អាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យាមានមូលដ្ឋានលើវិធីសាស្ត្រសាមញ្ញបំផុតមួយនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យា។ ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចបញ្ជាក់រូបមន្តភាគច្រើនជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិ n ឧទាហរណ៍ រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព S n = 2 a 1 + n − 1 d 2 n រូបមន្ត binomial របស់ញូតុន a + b n = C n 0 a n C n 1 a n − 1 b + . . . + C n n − 1 a b n − 1 + C n n b n .
នៅក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ យើងនឹងវិភាគគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន បន្ទាប់មកយើងនឹងពិចារណាអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិធីសាស្រ្តដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងប្រាប់អ្នកពីរបៀបប្រើវាដើម្បីបញ្ជាក់សមភាព និងវិសមភាព។
Yandex.RTB R-A-339285-1
គំនិតនៃការបញ្ចូល និងការកាត់ចេញ
ជាដំបូង សូមក្រឡេកមើលថាតើអ្វីទៅជាអាំងឌុចស្យុង និងការកាត់បន្ថយជាទូទៅ។
និយមន័យ ១
ការបញ្ចូលគឺជាការផ្លាស់ប្តូរពីពិសេសទៅទូទៅ និង ការកាត់ប្រាក់ផ្ទុយទៅវិញ ពីទូទៅទៅពិសេស។
ឧទាហរណ៍ យើងមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ៖ 254 អាចបែងចែកជាពីរទាំងស្រុង។ ពីវា យើងអាចទាញការសន្និដ្ឋានជាច្រើន ដែលក្នុងនោះនឹងមានទាំងពិត និងមិនពិត។ ជាឧទាហរណ៍ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចំនួនគត់ដែលមានលេខ 4 នៅខាងចុងអាចបែងចែកដោយពីរដោយគ្មានសល់គឺពិត ប៉ុន្តែលេខណាមួយនៃបីខ្ទង់ត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 គឺមិនពិត។
ជាទូទៅ គេអាចនិយាយបានថា ដោយមានជំនួយពីហេតុផលអាំងឌុចទ័ គេអាចទទួលបានសេចក្តីសន្និដ្ឋានជាច្រើនពីហេតុផលដែលគេស្គាល់ ឬជាក់ស្តែងមួយ។ ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ថាតើការសន្និដ្ឋានទាំងនេះត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណា។
ឧបមាថាយើងមានលំដាប់លេខដូចជា 1 1 2 , 1 2 3 , 1 3 4 , 1 4 5 , ។ . . , 1 n (n + 1) ដែល n តំណាងឱ្យចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន។ ក្នុងករណីនេះនៅពេលបន្ថែមធាតុដំបូងនៃលំដាប់យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម:
S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, S 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, S 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u003d 4 4 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5 , . . .
ដោយប្រើអាំងឌុចទ័រ យើងអាចសន្និដ្ឋានថា S n = n n + 1 ។ នៅក្នុងផ្នែកទីបីយើងនឹងបង្ហាញរូបមន្តនេះ។
តើអ្វីទៅជាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា
វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើគោលការណ៍នៃឈ្មោះដូចគ្នា។ វាត្រូវបានរៀបចំដូចនេះ៖
និយមន័យ ២
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយនឹងពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិ n នៅពេលដែល 1) វានឹងក្លាយជាការពិតសម្រាប់ n = 1 និង 2) ពីការពិតដែលថាកន្សោមនេះគឺពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត n = k វាធ្វើតាមថាវាក៏នឹងជាការពិតផងដែរ។ សម្រាប់ n = k + 1 ។
ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានអនុវត្តជា 3 ដំណាក់កាល៖
- ដំបូងយើងពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដើមនៅក្នុងករណីនៃតម្លៃធម្មជាតិតាមអំពើចិត្តនៃ n (ជាធម្មតាការធ្វើតេស្តត្រូវបានធ្វើឡើងសម្រាប់ការរួបរួម) ។
- បន្ទាប់ពីនោះយើងពិនិត្យមើលភាពស្មោះត្រង់នៅ n = k ។
- ហើយបន្ទាប់មកយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ប្រសិនបើ n = k + 1 ។
របៀបអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានៅពេលដោះស្រាយវិសមភាព និងសមីការ
ចូរយកឧទាហរណ៍ដែលយើងបាននិយាយពីមុនមក។
ឧទាហរណ៍ ១
បង្ហាញរូបមន្ត S n = 1 1 2 + 1 2 3 + ។ . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 ។
ដំណោះស្រាយ
ដូចដែលយើងបានដឹងរួចមកហើយថា ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ត្រូវតែអនុវត្តបីជំហានជាប់ៗគ្នា។
- ដំបូងយើងពិនិត្យមើលថាតើសមភាពនេះនឹងមានសុពលភាពសម្រាប់ n ស្មើនឹងមួយ។ យើងទទួលបាន S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2 ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រឹមត្រូវនៅទីនេះ។
- លើសពីនេះ យើងបង្កើតការសន្មត់ថារូបមន្ត S k = k k + 1 គឺត្រឹមត្រូវ។
- នៅក្នុងជំហានទីបី យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 ដោយផ្អែកលើសុពលភាពនៃសមភាពពីមុន។
យើងអាចតំណាងឱ្យ k + 1 ជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃលំដាប់ដើម និង k + 1៖
S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)
ដោយសារនៅក្នុងជំហានទីពីរយើងទទួលបាន S k = k k + 1 នោះយើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) ។
ឥឡូវនេះយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរចាំបាច់។ យើងនឹងត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងរួម កាត់បន្ថយពាក្យដូចជា អនុវត្តរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ និងកាត់បន្ថយអ្វីដែលបានកើតឡើង៖
S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2
ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញពីសមភាពក្នុងចំណុចទីបី ដោយអនុវត្តទាំងបីជំហាននៃវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
ចម្លើយ៖ការសន្មត់អំពីរូបមន្ត S n = n n + 1 គឺត្រឹមត្រូវ។
ចូរយើងលើកយកបញ្ហាស្មុគស្មាញជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ ២
ផ្តល់ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណ cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 n α \u003d sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α ។
ដំណោះស្រាយ
ដូចដែលយើងចងចាំជំហានដំបូងគួរតែពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃសមភាពនៅពេលដែល n ស្មើនឹងមួយ។ ដើម្បីស្វែងយល់ យើងត្រូវចងចាំរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។
cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α
ដូច្នេះសម្រាប់ n ស្មើនឹងមួយ អត្តសញ្ញាណនឹងជាការពិត។
ឥឡូវនេះ ឧបមាថា សុពលភាពរបស់វាត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់ n = k , i.e. វានឹងក្លាយជាការពិតដែល cos 2 α · cos 4 α · ។ . . cos 2 k α \u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α ។
យើងបញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នា cos 2 α · cos 4 α · ។ . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α សម្រាប់ករណីនៅពេលដែល n = k + 1 ដោយផ្អែកលើការសន្មត់ពីមុន។
យោងតាមរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ។
sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α − 2 k + 1 α)) = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α
អាស្រ័យហេតុនេះ
cos 2 α cos 4 α ។ . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្ហាញវិសមភាពដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទអំពីវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត។ អានកថាខណ្ឌដែលរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកមេគុណប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានចេញមក។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter
អត្ថបទនៃការងារត្រូវបានដាក់ដោយគ្មានរូបភាពនិងរូបមន្ត។
កំណែពេញលេញនៃការងារមាននៅក្នុងផ្ទាំង "ឯកសារការងារ" ជាទម្រង់ PDF
សេចក្តីផ្តើម
ប្រធានបទនេះគឺពាក់ព័ន្ធ ព្រោះរាល់ថ្ងៃមនុស្សដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ ដែលពួកគេប្រើវិធីដោះស្រាយផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែមានកិច្ចការដែលវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាមិនអាចចែកចាយបាន ហើយក្នុងករណីបែបនេះ ចំណេះដឹងនៅក្នុងតំបន់នេះនឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់។
ខ្ញុំបានជ្រើសរើសប្រធានបទនេះសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ ពីព្រោះនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្តល់ពេលវេលាតិចតួច សិស្សរៀនព័ត៌មានដ៏ស្រើបស្រាលដែលនឹងជួយគាត់ឱ្យទទួលបានតែគំនិតទូទៅនៃវិធីសាស្ត្រនេះ ប៉ុន្តែការអភិវឌ្ឍន៍ខ្លួនឯងនឹង តម្រូវឱ្យសិក្សាទ្រឹស្តីនេះឱ្យស៊ីជម្រៅ។ វាពិតជាមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់បន្ថែមអំពីប្រធានបទនេះ ព្រោះវាពង្រីកការយល់ដឹងរបស់មនុស្ស និងជួយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញ។
គោលបំណង៖
ស្វែងយល់អំពីវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា រៀបចំចំណេះដឹងជាប្រព័ន្ធលើប្រធានបទនេះ ហើយអនុវត្តវាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីបទបង្ហាញឱ្យឃើញច្បាស់ និងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងនៃវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាដែលជាកត្តាចាំបាច់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។
ភារកិច្ចការងារ៖
វិភាគអក្សរសិល្ប៍ និងសង្ខេបចំណេះដឹងលើប្រធានបទ។
ស្វែងយល់ពីគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
ស្វែងយល់ពីការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅការដោះស្រាយបញ្ហា។
បង្កើតការសន្និដ្ឋាន និងការសន្និដ្ឋានលើការងារដែលបានធ្វើ។
ស្ថាប័នសំខាន់នៃការស្រាវជ្រាវ
ប្រវត្តិប្រភពដើម៖
មានតែឆ្ពោះទៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះដែលស្ដង់ដារនៃតម្រូវការសម្រាប់ភាពម៉ត់ចត់តក្កវិជ្ជាត្រូវបានអភិវឌ្ឍ ដែលរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះនៅតែលេចធ្លោនៅក្នុងការងារជាក់ស្តែងរបស់គណិតវិទូលើការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាបុគ្គល។
សេចក្តីផ្តើម គឺជានីតិវិធីនៃការយល់ដឹងដោយមធ្យោបាយដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅមួយត្រូវបានកាត់ចេញពីការប្រៀបធៀបនៃការពិតដែលមាន។
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា តួនាទីនៃអាំងឌុចស្យុងគឺភាគច្រើនដែលវាបង្កប់នូវ axiomatics ដែលបានជ្រើសរើស។ បន្ទាប់ពីការអនុវត្តយ៉ាងយូរបានបង្ហាញថាផ្លូវត្រង់តែងតែខ្លីជាងផ្លូវកោង ឬខូច វាជាធម្មជាតិក្នុងការបង្កើត axiom មួយ៖ សម្រាប់ចំណុចបី A, B និង C វិសមភាពគឺពេញចិត្ត។
ការយល់ដឹងអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាជាវិធីសាស្រ្តសំខាន់ដាច់ដោយឡែកមួយត្រលប់ទៅ Blaise Pascal និង Gersonides ទោះបីជាករណីខ្លះនៃកម្មវិធីត្រូវបានរកឃើញសូម្បីតែនៅសម័យបុរាណដោយ Proclus និង Euclid ។ ឈ្មោះទំនើបសម្រាប់វិធីសាស្រ្តត្រូវបានណែនាំដោយ de Morgan ក្នុងឆ្នាំ 1838 ។
វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចប្រៀបធៀបជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាព៖ យើងចាប់ផ្តើមពីកម្រិតទាបបំផុត ដែលជាលទ្ធផលនៃការគិតឡូជីខលដែលយើងឈានដល់កម្រិតខ្ពស់បំផុត។ មនុស្សតែងតែខិតខំដើម្បីភាពរីកចម្រើន សម្រាប់សមត្ថភាពក្នុងការអភិវឌ្ឍការគិតរបស់គាត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ ដែលមានន័យថាធម្មជាតិបានកំណត់គាត់ឱ្យគិតដោយប្រយោល។
អាំងតង់ស៊ីតេ និងការកាត់
វាត្រូវបានគេដឹងថាមានទាំងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិសេស និងទូទៅ ហើយពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងពីរគឺផ្អែកលើការផ្លាស់ប្តូរពីមួយទៅមួយទៀត។
ការកាត់ចេញ (ពី lat. deductio - derivation) - ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងដំណើរការនៃការយល់ដឹងពី ទូទៅចំណេះដឹងទៅ ឯកជននិង នៅលីវ. នៅក្នុងការកាត់ចេញ ចំណេះដឹងទូទៅដើរតួជាចំណុចចាប់ផ្តើមនៃការវែកញែក ហើយចំណេះដឹងទូទៅនេះត្រូវបានសន្មតថា "រួចរាល់" ដែលមានស្រាប់។ ភាពបារម្ភនៃការកាត់នេះគឺថាការពិតនៃបរិវេណរបស់វាធានាការពិតនៃការសន្និដ្ឋាន។ ដូច្នេះ ការកាត់ចេញមានថាមពលដ៏អស្ចារ្យនៃការបញ្ចុះបញ្ចូល ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយមិនត្រឹមតែដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏នៅគ្រប់ទីកន្លែងដែលត្រូវការចំណេះដឹងដែលអាចទុកចិត្តបាន។
ការណែនាំ (ពីឡាតាំង inductio - ការណែនាំ) គឺជាការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងដំណើរការនៃការយល់ដឹងពី ឯកជនចំណេះដឹងទៅ ទូទៅនៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតវាគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការស្រាវជ្រាវ, ចំនេះដឹង, ដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការទូទៅនៃលទ្ធផលនៃការសង្កេតនិងការពិសោធន៍លក្ខណៈពិសេសមួយនៃ induction គឺធម្មជាតិ probabilistic របស់ខ្លួន, i.e. ដោយផ្តល់ការពិតនៃបរិវេណដំបូង ការសន្និដ្ឋាននៃសេចក្តីផ្តើមគឺប្រហែលជាពិតប៉ុណ្ណោះ ហើយនៅក្នុងលទ្ធផលចុងក្រោយ វាអាចនឹងប្រែទៅជាពិត និងមិនពិត។
ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ
ហេតុផលអរូបី គឺជាទម្រង់នៃការគិតបែបអរូបី ដែលការគិតវិវត្តន៍ពីចំណេះដឹងនៃកម្រិតទូទៅតិចជាង ទៅជាចំណេះដឹងទូទៅនៃកម្រិតធំជាង ហើយការសន្និដ្ឋានដែលកើតឡើងពីបរិវេណគឺទំនងជាភាគច្រើនបំផុត។
នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការស្រាវជ្រាវ ខ្ញុំបានរកឃើញថា អាំងឌុចស្យុងត្រូវបានបែងចែកជាពីរប្រភេទ៖ ពេញលេញ និង មិនពេញលេញ។
ការបញ្ចូលពេញលេញត្រូវបានគេហៅថាការសន្និដ្ឋានដែលការសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីថ្នាក់នៃវត្ថុមួយត្រូវបានធ្វើឡើងដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋាននៃការសិក្សាលើវត្ថុទាំងអស់នៃថ្នាក់នេះ។
ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យវាតម្រូវឱ្យកំណត់ថារាល់លេខគូធម្មជាតិ n ក្នុង 6≤ n≤ 18 អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃចំនួនបឋមពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងយកលេខទាំងអស់ហើយសរសេរការពង្រីកដែលត្រូវគ្នា៖
6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;
សមភាពទាំងនេះបង្ហាញថាចំនួនចំណាប់អារម្មណ៍របស់យើងនីមួយៗគឺពិតជាតំណាងឱ្យផលបូកនៃពាក្យសាមញ្ញពីរ។
ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖ លំដាប់ yn= n 2 +n+17; ចូរយើងសរសេរពាក្យបួនដំបូង: y 1 = 19; y2=23; y3=29; y4=37; បន្ទាប់មកយើងអាចសន្មត់ថាលំដាប់ទាំងមូលមានបឋម។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនដូច្នោះទេ ចូរយើងយក y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17 ។ នេះគឺជាចំនួនសមាសធាតុ ដែលមានន័យថាការសន្មត់របស់យើងខុស ដូច្នេះហើយ ការបញ្ចូលមិនពេញលេញមិននាំទៅរកការសន្និដ្ឋានដែលអាចទុកចិត្តបានទាំងស្រុងនោះទេ ប៉ុន្តែអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតសម្មតិកម្ម ដែលក្រោយមកទាមទារភស្តុតាងគណិតវិទ្យា ឬការបដិសេធ។
វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា
ការបញ្ចូលពេញលេញមានកម្មវិធីកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនគ្របដណ្តប់លើចំនួនករណីពិសេសគ្មានដែនកំណត់ ហើយយើងមិនអាចសាកល្បងសម្រាប់ស្ថានភាពទាំងអស់នេះបានទេ។ ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីធ្វើតេស្តរកចំនួនករណីគ្មានកំណត់? វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានស្នើឡើងដោយ B. Pascal និង J. Bernoulli នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ដែលផ្អែកលើ គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា.
ប្រសិនបើប្រយោគ A(n) ដែលអាស្រ័យលើចំនួនធម្មជាតិ n គឺពិតសម្រាប់ n=1 ហើយពីការពិតដែលថាវាពិតសម្រាប់ n=k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ) វាធ្វើតាមវាផងដែរ។ ពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=k +1 បន្ទាប់មកសន្មត់ A(n) គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n ។
ក្នុងករណីមួយចំនួន វាអាចចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយ មិនមែនសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់នោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់តែ n>p ដែល p គឺជាលេខធម្មជាតិថេរ។ ក្នុងករណីនេះ គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម៖
ប្រសិនបើប្រយោគ A(n) ពិតសម្រាប់ n=p ហើយប្រសិនបើ A(k) A(k+1) សម្រាប់ k>p ណាមួយ បន្ទាប់មកប្រយោគ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n>p ណាមួយ។
ក្បួនដោះស្រាយ (វាមានបួនដំណាក់កាល)៖
1. មូលដ្ឋាន(យើងបង្ហាញថាការអះអាងដែលត្រូវបានបញ្ជាក់គឺជាការពិតសម្រាប់ករណីពិសេសសាមញ្ញបំផុតមួយចំនួន ( ទំ = 1));
2. ស្មាន(យើងសន្មត់ថាការអះអាងត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលើកដំបូង ទៅ ករណី); 3 .ជំហាន(ក្រោមការសន្មត់នេះ យើងបង្ហាញការអះអាងសម្រាប់ករណីនេះ។ ទំ = ទៅ + 1); 4. ទិន្នផល (yសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់គ្រប់ករណីទាំងអស់ នោះគឺសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ទំ) .
ចំណាំថា មិនមែនគ្រប់បញ្ហាទាំងអស់អាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែមានតែបញ្ហាដែលកំណត់ដោយអថេរមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។ អថេរនេះត្រូវបានគេហៅថាអថេរ induction ។
ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា
ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្ដីទាំងអស់នេះក្នុងការអនុវត្ត ហើយស្វែងយល់ថាតើបញ្ហាណាដែលវិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានប្រើ។
បញ្ហាសម្រាប់ភស្តុតាងនៃវិសមភាព។
ឧទាហរណ៍ ១បញ្ជាក់វិសមភាព Bernoulli (1+x)n≥1+n x, x>-1, n € N ។
1) សម្រាប់ n=1 វិសមភាពគឺពិតចាប់តាំងពី 1+х≥1+х
2) សន្មតថាវិសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n=k, i.e.
(1+x) k ≥1+k x ។
ការគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយលេខវិជ្ជមាន 1+x យើងទទួលបាន
(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2
ដោយពិចារណាថា kx 2 ≥0 យើងមកដល់វិសមភាព
(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x ។
ដូច្នេះ ការសន្មត់ថាវិសមភាពរបស់ Bernoulli គឺពិតសម្រាប់ n=k មានន័យថា វាជាការពិតសម្រាប់ n=k+1។ ដោយផ្អែកលើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថា វិសមភាព Bernoulli មានសុពលភាពសម្រាប់ n ∈ N ណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ ២បង្ហាញថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n> 1, .
ចូរយើងបង្ហាញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
សម្គាល់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពដោយ។
1) ដូច្នេះសម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត។
2) អនុញ្ញាតឱ្យ k មួយចំនួន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មក យើងមាន ។
ប្រៀបធៀប និង, យើងមាន, i.e. .
សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយគឺវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ។ ប៉ុន្តែ ដូច្នេះហើយ និង។ យើងបានបង្ហាញសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n=k+1 ដូច្នេះហើយ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n>1 ធម្មជាតិណាមួយ។
បញ្ហាសម្រាប់ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណ។
ឧទាហរណ៍ ១បង្ហាញថាសមភាពធម្មជាតិណាមួយគឺពិត៖
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4 ។
អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2/4=1 ។
យើងឃើញថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។
2) ឧបមាថាសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n=kX k =k 2 (k+1) 2/4 ។
3) ចូរយើងបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1, i.e. X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4 ។ X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4។
តាមភស្តុតាងខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1 ដូច្នេះសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ ២បង្ហាញថាសម្រាប់សមភាពធម្មជាតិណាមួយ។
1) ពិនិត្យមើលថាអត្តសញ្ញាណនេះគឺពិតសម្រាប់ n = 1.; - ត្រូវហើយ។
2) សូមឱ្យអត្តសញ្ញាណជាការពិតសម្រាប់ n = k ផងដែរ, i.e.
3) ចូរយើងបង្ហាញថាអត្តសញ្ញាណនេះក៏ជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e.;
ដោយសារតែ សមភាពគឺពិតសម្រាប់ n=k និង n=k+1 បន្ទាប់មកវាគឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
កិច្ចការបូកសរុប។
ឧទាហរណ៍ ១បង្ហាញថា 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ។
ដំណោះស្រាយ៖ ១) យើងមាន n=1=1 ២. ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=1, i.e. A(1) គឺពិត។
2) ចូរយើងបង្ហាញថា А(k) A(k+1)។
ឲ្យ k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុកឱ្យសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតសម្រាប់ n=k ពោលគឺ 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ។
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកការអះអាងក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិបន្ទាប់ n=k+1, i.e. អ្វី
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
ពិតហើយ 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
ដូច្នេះ A(k) A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថា ការសន្មត់ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n N ណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ ២បញ្ជាក់រូបមន្ត n គឺជាលេខធម្មជាតិ។
ដំណោះស្រាយ៖ នៅពេលដែល n=1 ផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពប្រែទៅជាមួយ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត។
សន្មតថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n=k, i.e. .
ចូរយើងបន្ថែមលើភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ ហើយផ្លាស់ប្តូរផ្នែកខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន
ដូច្នេះពីការពិតដែលថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n = k វាធ្វើតាមថាវាពិតសម្រាប់ n = k + 1 បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
ភារកិច្ចបែងចែក។
ឧទាហរណ៍ ១បង្ហាញថា (11 n+2 +12 2n+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់។
ការសម្រេចចិត្ត៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n = 1 បន្ទាប់មក
11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133 ។
(23 × 133) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។
2) ឧបមាថា (11 k+2 +12 2k+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់។
3) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះ
(11 k+3 +12 2k+3) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់។ ពិតហើយ 11 k+3 +12 2n+3 =11×11 k+2 +
12 2×12 2k+1 =11×11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 ។
ផលបូកលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយមិននៅសល់ ចាប់តាំងពីពាក្យទីមួយរបស់វាត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ដោយការសន្មត់ ហើយនៅក្នុងកត្តាទីពីរគឺ 133 ។
ដូច្នេះ A(k) → A(k+1) បន្ទាប់មកផ្អែកលើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ ២បង្ហាញថា 3 3n-1 +2 4n-3 សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11។
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់។ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។
2) សន្មតថាសម្រាប់ n = k
X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់។
3) ចូរយើងបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1 ។
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =
27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +
11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 ។
ព្យញ្ជនៈទីមួយបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់ព្រោះ 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយការសន្មត់ ទីពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ព្រោះកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តារបស់វាគឺលេខ 11 ដូច្នេះផលបូកគឺ ក៏បែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
ភារកិច្ចពីជីវិតពិត។
ឧទាហរណ៍ ១បង្ហាញថាផលបូក Sn នៃមុំខាងក្នុងនៃពហុកោណប៉ោងណាមួយគឺ ( ទំ- 2) π, កន្លែងណា ទំគឺជាចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណនេះ៖ Sn = ( ទំ- 2)π (1) ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមិនសមហេតុផលសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ទំប៉ុន្តែសម្រាប់តែ ទំ > 3 ចាប់តាំងពីចំនួនមុំអប្បបរមានៅក្នុងត្រីកោណគឺ 3 ។
1) ពេលណា ទំ= 3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងយកទម្រង់: S 3 = π។ ប៉ុន្តែផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃត្រីកោណណាមួយគឺ π ។ ដូច្នេះនៅពេល ទំ= 3 រូបមន្ត (1) គឺពិត។
2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n =kនោះគឺ S k = (k- 2) π, កន្លែងណា k > 3. ចូរយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះរូបមន្តក៏មានផងដែរ: S k+ 1 = (k- 1) π។
ឱ្យ A 1 A 2 ... A k ក k+ 1 - ប៉ោងតាមអំពើចិត្ត ( k+ 1) -gon (រូបភាព 338) ។
ដោយភ្ជាប់ចំណុច A 1 និង A k យើងទទួលបានប៉ោង k-gon A 1 A 2 ... ក k — ១ អេ k . ជាក់ស្តែង ផលបូកនៃមុំ ( k+ 1) -gon A 1 A 2 ... ក k ក k+ 1 ស្មើនឹងផលបូកនៃមុំ k-gon A 1 A 2 ... ក k បូកនឹងផលបូកនៃមុំត្រីកោណ A 1 A k ក k+ មួយ។ ប៉ុន្តែផលបូកនៃមុំ k-gon A 1 A 2 ... ក k សន្មត់ថា ( k- 2) π និងផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណ A 1 A k ក k+ 1 គឺស្មើនឹង pi ។ ដូច្នេះ
ស k+ 1=ស k + π = ( k- 2) π + π = ( k- 1) π។
ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត ហើយដូច្នេះរូបមន្ត (1) គឺពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ > 3.
ឧទាហរណ៍ ២មានជណ្ដើរមួយដែលគ្រប់ជំហានគឺដូចគ្នា។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីចង្អុលបង្ហាញចំនួនអប្បបរមានៃមុខតំណែងដែលនឹងធានានូវលទ្ធភាពនៃការ "ឡើង" ជំហានណាមួយដោយលេខ។
មនុស្សគ្រប់គ្នាយល់ស្របថាគួរតែមានលក្ខខណ្ឌមួយ។ យើងត្រូវតែអាចឡើងដល់ជំហានដំបូង។ បន្ទាប់មក ពួកគេត្រូវតែអាចឡើងពីជំហានទីមួយទៅជំហានទីពីរ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងទីពីរ - នៅលើទីបី។ ដល់ជំហានទី 3 ។ ជាការពិតណាស់នៅក្នុងការបូកសរុប សេចក្តីថ្លែងការណ៍ "n" ធានា nm ថាយើងនឹងអាចឈានដល់ជំហាន n-th ។
ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលមុខតំណែង 2, 3, ...., n ហើយប្រៀបធៀបពួកវាជាមួយគ្នា។ វាងាយមើលឃើញថាពួកគេទាំងអស់មានរចនាសម្ព័ន្ធដូចគ្នា៖ ប្រសិនបើយើងឈានដល់ជំហាន k នោះយើងអាចឡើងជំហាន (k + 1) ។ ពីទីនេះ axiom បែបនេះសម្រាប់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលពឹងផ្អែកលើ "n" ក្លាយជាធម្មជាតិ: ប្រសិនបើប្រយោគ A (n) ដែល n ជាលេខធម្មជាតិគឺពេញចិត្តនឹង n = 1 ហើយពីការពិតដែលថាវាពេញចិត្ត។ ជាមួយ n = k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ) វាធ្វើតាមដែលវាកាន់សម្រាប់ n = k + 1 បន្ទាប់មកសន្មត់ A(n) ទុកសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។
ឧបសម្ព័ន្ធ
ភារកិច្ចដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានៅពេលចូលសាកលវិទ្យាល័យ។
ចំណាំថានៅពេលចូលទៅក្នុងគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សាក៏មានកិច្ចការដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រនេះផងដែរ។ តោះមើលពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង.
ឧទាហរណ៍ ១បញ្ជាក់ថាធម្មជាតិណាមួយ។ ទំសមភាពយុត្តិធម៌
1) ពេលណា n=1យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ។
2) ដោយបានធ្វើការសន្មត់ថាសម្រាប់ n = kសមភាពគឺពិត ពិចារណាផលបូកនៅខាងឆ្វេងនៃសមភាពសម្រាប់ n =k+1;
3) ដោយប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយ យើងបំលែងកន្សោម៖
បន្ទាប់មកដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា សមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ ២បង្ហាញថាសម្រាប់ធម្មជាតិ n តម្លៃនៃកន្សោម 4n +15n-1 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។
1) ជាមួយ n=1:2 2 +15-1=18 - គុណនៃ 9 (ព្រោះថា 18:9=2)
2) រក្សាសមភាព n=k៖ 4k +15k-1 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។
3) ចូរយើងបង្ហាញថាសមភាពមានសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=k+1
4k+1 +15(k+1)-1=4k+1 +15k+15-1=4.4k +60k-4-45k+18=4(4k +15k-1)-9(5k-2)
4(4k +15k-1) - គុណនៃ 9;
9(5k-2) - ពហុគុណនៃ 9;
អាស្រ័យហេតុនេះ កន្សោមទាំងមូល 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) គឺជាពហុគុណនៃ 9 ដែលត្រូវតែបញ្ជាក់។
ឧទាហរណ៍ ៣បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ទំលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=។
1) ពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n=1៖ខាងឆ្វេង = 1∙2∙3=6.
ផ្នែកខាងស្តាំ = . 6 = 6; ពិតនៅ n=1.
2) សន្មតថារូបមន្តនេះគឺពិតសម្រាប់ n =k:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=។ស k =.
3) ចូរយើងបង្ហាញថារូបមន្តនេះគឺពិតសម្រាប់ n =k+1៖
1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=។
ស k+1 =.
ភស្តុតាង៖
ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌនេះគឺពិតនៅក្នុងករណីពីរហើយបង្ហាញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n =k+1,ដូច្នេះវាជាការពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ.
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ដើម្បីសង្ខេប នៅក្នុងដំណើរការនៃការស្រាវជ្រាវ ខ្ញុំបានរកឃើញថា អាំងឌុចស្យុងគឺជាអ្វី ដែលពេញលេញ ឬមិនពេញលេញ ខ្ញុំបានស្គាល់វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា ដោយពិចារណាលើបញ្ហាជាច្រើនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនេះ។
ខ្ញុំក៏បានរៀនព័ត៌មានថ្មីៗជាច្រើន ខុសពីអ្វីដែលមាននៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ពេលកំពុងសិក្សាវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានប្រើប្រាស់អក្សរសិល្ប៍ផ្សេងៗ ធនធានអ៊ីនធឺណិត ហើយក៏បានពិគ្រោះជាមួយគ្រូផងដែរ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដោយមានចំណេះដឹងទូទៅ និងជាប្រព័ន្ធលើការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានជឿជាក់លើតម្រូវការចំណេះដឹងលើប្រធានបទនេះតាមការពិត។ គុណភាពវិជ្ជមាននៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺជាកម្មវិធីដ៏ធំទូលាយរបស់វាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា៖ ក្នុងវិស័យពិជគណិត ធរណីមាត្រ និងគណិតវិទ្យាពិត។ ផងដែរ ចំណេះដឹងនេះបង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រ។
ខ្ញុំប្រាកដថាជំនាញដែលទទួលបានក្នុងអំឡុងពេលការងារនឹងជួយខ្ញុំនាពេលអនាគត។
គន្ថនិទ្ទេស
សូមីនស្គី I.S. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ បាឋកថាពេញនិយមស្តីពីគណិតវិទ្យា លេខ៣-អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧៤។
L. I. Golovina, I. M. Yaglom ។ ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ។ - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 ទំ។ — (ការបង្រៀនដ៏ពេញនិយមអំពីគណិតវិទ្យា)។
Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាកលវិទ្យាល័យ (សំណួរដែលបានជ្រើសរើសនៃគណិតវិទ្យាបឋម) - ed ។ ទី 5, កែប្រែ, 1976 - 638s ។
A. Shen ។ ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - MTsNMO, 2004. - 36 ទំ។
M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់កោសិកា 8-9 ។ ជាមួយនឹងការជ្រៅមួយ។ the study of mathematics 7th ed. - M.: Education, 2001. - 271 p.
Yu.N. - M.: Pro-sve-shche-nie, 2002 ។
វិគីភីឌាគឺជាសព្វវចនាធិប្បាយឥតគិតថ្លៃ។
ប្រសិនបើប្រយោគ A(n) ដែលអាស្រ័យលើចំនួនធម្មជាតិ n គឺពិតសម្រាប់ n=1 ហើយពីការពិតដែលថាវាពិតសម្រាប់ n=k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ) វាធ្វើតាមវាផងដែរ។ ពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=k +1 បន្ទាប់មកសន្មត់ A(n) គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n ។
ក្នុងករណីមួយចំនួន វាអាចចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយ មិនមែនសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់នោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់តែ n>p ដែល p គឺជាលេខធម្មជាតិថេរ។ ក្នុងករណីនេះ គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម។
ប្រសិនបើសំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=p ហើយប្រសិនបើ A(k) X A(k+1) សម្រាប់ k>p ណាមួយ នោះសំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n>p ណាមួយ។
ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម។ ជាដំបូង ការអះអាងដែលត្រូវបង្ហាញគឺត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ n=1, i.e., ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1) ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ផ្នែកនៃភស្តុតាងនេះត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋានការចាប់ផ្តើម។ នេះត្រូវបានបន្តដោយផ្នែកនៃភស្តុតាងដែលហៅថា ជំហានចាប់ផ្តើម។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k+1 ត្រូវបានបង្ហាញក្រោមការសន្មត់ថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k (ការសន្មត់បញ្ចូល) i.e. បញ្ជាក់ A(k) ~ A(k+1)
បង្ហាញថា 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ។
- 1) យើងមាន n=1=1 2 ។ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=1, i.e. A(1) ពិត
- 2) ចូរយើងបង្ហាញថា A(k) ~ A(k+1)
អនុញ្ញាតឱ្យ k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុកឱ្យសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតសម្រាប់ n=k, i.e.
1+3+5+…+(2k-1)=k 2
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកការអះអាងក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិបន្ទាប់ n=k+1, i.e. អ្វី
- 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2 ពិតហើយ
- 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2
ដូច្នេះ A(k) X A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថា ការសន្មត់ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n О N ណាមួយ។
បញ្ជាក់
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1) ដែល x លេខ 1
- 1) សម្រាប់ n=1 យើងទទួលបាន
- 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1
ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 រូបមន្តគឺពិត; A(1) ពិត
- 2) ទុក k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុករូបមន្តពិតសម្រាប់ n=k,
- 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកសមភាព
- 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) ពិតហើយ
- 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =
=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)
ដូច្នេះ A(k) ⋅ A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n
បង្ហាញថាចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ោង n-gon គឺ n(n-3)/2
ដំណោះស្រាយ៖ 1) សម្រាប់ n=3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត ពីព្រោះនៅក្នុងត្រីកោណ
A 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 អង្កត់ទ្រូង; A 2 A(3) ពិត
2) ឧបមាថានៅក្នុង k-gon ប៉ោងណាមួយមាន A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 អង្កត់ទ្រូង។ A k ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកនៅក្នុងប៉ោង A k+1 (k+1)-gon ចំនួនអង្កត់ទ្រូង A k+1 =(k+1)(k-2)/2។
អនុញ្ញាតឱ្យ А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -convex (k+1)-gon ។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង A 1 A k នៅក្នុងវា។ ដើម្បីគណនាចំនួនសរុបនៃអង្កត់ទ្រូងនេះ (k + 1)-gon អ្នកត្រូវរាប់ចំនួនអង្កត់ទ្រូងក្នុង k-gon A 1 A 2 ...A k បន្ថែម k-2 ទៅលេខលទ្ធផល i.e. ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ (k+1)-gon ដែលផុសចេញពីចំនុចកំពូល A k+1 ហើយលើសពីនេះ គួរតែគិតគូរពីអង្កត់ទ្រូង A 1 A k
ដូច្នេះ
G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2
ដូច្នេះ A(k) ⋅ A(k+1)។ ដោយសារគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ប៉ោងណាមួយ n-gon ។
បង្ហាញថាសម្រាប់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយគឺពិត៖
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក
X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1
២) សន្មត់ថា n=k
X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6
3) ពិចារណាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1
Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6
X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2
=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2)/6=(k+1)(k(2k+1)+
6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)
2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
យើងបានបង្ហាញសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ n = k + 1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បង្ហាញថាសមភាពធម្មជាតិណាមួយគឺពិត៖
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1
បន្ទាប់មក X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2 / 4 = 1 ។ យើងឃើញថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។
2) សន្មតថាសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n = k
X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4
3) ចូរយើងបង្ហាញការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1, i.e.
X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4 ។ X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីភស្តុតាងខាងលើដែលថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = k + 1 ដូច្នេះសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បញ្ជាក់
((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1) ដែល n> 2
ដំណោះស្រាយ៖ ១) សម្រាប់ n=2 អត្តសញ្ញាណមើលទៅដូច៖
- (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), i.e. វាជាការពិត
- 2) សន្មតថាកន្សោមគឺពិតសម្រាប់ n = k
- (2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
- 3) យើងនឹងបញ្ជាក់ភាពត្រឹមត្រូវនៃកន្សោមសម្រាប់ n=k+1
- (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +
1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))) ґ ((k+2)((k+
1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ
ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)
យើងបានបង្ហាញសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ n = k + 1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n> 2 ណាមួយ។
បញ្ជាក់
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក
- 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
- 2) សន្មតថា n = k បន្ទាប់មក
- 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
- 3) យើងនឹងបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1
- (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1)3 -(2k+2)3 =-k 2 (4k+3)+
+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)
សុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ n=k+1 ក៏ត្រូវបានបង្ហាញផងដែរ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃអត្តសញ្ញាណ
(1 2/1 ґ 3)+(2 2/3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n
- 1) សម្រាប់ n=1 អត្តសញ្ញាណគឺពិត 1 2/1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
- 2) សន្មតថាសម្រាប់ n = k
- (1 2/1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
- 3) យើងបង្ហាញថាអត្តសញ្ញាណគឺពិតសម្រាប់ n=k+1
- (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1)2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីភស្តុតាងខាងលើដែលថាការអះអាងគឺជាការពិតសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានណាមួយ n ។
បង្ហាញថា (11 n+2 +12 2n+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយមិននៅសល់
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក
11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133
ប៉ុន្តែ (23 ґ 133) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ A(1) គឺពិត។
- 2) សន្មត់ថា (11 k+2 +12 2k+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់
- 3) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះ (11 k + 3 +12 2k + 3) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់។ ជាការពិត
- 11 k+3 +12 2k+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +
+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1
ផលបូកលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយមិននៅសល់ ចាប់តាំងពីពាក្យទីមួយរបស់វាត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ដោយការសន្មត់ ហើយនៅក្នុងកត្តាទីពីរគឺ 133។ ដូច្នេះ A (k) Yu A (k + 1) ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ
បង្ហាញថាសម្រាប់ n 7 n -1 ណាមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n \u003d k 7 k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 3) ចូរយើងបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6
ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ព្រោះថា 7 k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយការសន្មត់ ហើយពាក្យទីពីរគឺ 6 ។ ដូច្នេះ 7 n -1 គឺជាពហុគុណនៃ 6 សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។
បង្ហាញថា 3 3n-1 +2 4n-3 សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11។
1) អនុញ្ញាតឱ្យ n = 1 បន្ទាប់មក
X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់។
ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n = k X k = 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់
- 3) យើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =
27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +
11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1
ព្យញ្ជនៈទីមួយបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់ព្រោះ 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយការសន្មត់ ទីពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ព្រោះកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តារបស់វាគឺលេខ 11 ដូច្នេះផលបូកគឺ ក៏បែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។
បង្ហាញថា 11 2n -1 សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក 11 2 -1=120 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n = k 1 2k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)
ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់: ទីមួយមានពហុគុណនៃ 6 លេខ 120 ហើយទីពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់ដោយការសន្មត់។ ដូច្នេះផលបូកត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។
បង្ហាញថា 3 3n + 3 -26n-27 សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 (676) ដោយគ្មានសល់
ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថា 3 3n + 3 -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ដោយគ្មានសល់
- 1. នៅពេលដែល n=0
- 3 3 −1=26 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26
- 2. ឧបមាថាសម្រាប់ n=k
- 3 3k + 3 -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26
- 3. ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
- 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងដែលបានបង្កើតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា
- 1) វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 3 3+3 -26-27=676
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n=k កន្សោម 3 3k + 3 -26k-27 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានសល់
- 3) ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
- 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)
ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ; ទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ពីព្រោះយើងបានបង្ហាញថាកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ហើយទីពីរត្រូវបានបែងចែកដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ
បង្ហាញថាប្រសិនបើ n>2 និង х>0 នោះវិសមភាព (1+х) n>1+n ґ х
- 1) សម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិតចាប់តាំងពី
- (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x
ដូច្នេះ A(2) គឺពិត
- 2) ចូរយើងបង្ហាញថា A(k) ⋅ A(k+1) ប្រសិនបើ k> 2. សន្មត់ថា A(k) គឺពិត មានន័យថា វិសមភាព
- (1+х) k >1+k ґ x ។ (3)
ចូរយើងបង្ហាញថា A(k+1) ក៏ជាការពិតដែរ ពោលគឺ វិសមភាព
(1+x) k+1 >1+(k+1) x
ជាការពិតណាស់ ការគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព (3) ដោយចំនួនវិជ្ជមាន 1+x យើងទទួលបាន
(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)
ពិចារណាផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាពចុងក្រោយ; យើងមាន
(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបាន (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x
ដូច្នេះ A(k) ⋅ A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថា វិសមភាព Bernoulli មានសុពលភាពសម្រាប់ n> 2 ណាមួយ។
បង្ហាញថាវិសមភាព (1+a+a 2) m> 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 គឺពិតសម្រាប់ a> 0
ដំណោះស្រាយ៖ ១) សម្រាប់ m=1
- (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 ផ្នែកទាំងពីរគឺស្មើគ្នា
- 2) សន្មតថាសម្រាប់ m = k
- (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
- 3) ចូរយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ m=k+1 ភាពមិនស្មើគ្នាគឺជាការពិត
- (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+
+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +
+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+
+((k+1)(k+2)/2) ґ a ២
យើងបានបង្ហាញសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ m=k+1 ដូច្នេះហើយ ដោយសារវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់ m ធម្មជាតិណាមួយ។
បង្ហាញថាសម្រាប់ n>6 វិសមភាព 3 n>n ґ 2 n+1
ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពក្នុងទម្រង់ (3/2) n >2n
- 1. សម្រាប់ n=7 យើងមាន 3 7/2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 វិសមភាពគឺពិត
- ឧបមាថាសម្រាប់ n = k (3/2) k > 2k
- 3) ចូរយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n=k+1
- 3k+1 /2k+1 =(3k/2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)
ចាប់តាំងពី k>7 វិសមភាពចុងក្រោយគឺជាក់ស្តែង។
ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា វិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បង្ហាញថាសម្រាប់ n> 2 វិសមភាព
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)
- 1) សម្រាប់ n=3 វិសមភាពគឺពិត
- 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
- 2. ឧបមាថាសម្រាប់ n=k
- 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
- 3) ចូរយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n=k+1
- (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1)2)
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា 1,7-(1/k)+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1) Ы
S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы
s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k ក្រោយមកទៀតគឺជាក់ស្តែងហើយដូច្នេះ 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1) ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា វិសមភាពត្រូវបានបង្ហាញ។ Induction គឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការទទួលបានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅពីការសង្កេតជាក់លាក់មួយ។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងចំនួនវត្ថុកំណត់ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយពិនិត្យមើលវត្ថុនីមួយៗ។ ជាឧទាហរណ៍ សេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ “រាល់លេខគូពីរខ្ទង់ គឺជាផលបូកនៃលេខគោលពីរ” ដែលធ្វើតាមពីស៊េរីនៃសមភាពដែលមានលក្ខណៈប្រាកដនិយមដើម្បីបង្កើត៖ 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79. វិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាង ដែលនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់សម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃករណី ដែលអស់លទ្ធភាពទាំងអស់ ត្រូវបានគេហៅថាការបញ្ចូលពេញលេញ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺកម្រអាចអនុវត្តបាន ដោយសារសេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យា ជាក្បួនបារម្ភមិនកំណត់ ប៉ុន្តែសំណុំវត្ថុគ្មានកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីលេខពីរខ្ទង់ដែលបានបង្ហាញខាងលើដោយការបញ្ចូលពេញលេញគ្រាន់តែជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទប៉ុណ្ណោះ៖ "លេខគូណាមួយគឺជាផលបូកនៃចំនួនបឋមពីរ"។ ទ្រឹស្តីបទនេះមិនទាន់ត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬបដិសេធនៅឡើយ។ ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា៖ "ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = 1 និងពីសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n = k វាដូចខាងក្រោមថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n = ។ k+1 បន្ទាប់មកវាជាការពិតសម្រាប់ n "ទាំងអស់។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ដោយ induction គណិតវិទ្យាមានដូចខាងក្រោម: 1) មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល៖ បញ្ជាក់ ឬផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់នូវសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=1 (ជួនកាល n=0 ឬ n=n 0); 2) ជំហានដំបូង (ការផ្លាស់ប្តូរ)៖ ពួកគេសន្មត់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k ធម្មជាតិមួយចំនួន ហើយផ្អែកលើការសន្មត់នេះ បញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k+1។ 1. បង្ហាញថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n លេខ 3 2n + 1 +2 n + 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។ សម្គាល់ A(n)=3 2n+1 +2 n+2 ។ មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ ប្រសិនបើ n=1 នោះ A(1)=3 3 +2 3=35 ហើយច្បាស់ជាបែងចែកដោយ 7។ សម្មតិកម្មអាំងឌុចស្យុង។ អនុញ្ញាតឱ្យ A(k) ចែកនឹង 7 ។ ការផ្លាស់ប្តូរ inductive ។ ចូរយើងបង្ហាញថា A(k+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 នោះគឺសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាសម្រាប់ n=k ។ А(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 3 2 +2 k+2 2 1 =3 2k+1 9+2 k+2 ២= 3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2 ។ លេខចុងក្រោយត្រូវបែងចែកដោយ 7 ព្រោះវាជាភាពខុសគ្នានៃចំនួនគត់ពីរចែកដោយ 7។ ដូច្នេះហើយ 3 2n+1 +2 n+2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។ 2. បង្ហាញថាសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានណាមួយ n លេខ 2 3 n +1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 n+1 ហើយមិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 n+2 ទេ។ សូមណែនាំសញ្ញាណៈ a i = 2 3 i +1 ។ សម្រាប់ n=1 យើងមាន និង 1=2 3 +1=9។ ដូច្នេះ 1 ត្រូវបែងចែកដោយ 3 2 ហើយមិនបែងចែកដោយ 3 3 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ n = k ចំនួន a k ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 k + 1 និងមិនបែងចែកដោយ 3 k + 2 ពោលគឺ a k = 2 3 k +1 = 3 k + 1 m ដែល m មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។ និង k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k 2 −2 3 k +1)=3 k+1 m m ((2 3 k +1) 2–3 2 3 k)=3 k+1 m ((3 k+1 m) 2–3 2 3 k)= 3 k+2 m (3 2k+1 m 2–2 3 k)។ ជាក់ស្តែង k+1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 k+2 ហើយមិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 k+3 ទេ។ ដូច្នេះការអះអាងត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n ។ 3. គេដឹងថា x+1/x គឺជាចំនួនគត់។ បង្ហាញថា х n +1/х n ក៏ជាចំនួនគត់សម្រាប់ចំនួនគត់ n ។ ចូរណែនាំសញ្ញាណៈ a i \u003d x i +1 / x i ហើយចំណាំភ្លាមថា a i \u003d a -i ដូច្នេះយើងនឹងបន្តនិយាយអំពីសន្ទស្សន៍ធម្មជាតិ។ ចំណាំ៖ និង 1 គឺជាចំនួនគត់តាមលក្ខខណ្ឌ។ a 2 គឺជាចំនួនគត់ ចាប់តាំងពី 2 \u003d (a 1) 2 -2; និង 0=2 ។ សន្មត់ថា k គឺជាចំនួនគត់សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k ដែលមិនលើសពី n ។ បន្ទាប់មក a 1 ·a n គឺជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែ a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 និង a n+1 =a 1 ·a n–a n–1 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ និង n-1 គឺជាចំនួនគត់ដោយសម្មតិកម្មចាប់ផ្តើម។ ដូច្នេះ а n+1 ក៏ជាចំនួនគត់។ ដូច្នេះ х n +1/х n គឺជាចំនួនគត់សម្រាប់ចំនួនគត់ n ដែលត្រូវបញ្ជាក់។ 4. បង្ហាញថាសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានណាមួយ n ធំជាង 1 វិសមភាពទ្វេ 5. បង្ហាញថាសម្រាប់ធម្មជាតិ n > 1 និង |x| (1–x)n +(1+x)n សម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត។ ពិតជា (1–x) 2 + (1 + x) 2 \u003d 2 + 2 x 2 ប្រសិនបើវិសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n=k នោះសម្រាប់ n=k+1 យើងមាន (1–x)k+1 +(1+x)k+1 វិសមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n > 1។ 6. មានរង្វង់ n នៅលើយន្តហោះ។ បញ្ជាក់ថាសម្រាប់ការរៀបចំណាមួយនៃរង្វង់ទាំងនេះ ផែនទីដែលបង្កើតឡើងដោយពួកវាអាចត្រូវបានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយពណ៌ពីរ។ ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា។ សម្រាប់ n=1 ការអះអាងគឺជាក់ស្តែង។ សន្មតថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ផែនទីណាមួយដែលបង្កើតឡើងដោយរង្វង់ n ហើយអនុញ្ញាតឱ្យរង្វង់ n + 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ តាមរយៈការលុបរង្វង់មួយក្នុងចំនោមរង្វង់ទាំងនេះ យើងទទួលបានផែនទីដែលអាស្រ័យទៅលើការសន្មត់ដែលបានធ្វើ អាចត្រូវបានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងពណ៌ពីរ (សូមមើលរូបទីមួយខាងក្រោម)។ បនា្ទាប់មកយើងស្តាររង្វង់ដែលបោះបង់ចោលហើយនៅផ្នែកម្ខាងរបស់វាឧទាហរណ៍នៅខាងក្នុងផ្លាស់ប្តូរពណ៌នៃតំបន់នីមួយៗទៅផ្ទុយ (សូមមើលរូបភាពទីពីរ) ។ វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាក្នុងករណីនេះយើងទទួលបានផែនទីដែលមានពណ៌ពីរយ៉ាងត្រឹមត្រូវប៉ុន្តែមានតែពេលនេះទេដែលមានរង្វង់ n + 1 ដែលត្រូវបញ្ជាក់។ 7. យើងនឹងហៅពហុកោណប៉ោងថា "ស្រស់ស្អាត" ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ 1) បញ្ឈរនីមួយៗត្រូវបានលាបពណ៌មួយក្នុងចំណោមបីពណ៌។ 2) បញ្ឈរជិតខាងណាមួយត្រូវបានលាបពណ៌ផ្សេងគ្នា; 3) យ៉ាងហោចណាស់ចំនុចកំពូលមួយនៃពហុកោណត្រូវបានដាក់ពណ៌នៅក្នុងពណ៌នីមួយៗនៃបី។ បង្ហាញថានី-ហ្គនដ៏ស្រស់ស្អាតណាមួយអាចត្រូវបានកាត់ដោយអង្កត់ទ្រូងដែលមិនប្រសព្វទៅជាត្រីកោណ "ដ៏ស្រស់ស្អាត" ។ ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា។ មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់យ៉ាងហោចណាស់អាចធ្វើទៅបាន n=3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺជាក់ស្តែង: ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ "ដ៏ស្រស់ស្អាត" ត្រូវបានលាបពណ៌បីពណ៌ផ្សេងគ្នា ហើយមិនចាំបាច់កាត់ទេ។ សម្មតិកម្មអាំងឌុចស្យុង។ ចូរយើងសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺជាការពិតសម្រាប់ n-gon "ដ៏ស្រស់ស្អាត" ណាមួយ។ ជំហានចាប់ផ្តើម។ ពិចារណាអំពី "ស្រស់ស្អាត" (n + 1)-gon ដែលបំពាន ហើយបង្ហាញ ដោយប្រើការសន្មត់ថា វាអាចត្រូវបានកាត់ដោយអង្កត់ទ្រូងមួយចំនួនទៅជាត្រីកោណ "ដ៏ស្រស់ស្អាត" ។ សម្គាល់ដោយ А 1 , А 2 , А 3 , … А n , А n+1 – ចំនុចកំពូលបន្តបន្ទាប់នៃ (n+1)-gon ។ ប្រសិនបើមានតែចំនុចកំពូលមួយនៃ (n + 1)-gon ត្រូវបានលាបពណ៌ណាមួយក្នុងចំនោមពណ៌ទាំងបី នោះដោយការភ្ជាប់ចំនុចកំពូលនេះជាមួយនឹងអង្កត់ទ្រូងទៅនឹងចំនុចកំពូលទាំងអស់ដែលមិននៅជាប់នឹងវា យើងទទួលបានភាគថាសចាំបាច់នៃ (n + 1)- ចូលទៅក្នុងត្រីកោណ "ស្រស់ស្អាត" ។ ប្រសិនបើចំនុចកំពូលពីរនៃ (n + 1)-gon ត្រូវបានលាបពណ៌នីមួយៗក្នុងចំណោមពណ៌ទាំងបីនោះ យើងសម្គាល់ពណ៌នៃចំនុចកំពូល A 1 ដោយលេខ 1 និងពណ៌នៃចំនុចកំពូល A 2 ដោយលេខ 2។ . សូមឱ្យ k ជាចំនួនតូចបំផុត ដែលចំនុចកំពូល A k ត្រូវបានលាបពណ៌ជាពណ៌ទីបី។ វាច្បាស់ណាស់ថា k > 2. ចូរយើងកាត់ត្រីកោណ А k–2 А k–1 А k ចេញពី (n+1)-gon ជាមួយអង្កត់ទ្រូង А k–2 А k ។ អនុលោមតាមជម្រើសនៃលេខ k ចំនុចកំពូលទាំងអស់នៃត្រីកោណនេះត្រូវបានលាបពណ៌បីពណ៌ផ្សេងគ្នា ពោលគឺ ត្រីកោណនេះគឺ "ស្រស់ស្អាត"។ ប៉ោង n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 ដែលនៅសេសសល់ ក៏នឹង ដោយសារតែការសន្មត់ថា "ស្រស់ស្អាត" ដែលមានន័យថាវា ត្រូវបានបែងចែកទៅជាត្រីកោណ "ដ៏ស្រស់ស្អាត" ដែលចាំបាច់ត្រូវតែបញ្ជាក់។ 8. បង្ហាញថានៅក្នុងប៉ោង n-gon វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសច្រើនជាង n អង្កត់ទ្រូង ដើម្បីឱ្យពួកវាទាំងពីរមានចំណុចរួមមួយ។ ចូរយើងអនុវត្តការបញ្ជាក់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា។ ចូរយើងបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅបន្ថែមទៀត៖ នៅក្នុងប៉ោង n-gon វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសច្រើនជាង n ចំហៀង និងអង្កត់ទ្រូង ដូច្នេះថាពួកវាទាំងពីរមានចំណុចរួមមួយ។ សម្រាប់ n = 3 ការអះអាងគឺជាក់ស្តែង។ ចូរយើងសន្មត់ថាការអះអាងនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n-gon បំពាន ហើយដោយប្រើវា បញ្ជាក់សុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ arbitrary (n + 1)-gon ។ សន្មតថាសម្រាប់ (n + 1)-gon សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមិនពិតទេ។ ប្រសិនបើមិនមានជ្រុងដែលបានជ្រើសរើសច្រើនជាងពីរ ឬអង្កត់ទ្រូងផុសចេញពីចំនុចកំពូលនីមួយៗនៃ (n+1)-gon នោះមានភាគច្រើនបំផុត n+1 ក្នុងចំណោមពួកគេត្រូវបានជ្រើសរើស។ ដូច្នេះ យ៉ាងហោចណាស់បីជ្រុងដែលបានជ្រើសរើស ឬអង្កត់ទ្រូង AB, AC, AD ផុសចេញពីចំនុចកំពូល A ។ អនុញ្ញាតឱ្យ AC ស្ថិតនៅចន្លោះ AB និង AD ។ ដោយសារផ្នែកណាមួយ ឬអង្កត់ទ្រូងដែលចេញពី C ក្រៅពី CA មិនអាចឆ្លងកាត់ AB និង AD ក្នុងពេលតែមួយបានទេ មានតែអង្កត់ទ្រូង CA ដែលបានជ្រើសរើសមួយចេញពី C ។ ការបោះបង់ចំនុច C រួមជាមួយនឹងអង្កត់ទ្រូង CA យើងទទួលបាន N-gon ប៉ោង ដែលផ្នែកច្រើនជាង n និងអង្កត់ទ្រូងត្រូវបានជ្រើសរើស ដែលទាំងពីរមានចំណុចរួមមួយ។ ដូេចនះ េយង េកើតេឡើង េ យ នង ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ិ ដូច្នេះសម្រាប់ (n + 1)-gon សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ អនុលោមតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ប៉ោងណាមួយ n-gon ។ 9. មានបន្ទាត់ n គូសក្នុងយន្តហោះ គ្មានពីរដែលស្របគ្នា និងគ្មានបីឆ្លងកាត់ចំណុចដូចគ្នា។ តើបន្ទាត់ទាំងនេះបែងចែកយន្តហោះទៅជាប៉ុន្មានផ្នែក។ ដោយមានជំនួយពីគំនូរបឋម វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើឱ្យប្រាកដថាបន្ទាត់ត្រង់មួយបែងចែកយន្តហោះជា 2 ផ្នែក បន្ទាត់ត្រង់ពីរជា 4 ផ្នែក បន្ទាត់ត្រង់បីជា 7 ផ្នែក និងបន្ទាត់ត្រង់បួនជា 11 ផ្នែក។ សម្គាល់ដោយ N(n) ចំនួនផ្នែកដែល n បែងចែកយន្តហោះ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា N(2)=N(1)+2=2+2, N(3)=N(2)+3=2+2+3, N(4)=N(3)+4=2+2+3+4។ វាជារឿងធម្មជាតិដែលសន្មតថា N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n, ឬដូចជាការងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយនៃការរីកចម្រើននព្វន្ធ N(n)=1+n(n+1)/2។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះដោយវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា។ សម្រាប់ n=1 រូបមន្តត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់រួចហើយ។ ដោយបានធ្វើការសន្មត់អាំងឌុចទ័ល សូមពិចារណាបន្ទាត់ k + 1 ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ យើងជ្រើសរើសបន្ទាត់ត្រង់ k តាមអំពើចិត្តពីពួកគេ។ តាមសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័ ពួកគេបែងចែកយន្តហោះទៅជា 1+ k(k+1)/2 ផ្នែក។ ខ្សែដែលនៅសល់ (k + 1)-th នឹងត្រូវបានបែងចែកដោយបន្ទាត់ k ដែលបានជ្រើសរើសទៅជាផ្នែក k + 1 ហើយដូច្នេះនឹងឆ្លងកាត់ផ្នែក (k + 1)-th ដែលយន្តហោះបានបែងចែករួចហើយ ហើយផ្នែកនីមួយៗនៃ ផ្នែកទាំងនេះនឹងត្រូវបែងចែកជា 2 ផ្នែក ពោលគឺ k+1 ផ្នែកបន្ថែមនឹងត្រូវបានបន្ថែម។ ដូច្នេះ N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2, Q.E.D. 10. នៅក្នុងកន្សោម x 1: x 2: ...: x n តង្កៀបត្រូវបានដាក់ដើម្បីចង្អុលបង្ហាញលំដាប់នៃសកម្មភាព ហើយលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគ៖ (ក្នុងករណីនេះ អក្សរនីមួយៗ x 1, x 2, ..., x n គឺនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគ ឬក្នុងភាគបែង)។ តើមានកន្សោមខុសៗគ្នាប៉ុន្មានដែលអាចទទួលបានតាមវិធីនេះ ជាមួយនឹងវិធីដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃការរៀបចំតង្កៀប? ជាដំបូងវាច្បាស់ណាស់ថានៅក្នុងប្រភាគលទ្ធផល x 1 នឹងស្ថិតនៅក្នុងភាគយក។ វាច្បាស់ដូចគ្នាថា x 2 នឹងស្ថិតនៅក្នុងភាគបែងសម្រាប់ការរៀបចំតង្កៀបណាមួយ (សញ្ញាចែកមុន x 2 សំដៅលើ x 2 ខ្លួនវា ឬចំពោះកន្សោមណាមួយដែលមាន x 2 ក្នុងភាគយក)។ វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាអក្សរផ្សេងទៀតទាំងអស់ x 3 , x 4 , ... , x n អាចមានទីតាំងនៅក្នុងភាគយកឬភាគបែងតាមរបៀបបំពានទាំងស្រុង។ វាដូចខាងក្រោមថាសរុបអ្នកអាចទទួលបាន 2 n-2 ប្រភាគ៖ នីមួយៗនៃអក្សរ n-2 x 3, x 4, ..., x n អាចឯករាជ្យពីអ្នកផ្សេងទៀតនៅក្នុងភាគយកឬភាគបែង។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញការអះអាងនេះដោយការណែនាំ។ ជាមួយនឹង n=3 អ្នកអាចទទួលបាន 2 ប្រភាគ៖ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ យើងសន្មត់ថាវាមានសុពលភាពសម្រាប់ n=k ហើយបញ្ជាក់វាសម្រាប់ n=k+1។ អនុញ្ញាតឱ្យកន្សោម x 1: x 2: ...: x k បន្ទាប់ពីការរៀបចំតង្កៀបមួយចំនួនត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគ Q. ប្រសិនបើ x k: x k+1 ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងកន្សោមនេះជំនួសឱ្យ x k បន្ទាប់មក x k នឹងស្ថិតនៅក្នុង កន្លែងដដែលដូចនៅក្នុងប្រភាគ Q ហើយ x k + 1 នឹងមិនមែនជាកន្លែងដែល x k ឈរ (ប្រសិនបើ x k ស្ថិតនៅក្នុងភាគបែង នោះ x k + 1 នឹងស្ថិតនៅក្នុងភាគយក និងច្រាសមកវិញ)។ ឥឡូវសូមបញ្ជាក់ថាយើងអាចបន្ថែម x k+1 ទៅកន្លែងដូចគ្នា x k ។ នៅក្នុងប្រភាគ Q បន្ទាប់ពីដាក់តង្កៀប វានឹងចាំបាច់ត្រូវមានកន្សោមនៃទម្រង់ q:x k ដែល q ជាអក្សរ x k–1 ឬកន្សោមខ្លះនៅក្នុងតង្កៀប។ ការជំនួស q: x k ជាមួយកន្សោម (q: x k): x k + 1 = q: (x k x k + 1) យើងច្បាស់ជាទទួលបានប្រភាគដូចគ្នា Q ដែលជំនួសឱ្យ x k គឺ x k x k +1 ។ ដូច្នេះចំនួនប្រភាគដែលអាចកើតមានក្នុងករណី n=k+1 គឺធំជាង 2 ដងនៃ n=k និងស្មើនឹង 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2 ។ ដូច្នេះការអះអាងត្រូវបានបញ្ជាក់។ ចម្លើយ៖ ប្រភាគ ២ n-២ ។ 1. បង្ហាញថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ: ក) លេខ 5 n -3 n + 2n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 4; ខ) លេខ n 3 +11n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6; គ) លេខ 7 n +3n–1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 9; ឃ) លេខ 6 2n +19 n -2 n + 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 17; e) លេខ 7 n+1 +8 2n–1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 19; f) លេខ 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 27 ។ 2. បញ្ជាក់ថា (n+1)·(n+2)·…·(n+n) = 2 n·1·3·5·…·(2n–1)។ 3. បញ្ជាក់វិសមភាព|sin nx| n|sinx| សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n ។ 4. រកលេខធម្មជាតិ a, b, c ដែលមិនបែងចែកដោយ 10 ហើយដូច្នេះសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n លេខ a n + b n និង c n មានពីរខ្ទង់ចុងក្រោយដូចគ្នា។ 5. បង្ហាញថាប្រសិនបើចំនុច n មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ នោះក្នុងចំណោមបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ពួកវា យ៉ាងហោចណាស់មាន n ផ្សេងគ្នា។ វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា ពាក្យ induction នៅក្នុងភាសារុស្សីមានន័យថា ការណែនាំ ហើយ inductive ត្រូវបានគេហៅថាការសន្និដ្ឋានដោយផ្អែកលើការសង្កេត ការពិសោធន៍ i.e. ទទួលបានដោយការសន្និដ្ឋានពីពិសេសទៅទូទៅ។ ជាឧទាហរណ៍ ជារៀងរាល់ថ្ងៃ យើងសង្កេតឃើញថា ព្រះអាទិត្យរះពីទិសខាងកើត។ ដូច្នេះហើយ អ្នកអាចប្រាកដថានៅថ្ងៃស្អែក វានឹងលេចមកនៅភាគខាងកើត ហើយមិននៅខាងលិចទេ។ យើងទាញការសន្និដ្ឋាននេះដោយមិនប្រើការសន្មត់ណាមួយអំពីហេតុផលនៃចលនារបស់ព្រះអាទិត្យនៅលើមេឃទេ (លើសពីនេះ ចលនានេះវាហាក់ដូចជាជាក់ស្តែង ដោយសារតែពិភពលោកពិតជាមានចលនា)។ និងនៅឡើយទេ ដេរីវេអាំងឌុចស្យុងនេះពិពណ៌នាយ៉ាងត្រឹមត្រូវអំពីការសង្កេតដែលយើងនឹងធ្វើនៅថ្ងៃស្អែក។ តួនាទីនៃការសន្និដ្ឋានក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រពិសោធន៍គឺអស្ចារ្យណាស់។ ពួកគេផ្តល់បទប្បញ្ញត្តិទាំងនោះ ដែលការសន្និដ្ឋានបន្ថែមទៀតត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការកាត់ចេញ។ ហើយទោះបីជាមេកានិចទ្រឹស្តីគឺផ្អែកលើច្បាប់ចលនាបីរបស់ញូវតុនក៏ដោយ ច្បាប់ទាំងនេះខ្លួនឯងគឺជាលទ្ធផលនៃការគិតយ៉ាងស៊ីជម្រៅតាមរយៈទិន្នន័យពិសោធន៍ ជាពិសេសច្បាប់ Kepler នៃចលនារបស់ភពដែលបានមកពីគាត់ក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការការសង្កេតរយៈពេលវែងដោយ តារាវិទូជនជាតិដាណឺម៉ាក Tycho Brahe ។ ការសង្កេត និងការណែនាំប្រែទៅជាមានប្រយោជន៍នៅពេលអនាគត ដើម្បីកែលម្អការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើង។ បន្ទាប់ពីការពិសោធន៍របស់ Michelson លើការវាស់ល្បឿនពន្លឺនៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកដែលមានចលនា វាបានប្រែទៅជាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីច្បាប់នៃរូបវិទ្យា និងបង្កើតទ្រឹស្តីនៃទំនាក់ទំនង។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា តួនាទីនៃអាំងឌុចស្យុងគឺភាគច្រើនដែលវាបង្កប់នូវ axiomatics ដែលបានជ្រើសរើស។ បន្ទាប់ពីការអនុវត្តជាយូរបង្ហាញថាផ្លូវត្រង់តែងតែខ្លីជាងផ្លូវកោង ឬខូច វាជាធម្មជាតិក្នុងការបង្កើត axiom មួយ៖ សម្រាប់ចំណុចបី A, B និង C វិសមភាព។ គោលគំនិតនៃនព្វន្ធដែលត្រូវធ្វើតាមក៏កើតចេញពីការសង្កេតលើការបង្កើតទាហាន កប៉ាល់ និងសំណុំបញ្ជាផ្សេងៗទៀត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គេមិនគួរគិតថា នេះគឺជាការបញ្ចប់នៃតួនាទីរបស់ induction នៅក្នុងគណិតវិទ្យានោះទេ។ ជាការពិតណាស់ យើងមិនគួរពិសោធទ្រឹស្តីបទដែលកាត់ចេញដោយឡូជីខលពី axioms នោះទេ៖ ប្រសិនបើគ្មានកំហុសឡូជីខលត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងការទាញយកទេ នោះពួកវាគឺពិតដរាបណា axioms ដែលយើងទទួលយកគឺពិត។ ប៉ុន្តែសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាច្រើនអាចត្រូវបានកាត់ចេញពីប្រព័ន្ធនៃ axioms នេះ។ ហើយការជ្រើសរើសនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនោះដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់គឺត្រូវបានស្នើម្តងទៀតដោយការណែនាំ។ វាគឺជានាងដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបំបែកទ្រឹស្តីបទដែលមានប្រយោជន៍ចេញពីទ្រឹស្ដីដែលគ្មានប្រយោជន៍ បង្ហាញថាទ្រឹស្ដីមួយណាអាចក្លាយជាការពិត ហើយថែមទាំងជួយគូសបញ្ជាក់ផ្លូវនៃភស្តុតាងផងដែរ។ នៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃនព្វន្ធ ពិជគណិត ធរណីមាត្រ ការវិភាគ អ្នកត្រូវបញ្ជាក់ការពិតនៃប្រយោគ A(n) ដែលអាស្រ័យលើអថេរធម្មជាតិ។ ភស្តុតាងនៃការពិតនៃសំណើ A(n) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរអាចត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាដែលផ្អែកលើគោលការណ៍ខាងក្រោម។ ប្រយោគ A(n) ត្រូវបានចាត់ទុកថាពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃអថេរ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងពីរខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ សំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=1។ ពីការសន្មត់ថា A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិ) វាធ្វើតាមថាវាពិតសម្រាប់តម្លៃបន្ទាប់ n=k+1។ គោលការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថា គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានជ្រើសរើសជា axioms មួយដែលកំណត់ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខ ហេតុដូច្នេះហើយបានទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានយល់ថាជាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ការពិតនៃសំណើ A(n) សម្រាប់ n ធម្មជាតិទាំងអស់នោះ ទីមួយគួរតែពិនិត្យមើលការពិតនៃសំណើ A(1) ហើយទីពីរសន្មតថាការពិតនៃសំណើ A(k) ព្យាយាមបញ្ជាក់ថាសំណើ A(k +1) ពិត។ ប្រសិនបើនេះអាចបញ្ជាក់បាន ហើយភ័ស្តុតាងនៅតែមានសុពលភាពសម្រាប់រាល់តម្លៃធម្មជាតិនៃ k នោះ ស្របតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សំណើ A(n) ត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ អត្តសញ្ញាណ វិសមភាព ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រមួយចំនួន និងបញ្ហាជាច្រើនទៀត។ ការបែងចែក ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា គេអាចបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងៗទាក់ទងនឹងការបែងចែកលេខធម្មជាតិ។ ការអះអាងខាងក្រោមអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានទទួលដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍ ១. ប្រសិនបើ n ជាលេខធម្មជាតិ នោះលេខគឺស្មើ។ សម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិត៖ - លេខគូ។ ចូរសន្មតថាវាជាលេខគូ។ ចាប់តាំងពី 2k គឺជាលេខគូ ឧទាហរណ៍ ២បញ្ជាក់ការពិតនៃប្រយោគ A(n)=(លេខ 5 ជាពហុគុណនៃ 19) n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ការសម្រេចចិត្ត។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1)=(ចំនួនគឺពហុគុណនៃ 19) គឺពិត។ ឧបមាថាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួន n = k A(k)=(ចំនួនគឺពហុគុណនៃ 19) គឺពិត។ បន្ទាប់មកចាប់តាំងពី ជាក់ស្តែង A(k+1) ក៏ជាការពិតដែរ។ ពិតប្រាកដណាស់ ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ដោយគុណធម៌នៃការសន្មតថា A(k) គឺពិត; ពាក្យទីពីរក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ព្រោះវាមានកត្តា 19 ។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត ដូច្នេះហើយ សំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។ សង្ខេបស៊េរី
ឧទាហរណ៍ ១បញ្ជាក់រូបមន្ត ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n=1 ផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពប្រែទៅជាមួយ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត។ សន្មតថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n=k, i.e. ចូរយើងបន្ថែមលើភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ ហើយផ្លាស់ប្តូរផ្នែកខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន ដូច្នេះពីការពិតដែលថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n = k វាធ្វើតាមថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1 ផងដែរ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក៏ត្រូវបានពេញចិត្តផងដែរ។ រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។ ឧទាហរណ៍ ២បង្ហាញថាផលបូកនៃលេខ n ដំបូងនៃស៊េរីធម្មជាតិគឺ . ការសម្រេចចិត្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីចំនួនដែលត្រូវការ ឧ។ សម្រាប់ n=1 សម្មតិកម្មគឺពិត។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន ជាការពិត, បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ ឧទាហរណ៍ ៣បង្ហាញថាផលបូកនៃការ៉េនៃលេខ n ដំបូងនៃស៊េរីធម្មជាតិគឺស្មើនឹង ការសម្រេចចិត្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ ជាចុងក្រោយ។ ឧទាហរណ៍ 4បញ្ជាក់។ ការសម្រេចចិត្ត។ បើអញ្ចឹង ឧទាហរណ៍ ៥បញ្ជាក់ ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n=1 សម្មតិកម្មពិតជាត្រឹមត្រូវ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ ចូរយើងបញ្ជាក់។ ពិតជា ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅ
ភស្តុតាងនៃវិសមភាព
ឧទាហរណ៍ ១បង្ហាញថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n> 1 ការសម្រេចចិត្ត។ សម្គាល់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពដោយ . ដូច្នេះសម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត។ អនុញ្ញាតឱ្យ k ខ្លះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មក។ យើងមាន ប្រៀបធៀប និង យើងមាន សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយគឺវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ។ ប៉ុន្តែ ដូច្នេះ និង។ ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកកំហុសក្នុងការវែកញែក។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍។ សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ វិសមភាពគឺពិត។ ភស្តុតាង។ . (1)
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា វិសមភាពក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e. ជាការពិតណាស់យ៉ាងហោចណាស់ 2 សម្រាប់ k ធម្មជាតិណាមួយ។ ចូរបន្ថែមវិសមភាព (1) ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និង 2 ទៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបានវិសមភាពយុត្តិធម៌ ឬ ឧទាហរណ៍ ៣បញ្ជាក់ ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត ចាប់តាំងពី . សូមឱ្យវិសមភាពជាការពិតសម្រាប់ n = k ដែល k គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន i.e. ចូរយើងបង្ហាញថា វិសមភាពក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e. . (2)
តាមពិតទៅតាមការសន្មត់ ដូច្នេះវិសមភាព , (3)
ទទួលបានពីវិសមភាព (1) ដោយគុណផ្នែកនីមួយៗរបស់វាដោយ . ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាព (៣) ដូចតទៅ៖ . ការបោះបង់ពាក្យវិជ្ជមាននៅផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបានវិសមភាពត្រឹមត្រូវ (2)។ ឧទាហរណ៍ 4បញ្ជាក់ (1)
ដែល , , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ។ ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n=2 វិសមភាព (1) យកទម្រង់ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វិសមភាព . (3)
ការបន្ថែមទៅផ្នែកនីមួយៗនៃវិសមភាព (3) ដោយ យើងទទួលបានវិសមភាព (2)។ នេះបង្ហាញថាវិសមភាព (1) មានសម្រាប់ n=2។ អនុញ្ញាតឱ្យវិសមភាព (1) មានសុពលភាពសម្រាប់ n=k ដែល k ជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន ឧ. . (4)
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា វិសមភាព (1) ក៏ត្រូវតែមានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e. (5)
ចូរយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព (4) ដោយ a+b ។ ដោយសារតាមលក្ខខណ្ឌ យើងទទួលបានវិសមភាពត្រឹមត្រូវដូចខាងក្រោម៖ . (6)
ដើម្បីបង្ហាញថាវិសមភាព (5) វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបង្ហាញថា , (7)
ឬដែលដូចគ្នា . (8)
វិសមភាព (៨) ស្មើនឹងវិសមភាព ប្រសិនបើ ហើយនៅខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (9) យើងមានផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ។ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , និងនៅខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (9) យើងមានផលគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមានពីរ។ ក្នុងករណីទាំងពីរ វិសមភាព (9) មានសុពលភាព។ នេះបង្ហាញថាសុពលភាពនៃវិសមភាព (1) សម្រាប់ n=k បង្កប់ន័យសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=k+1។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះអ្នកដទៃ
ភារកិច្ច កម្មវិធីធម្មជាតិបំផុតនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានៅក្នុងធរណីមាត្រ ជិតនឹងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តនេះក្នុងទ្រឹស្តីលេខ និងពិជគណិត គឺជាកម្មវិធីសម្រាប់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគណនាធរណីមាត្រ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ១គណនាផ្នែកខាងត្រឹមត្រូវ - ការ៉េចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n=2 ត្រឹមត្រូវ 2ន - ការ៉េគឺជាការ៉េមួយ; ផ្នែករបស់គាត់។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមរូបមន្តទ្វេដង រកឃើញថាផ្នែកម្ខាងនៃ octagon ធម្មតា។ ចូរយើងសន្មត់ថាផ្នែកខាងនៃ -gon ដែលបានចារឹកទៀងទាត់ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត (1) ។ ក្នុងករណីនេះដោយរូបមន្តទ្វេដង នៅពេលដែលវាធ្វើតាមរូបមន្ត (1) មានសុពលភាពសម្រាប់ n ។ ឧទាហរណ៍ ២តើត្រីកោណ n-gon (មិនចាំបាច់ប៉ោង) ប៉ុន្មានអាចបែងចែកជាអង្កត់ទ្រូងមិនប្រសព្វរបស់វា? ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ត្រីកោណមួយ លេខនេះគឺស្មើនឹងមួយ (មិនមានអង្កត់ទ្រូងអាចត្រូវបានគូសជាត្រីកោណទេ); សម្រាប់ quadrilateral ចំនួននេះគឺច្បាស់ជាស្មើនឹងពីរ។ ឧបមាថាយើងដឹងរួចហើយថារាល់ k-gon ដែល k ក ន ក ១ ក ២ អនុញ្ញាតឱ្យ А 1 А k ជាអង្កត់ទ្រូងមួយនៃភាគថាសនេះ; វាបែងចែក n-gon А 1 А 2 …А n ទៅជា k-gon A 1 A 2 …A k និង (n-k+2)-gon А 1 А k A k+1 …A n ។ តាមការសន្មត់ដែលបានធ្វើ នោះចំនួនសរុបនៃភាគថាសត្រីកោណនឹងស្មើ (k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2; ដូច្នេះការអះអាងរបស់យើងត្រូវបានបង្ហាញសម្រាប់ n ។ ឧទាហរណ៍ ៣បញ្ជាក់ក្បួនសម្រាប់គណនាចំនួន P(n) នៃវិធីដែលប៉ោង n-gon អាចបែងចែកជាត្រីកោណដោយអង្កត់ទ្រូងមិនប្រសព្វ។ ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ត្រីកោណ លេខនេះច្បាស់ជាស្មើមួយ៖ P(3)=1។ ឧបមាថាយើងកំណត់លេខ P(k) រួចហើយសម្រាប់ k ទាំងអស់។ Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n - មួយ) ។ ដោយប្រើរូបមន្តនេះ យើងទទួលបានជាបន្តបន្ទាប់៖ P(4)=P(3)+P(3)=2, P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5, P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14 ល។ ដូចគ្នានេះផងដែរដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយក្រាហ្វ។ សូមឱ្យបណ្តាញនៃបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដោយភ្ជាប់ចំណុចមួយចំនួនជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមកហើយមិនមានចំណុចផ្សេងទៀត។ យើងនឹងហៅបណ្តាញនៃបន្ទាត់បែបនេះថាជាផែនទី ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាចំនុចកំពូលរបស់វា ផ្នែកនៃខ្សែកោងរវាងចំនុចដែលនៅជាប់គ្នាពីរ - ព្រំដែននៃផែនទី ផ្នែកនៃយន្តហោះដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយព្រំដែន - ប្រទេសនៃ ផែនទី។ សូមឱ្យផែនទីខ្លះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ យើងនឹងនិយាយថា វាមានពណ៌ត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើប្រទេសនីមួយៗត្រូវបានលាបពណ៌ជាក់លាក់មួយ ហើយប្រទេសទាំងពីរដែលមានព្រំប្រទល់រួមគ្នាត្រូវបានលាបពណ៌ខុសៗគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 4មានរង្វង់ n នៅលើយន្តហោះ។ បញ្ជាក់ថាសម្រាប់ការរៀបចំណាមួយនៃរង្វង់ទាំងនេះ ផែនទីដែលបង្កើតឡើងដោយពួកវាអាចត្រូវបានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយពណ៌ពីរ។ ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n=1 ការអះអាងរបស់យើងគឺជាក់ស្តែង។ ឧបមាថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិតសម្រាប់ផែនទីណាមួយដែលបង្កើតឡើងដោយរង្វង់ n ហើយអនុញ្ញាតឱ្យរង្វង់ n + 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ ដោយការដករង្វង់មួយក្នុងចំណោមរង្វង់ទាំងនេះចេញ យើងទទួលបានផែនទីដែលផ្អែកលើការសន្មត់ដែលបានធ្វើ អាចត្រូវបានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងពណ៌ពីរឧទាហរណ៍ ខ្មៅ និងស។បញ្ហាជាមួយដំណោះស្រាយ
បញ្ហាដែលគ្មានដំណោះស្រាយ
ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា
វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៅលើ
សូម្បីតែ។ ដូច្នេះ ភាពស្មើគ្នាត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ n=1 ភាពស្មើគ្នាត្រូវបានកាត់ចេញពីភាពស្មើគ្នា 
.So, សូម្បីតែសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃ n ។
ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅ
, n គឺជាលេខធម្មជាតិ។
.
.
. ចូរយើងបង្ហាញវា។ 
.
.
.
. បន្ទាប់មក
.
, .
, i.e. 
.
.
. ការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។
ដែលជាកន្លែងដែល >-1, , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ។
. (1)
. (2)
. (9)
, ចំហៀងនៃ hexagon ធម្មតា។ 
, ផ្នែកម្ខាងនៃមុំសាមសិបពីរធម្មតា។ 
. ដូច្នេះយើងអាចសន្មត់ថាផ្នែកម្ខាងនៃសិលាចារឹកធម្មតា 2ន - ការ៉េសម្រាប់ណាមួយគឺស្មើគ្នា
. (1)
,
