ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ homogeneous គឺស្មើនឹងសូន្យ។ នាំកត្តាកំណត់ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer គឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់កត្តាកំណត់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ នេះបង្កើនល្បឿនដំណើរការដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាច្រើនដូចដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើក្នុងដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ នោះវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ លើសពីនេះទៀតវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

និយមន័យ. កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ និងត្រូវបានតំណាងដោយ (ដីសណ្ត)។

កត្តាកំណត់

ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសមេគុណនៅមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នាដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖

;

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយ ហើយអ្វីដែលមិនស្គាល់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃកត្តាកំណត់។ ភាគបែងមានកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយភាគយកមានកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយជំនួសមេគុណដោយមិនស្គាល់ដោយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ទ្រឹស្តីបទនេះរក្សាសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerយើងមាន:

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (២)៖

ការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយរបស់ Cramer ។

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដូចដែលលេចឡើងពី ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ករណីបីអាចកើតឡើង៖

ករណីទីមួយ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងច្បាស់លាស់)

ករណីទីពីរ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងមិនកំណត់)

** ,

ទាំងនោះ។ មេគុណនៃមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសមាមាត្រ។

ករណីទីបី៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

(ប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នា)

ដូច្នេះប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នអថេរត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ និង រួមប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់និងច្រើនជាងមួយ។ មិនប្រាកដប្រជា.

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ

ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer

………….
,

កន្លែងណា
-

ឧបករណ៍កំណត់អត្តសញ្ញាណប្រព័ន្ធ។ កត្តាកំណត់ដែលនៅសេសសល់ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរឈរជាមួយនឹងមេគុណនៃអថេរដែលត្រូវគ្នា (មិនស្គាល់) ជាមួយនឹងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះ (1; 0; -1) គឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយរបស់ Cramer ។

ប្រសិនបើមិនមានអថេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងសមីការមួយ ឬច្រើននោះ នោះនៅក្នុងកត្តាកំណត់ ធាតុដែលត្រូវនឹងពួកវាគឺស្មើនឹងសូន្យ! នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធនៃសមីការ និងកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ហើយឆ្លើយសំណួរម្តងទៀត ក្នុងករណីដែលធាតុមួយ ឬច្រើននៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធកំណត់ច្បាស់លាស់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់អ្វីដែលមិនស្គាល់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (2; -1; 1) ។

កំពូលនៃទំព័រ

យើងបន្តដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាមួយគ្នា

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ ហើយកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់មិនស្មើនឹងសូន្យ ប្រព័ន្ធគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ សូមបង្ហាញជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៦ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា និងច្បាស់លាស់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាមិនមានដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

កត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពោលគឺវាគ្មានដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងបញ្ហានៅលើប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ក៏មានផងដែរ ដែលបន្ថែមពីលើអក្សរដែលបង្ហាញពីអថេរ ក៏មានអក្សរផ្សេងទៀតផងដែរ។ អក្សរទាំងនេះតំណាងឱ្យលេខមួយចំនួន ដែលភាគច្រើនជាលេខពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះនាំឱ្យមានបញ្ហាដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈទូទៅនៃបាតុភូត និងវត្ថុណាមួយ។ នោះគឺអ្នកបានបង្កើតសម្ភារៈ ឬឧបករណ៍ថ្មីមួយចំនួន ហើយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលជារឿងធម្មតាដោយមិនគិតពីទំហំ ឬចំនួនច្បាប់ចម្លង អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលជំនួសឱ្យមេគុណមួយចំនួនសម្រាប់អថេរមានអក្សរ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលឧទាហរណ៍ឆ្ងាយទេ។

ឧទាហរណ៍បន្ទាប់គឺសម្រាប់បញ្ហាស្រដៀងគ្នា មានតែចំនួនសមីការ អថេរ និងអក្សរដែលបង្ហាញពីចំនួនពិតមួយចំនួនកើនឡើង។

ឧទាហរណ៍ ៨ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយ n មិនស្គាល់ហៅថាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់

កន្លែងណា អាយនិង b i (ខ្ញុំ=1,…,ម; ខ=1,…,ន) គឺជាលេខដែលគេស្គាល់មួយចំនួន និង x 1 ,…,x n- មិនស្គាល់។ នៅក្នុងសញ្ញាណនៃមេគុណ អាយសន្ទស្សន៍ទីមួយ ខ្ញុំបង្ហាញពីចំនួនសមីការ និងទីពីរ jគឺជាចំនួនមិនស្គាល់ដែលមេគុណនេះឈរ។

មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលយើងនឹងហៅ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ.

លេខនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ b 1,…,b mបានហៅ សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

សរុប នលេខ c 1 ,… ,c នបានហៅ ការសម្រេចចិត្តនៃប្រព័ន្ធនេះ ប្រសិនបើសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធក្លាយជាសមភាពបន្ទាប់ពីជំនួសលេខទៅក្នុងវា។ c 1 ,… ,c នជំនួសឱ្យការមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា។ x 1 ,…,x n.

ភារកិច្ចរបស់យើងគឺស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះស្ថានភាពបីអាចកើតឡើង:

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយត្រូវបានគេហៅថា រួម. បើមិនដូច្នោះទេ i.e. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។.

ពិចារណាវិធីដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។

វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីកសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

Matrices ធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរយ៉ាងខ្លីនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

ពិចារណាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ និងជួរម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកមិនស្គាល់ និងឥតគិតថ្លៃ

តោះស្វែងរកផលិតផល

ទាំងនោះ។ ជាលទ្ធផលនៃផលិតផល យើងទទួលបានផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធនេះ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើនិយមន័យនៃសមភាពម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា

ឬខ្លីជាងនេះ។ ក∙X=B.

នៅទីនេះម៉ាទ្រីស កនិង ខត្រូវបានគេស្គាល់ និងម៉ាទ្រីស Xមិនស្គាល់។ នាងត្រូវតែស្វែងរកព្រោះ។ ធាតុរបស់វាគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការម៉ាទ្រីស.

សូមឱ្យម៉ាទ្រីសកំណត់ខុសពីសូន្យ | ក| ≠ 0. បន្ទាប់មកសមីការម៉ាទ្រីសត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីស ក-១, បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ក:. ដរាបណា A -1 A = Eនិង អ៊ី∙X=Xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃសមីការម៉ាទ្រីសក្នុងទម្រង់ X = A -1 B .

សូមចំណាំថា ដោយសារម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េ វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសអាចដោះស្រាយបានតែប្រព័ន្ធទាំងនោះដែល ចំនួនសមីការគឺដូចគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធក៏អាចធ្វើទៅបានដែរក្នុងករណីដែលចំនួនសមីការមិនស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស កមិនមែនជាការ៉េទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ X = A -1 B.

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

ច្បាប់របស់ CRAMER

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ i.e. ផ្សំឡើងដោយមេគុណនៅមិនស្គាល់

បានហៅ ការកំណត់ប្រព័ន្ធ.

យើងបង្កើតកត្តាកំណត់ចំនួនបីបន្ថែមទៀតដូចខាងក្រោម៖ យើងជំនួសជួរឈរ 1, 2 និង 3 ជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងកត្តាកំណត់ D ជាមួយនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ

បន្ទាប់មកយើងអាចបញ្ជាក់លទ្ធផលដូចខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ (ក្បួនរបស់ Cramer) ។ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធដែលកំពុងពិចារណាមានដំណោះស្រាយមួយ និងតែមួយគត់ ហើយ

ភស្តុតាង. ដូច្នេះ សូមពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី។ គុណសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត ក ១១ធាតុ ក ១១, សមីការទី 2 - លើ ក២១និងទី 3 - នៅលើ ក ៣១:

តោះបន្ថែមសមីការទាំងនេះ៖

ពិចារណាលើតង្កៀបនីមួយៗ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះ។ ដោយទ្រឹស្តីបទលើការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរឈរទី 1

ដូចគ្នានេះដែរវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានិង។

ទីបំផុតវាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញ

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមភាព៖ ។

ដូច្នេះ, ។

សមភាព និងបានមកពីពាក្យស្រដៀងគ្នា ដែលការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះកើតឡើង។

ដូច្នេះហើយ យើងកត់សំគាល់ថា ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ និងច្រាសមកវិញ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ពោលគឺឧ។ មិនឆបគ្នា។

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

វិធីសាស្ត្រហ្គាស

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណាពីមុនអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយតែប្រព័ន្ធទាំងនោះដែលចំនួនសមីការត្រូវគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវតែខុសពីសូន្យ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺមានលក្ខណៈជាសកលជាង ហើយស័ក្តិសមសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនសមីការណាមួយ។ វាមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

សូមពិចារណាម្តងទៀតនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

យើងទុកសមីការទីមួយមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយចាប់ពីសមីការទី 2 និងទី 3 យើងដកពាក្យដែលមាន x ១. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកសមីការទីពីរដោយ ក 21 ហើយគុណនឹង - ក 11 ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមជាមួយសមីការទី 1 ។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងបែងចែកសមីការទីបីទៅជា ក៣១ និងគុណនឹង - ក 11 ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមវាទៅទីមួយ។ ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធដើមនឹងមានទម្រង់៖

ឥឡូវនេះ ពីសមីការចុងក្រោយ យើងលុបបំបាត់ពាក្យដែលមាន x2. ដើម្បីធ្វើដូចនេះចែកសមីការទីបីដោយ គុណនឹង ហើយបន្ថែមវាទៅទីពីរ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងមានប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដូច្នេះពីសមីការចុងក្រោយវាងាយស្រួលរក x ៣បន្ទាប់មកពីសមីការទី 2 x2ហើយទីបំផុតចាប់ពីថ្ងៃទី ១ - x ១.

នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian សមីការអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើចាំបាច់។

ជារឿយៗ ជំនួសឱ្យការសរសេរប្រព័ន្ធសមីការថ្មី ពួកគេកំណត់ខ្លួនឯងក្នុងការសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ហើយបន្ទាប់មកនាំវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ឬអង្កត់ទ្រូង ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។

ទៅ ការផ្លាស់ប្តូរបឋមម៉ាទ្រីសរួមមានការផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមៈ

ការផ្លាស់ប្តូរជួរឬជួរឈរ;
គុណលេខមួយដោយលេខមិនសូន្យ;
បន្ថែមទៅបន្ទាត់មួយ បន្ទាត់ផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍:ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE) ដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ មេគុណដែលជាធាតុនៃម៉ាទ្រីស ហើយសមាជិកឥតគិតថ្លៃគឺជាលេខ

លិបិក្រមទីមួយនៅជាប់នឹងមេគុណបង្ហាញថាសមីការដែលមេគុណស្ថិតនៅ ហើយទីពីរ - ថាតើវាស្ថិតនៅត្រង់ណាដែលមិនស្គាល់។

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសមិនស្មើនឹងសូន្យ

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺដូចជាសំណុំលេខលំដាប់ ដែលប្រែក្លាយសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាពត្រឹមត្រូវ។

ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលពួកគេមួយចំនួនគឺ nonzero, non-uniform

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះវាត្រូវបានគេហៅថាឆបគ្នា បើមិនដូច្នេះទេវាមិនឆបគ្នា។

ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធមានតែមួយ នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាច្បាស់លាស់។ ក្នុងករណីដែលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធរួមគ្នាមិនមានតែមួយនោះប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថាមិនកំណត់។

ប្រព័ន្ធពីរនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាសមមូល (ឬសមមូល) ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធមួយគឺជាដំណោះស្រាយនៃទីពីរ និងច្រាសមកវិញ។ ប្រព័ន្ធសមមូល (ឬសមមូល) ត្រូវបានទទួលដោយប្រើការបំប្លែងសមមូល។

ការផ្លាស់ប្តូរសមមូលនៃ SLAE

1) ការរៀបចំឡើងវិញនៃសមីការ;

2) គុណ (ឬការបែងចែក) នៃសមីការដោយលេខមិនសូន្យ;

3) បន្ថែមទៅសមីការមួយចំនួន សមីការមួយផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនមិនសូន្យតាមអំពើចិត្ត។

ដំណោះស្រាយ SLAE អាចរកបានតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។

វិធីសាស្រ្តរបស់ CRAMER

ទ្រឹស្តីបទរបស់ CRAMER ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងការមិនស្គាល់គឺមិនសូន្យទេនោះប្រព័ន្ធនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត Cramer៖

គឺជាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយការជំនួសជួរឈរ i-th ដោយជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើ ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនមែនជាសូន្យ នោះ SLAE មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក SLAE មានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer ។

—————————————————————

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer

ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្រប និងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់៖

ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញអ្វីដែលមិនស្គាល់

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរចំនួនបួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងពង្រីកវាដោយបន្ទាត់ទីមួយ។

ស្វែងរកធាតុផ្សំនៃកត្តាកំណត់៖

ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងកត្តាកំណត់

កត្តាកំណត់ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការគឺស្រប និងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ យើងគណនាកត្តាកំណត់ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer៖

ចូរពង្រីកកត្តាកំណត់នីមួយៗដោយជួរឈរដែលមានលេខសូន្យច្រើនជាង។

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ

ឧទាហរណ៍នេះអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ YukhymCALC. បំណែកនៃកម្មវិធី និងលទ្ធផលនៃការគណនាត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

——————————

វិធីសាស្រ្ត C R A M E R

|1,1,1,1|

ឃ=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= ដប់

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))=1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

មើលសម្ភារ:

(jcomments លើ)

នៅក្នុងករណីទូទៅ ច្បាប់សម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទី គឺពិបាកជាង។ ចំពោះកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបី មានវិធីសមហេតុផលក្នុងការគណនាពួកគេ។

ការគណនានៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការដកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំពីផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងចម្បង:

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

ការសម្រេចចិត្ត។

ចម្លើយ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

មានច្បាប់សម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី។

ច្បាប់ត្រីកោណ

តាមគ្រោងការណ៍ ច្បាប់នេះអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

ផលិតផលនៃធាតុនៅក្នុងកត្តាកំណត់ដំបូងដែលត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រូវបានយកដោយសញ្ញាបូក; ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់កត្តាកំណត់ទីពីរ ផលិតផលដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានយកដោយសញ្ញាដក ពោលគឺឧ។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា វិធីសាស្រ្តត្រីកោណ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចម្លើយ។

ក្បួនសារ៉ាស

នៅខាងស្ដាំនៃកត្តាកំណត់ ជួរឈរពីរដំបូងត្រូវបានបន្ថែម ហើយផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ និងនៅលើអង្កត់ទ្រូងស្របនឹងវាត្រូវបានយកដោយសញ្ញាបូក។ និងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ និងអង្កត់ទ្រូងស្របនឹងវា ដោយមានសញ្ញាដក៖

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា ដោយប្រើច្បាប់ Sarrus ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចម្លើយ។

ការពង្រីកជួរ ឬជួរឈរនៃកត្តាកំណត់

កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរដេកនៃកត្តាកំណត់ និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់វា។

ជាធម្មតាជ្រើសរើស row/column ដែល/th មានសូន្យ។ ជួរដេក ឬជួរឈរដែលការបំបែកត្រូវបានអនុវត្តនឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយព្រួញ។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។ការពង្រីកលើជួរទីមួយ គណនាកត្តាកំណត់

ការសម្រេចចិត្ត។

ចម្លើយ។

វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យការគណនានៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទាបជាង។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា

ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការបំប្លែងដូចខាងក្រោមនៅលើជួរដេកនៃកត្តាកំណត់: ពីជួរទីពីរយើងដកបួនដំបូងហើយពីជួរទីបីជួរទីមួយគុណនឹងប្រាំពីរជាលទ្ធផលយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់យើងទទួលបាន។ កត្តាកំណត់ស្មើនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កត្តាកំណត់គឺសូន្យព្រោះជួរទីពីរនិងទីបីគឺសមាមាត្រ។

ចម្លើយ។

ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីបួន និងខាងលើ ទាំងការពង្រីកក្នុងជួរដេក/ជួរឈរ ឬការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ឬប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace ត្រូវបានប្រើ។

ការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃកត្តាកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរ

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា បំបែកវាដោយធាតុនៃជួរដេកខ្លះ ឬជួរឈរខ្លះ។

ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការបំប្លែងបឋមនៅលើជួរដេកនៃកត្តាកំណត់ដោយបង្កើតលេខសូន្យឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ទាំងក្នុងមួយជួរ ឬក្នុងជួរឈរមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងដកប្រាំបួនភាគបីពីជួរទីមួយ ប្រាំភាគបីពីទីពីរ និងបីភាគបីពីជួរទីបួន យើងទទួលបាន:

យើងពង្រីកកត្តាកំណត់លទ្ធផលដោយធាតុនៃជួរទីមួយ៖

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីជាលទ្ធផលក៏ត្រូវបានពង្រីកដោយធាតុនៃជួរដេក និងជួរឈរ ដោយទទួលបានសូន្យពីមុន ឧទាហរណ៍ក្នុងជួរទីមួយ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដកជួរទីពីរពីរពីជួរទីមួយហើយទីពីរពីជួរទីបី:

ចម្លើយ។

មតិយោបល់

កត្តាកំណត់ចុងក្រោយ និងចុងក្រោយមិនអាចគណនាបានទេ ប៉ុន្តែភ្លាមៗត្រូវសន្និដ្ឋានថាពួកគេស្មើនឹងសូន្យ ដោយសារពួកវាមានជួរសមាមាត្រ។

នាំកត្តាកំណត់ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋមលើជួរដេកឬជួរឈរ កត្តាកំណត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ហើយបន្ទាប់មកតម្លៃរបស់វាយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ។

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។កត្តាកំណត់គណនា នាំវាទៅជារាងត្រីកោណ។

ការសម្រេចចិត្ត។ដំបូងយើងធ្វើសូន្យនៅក្នុងជួរទីមួយនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងមេ។

4. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។ កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស។

ការបំប្លែងទាំងអស់នឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្ត ប្រសិនបើធាតុស្មើនឹង 1។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងនឹងប្តូរជួរឈរទីមួយ និងទីពីរនៃកត្តាកំណត់ ដែលយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់កត្តាកំណត់នឹងបណ្តាលឱ្យវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។ :

បន្ទាប់យើងទទួលបានសូន្យនៅក្នុងជួរទីពីរជំនួសឱ្យធាតុនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងមេ។ ហើយម្តងទៀតប្រសិនបើធាតុអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹង នោះការគណនានឹងកាន់តែសាមញ្ញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្តូរជួរទីពីរនិងទីបី (ហើយក្នុងពេលតែមួយប្តូរទៅសញ្ញាផ្ទុយនៃកត្តាកំណត់):

ចម្លើយ។

ទ្រឹស្តីបទ Laplace

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace គណនាកត្តាកំណត់

ការសម្រេចចិត្ត។យើងជ្រើសរើសជួរពីរនៅក្នុងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីប្រាំនេះ - ទីពីរ និងទីបី បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន (យើងលុបចោលលក្ខខណ្ឌដែលស្មើនឹងសូន្យ)៖

ចម្លើយ។

សមីការលីនេអ៊ែរ និងវិសមភាព I

§ 31 ករណីនៅពេលដែលកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយយ៉ាងហោចណាស់កត្តាកំណត់ជំនួយមួយគឺខុសពីសូន្យ

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការ

(1)

ស្មើនឹងសូន្យ ហើយយ៉ាងហោចណាស់កត្តាកំណត់ជំនួយមួយគឺខុសពីសូន្យ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ជាផ្លូវការ ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះមិនពិបាកនឹងទទួលបានដោយភាពផ្ទុយគ្នាទេ។ ចូរយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធសមីការ (1) មានដំណោះស្រាយ ( x 0 , y 0). ចំណែកឯ ដូចបង្ហាញក្នុងកថាខណ្ឌមុន

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ Δ = 0 ហើយយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមកត្តាកំណត់ Δ x និង Δ y ខុសពីសូន្យ។ ដូច្នេះ សមភាព (២) មិនអាចមានក្នុងពេលដំណាលគ្នាបានទេ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាហាក់បីដូចជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការបញ្ជាក់លម្អិតបន្ថែមទៀតថាហេតុអ្វីបានជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ (1) មិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៅក្នុងករណីដែលកំពុងពិចារណា។

មានន័យថាមេគុណនៃការមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការ (1) គឺសមាមាត្រ។ អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍

ក 1 = កា 2 , ខ 1 = គីឡូបៃ 2 .

មានន័យថាមេគុណ នៅ ហើយលក្ខខណ្ឌសេរីនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ (1) មិនសមាមាត្រទេ។ ដរាបណា ខ 1 = គីឡូបៃ 2 បន្ទាប់មក គ 1 =/= kc 2 .

ដូច្នេះប្រព័ន្ធសមីការ (១) អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់គឺសមាមាត្ររៀងគ្នា ប៉ុន្តែមេគុណសម្រាប់ នៅ (ឬពេលណា X ) ហើយលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃមិនសមាមាត្រទេ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះពិតជាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទេ។ ជាការពិតប្រសិនបើនាងមានដំណោះស្រាយ ( x 0 , y 0) បន្ទាប់មកសមភាពជាលេខ

k (ក 2 x 0 + ខ 2 y 0) = គ 1

ក 2 x 0 + ខ 2 y 0 = គ 2 .

ប៉ុន្តែសមភាពមួយក្នុងចំណោមសមភាពទាំងនេះផ្ទុយនឹងមួយទៀត៖ បន្ទាប់មក គ 1 =/= kc 2 .

យើងបានពិចារណាតែករណីនៅពេលដែល Δ x =/= 0. ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចពិចារណាករណីនេះនៅពេល Δ y =/= 0."

ទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់អាចត្រូវបានបង្កើតតាមវិធីខាងក្រោម។

ប្រសិនបើមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ Xនិង នៅនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការ (1) គឺសមាមាត្រ ហើយមេគុណសម្រាប់ការមិនស្គាល់ណាមួយទាំងនេះ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺមិនសមាមាត្រទេ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាប្រព័ន្ធនីមួយៗទាំងនេះនឹងមិនជាប់លាប់៖

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

រូបមន្តរបស់ Cramer

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាច្រើនដូចដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការនីមួយៗ។

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។ កម្មវិធីសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើក្នុងដំណោះស្រាយ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងសូន្យ នោះវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ លើសពីនេះទៀតវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

កត្តាកំណត់

;

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramerយើងមាន:

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (២)៖

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ករណីទីមួយ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងច្បាស់លាស់)

ករណីទីពីរ៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់

(ប្រព័ន្ធគឺស្របនិងមិនកំណត់)

**
,

ទាំងនោះ។ មេគុណនៃមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសមាមាត្រ។

ករណីទីបី៖ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

(ប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នា)

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ

ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer

………….
,

កន្លែងណា
—

ឧទាហរណ៍ ២

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះ (1; 0; -1) គឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ។

ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ 3 X 3 និង 4 X 4 អ្នកអាចប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត វិធីសាស្ត្រដោះស្រាយ Cramer ។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

សូមក្រឡេកមើលប្រព័ន្ធនៃសមីការ និងកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ហើយឆ្លើយសំណួរម្តងទៀត ក្នុងករណីដែលធាតុមួយ ឬច្រើននៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា យើងគណនាកត្តាកំណត់សម្រាប់អ្វីដែលមិនស្គាល់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (2; -1; 1) ។

កំពូលនៃទំព័រ

ធ្វើតេស្តលើប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

នៅក្នុងបញ្ហាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ក៏មានផងដែរ ដែលបន្ថែមពីលើអក្សរដែលបង្ហាញពីអថេរ ក៏មានអក្សរផ្សេងទៀតផងដែរ។ អក្សរទាំងនេះតំណាងឱ្យលេខមួយចំនួន ដែលភាគច្រើនជាលេខពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត សមីការ និងប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះនាំឱ្យមានបញ្ហាដើម្បីស្វែងរកលក្ខណៈទូទៅនៃបាតុភូត និងវត្ថុណាមួយ។ នោះគឺអ្នកបានបង្កើតសម្ភារៈ ឬឧបករណ៍ថ្មីមួយចំនួន ហើយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលជារឿងធម្មតាដោយមិនគិតពីទំហំ ឬចំនួនច្បាប់ចម្លង អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលជំនួសឱ្យមេគុណមួយចំនួនសម្រាប់អថេរមានអក្សរ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលឧទាហរណ៍ឆ្ងាយទេ។

ឧទាហរណ៍ ៦ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ហើយចុងក្រោយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបួនដែលមិនស្គាល់ចំនួនបួន។

ឧទាហរណ៍ ៧ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

យកចិត្តទុកដាក់! វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបួននឹងមិនត្រូវបានពន្យល់នៅទីនេះទេ។ បន្ទាប់ពីនោះ - ទៅផ្នែកសមស្របនៃគេហទំព័រ។ ប៉ុន្តែនឹងមានមតិមួយចំនួន។ ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

មតិតូចមួយ។ នៅក្នុងកត្តាកំណត់ដើម ធាតុនៃជួរទី៤ ត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទីពីរ ធាតុនៃជួរទី៤ គុណនឹង ២ ត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទី ៣ ធាតុនៃជួរទីមួយគុណនឹង ២ គឺ ដកពីធាតុនៃជួរទីបួន។ គ្រោងការណ៍។ ស្វែងរកកត្តាកំណត់សម្រាប់មិនស្គាល់

សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរនៃកត្តាកំណត់ជាមួយនឹងមិនស្គាល់ទីបួន ធាតុនៃជួរទីបួនត្រូវបានដកចេញពីធាតុនៃជួរទីមួយ។

តាមរូបមន្តរបស់ Cramer យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ (1; 1; -1; -1) ។

អ្នកដែលយកចិត្តទុកដាក់បំផុតប្រហែលជាកត់សម្គាល់ឃើញថាអត្ថបទមិនមានឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃសមីការលីនេអ៊ែរទេ។ ហើយទាំងអស់ដោយសារតែវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer យើងអាចបញ្ជាក់ថាប្រព័ន្ធនេះគឺគ្មានកំណត់។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

មិនមានពេលវេលាដើម្បីស្វែងយល់ពីដំណោះស្រាយមែនទេ? អាចបញ្ជាការងារបាន!

កំពូលនៃទំព័រ

ធ្វើតេស្តលើប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ផ្សេងទៀតលើប្រធានបទ "ប្រព័ន្ធសមីការ និងវិសមភាព"

ម៉ាស៊ីនគិតលេខ - ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការតាមអ៊ីនធឺណិត

ការអនុវត្តកម្មវិធីនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer នៅក្នុង C++

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស និងវិធីសាស្ត្របន្ថែម

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss

លក្ខខណ្ឌនៃភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស)

ប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ និងសំណុំប៉ោងនៃចំនុច

ការចាប់ផ្តើមនៃប្រធានបទ "ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ"

កត្តាកំណត់

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្គាល់នូវគោលគំនិតដ៏សំខាន់មួយពីផ្នែកនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់។

ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ចំណុចសំខាន់មួយភ្លាមៗ៖ គោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់មានសុពលភាពសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េ (ចំនួនជួរដេក = ចំនួនជួរឈរ) ម៉ាទ្រីសផ្សេងទៀតមិនមានវាទេ។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ(កត្តាកំណត់) - លក្ខណៈលេខនៃម៉ាទ្រីស។

ការកំណត់កត្តាកំណត់៖ |A|, det A, ∆ ក.

កត្តាកំណត់លំដាប់ "n" ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកពិជគណិតនៃផលិតផលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃធាតុរបស់វាដែលបំពេញតម្រូវការដូចខាងក្រោមៈ

1) ផលិតផលនីមួយៗមានធាតុ "n" យ៉ាងពិតប្រាកដ (ឧ. កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរគឺ 2 ធាតុ)។

2) នៅក្នុងផលិតផលនីមួយៗមានតំណាងនៃជួរនីមួយៗនិងជួរឈរនីមួយៗជាកត្តា។

3) កត្តាពីរនៅក្នុងផលិតផលនីមួយៗមិនអាចជារបស់ជួរដេក ឬជួរឈរតែមួយបានទេ។

សញ្ញានៃផលិតផលត្រូវបានកំណត់ដោយលំដាប់នៃការឆ្លាស់គ្នានៃលេខជួរឈរ ប្រសិនបើធាតុនៅក្នុងផលិតផលត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់ឡើងនៃលេខជួរដេក។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស៖

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីមួយ (ឧ។

សមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

មានធាតុតែមួយ) កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងធាតុនេះ៖

2. ពិចារណាម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីពីរ៖

3. ពិចារណាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីបី (3×3)៖

4. ហើយឥឡូវនេះ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាមួយចំនួនពិត៖

ក្បួនត្រីកោណ។

ក្បួនត្រីកោណ គឺជាវិធីមួយដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកវាតាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖

ដូចដែលអ្នកបានយល់រួចហើយ វិធីសាស្ត្រត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ត្រីកោណ ដោយសារតែធាតុម៉ាទ្រីសគុណនឹងបង្កើតបានជាត្រីកោណពិសេស។

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ សូមលើកឧទាហរណ៍មួយមក៖

ហើយឥឡូវនេះពិចារណាការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសជាមួយនឹងចំនួនពិតដោយប្រើច្បាប់ត្រីកោណ៖

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលគ្របដណ្តប់ យើងនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយទៀត៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់៖

1. ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរស្មើនឹងសូន្យ នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

2. កត្តាកំណត់នឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ប្រសិនបើជួរដេក ឬជួរឈរ 2 ណាមួយត្រូវបានប្តូរ។ សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍តូចមួយ៖

3. កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស transposed គឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

4. កត្តាកំណត់គឺសូន្យ ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកមួយស្មើនឹងធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកមួយទៀត (សម្រាប់ជួរឈរផងដែរ)។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់នេះគឺ៖

5. កត្តាកំណត់គឺសូន្យ ប្រសិនបើជួរ 2 របស់វាសមាមាត្រ (សម្រាប់ជួរផងដែរ) ។ ឧទាហរណ៍ (ជួរទី 1 និងទី 2 គឺសមាមាត្រ):

6. កត្តាទូទៅនៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃកត្តាកំណត់។

7) កត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកណាមួយ (ជួរឈរ) ត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) គុណនឹងតម្លៃដូចគ្នា។ តោះមើលរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍៖

ការបន្ថែមអនីតិជន និងពិជគណិត

ការបូកនិងដកនៃម៉ាទ្រីសដោយឧទាហរណ៍

សកម្មភាពជាមួយម៉ាទ្រីស

គំនិតនៃ "ម៉ាទ្រីស"

មើល៖ 57258

កត្តាកំណត់ (aka determinant (កំណត់)) ត្រូវបានរកឃើញតែក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។ កត្តាកំណត់គឺគ្មានអ្វីក្រៅពីតម្លៃដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស ដែលត្រូវបានរក្សាទុកនៅពេលបញ្ជូនជួរដេក ឬជួរឈរ។ វាអាចត្រូវបានកំណត់ថាជា det(A), |A|, Δ(A), Δ ដែល A អាចជាម៉ាទ្រីស និងអក្សរដែលបង្ហាញពីវា។ អ្នកអាចស្វែងរកវាតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖

វិធីសាស្រ្តទាំងអស់ដែលបានស្នើឡើងខាងលើនឹងត្រូវបានវិភាគលើម៉ាទ្រីសនៃទំហំ 3 ឬច្រើនជាងនេះ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសពីរវិមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាបឋមចំនួនបី ដូច្នេះការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសពីរវិមាត្រនឹងមិនធ្លាក់ចូលទៅក្នុងវិធីសាស្រ្តណាមួយឡើយ។ ជាការប្រសើរណាស់, លើកលែងតែជាការបន្ថែមមួយ, ប៉ុន្តែបន្ថែមទៀតនៅលើនោះនៅពេលក្រោយ។

ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស 2x2៖

ដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសរបស់យើង វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីដកផលិតផលនៃលេខនៃអង្កត់ទ្រូងមួយពីមួយទៀត ពោលគឺ

ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរ

ការបំបែកជួរដេក/ជួរឈរ

ជួរដេក ឬជួរឈរណាមួយក្នុងម៉ាទ្រីសត្រូវបានជ្រើស។ លេខនីមួយៗក្នុងជួរដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានគុណនឹង (-1) i+j ដែល (i,j ជាជួរដេក លេខជួរឈរនៃលេខនោះ) ហើយគុណនឹងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីលុប i - row និង j - ជួរឈរ។ សូមក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីស

ជ្រើសរើសជួរដេក/ជួរឈរ

ឧទាហរណ៍យកជួរទីពីរ។

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើវាមិនត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ជាមួយនឹងបន្ទាត់ណាមួយដើម្បីស្វែងរកកត្តាកំណត់ សូមជ្រើសរើសបន្ទាត់ដែលមានលេខសូន្យ។ វានឹងមានការគណនាតិចជាង។

តែងកន្សោម

វាមិនពិបាកក្នុងការកំណត់ថាសញ្ញានៃលេខផ្លាស់ប្តូររាល់ពេលនោះទេ។ ដូច្នេះជំនួសឱ្យឯកតា អ្នកអាចត្រូវបានណែនាំដោយតារាងខាងក្រោម៖

ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលេខរបស់យើង។

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសរបស់យើង។

យើងពិចារណាវាទាំងអស់។

ដំណោះស្រាយអាចសរសេរដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់ដោយការពង្រីកជួរដេក/ជួរឈរ៖

វិធីសាស្រ្តនៃការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ដោយប្រើបំលែងបឋម)

កត្តាកំណត់ត្រូវបានរកឃើញដោយការនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ជំហាន) និងគុណធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ

ម៉ាទ្រីសត្រីកោណគឺជាម៉ាទ្រីសដែលធាតុនៅម្ខាងនៃអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹងសូន្យ។

នៅពេលបង្កើតម៉ាទ្រីស ចងចាំច្បាប់សាមញ្ញចំនួនបី៖

រាល់ពេលដែលខ្សែត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ កត្តាកំណត់ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។
នៅពេលគុណ/ចែកបន្ទាត់មួយដោយលេខមិនសូន្យ វាគួរតែត្រូវបានបែងចែក (ប្រសិនបើគុណ) / គុណ (ប្រសិនបើបែងចែក) ដោយវា ឬអនុវត្តសកម្មភាពនេះជាមួយនឹងកត្តាកំណត់លទ្ធផល។
នៅពេលបន្ថែមខ្សែអក្សរមួយគុណនឹងលេខទៅខ្សែមួយទៀត កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ (ខ្សែអក្សរគុណនឹងយកតម្លៃដើមរបស់វា)។

តោះព្យាយាមរកលេខសូន្យក្នុងជួរទីមួយ បន្ទាប់មកនៅទីពីរ។

តោះមើលម៉ាទ្រីសរបស់យើង៖

តាអាក. ដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែរីករាយខ្ញុំចង់មានលេខដែលនៅជិតបំផុតនៅលើកំពូល។ អ្នកអាចទុកវាបាន ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់ទេ។ មិនអីទេ យើងមាន deuce នៅក្នុងជួរទីពីរ និងបួននៅលើទីមួយ។

តោះប្តូរបន្ទាត់ទាំងពីរនេះ។

យើងបានប្តូរបន្ទាត់ ឥឡូវយើងត្រូវផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃបន្ទាត់មួយ ឬផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃកត្តាកំណត់នៅចុងបញ្ចប់។

កត្តាកំណត់។ ការគណនាកត្តាកំណត់ (ទំ.២)

យើងនឹងធ្វើវានៅពេលក្រោយ។

ឥឡូវនេះ ដើម្បីទទួលបានសូន្យក្នុងជួរទីមួយ យើងគុណជួរទីមួយដោយ 2។

ដកជួរទី 1 ចេញពីជួរទីពីរ។

យោងតាមច្បាប់ទី 3 របស់យើងយើងត្រឡប់ខ្សែដើមទៅទីតាំងដំបូង។

ឥឡូវយើងធ្វើសូន្យក្នុងជួរទី៣។ យើងអាចគុណជួរទីមួយដោយ 1.5 ហើយដកពីទីបី ប៉ុន្តែការធ្វើការជាមួយប្រភាគនាំមកនូវសេចក្តីរីករាយតិចតួច។ ដូច្នេះ ចូរយើងស្វែងរកលេខដែលខ្សែទាំងពីរអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ - នេះគឺជាលេខ 6 ។

គុណជួរទី 3 ដោយ 2 ។

ឥឡូវនេះយើងគុណជួរទី 1 ដោយ 3 ហើយដកពីជួរទី 3 ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅជួរទី 1 របស់យើង។

កុំភ្លេចថាយើងគុណជួរទី 3 ដោយ 2 ដូច្នេះយើងនឹងបែងចែកកត្តាកំណត់ដោយ 2 ។

មានជួរឈរមួយ។ ឥឡូវនេះដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីពីរ - ចូរយើងភ្លេចអំពីបន្ទាត់ទី 1 - យើងធ្វើការជាមួយបន្ទាត់ទី 2 ។ គុណជួរទីពីរដោយ -3 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីបី។

កុំភ្លេចត្រឡប់ខ្សែទីពីរ។

ដូច្នេះយើងបានបង្កើតម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ។ តើយើងនៅសល់អ្វី? ហើយវានៅសល់ដើម្បីគុណលេខនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ដែលយើងនឹងធ្វើ។

ជាការប្រសើរណាស់ វានៅតែត្រូវចាំថា យើងត្រូវបែងចែកកត្តាកំណត់របស់យើងដោយ 2 ហើយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។

ច្បាប់របស់ Sarrus (ច្បាប់នៃត្រីកោណ)

ច្បាប់របស់ Sarrus អនុវត្តតែចំពោះម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីបីប៉ុណ្ណោះ។

កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាដោយបន្ថែមជួរឈរពីរដំបូងទៅខាងស្តាំនៃម៉ាទ្រីស គុណធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងនៃម៉ាទ្រីស ហើយបូកពួកវា និងដកផលបូកនៃអង្កត់ទ្រូងផ្ទុយគ្នា។ ដកពណ៌ស្វាយចេញពីអង្កត់ទ្រូងពណ៌ទឹកក្រូច។

ក្បួនត្រីកោណគឺដូចគ្នា គ្រាន់តែរូបភាពខុសគ្នា។

ទ្រឹស្ដីរបស់ Laplace ឃើញការខូចទ្រង់ទ្រាយជួរដេក/ជួរឈរ

១.១. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ និងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ៖

ហាងឆេង ជាមួយមិនស្គាល់ និង មានសន្ទស្សន៍ពីរ៖ ទីមួយបង្ហាញពីចំនួនសមីការ ទីពីរ - ចំនួនអថេរ។

ច្បាប់របស់ Cramer៖ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយការបែងចែកកត្តាកំណត់ជំនួយដោយកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ

ចំណាំ ១.ការប្រើប្រាស់ច្បាប់របស់ Cramer គឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ចំណាំ ២.រូបមន្តរបស់ Cramer ក៏អាចត្រូវបានគេដាក់ជាទូទៅទៅប្រព័ន្ធលំដាប់ខ្ពស់ផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ ១ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ៖
.

ការសម្រេចចិត្ត។

;
;

;

ការប្រឡង៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ប្រព័ន្ធគឺត្រឹមត្រូវ៖
.

១.២. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបី និងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖

កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា គុណវុឌ្ឍិប្រព័ន្ធ ឬវគ្គជម្រុះមេ៖

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត Cramer៖

តើកត្តាកំណត់នៅឯណា
ត្រូវបានគេហៅថាជំនួយ និងទទួលបានពីកត្តាកំណត់ ដោយជំនួសជួរឈរទីមួយ ទីពីរ ឬទីបីរបស់វាជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកប្រព័ន្ធឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ
.

ចូរបង្កើតកត្តាកំណត់សំខាន់ៗ និងជំនួយ៖

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាច្បាប់សម្រាប់ការគណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី។ មានបីក្នុងចំនោមពួកគេ៖ ច្បាប់បន្ថែមជួរឈរ ច្បាប់សាររូស និងច្បាប់ពង្រីក។

ក) ច្បាប់សម្រាប់បន្ថែមជួរឈរពីរដំបូងទៅកត្តាកំណត់សំខាន់៖

ការគណនាត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម: ជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេគឺជាផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងតាមបណ្តោយស្របទៅនឹងវាដោយមានសញ្ញាផ្ទុយពួកគេយកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំនិងស្របទៅនឹងវា .

ខ) ក្បួនរបស់ Sarrus៖

ជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេពួកគេយកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងតាមបណ្តោយស្របទៅនឹងវាហើយធាតុទីបីដែលបាត់ត្រូវបានយកចេញពីជ្រុងផ្ទុយ។ ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយពួកគេយកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងទីពីរនិងតាមបណ្តោយស្របទៅនឹងវាធាតុទីបីត្រូវបានយកចេញពីជ្រុងផ្ទុយ។

គ) ច្បាប់នៃការពង្រីកដោយធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរ៖

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មក។

ការបន្ថែមពិជគណិតគឺជាកត្តាកំណត់លំដាប់ទាបជាង ដែលទទួលបានដោយការលុបជួរដេក និងជួរឈរដែលត្រូវគ្នា ហើយយកទៅក្នុងគណនីសញ្ញា
កន្លែងណា - លេខបន្ទាត់ - លេខជួរឈរ។

ឧទាហរណ៍,

,
,
ល។

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ជំនួយដោយយោងតាមច្បាប់នេះ។ និង ពង្រីកពួកវាដោយធាតុនៃជួរទីមួយ។

ដោយបានគណនាកត្តាកំណត់ទាំងអស់ យើងរកឃើញអថេរយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Cramer៖

ការប្រឡង៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ប្រព័ន្ធគឺត្រឹមត្រូវ៖ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃកត្តាកំណត់

វាត្រូវតែចងចាំថាកត្តាកំណត់គឺ ចំនួនបានរកឃើញយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន។ ការគណនារបស់វាអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញប្រសិនបើយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋានដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ការកំណត់នៃលំដាប់ណាមួយ។

ទ្រព្យ ១. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើជួរទាំងអស់របស់វាត្រូវបានជំនួសដោយជួរឈរដែលត្រូវគ្នា និងច្រាសមកវិញ។

ប្រតិបត្តិការនៃការជំនួសជួរដេកជាមួយជួរឈរត្រូវបានគេហៅថា transposition ។ វាធ្វើតាមពីលក្ខណសម្បត្តិនេះ ដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដែលពិតសម្រាប់ជួរដេកនៃកត្តាកំណត់ក៏នឹងជាការពិតសម្រាប់ជួរឈររបស់វាផងដែរ។

ទ្រព្យ ២. ប្រសិនបើជួរពីរ (ជួរ) ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងកត្តាកំណត់ នោះសញ្ញានៃកត្តាកំណត់នឹងផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។

ទ្រព្យ ៣. ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយនៃកត្តាកំណត់ស្មើនឹង 0 នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹង 0 ។

ទ្រព្យ ៤. ប្រសិនបើធាតុនៃខ្សែអក្សរកំណត់ត្រូវបានគុណ (បែងចែក) ដោយចំនួនមួយចំនួន បន្ទាប់មកតម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងកើនឡើង (ថយចុះ) នៅក្នុង ម្តង។

ប្រសិនបើធាតុនៃជួរណាមួយមានកត្តារួម នោះវាអាចត្រូវបានដកចេញពីសញ្ញាកំណត់។

ទ្រព្យ ៥. ប្រសិនបើកត្តាកំណត់មានជួរដូចគ្នា ឬសមាមាត្រពីរ នោះកត្តាកំណត់នេះគឺស្មើនឹង 0 ។

ទ្រព្យ ៦. ប្រសិនបើធាតុនៃជួរណាមួយនៃកត្តាកំណត់គឺជាផលបូកនៃពាក្យពីរ នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃកត្តាកំណត់ទាំងពីរ។

ទ្រព្យ ៧. តម្លៃនៃកត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើធាតុនៃជួរដេកមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។

នៅក្នុងកត្តាកំណត់នេះដំបូង ទីបីគុណនឹង 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ បន្ទាប់មកទីពីរត្រូវបានដកចេញពីជួរទីបី បន្ទាប់មកជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីមួយ និងទីបី ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានច្រើន នៃលេខសូន្យ និងធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញ។

បឋមសិក្សាការផ្លាស់ប្តូរ កត្តាកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាភាពសាមញ្ញរបស់វាដោយសារតែការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១កត្តាកំណត់គណនា

ការរាប់ដោយផ្ទាល់យោងទៅតាមច្បាប់មួយក្នុងចំណោមច្បាប់ខាងលើនាំឱ្យមានការគណនាស្មុគស្មាញ។ ដូច្នេះគួរប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ៖

ក) ដកជួរទីពីរ គុណនឹង 2 ពីជួរទីមួយ។

ខ) ដកជួរទីបីពីជួរទីពីរ គុណនឹង ៣។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពង្រីកកត្តាកំណត់នេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរទីមួយដែលមានធាតុមិនសូន្យតែមួយគត់។

ប្រព័ន្ធ និងកត្តាកំណត់នៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

ប្រព័ន្ធ សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ មិនស្គាល់អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

ចំពោះករណីនេះ វាក៏អាចបង្កើតកត្តាកំណត់សំខាន់ និងជំនួយ និងកំណត់ការមិនស្គាល់ដោយយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Cramer ។ បញ្ហាគឺថា កត្តាកំណត់លំដាប់ខ្ពស់ជាងអាចត្រូវបានគណនាបានតែតាមរយៈការបន្ថយលំដាប់ និងកាត់បន្ថយពួកវាទៅជាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីប៉ុណ្ណោះ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយការបំបែកដោយផ្ទាល់ទៅក្នុងធាតុជួរដេក ឬជួរឈរ ក៏ដូចជាដោយការបំប្លែងបឋមបឋម និងការបំបែកបន្ថែមទៀត។

ឧទាហរណ៍ 4គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបួន

ការសម្រេចចិត្តស្វែងរកតាមពីរវិធី៖

ក) ដោយការពង្រីកដោយផ្ទាល់លើធាតុនៃជួរទីមួយ៖

ខ) ដោយការបំប្លែងបឋម និងការរលួយបន្ថែមទៀត

	ក) ដកបន្ទាត់ទី 3 ចេញពីជួរទី 1
	ខ) បន្ថែមបន្ទាត់ II ទៅបន្ទាត់ IV

ឧទាហរណ៍ ៥គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីប្រាំ ដោយទទួលបានសូន្យនៅជួរទីបីដោយប្រើជួរទីបួន

ដកទីពីរពីជួរទីមួយ ដកទីពីរពីជួរទីបី ហើយដកទីពីរ គុណនឹង 2 ពីជួរទីបួន។

ដកទីបីចេញពីជួរទីពីរ៖

ឧទាហរណ៍ ៦ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ៖

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងបង្កើតកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ ហើយអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ គណនាវា៖

(ពីជួរទីមួយយើងដកលេខទីបី ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងលទ្ធផលនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីពីជួរទីបី យើងដកទីមួយ គុណនឹង 2)។ កំណត់
ដូច្នេះ រូបមន្តរបស់ Cramer គឺអាចអនុវត្តបាន។

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលនៅសល់៖

ជួរទីបួនត្រូវបានគុណនឹង 2 ហើយដកពីសល់

ជួរទីបួនត្រូវបានដកចេញពីជួរទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹង 2 ដកពីជួរទីពីរ និងទីបី។

នៅទីនេះ ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត
.

នៅពេលរកឃើញ ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង 2 ហើយដកពីសល់។

យោងតាមច្បាប់របស់ Cramer យើងមាន៖

បន្ទាប់ពីការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការយើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺត្រឹមត្រូវ។

2. ម៉ាទ្រីស និងការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

2.ប្រសិនបើ │A│=0 នោះម៉ាទ្រីស A ខូច ហើយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 មិនមានទេ។

ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសច្រាសមាន។

3. រក A T ប្តូរទៅ A ។

4. ស្វែងរកការបំពេញបន្ថែមពីពិជគណិតនៃធាតុនៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង ហើយផ្សំម៉ាទ្រីសជាប់គ្នាពីពួកវា។ 5. យើងគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតាមរូបមន្ត 6. ពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយផ្អែកលើនិយមន័យរបស់វា A -1 ∙A = A ∙A -1 = E ។

· №28

· ក្នុងម៉ាទ្រីស m x n ដោយការលុបជួរដេក និងជួរឈរណាមួយ អ្នកអាចជ្រើសរើស submatrices ការ៉េនៃលំដាប់ kth ដែល k≤min(m; n) ។ កត្តាកំណត់នៃ submatrices បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា k-th order minors នៃ matrix A.

· ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺជាលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃម៉ាទ្រីសនេះ។

· ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានកំណត់ដោយជួរ A ឬ r (A) ។

· ពីនិយមន័យដូចខាងក្រោមៈ

· 1) ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃទំហំ m x n មិនលើសពីតូចបំផុតនៃទំហំរបស់វាពោលគឺឧ។ r(A) ≤ min (m; n) ។

· 2) r(A)=0 ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺឧ។ A=0។

· 3) សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទី n r(A) = n ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មិនឯកវចនៈ។

· ក្នុងករណីទូទៅ ការកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដោយការរាប់បញ្ចូលអនីតិជនទាំងអស់គឺពិបាកណាស់។ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់កិច្ចការនេះ ការបំប្លែងបឋមត្រូវបានប្រើដែលរក្សាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស៖

· 1) ការបដិសេធនៃជួរសូន្យ (ជួរឈរ) ។

· 2) គុណនៃធាតុទាំងអស់នៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីសដោយលេខមិនសូន្យ។

· 3) ការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់ជួរ (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីស។

· 4) ការបន្ថែមទៅធាតុនីមួយៗនៃជួរមួយ (ជួរឈរ) ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរមួយទៀត (ជួរឈរ) គុណនឹងលេខណាមួយ។

· 5) ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស។

· ទ្រឹស្តីបទ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរក្រោមការបំប្លែងបឋមនៃម៉ាទ្រីសទេ។

№31

សូមឲ្យចំនួនសមីការក្នុងប្រព័ន្ធ (១) ស្មើនឹងចំនួនអថេរ ឧ. m=n ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ ហើយកត្តាកំណត់របស់វាΔ=│А│ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ។

ឧបមាថា │А│ មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។

ការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពម៉ាទ្រីសនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 យើងទទួលបាន៖

A -1 (AX) \u003d A -1 B ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងជាម៉ាទ្រីសជួរឈរ៖

X \u003d A -1 B ។

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer ។ អនុញ្ញាតឱ្យ Δ ជាអ្នកកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ A ហើយ Δ j ជាអ្នកកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីសដោយជំនួសជួរឈរ jth ជាមួយនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ Δ មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត Cramer៖

កន្លែងណា j=1..n.

№33

វិធីសាស្រ្ត Gauss - វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់អថេរជាបន្តបន្ទាប់ - មាននៅក្នុងការពិតដែលថាដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលនៃប្រភេទជំហានឬត្រីកោណ។

ពិចារណាម៉ាទ្រីស៖

ម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ (1) ព្រោះបន្ថែមលើម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ A វាក៏រួមបញ្ចូលជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរផងដែរ។

№26

វ៉ិចទ័រ N-dimensional គឺជាសំណុំលំដាប់នៃចំនួនពិត n សរសេរជា X=(x 1,x 2,...x n) ដែល x i គឺជាសមាសធាតុ i-th នៃវ៉ិចទ័រ X ។

វ៉ិចទ័រ n-dimensional ពីរគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែសមាសធាតុរៀងៗខ្លួនគឺស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ X = Y ប្រសិនបើ x ខ្ញុំ = y ខ្ញុំ , i = 1…n ។

សំណុំនៃវ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុពិត ដែលក្នុងនោះប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខដែលបំពេញលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើត្រូវបានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះវ៉ិចទ័រ។

ចន្លោះវ៉ិចទ័រ R ត្រូវបានគេហៅថា n-dimensional ប្រសិនបើមានវ៉ិចទ័រឯករាជ្យ n លីនេអ៊ែរនៅក្នុងវា ហើយវ៉ិចទ័រ n + 1 ណាមួយគឺអាស្រ័យរួចហើយ។ លេខ n ត្រូវបានគេហៅថាវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ R ហើយត្រូវបានតំណាងថា dim(R) ។

№29

ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ

និយមន័យ។ ប្រសិនបើច្បាប់ (ច្បាប់) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ យោងទៅតាមវ៉ិចទ័រ x នៃលំហនីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយវ៉ិចទ័រ y តែមួយនៃលំហ។

បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថា: ប្រតិបត្តិករ (ការផ្លាស់ប្តូរ, ការធ្វើផែនទី) A(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ, ធ្វើសកម្មភាពពីទៅនិង

សរសេរ y=A(x) ។

ប្រតិបត្តិករត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើសម្រាប់វ៉ិចទ័រ x និង y នៃលំហ

និងលេខណាមួយ λ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖

№37

អនុញ្ញាតឱ្យ А ជាសំណុំដែលមានចំនួនកំណត់នៃធាតុ a 1 , a 2 , a 3 …a n ។ ក្រុមអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីធាតុផ្សេងៗនៃសំណុំ A ។ ប្រសិនបើក្រុមនីមួយៗរួមបញ្ចូលចំនួនធាតុដូចគ្នា m (m ចេញពី n) នោះគេនិយាយថាបង្កើតជាសមាសធាតុនៃធាតុ n ជាមួយ m នីមួយៗ។ ការតភ្ជាប់មានបីប្រភេទ៖ ការដាក់ បន្សំ និងការផ្លាស់ប្តូរ។

ទំនាក់ទំនង,ដែលនីមួយៗរួមបញ្ចូលធាតុ n ទាំងអស់នៃសំណុំ A ហើយដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុត្រូវបានគេហៅថា permutations នៃធាតុ n ។ ចំនួននៃការបំប្លែងបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា Р n ។

№35

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺផ្អែកលើគោលគំនិតនៃភាពស្មើគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍។

ភាពស្មើគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ មានន័យថាគ្មានហេតុផលណាមួយដែលចូលចិត្តវាជាងអ្នកផ្សេងនោះទេ។

ចូរយើងពិចារណាលើការសាកល្បងមួយ ដែលលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ A អាចកើតឡើង។ លទ្ធផលនីមួយៗ ដែលព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើងត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍អំណោយផល A ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A (តំណាងដោយ P(A)) គឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ A (តំណាងដោយ k) ទៅនឹងចំនួននៃលទ្ធផលតេស្តទាំងអស់ - N i.e. P(A)=k/N ។

លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមធ្វើតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹងមួយ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ

№39, 40

ទ្រឹស្តីបទបន្ថែម។ ប្រសិនបើ A និង B មិនស៊ីគ្នា នោះ P(A + B) = P(A) + P(B)

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

កំពូលនៃទំព័រ

យើងបន្តដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Cramer ជាមួយគ្នា

ការគណនានៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

ច្បាប់ត្រីកោណ

ក្បួនសារ៉ាស

ការពង្រីកជួរ ឬជួរឈរនៃកត្តាកំណត់

ការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃកត្តាកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរ

មតិយោបល់

នាំកត្តាកំណត់ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

4. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។ កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស។

ទ្រឹស្តីបទ Laplace

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

រូបមន្តរបស់ Cramer

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។ កម្មវិធីសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ករណីបីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer

កំពូលនៃទំព័រ

ធ្វើតេស្តលើប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

កត្តាកំណត់។ ការគណនាកត្តាកំណត់ (ទំ.២)

១.២. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបី និងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង