នៅសាលារៀន មនុស្សជាច្រើនបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាល ឬមានការលំបាកណាមួយជាមួយពួកគេ។ អត្ថបទនេះនឹងជួយអ្នកស្វែងយល់ ព្រោះអ្នកនឹងរកឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងនោះ។ តារាងអាំងតេក្រាល។.
អាំងតេក្រាល។គឺជាការគណនា និងគោលគំនិតដ៏សំខាន់មួយក្នុងការគណនា។ រូបរាងរបស់គាត់កើតឡើងក្នុងគោលបំណងពីរ៖
គោលដៅទីមួយ- ស្តារមុខងារឡើងវិញដោយប្រើដេរីវេរបស់វា។
គោលដៅទីពីរ- ការគណនាផ្ទៃដែលស្ថិតនៅចម្ងាយពីក្រាហ្វទៅអនុគមន៍ f (x) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដែល a ធំជាង ឬស្មើ x ធំជាង ឬស្មើ b និងអ័ក្ស abscissa ។
គោលដៅទាំងនេះនាំយើងទៅរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់និងមិនកំណត់។ ការតភ្ជាប់រវាងអាំងតេក្រាលទាំងនេះស្ថិតនៅក្នុងការស្វែងរកលក្ខណៈសម្បត្តិ និងការគណនា។ ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងហូរចេញ ហើយអ្វីៗប្រែប្រួលទៅតាមពេលវេលា ដំណោះស្រាយថ្មីត្រូវបានរកឃើញ ការបន្ថែមត្រូវបានបង្ហាញ ដោយហេតុនេះនាំមកនូវអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងមិនកំណត់ចំពោះទម្រង់នៃការរួមបញ្ចូលផ្សេងទៀត។
អ្វី អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ អ្នកសួរ។ នេះគឺជាអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ F(x) នៃអថេរ x មួយក្នុងចន្លោះពេលធំជាង x ធំជាង b ។ ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារណាមួយ F(x) ក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់សញ្ញាណ x ដេរីវេគឺស្មើនឹង F(x) ។ វាច្បាស់ណាស់ថា F(x) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ f(x) ក្នុងចន្លោះពេលធំជាង x ធំជាង b ។ ដូច្នេះ F1(x) = F(x) + C. C - គឺថេរ និងប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់ f(x) ក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺអាចត្រឡប់វិញបាន សម្រាប់មុខងារ f(x) - 2 អង្គបដិប្រាណខុសគ្នាតែក្នុងថេរមួយ។ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទនៃការគណនាអាំងតេក្រាល វាប្រែថាការបន្តនីមួយៗក្នុងចន្លោះពេល a
អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ត្រូវបានយល់ថាជាដែនកំណត់ក្នុងផលបូកអាំងតេក្រាល ឬនៅក្នុងស្ថានភាពនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់មួយចំនួន (a, b) ដែលមាន antiderivative F ដែលមានន័យថាភាពខុសគ្នានៃកន្សោមរបស់វានៅចុងបន្ទាត់នេះ F(b) - F(a) ។
ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ ការសិក្សាអំពីប្រធានបទនេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យមើលវីដេអូ។ វាពន្យល់លម្អិត និងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
តារាងអាំងតេក្រាលនីមួយៗមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងខ្លួនវាព្រោះវាជួយក្នុងការដោះស្រាយប្រភេទជាក់លាក់នៃអាំងតេក្រាលមួយ។
គ្រប់ប្រភេទសម្ភារៈការិយាល័យ និងច្រើនទៀត។ អ្នកអាចទិញតាមរយៈហាងអនឡាញ v-kant.ru ។ ឬគ្រាន់តែធ្វើតាមតំណភ្ជាប់ស្ថានីសាម៉ារ៉ា (http://v-kant.ru) គុណភាពនិងតម្លៃនឹងធ្វើឱ្យអ្នកភ្ញាក់ផ្អើល។
មុខងារ Antiderivative និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់
ការពិត 1. ការរួមបញ្ចូលគឺជាសកម្មភាពផ្ទុយគ្នានៃភាពខុសគ្នា ពោលគឺការស្ដារឡើងវិញនូវមុខងារមួយពីដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ។ មុខងារត្រូវបានស្ដារឡើងវិញតាមរបៀបនេះ។ ច(x) ត្រូវបានគេហៅថា បុព្វកាលសម្រាប់មុខងារ f(x).
និយមន័យ 1. មុខងារ ច(x f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេលនេះសមភាព ច "(x)=f(x) នោះគឺមុខងារនេះ។ f(x) គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេ ច(x). .
ឧទាហរណ៍មុខងារ ច(x) = បាប x គឺជាសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x) = ខូស x នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូលចាប់តាំងពីតម្លៃណាមួយនៃ x (អំពើបាប x)" = (cos x) .
និយមន័យ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) គឺជាការប្រមូលផ្ដុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់របស់វា. នេះប្រើសញ្ញាណ
∫
f(x)dx
,តើសញ្ញានៅឯណា ∫ ត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាអាំងតេក្រាល មុខងារ f(x) គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាមួយនិង f(x)dx គឺជាសមាហរណកម្ម។
ដូច្នេះប្រសិនបើ ច(x) គឺជាសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្មមួយចំនួន f(x) បន្ទាប់មក
∫
f(x)dx = ច(x) +គ
កន្លែងណា គ - ថេរ (អថេរ) ។
ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃសំណុំនៃ antiderivatives នៃអនុគមន៍ជាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រោមគឺសមរម្យ។ សូមឱ្យមានទ្វារមួយ (ទ្វារឈើបុរាណ) ។ មុខងាររបស់វាគឺ "ធ្វើជាទ្វារ" ។ តើទ្វារធ្វើពីអ្វី? ពីដើមឈើមួយ។ នេះមានន័យថាសំណុំនៃ antiderivatives នៃ integrand "to be a door" នោះគឺ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វា គឺជាមុខងារ "to be a tree + C" ដែល C ជាថេរ ដែលនៅក្នុងបរិបទនេះអាចបញ្ជាក់បានថាសម្រាប់ ឧទាហរណ៍ប្រភេទដើមឈើ។ ដូចជាទ្វារមួយត្រូវបានធ្វើពីឈើជាមួយនឹងឧបករណ៍មួយចំនួន ដេរីវេនៃមុខងារគឺ "បង្កើតឡើង" នៃមុខងារប្រឆាំងដេរីវេជាមួយ រូបមន្តដែលយើងរៀនដោយសិក្សាពីដេរីវេ .
បន្ទាប់មកតារាងមុខងារនៃវត្ថុទូទៅ និងបុព្វកាលដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ ("ដើម្បីជាទ្វារ" - "ដើម្បីក្លាយជាដើមឈើ", "ដើម្បីជាស្លាបព្រា" - "ដើម្បីក្លាយជាលោហៈ" ល) គឺស្រដៀងទៅនឹងតារាងនៃ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ជាមូលដ្ឋាន ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។ តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់រាយនាមមុខងារទូទៅ ដែលបង្ហាញពីអង្គបដិប្រាណដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ ជាផ្នែកមួយនៃភារកិច្ចសម្រាប់ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ដោយគ្មានការខិតខំប្រឹងប្រែងពិសេស នោះគឺយោងទៅតាមតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ នៅក្នុងបញ្ហាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ អាំងតេក្រាលត្រូវតែត្រូវបានបំប្លែងជាមុនសិន ទើបអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងបាន។
ការពិត 2. ការស្ដារមុខងារជា antiderivative មួយ យើងត្រូវយកទៅក្នុងគណនី arbitrary constant (ថេរ) គហើយដើម្បីកុំឱ្យសរសេរបញ្ជីនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុដែលមានចំនួនថេរខុសៗគ្នាពីលេខ 1 ដល់ភាពគ្មានកំណត់ អ្នកត្រូវសរសេរសំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេទីវ័រដែលមានចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត។ គដូចនេះ៖ ៥ x³+C ដូច្នេះ ថេរដែលបំពាន (ថេរ) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមនៃ antiderivative ចាប់តាំងពី antiderivative អាចជាមុខងារមួយ ឧទាហរណ៍ 5 x³+4 ឬ 5 x³+3 ហើយនៅពេលបែងចែក 4 ឬ 3 ផ្សេងគ្នា ឬបាត់ថេរផ្សេងទៀត។
យើងកំណត់បញ្ហានៃការរួមបញ្ចូល: សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) ស្វែងរកមុខងារបែបនេះ ច(x), ដេរីវេគឺស្មើនឹង f(x).
ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារមួយ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ចំពោះមុខងារនេះ អង់ទីរីវេទីវ គឺជាមុខងារ
មុខងារ ច(x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative សម្រាប់មុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេ ច(x) គឺស្មើនឹង f(x) ឬដែលជារឿងដូចគ្នា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ច(x) គឺស្មើនឹង f(x) dx, i.e.
(2)
ដូច្នេះ អនុគមន៍គឺប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនមែនជាថ្នាំប្រឆាំងតែមួយគត់សម្រាប់ . ពួកគេក៏ជាមុខងារផងដែរ។
កន្លែងណា ជាមួយគឺជាថេរដែលបំពាន។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយភាពខុសគ្នា។
ដូច្នេះប្រសិនបើមាន antiderivatives មួយសម្រាប់អនុគមន៍ នោះសម្រាប់វាមានសំណុំនៃ antiderivatives ដែលគ្មានកំណត់ដែលខុសគ្នាដោយ summand ថេរ។ រាល់ antiderivatives សម្រាប់មុខងារមួយត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងលើ។ នេះធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្លូវការនៃការពិត 2) ។ប្រសិនបើ ក ច(x) គឺជាសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ f(x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ Xបន្ទាប់មក antiderivative ផ្សេងទៀតសម្រាប់ f(x) នៅលើចន្លោះពេលដូចគ្នាអាចត្រូវបានតំណាងជា ច(x) + គកន្លែងណា ជាមួយគឺជាថេរដែលបំពាន។
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងបង្វែរទៅតារាងនៃអាំងតេក្រាលរួចហើយ ដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទី 3 បន្ទាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ យើងធ្វើបែបនេះមុននឹងស្គាល់ខ្លួនយើងជាមួយនឹងតារាងទាំងមូល ដូច្នេះខ្លឹមសារនៃការខាងលើគឺច្បាស់លាស់។ ហើយបន្ទាប់ពីតារាង និងលក្ខណៈសម្បត្តិ យើងនឹងប្រើពួកវាទាំងស្រុងនៅពេលរួមបញ្ចូល។
ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកសំណុំនៃសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម៖
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញសំណុំនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេដែលមុខងារទាំងនេះត្រូវបាន "បង្កើតឡើង"។ នៅពេលនិយាយអំពីរូបមន្តពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ពេលនេះ គ្រាន់តែទទួលយកថាមានរូបមន្តបែបនេះ ហើយយើងនឹងសិក្សាតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ពេញលេញបន្ថែមទៀតបន្តិច។
1) ការអនុវត្តរូបមន្ត (7) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 3 យើងទទួលបាន
2) ការប្រើរូបមន្ត (10) ពីតារាងអាំងតេក្រាលសម្រាប់ ន= 1/3 យើងមាន
3) ចាប់តាំងពី
បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត (7) នៅ ន= -1/4 រក
នៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល ពួកគេមិនសរសេរមុខងារដោយខ្លួនឯងទេ។ fនិងផលិតផលរបស់វាដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx. នេះត្រូវបានធ្វើជាចម្បងដើម្បីបង្ហាញថាអថេរមួយណាដែល antiderivative កំពុងត្រូវបានស្វែងរក។ ឧទាហរណ៍,
,
;
នៅទីនេះក្នុងករណីទាំងពីរ អាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹង ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលមិនកំណត់របស់វានៅក្នុងករណីដែលបានពិចារណាប្រែទៅជាខុសគ្នា។ ក្នុងករណីដំបូង មុខងារនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ xហើយនៅក្នុងទីពីរ - ជាមុខងារនៃ z .
ដំណើរការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលមុខងារនោះ។
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់
អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកខ្សែកោង y=F(x)ហើយយើងដឹងរួចហើយថាតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចនីមួយៗរបស់វាគឺជាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) abscissa នៃចំណុចនេះ។
យោងតាមអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើខ្សែកោង y=F(x)ស្មើនឹងតម្លៃនៃដេរីវេ F"(x). ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកមុខងារបែបនេះ F(x)សម្រាប់ការដែល F"(x)=f(x). មុខងារចាំបាច់ក្នុងកិច្ចការ F(x)មានប្រភពមកពី f(x). លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺពេញចិត្តមិនមែនដោយខ្សែកោងមួយទេប៉ុន្តែដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោង។ y=F(x)- ខ្សែកោងមួយក្នុងចំណោមខ្សែកោងទាំងនេះ និងខ្សែកោងផ្សេងទៀតអាចទទួលបានពីវាដោយការបកប្រែស្របគ្នាតាមអ័ក្ស អូ.
ចូរហៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃ f(x)ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ ប្រសិនបើ ក F"(x)=f(x)បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃមុខងារ y=F(x)គឺជាខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។
ការពិត 3. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ត្រូវបានតំណាងតាមធរណីមាត្រដោយគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលទាំងអស់ ដូចក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។ ចម្ងាយនៃខ្សែកោងនីមួយៗពីប្រភពដើមត្រូវបានកំណត់ដោយថេរបំពាន (ថេរ) នៃការរួមបញ្ចូល គ.
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់
ការពិត 4. ទ្រឹស្តីបទ 1. ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល ហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វាស្មើនឹងអាំងតេក្រាល។
ការពិត 5. ទ្រឹស្តីបទ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយ។ f(x) ស្មើនឹងមុខងារ f(x) រហូតដល់រយៈពេលថេរ , i.e.
(3)
ទ្រឹស្តីបទ 1 និង 2 បង្ហាញថាភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។
ការពិត 6. ទ្រឹស្តីបទ 3. កត្តាថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ , i.e.
យើងរាយបញ្ជីអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បឋម ដែលជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាតារាង៖
រូបមន្តណាមួយខាងលើអាចបញ្ជាក់បានដោយយកដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំ (ជាលទ្ធផល អាំងតេក្រាលនឹងត្រូវបានទទួល)។
វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នា
ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃការរួមបញ្ចូល។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលទាំង:
1. វិធីសាស្រ្តបំបែក(ការរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់).
វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើការអនុវត្តផ្ទាល់នៃអាំងតេក្រាលតារាង ក៏ដូចជាលើការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិ 4 និង 5 នៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (ឧទាហរណ៍ យកកត្តាថេរចេញពីតង្កៀប និង/ឬតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលជាផលបូកនៃអនុគមន៍ - ពង្រីកការរួមបញ្ចូលទៅជាពាក្យ) ។
ឧទាហរណ៍ ១ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរក (dx/x 4) អ្នកអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងដោយផ្ទាល់សម្រាប់ x n dx ។ ពិតហើយ (dx/x 4) = x −4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C ។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។
ឧទាហរណ៍ ២ដើម្បីស្វែងរក យើងប្រើអាំងតេក្រាលដូចគ្នា៖
ឧទាហរណ៍ ៣ដើម្បីស្វែងរកអ្នកត្រូវយក
ឧទាហរណ៍ 4ដើម្បីស្វែងរក យើងតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់ 
ហើយប្រើអាំងតេក្រាលតារាងសម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖
ពិចារណាអំពីការប្រើប្រាស់តង្កៀបកត្តាថេរ។
ឧទាហរណ៍ ៥
ចូរយើងស្វែងរកឧទាហរណ៍ 
. ពិចារណាថាយើងទទួលបាន
ឧទាហរណ៍ ៦ចូរយើងស្វែងរក។ ដរាបណា 
យើងប្រើអាំងតេក្រាលតារាង 
ទទួលបាន
អ្នកក៏អាចប្រើវង់ក្រចក និងអាំងតេក្រាលតារាងក្នុងឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍ ៧
(យើងប្រើនិង 
);
ឧទាហរណ៍ ៨
(យើងប្រើ 
និង 
).
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតដែលប្រើអាំងតេក្រាលផលបូក។
ឧទាហរណ៍ ៩ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក 
. ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្ត្រពង្រីកក្នុងភាគយក យើងប្រើរូបមន្តគូបបូក ហើយបន្ទាប់មកបែងចែកលទ្ធផលពហុធាតាមពាក្យដោយភាគបែង។
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ C ថេរធម្មតាមួយត្រូវបានសរសេរ (ហើយមិនដាច់ដោយឡែកពីគ្នានៅពេលបញ្ចូលពាក្យនីមួយៗ) ។ នៅពេលអនាគត វាក៏ត្រូវបានស្នើឱ្យលុបចោលថេរពីការរួមបញ្ចូលនៃពាក្យបុគ្គលនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ ដរាបណាកន្សោមមានអាំងតេក្រាលមិនកំណត់យ៉ាងហោចណាស់មួយ (យើងនឹងសរសេរថេរមួយនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ)។
ឧទាហរណ៍ 10ចូរយើងស្វែងរក 
. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងធ្វើកត្តាភាគយក (បន្ទាប់ពីនោះ យើងអាចកាត់បន្ថយភាគបែងបាន)។
ឧទាហរណ៍ 11 ។ចូរយើងស្វែងរក។ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានប្រើនៅទីនេះ។
ពេលខ្លះ ដើម្បីបំបែកកន្សោមទៅជាពាក្យ អ្នកត្រូវប្រើបច្ចេកទេសស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។
ឧទាហរណ៍ 12 ។ចូរយើងស្វែងរក 
. នៅក្នុងអាំងតេក្រាល យើងជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់នៃប្រភាគ 
. បន្ទាប់មក
ឧទាហរណ៍ 13ចូរយើងស្វែងរក
2. វិធីសាស្ត្រជំនួសអថេរ (វិធីសាស្ត្រជំនួស)
វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើរូបមន្តខាងក្រោម៖ f(x)dx=f((t))`(t)dt ដែល x =(t) គឺជាអនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកតាមចន្លោះពេលពិចារណា។
ភស្តុតាង។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដែលទាក់ទងនឹងអថេរ t ពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃរូបមន្ត។
ចំណាំថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងមានមុខងារស្មុគស្មាញដែលអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ x = (t) ។ ដូច្នេះ ដើម្បីបែងចែកវាដោយគោរពតាម t ដំបូងយើងបែងចែកអាំងតេក្រាលដោយគោរពទៅនឹង x ហើយបន្ទាប់មកយើងយកដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយគោរពទៅ t ។
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x * x` t = f(x) `(t)
ដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំ៖
(f((t))`(t)dt)`t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
ដោយសារនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះស្មើគ្នា ដោយការរួមផ្សំនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃរូបមន្តត្រូវបានបង្ហាញខុសគ្នាដោយថេរមួយចំនួន។ ដោយសារអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ខ្លួនឯងត្រូវបានកំណត់រហូតដល់ពាក្យថេរមិនកំណត់ ថេរនេះអាចត្រូវបានលុបចោលនៅក្នុងសញ្ញាណចុងក្រោយ។ បញ្ជាក់។
ការផ្លាស់ប្តូរអថេរដោយជោគជ័យអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រួលអាំងតេក្រាលដើម ហើយក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត កាត់បន្ថយវាទៅជាតារាងមួយ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ វិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសលីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានសម្គាល់។
ក) វិធីសាស្រ្តជំនួសលីនេអ៊ែរសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ ១
. Lett = 1 – 2x បន្ទាប់មក
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាអថេរថ្មីមិនចាំបាច់សរសេរច្បាស់លាស់ទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ គេនិយាយអំពីការបំប្លែងមុខងារមួយក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឬការណែនាំនៃថេរ និងអថេរក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល i.e. អំពី ការជំនួសអថេរដោយចេតនា.
ឧទាហរណ៍ ២ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក cos(3x + 2)dx ។ ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2) បន្ទាប់មកcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2) d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាទាំងពីរ ការជំនួសលីនេអ៊ែរ t=kx+b(k0) ត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
នៅក្នុងករណីទូទៅ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមមាន។
ទ្រឹស្តីបទជំនួសលីនេអ៊ែរ. អនុញ្ញាតឱ្យ F(x) ជាអ្នកប្រឆាំងមួយចំនួនសម្រាប់មុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកf(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C ដែល k និង b ជាចំនួនថេរ k0 ។
ភស្តុតាង។
តាមនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល f(kx+b)d(kx+b)=F(kx+b)+C ។ Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx ។ យើងដកកត្តាថេរ k សម្រាប់សញ្ញាអាំងតេក្រាល៖ kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C ។ ឥឡូវនេះ យើងអាចបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពដោយ k ហើយទទួលបាននូវការអះអាងដែលត្រូវបានបង្ហាញរហូតដល់សញ្ញាណនៃពាក្យថេរមួយ។
ទ្រឹស្តីបទនេះចែងថា ប្រសិនបើកន្សោម (kx+b) ត្រូវបានជំនួសក្នុងនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល f(x)dx= F(x) + C នោះវានឹងនាំទៅដល់ការលេចចេញនូវកត្តាបន្ថែម 1/k នៅខាងមុខ។ នៃ antiderivative ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់ យើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍ ៣
ចូរយើងស្វែងរក 
. នៅទីនេះ kx+b=3 –x, i.e. k= -1,b=3. បន្ទាប់មក
ឧទាហរណ៍ 4
ចូរយើងស្វែងរក។ នៅទីនេះ kx+b=4x+3, i.e. k=4,b=3. បន្ទាប់មក
ឧទាហរណ៍ ៥
ចូរយើងស្វែងរក 
. នៅទីនេះ kx+b= -2x+ 7, i.e. k= -2,b= 7. បន្ទាប់មក
.
ឧទាហរណ៍ ៦ចូរយើងស្វែងរក 
. នៅទីនេះ kx+b= 2x+ 0, i.e. k= 2,b= 0 ។
.
ចូរយើងប្រៀបធៀបលទ្ធផលដែលទទួលបានជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ទី 8 ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្ត decomposition ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាដូចគ្នាដោយវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតយើងទទួលបានចម្លើយ 
. តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖ ដូច្នេះ កន្សោមទាំងនេះខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ 
, i.e. ការឆ្លើយតបដែលទទួលបានមិនផ្ទុយគ្នាទេ។
ឧទាហរណ៍ ៧ចូរយើងស្វែងរក 
. យើងជ្រើសរើសការ៉េពេញក្នុងភាគបែង។
ក្នុងករណីខ្លះ ការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរមិនកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលដោយផ្ទាល់ទៅតារាងមួយទេ ប៉ុន្តែវាអាចសម្រួលដំណោះស្រាយដោយធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ decomposition នៅជំហានបន្ទាប់។
ឧទាហរណ៍ ៨ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក 
. ជំនួស t=x+2 បន្ទាប់មក dt=d(x+2) =dx។ បន្ទាប់មក
,
ដែល C \u003d C 1 - 6 (នៅពេលជំនួស t កន្សោម (x + 2) ជំនួសឱ្យពាក្យពីរដំបូងយើងទទួលបាន ½x 2 -2x - 6) ។
ឧទាហរណ៍ ៩ចូរយើងស្វែងរក 
. អនុញ្ញាតឱ្យ t = 2x+ 1 បន្ទាប់មក dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1)/2 ។
យើងជំនួសកន្សោម (2x + 1) ជំនួសឱ្យ t បើកតង្កៀបហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា។
ចំណាំថានៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរយើងបានឆ្លងទៅពាក្យថេរមួយផ្សេងទៀតដោយសារតែ ក្រុមនៃពាក្យថេរនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរអាចត្រូវបានលុបចោល។
ខ) វិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសមិនមែនលីនេអ៊ែរសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ ១
. អនុញ្ញាតឱ្យ t = −x 2 ។ លើសពីនេះ គេអាចបង្ហាញ x ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ t បន្ទាប់មកស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់ dx និងអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលដែលចង់បាន។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការធ្វើបើមិនដូច្នេះទេ។ រក dt=d(-x 2)=-2xdx ។ ចំណាំថាកន្សោម xdx គឺជាកត្តានៃអាំងតេក្រាលនៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវការ។ យើងបង្ហាញវាពីសមភាពលទ្ធផល xdx= - ½dt ។ បន្ទាប់មក
វិធីសាស្រ្តសមាហរណកម្មសំខាន់ៗចំនួនបួនត្រូវបានរាយខាងក្រោម។
1)
ច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។
.
នៅទីនេះ និងខាងក្រោម u, v, w គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល x ។
2)
ការដកថេរចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។
អនុញ្ញាតឱ្យ c ជាថេរឯករាជ្យនៃ x ។ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។
3)
វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។
ពិចារណាលើអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។
ប្រសិនបើអាចជ្រើសរើសមុខងារបែបនេះ φ (x)ពី x ដូច្នេះ
,
បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = φ(x) យើងមាន
.
4)
រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
,
ដែល u និង v គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល។
គោលដៅចុងក្រោយនៃការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ ដើម្បីនាំយកអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត ដែលត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលតារាង។ អាំងតេក្រាលតារាងត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមដោយប្រើរូបមន្តល្បី។
សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាល >>>
ឧទាហរណ៍
គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់
ការសម្រេចចិត្ត
ចំណាំថា អាំងតេក្រាល គឺជាផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃពាក្យបី៖
, និង .
យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 1
.
លើសពីនេះ យើងកត់សំគាល់ថា អាំងតេក្រាលនៃអាំងតេក្រាលថ្មីត្រូវបានគុណនឹងចំនួនថេរ។ 5, 4,
និង 2
រៀងៗខ្លួន។ យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 2
.
នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត
.
ការកំណត់ n = 2
យើងរកឃើញអាំងតេក្រាលទីមួយ។
ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីពីរក្នុងទម្រង់
.
យើងកត់សំគាល់នោះ។ បន្ទាប់មក
តោះប្រើវិធីទីបី។ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = φ (x) = កំណត់ហេតុ x.
.
នៅក្នុងតារាងអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត
ចាប់តាំងពីអថេរនៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរណាមួយបន្ទាប់មក
ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីបីក្នុងទម្រង់
.
យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
អនុញ្ញាតឱ្យ។
បន្ទាប់មក
;
;
;
;
.
ទីបំផុតយើងមាន
.
ប្រមូលលក្ខខណ្ឌជាមួយ x 3
.
.
ចម្លើយ
ឯកសារយោង៖
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, បណ្តុំនៃបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, Lan, 2003 ។
អាំងតេក្រាលចម្បង សិស្សគ្រប់រូបគួរដឹង
អាំងតេក្រាលដែលបានរាយបញ្ជីគឺជាមូលដ្ឋាន, មូលដ្ឋាននៃគ្រឹះ។ ជាការពិតណាស់រូបមន្តទាំងនេះគួរតែត្រូវបានចងចាំ។ នៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញ អ្នកនឹងត្រូវប្រើវាជានិច្ច។
យកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះរូបមន្ត (5), (7), (9), (12), (13), (17) និង (19) ។ កុំភ្លេចបន្ថែម Constant C បំពានទៅចម្លើយពេលបញ្ចូល!
អាំងតេក្រាលនៃថេរមួយ។
∫ A d x = A x + C (1)ការរួមបញ្ចូលមុខងារថាមពល
តាមការពិត មនុស្សម្នាក់អាចបង្ខាំងខ្លួនឯងទៅនឹងរូបមន្ត (5) និង (7) ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលដែលនៅសល់ពីក្រុមនេះគឺជារឿងធម្មតា ដែលវាគួរអោយយកចិត្តទុកដាក់បន្តិចចំពោះពួកគេ។
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 ឃ x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល
ជាការពិតណាស់រូបមន្ត (8) (ប្រហែលជាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការចងចាំ) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត (9) ។ រូបមន្ត (10) និង (11) សម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសអ៊ីពែរបូល និងកូស៊ីនុសអ៊ីពែរបូលគឺបានមកយ៉ាងងាយស្រួលពីរូបមន្ត (8) ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការចងចាំទំនាក់ទំនងទាំងនេះ។
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
អាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
កំហុសដែលសិស្សតែងតែធ្វើ៖ ពួកគេច្រឡំសញ្ញាក្នុងរូបមន្ត (១២) និង (១៣)។ ដោយចងចាំថាដេរីវេនៃស៊ីនុសស្មើនឹងកូស៊ីនុស ដោយសារហេតុផលមួយចំនួន មនុស្សជាច្រើនជឿថាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ sinx គឺស្មើនឹង cosx ។ នេះគឺជាការមិនពិតទេ! អាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសគឺ "ដកកូស៊ីនុស" ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលនៃ cosx គឺ "គ្រាន់តែជាស៊ីនុស"៖
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
អាំងតេក្រាលកាត់បន្ថយទៅជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស
រូបមន្ត (16) ដែលនាំទៅដល់តង់ហ្សង់ធ្នូ គឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត (17) សម្រាប់ a=1។ ដូចគ្នានេះដែរ (18) គឺជាករណីពិសេសនៃ (19) ។
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
អាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញជាង
រូបមន្តទាំងនេះក៏គួរឱ្យចង់ចងចាំផងដែរ។ ពួកគេក៏ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ដែរ ហើយទិន្នផលរបស់ពួកគេគឺគួរឱ្យធុញទ្រាន់។
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a> 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a> 0) (24)
ច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលទូទៅ
1) អាំងតេក្រាលនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា៖ ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) អាំងតេក្រាលនៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា៖ ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) ថេរអាចយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖ ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
វាងាយមើលឃើញថាទ្រព្យសម្បត្តិ (26) គ្រាន់តែជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃទ្រព្យសម្បត្តិ (25) និង (27) ។
4) អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ប្រសិនបើមុខងារខាងក្នុងគឺលីនេអ៊ែរ៖ ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
នៅទីនេះ F(x) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់អនុគមន៍ f(x)។ ចំណាំថារូបមន្តនេះដំណើរការតែនៅពេលដែលមុខងារខាងក្នុងគឺ Ax + B ។
សំខាន់៖ មិនមានរូបមន្តសកលសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ ក៏ដូចជាសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃប្រភាគ៖
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (សាមសិប)
ជាការពិតណាស់ នេះមិនមានន័យថាប្រភាគ ឬផលិតផលមួយមិនអាចរួមបញ្ចូលបានទេ។ វាគ្រាន់តែថារាល់ពេលដែលអ្នកឃើញអាំងតេក្រាលដូចជា (30) អ្នកត្រូវតែបង្កើតវិធីដើម្បី "ប្រយុទ្ធ" ជាមួយវា។ ក្នុងករណីខ្លះ ការធ្វើសមាហរណកម្មដោយផ្នែកនឹងជួយអ្នក កន្លែងណាមួយដែលអ្នកនឹងត្រូវធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ ហើយជួនកាលសូម្បីតែរូបមន្ត "សាលា" នៃពិជគណិត ឬត្រីកោណមាត្រអាចជួយបាន។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់
ឧទាហរណ៍ 1. រកអាំងតេក្រាល៖ ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xយើងប្រើរូបមន្ត (25) និង (26) (អាំងតេក្រាលនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា។ យើងទទួលបាន៖ ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 ឃ x
សូមចាំថាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល (រូបមន្ត (27)) ។ កន្សោមត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគ្រាន់តែប្រើតារាងនៃអាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាន។ យើងនឹងត្រូវអនុវត្តរូបមន្ត (3), (12), (8) និង (1) ។ ចូររួមបញ្ចូលអនុគមន៍ថាមពល ស៊ីនុស និទស្សន្ត និងថេរ 1។ សូមកុំភ្លេចបន្ថែមអថេរ C នៅខាងចុង៖
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរបឋម យើងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ៖
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
សាកល្បងខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា៖ យកដេរីវេនៃអនុគមន៍លទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាវាស្មើនឹងអាំងតេក្រាលដើម។
តារាងសង្ខេបនៃអាំងតេក្រាល។
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 ឃ x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | + គ |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + គ |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + គ |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a> 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a> 0) |
ទាញយកតារាងអាំងតេក្រាល (ផ្នែក II) ពីតំណនេះ។
ប្រសិនបើអ្នកសិក្សានៅសកលវិទ្យាល័យ ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកណាមួយជាមួយគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង (ការវិភាគគណិតវិទ្យា ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ស្ថិតិ) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការសេវាកម្មរបស់គ្រូដែលមានសមត្ថភាព សូមចូលទៅកាន់ទំព័រគ្រូបង្រៀនផ្នែកគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ តោះដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នកទាំងអស់គ្នា!
អ្នកក៏អាចចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ។
