បង្ហាញថាដែនកំណត់នៃលំដាប់មិនមានទេ។ របៀបគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់

ការវិភាគគណិតវិទ្យា

ដែនកំណត់មុខងារ

ដែនកំណត់និងមុខងារនៃលំដាប់។ ទ្រឹស្តីបទកំណត់

ចំនួនថេរ កបានហៅ ដែនកំណត់លំដាប់(x n ) ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត e មានលេខ N ដែលតម្លៃទាំងអស់ x នដែល n > N បំពេញវិសមភាព

êx n - a ê< e. (1.1)

សរសេរវាដូចខាងក្រោម៖ ឬ x n ® a ។

វិសមភាព (1.1) គឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ

ក-អ៊ី< x n < a + e, (1.2)

ដែលមានន័យថាចំណុច x នចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន n>N ស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល (a-e, a+e) i.e. ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់អេឡិចត្រូនិចតូចមួយនៃចំណុច ក.

លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

គោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃគំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ចាប់តាំងពីដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ x n = f(n) នៃអាគុយម៉ង់ចំនួនគត់។ ន.

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ ក - ចំណុចកំណត់ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារនេះ D(f), i.e. ចំណុចបែបនេះ សង្កាត់ណាមួយដែលមានចំណុចនៃសំណុំ D(f) ខុសពី ក. ចំណុច កអាចឬមិនមែនជារបស់សំណុំ D(f)។

និយមន័យ ១.លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់មុខងារ f(x) នៅ x®a ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយ (x n ) នៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលមានទំនោរទៅ ក, លំដាប់ដែលត្រូវគ្នា (f(x n)) មានដែនកំណត់ដូចគ្នា A ។

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Heine,ឬ " នៅក្នុងភាសានៃលំដាប់”.

និយមន័យ ២. លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់មុខងារ f(x) នៅ x®a ប្រសិនបើបានផ្តល់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្តតាមអំពើចិត្ត មួយអាចរកឃើញ d >0 (អាស្រ័យលើ e) ដូចនេះសម្រាប់ទាំងអស់។ xដេកនៅក្នុងសង្កាត់ ឃ នៃលេខ ក, i.e. សម្រាប់ xការបំពេញនូវវិសមភាព
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Cauchy,ឬ "នៅក្នុងភាសាអ៊ី - ឃ" ។

និយមន័យ 1 និង 2 គឺសមមូល។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) ជា x ® a មានដែនកំណត់ស្មើនឹង A នោះវាត្រូវបានសរសេរជា

F(x) = A. (1.3)

ក្នុងករណីដែលលំដាប់ (f(x n)) កើនឡើង (ឬថយចុះ) ដោយមិនកំណត់សម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានណាមួយ xដល់ដែនកំណត់របស់អ្នក។ កបន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយថាមុខងារ f(x) មាន ដែនកំណត់គ្មានកំណត់,ហើយសរសេរវាជា៖

F(x) = ¥ ( f(x) = - ¥) ។

អថេរ (ឧ. លំដាប់ ឬមុខងារ) ដែលមានសូន្យដូចដែនកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថា តូចគ្មានកំណត់។

អថេរដែលមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ត្រូវបានហៅ ធំគ្មានកំណត់.

ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ក្នុងការអនុវត្ត ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រសិនបើមានដែនកំណត់ f(x)=A, g(x)=B បន្ទាប់មក

(f(x)+(g(x)) = A + B, (1.4)

F(x) g(x) = AB, (1.5)

F(x)/g(x) = A/B (B ¹ 0)។ (1.6)

មតិយោបល់. កន្សោមនៃទម្រង់ 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ គឺមិនកំណត់ ឧទាហរណ៍ សមាមាត្រនៃចំនួនពីរដែលមិនអាចកំណត់បាន ឬច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយការស្វែងរកដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់"។

ទ្រឹស្តីបទ ២.(f(x)) a = ( f(x)) a, ដែល a = const, (1.7)

ទាំងនោះ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនៅនិទស្សន្តថេរ ជាពិសេស ;

B f(x)=b A, ដែល b = const, f(x)=A; (1.8)

កំណត់ហេតុ c f(x) = log c f(x) ដែល c = const ។ (1.9)

ទ្រឹស្តីបទ ៣.= 1, = 1, a = const, a > 0,

(1 + ក) 1/ a = អ៊ី, (1.11)

កន្លែងណា អ៊ី» 2.7 គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ។ រូបមន្ត (1.10) និង (1.11) ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីមួយ និងទីពីរ។

កូរ៉ូឡារីនៃរូបមន្ត (១.១១) ក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តផងដែរ៖

កំណត់ហេតុ គ អ៊ី (1.12)

(a a - 1)/a = log a, (1.13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (1.14)

ជាពិសេស,

ប្រសិនបើ x® a និង x > a បន្ទាប់មកសរសេរ x® a+0 ។ ប្រសិនបើជាពិសេស a=0 បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យនិមិត្តសញ្ញា 0+0 សរសេរ +0 ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរប្រសិនបើ x®a និងលើសពីនេះទៅទៀត x កំណត់នៅខាងស្តាំនិង ដែនកំណត់នៅខាងឆ្វេងនៃមុខងារ f(x) នៅចំណុច ក. សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f(x) ជា x®a វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល = .

មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅចំណុចមួយ។ x 0 ប្រសិនបើ

លក្ខខណ្ឌ (1.15) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖

នោះគឺការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់ក្រោមសញ្ញានៃមុខងារគឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើវាបន្តនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើសមភាព (1.15) ត្រូវបានរំលោភ នោះយើងនិយាយអញ្ចឹង នៅ x = xo មុខងារ f(x) មានគម្លាត។ពិចារណាមុខងារ y = 1/x ។ ដែននៃមុខងារនេះគឺជាសំណុំ រលើកលែងតែ x = 0 ។ ចំនុច x = 0 គឺជាចំណុចកំណត់នៃសំណុំ D(f) ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយរបស់វា ឧ. ចន្លោះពេលបើកណាមួយដែលមានចំណុច 0 មានចំណុចពី D(f) ប៉ុន្តែវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនេះទេ។ តម្លៃ f(x o)= f(0) មិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដូច្នេះមុខងារមានការដាច់នៅចំណុច x o = 0 ។

មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ។ xo ប្រសិនបើ

និង បន្តនៅខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើ

ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ x oគឺស្មើនឹងការបន្តរបស់វានៅចំណុចនេះទាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង។

សម្រាប់មុខងារបន្តនៅចំណុចមួយ។ x oជាឧទាហរណ៍ នៅខាងស្តាំ ទីមួយ វាមានដែនកំណត់កំណត់ ហើយទីពីរ ដែនកំណត់នេះស្មើនឹង f(x o)។ ដូច្នេះប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះមិនត្រូវបានបំពេញនោះមុខងារនឹងមានគម្លាត។

1. បើមាន និងមិនស្មើនឹង f(x o) នោះគេនិយាយអញ្ចឹង មុខងារ f(x) នៅចំណុច xo មាន ការបំបែកនៃប្រភេទទីមួយ,ឬ លោត.

2. ប្រសិនបើ ¥ ស្មើ ឬមិនមាន នោះគេនិយាយថា ចូល ចំណុច x o មុខងារមានភាពមិនដំណើរការនៃប្រភេទទីពីរ.

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y = ctg x នៅ x® +0 មានដែនកំណត់ស្មើនឹង +¥ ដែលមានន័យថានៅចំណុច x=0 វាមានការដាច់នៃប្រភេទទីពីរ។ អនុគមន៍ y = E(x) (ផ្នែកចំនួនគត់នៃ x) នៅចំនុចដែលមានចំនួនគត់ abscissas មានការដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ឬលោត។

មុខងារដែលបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលត្រូវបានហៅ បន្តក្នុង។ មុខងារបន្តត្រូវបានតំណាងដោយខ្សែកោងរឹង។

បញ្ហាជាច្រើនដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៃបរិមាណមួយចំនួននាំឱ្យមានដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។ ជាឧទាហរណ៍ កិច្ចការទាំងនោះរួមមានៈ ការលូតលាស់នៃវិភាគទានតាមច្បាប់នៃផលប្រយោជន៍រួម កំណើនចំនួនប្រជាជនរបស់ប្រទេស ការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម ការកើនឡើងនៃបាក់តេរី។ល។

ពិចារណា ឧទាហរណ៍នៃ Ya. I. Perelmanដែលផ្តល់ការបកស្រាយនៃលេខ អ៊ីនៅក្នុងបញ្ហាផលប្រយោជន៍រួម។ ចំនួន អ៊ីមានដែនកំណត់ អ៊ី= . នៅក្នុងធនាគារសន្សំ ប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេរជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ ប្រសិនបើការតភ្ជាប់ត្រូវបានធ្វើឡើងញឹកញាប់ជាងនេះ នោះដើមទុនកើនឡើងលឿនជាងមុន ដោយសារចំនួនដ៏ច្រើនត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការបង្កើតការប្រាក់។ ចូរយើងយកទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ និងឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។ ឲ្យធនាគារដាក់១០០បាត។ ឯកតា ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើប្រាក់ដែលមានការប្រាក់ត្រូវបានបន្ថែមទៅដើមទុនថេរតែបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំបន្ទាប់មកដោយពេលនេះ 100 den ។ ឯកតា នឹងប្រែទៅជា 200 den ។ ឥឡូវនេះសូមមើលអ្វីដែល 100 den នឹងប្រែទៅជា។ ឯកតា ប្រសិនបើប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេររៀងរាល់ប្រាំមួយខែម្តង។ បន្ទាប់ពីពាក់កណ្តាលឆ្នាំ 100 ។ ឯកតា នឹងកើនឡើងដោយ 100 × 1.5 = 150 ហើយក្នុងរយៈពេលប្រាំមួយខែទៀត - ដោយ 150 × 1.5 = 225 (den. units) ។ ប្រសិនបើការចូលជាសមាជិកត្រូវបានធ្វើរៀងរាល់ 1/3 នៃឆ្នាំ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំ 100 den ។ ឯកតា នឹងប្រែទៅជា 100 × (1 + 1/3) 3 "237 (den. units) ។ យើងនឹងបង្កើនរយៈពេលបន្ថែមប្រាក់ការប្រាក់ដល់ 0.1 ឆ្នាំ 0.01 ឆ្នាំ 0.001 ឆ្នាំ។ល។ បន្ទាប់មកចេញពី 100 den ។ ឯកតា មួយឆ្នាំក្រោយមក៖

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).

ជាមួយនឹងការកាត់បន្ថយគ្មានដែនកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការចូលរួមការប្រាក់ ដើមទុនបង្គរមិនកើនឡើងឥតកំណត់នោះទេ ប៉ុន្តែឈានដល់កម្រិតជាក់លាក់មួយស្មើនឹងប្រមាណ 271។ ដើមទុនដែលដាក់ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំមិនអាចកើនឡើងលើសពី 2.71 ដងទេ បើទោះបីជាការប្រាក់បង្គរក៏ដោយ។ បន្ថែមទៅរាជធានីជារៀងរាល់វិនាទី, ដោយសារតែ

ឧទាហរណ៍ ១ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ បង្ហាញថាលំដាប់ x n =(n-1)/n មានដែនកំណត់ស្មើនឹង 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា អ្វីក៏ដោយ e>0 ដែលយើងយក វាមានលេខធម្មជាតិ N សម្រាប់វា ដូចជាសម្រាប់ទាំងអស់ n > N វិសមភាព½ x n -1 ½

ចូរយើងយក e > 0 ។ ចាប់តាំងពី ½ x n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n បន្ទាប់មកដើម្បីរក N វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព 1/n 1/e ហើយដូច្នេះ N អាចត្រូវបានយកជាផ្នែកនៃចំនួនគត់នៃ 1/e, N = E(1/e)។ យើងបានបញ្ជាក់ថា x n = 1 ។

ឧទាហរណ៍ ២. ស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពាក្យសាមញ្ញ x n = .

ការសម្រេចចិត្ត។យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ផលបូក និងស្វែងរកដែនកំណត់នៃពាក្យនីមួយៗ។ ក្នុងនាមជា n ®¥ ភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យនីមួយៗមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយយើងមិនអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតាដោយផ្ទាល់បានទេ។ ដូច្នេះដំបូងយើងផ្លាស់ប្តូរ x នចែកភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យទីមួយដោយ n ២, និងទីពីរ ន. បន្ទាប់មកការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកម្រិតកូតានិក និងទ្រឹស្តីបទកំណត់ផលបូក យើងរកឃើញ៖

ឧទាហរណ៍ ៣. x n = . ស្វែងរក x n ។

ការសម្រេចចិត្ត។ = .

នៅទីនេះយើងបានប្រើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ដឺក្រេ៖ ដែនកំណត់នៃដឺក្រេគឺស្មើនឹងកម្រិតនៃដែនកំណត់នៃមូលដ្ឋាន។

ឧទាហរណ៍ 4. ដើម្បីស្វែងរក () ។

ការសម្រេចចិត្ត។វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ភាពខុសគ្នា ដោយសារយើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ¥ - ¥។ ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្តនៃពាក្យទូទៅ៖

ឧទាហរណ៍ ៥. អនុគមន៍ f(x)=2 1/x ។ បង្ហាញថាវាមិនមានទេ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងប្រើនិយមន័យ 1 នៃដែនកំណត់នៃមុខងារក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់មួយ។ យកលំដាប់មួយ ( x n ) បម្លែងទៅជា 0, i.e. xn=0 ។ ចូរយើងបង្ហាញថាតម្លៃ f(x n)= មានឥរិយាបទខុសគ្នាសម្រាប់លំដាប់ផ្សេងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យ x n = 1/n ។ ជាក់ស្តែង 1/n = 0 បន្ទាប់មក = 2 n = +¥ ។ តោះជ្រើសរើសឥឡូវនេះ x នលំដាប់ដែលមានពាក្យសាមញ្ញ x n = -1/n ក៏មានទំនោរទៅសូន្យ។ = 2 − n = 1/2 n = 0. ដូច្នេះ 2 1/x មិនមានទេ។

ឧទាហរណ៍ ៦. បញ្ជាក់អំពើបាបនោះ។ xមិនមានទេ។

ការសម្រេចចិត្ត។ទុក x 1 , x 2 ,... , x n , ... ជាលំដាប់ដែល
x n = ¥ ។ តើលំដាប់ (f(x n)) = (sin x n) មានឥរិយាបទសម្រាប់ x n ®¥ ខុសគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?

ប្រសិនបើ x n = pn នោះ sin x n = sin pn = 0 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ននិង sinxn=0 ។ ប្រសិនបើ
x n \u003d 2pn + p / 2 បន្ទាប់មក sin x n \u003d sin (2pn + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា នដូច្នេះ sin x n = 1 ។ ដូច្នេះ sin x មិនមានទេ។

ឧទាហរណ៍ ៧ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងមាន៖ = ៥. សម្គាល់ t = 5x ។ សម្រាប់ x®0 យើងមាន៖ t®0។ ការអនុវត្តរូបមន្ត (3.10) យើងទទួលបាន 5 ។

ឧទាហរណ៍ ៨. គណនា។

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងសម្គាល់ y=p-x ។ បន្ទាប់មក ជា x®p, y®0 យើងមាន៖

sin 3x \u003d sin 3 (p-y) \u003d sin (3p-3y) \u003d sin 3y ។

sin 4x \u003d sin 4 (p-y) \u003d sin (4p-4y) \u003d - sin 4y ។

ឧទាហរណ៍ ៩. ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត។សម្គាល់ arcsin x = t ។ បន្ទាប់មក x=sin t និងសម្រាប់ x®0 t®0។ = .

ឧទាហរណ៍ 10. ស្វែងរក 1); 2) ; ៣).

ការសម្រេចចិត្ត។

1. ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ 1 លើដែនកំណត់នៃភាពខុសគ្នា និងផលិតផល យើងរកឃើញដែនកំណត់នៃភាគបែង៖ .

ដែនកំណត់នៃភាគបែងគឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ 1 លើដែនកំណត់នៃភាគបែង យើងទទួលបាន: = .

2. នៅទីនេះ ភាគយក និងភាគបែងមានទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺឧ។ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ 0/0 ។ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតាមិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់បានទេ។ ដើម្បី "បង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់" យើងផ្លាស់ប្តូរមុខងារនេះ។ ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ x-2 យើងទទួលបានសម្រាប់ x ¹ 2 សមភាព៖

ចាប់តាំងពី (x + 1) ¹ 0 មក ដោយទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតា យើងរកឃើញ

3. ភាគបែង និងភាគបែងនៃ x®¥ មានមុខងារច្រើនគ្មានកំណត់។ ដូច្នេះ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតា មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់បានទេ។ ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ x2ហើយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតាទៅអនុគមន៍លទ្ធផល៖

ឧទាហរណ៍ 11. ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត។នៅទីនេះ ភាគយក និងភាគបែងមានទំនោរទៅសូន្យ៖ , x-9®0, i.e. យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់។

យើងបំប្លែងអនុគមន៍នេះដោយគុណភាគយក និងភាគបែងដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូកនៃកន្សោម យើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ 12. ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត។ = .

៦.២. ការអនុវត្តដែនកំណត់ក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច

ការប្រាក់រួម

នៅក្នុងការគណនាជាក់ស្តែងភាគរយដាច់ពីគ្នាត្រូវបានប្រើជាចម្បង i.e. ការប្រាក់ដែលកើតឡើងសម្រាប់ចន្លោះពេលស្មើគ្នាថេរ (ឆ្នាំ ពាក់កណ្តាលឆ្នាំ ត្រីមាស ។ល។) ពេលវេលាគឺជាអថេរដាច់ដោយឡែក។ ក្នុងករណីខ្លះ នៅក្នុងភស្តុតាង និងការគណនាដែលទាក់ទងនឹងដំណើរការបន្ត វាចាំបាច់ត្រូវប្រើភាគរយបន្ត។ ពិចារណារូបមន្តការប្រាក់រួម៖

S = P(1 + i) n ។ (1.16)

នៅទីនេះ P គឺជាចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូង ខ្ញុំជាអត្រាការប្រាក់ (ជាប្រភាគទសភាគ) S គឺជាចំនួនទឹកប្រាក់ដែលបង្កើតឡើងដោយចុងបញ្ចប់នៃរយៈពេលកម្ចីនៅចុងបញ្ចប់ នឆ្នាំទី។ កំណើនការប្រាក់រួមគឺជាដំណើរការដែលអភិវឌ្ឍដោយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ការបន្ថែមការប្រាក់បង្គរទៅនឹងចំនួនដែលបានបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការប្តេជ្ញាចិត្តរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ មូលធនប័ត្រការប្រាក់។នៅក្នុងការអនុវត្តហិរញ្ញវត្ថុ ពួកគេតែងតែប្រឈមមុខនឹងបញ្ហាដែលផ្ទុយពីការកំណត់ចំនួនបង្គរ៖ សម្រាប់ចំនួនទឹកប្រាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ S ដែលគួរតែត្រូវបានបង់បន្ទាប់ពីពេលខ្លះ។ នវាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ចំនួនប្រាក់កម្ចីដែលទទួលបាន P. ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាចំនួនទឹកប្រាក់ S បញ្ចុះតម្លៃ, និងភាគរយនៅក្នុងទម្រង់នៃភាពខុសគ្នា S - P ត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចុះតម្លៃ។តម្លៃ P ដែលរកឃើញដោយការបញ្ចុះតម្លៃ S ត្រូវបានគេហៅថា ទំនើប,ឬ បានផ្តល់ឱ្យ,តម្លៃ S. យើងមាន៖

P = z P = = 0 ។

ដូច្នេះ ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃការទូទាត់ដ៏វែងឆ្ងាយ តម្លៃបច្ចុប្បន្ននៃក្រោយៗទៀតនឹងមានចំនួនតិចតួចបំផុត។

នៅក្នុងប្រតិបត្តិការហិរញ្ញវត្ថុ និងឥណទានជាក់ស្តែង ដំណើរការបន្តនៃបរិមាណរូបិយវត្ថុ ឧ. ការកើនឡើងក្នុងរយៈពេលតិចតួចគ្មានកំណត់ កម្រត្រូវបានប្រើប្រាស់ណាស់។ ការរីកចម្រើនឥតឈប់ឈរមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងជាងនៅក្នុងការវិភាគហិរញ្ញវត្ថុ និងសេដ្ឋកិច្ចជាបរិមាណនៃវត្ថុ និងបាតុភូតឧស្សាហកម្ម និងសេដ្ឋកិច្ចដ៏ស្មុគស្មាញ ឧទាហរណ៍ក្នុងការជ្រើសរើស និងយុត្តិកម្មនៃការសម្រេចចិត្តវិនិយោគ។ តម្រូវការប្រើប្រាស់ប្រាក់បញ្ញើបន្ត (ឬភាគរយបន្ត) ត្រូវបានកំណត់ជាចម្បងដោយការពិតដែលថាបាតុភូតសេដ្ឋកិច្ចជាច្រើនបន្តនៅក្នុងធម្មជាតិ ដូច្នេះការពិពណ៌នាបែបវិភាគក្នុងទម្រង់នៃដំណើរការបន្តគឺគ្រប់គ្រាន់ជាងផ្អែកលើកត្តាដាច់ដោយឡែក។ យើងកំណត់រូបមន្តការប្រាក់រួមសម្រាប់ករណីនៅពេលការប្រាក់ត្រូវបានគិតថ្លៃ មមួយឆ្នាំម្ដង:

S = P (1 + i / m) mn ។

បរិមាណបង្គរនៅក្នុងដំណើរការដាច់ដោយឡែកត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តនេះនៅទីនេះ ម- ចំនួននៃរយៈពេលបង្គរក្នុងមួយឆ្នាំ ខ្ញុំ- អត្រាប្រចាំឆ្នាំឬនាមករណ៍។ កាន់តែច្រើន មចន្លោះពេលរវាងពេលវេលានៃការគណនាការប្រាក់កាន់តែខ្លី។ ក្នុងដែនកំណត់ជា m ®¥ យើងមាន៖

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n ។

ចាប់តាំងពី (1 + i/m) m = e i បន្ទាប់មក `S = P e ក្នុង .

ជាមួយនឹងការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់ អត្រាការប្រាក់ប្រភេទពិសេសមួយត្រូវបានប្រើប្រាស់ - កម្លាំងនៃការលូតលាស់ដែលកំណត់លក្ខណៈនៃការកើនឡើងដែលទាក់ទងគ្នានៅក្នុងចំនួនបង្គរក្នុងរយៈពេលដ៏តូចមួយនៃពេលវេលា។ ជាមួយនឹងមូលធននីយកម្មនៃការប្រាក់ជាបន្តបន្ទាប់ ចំនួនទឹកប្រាក់បង្គរគឺស្មើនឹងចំនួនចុងក្រោយ ដែលអាស្រ័យលើចំនួនដំបូង រយៈពេលបង្គរ និងអត្រាការប្រាក់បន្ទាប់បន្សំ។ ដើម្បីបែងចែករវាងអត្រាការប្រាក់បន្តនិងអត្រាការប្រាក់ដាច់ដោយឡែក យើងសម្គាល់អតីតដោយ d បន្ទាប់មក `S = Pe .

កម្លាំងកំណើន d គឺជាអត្រាការប្រាក់បន្ទាប់បន្សំនៅm®¥។ មេគុណត្រូវបានគណនាដោយប្រើកុំព្យូទ័រ ឬតាមតារាងមុខងារ។

ស្ទ្រីមការទូទាត់។ ការជួលហិរញ្ញវត្ថុ

កិច្ចសន្យា ប្រតិបត្តិការ ពាណិជ្ជកម្ម និងផលិតកម្ម និងប្រតិបត្តិការអាជីវកម្ម ជារឿយៗមិនផ្តល់សម្រាប់ការទូទាត់តែមួយដងដាច់ដោយឡែកនោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់ការទូទាត់ និងបង្កាន់ដៃជាច្រើនដែលចែកចាយតាមពេលវេលា។ ធាតុបុគ្គលនៃស៊េរីបែបនេះ ហើយជួនកាលស៊េរីនៃការទូទាត់ទាំងមូលត្រូវបានគេហៅថា លំហូរការទូទាត់. សមាជិកស្ទ្រីមការទូទាត់អាចជាតម្លៃវិជ្ជមាន (បង្កាន់ដៃ) ឬអវិជ្ជមាន (ការទូទាត់) ។ លំហូរនៃការទូទាត់ដែលសមាជិកទាំងអស់គឺជាតម្លៃវិជ្ជមាន ហើយចន្លោះពេលរវាងការទូទាត់បន្តបន្ទាប់គ្នាពីរគឺថេរ ត្រូវបានគេហៅថា ការជួលហិរញ្ញវត្ថុ. ប្រចាំឆ្នាំត្រូវបានបែងចែកទៅជាប្រចាំឆ្នាំ រ- បន្ទាន់, កន្លែងណា រកំណត់លក្ខណៈចំនួននៃការទូទាត់ក្នុងកំឡុងឆ្នាំ។ ទាំងនេះគឺជាការជួលដាច់ដោយឡែក។ នៅក្នុងការអនុវត្តផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុ និងសេដ្ឋកិច្ច ក៏មានលំដាប់នៃការទូទាត់ដែលត្រូវបានធ្វើឡើងជាញឹកញាប់ផងដែរ ដែលក្នុងការអនុវត្តពួកគេអាចចាត់ទុកថាជាបន្ត។ ការទូទាត់បែបនេះត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំជាបន្តបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍ 13ឧបមាថានៅដំណាច់ឆ្នាំនីមួយៗសម្រាប់រយៈពេល 4 ឆ្នាំ 1 លានរូប្លែត្រូវបានដាក់ក្នុងធនាគារការប្រាក់ត្រូវបានបង្គរនៅចុងឆ្នាំអត្រាគឺ 5% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ក្នុងករណីនេះ ការដំឡើងទីមួយនឹងប្រែទៅជាចំនួន 10 6 ´ 1.05 3 នៅចុងបញ្ចប់នៃរយៈពេលប្រចាំឆ្នាំ ចាប់តាំងពីចំនួនដែលត្រូវគ្នាមាននៅក្នុងគណនីអស់រយៈពេល 3 ឆ្នាំ ការដំឡើងទីពីរនឹងកើនឡើងដល់ 10 6 ´ 1.05 2 ចាប់តាំងពីវាមាននៅក្នុងគណនីអស់រយៈពេល 2 ឆ្នាំ។ ការដំឡើងចុងក្រោយមិនបង់ការប្រាក់។ ដូច្នេះ នៅចុងបញ្ចប់នៃរយៈពេលប្រចាំឆ្នាំ ការរួមចំណែកជាមួយនឹងការប្រាក់បង្គរតំណាងឱ្យស៊េរីនៃលេខ៖ 10 6 ´ 1.05 3 ; 10 6 ´ 1.05 2 ; 10 6 ´ 1.05; 10 6. តម្លៃដែលប្រមូលបាននៅចុងបញ្ចប់នៃរយៈពេល annuity នឹងស្មើនឹងផលបូកនៃសមាជិកនៃស៊េរីនេះ។ ដើម្បីសង្ខេបនូវអ្វីដែលបាននិយាយ យើងទទួលបានរូបមន្តដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ចំនួនបង្គរនៃប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ។ បញ្ជាក់៖ S - ចំនួនបង្គរនៃប្រចាំឆ្នាំ, R - ទំហំនៃសមាជិកប្រចាំឆ្នាំ,
i - អត្រាការប្រាក់ (ប្រភាគទសភាគ), n - រយៈពេលប្រចាំឆ្នាំ (ចំនួនឆ្នាំ)។ សមាជិកប្រចាំឆ្នាំនឹងទទួលការប្រាក់សម្រាប់ n - 1, n - 2, ..., 2, 1 និង 0 ឆ្នាំ ហើយតម្លៃបង្គរនៃសមាជិកប្រចាំឆ្នាំនឹងត្រូវបាន

R (1 + i) n − 1 , R (1 + i) n − 2 ,... , R (1 + i), R ។

ចូរយើងសរសេរស៊េរីនេះឡើងវិញតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។ វាគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង (1+i) ហើយពាក្យទីមួយ R. ចូរយើងស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាព។ យើងទទួលបាន៖ S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) =
= R´((1 + i) n − 1)/ i ។ បញ្ជាក់ S n; i = ((1 + i) n − 1)/ i ហើយនឹងហៅវា។ កត្តាប្រមូលផ្តុំជួល. បើគិតការប្រាក់ មម្តងក្នុងមួយឆ្នាំ បន្ទាប់មក S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1) ដែលខ្ញុំជាអត្រាការប្រាក់បន្ទាប់បន្សំ។

តម្លៃ a n; i = (1 - (1 + i) - n) / ខ្ញុំត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកាត់បន្ថយការជួល. មេគុណការកាត់បន្ថយប្រចាំឆ្នាំនៅ n ®¥ បង្ហាញចំនួនដងនៃតម្លៃបច្ចុប្បន្ននៃប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំគឺធំជាងរយៈពេលរបស់វា៖

អាន; ខ្ញុំ \u003d (1 - (1 + i) - n) / i \u003d 1 / i ។

ឧទាហរណ៍ 14នៅក្រោម ប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំដ៏អស់កល្បត្រូវបានយល់ថាជាលំដាប់នៃការទូទាត់ចំនួនសមាជិកដែលមិនមានកំណត់ - វាត្រូវបានបង់សម្រាប់ចំនួនឆ្នាំគ្មានកំណត់។ ប្រាក់រំលោះអចិន្រ្តៃយ៍មិនមែនជាការអរូបីសុទ្ធសាធនោះទេ - នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង វាគឺជាប្រភេទកម្ចីដែលជាប់បំណុលមួយចំនួន ដែលជាការវាយតម្លៃសមត្ថភាពនៃមូលនិធិសោធននិវត្តន៍ដើម្បីបំពេញកាតព្វកិច្ចរបស់ពួកគេ។ ផ្អែកលើ
ខ្លឹមសារនៃប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំអចិន្រ្តៃយ៍ វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាចំនួនបង្គររបស់វា។
គឺស្មើនឹងតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់ ដែលងាយស្រួលបញ្ជាក់ដោយរូបមន្ត៖
R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ as n ® ¥ ។

មេគុណកាត់បន្ថយសម្រាប់ប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំអចិន្រ្តៃយ៍ a n; i ® 1/i, ពេលណា A = R/i, ឧ. តម្លៃបច្ចុប្បន្នអាស្រ័យតែលើតម្លៃនៃរយៈពេលប្រចាំឆ្នាំ និងអត្រាការប្រាក់ដែលទទួលយកប៉ុណ្ណោះ។

គណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលបង្កើតពិភពលោក។ ទាំងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងមនុស្សសាមញ្ញ - គ្មាននរណាម្នាក់អាចធ្វើបានដោយគ្មានវាទេ។ ទីមួយ កុមារតូចៗត្រូវបានបង្រៀនឱ្យរាប់ បន្ទាប់មកបូក ដក គុណ និងចែកដោយសាលាមធ្យម ការកំណត់អក្សរចូលមកក្នុងល្បែង ហើយនៅពេលចាស់ពួកគេមិនអាចចែកចាយជាមួយបានទេ។

ប៉ុន្តែថ្ងៃនេះយើងនឹងនិយាយអំពីអ្វីដែលគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់ទាំងអស់គឺផ្អែកលើ។ អំពីសហគមន៍នៃលេខដែលហៅថា "ដែនកំណត់លំដាប់" ។

តើអ្វីទៅជាលំដាប់ ហើយតើវានៅត្រង់ណា?

អត្ថន័យនៃពាក្យ "លំដាប់" មិនពិបាកបកស្រាយទេ។ នេះគឺជាការសាងសង់របស់ដែលមាននរណាម្នាក់ឬអ្វីមួយស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់ឬជួរជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ ជួរសម្រាប់សំបុត្រទៅសួនសត្វគឺជាលំដាប់។ ហើយអាចមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ! ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលជួរទៅហាងនេះគឺជាលំដាប់មួយ។ ហើយប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់ចាកចេញពីជួរនេះភ្លាមៗ នោះគឺជាជួរផ្សេង លំដាប់ផ្សេង។

ពាក្យ "ដែនកំណត់" ក៏ត្រូវបានបកស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ - នេះគឺជាចុងបញ្ចប់នៃអ្វីមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាតម្លៃទាំងនោះនៅលើបន្ទាត់លេខដែលលំដាប់នៃលេខមាននិន្នាការ។ ហេតុអ្វីខំហើយមិនចប់? វាសាមញ្ញ បន្ទាត់លេខមិនមានទីបញ្ចប់ទេ ហើយលំដាប់ភាគច្រើនដូចជាកាំរស្មី មានតែការចាប់ផ្តើមប៉ុណ្ណោះ ហើយមើលទៅដូចនេះ៖

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

ដូច្នេះនិយមន័យនៃលំដាប់គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញវាគឺជាស៊េរីនៃសមាជិកនៃសំណុំមួយចំនួន។

តើលំដាប់លេខត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយរបៀបណា?

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់លេខអាចមើលទៅដូចនេះ៖ 1, 2, 3, 4, …n…

ក្នុងករណីភាគច្រើន សម្រាប់គោលបំណងជាក់ស្តែង លំដាប់ត្រូវបានបង្កើតឡើងពីលេខ ហើយសមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ X មានឈ្មោះផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា។ ឧទាហរណ៍:

x 1 - សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់;

x 2 - សមាជិកទីពីរនៃលំដាប់;

x 3 - សមាជិកទីបី;

x n គឺជាសមាជិកទី 0 ។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តជាក់ស្តែង លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តទូទៅដែលក្នុងនោះមានអថេរមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍:

X n \u003d 3n បន្ទាប់មកស៊េរីលេខខ្លួនវានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

វាគឺមានតំលៃចងចាំថានៅក្នុងការសម្គាល់ទូទៅនៃលំដាប់អ្នកអាចប្រើអក្សរឡាតាំងណាមួយហើយមិនត្រឹមតែ X ។ ឧទាហរណ៍ៈ y, z, k ។ល។

ការវិវត្តនព្វន្ធជាផ្នែកនៃលំដាប់

មុននឹងស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ គួរតែស្វែងយល់ឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅទៅក្នុងគោលគំនិតនៃស៊េរីលេខបែបនេះ ដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាបានជួបប្រទះនៅពេលពួកគេស្ថិតនៅក្នុងវណ្ណៈកណ្តាល។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលភាពខុសគ្នារវាងពាក្យដែលនៅជាប់គ្នាគឺថេរ។

កិច្ចការ៖ "អនុញ្ញាតឱ្យ 1 \u003d 15 និងជំហាននៃការវិវត្តនៃស៊េរីលេខ d \u003d 4 ។ បង្កើតសមាជិក 4 នាក់ដំបូងនៃជួរនេះ"

ដំណោះស្រាយ៖ a 1 = 15 (តាមលក្ខខណ្ឌ) គឺជាសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព (ស៊េរីលេខ)។

និង 2 = 15 + 4 = 19 គឺជាសមាជិកទីពីរនៃវឌ្ឍនភាព។

និង 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 គឺជាពាក្យទីបី។

និង 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 គឺជាពាក្យទីបួន។

ទោះជាយ៉ាងណាជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះវាជាការលំបាកក្នុងការឈានដល់តម្លៃដ៏ធំជាឧទាហរណ៍រហូតដល់ទៅ 125 ។ ជាពិសេសសម្រាប់ករណីបែបនេះ រូបមន្តដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការអនុវត្តត្រូវបានយកមក៖ a n \u003d a 1 + d (n-1) ។ ក្នុងករណីនេះ 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511 ។

ប្រភេទនៃលំដាប់

ភាគច្រើននៃលំដាប់គឺគ្មានទីបញ្ចប់វាមានតម្លៃចងចាំពេញមួយជីវិត។ មានស៊េរីលេខគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរប្រភេទ។ ទីមួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត a n = (-1) n ។ គណិតវិទូ ច្រើនតែសំដៅលើ លំដាប់ flasher នេះ។ ហេតុអ្វី? តោះពិនិត្យមើលលេខរបស់វា។

1, 1, -1, 1, -1, 1 ។ល។ ជាមួយឧទាហរណ៍នេះ វាច្បាស់ណាស់ថាលេខក្នុងលំដាប់អាចធ្វើម្តងទៀតបានយ៉ាងងាយស្រួល។

លំដាប់រោងចក្រ។ វាងាយស្មានថាមានហ្វាក់តូរីយ៉ូលនៅក្នុងរូបមន្តដែលកំណត់លំដាប់។ ឧទាហរណ៍៖ និង n = (n+1)!

បន្ទាប់មកលំដាប់នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

និង 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

និង 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 ។ល។

លំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះឥតកំណត់ ប្រសិនបើវិសមភាព -1 ត្រូវបានអង្កេតសម្រាប់សមាជិកទាំងអស់របស់វា។

និង 3 \u003d - 1/8 ។ល។

មានសូម្បីតែលំដាប់ដែលមានលេខដូចគ្នា។ ដូច្នេះហើយ n \u003d 6 មានចំនួនប្រាំមួយដែលគ្មានកំណត់។

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។

ដែនកំណត់លំដាប់មានជាយូរមកហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ជាការពិតណាស់ពួកគេសមនឹងការរចនាប្រកបដោយសមត្ថភាពផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។ ដូច្នេះ, ពេលវេលាដើម្បីរៀននិយមន័យនៃដែនកំណត់លំដាប់។ ជាដំបូង សូមពិចារណាអំពីដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារលីនេអ៊ែរលម្អិត៖

ដែនកំណត់ទាំងអស់ត្រូវបានអក្សរកាត់ជា lim ។
ធាតុកំណត់មានអក្សរកាត់ lim ដែលអថេរខ្លះមានទំនោរទៅជាចំនួនជាក់លាក់ សូន្យ ឬគ្មានកំណត់ ព្រមទាំងមុខងារខ្លួនឯង។

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយល់ថានិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: វាគឺជាចំនួនជាក់លាក់ដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ចូលទៅជិត។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ៖ និង x = 4x + 1 ។ បន្ទាប់មកលំដាប់ខ្លួនវានឹងមើលទៅដូចនេះ។

៥, ៩, ១៣, ១៧, ២១…x…

ដូច្នេះ លំដាប់នេះនឹងកើនឡើងដោយមិនកំណត់ ដែលមានន័យថាដែនកំណត់របស់វាស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ជា x →∞ ហើយវាគួរសរសេរដូចខាងក្រោម៖

ប្រសិនបើយើងយកលំដាប់ស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែ x មាននិន្នាការទៅ 1 យើងទទួលបាន៖

ហើយស៊េរីនៃលេខនឹងមានដូចនេះ៖ 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 ។ល។ រាល់ពេលដែលអ្នកត្រូវជំនួសលេខកាន់តែជិតមួយ (0.1, 0.2, 0.9, 0.986)។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីស៊េរីនេះថាដែនកំណត់នៃមុខងារគឺប្រាំ។

ពីផ្នែកនេះវាមានតម្លៃចងចាំថាតើដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខគឺនិយមន័យនិងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយកិច្ចការសាមញ្ញ។

ការសម្គាល់ទូទៅសម្រាប់ដែនកំណត់នៃលំដាប់

ដោយបានវិភាគដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ និយមន័យ និងឧទាហរណ៍របស់វា យើងអាចបន្តទៅប្រធានបទដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ។ ដែនកំណត់ទាំងអស់នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តមួយ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានវិភាគនៅក្នុងឆមាសទីមួយ។

ដូច្នេះ តើអក្សរ ម៉ូឌុល និងសញ្ញាវិសមភាពនេះមានន័យដូចម្តេច?

∀ គឺជាបរិមាណសកល ដោយជំនួសឃ្លា “សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា” “សម្រាប់អ្វីៗគ្រប់យ៉ាង” ។ល។

∃ គឺជាបរិមាណអត្ថិភាព ក្នុងករណីនេះវាមានន័យថាមានតម្លៃ N ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំលេខធម្មជាតិ។

ដំបងបញ្ឈរវែងតាមពីក្រោយ N មានន័យថាសំណុំ N ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ "បែបនោះ" ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវាអាចមានន័យថា "បែបនោះ" "បែបនោះ" ។ល។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ សូមអានរូបមន្តឱ្យឮៗ។

ភាពមិនប្រាកដប្រជានិងភាពប្រាកដប្រជានៃដែនកំណត់

វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលត្រូវបានពិភាក្សាខាងលើ ទោះបីជាសាមញ្ញក្នុងការអនុវត្តក៏ដោយ គឺមិនសមហេតុផលក្នុងការអនុវត្តនោះទេ។ ព្យាយាមស្វែងរកដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារនេះ៖

ប្រសិនបើយើងជំនួសតម្លៃ x ផ្សេងគ្នា (បង្កើនរាល់ពេល៖ 10, 100, 1000 ។ វាប្រែចេញជាប្រភាគដ៏ចម្លែក៖

ប៉ុន្តែតើវាពិតជាដូច្នេះមែនឬ? ការគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខក្នុងករណីនេះហាក់ដូចជាងាយស្រួលគ្រប់គ្រាន់។ វាអាចទៅរួចក្នុងការទុកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដូចដែលវាគឺ ពីព្រោះចម្លើយគឺរួចរាល់ ហើយវាត្រូវបានទទួលក្នុងលក្ខខណ្ឌសមហេតុផល ប៉ុន្តែមានវិធីមួយផ្សេងទៀតជាពិសេសសម្រាប់ករណីបែបនេះ។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគ - នេះគឺជា 1 ព្រោះ x អាចត្រូវបានតំណាងជា x 1 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាគបែង។ ផងដែរ ១.

ចែកទាំងភាគយក និងភាគបែងដោយអថេរដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។ ក្នុងករណីនេះយើងបែងចែកប្រភាគដោយ x 1 ។

បន្ទាប់មក ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃដែលពាក្យនីមួយៗដែលមានអថេរមាននិន្នាការទៅ។ ក្នុងករណីនេះប្រភាគត្រូវបានពិចារណា។ ជា x →∞ តម្លៃនៃប្រភាគនីមួយៗមានទំនោរទៅសូន្យ។ នៅពេលបង្កើតក្រដាសជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ វាមានតម្លៃធ្វើលេខយោងខាងក្រោម៖

កន្សោមខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖

ជាការពិតណាស់ ប្រភាគដែលមាន x មិនក្លាយជាសូន្យទេ! ប៉ុន្តែតម្លៃរបស់វាគឺតូចណាស់ដែលវាអាចអនុញ្ញាតបានដោយមិនយកវាទៅក្នុងគណនីក្នុងការគណនា។ តាមពិត x នឹងមិនស្មើនឹង 0 ក្នុងករណីនេះទេ ព្រោះអ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ។

តើសង្កាត់គឺជាអ្វី?

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាសាស្រ្តាចារ្យមានលំដាប់ស្មុគស្មាញមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់ដោយរូបមន្តមិនស្មុគស្មាញតិច។ សាស្ត្រាចារ្យបានរកឃើញចម្លើយ ប៉ុន្តែតើវាសមទេ? យ៉ាងណាមិញមនុស្សទាំងអស់មានកំហុស។

Auguste Cauchy បានបង្កើតវិធីដ៏ល្អមួយដើម្បីបញ្ជាក់អំពីដែនកំណត់នៃលំដាប់។ វិធីសាស្រ្តរបស់គាត់ត្រូវបានគេហៅថា ប្រតិបត្តិការសង្កាត់។

ឧបមាថាមានចំណុចមួយចំនួន a អ្នកជិតខាងរបស់វាក្នុងទិសដៅទាំងពីរនៅលើបន្ទាត់ពិតគឺស្មើនឹង ε ("epsilon") ។ ដោយសារអថេរចុងក្រោយគឺចម្ងាយ តម្លៃរបស់វាតែងតែវិជ្ជមាន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់លំដាប់ x n ហើយឧបមាថា សមាជិកទីដប់នៃលំដាប់ (x 10) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសង្កាត់នៃ a ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរការពិតនេះនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា?

ឧបមាថា x 10 ស្ថិតនៅខាងស្តាំចំនុច a បន្ទាប់មកចំងាយ x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

ឥឡូវនេះវាជាពេលវេលាដើម្បីពន្យល់នៅក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។ វាជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការហៅលេខមួយចំនួនជាចំណុចបញ្ចប់នៃលំដាប់ ប្រសិនបើវិសមភាពε>0 រក្សាដែនកំណត់ណាមួយរបស់វា ហើយសង្កាត់ទាំងមូលមានលេខធម្មជាតិផ្ទាល់ខ្លួន N ដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលមានលេខខ្ពស់ជាងនឹងត្រូវបាន នៅខាងក្នុងលំដាប់ |x n - a|< ε.

ជាមួយនឹងចំណេះដឹងបែបនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ដើម្បីបញ្ជាក់ ឬបដិសេធចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។

ទ្រឹស្តីបទ

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាធាតុផ្សំសំខាន់នៃទ្រឹស្តី បើគ្មានការអនុវត្តគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ មានតែទ្រឹស្តីសំខាន់ៗចំនួនបួនប៉ុណ្ណោះ ដោយចងចាំថា ដែលអ្នកអាចជួយសម្រួលដល់ដំណើរការនៃការដោះស្រាយ ឬបញ្ជាក់យ៉ាងសំខាន់៖

ភាពប្លែកនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។ លំដាប់ណាមួយអាចមានដែនកំណត់តែមួយ ឬមិនមានទាំងស្រុង។ ឧទាហរណ៍ដូចគ្នាជាមួយនឹងជួរដែលអាចមានតែមួយគត់។
ប្រសិនបើស៊េរីនៃលេខមានដែនកំណត់ នោះលំដាប់នៃលេខទាំងនេះត្រូវបានកំណត់។
ដែនកំណត់នៃផលបូក (ភាពខុសគ្នាផលិតផល) នៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នាផលិតផល) នៃដែនកំណត់របស់វា។
ដែនកំណត់កូតានៃលំដាប់ពីរគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែភាគបែងមិនបាត់។

ភស្តុតាងតាមលំដាប់

ពេលខ្លះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស ដើម្បីបញ្ជាក់ដែនកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំដាប់លេខ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។

បង្ហាញថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ដោយរូបមន្តគឺស្មើនឹងសូន្យ។

យោងតាមច្បាប់ខាងលើ សម្រាប់លំដាប់ណាមួយ វិសមភាព |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

ចូរបង្ហាញ n នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ "epsilon" ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃចំនួនជាក់លាក់ និងបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់លំដាប់។

នៅដំណាក់កាលនេះ វាជារឿងសំខាន់ដែលត្រូវចាំថា "epsilon" និង "en" គឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ឥឡូវនេះ អ្នកអាចបន្តការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀតដោយប្រើចំណេះដឹងអំពីវិសមភាពដែលទទួលបាននៅក្នុងវិទ្យាល័យ។

វាប្រែថា n > -3 + 1/ε ។ ចាប់តាំងពីវាមានតម្លៃចងចាំថាយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិលទ្ធផលអាចត្រូវបានបង្គត់ដោយដាក់វានៅក្នុងតង្កៀបការ៉េ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃសង្កាត់ "epsilon" នៃចំណុច a = 0 តម្លៃមួយត្រូវបានរកឃើញដែលថាវិសមភាពដំបូងគឺពេញចិត្ត។ ពីនេះយើងអាចអះអាងដោយសុវត្ថិភាពថាលេខ a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ Q.E.D.

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តដ៏ងាយស្រួលបែបនេះ អ្នកអាចបញ្ជាក់ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ ទោះបីជាវាមើលទៅហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញយ៉ាងណានៅ glance ដំបូងក៏ដោយ។ រឿងចំបងគឺកុំភ័យស្លន់ស្លោនៅពេលមើលឃើញភារកិច្ច។

ឬប្រហែលជាគាត់មិនមាន?

អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់លំដាប់គឺមិនចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តទេ។ វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកស៊េរីលេខបែបនេះដែលពិតជាគ្មានទីបញ្ចប់។ ឧទាហរណ៍ flasher ដូចគ្នា x n = (-1) n ។ វាច្បាស់ណាស់ថា លំដាប់ដែលមានតែពីរខ្ទង់ដែលធ្វើឡើងវិញជារង្វង់មិនអាចមានដែនកំណត់។

រឿងដដែលនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាមួយនឹងលំដាប់ដែលមានចំនួនតែមួយ ប្រភាគ ដែលមាននៅក្នុងដំណើរការនៃការគណនា ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃលំដាប់ណាមួយ (0/0, ∞/∞, ∞/0 ។ល។)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរចងចាំថាការគណនាមិនត្រឹមត្រូវក៏កើតឡើងផងដែរ។ ពេលខ្លះការពិនិត្យមើលឡើងវិញនូវដំណោះស្រាយផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក នឹងជួយអ្នករកឃើញដែនកំណត់នៃការបន្ត។

លំដាប់ monotonic

ខាងលើ យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃលំដាប់ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមលើកករណីជាក់លាក់មួយ ហើយហៅវាថា "លំដាប់ឯកតា"។

និយមន័យ៖ វាយុត្តិធម៌ក្នុងការហៅលំដាប់ណាមួយដែលកើនឡើងដោយឯកតោភាគី ប្រសិនបើវាបំពេញនូវវិសមភាពដ៏តឹងរឹង x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1 ។

ទន្ទឹមនឹងលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះ ក៏មានវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងស្រដៀងគ្នាដែរ។ ដូច្នោះ x n ≤ x n +1 (លំដាប់មិនថយចុះ) និង x n ≥ x n +1 (លំដាប់មិនបង្កើន) ។

ប៉ុន្តែវាកាន់តែងាយស្រួលយល់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។

លំដាប់ដែលបានផ្ដល់ឱ្យដោយរូបមន្ត x n \u003d 2 + n បង្កើតជាស៊េរីលេខខាងក្រោម៖ 4, 5, 6 ។ល។ នេះគឺជាលំដាប់ដែលបង្កើនដោយឯកតា។

ហើយប្រសិនបើយើងយក x n \u003d 1 / n នោះយើងទទួលបានស៊េរីមួយ៖ 1/3, ¼, 1/5 ។ល។ នេះគឺជាលំដាប់ដែលបន្ថយឯកតា។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសព្វ និងព្រំដែន

លំដាប់ដែលមានព្រំដែនគឺជាលំដាប់ដែលមានដែនកំណត់។ លំដាប់បង្រួបបង្រួមគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់។

ដូច្នេះ ដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានព្រំដែនគឺជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច។ សូមចងចាំថាវាអាចមានដែនកំណត់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួមគឺជាបរិមាណគ្មានកំណត់ (ពិត ឬស្មុគស្មាញ)។ ប្រសិនបើអ្នកគូរដ្យាក្រាមតាមលំដាប់ នោះនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ វានឹងប្រែក្លាយទៅជាតម្លៃជាក់លាក់។ ដូច្នេះឈ្មោះ - លំដាប់បញ្ចូលគ្នា។

ដែនកំណត់លំដាប់ម៉ូណូតូនិច

លំដាប់បែបនេះអាចមាន ឬគ្មានដែនកំណត់។ ជាដំបូង វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ដឹងនៅពេលដែលវាគឺ ពីទីនេះអ្នកអាចចាប់ផ្តើមនៅពេលដែលបង្ហាញពីអវត្តមាននៃដែនកំណត់។

ក្នុងចំណោមលំដាប់ monotonic, convergent និង divergent ត្រូវបានសម្គាល់។ Convergent - នេះគឺជាលំដាប់ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសំណុំ x និងមានដែនកំណត់ពិតប្រាកដឬស្មុគស្មាញនៅក្នុងសំណុំនេះ។ Divergent - លំដាប់ដែលមិនមានដែនកំណត់នៅក្នុងសំណុំរបស់វា (មិនពិត ឬស្មុគស្មាញ)។

លើសពីនេះទៅទៀត លំដាប់បង្រួបបង្រួមគ្នា ប្រសិនបើដែនកំណត់ខាងលើ និងទាបរបស់វាចូលរួមជាតំណាងធរណីមាត្រ។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួមមួយអាចនៅក្នុងករណីជាច្រើនស្មើនឹងសូន្យ ចាប់តាំងពីលំដាប់គ្មានកំណត់ណាមួយមានដែនកំណត់ដែលគេស្គាល់ (សូន្យ)។

លំដាប់ដែលជាប់គ្នាណាមួយដែលអ្នកយកវាមានព្រំប្រទល់ទាំងអស់ ប៉ុន្តែនៅឆ្ងាយពីលំដាប់ដែលជាប់ព្រំដែនទាំងអស់មកចូលរួម។

ផលបូក, ភាពខុសគ្នា, ផលនៃលំដាប់បញ្ចូលគ្នាពីរ ក៏ជាលំដាប់បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កូតាក៏អាចបញ្ចូលគ្នាបានដែរ ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់!

សកម្មភាពផ្សេងៗដែលមានដែនកំណត់

ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺមានតម្លៃដូចគ្នា (ក្នុងករណីភាគច្រើន) ជាលេខ និងលេខ៖ 1, 2, 15, 24, 362 ។ល។ វាប្រែថាប្រតិបត្តិការមួយចំនួនអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយមានដែនកំណត់។

ទីមួយ ដូចជាលេខ និងលេខ ដែនកំណត់នៃលំដាប់ណាមួយអាចត្រូវបានបន្ថែម និងដក។ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទីបីស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត៖ ដែនកំណត់នៃផលបូកនៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដែនកំណត់របស់វា។

ទីពីរ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទីបួនស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត៖ ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃចំនួនលេខនៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់របស់វា។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ការបែងចែក៖ ដែនកំណត់នៃកូតានៃលំដាប់ពីរគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់របស់ពួកគេ ផ្តល់ថាដែនកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យ។ យ៉ាងណាមិញប្រសិនបើដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺស្មើនឹងសូន្យនោះការបែងចែកដោយសូន្យនឹងប្រែជាដែលមិនអាចទៅរួចទេ។

លក្ខណសម្បត្តិតម្លៃលំដាប់

វាហាក់បីដូចជាដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខត្រូវបានវិភាគរួចហើយនៅក្នុងលម្អិតមួយចំនួន ប៉ុន្តែឃ្លាដូចជា "តូចមិនចេះចប់" និង "ធំមិនកំណត់" ត្រូវបានលើកឡើងច្រើនជាងម្តង។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើមានលំដាប់ 1/x ដែល x →∞ នោះប្រភាគបែបនេះគឺតូចគ្មានកំណត់ ហើយប្រសិនបើមានលំដាប់ដូចគ្នា ប៉ុន្តែដែនកំណត់មានទំនោរទៅសូន្យ (x → 0) នោះប្រភាគនឹងក្លាយទៅជាតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់។ . ហើយតម្លៃបែបនេះមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានតម្លៃតូច ឬធំតាមអំពើចិត្ត មានដូចខាងក្រោម៖

ផលបូកនៃចំនួននៃបរិមាណតូចតាមអំពើចិត្តណាមួយក៏នឹងជាបរិមាណតិចតួចផងដែរ។
ផលបូកនៃចំនួននៃតម្លៃធំណាមួយនឹងជាតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់។
ផលិតផលនៃបរិមាណតិចតួចតាមអំពើចិត្តគឺតូចគ្មានកំណត់។
ផលិតផលនៃចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្តគឺជាបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។
ប្រសិនបើលំដាប់ដើមមានទំនោរទៅជាចំនួនគ្មានកំណត់ នោះផលតបស្នងរបស់វានឹងមានចំនួនគ្មានកំណត់ ហើយមានទំនោរទៅសូន្យ។

ជាការពិត ការគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់មិនមែនជាកិច្ចការពិបាកបែបនេះទេ ប្រសិនបើអ្នកស្គាល់ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ។ ប៉ុន្តែដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាប្រធានបទដែលត្រូវការការយកចិត្តទុកដាក់អតិបរមានិងការតស៊ូ។ ជាការពិតណាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយល់យ៉ាងសាមញ្ញនូវខ្លឹមសារនៃដំណោះស្រាយនៃការបញ្ចេញមតិបែបនេះ។ ចាប់ផ្តើមពីតូច យូរៗទៅ អ្នកអាចឈានដល់កម្ពស់ធំបាន។

ទ្រឹស្តីបទ ១.ដែនកំណត់នៃផលបូកពិជគណិតនៃពីរ, បី, និងជាទូទៅចំនួនជាក់លាក់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ, i.e.

ភស្តុតាង. យើងនឹងអនុវត្តភ័ស្តុតាងសម្រាប់ពីរលក្ខខណ្ឌ ដោយហេតុថាសម្រាប់ចំនួនពាក្យណាមួយវាត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីដូចគ្នា។ អញ្ចឹង f(x)=b+α(x)និង g(x)=c+β(x)កន្លែងណា α និង β គឺជាមុខងារគ្មានកំណត់។ អាស្រ័យហេតុនេះ

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

ជា b+cគឺថេរ និង α(x) + β(x)ជាមុខងារគ្មានកំណត់

ឧទាហរណ៍។ ទ្រឹស្តីបទ ២.ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃចំនួនពីរ បី និងជាទូទៅចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖ ភស្តុតាង. អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ អាស្រ័យហេតុនេះ f(x)=b+α(x)និង g(x)=c+β(x)និង fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ) ។

ការងារ bcគឺជាតម្លៃថេរ។ មុខងារ bβ + cα + αβនៅលើមូលដ្ឋាននៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ infinitesimal មានបរិមាណ infinitesimal ។ ដូច្នេះ

លទ្ធផល ១.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាកំណត់៖

លទ្ធផល ២.ដែនកំណត់នៃសញ្ញាបត្រគឺស្មើនឹងកម្រិតនៃដែនកំណត់៖ ឧទាហរណ៍។ ទ្រឹស្តីបទ ៣.ដែនកំណត់នៃ quotient នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹង quotient នៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃភាគបែងខុសពីសូន្យ i.e. ភស្តុតាង. អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ អាស្រ័យហេតុនេះ f(x)=b+α(x)និង g(x)=c+β(x)កន្លែងណា α, β មានទំហំតូចគ្មានកំណត់។ ពិចារណាពីកូតា

ប្រភាគគឺជាអនុគមន៍គ្មានកំណត់ ពីព្រោះភាគបែងគឺជាអនុគមន៍គ្មានកំណត់ ហើយភាគបែងមានដែនកំណត់ c2 ≠0 ។

ឧទាហរណ៍។

3. ពិចារណា។ នៅ x → ១ភាគយកនៃប្រភាគមានទំនោរទៅ 1 ហើយភាគបែងមានទំនោរទៅ 0។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី ឧ។ គឺជាមុខងារគ្មានកំណត់សម្រាប់ x → 1 បន្ទាប់មក

ទ្រឹស្តីបទ ៤.សូមឱ្យមុខងារបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ f(x), u(x)និង v(x), បំពេញវិសមភាព u (x)≤f(x)≤v(x). ប្រសិនបើមុខងារ u(x)និង v(x)មានដែនកំណត់ដូចគ្នា។ x → ក(ឬ x →∞) បន្ទាប់មកមុខងារ f(x)ទំនោរទៅដែនកំណត់ដូចគ្នា, i.e. ប្រសិនបើ

ទ្រឹស្តីបទ ៥.ប្រសិនបើនៅ x → ក(ឬ x →∞) មុខងារ y=f(x)យកតម្លៃមិនអវិជ្ជមាន y≥0និងមានទំនោរទៅដែនកំណត់ ខបន្ទាប់មកដែនកំណត់នេះមិនអាចអវិជ្ជមានទេ៖ b≥0.

ភស្តុតាង. ភស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ ខ<0 បន្ទាប់មក |y – b|≥|b|ដូច្នេះហើយ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នាមិនមានទំនោរទៅសូន្យនៅ x → ក. ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក yមិនទៅដែនកំណត់ ខនៅ x → កដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ។

ទ្រឹស្តីបទ ៦.ប្រសិនបើមុខងារពីរ f(x)និង g(x)សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ xបំពេញវិសមភាព f(x)≥ g(x)ហើយមានដែនកំណត់ នោះយើងមានវិសមភាព b≥c.

ភស្តុតាង។យោងតាមទ្រឹស្តីបទ f(x)-g(x) ≥0ដូច្នេះ ដោយទ្រឹស្តីបទ ៥ ឬ .

6. ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ (0/0), ∞ -∞

ខ្ញុំភាពមិនប្រាកដប្រជា។

នៅពេលបំប្លែងភាគយកទៅជាកត្តា យើងបានប្រើក្បួនសម្រាប់បែងចែកពហុនាមដោយពហុធាដោយ "មុំ" ។ ចាប់តាំងពីលេខ x=1 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា x ៣ – 6x2 + 11x- 6 បន្ទាប់មកនៅពេលបែងចែកយើងទទួលបាន

7. ដែនកំណត់លំដាប់ . គំនិតនៃលោការីតធម្មជាតិ។

ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ

ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរបម្រើដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់ 1 ∞ ហើយមើលទៅដូចនេះ

ឧទាហរណ៍:

លោការីតគោល អ៊ី (អ៊ី- លេខវិចារណញាណប្រហែលស្មើនឹង 2.718281828 ... ) ត្រូវបានហៅ លោការីតធម្មជាតិ. លោការីតធម្មជាតិនៃចំនួនមួយ។ xតំណាង ln x. លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងការគណនាវិស្វកម្ម។

លោការីតត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ

មូលដ្ឋាន, ហៅថាធម្មជាតិ។ លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា

គំនិតនៃដែនកំណត់នៃមុខងារ។

គំនិតនៃការបន្តនៃអនុគមន៍គឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងគំនិតនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។

លេខ A ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f នៅចំណុច a ដែលជាការកំណត់សម្រាប់សំណុំ E ប្រសិនបើសម្រាប់សង្កាត់ណាមួយ V (A) នៃចំណុច A មានសង្កាត់ដែលវាយដំនៃចំនុច a ដូចរូបភាពរបស់វា។ នៅក្រោមផែនទី f គឺជាសំណុំរងនៃសង្កាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ V (A) នៃចំណុច A ។

ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f នៅចំណុច a ដែលជាដែនកំណត់សម្រាប់សំណុំ E ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖ ឬ ប្រសិនបើអាចលុបចោលការលើកឡើងនៃសំណុំ E ។

ដោយសារសង្កាត់នីមួយៗអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងសង្កាត់ធម្មតា (ស៊ីមេទ្រី) របស់វា និយមន័យនៃដែនកំណត់អាចត្រូវបានបង្កើតជាភាសា -δ ក្នុងទម្រង់ជាទម្លាប់ក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា៖

ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុច f នៅចំណុច a ដែលជាការកំណត់សម្រាប់សំណុំ E គឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងដែនកំណត់នៃលំដាប់។

យើងនឹងពិចារណាលំដាប់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃចំណុចនៃសំណុំ E ដែលមានចំណុច a ជាដែនកំណត់របស់ពួកគេ និងលំដាប់ដែលត្រូវគ្នានៃតម្លៃមុខងារនៅចំណុចនៃលំដាប់។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f នៅចំណុច a មាន នោះដែនកំណត់នេះនឹងជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នីមួយៗ។

converse ក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើលំដាប់ទាំងអស់ចូលគ្នាទៅជាតម្លៃដូចគ្នា នោះអនុគមន៍មានកម្រិតស្មើនឹងតម្លៃដែលបានផ្ដល់។

ចំនួនថេរ កបានហៅ ដែនកំណត់ លំដាប់(x n) ប្រសិនបើចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្តε > 0 មានលេខ N ដែលតម្លៃទាំងអស់។ x នដែល n > N បំពេញវិសមភាព

|x n - a|< ε. (6.1)

សរសេរវាដូចខាងក្រោមៈ ឬ x n →ក.

វិសមភាព (6.1) គឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

ដែលមានន័យថាចំណុច x នចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន n>N ស្ថិតនៅខាងក្នុងចន្លោះពេល (a-ε, a + ε ), i.e. ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតូចណាមួយ។ε - អ្នកជិតខាងនៃចំណុច ក.

និយមន័យ ១.លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x →a if សម្រាប់លំដាប់ណាមួយ (x n) នៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលមានទំនោរទៅ ក, លំដាប់ដែលត្រូវគ្នា (f(x n)) មានដែនកំណត់ដូចគ្នា A ។

និយមន័យ ២. លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x →a ប្រសិនបើ ផ្តល់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត εមនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញ δ បែបនេះ>0 (អាស្រ័យលើε) ដែលសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា xដេកនៅក្នុងε-សង្កាត់នៃលេខមួយ។ ក, i.e. សម្រាប់ xការបំពេញនូវវិសមភាព
0 < x-a< ε តម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) នឹងស្ថិតនៅε-សង្កាត់នៃលេខ A, i.e.|f(x)-A|< ε.

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Cauchy,ឬ “ ជាភាសា ε - δ “.

និយមន័យ 1 និង 2 គឺសមមូល។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) ជា x →មាន ដែនកំណត់ស្មើនឹង A វាត្រូវបានសរសេរជា

. (6.3)

អថេរ (ឧ. លំដាប់ ឬមុខងារ) ដែលដែនកំណត់គឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា តូចគ្មានកំណត់។

អថេរដែលកម្រិតស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ត្រូវបានហៅ ធំគ្មានកំណត់.

ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ក្នុងការអនុវត្ត សូមប្រើទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១ . ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នីមួយៗ

(6.4)

(6.5)

(6.6)

មតិយោបល់. កន្សោមដូចជា 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - គឺមិនប្រាកដប្រជា ជាឧទាហរណ៍ សមាមាត្រនៃបរិមាណមិនកំណត់ចំនួនពីរ ឬបរិមាណច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយការស្វែងរកដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការបង្ហាញភាពមិនប្រាកដប្រជា"។

ទ្រឹស្តីបទ ២. (6.7)

ទាំងនោះ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនៅនិទស្សន្តថេរ ជាពិសេស, ;

(6.8)

(6.9)

ទ្រឹស្តីបទ ៣.

(6.10)

(6.11)

កន្លែងណា អ៊ី » 2.7 គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ។ រូបមន្ត (6.10) និង (6.11) ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យនិងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។

កូរ៉ូឡារីនៃរូបមន្ត (៦.១១) ក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តផងដែរ៖

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ជាពិសេសដែនកំណត់

ប្រសិនបើ x → a និងនៅពេលដំណាលគ្នា x > a បន្ទាប់មកសរសេរ x→ a + 0. ប្រសិនបើជាពិសេស a = 0 នោះជំនួសឱ្យនិមិត្តសញ្ញា 0+0 មួយសរសេរ +0 ។ ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើ x →a និងក្នុងពេលតែមួយ x a-0។ លេខ និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម។ ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវ។និង ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង មុខងារ f(x) នៅចំណុច ក. សម្រាប់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f(x) មានជា x →a គឺចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ . មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្ត នៅចំណុច x 0 ប្រសិនបើដែនកំណត់

. (6.15)

លក្ខខណ្ឌ (៦.១៥) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា៖

ប្រសិនបើសមភាព (6.15) ត្រូវបានរំលោភ នោះយើងនិយាយអញ្ចឹង នៅ x = xo មុខងារ f(x) វាមាន គម្លាត។ពិចារណាមុខងារ y = 1/x ។ ដែននៃមុខងារនេះគឺជាសំណុំ រលើកលែងតែ x = 0 ។ ចំនុច x = 0 គឺជាចំណុចកំណត់នៃសំណុំ D(f) ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយរបស់វា ឧ. ចន្លោះពេលបើកណាមួយដែលមានចំណុច 0 មានចំណុចពី D(f) ប៉ុន្តែវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនេះទេ។ តម្លៃ f(x o)= f(0) មិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដូច្នេះមុខងារមានការដាច់នៅចំណុច x o = 0 ។

មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់

និង បន្តនៅខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់

1. ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយមិនស្មើនឹង f(x o) នោះគេនិយាយថា មុខងារ f(x) នៅចំណុច xo មាន ការបំបែកនៃប្រភេទទីមួយ,ឬ លោត.

2. ប្រសិនបើដែនកំណត់គឺ+∞ ឬ -∞ ឬមិនមានទេ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថានៅក្នុង ចំណុច x o មុខងារមានការសម្រាក ប្រភេទទីពីរ.

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y = ctg x នៅ x→ +0 មានដែនកំណត់ស្មើនឹង +∞ដូច្នេះហើយ នៅចំណុច x=0 វាមានការដាច់នៃប្រភេទទីពីរ។ អនុគមន៍ y = E(x) (ផ្នែកចំនួនគត់នៃ x) នៅចំនុចដែលមានចំនួនគត់ abscissas មានការដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ឬលោត។

ពិចារណា ឧទាហរណ៍នៃ Ya. I. Perelmanដែលផ្តល់ការបកស្រាយនៃលេខ អ៊ីនៅក្នុងបញ្ហាផលប្រយោជន៍រួម។ ចំនួន អ៊ីមានដែនកំណត់ . នៅក្នុងធនាគារសន្សំ ប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេរជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ ប្រសិនបើការតភ្ជាប់ត្រូវបានធ្វើឡើងញឹកញាប់ជាងនេះ នោះដើមទុនកើនឡើងលឿនជាងមុន ដោយសារចំនួនដ៏ច្រើនត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការបង្កើតការប្រាក់។ ចូរយើងយកទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ និងឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។ ឲ្យធនាគារដាក់១០០បាត។ ឯកតា ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើប្រាក់ដែលមានការប្រាក់ត្រូវបានបន្ថែមទៅដើមទុនថេរតែបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំបន្ទាប់មកដោយពេលនេះ 100 den ។ ឯកតា នឹងប្រែទៅជា 200 den ។ ឥឡូវនេះសូមមើលអ្វីដែល 100 den នឹងប្រែទៅជា។ ឯកតា ប្រសិនបើប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេររៀងរាល់ប្រាំមួយខែម្តង។ បន្ទាប់ពីពាក់កណ្តាលឆ្នាំ 100 ។ ឯកតា កើនឡើងដល់ 100× 1.5 \u003d 150 ហើយបន្ទាប់ពីប្រាំមួយខែទៀត - នៅ 150× 1.5 \u003d 225 (គ្រឿង) ។ ប្រសិនបើការចូលជាសមាជិកត្រូវបានធ្វើរៀងរាល់ 1/3 នៃឆ្នាំ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំ 100 den ។ ឯកតា ប្រែទៅជា 100× (1 +1/3) 3 » ២៣៧ (ឯកតា) ។ យើងនឹងបង្កើនរយៈពេលបន្ថែមប្រាក់ការប្រាក់ដល់ 0.1 ឆ្នាំ 0.01 ឆ្នាំ 0.001 ឆ្នាំ។ល។ បន្ទាប់មកចេញពី 100 den ។ ឯកតា មួយឆ្នាំក្រោយមក៖

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).

ឧទាហរណ៍ 3.1 ។ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ បង្ហាញថាលំដាប់ x n =(n-1)/n មានដែនកំណត់ស្មើនឹង 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ថាអ្វីក៏ដោយε > 0 យើងយក ព្រោះវាមានលេខធម្មជាតិ N ដែលសម្រាប់ទាំងអស់ n N វិសមភាព|xn-1|< ε.

យក e > 0. ចាប់តាំងពី ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n បន្ទាប់មកដើម្បីរក N វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព 1/n< អ៊ី ដូច្នេះ n>1/e ដូច្នេះ N អាចត្រូវបានយកជាផ្នែកចំនួនគត់នៃ 1/ e , N = E(1/e ) ដូច្នេះ យើងបានបញ្ជាក់ថាកម្រិតកំណត់។

ឧទាហរណ៍ ៣.2 . ស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពាក្យសាមញ្ញមួយ។ .

ការសម្រេចចិត្ត។អនុវត្តទ្រឹស្តីបទផលបូកដែនកំណត់ និងស្វែងរកដែនកំណត់នៃពាក្យនីមួយៗ។ សម្រាប់ n→ ∞ ភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យនីមួយៗមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយយើងមិនអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតាដោយផ្ទាល់បានទេ។ ដូច្នេះដំបូងយើងផ្លាស់ប្តូរ x នចែកភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យទីមួយដោយ n ២, និងទីពីរ ន. បន្ទាប់មកការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកម្រិតកូតានិក និងទ្រឹស្តីបទកំណត់ផលបូក យើងរកឃើញ៖

ឧទាហរណ៍ 3.3. . ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត។ .

ឧទាហរណ៍ ៣.4 . ដើម្បីស្វែងរក ( ).

ការសម្រេចចិត្ត។វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ភាពខុសគ្នា ដោយសារយើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ∞-∞ . ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្តនៃពាក្យទូទៅ៖

ឧទាហរណ៍ ៣.5 . អនុគមន៍ f(x)=2 1/x ។ បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងប្រើនិយមន័យ 1 នៃដែនកំណត់នៃមុខងារក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់មួយ។ យកលំដាប់មួយ ( x n ) បម្លែងទៅជា 0, i.e. ចូរយើងបង្ហាញថាតម្លៃ f(x n)= មានឥរិយាបទខុសគ្នាសម្រាប់លំដាប់ផ្សេងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យ x n = 1/n ។ ជាក់ស្តែងបន្ទាប់មកដែនកំណត់ តោះជ្រើសរើសឥឡូវនេះ x នលំដាប់ដែលមានពាក្យសាមញ្ញ x n = -1/n ក៏មានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះវាគ្មានដែនកំណត់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣.6 . បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។

ការសម្រេចចិត្ត។ទុក x 1 , x 2 ,... , x n , ... ជាលំដាប់ដែល
. តើលំដាប់ (f(x n)) = (sin x n) មានឥរិយាបទសម្រាប់ភាពខុសគ្នា x n → ∞

ប្រសិនបើ x n \u003d p n នោះ sin x n \u003d sin p n = 0 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ននិងកំណត់ប្រសិនបើ
xn=2 p n + p /2 បន្ទាប់មក sin x n = sin(2 p n + p /2) = sin ទំ /2 = 1 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា នដូច្នេះហើយ ដែនកំណត់។ ដូច្នេះមិនមានទេ។

ធាតុក្រាហ្វិកសម្រាប់គណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិត

នៅក្នុងប្រអប់ខាងលើ ជំនួសឱ្យ sin(x)/x បញ្ចូលមុខងារដែលអ្នកចង់ស្វែងរកដែនកំណត់។ នៅក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម បញ្ចូលលេខដែល x ទំនោរទៅ ហើយចុចប៊ូតុង Calcular ទទួលបានដែនកំណត់ដែលចង់បាន។ ហើយប្រសិនបើអ្នកចុចលើ បង្ហាញជំហាននៅជ្រុងខាងស្តាំខាងលើក្នុងបង្អួចលទ្ធផល អ្នកនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយលម្អិត។

ច្បាប់នៃការបញ្ចូលមុខងារ៖ sqrt(x) - ឫសការ៉េ, cbrt(x) - ឫសគូប, exp(x) - exponent, ln(x) - លោការីតធម្មជាតិ, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (x) - តង់សង់, cot(x) - កូតង់សង់, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent។ សញ្ញា៖ * គុណ/ចែក ^ និទស្សន្ត ជំនួស ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារត្រូវបានបញ្ចូលជា sqrt(tan(x/2))។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់លេខដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ មាននិយមន័យនៃលំដាប់ និងដែនកំណត់របស់វា។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធដែលមានលំដាប់លំដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងវិសមភាព លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់តូច និងធំគ្មានកំណត់ត្រូវបានពិចារណា។

លំដាប់

លំដាប់លេខហៅថាច្បាប់ (ច្បាប់) យោងទៅតាមលេខធម្មជាតិនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់លេខ។
លេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកទី n ឬធាតុនៃលំដាប់។
នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងសន្មត់ថាធាតុនៃលំដាប់គឺជាចំនួនពិត។

មានកំណត់ប្រសិនបើមានលេខ M នោះសម្រាប់ n ពិតប្រាកដទាំងអស់។

មុខកំពូលលំដាប់ត្រូវបានហៅថាតូចបំផុតនៃលេខដែលចងលំដាប់ពីខាងលើ។ នោះគឺជាលេខ s ដែលសម្រាប់ទាំងអស់ n និងសម្រាប់ណាមួយ មានធាតុនៃលំដាប់ដែលលើសពី s : ។

មុខខាងក្រោមលំដាប់ដាក់ឈ្មោះធំបំផុតនៃលេខដែលចងលំដាប់ពីខាងក្រោម។ នោះគឺជាលេខ i ដែលសម្រាប់ទាំងអស់ n និងសម្រាប់ណាមួយ មានធាតុនៃលំដាប់ដែលតិចជាង i : ។

គែមខាងលើត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ ព្រំដែនខាងលើជាក់លាក់និងព្រំដែនទាប ព្រំដែនទាបច្បាស់លាស់. គោលគំនិតនៃព្រំដែនខាងលើ និងខាងក្រោមមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់លំដាប់លំដោយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់សំណុំនៃចំនួនពិតផងដែរ។

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។

លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ មានលេខធម្មជាតិ N អាស្រ័យលើ នោះសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ វិសមភាព
.
ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:
.
ឬនៅ។

ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
.

ចន្លោះពេលបើក (a - ε, a + ε)ត្រូវបានគេហៅថា ε- អ្នកជិតខាងនៃចំណុច a ។

លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់បង្រួបបង្រួម. វាត្រូវបានគេនិយាយផងដែរថាលំដាប់ បញ្ចូលគ្នាទៅ ក. លំដាប់ដែលមិនមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នា.

ចំណុច ក មិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នោះទេ។បើមានបែបនោះសម្រាប់ធម្មជាតិណាក៏មានធម្មជាតិបែបនេះដែរ។ > នអ្វី
.
.
នេះមានន័យថាអ្នកអាចជ្រើសរើស ε - សង្កាត់នៃចំណុច a នៅខាងក្រៅដែលនឹងមានចំនួនធាតុនៃលំដាប់គ្មានកំណត់។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

ចំណុច a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើ និងប្រសិនបើនៅខាងក្រៅសង្កាត់ណាមួយនៃចំណុចនេះគឺ ចំនួនកំណត់នៃធាតុលំដាប់ឬសំណុំទទេ។

ប្រសិនបើលេខ a មិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ទេនោះ មានសង្កាត់នៃចំនុច a ដែលនៅខាងក្រៅនោះគឺ ចំនួនគ្មានកំណត់នៃធាតុលំដាប់.

ទ្រឹស្តីបទភាពឯកកោសម្រាប់ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខមួយ។. ប្រសិនបើលំដាប់មានដែនកំណត់ នោះវាមានតែមួយ។

ប្រសិនបើលំដាប់មួយមានកម្រិតកំណត់ នោះវា មានកំណត់.

ប្រសិនបើធាតុនីមួយៗនៃលំដាប់ គឺស្មើនឹងលេខដូចគ្នា។ C : បន្ទាប់មកលំដាប់នេះមានដែនកំណត់ស្មើនឹងលេខ C ។

ប្រសិនបើលំដាប់ បន្ថែម ទម្លាក់ ឬផ្លាស់ប្តូរធាតុ m ដំបូងបន្ទាប់មក វានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់ការបញ្ចូលគ្នារបស់វាទេ។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃកម្រិតកំណត់នៃលំដាប់ >>> ។

នព្វន្ធដែលមានដែនកំណត់

អនុញ្ញាតឱ្យមានដែនកំណត់ និងលំដាប់កំណត់ និង . ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ C ជាចំនួនថេរ នោះគឺជាលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក
;
;
;
, ប្រសិនបើ .
នៅក្នុងករណីនៃ quotient វាត្រូវបានសន្មត់ថាសម្រាប់ n ទាំងអស់។

ប្រសិនបើនោះ .

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
គុណសម្បត្តិនព្វន្ធនៃដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់ >>> ។

ទ្រព្យសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងវិសមភាព

ប្រសិនបើធាតុនៃលំដាប់ ចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន បំពេញវិសមភាព នោះដែនកំណត់ a នៃលំដាប់នេះក៏បំពេញវិសមភាពផងដែរ។

ប្រសិនបើធាតុនៃលំដាប់ដែលចាប់ផ្តើមពីចំនួនជាក់លាក់មួយ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលបិទ (ផ្នែក) បន្ទាប់មកដែនកំណត់ a ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះផងដែរ៖ .

ប្រសិនបើ និង និងធាតុនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន បំពេញវិសមភាព នោះ .

ប្រសិនបើ និងចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន នោះ .
ជាពិសេស ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន , បន្ទាប់មក
ប្រសិនបើ, បន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើ .

ប្រសិនបើ និង .

អនុញ្ញាតឱ្យនិង។ ប្រសិនបើ ក < b បន្ទាប់មកមានលេខធម្មជាតិ N ដូចនេះសម្រាប់ n ទាំងអស់។ > នវិសមភាពគឺពេញចិត្ត។

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិទាក់ទងនឹងវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់លំដាប់ដែលទាក់ទងនឹង >>> វិសមភាព។

លំដាប់គ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់

លំដាប់គ្មានកំណត់

បន្តបន្ទាប់ ត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់គ្មានកំណត់ប្រសិនបើដែនកំណត់របស់វាគឺសូន្យ៖
.

ផលបូកនិងភាពខុសគ្នានៃចំនួនកំណត់នៃលំដាប់ infinitesimal គឺជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

ផលិតផលនៃលំដាប់ដែលមានព្រំដែនទៅ infinitesimal គឺជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

ផលិតផលនៃចំនួនកំណត់ infinitesimal sequences គឺជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

សម្រាប់លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ a វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់គ្មានកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លំដាប់តូចគ្មានកំណត់ - និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ >>> .

លំដាប់ធំគ្មានទីបញ្ចប់

បន្តបន្ទាប់ ត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់គ្មានកំណត់ប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ មានលេខធម្មជាតិ N អាស្រ័យលើ នោះសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ វិសមភាព
.
ក្នុងករណីនេះសរសេរ
.
ឬនៅ។
ពួកគេនិយាយថាវាមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខ N មួយចំនួន
.
បើអញ្ចឹង
.

ប្រសិនបើលំដាប់មានចំនួនច្រើនគ្មានកំណត់ នោះចាប់ផ្តើមពីលេខ N ខ្លះ លំដាប់មួយត្រូវបានកំណត់ថាតូចគ្មានកំណត់។ ប្រសិនបើលំដាប់គ្មានកំណត់ជាមួយធាតុមិនសូន្យ នោះលំដាប់គឺធំគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើលំដាប់មានទំហំធំឥតកំណត់ ហើយលំដាប់ត្រូវបានកំណត់នោះ
.

ប្រសិនបើតម្លៃដាច់ខាតនៃធាតុនៃលំដាប់ត្រូវបានចងពីខាងក្រោមដោយចំនួនវិជ្ជមាន () ហើយមានកម្រិតតូចបំផុតជាមួយនឹងធាតុមិនសូន្យ នោះ
.

នៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិត និយមន័យនៃលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់ជាមួយឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
និយមន័យនៃលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់ >>> .
ភស្តុតាងសម្រាប់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់ធំគ្មានកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់ធំគ្មានកំណត់ >>> .

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួបបង្រួមលំដាប់

លំដាប់ Monotonic

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងប្រសិនបើសម្រាប់ទាំងអស់ n វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
.
ដូច្នោះហើយសម្រាប់ ថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹងលំដាប់, វិសមភាពខាងក្រោមមាន:
.
សម្រាប់ មិនថយចុះ:
.
សម្រាប់ មិនកើនឡើង:
.

វាបន្ទាប់មកថាលំដាប់ដែលមានការកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនថយចុះដែរ។ លំដាប់ថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនកើនឡើងដែរ។

លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាប្រសិនបើវាមិនថយចុះ ឬមិនកើនឡើង។

លំដាប់ម៉ូណូតូនិកត្រូវបានចងនៅផ្នែកម្ខាងយ៉ាងហោចណាស់ដោយ . លំដាប់មិនថយចុះត្រូវបានកំណត់ពីខាងក្រោម៖ . លំដាប់មិនកើនឡើងត្រូវបានចងពីខាងលើ៖ .

ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass. ដើម្បីឱ្យលំដាប់មិនថយចុះ (មិនកើនឡើង) មានដែនកំណត់កំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាត្រូវបានចងពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម)។ នេះគឺជាលេខ M ។

ដោយសារលំដាប់មិនថយចុះណាមួយ (មិនកើនឡើង) ត្រូវបានចងពីខាងក្រោម (ពីខាងលើ) ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass អាចត្រូវបានបកស្រាយឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

សម្រាប់លំដាប់ឯកតាដើម្បីមានកម្រិតកំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាត្រូវបានកំណត់៖ .

លំដាប់ monotonic គ្មានដែនកំណត់មានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ ស្មើសម្រាប់លំដាប់មិនថយចុះ និងមិនកើនឡើង។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Weierstrassដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass លើដែនកំណត់នៃលំដាប់ monotone >>> .

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់

ស្ថានភាពស្រងូតស្រងាត់. លំដាប់មួយបំពេញលក្ខខណ្ឌ Cauchy ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយមានចំនួនធម្មជាតិដែលសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិទាំងអស់ n និង m ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ វិសមភាព
.
លំដាប់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ Cauchy ត្រូវបានគេហៅថាផងដែរ។ លំដាប់មូលដ្ឋាន.

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់. ដើម្បីឱ្យលំដាប់មានដែនកំណត់កំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាបំពេញលក្ខខណ្ឌ Cauchy ។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួបបង្រួម Cauchyដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នារបស់ Cauchy សម្រាប់លំដាប់មួយ >>> .

បន្តបន្ទាប់

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass. ពីលំដាប់ដែលមានព្រំដែនណាមួយ លំដាប់បន្ទាប់បន្សំអាចត្រូវបានសម្គាល់។ ហើយពីលំដាប់គ្មានដែនកំណត់ណាមួយ - ជាបន្តបន្ទាប់ដ៏ធំមួយដែលមិនចេះចប់មកទល់នឹង ឬទៅ .

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrassដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass >>> ។

និយមន័យ ទ្រឹស្តីបទ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាគបន្ត និងដែនកំណត់ផ្នែកត្រូវបានពិភាក្សានៅលើទំព័រ
បនា្ទាប់និងដែនកំណត់ផ្នែកនៃលំដាប់ >>> ។

ឯកសារយោង៖
សង់ទីម៉ែត។ នីកូលស្គី។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ភាគ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 1983 ។
អិល.ឌី. Kudryavtsev ។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ លេខ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 2003 ។
V.A. ហ្សូរីច។ ការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូឆ្នាំ 1997 ។
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 2005 ។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​លំដាប់ ហើយ​តើ​វា​នៅ​ត្រង់​ណា?

តើ​លំដាប់​លេខ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​របៀប​ណា?

ការវិវត្តនព្វន្ធជាផ្នែកនៃលំដាប់

ប្រភេទនៃលំដាប់

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។

ការសម្គាល់ទូទៅសម្រាប់ដែនកំណត់នៃលំដាប់

ភាពមិនប្រាកដប្រជានិងភាពប្រាកដប្រជានៃដែនកំណត់

តើសង្កាត់គឺជាអ្វី?

ទ្រឹស្តីបទ

ភស្តុតាងតាមលំដាប់

ឬប្រហែលជាគាត់មិនមាន?

លំដាប់ monotonic

ដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសព្វ និងព្រំដែន

ដែនកំណត់លំដាប់ម៉ូណូតូនិច

សកម្មភាពផ្សេងៗដែលមានដែនកំណត់

លក្ខណសម្បត្តិតម្លៃលំដាប់

លំដាប់

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

នព្វន្ធដែលមានដែនកំណត់

ទ្រព្យសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងវិសមភាព

លំដាប់គ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់

លំដាប់គ្មានកំណត់

លំដាប់ធំគ្មានទីបញ្ចប់

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួបបង្រួមលំដាប់

លំដាប់ Monotonic

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់

បន្តបន្ទាប់

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

តើអ្វីទៅជាលំដាប់ ហើយតើវានៅត្រង់ណា?

តើលំដាប់លេខត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយរបៀបណា?

អត្ថបទដែលទាក់ទង