ្នែក​ខាង​របស់​វា​ជា​ផ្នែក​សមាមាត្រ​ទៅ​នឹង​ភាគី​ពីរ​ទៀត។

សញ្ញានៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ

1. ប្រសិនបើមុំពីរនៃត្រីកោណមួយត្រូវគ្នានឹងមុំពីរនៃមួយទៀត នោះត្រីកោណគឺស្រដៀងគ្នា។

2. ប្រសិនបើជ្រុងទាំងពីរនៃត្រីកោណមួយមានសមាមាត្ររៀងគ្នាទៅនឹងភាគីទាំងពីរនៃជ្រុងមួយទៀត ហើយមុំដែលរុំព័ទ្ធរវាងភាគីទាំងនេះគឺស្មើគ្នា នោះត្រីកោណគឺស្រដៀងគ្នា។

3. ប្រសិនបើជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណមួយមានសមាមាត្ររៀងគ្នាទៅនឹងជ្រុងទាំងបីនៃមួយទៀត នោះត្រីកោណគឺស្រដៀងគ្នា។

តំបន់នៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា

1. សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងការេនៃមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។

2. ប្រសិនបើត្រីកោណពីរមានមុំស្មើគ្នា នោះតំបន់របស់វាទាក់ទងគ្នាជាផលិតផលនៃជ្រុងដែលរុំព័ទ្ធមុំទាំងនេះ។

នៅក្នុងត្រីកោណកែង

1. ជើងនៃត្រីកោណកែងគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស និងស៊ីនុសទល់មុខ ឬកូស៊ីនុសនៃមុំស្រួចដែលនៅជាប់នឹងជើងនេះ។

2. ជើង​នៃ​ត្រីកោណ​កែង​ស្មើ​នឹង​ជើង​ម្ខាង​ទៀត​គុណ​នឹង​តង់សង់​ទល់​មុខ​ឬ​កូតង់សង់​នៃ​មុំ​ស្រួច​នៅ​ជាប់​ជើង​នេះ។

3. ជើងនៃត្រីកោណខាងស្តាំដែលនៅទល់មុខមុំ 30 °គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស។

4. ប្រសិនបើជើងនៃត្រីកោណខាងស្តាំស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស នោះមុំទល់មុខជើងនេះគឺ 30°។

5. R = ; g \u003d ដែល a, b ជាជើង, និង c គឺជាអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំ; r និង R គឺជាកាំនៃរង្វង់ចារឹក និងរង្វង់រៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ និង ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ

1. ការេនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណកែងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជើង។

2. ប្រសិនបើការេនៃជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងម្ខាងទៀតរបស់វា នោះត្រីកោណមានមុំខាងស្តាំ។

សមាមាត្រមធ្យមនៅក្នុងត្រីកោណស្តាំ។

កម្ពស់នៃត្រីកោណកែងដែលដកចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំ គឺជាសមាមាត្រមធ្យមទៅនឹងការព្យាករនៃជើងទៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស ហើយជើងនីមួយៗគឺសមាមាត្រជាមធ្យមទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស និងការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស។

សមាមាត្រម៉ែត្រក្នុងត្រីកោណ

1. ទ្រឹស្តីបទនៃកូស៊ីនុស។ ការេនៃជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃភាគីទាំងពីរផ្សេងទៀតដោយមិនបង្កើនផលគុណនៃជ្រុងទាំងនោះទ្វេដងនៃកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

2. កូរ៉ូឡារីពីទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។ ផលបូកនៃការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងទាំងអស់របស់វា។

3. រូបមន្តសម្រាប់មធ្យមភាគនៃត្រីកោណមួយ។ ប្រសិនបើ m គឺជាមធ្យមនៃត្រីកោណដែលគូរទៅចំហៀង c នោះ m = ដែល a និង b គឺជាជ្រុងដែលនៅសល់នៃត្រីកោណ។

4. ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស។ ជ្រុងនៃត្រីកោណគឺសមាមាត្រទៅនឹងស៊ីនុសនៃមុំផ្ទុយ។

5. ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសទូទៅ។ សមាមាត្រនៃផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណមួយទៅនឹងស៊ីនុសនៃមុំទល់មុខគឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់ត្រីកោណ។

រូបមន្តតំបន់ត្រីកោណ

1. តំបន់នៃត្រីកោណមួយគឺពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់។

2. តំបន់នៃត្រីកោណមួយគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃភាគីទាំងពីររបស់វានិងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកគេ។

3. តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃ semiperimeter របស់វានិងកាំនៃរង្វង់ចារឹក។

4. តំបន់នៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងទាំងបីរបស់វាចែកនឹងបួនដងនៃកាំនៃរង្វង់កាត់។

5. រូបមន្តរបស់ Heron: S = ដែល p ជា semiperimeter; a, b, c - ជ្រុងនៃត្រីកោណ។

ធាតុនៃត្រីកោណសមភាព. ទុក h, S, r, R ជាកំពស់, តំបន់, កាំនៃរង្វង់ចារឹក និងកាត់រង្វង់នៃត្រីកោណសមភាពជាមួយចំហៀង a ។ បន្ទាប់មក
បួនជ្រុង

ប៉ារ៉ាឡែល។ ប៉ារ៉ាឡែល​គឺ​ជា​ចតុកោណ​ដែល​ភាគី​ទល់​មុខ​ស្រប​គ្នា​ជា​គូ។

លក្ខណៈ និងលក្ខណៈនៃប្រលេឡូក្រាម.

1. អង្កត់ទ្រូងបែងចែកប្រលេឡូក្រាមជាពីរត្រីកោណស្មើគ្នា។

2. ជ្រុងម្ខាងនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើគ្នាជាគូ។

3. មុំទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើគ្នាជាគូ។

4. អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមប្រសព្វគ្នា និងកាត់ចំនុចប្រសព្វ។

5. ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងនៃចតុកោណកែងស្មើគ្នាជាគូ នោះចតុកោណនេះគឺជាប្រលេឡូក្រាម។

6. ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងនៃចតុកោណកែងពីរគឺស្មើគ្នា និងស្រប នោះចតុកោណនេះគឺជាប្រលេឡូក្រាម។

7. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណត្រូវបានបំបែកដោយចំនុចប្រសព្វនោះ ចតុកោណនេះគឺជាប្រលេឡូក្រាម។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងនៃបួនជ្រុង. ចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងនៃចតុកោណណាមួយគឺជាចំនុចកំពូលនៃប្រលេឡូក្រាមដែលមានផ្ទៃពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃបួនជ្រុង។

ចតុកោណ។ចតុកោណ​គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​មាន​មុំ​ខាងស្តាំ។

លក្ខណៈសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃចតុកោណកែង។

1. អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងគឺស្មើគ្នា។

2. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើគ្នា នោះប្រលេឡូក្រាមនេះគឺជាចតុកោណកែង។

ការ៉េ។ការ៉េ​គឺ​ជា​ចតុកោណ​ដែល​ភាគី​ទាំង​សង​ខាង​ស្មើ។

ផ្ការំដួល។ rhombus គឺជារាងបួនជ្រុងដែលគ្រប់ជ្រុងទាំងអស់ស្មើគ្នា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនិងសញ្ញានៃ rhombus ។

1. អង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus គឺកាត់កែង។

អង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus កាត់ជ្រុងរបស់វា។

3. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមកាត់កែង នោះប៉ារ៉ាឡែលនេះគឺជារាងមូល។

4. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមបែងចែកមុំរបស់វាជាពាក់កណ្តាល នោះប៉ារ៉ាឡែលនេះគឺជារាងមូល។

អន្ទាក់។រាងចតុកោណគឺជារាងចតុកោណដែលមានជ្រុងទល់មុខពីរ (មូលដ្ឋាន) ស្របគ្នា។ បន្ទាត់មធ្យមនៃ trapezoid គឺជាផ្នែកមួយដែលតភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីមិនស្របគ្នា (ភាគីចំហៀង) ។

1. បន្ទាត់មធ្យមនៃ trapezoid គឺស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននិងស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូករបស់ពួកគេ។

2. ផ្នែកតភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូងនៃ trapezoid គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលភាពខុសគ្នានៃមូលដ្ឋាន។

ទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃ trapezoid មួយ។. ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃ trapezoid ចំនុចប្រសព្វនៃផ្នែកបន្ថែមនៃភាគី និងចំនុចកណ្តាលនៃមូលដ្ឋានស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។

Isosceles trapezium. trapezoid ត្រូវបានគេហៅថា isosceles ប្រសិនបើភាគីរបស់វាស្មើគ្នា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនិងសញ្ញានៃ isosceles trapezoid ។

1. មុំនៅមូលដ្ឋាននៃ isosceles trapezoid គឺស្មើគ្នា។

2. អង្កត់ទ្រូងនៃ isosceles trapezoid គឺស្មើគ្នា។

3. ប្រសិនបើមុំនៅមូលដ្ឋាននៃ trapezoid គឺស្មើគ្នានោះវាគឺជា isosceles ។

4. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃ trapezoid ស្មើគ្នានោះវាគឺជា isosceles ។

5. ការព្យាករនៃផ្នែកចំហៀងនៃ isosceles trapezoid ទៅលើមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលភាពខុសគ្នានៃមូលដ្ឋាន ហើយការព្យាករនៃអង្កត់ទ្រូងគឺពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋាន។

រូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃរាងបួនជ្រុង

1. ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់។

2. តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងជាប់គ្នារបស់វា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

3. ផ្ទៃ​នៃ​ចតុកោណ​មួយ​គឺ​ស្មើ​នឹង​ផលគុណ​នៃ​ភាគី​ទាំង​ពីរ​នៅ​ជាប់​គ្នា​របស់​ខ្លួន​។

4. តំបន់នៃ rhombus គឺពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។

5. តំបន់នៃ trapezoid មួយគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់។

6. ផ្ទៃនៃចតុកោណកែងគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វានិងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

7. រូបមន្តរបស់ហឺរ៉ុនសម្រាប់រាងបួនជ្រុងជុំវិញរង្វង់ដែលអាចពិពណ៌នាបាន៖

S \u003d ដែល a, b, c, d ជាជ្រុងនៃចតុកោណនេះ p ជាពាក់កណ្តាលបរិមាត្រ ហើយ S ជាតំបន់។

តួលេខស្រដៀងគ្នា

1. សមាមាត្រនៃធាតុលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នានៃតួលេខស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។

2. សមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃតួលេខស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងការ៉េនៃមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។

ពហុកោណធម្មតា។.

សូមអោយ n ជាផ្នែកនៃ n-gon ធម្មតា ហើយ r n និង R n ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹក និងគូសរង្វង់។ បន្ទាប់មក

រង្វង់។

រង្វង់គឺជាទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលមានចម្ងាយវិជ្ជមានដូចគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាកណ្តាលនៃរង្វង់។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃរង្វង់

1. អង្កត់ផ្ចិតកាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ធ្នូបែងចែកអង្កត់ធ្នូហើយធ្នូវាដកពាក់កណ្តាល។

2. អង្កត់ផ្ចិតដែលឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលអង្កត់ធ្នូដែលមិនមែនជាអង្កត់ផ្ចិតគឺកាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ធ្នូនោះ។

3. មធ្យមកាត់កែងទៅអង្កត់ធ្នូឆ្លងកាត់កណ្តាលរង្វង់។

4. អង្កត់ធ្នូស្មើគ្នាត្រូវបានយកចេញពីកណ្តាលនៃរង្វង់នៅចម្ងាយស្មើគ្នា។

5. អង្កត់ធ្នូនៃរង្វង់ដែលស្មើគ្នាពីកណ្តាលគឺស្មើគ្នា។

6. រង្វង់គឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។

7. ធ្នូនៃរង្វង់ដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាងអង្កត់ធ្នូស្របគឺស្មើគ្នា។

8. ក្នុងចំណោមអង្កត់ធ្នូទាំងពីរ អង្កត់ធ្នូដែលនៅឆ្ងាយពីកណ្តាលគឺធំជាង។

9. អង្កត់ផ្ចិតគឺជាអង្កត់ធ្នូធំបំផុតនៃរង្វង់មួយ។

តង់សង់ទៅរង្វង់. បន្ទាត់ដែលមានចំណុចតែមួយដូចគ្នាជាមួយរង្វង់ត្រូវបានគេហៅថាតង់សង់ទៅរង្វង់។

1. តង់សង់គឺកាត់កែងទៅនឹងកាំដែលអូសទៅចំណុចទំនាក់ទំនង។

2. ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើរង្វង់គឺកាត់កែងទៅនឹងកាំដែលអូសទៅចំណុចនេះ នោះបន្ទាត់ a គឺតង់សង់ទៅរង្វង់។

3. ប្រសិនបើបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំនុច M ប៉ះរង្វង់ត្រង់ចំនុច A និង B នោះ MA = MB និង ﮮAMO = ﮮBMO ដែលចំនុច O ជាចំនុចកណ្តាលនៃរង្វង់។

4. កណ្តាលនៃរង្វង់ដែលមានចារឹកនៅមុំមួយស្ថិតនៅលើ bisector នៃមុំនេះ។

រង្វង់តង់សង់. រង្វង់ពីរត្រូវបានគេនិយាយថាប៉ះ ប្រសិនបើពួកគេមានចំណុចរួមតែមួយ (ចំណុចតង់សង់)។

1. ចំណុចទំនាក់ទំនងនៃរង្វង់ពីរស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នៃមជ្ឈមណ្ឌលរបស់ពួកគេ។

2. រង្វង់នៃរ៉ាឌី r និង R ដែលមានចំណុចកណ្តាល O 1 និង O 2 ប៉ះខាងក្រៅប្រសិនបើ R + r \u003d O 1 O 2 ។

3. រង្វង់នៃ radii r និង R (r

4. រង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាល O 1 និង O 2 ប៉ះខាងក្រៅនៅចំណុច K. បន្ទាត់ត្រង់ខ្លះប៉ះរង្វង់ទាំងនេះនៅចំណុច A និង B ផ្សេងគ្នា ហើយប្រសព្វជាមួយតង់សង់ទូទៅឆ្លងកាត់ចំនុច K នៅចំណុច C. បន្ទាប់មក ﮮAK B \u003d 90 ° និង ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °។

5. ផ្នែកនៃតង់សង់ខាងក្រៅទូទៅទៅរង្វង់តង់សង់ពីរនៃរ៉ាឌី r និង R គឺស្មើនឹងផ្នែកនៃតង់ហ្សង់ខាងក្នុងទូទៅដែលរុំព័ទ្ធរវាងតង់ហ្សង់ខាងក្រៅទូទៅ។ ផ្នែកទាំងពីរនេះគឺស្មើគ្នា។

មុំភ្ជាប់ជាមួយរង្វង់

1. តម្លៃនៃធ្នូនៃរង្វង់មួយគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមុំកណ្តាលដោយផ្អែកលើវា។

2. មុំចារឹកគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃទំហំមុំនៃធ្នូដែលវាសម្រាក។

3. មុំចារឹកដោយផ្អែកលើធ្នូដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា។

4. មុំរវាងអង្កត់ធ្នូប្រសព្វគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃធ្នូទល់មុខកាត់ដោយអង្កត់ធ្នូ។

5. មុំរវាងផ្នែកពីរដែលប្រសព្វគ្នានៅខាងក្រៅរង្វង់គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃភាពខុសគ្នានៃអ័ក្សដែលកាត់ដោយ secants នៅលើរង្វង់។

6. មុំរវាងតង់សង់និងអង្កត់ធ្នូដែលទាញចេញពីចំណុចទំនាក់ទំនងគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលតម្លៃមុំនៃធ្នូកាត់នៅលើរង្វង់ដោយអង្កត់ធ្នូនេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអង្កត់ធ្នូរង្វង់

1. បន្ទាត់កណ្តាលនៃរង្វង់ប្រសព្វគ្នាពីរគឺកាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ធ្នូធម្មតារបស់ពួកគេ។

2. ផលិតផលនៃប្រវែងនៃផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូ AB និង CD នៃរង្វង់ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំណុច E គឺស្មើគ្នា នោះគឺ AE EB \u003d CE ED ។

រង្វង់​ចារឹក និង​គូសរង្វង់

1. ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ចារឹក និងរង្វង់មូលនៃត្រីកោណធម្មតាមួយស្របគ្នា។

2. ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់អំពីត្រីកោណកែងគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីប៉ូតេនុស។

3. ប្រសិនបើរង្វង់អាចត្រូវបានចារឹកជាបួនជ្រុង នោះផលបូកនៃជ្រុងទល់មុខរបស់វាស្មើគ្នា។

4. ប្រសិនបើចតុកោណអាចត្រូវបានចារឹកក្នុងរង្វង់ នោះផលបូកនៃមុំទល់មុខរបស់វាគឺ 180°។

5. ប្រសិនបើផលបូកនៃមុំទល់មុខនៃចតុកោណកែងគឺ 180° នោះរង្វង់មួយអាចត្រូវបានគូសជុំវិញវា។

6. ប្រសិនបើរង្វង់អាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoid នោះផ្នែកចំហៀងនៃ trapezoid អាចមើលឃើញពីកណ្តាលនៃរង្វង់នៅមុំខាងស្តាំមួយ។

7. ប្រសិនបើរង្វង់អាចត្រូវបានចារឹកនៅក្នុង trapezoid នោះកាំនៃរង្វង់គឺសមាមាត្រជាមធ្យមទៅនឹងផ្នែកដែលចំនុចតង់សង់បែងចែកផ្នែកចំហៀង។

8. ប្រសិនបើរង្វង់អាចត្រូវបានចារឹកក្នុងពហុកោណ នោះផ្ទៃរបស់វាស្មើនឹងផលិតផលនៃ semiperimeter នៃពហុកោណ និងកាំនៃរង្វង់នេះ។

ទ្រឹស្តីបទតង់ហ្សង់ និងសេសង់ និងស្នូលរបស់វា។

1. ប្រសិនបើតង់សង់ និងសេសង់ត្រូវបានដកចេញពីចំណុចមួយទៅរង្វង់ នោះផលគុណនៃសេកានទាំងមូលដោយផ្នែកខាងក្រៅរបស់វាស្មើនឹងការេនៃតង់សង់។

2. ផលិតផលនៃ secant ទាំងមូលដោយផ្នែកខាងក្រៅរបស់វាសម្រាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងរង្វង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺថេរ។

រង្វង់នៃកាំ R គឺ C = 2πR

ជំពូក III ។
បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល

§ 35. សញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ផ្ទាល់ពីរ។

ទ្រឹស្តីបទដែលកាត់កែងពីរទៅបន្ទាត់មួយគឺស្របគ្នា (§ 33) ផ្តល់សញ្ញាថាបន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នា។ វាអាចទទួលបានសញ្ញាទូទៅបន្ថែមទៀតនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ពីរ។

1. សញ្ញាដំបូងនៃភាពស្របគ្នា។

ប្រសិនបើនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរជាមួយទីបី មុំខាងក្នុងដែលនៅទូទាំងគឺស្មើគ្នា នោះបន្ទាត់ទាំងនេះគឺស្របគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ AB និង CD កាត់បន្ទាត់ EF និង / 1 = / 2. យកចំនុច O - ពាក់កណ្តាលនៃចម្រៀក KL នៃ secant EF (រូបភាព 189)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទម្លាក់ OM កាត់កែងពីចំណុច O ទៅបន្ទាត់ AB ហើយបន្តវារហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ CD, AB_|_MN ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថា CD_|_MN ។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះពិចារណាត្រីកោណពីរ: MOE និង NOK ។ ត្រីកោណទាំងនេះស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ជា​ការ​ពិត: / 1 = / 2 តាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ; យល់ព្រម = OL - ដោយការសាងសង់;
/ MOL = / NOK ជាជ្រុងបញ្ឈរ។ ដូច្នេះ ជ្រុង និងមុំពីរនៅជាប់នឹងវានៃត្រីកោណមួយគឺរៀងគ្នាស្មើនឹងចំហៀង និងមុំពីរនៅជាប់នឹងវានៃត្រីកោណមួយទៀត។ ដូចនេះ /\ MOL = /\ NOK ហើយដូច្នេះ
/ LMO = / knno ប៉ុន្តែ / LMO គឺដោយផ្ទាល់, ដូច្នេះ, និង / KNO ក៏ដោយផ្ទាល់ផងដែរ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ AB និង CD កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដូចគ្នា MN ដូច្នេះពួកវាស្របគ្នា (§ 33) ដែលត្រូវតែបញ្ជាក់។

ចំណាំ។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MO និង CD អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបង្វិលត្រីកោណ MOL ជុំវិញចំនុច O ដោយ 180°។

2. សញ្ញាទីពីរនៃភាពស្របគ្នា។

សូមមើលថាតើបន្ទាត់ AB និង CD ស្របគ្នា ប្រសិនបើនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទីបី EF មុំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ សូមឲ្យមុំដែលត្រូវគ្នាខ្លះស្មើគ្នា / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, ដូចជាជ្រុងគឺបញ្ឈរ; មានន័យថា / 2 នឹងស្មើ / 1. ប៉ុន្តែមុំទី 2 និងទី 1 គឺជាមុំកុហកផ្នែកខាងក្នុង ហើយយើងដឹងរួចហើយថា ប្រសិនបើនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរដោយទីបី មុំកុហកខាងក្នុងគឺស្មើគ្នា នោះបន្ទាត់ទាំងនេះគឺស្របគ្នា។ ដូច្នេះ AB || ស៊ីឌី។

ប្រសិនបើនៅចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរនៃទីបីមុំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើគ្នានោះបន្ទាត់ទាំងពីរនេះគឺស្របគ្នា។

ការសាងសង់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដោយមានជំនួយពីបន្ទាត់និងត្រីកោណគំនូរគឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ នេះត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម។

ចូរយើងភ្ជាប់ត្រីកោណទៅនឹងបន្ទាត់ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងគំនូរ 191។ យើងនឹងផ្លាស់ទីត្រីកោណដើម្បីឱ្យជ្រុងម្ខាងរបស់វារំកិលតាមបន្ទាត់ ហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើននៅតាមជ្រុងម្ខាងទៀតនៃត្រីកោណ។ បន្ទាត់ទាំងនេះនឹងស្របគ្នា។

3. សញ្ញាទីបីនៃភាពស្របគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងថានៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ AB និង CD ដោយបន្ទាត់ទីបី ផលបូកនៃមុំម្ខាងខាងក្នុងណាមួយគឺស្មើនឹង 2 ឃ(ឬ 180 °) ។ តើបន្ទាត់ AB និង CD ស្របគ្នាទេក្នុងករណីនេះ (រូបភាព 192)។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន / 1 និង / 2 ផ្នែកខាងក្នុងមុំម្ខាង និងបន្ថែមរហូតដល់ 2 ឃ.
ប៉ុន្តែ / 3 + / 2 = 2ឃជាមុំជាប់គ្នា។ អាស្រ័យហេតុនេះ / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

ពី​ទីនេះ / 1 = / 3, និងជ្រុងទាំងនេះគឺនៅខាងក្នុងកុហក crosswise ។ ដូច្នេះ AB || ស៊ីឌី។

ប្រសិនបើនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរដោយមួយភាគបី ផលបូកនៃផ្នែកខាងក្នុងមុំម្ខាងគឺស្មើនឹង 2 d បន្ទាប់មកបន្ទាត់ទាំងពីរគឺស្របគ្នា។

លំហាត់មួយ។

បង្ហាញថាបន្ទាត់ស្របគ្នា៖
ក) ប្រសិនបើមុំឆ្លងកាត់ខាងក្រៅស្មើគ្នា (រូបភាព 193);
ខ) ប្រសិនបើផលបូកនៃមុំឯកតោភាគីខាងក្រៅគឺ 2 ឃ(អារក្ស 194) ។