រង្វង់គឺជាខ្សែកោងបិទជិត ដែលចំណុចទាំងអស់ស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីចំណុចកណ្តាល។ តួលេខនេះមានរាងសំប៉ែត។ ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​ដែល​ជា​សំណួរ​ដែល​ត្រូវ​រក​ឃើញ​រង្វង់​មូល​គឺ​សាមញ្ញ​ណាស់។ វិធីសាស្រ្តដែលមានទាំងអស់យើងនឹងពិចារណានៅក្នុងអត្ថបទថ្ងៃនេះ។

ការពិពណ៌នារូបភាព

បន្ថែមពីលើនិយមន័យពិពណ៌នាដ៏សាមញ្ញមួយ មានលក្ខណៈគណិតវិទ្យាបីទៀតនៃរង្វង់មួយ ដែលនៅក្នុងខ្លួនគេមានចម្លើយចំពោះសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរករង្វង់មូល៖

• មានចំណុច A និង B និងចំណុចផ្សេងទៀតដែល AB អាចមើលឃើញនៅមុំខាងស្តាំ។ អង្កត់ផ្ចិតនៃតួលេខនេះគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផ្នែកដែលកំពុងពិចារណា។
• រួមបញ្ចូលតែចំនុច X ដែលសមាមាត្រ AX/BX គឺថេរ និងមិនស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនេះមិនត្រូវបានបំពេញទេនោះវាមិនមែនជារង្វង់ទេ។
• វាមានចំណុច ដែលសមភាពខាងក្រោមនីមួយៗទទួលបាន៖ ផលបូកនៃចម្ងាយការ៉េទៅពីរផ្សេងទៀតគឺជាតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលតែងតែធំជាងពាក់កណ្តាលនៃប្រវែងនៃចម្រៀករវាងពួកវា។

វាក្យសព្ទ

មិនមែនគ្រប់គ្នានៅសាលាសុទ្ធតែមានគ្រូគណិតវិទ្យាល្អនោះទេ។ ដូច្នេះចម្លើយទៅនឹងសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរករង្វង់មូលមានភាពស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតដោយការពិតដែលថាមិនមែនគ្រប់គ្នាដឹងពីគំនិតធរណីមាត្រជាមូលដ្ឋាននោះទេ។ កាំ - ចម្រៀកដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃតួរលេខជាមួយនឹងចំនុចនៅលើខ្សែកោង។ ករណីពិសេសមួយនៅក្នុងត្រីកោណមាត្រគឺរង្វង់ឯកតា។ អង្កត់ធ្នូគឺជាផ្នែកបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរនៅលើខ្សែកោងមួយ។ ឧទាហរណ៍ AB ដែលត្រូវបានពិចារណារួចហើយ ស្ថិតនៅក្រោមនិយមន័យនេះ។ អង្កត់ផ្ចិតគឺជាអង្កត់ធ្នូឆ្លងកាត់កណ្តាល។ លេខπគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃរង្វង់ឯកតា។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

រូបមន្តធរណីមាត្រធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាលក្ខណៈសំខាន់ៗនៃរង្វង់៖

1. ប្រវែងគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃលេខπនិងអង្កត់ផ្ចិត។ រូបមន្តជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ C = π * D ។
2. កាំគឺពាក់កណ្តាលអង្កត់ផ្ចិត។ វាក៏អាចត្រូវបានគណនាដោយការគណនាកូតានៃការបែងចែករង្វង់ដោយពីរដងនៃចំនួនπ។ រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ R = C/(2* π) = D/2 ។
3. អង្កត់ផ្ចិតគឺស្មើនឹងបរិមាត្រដែលបែងចែកដោយπឬពីរដងនៃកាំ។ រូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយមើលទៅដូចនេះ៖ D = C/π = 2*R ។
4. ផ្ទៃនៃរង្វង់មួយស្មើនឹងផលគុណនៃលេខ π និងការ៉េនៃកាំ។ ដូចគ្នានេះដែរអង្កត់ផ្ចិតអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងរូបមន្តនេះ។ ក្នុងករណីនេះផ្ទៃនឹងស្មើនឹងកូតានៃការបែងចែកផលិតផលនៃលេខπនិងការ៉េនៃអង្កត់ផ្ចិតដោយបួន។ រូបមន្តអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: S = π * R 2 = π * D 2/4 ។

របៀបស្វែងរករង្វង់ពីអង្កត់ផ្ចិត

សម្រាប់ភាពសាមញ្ញនៃការពន្យល់ យើងកំណត់ដោយអក្សរនូវលក្ខណៈនៃតួលេខដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនា។ សូមឱ្យ C ជាប្រវែងដែលចង់បាន D ជាអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា ហើយឱ្យ pi ប្រហែល 3.14 ។ ប្រសិនបើ​យើង​មាន​បរិមាណ​ដឹង​តែ​មួយ​នោះ បញ្ហា​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ការ​ដោះស្រាយ។ ហេតុអ្វីចាំបាច់ក្នុងជីវិត? ឧបមាថាយើងសម្រេចចិត្តបិទអាងទឹកជុំជាមួយរបង។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាចំនួនជួរឈរដែលត្រូវការ? ហើយនៅទីនេះសមត្ថភាពក្នុងការគណនារង្វង់នៃរង្វង់មួយមកជួយសង្គ្រោះ។ រូបមន្តមានដូចខាងក្រោម: C = π D. ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងអង្កត់ផ្ចិតត្រូវបានកំណត់ដោយផ្អែកលើកាំនៃអាងនិងចម្ងាយដែលត្រូវការទៅរបង។ ឧទាហរណ៍ ឧបមាថា ស្រះសិប្បនិមិត្តផ្ទះយើងមានទទឹង ២០ ម៉ែត្រ ហើយយើងនឹងបោះបង្គោលនៅចម្ងាយ ១០ ម៉ែត្រពីវា។ អង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់លទ្ធផលគឺ 20 + 10 * 2 = 40 ម៉ែត្រប្រវែងគឺ 3.14 * 40 = 125.6 ម៉ែត្រ។ យើងនឹងត្រូវការជួរឈរចំនួន 25 ប្រសិនបើគម្លាតរវាងពួកវាមានប្រហែល 5 ម៉ែត្រ។

ប្រវែងតាមកាំ

ដូចរាល់ដង ចូរចាប់ផ្តើមដោយកំណត់រង្វង់អក្សរទៅជាលក្ខណៈ។ តាមពិតទៅ ពួកវាមានលក្ខណៈជាសកល ដូច្នេះគណិតវិទូមកពីប្រទេសផ្សេងៗគ្នា មិនចាំបាច់ចេះភាសារបស់គ្នាទៅវិញទៅមកទេ។ ឧបមាថា C គឺជារង្វង់នៃរង្វង់មួយ r ជាកាំរបស់វា ហើយπគឺប្រហែល 3.14 ។ រូបមន្តមើលទៅដូចនេះក្នុងករណីនេះ៖ C = 2*π*r ។ ជាក់ស្តែង នេះគឺជាសមភាពដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ។ ដូចដែលយើងបានគិតរួចហើយ អង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់មួយគឺស្មើនឹងកាំរបស់វាពីរដង ដូច្នេះរូបមន្តនេះមើលទៅដូចនេះ។ នៅក្នុងជីវិត វិធីសាស្ត្រនេះក៏អាចមានប្រយោជន៍ច្រើនដែរ។ ឧទាហរណ៍យើងដុតនំនំនៅក្នុងទម្រង់រអិលពិសេស។ ដើម្បីកុំឱ្យវាកខ្វក់យើងត្រូវការរុំតុបតែង។ ប៉ុន្តែរបៀបកាត់រង្វង់នៃទំហំដែលចង់បាន។ នេះគឺជាកន្លែងដែលគណិតវិទ្យាមកជួយសង្គ្រោះ។ អ្នក​ដែល​ដឹង​ពី​វិធី​ស្វែង​រក​រង្វង់​មូល​នឹង​និយាយ​ភ្លាម​ថា​អ្នក​ត្រូវ​គុណ​លេខ π ​នឹង​ទ្វេ​ដង​នៃ​រាង។ ប្រសិនបើកាំរបស់វាគឺ 25 សង់ទីម៉ែត្រនោះប្រវែងនឹងមាន 157 សង់ទីម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ

យើងបានពិចារណារួចហើយនូវករណីជាក់ស្តែងមួយចំនួននៃចំណេះដឹងដែលទទួលបាន អំពីរបៀបស្វែងរករង្វង់មូល។ ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់យើងមិនខ្វល់ខ្វាយជាមួយពួកគេទេប៉ុន្តែជាមួយនឹងបញ្ហាគណិតវិទ្យាពិតប្រាកដដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា។ ចប់ហើយ គ្រូផ្តល់ពិន្ទុឲ្យគេ! ដូច្នេះ ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហានៃការកើនឡើងនៃភាពស្មុគស្មាញ។ ចូរសន្មត់ថារង្វង់គឺ 26 សង់ទីម៉ែត្រ តើត្រូវរកកាំនៃតួរលេខបែបនេះដោយរបៀបណា?

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងសរសេរអ្វីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើង៖ C \u003d 26 សង់ទីម៉ែត្រ, π \u003d 3.14 ។ ចងចាំរូបមន្តផងដែរ៖ C = 2 * π * R ។ ពីវាអ្នកអាចដកកាំនៃរង្វង់។ ដូច្នេះ R = C/2/π ។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការគណនាដោយផ្ទាល់។ ដំបូងបែងចែកប្រវែងដោយពីរ។ យើងទទួលបាន 13. ឥឡូវនេះយើងត្រូវបែងចែកដោយតម្លៃនៃលេខ π: 13 / 3.14 \u003d 4.14 សង់ទីម៉ែត្រ។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលកុំភ្លេចសរសេរចម្លើយឱ្យបានត្រឹមត្រូវ នោះគឺជាមួយនឹងឯកតារង្វាស់ បើមិនដូច្នេះទេការអនុវត្តទាំងមូល អត្ថន័យនៃបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានបាត់បង់។ លើសពីនេះទៀតសម្រាប់ការមិនយកចិត្តទុកដាក់បែបនេះអ្នកអាចទទួលបានពិន្ទុទាបជាងមួយពិន្ទុ។ ហើយ​មិន​ថា​វា​រំខាន​ប៉ុណ្ណា​ទេ អ្នក​ត្រូវតែ​ទ្រាំ​នឹង​ស្ថានភាព​នេះ​។

សត្វតិរច្ឆានមិនគួរឱ្យខ្លាចដូចដែលវាត្រូវបានលាបពណ៌ទេ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​រក​ឃើញ​កិច្ចការ​ដ៏​លំបាក​បែប​នេះ​នៅ​ glance ដំបូង។ ដូចដែលវាបានប្រែក្លាយ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យ ហើយចងចាំរូបមន្តងាយៗមួយចំនួន។ គណិតវិទ្យាមិនគួរឱ្យខ្លាចទេ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រឹងប្រែងបន្តិច ដូច្នេះធរណីមាត្រកំពុងរង់ចាំអ្នក!

ចូរយើងយល់ពីភាពខុសគ្នារវាងរង្វង់មួយ និងរង្វង់មួយ។ ដើម្បីមើលភាពខុសគ្នានេះ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការពិចារណាថាតើតួលេខទាំងពីរជាអ្វី នេះគឺជាចំនួនពិន្ទុគ្មានកំណត់នៅក្នុងយន្តហោះ ដែលស្ថិតនៅចម្ងាយស្មើគ្នាពីចំណុចកណ្តាលតែមួយ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើរង្វង់មានចន្លោះខាងក្នុង នោះវាមិនមែនជារបស់រង្វង់ទេ។ វាប្រែថារង្វង់មួយគឺជារង្វង់ដែលចងវា (o-circle (g)ness) និងចំនួនរាប់មិនអស់នៃចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងរង្វង់។

សម្រាប់ចំណុចណាមួយ L ដែលស្ថិតនៅលើរង្វង់នោះ សមភាព OL=R ត្រូវបានអនុវត្ត។ (ប្រវែងនៃផ្នែក OL គឺស្មើនឹងកាំនៃរង្វង់)។

ផ្នែកបន្ទាត់ដែលតភ្ជាប់ចំណុចពីរនៅលើរង្វង់មួយគឺ អង្កត់ធ្នូ.

អង្កត់ធ្នូដែលឆ្លងកាត់ដោយផ្ទាល់តាមរយៈកណ្តាលនៃរង្វង់គឺ អង្កត់ផ្ចិតរង្វង់នេះ (D) ។ អង្កត់ផ្ចិតអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត: D = 2R

រង្វង់គណនាតាមរូបមន្ត៖ C=2\pi R

តំបន់នៃរង្វង់មួយ។៖ S=\pi R^(2)

ធ្នូនៃរង្វង់មួយ។ហៅថាផ្នែកនោះ ដែលស្ថិតនៅចន្លោះចំណុចពីររបស់វា។ ចំណុចទាំងពីរនេះកំណត់អ័ក្សពីរនៃរង្វង់មួយ។ អង្កត់ធ្នូ ស៊ីឌី បញ្ចូលធ្នូពីរ៖ CMD និង CLD ។ អង្កត់ធ្នូដូចគ្នាដាក់ធ្នូដូចគ្នា។

ជ្រុងកណ្តាលគឺជាមុំរវាងរ៉ាឌីពីរ។

ប្រវែងធ្នូអាចរកបានដោយប្រើរូបមន្ត៖

1. ការប្រើប្រាស់សញ្ញាបត្រ៖ ស៊ីឌី = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. ការប្រើប្រាស់រង្វាស់រ៉ាដ្យង់៖ ស៊ីឌី = \alpha R

អង្កត់ផ្ចិតដែលកាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ធ្នូ បំបែកអង្កត់ធ្នូ និងធ្នូដែលវាលាតសន្ធឹង។

ប្រសិនបើអង្កត់ធ្នូ AB និង CD នៃរង្វង់ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច N នោះផលិតផលនៃផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូដែលបំបែកដោយចំនុច N គឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។

AN\cdot NB = CN \cdot ND

តង់សង់ទៅរង្វង់

តង់សង់ទៅរង្វង់មួយ។វាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណុចរួមមួយជាមួយនឹងរង្វង់មួយ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់មួយមានចំណុចពីរដូចគ្នា នោះគេហៅថា វិនាទី.

ប្រសិនបើអ្នកគូរកាំនៅចំណុចនៃទំនាក់ទំនង វានឹងកាត់កែងទៅនឹងតង់សង់ទៅរង្វង់។

ចូរយើងគូរតង់សង់ពីរពីចំណុចនេះទៅរង្វង់របស់យើង។ វាប្រែថាផ្នែកនៃតង់សង់នឹងស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមកហើយកណ្តាលនៃរង្វង់នឹងមានទីតាំងនៅលើ bisector នៃមុំជាមួយ vertex នៅចំណុចនេះ។

AC=CB

ឥឡូវ​យើង​គូរ​តង់សង់​មួយ​និង​វិនាទី​ទៅ​រង្វង់​ពី​ចំណុច​របស់​យើង។ យើងទទួលបានថាការេនៃប្រវែងនៃចម្រៀកតង់សង់នឹងស្មើនឹងផលិតផលនៃផ្នែក secant ទាំងមូលដោយផ្នែកខាងក្រៅរបស់វា។

AC^(2) = CD \cdot BC

យើងអាចសន្និដ្ឋានបាន៖ ផលិតផលនៃផ្នែកចំនួនគត់នៃ secant ទីមួយដោយផ្នែកខាងក្រៅរបស់វាស្មើនឹងផលិតផលនៃផ្នែកចំនួនគត់នៃ secant ទីពីរដោយផ្នែកខាងក្រៅរបស់វា។

AC \cdot BC = EC \cdot DC

មុំនៅក្នុងរង្វង់មួយ។

រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំកណ្តាល និងធ្នូដែលវាសម្រាកគឺស្មើគ្នា។

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

មុំចារឹកគឺជាមុំមួយដែលចំនុចកំពូលស្ថិតនៅលើរង្វង់មួយ ហើយជ្រុងរបស់វាមានអង្កត់ធ្នូ។

អ្នកអាចគណនាវាបានដោយដឹងពីទំហំនៃធ្នូ ព្រោះវាស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃធ្នូនេះ។

\angle AOB = 2 \angle ADB

ដោយផ្អែកលើអង្កត់ផ្ចិត, មុំចារឹក, ត្រង់។

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

មុំចារឹកដែលពឹងផ្អែកលើធ្នូដូចគ្នាគឺដូចគ្នាបេះបិទ។

មុំដែលបានចារឹកផ្អែកលើអង្កត់ធ្នូដូចគ្នាគឺដូចគ្នាបេះបិទ ឬផលបូករបស់វាស្មើនឹង 180^ (\circ) ។

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

នៅលើរង្វង់ដូចគ្នាគឺជាចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណដែលមានមុំដូចគ្នានិងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

មុំដែលមានចំនុចកំពូលនៅខាងក្នុងរង្វង់ ហើយស្ថិតនៅចន្លោះអង្កត់ធ្នូពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃតម្លៃមុំនៃធ្នូនៃរង្វង់ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងបញ្ឈរ។

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

មុំដែលមានចំនុចកំពូលនៅខាងក្រៅរង្វង់ ហើយស្ថិតនៅចន្លោះផ្នែកពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងភាពខុសគ្នាពាក់កណ្តាលនៃទំហំមុំនៃធ្នូនៃរង្វង់ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងមុំ។

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

រង្វង់ចារឹក

រង្វង់ចារឹកគឺជារង្វង់តង់សង់ទៅជ្រុងនៃពហុកោណ។

នៅចំណុចដែល bisectors នៃមុំនៃពហុកោណប្រសព្វគ្នា កណ្តាលរបស់វាមានទីតាំងនៅ។

រង្វង់អាចមិនត្រូវបានចារឹកនៅគ្រប់ពហុកោណទេ។

ផ្ទៃនៃពហុកោណដែលមានរង្វង់ចារឹកត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

S=pr,

p គឺជា semiperimeter នៃពហុកោណ

r គឺជាកាំនៃរង្វង់ចារឹក។

វាដូចខាងក្រោមថាកាំនៃរង្វង់ចារឹកគឺ:

r = \frac(S)(p)

ផលបូកនៃប្រវែងនៃភាគីផ្ទុយនឹងដូចគ្នាបេះបិទ ប្រសិនបើរង្វង់ត្រូវបានចារឹកក្នុងរាងបួនជ្រុងប៉ោង។ ហើយច្រាសមកវិញ៖ រង្វង់មួយត្រូវបានចារឹកក្នុងរាងបួនជ្រុងប៉ោង ប្រសិនបើផលបូកនៃប្រវែងនៃភាគីផ្ទុយគ្នានៅក្នុងវាដូចគ្នា។

AB+DC=AD+BC

អាច​ចារឹក​រង្វង់​ក្នុង​ត្រីកោណ​ណាមួយ។ មានតែមួយ។ នៅ​ចំណុច​ដែល​ផ្នែក​ខាង​ក្នុង​នៃ​មុំ​ខាង​ក្នុង​នៃ​រូប​ប្រសព្វ​គ្នា កណ្តាល​នៃ​រង្វង់​ចារឹក​នេះ​នឹង​ស្ថិតនៅ។

កាំនៃរង្វង់ចារឹកត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

r = \frac(S)(p) ,

ដែល p = \frac(a + b + c)(2)

រង្វង់មូល

ប្រសិនបើរង្វង់មួយឆ្លងកាត់គ្រប់ចំនុចនៃពហុកោណ នោះរង្វង់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បានគូសរង្វង់អំពីពហុកោណ.

ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់មូលនឹងស្ថិតនៅចំណុចប្រសព្វនៃរង្វង់កាត់កែងនៃជ្រុងនៃតួរលេខនេះ។

កាំអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការគណនាវាជាកាំនៃរង្វង់មួយដែលត្រូវបានគូសរង្វង់អំពីត្រីកោណដែលកំណត់ដោយចំនុចកំពូល 3 នៃពហុកោណ។

មានលក្ខខណ្ឌដូចតទៅ៖ រង្វង់មួយអាចត្រូវបានគូសជុំវិញរាងបួនជ្រុង លុះត្រាតែផលបូកនៃមុំទល់មុខរបស់វាស្មើនឹង 180^(\circ) ។

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

នៅជិតត្រីកោណណាមួយ គេអាចពណ៌នារង្វង់មួយ ហើយមានតែមួយ កណ្តាលនៃរង្វង់បែបនេះនឹងស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចដែលផ្នែកកាត់កែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នា។

កាំនៃរង្វង់មូលអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

R = \frac(a)(2\sin A) = \frac(b)(2\sin B) = \frac(c)(2\sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c គឺជាប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ,

S គឺជាតំបន់នៃត្រីកោណ។

ទ្រឹស្តីបទ Ptolemy

ជាចុងក្រោយ សូមពិចារណាទ្រឹស្តីបទរបស់ Ptolemy ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Ptolemy ចែងថាផលនៃអង្កត់ទ្រូងគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងផលបូកនៃផលបូកនៃជ្រុងម្ខាងនៃសិលាចារឹកចតុកោណ។

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

ជាញឹកញាប់ស្តាប់ទៅដូចជាផ្នែកមួយនៃយន្តហោះដែលត្រូវបានចងដោយរង្វង់មួយ។ រង្វង់នៃរង្វង់គឺជាខ្សែកោងបិទជិត។ ចំណុចទាំងអស់នៅលើខ្សែកោងមានចម្ងាយដូចគ្នាពីកណ្តាលរង្វង់។ នៅក្នុងរង្វង់មួយប្រវែងនិងបរិវេណរបស់វាគឺដូចគ្នា។ សមាមាត្រនៃប្រវែងនៃរង្វង់ណាមួយ និងអង្កត់ផ្ចិតរបស់វាគឺថេរ ហើយត្រូវបានតាងដោយលេខ π \u003d 3.1415 ។

ការកំណត់រង្វង់នៃរង្វង់

បរិវេណនៃរង្វង់នៃកាំ r គឺស្មើនឹងពីរដងនៃផលគុណនៃកាំ r និងចំនួនπ(~3.1415)

រូបមន្តបរិវេណរង្វង់

បរិមាត្រនៃរង្វង់កាំ \(r\)៖

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\\ (P \\) - បរិវេណ (រង្វង់) ។

\(r\) គឺជាកាំ។

\\ (d \\) - អង្កត់ផ្ចិត។

រង្វង់មួយនឹងត្រូវបានគេហៅថាជាតួលេខធរណីមាត្រ ដែលនឹងមានចំណុចទាំងអស់ដែលមានចម្ងាយដូចគ្នាពីចំណុចណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កណ្តាលរង្វង់យើងនឹងហៅចំណុចដែលត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃនិយមន័យ 1 ។

កាំរង្វង់យើងនឹងហៅចម្ងាយពីកណ្តាលរង្វង់នេះទៅចំណុចណាមួយរបស់វា។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian \(xOy \) យើងក៏អាចបញ្ចូលសមីការនៃរង្វង់ណាមួយ។ សម្គាល់ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដោយចំណុច \(X \) ដែលនឹងមានកូអរដោនេ \((x_0,y_0) \) ។ សូមឱ្យកាំនៃរង្វង់នេះជា \(τ \) ។ យកចំណុចបំពានមួយ \(Y \) ដែលកូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញដោយ \((x,y) \) (រូបភាពទី 2) ។

យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលយើងបានបញ្ជាក់យើងទទួលបាន៖

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

ម៉្យាងវិញទៀត \(|XY| \) គឺជាចំងាយពីចំណុចណាមួយនៅលើរង្វង់ទៅកណ្តាលដែលបានជ្រើសរើសរបស់យើង។ នោះគឺតាមនិយមន័យ 3 យើងទទួលបាននោះ \(|XY|=τ \) ដូច្នេះ

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \\) (1)

ដូច្នេះ យើងទទួលបានសមីការនោះ (1) គឺជាសមីការនៃរង្វង់មួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។

រង្វង់មូល (រង្វង់មូល)

យើង​នឹង​ទាញ​យក​ប្រវែង​នៃ​រង្វង់​តាម​អំពើ​ចិត្ត \(C \) ដោយ​ប្រើ​កាំ​វា​ស្មើ​នឹង \(τ \) ។

យើងនឹងពិចារណារង្វង់បំពានពីរ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ប្រវែងរបស់ពួកគេជា \(C \) និង \(C" \) ដែលរ៉ាឌីគឺ \(τ \) និង \(τ" \) ។ យើងនឹងចារឹកក្នុងរង្វង់ទាំងនេះទៀងទាត់ \(n\)-gons ដែលបរិវេណរបស់វាស្មើនឹង \(ρ \) និង \(ρ" \) ដែលប្រវែងចំហៀងគឺស្មើនឹង \(α \) និង \(α" \) រៀងៗខ្លួន។ ដូចដែលយើងដឹងហើយថាផ្នែកនៃ \(n\)-gon ធម្មតាដែលចារឹកក្នុងរង្វង់គឺស្មើនឹង

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

បន្ទាប់មក យើងនឹងទទួលបានវា។

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \\)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" )\)

យើងទទួលបានសមាមាត្រនោះ។ \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \\)នឹងពិតដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណទៀងទាត់ដែលបានចារឹក។ I.e

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \\)

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើយើងបង្កើនចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណធម្មតាដែលបានចារិកដោយឥតកំណត់ (នោះគឺ \(n →∞ \)) យើងនឹងទទួលបានសមភាព៖

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \\)

ពីសមភាពពីរចុងក្រោយយើងទទួលបាននោះ។

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \\)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \\)

យើងឃើញថាសមាមាត្រនៃរង្វង់រង្វង់មួយទៅកាំទ្វេរបស់វាតែងតែជាលេខដូចគ្នា ដោយមិនគិតពីជម្រើសនៃរង្វង់ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា នោះគឺ

\(\frac(C)(2τ)=const\)

ថេរ​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​លេខ "pi" និង​តំណាង \(π \) ។ ប្រហែលលេខនេះនឹងស្មើនឹង \(3,14 \) (មិនមានតម្លៃពិតប្រាកដសម្រាប់លេខនេះទេ ព្រោះវាជាចំនួនមិនសមហេតុផល)។ ដូច្នេះ

\\(\frac(C)(2τ)=π\)

ទីបំផុតយើងទទួលបានថាបរិមាត្រ (បរិមាត្រនៃរង្វង់) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

\\(C=2πτ \\)

Javascript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ការគ្រប់គ្រង ActiveX ត្រូវតែបើក ដើម្បីធ្វើការគណនា!

ចូរយើងធ្វើរង្វង់មួយ។ កំណត់ជើងរបស់ត្រីវិស័យដោយម្ជុលទៅចំណុច "O" ហើយយើងនឹងបង្វិលជើងរបស់ត្រីវិស័យដោយប្រើខ្មៅដៃជុំវិញចំណុចនេះ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានបន្ទាត់បិទ។ បន្ទាត់បិទនេះត្រូវបានគេហៅថា រង្វង់.

សូមក្រឡេកមើលរង្វង់ឱ្យកាន់តែច្បាស់។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីអ្វីដែលហៅថា កណ្តាល កាំ និងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់មួយ។

• () O ត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃរង្វង់។
• ចម្រៀក​បន្ទាត់​ដែល​តភ្ជាប់​កណ្តាល​និង​ចំណុច​ណាមួយ​នៅលើ​រង្វង់​ត្រូវ​បាន​ហៅ កាំរង្វង់. កាំនៃរង្វង់ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ "R" ។ នៅក្នុងរូបភាពខាងលើនេះគឺជាផ្នែក " OA »។
• ផ្នែកបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរនៅលើរង្វង់មួយហើយឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា អង្កត់ផ្ចិតរង្វង់.

  អង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរ "D" ។ នៅក្នុងរូបភាពខាងលើនេះគឺជាផ្នែក "BC" ។

  តួលេខនេះក៏បង្ហាញផងដែរថាអង្កត់ផ្ចិតគឺស្មើនឹងពីរកាំ។ ដូច្នេះ កន្សោម "D \u003d 2R" គឺពិត។

លេខ π និងរង្វង់

មុនពេលអ្នកស្វែងយល់ពីរបៀបដែលរង្វង់ត្រូវបានគណនា អ្នកត្រូវរកឱ្យឃើញថាតើលេខ π (អានថា "Pi") គឺជាអ្វី ដែលត្រូវបានលើកឡើងជាញឹកញាប់នៅក្នុងមេរៀន។

នៅសម័យបុរាណ គណិតវិទូនៃប្រទេសក្រិចបុរាណបានសិក្សាយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់នូវរង្វង់មូល ហើយឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថា រង្វង់ និងអង្កត់ផ្ចិតរបស់វាមានទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក។

ចាំ!

សមាមាត្រនៃរង្វង់រង្វង់មួយទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិតរបស់វាគឺដូចគ្នាសម្រាប់រង្វង់ទាំងអស់ ហើយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរក្រិកπ ("Pi") ។
π ≈ 3.14…

លេខ "Pi" សំដៅលើលេខដែលតម្លៃពិតប្រាកដមិនអាចសរសេរបានទាំងប្រភាគធម្មតា ឬដោយប្រភាគទសភាគ។ សម្រាប់ការគណនារបស់យើង វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការប្រើតម្លៃ π,
បង្គត់​ទៅ​ខ្ទង់​រយ π ≈ 3.14…

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងថាលេខ π ជាអ្វី យើងអាចសរសេររូបមន្តសម្រាប់រង្វង់មូល។

ចាំ!

រង្វង់គឺជាផលគុណនៃលេខ π និងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់។ រង្វង់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរ "C" (អានថា "Tse") ។
គ = π ឃ
C = 2πRចាប់តាំងពី D = 2R

របៀបស្វែងរករង្វង់មូល

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងដែលទទួលបាន យើងដោះស្រាយបញ្ហានៅលើរង្វង់មួយ។

Vilenkin ថ្នាក់ទី ៦ ។ បន្ទប់ ៨៣១

កិច្ចការ:

រកប្រវែងរង្វង់ដែលមានកាំ 24 សង់ទីម៉ែត្រ។ បង្គត់លេខ π ដល់ រាប់រយ។

យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ទំហំរង្វង់៖

C = 2π R ≈ 2 3.14 24 ≈ 150.72 សង់ទីម៉ែត្រ

ចូរយើងវិភាគបញ្ហាបញ្ច្រាសនៅពេលដែលយើងដឹងពីរង្វង់នៃរង្វង់មួយ ហើយយើងត្រូវបានគេសួរឱ្យស្វែងរកអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។

Vilenkin ថ្នាក់ទី ៦ ។ បន្ទប់ ៨៣៥

កិច្ចការ:

កំណត់អង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ប្រសិនបើប្រវែងរបស់វាគឺ 56.52 dm ។ (π ≈ ៣.១៤ ) ។

យើងបង្ហាញអង្កត់ផ្ចិតពីរូបមន្តសម្រាប់បរិមាត្រនៃរង្វង់មួយ។

គ = π ឃ
ឃ \u003d C / π
ឃ = 56.52 / 3.14 = 18 dm

អង្កត់ធ្នូនិងធ្នូរាងជារង្វង់

នៅក្នុងរូបខាងក្រោម យើងគូសពីរចំនុចនៅលើរង្វង់ "A" និង "B" ។ ចំនុចទាំងនេះបែងចែករង្វង់ជាពីរផ្នែកដែលផ្នែកនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា ធ្នូ. នេះគឺជាធ្នូពណ៌ខៀវ "AB" និងធ្នូខ្មៅ "AB" ។ ចំណុច "A" និង "B" ត្រូវបានហៅ ធ្នូបញ្ចប់.

រង្វង់មួយត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃមិនតិចជាងចតុកោណកែងទេ។ ហើយសម្រាប់មនុស្សជាច្រើនភារកិច្ចនៃរបៀបគណនារង្វង់នៃរង្វង់គឺពិបាកណាស់។ ហើយទាំងអស់ដោយសារតែនាងមិនមានជ្រុង។ ជាមួយពួកគេ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងកាន់តែងាយស្រួល។

តើរង្វង់គឺជាអ្វីហើយវាកើតឡើងនៅទីណា?

តួលេខផ្ទះល្វែងនេះគឺជាចំណុចមួយចំនួនដែលមានទីតាំងនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីចំណុចមួយទៀតដែលជាចំណុចកណ្តាល។ ចម្ងាយនេះត្រូវបានគេហៅថាកាំ។

នៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ វាមិនចាំបាច់ជាញឹកញាប់ក្នុងការគណនារង្វង់ទេ លើកលែងតែមនុស្សដែលជាវិស្វករ និងអ្នករចនា។ ពួកគេរចនាយន្តការដែលប្រើឧទាហរណ៍ ប្រអប់លេខ រន្ធ និងកង់។ ស្ថាបត្យករបង្កើតផ្ទះដែលមានបង្អួចរាងមូល ឬរាងមូល។

ករណីទាំងនេះ និងករណីផ្សេងទៀតនីមួយៗទាមទារភាពជាក់លាក់របស់វាផ្ទាល់។ ជាងនេះទៅទៀត វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគណនាទំហំរង្វង់ដោយភាពត្រឹមត្រូវដាច់ខាត។ នេះគឺដោយសារតែគ្មានដែនកំណត់នៃលេខសំខាន់នៅក្នុងរូបមន្ត។ "Pi" នៅតែត្រូវបានបញ្ជាក់។ ហើយភាគច្រើនជាញឹកញាប់តម្លៃមូលត្រូវបានប្រើ។ កម្រិតនៃភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានជ្រើសរើស ដើម្បីផ្តល់ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវបំផុត។

ការសម្គាល់នៃបរិមាណនិងរូបមន្ត

ឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបគណនារង្វង់នៃរង្វង់ពីកាំមួយ វានឹងត្រូវការរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

ដោយសារកាំ និងអង្កត់ផ្ចិតមានទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក មានរូបមន្តមួយទៀតសម្រាប់ការគណនា។ ដោយសារកាំមានទំហំតូចជាងពីរដង កន្សោមនឹងផ្លាស់ប្តូរបន្តិច។ ហើយរូបមន្តសម្រាប់គណនាទំហំរង្វង់ដោយដឹងពីអង្កត់ផ្ចិតនឹងមានដូចខាងក្រោម៖

l \u003d π * ឃ។

ចុះបើអ្នកត្រូវគណនាបរិវេណរង្វង់?

គ្រាន់តែចាំថារង្វង់មួយរួមបញ្ចូលចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងរង្វង់។ ដូច្នេះ បរិវេណរបស់វាស្របគ្នានឹងប្រវែងរបស់វា។ ហើយបន្ទាប់ពីគណនាបរិមាត្រសូមដាក់សញ្ញាស្មើៗគ្នាជាមួយបរិមាត្រនៃរង្វង់។

ដោយវិធីនេះពួកគេមានការរចនាដូចគ្នា។ នេះអនុវត្តចំពោះកាំ និងអង្កត់ផ្ចិត ហើយអក្សរឡាតាំង P គឺជាបរិមាត្រ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ

កិច្ចការមួយ។

លក្ខខណ្ឌ។ស្វែងរករង្វង់ដែលកាំមាន 5 សង់ទីម៉ែត្រ។

ការសម្រេចចិត្ត។នៅទីនេះវាងាយស្រួលយល់ពីរបៀបគណនាទំហំរង្វង់។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រើរូបមន្តដំបូង។ ដោយសារកាំត្រូវបានគេស្គាល់ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺដោតតម្លៃ និងរាប់។ 2 គុណនឹងកាំនៃ 5 សង់ទីម៉ែត្រផ្តល់ឱ្យ 10. វានៅសល់ដើម្បីគុណវាដោយតម្លៃនៃπ។ 3.14 * 10 = 31.4 (សង់ទីម៉ែត្រ) ។

ចម្លើយ៖លីត្រ = 31.4 សង់ទីម៉ែត្រ។

កិច្ចការពីរ

លក្ខខណ្ឌ។មាន​កង់​មួយ​ដែល​រង្វង់​ត្រូវ​បាន​គេ​ស្គាល់​និង​ស្មើ​នឹង 1256 mm។ អ្នកត្រូវគណនាកាំរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត។នៅក្នុងភារកិច្ចនេះអ្នកនឹងត្រូវប្រើរូបមន្តដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែមានតែប្រវែងដែលគេស្គាល់ប៉ុណ្ណោះដែលនឹងត្រូវបែងចែកដោយផលគុណនៃ 2 និងπ។ វាប្រែថាផលិតផលនឹងផ្តល់លទ្ធផល: 6.28 ។ បន្ទាប់ពីការបែងចែកចំនួននៅសល់: 200. នេះគឺជាតម្លៃដែលចង់បាន។

ចម្លើយ៖ r = 200 ម។

កិច្ចការបី

លក្ខខណ្ឌ។គណនាអង្កត់ផ្ចិតប្រសិនបើរង្វង់ត្រូវបានគេដឹងគឺ 56.52 សង់ទីម៉ែត្រ។

ការសម្រេចចិត្ត។ស្រដៀងទៅនឹងបញ្ហាមុនដែរ អ្នកត្រូវបែងចែកប្រវែងដែលគេស្គាល់ដោយតម្លៃ π បង្គត់រហូតដល់រាប់រយ។ ជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពបែបនេះលេខ 18 ត្រូវបានទទួល។

ចម្លើយ៖ d = 18 សង់ទីម៉ែត្រ។

កិច្ចការទីបួន

លក្ខខណ្ឌ។ដៃនាឡិកាមានប្រវែង 3 និង 5 សង់ទីម៉ែត្រ វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាប្រវែងរង្វង់ដែលពិពណ៌នាអំពីចុងរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត។ដោយសារព្រួញស្របគ្នានឹងកាំនៃរង្វង់នោះ រូបមន្តទីមួយគឺត្រូវបានទាមទារ។ វាត្រូវការប្រើពីរដង។

សម្រាប់ប្រវែងដំបូងផលិតផលនឹងមានកត្តា: 2; 3.14 និង 3. លទ្ធផលនឹងជាលេខ 18.84 សង់ទីម៉ែត្រ។

សម្រាប់ចម្លើយទីពីរ អ្នកត្រូវគុណ 2, π និង 5. ផលិតផលនឹងផ្តល់លេខមួយ: 31.4 សង់ទីម៉ែត្រ។

ចម្លើយ៖ l 1 = 18.84 សង់ទីម៉ែត្រ, l 2 = 31.4 សង់ទីម៉ែត្រ។

កិច្ចការទីប្រាំ

លក្ខខណ្ឌ។សត្វកំប្រុករត់ក្នុងកង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត 2 ម៉ែត្រ តើវារត់បានចម្ងាយប៉ុន្មានក្នុងបដិវត្តន៍ពេញលេញនៃកង់មួយ?

ការសម្រេចចិត្ត។ចម្ងាយនេះគឺស្មើនឹងរង្វង់នៃរង្វង់។ ដូច្នេះអ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តសមស្រប។ ពោលគឺគុណតម្លៃ π និង 2 m. ការគណនាផ្តល់លទ្ធផល: 6.28 m ។

ចម្លើយ៖កំប្រុករត់បាន 6.28 ម៉ែត្រ។