ពិចារណាសមីការការ៉េ។

ចូរកំណត់ឫសរបស់វា។

មិនមានចំនួនពិតដែលការ៉េគឺ -1 ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើរូបមន្តកំណត់ប្រតិបត្តិករ ខ្ញុំជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ នោះដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ . ឯណា និង - ចំនួនកុំផ្លិចដែលក្នុងនោះ -1 គឺជាផ្នែកពិត 2 ឬក្នុងករណីទីពីរ -2 គឺជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។ ផ្នែកស្រមើលស្រមៃក៏ជាចំនួនពិត (ពិត) ផងដែរ។ ផ្នែកស្រមើលស្រមៃគុណនឹងឯកតាស្រមើលស្រមៃមានន័យថារួចហើយ លេខស្រមើលស្រមៃ.

ជាទូទៅ ចំនួនកុំផ្លិចមានទម្រង់

z = x + អាយ ,

កន្លែងណា x, yគឺជាចំនួនពិត គឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអនុវត្តមួយចំនួន ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី អេឡិចត្រូនិក ទ្រឹស្ដីសញ្ញា ឯកតាស្រមើលស្រមៃត្រូវបានតំណាងដោយ j. លេខពិត x = Re(z)និង y=អ៊ឹម(z)បានហៅ ផ្នែកពិតនិងស្រមើលស្រមៃលេខ z.កន្សោមត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ពិជគណិតសញ្ញាណនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ចំនួនពិតណាមួយគឺជាករណីពិសេសនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ . លេខស្រមើស្រមៃក៏ជាករណីពិសេសនៃចំនួនកុំផ្លិចដែរ។ .

និយមន័យនៃសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច C

កន្សោមនេះអានដូចខាងក្រោមៈ set ជាមួយដែល​មាន​ធាតុ​ដូច​នោះ។ xនិង yជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនៃចំនួនពិត រនិងជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ចំណាំថាជាដើម។

លេខស្មុគស្មាញពីរ និង គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ និង .

លេខ និងមុខងារស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា ជាពិសេសនៅក្នុងមេកានិច ការវិភាគ និងការគណនាសៀគ្វី AC អាណាឡូកអេឡិចត្រូនិច ទ្រឹស្ដីសញ្ញា និងដំណើរការ ទ្រឹស្ដីគ្រប់គ្រងដោយស្វ័យប្រវត្តិ និងវិទ្យាសាស្ត្រអនុវត្តផ្សេងៗទៀត។

1. នព្វន្ធនៃចំនួនកុំផ្លិច

ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចពីរមាននៅក្នុងការបន្ថែមផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេ ពោលគឺឧ។

ដូច្នោះហើយភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិច

លេខស្មុគស្មាញ បានហៅ ស្មុគស្មាញ ផ្សំចំនួន z=x +i.y.

លេខផ្សំស្មុគ្រស្មាញ z និង z * ខុសគ្នានៅក្នុងសញ្ញានៃផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។ វាច្បាស់ណាស់។

.

សមភាពណាមួយរវាងកន្សោមស្មុគស្មាញនៅតែមានសុពលភាពប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាពនេះនៅគ្រប់ទីកន្លែង ខ្ញុំជំនួសដោយ - ខ្ញុំ, i.e. ទៅសមភាពនៃលេខរួម។ លេខ ខ្ញុំនិង – ខ្ញុំពិជគណិតមិនអាចបែងចែកបានដោយសារតែ .

ផលិតផល (គុណ) នៃចំនួនកុំផ្លិចពីរអាចត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោមៈ

ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចពីរ៖

ឧទាហរណ៍:

1. យន្តហោះស្មុគស្មាញ

ចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានតំណាងជាក្រាហ្វិកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ ចូរយើងកំណត់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណក្នុងយន្តហោះ (x, y) ។

នៅលើអ័ក្ស គោយើងនឹងរៀបចំផ្នែកពិត x, វា​ហៅថា អ័ក្សពិត (ពិត), នៅលើអ័ក្ស អូ- ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ yលេខស្មុគស្មាញ។ នាងមានឈ្មោះ អ័ក្សស្រមៃ. លើសពីនេះទៅទៀត ចំនួនកុំផ្លិចនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចជាក់លាក់នៃយន្តហោះ ហើយយន្តហោះបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ. ចំណុច ប៉ុន្តែប្លង់ស្មុគស្មាញនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងវ៉ិចទ័រ អូអេ.

ចំនួន xបានហៅ abscissaចំនួនកុំផ្លិច, លេខ y – ចាត់តាំង.

គូនៃលេខរួមស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានបង្ហាញជាចំនុចដែលមានទីតាំងស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សពិត។

ប្រសិនបើនៅលើយន្តហោះបានកំណត់ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។បន្ទាប់មករាល់ចំនួនកុំផ្លិច zកំណត់ដោយកូអរដោណេប៉ូល។ ឯណា ម៉ូឌុលលេខ គឺជាកាំប៉ូលនៃចំនុច និងមុំ - មុំប៉ូលរបស់វា ឬអាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិច z.

ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច តែងតែមិនអវិជ្ជមាន។ អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមិនត្រូវបានកំណត់ជាក់លាក់ទេ។ តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ . ចំណុចនីមួយៗនៃប្លង់ស្មុគស្មាញក៏ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃសរុបនៃអាគុយម៉ង់។ អាគុយម៉ង់ដែលខុសគ្នាដោយពហុគុណនៃ 2π ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នា។ អាគុយម៉ង់លេខសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម៖

វាច្បាស់ណាស់។

ឯណា
, .

តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច zជា

បានហៅ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រចំនួនកុំផ្លិច។

ឧទាហរណ៍.

1. ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច

ការរលួយនៅក្នុង ស៊េរី Maclaurinសម្រាប់មុខងារអាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដ មើល​ទៅ​ដូច​ជា:

សម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ zការបំបែកគឺស្រដៀងគ្នា

.

ការពង្រីកស៊េរី Maclaurin សម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ស្រមើលស្រមៃអាចត្រូវបានតំណាងថាជា

អត្តសញ្ញាណលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តអយល័រ.

សម្រាប់អាគុយម៉ង់អវិជ្ជមានវាមើលទៅដូចជា

ដោយការរួមបញ្ចូលកន្សោមទាំងនេះ យើងអាចកំណត់កន្សោមខាងក្រោមសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

.

ដោយប្រើរូបមន្តអយល័រពីទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច

អ្នកអាចទទួលបានវា។ ការបង្ហាញ(អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ប៉ូល) ទម្រង់នៃចំនួនកុំផ្លិច i.e. តំណាងរបស់វានៅក្នុងទម្រង់

,

កន្លែងណា - កូអរដោណេរាងប៉ូលនៃចំនុចដែលមានកូអរដោណេចតុកោណ ( x,y).

បន្សំនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដូចខាងក្រោម។

សម្រាប់ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់រូបមន្តខាងក្រោមសម្រាប់គុណ និងចែកចំនួនកុំផ្លិច

នោះគឺក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ផលិតផល និងការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចគឺងាយស្រួលជាងក្នុងទម្រង់ពិជគណិត។ នៅពេលគុណ ម៉ូឌុលនៃកត្តាត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម។ ច្បាប់នេះអនុវត្តចំពោះកត្តាមួយចំនួន។ ជាពិសេសនៅពេលគុណចំនួនកុំផ្លិច zនៅ​លើ ខ្ញុំវ៉ិចទ័រ zបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកាដោយ 90

នៅក្នុងការបែងចែក ម៉ូឌុលភាគយកត្រូវបានបែងចែកដោយម៉ូឌុលភាគបែង ហើយអាគុយម៉ង់ភាគបែងត្រូវបានដកចេញពីអាគុយម៉ង់ភាគយក។

ដោយប្រើទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានកន្សោមសម្រាប់អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រល្បី។ ឧទាហរណ៍ពីអត្តសញ្ញាណ

ដោយប្រើរូបមន្តអយល័រយើងអាចសរសេរបាន។

ដោយស្មើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៅក្នុងកន្សោមនេះ យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់កូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃផលបូកនៃមុំ

1. អំណាច ឫស និងលោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិច

ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលធម្មជាតិ នផលិតតាមរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍. គណនា .

ស្រមៃមើលលេខមួយ។ ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

’

ការអនុវត្តរូបមន្តនិទស្សន្ត យើងទទួលបាន

ការដាក់តម្លៃនៅក្នុងកន្សោម r= 1, យើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា រូបមន្តរបស់ De Moivreដែលអ្នកអាចកំណត់កន្សោមសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំច្រើន។

ឫស នអំណាចទីនៃចំនួនកុំផ្លិច zវា​មាន នតម្លៃផ្សេងគ្នាកំណត់ដោយកន្សោម

ឧទាហរណ៍. ចូរយើងស្វែងរក។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបង្ហាញចំនួនកុំផ្លិច () ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

.

យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫសនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងទទួលបាន

លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិច zគឺជាលេខ វសម្រាប់ការដែល . លោការីត​ធម្មជាតិ​នៃ​ចំនួន​កុំផ្លិច​មាន​ចំនួន​គ្មាន​កំណត់​នៃ​តម្លៃ​និង​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​រូបមន្ត

មានផ្នែកពិត (កូស៊ីនុស) និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ (ស៊ីនុស) ។ ភាពតានតឹងបែបនេះអាចត្រូវបានតំណាងជាវ៉ិចទ័រនៃប្រវែង អ៊ុំ, ដំណាក់កាលដំបូង (មុំ), បង្វិលជាមួយល្បឿនមុំ ω .

លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើមុខងារស្មុគស្មាញត្រូវបានបន្ថែម នោះផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់វាត្រូវបានបន្ថែម។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានគុណដោយថេរ ឬអនុគមន៍ពិត នោះផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់វាត្រូវបានគុណដោយកត្តាដូចគ្នា។ ភាពខុសគ្នា/ការរួមបញ្ចូលនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាភាពខុសគ្នា/ការរួមបញ្ចូលនៃផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃ។

ឧទាហរណ៍ ភាពខុសគ្នានៃកន្សោមស្ត្រេសស្មុគ្រស្មាញ

គឺគុណវាដោយ iω គឺជាផ្នែកពិតនៃអនុគមន៍ f(z) និង គឺជាផ្នែកស្រមៃនៃមុខងារ។ ឧទាហរណ៍: .

អត្ថន័យ zត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចមួយនៅក្នុងប្លង់ z និងតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។ វ- ចំណុចមួយនៅក្នុងយន្តហោះស្មុគស្មាញ វ. នៅពេលបង្ហាញ w = f(z)បន្ទាត់យន្តហោះ zចូលទៅក្នុងបន្ទាត់នៃយន្តហោះ វ, តួរលេខនៃយន្តហោះមួយទៅជាតួរលេខមួយទៀត ប៉ុន្តែទម្រង់នៃបន្ទាត់ ឬតួរលេខអាចផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង។