សមីការ quadratic គឺជាសមីការនៃទម្រង់ a*x^2 +b*x+c=0 ដែល a,b,c គឺជាចំនួនពិត (ពិត) តាមអំពើចិត្ត ហើយ x គឺជាអថេរ។ ហើយលេខ a=0 ។
លេខ a,b,c ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណ។ លេខ a - ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនាំមុខ លេខ b គឺជាមេគុណនៅ x ហើយលេខ c ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មានន័យថា ស្វែងរកឫសរបស់វាទាំងអស់ ឬបង្កើតការពិតដែលថាសមីការការ៉េមិនមានឫសគល់។ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 គឺជាតម្លៃណាមួយនៃអថេរ x ដូចថា trinomial ការ៉េ a * x ^ 2 + b * x + c បាត់។ ជួនកាលតម្លៃនៃ x បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃត្រីកោណការ៉េ។
មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ ពិចារណាមួយក្នុងចំណោមពួកគេ - ចម្រុះបំផុត។ វាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។
រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ
រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េគឺ a*x^2 +b*x+c=0។
x=(-b±√D)/(2*a) ដែល D =b^2-4*a*c។
រូបមន្តនេះត្រូវបានទទួលដោយការដោះស្រាយសមីការ a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ក្នុងទម្រង់ទូទៅ ដោយបន្លិចការ៉េនៃ binomial ។
នៅក្នុងរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ កន្សោម D (b^2-4*a*c) ត្រូវបានគេហៅថាការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ a*x^2 +b*x+c=0។ ឈ្មោះនេះមកពីភាសាឡាតាំងដែលបានបកប្រែថា "អ្នកខុសគ្នា"។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េនឹងមានឫសពីរ ឬមួយ ឬគ្មានឫសអ្វីទាំងអស់។
ប្រសិនបើការរើសអើងគឺធំជាងសូន្យ។បន្ទាប់មកសមីការ quadratic មានឫសពីរ។ (x=(-b±√D)/(2*a))
បើអ្នករើសអើងគឺសូន្យ។បន្ទាប់មកសមីការ quadratic មានឫសមួយ។ (x=(-b/(2*a))
បើអ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកសមីការ quadratic មិនមានឫសគល់ទេ។
ក្បួនដោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ
ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ យើងបង្កើតក្បួនដោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ a*x^2 +b*x+c=0 ដោយប្រើរូបមន្ត៖
1. ស្វែងរកតម្លៃនៃអ្នករើសអើងដោយប្រើរូបមន្ត D =b^2-4*a*c។
2. អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង គណនាឫសដោយប្រើរូបមន្ត៖
ឃ<0, корней нет.
D=0, x=(-b/(2*a)
D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)
ក្បួនដោះស្រាយនេះគឺមានលក្ខណៈជាសកល និងសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។ ពេញលេញនិងមិនពេញលេញ, ដកស្រង់និងមិនដកស្រង់។
ការពិពណ៌នាគន្ថនិទ្ទេស៖ Gasanov A.R., Kuramshin A.A., Elkov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ // អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រវ័យក្មេង។ - 2016. - លេខ 6.1 ។ - ស.១៧-២០..០៤.២០១៩)។
គម្រោងរបស់យើងគឺឧទ្ទិសដល់វិធីនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ គោលបំណងនៃគម្រោង៖ ដើម្បីរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយវិធីដែលមិនត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ កិច្ចការ៖ ស្វែងរកវិធីដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ហើយរៀនពីរបៀបប្រើវាដោយខ្លួនឯង និងណែនាំមិត្តរួមថ្នាក់អំពីវិធីសាស្ត្រទាំងនេះ។
តើ "សមីការការ៉េ" ជាអ្វី?
សមីការការ៉េ- សមីការនៃទម្រង់ ពូថៅ2 + bx + c = 0កន្លែងណា ក, ខ, គ- លេខមួយចំនួន ( a ≠ 0), x- មិនស្គាល់។
លេខ a, b, c ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃសមីការ quadratic ។
- a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ;
- b ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីពីរ;
- គ - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
ហើយតើអ្នកណាជាអ្នកបង្កើតសមីការបួនជ្រុងមុនគេ?
បច្ចេកទេសពិជគណិតមួយចំនួនសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ ត្រូវបានគេស្គាល់ថានៅដើម 4000 ឆ្នាំមុននៅបាប៊ីឡូនបុរាណ។ គ្រាប់ដីឥដ្ឋបាប៊ីឡូនបុរាណដែលបានរកឃើញមានកាលបរិច្ឆេទនៅចន្លោះឆ្នាំ 1800 និង 1600 មុនគ្រិស្តសករាជ គឺជាភស្តុតាងដំបូងបំផុតនៃការសិក្សាអំពីសមីការបួនជ្រុង។ ថេប្លេតដូចគ្នាមានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រភេទមួយចំនួននៃសមីការការ៉េ។
តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរនៅសម័យបុរាណគឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់នៃដី និងផែនដីនៃលក្ខណៈយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និង គណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។
ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូន គឺស្របគ្នាជាមួយនឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើជនជាតិបាប៊ីឡូនចូលមកក្បួននេះដោយរបៀបណានោះទេ។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលមានចែងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។ ទោះបីជាមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូនក៏ដោយ អត្ថបទ cuneiform ខ្វះគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។
គណិតវិទូជនជាតិបាប៊ីឡូនពីប្រហែលសតវត្សទី 4 មុនគ។ បានប្រើវិធីសាស្ត្របំពេញការ៉េ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដែលមានឫសវិជ្ជមាន។ ប្រហែល ៣០០ មុនគ. Euclid បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយធរណីមាត្រទូទៅបន្ថែមទៀត។ គណិតវិទូដំបូងគេដែលបានរកឃើញដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលមានឫសអវិជ្ជមានក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តពិជគណិតគឺជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌា។ ព្រហ្មគន្ធី(ប្រទេសឥណ្ឌាសតវត្សទី៧នៃគ.ស.)។
Brahmagupta បានគូសបញ្ជាក់ពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖
ax2 + bx = c, a> 0
នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណអាចអវិជ្ជមាន។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។
នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតា។ នៅក្នុងសៀវភៅបុរាណឥណ្ឌាមួយ ខាងក្រោមនេះត្រូវបាននិយាយអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ «នៅពេលដែលព្រះអាទិត្យបញ្ចេញពន្លឺផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង នោះអ្នកចេះដឹងនឹងបញ្ចេញសិរីរុងរឿងនៅក្នុងកិច្ចប្រជុំសាធារណៈ ស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត»។ ភារកិច្ចតែងតែស្លៀកពាក់បែបកំណាព្យ។
នៅក្នុងពិជគណិតពិជគណិត អាល់-ឃវ៉ារីសមីការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អ្នកនិពន្ធរាយសមីការ ៦ ប្រភេទ ដោយបង្ហាញវាដូចខាងក្រោម៖
1) "ការេស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax2 = bx ។
2) "ការេស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax2 = គ។
3) "ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" i.e. ax2 = គ។
4) "ការេនិងលេខស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax2 + c = bx ។
5) "ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax2 + bx = c ។
6) "ឫស និងលេខស្មើនឹងការេ" ពោលគឺ bx + c == ax2 ។
សម្រាប់ Al-Khwarizmi ដែលជៀសវាងការប្រើលេខអវិជ្ជមាន ពាក្យនៃសមីការនីមួយៗគឺបូក មិនមែនដកទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណានោះទេ។ អ្នកនិពន្ធរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិនមែននិយាយអំពីការពិតដែលថាវាជាវោហាសាស្ត្រសុទ្ធសាធទេ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងមិនពេញលេញនៃប្រភេទទីមួយ Al-Khwarizmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីលេខសូន្យទេ។ ដំណោះស្រាយ ប្រហែលជាដោយសារតែនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងជាក់លាក់ វាមិនមានបញ្ហាទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ Al-Khwarizmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្ររបស់ពួកគេ។
ទម្រង់សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងលើគំរូនៃ Al-Khwarizmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានពិពណ៌នាជាលើកដំបូងនៅក្នុង "សៀវភៅ Abacus" ដែលបានសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ។ គណិតវិទូអ៊ីតាលី លោក Leonard Fibonacci. អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។
សៀវភៅនេះបានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពីសៀវភៅនេះត្រូវបានផ្ទេរទៅស្ទើរតែគ្រប់សៀវភៅសិក្សានៅអឺរ៉ុបនៃសតវត្សទី 14-17 ។ ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ x2 + bx = c ជាមួយនឹងបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញា និងមេគុណ b, c ត្រូវបានបង្កើតនៅអឺរ៉ុបក្នុងឆ្នាំ 1544 ។ M. Steefel ។
Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelliក្នុងចំណោមទីមួយនៅសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ អរគុណចំពោះការងារ Girard, Descartes, ញូតុននិងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត វិធីនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើទម្រង់ទំនើប។
ពិចារណាវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។
វិធីស្តង់ដារដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា៖
- ការបំបែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។
- វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ។
- ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េតាមរូបមន្ត។
- ដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកនៃសមីការការ៉េ។
- ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។
ចូរយើងស្វែងយល់លម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ និងមិនកាត់បន្ថយ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។
សូមចាំថា ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic ខាងលើ វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកលេខពីរ ដែលផលគុណស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ ហើយផលបូកគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។
ឧទាហរណ៍។x 2 −5x+6=0
អ្នកត្រូវស្វែងរកលេខដែលផលិតផលគឺ 6 ហើយផលបូកគឺ 5 ។ លេខទាំងនេះនឹងមានលេខ 3 និង 2 ។
ចម្លើយ៖ x 1 =2,x 2 =3.
ប៉ុន្តែអ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តនេះសម្រាប់សមីការដែលមានមេគុណទីមួយមិនស្មើនឹងមួយ។
ឧទាហរណ៍។3x 2 +2x-5=0
យើងយកមេគុណទីមួយ ហើយគុណវាដោយពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖ x 2 +2x-15=0
ឫសនៃសមីការនេះនឹងជាលេខដែលផលិតផលគឺ - 15 ហើយផលបូកគឺ - 2 ។ លេខទាំងនេះគឺ 5 និង 3 ។ ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការដើម យើងបែងចែកឫសដែលទទួលបានដោយមេគុណទីមួយ។
ចម្លើយ៖ x 1 =-5/3, x 2 =1
6. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្រ្ត "ផ្ទេរ" ។
ពិចារណាសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c = 0 ដែល a≠0 ។
គុណផ្នែកទាំងពីរដោយ a យើងទទួលបានសមីការ a 2 x 2 + abx + ac = 0 ។
ឲ្យ ax = y, whence x = y/a; បន្ទាប់មកយើងមកដល់សមីការ y 2 + ដោយ + ac = 0 ដែលស្មើនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងរកឃើញឫសរបស់វានៅ 1 និងនៅ 2 ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។
ទីបំផុតយើងទទួលបាន x 1 = y 1 /a និង x 2 = y 2 /a ។
ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ មេគុណ a ត្រូវបានគុណនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ ដូចជាប្រសិនបើ "ផ្ទេរ" ទៅវា ដូច្នេះគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ "ផ្ទេរ" ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកឫសនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ហើយសំខាន់បំផុតនៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាការ៉េពិតប្រាកដ។
ឧទាហរណ៍។2x 2 − 11x + 15 = 0 ។
ចូរ "ផ្ទេរ" មេគុណ 2 ទៅពាក្យឥតគិតថ្លៃ ហើយធ្វើការជំនួសយើងទទួលបានសមីការ y 2 - 11y + 30 = 0 ។
នេះបើតាមទ្រឹស្ដីបញ្ច្រាសរបស់ Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3 ។
ចម្លើយ៖ x 1 =2.5; X 2 = 3.
7. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េ។
អនុញ្ញាតឱ្យសមីការការ៉េអ័ក្ស 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។
1. ប្រសិនបើ a + b + c \u003d 0 (ឧ. ផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការគឺសូន្យ) បន្ទាប់មក x 1 \u003d 1 ។
2. ប្រសិនបើ a - b + c \u003d 0 ឬ b \u003d a + c បន្ទាប់មក x 1 \u003d - 1 ។
ឧទាហរណ៍។345x 2 − 137x − 208 = 0 ។
ចាប់តាំងពី a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0) បន្ទាប់មក x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345 ។
ចម្លើយ៖ x 1 =1; X 2 = -208/345 .
ឧទាហរណ៍។១៣២x 2 + 247x + 115 = 0
ដោយសារតែ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0) បន្ទាប់មក x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132
ចម្លើយ៖ x 1 = - ១; X 2 =- 115/132
មានលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ប៉ុន្តែការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេគឺស្មុគស្មាញជាង។
8. ការដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើ nomogram ។
រូប 1. Nomogram
នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តចាស់ និងបច្ចុប្បន្នត្រូវបានបំភ្លេចចោលសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ដែលបានដាក់នៅលើទំព័រ 83 នៃបណ្តុំ៖ Bradis V.M. តារាងគណិតវិទ្យាបួនខ្ទង់។ - M. , ការអប់រំ, 1990 ។
តារាង XXII ។ Nomogram សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ z2 + pz + q = 0. nomogram អនុញ្ញាតឱ្យ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីកំណត់ឫសនៃសមីការដោយមេគុណរបស់វា។
មាត្រដ្ឋាន curvilinear នៃ nomogram ត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរូបមន្ត (រូបភាពទី 1)៖
សន្មត់ OS = p, ED = q, OE = ក(ទាំងអស់គិតជាសង់ទីម៉ែត្រ) ពីរូបភាពទី 1 ភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ សាននិង CDFយើងទទួលបានសមាមាត្រ
មកពីណា បន្ទាប់ពីការជំនួស និងភាពសាមញ្ញ សមីការដូចខាងក្រោម z 2 + pz + q = 0,និងលិខិត zមានន័យថាស្លាកនៃចំណុចណាមួយនៅលើមាត្រដ្ឋានកោង។
អង្ករ។ 2 ការដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើនាមនាម
ឧទាហរណ៍។
1) សម្រាប់សមីការ z 2 − 9z + 8 = 0 nomogram ផ្តល់ឫស z 1 = 8.0 និង z 2 = 1.0
ចម្លើយ៖ ៨.០; 1.0.
2) ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើ nomogram
2z 2 − 9z + 2 = 0 ។
ចែកមេគុណនៃសមីការនេះដោយ 2 យើងទទួលបានសមីការ z 2 − 4.5z + 1 = 0 ។
nomogram ផ្តល់ឫស z 1 = 4 និង z 2 = 0.5 ។
ចម្លើយ៖ ៤; ០.៥.
9. វិធីសាស្ត្រធរណីមាត្រសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។
ឧទាហរណ៍។X 2 + 10x = 39 ។
ក្នុងដើមបញ្ហានេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម៖ "ការការ៉េនិងឫសដប់ស្មើនឹង ៣៩"។
ពិចារណាការ៉េដែលមានចំហៀង x ចតុកោណកែងត្រូវបានសាងសង់នៅលើជ្រុងរបស់វាដូច្នេះផ្នែកម្ខាងទៀតនៃពួកវានីមួយៗគឺ 2.5 ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃនីមួយៗគឺ 2.5x ។ បន្ទាប់មកតួលេខលទ្ធផលត្រូវបានបន្ថែមទៅការ៉េថ្មី ABCD ដោយបំពេញការ៉េស្មើគ្នាចំនួនបួននៅជ្រុងម្ខាងនៃពួកវានីមួយៗគឺ 2.5 និងតំបន់គឺ 6.25
អង្ករ។ 3 វិធីក្រាហ្វិកដើម្បីដោះស្រាយសមីការ x 2 + 10x = 39
ផ្ទៃ S នៃការ៉េ ABCD អាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃតំបន់៖ ការេដើម x 2 ចតុកោណកែងបួន (4 ∙ 2.5x = 10x) និងការ៉េភ្ជាប់បួន (6.25 ∙ 4 = 25) i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. ការជំនួស x 2 + 10x ដោយលេខ 39 យើងទទួលបាន S \u003d 39 + 25 \u003d 64 ដែលមានន័យថាផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ ABCD ពោលគឺឧ។ ផ្នែក AB \u003d 8. សម្រាប់ផ្នែកដែលចង់បាន x នៃការ៉េដើម យើងទទួលបាន
10. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ។
ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។ នៅសល់បន្ទាប់ពីបែងចែកពហុនាម P(x) ដោយ binomial x - α ស្មើនឹង P(α) (នោះគឺជាតម្លៃនៃ P(x) នៅ x = α) ។
ប្រសិនបើលេខ α គឺជាឫសនៃពហុនាម P(x) នោះពហុនាមនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ x -α ដោយគ្មាននៅសល់។
ឧទាហរណ៍។x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0។ ចែក P(x) ដោយ (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, ឬ x-3=0, x=3; ចម្លើយ៖ x1 =2, x2 =3.
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការ quadratic យ៉ាងឆាប់រហ័ស និងដោយសមហេតុផលគឺចាំបាច់សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ឧទាហរណ៍ សមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ សមីការនៃអំណាចខ្ពស់ជាង សមីការ biquadratic និងនៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រ និទស្សន្ត និងលោការីត។ ដោយបានសិក្សាវិធីសាស្រ្តទាំងអស់ដែលបានរកឃើញសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ យើងអាចណែនាំមិត្តរួមថ្នាក់ បន្ថែមពីលើវិធីសាស្ត្រស្តង់ដារ ដើម្បីដោះស្រាយដោយវិធីផ្ទេរ (6) និងដោះស្រាយសមីការដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណ (7) ព្រោះវាងាយយល់ជាង។ .
អក្សរសិល្ប៍៖
- Bradis V.M. តារាងគណិតវិទ្យាបួនខ្ទង់។ - M. , ការអប់រំ, 1990 ។
- ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី៨។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន Makarychev Yu. N., Mindyuk N.G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed ។ S. A. Telyakovsky ទី 15 ed ។ , កែប្រែ។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ២០១៥
- https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា។ ការណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ / Ed ។ V.N. ក្មេងជាង។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៦៤ ។
1. ស្វែងរកអ្នករើសអើង ឃយោងតាមរូបមន្ត ឃ= -4ac.
2. ប្រសិនបើ D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.
3. ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការមានឫសតែមួយ៖
4. ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការមានឫសពីរ៖
ឥឡូវនេះ ចូរចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការរបស់យើង។ 3 -10x+3=0,
ដែល =3, b=-10 និង c=3 ។
ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
ឃ= -4*3*3=64
ចាប់តាំងពី D>0 នោះសមីការនេះមានឫសពីរ។ យើងរកឃើញពួកគេ៖
;
.
ដូច្នេះឫសនៃពហុធា f(x)=3 -10+3 នឹងជាលេខ 3 និង។
គ្រោងការណ៍របស់ Horner
គ្រោងការណ៍របស់ Horner(ឬក្បួនរបស់ Horner, វិធីសាស្រ្តរបស់ Horner) - ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាតម្លៃនៃពហុធា ដែលសរសេរជាផលបូកនៃពហុនាម (monomials) សម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអថេរ។ . នាងជួយយើងរកមើលថាតើលេខគឺជាឫសគល់នៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យឬអត់។
ជាដំបូង សូមពិចារណាពីរបៀបដែលពហុនាមត្រូវបានបែងចែក f(x) ទៅជា binomial g(x).
នេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: f(x):g(x)=n(x),កន្លែងណា f(x)-ភាគលាភ, g(x)-ការបែងចែក ក n(x)-ឯកជន។
ប៉ុន្តែក្នុងករណី f(x)មិនបែងចែកដោយ g(x)មានសញ្ញាណទូទៅនៃការបញ្ចេញមតិ
នៅទីនេះ ដឺក្រេ r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .
ពិចារណាការបែងចែកពហុនាមដោយទ្វេនាម។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន
, 
យើងទទួលបាន
កន្លែងដែល r ជាលេខព្រោះ ដឺក្រេនៃ r ត្រូវតែតិចជាងដឺក្រេនៃ (x-c) ។
ចូរគុណ s(x)នៅលើនិងទទួលបាន
ដូច្នេះនៅពេលបែងចែកដោយ binomial វាអាចកំណត់មេគុណនៃកូតាពីរូបមន្តដែលទទួលបាន។ វិធីសាស្រ្តនៃការកំណត់មេគុណនេះត្រូវបានគេហៅថាគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។
| ... | |||||
| + | ... | ||||
| គ | ... | r |
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការអនុវត្តគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។
ឧទាហរណ៍. អនុវត្តការបែងចែកពហុនាម f(x)=នៅលើ x+3។
ការសម្រេចចិត្ត។នៅដើមដំបូងវាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរ x+3)ដូចជា ( x-(-3)) ដោយហេតុថា -3 នឹងចូលរួមក្នុងគ្រោងការណ៍ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។ នៅក្នុងបន្ទាត់ខាងលើយើងនឹងសរសេរមេគុណនៅក្នុងបន្ទាត់ខាងក្រោម - លទ្ធផលនៃសកម្មភាព។
f(x)=(x-2)(1)+16។
ការស្វែងរកឫសតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ប្រភេទឫស
យោងតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញឫសចំនួនគត់នៃពហុធា f(x) សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកឫសចំនួនគត់នៃពហុធា f(x) = ដោយប្រើគ្រោងការណ៍ Horner ។
ការសម្រេចចិត្ត។មេគុណនៃពហុនាមនេះគឺជាចំនួនគត់។ មេគុណមុនសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុត (ក្នុងករណីរបស់យើងពីមុន) គឺស្មើនឹងមួយ។ ដូច្នេះ យើងនឹងរកមើលឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមក្នុងចំណោមផ្នែកចែកនៃពាក្យសេរី (យើងមាន 15) ទាំងនេះគឺជាលេខ៖
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលេខ 1 ។
តារាង #1
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 |
ពីតារាងលទ្ធផល គេអាចមើលឃើញថាសម្រាប់ =1 ពហុនាមនៃពហុធា f(x)= យើងទទួលបាន r=192 ដែលនៅសល់ មិនមែន 0 ដែលមានន័យថាឯកតាមិនមែនជា root ទេ។ ដូច្នេះ យើងបន្តពិនិត្យនៅ =-1។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងនឹងមិនបង្កើតតារាងថ្មីទេ ប៉ុន្តែបន្តនៅក្នុងតារាងចាស់ ហើយកាត់ចេញទិន្នន័យដែលលែងចាំបាច់។
តារាងលេខ 2
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 |
ដូចដែលយើងអាចមើលឃើញពីតារាងក្រឡាចុងក្រោយប្រែទៅជាសូន្យដែលមានន័យថា r = 0 ។ ដូច្នេះ? លេខ -1 គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមនេះ។ ការបែងចែកពហុនាមពហុធារបស់យើង។ f(x)= on ()=x+1 យើងទទួលបានពហុនាម
f(x)=(x+1)(),
មេគុណដែលយើងយកពីជួរទីបីនៃតារាងលេខ 2 ។
យើងក៏អាចបង្កើតសញ្ញាណសមមូលផងដែរ។
(x+1)()។ Tag គាត់ (1)
ឥឡូវនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការបន្តការស្វែងរកឫសចំនួនគត់ ប៉ុន្តែមានតែពេលនេះទេដែលយើងនឹងស្វែងរកឫសនៃពហុធា។ យើងនឹងរកមើលឫសទាំងនេះក្នុងចំណោមពាក្យសេរីនៃពហុធា គឺលេខ 45។
តោះពិនិត្យមើលលេខ 1 ម្តងទៀត។
តារាង # 3
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 |
ដូច្នេះ លេខ -1 គឺជាឫសគល់នៃពហុនាម វាអាចត្រូវបានសរសេរជា
ដោយគិតពីសមភាព (2) យើងអាចសរសេរសមភាព (1) ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម
ឥឡូវនេះយើងកំពុងស្វែងរកឫសគល់សម្រាប់ពហុនាម ម្តងទៀតក្នុងចំណោមការបែងចែកនៃពាក្យសេរី។ តោះពិនិត្យមើលលេខ 1 ម្តងទៀត។
តារាងលេខ 4
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 |
យោងតាមតារាងយើងឃើញថាលេខ -1 គឺជាឫសនៃពហុធា។
ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (3*) យើងអាចសរសេរឡើងវិញនូវសមភាព (2*) ដូចតទៅ៖
ឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងរកឫសសម្រាប់ . ជាថ្មីម្តងទៀតយើងពិនិត្យមើលការបែងចែកនៃពាក្យសេរី។ តោះចាប់ផ្តើមពិនិត្យម្តងទៀតជាមួយលេខ -1 ។
តារាងលេខ 5
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 |
យើងទទួលបាននៅសល់ដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ ដែលមានន័យថាលេខ -1 មិនមែនជាឫសសម្រាប់ពហុនាមទេ។ តោះពិនិត្យមើលលេខបន្ទាប់ 1 ។
តារាងលេខ 6
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 |
ហើយយើងឃើញថាម្តងទៀតវាមិនសមទេ នៅសល់គឺ r(x) = 24។ យើងយកលេខថ្មី។
តោះពិនិត្យមើលលេខ 3 ។
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 |
តារាងលេខ 7
r(x)= 0 មានន័យថា លេខ 3 ជាឫសនៃពហុធា យើងអាចសរសេរពហុនាមនេះដូចជា៖
=(x-3)( 
)
ដោយឃើញការបញ្ចេញមតិលទ្ធផល យើងអាចសរសេរសមភាព (5) ដូចខាងក្រោម៖
(x-3)( ) (6)
សូមពិនិត្យមើលឥឡូវនេះសម្រាប់ពហុនាម
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
តារាងលេខ 8
ដោយផ្អែកលើតារាងយើងឃើញថាលេខ 3 គឺជាឫសនៃពហុធា . ឥឡូវសូមសរសេរដូចខាងក្រោម៖
យើងសរសេរសមភាព (5*) ដោយគិតគូរពីការបញ្ចេញមតិលទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖
(x-3)()= 
= .
ស្វែងរកឫសសម្រាប់ binomial ក្នុងចំណោមការបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ។
ចូរយើងយកលេខ 5
តារាងលេខ 9
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
| + | -5 | ||||||
| -5 |
r(x)=0 ដូច្នេះ 5 គឺជាឫសគល់នៃ binomial ។
ដូច្នេះយើងអាចសរសេរបាន។
ដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍នេះនឹងជាតារាងលេខ 8 ។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីតារាងលេខ -1; 3; 5 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា។
ឥឡូវនេះសូមទៅដោយផ្ទាល់ ប្រភេទនៃឫស.
1 គឺជាឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រទី 3 ចាប់តាំងពីតង្កៀប (x + 1) ស្ថិតនៅក្នុងដឺក្រេទីបី។
3- ឫសនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ តង្កៀប (x-3) ក្នុងដឺក្រេទីពីរ;
5 គឺជាឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រទីមួយ ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត សាមញ្ញ។
សមីការ quadratic ជាញឹកញាប់លេចឡើងនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា ដូច្នេះសិស្សគ្រប់រូបគួរតែអាចដោះស្រាយវាបាន។ អត្ថបទនេះពិភាក្សាលម្អិតអំពីវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ហើយក៏ផ្តល់នូវឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់របស់វាផងដែរ។
អ្វីដែលសមីការត្រូវបានគេហៅថាការ៉េ
ជាដំបូង យើងនឹងឆ្លើយសំណួរនៃកថាខណ្ឌនេះ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីអ្វីដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទ។ ដូច្នេះសមីការការ៉េមានទម្រង់ទូទៅដូចខាងក្រោមៈ c + b * x + a * x 2 \u003d 0 ដែល a, b, c គឺជាលេខមួយចំនួនដែលត្រូវបានគេហៅថាមេគុណ។ នៅទីនេះ a≠0 គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ បើមិនដូច្នេះទេសមីការដែលបានចង្អុលបង្ហាញនឹង degenerate ទៅជាលីនេអ៊ែរមួយ។ មេគុណដែលនៅសេសសល់ (b, c) អាចយកជាតម្លៃណាមួយ រួមទាំងសូន្យ។ ដូច្នេះកន្សោមដូចជា a*x 2=0 ដែល b=0 និង c=0 ឬ c+a*x 2=0 ដែល b=0 ឬ b*x+a*x 2=0 ដែល c=0 - ទាំងនេះក៏ជាសមីការបួនជ្រុងផងដែរ ដែលត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ ព្រោះនៅក្នុងពួកវាទាំងមេគុណលីនេអ៊ែរ b គឺស្មើនឹងសូន្យ ឬពាក្យថេរ c គឺសូន្យ ឬពួកវាទាំងពីរបាត់។
សមីការដែល \u003d 1 ត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ នោះគឺវាមានទម្រង់៖ x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0 ។
ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic គឺដើម្បីស្វែងរកតម្លៃបែបនេះនៃ x ដែលបំពេញសមភាពរបស់វា។ តម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាឫស។ ដោយសារសមីការដែលកំពុងពិចារណាគឺជាកន្សោមនៃដឺក្រេទីពីរ នេះមានន័យថាចំនួនអតិបរមានៃឫសរបស់វាមិនអាចលើសពីពីរបានទេ។
តើមានវិធីសាស្រ្តអ្វីខ្លះសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ
ជាទូទៅមានវិធីសាស្រ្ត 4 ដំណោះស្រាយ។ ឈ្មោះរបស់ពួកគេមានដូចខាងក្រោម៖
- ការបំបែកឯកតា។
- បំពេញការ៉េ។
- ដោយប្រើរូបមន្តល្បី (តាមរយៈអ្នករើសអើង) ។
- ដំណោះស្រាយគឺធរណីមាត្រ។
ដូចដែលបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ពីបញ្ជីខាងលើ វិធីសាស្ត្របីដំបូងគឺពិជគណិត ដូច្នេះពួកវាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាងវិធីចុងក្រោយ ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការគូសក្រាហ្វិកមុខងារ។
មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ វាអាចត្រូវបានរាប់បញ្ចូលទី 5 នៅក្នុងបញ្ជីខាងលើ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះមិនត្រូវបានធ្វើទេ ដោយសារទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺជាផលវិបាកដ៏សាមញ្ញនៃវិធីសាស្ត្រទី 3 ។
វិធីសាស្រ្តលេខ 1 ។ ការបំបែកឯកតា
មានឈ្មោះដ៏ស្រស់ស្អាតសម្រាប់វិធីសាស្ត្រនេះក្នុងគណិតវិទ្យានៃសមីការចតុកោណៈ កត្តាកត្តា។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះមានដូចខាងក្រោម៖ ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញសមីការការ៉េជាផលគុណនៃពាក្យពីរ (កន្សោម) ដែលត្រូវតែស្មើសូន្យ។ បន្ទាប់ពីការតំណាងបែបនេះ មនុស្សម្នាក់អាចប្រើលក្ខណសម្បត្តិផលិតផលដែលនឹងស្មើនឹងសូន្យ លុះត្រាតែសមាជិកមួយ ឬច្រើន (ទាំងអស់) របស់វាស្មើសូន្យ។
ឥឡូវពិចារណាពីលំដាប់នៃសកម្មភាពជាក់លាក់ដែលត្រូវអនុវត្ត ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ៖
- ផ្ទេរសមាជិកទាំងអស់ទៅផ្នែកមួយនៃកន្សោម (ឧទាហរណ៍ ទៅខាងឆ្វេង) ដូច្នេះមានតែ 0 ប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតរបស់វា (ស្តាំ)។
- បង្ហាញផលបូកនៃពាក្យនៅក្នុងផ្នែកមួយនៃសមីការដែលជាផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ។
- យកកន្សោមលីនេអ៊ែរនីមួយៗទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយវា។
ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ក្បួនដោះស្រាយកត្តាគឺសាមញ្ញណាស់ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សិស្សភាគច្រើនមានការលំបាកក្នុងអំឡុងពេលអនុវត្តចំណុចទី 2 ដូច្នេះយើងនឹងពន្យល់លម្អិតបន្ថែមទៀត។
ដើម្បីទាយថាតើកន្សោមលីនេអ៊ែរ 2 មួយណា នៅពេលគុណនឹងគ្នានឹងផ្តល់សមីការការ៉េដែលចង់បាន អ្នកត្រូវចាំច្បាប់សាមញ្ញពីរ៖
- មេគុណលីនេអ៊ែរនៃកន្សោមលីនេអ៊ែរពីរនៅពេលគុណនឹងគ្នាទៅវិញទៅមកគួរតែផ្តល់មេគុណទីមួយនៃសមីការការ៉េ ពោលគឺលេខ a ។
- លក្ខខណ្ឌសេរីនៃកន្សោមលីនេអ៊ែរ នៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានគុណ ត្រូវតែផ្តល់លេខ c នៃសមីការដែលចង់បាន។
បន្ទាប់ពីចំនួនកត្តាទាំងអស់ត្រូវបានជ្រើសរើស វាគួរតែត្រូវបានគុណ ហើយប្រសិនបើពួកគេផ្តល់សមីការដែលចង់បាន បន្ទាប់មកទៅកាន់ជំហានទី 3 ក្នុងក្បួនដោះស្រាយខាងលើ បើមិនដូច្នេះទេ កត្តាគួរតែត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ប៉ុន្តែត្រូវតែធ្វើដូច្នេះ ច្បាប់ខាងលើ តែងតែត្រូវបានបំពេញ។
ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រកត្តា
យើងនឹងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីរបៀបចងក្រងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ និងស្វែងរកឫសដែលមិនស្គាល់។ សូមឲ្យកន្សោមបំពានមួយត្រូវបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1 ។ ចូរបន្តទៅដំណោះស្រាយរបស់វា ដោយសង្កេតមើលលំដាប់នៃចំណុចពី 1 ទៅ 3 ដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុននៃអត្ថបទ។
ចំណុច 1. ចូរយើងផ្លាស់ទីពាក្យទាំងអស់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយបង្កើតវានៅក្នុងលំដាប់បុរាណសម្រាប់សមីការបួនជ្រុង។ យើងមានសមភាពដូចខាងក្រោមៈ 2*x+(-8)+x 2=0។
ចំណុច 2. យើងបំបែកវាទៅជាផលិតផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ចាប់តាំងពី a=1, និង c=-8, បន្ទាប់មកយើងនឹងជ្រើសរើសឧទាហរណ៍ដូចជា ផលិតផល (x-2)*(x+4)។ វាបំពេញច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកកត្តារំពឹងទុកដែលមានចែងក្នុងកថាខណ្ឌខាងលើ។ ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀប យើងទទួលបាន៖ -8+2*x+x 2 នោះមានន័យថា យើងទទួលបានកន្សោមដូចគ្នានឹងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ នេះមានន័យថា យើងបានទាយគុណនឹងបានត្រឹមត្រូវ ហើយយើងអាចបន្តទៅជំហានទី 3 នៃក្បួនដោះស្រាយ។
ធាតុទី 3. យើងយកកត្តានីមួយៗទៅសូន្យ យើងទទួលបាន: x=-4 និង x=2 ។
ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន វាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិនិត្យដោយជំនួសឫសដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម។ ក្នុងករណីនេះយើងមាន៖ 2*2+2 2 -8=0 និង 2*(-4)+(-4) 2 -8=0។ ឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។
ដូច្នេះ តាមវិធីបង្កើតកត្តា យើងបានរកឃើញថាសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសពីរផ្សេងគ្នាគឺ 2 និង -4 ។
វិធីទី ២ ។ បំពេញការ៉េពេញ
នៅក្នុងពិជគណិតនៃសមីការការេ វិធីសាស្ត្រមេគុណមិនអាចប្រើបានជានិច្ចទេ ព្រោះក្នុងករណីនៃតម្លៃប្រភាគនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េ ការលំបាកកើតឡើងក្នុងការអនុវត្តកថាខណ្ឌទី 2 នៃក្បួនដោះស្រាយ។
វិធីសាស្ត្រការ៉េពេញលេញ ជាសកល ហើយអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះសមីការការ៉េនៃប្រភេទណាមួយ។ ខ្លឹមសាររបស់វាគឺដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចខាងក្រោមៈ
- លក្ខខណ្ឌនៃសមីការដែលមានមេគុណ a និង b ត្រូវតែផ្ទេរទៅផ្នែកមួយនៃសមភាព ហើយពាក្យទំនេរ c ទៅមួយទៀត។
- លើសពីនេះ ផ្នែកនៃសមភាព (ស្តាំ និងឆ្វេង) គួរតែត្រូវបានបែងចែកដោយមេគុណ a ពោលគឺសមីការគួរតែត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់កាត់បន្ថយ (a=1)។
- ផលបូកនៃពាក្យដែលមានមេគុណ a និង b ត្រូវបានតំណាងជាការ៉េនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ចាប់តាំងពី \u003d 1 បន្ទាប់មកមេគុណលីនេអ៊ែរនឹងស្មើនឹង 1 ដូចជាសម្រាប់រយៈពេលទំនេរនៃសមីការលីនេអ៊ែរ នោះវាគួរតែស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃមេគុណលីនេអ៊ែរនៃសមីការការ៉េដែលបានកាត់បន្ថយ។ បន្ទាប់ពីការ៉េនៃកន្សោមលីនេអ៊ែរត្រូវបានគូរឡើង វាចាំបាច់ត្រូវបន្ថែមលេខដែលត្រូវគ្នាទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព ដែលពាក្យទំនេរស្ថិតនៅ ដែលត្រូវបានទទួលដោយការបើកការ៉េ។
- យកឫសការ៉េដែលមានសញ្ញា "+" និង "-" ហើយដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដែលទទួលបានរួចហើយ។
ក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិពណ៌នាអាចនៅ glance ដំបូងត្រូវបានយល់ឃើញថាមានភាពស្មុគស្មាញជាង ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តវាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តជាងវិធីសាស្ត្រកត្តា។
ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដោយប្រើការបំពេញការ៉េពេញលេញ
យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាលដំណោះស្រាយរបស់វាដោយវិធីសាស្ត្រដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ អនុញ្ញាតឱ្យសមីការការ៉េ -10 - 6*x+5*x 2 = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយវាតាមវិធីដោះស្រាយដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។
ចំណុច 1. យើងប្រើវិធីផ្ទេរនៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េ យើងទទួលបាន៖ - 6 * x + 5 * x 2 = 10 ។
ចំណុច 2. ទម្រង់កាត់បន្ថយនៃសមីការនេះត្រូវបានទទួលដោយការបែងចែកដោយលេខ 5 នៃសមាជិកនីមួយៗរបស់វា (ប្រសិនបើសមភាពទាំងពីរត្រូវបានបែងចែក ឬគុណដោយចំនួនដូចគ្នា នោះសមភាពនឹងត្រូវបានរក្សាទុក)។ ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរយើងទទួលបាន: x 2 - 6/5 * x = 2 ។
ធាតុទី 3. មេគុណពាក់កណ្តាល - 6/5 ស្មើនឹង -6/10 = -3/5 យើងប្រើលេខនេះដើម្បីធ្វើការ៉េពេញ យើងទទួលបាន: (-3/5 + x) 2 ។ យើងពង្រីកវា ហើយលទ្ធផលនៃពាក្យសេរីគួរតែត្រូវបានដកចេញពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព ដើម្បីបំពេញទម្រង់ដើមនៃសមីការការ៉េ ដែលស្មើនឹងការបន្ថែមវាទៅផ្នែកខាងស្តាំ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ (-3/5+x) 2 = 59/25 ។
ចំណុចទី 4. យើងគណនាឫសការ៉េដែលមានសញ្ញាវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ហើយរកឫស: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5 ។ ឫសដែលរកឃើញទាំងពីរមានតម្លៃដូចខាងក្រោម៖ x 1 = (√59+3)/5 និង x 1 = (3-√59)/5 ។
ដោយសារការគណនាដែលបានអនុវត្តគឺទាក់ទងទៅនឹងឫស វាមានប្រូបាបខ្ពស់ក្នុងការធ្វើខុស។ ដូច្នេះវាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃឫស x 2 និង x 1 ។ យើងទទួលបានសម្រាប់ x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. ឥឡូវជំនួស x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0 ។
ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញថាឫសគល់នៃសមីការគឺជាការពិត។
វិធីសាស្រ្តលេខ 3 ។ ការអនុវត្តរូបមន្តល្បី
វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការ quadratic នេះគឺប្រហែលជាសាមញ្ញបំផុតព្រោះវាមាននៅក្នុងការជំនួសមេគុណទៅជារូបមន្តដែលគេស្គាល់។ ដើម្បីប្រើវា អ្នកមិនចាំបាច់គិតអំពីការចងក្រងក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយនោះទេ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំរូបមន្តតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ វាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាពខាងលើ។
នៅក្នុងរូបមន្តនេះ កន្សោមឫស (b 2 -4*a*c) ត្រូវបានគេហៅថា រើសអើង (D)។ ពីតម្លៃរបស់វាអាស្រ័យលើអ្វីដែលឫសត្រូវបានទទួល។ ៣ ករណីអាចធ្វើទៅបាន៖
- D>0 បន្ទាប់មកសមីការឫសគល់ពីរមានពិត និងខុសគ្នា។
- D=0 បន្ទាប់មកឫសមួយត្រូវបានទទួល ដែលអាចត្រូវបានគណនាពីកន្សោម x = -b / (a *2) ។
- ឃ<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.
ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយតាមរយៈការគណនានៃអ្នករើសអើង
នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េដើម្បីអនុវត្តដោយប្រើរូបមន្តខាងលើ។ ស្វែងរកឫសសម្រាប់ -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0។ ដំបូងគណនាតម្លៃនៃអ្នករើសអើង យើងទទួលបាន៖ D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-៣)* (−៦) = −២៣.
ចាប់តាំងពីបានទទួល D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.
វិធីសាស្រ្តលេខ 4 ។ ការប្រើប្រាស់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍
វាត្រូវបានគេហៅផងដែរថាវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិចសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ វាគួរតែត្រូវបាននិយាយថាវាត្រូវបានគេប្រើជាក្បួនមិនមែនសម្រាប់បរិមាណទេប៉ុន្តែសម្រាប់ការវិភាគគុណភាពនៃសមីការដែលកំពុងពិចារណា។
ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រគឺកំណត់មុខងារបួនជ្រុង y = f(x) ដែលជាប៉ារ៉ាបូឡា។ បន្ទាប់មក ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ត្រង់ចំណុចណាដែលអ័ក្ស abscissa (X) នៃប៉ារ៉ាបូឡាប្រសព្វគ្នា ពួកគេនឹងក្លាយជាឫសគល់នៃសមីការដែលត្រូវគ្នា។
ដើម្បីប្រាប់ថាតើប៉ារ៉ាបូឡានឹងកាត់អ័ក្ស x វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីទីតាំងអប្បបរមារបស់វា (អតិបរមា) និងទិសដៅនៃមែករបស់វា (ពួកគេអាចកើនឡើងឬបន្ថយ) ។ មានលក្ខណៈសម្បត្តិពីរនៃខ្សែកោងនេះដែលត្រូវចងចាំ៖
- ប្រសិនបើ a>0 - ប៉ារ៉ាបូឡានៃសាខាត្រូវបានដឹកនាំឡើងលើ ផ្ទុយមកវិញ ប្រសិនបើ a<0, то они идут вниз.
- កូអរដោនេនៃអប្បបរមា (អតិបរមា) នៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺតែងតែ x = -b/(2*a) ។
ជាឧទាហរណ៍ ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ថាតើសមីការ -4*x+5*x 2 +10=0 មានឫសឬស។ ប៉ារ៉ាបូឡាដែលត្រូវគ្នានឹងត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ ចាប់តាំងពី a=5>0។ ភាពខ្លាំងរបស់វាមានកូអរដោនេ៖ x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9.2. ដោយសារអប្បរមានៃខ្សែកោងស្ថិតនៅពីលើអ័ក្ស x (y=9.2) វាមិនប្រសព្វជាមួយតម្លៃណាមួយនៃ x ទេ។ នោះគឺសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា
ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាផលវិបាកនៃវិធីសាស្រ្តលេខ 3 ដែលផ្អែកលើការអនុវត្តរូបមន្តជាមួយការរើសអើង។ ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta គឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកភ្ជាប់មេគុណនៃសមីការ និងឫសរបស់វាទៅជាសមភាព។ យើងទទួលបានសមភាពដែលត្រូវគ្នា។
ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫសតាមរយៈអ្នករើសអើង។ ចូរបន្ថែមឫសពីរ យើងទទួលបាន៖ x 1 + x 2 \u003d -b / a ។ ឥឡូវនេះយើងគុណឫសដោយគ្នាទៅវិញទៅមក: x 1 * x 2 បន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញជាបន្តបន្ទាប់យើងទទួលបានលេខ c / a ។
ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta អ្នកអាចប្រើសមភាពទាំងពីរដែលទទួលបាន។ ប្រសិនបើមេគុណទាំងបីនៃសមីការមួយត្រូវបានគេស្គាល់ នោះឫសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមស្របនៃសមីការទាំងពីរនេះ។
ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta
វាចាំបាច់ក្នុងការគូរសមីការបួនជ្រុង ប្រសិនបើគេដឹងថាវាមានទម្រង់ x 2 + c \u003d -b * x ហើយឫសរបស់វាគឺ 3 និង -4 ។
ដោយសារនៅក្នុងសមីការដែលកំពុងពិចារណា a \u003d 1 នោះរូបមន្ត Vieta នឹងមើលទៅដូច៖ x 2 + x 1 \u003d -b និង x 2 * x 1 \u003d គ។ ការជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់នៃឫសយើងទទួលបាន: b = 1 និង c = -12 ។ ជាលទ្ធផល សមីការការ៉េដែលបានស្ដារឡើងវិញនឹងមើលទៅដូច៖ x 2 -12 = -1*x ។ អ្នកអាចជំនួសតម្លៃនៃឫសចូលទៅក្នុងវា និងធ្វើឱ្យប្រាកដថាសមភាពទទួលបាន។
ការអនុវត្តបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta ពោលគឺការគណនាឫសតាមទម្រង់នៃសមីការដែលស្គាល់ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់ចំនួនគត់តូច a, b និង c យ៉ាងឆាប់រហ័ស (ដោយវិចារណញាណ)។
សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 8 ដូច្នេះមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅទីនេះទេ។ សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយពួកគេគឺចាំបាច់។
សមីការ quadratic គឺជាសមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 ដែលមេគុណ a , b និង c ជាលេខបំពាន និង a ≠ 0 ។
មុននឹងសិក្សាវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយជាក់លាក់ យើងកត់សំគាល់ថាសមីការការ៉េទាំងអស់អាចបែងចែកជាបីថ្នាក់៖
- មិនមានឫស;
- ពួកវាមានឫសតែមួយ។
- ពួកគេមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។
នេះគឺជាភាពខុសគ្នាដ៏សំខាន់មួយរវាងសមីការការ៉េ និងលីនេអ៊ែរ ដែលឫសតែងតែមាន និងមានតែមួយគត់។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ថាតើសមីការមួយមានឫសប៉ុន្មាន? មានរឿងអស្ចារ្យសម្រាប់រឿងនេះ - រើសអើង.
រើសអើង
សូមឱ្យសមីការការ៉េអ័ក្ស 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកអ្នករើសអើងគឺជាលេខ D = b 2 − 4ac ។
រូបមន្តនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ វាមកពីណាមិនសំខាន់ទេឥឡូវនេះ។ រឿងមួយទៀតគឺសំខាន់៖ តាមសញ្ញានៃអ្នករើសអើង អ្នកអាចកំណត់ថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសប៉ុន្មាន។ ពោលគឺ៖
- ប្រសិនបើ D< 0, корней нет;
- ប្រសិនបើ D = 0 មានឫសមួយពិតប្រាកដ។
- ប្រសិនបើ D > 0 វានឹងមានឫសពីរ។
សូមចំណាំ៖ ការរើសអើងបង្ហាញពីចំនួនឫស ហើយមិនមែននៅសញ្ញាទាំងអស់នោះទេ ដូចជាហេតុផលមួយចំនួនដែលមនុស្សជាច្រើនគិត។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ អ្នកនឹងយល់គ្រប់យ៉ាងដោយខ្លួនឯង៖
កិច្ចការ។ តើសមីការការ៉េមានឫសប៉ុន្មាន៖
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0 ។
យើងសរសេរមេគុណសម្រាប់សមីការទីមួយ ហើយស្វែងរកការរើសអើង៖
a = 1, b = −8, c = 12;
ឃ = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
ដូច្នេះ ការរើសអើងគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ យើងវិភាគសមីការទីពីរតាមរបៀបដូចគ្នា៖
a = 5; b = 3; c = 7;
ឃ \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131 ។
អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន គ្មានឫសគល់។ សមីការចុងក្រោយនៅសល់៖
a = 1; b = -6; c = 9;
ឃ = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0 ។
ការរើសអើងគឺស្មើនឹងសូន្យ - ឫសនឹងតែមួយ។
ចំណាំថាមេគុណត្រូវបានសរសេរចេញសម្រាប់សមីការនីមួយៗ។ បាទ វាវែង បាទ វាធុញទ្រាន់ ប៉ុន្តែអ្នកនឹងមិនលាយឡំនឹងហាងឆេង ហើយកុំធ្វើកំហុសឆោតល្ងង់។ ជ្រើសរើសសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ ល្បឿនឬគុណភាព។
ដោយវិធីនេះប្រសិនបើអ្នក "បំពេញដៃរបស់អ្នក" បន្ទាប់ពីមួយរយៈអ្នកនឹងមិនចាំបាច់សរសេរមេគុណទាំងអស់ទៀតទេ។ អ្នកនឹងធ្វើប្រតិបត្តិការបែបនេះនៅក្នុងក្បាលរបស់អ្នក។ មនុស្សភាគច្រើនចាប់ផ្តើមធ្វើវានៅកន្លែងណាមួយបន្ទាប់ពីសមីការដោះស្រាយ 50-70 - ជាទូទៅមិនច្រើនទេ។
ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើការរើសអើង D > 0 ឫសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖
រូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ
នៅពេល D = 0 អ្នកអាចប្រើរូបមន្តទាំងនេះណាមួយ - អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាដែលនឹងជាចម្លើយ។ ជាចុងក្រោយ ប្រសិនបើ D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0 ។
សមីការទីមួយ៖
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
ឃ = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16 ។
D > 0 ⇒ សមីការមានឫសពីរ។ តោះស្វែងរកពួកគេ៖
សមីការទីពីរ៖
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
ឃ = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64 ។
D > 0 ⇒ សមីការម្តងទៀតមានឫសពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកគេ។
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1\right))=-5; \\ & ((x)_(២))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1\right))=3. \\ \end(តម្រឹម)\]
ទីបំផុតសមីការទីបី៖
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
ឃ = 12 2 − 4 1 36 = 0 ។
D = 0 ⇒ សមីការមានឫសតែមួយ។ រូបមន្តណាមួយអាចត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍ទីមួយ៖
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពីឧទាហរណ៍អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីរូបមន្ត និងអាចរាប់បាន នោះនឹងមិនមានបញ្ហាអ្វីឡើយ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ កំហុសកើតឡើងនៅពេលដែលមេគុណអវិជ្ជមានត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងរូបមន្ត។ នៅទីនេះ ជាថ្មីម្តងទៀត បច្ចេកទេសដែលបានពិពណ៌នាខាងលើនឹងជួយ: មើលរូបមន្តតាមព្យញ្ជនៈ គូរជំហាននីមួយៗ - និងកម្ចាត់កំហុសក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ។
សមីការការ៉េមិនពេញលេញ
វាកើតឡើងថាសមីការ quadratic គឺខុសគ្នាបន្តិចពីអ្វីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងនិយមន័យ។ ឧទាហរណ៍:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0 ។
វាងាយស្រួលមើលថាពាក្យមួយត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការទាំងនេះ។ សមីការការ៉េបែបនេះគឺងាយស្រួលដោះស្រាយជាងសមីការស្ដង់ដារ៖ ពួកគេមិនចាំបាច់គណនាអ្នករើសអើងឡើយ។ ដូច្នេះសូមណែនាំគំនិតថ្មី៖
សមីការ ax 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ quadratic មិនពេញលេញ ប្រសិនបើ b = 0 ឬ c = 0, i.e. មេគុណនៃអថេរ x ឬធាតុទំនេរគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ជាការពិតណាស់ ករណីដ៏លំបាកមួយគឺអាចធ្វើទៅបាន នៅពេលដែលមេគុណទាំងពីរនេះស្មើនឹងសូន្យ៖ b \u003d c \u003d 0 ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការយកទម្រង់ ax 2 \u003d 0 ។ ជាក់ស្តែង សមីការបែបនេះមានតែមួយ ឫស៖ x \u003d 0 ។
ចូរយើងពិចារណាករណីផ្សេងទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យ b \u003d 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 + c \u003d 0 ។ សូមបំប្លែងវាបន្តិច៖
ដោយសារឫសការេនព្វន្ធមានតែពីចំនួនមិនអវិជ្ជមានទេ សមភាពចុងក្រោយមានន័យតែពេល (−c/a) ≥ 0។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
- ប្រសិនបើសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 + c = 0 បំពេញវិសមភាព (−c/a) ≥ 0 វានឹងមានឫសពីរ។ រូបមន្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ;
- ប្រសិនបើ (−c/a)< 0, корней нет.
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការរើសអើងមិនត្រូវបានទាមទារ - មិនមានការគណនាស្មុគស្មាញទាល់តែសោះនៅក្នុងសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ តាមពិតទៅ វាមិនចាំបាច់សូម្បីតែចងចាំវិសមភាព (−c/a) ≥ 0។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញតម្លៃនៃ x 2 ហើយមើលអ្វីដែលនៅម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើគ្នា។ បើមានលេខវិជ្ជមាន នោះនឹងមានឫសពីរ។ ប្រសិនបើអវិជ្ជមាន វានឹងមិនមានឫសអ្វីទាំងអស់។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx = 0 ដែលនៅក្នុងនោះ ធាតុទំនេរស្មើនឹងសូន្យ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ: វាតែងតែមានឫសពីរ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគណនាពហុនាម៖
យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀបផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺជាកន្លែងដែលឫសមកពី។ សរុបសេចក្តី យើងនឹងវិភាគសមីការទាំងនេះមួយចំនួន៖
កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0 ។
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7 ។
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6 ។ មិនមានឫសទេពីព្រោះ ការ៉េមិនអាចស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានទេ។
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5 ។
