របៀបស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ស្មុគស្មាញ។ ដែនកំណត់និងមុខងារនៃលំដាប់

ឆានែលបន្ត

ឆានែលនៅពេលដែលសញ្ញាបន្តត្រូវបានទទួលនៅធាតុបញ្ចូលដែលនៅទិន្នផលរបស់វាសញ្ញាក៏នឹងបន្តត្រូវបានគេហៅថា បន្ត. ពួកគេតែងតែជាផ្នែកមួយនៃឆានែលដាច់ដោយឡែក។ ឆានែលបន្តគឺឧទាហរណ៍ បណ្តាញទំនាក់ទំនងតាមទូរស័ព្ទស្តង់ដារ (ឆានែលប្រេកង់សំឡេង - FC) ដែលមានកម្រិតបញ្ជូន 0.3 ... 3.4 kHz បណ្តាញអ៊ីនធឺណិតស្តង់ដារដែលមានកម្រិតបញ្ជូន 60 ... 108 kHz សៀគ្វីរូបវន្ត។ល។ គំរូអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់នៃ quadripole លីនេអ៊ែរ (រូបភាព 3.4)

រូបភាព 3.4 - គំរូនៃឆានែលបន្តលីនេអ៊ែរ

ឆានែលដាច់ដោយឡែក

ដើម្បីផ្គូផ្គងឧបករណ៍បំប្លែង និងឌិកូដរបស់ប៉ុស្តិ៍ជាមួយបណ្តាញទំនាក់ទំនងបន្ត ឧបករណ៍បំប្លែងសញ្ញា (SCD) ត្រូវបានប្រើ ដែលត្រូវបានបើកកំឡុងពេលបញ្ជូន និងទទួល។ ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយនេះគឺជាម៉ូឌុលនិង demodulator ។ រួមគ្នាជាមួយទម្រង់ UPS ឆានែលទំនាក់ទំនង ឆានែលដាច់ពីគ្នា (DC), i.e. ឆានែលដែលបានរចនាឡើងដើម្បីបញ្ជូនតែសញ្ញាដាច់ពីគ្នាប៉ុណ្ណោះ។

ឆានែលដាច់ដោយឡែកត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអត្រានៃការផ្ទេរព័ត៌មានដែលវាស់វែងជាប៊ីតក្នុងមួយវិនាទី (bps) ។ លក្ខណៈមួយទៀតនៃឆានែលដាច់ពីគ្នាគឺអត្រាម៉ូឌុលដែលវាស់វែងជា baud ។ វាត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួនធាតុដែលបានផ្ទេរក្នុងមួយវិនាទី។

ឆានែលតុល្យភាពប្រព័ន្ធគោលពីរ . ឆានែលតុល្យភាពប្រព័ន្ធគោលពីរ(ឆានែលស៊ីមេទ្រីគោលពីរ - BSC) គឺជាករណីពិសេសនៃឆានែលដែលមិនមានការចងចាំដាច់ពីគ្នា ដែលអក្សរបញ្ចូល និងលទ្ធផលមានធាតុគោលពីរ (0 និង I) ។ ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌគឺស៊ីមេទ្រី។

សមីការ (៣.៦) បង្ហាញពីអ្វីដែលគេហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរ.

ម៉ូដែល Markov របស់ DC ។ ស្ថានភាពឆានែលអាចត្រូវបានសម្គាល់ដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសនៅក្នុងរដ្ឋនីមួយៗ។ ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបុព្វហេតុរាងកាយ - រូបរាងនៃការរំខាន, សំលេងរំខាន, ការបន្ថយជាដើម។ លំដាប់រដ្ឋគឺជាខ្សែសង្វាក់ Markov សាមញ្ញ។ ខ្សែសង្វាក់ Markov សាមញ្ញគឺជាលំដាប់ចៃដន្យនៃរដ្ឋនៅពេលដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃរដ្ឋជាក់លាក់មួយនៅក្នុង ខ្ញុំ-ចំណុចនោះនៅក្នុងពេលវេលាត្រូវបានកំណត់ដោយរដ្ឋទាំងស្រុង គ i-1 ក្នុង ( ខ្ញុំ- 1) គ្រា។ សៀគ្វីសមមូលនៃឆានែលបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព 3.5 ។

រូបភាព 3.5 - សៀគ្វីសមមូលនៃឆានែលស៊ីមេទ្រីដាច់ពីគ្នានៅពេលពិពណ៌នាដោយគំរូផ្អែកលើខ្សែសង្វាក់ Markov

ម៉ូដែល Hilbert ។ គំរូសាមញ្ញបំផុតដោយផ្អែកលើការប្រើប្រាស់ឧបករណ៍គណិតវិទ្យានៃខ្សែសង្វាក់ Markov គឺជាគំរូប្រភពកំហុសដែលស្នើឡើងដោយ Hilbert ។ យោងទៅតាមគំរូនេះឆានែលអាចស្ថិតនៅក្នុងរដ្ឋពីរ - ល្អ (រដ្ឋ 1) និងអាក្រក់ (រដ្ឋ 2) ។ រដ្ឋទីមួយត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអវត្តមាននៃកំហុស។ នៅក្នុងស្ថានភាពទីពីរ កំហុសលេចឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p osh (2) ។

ការជ្រៀតជ្រែកក្នុងបណ្តាញទំនាក់ទំនង

នៅក្នុងឆានែលពិត សញ្ញាត្រូវបានបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយអំឡុងពេលបញ្ជូន ហើយសារត្រូវបានផលិតឡើងវិញដោយមានកំហុសមួយចំនួន។ មូលហេតុនៃកំហុសបែបនេះគឺការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយដែលបានណែនាំដោយឆានែលខ្លួនឯងនិងសំលេងរំខានដែលប៉ះពាល់ដល់សញ្ញា។ ការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយគួរតែត្រូវបានបំបែកយ៉ាងច្បាស់ពីការជ្រៀតជ្រែកនៃធម្មជាតិចៃដន្យ។ ការជ្រៀតជ្រែកមិនត្រូវបានគេដឹងជាមុនទេ ដូច្នេះហើយមិនអាចលុបចោលទាំងស្រុងបានទេ។

នៅក្រោម ឧបសគ្គសំដៅទៅលើឥទ្ធិពលណាមួយដែលត្រូវបានដាក់លើសញ្ញាមានប្រយោជន៍ និងធ្វើឱ្យពិបាកក្នុងការទទួលវា។ ការជ្រៀតជ្រែកមានភាពចម្រុះនៅក្នុងប្រភពដើមរបស់វា៖ ព្យុះផ្គររន្ទះ ការជ្រៀតជ្រែកពីរថយន្តអគ្គិសនី ម៉ូទ័រអេឡិចត្រិច ប្រព័ន្ធបញ្ឆេះម៉ាស៊ីន។ល។

នៅក្នុងជួរប្រេកង់ស្ទើរតែទាំងអស់ មានសំលេងរំខានខាងក្នុងរបស់ឧបករណ៍ ដោយសារចលនាច្របូកច្របល់នៃឧបករណ៍ផ្ទុកបន្ទុកនៅក្នុងឧបករណ៍ពង្រីក ដែលហៅថា សំលេងរំខានកម្ដៅ។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃការជ្រៀតជ្រែក។ ការជ្រៀតជ្រែកអាម៉ូនិក- គឺជាសញ្ញាកែប្រែក្រុមតូចចង្អៀត។ ហេតុផលសម្រាប់ការកើតឡើងនៃការជ្រៀតជ្រែកបែបនេះគឺការថយចុះនៃការកាត់បន្ថយ crosstalk រវាងសៀគ្វីខ្សែកាបឥទ្ធិពលនៃស្ថានីយ៍វិទ្យុ។ ការរំខានដោយកម្លាំងរុញច្រានគឺជាការជ្រៀតជ្រែកដែលប្រមូលផ្តុំនៅក្នុងពេលវេលា។ ពួកវាជាបណ្តុំចៃដន្យនៃជីពចរដែលមានចន្លោះពេលចៃដន្យ ហើយបណ្តុំដែលបណ្តាលមកពីពួកវាមិនត្រួតលើគ្នាក្នុងពេលវេលាទេ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់លេខដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ មាននិយមន័យនៃលំដាប់ និងដែនកំណត់របស់វា។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធដែលមានលំដាប់លំដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងវិសមភាព លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់តូច និងធំគ្មានកំណត់ត្រូវបានពិចារណា។

មាតិកា

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

ចំណុច a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើ និងប្រសិនបើនៅខាងក្រៅសង្កាត់ណាមួយនៃចំណុចនេះគឺ ចំនួនកំណត់នៃធាតុលំដាប់ឬសំណុំទទេ។

ប្រសិនបើលេខ a មិនមែនជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ នោះមានសង្កាត់នៃចំនុច a នៅខាងក្រៅដែលមាន ចំនួនគ្មានកំណត់នៃធាតុលំដាប់.

ទ្រឹស្តីបទភាពឯកកោសម្រាប់ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ. ប្រសិនបើលំដាប់មានដែនកំណត់ នោះវាមានតែមួយ។

ប្រសិនបើលំដាប់មួយមានកម្រិតកំណត់ នោះវា មានកំណត់.

ប្រសិនបើធាតុនីមួយៗនៃលំដាប់ គឺស្មើនឹងលេខដូចគ្នា។ C : បន្ទាប់មកលំដាប់នេះមានដែនកំណត់ស្មើនឹងលេខ C ។

ប្រសិនបើលំដាប់ បន្ថែម ទម្លាក់ ឬផ្លាស់ប្តូរធាតុ m ដំបូងបន្ទាប់មក វានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់ការបញ្ចូលគ្នារបស់វាទេ។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃកម្រិតកំណត់នៃលំដាប់ >>>.

នព្វន្ធដែលមានដែនកំណត់

អនុញ្ញាតឱ្យមានដែនកំណត់ និងលំដាប់កំណត់ និង . ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ C ជាចំនួនថេរ នោះគឺជាលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក
;
;
;
, ប្រសិនបើ .
នៅក្នុងករណីនៃ quotient វាត្រូវបានសន្មត់ថាសម្រាប់ n ទាំងអស់។

ប្រសិនបើនោះ .

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
គុណសម្បត្តិនព្វន្ធនៃកម្រិតកំណត់នៃលំដាប់ >>>.

ទ្រព្យសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងវិសមភាព

ប្រសិនបើធាតុនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន បំពេញវិសមភាព នោះដែនកំណត់ a នៃលំដាប់នេះក៏បំពេញវិសមភាពផងដែរ។

ប្រសិនបើធាតុនៃលំដាប់ ចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលបិទ (ផ្នែក) នោះដែនកំណត់ a ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះផងដែរ៖ .

ប្រសិនបើ និង និងធាតុនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន បំពេញវិសមភាព នោះ .

ប្រសិនបើ និងចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន នោះ .
ជាពិសេស ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន , បន្ទាប់មក
ប្រសិនបើ, បន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើ .

ប្រសិនបើ និង .

អនុញ្ញាតឱ្យនិង។ ប្រសិនបើ ក < b បន្ទាប់មកមានលេខធម្មជាតិ N ដូចនេះសម្រាប់ n ទាំងអស់។ > នវិសមភាពគឺពេញចិត្ត។

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិទាក់ទងនឹងវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណសម្បត្តិនៃដែនកំណត់លំដាប់ដែលទាក់ទងនឹងវិសមភាព >>>.

លំដាប់គ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់

លំដាប់គ្មានកំណត់

លំដាប់គ្មានកំណត់ គឺជាលំដាប់ដែលមានដែនកំណត់គឺសូន្យ៖
.

ផលបូកនិងភាពខុសគ្នាចំនួនកំណត់នៃលំដាប់ infinitesimal គឺជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

ផលិតផលនៃលំដាប់ដែលមានព្រំដែនទៅ infinitesimal គឺជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

ផលិតផលនៃចំនួនកំណត់ infinitesimal sequences គឺជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

សម្រាប់លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ a វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលជាលំដាប់គ្មានកំណត់។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់គ្មានកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លំដាប់គ្មានកំណត់ - និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ >>>.

លំដាប់ធំគ្មានទីបញ្ចប់

លំដាប់ធំគ្មានកំណត់ គឺជាលំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ធំគ្មានកំណត់។ នោះគឺប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយមានលេខធម្មជាតិ N អាស្រ័យលើ នោះសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ វិសមភាព។
.
ក្នុងករណីនេះសរសេរ
.
ឬនៅ។
ពួកគេនិយាយថាវាមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខ N មួយចំនួន
.
បើអញ្ចឹង
.

ប្រសិនបើលំដាប់មានចំនួនច្រើនគ្មានកំណត់ នោះចាប់ផ្ដើមពីលេខ N ខ្លះ លំដាប់មួយត្រូវបានកំណត់ដែលតូចគ្មានកំណត់។ ប្រសិនបើលំដាប់គ្មានកំណត់ជាមួយធាតុមិនសូន្យ នោះលំដាប់គឺធំគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើលំដាប់មានទំហំធំឥតកំណត់ ហើយលំដាប់ត្រូវបានកំណត់នោះ
.

ប្រសិនបើតម្លៃដាច់ខាតនៃធាតុនៃលំដាប់ត្រូវបានកំណត់ពីខាងក្រោមដោយចំនួនវិជ្ជមាន () ហើយមានចំនួនតូចឥតកំណត់ជាមួយធាតុមិនសូន្យ នោះ
.

នៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិត និយមន័យនៃលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់ជាមួយឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
និយមន័យនៃលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់ >>>.
ភស្តុតាងសម្រាប់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំដាប់ធំគ្មានកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណសម្បត្តិនៃលំដាប់ធំមិនចេះចប់ >>>.

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាតាមលំដាប់

លំដាប់ Monotonic

លំដាប់កើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង គឺជាលំដាប់សម្រាប់ធាតុទាំងអស់ ដែលវិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
.

វិសមភាពស្រដៀងគ្នាកំណត់លំដាប់ monotone ផ្សេងទៀត។

ការថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹងតាមលំដាប់លំដោយ៖
.
លំដាប់មិនថយចុះ៖
.
លំដាប់មិនកើនឡើង៖
.

វាបន្ទាប់មកថាលំដាប់ដែលមានការកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនថយចុះដែរ។ លំដាប់ថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក៏មិនកើនឡើងដែរ។

លំដាប់ monotonic គឺជាលំដាប់មិនថយចុះ ឬមិនកើនឡើង។

លំដាប់ម៉ូណូតូនិកត្រូវបានចងនៅផ្នែកម្ខាងយ៉ាងហោចណាស់ដោយ . លំដាប់មិនថយចុះត្រូវបានកំណត់ពីខាងក្រោម៖ . លំដាប់មិនកើនឡើងត្រូវបានចងពីខាងលើ៖ .

ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass. ដើម្បីឱ្យលំដាប់មិនថយចុះ (មិនបង្កើន) មានដែនកំណត់កំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាត្រូវបានចងពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម)។ នេះគឺជាលេខ M ។

ចាប់តាំងពីលំដាប់ដែលមិនថយចុះ (មិនកើនឡើង) ត្រូវបានចងពីខាងក្រោម (ពីខាងលើ) ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass អាចត្រូវបានបកប្រែឡើងវិញដូចខាងក្រោម:

សម្រាប់លំដាប់ monotone ដើម្បីឱ្យមានកម្រិតកំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាត្រូវបានកំណត់៖ .

លំដាប់ monotonic គ្មានដែនកំណត់មានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ ស្មើសម្រាប់លំដាប់មិនថយចុះ និងមិនកើនឡើង។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Weierstrassផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass លើដែនកំណត់នៃលំដាប់ monotone >>>.

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់

ស្ថានភាពស្រួចស្រាវ
ភាពជាប់លាប់ពេញចិត្ត ស្ថានភាពស្រួចស្រាវប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយមានលេខធម្មជាតិ នោះសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិទាំងអស់ n និង m បំពេញលក្ខខណ្ឌ វិសមភាព
.

លំដាប់ជាមូលដ្ឋានគឺជាលំដាប់ដែលពេញចិត្ត ស្ថានភាព Cauchy ។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់. ដើម្បីឱ្យលំដាប់មានដែនកំណត់កំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាបំពេញលក្ខខណ្ឌ Cauchy ។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួបបង្រួម Cauchyផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាតាមលំដាប់ >>>.

បន្តបន្ទាប់

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass. ពីលំដាប់ដែលមានព្រំដែនណាមួយ លំដាប់បន្ទាប់បន្សំអាចត្រូវបានសម្គាល់។ ហើយពីលំដាប់គ្មានដែនកំណត់ណាមួយ - ជាបន្តបន្ទាប់ដ៏ធំមួយដែលមិនចេះចប់មកទល់នឹង ឬទៅ .

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrassផ្តល់ឱ្យនៅលើទំព័រ
ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass >>>.

និយមន័យ ទ្រឹស្តីបទ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាគបន្ត និងដែនកំណត់ផ្នែកត្រូវបានពិភាក្សានៅលើទំព័រ
បន្តបន្ទាប់ និងដែនកំណត់ផ្នែកនៃលំដាប់ >>>.

ឯកសារយោង៖
សង់ទីម៉ែត។ នីកូលស្គី។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ភាគ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 1983 ។
អិលឌី. Kudryavtsev ។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ លេខ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 2003 ។
V.A. ហ្សូរីច។ ការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូឆ្នាំ 1997 ។
V.A. Ilyin, E.G. Pozniak ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 2005 ។

សូមមើលផងដែរ:

និយមន័យនៃលំដាប់ និងដែនកំណត់មុខងារ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់ ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីមួយ និងទីពីរ ឧទាហរណ៍។

ចំនួនថេរ កបានហៅ ដែនកំណត់ លំដាប់(x n) ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត ε > 0 មានលេខ N ដែលតម្លៃទាំងអស់ x នដែល n > N បំពេញវិសមភាព

សរសេរវាដូចខាងក្រោមៈ ឬ x n → a ។

វិសមភាព (6.1) គឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x នចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន n>N ស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល (a-ε , a+ε) i.e. ធ្លាក់ចូលទៅក្នុង ε- សង្កាត់តូចមួយនៃចំណុច ក.

លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

គោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃគំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ចាប់តាំងពីដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ x n = f(n) នៃអាគុយម៉ង់ចំនួនគត់។ ន.

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ ក - ចំណុចកំណត់ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារនេះ D(f), i.e. ចំណុចបែបនេះ សង្កាត់ណាមួយដែលមានចំណុចនៃសំណុំ D(f) ខុសពី ក. ចំណុច កអាចឬមិនមែនជារបស់សំណុំ D(f)។

និយមន័យ ១.លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x → a ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយ (x n) នៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលមានទំនោរទៅ ក, លំដាប់ដែលត្រូវគ្នា (f(x n)) មានដែនកំណត់ដូចគ្នា A ។

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Heine,ឬ " នៅក្នុងភាសានៃលំដាប់”.

និយមន័យ ២. លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x →a ប្រសិនបើចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត ε តាមអំពើចិត្ត នោះគេអាចរកឃើញ δ >0 (អាស្រ័យលើε) ដូចនេះសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា x, កុហកនៅក្នុងε-សង្កាត់នៃលេខ ក, i.e. សម្រាប់ xការបំពេញនូវវិសមភាព
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Cauchy,ឬ “ ជាភាសា ε - δ"

និយមន័យ 1 និង 2 គឺសមមូល។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) ជា x → a មាន ដែនកំណត់ស្មើនឹង A វាត្រូវបានសរសេរជា

ក្នុងករណីដែលលំដាប់ (f(x n)) កើនឡើង (ឬថយចុះ) ដោយមិនកំណត់សម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានណាមួយ xដល់ដែនកំណត់របស់អ្នក។ កបន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយថាមុខងារ f(x) មាន ដែនកំណត់គ្មានកំណត់,ហើយសរសេរវាជា៖

អថេរ (ឧ. លំដាប់ ឬមុខងារ) ដែលដែនកំណត់គឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា តូចគ្មានកំណត់។

អថេរដែលកម្រិតស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ត្រូវបានហៅ ធំគ្មានកំណត់.

ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ក្នុងការអនុវត្ត សូមប្រើទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១ . ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នីមួយៗ

(6.4)

(6.5)

(6.6)

មតិយោបល់. កន្សោមនៃទម្រង់ 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ គឺគ្មានកំណត់ ឧទាហរណ៍ សមាមាត្រនៃចំនួនពីរដែលមិនអាចកំណត់បាន ឬច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយការស្វែងរកដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់"។

ទ្រឹស្តីបទ ២.

ទាំងនោះ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនៅនិទស្សន្តថេរ ជាពិសេស,

ទ្រឹស្តីបទ ៣.

(6.11)

កន្លែងណា អ៊ី» 2.7 គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ។ រូបមន្ត (6.10) និង (6.11) ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទី 1 និងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។

កូរ៉ូឡារីនៃរូបមន្ត (៦.១១) ក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តផងដែរ៖

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ជាពិសេសដែនកំណត់

ប្រសិនបើ x → a និងនៅពេលតែមួយ x > a បន្ទាប់មកសរសេរ x → a + 0 ។ ប្រសិនបើ ជាពិសេស a = 0 បន្ទាប់មកសរសេរ +0 ជំនួសឱ្យនិមិត្តសញ្ញា 0+0 ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើ x → a និងក្នុងពេលតែមួយ x និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម។ ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវ។និង ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង មុខងារ f(x) នៅចំណុច ក. សម្រាប់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f(x) មានជា x → a វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ . មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្ត នៅចំណុច x 0 ប្រសិនបើដែនកំណត់

(6.15)

លក្ខខណ្ឌ (៦.១៥) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា៖

នោះគឺការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់ក្រោមសញ្ញានៃមុខងារគឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើវាបន្តនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើសមភាព (6.15) ត្រូវបានរំលោភ នោះយើងនិយាយអញ្ចឹង នៅ x = xo មុខងារ f(x) វាមាន គម្លាត។ពិចារណាមុខងារ y = 1/x ។ ដែននៃមុខងារនេះគឺជាសំណុំ រលើកលែងតែ x = 0 ។ ចំនុច x = 0 គឺជាចំណុចកំណត់នៃសំណុំ D(f) ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយរបស់វា ឧ. ចន្លោះពេលបើកណាមួយដែលមានចំណុច 0 មានចំណុចពី D(f) ប៉ុន្តែវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនេះទេ។ តម្លៃ f(x o)= f(0) មិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដូច្នេះមុខងារមានការដាច់នៅចំណុច x o = 0 ។

មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់

និង បន្តនៅខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់

ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ x oគឺស្មើនឹងការបន្តរបស់វានៅចំណុចនេះទាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង។

សម្រាប់មុខងារបន្តនៅចំណុចមួយ។ x oជាឧទាហរណ៍ នៅខាងស្តាំ ទីមួយ វាមានដែនកំណត់កំណត់ ហើយទីពីរ ដែនកំណត់នេះស្មើនឹង f(x o)។ ដូច្នេះប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះមិនត្រូវបានបំពេញនោះមុខងារនឹងមានគម្លាត។

1. ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយមិនស្មើនឹង f(x o) នោះគេនិយាយថា មុខងារ f(x) នៅចំណុច xo មាន ការបំបែកនៃប្រភេទទីមួយ,ឬ លោត.

2. ប្រសិនបើដែនកំណត់គឺ +∞ ឬ -∞ ឬមិនមាន នោះពួកគេនិយាយថានៅក្នុង ចំណុច x o មុខងារមានការសម្រាក ប្រភេទទីពីរ.

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y = ctg x as x → +0 មានដែនកំណត់ស្មើនឹង +∞ ដែលមានន័យថានៅចំណុច x=0 វាមានការដាច់នៃប្រភេទទីពីរ។ អនុគមន៍ y = E(x) (ផ្នែកចំនួនគត់នៃ x) នៅចំនុចដែលមានចំនួនគត់ abscissas មានការដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ឬលោត។

មុខងារដែលបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលត្រូវបានហៅ បន្តក្នុង។ មុខងារបន្តត្រូវបានតំណាងដោយខ្សែកោងរឹង។

បញ្ហាជាច្រើនដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៃបរិមាណមួយចំនួននាំឱ្យមានដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។ ជាឧទាហរណ៍ កិច្ចការទាំងនោះរួមមានៈ ការលូតលាស់នៃវិភាគទានតាមច្បាប់នៃផលប្រយោជន៍រួម កំណើនចំនួនប្រជាជនរបស់ប្រទេស ការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម ការកើនឡើងនៃបាក់តេរី។ល។

ពិចារណា ឧទាហរណ៍នៃ Ya. I. Perelmanដែលផ្តល់ការបកស្រាយនៃលេខ អ៊ីនៅក្នុងបញ្ហាផលប្រយោជន៍រួម។ ចំនួន អ៊ីមានដែនកំណត់ . នៅក្នុងធនាគារសន្សំ ប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេរជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ ប្រសិនបើការតភ្ជាប់ត្រូវបានធ្វើឡើងញឹកញាប់ជាងនេះ នោះដើមទុនកើនឡើងលឿនជាងមុន ដោយសារចំនួនដ៏ច្រើនត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការបង្កើតការប្រាក់។ ចូរយើងយកទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ និងឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។ ឲ្យធនាគារដាក់១០០បាត។ ឯកតា ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើប្រាក់ដែលមានការប្រាក់ត្រូវបានបន្ថែមទៅដើមទុនថេរតែបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំបន្ទាប់មកដោយពេលនេះ 100 den ។ ឯកតា នឹងប្រែទៅជា 200 den ។ ឥឡូវនេះសូមមើលអ្វីដែល 100 den នឹងប្រែទៅជា។ ឯកតា ប្រសិនបើប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេររៀងរាល់ប្រាំមួយខែម្តង។ បន្ទាប់ពីពាក់កណ្តាលឆ្នាំ 100 ។ ឯកតា នឹងកើនឡើងដោយ 100 × 1.5 = 150 ហើយក្នុងរយៈពេលប្រាំមួយខែទៀត - ដោយ 150 × 1.5 = 225 (ឯកតាប្រាក់) ។ ប្រសិនបើការចូលជាសមាជិកត្រូវបានធ្វើរៀងរាល់ 1/3 នៃឆ្នាំ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំ 100 den ។ ឯកតា នឹងប្រែទៅជា 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. units) ។ យើងនឹងបង្កើនរយៈពេលបន្ថែមប្រាក់ការប្រាក់ដល់ 0.1 ឆ្នាំ 0.01 ឆ្នាំ 0.001 ឆ្នាំ។ល។ បន្ទាប់មកចេញពី 100 den ។ ឯកតា មួយឆ្នាំក្រោយមក៖

100 × (1 +1/10) 10 ≈ 259 (ឯកតា។ ),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. units),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. units)។

ជាមួយនឹងការកាត់បន្ថយគ្មានដែនកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការចូលរួមការប្រាក់ ដើមទុនបង្គរមិនកើនឡើងឥតកំណត់នោះទេ ប៉ុន្តែឈានដល់កម្រិតជាក់លាក់មួយស្មើនឹងប្រមាណ 271។ ដើមទុនដែលដាក់ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំមិនអាចកើនឡើងលើសពី 2.71 ដងទេ បើទោះបីជាការប្រាក់បង្គរក៏ដោយ។ បន្ថែមទៅរាជធានីជារៀងរាល់វិនាទីដោយសារតែដែនកំណត់

ឧទាហរណ៍ 3.1. ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ បង្ហាញថាលំដាប់ x n =(n-1)/n មានដែនកំណត់ស្មើនឹង 1 ។

ដំណោះស្រាយ។យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា អ្វីក៏ដោយ ε > 0 ដែលយើងយក វាមានលេខធម្មជាតិ N សម្រាប់វា ដែលសម្រាប់ទាំងអស់ n > N វិសមភាព |x n -1|< ε

យក ε > 0 ។ ចាប់តាំងពី x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1/n បន្ទាប់មកដើម្បីរក N វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព 1/n<ε. Отсюда n>1/ε ហើយដូច្នេះ N អាចត្រូវបានយកជាផ្នែកចំនួនគត់នៃ 1/ε N = E(1/ε) ។ ដូច្នេះ យើងបានបង្ហាញថាកម្រិតកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 3.2 ។ស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពាក្យសាមញ្ញមួយ។

ដំណោះស្រាយ។ អនុវត្តទ្រឹស្តីបទផលបូកដែនកំណត់ និងស្វែងរកដែនកំណត់នៃពាក្យនីមួយៗ។ ក្នុងនាម n → ∞ ភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យនីមួយៗមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ហើយយើងមិនអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតាដោយផ្ទាល់បានទេ។ ដូច្នេះដំបូងយើងផ្លាស់ប្តូរ x នចែកភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យទីមួយដោយ n ២, និងទីពីរ ន. បន្ទាប់មកការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកម្រិតកូតានិក និងទ្រឹស្តីបទកំណត់ផលបូក យើងរកឃើញ៖

ឧទាហរណ៍ 3.3. . ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។

នៅទីនេះយើងបានប្រើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ដឺក្រេ៖ ដែនកំណត់នៃដឺក្រេគឺស្មើនឹងកម្រិតនៃដែនកំណត់នៃមូលដ្ឋាន។

ឧទាហរណ៍ 3.4. ស្វែងរក ( ).

ដំណោះស្រាយ។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ភាពខុសគ្នា ដោយសារយើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ∞-∞។ ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្តនៃពាក្យទូទៅ៖

ឧទាហរណ៍ 3.5. អនុគមន៍ f(x)=2 1/x ។ បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។

ដំណោះស្រាយ។យើងប្រើនិយមន័យ 1 នៃដែនកំណត់នៃមុខងារក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់មួយ។ យកលំដាប់មួយ ( x n ) បម្លែងទៅជា 0, i.e. ចូរយើងបង្ហាញថាតម្លៃ f(x n)= មានឥរិយាបទខុសគ្នាសម្រាប់លំដាប់ផ្សេងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យ x n = 1/n ។ ជាក់ស្តែងបន្ទាប់មកដែនកំណត់ តោះជ្រើសរើសឥឡូវនេះ x នលំដាប់ដែលមានពាក្យសាមញ្ញ x n = -1/n ក៏មានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះវាគ្មានដែនកំណត់ទេ។

ឧទាហរណ៍ 3.6. បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។

ដំណោះស្រាយ។ទុក x 1 , x 2 ,... , x n , ... ជាលំដាប់ដែល
. តើលំដាប់ (f(x n)) = (sin x n) មានឥរិយាបទសម្រាប់ភាពខុសគ្នា x n → ∞

ប្រសិនបើ x n \u003d p n នោះ sin x n \u003d sin (ទំ n) = 0 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ននិងកំណត់ប្រសិនបើ
xn=2 p n + p /2 បន្ទាប់មក sin x n = sin(2 p n + p /2) = sin ទំ /2 = 1 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា នដូច្នេះហើយ ដែនកំណត់។ ដូច្នេះមិនមានទេ។

គណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលបង្កើតពិភពលោក។ ទាំងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងមនុស្សសាមញ្ញ - គ្មាននរណាម្នាក់អាចធ្វើបានដោយគ្មានវាទេ។ ទីមួយ កុមារតូចៗត្រូវបានបង្រៀនឱ្យរាប់ បន្ទាប់មកបូក ដក គុណ និងចែកដោយសាលាមធ្យម ការកំណត់អក្សរចូលមកក្នុងល្បែង ហើយនៅពេលចាស់ពួកគេមិនអាចចែកចាយជាមួយបានទេ។

ប៉ុន្តែថ្ងៃនេះយើងនឹងនិយាយអំពីអ្វីដែលគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់ទាំងអស់គឺផ្អែកលើ។ អំពីសហគមន៍នៃលេខដែលហៅថា "ដែនកំណត់លំដាប់" ។

តើអ្វីទៅជាលំដាប់ ហើយតើវានៅត្រង់ណា?

អត្ថន័យនៃពាក្យ "លំដាប់" មិនពិបាកបកស្រាយទេ។ នេះគឺជាការសាងសង់របស់ដែលមាននរណាម្នាក់ឬអ្វីមួយស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយឬជួរ។ ឧទាហរណ៍ ជួរសម្រាប់សំបុត្រទៅសួនសត្វគឺជាលំដាប់។ ហើយអាចមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ! ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលជួរទៅហាងនេះគឺជាលំដាប់មួយ។ ហើយប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់ចាកចេញពីជួរនេះភ្លាមៗ នោះគឺជាជួរផ្សេង លំដាប់ផ្សេង។

ពាក្យ "ដែនកំណត់" ក៏ត្រូវបានបកស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ - នេះគឺជាចុងបញ្ចប់នៃអ្វីមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាតម្លៃទាំងនោះនៅលើបន្ទាត់លេខដែលលំដាប់នៃលេខមាននិន្នាការ។ ហេតុអ្វីខំហើយមិនចប់? វាសាមញ្ញ បន្ទាត់លេខមិនមានទីបញ្ចប់ទេ ហើយលំដាប់ភាគច្រើនដូចជាកាំរស្មី មានតែការចាប់ផ្តើមប៉ុណ្ណោះ ហើយមើលទៅដូចនេះ៖

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

ដូច្នេះនិយមន័យនៃលំដាប់គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញវាគឺជាស៊េរីនៃសមាជិកនៃសំណុំមួយចំនួន។

តើលំដាប់លេខត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយរបៀបណា?

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់លេខអាចមើលទៅដូចនេះ៖ 1, 2, 3, 4, …n…

ក្នុងករណីភាគច្រើន សម្រាប់គោលបំណងជាក់ស្តែង លំដាប់ត្រូវបានបង្កើតឡើងពីលេខ ហើយសមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ X មានឈ្មោះផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា។ ឧទាហរណ៍:

x 1 - សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់;

x 2 - សមាជិកទីពីរនៃលំដាប់;

x 3 - សមាជិកទីបី;

x n គឺជាសមាជិកទី 0 ។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តជាក់ស្តែង លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តទូទៅដែលក្នុងនោះមានអថេរមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍:

X n \u003d 3n បន្ទាប់មកស៊េរីលេខខ្លួនវានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

វាគឺមានតំលៃចងចាំថានៅក្នុងការសម្គាល់ទូទៅនៃលំដាប់អ្នកអាចប្រើអក្សរឡាតាំងណាមួយហើយមិនត្រឹមតែ X ។ ឧទាហរណ៍ៈ y, z, k ។ល។

ការវិវត្តនព្វន្ធជាផ្នែកនៃលំដាប់

មុននឹងស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ គួរតែស្វែងយល់ឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅទៅក្នុងគោលគំនិតនៃស៊េរីលេខបែបនេះ ដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាបានជួបប្រទះនៅពេលពួកគេស្ថិតនៅក្នុងវណ្ណៈកណ្តាល។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលភាពខុសគ្នារវាងពាក្យដែលនៅជាប់គ្នាគឺថេរ។

កិច្ចការ៖ "អនុញ្ញាតឱ្យ 1 \u003d 15 និងជំហាននៃការវិវត្តនៃស៊េរីលេខ d \u003d 4 ។ បង្កើតសមាជិក 4 នាក់ដំបូងនៃជួរនេះ"

ដំណោះស្រាយ៖ a 1 = 15 (តាមលក្ខខណ្ឌ) គឺជាសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព (ស៊េរីលេខ)។

និង 2 = 15 + 4 = 19 គឺជាសមាជិកទីពីរនៃវឌ្ឍនភាព។

និង 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 គឺជាពាក្យទីបី។

និង 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 គឺជាពាក្យទីបួន។

ទោះជាយ៉ាងណាជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះវាជាការលំបាកក្នុងការឈានដល់តម្លៃដ៏ធំជាឧទាហរណ៍រហូតដល់ទៅ 125 ។ ជាពិសេសសម្រាប់ករណីបែបនេះ រូបមន្តដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការអនុវត្តត្រូវបានយកមក៖ a n \u003d a 1 + d (n-1) ។ ក្នុងករណីនេះ 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511 ។

ប្រភេទនៃលំដាប់

ភាគច្រើននៃលំដាប់គឺគ្មានទីបញ្ចប់វាមានតម្លៃចងចាំពេញមួយជីវិត។ មានស៊េរីលេខគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរប្រភេទ។ ទីមួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត a n = (-1) n ។ គណិតវិទូ ច្រើនតែសំដៅលើ លំដាប់ flasher នេះ។ ហេតុអ្វី? តោះពិនិត្យមើលលេខរបស់វា។

1, 1, -1, 1, -1, 1 ។ល។ ជាមួយឧទាហរណ៍នេះ វាច្បាស់ណាស់ថាលេខក្នុងលំដាប់អាចធ្វើម្តងទៀតបានយ៉ាងងាយស្រួល។

លំដាប់រោងចក្រ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាមានហ្វាក់តូរីយ៉ែលនៅក្នុងរូបមន្តដែលកំណត់លំដាប់។ ឧទាហរណ៍៖ និង n = (n+1)!

បន្ទាប់មកលំដាប់នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

និង 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

និង 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 ។ល។

លំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះឥតកំណត់ ប្រសិនបើវិសមភាព -1 ត្រូវបានអង្កេតសម្រាប់សមាជិកទាំងអស់របស់វា។

និង 3 \u003d - 1/8 ។ល។

មានសូម្បីតែលំដាប់ដែលមានលេខដូចគ្នា។ ដូច្នេះហើយ n \u003d 6 មានចំនួនប្រាំមួយដែលគ្មានកំណត់។

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។

ដែនកំណត់លំដាប់មានជាយូរមកហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ជាការពិតណាស់ពួកគេសមនឹងការរចនាប្រកបដោយសមត្ថភាពផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។ ដូច្នេះ, ពេលវេលាដើម្បីរៀននិយមន័យនៃដែនកំណត់លំដាប់។ ជាដំបូង សូមពិចារណាអំពីដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារលីនេអ៊ែរលម្អិត៖

ដែនកំណត់ទាំងអស់ត្រូវបានអក្សរកាត់ជា lim ។
ធាតុកំណត់មានអក្សរកាត់ lim ដែលអថេរខ្លះមានទំនោរទៅជាចំនួនជាក់លាក់ សូន្យ ឬគ្មានកំណត់ ព្រមទាំងមុខងារខ្លួនឯង។

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយល់ថានិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: វាគឺជាចំនួនជាក់លាក់ដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ចូលទៅជិត។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ៖ និង x = 4x + 1 ។ បន្ទាប់មកលំដាប់ខ្លួនវានឹងមើលទៅដូចនេះ។

៥, ៩, ១៣, ១៧, ២១…x…

ដូច្នេះ លំដាប់នេះនឹងកើនឡើងដោយមិនកំណត់ ដែលមានន័យថាដែនកំណត់របស់វាស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ជា x →∞ ហើយវាគួរសរសេរដូចខាងក្រោម៖

ប្រសិនបើយើងយកលំដាប់ស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែ x មាននិន្នាការទៅ 1 យើងទទួលបាន៖

ហើយស៊េរីនៃលេខនឹងមានដូចនេះ៖ 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 ។ល។ រាល់ពេលដែលអ្នកត្រូវជំនួសលេខកាន់តែជិតមួយ (0.1, 0.2, 0.9, 0.986)។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីស៊េរីនេះថាដែនកំណត់នៃមុខងារគឺប្រាំ។

ពីផ្នែកនេះវាមានតម្លៃចងចាំថាតើដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខគឺនិយមន័យនិងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយកិច្ចការសាមញ្ញ។

ការសម្គាល់ទូទៅសម្រាប់ដែនកំណត់នៃលំដាប់

ដោយបានវិភាគដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ និយមន័យ និងឧទាហរណ៍របស់វា យើងអាចបន្តទៅប្រធានបទដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ។ ដែនកំណត់ទាំងអស់នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តមួយ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានវិភាគនៅក្នុងឆមាសទីមួយ។

ដូច្នេះ តើអក្សរ ម៉ូឌុល និងសញ្ញាវិសមភាពនេះមានន័យដូចម្តេច?

∀ គឺជាបរិមាណសកល ដោយជំនួសឃ្លា “សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា” “សម្រាប់អ្វីៗគ្រប់យ៉ាង” ។ល។

∃ គឺជាបរិមាណអត្ថិភាព ក្នុងករណីនេះវាមានន័យថាមានតម្លៃ N ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំលេខធម្មជាតិ។

ដំបងបញ្ឈរវែងតាមពីក្រោយ N មានន័យថាសំណុំ N ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ "បែបនោះ" ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវាអាចមានន័យថា "បែបនោះ" "បែបនោះ" ។ល។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ សូមអានរូបមន្តឱ្យឮៗ។

ភាពមិនប្រាកដប្រជានិងភាពប្រាកដប្រជានៃដែនកំណត់

វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលត្រូវបានពិភាក្សាខាងលើ ទោះបីជាសាមញ្ញក្នុងការប្រើប្រាស់ក៏ដោយ គឺមិនសមហេតុផលក្នុងការអនុវត្តនោះទេ។ ព្យាយាមស្វែងរកដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារនេះ៖

ប្រសិនបើយើងជំនួសតម្លៃ x ផ្សេងគ្នា (បង្កើនរាល់ពេល៖ 10, 100, 1000 ។ វាប្រែចេញជាប្រភាគដ៏ចម្លែក៖

ប៉ុន្តែតើវាពិតជាដូច្នេះមែនឬ? ការគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខក្នុងករណីនេះហាក់ដូចជាងាយស្រួលគ្រប់គ្រាន់។ វាអាចទៅរួចក្នុងការទុកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដូចដែលវាគឺ ពីព្រោះចម្លើយគឺរួចរាល់ ហើយវាត្រូវបានទទួលក្នុងលក្ខខណ្ឌសមហេតុផល ប៉ុន្តែមានវិធីមួយផ្សេងទៀតជាពិសេសសម្រាប់ករណីបែបនេះ។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកំរិតខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគ - នេះគឺ 1 ព្រោះ x អាចត្រូវបានតំណាងជា x 1 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាគបែង។ ផងដែរ ១.

ចែកទាំងភាគយក និងភាគបែងដោយអថេរដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។ ក្នុងករណីនេះយើងបែងចែកប្រភាគដោយ x 1 ។

បន្ទាប់មក ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃដែលពាក្យនីមួយៗដែលមានអថេរមាននិន្នាការទៅ។ ក្នុងករណីនេះប្រភាគត្រូវបានពិចារណា។ ជា x →∞ តម្លៃនៃប្រភាគនីមួយៗមានទំនោរទៅសូន្យ។ នៅពេលបង្កើតក្រដាសជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ វាមានតម្លៃធ្វើលេខយោងខាងក្រោម៖

កន្សោមខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖

ជាការពិតណាស់ ប្រភាគដែលមាន x មិនក្លាយជាសូន្យទេ! ប៉ុន្តែតម្លៃរបស់វាគឺតូចណាស់ដែលវាអាចអនុញ្ញាតបានដោយមិនយកវាទៅក្នុងគណនីក្នុងការគណនា។ តាមពិត x នឹងមិនស្មើនឹង 0 ក្នុងករណីនេះទេ ព្រោះអ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ។

តើសង្កាត់គឺជាអ្វី?

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាសាស្រ្តាចារ្យមានលំដាប់ស្មុគស្មាញមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់ដោយរូបមន្តមិនស្មុគស្មាញតិច។ សាស្ត្រាចារ្យបានរកឃើញចម្លើយ ប៉ុន្តែតើវាសមទេ? យ៉ាងណាមិញមនុស្សទាំងអស់មានកំហុស។

Auguste Cauchy បានបង្កើតវិធីដ៏ល្អមួយដើម្បីបញ្ជាក់អំពីដែនកំណត់នៃលំដាប់។ វិធីសាស្រ្តរបស់គាត់ត្រូវបានគេហៅថា ប្រតិបត្តិការសង្កាត់។

ឧបមាថាមានចំណុចមួយចំនួន a, សង្កាត់របស់វានៅក្នុងទិសដៅទាំងពីរនៅលើបន្ទាត់ពិតប្រាកដគឺស្មើនឹងε ("epsilon") ។ ដោយសារអថេរចុងក្រោយគឺចម្ងាយ តម្លៃរបស់វាតែងតែវិជ្ជមាន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់លំដាប់ x n ហើយឧបមាថា សមាជិកទីដប់នៃលំដាប់ (x 10) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសង្កាត់នៃ a ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរការពិតនេះនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា?

ឧបមាថា x 10 ស្ថិតនៅខាងស្តាំចំនុច a បន្ទាប់មកចំងាយ x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

ឥឡូវនេះវាជាពេលវេលាដើម្បីពន្យល់នៅក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។ វាជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការហៅលេខមួយចំនួនជាចំណុចបញ្ចប់នៃលំដាប់ ប្រសិនបើវិសមភាពε>0 រក្សាដែនកំណត់ណាមួយរបស់វា ហើយសង្កាត់ទាំងមូលមានលេខធម្មជាតិផ្ទាល់ខ្លួន N ដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលមានលេខខ្ពស់ជាងនឹងត្រូវបាន នៅខាងក្នុងលំដាប់ |x n - a|< ε.

ជាមួយនឹងចំណេះដឹងបែបនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ដើម្បីបញ្ជាក់ ឬបដិសេធចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។

ទ្រឹស្តីបទ

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាធាតុផ្សំសំខាន់នៃទ្រឹស្តី បើគ្មានការអនុវត្តគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ មានតែទ្រឹស្តីសំខាន់ៗចំនួនបួនប៉ុណ្ណោះ ដោយចងចាំថា ដែលអ្នកអាចជួយសម្រួលដល់ដំណើរការនៃការដោះស្រាយ ឬការបញ្ជាក់យ៉ាងសំខាន់៖

ភាពប្លែកនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។ លំដាប់ណាមួយអាចមានដែនកំណត់តែមួយ ឬមិនមានទាំងស្រុង។ ឧទាហរណ៍ដូចគ្នាជាមួយនឹងជួរដែលអាចមានតែមួយគត់។
ប្រសិនបើស៊េរីនៃលេខមានដែនកំណត់ នោះលំដាប់នៃលេខទាំងនេះត្រូវបានកំណត់។
ដែនកំណត់នៃផលបូក (ភាពខុសគ្នាផលិតផល) នៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នាផលិតផល) នៃដែនកំណត់របស់វា។
ដែនកំណត់កូតានៃលំដាប់ពីរគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែភាគបែងមិនបាត់។

ភស្តុតាងតាមលំដាប់

ពេលខ្លះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស ដើម្បីបញ្ជាក់ដែនកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំដាប់លេខ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។

បង្ហាញថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ដោយរូបមន្តគឺស្មើនឹងសូន្យ។

យោងតាមច្បាប់ខាងលើ សម្រាប់លំដាប់ណាមួយ វិសមភាព |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

ចូរបង្ហាញ n នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ "epsilon" ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃចំនួនជាក់លាក់ និងបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់លំដាប់។

នៅដំណាក់កាលនេះ វាជារឿងសំខាន់ដែលត្រូវចាំថា "epsilon" និង "en" គឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ឥឡូវនេះ អ្នកអាចបន្តការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀតដោយប្រើចំណេះដឹងអំពីវិសមភាពដែលទទួលបាននៅក្នុងវិទ្យាល័យ។

វាប្រែថា n > -3 + 1/ε ។ ចាប់តាំងពីវាមានតម្លៃចងចាំថាយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិលទ្ធផលអាចត្រូវបានបង្គត់ដោយដាក់វានៅក្នុងតង្កៀបការ៉េ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃសង្កាត់ "epsilon" នៃចំណុច a = 0 តម្លៃមួយត្រូវបានរកឃើញដែលថាវិសមភាពដំបូងគឺពេញចិត្ត។ ពីនេះយើងអាចអះអាងដោយសុវត្ថិភាពថាលេខ a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ Q.E.D.

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តដ៏ងាយស្រួលបែបនេះ អ្នកអាចបញ្ជាក់ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ ទោះបីជាវាមើលទៅហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញយ៉ាងណានៅ glance ដំបូងក៏ដោយ។ រឿងចំបងគឺកុំភ័យស្លន់ស្លោនៅពេលមើលឃើញភារកិច្ច។

ឬប្រហែលជាគាត់មិនមាន?

អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់លំដាប់គឺមិនចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តទេ។ វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកស៊េរីលេខបែបនេះដែលពិតជាគ្មានទីបញ្ចប់។ ឧទាហរណ៍ flasher ដូចគ្នា x n = (-1) n ។ វាច្បាស់ណាស់ថា លំដាប់ដែលមានតែពីរខ្ទង់ដែលធ្វើឡើងវិញជារង្វង់មិនអាចមានដែនកំណត់។

រឿងដដែលនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាមួយនឹងលំដាប់ដែលមានចំនួនតែមួយ ប្រភាគ ដែលមាននៅក្នុងដំណើរការនៃការគណនា ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃលំដាប់ណាមួយ (0/0, ∞/∞, ∞/0 ។ល។)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរចងចាំថាការគណនាមិនត្រឹមត្រូវក៏កើតឡើងផងដែរ។ ពេលខ្លះការពិនិត្យមើលឡើងវិញនូវដំណោះស្រាយផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក នឹងជួយអ្នករកឃើញដែនកំណត់នៃការបន្ត។

លំដាប់ monotonic

ខាងលើ យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃលំដាប់ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមលើកករណីជាក់លាក់មួយ ហើយហៅវាថា "លំដាប់ monotone" ។

និយមន័យ៖ វាជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការហៅលំដាប់ណាមួយដែលកើនឡើងជាឯកតា ប្រសិនបើវាបំពេញនូវវិសមភាពដ៏តឹងរឹង x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1 ។

ទន្ទឹមនឹងលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះ ក៏មានវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងស្រដៀងគ្នាដែរ។ ដូច្នោះ x n ≤ x n +1 (លំដាប់មិនថយចុះ) និង x n ≥ x n +1 (លំដាប់មិនបង្កើន) ។

ប៉ុន្តែវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយល់ពីរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍។

លំដាប់ដែលបានផ្ដល់ឱ្យដោយរូបមន្ត x n \u003d 2 + n បង្កើតជាស៊េរីលេខខាងក្រោម៖ 4, 5, 6 ។ល។ នេះគឺជាលំដាប់ដែលបង្កើនដោយឯកតា។

ហើយប្រសិនបើយើងយក x n \u003d 1 / n នោះយើងទទួលបានស៊េរីមួយ៖ 1/3, ¼, 1/5 ។ល។ នេះគឺជាលំដាប់ដែលកាត់បន្ថយឯកតា។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួម និងព្រំដែន

លំដាប់ដែលមានព្រំដែនគឺជាលំដាប់ដែលមានដែនកំណត់។ លំដាប់បង្រួបបង្រួមគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់។

ដូច្នេះ ដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានព្រំដែនគឺជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច។ សូមចងចាំថាវាអាចមានដែនកំណត់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួមគឺជាបរិមាណគ្មានកំណត់ (ពិត ឬស្មុគស្មាញ)។ ប្រសិនបើអ្នកគូរដ្យាក្រាមតាមលំដាប់ នោះនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ វានឹងប្រែក្លាយទៅជាតម្លៃជាក់លាក់។ ដូច្នេះឈ្មោះ - លំដាប់បញ្ចូលគ្នា។

ដែនកំណត់លំដាប់ម៉ូណូតូនិច

លំដាប់បែបនេះអាចមាន ឬគ្មានដែនកំណត់។ ជាដំបូង វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ដឹងនៅពេលដែលវាគឺ ពីទីនេះអ្នកអាចចាប់ផ្តើមនៅពេលដែលបង្ហាញពីអវត្តមាននៃដែនកំណត់។

ក្នុងចំណោមលំដាប់ monotonic, convergent និង divergent ត្រូវបានសម្គាល់។ Convergent - នេះគឺជាលំដាប់ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសំណុំ x និងមានដែនកំណត់ពិតប្រាកដឬស្មុគស្មាញនៅក្នុងសំណុំនេះ។ Divergent - លំដាប់ដែលមិនមានដែនកំណត់នៅក្នុងសំណុំរបស់វា (មិនពិត ឬស្មុគស្មាញ)។

លើសពីនេះទៅទៀត លំដាប់បង្រួបបង្រួមគ្នា ប្រសិនបើដែនកំណត់ខាងលើ និងទាបរបស់វាចូលរួមជាតំណាងធរណីមាត្រ។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួមអាចនៅក្នុងករណីជាច្រើនស្មើនឹងសូន្យ ចាប់តាំងពីលំដាប់គ្មានកំណត់ណាមួយមានដែនកំណត់ដែលគេស្គាល់ (សូន្យ)។

លំដាប់ដែលជាប់គ្នាណាមួយដែលអ្នកយកវាមានព្រំប្រទល់ទាំងអស់ ប៉ុន្តែនៅឆ្ងាយពីលំដាប់ដែលជាប់ព្រំដែនទាំងអស់មកចូលរួម។

ផលបូក, ភាពខុសគ្នា, ផលនៃលំដាប់បញ្ចូលគ្នាពីរ ក៏ជាលំដាប់បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កូតាក៏អាចបញ្ចូលគ្នាបានដែរ ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់!

សកម្មភាពផ្សេងៗដែលមានដែនកំណត់

ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺមានសារៈសំខាន់ (ក្នុងករណីភាគច្រើន) ដូចជាលេខ និងលេខ៖ 1, 2, 15, 24, 362 ។ល។ វាបង្ហាញថាប្រតិបត្តិការមួយចំនួនអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយមានដែនកំណត់។

ទីមួយ ដូចជាលេខ និងលេខ ដែនកំណត់នៃលំដាប់ណាមួយអាចត្រូវបានបន្ថែម និងដក។ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទីបីស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត៖ ដែនកំណត់នៃផលបូកនៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដែនកំណត់របស់វា។

ទីពីរ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទីបួនស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត៖ ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃចំនួនលេខនៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់របស់វា។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ការបែងចែក៖ ដែនកំណត់នៃកូតានៃលំដាប់ពីរគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់របស់ពួកគេ ផ្តល់ថាដែនកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យ។ យ៉ាងណាមិញប្រសិនបើដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺស្មើនឹងសូន្យនោះការបែងចែកដោយសូន្យនឹងប្រែជាដែលមិនអាចទៅរួចទេ។

លក្ខណសម្បត្តិតម្លៃលំដាប់

វាហាក់បីដូចជាដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខត្រូវបានវិភាគរួចហើយនៅក្នុងលម្អិតមួយចំនួន ប៉ុន្តែឃ្លាដូចជា "តូចមិនចេះចប់" និង "ធំមិនកំណត់" ត្រូវបានលើកឡើងច្រើនជាងម្តង។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើមានលំដាប់ 1/x ដែល x →∞ នោះប្រភាគបែបនេះគឺតូចគ្មានកំណត់ ហើយប្រសិនបើមានលំដាប់ដូចគ្នា ប៉ុន្តែដែនកំណត់មានទំនោរទៅសូន្យ (x → 0) នោះប្រភាគនឹងក្លាយទៅជាតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់។ . ហើយតម្លៃបែបនេះមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានតម្លៃតូច ឬធំតាមអំពើចិត្ត មានដូចខាងក្រោម៖

ផលបូកនៃចំនួននៃបរិមាណតូចតាមអំពើចិត្តណាមួយក៏នឹងជាបរិមាណតិចតួចផងដែរ។
ផលបូកនៃចំនួននៃតម្លៃធំណាមួយនឹងជាតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់។
ផលិតផលនៃបរិមាណតិចតួចតាមអំពើចិត្តគឺតូចគ្មានកំណត់។
ផលិតផលនៃចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្តគឺជាបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។
ប្រសិនបើលំដាប់ដើមមានទំនោរទៅជាចំនួនគ្មានកំណត់ នោះការឆ្លើយតបរបស់វានឹងមានចំនួនគ្មានកំណត់ ហើយមានទំនោរទៅសូន្យ។

ជាការពិត ការគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់មិនមែនជាកិច្ចការពិបាកបែបនេះទេ ប្រសិនបើអ្នកស្គាល់ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ។ ប៉ុន្តែដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាប្រធានបទដែលត្រូវការការយកចិត្តទុកដាក់អតិបរមានិងការតស៊ូ។ ជាការពិតណាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយល់យ៉ាងសាមញ្ញនូវខ្លឹមសារនៃដំណោះស្រាយនៃការបញ្ចេញមតិបែបនេះ។ ចាប់ផ្តើមពីតូច យូរៗទៅ អ្នកអាចឈានដល់កម្ពស់ធំបាន។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង