អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ u = f(x, y, z)បន្តនៅក្នុងតំបន់មួយចំនួន ឃនិងមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តនៅក្នុងតំបន់នេះ។ ចូរយើងជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅក្នុងតំបន់ដែលបានពិចារណា M(x,y,z)ហើយគូរវ៉ិចទ័រពីវា។ ស, ទិសដៅ cosine គឺ cosα, cosβ, cosγ។ នៅលើវ៉ិចទ័រ ស នៅចម្ងាយ Δ សតាំងពីដើមមក យើងរកឃើញចំណុចមួយ។ ម 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z) កន្លែងណា
ចូរតំណាងឱ្យការបង្កើនពេញលេញនៃមុខងារ fដូចជា៖
កន្លែងណា 
បន្ទាប់ពីបែងចែកដោយ Δ សយើងទទួលបាន:
ដោយសារតែ 
សមភាពពីមុនអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖
ជម្រាល។
និយមន័យដែនកំណត់នៃទំនាក់ទំនងនៅត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃមុខងារ u = f(x, y, z)ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ ស និងត្រូវបានតំណាង។
ក្នុងករណីនេះពី (1) យើងទទួលបាន:
(2)
កំណត់សម្គាល់ 1. ដេរីវេដោយផ្នែកគឺជាករណីពិសេសនៃដេរីវេទិសដៅ។ ឧទាហរណ៍នៅពេល 
យើងទទួលបាន:
ចំណាំ 2. ខាងលើ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរត្រូវបានកំណត់ថាជាមេគុណជម្រាលនៃតង់ហ្សង់ទៅបន្ទាត់ប្រសព្វនៃផ្ទៃដែលជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ជាមួយនឹងប្លង់។ x = x 0និង y = y 0. នៅក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នានេះយើងអាចពិចារណាដេរីវេនៃមុខងារនេះដោយគោរពតាមទិសដៅ លីត្រនៅចំណុច M(x 0, y 0)ដូចជាជម្រាលនៃបន្ទាត់ប្រសព្វនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច មស្របទៅនឹងអ័ក្ស O zនិងដោយផ្ទាល់ លីត្រ.
និយមន័យវ៉ិចទ័រដែលសំរបសំរួលនៅចំណុចនីមួយៗនៃតំបន់មួយចំនួនជាដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍ u = f(x, y, z)នៅចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាលមុខងារ u = f(x,y,z)។
ការដាក់ឈ្មោះ៖ ថ្នាក់ទី យូ = .
លក្ខណៈសម្បត្តិជម្រាល។
1. ដេរីវេដោយគោរពតាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រមួយចំនួន ស ស្មើនឹងការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ grad យូក្នុងមួយវ៉ិចទ័រ ស . ភស្តុតាង។ វ៉ិចទ័រទិសដៅឯកតា ស មានទម្រង់ អ៊ីអេស =(cosα, cosβ, cosγ) ដូច្នេះផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្ត (4.7) គឺជាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ grad យូនិង អ៊ី ស នោះគឺជាការព្យាករណ៍ដែលបានបញ្ជាក់។
2. ដេរីវេនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ ស មានតម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង |grad យូ| ប្រសិនបើទិសដៅនេះគឺដូចគ្នានឹងទិសដៅនៃជម្រាល។ ភស្តុតាង។ សម្គាល់មុំរវាងវ៉ិចទ័រ ស និងថ្នាក់ទី យូតាមរយៈ φ បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមពីទ្រព្យសម្បត្តិ 1 ដែល | grad យូ|∙cosφ, (4.8) ដូច្នេះតម្លៃអតិបរមារបស់វាត្រូវបានឈានដល់ φ=0 និងស្មើនឹង |grad យូ|.
3. ដេរីវេដោយគោរពតាមទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅថ្នាក់វ៉ិចទ័រ យូ, ស្មើសូន្យ។
ភស្តុតាង។ ក្នុងករណីនេះក្នុងរូបមន្ត (4.8) 
4. ប្រសិនបើ z = f(x,y)គឺជាមុខងារនៃអថេរពីរ បន្ទាប់មក grad f= ដឹកនាំកាត់កែងទៅបន្ទាត់កម្រិត f (x, y) = គ,ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។
Extrema នៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការជ្រុល។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កម្រិតខ្លាំង។ ហួសហេតុតាមលក្ខខណ្ឌ។ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange ។ ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។
និយមន័យ ១.ចំណុច M 0 (x 0, y 0)បានហៅ ចំណុចអតិបរមាមុខងារ z = f(x, y),ប្រសិនបើ f (x o, y o) > f(x, y)សម្រាប់ចំណុចទាំងអស់។ (x, y) ម ០.
និយមន័យ ២. ចំណុច M 0 (x 0, y 0)បានហៅ ចំណុចអប្បបរមាមុខងារ z = f(x, y),ប្រសិនបើ f (x o, y o) < f(x, y)សម្រាប់ចំណុចទាំងអស់។ (x, y)ពីសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច ម ០.
ចំណាំ 1. ពិន្ទុអតិបរមានិងអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។
ចំណាំ 2. ចំណុចខ្លាំងសម្រាប់មុខងារនៃចំនួនអថេរណាមួយត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទ ១(លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរចាំបាច់) ។ ប្រសិនបើ ក M 0 (x 0, y 0)គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ z = f(x, y),បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះ និស្សន្ទវត្ថុផ្នែកទីមួយនៃអនុគមន៍នេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។
ភស្តុតាង។
ចូរយើងជួសជុលតម្លៃនៃអថេរ នៅរាប់ y = y 0. បន្ទាប់មកមុខងារ f(x, y0)នឹងជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ Xសម្រាប់ការដែល x = x 0គឺជាចំណុចខ្លាំង។ ដូច្នេះដោយទ្រឹស្តីបទ Fermat ឬមិនមាន។ ការអះអាងដូចគ្នានេះត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់។
និយមន័យ ៣.ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន ដែលដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចស្ថានីមុខងារនេះ។
មតិយោបល់។ ដូច្នេះ ភាពខ្លាំងអាចទៅដល់បានតែនៅចំណុចស្ថានីប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់សង្កេតឃើញនៅត្រង់ចំណុចនីមួយៗនោះទេ។
ទ្រឹស្តីបទ ២(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម)។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច M 0 (x 0, y 0)ដែលជាចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ z = f(x, y),មុខងារនេះមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តរហូតដល់លំដាប់ទី 3 រួមបញ្ចូល។ បញ្ជាក់បន្ទាប់មក៖
1) f(x, y)មាននៅចំណុច ម ០អតិបរមាប្រសិនបើ AC-B² > 0, ក < 0;
2) f(x, y)មាននៅចំណុច ម ០អប្បបរមាប្រសិនបើ AC-B² > 0, ក > 0;
3) មិនមានជ្រុលនៅចំណុចសំខាន់ប្រសិនបើ AC-B² < 0;
4) ប្រសិនបើ AC-B² = 0 ត្រូវការការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។
ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ z=x² - ២ xy + 2y² + 2 x.ដើម្បីស្វែងរកចំណុចស្ថានី យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 
. ដូច្នេះចំនុចស្ថានីគឺ (-2,-1) ។ ត្រង់ណា ក = 2, អេ = -2, ពី= 4. បន្ទាប់មក AC-B² = 4 > 0 ដូច្នេះ ភាពខ្លាំងមួយត្រូវបានទៅដល់ចំណុចស្ថានី ពោលគឺអប្បបរមា (ចាប់តាំងពី ក > 0).
ហួសហេតុតាមលក្ខខណ្ឌ។
និយមន័យ ៤.ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មុខងារ f (x 1, x 2,…, x n)ចងដោយលក្ខខណ្ឌបន្ថែមក្នុងទម្រង់ មសមីការ ( ម< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)
ដែលអនុគមន៍ φ i មាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្ត បន្ទាប់មកសមីការ (1) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃការតភ្ជាប់.
និយមន័យ ៥.មុខងារខ្លាំង f (x 1, x 2,…, x n)នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ (1) ត្រូវបានគេហៅថា ជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ.
មតិយោបល់។ យើងអាចស្នើការបកស្រាយធរណីមាត្រខាងក្រោមនៃលក្ខខណ្ឌលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរពីរ៖ អនុញ្ញាតឱ្យអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍ f(x,y)ត្រូវបានទាក់ទងដោយសមីការ φ (x, y)= 0 កំណត់ខ្សែកោងខ្លះក្នុងយន្តហោះ O ហ៊. ដោយបានស្ដារឡើងវិញពីចំណុចនីមួយៗនៃខ្សែកោងនេះកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ O ហ៊មុនពេលឆ្លងកាត់ផ្ទៃ z = f (x, y),យើងទទួលបានខ្សែកោងលំហដែលស្ថិតនៅលើផ្ទៃខាងលើខ្សែកោងφ (x, y)= 0. បញ្ហាគឺត្រូវស្វែងរកចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃខ្សែកោងលទ្ធផល ដែលជាការពិតណាស់ ក្នុងករណីទូទៅមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំណុចខ្លាំងដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ f (x, y) ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរដោយណែនាំនិយមន័យខាងក្រោមជាមុន៖
និយមន័យ ៦.មុខងារ L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,… , x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)
កន្លែងណា λ ខ្ញុំ -ថេរខ្លះហៅថា មុខងារ Lagrangeនិងលេខ λ ខ្ញុំ– មេគុណ Lagrange មិនកំណត់.
ទ្រឹស្តីបទ(លក្ខខណ្ឌចាំបាច់បំផុតតាមលក្ខខណ្ឌ) ។ លក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃមុខងារ z = f(x, y)នៅក្នុងវត្តមាននៃសមីការកម្រិត φ ( x, y)= 0 អាចទៅដល់បានតែនៅចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange ប៉ុណ្ណោះ។ L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y) ។
ពិចារណាមុខងារ u(x, y, z) នៅចំណុច М(x, y, z) និងចំណុច М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz) ។
ចូរគូរវ៉ិចទ័រតាមចំនុច M និង M 1 ។ មុំទំនោរនៃវ៉ិចទ័រនេះទៅទិសដៅនៃអ័ក្សកូអរដោនេ x, y, z នឹងត្រូវបានតាងដោយ a, b, g រៀងគ្នា។ កូស៊ីនុសនៃមុំទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា កូស៊ីនុសទិសដៅវ៉ិចទ័រ។
ចម្ងាយរវាងចំណុច M និង M 1 នៅលើវ៉ិចទ័រនឹងត្រូវបានតាងដោយ DS ។
ដែលបរិមាណ e 1 , e 2 , e 3 មានចំនួនតិចបំផុតនៅ .
ពីការពិចារណាធរណីមាត្រវាច្បាស់ណាស់:
ដូច្នេះសមភាពខាងលើអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ
ចំណាំថា s គឺជាតម្លៃមាត្រដ្ឋាន។ វាគ្រាន់តែកំណត់ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រប៉ុណ្ណោះ។
ពីសមីការនេះមាននិយមន័យដូចខាងក្រោមៈ
ដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ u(x,y,z) ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (x, y, z) ។
ចូរយើងពន្យល់ពីអត្ថន័យនៃសមភាពខាងលើជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ 9.1 ។ គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ z \u003d x 2 + y 2 x នៅចំណុច A (1, 2) ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុង (3, 0) ។
ដំណោះស្រាយ។ជាដំបូងវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ។
យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ z ក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖
តម្លៃនៃបរិមាណទាំងនេះនៅចំណុច A: 
ដើម្បីស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ យើងធ្វើការបំប្លែងដូចខាងក្រោម៖
=
វ៉ិចទ័របំពានដែលដឹកនាំតាមវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានយកជាតម្លៃមួយ ឧ. កំណត់ទិសដៅនៃភាពខុសគ្នា។
ពីទីនេះយើងទទួលបានតម្លៃនៃកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ៖
កូសា = ; cosb=-
ទីបំផុតយើងទទួលបាន៖ 
- តម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ u = u(x, y, z) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងដែន D និងវ៉ិចទ័រមួយចំនួនដែលការព្យាករលើអ័ក្សកូអរដោនេគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ u នៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។
,
បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាលមុខងារ u.
ក្នុងករណីនេះ យើងនិយាយថា វាលនៃជម្រាលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងតំបន់ D ។
ទ្រឹស្តីបទ៖ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ u = u(x, y, z) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងវាលជម្រាល
.
បន្ទាប់មក ដេរីវេដោយគោរពតាមទិសនៃវ៉ិចទ័រមួយចំនួនគឺស្មើនឹងការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ gradu ទៅលើវ៉ិចទ័រ។
ភស្តុតាង៖ ពិចារណាវ៉ិចទ័រឯកតា និងអនុគមន៍មួយចំនួន u = u(x, y, z) ហើយស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និង ដឺក្រេ.
កន្សោមនៅខាងស្តាំនៃសមភាពនេះគឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ u ក្នុងទិសដៅ s ។
ទាំងនោះ។ 
. ប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ដឺក្រេហើយត្រូវបានតាងដោយ j បន្ទាប់មកផលិតផលមាត្រដ្ឋានអាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។ យកទៅក្នុងគណនីការពិតដែលថាវ៉ិចទ័រគឺជាឯកតា, i.e. ម៉ូឌុលរបស់វាស្មើនឹងមួយ យើងអាចសរសេរបាន៖
កន្សោមនៅខាងស្តាំនៃសមភាពនេះគឺជាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ ថ្នាក់ទីទៅវ៉ិចទ័រ។
ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។
ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបវន្តនៃជម្រាល សូមនិយាយថាជម្រាលគឺជាវ៉ិចទ័រដែលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការផ្លាស់ប្តូរលឿនបំផុតនៃវាលមាត្រដ្ឋាន u នៅចំណុចមួយចំនួន។ នៅក្នុងរូបវិទ្យា មានគោលគំនិតដូចជា ជម្រាលសីតុណ្ហភាព ជម្រាលសម្ពាធ។ល។ ទាំងនោះ។ ទិសដៅនៃជម្រាលគឺជាទិសដៅនៃការលូតលាស់លឿនបំផុតនៃមុខងារ។
នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតំណាងធរណីមាត្រ ជម្រាលគឺកាត់កែងទៅនឹងផ្ទៃកម្រិតនៃមុខងារ។
1) ករណីនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។ ទិសដៅត្រូវបានផ្តល់ដោយវ៉ិចទ័រ។ យើងជ្រើសរើសវ៉ិចទ័រឯកតាដែលបញ្ជាក់ទិសដៅនៅលើយន្តហោះ៖ 
. វ៉ិចទ័រនេះបង្កើតជាមុំមួយដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស OX ។ ដេរីវេទិសដៅនៃមុខងារនៃអថេរពីរត្រូវបានគេហៅថាកន្សោម 
.
2) ករណីនៃមុខងារនៃអថេរបី។ សូមឱ្យវ៉ិចទ័រឯកតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលបង្កើតមុំជាមួយអ័ក្ស OX, OY និង OZ រៀងគ្នា។ ប្រសិនបើយើងកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រជា នោះតាមរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រពីរ ហើយយើងទទួលបាន . ដូចគ្នានេះដែរ។ Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ ជាវ៉ិចទ័រឯកតាបង្កើតមុំជាមួយអ័ក្ស OX, OY និង OZ មានកូអរដោនេ។ ដេរីវេទិសដៅនៃអនុគមន៍នៃអថេរបីត្រូវបានគេហៅថាកន្សោម
.
និយមន័យ។ជម្រាលមុខងារជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ 
. សម្រាប់ហេតុផលនេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយក្នុងទិសដៅដែលផ្តល់ដោយវ៉ិចទ័រឯកតាអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត 
ដែលនៅខាងស្តាំក្នុងរូបមន្តគឺជាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃជម្រាលនៃអនុគមន៍ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅឯកតា។
ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃជម្រាល៖ ក្នុងចំណោមទិសដៅដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ដេរីវេក្នុងទិសត្រូវចំណាយច្រើនបំផុត និងជាតម្លៃវិជ្ជមានក្នុងទិសដៅនៃជម្រាល។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។ ដោយសារភាពវិជ្ជមាននៃនិស្សន្ទវត្ថុមានន័យថា ការលូតលាស់នៃមុខងារ។ ទិសដៅនៃជម្រាលនៅចំណុចគឺ ϶ᴛᴏ ទិសដៅនៃការលូតលាស់ដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃមុខងារ.
ដេរីវេនៃផ្នែកនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង.
ដេរីវេផ្នែកណាមួយនៃមុខងារនៃអថេរ 
ខ្លួនវាក៏ជាមុខងារនៃអថេរផងដែរ។ ដេរីវេដោយផ្នែកនៃដេរីវេភាគនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើនត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេដោយផ្នែកលំដាប់ទីពីរមុខងារ។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើអថេរដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានយកជាមុនពីអនុគមន៍ ហើយបន្ទាប់មកពីអនុគមន៍មិនស្របគ្នានោះ ដេរីវេភាគបែបនេះជាធម្មតាត្រូវបានហៅថាលាយ។ សញ្ញាណពីភាគនៃលំដាប់ទីពីរ៖ 
. ក្នុងករណីនៅពេលដែល និងជាមុខងារបន្តនៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចមួយចំនួន នៅចំណុចនេះ។
ដូចគ្នានេះដែរ ដេរីវេនៃផ្នែកនៃការបញ្ជាទិញណាមួយត្រូវបានណែនាំ។
ឧទាហរណ៍
ធ្វើជាម្ចាស់ផ្ទះនៅលើ ref.rf
ស្វែងរកពីមុខងារ។ យើងមាន 
.
ដើម្បីគណនាដេរីវេដូចគ្នាដោយប្រើ MAXIMs យើងប្រើពាក្យបញ្ជា diff(log(x+3*y),x,2,y,1).
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់។.
ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ខ្ពស់ត្រូវបានណែនាំ នោះគឺឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ពិចារណាមុខងារនៃអថេរបី។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនេះគឺជាកន្សោម។ ចំណាំថាដេរីវេដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយគឺជាមុខងាររបស់ ហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរមិនអាស្រ័យលើ . សម្រាប់ហេតុផលនេះ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការបន្តនៃនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមានទម្រង់
នៅក្នុងរូបមន្តចុងក្រោយ យើងបានប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមភាពនៃនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះ។ វាងាយស្រួលមើលថារូបមន្តសម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរគឺស្រដៀងនឹងរូបមន្តសម្រាប់ដឺក្រេទីពីរនៃផលបូកនៃពាក្យបី។ វាមិនមែនជាការលំបាកក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទីពីរនិងទីបីនៃមុខងារនៃអថេរពីរ: ,
លំហាត់មួយ។ស្វែងរក សម្រាប់មុខងារនៅចំណុច (1,1) ។
រូបមន្ត Taylor សម្រាប់មុខងារនៃអថេរជាច្រើន។.
ដូចនៅក្នុងករណីនៃមុខងារនៃអថេរមួយ សម្រាប់មុខងារនៃអថេរជាច្រើន រូបមន្តរបស់ Taylor ផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងការបង្កើនអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វានៅចំណុចដូចគ្នា៖
កន្លែងណា 
.
ជាពិសេស សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ យើងមាន៖
នៅទីនេះ 
.
ដេរីវេតាមទិស។ - គំនិតនិងប្រភេទ។ ចំណាត់ថ្នាក់ និងលក្ខណៈនៃប្រភេទ "ដេរីវេតាមទិស"។ ឆ្នាំ 2017, 2018 ។
ពិចារណាមុខងារ u(x, y, z) នៅចំណុច М(x, y, z) និងចំណុច М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz) ។ ចូរគូរវ៉ិចទ័រតាមចំនុច M និង M1 ។ មុំទំនោរនៃវ៉ិចទ័រនេះទៅទិសដៅនៃអ័ក្សកូអរដោនេ x, y, z នឹងត្រូវបានតាងដោយ a, b, g រៀងគ្នា។ កូស៊ីនុសនៃមុំទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ។ ….
ពិចារណាមុខងារ u(x, y, z) នៅចំណុច М(x, y, z) និងចំណុច М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz) ។ ចូរគូរវ៉ិចទ័រតាមចំនុច M និង M1 ។ មុំទំនោរនៃវ៉ិចទ័រនេះទៅទិសដៅនៃអ័ក្សកូអរដោនេ x, y, z នឹងត្រូវបានតាងដោយ a, b, g រៀងគ្នា។ កូស៊ីនុសនៃមុំទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ។ ….
លក្ខណៈសំខាន់នៃវាលមាត្រដ្ឋាន U(M) គឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារវាលក្នុងទិសដៅដែលបានបញ្ជាក់។ ប្រសិនបើទិសដៅនេះស្របគ្នានឹងទិសដៅមួយនៃអ័ក្សកូអរដោនេ នោះយើងនឹងទទួលបានតម្លៃនៃដេរីវេភាគដែលត្រូវគ្នា។ ពីពិជគណិតវ៉ិចទ័រ....
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ U = F (X, Y, Z) បន្តនៅក្នុងដែន D មួយចំនួន ហើយមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តនៅក្នុងដែននេះ។ យើងជ្រើសរើសចំណុច M (X, Y, Z) នៅក្នុងតំបន់ដែលកំពុងពិចារណា ហើយគូរវ៉ិចទ័រ S ពីវា កូស៊ីនុសទិសដៅដែលមាន cosA, cosB, cosG ។ នៅលើវ៉ិចទ័រ S នៅចម្ងាយ DS ពីប្រភពដើមរបស់វា ... ។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយនៅតាមបណ្តោយទិសដៅត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ដែលប្រសិនបើដែនកំណត់មាន។ ប្រសិនបើអនុគមន៍មានភាពខុសប្លែកគ្នានោះ ដេរីវេនៃទិសដៅត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត (1) ដែលកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ ជាពិសេសប្រសិនបើជាអនុគមន៍នៃអថេរពីរគឺ...។
វាលមាត្រដ្ឋាន។ ផ្ទៃកម្រិត។ ធាតុផ្សំនៃទ្រឹស្ដីទីលានគណិតវិទ្យា ដំណាក់កាលសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យាគណិតវិទ្យាបានលេចចេញជាវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យមួយនៅចុងសតវត្សទី 18 និងដើមសតវត្សទី 19 ។ វាគឺនៅក្នុងនេះ ...
ដោយការណែនាំអំពីគំនិតនៃដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន យើងបានបង្កើនអថេរនីមួយៗ ដោយបន្សល់ទុកនូវអាគុយម៉ង់ផ្សេងទៀតទាំងអស់មិនផ្លាស់ប្តូរ។ ជាពិសេសប្រសិនបើយើងពិចារណាមុខងារនៃអថេរពីរ z = f(x, y) នោះអថេរ x ត្រូវបានផ្តល់ការបន្ថែម Δx ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងដែននៃអនុគមន៍មានការផ្លាស់ប្តូរពីចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (x , y) ដល់ចំនុចមួយដែលមានកូអរដោណេ (x + Δx ;y); ឬអថេរ y ត្រូវបានផ្តល់ការបង្កើន Δy ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងដែននៃអនុគមន៍មានការផ្លាស់ប្តូរពីចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (x, y) ទៅចំណុចមួយដែលមានកូអរដោនេ (x; y + Δy) (សូមមើលរូបភាព 5.6) ។ ដូច្នេះចំនុចដែលយើងយកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍បានផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេនៅលើយន្តហោះ (ទាំងស្របទៅនឹងអ័ក្ស abscissa ឬស្របទៅនឹងអ័ក្ស ordinate)។ ឥឡូវនេះសូមឱ្យយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលទិសដៅអាចត្រូវបានយកតាមអំពើចិត្ត i.e. ការបង្កើនត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យអថេរជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។ ចំពោះករណីនៃមុខងារនៃអថេរពីរ យើងនឹងផ្លាស់ទីទៅចំណុច (x + Δx; y + Δy) ខណៈពេលដែលការផ្លាស់ទីលំនៅនឹងមាន Δ លីត្រ(សូមមើលរូបភាព ៥.៦)។
នៅពេលផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅនេះ អនុគមន៍ z នឹងទទួលបានការកើនឡើង Δ លីត្រ z = f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y) ដែលហៅថាការបង្កើនអនុគមន៍ z ក្នុងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ លីត្រ.
ដេរីវេ z លីត្រ` ក្នុងទិសដៅ លីត្រ
មុខងារនៃអថេរពីរ
z = f(x,y) គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ក្នុងទិសដៅនេះទៅនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ទីលំនៅΔ លីត្រនៅពេលដែលចុងក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ, i.e. .
ដេរីវេ z លីត្រ` កំណត់លក្ខណៈអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារក្នុងទិសដៅ លីត្រ.
គោលគំនិតនៃដេរីវេនៃទិសដៅអាចត្រូវបានធ្វើជាទូទៅចំពោះមុខងារជាមួយនឹងចំនួនអថេរណាមួយ។
រូបភាព 5.6 - ផ្លាស់ទីចំណុចមួយក្នុងទិសដៅ លីត្រ
វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ថា z លីត្រ` = z x `cos α + z y `cos β ដែល α និង β គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយទិសដៅនៃចលនានៃចំណុចជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ (សូមមើលរូបភាព 5.6) ។
ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ z = ln (x 2 + xy) ត្រង់ចំនុច
(3; 1) ក្នុងទិសដៅពីចំណុចនេះទៅចំណុច (6; -3) (មើលរូបភាព 5.7) ។
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះដំបូងត្រូវរកភាគនៃអនុគមន៍នេះនៅចំណុច (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3) *1) = 7/12;
z y ` \u003d x / (x 2 + xy) \u003d 3 / (3 2 + 3 * 1) \u003d 3/12 \u003d 1/4 ។
ចំណាំថា Δx = 6 – 3 = 3; Δy \u003d -3 - 1 \u003d -4; (Δ លីត្រ) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ លីត្រ| = 5. បន្ទាប់មក cos α = 3/5; cos β = -4/5; z លីត្រ` =
z x `cos α +
z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 - 1*4)/(4*5) = 3/20 ។
ជម្រាលមុខងារ
វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាថាវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះគឺជាផ្នែកដឹកនាំ។ ការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វាមានកូអរដោនេពីរ។ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនាដោយដកកូអរដោណេចាប់ផ្តើមពីកូអរដោនេចុង។
គោលគំនិតនៃវ៉ិចទ័រក៏អាចត្រូវបានពង្រីកទៅលំហ n-dimensional (ជំនួសឱ្យកូអរដោនេពីរវានឹងមាន n កូអរដោណេ)។
ជម្រាល grad z នៃអនុគមន៍ z = f(х 1 , х 2 , …х n) គឺជាវ៉ិចទ័រនៃដេរីវេមួយផ្នែកនៃអនុគមន៍នៅចំណុច ឧ។ វ៉ិចទ័រជាមួយកូអរដោនេ 
.
វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាជម្រាលនៃមុខងារកំណត់ទិសដៅនៃការលូតលាស់លឿនបំផុតនៃកម្រិតនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ z \u003d 2x 1 + x 2 (សូមមើលរូបភាព 5.8) ជម្រាលនៅចំណុចណាមួយនឹងមានកូអរដោនេ (2; 1) ។ វាអាចត្រូវបានសាងសង់នៅលើយន្តហោះតាមវិធីផ្សេងៗ ដោយយកចំណុចណាមួយជាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចភ្ជាប់ចំណុច (0; 0) ទៅចំណុច (2; 1) ឬចំណុច (1; 0) ទៅចំណុច (3; 1) ឬចំណុច (0; 3) ទៅចំណុច (2; 4)។ ឬ t.P. (សូមមើលរូបភាព 5.8) ។ វ៉ិចទ័រទាំងអស់ដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបនេះនឹងមានកូអរដោនេ (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
រូបភាព 5.8 បង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាកម្រិតនៃអនុគមន៍កើនឡើងក្នុងទិសដៅនៃជម្រាល ចាប់តាំងពីបន្ទាត់កម្រិតដែលបានសាងសង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃកម្រិត 4 > 3 > 2 ។
រូបភាព 5.8 - អនុគមន៍ជម្រាល z \u003d 2x 1 + x 2
ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀត - អនុគមន៍ z = 1/(x 1 x 2) ។ ជម្រាលនៃអនុគមន៍នេះនឹងលែងដូចគ្នានៅចំណុចផ្សេងៗទៀតហើយ ព្រោះកូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) ។
រូបភាព 5.9 បង្ហាញបន្ទាត់កម្រិតនៃអនុគមន៍ z = 1 / (x 1 x 2) សម្រាប់កម្រិត 2 និង 10 (បន្ទាត់ត្រង់ 1 / (x 1 x 2) = 2 ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុច ហើយបន្ទាត់ត្រង់
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - បន្ទាត់រឹង) ។
រូបភាព 5.9 - ជម្រាលនៃអនុគមន៍ z \u003d 1 / (x 1 x 2) នៅចំណុចផ្សេងៗ
ឧទាហរណ៍យកចំណុច (0.5; 1) ហើយគណនាជម្រាលនៅចំណុចនេះ: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . ចំណាំថាចំណុច (0.5; 1) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់កម្រិត 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 ព្រោះ z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. ទៅ បង្ហាញវ៉ិចទ័រ (-4; -2) ក្នុងរូបភាព 5.9 យើងភ្ជាប់ចំណុច (0.5; 1) ជាមួយចំណុច (-3.5; -1) ដោយសារតែ
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
ចូរយកចំណុចមួយទៀតនៅលើបន្ទាត់កម្រិតដូចគ្នា ឧទាហរណ៍ ចំណុច (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2)។ គណនាជម្រាលនៅចំណុចនេះ។
(-1/(1 2*0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4) ។ ដើម្បីពណ៌នាក្នុងរូបភាព 5.9 យើងភ្ជាប់ចំណុច (1; 0.5) ជាមួយចំណុច (-1; -3.5) ព្រោះ (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - បួន) ។
ចូរយើងយកចំណុចមួយបន្ថែមទៀតនៅលើបន្ទាត់កម្រិតដូចគ្នា ប៉ុន្តែឥឡូវនេះមានតែនៅក្នុងត្រីមាសកូអរដោនេដែលមិនវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ឧទាហរណ៍ ចំណុច (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2) ។ ជម្រាលនៅចំណុចនេះនឹងត្រូវបាន
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2) ។ ចូរយើងពណ៌នាក្នុងរូបទី 5.9 ដោយភ្ជាប់ចំនុច (-0.5; -1) ជាមួយចំនុច (3.5; 1) ព្រោះ (3.5 - (-0.5); 1 - (−1)) = (4; 2) ។
គួរកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងករណីទាំងបីដែលបានពិចារណា ជម្រាលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការលូតលាស់នៃកម្រិតមុខងារ (ឆ្ពោះទៅរកបន្ទាត់កម្រិត 1/(x 1 x 2) = 10 > 2)។
វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាជម្រាលគឺតែងតែកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់កម្រិត (ផ្ទៃកម្រិត) ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
វាលមាត្រដ្ឋានផ្នែកមួយនៃលំហ (ឬលំហទាំងមូល) ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចនីមួយៗ ដែលត្រូវនឹងតម្លៃលេខនៃបរិមាណមាត្រដ្ឋានមួយចំនួន។
ឧទាហរណ៍
តួដែលមានតម្លៃសីតុណ្ហភាពជាក់លាក់នៅចំណុចនីមួយៗគឺជាវាលមាត្រដ្ឋាន។
រាងកាយមិនដូចគ្នា ដែលចំណុចនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងដង់ស៊ីតេជាក់លាក់មួយ - វាលដង់ស៊ីតេមាត្រដ្ឋាន។
ក្នុងករណីទាំងអស់នេះ តម្លៃមាត្រដ្ឋាន U មិនអាស្រ័យលើពេលវេលាទេ ប៉ុន្តែអាស្រ័យលើទីតាំង (កូអរដោនេ) នៃចំណុច M ក្នុងលំហ ពោលគឺវាជាមុខងារនៃអថេរបី ដែលវាត្រូវបានគេហៅថា មុខងារវាល. ហើយផ្ទុយមកវិញ មុខងារណាមួយនៃអថេរបី u=f(x,y,z)កំណត់វាលមាត្រដ្ឋានមួយចំនួន។
មុខងារវាលមាត្រដ្ឋាន Planar អាស្រ័យលើអថេរពីរ z=f(x,y).
ពិចារណាលើវាលមាត្រដ្ឋាន u=f(x,y,z)។
វ៉ិចទ័រដែលកូអរដោណេជាដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍ដែលគណនានៅចំណុចមួយត្រូវបានហៅ ជម្រាលមុខងារនៅចំណុចនេះ ឬជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាន។
ពិចារណាវ៉ិចទ័រដែលមានពីរចំណុចនៅលើវា។ M 0 (x 0 , y 0 , z 0)និង . ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនមុខងារក្នុងទិសដៅ៖
ដេរីវេតាមទិសដែនកំណត់បន្ទាប់ត្រូវបានហៅប្រសិនបើវាមាន៖
តើកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រនៅឯណា? α, β, γ គឺជាមុំដែលវ៉ិចទ័របង្កើតជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រសិនបើ .
សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ រូបមន្តទាំងនេះយកទម្រង់៖
ឬ 
,
ដោយសារតែ .
មានទំនាក់ទំនងរវាងជម្រាល និងដេរីវេនៃទិសដៅនៅចំណុចដូចគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទ។ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃជម្រាលនៃអនុគមន៍ និងវ៉ិចទ័រនៃទិសដៅមួយចំនួនគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនេះ៖
.
ផលវិបាក។ដេរីវេដោយគោរពតាមទិសមានតម្លៃខ្លាំងបំផុតប្រសិនបើទិសនេះស្របនឹងទិសនៃជម្រាល (កំណត់ខ្លួនអ្នកដោយត្រឹមត្រូវដោយប្រើនិយមន័យនៃផលិតផលចំនុចហើយសន្មត់ថា)។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
1. ជម្រាលគឺជាវ៉ិចទ័រដែលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការកើនឡើងដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមានម៉ូឌុលជាលេខស្មើនឹងអត្រានៃការកើនឡើងនេះ៖
.
2. ដេរីវេក្នុងទិសដៅគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារក្នុងទិសដៅ: ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកមុខងារក្នុងទិសដៅនេះកើនឡើង ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកមុខងារថយចុះ។
3. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រស្របគ្នាជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រមួយ នោះដេរីវេក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រនេះស្របគ្នាជាមួយនឹងដេរីវេផ្នែកដែលត្រូវគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ .
ឧទាហរណ៍
បានផ្តល់មុខងារមួយ។ 
, ចំណុច A(1, 2)និងវ៉ិចទ័រ។
ស្វែងរក៖ ១);
ដំណោះស្រាយ
1) ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ ហើយគណនាវានៅចំណុច A ។
, .
បន្ទាប់មក 
.
២) ស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ៖
ចម្លើយ៖ ; .
អក្សរសាស្ត្រ [ 1,2]
សំណួរសម្រាប់ការពិនិត្យខ្លួនឯង៖
1. អ្វីទៅដែលហៅថាមុខងារនៃអថេរពីរ ដែលជាដែននិយមន័យរបស់វា?
2. តើនិស្សន្ទវត្ថុភាគត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?
3. តើអ្វីជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេដោយផ្នែក?
4. ដូចម្តេចដែលហៅថាជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាននៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ?
5. ដូចម្តេចដែលហៅថា ដេរីវេតាមទិស?
6. បង្កើតច្បាប់សម្រាប់ស្វែងរក extrema នៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ។
ជម្រើសទី 1
លេខកិច្ចការ 1
ក) 
; ខ) 
;
នៅក្នុង); ឆ) 
.
លេខកិច្ចការ 2ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ការបន្ត៖ ស្វែងរកចំណុចបំបែកនៃមុខងារ និងកំណត់ប្រភេទរបស់វា។ បង្កើតក្រាហ្វគ្រោងការណ៍នៃអនុគមន៍។
លេខកិច្ចការផ្តល់ចំនួនកុំផ្លិច Z. ទាមទារ៖ សរសេរលេខ Z ជាទម្រង់ពិជគណិត និងត្រីកោណមាត្រ។ .
លេខកិច្ចការ 4 ។
1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) ។
កិច្ចការទី 5 ។ស៊ើបអង្កេតមុខងារដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយដោយប្រើលទ្ធផលនៃការសិក្សា បង្កើតក្រាហ្វ។ .
លេខកិច្ចការ 6 ។អនុគមន៍ z=f(x,y) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិនិត្យមើលថាតើអត្តសញ្ញាណ F≡0 ត្រូវបានបំពេញហើយឬនៅ? 
លេខកិច្ចការ 7បានផ្តល់មុខងារមួយ។ Z=x2+xy+y2ចំណុច និងវ៉ិចទ័រ។ ស្វែងរក៖
1) gradzនៅចំណុច ប៉ុន្តែ;
2) ដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ ប៉ុន្តែក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ .
ជម្រើសទី 2
លេខកិច្ចការ 1គណនាដែនកំណត់នៃមុខងារដោយមិនប្រើច្បាប់របស់ L'Hopital ។
ក) 
; ខ) 
;
ក្នុង) 
; ឆ) 
.
លេខកិច្ចការ 2ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ការបន្ត៖ ស្វែងរកចំណុចបំបែកនៃមុខងារ និងកំណត់ប្រភេទរបស់វា។ បង្កើតក្រាហ្វគ្រោងការណ៍នៃមុខងារ។
លេខកិច្ចការ 3ផ្តល់ចំនួនកុំផ្លិច Z. ទាមទារ៖ សរសេរលេខ Z ជាទម្រង់ពិជគណិត និងត្រីកោណមាត្រ។
លេខកិច្ចការ 4 ។ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយនៃមុខងារទាំងនេះ។
