ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើចំនួនពិត។ ការបន្ថែមចំនួនពិត

អត្ថបទនេះមានព័ត៌មានមូលដ្ឋានអំពី ចំនួនពិត. ទីមួយ និយមន័យនៃចំនួនពិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយឧទាហរណ៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទីតាំងនៃចំនួនពិតនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេត្រូវបានបង្ហាញបន្ទាប់។ ហើយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋានវាត្រូវបានវិភាគពីរបៀបដែលចំនួនពិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់នៃកន្សោមលេខ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃចំនួនពិត

ចំនួនពិតជាកន្សោម

តាមនិយមន័យនៃចំនួនពិត វាច្បាស់ណាស់ថាចំនួនពិតគឺ៖

លេខធម្មជាតិណាមួយ;
ចំនួនគត់ណាមួយ;
ប្រភាគធម្មតាណាមួយ (ទាំងវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាន);
លេខចម្រុះណាមួយ;
ប្រភាគទសភាគណាមួយ (វិជ្ជមាន, អវិជ្ជមាន, កំណត់, កំណត់កាលកំណត់, គ្មានកំណត់, មិនកំណត់តាមកាលកំណត់) ។

ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់ណាស់ចំនួនពិតអាចមើលឃើញក្នុងទម្រង់ ល។ លើសពីនេះទៅទៀត ផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងកូតានៃចំនួនពិតក៏ជាចំនួនពិតដែរ (សូមមើល ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនពិត) ឧទាហរណ៍ទាំងនេះគឺជាចំនួនពិត។

ហើយប្រសិនបើអ្នកទៅបន្ថែមទៀត នោះមកពីចំនួនពិតដោយប្រើសញ្ញានព្វន្ធ សញ្ញាឫស ដឺក្រេ លោការីត អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ល។ អ្នកអាចសរសេរកន្សោមលេខគ្រប់ប្រភេទ តម្លៃដែលនឹងជាលេខពិតផងដែរ។ ឧទាហរណ៍តម្លៃកន្សោម និង គឺជាលេខពិត។

សរុបសេចក្តីនៃអត្ថបទនេះ យើងកត់សំគាល់ថា ជំហានបន្ទាប់ក្នុងការពង្រីកគោលគំនិតនៃចំនួន គឺការផ្លាស់ប្តូរពីចំនួនពិតទៅ លេខស្មុគស្មាញ.

គន្ថនិទ្ទេស។

Vilenkin N.Ya. ល។ គណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី៦៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិត៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ 8 កោសិកា។ ស្ថាប័នអប់រំ។
Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យចូលសាលាបច្ចេកទេស)។

រក្សាសិទ្ធិដោយសិស្សឆ្លាត

រក្សារសិទ្ធគ្រប់យ៉ាង។
ការពារដោយច្បាប់រក្សាសិទ្ធិ។ គ្មានផ្នែកនៃគេហទំព័រ www.site រួមទាំងសម្ភារខាងក្នុង និងការរចនាខាងក្រៅអាចផលិតឡើងវិញក្នុងទម្រង់ណាមួយ ឬប្រើដោយគ្មានការអនុញ្ញាតជាលាយលក្ខណ៍អក្សរជាមុនពីម្ចាស់កម្មសិទ្ធិបញ្ញា។

ពាក្យដដែលៗនៃអនុវិទ្យាល័យ

អាំងតេក្រាល។

ដេរីវេ

បរិមាណរាងកាយ

អង្គធាតុនៃបដិវត្តន៍

វិធីសាស្រ្តនៃកូអរដោនេក្នុងលំហ

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ។ ទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ និងកូអរដោនេចំណុច។ បញ្ហាសាមញ្ញបំផុតនៅក្នុងកូអរដោណេ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។

គំនិតនៃស៊ីឡាំង។ ផ្ទៃនៃស៊ីឡាំងមួយ។ គំនិតនៃកោណមួយ។

ផ្ទៃនៃកោណមួយ។ ស្វ៊ែរនិងបាល់។ តំបន់នៃស្វ៊ែរ។ ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃស្វ៊ែរនិងយន្តហោះ។

គំនិតនៃបរិមាណ។ បរិមាណនៃរាងចតុកោណ parallelepiped ។ បរិមាណនៃព្រីសត្រង់, ស៊ីឡាំង។ បរិមាណនៃសាជីជ្រុងនិងកោណ។ បរិមាណបាល់។

ផ្នែកទី III ។ ការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា

ដេរីវេ។ ដេរីវេនៃមុខងារថាមពល។ ច្បាប់នៃការបែងចែក។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមួយចំនួន។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ការអនុវត្តនៃដេរីវេទៅសិក្សាមុខងារបង្កើននិងបន្ថយមុខងារ។ ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។ ការអនុវត្តនៃដេរីវេទៅនឹងក្រាហ្វិច។ តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ។

បុព្វកាល។ ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកបុព្វកាល។ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid និងអាំងតេក្រាល។ ការគណនាអាំងតេក្រាល។ ការគណនាតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាល។

ភារកិច្ចបណ្តុះបណ្តាលសម្រាប់ការប្រឡង

ផ្នែក I. ពិជគណិត

លេខ ជាការអរូបីដែលប្រើដើម្បីកំណត់បរិមាណវត្ថុ។ លេខបានកើតឡើងនៅក្នុងសង្គមបុព្វកាលទាក់ទងនឹងតម្រូវការសម្រាប់មនុស្សរាប់វត្ថុ។ យូរ ៗ ទៅជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រលេខបានក្លាយទៅជាគំនិតគណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់បំផុត។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទផ្សេងៗ អ្នកត្រូវយល់ពីប្រភេទលេខ។ ប្រភេទលេខសំខាន់ៗរួមមានៈ លេខធម្មជាតិ ចំនួនគត់ លេខសនិទាន លេខពិត។

លេខធម្មជាតិ គឺជាលេខដែលទទួលបានដោយការរាប់តាមធម្មជាតិនៃវត្ថុ ឬផ្ទុយទៅវិញដោយលេខរៀងរបស់វា ("ទីមួយ" "ទីពីរ" "ទីបី"...)។ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង N (អ្នកអាចចាំបានដោយផ្អែកលើពាក្យអង់គ្លេសធម្មជាតិ) ។ យើងអាចនិយាយបានថា N =(1,2,3,....)

ដោយការបំពេញបន្ថែមលេខធម្មជាតិជាមួយនឹងលេខសូន្យ និងលេខអវិជ្ជមាន (ឧ. លេខទល់មុខនឹងលេខធម្មជាតិ) សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានពង្រីកទៅសំណុំនៃចំនួនគត់។

ចំនួនគត់គឺជាលេខពីសំណុំ (0, 1, -1, 2, -2, ....) ។ សំណុំនេះមានបីផ្នែក - លេខធម្មជាតិ ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន (ផ្ទុយពីលេខធម្មជាតិ) និងលេខ 0 (សូន្យ)។ ចំនួនគត់ត្រូវបានតាងដោយអក្សរឡាតាំង Z។ យើងអាចនិយាយបានថា Z=(1,2,3,....)។ លេខសនិទានភាព គឺជាលេខដែលអាចបង្ហាញជាប្រភាគ ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ឧទាហរណ៍ មានលេខសមហេតុផលដែលមិនអាចសរសេរជាប្រភាគទសភាគកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកព្យាយាមសរសេរលេខជាប្រភាគទសភាគដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយជ្រុងបែងចែកដែលល្បី អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់។ ទសភាគគ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា តាមកាលកំណត់,លេខ 3 ម្តងទៀត - នាង រយៈពេល។ប្រភាគតាមកាលកំណត់ត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបដូចខាងក្រោមៈ 0, (3); អាន៖ "ចំនួនគត់សូន្យ និងបីក្នុងចន្លោះ។"

ជាទូទៅ ប្រភាគតាមកាលកំណត់ គឺជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ ដែលក្នុងនោះ ចាប់ផ្តើមពីខ្ទង់ទសភាគជាក់លាក់ ខ្ទង់ដូចគ្នា ឬខ្ទង់ជាច្រើនត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត - រយៈពេលនៃប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍ ទសភាគគឺតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេលនៃ 56; អាន "ចំនួនគត់ 23, 14 រយ និង 56 ក្នុងចន្លោះពេល"។

ដូច្នេះ រាល់លេខសនិទានភាពអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់។

សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រភាគទសភាគនិមួយៗគ្មានកំណត់គឺជាលេខសនិទាន ព្រោះវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគ ដែលចំនួនគត់គឺជាលេខធម្មជាតិ។

លេខពិត (ពិត) គឺជាលេខដែលប្រើសម្រាប់វាស់បរិមាណបន្ត។ សំណុំនៃចំនួនពិតត្រូវបានតាងដោយអក្សរឡាតាំង R. លេខពិតរួមមានលេខសមហេតុផល និងលេខមិនសមហេតុផល។ លេខមិនសមហេតុផល គឺជាលេខដែលទទួលបានដោយប្រតិបត្តិការផ្សេងៗលើលេខសនិទាន (ឧទាហរណ៍ ការស្រង់ឫស គណនាលោការីត) ប៉ុន្តែមិនសមហេតុផលក្នុងពេលតែមួយ។ ឧទាហរណ៍នៃចំនួនមិនសមហេតុផលគឺ .

លេខពិតណាមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅលើបន្ទាត់លេខ៖

សម្រាប់សំណុំនៃលេខដែលបានរាយខាងលើ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនគត់ សំណុំនៃចំនួនគត់ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំនៃលេខសនិទាន ហើយសំណុំនៃលេខសនិទានត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង សំណុំនៃចំនួនពិត។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើរង្វង់អយល័រ។

លំហាត់សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។

ប្រសិនបើលេខ α មិនអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន $$\frac(p)(q)$$ នោះវាត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល។
ចំនួនមិនសមហេតុផលត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគទសភាគដែលមិនមានកំណត់។

ការពិតនៃអត្ថិភាពនៃលេខមិនសមហេតុផលនឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ 1.4.1 ។បង្ហាញថាគ្មានលេខសនិទានទេ ដែលការេគឺ 2 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ឧបមាថាមានប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន $$\frac(p)(q)$$ ដូចជា $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
ឬ $$p^(2)=2q^(2)$$ ។ វាធ្វើតាមថា $$p^(2)$$ គឺជាពហុគុណនៃ 2 ដូច្នេះហើយ p គឺជាពហុគុណនៃ 2។ បើមិនដូច្នេះទេ ប្រសិនបើ p មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ពោលគឺ $$p=2k-1$$ បន្ទាប់មក $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 នោះទេ។ ដូច្នេះហើយ $ $p=2k$$$$$\Rightarrow$$$$p^(2)=4k^(2)$$$$$\Rightarrow$$$$$4k^(2)=2q^(2)$$$$ \rightarrow$$ $$q^(2)=2k^(2)$$។
ដោយហេតុថា $$q^(2)$$ គឺជាពហុគុណនៃ 2 បន្ទាប់មក q ក៏ជាពហុគុណនៃ 2 ពោលគឺឧ។ $$q=2m$$។
ដូច្នេះ លេខ p និង q មានកត្តារួមគឺលេខ 2 ដែលមានន័យថាប្រភាគ $$\frac(p)(q)$$ ត្រូវបានកាត់បន្ថយ។
ភាពផ្ទុយគ្នានេះមានន័យថា ការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើងគឺមិនពិត ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់។
សំណុំនៃលេខសមហេតុផល និងអសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា សំណុំនៃចំនួនពិត។
នៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិត ប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណត្រូវបានណែនាំតាម axiomatically៖ លេខពិតទាំងពីរ a និង b ត្រូវបានផ្តល់លេខ $$a+b$$ និងផលិតផល $$a\cdot b$$ ។
លើសពីនេះទៀតទំនាក់ទំនង "ធំជាង", "តិចជាង" និងសមភាពត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងសំណុំនេះ:
$$a>b$$ ប្រសិនបើ a - b ជាចំនួនវិជ្ជមាន។
$$a a = b ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ a − b = 0 ។
ចូរយើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃវិសមភាពលេខ។
1. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$ ។
2. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$។
3. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac4. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង c ជាលេខណាមួយ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$ ។
5. ប្រសិនបើ a, b, c, d ជាលេខវិជ្ជមានដូចជា $$a>b$$ និង $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$។
ផលវិបាក។ ប្រសិនបើ a និង b ជាលេខវិជ្ជមាន និង $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$។
6. ប្រសិនបើ $$a>b$$ និង $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$។
7. ប្រសិនបើ $$a>0$$, $$b>0$$ និង $$a>b$$ $$\Rightarrow$$$$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនពិត។
ចូរយើងយកបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រសូមមើលរូបភព។ 1.4.1 និងជួសជុលចំណុច O នៅលើវា - ប្រភពដើម។
ចំណុច O បែងចែកបន្ទាត់ជាពីរផ្នែក - កាំរស្មី។ កាំរស្មីដែលដឹកនាំទៅខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថា កាំរស្មីវិជ្ជមាន ហើយកាំរស្មីដែលដឹកនាំទៅខាងឆ្វេងត្រូវបានគេហៅថា កាំរស្មីអវិជ្ជមាន។ នៅលើបន្ទាត់ត្រង់យើងសម្គាល់ផ្នែកដែលបានយកជាឯកតានៃប្រវែង i.e. បញ្ចូលមាត្រដ្ឋាន។

អង្ករ។ ១.៤.១. ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនពិត។

បន្ទាត់ត្រង់ដែលមានប្រភពដើមដែលបានជ្រើសរើស ទិសដៅវិជ្ជមាន និងមាត្រដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់លេខ។
ចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់លេខអាចភ្ជាប់ជាមួយចំនួនពិតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖

- ចំណុច O នឹងត្រូវបានផ្តល់សូន្យ;
- ចំនុចនីមួយៗ N នៅលើកាំរស្មីវិជ្ជមានត្រូវបានផ្តល់លេខវិជ្ជមាន a ដែល a ជាប្រវែងនៃផ្នែក ON ;
- ចំនុចនីមួយៗ M នៅលើកាំរស្មីអវិជ្ជមានត្រូវបានផ្តល់លេខអវិជ្ជមាន b ដែល $$b=-\left | OM \right |$$ (ប្រវែងនៃផ្នែក OM យកដោយសញ្ញាដក)។
ដូច្នេះការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ចំនួនពិត និងសំណុំនៃចំនួនពិត i.e. :
1) ចំណុចនីមួយៗនៅលើបន្ទាត់លេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមួយហើយមានតែលេខពិតមួយប៉ុណ្ណោះ។
2) ចំណុចផ្សេងគ្នាត្រូវបានកំណត់លេខផ្សេងគ្នា;
3) មិនមានចំនួនពិតតែមួយដែលមិនទាក់ទងទៅនឹងចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់លេខនោះទេ។

ឧទាហរណ៍ 1.4.2 ។នៅលើបន្ទាត់លេខសម្គាល់ចំណុចដែលត្រូវនឹងលេខ៖
1) $$1\frac(5)(7)$$2) $$\sqrt(2)$$3) $$\sqrt(3)$$
ការសម្រេចចិត្ត។ 1) ដើម្បីសម្គាល់លេខប្រភាគ $$\frac(12)(7)$$ អ្នកត្រូវបង្កើតចំនុចដែលត្រូវនឹង $$\frac(12)(7)$$ ។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវបែងចែកផ្នែកនៃប្រវែង 1 ទៅជា 7 ផ្នែកស្មើគ្នា។ យើងដោះស្រាយបញ្ហានេះតាមវិធីនេះ។
យើងគូរកាំរស្មីតាមអំពើចិត្តពី t.O ហើយកំណត់ផ្នែកស្មើគ្នាចំនួន 7 នៅលើកាំរស្មីនេះ។ ទទួលបាន
ចម្រៀក OA ហើយពីចំណុច A យើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយ 1 ។

អង្ករ។ ១.៤.២. ចែកផ្នែកតែមួយជា ៧ ផ្នែកស្មើៗគ្នា។

បន្ទាត់ត្រង់ដែលគូរស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ A1 ឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងចុងនៃផ្នែកដែលបានបញ្ឈប់បែងចែកផ្នែកនៃប្រវែងឯកតាជា 7 ផ្នែកស្មើគ្នា (រូបភាព 1.4.2) ។ នេះធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតចំណុចតំណាងឱ្យលេខ $1\frac(5)(7)$$ (Fig.1.4.3) ។

អង្ករ។ ១.៤.៣. ចំណុចនៅលើអ័ក្សលេខដែលត្រូវនឹងលេខ $1\frac(5)(7)$$ ។

2) លេខ $$\sqrt(2)$$ អាចទទួលបានដូចនេះ។ យើងបង្កើតត្រីកោណកែងជាមួយជើងឯកតា។ បន្ទាប់មកប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសគឺ $$\sqrt(2)$$; ផ្នែកនេះត្រូវបានកំណត់ឡែកពី O នៅលើបន្ទាត់លេខ (រូបភាព 1.4.4) ។
3) ដើម្បីបង្កើតចំណុចដាច់ស្រយាលពី PO នៅចម្ងាយ $$\sqrt(3)$$ (ទៅខាងស្តាំ) ចាំបាច់ត្រូវសង់ត្រីកោណមុំខាងស្តាំដែលមានជើងប្រវែង 1 និង $$\sqrt(2 )$$។ បន្ទាប់មកអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់វាមានប្រវែង $$\sqrt(2)$$ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ចំណុចដែលចង់បាននៅលើអ័ក្សពិត។
សម្រាប់ចំនួនពិត គោលគំនិតនៃម៉ូឌុល (ឬតម្លៃដាច់ខាត) ត្រូវបានកំណត់។

អង្ករ។ ១.៤.៤. ចំនុចនៅលើអ័ក្សលេខដែលត្រូវនឹងលេខ $$\sqrt(2)$$ ។

ម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត a ត្រូវបានគេហៅថា៖
គឺជាលេខខ្លួនឯង ប្រសិនបើ កគឺជាលេខវិជ្ជមាន;
- សូន្យប្រសិនបើ ក- សូន្យ;
– -ក, ប្រសិនបើ ក- លេខអវិជ្ជមាន។
តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។ កតំណាងដោយ $$\left | មួយ \ សិទ្ធិ |$$ ។
និយមន័យនៃម៉ូឌុល (ឬតម្លៃដាច់ខាត) អាចត្រូវបានសរសេរជា

$$\left | a \right |=\left\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$

(1.4.1)

តាមធរណីមាត្រ ម៉ូឌុលនៃលេខ a មានន័យថាចម្ងាយនៅលើបន្ទាត់លេខពីប្រភពដើម O ដល់ចំណុចដែលត្រូវនឹងលេខ ក.
យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃម៉ូឌុល។
1. សម្រាប់លេខណាមួយ។ កសមភាព $$\left | មួយ \\ ស្តាំ |= ឆ្វេង | -a \ ត្រូវ |$$ ។
2. សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខសមភាពគឺជាការពិត

ពិចារណាសំណុំលេខខាងក្រោម។
ប្រសិនបើ $$a 1) ផ្នែកមួយគឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់។ α សម្រាប់នីមួយៗដែលខាងក្រោមគឺពិត៖ $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) ចន្លោះពេល (a; b) គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់។ α សម្រាប់ការដែលនីមួយៗជាការពិត៖ $$a<\alpha 3) ចន្លោះពេលពាក់កណ្តាល (a; b] គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់។ α សម្រាប់ដែលនីមួយៗពិត៖ $$a<\alpha \leq b$$.
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចបញ្ចូលចន្លោះពេលពាក់កណ្តាល។
ក្នុងករណីខ្លះ គេនិយាយអំពី "ចន្លោះ" ដែលមានន័យថាដោយកាំរស្មី ឬផ្នែក ឬចន្លោះពេល ឬចន្លោះពាក់កណ្តាល។

មួយបាច់ រលេខពិតទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖ $$(-\infty; \infty)$$ ។
សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a យើងណែនាំគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ នពោលគឺ

$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ និង $$a^(1)=a$$ ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន កគឺជាលេខដែលមិនមែនជាសូន្យ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ $$a^(0)=1$$។
ថាមពលសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក- លេខមិនសូន្យណាមួយ មគឺជាចំនួនគត់។ បន្ទាប់មកលេខ $$a^(m)$$ ត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់៖

$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\right.$$

ត្រង់ណា មត្រូវបានគេហៅថា ដឺក្រេ ដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។

មុននឹងកំណត់គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តមួយ យើងណែនាំគោលគំនិតនៃឫសនព្វន្ធ។
ដឺក្រេឫសនព្វន្ធ ន (n ∈ N, n > ២) លេខមិនអវិជ្ជមាន កហៅថាលេខមិនអវិជ្ជមាន ខបែបនោះ។ b n = ក. ចំនួន ខតំណាងថា $$b\sqrt[n](a)$$ ។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធ ( a > 0, b> 0, n, m, k- ចំនួនគត់។ )

1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$	5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$
2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$	6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$
3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$	7. $$\sqrt(a^(2))=\left \| មួយ \ សិទ្ធិ \|$$
4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$	8. $$\sqrt(a^(2n))=\left \| មួយ \ សិទ្ធិ \|$$

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក< 0 , ក នគឺជាចំនួនធម្មជាតិដែលធំជាង 1. ប្រសិនបើ នគឺជាលេខគូ បន្ទាប់មកសមភាព b n = កមិនរក្សាតម្លៃពិតណាមួយឡើយ។ ខ. នេះមានន័យថានៅក្នុងវាលនៃចំនួនពិតវាមិនអាចទៅរួចទេដើម្បីកំណត់ឫសនៃដឺក្រេគូពីចំនួនអវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ នគឺជាលេខសេស បន្ទាប់មកមានលេខពិតតែមួយ ខបែបនោះ។ b n = ក. លេខនេះត្រូវបានតំណាង √n a ហើយត្រូវបានគេហៅថាឫសសេសនៃលេខអវិជ្ជមាន។
ដោយប្រើនិយមន័យនៃការបង្កើនទៅជាចំនួនគត់ និងនិយមន័យនៃឬសនព្វន្ធ យើងផ្តល់និយមន័យនៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត។
អនុញ្ញាតឱ្យមាន កជាលេខវិជ្ជមាន ហើយ $$r=\frac(p)(q)$$ គឺជាលេខសមហេតុផល ហើយ q- លេខធម្មជាតិ។

លេខវិជ្ជមាន

$$b=\sqrt[q](a^(p))$$

ត្រូវបានគេហៅថាអំណាចនៃ a ជាមួយនិទស្សន្ត r ហើយត្រូវបានតំណាងថាជា

$$b=a^(r)$$, ឬ $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, នៅទីនេះ $$q\in N $$, $$q\geq2$$ ។

ពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន កនិង ខគឺជាលេខវិជ្ជមានណាមួយ r 1 និង r 2 គឺជាលេខសមហេតុផលណាមួយ។ បន្ទាប់មកលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖

1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$
2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$
3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$
4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2))))=a^(r_(1)-r_(2))$$
5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$	(1.4.2)
6. $$a^(0)=1$$
7. ប្រសិនបើ $$a>1$$ និង $$r_(1)>0\ Rightarrow a^(r_(1))> 1$$
8. បើ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\ ព្រួញស្ដាំ 0< a^{r_{1}}< 1$$
9. ប្រសិនបើ $$a>1$$ និង $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$
10. បើ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\ ព្រួញស្ដាំ a^(r_(1))> a^(r_(2))$$

គោលគំនិតនៃកម្រិតនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺត្រូវបានទូទៅសម្រាប់និទស្សន្តពិតប្រាកដណាមួយ។ α .
កំណត់កំរិតនៃចំនួនវិជ្ជមាន a ជាមួយនិទស្សន្តពិត α .

1. ប្រសិនបើ $$\alpha > 0$$ និង

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$

2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, កន្លែងណា ទំនិង q- លេខធម្មជាតិ $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$

3) α ជាលេខមិនសមហេតុផល

ក) ប្រសិនបើ a > 1 បន្ទាប់មក មួយ α- ចំនួនធំជាង r i និងតិចជាង មួយ r kកន្លែងណា r ខ្ញុំ α ជាមួយនឹងគុណវិបត្តិមួយ។ r- ការប៉ាន់ស្មានសមហេតុផលនៃចំនួនមួយ។ α លើស;
ខ) ប្រសិនបើ 0< ក< 1, то មួយ α- ចំនួនធំជាង មួយ r kនិងតិចជាង a r i;
គ) ប្រសិនបើ ក= 1 បន្ទាប់មក a α = 1 ។

2. ប្រសិនបើ $$\alpha=0$$ នោះ α = 1 ។

3. ប្រសិនបើ $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

ចំនួន មួយ αហៅថា ដឺក្រេ លេខ a ជាគោលនៃដឺក្រេ លេខ α - និទស្សន្ត។
អំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមានដែលមាននិទស្សន្តពិតមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នានឹងថាមពលដែលមាននិទស្សន្តនិទស្សន្ត។

ឧទាហរណ៍ 1.4.3 ។គណនា $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$ ។

ការសម្រេចចិត្ត។តោះប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជា root៖

$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$

ចម្លើយ។ ៦.

ឧទាហរណ៍ 1.4.4 ។គណនា $6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$

1) 4

2) 8

3) 8,25

4) 12,25

ប៉ុន្តែតើប្រភាគទាំងនេះតែងតែមានកាលកំណត់ឬ? ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះគឺអវិជ្ជមាន៖ មានផ្នែកដែលប្រវែងមិនអាចបង្ហាញដោយប្រភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់ (នោះគឺជាលេខសនិទានភាពវិជ្ជមាន) ជាមួយនឹងឯកតានៃប្រវែងដែលបានជ្រើសរើស។ នេះគឺជារបកគំហើញដ៏សំខាន់បំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលវាធ្វើតាមថាចំនួនសនិទានភាពមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីវាស់ប្រវែងនៃផ្នែក។

ប្រសិនបើឯកតានៃប្រវែងគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ នោះប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េនេះមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយលេខសមហេតុផលវិជ្ជមាននោះទេ។

ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ វាដូចខាងក្រោមថាមានផ្នែកដែលប្រវែងមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលេខវិជ្ជមាន (ជាមួយឯកតានៃប្រវែងដែលបានជ្រើសរើស) ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត សរសេរជាប្រភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់។ នេះមានន័យថាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ដែលទទួលបានដោយការវាស់ប្រវែងនៃចម្រៀកអាចមិនមានតាមកាលកំណត់។

វាត្រូវបានគេជឿថាប្រភាគទសភាគមិនកំណត់តាមកាលកំណត់គឺជាកំណត់ត្រានៃលេខថ្មី - លេខមិនសមហេតុផលវិជ្ជមាន។ដោយសារគោលគំនិតនៃចំនួន និងសញ្ញាណរបស់វាត្រូវបានកំណត់ជាញឹកញាប់ ពួកគេនិយាយថាប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់ គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផលវិជ្ជមាន។

សំណុំនៃលេខមិនសមហេតុផលវិជ្ជមានត្រូវបានបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា J+ ។

ការរួបរួមនៃសំណុំលេខពីរ៖ សនិទានភាពវិជ្ជមាន និងអសមហេតុផលវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា សំណុំនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា R+ ។

ចំនួនពិតវិជ្ជមានណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ - តាមកាលកំណត់ (ប្រសិនបើវាសមហេតុផល) ឬមិនមែនតាមកាលកំណត់ (ប្រសិនបើវាមិនសមហេតុផល)។

សកម្មភាពលើចំនួនពិតវិជ្ជមានត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសកម្មភាពលើចំនួនសនិទានវិជ្ជមាន។ ក្នុងន័យនេះ សម្រាប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាននីមួយៗ តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកង្វះ និងលើស។

សូមឱ្យចំនួនពិតវិជ្ជមានចំនួនពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កនិង ខ, មួយនិង bn- យោងទៅតាមការប៉ាន់ស្មានរបស់ពួកគេទាក់ទងនឹងកង្វះ។ a¢nនិង b¢nគឺជាការប៉ាន់ស្មានរបស់ពួកគេលើស។

ផលបូកនៃចំនួនពិត កនិង ខ ក+ ខ នបំពេញវិសមភាព មួយ+ bn ≤ ក + ខ< a¢n + b¢n

ផលិតផលនៃចំនួនពិត កនិង ខលេខពិតបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ក× ខដែលសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នបំពេញវិសមភាព មួយ× bn ≤ ក ខ × b¢n

ភាពខុសគ្នានៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន កនិង ខលេខពិតបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ជាមួយអ្វី ក= b + គ.

គុណតម្លៃនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន កនិង ខលេខពិតបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ជាមួយអ្វី ក= b × s ។

ការរួបរួមនៃសំណុំនៃចំនួនពិតវិជ្ជមានជាមួយនឹងសំណុំនៃចំនួនពិតអវិជ្ជមាន និងសូន្យគឺជាសំណុំ R នៃចំនួនពិតទាំងអស់។

ការប្រៀបធៀបចំនួនពិត និងប្រតិបតិ្តការលើពួកវាត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលគេស្គាល់ពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។

បញ្ហា ៦០.ស្វែងរកខ្ទង់ទសភាគបីដំបូងនៃផលបូក 0.333… + 1.57079…

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយកចំនួនប្រហាក់ប្រហែលទសភាគជាមួយនឹងខ្ទង់ទសភាគបួន៖

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

បន្ថែម៖ 1.9040 ≤ 0.333… + 1.57079…< 1,9042.

ដូច្នេះ 0.333… + 1.57079…= 1.904…

កិច្ចការ 61 ។ស្វែងរកខ្ទង់ទសភាគពីរដំបូងនៃផលិតផល ក x ខ, ប្រសិនបើ ក= 1.703604… និង ខ = 2,04537…

ការសម្រេចចិត្ត។យើងយកខ្ទង់ទសភាគនៃលេខទាំងនេះជាមួយខ្ទង់ទសភាគបី៖

1,703 < ក <1,704 и 2,045 < ខ < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1.703 × 2.045 ≤ ក x ខ < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

ដូច្នេះ ក x ខ= 3,48…

លំហាត់សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ

1. សរសេរចំនួនទសភាគនៃចំនួនមិនសមហេតុផល π = 3.1415 ... ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកង្វះ និងលើសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ:

ក) 0.1; b) 0.01; គ) 0.001 ។

2. រកខ្ទង់ទសភាគបីដំបូងនៃផលបូក ក+ ខប្រសិនបើ៖

ក) ក = 2,34871…, ខ= 5.63724…; ខ) ក = , ខ= π; ក្នុង) ក = ; ខ= ; ឆ) ក = ; ខ = .

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃចំនួនពិត

ចំនួនពិតជាកន្សោម

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង