សមីការលោការីតសមីការត្រូវបានគេហៅថាដែលមិនស្គាល់ (x) និងកន្សោមជាមួយវាស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍លោការីត។ ការដោះស្រាយសមីការលោការីតសន្មត់ថាអ្នកធ្លាប់ស្គាល់ និង .
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត?

សមីការសាមញ្ញបំផុតគឺ កំណត់ហេតុ a x = bដែល a និង b ជាលេខមួយចំនួន x គឺជាលេខមិនស្គាល់។
ការដោះស្រាយសមីការលោការីតគឺ x = a b ផ្តល់ៈ a > 0, a 1 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើ x នៅកន្លែងណាមួយនៅខាងក្រៅលោការីតឧទាហរណ៍ log 2 x \u003d x-2 នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាចម្រុះរួចហើយ ហើយវិធីសាស្រ្តពិសេសគឺត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយវា។

ករណីដ៏ល្អគឺនៅពេលដែលអ្នកជួបសមីការដែលមានតែលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត ឧទាហរណ៍ x + 2 \u003d កំណត់ហេតុ 2 2. នៅទីនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីតដើម្បីដោះស្រាយវា។ ប៉ុន្តែ​សំណាង​បែប​នេះ​មិន​បាន​កើត​ឡើង​ញឹកញាប់​ទេ ដូច្នេះ​ត្រូវ​ត្រៀម​ខ្លួន​សម្រាប់​រឿង​លំបាក​បន្ថែម​ទៀត។

ប៉ុន្តែជាដំបូង, បន្ទាប់ពីទាំងអស់, ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសមីការសាមញ្ញ។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកវា វាជាការចង់ឱ្យមានគំនិតទូទៅបំផុតនៃលោការីត។

ការដោះស្រាយសមីការលោការីតសាមញ្ញ

ទាំងនេះរួមបញ្ចូលសមីការដូចជា log 2 x \u003d log 2 16. វាអាចមើលឃើញដោយភ្នែកទទេថាដោយការលុបសញ្ញាលោការីតយើងទទួលបាន x \u003d 16 ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីតដែលស្មុគ្រស្មាញជាងនេះ ជាធម្មតាវានាំទៅរកដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតធម្មតា ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត a x = b ។ នៅក្នុងសមីការសាមញ្ញបំផុត វាកើតឡើងក្នុងចលនាមួយ ដែលនេះជាមូលហេតុដែលពួកគេត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញបំផុត។

វិធីសាស្រ្តទម្លាក់លោការីតខាងលើគឺជាវិធីចម្បងមួយដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្រតិបត្តិការនេះត្រូវបានគេហៅថាសក្តានុពល។ មានច្បាប់ ឬការរឹតបន្តឹងមួយចំនួនសម្រាប់ប្រតិបត្តិការប្រភេទនេះ៖

• លោការីតមានមូលដ្ឋានលេខដូចគ្នា។
• លោការីតនៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការគឺឥតគិតថ្លៃ ពោលគឺឧ។ ដោយគ្មានមេគុណ និងប្រភេទផ្សេងៗនៃកន្សោម។

ចូរនិយាយថានៅក្នុងកំណត់ហេតុសមីការ 2 x \u003d 2log 2 (1- x) សក្តានុពលមិនអាចអនុវត្តបានទេ - មេគុណ 2 នៅខាងស្តាំមិនអនុញ្ញាតទេ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម log 2 x + log 2 (1 − x) = log 2 (1 + x) មួយនៃការរឹតបន្តឹងក៏មិនពេញចិត្តដែរ - មានលោការីតពីរនៅខាងឆ្វេង។ នោះនឹងជារឿងមួយ - បញ្ហាខុសគ្នាទាំងស្រុង!

ជាទូទៅ អ្នកអាចដកលោការីតបានលុះត្រាតែសមីការមានទម្រង់៖

log a(...) = log a(...)

កន្សោមណាមួយអាចស្ថិតនៅក្នុងតង្កៀប នេះពិតជាមិនប៉ះពាល់ដល់ប្រតិបត្តិការសក្តានុពលនោះទេ។ ហើយបន្ទាប់ពីការលុបបំបាត់លោការីត សមីការសាមញ្ញនឹងនៅតែមាន - លីនេអ៊ែរ ចតុកោណ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ជាដើម ដែលអ្នករួចហើយ ខ្ញុំសង្ឃឹមថា ដឹងពីរបៀបដោះស្រាយ។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

log 3 (2x-5) = log 3 x

ការអនុវត្តសក្តានុពល យើងទទួលបាន៖

កំណត់ហេតុ 3 (2x-1) = 2

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃលោការីត ពោលគឺលោការីត គឺជាចំនួនដែលមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើង ដើម្បីទទួលបានកន្សោមដែលស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត ឧ។ (4x-1) យើងទទួលបាន៖

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងទទួលបានចម្លើយដ៏ល្អ។ នៅទីនេះយើងធ្វើដោយគ្មានការលុបបំបាត់លោការីត ប៉ុន្តែសក្តានុពលក៏អាចអនុវត្តបាននៅទីនេះផងដែរ ពីព្រោះលោការីតអាចបង្កើតបានពីលេខណាមួយ និងពិតប្រាកដមួយដែលយើងត្រូវការ។ វិធីសាស្រ្តនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការលោការីត និងជាពិសេសវិសមភាព។

តោះដោះស្រាយសមីការលោការីត 3 (2x-1) = 2 ដោយប្រើសក្តានុពល៖

ចូរតំណាងឱ្យលេខ 2 ជាលោការីត ឧទាហរណ៍ កំណត់ហេតុបែបនេះ 3 9 ពីព្រោះ 3 2 = 9 ។

បន្ទាប់មក log 3 (2x-1) = log 3 9 ហើយម្តងទៀតយើងទទួលបានសមីការដូចគ្នា 2x-1 = 9 ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្វីៗគឺច្បាស់។

ដូច្នេះ យើងបានមើលពីរបៀបដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត ដែលពិតជាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ពីព្រោះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតសូម្បីតែរឿងដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច និងរមួលក្រពើបំផុតក៏ដោយ នៅទីបញ្ចប់តែងតែចុះមកដើម្បីដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញបំផុត។

អ្វីទាំងអស់ដែលយើងបានធ្វើខាងលើ យើងបានមើលរំលងចំណុចសំខាន់មួយ ដែលនឹងដើរតួយ៉ាងសំខាន់នាពេលអនាគត។ ការពិតគឺថា ដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីត សូម្បីតែផ្នែកបឋមបំផុតក៏ដោយ មានពីរផ្នែកសមមូល។ ទីមួយគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការខ្លួនវា ទីពីរគឺធ្វើការជាមួយតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន (ODV) ។ នោះគ្រាន់តែជាផ្នែកដំបូងដែលយើងបានស្ទាត់ជំនាញ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ODD មិនប៉ះពាល់ដល់ចម្លើយតាមមធ្យោបាយណាមួយទេ ដូច្នេះយើងមិនបានពិចារណាវាទេ។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

កំណត់ហេតុ 3 (x 2 −3) = កំណត់ហេតុ 3 (2x)

ខាងក្រៅ សមីការនេះមិនខុសពីបឋមសិក្សាទេ ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយជោគជ័យ។ ប៉ុន្តែវាមិនដូច្នោះទេ។ ទេ យើងនឹងដោះស្រាយវា ប៉ុន្តែភាគច្រើនទំនងជាវានឹងខុស ព្រោះមានការវាយឆ្មក់តូចមួយនៅក្នុងនោះ ដែលទាំងសិស្ស C និងសិស្សពូកែធ្លាក់ចូលភ្លាមៗ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់។

ឧបមាថាអ្នកត្រូវស្វែងរកឫសនៃសមីការ ឬផលបូកនៃឫស ប្រសិនបើមានច្រើន៖

កំណត់ហេតុ 3 (x 2 −3) = កំណត់ហេតុ 3 (2x)

យើងអនុវត្តសក្តានុពល នៅទីនេះវាត្រូវបានអនុញ្ញាត។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការការ៉េធម្មតា។

យើងរកឃើញឫសនៃសមីការ៖

មានឫសពីរ។

ចម្លើយ៖ ៣ និង -១

នៅ glance ដំបូង, អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រឹមត្រូវ។ ប៉ុន្តែសូមពិនិត្យមើលលទ្ធផល ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការដើម។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

ការត្រួតពិនិត្យបានជោគជ័យ ឥឡូវនេះ ជួរ x 2 = -1:

កំណត់ហេតុ 3 (-2) = កំណត់ហេតុ 3 (-2)

បាទ ឈប់! ខាងក្រៅ អ្វីៗគឺល្អឥតខ្ចោះ។ ពេលមួយ - មិនមានលោការីតពីលេខអវិជ្ជមានទេ! ហើយនេះមានន័យថា root x \u003d -1 មិនសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការរបស់យើងទេ។ ដូច្នេះហើយ ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវនឹងមាន 3 មិនមែន 2 ដូចដែលយើងបានសរសេរ។

វានៅទីនេះដែល ODZ បានដើរតួយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ ដែលយើងបំភ្លេចចោល។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា នៅក្រោមតំបន់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន តម្លៃបែបនេះត្រូវបានទទួលយកដែលត្រូវបានអនុញ្ញាត ឬសមហេតុផលសម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើម។

បើគ្មាន ODZ ដំណោះស្រាយណាមួយ សូម្បីតែសមីការណាមួយដែលត្រឹមត្រូវ ប្រែទៅជាឆ្នោត - 50/50 ។

តើ​យើង​អាច​ចាប់​បាន​ដោយ​របៀប​ណា​ពេល​កំពុង​ដោះស្រាយ​ឧទាហរណ៍​ដែល​ហាក់​ដូច​ជា​បឋម? ហើយនៅទីនេះវាគឺជាពេលនៃសក្តានុពល។ លោការីត​បាន​បាត់​ទៅ​ហើយ​ជាមួយ​ពួកគេ​ទាំង​អស់​។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើក្នុងករណីបែបនេះ? បដិសេធមិនលុបបំបាត់លោការីត? ហើយបោះបង់ចោលទាំងស្រុងនូវដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ?

ទេ យើងគ្រាន់តែដូចជាវីរបុរសពិតប្រាកដពីបទចម្រៀងដ៏ល្បីល្បាញមួយនឹងទៅជុំវិញ!

មុននឹងបន្តដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតណាមួយ យើងនឹងសរសេរ ODZ ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីនោះ អ្នកអាចធ្វើអ្វីដែលចិត្តអ្នកចង់បានជាមួយនឹងសមីការរបស់យើង។ ដោយបានទទួលចំលើយ យើងគ្រាន់តែបោះចោលនូវឫសគល់ទាំងនោះដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុង ODZ របស់យើង ហើយសរសេរចុះកំណែចុងក្រោយ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងសម្រេចចិត្តពីរបៀបសរសេរ ODZ ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងពិនិត្យមើលសមីការដើមដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ហើយរកមើលកន្លែងដែលគួរឱ្យសង្ស័យនៅក្នុងវា ដូចជាការបែងចែកដោយ x ឫសនៃដឺក្រេគូ។ល។ ទាល់តែយើងដោះស្រាយសមីការ ទើបយើងមិនដឹងថា x ស្មើនឹងមួយណាទេ ប៉ុន្តែយើងដឹងច្បាស់ថា x បែបនេះ ដែលនៅពេលជំនួស វានឹងផ្តល់ការបែងចែកដោយ 0 ឬការស្រង់ចេញនៃឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានគឺ ជាក់ស្តែងមិនសមនឹងចម្លើយ។ ដូច្នេះ x បែបនេះមិនអាចទទួលយកបានទេ ខណៈដែលនៅសល់នឹងបង្កើតជា ODZ ។

តោះប្រើសមីការដដែលម្តងទៀត៖

កំណត់ហេតុ 3 (x 2 −3) = កំណត់ហេតុ 3 (2x)

កំណត់ហេតុ 3 (x 2 −3) = កំណត់ហេតុ 3 (2x)

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមិនមានការបែងចែកដោយ 0 មិនមានឫសការ៉េទេ ប៉ុន្តែមានកន្សោមជាមួយ x នៅក្នុងតួនៃលោការីត។ យើងចាំភ្លាមថាកន្សោមនៅខាងក្នុងលោការីតត្រូវតែជា > 0 ជានិច្ច។ លក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ODZ៖

ទាំងនោះ។ យើងមិនទាន់បានដោះស្រាយអ្វីនៅឡើយទេ ប៉ុន្តែយើងបានសរសេររួចហើយនូវលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់កន្សោម sublogarithmic ទាំងមូល។ ខ្សែដៃអង្កាញ់មានន័យថាលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលតែមួយ។

ODZ ត្រូវបានសរសេរចុះ ប៉ុន្តែវាក៏ចាំបាច់ផងដែរ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃវិសមភាព ដែលយើងនឹងធ្វើ។ យើងទទួលបានចម្លើយ x> v3 ។ ឥឡូវនេះយើងដឹងច្បាស់ថា x មួយណាដែលមិនសមនឹងយើង។ ហើយបន្ទាប់មកយើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការលោការីតដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ដែលយើងបានធ្វើខាងលើ។

ដោយបានទទួលចម្លើយ x 1 \u003d 3 និង x 2 \u003d -1 វាងាយស្រួលឃើញថាមានតែ x1 \u003d 3 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យសម្រាប់យើង ហើយយើងសរសេរវាជាចម្លើយចុងក្រោយ។

សម្រាប់ពេលអនាគត វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការចងចាំដូចខាងក្រោម៖ យើងដោះស្រាយសមីការលោការីតណាមួយជា 2 ដំណាក់កាល។ ទីមួយ - យើងដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង ទីពីរ - យើងដោះស្រាយលក្ខខណ្ឌនៃ ODZ ។ ដំណាក់កាលទាំងពីរត្រូវបានអនុវត្តដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយត្រូវបានប្រៀបធៀបតែនៅពេលសរសេរចម្លើយ ពោលគឺឧ។ យើងបោះបង់អ្វីដែលមិនចាំបាច់ ហើយសរសេរចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ យើងសូមណែនាំឱ្យមើលវីដេអូ៖

នៅក្នុងវីដេអូឧទាហរណ៍ផ្សេងទៀតនៃការដោះស្រាយកំណត់ហេតុ។ សមីការ និងដំណើរការវិធីសាស្រ្តនៃចន្លោះពេលក្នុងការអនុវត្ត។

ចំពោះបញ្ហានេះ របៀបដោះស្រាយសមីការលោការីតរហូតដល់អ្វីៗទាំងអស់។ ប្រសិនបើមានអ្វីមួយយោងទៅតាមការសម្រេចចិត្តនៃកំណត់ហេតុ។ សមីការនៅតែមិនច្បាស់លាស់ ឬមិនអាចយល់បាន សូមសរសេរសំណួររបស់អ្នកនៅក្នុងមតិយោបល់។

ចំណាំ៖ បណ្ឌិតសភាអប់រំសង្គម (KSUE) ត្រៀមទទួលសិស្សថ្មី។

ការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្តចុងក្រោយក្នុងគណិតវិទ្យារួមមានផ្នែកសំខាន់មួយ - "លោការីត" ។ ភារកិច្ចពីប្រធានបទនេះគឺចាំបាច់ក្នុងការប្រឡង។ បទពិសោធន៍នៃឆ្នាំកន្លងមកបង្ហាញថាសមីការលោការីតបង្កការលំបាកដល់សិស្សសាលាជាច្រើន។ ដូច្នេះ សិស្សានុសិស្សដែលមានកម្រិតនៃការបណ្តុះបណ្តាលផ្សេងៗគ្នាគួរតែយល់ពីរបៀបស្វែងរកចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវ និងឆាប់ដោះស្រាយជាមួយពួកគេ។

ឆ្លងកាត់ការប្រឡងវិញ្ញាបនប័ត្រដោយជោគជ័យដោយមានជំនួយពីវិបផតថលអប់រំ "Shkolkovo"!

នៅពេលរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម សិស្សបញ្ចប់វិទ្យាល័យត្រូវការប្រភពដែលអាចទុកចិត្តបានដែលផ្តល់ព័ត៌មានពេញលេញ និងត្រឹមត្រូវបំផុតសម្រាប់ដំណោះស្រាយជោគជ័យនៃបញ្ហាប្រឡង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅសិក្សាមិនតែងតែនៅនឹងដៃនោះទេ ហើយការស្វែងរកច្បាប់ និងរូបមន្តចាំបាច់នៅលើអ៊ីនធឺណិតតែងតែត្រូវការពេលវេលា។

វិបផតថលអប់រំ "Shkolkovo" អនុញ្ញាតឱ្យអ្នករៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងគ្រប់ទីកន្លែងគ្រប់ពេលវេលា។ គេហទំព័ររបស់យើងផ្តល់ជូននូវវិធីសាស្រ្តដ៏ងាយស្រួលបំផុតក្នុងការនិយាយឡើងវិញ និងធ្វើជាម្ចាស់នៃព័ត៌មានមួយចំនួនធំអំពីលោការីត ក៏ដូចជាការមិនស្គាល់មួយ និងមួយចំនួន។ ចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការងាយស្រួល។ ប្រសិនបើអ្នកស៊ូទ្រាំនឹងពួកគេដោយគ្មានការលំបាក ចូរបន្តទៅរកការលំបាកបន្ថែមទៀត។ ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពជាក់លាក់ណាមួយ អ្នកអាចបញ្ចូលវាទៅក្នុងចំណូលចិត្តរបស់អ្នក ដូច្នេះអ្នកអាចត្រលប់មកវាវិញនៅពេលក្រោយ។

អ្នកអាចស្វែងរករូបមន្តចាំបាច់ដើម្បីបំពេញកិច្ចការ ធ្វើឡើងវិញករណីពិសេស និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាឫសគល់នៃសមីការលោការីតស្តង់ដារដោយមើលផ្នែក "សេចក្តីយោងទ្រឹស្តី" ។ គ្រូបង្រៀននៃ "Shkolkovo" បានប្រមូល រៀបចំជាប្រព័ន្ធ និងបង្ហាញសម្ភារៈទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការចែកចាយប្រកបដោយជោគជ័យក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុត និងអាចយល់បាន។

ដើម្បីងាយស្រួលដោះស្រាយជាមួយនឹងកិច្ចការនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ នៅលើវិបផតថលរបស់យើង អ្នកអាចស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតធម្មតាមួយចំនួន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចូលទៅកាន់ផ្នែក "កាតាឡុក" ។ យើងបានបង្ហាញឧទាហរណ៍មួយចំនួនធំ រួមទាំងសមីការនៃកម្រិតទម្រង់នៃការប្រឡង Unified State ក្នុងគណិតវិទ្យា។

សិស្សមកពីសាលារៀនទូទាំងប្រទេសរុស្ស៊ីអាចប្រើវិបផតថលរបស់យើង។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម គ្រាន់តែចុះឈ្មោះក្នុងប្រព័ន្ធ ហើយចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការ។ ដើម្បីបង្រួបបង្រួមលទ្ធផល យើងណែនាំអ្នកឱ្យត្រឡប់ទៅគេហទំព័រ Shkolkovo ប្រចាំថ្ងៃ។

ការណែនាំ

សរសេរកន្សោមលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើកន្សោមប្រើលោការីត ១០ នោះសញ្ញាណរបស់វាត្រូវបានខ្លី ហើយមើលទៅដូចនេះ៖ lg b គឺជាលោការីតទសភាគ។ ប្រសិនបើលោការីតមានលេខ e ជាគោល នោះកន្សោមត្រូវបានសរសេរ៖ ln b គឺជាលោការីតធម្មជាតិ។ វាត្រូវបានយល់ថាលទ្ធផលនៃណាមួយគឺជាអំណាចដែលលេខមូលដ្ឋានត្រូវតែត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ b ។

នៅពេលស្វែងរកផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកពួកវាពីមួយទៅមួយ ហើយបន្ថែមលទ្ធផល៖ (u+v)" = u"+v";

នៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីរ ចាំបាច់ត្រូវគុណដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយទីពីរ ហើយបន្ថែមដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីពីរ គុណនឹងអនុគមន៍ទីមួយ៖ (u*v)" = u"* v+v"*u;

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ គឺចាំបាច់ពីផលគុណនៃដេរីវេនៃភាគលាភគុណនឹងអនុគមន៍ចែក ដើម្បីដកផលគុណនៃដេរីវេនៃមេចែកគុណនឹងអនុគមន៍ចែកចែក។ ទាំងអស់នេះដោយអនុគមន៍ចែកការ៉េ។ (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ប្រសិនបើអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះចាំបាច់ត្រូវគុណដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្នុង និងដេរីវេនៃផ្នែកខាងក្រៅ។ ឲ្យ y=u(v(x)) បន្ទាប់មក y"(x)=y"(u)*v"(x)។

ដោយប្រើដែលទទួលបានខាងលើអ្នកអាចបែងចែកមុខងារស្ទើរតែទាំងអស់។ ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
វាក៏មានភារកិច្ចសម្រាប់ការគណនាដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y=e^(x^2+6x+5) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x=1។
១) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)។

2) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ y"(1)=8*e^0=8

វីដេអូពាក់ព័ន្ធ

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

រៀនតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុបឋម។ នេះនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាច្រើន។

ប្រភព៖

• ដេរីវេថេរ

ដូច្នេះតើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងសមីការមិនសមហេតុផល និងសមហេតុផល? ប្រសិនបើអថេរដែលមិនស្គាល់គឺស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាឫសការ៉េ នោះសមីការត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនសមហេតុផល។

ការណែនាំ

វិធីសាស្រ្តសំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើនផ្នែកទាំងពីរ សមីការចូលទៅក្នុងការ៉េមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ។ នេះគឺជាធម្មជាតិ ជំហានដំបូងគឺត្រូវកម្ចាត់សញ្ញា។ តាម​បច្ចេកទេស​វិធី​នេះ​មិន​ពិបាក​ទេ ប៉ុន្តែ​ពេល​ខ្លះ​វា​អាច​នាំ​ឱ្យ​មាន​បញ្ហា។ ឧទាហរណ៍ សមីការ v(2x-5)=v(4x-7)។ ដោយ​ការ​កាត់​ទាំង​សងខាង អ្នក​នឹង​ទទួល​បាន 2x-5=4x-7 ។ សមីការបែបនេះមិនពិបាកដោះស្រាយទេ។ x=1 ។ ប៉ុន្តែលេខ 1 នឹងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ សមីការ. ហេតុអ្វី? ជំនួសឯកតាក្នុងសមីការជំនួសឱ្យតម្លៃ x ហើយផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនឹងមានកន្សោមដែលមិនសមហេតុផល នោះគឺ។ តម្លៃបែបនេះមិនមានសុពលភាពសម្រាប់ឫសការ៉េទេ។ ដូច្នេះ 1 គឺ​ជា root extraneous ដូច្នេះ​ហើយ​សមីការ​នេះ​គ្មាន​ឫស។

ដូច្នេះ សមីការមិនសមហេតុផលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីនៃការបំបែកផ្នែកទាំងពីររបស់វា។ ហើយ​ដោយ​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ​ហើយ​នោះ វា​ជា​ការ​ចាំបាច់​ដើម្បី​កាត់​ឫស​ក្រៅ​ចេញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសឫសដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការដើម។

ពិចារណាមួយទៀត។
2x+vx-3=0
ជា​ការ​ពិត​ណាស់ សមីការ​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ដោះស្រាយ​ដោយ​ប្រើ​សមីការ​ដូច​គ្នា​នឹង​សមីការ​មុន។ សមាសធាតុផ្ទេរ សមីការដែល​មិន​មាន​ឫស​ការ៉េ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​ ហើយ​បន្ទាប់​មក​ប្រើ​វិធី​ការ៉េ​។ ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផល និងឫសគល់។ ប៉ុន្តែមួយទៀតឆើតឆាយជាង។ បញ្ចូលអថេរថ្មី; vx=y ។ ដូច្នោះហើយ អ្នកនឹងទទួលបានសមីការដូចជា 2y2+y-3=0។ នោះគឺជាសមីការការ៉េធម្មតា។ ស្វែងរកឫសរបស់វា; y1=1 និង y2=-3/2 ។ បន្ទាប់មកដោះស្រាយពីរ សមីការ vx=1; vx \u003d -3/2 ។ សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ ពីដំបូងយើងរកឃើញថា x=1។ កុំភ្លេចអំពីតម្រូវការដើម្បីពិនិត្យមើលឫស។

ការដោះស្រាយអត្តសញ្ញាណគឺងាយស្រួលណាស់។ នេះតម្រូវឱ្យធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ រហូតដល់គោលដៅត្រូវបានសម្រេច។ ដូច្នេះ ដោយមានជំនួយពីប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុត កិច្ចការនឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ

• - ក្រដាស;
• - ប៊ិច។

ការណែនាំ

ការបំប្លែងបែបសាមញ្ញបំផុតគឺគុណលេខអក្សរកាត់ពិជគណិត (ដូចជាការេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) គូបនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា)) ។ លើសពីនេះទៀតមានរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាច្រើនដែលសំខាន់គឺអត្តសញ្ញាណដូចគ្នា។

ជាការពិតណាស់ ការេនៃផលបូកនៃពាក្យទាំងពីរគឺស្មើនឹងការេនៃការបូកទីមួយពីរដងនៃផលគុណទីមួយ និងទីពីរបូកនឹងការេទីពីរ នោះគឺ (a+b)^2= (a+b)។ )(a+b)=a^2+ab+ba+b ^2=a^2+2ab+b^2។

សម្រួលទាំងពីរ

គោលការណ៍ទូទៅនៃដំណោះស្រាយ

ផ្សាយឡើងវិញពីសៀវភៅសិក្សាស្តីពីការវិភាគគណិតវិទ្យា ឬគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង ដែលជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា ដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ គឺជាមុខងារដែលដេរីវេនៃនឹងផ្តល់អាំងតេក្រាលមួយ។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា antiderivative ។ យោងតាមគោលការណ៍នេះអាំងតេក្រាលជាមូលដ្ឋានត្រូវបានសាងសង់។
កំណត់ដោយទម្រង់នៃអាំងតេក្រាលមួយណានៃអាំងតេក្រាលតារាងគឺសមរម្យក្នុងករណីនេះ។ វាមិនតែងតែអាចកំណត់បានភ្លាមៗនោះទេ។ ជាញឹកញាប់ ទម្រង់តារាងក្លាយជាការកត់សម្គាល់បានតែបន្ទាប់ពីការបំប្លែងជាច្រើន ដើម្បីសម្រួលដល់ការរួមបញ្ចូល។

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលអាគុយម៉ង់មានពហុធា នោះសូមសាកល្បងប្រើការផ្លាស់ប្តូរវិធីសាស្ត្រអថេរ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសពហុនាមនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នៃអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងអថេរថ្មីមួយចំនួន។ ដោយផ្អែកលើសមាមាត្ររវាងអថេរថ្មី និងចាស់ កំណត់ដែនកំណត់ថ្មីនៃការរួមបញ្ចូល។ តាមរយៈការបែងចែកកន្សោមនេះ ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលថ្មីនៅក្នុង . ដូច្នេះ អ្នកនឹងទទួលបានទម្រង់ថ្មីនៃអាំងតេក្រាលចាស់ បិទ ឬសូម្បីតែត្រូវគ្នាទៅនឹងតារាងណាមួយ។

ដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ ទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃអាំងតេក្រាល នោះអ្នកនឹងត្រូវប្រើច្បាប់សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរពីអាំងតេក្រាលទាំងនេះទៅជាមាត្រដ្ឋាន។ ច្បាប់មួយគឺសមាមាត្រ Ostrogradsky-Gauss ។ ច្បាប់នេះធ្វើឱ្យវាអាចឆ្លងពីលំហូរ rotor នៃអនុគមន៍វ៉ិចទ័រមួយចំនួនទៅអាំងតេក្រាលបីដងលើភាពខុសគ្នានៃវាលវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល

បន្ទាប់ពីរកឃើញ antiderivative វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដំបូង ជំនួសតម្លៃនៃដែនកំណត់ខាងលើទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ antiderivative ។ អ្នកនឹងទទួលបានលេខមួយចំនួន។ បន្ទាប់មក ដកពីលេខលទ្ធផល លេខមួយទៀត ដែលជាលទ្ធផលកម្រិតទាបទៅ អង់ទីឌីវវេទី។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលណាមួយគឺគ្មានកំណត់ នោះនៅពេលជំនួសវាទៅក្នុងអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេទី វាចាំបាច់ក្នុងការចូលទៅកាន់ដែនកំណត់ ហើយស្វែងរកអ្វីដែលកន្សោមមាននិន្នាការ។
ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមានពីរវិមាត្រ ឬបីវិមាត្រ នោះអ្នកនឹងត្រូវតំណាងឱ្យដែនកំណត់ធរណីមាត្រនៃការរួមបញ្ចូល ដើម្បីយល់ពីរបៀបគណនាអាំងតេក្រាល។ ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងករណីនៃការនិយាយថា អាំងតេក្រាលបីវិមាត្រ ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលអាចជាយន្តហោះទាំងមូលដែលកំណត់បរិមាណដែលត្រូវបញ្ចូល។

ពិជគណិតថ្នាក់ទី១១

ប្រធានបទ៖ "វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការលោការីត"

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

ការអប់រំ៖ ការបង្កើតចំណេះដឹងអំពីវិធីផ្សេងគ្នានៃការដោះស្រាយសមីការលោការីត សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តពួកវាក្នុងស្ថានភាពជាក់លាក់នីមួយៗ និងជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រណាមួយសម្រាប់ដោះស្រាយ។

ការអភិវឌ្ឍន៍៖ ការអភិវឌ្ឍន៍ជំនាញដើម្បីសង្កេត ប្រៀបធៀប អនុវត្តចំណេះដឹងក្នុងស្ថានភាពថ្មី កំណត់គំរូ ទូទៅ។ ការបង្កើតជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងទៅវិញទៅមក និងការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង;

ការអប់រំ៖ ការអប់រំអាកប្បកិរិយាប្រកបដោយទំនួលខុសត្រូវចំពោះការងារអប់រំ ការយល់ឃើញយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ននៃសម្ភារៈក្នុងមេរៀន ភាពត្រឹមត្រូវនៃការរក្សាកំណត់ត្រា។

ប្រភេទមេរៀន៖ មេរៀននៃការស្គាល់ជាមួយសម្ភារៈថ្មី។

"ការបង្កើតលោការីត ដោយកាត់បន្ថយការងាររបស់តារាវិទូ បានធ្វើឱ្យជីវិតរបស់គាត់មានអាយុវែង"។
គណិតវិទូ និងតារាវិទូបារាំង P.S. ឡាផាស

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

I. ការកំណត់គោលដៅនៃមេរៀន

និយមន័យដែលបានសិក្សានៃលោការីត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត និងអនុគមន៍លោការីត នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការលោការីត។ សមីការលោការីតទាំងអស់ មិនថាវាស្មុគស្មាញយ៉ាងណានោះទេ ត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នា។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយទាំងនេះនៅក្នុងមេរៀន។ មានពួកគេតិចតួចណាស់។ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើជាម្ចាស់វា នោះសមីការណាមួយដែលមានលោការីតនឹងអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់អ្នកម្នាក់ៗ។

សរសេរក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នកអំពីប្រធានបទនៃមេរៀន៖ "វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលោការីត" ។ ខ្ញុំ​សូម​អញ្ជើញ​អ្នក​រាល់​គ្នា​ឱ្យ​សហការ។

II. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងមូលដ្ឋាន

ចូរយើងត្រៀមខ្លួនដើម្បីសិក្សាប្រធានបទនៃមេរៀន។ អ្នកដោះស្រាយកិច្ចការនីមួយៗ ហើយសរសេរចម្លើយ អ្នកមិនអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌបានទេ។ ធ្វើការ​ជា​គូរ។

1) តើ​តម្លៃ x អ្វី​ដែល​មុខងារ​មាន​ន័យ៖

(ចម្លើយត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ស្លាយនីមួយៗ ហើយកំហុសត្រូវបានតម្រៀបចេញ)

2) តើក្រាហ្វមុខងារត្រូវគ្នាទេ?

៣) សរសេរសមភាពឡើងវិញជាសមភាពលោការីត៖

៤) សរសេរលេខជាលោការីតជាមួយគោល ២៖

៥) គណនា៖

6) ព្យាយាមស្តារឬបំពេញធាតុដែលបាត់នៅក្នុងសមភាពទាំងនេះ។

III. ការណែនាំអំពីសម្ភារៈថ្មី។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអេក្រង់៖

"សមីការគឺជាគន្លឹះមាសដែលដោះសោល្ងគណិតវិទ្យាទាំងអស់។"
គណិតវិទូជនជាតិប៉ូឡូញសម័យទំនើប S. Koval

ព្យាយាមបង្កើតនិយមន័យនៃសមីការលោការីត។ (សមីការ​ដែល​មាន​ការ​មិន​ស្គាល់​ក្រោម​សញ្ញា​នៃ​លោការីត)។

ពិចារណា សមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុត៖កំណត់ហេតុកx = ខ(ដែល a> 0, a ≠ 1) ។ ដោយសារអនុគមន៍លោការីតកើនឡើង (ឬថយចុះ) លើសំណុំលេខវិជ្ជមាន និងយកតម្លៃពិតទាំងអស់ វាធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទឫសគល់ ដែលសម្រាប់ b ណាមួយ សមីការនេះមាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែដំណោះស្រាយមួយ និងវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ចងចាំនិយមន័យនៃលោការីត។ (លោការីតនៃចំនួន x ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជានិទស្សន្តដែលមូលដ្ឋាន a ត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបានចំនួន x) ។ វាធ្វើតាមភ្លាមៗពីនិយមន័យនៃលោការីតនោះ។ កក្នុងគឺជាដំណោះស្រាយបែបនេះ។

សរសេរចំណងជើង៖ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលោការីត

1. តាមនិយមន័យលោការីត.

នេះជារបៀបដែលសមីការសាមញ្ញនៃទម្រង់ត្រូវបានដោះស្រាយ។

ពិចារណា លេខ ៥១៤(ក): ដោះស្រាយសមីការ

តើអ្នកស្នើឱ្យដោះស្រាយដោយរបៀបណា? (តាមនិយមន័យលោការីត)

ការសម្រេចចិត្ត។ , ដូច្នេះ 2x − 4 = 4; x = ៤.

នៅក្នុងកិច្ចការនេះ 2x - 4 > 0 ចាប់តាំងពី > 0 ដូច្នេះឫស extraneous មិនអាចលេចឡើង ហើយមិនចាំបាច់ពិនិត្យទេ។ លក្ខខណ្ឌ 2x - 4 > 0 មិនចាំបាច់សរសេរក្នុងកិច្ចការនេះទេ។

2. សក្តានុពល(ការផ្លាស់ប្តូរពីលោការីតនៃកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅកន្សោមនេះដោយខ្លួនឯង) ។

ពិចារណា លេខ 519(g)៖ log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់លក្ខណៈពិសេសអ្វី? (គោលគឺដូចគ្នា ហើយលោការីតនៃកន្សោមទាំងពីរគឺស្មើគ្នា)។ តើអាចធ្វើអ្វីបាន? (សក្តានុពល) ។

ក្នុងករណីនេះ វាគួរតែត្រូវបានគេយកទៅពិចារណាថាដំណោះស្រាយណាមួយត្រូវបានផ្ទុកក្នុងចំណោម x ទាំងអស់ដែលកន្សោមលោការីតគឺវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយ៖ ODZ៖

X2+8>0 វិសមភាពបន្ថែម

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

ពង្រឹងសមីការដើម

យើងទទួលបានសមីការ x2 + 8 = 8x + 8

យើងដោះស្រាយវា៖ x2-8x=0

ចម្លើយ៖ ០; ប្រាំបី

ជាទូទៅ ការផ្លាស់ប្តូរទៅប្រព័ន្ធសមមូល:

សមីការ

(ប្រព័ន្ធ​មាន​លក្ខខណ្ឌ​មិន​ប្រើ​ដដែល​ - វិសមភាព​មួយ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​មិន​អើពើ)។

សំណួរទៅថ្នាក់៖ តើដំណោះស្រាយទាំងបីនេះមួយណាដែលអ្នកពេញចិត្តជាងគេ? (ការពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្រ្ត)។

អ្នកមានសិទ្ធិសម្រេចចិត្តតាមមធ្យោបាយណាមួយ។

3. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ.

ពិចារណា លេខ 520(g). .

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី? (នេះជាសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ log3x) តើមានការណែនាំទេ? (ណែនាំអថេរថ្មី)

ការសម្រេចចិត្ត។ ODZ៖ x > 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យ , បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់ : ។ ការរើសអើង D > 0. ឫសគល់ដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ៖ ឬ .

ការដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត យើងទទួលបាន៖

ចម្លើយ៖ ២៧;

4. លោការីតនៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ។

ដោះស្រាយសមីការ៖ ។

ដំណោះស្រាយ៖ ODZ៖ x>0 យកលោការីតនៃភាគីទាំងពីរនៃសមីការក្នុងគោល ១០៖

អនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃដឺក្រេ៖

(lgx + 3) lgx = ៤

អនុញ្ញាតឱ្យ lgx = y បន្ទាប់មក (y + 3) y = 4

, (D > 0) ឫសយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta: y1 = -4 និង y2 = 1 ។

ចូរត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ យើងទទួលបាន៖ lgx = -4,; logx = 1, ។

ចម្លើយ៖ ០.០០០១; ដប់។

5. ការកាត់បន្ថយទៅមូលដ្ឋានមួយ។

លេខ ៥២៣(គ)។ ដោះស្រាយសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ៖ ODZ: x>0. ចូរបន្តទៅមូលដ្ឋាន 3 ។

6. វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកមុខងារ។

№ ៥០៩(ឃ)។ដោះស្រាយសមីការតាមក្រាហ្វិក៖ = 3 − x ។

តើអ្នកស្នើឱ្យដោះស្រាយដោយរបៀបណា? (បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ y \u003d log2x និង y \u003d 3 - x ដោយចំនុច ហើយរកមើល abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ)។

មើលដំណោះស្រាយរបស់អ្នកនៅលើស្លាយ។

តើ​មាន​វិធី​ដើម្បី​ជៀស​វាង​ការ​ធ្វើ​ផែនការ​ទេ? . វាមានដូចខាងក្រោម : ប្រសិនបើមុខងារមួយ។ y = f(x) កើនឡើង និងផ្សេងទៀត។ y = g(x) ថយចុះនៅលើចន្លោះពេល X បន្ទាប់មកសមីការ f(x)=g(x) មានឫសមួយច្រើនបំផុតនៅលើចន្លោះ X.

ប្រសិនបើមានឫសនោះអាចទាយបាន។

ក្នុងករណីរបស់យើង អនុគមន៍កើនឡើងសម្រាប់ x>0 ហើយមុខងារ y \u003d 3 - x ថយចុះសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x រួមទាំង x> 0 ដែលមានន័យថាសមីការមិនមានឫសច្រើនជាងមួយ។ ចំណាំថាសម្រាប់ x = 2 សមីការប្រែទៅជាសមភាពពិត ចាប់តាំងពី .

"ការអនុវត្តត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្រ្តអាចត្រូវបានរៀន,
ដោយគ្រាន់តែអនុវត្តពួកវាទៅនឹងឧទាហរណ៍ផ្សេងៗ។
ប្រវត្តិវិទូជនជាតិដាណឺម៉ាក G. G. Zeiten

ខ្ញុំV. កិច្ចការផ្ទះ

ទំ ៣៩ ពិចារណាឧទាហរណ៍ ៣ ដោះស្រាយលេខ ៥១៤ (ខ) លេខ ៥២៩ (ខ) លេខ ៥២០ (ខ) លេខ ៥២៣ (ខ)

V. សង្ខេបមេរៀន

តើ​យើង​បាន​ពិចារណា​ក្នុង​មេរៀន​អំពី​វិធី​ដោះស្រាយ​សមីការ​លោការីត​អ្វីខ្លះ?

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងពិនិត្យមើលសមីការស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ដើម្បីដោះស្រាយពួកគេ វិធីសាស្រ្តដែលបានសិក្សាគឺមានប្រយោជន៍។

បង្ហាញស្លាយចុងក្រោយ៖

“តើមានអ្វីលើសពីអ្វីទាំងអស់នៅលើពិភពលោក?
លំហ។
តើអ្វីជាប្រាជ្ញាបំផុត?
ពេលវេលា។
តើ​អ្វី​ដែល​រីករាយ​បំផុត?
សម្រេចបាននូវអ្វីដែលអ្នកចង់បាន។"
ថាលេស

ខ្ញុំចង់ឱ្យមនុស្សគ្រប់គ្នាសម្រេចបាននូវអ្វីដែលពួកគេចង់បាន។ សូមអរគុណចំពោះកិច្ចសហប្រតិបត្តិការ និងការយោគយល់របស់អ្នក។

ជាមួយនឹងវីដេអូនេះ ខ្ញុំចាប់ផ្តើមមេរៀនដ៏វែងមួយអំពីសមីការលោការីត។ ឥឡូវនេះអ្នកមានឧទាហរណ៍បីក្នុងពេលតែមួយដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានដែលយើងនឹងរៀនដោះស្រាយកិច្ចការសាមញ្ញបំផុតដែលត្រូវបានគេហៅថាដូច្នេះ - ប្រូតូហ្សូ.

កំណត់ហេតុ 0.5 (3x − 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg ៥

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា សមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុតមានដូចខាងក្រោម៖

កំណត់ហេតុ a f(x) = b

វាមានសារៈសំខាន់ដែលអថេរ x មានវត្តមានតែនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ ពោលគឺមានតែនៅក្នុងអនុគមន៍ f(x) ប៉ុណ្ណោះ។ ហើយលេខ a និង b គ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ ហើយគ្មានករណីណាជាអនុគមន៍ដែលមានអថេរ x ។

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយរចនាសម្ព័ន្ធបែបនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ គ្រូបង្រៀនភាគច្រើននៅសាលាណែនាំវិធីនេះ៖ បង្ហាញមុខងារ f ( x ) ភ្លាមៗដោយប្រើរូបមន្ត f( x) = ក ខ នោះគឺនៅពេលដែលអ្នកជួបនឹងសំណង់ដ៏សាមញ្ញបំផុត អ្នកអាចបន្តទៅដំណោះស្រាយភ្លាមៗដោយគ្មានសកម្មភាព និងសំណង់បន្ថែម។

បាទ ពិតណាស់ ការសម្រេចចិត្តនឹងប្រែទៅជាត្រឹមត្រូវ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយបញ្ហាជាមួយរូបមន្តនេះគឺសិស្សភាគច្រើន មិន​យល់តើវាមកពីណា ហើយហេតុអ្វីយើងលើកអក្សរ a ទៅអក្សរ b ។

ជាលទ្ធផល ជាញឹកញាប់ខ្ញុំសង្កេតឃើញមានកំហុសឆ្គងយ៉ាងខ្លាំង នៅពេលដែលឧទាហរណ៍ អក្សរទាំងនេះត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ រូបមន្តនេះត្រូវតែត្រូវបានយល់ ឬទន្ទេញចាំ ហើយវិធីសាស្ត្រទីពីរនាំទៅរកកំហុសនៅគ្រាដែលមិនសមរម្យ និងសំខាន់បំផុត៖ នៅក្នុងការប្រឡង ការធ្វើតេស្ត។ល។

នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំស្នើដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំទាំងអស់ឱ្យបោះបង់ចោលរូបមន្តស្តង់ដាររបស់សាលា ហើយប្រើវិធីសាស្រ្តទីពីរដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត ដែលតាមដែលអ្នកប្រហែលជាទាយពីឈ្មោះត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ Canonical.

គំនិតនៃទម្រង់ Canonical គឺសាមញ្ញ។ សូមក្រឡេកមើលកិច្ចការរបស់យើងម្តងទៀត៖ នៅខាងឆ្វេង យើងមានកំណត់ហេតុ a ខណៈពេលដែលអក្សរ a មានន័យពិតប្រាកដជាលេខ ហើយក្នុងករណីណាក៏ដោយ អនុគមន៍ដែលមានអថេរ x ។ ដូច្នេះ លិខិតនេះគឺជាកម្មវត្ថុនៃការរឹតបន្តឹងទាំងអស់ដែលត្រូវបានដាក់នៅលើមូលដ្ឋាននៃលោការីត។ គឺ៖

1 ≠ a > 0

ម៉្យាងវិញទៀត ពីសមីការដូចគ្នា យើងឃើញថាលោការីតត្រូវតែស្មើនឹងលេខ ខ ហើយគ្មានការរឹតបន្តឹងណាមួយលើអក្សរនេះទេ ព្រោះវាអាចយកតម្លៃណាមួយ - ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ វាទាំងអស់គឺអាស្រ័យលើតម្លៃដែលមុខងារ f(x) យក។

ហើយនៅទីនេះយើងចងចាំក្បួនដ៏អស្ចារ្យរបស់យើងដែលលេខ b ណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតនៅក្នុងមូលដ្ឋាន a ពី a ដល់អំណាចនៃ b:

b = កំណត់ហេតុ a a b

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីចងចាំរូបមន្តនេះ? បាទ សាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងសរសេរសំណង់ខាងក្រោម៖

b = b 1 = b log a

ជាការពិតណាស់ក្នុងករណីនេះការរឹតបន្តឹងទាំងអស់ដែលយើងបានសរសេរនៅដើមដំបូងកើតឡើង។ ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត ហើយបញ្ចូលកត្តា b ជាអំណាចនៃ a ។ យើង​ទទួល​បាន:

b = b 1 = b log a a = log a a b

ជាលទ្ធផល សមីការដើមនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

អស់ហើយ។ មុខងារថ្មីលែងមានលោការីតទៀតហើយ ហើយត្រូវបានដោះស្រាយដោយបច្ចេកទេសពិជគណិតស្តង់ដារ។

ជាការពិតណាស់ឥឡូវនេះនរណាម្នាក់នឹងជំទាស់៖ ហេតុអ្វីបានជាចាំបាច់ត្រូវបង្កើតរូបមន្ត Canonical មួយចំនួន ហេតុអ្វីត្រូវអនុវត្តជំហានដែលមិនចាំបាច់បន្ថែមចំនួនពីរ ប្រសិនបើវាអាចទៅភ្លាមៗពីការសាងសង់ដើមទៅរូបមន្តចុងក្រោយ? បាទ/ចាស ប្រសិនបើសិស្សភាគច្រើនមិនយល់ថាតើរូបមន្តនេះមកពីណា ហើយជាលទ្ធផល តែងតែមានកំហុសនៅពេលអនុវត្តវា។

ប៉ុន្តែលំដាប់នៃសកម្មភាពបែបនេះ ដែលមានបីជំហាន អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការលោការីតដើម ទោះបីជាអ្នកមិនយល់ថារូបមន្តចុងក្រោយនោះមកពីណាក៏ដោយ។ ដោយវិធីនេះធាតុនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Canonical:

log a f(x) = កត់ត្រា a b

ភាពងាយស្រួលនៃទម្រង់ Canonical ក៏ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីតដ៏ធំទូលាយមួយ ហើយមិនមែនគ្រាន់តែជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុតដែលយើងកំពុងពិចារណាសព្វថ្ងៃនេះនោះទេ។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះសូមសម្រេចចិត្ត៖

កំណត់ហេតុ 0.5 (3x − 1) = −3

ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដូចនេះ៖

កំណត់ហេតុ 0.5 (3x − 1) = កំណត់ហេតុ 0.5 0.5 −3

សិស្សជាច្រើនមានការប្រញាប់ប្រញាល់ ហើយព្យាយាមលើកលេខ 0.5 ភ្លាមៗទៅកាន់ថាមពលដែលបានមករកយើងពីបញ្ហាដើម។ ហើយជាការពិត នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានបណ្តុះបណ្តាលយ៉ាងល្អរួចហើយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ អ្នកអាចអនុវត្តជំហាននេះភ្លាមៗ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើឥឡូវនេះអ្នកទើបតែចាប់ផ្តើមសិក្សាប្រធានបទនេះ វាជាការប្រសើរជាងកុំប្រញាប់ប្រញាល់ទៅកន្លែងណាមួយដើម្បីកុំឱ្យមានកំហុសឆ្គង។ ដូច្នេះយើងមានទម្រង់ Canonical ។ យើង​មាន:

3x − 1 = 0.5 −3

នេះ​មិន​មែន​ជា​សមីការ​លោការីត​ទៀត​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​លីនេអ៊ែរ​ដែល​ទាក់ទង​នឹង​អថេរ x។ ដើម្បីដោះស្រាយវាដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយលេខ 0.5 ទៅនឹងថាមពលនៃ −3 ។ ចំណាំថា 0.5 គឺ 1/2 ។

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

បំប្លែងទសភាគទាំងអស់ទៅជាប្រភាគ នៅពេលអ្នកដោះស្រាយសមីការលោការីត។

យើងសរសេរឡើងវិញហើយទទួលបាន៖

3x − 1 = 8
៣x=៩
x=3

យើងទទួលបានចម្លើយទាំងអស់។ កិច្ចការទីមួយត្រូវបានដោះស្រាយ។

កិច្ចការទីពីរ

ចូរបន្តទៅកិច្ចការទីពីរ៖

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ សមីការនេះលែងជារឿងសាមញ្ញបំផុតទៀតហើយ។ ប្រសិនបើគ្រាន់តែដោយសារតែភាពខុសគ្នាគឺនៅខាងឆ្វេង ហើយមិនមែនជាលោការីតតែមួយនៅក្នុងមូលដ្ឋានតែមួយទេ។

ដូច្នេះ អ្នក​ត្រូវ​បំបាត់​ភាព​ខុស​គ្នា​នេះ​ដោយ​របៀប​ណា។ ក្នុងករណីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ សូមក្រឡេកមើលមូលដ្ឋានឱ្យបានដិតដល់៖ នៅខាងឆ្វេងគឺជាលេខនៅក្រោមឫស៖

អនុសាសន៍ទូទៅ៖ នៅក្នុងសមីការលោការីតទាំងអស់ ព្យាយាមកម្ចាត់រ៉ាឌីកាល់ ពោលគឺ ពីធាតុដែលមានឫស ហើយបន្តទៅមុខងារថាមពល ដោយហេតុថានិទស្សន្តនៃអំណាចទាំងនេះត្រូវបានដកចេញយ៉ាងងាយស្រួលចេញពីសញ្ញានៃលោការីត ហើយនៅទីបំផុតដូចជា សញ្ញាណ​មួយ​ជួយ​សម្រួល​និង​ពន្លឿន​ការ​គណនា​យ៉ាង​ខ្លាំង។ តោះសរសេរដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះយើងរំលឹកឡើងវិញនូវទ្រព្យសម្បត្តិដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃលោការីត: ពីអាគុយម៉ង់ក៏ដូចជាពីមូលដ្ឋានអ្នកអាចដកដឺក្រេ។ ក្នុងករណីមូលដ្ឋានមានដូចខាងក្រោមៈ

loga k b = 1/k loga ខ

ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខដែលឈរនៅកម្រិតនៃមូលដ្ឋានត្រូវបាននាំមកមុខ ហើយក្នុងពេលតែមួយបានប្រែក្លាយ ពោលគឺវាក្លាយជាលេខទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីរបស់យើងមានកម្រិតនៃមូលដ្ឋានដែលមានសូចនាករ 1/2 ។ ដូច្នេះយើងអាចយកវាចេញជា 2/1 ។ យើង​ទទួល​បាន:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

សូមចំណាំ៖ គ្មានករណីណាដែលអ្នកគួរកម្ចាត់លោការីតនៅជំហាននេះទេ។ គិតត្រលប់ទៅគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី 4-5 និងលំដាប់នៃប្រតិបត្តិការ: គុណត្រូវបានអនុវត្តដំបូងហើយមានតែការបូកនិងដកប៉ុណ្ណោះត្រូវបានអនុវត្ត។ ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​ដក​ធាតុ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ធាតុ​ដូចគ្នា​ចេញ​ពី ១០ ធាតុ៖

9 កំណត់ហេតុ 5 x = 18
កំណត់ហេតុ 5 x = 2

ឥឡូវនេះសមីការរបស់យើងមើលទៅដូចជាវាគួរតែ។ នេះជាសំណង់សាមញ្ញបំផុត ហើយយើងដោះស្រាយវាដោយប្រើទម្រង់ Canonical៖

log 5 x = log 5 5 ២
x = 5 ២
x=25

អស់ហើយ។ បញ្ហាទីពីរត្រូវបានដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ទីបី

ចូរបន្តទៅកិច្ចការទីបី៖

lg (x + 3) = 3 + 2 lg ៥

រំលឹករូបមន្តខាងក្រោម៖

log b = log 10 ខ

ប្រសិនបើហេតុផលខ្លះអ្នកមានការភ័ន្តច្រឡំដោយការសរសេរ lg b បន្ទាប់មកនៅពេលធ្វើការគណនាទាំងអស់ អ្នកអាចសរសេរកំណត់ហេតុ 10 ខ។ អ្នកអាចធ្វើការជាមួយលោការីតទសភាគតាមវិធីដូចគ្នានឹងអ្នកផ្សេងទៀតដែរ៖ ដកអំណាច បន្ថែម និងតំណាងឱ្យលេខណាមួយជា lg 10។

វាច្បាស់ណាស់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះដែលឥឡូវនេះយើងនឹងប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ព្រោះវាមិនមែនជាលក្ខណៈសាមញ្ញបំផុតដែលយើងបានសរសេរចុះនៅដើមមេរៀនរបស់យើង។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម សូមចំណាំថាកត្តា 2 មុនពេល lg 5 អាចត្រូវបានបញ្ចូល ហើយក្លាយជាថាមពលនៃគោល 5។ លើសពីនេះ ឃ្លាឥតគិតថ្លៃ 3 ក៏អាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីតផងដែរ - នេះគឺជាការងាយស្រួលណាស់ក្នុងការសង្កេតពីសញ្ញាណរបស់យើង។

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ លេខណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាកំណត់ហេតុទៅមូលដ្ឋាន 10:

៣ = កំណត់ហេតុ ១០ ១០ ៣ = កំណត់ហេតុ ១០ ៣

ចូរសរសេរឡើងវិញនូវបញ្ហាដើមដោយគិតគូរពីការផ្លាស់ប្តូរដែលទទួលបាន៖

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x − 3) = lg 25 000

មុនពេលយើងគឺជាទម្រង់ Canonical ម្តងទៀត ហើយយើងទទួលបានវាដោយឆ្លងកាត់ដំណាក់កាលនៃការផ្លាស់ប្តូរ ពោលគឺសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុតមិនបានកើតឡើងនៅគ្រប់ទីកន្លែងជាមួយយើងទេ។

នោះហើយជាអ្វីដែលខ្ញុំបាននិយាយនៅដើមមេរៀន។ ទម្រង់ Canonical អនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាថ្នាក់ធំជាងរូបមន្តស្តង់ដាររបស់សាលា ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយគ្រូសាលាភាគច្រើន។

នោះហើយជាទាំងអស់ យើងកម្ចាត់សញ្ញានៃលោការីតទសភាគ ហើយយើងទទួលបានសំណង់លីនេអ៊ែរសាមញ្ញ៖

x + 3 = 25,000
x = 24997

ទាំងអស់! បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

កំណត់ចំណាំអំពីវិសាលភាព

នៅទីនេះខ្ញុំចង់ធ្វើការកត់សម្គាល់ដ៏សំខាន់មួយអំពីដែននៃនិយមន័យ។ ប្រាកដណាស់ឥឡូវនេះមានសិស្ស និងគ្រូដែលនឹងនិយាយថា៖ "នៅពេលយើងដោះស្រាយកន្សោមដោយប្រើលោការីត វាជាការចាំបាច់ដែលត្រូវចាំថាអាគុយម៉ង់ f (x) ត្រូវតែធំជាងសូន្យ!" ក្នុងន័យនេះ សំណួរសមហេតុសមផលមួយកើតឡើង៖ ហេតុអ្វីបានជាយើងមិនតម្រូវឱ្យមានការពេញចិត្តចំពោះវិសមភាពនេះ?

កំ​ុ​ព្រួយ។ មិនមានឫសបន្ថែមនឹងលេចឡើងនៅក្នុងករណីទាំងនេះទេ។ ហើយនេះគឺជាល្បិចដ៏អស្ចារ្យមួយទៀតដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនល្បឿននៃដំណោះស្រាយ។ គ្រាន់តែដឹងថាប្រសិនបើនៅក្នុងបញ្ហាអថេរ x កើតឡើងនៅកន្លែងតែមួយ (ឬផ្ទុយទៅវិញនៅក្នុងអាគុយម៉ង់មួយនិងតែមួយគត់នៃលោការីតតែមួយ) ហើយគ្មានកន្លែងផ្សេងទៀតនៅក្នុងករណីរបស់យើងធ្វើអថេរ x បន្ទាប់មកសរសេរដែន។ មិន​ចាំបាច់ព្រោះវានឹងដំណើរការដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ នៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន 3x - 1 ពោលគឺអាគុយម៉ង់គួរតែស្មើនឹង 8 ។ វាមានន័យថាដោយស្វ័យប្រវត្តិ 3x - 1 នឹងធំជាងសូន្យ។

ជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា យើងអាចសរសេរថា ក្នុងករណីទីពីរ x ត្រូវតែស្មើនឹង 5 2 ពោលគឺ វាពិតជាធំជាងសូន្យ។ ហើយនៅក្នុងករណីទីបី ដែល x + 3 = 25,000, i.e. ម្តងទៀត ច្បាស់ជាធំជាងសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វិសាលភាពគឺដោយស្វ័យប្រវត្តិ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ x កើតឡើងនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

នោះហើយជាអ្វីដែលអ្នកត្រូវដឹងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញ។ ច្បាប់នេះតែម្នាក់ឯង រួមជាមួយនឹងច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរ នឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទ។

ប៉ុន្តែសូមនិយាយដោយស្មោះត្រង់៖ ដើម្បីស្វែងយល់ពីបច្ចេកទេសនេះ ជាចុងក្រោយ ដើម្បីរៀនពីរបៀបអនុវត្តទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ គ្រាន់តែមើលមេរៀនវីដេអូមួយប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះឥឡូវនេះ សូមទាញយកជម្រើសសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យដែលភ្ជាប់មកជាមួយការបង្រៀនវីដេអូនេះហើយចាប់ផ្តើមដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ការងារឯករាជ្យទាំងពីរនេះ។

វានឹងនាំអ្នកត្រឹមតែពីរបីនាទីប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែ​ឥទ្ធិពល​នៃ​ការ​ហ្វឹកហាត់​បែប​នេះ​នឹង​មាន​ច្រើន​ជាង​បើ​ធៀប​នឹង​អ្នក​ទើប​តែ​មើល​វីដេអូ​បង្រៀន​នេះ។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីសមីការលោការីត។ អនុវត្តទម្រង់ Canonical សម្រួលកន្សោមដោយប្រើច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយលោការីត ហើយអ្នកនឹងមិនខ្លាចកិច្ចការណាមួយឡើយ។ ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់ដែលខ្ញុំមានសម្រាប់ថ្ងៃនេះ។

ការពិចារណាលើវិសាលភាព

ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពីដែននៃអនុគមន៍លោការីត ក៏ដូចជារបៀបដែលវាប៉ះពាល់ដល់ដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីត។ ពិចារណាលើការសាងសង់ទម្រង់

កំណត់ហេតុ a f(x) = b

កន្សោមបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញបំផុត - វាមានមុខងារតែមួយ ហើយលេខ a និង b គ្រាន់តែជាលេខ ហើយក្នុងករណីណាក៏ដោយ គឺជាអនុគមន៍ដែលអាស្រ័យលើអថេរ x ។ វាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រើរូបមន្ត៖

b = កំណត់ហេតុ a a b

រូបមន្តនេះគឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃលោការីត ហើយនៅពេលជំនួសកន្សោមដើមរបស់យើង យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

log a f(x) = កត់ត្រា a b

f (x) = a ខ

នេះគឺជារូបមន្តដែលធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយពីសៀវភៅសិក្សារបស់សាលា។ សិស្សជាច្រើនប្រហែលជាមានសំណួរមួយ៖ ដោយសារមុខងារ f ( x ) នៅក្នុងកន្សោមដើមស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់ ហេតុការរឹតបន្តឹងខាងក្រោមត្រូវបានដាក់លើវា៖

f(x) > 0

ការដាក់កម្រិតនេះមានសុពលភាព ដោយសារលោការីតនៃលេខអវិជ្ជមានមិនមានទេ។ ដូច្នេះ ប្រហែលជា​ដោយសារ​ការកំណត់​នេះ អ្នក​គួរតែ​ណែនាំ​ការពិនិត្យ​រក​ចម្លើយ​? ប្រហែលជាពួកគេត្រូវការជំនួសនៅក្នុងប្រភព?

ទេ នៅក្នុងសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត ការត្រួតពិនិត្យបន្ថែមគឺមិនចាំបាច់ទេ។ ហើយនោះហើយជាមូលហេតុ។ សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តចុងក្រោយរបស់យើង៖

f (x) = a ខ

ការពិតគឺថាលេខ a ក្នុងករណីណាក៏ដោយគឺធំជាង 0 - តម្រូវការនេះក៏ត្រូវបានដាក់ដោយលោការីតផងដែរ។ លេខ a គឺជាមូលដ្ឋាន។ ក្នុងករណីនេះ គ្មានការរឹតត្បិតលើលេខ ខ. ប៉ុន្តែនេះមិនសំខាន់ទេ ព្រោះមិនថាយើងលើកលេខវិជ្ជមានកម្រិតណាទេ យើងនឹងនៅតែទទួលបានលេខវិជ្ជមាននៅទិន្នផល។ ដូច្នេះតម្រូវការ f (x) > 0 ត្រូវបានបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

អ្វីដែលពិតជាមានតម្លៃក្នុងការត្រួតពិនិត្យគឺវិសាលភាពនៃមុខងារនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់។ វា​អាច​មាន​ការ​រចនា​ដ៏​ស្មុគស្មាញ ហើយ​ក្នុង​ដំណើរ​ការ​នៃ​ការ​ដោះស្រាយ​វា អ្នក​ត្រូវ​តែ​ធ្វើ​តាម​វា​។ តោះមើល។

កិច្ចការទីមួយ៖

ជំហានដំបូង៖ បំប្លែងប្រភាគនៅខាងស្តាំ។ យើង​ទទួល​បាន:

យើងកម្ចាត់សញ្ញាលោការីត ហើយទទួលបានសមីការមិនសមហេតុផលធម្មតា៖

ក្នុងចំណោមឫសដែលទទួលបាន មានតែឫសទីមួយដែលសាកសមនឹងយើង ព្រោះឫសទីពីរគឺតិចជាងសូន្យ។ ចម្លើយតែមួយគត់នឹងជាលេខ 9 ។ នោះហើយជាវា បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ គ្មានការត្រួតពិនិត្យបន្ថែមថាកន្សោមក្រោមសញ្ញាលោការីតធំជាង 0 ត្រូវបានទាមទារទេ ព្រោះវាមិនត្រឹមតែធំជាង 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌនៃសមីការវាស្មើនឹង 2។ ដូច្នេះហើយ តម្រូវការ "ធំជាងសូន្យ" គឺដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ បំពេញ។

ចូរបន្តទៅកិច្ចការទីពីរ៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នានៅទីនេះ។ យើងសរសេរសំណង់ឡើងវិញដោយជំនួសបីដង៖

យើងកម្ចាត់សញ្ញានៃលោការីត និងទទួលបានសមីការមិនសមហេតុផល៖

យើងកាត់ផ្នែកទាំងពីរដោយគិតគូរពីការដាក់កម្រិត ហើយយើងទទួលបាន៖

4 − 6x − x 2 = (x − 4) ២

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលតាមរយៈអ្នករើសអើង៖

ឃ \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

ប៉ុន្តែ x = −6 មិនសមនឹងយើងទេ ព្រោះប្រសិនបើយើងជំនួសលេខនេះទៅក្នុងវិសមភាពរបស់យើង យើងទទួលបាន៖

−6 + 4 = −2 < 0

ក្នុងករណីរបស់យើង វាត្រូវបានទាមទារថាវាធំជាង 0 ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរ ស្មើ។ ប៉ុន្តែ x = −1 សមនឹងយើង៖

−1 + 4 = 3 > 0

ចម្លើយតែមួយគត់នៅក្នុងករណីរបស់យើងគឺ x = −1 ។ នោះហើយជាដំណោះស្រាយទាំងអស់។ ចូរយើងត្រលប់ទៅការចាប់ផ្តើមនៃការគណនារបស់យើង។

ការសន្និដ្ឋានសំខាន់ពីមេរៀននេះគឺថាវាមិនតម្រូវឱ្យពិនិត្យមើលដែនកំណត់សម្រាប់អនុគមន៍នៅក្នុងសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុតនោះទេ។ ដោយសារតែនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយឧបសគ្គទាំងអស់ត្រូវបានប្រតិបត្តិដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះមិនមែនមានន័យថាអ្នកអាចភ្លេចអំពីការផ្ទៀងផ្ទាត់ទាំងស្រុងនោះទេ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើការលើសមីការលោការីត វាអាចប្រែទៅជាមិនសមហេតុផល ដែលនឹងមានដែនកំណត់ និងតម្រូវការផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់ផ្នែកខាងស្តាំ ដែលយើងបានឃើញសព្វថ្ងៃនេះក្នុងឧទាហរណ៍ពីរផ្សេងគ្នា។

មានអារម្មណ៍សេរីក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ ហើយត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នជាពិសេសប្រសិនបើមានឫសគល់នៃការឈ្លោះប្រកែកគ្នា។

សមីការលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា

យើងបន្តសិក្សាសមីការលោការីត និងវិភាគល្បិចគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបន្ថែមទៀត ដែលវាជាម៉ូតដើម្បីដោះស្រាយរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងចងចាំពីរបៀបដែលកិច្ចការសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានដោះស្រាយ៖

កំណត់ហេតុ a f(x) = b

នៅក្នុងសញ្ញាណនេះ a និង b គ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ ហើយនៅក្នុងអនុគមន៍ f (x) អថេរ x ត្រូវតែមានវត្តមាន ហើយមានតែនៅទីនោះ នោះគឺ x ត្រូវតែមានតែនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ប៉ុណ្ណោះ។ យើង​នឹង​បំប្លែង​សមីការ​លោការីត​បែប​នេះ​ដោយ​ប្រើ​ទម្រង់ Canonical ។ ចំពោះបញ្ហានេះយើងកត់សំគាល់

b = កំណត់ហេតុ a a b

ហើយ a b គឺគ្រាន់តែជាអាគុយម៉ង់ប៉ុណ្ណោះ។ សូម​សរសេរ​ពាក្យ​នេះ​ឡើង​វិញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

log a f(x) = កត់ត្រា a b

នេះ​ជា​អ្វី​ដែល​យើង​កំពុង​តែ​ព្យាយាម​សម្រេច ដូច្នេះ​ទាំង​ខាង​ឆ្វេង និង​ខាង​ស្ដាំ​មាន​លោការីត​ទៅ​គោល a ។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចនិយាយជាន័យធៀប ឆ្លងកាត់សញ្ញានៃកំណត់ហេតុ ហើយតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យា យើងអាចនិយាយបានថា យើងគ្រាន់តែសមីការអាគុយម៉ង់៖

f (x) = a ខ

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានកន្សោមថ្មីមួយដែលនឹងត្រូវបានដោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ ចូរយើងអនុវត្តច្បាប់នេះចំពោះកិច្ចការរបស់យើងនៅថ្ងៃនេះ។

ដូច្នេះការរចនាដំបូង៖

ជាដំបូងខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាមានប្រភាគនៅខាងស្តាំ ភាគបែងដែលជាកំណត់ហេតុ។ នៅពេលអ្នកឃើញកន្សោមដូចនេះ វាពិតជាមានតម្លៃចងចាំនូវទ្រព្យសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យនៃលោការីត៖

បកប្រែទៅជាភាសារុស្សី នេះមានន័យថា លោការីតណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាកូតានៃលោការីតពីរជាមួយនឹងគោលណាមួយ c ។ ជាការពិតណាស់ ០< с ≠ 1.

ដូច្នេះ៖ រូបមន្តនេះមានករណីពិសេសដ៏អស្ចារ្យមួយ នៅពេលដែលអថេរ c ស្មើនឹងអថេរ ខ. ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបានការសាងសង់ទម្រង់:

វាគឺជាសំណង់នេះដែលយើងសង្កេតឃើញពីសញ្ញានៅខាងស្តាំក្នុងសមីការរបស់យើង។ ចូរជំនួសសំណង់នេះដោយ log a b យើងទទួលបាន៖

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងកិច្ចការដើម យើងបានផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋាននៃលោការីត។ ជំនួសមកវិញ យើងត្រូវត្រឡប់ប្រភាគ។

យើងចាំថាសញ្ញាបត្រណាមួយអាចត្រូវបានយកចេញពីមូលដ្ឋានដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ម្យ៉ាងវិញទៀត មេគុណ k ដែលជាដឺក្រេនៃមូលដ្ឋាន ត្រូវបានយកចេញជាប្រភាគបញ្ច្រាស។ ចូរយកវាចេញជាប្រភាគបញ្ច្រាស៖

កត្តាប្រភាគមិនអាចទុកនៅខាងមុខបានទេ ព្រោះក្នុងករណីនេះ យើងនឹងមិនអាចតំណាងធាតុនេះជាទម្រង់ Canonical (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ក្នុងទម្រង់ Canonical មិនមានកត្តាបន្ថែមនៅពីមុខលោការីតទីពីរទេ)។ ដូច្នេះ ចូរយើងដាក់ប្រភាគ 1/4 ក្នុងអាគុយម៉ង់ជាអំណាច៖

ឥឡូវនេះយើងធ្វើសមកាលកម្មអាគុយម៉ង់ដែលមូលដ្ឋានដូចគ្នា (ហើយយើងពិតជាមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា) ហើយសរសេរ៖

x + 5 = 1

x = −4

អស់ហើយ។ យើងទទួលបានចម្លើយចំពោះសមីការលោការីតទីមួយ។ យកចិត្តទុកដាក់៖ នៅក្នុងបញ្ហាដើម អថេរ x កើតឡើងតែក្នុងកំណត់ហេតុមួយ ហើយវាស្ថិតនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ដូច្នេះ មិនចាំបាច់ពិនិត្យមើលដែនទេ ហើយលេខរបស់យើង x = −4 គឺពិតជាចំលើយ។

ឥឡូវយើងបន្តទៅកន្សោមទីពីរ៖

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

នៅទីនេះ បន្ថែមពីលើលោការីតធម្មតា យើងនឹងត្រូវធ្វើការជាមួយ lg f (x) ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ? វាហាក់ដូចជាសិស្សដែលមិនបានត្រៀមទុកជាមុនថានេះគឺជាសំណប៉ាហាំងមួយប្រភេទ ប៉ុន្តែតាមពិតអ្វីៗត្រូវបានដោះស្រាយជាបឋម។

សូមក្រឡេកមើលពាក្យ lg 2 log 2 7. តើយើងអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីវា? មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃ log និង lg គឺដូចគ្នា ហើយនេះគួរតែផ្តល់តម្រុយខ្លះៗ។ ចូរយើងចងចាំម្តងទៀតពីរបៀបដែលដឺក្រេត្រូវបានយកចេញពីក្រោមសញ្ញាលោការីត៖

log a b n = n log a b

ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្វីដែលជាអំណាចនៃលេខ b ក្នុងអាគុយម៉ង់ ក្លាយជាកត្តានៅពីមុខកំណត់ហេតុខ្លួនឯង។ ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តនេះទៅកន្សោម lg 2 log 2 7. កុំខ្លាច lg 2 - នេះគឺជាកន្សោមទូទៅបំផុត។ អ្នកអាចសរសេរវាឡើងវិញដូចនេះ៖

សម្រាប់គាត់ ច្បាប់ទាំងអស់ដែលអនុវត្តចំពោះលោការីតផ្សេងទៀតគឺត្រឹមត្រូវ។ ជាពិសេសកត្តានៅខាងមុខអាចត្រូវបានណែនាំទៅក្នុងអំណាចនៃអាគុយម៉ង់។ តោះសរសេរ៖

ជាញឹកញាប់ណាស់ សិស្សចង្អុលទទេមិនឃើញសកម្មភាពនេះទេ ព្រោះវាមិនល្អក្នុងការបញ្ចូលកំណត់ហេតុមួយនៅក្រោមសញ្ញាមួយទៀត។ តាម​ពិត មិន​មាន​អ្វី​ជា​ឧក្រិដ្ឋកម្ម​ក្នុង​រឿង​នេះ​ទេ។ លើសពីនេះទៅទៀត យើងទទួលបានរូបមន្តដែលងាយស្រួលក្នុងការគណនា ប្រសិនបើអ្នកចងចាំច្បាប់សំខាន់មួយ៖

រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជានិយមន័យ និងជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយរបស់វា។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកបំប្លែងសមីការលោការីត អ្នកគួរតែដឹងពីរូបមន្តនេះតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការតំណាងនៃលេខណាមួយក្នុងទម្រង់នៃកំណត់ហេតុ។

យើងត្រឡប់ទៅភារកិច្ចរបស់យើងវិញ។ យើងសរសេរវាឡើងវិញដោយគិតពីការពិតដែលថាពាក្យទីមួយនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នានឹងគ្រាន់តែស្មើនឹង lg 7 ។ យើងមាន៖

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

ចូរផ្លាស់ទី lg 7 ទៅខាងឆ្វេង យើងទទួលបាន៖

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

យើងដកកន្សោមនៅខាងឆ្វេងព្រោះវាមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលសមីការដែលយើងទទួលបាន។ វាជាទម្រង់ Canonical ប៉ុន្តែមានកត្តា −3 នៅខាងស្តាំ។ ចូរយើងដាក់វានៅក្នុងអាគុយម៉ង់ lg ត្រឹមត្រូវ៖

lg 8 = lg (x + 4) −3

មុនពេលយើងគឺជាទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត ដូច្នេះយើងកាត់ចេញសញ្ញានៃ lg និង equate អាគុយម៉ង់:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

អស់ហើយ! យើងបានដោះស្រាយសមីការលោការីតទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះ មិនតម្រូវឱ្យមានការត្រួតពិនិត្យបន្ថែមទេ ព្រោះនៅក្នុងបញ្ហាដើម x មានវត្តមាននៅក្នុងអាគុយម៉ង់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ខ្ញុំសូមសង្ខេបចំណុចសំខាន់ៗនៃមេរៀននេះ។

រូបមន្តចម្បងដែលត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងមេរៀនទាំងអស់នៅលើទំព័រនេះដែលឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការលោការីត គឺជាទម្រង់ Canonical ។ ហើយកុំត្រូវបានបិទដោយការពិតដែលថាសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាភាគច្រើនបង្រៀនអ្នកពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះខុសៗគ្នា។ ឧបករណ៍នេះដំណើរការយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាព និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាដែលធំទូលាយជាងប្រភេទសាមញ្ញបំផុតដែលយើងបានសិក្សានៅដើមមេរៀនរបស់យើង។

លើសពីនេះទៀត ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាន។ ពោលគឺ៖

1. រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានមួយ និងករណីពិសេសនៅពេលយើងត្រឡប់កំណត់ហេតុ (វាមានប្រយោជន៍ណាស់សម្រាប់យើងក្នុងកិច្ចការដំបូង);
2. រូបមន្ត​សម្រាប់​នាំ​យក​អំណាច​ចេញ​ពី​ក្រោម​សញ្ញា​លោការីត។ នៅទីនេះ សិស្សជាច្រើនបានជាប់គាំង ហើយមិនឃើញចំនុចទទេដែលថាថាមពលដែលបានដកចេញ និងនាំយកមកដោយខ្លួនវាអាចមានកំណត់ហេតុ f (x) ។ មិនមានអ្វីខុសជាមួយនោះទេ។ យើង​អាច​ណែនាំ​កំណត់​ហេតុ​មួយ​ដោយ​យោង​តាម​សញ្ញា​នៃ​សញ្ញា​ផ្សេង​ទៀត ហើយ​ក្នុង​ពេល​ដំណាល​គ្នា​នោះ​ជួយ​សម្រួល​យ៉ាង​សំខាន់​នូវ​ដំណោះ​ស្រាយ​នៃ​បញ្ហា ដែល​ជា​អ្វី​ដែល​យើង​សង្កេត​ឃើញ​ក្នុង​ករណី​ទី​ពីរ។

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់បន្ថែមថា វាមិនតម្រូវឱ្យពិនិត្យមើលវិសាលភាពនៅក្នុងករណីនីមួយៗនោះទេ ព្រោះនៅគ្រប់ទីកន្លែងអថេរ x មានវត្តមាននៅក្នុងសញ្ញានៃកំណត់ហេតុតែមួយប៉ុណ្ណោះ ហើយនៅពេលដូចគ្នានេះវាស្ថិតនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ជាលទ្ធផល តម្រូវការដែនទាំងអស់ត្រូវបានបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

បញ្ហាជាមួយមូលដ្ឋានអថេរ

ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាសមីការលោការីត ដែលសម្រាប់សិស្សជាច្រើនហាក់ដូចជាមិនស្តង់ដារ ប្រសិនបើមិនអាចដោះស្រាយបានទាំងស្រុង។ យើងកំពុងនិយាយអំពីកន្សោមដែលមិនផ្អែកលើលេខ ប៉ុន្តែនៅលើអថេរ និងសូម្បីតែមុខងារ។ យើងនឹងដោះស្រាយសំណង់បែបនេះដោយប្រើបច្ចេកទេសស្តង់ដាររបស់យើង ពោលគឺតាមរយៈទម្រង់ Canonical ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញពីរបៀបដែលបញ្ហាសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលផ្អែកលើលេខធម្មតា។ ដូច្នេះសំណង់សាមញ្ញបំផុតត្រូវបានគេហៅថា

កំណត់ហេតុ a f(x) = b

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ យើងអាចប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

b = កំណត់ហេតុ a a b

យើងសរសេរពាក្យដើមរបស់យើងឡើងវិញ ហើយទទួលបាន៖

log a f(x) = កត់ត្រា a b

បន្ទាប់មកយើងធ្វើសមតុល្យ ពោលគឺយើងសរសេរ៖

f (x) = a ខ

ដូច្នេះហើយ យើងកម្ចាត់ស្លាកសញ្ញា និងដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតា។ ក្នុងករណីនេះឫសដែលទទួលបានក្នុងដំណោះស្រាយនឹងជាឫសនៃសមីការលោការីតដើម។ លើសពីនេះទៀតកំណត់ត្រានៅពេលដែលទាំងខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំស្ថិតនៅលើលោការីតដូចគ្នាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ Canonical ។ វាគឺនៅក្នុងកំណត់ត្រានេះដែលយើងនឹងព្យាយាមកាត់បន្ថយការសាងសង់នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ។ ដូច្នេះតោះទៅ។

កិច្ចការទីមួយ៖

កំណត់ហេតុ x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

ជំនួស 1 ដោយ log x − 2 (x − 2) 1 . តាមការពិត កម្រិតដែលយើងសង្កេតនៅក្នុងអាគុយម៉ង់គឺលេខ b ដែលស្ថិតនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ ចូរ​យើង​សរសេរ​កន្សោម​របស់​យើង​ឡើង​វិញ។ យើង​ទទួល​បាន:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = កំណត់ហេតុ x − 2 (x − 2)

តើយើងឃើញអ្វី? មុនពេលយើងគឺជាទម្រង់ Canonical នៃសមីការលោការីត ដូច្នេះយើងអាចធ្វើសមីការដោយសុវត្ថិភាព។ យើង​ទទួល​បាន:

2x2 − 13x + 18 = x − 2

ប៉ុន្តែ​ដំណោះស្រាយ​មិន​ចប់​ត្រឹម​ហ្នឹង​ទេ ព្រោះ​សមីការ​នេះ​មិន​ស្មើ​នឹង​ពាក្យ​ដើម​ទេ។ យ៉ាងណាមិញ ការស្ថាបនាលទ្ធផលមានមុខងារដែលត្រូវបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល ហើយលោការីតដើមរបស់យើងមិនត្រូវបានកំណត់នៅគ្រប់ទីកន្លែង និងមិនមែនជានិច្ចកាលនោះទេ។

ដូច្នេះហើយ យើងត្រូវតែសរសេរដែននៃនិយមន័យដាច់ដោយឡែក។ កុំ​ឲ្យ​ឆ្លាត​ជាង​មុន ហើយ​សរសេរ​លក្ខខណ្ឌ​ទាំង​អស់​ជា​មុន​សិន៖

ដំបូង អាគុយម៉ង់នៃលោការីតនីមួយៗត្រូវតែធំជាង 0៖

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ទីពីរ មូលដ្ឋានត្រូវតែមិនត្រឹមតែធំជាង 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ខុសគ្នាពី 1៖

x − 2 ≠ ១

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖

ប៉ុន្តែកុំបារម្ភ៖ នៅពេលដំណើរការសមីការលោការីត ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងខ្លាំង។

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ នៅលើដៃម្ខាង យើងតម្រូវឱ្យអនុគមន៍ចតុកោណធំជាងសូន្យ ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត អនុគមន៍ចតុកោណនេះគឺស្មើនឹងកន្សោមលីនេអ៊ែរជាក់លាក់ ដែលតម្រូវឱ្យវាធំជាងសូន្យផងដែរ។

ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើយើងទាមទារ x − 2 > 0 នោះតម្រូវការ 2x 2 − 13x + 18 > 0 នឹងពេញចិត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ដូច្នេះហើយ យើងអាចឆ្លងកាត់វិសមភាពដែលមានអនុគមន៍ចតុកោណដោយសុវត្ថិភាព។ ដូច្នេះចំនួនកន្សោមដែលមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់យើងនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹមបី។

ជាការពិតណាស់ យើងអាចកាត់ចេញវិសមភាពលីនេអ៊ែរបានដូចគ្នា ពោលគឺកាត់ចេញ x - 2 > 0 ហើយតម្រូវឱ្យ 2x 2 - 13x + 18 > 0។ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់ថា ការដោះស្រាយវិសមភាពលីនេអ៊ែរសាមញ្ញបំផុតគឺលឿន និងងាយស្រួលជាង។ ជាង quadratic ទោះបីជាលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងមូលនេះ យើងទទួលបានឫសដូចគ្នា។

ជាទូទៅ ព្យាយាមបង្កើនប្រសិទ្ធភាពការគណនានៅពេលណាដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ហើយនៅក្នុងករណីនៃសមីការលោការីត សូមកាត់ចេញវិសមភាពពិបាកបំផុត។

ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធរបស់យើងឡើងវិញ៖

នេះគឺជាប្រព័ន្ធនៃការបញ្ចេញមតិចំនួនបី ដែលតាមពិតយើងបានរកឃើញរួចហើយ។ ចូរយើងសរសេរសមីការ quadratic ដាច់ដោយឡែក ហើយដោះស្រាយវា៖

2x2 − 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

មុនពេលយើងគឺជាត្រីកោណការ៉េដែលកាត់បន្ថយ ហើយដូច្នេះយើងអាចប្រើរូបមន្ត Vieta ។ យើង​ទទួល​បាន:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

ឥឡូវនេះ ត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធរបស់យើងវិញ យើងឃើញថា x = 2 មិនសមនឹងយើងទេ ព្រោះយើងតម្រូវឱ្យ x ធំជាង 2 ។

ប៉ុន្តែ x \u003d 5 សមនឹងយើងល្អណាស់៖ លេខ 5 ធំជាង 2 ហើយក្នុងពេលតែមួយ 5 មិនស្មើនឹង 3 ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធនេះនឹងមាន x \u003d 5 ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាង, ភារកិច្ចត្រូវបានដោះស្រាយ, រួមទាំងយកទៅក្នុងគណនី ODZ ។ ចូរបន្តទៅសមីការទីពីរ។ នៅទីនេះយើងកំពុងរង់ចាំការគណនាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងមានន័យបន្ថែមទៀត៖

ជំហានដំបូង៖ ក៏ដូចជាពេលវេលាចុងក្រោយដែរ យើងនាំយកអាជីវកម្មទាំងអស់នេះទៅជាទម្រង់ Canonical ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងអាចសរសេរលេខ 9 ដូចខាងក្រោម:

មូលដ្ឋានដែលមានឫសមិនអាចប៉ះបានទេប៉ុន្តែវាល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីបំប្លែងអាគុយម៉ង់។ ចូរផ្លាស់ទីពីឫសទៅអំណាចដោយនិទស្សន្តសមហេតុផល។ តោះសរសេរ៖

ខ្ញុំមិនសរសេរសមីការលោការីតធំទាំងមូលរបស់យើងឡើងវិញទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែសមីការភ្លាមៗនោះ៖

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

មុនពេលយើងគឺជាត្រីកោណការ៉េដែលកាត់បន្ថយម្តងទៀត យើងនឹងប្រើរូបមន្ត Vieta ហើយសរសេរ៖

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

ដូច្នេះ យើងទទួលបានឬសគល់ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់ធានាយើងថាពួកគេនឹងសមនឹងសមីការលោការីតដើមនោះទេ។ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ស្លាកសញ្ញាកំណត់ការរឹតបន្តឹងបន្ថែម (នៅទីនេះយើងនឹងត្រូវសរសេរប្រព័ន្ធ ប៉ុន្តែដោយសារភាពលំបាកនៃការសាងសង់ទាំងមូល ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តគណនាដែននិយមន័យដាច់ដោយឡែក)។

ជាបឋម សូមចាំថា អាគុយម៉ង់ត្រូវតែធំជាង 0 ពោលគឺ៖

ទាំងនេះគឺជាតម្រូវការដែលកំណត់ដោយដែននៃនិយមន័យ។

យើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថា ចាប់តាំងពីយើងយកកន្សោមពីរដំបូងនៃប្រព័ន្ធទៅគ្នាទៅវិញទៅមក នោះយើងអាចកាត់ចេញណាមួយនៃពួកវា។ សូម​ឆ្លង​វគ្គ​ទី​មួយ​ទៅ​ព្រោះ​មើល​ទៅ​គួរ​ឲ្យ​ខ្លាច​ជាង​អ្នក​ទី​ពីរ។

លើសពីនេះ សូមចំណាំថា ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពទីពីរ និងទីបីនឹងជាសំណុំដូចគ្នា (គូបនៃចំនួនមួយចំនួនធំជាងសូន្យ ប្រសិនបើចំនួននេះខ្លួនឯងធំជាងសូន្យ ស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងឫសនៃសញ្ញាបត្រទីបី - វិសមភាពទាំងនេះគឺ ស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកវា យើងអាចកាត់វាចេញបាន)។

ប៉ុន្តែជាមួយនឹងវិសមភាពទីបីនេះនឹងមិនដំណើរការទេ។ ចូរយើងកម្ចាត់សញ្ញានៃរ៉ាឌីកាល់នៅខាងឆ្វេងដែលយើងលើកផ្នែកទាំងពីរទៅជាគូបមួយ។ យើង​ទទួល​បាន:

ដូច្នេះយើងទទួលបានតម្រូវការដូចខាងក្រោមៈ

−2 ≠ x > −3

តើឫសរបស់យើងមួយណា៖ x 1 = −3 ឬ x 2 = −1 បំពេញតម្រូវការទាំងនេះ? ជាក់ស្តែង មានតែ x = −1 ទេ ព្រោះ x = −3 មិនបំពេញវិសមភាពទីមួយ (ព្រោះវិសមភាពរបស់យើងតឹងរ៉ឹង)។ សរុបមក ការត្រលប់ទៅបញ្ហារបស់យើងវិញ យើងទទួលបានឫសមួយ៖ x = −1 ។ នោះហើយជាវាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ជាថ្មីម្តងទៀត ចំណុចសំខាន់នៃកិច្ចការនេះ៖

1. មានអារម្មណ៍សេរីក្នុងការអនុវត្ត និងដោះស្រាយសមីការលោការីត ដោយប្រើទម្រង់ Canonical ។ សិស្សដែលបង្កើតកំណត់ត្រាបែបនេះ ហើយមិនទៅដោយផ្ទាល់ពីបញ្ហាដើមទៅជាសំណង់ដូចជា log a f ( x ) = b ធ្វើកំហុសតិចជាងអ្នកដែលប្រញាប់នៅកន្លែងណាមួយ រំលងជំហានមធ្យមនៃការគណនា។
2. ដរាបណាមូលដ្ឋានអថេរមួយលេចឡើងក្នុងលោការីត នោះបញ្ហានឹងឈប់សាមញ្ញបំផុត។ ដូច្នេះនៅពេលដោះស្រាយ វាចាំបាច់ត្រូវគិតគូរពីដែននៃនិយមន័យ៖ អាគុយម៉ង់ត្រូវតែធំជាងសូន្យ ហើយមូលដ្ឋានមិនត្រឹមតែធំជាង 0 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏មិនត្រូវស្មើនឹង 1 ដែរ។

អ្នកអាចដាក់តម្រូវការចុងក្រោយលើចម្លើយចុងក្រោយតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ឧទាហរណ៍ វាអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងមូលដែលមានតម្រូវការដែនទាំងអស់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំបូងអ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកចងចាំអំពីដែននៃនិយមន័យ ធ្វើការវាដាច់ដោយឡែកពីគ្នាក្នុងទម្រង់ជាប្រព័ន្ធ ហើយអនុវត្តវាទៅឫសដែលទទួលបាន។

តើវិធីមួយណាដែលត្រូវជ្រើសរើសនៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីតជាក់លាក់គឺអាស្រ័យលើអ្នក។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយចម្លើយនឹងដូចគ្នា។