ខេធីខេ
PCC នៃសេដ្ឋកិច្ច និងគណនេយ្យ

15 ច្បាប់ចម្លងឆ្នាំ 2006

សេចក្តីផ្តើម។ ៤

គំនិតនៃដេរីវេ។ ៥

និស្សន្ទវត្ថុឯកជន។ ដប់មួយ

ចំណុចឆ្លង។ ដប់ប្រាំមួយ។

លំហាត់ដំណោះស្រាយ។ ១៧

សាកល្បង។ ២០

ចម្លើយចំពោះលំហាត់.. ២១

អក្សរសិល្ប៍។ ២៣

សេចក្តីផ្តើម

f(x xបន្ទាប់មកបានហៅ ផលិតផលរឹម; ប្រសិនបើ g(x) g(x) g′(x)បានហៅ ថ្លៃដើម.

ឧទាហរណ៍, អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ u=u(t) យូពេលកំពុងធ្វើការ t. ∆t = t 1 - t 0:

z cf. =

z cf. នៅ ∆t → 0: .

ថ្លៃដើមផលិតកម្ម ខេ xដូច្នេះយើងអាចសរសេរបាន។ K=K(x) ∆x K(x+∆x) ។ ∆x ∆K=K(x+∆x)-K(x)។

ដែនកំណត់ បានហៅ

គំនិតនៃដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x 0ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ផ្តល់ថាការបង្កើនអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ។

ការសម្គាល់មុខងារដេរីវេ៖

នោះ។ a-priory:

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេ៖

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y=f(x)បន្តលើផ្នែក , x

1. ស្វែងរកការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់៖

xគឺជាតម្លៃថ្មីនៃអាគុយម៉ង់

x0- តម្លៃដំបូង

2. ស្វែងរកការបង្កើនមុខងារ៖

f(x)គឺជាតម្លៃថ្មីនៃមុខងារ

f(x0)-តម្លៃដំបូងនៃមុខងារ

3. ស្វែងរកសមាមាត្រនៃការបង្កើនមុខងារទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់៖

4. ស្វែងរកដែនកំណត់នៃសមាមាត្រដែលបានរកឃើញនៅ

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃដេរីវេ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរយើងផ្តល់ឱ្យ Xការកើនឡើង Δx,បន្ទាប់មកតម្លៃថ្មីនៃមុខងារនឹងមានៈ

ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនមុខងារជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃថ្មី និងដំបូងនៃមុខងារ៖

ស្វែងរកសមាមាត្រនៃការបង្កើនមុខងារទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់៖

.

ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនេះដែលផ្តល់ឱ្យថា:

ដូច្នេះតាមនិយមន័យនៃដេរីវេ៖ .

ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា.

មុខងារ y=f(x)បានហៅ ខុសគ្នានៅលើចន្លោះពេល (a; b) ប្រសិនបើវាមានដេរីវេនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេល។

ទ្រឹស្តីបទប្រសិនបើមុខងារមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ x 0បន្ទាប់មក វាបន្តនៅចំណុចនោះ។

សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​សន្ទនា​មិន​ពិត​ទេ​ព្រោះ មានមុខងារដែលបន្តនៅចំណុចខ្លះ ប៉ុន្តែមិនអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនោះទេ។ ឧទាហរណ៍អនុគមន៍នៅចំណុច x 0 = 0 ។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

1) .

2) .

ចូរអនុវត្តការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទនៃមុខងារ៖

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃដេរីវេទី 1 ។ តំណាង

n-order derivativeត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃដេរីវេនៃលំដាប់ (n-1)-th ។

ឧទាហរណ៍,

និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក

ដេរីវេឯកជនអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើនទាក់ទងនឹងអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេដែលយកដោយគោរពទៅអថេរនេះ ផ្តល់ថាអថេរផ្សេងទៀតទាំងអស់នៅតែថេរ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់មុខងារ ដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយនឹងស្មើគ្នា៖

អតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារមួយ។

តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលអនុគមន៍មានតម្លៃធំបំផុតត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអតិបរមា.

តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលអនុគមន៍មានតម្លៃតូចបំផុតត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអប្បបរមា.

ចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ គឺជាចំណុចព្រំដែននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ពីការកើនឡើងទៅការថយចុះ ចំនុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍គឺជាចំណុចព្រំដែននៃការផ្លាស់ប្តូរពីការថយចុះទៅការកើនឡើង។.

មុខងារ y=f(x)មាន (ក្នុងស្រុក) អតិបរមានៅចំណុចប្រសិនបើសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា x

មុខងារ y=f(x)មាន (ក្នុងស្រុក) អប្បបរមានៅចំណុចប្រសិនបើសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា Xជិតគ្រប់គ្រាន់ វិសមភាព

តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារមួយមានឈ្មោះទូទៅ ខ្លាំងហើយ​ចំណុច​ដែល​គេ​ឈាន​ដល់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ ចំណុចខ្លាំង.

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល ហើយមានតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៅចំណុច។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះមាននៅចំណុចមួយ នោះវាស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺឧ។ .

ភស្តុតាង៖

សូម​ឱ្យ​នៅ​ចំណុច x 0 អនុគមន៍​មាន​តម្លៃ​ធំ​បំផុត បន្ទាប់​មក​សម្រាប់​វិសមភាព​ខាង​ក្រោម​គឺ​ពិត៖ .

សម្រាប់ចំណុចណាមួយ។

ប្រសិនបើ x > x 0 នោះ ឧ.

ប្រសិនបើ x< x 0 , то , т.е.

ដោយសារតែ មាន ដែលអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែពួកវាស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះ .

លទ្ធផល៖

ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយ ដែលអនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកបានត្រូវនឹងតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) បន្ទាប់មកនៅចំណុចតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។

ចំណុចដែលដេរីវេទី 1 ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា សំខាន់ -ទាំងនេះគឺជាចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។

សូមចំណាំថា ដោយសារសមភាពនៃដេរីវេទី 1 ដល់សូន្យគ្រាន់តែជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម វាចាំបាច់ក្នុងការស៊ើបអង្កេតបន្ថែមលើសំណួរអំពីវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុចនីមួយៗនៃកម្រិតអតិបរមាដែលអាចកើតមាន។

ទ្រឹស្តីបទ(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម)

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y = f(x) គឺបន្ត និងអាចខុសគ្នានៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x0.ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ x0ពីឆ្វេងទៅស្តាំ និស្សន្ទវត្ថុទីមួយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក (ពីដកទៅបូក) បន្ទាប់មកនៅចំណុច x0មុខងារ y = f(x) មានអតិបរមា (អប្បបរមា) ។ ប្រសិនបើដេរីវេទី 1 មិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា នោះមុខងារនេះមិនមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចនោះទេ។ x 0 ។

ក្បួន​ដោះស្រាយ​សម្រាប់​ការ​សិក្សា​អនុគមន៍​សម្រាប់​ភាព​ខ្លាំង​មួយ​:

1. ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍។

2. ស្មើដេរីវេទី 1 ទៅសូន្យ។

3. ដោះស្រាយសមីការ។ ឫសគល់នៃសមីការគឺជាចំណុចសំខាន់។

4. ដាក់ចំនុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញនៅលើអ័ក្សលេខ។ យើងទទួលបានចន្លោះពេលជាច្រើន។

5. កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទី 1 ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ និងចង្អុលបង្ហាញពីភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

6. បង្កើតក្រាហ្វ

Ø កំណត់តម្លៃមុខងារនៅចំនុចខ្លាំង

Ø រកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ

Ø ស្វែងរកចំណុចបន្ថែម

កំប៉ុងសំណប៉ាហាំងមានរាងជាស៊ីឡាំងមូលនៃកាំ rនិងកម្ពស់ ម៉ោង. ដោយសន្មត់ថាបរិមាណសំណប៉ាហាំងដែលបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់ត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើកំប៉ុង កំណត់ថាតើសមាមាត្ររវាងអ្វី rនិង ម៉ោងធនាគារនឹងមានបរិមាណធំបំផុត។

បរិមាណសំណប៉ាហាំងដែលប្រើនឹងស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃផ្ទៃទាំងមូលនៃកំប៉ុងពោលគឺឧ។ . (មួយ)

ពីសមភាពនេះយើងរកឃើញ៖

បន្ទាប់មកបរិមាណអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ . បញ្ហានឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកអតិបរមានៃមុខងារ V(r). ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារនេះ៖ . ស្មើ​ដេរីវេទី​មួយ​ទៅ​សូន្យ៖

. យើង​ស្វែងរក: ។ (2)

ចំណុច​នេះ​ជា​ចំណុច​អតិបរិមា ពីព្រោះ ដេរីវេទី 1 គឺវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាននៅ .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតសមាមាត្ររវាងកាំ និងកម្ពស់ ដែលធនាគារនឹងមានបរិមាណធំបំផុត។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកសមភាព (1) ដោយ r2និងប្រើទំនាក់ទំនង (2) សម្រាប់ ស. យើង​ទទួល​បាន: ។ ដូច្នេះបរិមាណដ៏ធំបំផុតនឹងមានពាងមួយដែលមានកម្ពស់ស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិត។

ពេលខ្លះវាពិបាកណាស់ក្នុងការសិក្សាពីសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 នៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំនៃចំនុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន បន្ទាប់មកអ្នកអាចប្រើ ទីពីរ លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរគ្រប់គ្រាន់:

ទ្រឹស្តីបទអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y = f(x) មាននៅចំណុច x0ភាពជ្រុលនិយមដែលអាចកើតមាន ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុទីពីរចុងក្រោយ។ បន្ទាប់មកមុខងារ y = f(x)មាននៅចំណុច x0អតិបរមាប្រសិនបើ , និងអប្បបរមាប្រសិនបើ .

ចំណាំ ទ្រឹស្តីបទនេះមិនដោះស្រាយបញ្ហានៃភាពជ្រុលនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយទេ ប្រសិនបើដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

ចំណុចឆ្លង

ចំនុចនៃខ្សែកោងដែលប៉ោងបំបែកចេញពី concavity ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចឆ្លង.

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌ​ចំណុច​ឆ្លុះ​តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​)៖ សូមអោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានការបំប៉ោងនៅចំណុចមួយ ហើយអនុគមន៍មានដេរីវេទី 2 បន្តនៅចំនុច x 0 បន្ទាប់មក

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ចំណុចឆ្លង): អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មានដេរីវេទី 2 នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច x 0 ដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃ x0. បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានការឆ្លុះបញ្ចាំងនៅចំណុច។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចបញ្ឆេះ៖

1. ស្វែងរកដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍។

2. សមីការដេរីវេទី 2 ទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយសមីការ: . ដាក់ឫសលទ្ធផលនៅលើបន្ទាត់លេខ។ យើងទទួលបានចន្លោះពេលជាច្រើន។

3. ស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ក្នុងចន្លោះនីមួយៗ។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ក្នុងចន្លោះពីរដែលនៅជាប់គ្នាគឺខុសគ្នា នោះយើងមានចំណុចឆ្លុះនៅតម្លៃនៃឫស ប្រសិនបើសញ្ញាដូចគ្នា នោះគ្មានចំណុចបញ្ឆេះទេ។

4. ស្វែងរកការចាត់តាំងនៃចំនុចបញ្ឆេះ។

ពិនិត្យខ្សែកោងសម្រាប់ភាពប៉ោង និងរាងមូល។ ស្វែងរកចំណុចប្រទាក់ក្រឡា។

1) ស្វែងរកដេរីវេទីពីរ៖

2) ដោះស្រាយវិសមភាព 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) ដោះស្រាយវិសមភាព 2x> 0 x> 0 សម្រាប់ x ខ្សែកោងគឺ concave

4) ស្វែងរកចំនុចបញ្ឆេះ ដែលយើងយកដេរីវេទី 2 ទៅសូន្យ៖ 2x=0 x=0។ ដោយសារតែ នៅចំណុច x = 0 ដេរីវេទី 2 មានសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំបន្ទាប់មក x = 0 គឺជា abscissa នៃចំណុច inflection ។ ស្វែងរកលំដាប់នៃចំណុចបញ្ឆេះ៖

(0; 0) ចំណុចប្រសព្វ។

លំហាត់ដើម្បីដោះស្រាយ

លេខ 1 ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ គណនាតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

លេខ ៣ ដោះស្រាយបញ្ហា៖

1. រកចំណោទនៃតង់សង់ដែលទាញទៅប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុច x=3 ។

2. ទៅប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d 3x 2 -x នៅចំណុច x \u003d 1 តង់សង់ និងធម្មតាត្រូវបានគូរ។ សរសេរសមីការរបស់ពួកគេ។

3. រកកូអរដោនេនៃចំនុចដែលតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡា y=x 2 +3x-10 បង្កើតជាមុំ 135 0 ជាមួយនឹងអ័ក្ស OX ។

4. ផ្សំសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d 4x-x 2 នៅចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស OX ។

5. នៅអ្វីដែលតម្លៃនៃ x ជាតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x 3 -x ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយយោងតាមច្បាប់ S=2t 3 -3t 2 +4 ។ ស្វែងរកការបង្កើនល្បឿន និងល្បឿននៃចំណុចនៅចុងបញ្ចប់នៃវិនាទីទី 3 ។ តើការបង្កើនល្បឿននឹងសូន្យនៅពេលណា?

7. តើនៅពេលណាដែលល្បឿននៃចំណុចផ្លាស់ទីតាមច្បាប់ S=t 2 -4t+5 ស្មើនឹងសូន្យ?

#4 រុករកមុខងារដោយប្រើដេរីវេវៈ

1. ស៊ើបអង្កេតមុខងារ y \u003d x 2 សម្រាប់ monotonicity

2. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះនៃមុខងារ .

3. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ។

4. រុករកមុខងារអតិបរមា និងអប្បបរមា .

5. រុករកមុខងារសម្រាប់ភាពខ្លាំង .

6. ស៊ើបអង្កេតមុខងារ y \u003d x 3 សម្រាប់ភាពខ្លាំងបំផុត។

7. រុករកមុខងារសម្រាប់ភាពខ្លាំង .

8. បំបែកលេខ 24 ជាពីរពាក្យដើម្បីឱ្យផលិតផលរបស់ពួកគេធំជាងគេ។

9. ពីសន្លឹកក្រដាសមួយវាចាំបាច់ត្រូវកាត់ចតុកោណដែលមានផ្ទៃដី 100 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ដូច្នេះបរិវេណនៃចតុកោណកែងនេះគឺតូចបំផុត។ តើជ្រុងនៃចតុកោណនេះគួរជាអ្វី?

10. ស៊ើបអង្កេតមុខងារ y=2x 3 -9x 2 +12x-15 សម្រាប់ extremum និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

11. ពិនិត្យខ្សែកោងសម្រាប់ concavity និង convexity ។

12. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃប៉ោង និង concavity នៃខ្សែកោង .

13. រកចំនុចបញ្ឆេះនៃអនុគមន៍៖ ក) ; ខ) ។

14. រុករកមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

15. រុករកមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

16. មុខងាររុករក និងគ្រោងវា។

17. ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ y \u003d x 2 -4x + 3 នៅលើផ្នែក

សំណួរសាកល្បង និងឧទាហរណ៍

1. កំណត់និស្សន្ទវត្ថុ។

2. ដូចម្តេចដែលហៅថា ការបង្កើនអំណះអំណាង? ការបង្កើនមុខងារ?

3. តើអ្វីជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ?

4. ដូចម្តេចដែលហៅថា ភាពខុសគ្នា?

5. រាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃដេរីវេ។

6. តើមុខងារអ្វីទៅដែលហៅថាស្មុគស្មាញ? ត្រឡប់មកវិញ?

7. ផ្តល់គំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរ។

8. បង្កើតច្បាប់សម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញមួយ?

9. រាងកាយផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយយោងទៅតាមច្បាប់ S=S(t) ។ អ្វីដែលអាចនិយាយបានអំពីចលនាប្រសិនបើ៖

5. មុខងារកំពុងកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលមួយចំនួន។ តើវាតាមពីនេះថាដេរីវេរបស់វាមានភាពវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេលនេះទេ?

6. ដូចម្តេចដែលហៅថា extrema នៃមុខងារ?

7. តើតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយចាំបាច់ស្របគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអតិបរមាដែរឬទេ?

8. មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅលើ . តើចំនុច x=a អាចជាចំនុចខ្លាំងនៃមុខងារនេះទេ?

10. ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x 0 គឺសូន្យ។ តើវាធ្វើតាមពីនេះថា x 0 គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនេះ?

សាកល្បង

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះ៖

ក)	អ៊ី)
ខ)	g)
ជាមួយ)	h)
អ៊ី)	និង)

2. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡា y=x 2 −2x-15: a) ត្រង់ចំនុចជាមួយ abscissa x=0; ខ) នៅចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយអ័ក្ស abscissa ។

3. កំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ

4. រុករកមុខងារ និងគ្រោងវា។

5. រកពេលវេលា t = 0 ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៃចំណុចដែលផ្លាស់ទីទៅតាមច្បាប់ s = 2e 3 t

ចម្លើយចំពោះលំហាត់

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (លទ្ធផលគឺទទួលបានដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតាយ៉ង់)។ អ្នកអាចដោះស្រាយឧទាហរណ៍នេះតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត៖

5.

8. ផលិតផលនឹងធំជាងគេប្រសិនបើពាក្យនីមួយៗស្មើនឹង 12 ។

9. បរិវេណនៃចតុកោណកែងនឹងតូចបំផុតប្រសិនបើជ្រុងនៃចតុកោណកែងគឺ 10 សង់ទីម៉ែត្រនីមួយៗ i.e. កាត់ការ៉េមួយ។

17. នៅលើ segment អនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង 3 when x=0និងតម្លៃតូចបំផុតស្មើនឹង -1 នៅ x=2.

អក្សរសិល្ប៍

1.	Vlasov V.G. អរូបីនៃការបង្រៀនអំពីគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ទីក្រុងមូស្គូ អាយរីស ៩៦
2.	Tarasov N.P. វិញ្ញាសា​គណិតវិទ្យា​កម្រិត​ឧត្តម​សម្រាប់​សាលា​បច្ចេកទេស​ M., ៨៧
3.	I.I. Valutse, G.D. Diligul គណិតវិទ្យាសម្រាប់សាលាបច្ចេកទេស, M., វិទ្យាសាស្រ្ត, 90g
4.	I.P.Matskevich, G.P.Svirid គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង, Minsk, គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។ សាលា, ៩៣
5.	V.S.Schipachev មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាឧត្តមសិក្សា M.Vyssh.shkola89
6.	V.S.Schipachev គណិតវិទ្យាឧត្តមសិក្សា M.Vyssh.shkola 85g
7.	V.P. Minorsky ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង M. Nauka 67g
8.	O.N.Afanasyeva ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់សាលាបច្ចេកទេស M.Nauka 87g
9.	V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik គណិតវិទ្យា, M.Vyssh.shkola 91g
10.	N.V. Bogomolov មេរៀនជាក់ស្តែងក្នុងគណិតវិទ្យា, M. Higher school 90
11.	H.E. Krynsky Mathematics for Economists, M. Statistics 70g
12.	L.G.Korsakova គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់សម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្រង, Kaliningrad, KSU, 97 ។

KALININGRAD ពាណិជ្ជកម្ម និងមហាវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ច

សម្រាប់ការសិក្សាលើប្រធានបទ

"ដេរីវេនៃមុខងារ"

សម្រាប់និស្សិតឯកទេស 080110 "សេដ្ឋកិច្ច និងគណនេយ្យ", 080106 "ហិរញ្ញវត្ថុ",
080108 "ធនាគារ", 230103 "ប្រព័ន្ធដំណើរការ និងគ្រប់គ្រងព័ត៌មានដោយស្វ័យប្រវត្តិ"

ចងក្រងដោយ Fedorova E.A.

កាលីនីងរ៉ាដ

អ្នកត្រួតពិនិត្យ: Gorskaya Natalya Vladimirovna, សាស្ត្រាចារ្យ, មហាវិទ្យាល័យពាណិជ្ជកម្មនិងសេដ្ឋកិច្ច Kaliningrad

នៅក្នុងសៀវភៅដៃនេះ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានពិចារណា៖ គោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ការអនុវត្តក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ និងមេកានិច រូបមន្តនៃភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ដែលបង្ហាញពីសម្ភារៈទ្រឹស្តី។ សៀវភៅណែនាំត្រូវបានបន្ថែមដោយលំហាត់សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ ចម្លើយចំពោះពួកគេ សំណួរ និងកិច្ចការគំរូសម្រាប់ការគ្រប់គ្រងចំណេះដឹងកម្រិតមធ្យម។ រចនាឡើងសម្រាប់សិស្សានុសិស្សដែលកំពុងសិក្សាមុខវិជ្ជា "គណិតវិទ្យា" នៅក្នុងគ្រឹះស្ថានអប់រំឯកទេសមធ្យមសិក្សា សិក្សាពេញម៉ោង ក្រៅម៉ោង ពេលល្ងាច សិស្សខាងក្រៅ ឬចូលរៀនដោយឥតគិតថ្លៃ។

ខេធីខេ
PCC នៃសេដ្ឋកិច្ច និងគណនេយ្យ

15 ច្បាប់ចម្លងឆ្នាំ 2006

សេចក្តីផ្តើម។ ៤

តម្រូវការចំណេះដឹង និងជំនាញ.. ៥

គំនិតនៃដេរីវេ។ ៥

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ ៧

អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ។ ៧

ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា។ ប្រាំបី

រូបមន្តសម្រាប់បែងចែកមុខងារជាមូលដ្ឋាន។ ប្រាំបួន

ដេរីវេនៃមុខងារបញ្ច្រាស។ ប្រាំបួន

ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ដប់

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។ ដប់មួយ

និស្សន្ទវត្ថុឯកជន។ ដប់មួយ

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារដោយមានជំនួយពីដេរីវេ។ ដប់មួយ

បង្កើននិងបន្ថយមុខងារ។ ដប់មួយ

អតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារ។ ដប់បី

convexity និង concavity នៃខ្សែកោងមួយ។ ដប់ប្រាំ

ចំណុចឆ្លង។ ដប់ប្រាំមួយ។

គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារនិងគ្រោង។ ១៧

លំហាត់ដំណោះស្រាយ។ ១៧

សំណួរសាកល្បង និងឧទាហរណ៍.. ២០

សាកល្បង។ ២០

ចម្លើយចំពោះលំហាត់.. ២១

អក្សរសិល្ប៍។ ២៣

សេចក្តីផ្តើម

ការវិភាគគណិតវិទ្យាផ្តល់នូវគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយចំនួនដែលសេដ្ឋវិទូប្រតិបត្តិ - នេះគឺជាមុខងារ ដែនកំណត់ ដេរីវេ អាំងតេក្រាល សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ នៅក្នុងការស្រាវជ្រាវសេដ្ឋកិច្ច ពាក្យជាក់លាក់ត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសំដៅទៅលើនិស្សន្ទវត្ថុ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ f(x) គឺជាមុខងារផលិតកម្មដែលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃទិន្នផលនៃផលិតផលណាមួយលើតម្លៃនៃកត្តា xបន្ទាប់មកបានហៅ ផលិតផលរឹម; ប្រសិនបើ g(x)គឺជាមុខងារចំណាយ ឧ. មុខងារ g(x)បង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃការចំណាយសរុបលើបរិមាណនៃការផលិត x បន្ទាប់មក g′(x)បានហៅ ថ្លៃដើម.

ការវិភាគផ្នែកសេដ្ឋកិច្ច- សំណុំនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់សិក្សាពីការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃការចំណាយ ឬលទ្ធផលនៅពេលដែលបរិមាណនៃការផលិត ការប្រើប្រាស់។ល។ ផ្អែកលើការវិភាគនៃតម្លៃកំណត់របស់ពួកគេ។

ឧទាហរណ៍, ការស្វែងរកផលិតភាព។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ u=u(t)បង្ហាញពីបរិមាណផលិតផលដែលផលិត យូពេលកំពុងធ្វើការ t.ចូរយើងគណនាបរិមាណទំនិញដែលផលិតក្នុងអំឡុងពេលនោះ។ ∆t = t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0)។

ផលិតភាពការងារជាមធ្យមគឺជាសមាមាត្រនៃបរិមាណនៃទិន្នផលដែលបានផលិតទៅនឹងពេលវេលាដែលបានចំណាយ, i.e. z cf. =

ផលិតភាពកម្មករនៅពេលនេះ t 0 ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ដែល z cf. នៅ ∆t → 0: .ដូច្នេះការគណនានៃផលិតភាពការងារត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនានៃដេរីវេ៖

ថ្លៃដើមផលិតកម្ម ខេផលិតផលដូចគ្នាគឺជាមុខងារនៃបរិមាណនៃផលិតផល xដូច្នេះយើងអាចសរសេរបាន។ K=K(x). ចូរយើងសន្មត់ថាបរិមាណនៃផលិតកម្មកើនឡើងដោយ ∆x. បរិមាណនៃការផលិត x+∆x ត្រូវនឹងតម្លៃផលិតកម្ម K(x+∆x) ។ដូច្នេះការបង្កើនបរិមាណផលិតកម្ម ∆xទាក់ទងទៅនឹងការកើនឡើងនៃថ្លៃដើមផលិតកម្ម ∆K=K(x+∆x)-K(x)។

ការកើនឡើងជាមធ្យមនៃថ្លៃដើមផលិតកម្មគឺ ∆K/∆x ។ នេះគឺជាការកើនឡើងនៃថ្លៃដើមផលិតកម្មក្នុងមួយឯកតា ការកើនឡើងនៃបរិមាណនៃទិន្នផល។

ដែនកំណត់ បានហៅ ថ្លៃដើមផលិតកម្ម។

		អំពីក្រុមហ៊ុន
បញ្ជីណែនាំ Izofatova Nina Mitrofanovna - នាយក

ប្រវត្តិនៃមហាវិទ្យាល័យពាណិជ្ជកម្ម និងសេដ្ឋកិច្ច Kaliningrad គឺជាទំព័រមួយនៅក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃតំបន់ ដែលត្រូវបានសរសេរតាំងពីឆ្នាំ 1946 ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក អ្នកឯកទេសជាង 25,000 នាក់បានបញ្ចប់ការសិក្សាពីមហាវិទ្យាល័យ។

ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 2004 មក មហាវិទ្យាល័យបានក្លាយជាវេទិកាពិសោធន៍សម្រាប់វិទ្យាស្ថានម៉ូស្គូសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ការអប់រំវិជ្ជាជីវៈមធ្យមសិក្សាលើប្រធានបទ "ការផ្សព្វផ្សាយបទពិសោធន៍អឺរ៉ុបក្នុងការបង្កើត និងរៀបចំមជ្ឈមណ្ឌលអប់រំមនុស្សពេញវ័យ និងមជ្ឈមណ្ឌលអប់រំបើកចំហក្នុងតំបន់" ។ អស់រយៈពេលដប់ឆ្នាំដែលគាត់ជាសមាជិកនៃសមាគមទីផ្សាររុស្ស៊ីមានឋានៈជាមហាវិទ្យាល័យតម្រង់ទិសសង្គម។ ក្រោយមកទៀតត្រូវបានចាត់តាំងទៅមហាវិទ្យាល័យដោយរដ្ឋបាលក្នុងតំបន់សម្រាប់ការគាំទ្រឥតឈប់ឈររបស់សិស្សដែលងាយរងគ្រោះក្នុងសង្គម គ្រូបង្រៀន ប្រាក់សោធននិវត្តន៍ បុគ្គលិកយោធា និងក្រុមគ្រួសាររបស់ពួកគេ គ្រូបង្រៀន និងបុគ្គលិក។

ការបណ្តុះបណ្តាលនិស្សិតនៅមហាវិទ្យាល័យពាណិជ្ជកម្ម និងសេដ្ឋកិច្ច Kaliningrad ធ្វើឡើងនៅមហាវិទ្យាល័យចំនួនប្រាំ៖ បច្ចេកវិទ្យា និងសេវាកម្ម ការគ្រប់គ្រងទីផ្សារ ច្បាប់ សេដ្ឋកិច្ច និងគណនេយ្យ ទម្រង់អប់រំដែលមិនមែនជាប្រពៃណី។ វិស័យអប់រំនៃមហាវិទ្យាល័យរួមមានឯកទេសចំនួនដប់ប្រាំមួយ។ ទាំងនេះរួមមានបច្ចេកវិទ្យាចម្អិនអាហារ ពាណិជ្ជកម្មម្ហូបអាហារ ពាណិជ្ជកម្មពាណិជ្ជកម្ម ការគ្រប់គ្រង ទីផ្សារ គណនេយ្យច្បាប់ ធនាគារ ការគ្រប់គ្រងបដិសណ្ឋារកិច្ច ហិរញ្ញវត្ថុ ទេសចរណ៍ និងច្រើនទៀត។

មហាវិទ្យាល័យមានមជ្ឈមណ្ឌលសម្រាប់ការណែនាំអាជីព និងការបណ្តុះបណ្តាលបេក្ខជន។ នៅមហាវិទ្យាល័យនៃទម្រង់នៃការអប់រំដែលមិនមែនជាប្រពៃណី អ្នកមិនត្រឹមតែអាចបង្កើនជំនាញរបស់អ្នកប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងទទួលបានជំនាញពិសេសថ្មីលើការងារផងដែរ។ មជ្ឈមណ្ឌលអប់រំបើកទូលាយបច្ចុប្បន្នផ្តោតលើការផ្តល់ជំនួយក្នុងការបណ្តុះបណ្តាលវិជ្ជាជីវៈក្នុងជំនាញជាងម្ភៃ។ នៅទីនេះអ្នកអាចបង្កើនជំនាញរបស់អ្នក ឆ្លងកាត់ការបណ្តុះបណ្តាលឡើងវិញ។ វិធីសាស្រ្តមានភាពចម្រុះណាស់៖ ហ្គេមអាជីវកម្ម វគ្គបណ្តុះបណ្តាល សិក្ខាសាលា លំហាត់ បើកកិច្ចប្រជុំ សន្និសីទ ការងារគម្រោង។ ទាំងអស់នេះអនុញ្ញាតឱ្យសិស្សបញ្ចូលសម្ភារៈដែលបានស្នើឡើងរហូតដល់អតិបរមា។

កិច្ចសហប្រតិបត្តិការជាមួយសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋ Kaliningrad, សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Kaliningrad, សាលារដ្ឋបាល់ទិកអនុញ្ញាតឱ្យមហាវិទ្យាល័យបណ្តុះបណ្តាលអ្នកឯកទេសដែលចំណេះដឹងរបស់ពួកគេក្លាយជាដើមទុននិងធនធានចម្បងសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍសេដ្ឋកិច្ចក្នុងតំបន់។ ក្នុងរយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំនៃអន្តរកម្មនេះ និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាជាងពីររយនាក់បានទទួលការអប់រំខ្ពស់នៅមហាវិទ្យាល័យពិសេសជាមួយនឹងរយៈពេលនៃការសិក្សាដែលបានកាត់បន្ថយ។ ពួកគេទាំងអស់គឺស្ថិតនៅក្នុងតម្រូវការដោយស្មុគ្រស្មាញសេដ្ឋកិច្ចក្នុងតំបន់ មនុស្សជាច្រើនបានចូលទៅក្នុងក្រុមវរជននៃអង្គភាពអាជីវកម្មក្នុងតំបន់។

មហាវិទ្យាល័យពាណិជ្ជកម្ម និងសេដ្ឋកិច្ច Kaliningrad បានបង្កើតទំនាក់ទំនង និងកំពុងសហការយ៉ាងសកម្មជាមួយប្រទេសដាណឺម៉ាក ស៊ុយអែត អាល្លឺម៉ង់ ប៉ូឡូញ និងហ្វាំងឡង់។ ក្រុមចូលរួមនៅក្នុងគម្រោងអប់រំអន្តរជាតិ។ ប្រធានបទរបស់ពួកគេមានភាពចម្រុះ វារួមបញ្ចូលប្រធានបទសំខាន់ៗដូចជា "ជំនួយដល់អាជ្ញាធរ Kaliningrad ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍អាជីវកម្មខ្នាតតូច និងមធ្យម", "ជំនួយដល់មន្រ្តី និងសមាជិកដែលគ្មានការងារធ្វើនៃគ្រួសាររបស់ពួកគេក្នុងការទទួលបានជំនាញស៊ីវិលសម្រាប់ការងារជាបន្តបន្ទាប់", " បណ្តុះបណ្តាលគ្រូនៅ andragogy និងការអភិវឌ្ឍន៍កម្មវិធីបណ្តុះបណ្តាលសហគ្រិនភាព" សកម្មភាពនៅ Kaliningrad" និងផ្សេងៗទៀត។

ក្នុងឆ្នាំ 1999 ក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃគម្រោងអន្តរជាតិមួយ ដោយសារកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់ Lidia Ivanovna Motolyanets នាយករងទទួលបន្ទុកកិច្ចការសិក្សា ក្រុមហ៊ុនធ្វើត្រាប់តាមត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលជាគំរូសហគ្រាសដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីសកម្មភាពរបស់អង្គការពាណិជ្ជកម្មពិតប្រាកដ ទម្រង់ឯកទេសប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពនៃ ការបណ្តុះបណ្តាលកម្រិតខ្ពស់សម្រាប់បុគ្គលិកគ្រប់កម្រិតដែលធ្វើការក្នុងវិស័យអាជីវកម្មខ្នាតតូច។

បេសកកម្មនៃសមូហភាព - ដើម្បីធានាការអប់រំដែលនឹងបំពេញតម្រូវការរបស់សង្គមនិងរួមចំណែកដល់ការបង្កើតមនុស្សទាំងមូល - កំពុងត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងពេញលេញ។ មហាវិទ្យាល័យពាណិជ្ជកម្ម និងសេដ្ឋកិច្ច Kaliningrad មានន័យថា វិជ្ជាជីវៈ ទំនួលខុសត្រូវ និងកិត្យានុភាព។