ដែលត្រូវបានធុញទ្រាន់រួចទៅហើយ។ ហើយខ្ញុំមានអារម្មណ៍ថាពេលនេះបានមកដល់នៅពេលដែលវាដល់ពេលដើម្បីទាញយកអាហារកំប៉ុងថ្មីពីទុនបម្រុងយុទ្ធសាស្ត្រនៃទ្រឹស្តី។ តើអាចពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីតាមវិធីផ្សេងបានទេ? ឧទាហរណ៍ ដើម្បីបង្ហាញផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងន័យស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស? វាហាក់បីដូចជាមិនគួរឱ្យជឿ ប៉ុន្តែមុខងារដែលមើលទៅហាក់បីដូចជានៅឆ្ងាយ ផ្តល់ប្រាក់កម្ចីដល់ពួកគេ។
"ការជួបជុំ" ។ បន្ថែមពីលើសញ្ញាបត្រដែលធ្លាប់ស្គាល់នៅក្នុងទ្រឹស្តី និងការអនុវត្ត មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតក្នុងការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី។
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងស្គាល់ជាមួយនឹងស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier ប៉ះលើបញ្ហានៃការបញ្ចូលគ្នា និងផលបូករបស់វា ហើយជាការពិត យើងនឹងវិភាគឧទាហរណ៍ជាច្រើនសម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។ ខ្ញុំចង់ហៅអត្ថបទដោយស្មោះថា "Fourier Series for Dummies" ប៉ុន្តែនេះជាល្បិចកល ព្រោះការដោះស្រាយបញ្ហានឹងត្រូវការចំណេះដឹងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និងបទពិសោធន៍ជាក់ស្តែងមួយចំនួន។ ដូច្នេះបុព្វកថានឹងស្រដៀងនឹងការបណ្តុះបណ្តាលអវកាសយានិក =)
ជាដំបូង ការសិក្សាអំពីសម្ភារៈទំព័រគួរតែត្រូវបានខិតជិតក្នុងទម្រង់ដ៏ល្អឥតខ្ចោះ។ ងងុយគេង សម្រាក និងស្ងប់ស្ងាត់។ ដោយគ្មានអារម្មណ៍ខ្លាំងអំពីក្រញាំដែលខូចរបស់ hamster និងគំនិតឈ្លក់វង្វេងអំពីការលំបាកនៃជីវិតរបស់ត្រីអាងចិញ្ចឹមត្រី។ ស៊េរី Fourier គឺមិនពិបាកពីទស្សនៈនៃការយល់ដឹងនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ កិច្ចការជាក់ស្តែងគ្រាន់តែទាមទារឱ្យមានការកើនឡើងនៃការយកចិត្តទុកដាក់ - តាមឧត្ដមគតិ គួរតែបោះបង់ចោលទាំងស្រុងនូវការរំញោចខាងក្រៅ។ ស្ថានការណ៍កាន់តែធ្ងន់ធ្ងរឡើងដោយការពិតដែលថាមិនមានវិធីងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនិងចម្លើយនោះទេ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើសុខភាពរបស់អ្នកទាបជាងមធ្យម នោះជាការប្រសើរក្នុងការធ្វើអ្វីដែលសាមញ្ញជាងនេះ។ ការពិត។
ទីពីរ មុននឹងហោះទៅកាន់លំហអាកាស ត្រូវសិក្សាពីបន្ទះឧបករណ៍របស់យានអវកាស។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងតម្លៃនៃមុខងារដែលគួរចុចលើម៉ាស៊ីន៖
សម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយ៖
មួយ) ។ ហើយជាការពិត sinusoid "បញ្ចេញ" អ័ក្ស x តាមរយៈ "pi" នីមួយៗ:
. ក្នុងករណីតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ លទ្ធផលពិតណាស់នឹងដូចគ្នា៖ .
២). ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់គ្នាបានដឹងរឿងនេះទេ។ កូស៊ីនុស "pi en" គឺស្មើនឹង "ពន្លឺភ្លឺ"៖
អាគុយម៉ង់អវិជ្ជមានមិនផ្លាស់ប្តូរករណីនេះទេ៖ 
.
ប្រហែលជាគ្រប់គ្រាន់ហើយ។
ហើយទីបី សាកសពអវកាសយានិកជាទីគោរព អ្នកត្រូវតែអាច... រួមបញ្ចូល.
ជាពិសេសប្រាកដ នាំយកមុខងារនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល, រួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនិងស្ថិតក្នុងលក្ខខណ្ឌដ៏ល្អជាមួយ រូបមន្ត Newton-Leibniz. តោះចាប់ផ្តើមលំហាត់សំខាន់ៗមុនពេលហោះហើរ។ ខ្ញុំមិនណែនាំឱ្យរំលងវាទេ ដូច្នេះពេលក្រោយអ្នកមិនរាបស្មើក្នុងសូន្យទំនាញ៖
ឧទាហរណ៍ ១
គណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់
កន្លែងដែលយកតម្លៃធម្មជាតិ។
ដំណោះស្រាយ៖ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តលើអថេរ "x" ហើយនៅដំណាក់កាលនេះ អថេរផ្តាច់មុខ "en" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ។ នៅក្នុងអាំងតេក្រាលទាំងអស់។ នាំយកមុខងារនៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល:
កំណែខ្លីនៃដំណោះស្រាយដែលល្អក្នុងការថតមើលទៅដូចនេះ៖
ស៊ាំនឹង៖
ចំណុចទាំងបួនដែលនៅសេសសល់គឺដោយខ្លួនឯង។ ព្យាយាមចាត់ចែងកិច្ចការដោយមនសិការ និងរៀបចំអាំងតេក្រាលក្នុងវិធីខ្លីៗ។ ដំណោះស្រាយគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
បន្ទាប់ពីការធ្វើលំហាត់ប្រាណ QUALITY យើងពាក់អាវអវកាស
និងត្រៀមខ្លួនដើម្បីចាប់ផ្តើម!
ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅលើចន្លោះពេល
ចូរយើងពិចារណាមុខងារមួយ។ កំណត់យ៉ាងហោចណាស់នៅលើចន្លោះពេល (ហើយប្រហែលជានៅចន្លោះពេលធំជាងនេះ)។ ប្រសិនបើអនុគមន៍នេះអាចរួមបញ្ចូលនៅលើផ្នែក នោះវាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាត្រីកោណមាត្រ ស៊េរី Fourier:
ឯណាគេហៅថា មេគុណ Fourier.
ក្នុងករណីនេះលេខត្រូវបានហៅ រយៈពេល decompositionហើយលេខគឺ ការរំលាយពាក់កណ្តាលជីវិត.
ជាក់ស្តែង នៅក្នុងករណីទូទៅ ស៊េរី Fourier មានស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖ 
ជាការពិត ចូរយើងសរសេរវាឱ្យលម្អិត៖
ពាក្យសូន្យនៃស៊េរីជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជា .
មេគុណ Fourier ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖ 
ខ្ញុំយល់យ៉ាងច្បាស់ថាពាក្យថ្មីនៅតែមិនច្បាស់លាស់សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងដើម្បីសិក្សាប្រធានបទ៖ រយៈពេល decomposition, ពាក់កណ្តាលវដ្ត, មេគុណ Fourierនិងអ្នកផ្សេងទៀត កុំភ័យស្លន់ស្លោ វាមិនអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការរំភើបមុនពេលដើរលំហអាកាសបានទេ។ ចូរយើងគិតអ្វីៗទាំងអស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលនៅជិតបំផុត មុនពេលប្រតិបត្តិ ដែលវាសមហេតុផលក្នុងការសួរសំណួរជាក់ស្តែង៖
តើអ្នកត្រូវការធ្វើអ្វីក្នុងកិច្ចការខាងក្រោម?
ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។ លើសពីនេះទៀត ជារឿយៗវាត្រូវបានតម្រូវឱ្យគូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ក្រាហ្វនៃផលបូកនៃស៊េរី ផលបូកមួយផ្នែក និងនៅក្នុងករណីនៃការស្រមើស្រមៃរបស់សាស្រ្តាចារ្យដ៏ទំនើប ធ្វើអ្វីមួយផ្សេងទៀត។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier?
សំខាន់អ្នកត្រូវស្វែងរក មេគុណ Fourierនោះគឺ តែង និងគណនាបី អាំងតេក្រាលជាក់លាក់.
សូមចម្លងទម្រង់ទូទៅនៃស៊េរី Fourier និងរូបមន្តធ្វើការទាំងបីនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក។ ខ្ញុំរីករាយណាស់ដែលអ្នកចូលមើលគេហទំព័រមួយចំនួនមានក្តីស្រមៃកាលពីកុមារភាពចង់ក្លាយជាអវកាសយានិកដែលកំពុងក្លាយជាការពិតនៅចំពោះមុខភ្នែករបស់ខ្ញុំ =)
ឧទាហរណ៍ ២
ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល។ បង្កើតក្រាហ្វ ក្រាហ្វនៃផលបូកនៃស៊េរី និងផលបូកមួយផ្នែក។
ដំណោះស្រាយ៖ ផ្នែកដំបូងនៃភារកិច្ចគឺពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ។
ការចាប់ផ្តើមគឺជាស្តង់ដារ ត្រូវប្រាកដថាសរសេរថា:
ក្នុងបញ្ហានេះ រយៈពេលពង្រីក ពាក់កណ្តាលរយៈពេល។
យើងពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល៖ 
ដោយប្រើរូបមន្តសមស្របយើងរកឃើញ មេគុណ Fourier. ឥឡូវនេះយើងត្រូវចងក្រងនិងគណនាចំនួនបី អាំងតេក្រាលជាក់លាក់. ដើម្បីភាពងាយស្រួល ខ្ញុំនឹងរាប់ពិន្ទុ៖
1) អាំងតេក្រាលទីមួយគឺសាមញ្ញបំផុត ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាទាមទារភ្នែក និងភ្នែករួចហើយ៖ 
2) យើងប្រើរូបមន្តទីពីរ:
អាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ គាត់យកវាមកជាដុំៗ: 
នៅពេលរកឃើញថាប្រើ វិធីសាស្រ្តនៃការនាំយកអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល.
នៅក្នុងភារកិច្ចដែលកំពុងពិចារណាវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើភ្លាមៗ រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ 
:
កំណត់ចំណាំបច្ចេកទេសពីរបី។ ដំបូងបន្ទាប់ពីអនុវត្តរូបមន្ត កន្សោមទាំងមូលត្រូវតែរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបធំចាប់តាំងពីមានថេរនៅពីមុខអាំងតេក្រាលដើម។ កុំអោយចាញ់! វង់ក្រចកអាចត្រូវបានបើកនៅជំហានណាមួយបន្ថែមទៀត ខ្ញុំបានធ្វើវានៅវេនចុងក្រោយបំផុត។ នៅក្នុង "បំណែក" ដំបូង 
យើងបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវខ្លាំងក្នុងការជំនួស ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ថេរគឺចេញពីអាជីវកម្ម ហើយដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងផលិតផល។ សកម្មភាពនេះត្រូវបានសម្គាល់ដោយតង្កៀបការ៉េ។ ជាការប្រសើរណាស់, អាំងតេក្រាលនៃ "ដុំ" ទីពីរនៃរូបមន្តត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ចំពោះអ្នកពីភារកិច្ចបណ្តុះបណ្តាល ;-)
ហើយសំខាន់បំផុត - ការផ្តោតអារម្មណ៍ចុងក្រោយ!
3) យើងកំពុងស្វែងរកមេគុណ Fourier ទីបី៖
ទំនាក់ទំនងនៃអាំងតេក្រាលមុនគឺត្រូវបានទទួល រួមបញ្ចូលដោយផ្នែក:
ករណីនេះមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ខ្ញុំនឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើជំហានបន្ថែមមួយជំហានម្តងៗ៖ 
(1) កន្សោមទាំងមូលត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបធំ។. ខ្ញុំមិនចង់ហាក់ដូចជាអផ្សុកទេ គេចាញ់ថេរញឹកញាប់ពេក។
(២) ក្នុងករណីនេះ ខ្ញុំបានពង្រីកតង្កៀបធំៗទាំងនោះភ្លាមៗ។ ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសយើងលះបង់ចំពោះ "ដុំ" ដំបូង: ផ្សែងថេរនៅខាងចំហៀងនិងមិនចូលរួមក្នុងការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (និង) ទៅក្នុងផលិតផល។ ដោយមើលឃើញពីភាពច្របូកច្របល់នៃកំណត់ត្រា វាត្រូវបានណែនាំម្តងទៀតដើម្បីរំលេចសកម្មភាពនេះក្នុងតង្កៀបការ៉េ។ ជាមួយនឹង "បំណែក" ទីពីរ 
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញជាង: នៅទីនេះប្រភាគបានបង្ហាញខ្លួនបន្ទាប់ពីបើកតង្កៀបធំហើយថេរ - ជាលទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូលអាំងតេក្រាលដែលធ្លាប់ស្គាល់ ;-)
(3) នៅក្នុងតង្កៀបការ៉េ យើងអនុវត្តការបំប្លែង ហើយនៅក្នុងអាំងតេក្រាលត្រឹមត្រូវ យើងជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។
(4) យើងយក "flasher" ចេញពីតង្កៀបការ៉េ: បន្ទាប់ពីនោះយើងបើកតង្កៀបខាងក្នុង: .
(5) យើងលុបចោល 1 និង -1 ក្នុងវង់ក្រចក យើងបង្កើតភាពសាមញ្ញចុងក្រោយ។
ទីបំផុតបានរកឃើញមេគុណ Fourier ទាំងបី៖ 
ជំនួសពួកវាទៅក្នុងរូបមន្ត 
:
កុំភ្លេចបំបែកជាពាក់កណ្តាល។ នៅជំហានចុងក្រោយ ថេរ ("ដកពីរ") ដែលមិនអាស្រ័យលើ "en" ត្រូវបានយកចេញពីផលបូក។
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល៖ 
ចូរយើងសិក្សាសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier ។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់ទ្រឹស្តីជាពិសេស ទ្រឹស្តីបទ Dirichletព្យញ្ជនៈ "នៅលើម្រាមដៃ" ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកត្រូវការទម្រង់ដ៏តឹងរឹង សូមយោងទៅសៀវភៅសិក្សាស្តីពីការគណនា (ឧទាហរណ៍ភាគទី 2 នៃបូហាន; ឬភាគទី 3 នៃ Fichtenholtz ប៉ុន្តែវាពិបាកជាងនៅក្នុងវា).
នៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃកិច្ចការ វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យគូរក្រាហ្វ ក្រាហ្វផលបូកស៊េរី និងក្រាហ្វផលបូកមួយផ្នែក។
ក្រាហ្វនៃមុខងារគឺធម្មតា។ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះដែលត្រូវបានគូរដោយបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅ៖ 
យើងដោះស្រាយជាមួយផលបូកនៃស៊េរី។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាស៊េរីមុខងារប្រែទៅជាមុខងារ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ស៊េរី Fourier ត្រូវបានសាងសង់ 
សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "x"បំប្លែងទៅជាមុខងារដែលបង្ហាញជាពណ៌ក្រហម។ មុខងារនេះគឺជាកម្មវត្ថុ ការបំបែកនៃប្រភេទទី 1នៅក្នុងចំនុច ប៉ុន្តែក៏បានកំណត់នៅក្នុងពួកវា (ចំណុចក្រហមនៅក្នុងគំនូរ)
តាមវិធីនេះ៖ 
. វាងាយមើលឃើញថាវាខុសគ្នាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ពីមុខងារដើម ដែលជាមូលហេតុនៅក្នុងសញ្ញាណ 
tilde ត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យសញ្ញាស្មើ។
ចូរយើងសិក្សាក្បួនដោះស្រាយមួយដែលវាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតផលបូកនៃស៊េរីមួយ។
នៅចន្លោះពេលកណ្តាល ស៊េរី Fourier បង្រួបបង្រួមមុខងារខ្លួនវា (ផ្នែកក្រហមកណ្តាលស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ)។
ឥឡូវនេះសូមនិយាយបន្តិចអំពីលក្ខណៈនៃការពង្រីកត្រីកោណមាត្រដែលបានពិចារណា។ ស៊េរី Fourier 
រួមបញ្ចូលតែមុខងារតាមកាលកំណត់ (ថេរ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស) ដូច្នេះផលបូកនៃស៊េរី 
ក៏ជាមុខងារតាមកាលកំណត់ផងដែរ។.
តើនេះមានន័យយ៉ាងណានៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង? ហើយនេះមានន័យថាផលបូកនៃស៊េរី 
–ចាំបាច់តាមកាលកំណត់ហើយផ្នែកពណ៌ក្រហមនៃចន្លោះពេលត្រូវតែធ្វើម្តងទៀតដោយគ្មានកំណត់នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។
ខ្ញុំគិតថាឥឡូវនេះអត្ថន័យនៃឃ្លាថា«រយៈពេលនៃការរលួយ»បានក្លាយជាទីបំផុតបានក្លាយជាច្បាស់។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ រាល់ពេលដែលស្ថានការណ៍កើតឡើងម្តងហើយម្តងទៀត។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ជាធម្មតាវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពណ៌នារយៈពេល decomposition ចំនួនបី ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងគំនូរ។ ជាការប្រសើរណាស់, និង "ដើម" បន្ថែមទៀតនៃរយៈពេលជិតខាង - ដើម្បីធ្វើឱ្យវាច្បាស់ថាតារាងបន្ត។
ចំណាប់អារម្មណ៍ពិសេសគឺ ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 1. នៅចំណុចបែបនេះ ស៊េរី Fourier ប្រែទៅជាតម្លៃដាច់ពីគេ ដែលមានទីតាំងនៅចំកណ្តាលនៃភាពមិនដំណើរការ "លោត" (ចំណុចក្រហមនៅក្នុងគំនូរ) ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកការចាត់តាំងនៃចំណុចទាំងនេះ? ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកការចាត់តាំងនៃ "ជាន់ខាងលើ"៖ សម្រាប់នេះ យើងគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចខាងស្តាំបំផុតនៃកំឡុងពេលពង្រីកកណ្តាល៖ . ដើម្បីគណនាលំដាប់នៃ "ជាន់ក្រោម" វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺយកតម្លៃខាងឆ្វេងបំផុតនៃរយៈពេលដូចគ្នា៖ 
. លំដាប់នៃតម្លៃមធ្យមគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃផលបូកនៃ "ខាងលើ និងខាងក្រោម"៖ . ល្អគឺជាការពិតដែលថានៅពេលសាងសង់គំនូរអ្នកនឹងឃើញភ្លាមៗថាតើពាក់កណ្តាលត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវឬមិនត្រឹមត្រូវ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតផលបូកមួយផ្នែកនៃស៊េរីហើយក្នុងពេលតែមួយនិយាយឡើងវិញនូវអត្ថន័យនៃពាក្យ "ការបញ្ចូលគ្នា" ។ ការជម្រុញត្រូវបានគេស្គាល់ពីមេរៀនអំពី ផលបូកនៃស៊េរីលេខ. ចូរពិពណ៌នាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់យើងយ៉ាងលម្អិត៖
ដើម្បីបង្កើតផលបូកមួយផ្នែក អ្នកត្រូវសរសេរលេខសូន្យ + លក្ខខណ្ឌពីរបន្ថែមទៀតនៃស៊េរី។ នោះគឺ
នៅក្នុងគំនូរ ក្រាហ្វនៃមុខងារត្រូវបានបង្ហាញជាពណ៌បៃតង ហើយដូចដែលអ្នកបានឃើញ វារុំជុំវិញចំនួនសរុបយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាលើផលបូកមួយផ្នែកនៃប្រាំលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី នោះក្រាហ្វនៃមុខងារនេះនឹងប្រហាក់ប្រហែលនឹងបន្ទាត់ក្រហមកាន់តែត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើមានមួយរយពាក្យនោះ "ពស់ពណ៌បៃតង" នឹងពិតជាបញ្ចូលគ្នាទាំងស្រុងជាមួយនឹងផ្នែកក្រហម។ ល។ ដូច្នេះ ស៊េរី Fourier ចូលគ្នាជាផលបូករបស់វា។
វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាផលបូកផ្នែកណាមួយគឺ មុខងារបន្តប៉ុន្តែចំនួនសរុបនៃស៊េរីនៅតែមិនបន្ត។
នៅក្នុងការអនុវត្ត វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេក្នុងការបង្កើតក្រាហ្វផលបូកមួយផ្នែក។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ក្នុងករណីរបស់យើង វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាលើមុខងារនៅលើផ្នែក គណនាតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចមធ្យម (ពិន្ទុកាន់តែច្រើនដែលអ្នកពិចារណា ក្រាហ្វនឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវ)។ បន្ទាប់មក អ្នកគួរសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះនៅលើគំនូរ ហើយគូរក្រាហ្វដោយប្រុងប្រយ័ត្នលើរយៈពេល ហើយបន្ទាប់មក "ចម្លង" វាទៅក្នុងចន្លោះពេលជាប់គ្នា។ ម៉េចទៀត? យ៉ាងណាមិញ ការប៉ាន់ប្រមាណក៏ជាមុខងារតាមកាលកំណត់ផងដែរ ... ... ក្រាហ្វរបស់វារំឭកខ្ញុំអំពីចង្វាក់បេះដូងដូចគ្នានៅលើការបង្ហាញឧបករណ៍វេជ្ជសាស្ត្រ។
ជាការពិតណាស់វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការអនុវត្តការសាងសង់ដោយហេតុថាអ្នកត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នបំផុតដោយរក្សាភាពត្រឹមត្រូវមិនតិចជាងកន្លះមិល្លីម៉ែត្រ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងផ្គាប់ចិត្តអ្នកអានដែលមានជម្លោះជាមួយការគូរ - នៅក្នុងកិច្ចការ "ពិតប្រាកដ" វានៅឆ្ងាយពីភាពចាំបាច់ជានិច្ចក្នុងការអនុវត្តគំនូរ នៅកន្លែងណាមួយក្នុង 50% នៃករណី វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ហើយនោះជា វា។
បន្ទាប់ពីបញ្ចប់គំនូរយើងបំពេញភារកិច្ច:
ចម្លើយ: 
នៅក្នុងការងារជាច្រើនមុខងារទទួលរង ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅលើកំឡុងពេលរលួយ:
ឧទាហរណ៍ ៣
ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះពេល។ គូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ និងផលបូកសរុបនៃស៊េរី។
មុខងារដែលបានស្នើឡើងគឺត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយផ្នែក (ហើយចងចាំអ្នកតែនៅលើផ្នែក)និងស៊ូទ្រាំ ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅចំណុច។ តើអាចគណនាមេគុណ Fourier បានទេ? គ្មានបញ្ហា។ ទាំងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃអនុគមន៍គឺអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅចន្លោះពេលរបស់ពួកគេ ដូច្នេះអាំងតេក្រាលក្នុងរូបមន្តទាំងបីគួរតែត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ។ សូមមើលឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើសម្រាប់មេគុណសូន្យ៖
អាំងតេក្រាលទីពីរបានប្រែទៅជាស្មើសូន្យ ដែលកាត់បន្ថយការងារ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ។
មេគុណ Fourier ពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានសរសេរស្រដៀងគ្នា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្ហាញផលបូកនៃស៊េរីមួយ? នៅចន្លោះពេលខាងឆ្វេង យើងគូរផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ ហើយនៅចន្លោះពេល - ចម្រៀកបន្ទាត់ត្រង់ (បន្លិចផ្នែកនៃអ័ក្សជាដិត-ដិត)។ នោះគឺនៅលើចន្លោះពេលពង្រីក ផលបូកនៃស៊េរីស្របគ្នាជាមួយនឹងមុខងារនៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែចំណុច "អាក្រក់" ចំនួនបី។ នៅចំណុចដាច់នៃមុខងារ ស៊េរី Fourier ប្រែទៅជាតម្លៃដាច់ពីគេ ដែលមានទីតាំងនៅចំកណ្តាល "លោត" នៃភាពមិនដំណើរការ។ វាមិនពិបាកមើលវាផ្ទាល់មាត់ទេ៖ left-hand limit:, right-hand limit: 
ហើយជាក់ស្តែង ការចាត់តាំងនៃចំណុចកណ្តាលគឺ 0.5 ។
ដោយសារភាពទៀងទាត់នៃផលបូក រូបភាពត្រូវតែ "គុណ" ទៅក្នុងរយៈពេលជិតខាង ជាពិសេសពណ៌នារឿងដូចគ្នានៅលើចន្លោះពេល និង . ក្នុងករណីនេះនៅចំណុច ស៊េរី Fourier បម្លែងទៅជាតម្លៃមធ្យម។
តាមពិតទៅ មិនមានអ្វីថ្មីនៅទីនេះទេ។
ព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយខ្លួនឯង។ គំរូប្រហាក់ប្រហែលនៃការរចនា និងគំនូរដ៏ល្អនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier លើរយៈពេលបំពាន
សម្រាប់រយៈពេលពង្រីកដោយបំពាន ដែល "el" គឺជាចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ រូបមន្តសម្រាប់ស៊េរី Fourier និងមេគុណ Fourier ខុសគ្នានៅក្នុងអាគុយម៉ង់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសដែលស្មុគស្មាញបន្តិច៖
ប្រសិនបើ នោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ចន្លោះពេលដែលយើងបានចាប់ផ្តើម។
ក្បួនដោះស្រាយ និងគោលការណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានរក្សាទុកទាំងស្រុង ប៉ុន្តែភាពស្មុគស្មាញបច្ចេកទេសនៃការគណនាកើនឡើង៖
ឧទាហរណ៍ 4
ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier ហើយធ្វើផែនការបូក។ 
ដំណោះស្រាយ: តាមពិត analogue នៃឧទាហរណ៍លេខ 3 ជាមួយ ការដាច់នៃប្រភេទទី 1នៅចំណុច។ ក្នុងបញ្ហានេះ រយៈពេលពង្រីក ពាក់កណ្តាលរយៈពេល។ អនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់តែលើចន្លោះពេលពាក់កណ្តាលប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែវាមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីឡើយ - វាសំខាន់ដែលផ្នែកទាំងពីរនៃអនុគមន៍អាចបញ្ចូលគ្នាបាន។
ចូរយើងពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier៖
ដោយសារមុខងារមិនបន្តនៅដើម មេគុណ Fourier នីមួយៗគួរត្រូវបានសរសេរជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ៖
1) ខ្ញុំនឹងសរសេរអាំងតេក្រាលទីមួយឱ្យបានលម្អិតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន៖
២) សម្លឹងមើលផ្ទៃព្រះច័ន្ទដោយប្រុងប្រយ័ត្ន៖
អាំងតេក្រាលទីពីរ យកផ្នែក:
តើអ្នកគួរយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះអ្វីបន្ទាប់ពីយើងបើកការបន្តដំណោះស្រាយដោយសញ្ញាផ្កាយ?
ដំបូងយើងមិនបាត់បង់អាំងតេក្រាលទីមួយទេ។ 
ដែលជាកន្លែងដែលយើងប្រតិបត្តិភ្លាមៗ នៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល. ទី២ កុំភ្លេចអនិច្ចាអភ័ព្វមុនតង្កៀបធំហើយ កុំច្រឡំដោយសញ្ញានៅពេលប្រើរូបមន្ត 
. តង្កៀបធំបន្ទាប់ពីទាំងអស់វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបើកភ្លាមៗនៅជំហានបន្ទាប់។
នៅសល់គឺជាបញ្ហានៃបច្ចេកទេស មានតែបទពិសោធន៍មិនគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលអាចបង្កឱ្យមានការលំបាក។
បាទ វាមិនមែនជាការឥតប្រយោជន៍ទេដែលសហសេវិកដ៏ឆ្នើមរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Fourier មានការខឹងសម្បារ - តើគាត់ហ៊ានបំបែកមុខងារទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រដោយរបៀបណា?! =) ដោយវិធីនេះ ប្រហែលជាអ្នកគ្រប់គ្នាចាប់អារម្មណ៍លើអត្ថន័យជាក់ស្តែងនៃកិច្ចការនៅក្នុងសំណួរ។ Fourier ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានធ្វើការលើគំរូគណិតវិទ្យានៃចរន្តកំដៅ ហើយជាបន្តបន្ទាប់ ស៊េរីដែលដាក់ឈ្មោះតាមគាត់បានចាប់ផ្តើមត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាដំណើរការតាមកាលកំណត់ជាច្រើន ដែលជាក់ស្តែងមើលមិនឃើញនៅក្នុងពិភពខាងក្រៅ។ ឥឡូវនេះ ដោយវិធីនេះ ខ្ញុំបានគិតខ្លួនឯងថាវាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលខ្ញុំបានប្រៀបធៀបក្រាហ្វនៃឧទាហរណ៍ទីពីរជាមួយនឹងចង្វាក់បេះដូងតាមកាលកំណត់។ អ្នកដែលចាប់អារម្មណ៍អាចស្គាល់ពីការអនុវត្តជាក់ស្តែង ការផ្លាស់ប្តូរ Fourierពីប្រភពភាគីទីបី។ ... ទោះបីជាវាមិនប្រសើរជាង - វានឹងត្រូវបានគេចងចាំជាស្នេហាដំបូង =)
3) ដោយសារតំណខ្សោយដែលបានលើកឡើងម្តងហើយម្តងទៀត យើងដោះស្រាយជាមួយមេគុណទីបី៖
ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖ 
យើងជំនួសមេគុណ Fourier ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត 
កុំភ្លេចចែកមេគុណសូន្យជាពាក់កណ្តាល៖
ចូរយើងរៀបចំផែនការបូកនៃស៊េរី។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើបែបបទម្តងទៀតដោយសង្ខេប: នៅចន្លោះពេលយើងបង្កើតបន្ទាត់មួយហើយនៅលើចន្លោះពេល - បន្ទាត់មួយ។ ជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យនៃ "x" យើងដាក់ចំណុចមួយនៅកណ្តាល "លោត" នៃគម្លាតហើយ "ចម្លង" តារាងសម្រាប់រយៈពេលជិតខាង: 
នៅ "ប្រសព្វ" នៃរយៈពេល ផលបូកនឹងស្មើនឹងចំណុចកណ្តាលនៃ "លោត" នៃគម្លាត។
រួចរាល់។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា មុខងារខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់តាមលក្ខខណ្ឌតែលើចន្លោះពាក់កណ្តាលប៉ុណ្ណោះ ហើយជាក់ស្តែង ស្របពេលជាមួយនឹងផលបូកនៃស៊េរីនៅលើចន្លោះពេល។
ចម្លើយ:
ពេលខ្លះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យជាដុំៗក៏បន្តនៅលើកំឡុងពេលពង្រីកផងដែរ។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត៖ 
. ដំណោះស្រាយ (មើល បូហាន ភាគ ២)គឺដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ពីរមុនដែរ៖ ទោះបីជា មុខងារបន្តនៅចំណុច មេគុណ Fourier នីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ។
នៅចន្លោះពេលនៃការបែកបាក់ ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទី 1និង/ឬ "ប្រសព្វ" នៃក្រាហ្វអាចមានច្រើនជាងនេះ (ពីរ បី និងជាទូទៅណាមួយ។ ចុងក្រោយចំនួន)។ ប្រសិនបើមុខងារមួយអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅគ្រប់ផ្នែក នោះវាក៏អាចពង្រីកបាននៅក្នុងស៊េរី Fourier ផងដែរ។ ប៉ុន្តែតាមបទពិសោធន៍ជាក់ស្តែង ខ្ញុំមិនចាំថា សំណប៉ាហាំងបែបនេះទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការពិបាកជាងការគិត ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទសម្រាប់អ្នកគ្រប់គ្នា មានតំណភ្ជាប់ទៅកាន់ស៊េរី Fourier នៃភាពស្មុគស្មាញកើនឡើង។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ចូរយើងសម្រាក ផ្អៀងលើកៅអីរបស់យើង ហើយសញ្ជឹងគិតអំពីផ្កាយដែលលាតសន្ធឹងគ្មានទីបញ្ចប់៖
ឧទាហរណ៍ ៥
ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេល ហើយគ្រោងផលបូកនៃស៊េរី។
នៅក្នុងភារកិច្ចនេះមុខងារ បន្តនៅលើការបំបែកពាក់កណ្តាលចន្លោះពេល ដែលសម្រួលដំណោះស្រាយ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 2 ។ អ្នកមិនអាចទៅឆ្ងាយពីយានអវកាសបានទេ - អ្នកនឹងត្រូវសម្រេចចិត្ត =) ការរចនាគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន កាលវិភាគត្រូវបានភ្ជាប់។
ការពង្រីកស៊េរី Fourier នៃមុខងារគូ និងសេស
ជាមួយនឹងមុខងារគូ និងសេស ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាគឺមានភាពសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់។ ហើយនោះហើយជាមូលហេតុ។ ចូរយើងត្រលប់ទៅការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier លើរយៈពេលនៃ "two pi" 
និងរយៈពេលបំពាន "ពីរអាល" 
.
ចូរសន្មតថាមុខងាររបស់យើងគឺស្មើគ្នា។ ពាក្យទូទៅនៃស៊េរី ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ មានសូម្បីតែកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសសេស។ ហើយប្រសិនបើយើងបំបែកមុខងារ EVEN នោះហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការស៊ីនុសចម្លែក?! ចូរកំណត់មេគុណដែលមិនចាំបាច់ឡើងវិញ៖ .
ដោយវិធីនេះ មុខងារគូពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier តែនៅក្នុងកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ។:
ដោយសារតែ អាំងតេក្រាលនៃមុខងារគូលើផ្នែកនៃស៊ីមេទ្រីនៃការរួមបញ្ចូលដោយគោរពទៅសូន្យអាចត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង បន្ទាប់មកមេគុណ Fourier ដែលនៅសល់ក៏ត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញផងដែរ។
សម្រាប់វិសាលភាព៖ 
សម្រាប់ចន្លោះពេលបំពាន៖ 
ឧទាហរណ៍នៃសៀវភៅសិក្សាដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាស្ទើរតែទាំងអស់រួមមានការពង្រីកមុខងារសូម្បីតែ 
. លើសពីនេះទៀត ពួកគេបានជួបគ្នាម្តងហើយម្តងទៀត នៅក្នុងការអនុវត្តផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ៖
ឧទាហរណ៍ ៦
បានផ្តល់មុខងារមួយ។ ទាមទារ៖
1) ពង្រីកអនុគមន៍ទៅជាស៊េរី Fourier ជាមួយនឹងរយៈពេល ដែលជាលេខវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត។
2) សរសេរការពង្រីកនៅលើចន្លោះពេល បង្កើតមុខងារ និងក្រាហ្វនៃផលបូកសរុបនៃស៊េរី។
ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ វាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាតាមរបៀបទូទៅ ហើយនេះគឺងាយស្រួលណាស់! វានឹងមានតម្រូវការ - គ្រាន់តែជំនួសតម្លៃរបស់អ្នក។
1) នៅក្នុងបញ្ហានេះ, រយៈពេលពង្រីក, ពាក់កណ្តាលរយៈពេល។ នៅក្នុងដំណើរការនៃសកម្មភាពបន្ថែមទៀតជាពិសេសក្នុងអំឡុងពេលសមាហរណកម្ម "el" ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ
មុខងារគឺសូម្បីតែ ដែលមានន័យថាវាពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier តែនៅក្នុងកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ៖ 
.
មេគុណ Fourier ត្រូវបានស្វែងរកដោយរូបមន្ត 
. យកចិត្តទុកដាក់លើគុណសម្បត្តិដាច់ខាតរបស់ពួកគេ។ ទីមួយ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តលើផ្នែកវិជ្ជមាននៃការពង្រីក ដែលមានន័យថាយើងកម្ចាត់ម៉ូឌុលដោយសុវត្ថិភាព។ 
ដោយពិចារណាតែ "x" ពីពីរបំណែក។ ហើយទីពីរ ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញគួរឱ្យកត់សម្គាល់។
ពីរ៖ 
ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖
តាមវិធីនេះ៖
ខណៈពេលដែលថេរ ដែលមិនអាស្រ័យលើ "en" ត្រូវបានយកចេញពីផលបូក។
ចម្លើយ: 
2) យើងសរសេរការពង្រីកនៅលើចន្លោះពេល សម្រាប់ការនេះ យើងជំនួសតម្លៃដែលចង់បាននៃពាក់កណ្តាលរយៈពេលទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ៖
ស៊េរីនៅក្នុងកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន ពោលគឺស៊េរីនៃទម្រង់
ឬក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ
កន្លែងណា ក,b kឬរៀងគ្នា គ កបានហៅ មេគុណនៃ T. r.
ជាលើកដំបូង T.r. ជួបនៅ L. Euler (L. Euler, 1744)។ គាត់ទទួលបានការពង្រីក
ទាំងអស់ R. សតវត្សទី 18 នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងការសិក្សាអំពីបញ្ហានៃការរំញ័រដោយឥតគិតថ្លៃនៃខ្សែមួយសំណួរបានកើតឡើងនៃលទ្ធភាពនៃការតំណាងឱ្យមុខងារកំណត់ទីតាំងដំបូងនៃខ្សែអក្សរជាផលបូកនៃ T. r ។ សំណួរនេះបណ្តាលឱ្យមានការជជែកដេញដោលយ៉ាងក្តៅគគុកដែលអូសបន្លាយជាច្រើនទសវត្សរ៍ អ្នកវិភាគដ៏ល្អបំផុតនៅសម័យនោះ - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler (អិល អយល័រ) ។ វិវាទទាក់ទងនឹងខ្លឹមសារនៃគំនិតនៃមុខងារ។ នៅពេលនោះ មុខងារជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការវិភាគរបស់ពួកគេ។ កិច្ចការដែលនាំទៅដល់ការពិចារណាតែមុខងារវិភាគ ឬមុខងារវិភាគជាដុំៗប៉ុណ្ណោះ។ ហើយនៅទីនេះវាបានក្លាយជាការចាំបាច់សម្រាប់មុខងារដែលក្រាហ្វគឺជាខ្សែកោងតាមអំពើចិត្តគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្កើត T. r. តំណាងឱ្យមុខងារនេះ។ ប៉ុន្តែសារៈសំខាន់នៃជម្លោះទាំងនេះគឺធំជាង។ ជាការពិត ពួកគេបានពិភាក្សា ឬក្រោកឡើងពាក់ព័ន្ធនឹងសំណួរទាក់ទងនឹងគោលគំនិត និងគំនិតសំខាន់ៗជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា។ ការវិភាគជាទូទៅ - តំណាងនៃមុខងារដោយស៊េរី Taylor និងការវិភាគ។ ការបន្តនៃអនុគមន៍ ការប្រើប្រាស់ស៊េរីផ្សេងគ្នា ការផ្លាស់ប្តូរដែនកំណត់ ប្រព័ន្ធគ្មានកំណត់នៃសមីការ ការបញ្ចូលមុខងារដោយពហុធា។ល។
ហើយនៅពេលអនាគតដូចនៅសម័យដំបូងនេះ ទ្រឹស្តីរបស់ T. r. បានបម្រើជាប្រភពនៃគំនិតថ្មីៗនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ សំណួរដែលនាំឱ្យមានភាពចម្រូងចម្រាសក្នុងចំណោមគណិតវិទូនៅសតវត្សទី 18 ត្រូវបានដោះស្រាយនៅឆ្នាំ 1807 ដោយ J. Fourier ដែលបានបង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់គណនាមេគុណរបស់ T. r. (1) ដែលត្រូវតែ។ តំណាងឱ្យមុខងារ f(x)៖
និងអនុវត្តពួកវាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាចរន្តកំដៅ។ រូបមន្ត (2) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Fourier ទោះបីជាពួកគេត្រូវបានជួបប្រទះមុនដោយ A. Clairaut (1754) ហើយ L. Euler (1777) បានមករកពួកគេដោយប្រើការរួមបញ្ចូលតាមកាលកំណត់។ T. r. (1) មេគុណដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត (2) ហៅថា។ នៅជិតអនុគមន៍ Fourier f និងលេខ a k , b k- មេគុណ Fourier ។
ធម្មជាតិនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានគឺអាស្រ័យលើរបៀបដែលតំណាងនៃអនុគមន៍ត្រូវបានយល់ជាស៊េរី របៀបដែលអាំងតេក្រាលក្នុងរូបមន្ត (2) ត្រូវបានយល់។ ទិដ្ឋភាពសម័យទំនើបនៃទ្រឹស្តីនៃទន្លេ T. ទទួលបានបន្ទាប់ពីការលេចឡើងនៃអាំងតេក្រាល Lebesgue ។
ទ្រឹស្តីរបស់ T. r. អាចត្រូវបានបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌជាពីរផ្នែកធំ - ទ្រឹស្តី ស៊េរី Fourier,ដែលវាត្រូវបានសន្មត់ថាស៊េរី (1) គឺជាស៊េរី Fourier នៃមុខងារជាក់លាក់មួយ និងទ្រឹស្តីទូទៅ T. R. ដែលការសន្មត់បែបនេះមិនត្រូវបានធ្វើឡើង។ ខាងក្រោមនេះជាលទ្ធផលចម្បងដែលទទួលបានក្នុងទ្រឹស្តីទូទៅ T. r. (ក្នុងករណីនេះ រង្វាស់នៃសំណុំ និងការវាស់វែងនៃមុខងារត្រូវបានយល់ស្របតាម Lebesgue)។
ជាប្រព័ន្ធដំបូង ការស្រាវជ្រាវ T. r. ដែលវាមិនត្រូវបានគេសន្មត់ថាស៊េរីទាំងនេះគឺជាស៊េរី Fourier គឺជាការបកស្រាយរបស់ V. Riemann (V. Riemann, 1853) ។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីទូទៅ T. r. បានហៅ ពេលខ្លះទ្រឹស្តី Riemannian នៃទែរម៉ូឌីណាមិក។
ដើម្បីសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំពើចិត្ត T. r. (1) ជាមួយនឹងមេគុណទំនោរទៅសូន្យ B. Riemann បានចាត់ទុកមុខងារបន្ត F(x) ,
ដែលជាផលបូកនៃស៊េរីបង្រួបបង្រួមស្មើៗគ្នា។
ទទួលបានបន្ទាប់ពីការរួមបញ្ចូលរយៈពេលពីរដងនៃស៊េរី (1) ។ ប្រសិនបើស៊េរី (1) បង្រួបបង្រួមនៅចំណុចមួយចំនួន x ទៅលេខ s នោះនៅចំណុចនេះស៊ីមេទ្រីទីពីរមាន ហើយស្មើនឹង s ។ ដេរីវេនៃមុខងារ F:
បន្ទាប់មកវានាំទៅដល់ការបូកសរុបនៃស៊េរី (1) ដែលបង្កើតដោយកត្តា 
បានហៅ ដោយវិធីសាស្រ្តសង្ខេប Riemann ។ ដោយប្រើមុខងារ F គោលការណ៍ធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្ម Riemann ត្រូវបានរៀបចំឡើង យោងទៅតាមឥរិយាបថនៃស៊េរី (1) នៅចំណុច x អាស្រ័យតែលើឥរិយាបថនៃអនុគមន៍ F នៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុចនេះ។
ប្រសិនបើ T. r. បង្រួបបង្រួមលើសំណុំនៃវិធានការវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកមេគុណរបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យ (ទ្រឹស្តីបទ Cantor-Lebesgue)។ ទំនោរទៅសូន្យមេគុណ T. r. ក៏ធ្វើតាមពីការបញ្ចូលគ្នារបស់វាទៅលើសំណុំនៃប្រភេទទីពីរ (W. Young, W. Young, 1909)។
បញ្ហាកណ្តាលមួយនៃទ្រឹស្តីនៃទែរម៉ូឌីណាមិកទូទៅ គឺជាបញ្ហានៃការតំណាងឱ្យមុខងារបំពាន T. r. ការពង្រឹងលទ្ធផលនៃ N. N. Luzin (1915) ស្តីពីការតំណាងនៃមុខងាររបស់ T.R. ដោយ Abel-Poisson និង Riemann សង្ខេបស្ទើរតែគ្រប់វិធីសាស្រ្ត D. E. Men'shov បានបង្ហាញឱ្យឃើញ (1940) ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមដែលទាក់ទងនឹងករណីសំខាន់បំផុតនៅពេលតំណាងនៃ អនុគមន៍ f ត្រូវបានយល់ថាជាការបញ្ចូលគ្នានៃ T. r ។ ទៅ f(x) ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង។ សម្រាប់រាល់អនុគមន៍ដែលអាចវាស់វែងបាន និងកំណត់ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង f មាន T.R. ដែលភ្ជាប់ទៅវាស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Men'shov)។ គួរកត់សំគាល់ថា ទោះបីជាអនុគមន៍ f អាចរួមបញ្ចូលបានក៏ដោយ ជាទូទៅគេមិនអាចយកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f ជាស៊េរីនោះទេ ព្រោះមានស៊េរី Fourier ដែលខុសគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Men'shov អនុញ្ញាតឱ្យមានការចម្រាញ់ដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f អាចវាស់វែងបាន និងកំណត់ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង នោះមានមុខងារបន្តបែបនេះ។ 
ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង ហើយពាក្យថា Fourier ស៊េរីនៃអនុគមន៍ j ប្រែទៅជា f(x) ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង (N. K. Bari, 1952)។
វាមិនត្រូវបានគេដឹងទេ (1984) ថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការលុបចោលលក្ខខណ្ឌកំណត់សម្រាប់មុខងារ f ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែងនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទ Men'shov ដែរឬទេ។ ជាពិសេសវាមិនត្រូវបានគេដឹង (1984) ថាតើ T. r. បង្រួបបង្រួមស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង
ដូច្នេះបញ្ហានៃការតំណាងឱ្យមុខងារដែលអាចទទួលយកតម្លៃគ្មានកំណត់នៅលើសំណុំនៃវិធានការវិជ្ជមានមួយត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់ករណីដែលការបញ្ចូលគ្នាស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែងត្រូវបានជំនួសដោយតម្រូវការខ្សោយជាង ការបញ្ចូលគ្នាជារង្វាស់។ ការបង្រួបបង្រួមក្នុងរង្វាស់ទៅមុខងារដែលអាចទទួលយកតម្លៃគ្មានកំណត់ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: លំដាប់នៃផលបូកផ្នែក T. p ។ s ន(x) បំប្លែងជារង្វាស់ទៅជាអនុគមន៍ f(x) .
ប្រសិនបើកន្លែងណា f n(x) បង្រួបបង្រួមទៅ / (x) ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង ហើយលំដាប់បង្រួបបង្រួមទៅជាសូន្យក្នុងរង្វាស់។ នៅក្នុងការកំណត់នេះ បញ្ហានៃការតំណាងនៃមុខងារត្រូវបានដោះស្រាយដល់ទីបញ្ចប់៖ សម្រាប់រាល់មុខងារដែលអាចវាស់វែងបាន មាន T.R. ដែលបង្រួបបង្រួមវាទៅជារង្វាស់ (D. E. Men'shov, 1948)។
ការស្រាវជ្រាវជាច្រើនត្រូវបានគេយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះបញ្ហានៃភាពប្លែកនៃ T. r.៖ តើ T. ពីរផ្សេងគ្នាអាចបង្វែរទៅជាមុខងារដូចគ្នាបានទេ? នៅក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នា: ប្រសិនបើ T. r. បម្លែងទៅជាសូន្យ តើវាធ្វើតាមថាមេគុណទាំងអស់នៃស៊េរីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នៅទីនេះ មួយអាចមានន័យថា ការបញ្ចូលគ្នានៅគ្រប់ចំណុច ឬគ្រប់ចំណុចនៅខាងក្រៅសំណុំជាក់លាក់មួយ។ ចំលើយចំពោះសំណួរទាំងនេះ អាស្រ័យទៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសំណុំខាងក្រៅ ដែលការបញ្ចូលគ្នាមិនត្រូវបានសន្មត់។
វាក្យសព្ទខាងក្រោមត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ឈ្មោះជាច្រើន។ កំណត់ភាពឯកោឬ យូ-កំណត់ប្រសិនបើពីការបញ្ចូលគ្នានៃ T. r. ទៅសូន្យនៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែ ប្រហែលជាសម្រាប់ពិន្ទុនៃសំណុំ អ៊ីវាដូចខាងក្រោមថាមេគុណទាំងអស់នៃស៊េរីនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេ Enaz ។ M-សំណុំ។
ដូចដែល G. Cantor (1872) បានបង្ហាញ សំណុំទទេ ក៏ដូចជាសំណុំកំណត់ណាមួយ គឺជាឈុត U ។ សំណុំដែលអាចរាប់បានតាមអំពើចិត្តក៏ជាឈុត U (W. Jung, 1909)។ ម៉្យាងវិញទៀតរាល់សំណុំនៃវិធានការវិជ្ជមានគឺជាសំណុំ M ។
អត្ថិភាពនៃ M-សំណុំរង្វាស់សូន្យត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ D. E. Men'shov (1916) ដែលបានសាងសង់ឧទាហរណ៍ដំបូងនៃសំណុំល្អឥតខ្ចោះជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ។ លទ្ធផលនេះគឺមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងបញ្ហានៃភាពប្លែក។ វាធ្វើតាមពីអត្ថិភាពនៃ M-សំណុំរង្វាស់សូន្យ ដែលនៅក្នុងតំណាងនៃមុខងាររបស់ T.R. ដែលបញ្ចូលគ្នាស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង ស៊េរីទាំងនេះត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់មិនទៀងទាត់។
ឈុតល្អឥតខ្ចោះក៏អាចជាឈុត U (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921)។ លក្ខណៈស្រទន់នៃសំណុំរង្វាស់សូន្យដើរតួនាទីសំខាន់ក្នុងបញ្ហានៃភាពឯកភាព។ សំណួរទូទៅអំពីការចាត់ថ្នាក់នៃសំណុំរង្វាស់សូន្យ ម-ហើយ U-sets នៅតែ (1984) បើក។ វាមិនត្រូវបានដោះស្រាយសូម្បីតែសម្រាប់សំណុំល្អឥតខ្ចោះ។
បញ្ហាខាងក្រោមគឺទាក់ទងនឹងបញ្ហាឯកតា។ ប្រសិនបើ T. r. បង្រួបបង្រួមមុខងារ 
បន្ទាប់មកថាតើស៊េរីនេះត្រូវតែជាស៊េរី Fourier នៃមុខងារ /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) បានផ្តល់ចម្លើយជាវិជ្ជមានចំពោះសំណួរនេះ ប្រសិនបើ f គឺរួមបញ្ចូលក្នុងន័យរបស់ Riemann ហើយស៊េរីបង្រួបបង្រួមទៅជា f(x) នៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់។ ពីលទ្ធផល III ។ J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) បង្កប់ន័យថា ចំលើយគឺវិជ្ជមាន បើទោះបីជាស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែសម្រាប់សំណុំពិន្ទុដែលអាចរាប់បាន ហើយផលបូករបស់វាមានកំណត់។
ប្រសិនបើ T. p បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដនៅចំណុចមួយចំនួន x 0 នោះចំនុចនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ ក៏ដូចជាចំនុចនៃការរួបរួមដាច់ខាតរបស់វាមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងចំនុច x 0 ។
(P. Fatou, P. Fatou, 1906)។
យោងទៅតាម Denjoy - ទ្រឹស្តីបទ Luzinពីការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃ T. r. (1) នៅលើសំណុំនៃវិធានការវិជ្ជមានមួយ, ស៊េរីចូលរួម 
ហើយជាលទ្ធផល ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃស៊េរី (1) សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា X.ទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏ត្រូវបានកាន់កាប់ដោយសំណុំនៃប្រភេទទីពីរ ក៏ដូចជាដោយសំណុំរង្វាស់ជាក់លាក់សូន្យផងដែរ។
ការស្ទង់មតិនេះគ្របដណ្តប់តែវិមាត្រមួយ T. r. (មួយ)។ មានលទ្ធផលដាច់ដោយឡែកទាក់ទងនឹងទូទៅ T. p. ពីអថេរជាច្រើន។ នៅទីនេះក្នុងករណីជាច្រើនវានៅតែចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាធម្មជាតិ។
ពន្លឺ។: Bari N.K., ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ, M., 1961; Sigmund A., ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស, លេខ 1-2, M. , 1965; Luzin N. N., ស៊េរីអាំងតេក្រាល និងត្រីកោណមាត្រ, M.-L., 1951; Riemann B., ការងារ, trans ។ ពីអាឡឺម៉ង់, M.-L., 1948, ទំ។ ២២៥-៦១។
S.A. Telyakovsky ។
- - ផលបូកត្រីកោណមាត្រចុងក្រោយ - កន្សោមនៃទម្រង់ដែលមានមេគុណពិត a 0 និង k, bk, k = l, ។ . ., n; លេខ n ហៅ។ បញ្ជាទិញ T. 0)...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- - ស៊េរីក្នុងកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន ពោលគឺស៊េរីនៃទម្រង់ ឬក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញដែល ak, bk ឬរៀងគ្នា, ck ត្រូវបានហៅ។ មេគុណនៃ T. r. ជាលើកដំបូង T.r. ជួបគ្នានៅ L. Euler...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- - ចំនុចត្រីកោណមាត្រ - ចំណុចភូមិសាស្ត្រ ទីតាំងដែលនៅលើផ្ទៃផែនដីត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រត្រីកោណមាត្រ...
វចនានុក្រមពហុបច្ចេកទេស សព្វវចនាធិប្បាយធំ
- - មើលត្រីកោណ...
វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយរបស់ Brockhaus និង Euphron
- - នៅក្នុង geodesy រចនាសម្ព័ន្ធដែលបានដំឡើងនៅលើដីនៅចំណុចត្រីកោណមាត្រ។ T. h. មានពីរផ្នែក - ខាងក្រៅនិងក្រោមដី ...
សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
- - ស៊េរីមុខងារនៃទម្រង់ នោះគឺជាស៊េរីដែលមានទីតាំងនៅតាមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន។ ជាញឹកញាប់ T. r. សរសេរក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ។
សូមឱ្យស៊េរីត្រីកោណមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
ដើម្បីដឹងថាវារួមគ្នាឬអត់នោះ វាជារឿងធម្មតាក្នុងការពិចារណាពីស៊េរីលេខ
(2)
មេធំ ដូចដែលពួកគេនិយាយ ស៊េរី (1) ។ សមាជិករបស់វាលើសពីតម្លៃដាច់ខាតនៃសមាជិកនៃស៊េរី (1)៖
.
វាធ្វើតាមថាប្រសិនបើស៊េរី (2) បញ្ចូលគ្នា នោះស៊េរី (1) បញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ហើយលើសពីនេះទៅទៀតគឺពិតជា និងស្មើភាពគ្នា (សូមមើលសៀវភៅរបស់យើង Higher Mathematics ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល § 9.8 ទ្រឹស្តីបទ 1)។ ប៉ុន្តែស៊េរី (1) អាចបញ្ចូលគ្នាដោយគ្មានស៊េរី (2) បញ្ចូលគ្នា។ បន្ទាប់ពីបានទាំងអស់ លក្ខខណ្ឌរបស់វាសម្រាប់សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរនីមួយៗ (យោល) ចំនួនដងគ្មានកំណត់នៅពេលផ្លាស់ប្តូរ ហើយវាអាចប្រែទៅជាបញ្ចូលគ្នាដោយសារតែសំណងនៃលក្ខខណ្ឌវិជ្ជមានដោយអវិជ្ជមាន។ នៅក្នុងទ្រឹស្តីទូទៅនៃស៊េរីមានសញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីស្រដៀងគ្នា។ ការធ្វើតេស្តបែបនេះគឺជាការធ្វើតេស្ត Dirichlet និង Abel (សូមមើល§ 9.9 ទ្រឹស្ដីទី 3 និងទី 4 នៃសៀវភៅដូចគ្នា) ដែលត្រូវបានកែសម្រួលយ៉ាងល្អទៅនឹងការសិក្សានៃស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។
វិធីមួយ ឬវិធីផ្សេងទៀត ប្រសិនបើវាត្រូវបានបង្កើតឡើងថា ស៊េរី (1) បញ្ចូលគ្នាស្មើៗគ្នា នោះមកពីការពិតដែលថាលក្ខខណ្ឌរបស់វាជាមុខងារបន្តនៃរយៈពេល វាធ្វើតាមថាផលបូករបស់វា
(3)
គឺជាអនុគមន៍រយៈពេលបន្ត (សូមមើល§ 9.8 ទ្រឹស្តីបទ 2 និង § 9.9 ទ្រឹស្តីបទ 2 នៃសៀវភៅដូចគ្នា) ហើយស៊េរី (3) អាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលពាក្យដោយពាក្យ។
ស៊េរី (3) អាចត្រូវបានបែងចែកជាផ្លូវការដោយ:
(4)
និងចងក្រងស៊េរីធំរបស់វា។
(5)
ជាថ្មីម្តងទៀត ប្រសិនបើស៊េរី (5) ចូលគ្នា នោះស៊េរី (4) ចូលគ្នាស្មើគ្នា។ លើសពីនេះទៅទៀត ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទល្បីពីទ្រឹស្ដីនៃស៊េរីបង្រួបបង្រួមស្មើៗគ្នា បន្ទាប់មកផលបូកនៃស៊េរី (4) គឺជាដេរីវេនៃផលបូកនៃស៊េរី (3) i.e.
.
ជាទូទៅប្រសិនបើស៊េរី
បង្រួបបង្រួមសម្រាប់លេខធម្មជាតិមួយចំនួន បន្ទាប់មកស៊េរី (3) អាចត្រូវបានបែងចែកដោយច្បាប់តាមពាក្យ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងត្រូវតែចងចាំថា វាអាចទៅរួចដែលថាស៊េរី (3) អាចត្រូវបានបែងចែកដោយស្របច្បាប់មួយពេលទៀត (ឧ. ដង) ។
ឧទាហរណ៍។ ស្វែងយល់ថាតើចំនួនប៉ុន្មានដងក្នុងមួយស៊េរីអាចត្រូវបានបែងចែកតាមពាក្យ
លេខ មួយ n, b nឬ c nត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃ T. r.
T. r. ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យា និងកម្មវិធីរបស់វា។ ដំបូងបង្អស់ T. r. ផ្តល់មធ្យោបាយសម្រាប់ពណ៌នា និងសិក្សាមុខងារ ហើយដូច្នេះគឺជាឧបករណ៍សំខាន់មួយនៃទ្រឹស្តីនៃមុខងារ។ លើសពីនេះ វិទ្យុសកម្មកម្ដៅបានលេចឡើងដោយធម្មជាតិនៅក្នុងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមួយចំនួននៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា ដែលក្នុងនោះយើងអាចកត់សម្គាល់បញ្ហានៃការរំញ័រនៃខ្សែមួយ បញ្ហានៃការសាយភាយនៃកំដៅ និងបញ្ហាផ្សេងៗទៀត។ចុងក្រោយគឺទ្រឹស្តីនៃវិទ្យុសកម្មកម្ដៅ។ . បានរួមចំណែកដល់ការបំភ្លឺនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា (អនុគមន៍ អាំងតេក្រាល) បាននាំមកជីវិតនូវផ្នែកសំខាន់ៗមួយចំនួននៃគណិតវិទ្យា (ទ្រឹស្តីនៃអាំងតេក្រាល Fourier ទ្រឹស្តីនៃមុខងារស្ទើរតែតាមកាលកំណត់) បានបម្រើជាចំណុចចាប់ផ្តើមមួយសម្រាប់ ការអភិវឌ្ឍនៃទ្រឹស្តីសំណុំ ទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃការវិភាគអថេរពិតប្រាកដ និងការវិភាគមុខងារ ហើយដាក់ការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគអាម៉ូនិកទូទៅ។
អយល័របានចង្អុលបង្ហាញការតភ្ជាប់រវាងស៊េរីថាមពល និង T. R.: ប្រសិនបើ 
c n គឺពិត
គឺ៖
ពន្លឺ៖ Luzin N. N., ស៊េរីអាំងតេក្រាល និងត្រីកោណមាត្រ, M. - L., 1951; បារិន។ K. , ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 1961; Sigmund A., ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស, បោះពុម្ពលើកទី 2, លេខ 1-2, M., 1965 ។
សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ។ - អិមៈសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត. 1969-1978 .
សូមមើលអ្វីដែល "ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖
ស៊េរីនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន ពោលគឺ ស៊េរីនៃទម្រង់ ឬក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ ដែល ak, bk ឬ រៀងគ្នា ck ត្រូវបានគេហៅថា។ មេគុណនៃ T. r. ជាលើកដំបូង T.r. ជួបនៅ L. Euler (L. Euler, 1744)។ គាត់បានទទួលការពង្រីកនៅក្នុង ser ។ សតវត្សទី 18 ក្នុងការទំនាក់ទំនងជាមួយ…… សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
ស៊េរីនៃទម្រង់ដែលមេគុណ a0, a1, b1, a2, b2 ... មិនអាស្រ័យលើអថេរ x ... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ គឺជាស៊េរីនៃទម្រង់ណាមួយ៖ ស៊េរីត្រីកោណមាត្រត្រូវបានគេហៅថា ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើមេគុណ និងត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម... Wikipedia
ស៊េរីនៃទម្រង់ដែលមេគុណ a0, a1, b1, a2, b2, ... មិនអាស្រ័យលើអថេរ x ។ * * * TRIGONOMETRIC SERIES TRIGONOMETRIC SERIES ជាស៊េរីនៃទម្រង់ដែលមេគុណ a0, a1, b1, a2, b2 ... មិនអាស្រ័យលើអថេរ x... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ
ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier គឺជាតំណាងនៃអនុគមន៍បំពានដែលមានរយៈពេលក្នុងទម្រង់ជាស៊េរី (1) ឬដោយប្រើសញ្ញាណស្មុគស្មាញក្នុងទម្រង់ជាស៊េរី៖ . មាតិកា ... វិគីភីឌា
ស៊េរី Fourier ត្រីកោណមាត្រគ្មានកំណត់- - ប្រធានបទទូរគមនាគមន៍ គំនិតជាមូលដ្ឋាន EN ស៊េរី Fourier ... សៀវភៅណែនាំអ្នកបកប្រែបច្ចេកទេស
ស៊េរីនៃប្រភេទ ស៊េរីនៃប្រភេទ (1) K. Weierstrass បានណែនាំនៅក្នុងឆ្នាំ 1872 នូវមុខងារផ្សេងគ្នាជាបន្តបន្ទាប់។ J. Hadamard ក្នុងឆ្នាំ 1892 បានអនុវត្តស៊េរី (1) ហៅពួកគេថា lacunar ដើម្បីសិក្សាការវិភាគ។ ការបន្តមុខងារ។ ជាប្រព័ន្ធ… សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
ទៅស៊េរីស៊េរី ស៊េរីទាំងនេះគឺរៀងគ្នា ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃស៊េរីនៅ z=eix ។ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនៃអនុគមន៍ j(x) ភ្ជាប់ទៅនឹងត្រីកោណមាត្រស៊េរី Fourier ។ ស៊េរីដែលជាខឺណែលផ្សំ Dirichlet ។ ប្រសិនបើ f(x) គឺជាមុខងារនៃបំរែបំរួលដែលមានព្រំដែន...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
ការបន្ថែមលក្ខខណ្ឌស៊េរី Fourier ... វិគីភីឌា
ខ្ញុំជាផលបូកគ្មានកំណត់ ឧទាហរណ៍នៃទម្រង់ u1 + u2 + u3 + ... + un + ... ឬនិយាយឱ្យខ្លី មួយក្នុងចំណោមឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃ R. ដែលបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាបឋមគឺគ្មានកំណត់។ កាត់បន្ថយផលបូក ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
សុន្ទរកថាណែនាំ
នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណាពីតំណាងនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់ដោយប្រើស៊េរី Fourier ។ ស៊េរី Fourier គឺជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃការវិភាគវិសាលគម ពីព្រោះដូចដែលយើងនឹងឃើញនៅពេលក្រោយ ការបំប្លែង Fourier នៃសញ្ញាមិនតាមកាលកំណត់អាចទទួលបានជាការផ្លាស់ប្តូរដែនកំណត់នៃស៊េរី Fourier ជាមួយនឹងរយៈពេលដដែលៗគ្មានកំណត់។ ជាលទ្ធផល លក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊េរី Fourier ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ការបំប្លែង Fourier នៃសញ្ញាមិនមែនតាមកាលកំណត់។យើងនឹងពិចារណាកន្សោមសម្រាប់ស៊េរី Fourier ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងស្មុគ្រស្មាញ ហើយថែមទាំងយកចិត្តទុកដាក់លើលក្ខខណ្ឌ Dirichlet សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier ។ លើសពីនេះ យើងនឹងរស់នៅយ៉ាងលម្អិតលើការពន្យល់នៃគំនិតដូចជាប្រេកង់អវិជ្ជមាននៃវិសាលគមសញ្ញា ដែលជារឿយៗបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកនៅពេលស្គាល់ទ្រឹស្តីនៃការវិភាគវិសាលគម។
សញ្ញាតាមកាលកំណត់។ ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier
សូមឲ្យមានសញ្ញាតាមកាលកំណត់ជាបន្តបន្ទាប់ ដែលធ្វើឡើងវិញជាមួយរយៈពេល c, i.e. ដែលជាកន្លែងដែលជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត។ជាឧទាហរណ៍ រូបភាពទី 1 បង្ហាញពីលំដាប់នៃជីពចរចតុកោណនៃថិរវេលា c ដោយធ្វើម្តងទៀតជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ c ។
រូបភាពទី 1. លំដាប់តាមកាលកំណត់
ជីពចរចតុកោណ
ពីវគ្គនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា គេដឹងថាប្រព័ន្ធអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
ជាមួយនឹងប្រេកង់ច្រើន ដែលរ៉ាដ/ស គឺជាចំនួនគត់ បង្កើតជាមូលដ្ឋានអ័រថូនិកសម្រាប់ការរលាយនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់ ជាមួយនឹងរយៈពេលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ Dirichlet ។
លក្ខខណ្ឌ Dirichlet សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier តម្រូវឱ្យផ្តល់សញ្ញាតាមកាលកំណត់នៅលើផ្នែក ខណៈពេលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ
ឧទាហរណ៍មុខងារតាមកាលកំណត់ 
មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ Dirichlet ទេព្រោះមុខងារ មានការឈប់ដំណើរការនៃប្រភេទទីពីរ ហើយយកតម្លៃគ្មានកំណត់សម្រាប់ ដែលជាកន្លែងដែលជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះមុខងារ មិនអាចត្រូវបានតំណាងដោយស៊េរី Fourier ទេ។ អ្នកក៏អាចផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃមុខងារមួយ។ 
ដែលត្រូវបានកំណត់ព្រំដែន ប៉ុន្តែក៏មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ Dirichlet ដែរ ព្រោះវាមានចំនួនពិន្ទុខ្លាំងគ្មានកំណត់ នៅពេលដែលវាជិតដល់សូន្យ។ ក្រាហ្វមុខងារ បង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 2 ។
រូបភាពទី 2. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ :
A - រយៈពេលពីរនៃពាក្យដដែលៗ; ខ - នៅក្នុងសង្កាត់
រូបភាពទី 2a បង្ហាញរយៈពេលដដែលៗចំនួនពីរនៃអនុគមន៍ ហើយក្នុងរូបភាពទី 2b គឺជាតំបន់ដែលនៅជិតនោះ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលជិតដល់សូន្យ ប្រេកង់យោលកើនឡើងឥតឈប់ឈរ ហើយមុខងារបែបនេះមិនអាចតំណាងដោយស៊េរី Fourier បានទេ ព្រោះវាមិនមែនជា monotonic ដុំ។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងការអនុវត្តមិនមានសញ្ញាដែលមានតម្លៃគ្មានកំណត់នៃចរន្តឬវ៉ុលទេ។ អនុគមន៍ដែលមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃប្រភេទ extrema ក៏មិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបញ្ហាដែលបានអនុវត្តដែរ។ សញ្ញាតាមកាលកំណត់ពិតប្រាកដទាំងអស់បំពេញលក្ខខណ្ឌ Dirichlet ហើយអាចត្រូវបានតំណាងដោយស៊េរី Fourier ត្រីកោណមាត្រគ្មានកំណត់នៃទម្រង់៖
 |
នៅក្នុងកន្សោម (2) មេគុណបញ្ជាក់សមាសធាតុថេរនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់។
នៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ដែលសញ្ញាបន្ត ស៊េរី Fourier (2) បង្រួបបង្រួមទៅនឹងតម្លៃនៃសញ្ញាដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយនៅចំនុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ទៅជាតម្លៃមធ្យម កន្លែងណា និងជាដែនកំណត់នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។ នៃចំណុចដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។
វាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរពីវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យាថាការប្រើប្រាស់ស៊េរី Fourier កាត់ខ្លីដែលមានតែពាក្យដំបូងជំនួសឱ្យផលបូកគ្មានកំណត់នាំឱ្យមានតំណាងប្រហាក់ប្រហែលនៃសញ្ញា:
ដែលធានានូវកំហុសការេមធ្យមអប្បបរមា។ រូបភាពទី 3 បង្ហាញពីការប៉ាន់ស្មាននៃរថភ្លើងរលកការ៉េតាមកាលកំណត់ និងសញ្ញា sawtooth តាមកាលកំណត់ ដោយប្រើលេខផ្សេងគ្នានៃពាក្យស៊េរី Fourier ។
រូបភាពទី 3. ការប៉ាន់ប្រមាណនៃសញ្ញាដោយស៊េរី Fourier ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ៖
ក - ជីពចរចតុកោណ; ខ - សញ្ញាធ្មេញស
ស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ
នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន យើងបានពិចារណាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier សម្រាប់ពង្រីកសញ្ញាតាមកាលកំណត់ដោយបំពានដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ Dirichlet ។ ដោយប្រើរូបមន្តអយល័រយើងអាចបង្ហាញ៖ |
បន្ទាប់មក trigonometric Fourier ស៊េរី (2) យកទៅក្នុងគណនី (4):
ដូច្នេះ សញ្ញាតាមកាលកំណត់អាចត្រូវបានតំណាងដោយផលបូកនៃសមាសភាគ DC និងនិទស្សន្តស្មុគស្មាញដែលបង្វិលនៅប្រេកង់ដែលមានមេគុណសម្រាប់ប្រេកង់វិជ្ជមាន និងសម្រាប់និទស្សន្តស្មុគស្មាញបង្វិលនៅប្រេកង់អវិជ្ជមាន។
ពិចារណាលើមេគុណសម្រាប់និទស្សន្តស្មុគស្មាញដែលបង្វិលជាមួយប្រេកង់វិជ្ជមាន៖
កន្សោម (6) និង (7) ស្របគ្នា លើសពីនេះ សមាសធាតុថេរក៏អាចត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃនិទស្សន្តស្មុគ្រស្មាញនៅប្រេកង់សូន្យ៖
ដូច្នេះ (5) យកទៅក្នុងគណនី (6)-(8) អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកតែមួយនៅពេលធ្វើលិបិក្រមពីដកពីភាពគ្មានដែនកំណត់ទៅគ្មានដែនកំណត់៖
 |
កន្សោម (9) គឺជាស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ។ មេគុណនៃស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញគឺទាក់ទងទៅនឹងមេគុណ និងនៃស៊េរីក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ហើយត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ទាំងប្រេកង់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ លិបិក្រមក្នុងសញ្ញាណប្រេកង់បង្ហាញពីចំនួនអាម៉ូនិកដាច់ដោយឡែកដោយសន្ទស្សន៍អវិជ្ជមានដែលត្រូវនឹងប្រេកង់អវិជ្ជមាន។
វាធ្វើតាមពីកន្សោម (2) ដែលសម្រាប់សញ្ញាពិត មេគុណ និងស៊េរី (2) ក៏ពិតប្រាកដដែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ (9) ផ្តល់ទៅឱ្យសញ្ញាពិតប្រាកដ សំណុំនៃមេគុណផ្សំស្មុគស្មាញ ដែលទាក់ទងនឹងប្រេកង់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។
ការពន្យល់មួយចំនួនសម្រាប់ស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ
នៅក្នុងផ្នែកមុន យើងបានធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីស៊េរីត្រីកោណមាត្រ Fourier (2) ទៅស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ (9) ។ ជាលទ្ធផល ជំនួសឱ្យការពង្រីកសញ្ញាតាមកាលកំណត់ក្នុងមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រពិតប្រាកដ យើងទទួលបានការពង្រីកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្មុគស្មាញ ជាមួយនឹងមេគុណស្មុគស្មាញ ហើយសូម្បីតែប្រេកង់អវិជ្ជមានក៏លេចឡើងនៅក្នុងការពង្រីក! ដោយសារបញ្ហានេះច្រើនតែមានការយល់ច្រឡំ ចាំបាច់ត្រូវផ្តល់ការបំភ្លឺខ្លះៗ។ទីមួយ ការធ្វើការជាមួយនិទស្សន្តស្មុគ្រស្មាញគឺនៅក្នុងករណីភាគច្រើនងាយស្រួលជាងការធ្វើការជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលគុណ និងចែកអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្មុគ្រស្មាញ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបន្ថែម (ដក) និទស្សន្ត ខណៈពេលដែលរូបមន្តសម្រាប់គុណ និងបែងចែកអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺពិបាកជាង។
ភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលនិទស្សន្ត សូម្បីតែស្មុគ្រស្មាញក៏ងាយស្រួលជាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែរ ដែលតែងតែផ្លាស់ប្តូរនៅពេលបែងចែក និងរួមបញ្ចូល (ស៊ីនុសក្លាយជាកូស៊ីនុស និងច្រាសមកវិញ)។
ប្រសិនបើសញ្ញាមានលក្ខណៈតាមកាលកំណត់ និងពិតប្រាកដ នោះត្រីកោណមាត្រស៊េរី Fourier (2) ហាក់ដូចជាបង្ហាញកាន់តែច្បាស់ ពីព្រោះមេគុណពង្រីកទាំងអស់ និងនៅតែពិតប្រាកដ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជារឿយៗគេត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងសញ្ញាតាមកាលកំណត់ដ៏ស្មុគស្មាញ (ឧទាហរណ៍ ការកែប្រែ និង demodulation ប្រើតំណាង quadrature នៃស្រោមសំបុត្រស្មុគស្មាញ)។ ក្នុងករណីនេះ នៅពេលប្រើស៊េរី Fourier ត្រីកោណមាត្រ មេគុណទាំងអស់ និងការពង្រីក (2) នឹងក្លាយទៅជាស្មុគ្រស្មាញ ខណៈពេលដែលនៅពេលប្រើស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ (9) មេគុណពង្រីកដូចគ្នានឹងត្រូវបានប្រើសម្រាប់ទាំងសញ្ញាបញ្ចូលពិត និងស្មុគស្មាញ។ .
ហើយចុងក្រោយ វាចាំបាច់ក្នុងការរស់នៅលើការពន្យល់អំពីប្រេកង់អវិជ្ជមានដែលបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុង (9) ។ សំណួរនេះច្រើនតែយល់ខុស។ នៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃយើងមិនជួបប្រទះប្រេកង់អវិជ្ជមានទេ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងមិនដែលបានកំណត់វិទ្យុរបស់យើងទៅជាប្រេកង់អវិជ្ជមានទេ។ ចូរយើងពិចារណាភាពស្រដៀងគ្នាខាងក្រោមពីមេកានិច។ សូមឱ្យមានប៉ោលនិទាឃរដូវមេកានិចដែលយោលដោយសេរីជាមួយនឹងប្រេកង់ជាក់លាក់មួយ។ តើប៉ោលអាចយោលជាមួយនឹងប្រេកង់អវិជ្ជមានបានទេ? ជាការពិតណាស់មិនមែនទេ។ ដូចជាគ្មានស្ថានីយវិទ្យុដែលផ្សាយនៅប្រេកង់អវិជ្ជមាន ដូច្នេះប្រេកង់ប៉ោលមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។ ប៉ុន្តែប៉ោលនិទាឃរដូវគឺជាវត្ថុមួយវិមាត្រ (ប៉ោលរំកិលតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ) ។
យើងក៏អាចផ្តល់ភាពស្រដៀងគ្នាមួយទៀតពីមេកានិច៖ កង់បង្វិលនៅប្រេកង់ . កង់, មិនដូចប៉ោល, បង្វិល, i.e. ចំនុចមួយនៅលើផ្ទៃនៃកង់ផ្លាស់ទីក្នុងយន្តហោះ ហើយមិនគ្រាន់តែយោលតាមបន្ទាត់ត្រង់តែមួយនោះទេ។ ដូច្នេះដើម្បីកំណត់ការបង្វិលកង់ដោយឡែក វាមិនគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការកំណត់ប្រេកង់បង្វិលនោះទេ ព្រោះវាក៏ចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ទិសដៅនៃការបង្វិលផងដែរ។ នេះគឺជាអ្វីដែលយើងអាចប្រើសញ្ញាប្រេកង់សម្រាប់។
ដូច្នេះប្រសិនបើកង់បង្វិលនៅប្រេកង់ rad / s ច្រាសទ្រនិចនាឡិកានោះយើងពិចារណាថាកង់បង្វិលដោយប្រេកង់វិជ្ជមានហើយប្រសិនបើវាបង្វិលតាមទ្រនិចនាឡិកានោះប្រេកង់បង្វិលនឹងអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ ដើម្បីបញ្ជាក់ការបង្វិល ប្រេកង់អវិជ្ជមានឈប់មិនសមហេតុសមផល ហើយបង្ហាញពីទិសដៅនៃការបង្វិល។
ហើយឥឡូវនេះរឿងសំខាន់បំផុតដែលយើងត្រូវយល់។ ការយោលនៃវត្ថុមួយវិមាត្រ (ឧទាហរណ៍ ប៉ោលនិទាឃរដូវ) អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃការបង្វិលនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 4 ។
រូបភាពទី 4. លំយោលនៃប៉ោលនិទាឃរដូវ
ជាផលបូកនៃការបង្វិលនៃវ៉ិចទ័រពីរ
នៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ
ប៉ោលលំយោលតាមអ័ក្សពិតនៃយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងប្រេកង់មួយយោងទៅតាមច្បាប់អាម៉ូនិក។ ចលនារបស់ប៉ោលត្រូវបានបង្ហាញជាវ៉ិចទ័រផ្ដេក។ វ៉ិចទ័រកំពូលបង្វិលក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញនៅប្រេកង់វិជ្ជមាន (ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា) ហើយវ៉ិចទ័រខាងក្រោមបង្វិលនៅប្រេកង់អវិជ្ជមាន (តាមទ្រនិចនាឡិកា)។ រូបភាពទី 4 បង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីទំនាក់ទំនងដ៏ល្បីពីវគ្គសិក្សាត្រីកោណមាត្រ៖
ដូច្នេះ ស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ (9) តំណាងឱ្យសញ្ញាមួយវិមាត្រតាមកាលកំណត់ ជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញដែលបង្វិលជាមួយប្រេកង់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះយើងកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងករណីនៃសញ្ញាពិតប្រាកដនេះបើយោងតាម (9) មេគុណពង្រីកសម្រាប់ប្រេកង់អវិជ្ជមានគឺស្មុគស្មាញ conjugate ទៅមេគុណដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ប្រេកង់វិជ្ជមាន។ នៅក្នុងករណីនៃសញ្ញាស្មុគ្រស្មាញ, ទ្រព្យសម្បត្តិនៃមេគុណនេះមិនកាន់ដោយសារតែការពិតដែលថានិងក៏ស្មុគស្មាញផងដែរ។
វិសាលគមនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់
ស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគ្រស្មាញ គឺជាការបំបែកនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់ទៅជាផលបូកនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលស្មុគ្រស្មាញដែលបង្វិលជាមួយប្រេកង់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានក្នុងពហុគុណនៃ rad/s ជាមួយនឹងមេគុណស្មុគស្មាញដែលត្រូវគ្នា ដែលកំណត់វិសាលគមនៃសញ្ញា។ មេគុណស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានតំណាងដោយរូបមន្តអយល័រជាកន្លែងដែលវិសាលគមទំហំនិង a គឺជាវិសាលគមដំណាក់កាល។ដោយសារសញ្ញាតាមកាលកំណត់ត្រូវបានបំបែកទៅជាស៊េរីតែនៅលើក្រឡាចត្រង្គប្រេកង់ថេរ វិសាលគមនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់គឺបន្ទាត់ (ដាច់)។
រូបភាពទី 5. វិសាលគមនៃលំដាប់តាមកាលកំណត់
ជីពចរចតុកោណ៖
A គឺជាវិសាលគមនៃទំហំ; ខ - វិសាលគមដំណាក់កាល
រូបភាពទី 5 បង្ហាញពីឧទាហរណ៍នៃអំព្លីទីត និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃលំដាប់តាមកាលកំណត់នៃជីពចរចតុកោណ (សូមមើលរូបភាពទី 1) សម្រាប់ c រយៈពេលជីពចរ c និងអំព្លីទីតជីពចរ B ។
វិសាលគមទំហំនៃសញ្ញាពិតដើមគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងប្រេកង់សូន្យ ខណៈដែលវិសាលគមដំណាក់កាលគឺ antisymmetric ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះយើងកត់សំគាល់ថាតម្លៃនៃវិសាលគមដំណាក់កាលនិង 
ត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះស្មុគស្មាញ។
វាអាចត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាមេគុណពង្រីកទាំងអស់នៃសញ្ញាកាត់បន្ថយគឺពិតប្រាកដសុទ្ធសាធ ហើយវិសាលគមដំណាក់កាល 
ត្រូវគ្នាទៅនឹងមេគុណអវិជ្ជមាន។
ចំណាំថាវិមាត្រនៃវិសាលគមទំហំស្របគ្នានឹងវិមាត្រនៃសញ្ញា។ ប្រសិនបើពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរវ៉ុលតាមពេលវេលាវាស់ជាវ៉ុល នោះអំព្លីទីតនៃអាម៉ូនិកនៃវិសាលគមនឹងមានវិមាត្រនៃវ៉ុលផងដែរ។
ការសន្និដ្ឋាន
នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងពិចារណាពីតំណាងនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់ដោយប្រើស៊េរី Fourier ។ កន្សោមសម្រាប់ស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងស្មុគស្មាញត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ យើងបានយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះលក្ខខណ្ឌ Dirichlet សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Fourier ហើយបានផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃមុខងារដែលស៊េរី Fourier ខុសគ្នា។យើងបានរស់នៅយ៉ាងលម្អិតលើការបញ្ចេញមតិនៃស៊េរី Fourier ក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ ហើយបានបង្ហាញថាសញ្ញាតាមកាលកំណត់ ទាំងពិត និងស្មុគស្មាញ ត្រូវបានតំណាងដោយស៊េរីនៃនិទស្សន្តស្មុគស្មាញដែលមានប្រេកង់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះ មេគុណពង្រីកក៏ស្មុគ្រស្មាញ និងកំណត់លក្ខណៈនៃទំហំ និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់។
នៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសាលគមនៃសញ្ញាតាមកាលកំណត់ដោយលម្អិតបន្ថែមទៀត។
